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【学习目标】

1. 理解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行推理，做出猜想。

2. 理解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用 “ 三段论 ” 进

行简单的推理 .

【要点梳理】

要点一、推理的概念及分类

1. 推理的概念：

根据一个或几个已知事实 ( 或假设 ) 得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从

结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实 ( 或假设 ) 叫做前提，

一部分是由已知推出的判断，叫做结论．

要点诠释：

（ 1 ）任何推理都是由前提和结论两部分组成，前提是推理所依据的命题，它

告诉我们已知的知识是什么，推理的前提可以是一个，也可以是几个．结论是根

据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．

（ 2 ）推理也可以看做是用连结词将前提和结论逻辑的连结，常用的连结

词有： “ 因为 …… ，所以 ……”“ 根据 …… ，可知 ……”“ 如

果 …… ，那么 ……” 等．

2. 推理的分类：

（1）合情推理：

根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、

个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些

结果的推理过程。其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。

归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．

合情推理的推理过程

要点诠释：



由合情推理的过程可以看出，合情推理的结论往往超越了前提所包含的范围，

带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确，但是，合情推理具有猜测和发

现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用．

（2）演绎推理：

从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推

理，叫做演绎推理 . 演绎推理是由一般到特殊的推理．

要点二、归纳推理

1. 定义：

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征

的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

2 ．归纳推理的特点

（ 1 ）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；

（ 2 ）归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了

前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以

“ 前提真而结论假 ” 的情况有可能发生的（如教科书所述的 “ 费马猜

想 ” ）；

（ 3 ）人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性

的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和

实验的基础上进行；

（ 4 ）归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．

要点诠释：

归纳推理的结论可真可假

归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想；一

般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠 . 由

于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界

定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所

得的结论不一定是正确的 .

3 ．运用归纳推理时的一般步骤

（ 1 ）通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；

（ 2 ）把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；



（ 3 ）对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否进行严

格的证明．

4 ．完全归纳法和不完全归纳法

（ 1 ）完全归纳法：通过对某类事物中的每一个对象或每一子类的考察，从中

概括出关于此类事物的一般性结论的推理．由于完全归纳法考察了某类事物的全

部情况，因而由正确的前提必然能得到正确的结论，所以完全归纳法可以作为数

学严格证明的工具，在数学解题中有着广泛的应用．

（ 2 ）不完全归纳法：通过对某类事物的一部分对象或一部分子类的考察，

从中概括出关于该类事物的一般性结论的推理．由于不完全归纳法是对某类事物

中的某一部分对象进行考察，因此，前提和结论之间未必有必然的联系，由不完

全归纳法得到的结论，结论不一定正确，结论的正确与否，还需要经过严格的逻

辑论证和实践检验．在本书中，如无特别说叫，归纳法都足指不完全归纳法．

要点三、类比推理

1 ．定义：

类比推理（以下简称类比）是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同

或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．

2 ．类比推理的几个特点

（ 1 ）类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物

的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；

（ 2 ）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；

（ 3 ）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．

3 ．运用类比推理的一般步骤

（ 1 ）找出两类事物之间的相似性或一致性．

（ 2 ）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．

（ 3 ）检验猜想 .

要点诠释：

（ 1 ）如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相

关，那么类比得出的结论就越可靠．

（ 2 ）事物之间的各个性质之间，并不是孤立存在的，而是相互联系的，相互

制约的，如果两个事物在性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相

同或类似．因而类比的结论可能是真的，类比也可能具有必然性．



（ 3 ）类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假．

要点四、演绎推理

（ 1 ）定义：

从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推

理，叫做演绎推理 . 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

（ 2 ）一般模式：

“ 三段论 ” 是演绎推理的一般模式，常用的一种格式：

① 大前提 —— 已知的一般原理；

② 小前提 —— 所研究的特殊情况；

③ 结论 —— 根据一般原理，对特殊情况作出的结论 .

要点诠释：

① 如果一个推理规则能用符号表示为 “ 如果 a b ， b c ，则 a

c” ，那么这种推理规则叫做三段论推理．

② 三段论推理包含了三个命题，第一个命题称为大前提，它提

供了一个一般性的原理；第二个命题称为小前提，它指出了一个特殊对象，两者

结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题 ——

结论．

（ 3 ）用集合的观点理解 “ 三段论 ”

若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素

都具有性质 .

要点诠释：

演绎推理的结论一定正确

演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么

结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。

要点五、合情推理与演绎推理的区别与联系



（ 1 ）从推理模式看：

① 归纳推理是由特殊到一般的推理．

② 类比推理是由特殊到特殊的推理．

③ 演绎推理是由一般到特殊的推理．

（ 2 ）从推理的结论看：

① 合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。

② 演绎推理所得的结论一定正确。

（ 3 ）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在

认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。

合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获

得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向

和思路 .

要点诠释：

注意：在数学中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，合情推理不能用

作证明．

【典型例题】

类型一、归纳推理

例 1 ．用推理的形式表示等差数列 1 ， 3 ， 5 ， … ，（ 2 － 1 ）， …

的前项和的归纳过程 .

【思路点拨】依题意，表示数列的前项和，即 S n= 1 + 3 + 5

+ … + （ 2 － 1 ） . 为此，我们先根据该公式，算出数列的前几项，通过

观察进一步归纳得出与的对应关系式 .

【解析】

对等差数列 1 ， 3 ， 5 ， … ，（ 2 － 1 ）， … 的前 1 ， 2 ， 3 ，

4 ， 5 ， 6 项的和分别进行计算：

；

；



；

；

；

；

观察可得，前项和等于序号的平方，由此可猜想 .

【总结升华】

① 本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概

括出整体的情况，是典型的归纳推理 .

② 归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规

律性的猜想，是数学研究的基本方法之一 .

③ 归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明 . 在归纳

猜想数列的前项和公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一

项与对应的项数之间的关系 .

④ 虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，

由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的 .

举一反三：

【变式 1 】在数列中， a 1 =1 ，且，计算 a 2 ，

a 3 ， a 4 ，并猜想的表达式 .

【答案】，， … … ，猜想： .

【变式 2 】已知正项数列 {a n } 满足．求出 a 1 ， a 2 ，

a 3 ， a 4 ，并推测 a n ．



【答案】令 n=1 ，则，即， ∴ 。又 a 1 ＞

0 ，

∴ a 1 =1 。

令 n=2 ，则，即， ∴ ，

∴ ，即 (a 2 +1) 2 =2 。 ∵ a 2 ＞ 0 ，

∴ 。

令 n=3 ，则， ∴ ，即。

∴ ，即， ∵ a 3 ＞ 0 ，

∴ 。

当 n=4 ，则， ∴ ，即

，

∴ ，即。 ∵ a 4 ＞ 0 ，

∴ 。

∴ ，

，

，



。

归纳可得（ n ∈ N* ）。

例 2 ．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第 n 个图形由 n 个正方形组成：

通过观察可以发现：第 4 个图形中，火柴杆有 ________ 根；第 n 个图形中，

火柴杆有 ________ 根．

【解析】第一个图形有 4 根，第 2 个图形有 7 根，第 3 个图形有 10 根，

第 4 个图形有 13 根 …… 猜想第 n 个图形有 3n ＋ 1 根．

【总结升华】几何问题应先抽取出其中的数据，再观察这组数据的外在或内在规

律。本题中的前四个数的规律是成等差数列，故可归纳。

举一反三：

【 401470 例题 1 】

【变式 1 】根据给出的数塔猜测 123456×9+7 等于

1×9+2=11

12×9+3=111

123×9+4=1111

1234×9+5=11111

……

【答案】 1111111 。根据数塔中的位数规律可得。

【变式 2 】平面内的１条直线把平面分成 2 部分， 2 条相交直线把平面分成

4 部分， 3 条相交但不共点的直线把平面分成 7 部分，则 n 条彼此相交而无

三条共点的直线，可把平面分成多少部分？

【答案】一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成 4 部

分，三条直线最多可以把平面分成 7 部分，四条直线最多可以把平面分成 11 部

分，可以发现，两条直线时多了 2 部分，三条直线比原来多了 3 部分，四条直



线时比原来多了 4 部分， … ， n 条时比原来多了 n 部分．

因为 n=1 ， a 1 =1+1 ，

n=2 ， a 2 =a 1 +2 ，

n=3 ， a 3 =a 2 +3 ，

n=4 ， a 4 =a 3 +4 ，

…

n=n ， a n =a n -1+n ，

以上式子相加整理得， a n =1+1+2+3+…+n=1+ =

【 401470 例题 1 】

【变式 3 】根据图中 5 个图形及相应点的个数的变化规律 , 试猜测第 n 个图

中有个点 .( )

A. B. C.n+1 D.

【答案】 D

第 (2) 个图形 , 中间有 1 个点 , 另外的点指向两个方向 , 每个方向一个

点 , 共有

个点 ;

第 (3) 个图形 , 中间有 1 个点 , 另外的点指向三个方向 , 每个方向两个

点 , 共有个点 ;

第 (4) 个图形 , 中间有 1 个点 , 另外的点指向四个方向 , 每个方向三个




第 (5) 个图形 , 中间有 1 个点 , 另外的点指向五个方向 , 每个方向四个


……

由上面的变化规律 , 可猜测 , 第 n 个图形中心有 1 个点 , 另外的点指向 n

个方向 , 每个方向 n-1 个点 , 共

有 n(n-1) 个点 .

类型二：类比推理

例 3. 已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面

体，类似的结论是 ______.

【思路点拨】从方法的类比入手。

【解析】原问题的解法为等面积法，即，类比问题

的解法应为等体积法，即正四面体的内切球的半

径是高的

【总结升华】类比推理不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，本题的类

比推理为：平面向空间类比，低维向高维类比。

举一反三：

【变式】在中，若，则，请在立体几何中，

给出类似的四面体性质 .

【答案】考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有 3 个面

两两垂直的四面体，且三个面与面所成的二面角分别是

，，，类比直角三角形的性质猜想四面体的性质 .



如图所示，在中， . 于是把结

论类比到四面体中，若三个侧面、、两两互

相垂直且分别与底面所成的角为，，，则 .

例 4 ．设，利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的

方法，可求得的值为 ________ 。

【思路点拨】）本题明确要求应按课文推导等差数列前 n 项和的方法 —— 倒

序相加法来解题，所以可依此类比实验。

【解析】设， ①

则， ②

易证明。

① + ② 得，

得，即。

【总结升华】本类型题解题的关键在于，在解题方法（或公式）中，获得

使用方法（或公式）的启示，或推导方法（或公式）的手段，从而指导解决新问

题。

举一反三：

【变式】通过计算可得下列等式：

2 2 － 1 2 =2×1+1 ，



3 2 － 2 2 =2×2+1

4 2 － 3 2 =2×3+1 ，

……

(n+1) 2 － n 2 =2×n+1 。

将以上各等式两边分别相加得： (n+1) 2 － 1 2 =2(1+2+…+n)+n ，

即。

（ 1 ）类比上述求法，请你求出 1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 的值。

（ 2 ）根据上述结论试求 1 2 +3 2 +5 2 +…+99 2 的值。

【答案】（ 1 ） ∵ 2 3 － 1 3 =3×1 2 +3×1+1 ，

3 3 － 2 3 =3×2 2 +3×2+1 ，

4 3 － 3 3 =3×3 2 +3×3+1 ，

……

(n+1) 3 － n 3 =3×n 2 +3×n+1 。

将以上各式两边分别相加得

(n+1) 3 － 1 3 =3(1 2 +2 2 +…+n 2 )+3(1+2+…+n)+n ，

∴ 。

（ 2 ） 1 2 +3 2 +5 2 +…+99 2

=1 2 +2 2 +3 2 +…+100 2 ―(2 2 +4 2 +6 2 +…+100 2 )

=1 2 +2 2 +3 2 +…+100 2 ―4(1 2 +2 2 +3 2 +…+50 2 )

= ×100×101×201 － 4× ×50×51×101=166650 。

类型三：演绎推理

例 5. 用三段论的形式写出下列演绎推理．

（ 1 ）菱形的对角线互相垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线互相垂

直．



（ 2 ）若两个角是对顶角，则此两角相等，所以若 ∠ 1 和 ∠ 2 不相等，

则 ∠ 1 和 ∠ 2 不是对顶角．

（ 3 ）是有理数．

【解析】

（ 1 ）菱形的对角线互相垂直（大前提）

正方形是菱形（小前提）

正方形的对角线互相垂直（结论）

（ 2 ）两个角是对顶角则两角相等（大前提）

∠ 1 和 ∠ 2 不相等（小前提）

∠ 1 和 ∠ 2 不是对顶角（结论）

（ 3 ）所有的循环小数都是有理数（大前提）

是循环小数（小前提）

是有理数（结论）

【总结升华】

在三段论中， “ 大前提 ” 提供了一般的原理， “ 小前提 ” 指出了一个特

殊的情况， “ 结论 ” 在大前提和小前提的基础上，说明一般原理和特殊情况

间的联系．我们早已能自发地使用三段论来进行推理，学习了三段论后我们要主

动地理解和掌握这一推理方法．

举一反三：

【变式】把下列演绎推理写成三段论的形式．

在一个标准大气压下，水的沸点是 100 ℃ ，所以在一个标准大气压下把水加热

到 100 ℃ 时，水会沸腾．

【答案】大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是 100 ℃ ；

小前提：在一个标准大气压下把水加热到 100 ℃ ；

结论：水会沸腾．

例 6. 已知：在空间四边形中，、分别为、的中点，

用三段论证明： ∥ 平面



【解析】连结

∵ 三角形两边中点的连线是三角形的中位线 ………… 大前提

而、分别两边、的中点， …… 小前提

∴ 是的中位线 .……………………………… 结论

∵ 三角形的中位线平行于第三边 ……………… 大前提

而是的中位线， ……………… 小前提

∴ ∥ .……………………………… 结论

∵ 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行

……………… 大前提

在平面外，在平面内，且 ∥ ， …… 小前提

所以 ∥ 平面 .……………………………………………… 结论

【总结升华】

① 三段论是演绎推理的一般模式，其中大前提是已知的一般原理，小前提是所

研究的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断 .

② 演绎推理是由一般到特殊的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所

界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的 . 因此在演绎推理中，只

要前提和推理形式正确，结论就必然正确 .

③ 归纳和类比是常用的合情推理 . 从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个

别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推



理 . 从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；

演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确 .

举一反三：

【变式 1 】有一位同学利用三段论证明了这样一个问题：

证明：因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形， ………… 大前提

而菱形是所有边长都相等的凸多边形， ………………………… 小前提

所以菱形是正多边形 .……………………………………………… 结论

（ 1 ）上面的推理形式正确吗？

（ 2 ）推理的结论正确吗？为什么？

【答案】上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为所有边长都相等，内

角也相等的凸多边形才是正多边形），所以所得的结论是错误的 .

【变式 2 】写出三角形内角和定理的证明，并指出每一步推理的大前提和小前

提 .

已知：中，求证： .

【答案】延长到，得的外角，过点在内作

∥

∵ 若两直线平行，则同位角相等、内错角相等， ………… 大前提

而 ∥ ， ………………………………………… 小前提

∴ .……………………………… 结论

由平角是， ………………………………………… 大前提



而＝是一个平角， ……………… 小前提

∴ …………………………… 结论

【变式 3 】函数 y ＝ f （ x ）在（ 0 ， 2 ）上是增函数，函数 y=f(x+2)

是偶函数，则 f(1),f(2.5),f(3.5) 的大小关系是 .

【答案】 ∵ 函数 y ＝ f （ x ）在（ 0 ， 2 ）上是增函数， ………………

大前提

由 0 ＜ x+2 ＜ 2 得 -2 ＜ x ＜ 0 ……………… 小前提

∴ 函数 y=f(x+2) 在（ -2 ， 0 ）上是增函数， ………………… 结论

又 ∵ 函数 y=f(x+2) 是偶函数， ……………… 小前提

∴ 函数 y=f(x+2) 在（ 0 ， 2 ）上是减函数 ………………… 结论

由图象可得 f(2.5)>f(1)>f(3.5). ………………… 结论

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