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书书书
第!
讲 形式逻辑的基本知识
余红兵
我们通常所说的逻辑学主要指形式逻辑!它是研究人们的思维方式及其规律的科学!
逻
辑学是一切推理的基础!一个不懂基础逻辑的学生是没有能力学好数学的!
这里!我们主要
介绍初等数学中所涉及的基本的逻辑知识!
!"!
命题的四种形式
判断一件事情的语句!称为命题!
它的假设事项称为前提!其断言称为结论!
一个命题可
以为真"称为真命题#!也可以为假"称为假命题#
!
在数学中!如果一个命题的真实性是证明
出来的!即由公理以及其他已由公理证明为真实的命题经过逻辑推理而得出!就称其为定
理!
此外!要表明一个命题不真的基本方法是作出一个符合命题的前提而命题的结论不成立
的实例!
命题有下述四种形式$
"
!
#原命题$若"
!则#
%
"
"
#逆命题$若#
!则"
%
"
#
#否命题$若"
!则#
"
"
是否定"
的意思!读作&
"
否'或&非"
'#%
"
$
#逆否命题$若#
!则"!
既然命题可真可假!那么上述四种命题之间的真假关系怎样呢(下面看几个例子!
例!
原命题$在三角形中!若两边相等!则对角也相等!
"真#
逆命题$在三角形中!若两角相等!则对边也相等!
"真#
否命题$在三角形中!若两边不等!则对角也不等!
"真#
逆否命题$在三角形中!若两角不等!则对边也不等!
"真#
例"
原命题$若两个整数都是偶数!则它们的和也是偶数!
"真#
逆命题$若两个整数的和为偶数!则这两个数都是偶数!
"假#
否命题$若两个整数不全是偶数!则它们的和不是偶数!
"假#
逆否命题$若两个整数的和不是偶数!则这两个数不全是偶数!
"真#
例#
原命题$若两个实数都是无理数!则它们的积也是无理数!
"假#
逆命题$若两个实数的积为无理数!则这两个实数都是无理数!
"假#
否命题$若两个实数不全是无理数!则它们的积不是无理数!
"假#
逆否命题$若两个实数的积不是无理数!则这两个实数不全是无理数!
"假#
从这些例子可以看出!原命题和逆命题)否命题和逆否命题可以都真!可以都假!也可以
一真一假!
但是!原命题和逆否命题!逆命题和否命题同真或同假!即是等价的!
!"#
充分必要条件
当一个命题及其逆命题都为真!即$"
!
#若"
!则#
%"
"
#若#
!则"
都真实时!我们说"
是#
成立的充分必要条件!
详细言之!如由"
能推出#
!称"
为#
成立的充分条件%如由#
又
能推出"
!称"
是#
成立的必要条件"自然!
#
是"
成立的充分条件#
!
例$
三角形为直角三角形的充分必要条件是一边的平方等于另两边的平方和!
例% $
%
#%&
是'()$
%
!
"
成立的充分"但不必要#条件!
!"$
三段论推理
前两节我们介绍了命题及其四种形式以及充分必要条件的概念!现在我们谈谈证明命
题的两种基本方法!即演绎法和归纳法!
大致地说!演绎法是用已知的普遍事理推断某特别
事理的成立!是从一般到特殊的推理%而归纳法则是从特殊事情的成立推出普遍事理的推理
方法!
下面我们主要介绍演绎法!
演绎法的核心就是所谓的三段论推理!
其形式是$首先认可一个一般事实!称为大前提!
然后提出一个和大前提有关系的特殊事情!叫作小前提!
最后根据这两个前提得出结论"即
作出判断#
!
例&
证明$方程$
"
&
"$
'
!
&
(
"
%
%
有两个不等的实根!
其中(
是异于零的实数!
证明 !大前提"若实系数二次方程的判别式大于零!则它有两个不等实根!
!小前提"所给的方程是实系数的二次方程!且它的判别式为$
$
&
$
"
!
&
(
"
#
%
$(
"
!
%
"因(
"
%
#
!
!结论"所以这个方程有两个不等的实根!
上面的三段推理具有以下一般的推理形式"也是初等数学中最常用的模式#$!大前提"
所有#
都是)
!!小前提"
"
是#
!!结论"因此"
是)!
例'
设(
是不等于!
的实数!证明$
*
%
$
&
!
($
&
!
的图像关于直线*
%
$
对称!
证明 !大前提"因*
%
+
"
$
#与它的反函数*
%
+
&
!
"
$
#的图像关于直线*
%
$
对称!
!小前提"
*
%
$
&
!
($
&
!
"
(
"
!
#的反函数就是它本身!
!结论"所以*
%
$
&
!
($
&
!
"
(
"
!
#的图像关于直线*
%
$
对称!
注 上面的小前提必须证明!请读者自己完成"#大前提也不应省略!
在应用三段论推理时!要特别注意$
*
!
* 高中数学竞赛教程
"
!
#大前提必须正确%
"
"
#小前提"通常要证明#必须证明%
"
#
#在应用上面的推理模式时!不可把大前提中的#
!
)
的位置颠倒"否则会犯&推不出'
的逻辑错误!即论据不足#
!
演绎推理通常包含若干步!每一步分析起来都是三段推理的形式!
它的过程实际上是一
串前后连贯的三段论推理!
但在进行论证时!为了使过程叙述简化!我们常把各步推论的两
个前提"通常是大前提#省略一个!
但要注意各个推理间的逻辑关系!以免犯逻辑错误!
!"%
反 证 法
有的命题往往不易从原命题直接证明!这时我们常常改为证明其逆否命题"注意这两者
等价#!也能间接地达到目的!
这个方法称为反证法!
详细地说!欲证明&若"
!则#
'而不易入
手时!可以改为证明其逆否命题&若#
!则"
'!即证明$
"
!
#
!以及已知公理!已知定理四者不
相容!
这样!结论一假便产生矛盾!
因此结论不能为假!从而必然为真"根据排中律!即两相矛
盾的事不能都是假的!必然一个为真#
!
用反证法论证时!正确地写出一个命题的否定形式是非常基本的事情!
例(
否定命题$
*
%
+
"
$
#的图像上任意!!
两个不同点的连线不平行!!!
于$
轴!
错解*
%
+
"
$
#的图像上任意两个不同点的连线平行于$
轴!
正解*
%
+
"
$
#的图像上存在!!
两个不同点的连线平行于!!!
$
轴!
本例中的命题即所谓的&全称命题'!其否定应为&特称命题'"&任意两个不同点'的
否定应是&存在两个不同点'#
!
下面例*
中的命题是&特称命题'!否定形式则是一个&全称
命题'
!
例)
否定命题$存在!!
一个四面体!从其任何!!
顶点引出的三条棱都不能!!
构成三角形!
解 应该将命题中打着重号的部分都否定掉!即&任意!!
四面体一定存在!!
一个顶点!从这
点引出的三条棱能!
构成三角形!
'
!"&
错误的推理
下面我们看几个错误推理的例子!
例!*
证明$边长分别为#
!
$
!
+
的三角形是直角三角形!
错证 "
!
#凡是直角三角形!必有一边的平方等于另两边的平方和!
"
"
#这个三角形中!
+
"
%
#
"
'
$
"
!所以有一边的平方等于另两边的平方和!
"
#
#所以这个三角形是直角三角形!
分析 证明中作为大前提"
!
#的结论本身虽是正确的!但推理不对!
它违反了前面说的
三段论的推理模式"将大前提中#
和)
的位置颠倒了#
!
正确的三段论推理应该以三边长构
*
"
*第!
讲 形式逻辑的基本知识
成直角三角形的充分条件!即将&若一个三角形中有一边的平方等于另两边的平方和!则它
是直角三角形'作为大前提!
例!!
设(
!
,
!
-
是一个三角形的三边长!证明$长为槡(!槡,!槡-的线段构成锐角三
角形!
错证 "
!
#设长为槡(!槡,!槡-的边所对的角依次为"
!
#
!
)!
"
"
#由于(
!
,
!
-
是三角形的三边长!所以有,
'
-
!
(!
于是
,-'"
%
"槡,#
"
'
"槡-#
"
&
"槡(#
"
"槡,-%
,
'
-
&
(
"槡,-!
%!
因此%
#
"
#
!
"
!
同理!
%
#
#
!
)
#
!
"
!故三角形"#)
是锐角三角形!
分析 问题中的结论包含两部分!其一要证构成三角形!其二才是证明它为锐角三角形
"与例!%
不同#
!
证明中的"
!
#实际上已承认了长为槡(!槡,!槡-的线段构成了三角形!
因此上
面的证明是不正确的!
例!"
证明$任给五个不同整数!必然能取出两个不同的整数!使它们的差为$
的倍数!
错证 !反证法""
!
#假设结论不对!则任取五个不同整数!它们任两个的差都不是$
的
倍数!
"
"
#现在取五个整数$
!
!
"
!
#
!
$
!
+
!但+
&
!
%
$
是$
的倍数!
与假设矛盾!故结论成立!
分析 错误在于"
!
#!命题的否定形式写错了!应该是&存在!!
五个不同整数!它们中任何!!
两个的差都不是!!
$
的倍数'
!
"
"
#中的例子只不过验证了结论的正确!
例!#
设$
"#)
为直角三角形!
%
)
是直角!
证明$
"#
"
%
")
"
'
#)
"
!
错证 !解析法"建立直角坐标系!取)
为坐标原点!
"
!
#
分别位于$
轴!
*
轴的正方向
上!
设"
"
(
!
%
#!
#
"
%
!
,
#!则")
%
(
!
#)
%
,!
由两点间距离公式!有
"#
"
%
"
(
&
%
#
"
'
"
%
&
,
#
"
%
(
"
'
,
"
%
")
"
'
#)
"
!
分析 证明犯了循环论证的错误!因为两点间的距离公式等价于勾股定理!用了距离公
式!无形中已承认了结论成立!
例!$
确定实数.
的范围!使方程$
"
'
"
".
&
!
#
$
'
.
"
%
%
有两个大于!
的根!
错解 设两根为$
!
!
$
"
!则有
$
!
'
$
"
!
"
!
$
!
$
"
!
!
+
!
即&
"
".
&
!
#
!
"
!
.
"
!
!
+
!
解得.
#
&
!
!就是所求的范围!
分析 问题的实质是确定所给方程的两根都大于!
时!
.
应满足的充分必要条件!
上面
解答中所列的$
!
'
$
"
!
"
$
!
$
"
!
+
!
仅是两根$
!
!
$
"
都大于!
的必要条件!并不充分!
我们应当先寻
找使$
!
!
$
"
都大于!
的充分必要条件!即
判别式%
"
".
&
!
#
"
&
$.
"
&
%
!
"
$
!
&
!
#
'
"
$
"
&
!
#
!
%
!
"
$
!
&
!
#"
$
"
&
!
#
!
%
'
(
)
!
解得.
#
&
"
!即为所求的范围!
例!%
证明$
*
%
$
"的图像上任两个不同点!或者关于*
轴对称!或者这两点的连线不
*
#
* 高中数学竞赛教程
平行于$
轴!
错证 如果图像上两个不同点"
"
$
!
!
*
!
#!
#
"
$
"
!
*
"
#关于*
轴对称!则"
!
#
连线显然
平行于$
轴!但图像上任两点的连线或者平行于$
轴或者不平行于$
轴!因此图像上任两个
不同点或者关于*
轴对称!或者它们的连线与$
轴不平行!
分析 两点关于*
轴对称是它们的连线平行于$
轴的充分条件!但非必要条件!
上述证
明并未说明$若图像上两点连线平行于$
轴!则这两点一定关于*
轴对称"论证的核心正在
于此#
!
正确的证明程序应是$证明图像上两个不同点关于*
轴对称的充分必要条件是它们的
连线平行于$
轴!
习题!
!!
写出命题#如果一条直线和一个平面内任何一条直线都垂直$则这条直线和这个平
面垂直%的逆命题&否命题及逆否命题!
"!
指出下述命题的符合逻辑的证明程序!
设有空间三个平面!
$
"
$
#
$设(
$
,
$
-
分别是!
和"
$
!
和#
以及"
和#
的交线$证明'
(
$
,
$
-
或者两两平行$或者相交于一点!
#!
指出下述命题的符合逻辑的证明程序!
设(
(
/
)!
/
是正整数"是等比数列$
(
/
都是实数$设0
/
%
(
!
'
*
'
(
/
!
/
&
!
"
!
证明'数
列(
0
/
)!
/
是正整数"中或者任一项都不是零$或者有无穷多个项都是零!
$!
命题#到三角形三顶点距离都相等的点一定是三角形的外心%是否正确+如果正确$
给出证明$否则举出反例!
+!
指出下面论证中的错误之处并给出正确证明!
证明'对角线相等的平行六面体是长方体!
错证'!
!
"长方体的对角线相等$它们都等于三边的平方和!
!
"
"所以不是长方体的平行六面体的对角线不相等!
!
#
"因此对角线相等的平行六面体是长方体!
*
$
*第!
讲 形式逻辑的基本知识
第"
讲 通过逻辑趣题学推理
余红兵
我们知道!在进行数学思考的时候!离不开逻辑推理!
因此锻炼自己的逻辑推理能力就
是非常必要的事情!
此外!有些看上去很难的数学问题!实际上只需要很少的数学知识!用逻
辑推理就能解答"但不见得人人都能想到#
!
下面我们通过一些趣味逻辑"和数学#的例题来
说明推理中的基本方法!
这些方法在解数学题时!也是经常使用的!
例!
有三个箱子!分别被涂上红)黄)蓝三种颜色!将一个苹果放入其中某个箱子内!
并且$
"
!
#红箱盖上写着&苹果在这箱子里'%
"
"
#黄箱盖上写着&苹果不在这箱子里'%
"
#
#蓝箱盖上写着&苹果不在红箱子里'
!
已知"
!
#!"
"
#!"
#
#中只有一句是真的!问苹果在哪个箱子里("如果判断对了!苹果就
归你!
#
解 关键在于"
!
#与"
#
#是矛盾的!
按&矛盾律'!两件矛盾的事!不能都是真的!必有一
假%按&排中律'!它们又不能都假!必有一真!
从而"
!
#!"
#
#中有一句真话)一句假话"但是还
不能判断哪一句为真#
!
既然真话只有一句!这样就推出"
"
#必然是假话!从而苹果在黄箱子里!
例" .
!
/
!
0
!
1
四人对2
先生的藏书数目作一个估计3
.
说$&
2
有+%%
本书3
'
/
说$&
2
至少有!%%%
本书3
'
0
说$&
2
的书不到"%%%
本3
'
1
说$&
2
最少有!
本书!
'
这四个估计中只有一句是对的!问$
2
先生究竟有多少本书(
解 首先!
.
说的不对!否则0
!
1
说的也对!与已知&只有一句是对的'矛盾!
同理!
/
说的也不对!否则1
就说对了!
注意到/
和0
的估计至少有一个是正确的!按已知条件又只有一个是对的!已证明了/
说的不对!所以0
必然对3
再由已知条件就推出1
的话不对!所以2
先生一本书也没有!
例#
一位妇女以及她的弟弟)儿子和女儿都是棋手!其中有一个最差的棋手与一个最
好的棋手!
已知$
"
!
#最差的棋手的孪生者和最好的棋手是异性%
"
"
#最差的棋手与最好的棋手同龄!
问$哪两个人同龄(
解 本题宜从推断谁是最差的棋手入手!
我们用.
表示这位妇女!她的弟弟)儿子)女儿
分别记为弟)子)女!
注意!最差的与最好的棋手各有一个!
如果.
最差!则弟为其孪生者!从而女最好"根据"
!
##!所以.
)女同龄"由"
"
##!矛盾3
如果弟最差!则.
为孪生者!从而子最好"由"
!
##!所以弟)子同龄!这样.
)子同龄"因.
和弟孪生#!矛盾!
如果女最差!则子为孪生者!所以.
最好!推出.
)女同龄!矛盾!
因此子是最差棋手!从而女为孪生者!所以弟是最好的棋手"由"
!
##%再由"
"
#!可知弟)
子同龄!
注 如果先考虑子#即设儿子是最差的棋手#推不出矛盾#并不能断定他就是最差的棋
手!
上面推导的逻辑是$最差的棋手或者是.
#或者是弟#或者是子#或者是女#我们证明不能
是.
%弟%女#从而必然是子!
例$
有姐妹两人"一胖一瘦#!在任一天中!姐姐在中午十二点之前都讲实话!而十二
点之后全说谎话!
妹妹和她恰好相反!
某人"在白天#看望她们时问$&哪位是姐姐('
瘦小姐和胖小姐都回答$&是我!
'
再问一次$&现在几点了('
胖小姐说$&快到十二点了!
'而瘦小姐却说$&十二点早过了!
'
问$当时是中午十二点前!还是十二点后(哪一位是姐姐(
解 假设当时是十二点后!那么下午要说假话的姐姐对于&哪位是姐姐'的回答应为&我
不是姐姐'"我们尚不知哪位是姐姐#
!
但当时没有得到这个回答!所以当时是十二点前!
假设瘦小姐是姐姐!那么她对&现在几点钟了'的回答应是真话&十二点快到了'!然而她
说了谎话!
所以瘦小姐不是姐姐!胖小姐才是姐姐!
注 一种错误的解法是$预先假定当时是十二点前且胖小姐是姐姐#验证了这个假设与
已知条件一致#就断言假设为真!
这种错误与数学证明中的下述错误推理类似!
已知"
#求证#!
错证!
设#
成立#则#
和"
不矛盾!或者符合"
"#从而#
成立!
错证"
设#
成立#则"
成立!
已知"
#所以#
成立!
&错证!
'错在&理由不充足'(&错证"
'实际上证明了逆命题#但这并不能保证原命题
成立!
例%
已知实数$
满足#
$
'
$
$
'
+
$
%
4
$
!
证明$
$
%
#!
证明 因为#
#
'
$
#
'
+
#
%
"!4
%
4
#
!故$
%
#
是方程的一个解!!!
!
另一方面!由于" #
#
4
$
!
" #
$
4
$
!
" #
+
4
$
均是$
的减函数"我们稍需一点数学知识#!因此当$
!
#
时!有
" #
#
4
$
'
" #
$
4
$
'
" #
+
4
$
#
" #
#
4
#
'
" #
$
4
#
'
" #
+
4
#
%
!
!
即此时#
$
'
$
$
'
+
$
#
4
$
!
同样!当$
#
#
时!有#
$
'
$
$
'
+
$
!
4
$
!
所以方程没有$
!
#
或
者$
#
#
的解!
我们已经证明了$
%
#
是解!
故这是仅有的一组解!
注 一种错误的证法是$在验证了$
%
#
适合问题中的等式后便断言结论正确!
这一
步骤只不过表明$
%
#
是等式成立的充分条件#不足以导出结论!
参见上例的注及我们的
解法!
例&
一个.
国旅行家首次来到甲)乙这两个相邻地区中的一地3
他知道这两地的居民
*
%
*第"
讲 通过逻辑趣题学推理
能听懂.
国的语言!但都不会讲!
并且!甲地居民有一个与其他地区不同的习惯$对你的询
问!他用摇头表示回答&对'!而用点头表示&不对'
!
现在旅行家遇到了一个居民"他可能是甲
地人!也可能是乙地人#!如果要了解自己处在两地中的哪一地!旅行家最少应问几个问题才
能确保达到目的(
解 如果旅行家精通逻辑学的话!问一句话就能确保达到目的$&你居住在此地吗('若
居民摇头!则旅行家身处甲地%若居民点头!则旅行家在乙地!
如果这位居民是甲地人!则他摇头意味着回答&对'"从而此地是甲地#%如果这位居民是
乙地人!则他摇头意味着回答&不对'"从而此地是甲地#
!
因这位居民或者是甲地人!或者是
乙地人!所以旅行家必然身处甲地!
同样可证明!若答话的居民点头!则旅行家必在乙地!
注 上面的推理称为&二难推理'#是一个很有用的推理形式#其最简单的模式为$
如果"
#那么)
(如果#
#那么)!
或者"
#或者#!
所以#
)!
例'
某国的居民不是骑士就是无赖!骑士不说谎!无赖永远说谎!
我们遇到该国居民
.
!
/
!
03.
说$&如果0
是骑士!则/
是无赖3
'
0
说$&
.
和我不同!一个是骑士!一个是无赖!
'
这三个人中!谁是骑士(谁是无赖(
解 我们证明.
不是骑士3
假如相反的话!当0
为骑士时!按0
的话"为真,#!
0
与.
应
不同!矛盾3
当0
为无赖时!
0
的话应不真!但此时的情况又符合0
所说的话!矛盾3
故.
一定
是无赖"二难推理,#
3
至此尚不知道0
是否为骑士3
这样!
.
的话应是假的!如果0
不是骑士!则.
的话中的前提为假!从而他的陈述永远为
真!矛盾3
所以!
0
是骑士3
再根据.
的话知!
/
也是骑士!
例(
证明$存在两个正无理数(
!
,
!使得(
,为有理数!
证明 我们熟知!槡"是一个无理数!
如果槡"槡"是有理数!则结论成立%如果槡"槡"不是有
理数!则它是无理数"排中律,#!这样!"槡"槡"#槡"%
"
就是有理数!结论也成立!
解答中的论证基于一个二难推理"请比较前面的模式及例4
)例5
#
!
应注意到!我们没有
确定槡"槡"究竟是有理数还是无理数!
例)
设0
为满足下列条件的有理数集合$
"
!
#若(
*
0
!
,
*
0
!则(
'
,
*
0
!
(,
*
0
%
"
"
#对任一个有理数1
!三个关系1
*
0
!
&
1
*
0
!
1
%
%
中有且仅有一个成立!
证明$
0
是由全体正有理数组成的集合!
证明 设1
"
%
为任一个有理数!则1
*
0
或者&
1
*
0
"根据条件"
"
##
!
再由"
!
#!若
1
*
0
!则1
"
*
0
%若&
1
*
0
!即1
"
%
"
&
1
#
*
"
&
1
#
*
0!
总之!
1
"
*
0!
"二难推理,#
取1
%
!
!则!
*
0!
由"
!
#!
"
%
!
'
!
*
0
!
#
%
!
'
"
*
0
!-!可知全体正整数都属于0!
设2
!
3
为两个正整数!则在上面的证明中取1
%
!
3
!即知!
3
"
*
0!
又我们已证明了23*
0
!
所以由"
!
#!
2
3
%
23
*
!
3
" #
"
*
0!
因此!
0
含有全体正有理数!
再由"
"
#知!
%
及全体负有理数不属于0!
即0
是由全体正有
理数组成的集合!
*
&'
* 高中数学竞赛教程
注 错误的证明是#假设0
由全体正有理数组成#验证此时条件!
!
"#!
"
"成立#便断言结
论的正确!
参见例$
的注!
例!*
某个俱乐部的成员有两种人$一种是永远说实话的老实人!另一种是总说假话
的骗子!.
先生去访问的时候!他们全都围着圆桌吃午饭!
他问每个人$&你是不是骗子('结
果每个人都回答$&不是!
'接着他又问每个人$&你左邻那人是不是老实人('结果回答仍全
是否定的!
.
先生回家后!忘了问他们共有多少人!就打电话问俱乐部主席!他回答说有"#
人3
挂上
电话后!
.
又想到忘了问主席是不是骗子!只好重打电话3
这一次!接电话的是个秘书3
他得
知.
先生的意思后说$&不!不,桌边应有"$
人!
我们的主席是个骗子!他的话怎么能信('
试确定这个俱乐部有多少人!
解 注意!秘书可能是一个骗子!
但明显地!主席和秘书一个是老实人!一个是骗子!
解题的关键是从.
先生的问话及得到的回答考虑!
第一个问题实际上没有意义!因为无
论是老实人还是骗子对&你是不是骗子'的回答都应是否定的"二难推理#
!
第二个问题得到了全部否定的回答!这表明圆桌边的人必然是骗子及老实人相互间隔
地排列!否则!总要有某个人作肯定的回答!
这样不难得知人数是偶数!
但主席说有"#
人!
"#
是一个奇数!从而推出主席必定是骗子!
因此秘书是老实人!而人数为"$
人!
下面的例!!
是一个较为困难的问题!
例!!
若干人聚会!其中某些人彼此认识!已知$
"
!
#若有两人认识的人数相等!则这两人没有共同的熟人%
"
"
#有人至少认识4$
个人!
证明$聚会者中必有一个人恰好认识4$
个人!
证明 论证的出发点是在聚会者中选择一个认识人数最多的人"若这样的人不止一个!
则选择其中任一个均可#!记为.3
设.
共认识/
个人!且他的熟人为/
!
!-!
/
/
!
现在/
!
!-!
/
/
中任两人都以.
为共同熟人!不满足"
!
#中的结论!从而也不满足"
!
#的
前提!即这两个人认识的人数不等3
另一方面!由我们对.
的选取可知!
/
!
!-!
/
/
中任一人
认识的人数不能超过"
.
的熟人数目#
/!
于是他们的熟人数目恰好是!
!
"
!-!
/!
进一步!由
"
"
#及.
的选取推知/
&
4$
!即数4$
出现在上述数列中!
这表明!
/
!
!-!
/
/
中有一人恰好认
识4$
个人!
习题"
!!
有四个立方体$每个立方体都按相同的顺序涂上黑&白&红&黄&蓝&绿六种颜色$现将
四个立方体重叠在一起$只能看见它们的部分颜色!图"!!
"
!
试从图"!!
$推断最上面一个立方体的下面&左面&后面各涂的是什么颜色!
"!.
$
/
$
0
$
1
$
2
五人参加一次考试$试题有七道$都是判断题$记分规则是'对每道题$
答对了得!
分$答错了倒扣!
分$不回答的不得分也不扣分!
图"!"
记录的是.
$
/
$
0
$
1
$
2
五
人做的答案$其中已知.
$
/
$
0
$
1
各得了"
分3
问'
2
应当得多少分+每个题目正确的答案
是什么+
#!
国际数学奥林匹克的评议会有#$
个国家参加$每个国家有领队和副领队各一人与
会$会前某些与会者握了手$但领队与他的副手不握手!
会后$
.
国领队问每个与会者$他们
*
''
*第"
讲 通过逻辑趣题学推理
的握手次数是多少+各人的回答都不相同3
问'
.
国的副领队与多少个人握了手+
图"!!
++++++
图"!"
*
('
* 高中数学竞赛教程
第#
讲 整 除 性
谢盛刚
第#
讲到第4
讲讨论的是整数的性质!
因此!在这四讲里用的西文字母!只要没有特别
声明的!都代表整数!
如果,
"
%
!且有(6,-
!我们就说,
整除(
!记成,
,
(
!称(
是,
的倍数!
,
是(
的约数
"或因子)因数#!
,
不整除(
记成, (!
$"!
唯一分解定理!最大公约数
如果一个大于!
的整数可以写成两个大于!
的整数的乘积!就称之为合数!否则称为质
数!!
既不是质数也不是合数!
定理!
任何大于!
的整数都可以表示成质数的乘积!
若不考虑这些质因子的次序!则
这种表示法还是唯一的!
定理!
是初等数论中最重要的定理!称为正整数的唯一分解定理或算术基本定理!
把正整数的质约数按大小次序排列!并将相同质约数的积用乘幂表示!就得到定理!
的
另一种说法$如果/
&
"
!则唯一地有
/
%
2
!
!
!
*
-
*
2
!
4
4
!
"
#!!
#
其中2
!
#
-
#
2
4
都是质数!
!
!
!-!
!
4
都是正整数!
式"
#!!
#通常称为/
的标准因子分解式!有时为了方便!还可以在标准因子分解式中添
加某些质数的零次幂!
定理"
设2
是质数!
2
,
(,
!则2
,
(
或2
,
,!
证明 设(,6
2
-
!将(
!
,
!
-
分解成质数的乘积!由唯一分解定理可知2
必是(
或,
的
质约数!
由式"
#!!
#可知!
/6
2
!
!
!
*-*
2
!
4
4
的正约数5
必可写成56
2
"
!
!
*-*
2
"
4
4
"
%
-"
6
-!
6
#
!
由于"
6
有!
6
7!
种不同的取法!所以5
的正约数的个数为5
"
/
#
6
"
!7
!
!
#*-*"
!7
!
4
#
!
设(
!
,
不同时为%
!它们至少有一个公约数!
!并且(
和,
的公约数必有最大的!称之
为(
和,
的最大公约数!记成"
(
!
,
#
!
如果"
(
!
,
#
6!
!就称(
与,
互质!显然"
!
!
(
#
6!!
设(6
2
!
!
!
*-*
2
!
4
4
!
,6
2
"
!
!
*-*
2
"
4
4
分别是(
和,
的标准因子分解式"这里!
6
!
"
6
可能是%
!但!
6
7
"
6
!
%
#!显然有"
(
!
,
#
6
2
#
!
!
*-*
2
#
4
4
!其中#
6
68()
"
!
6
!
"
6
#
!
(
和,
的正的公倍数中最小的那个称为(
和,
的最小公倍数!记成.
(
!
,
/
!
显然有
.
(
!
,
/
6
2
$
!
!
*-*
2
$
4
4
!其中$
6
689:
"
!
6
!
"
6
#
!
由上述可知$
"
!
#
(
!
,
的公约数都是"
(
!
,
#的约数%
"
"
#
(
!
,
的公倍数都是.
(
!
,
/的倍数%
"
#
#"
(
!
,
#.
(
!
,
/
6(,!
例!
证明$
(
"
(
!
,
#
!
,
"
(
!
,
" #
#
6!!
证明 若 (
"
(
!
,
#
!
,
"
(
!
,
" #
#
65
!则5
(
"
(
!
,
#
!所以5
"
(
!
,
#
,
(!
类似地!有5
"
(
!
,
#
,
,!
因此5
"
(
!
,
#是(
和,
的公约数!
由于"
(
!
,
#是最大公约数!必有56!!
例"
若"
(
!
,
#
6!
!则.
(
!
,
/
6(,!
证明 由"
(
!
,
#.
(
!
,
/
6(,
即得!
例#
若"
(
!
-
#
6!
!
(
,
,
!
-
,
,
!则(-
,
,!
证明 由唯一分解定理即得!
$"#
带 余 除 法
两个整数的和)差)积都是整数!而两个整数的商就不一定是整数了!
在算术中!有所谓
带余除法!就是用一个正整数去除一个整数可以得到一个商和一个余数!
例如!
!5*
除以#$
!
商+
余*
!写成式子就是!5*6+;#$7*!
用一般公式来表示!就是下面的定理!
定理#
设,
!
%
!则对整数(
!存在唯一的3
和1
!满足
(
%
,
3
'
1
!
%
-
1
#
,!
"
#!"
#
证明 取3
6
(
. /
,
表示不超过(
,
" #
的最大整数 !
16(<,
3
即可得到式"
#!"
#
!
又如果
3
!
!
1!
也满足式"
#!"
#!则有,
"
3
<
3
!
#
61!<1
!即,
,
1!<1
,
!但,
1!<1
,#
,
!故只有1!<1
6%
!即1!61
!因而3
!6
3
!
故唯一性成立!
在式"
#!"
#中!
3
称为(
除以,
的"不完全#商!
1
称为(
除以,
的余数!
特别地!当16%
时!
(6,
3
!即,
,
(
的情况!
用/
作除数!其余数1
有/
种可能的情况!即16%
!
!
!-!
/<!!
用"
作除数!余数为%
或!
!前者表示被除数是偶数!后者表示被除数是奇数!
例$
若/
是奇数!则=
,
"
/
"
<!
#
!
证明 设/6".7!
!则/
"
<!6=
*
.
"
.7!
#
"
!
由于.
或.7!
为偶数!所以.
"
.7!
#为
偶数!故.
"
.7!
#
"
为整数!因此=
,
"
/
"
<!
#
!
这个例子虽然简单!却格外有用!
例% /
个连续整数中恰有一个是/
的倍数!
证明 设这/
个数是7
!
77!
!-!
77/<!
!又令76/
3
71
"
%
-
1
-
/<!
#
!
当16%
时!
7
就是/
的倍数!
如果!
-
1
-
/<!
!则77/<1
就是/
的倍数!
由于/
的两个不同倍
*
!'
* 高中数学竞赛教程
数之差至少是/
!而/
个连续整数中任两数之差至多为/<!
!故其中不可能有两个/
的
倍数!
$"$
辗转相除法
用分解因式的方法求最大公约数说起来容易!但做起来往往很难!下面我们来介绍另一
种求最大公约数的方法000辗转相除法!
定理$
设(
!
,
不全为零!则$
"
!
#"
(
!
,
#
6
"
(
!
,<($
#
6
"
(<,$
!
,
#对任何$
都成立%
"
"
#存在$
!
*
!使($7,
*
6
"
(
!
,
#%
"
#
#若"
(
!
,
#
6!
!
(
,
,-
!则(
,
-!
证明 "
!
#设5
是(
和,
的公约数!则5
必是,<($
的约数!
反之!如5
是(
和,<($
的公约数!则5
必是,
的约数!
因此!
(
和,
的公约数集与(
和,<($
的公约数集相同!因而
它们的最大数必相等!
"
"
#设5
是形如($7,
*
的数中的最小正整数!令56($
%
7,
*
%
!
对任意的$
!
*
!由带余
除法!可得到
($
'
,
*
%
3
5
'
1
%
3
"
($
%
'
,
*
%
#
'
1
!
%
-
1
#
5!
"
#!#
#
因此
1
%
(
"
$
&
3
$
%
#
'
,
"
*
&
3*
%
#!
即1
也是形如($7,
*
的整数!
由5
的最小性!必有16%!
因此!
5
是所有形如($7,
*
的整
数的约数!
特别地!
5
是(
和,
的公约数!
又显然!"
(
!
,
#是56($
%
7,
*
%
的约数!
故只有
56
"
(
!
,
#!因而得到
($
%
'
,
*
%
%
"
(
!
,
#
!
"
#!$
#
式"
#!$
#称为裴蜀"
/>?-@A
#公式!在初等数论中有广泛的应用!
"
#
#由式"
#!$
#可知!存在$
%
!
*
%
!使($
%
7,
*
%
6!
!故-6(-$
%
7,-
*
%
!
由于(
,
,-
!故
(
,
"
(-$
%
7,-
*
%
#
6-!
定理$
"
!
#就是辗转相除法!
用它不但可以求出"
(
!
,
#!而且可以得出式"
#!$
#中的$
%
和
*
%
!
下面用实例说明其用法!
例&
求$
!
*
!使#"5$7!=%
*
6
"
#"5
!
!=%
#
!
解 "
#"5
!
!=%
#
6
"
#"5<!=%
!
!=%
#
6
"
!$5
!
!=%
#
6
"
!$5
!
!=%<!$5
#
6
"
!$5
!
##
#
6
"
!$5<$;##
!
##
#
6
"
!+
!
##
#
6
"
!+
!
##<";!+
#
6
"
!+
!
#
#
6#!
又
#
%
##
&
"
8
!+
%
##
&
"
"
!$5
&
$
8
##
#
%
*
8
##
&
"
8
!$5
%
*
"
!=%
&
!$5
#
&
"
8
!$5
%
*
8
!=%
&
!!
8
!$5
%
*
8
!=%
&
!!
8
"
#"5
&
!=%
#
%
"%
8
!=%
&
!!
8
#"5
!
故可取$6<!!
!
*
6"%!
注 在式!
#!$
"中用$
%
7,9
代替$
%
#用*
%
<(9
代替*
%
#则式!
#!$
"仍然成立#因此使式
*
"'
*第#
讲 整 除 性
!
#!$
"成立的$
#
*
不是唯一的#而是有无穷多对!
$"%
例 题
例'
设/
为大于!
的奇数!则
/
!
'
!
"
'
-
'
!
/
&
" #
!
"
/
&
!
#,
!
证明 设!
-
.
#
/
"
!则!
.
7
!
/<.
6
/
.
"
/<.
#
!故有
!
'
!
"
'
-
'
!
/
&
" #
!
"
/
&
!
#,
%
"
/
&
!
#,
.
/
&
!
"
.
%
!
!
.
'
!
/
&
" #
.
%
/
.
/
&
!
"
.
%
!
"
/
&
!
#,
.
"
/
&
.
#
!
由于.
号里的每一项都是整数!所以等式左端必是/
的倍数!
例(
设(
!
!
(
"
!-!
(
/7!
是不超过"/
的正整数!则必有6
"
:
!
!
-
6
!
:
-
/7!
!使
(
6
,
(
:
!
证明 由唯一分解定理可知!每一个(
6
都可以写成(
6
6"
.
6
,
6
"
" ,
6
#
!
由于,
6
是不超
过"/
的正奇数!而这种数又只有/
个!由抽屉原则可知,
!
!
,
"
!-!
,
/7!
中必有两个是相同
的!设它们是,
6
和,
:
!同时不妨设.
:
&
.
6
!于是(
6
,
(
:
!
例)
质数有无穷多个!
证明 用反证法!如果只有有限多个质数!设它们是2
!
!
2
"
!-!
2
4
!
令;6!7
2
!
-
2
4
!
由唯一分解定理!
;
可分解成质数之积!
所以必有某个2
9
,
;!
这是
不可能的!
例!*
求整数(
!使"
$<(
#"
$<!%
#
7!6%
有整数根!
解 设方程的两个根为,
!
-
!其中,
是整数根!
于是有
"
$
&
(
#"
$
&
!%
#
'
!
%
"
$
&
,
#"
$
&
-
#
!
"
#!+
#
将$
%
,
代入式"
#!+
#!则得
"
,
&
(
#"
,
&
!%
#
%&
!!
因此必有
,
&
(
%
!
!
,
&
!%
%&
!
! "
#!4
#
或
,
&
(
%&
!
!
,
&
!%
%
!!
"
#!5
#
由式"
#!4
#和式"
#!5
#!可知(6=
或!"!
例!!
在+%#
后面添三位数字!使所得六位数被5
!
*
!
!!
整除B
解5;*;!!64*#
!又
+%$%%%
%
4*#
8
5"5
'
!=*
%
4*#
8
5"4
'
=="
!
所以+%$%%%<!=*6+%#=!!
和+%$%%%<=="6+%#!!=
都是5
!
*
!
!!
的倍数!
*
#'
* 高中数学竞赛教程
例!"
设/
!
.
都是正整数!将/
个圆排成一圈!
依逆时针方向数!
!
"
!-!
.
!每数到.
时!就将数到的圆涂上红色!
证明$如果"
.
!
/
#
6!
!则数/
遍!就能将/
个圆都涂成红色%如
果"
.
!
/
#
!
!
!则总有未被涂上红色的圆!
证明 将这/
个圆按逆时针方向标上%
!
!
!-!
/<!
号!从编号为%
的圆开始数!设
7.
%
/
3
7
'
1
7
!
%
-
1
7
-
/
&
!!
显然!第1
7
号圆在第7
遍时被涂上红色!
若"
.
!
/
#
6!
!只要证明当!
-
6
#
:
-
/
时!必有1
6
"
1
:
就行了!
若不然!设有!
-
6
#
:
-
/
!
使1
6
61
:
!
于是有/
"
3
:
<
3
6
#
6.
"
:
<6
#!即/
,
.
"
:
<6
#!由于"
/
!
.
#
6!
!必有/
,
"
:
<6
#
!
但!
-
:
<6
-
/<!
!这是不可能的!
若"
.
!
/
#
65
!
!
!则1
7
67.</
3
7
!显然有5
,
1
7
!
所以只有编号为5
的倍数的那些
圆才能被涂上红色!
习题#
!!
设2
为质数$
!
-
.
-
2
<!
$则2
,
)
.
2
!
"!
若/
是大于*
的奇合数$则/
"
,
!
/<!
",
!
#!
证明'!
"
7
<!
$
"
/
<!
"
6"
!
7
$
/
"
<!!
$!
若/
槡(不是整数$则/
槡(是无理数!
+!
设2
为质数$则在/
,中2
的幂次数为 /
. /
2
7
/
2
. /
"
7
*
!
4!
设,
!
%
$则有1
$
3
使(6,
3
71
,
1
,-
,
" #
"
$若,
1
,"
,
"
$则这种表示法还是唯一的!
5!
设/
是一个奇合数$则/
个连续正整数的积必是它们的和的倍数!
=!
设有正整数(
$
,
使!
(,7!
"
,
!
(
"
7,
"
"
!
证明'
(
"
7,
"
(,7!
是平方数!
*!
设/
!
%
$求
<
%
/
'
!
. /
"
'
/
'
"
"
. /
"
'
*
'
/
'
"
.
&
!
"
. /
.
'
*
!
!%!
求+
和$*
的公倍数$使其恰有!%
个正约数!
*
$'
*第#
讲 整 除 性
第$
讲 同 余
谢盛刚
%"!
同余的概念和性质
在我们安排学习和休息的时候!并不去注意这一天是今年的第几天!而只考虑这一天是
星期几!
这无疑是很方便的!
因为只要把一周的七天安排好了!就等于把相当长的一段时间
也都安排好了!
这种思考方法就包含着同余的概念!
在数学中常遇到这样一类问题!它的解
答只与一些数被某个整数/
除后的余数有关!
余数相同就有同样的性质!
这样我们就不必去
考虑那个本来可能很复杂的数!而只需考虑一个很简单的数!
定义!
设/
!
%
!如果(
和,
被/
除后的余数相等!则称(
与,
关于模/
同余!记成
(
/
,
"
8-C/
#
!
"
$!!
#
有时!可以把式"
$!!
#简单记成
(
/
,
"
/
#
!
性质! (
/
(
"
8-C/
#
!
性质"
若(
/
,
"
8-C/
#!则,
/
(
"
8-C/
#
!
性质#
若(
/
,
"
8-C/
#!
,
/
-
"
8-C/
#!则(
/
-
"
8-C/
#
!
性质$ (
/
,
"
8-C/
#的充分必要条件是/
,
"
,<(
#
!
性质%
若(
/
,
"
8-C/
#!
-
/
5
"
8-C/
#!则(D-
/
,D5
"
8-C/
#
!
性质&
若(
/
,
"
8-C/
#!
-
/
5
"
8-C/
#!则(-
/
,5
"
8-C/
#
!
证明(-<,56
"
(<,
#
-7
"
-<5
#
,
!由性质$
可知!
/
,
"
(<,
#!
/
,
"
-<5
#!故
/
,
"
(-<,5
#
!
再利用性质$
!即得到(-
/
,5
"
8-C/
#
!
性质'
若7
,
/
!
(
/
,
"
8-C/
#!则(
/
,
"
8-C7
#
!
性质(
若5
是(
!
,
!
/
的公约数!又有(
/
,
"
8-C/
#!则(
5
/
,
5
8-C
/
" #
5
!
性质)
若(
/
,
"
8-C/
#!则"
(
!
/
#
6
"
,
!
/
#
!
证明 由性质$
可知,<(6/
3
!故"
,
!
/
#
6
"
,</
3
!
/
#
6
"
(
!
/
#
!
上述九个同余的性质都是很重要的!
读者务必熟悉它们!这里未证的!读者试自证之!
在许多教科书上!同余的定义是性质$
里的那个充分必要条件!
根据对模7
同余的关系!可以将全体整数分成7
个类!对模7
同余的数属于一个类!
称为模7
的一个同余类或剩余类!
由于用7
去除的余数可以是%
!
!
!-!
7<!
!所以一共有
7
个剩余类!剩余类的构造很简单!
.
所在的剩余类就是数集
"
.
%
+
7
3
'
.
!
3*
+
1!
它可以看成是两端无限的以7
为公差的等差数列!
显然%
!
!
!-!
7<!
分别属于不同的剩
余类!
由定义可知!
(
/
%
"
8-C/
#也就是/
,
(!
例!
设=
"
$
#是一个整系数多项式!若(
/
,
"
8-C/
#!则=
"
(
#
/
=
"
,
#"
8-C/
#
!
例"
一个十进制数与它的各位数字之和关于模*
同余!
证明 设
/
%
(
.
*
!%
.
'
(
.
&
!
*
!%
.
&
!
'
-
'
(
!
*
!%
'
(
%
!
%
-
(
6
-
*!
由于!%
/
!
"
8-C*
#!故!%
>
/
!
"
8-C*
#对任何>
&
%
都成立!所以
(
.
*
!%
.
'
-
'
(
!
*
!%
'
(
%
/
(
.
'
-
'
(
%
"
8-C*
#
!
由例"
可知!一个十进制数是*
的倍数的充分必要条件是!它的各位数字之和是*
的
倍数!
例#
若" /
!则/
"
/
!
"
8-C=
#
!
证明 由第#
讲的例$
即得证!
由性质!
"
性质4
可以看出!同余式的算术运算和等式的算术运算很相似!
在一个等式
的两端可以消去相同的非零的约数!
那么在同余式两端如果有同一个对模与%
不同余的数!
是不是也可以把它们消去呢( 答案是否定的!
例如#
*
#
/
#
"
8-C4
#!但是#
0
!
"
8-C4
#!也
就是说!虽然#
0
%
"
8-C4
#!但是不能在同余式两端把因数#
消去!
关于这一点!我们有下面
的定理!
定理!
若"
(
!
/
#
6!
!
(,
/
(-
"
8-C/
#!则,
/
-
"
8-C/
#
!
证明/
,
"
(,<(-
#
6(
"
,<-
#
!
又由于"
(
!
/
#
6!
!故/
,
"
,<-
#
!
也就是,
/
-
"
8-C/
#
!
定理!
告诉我们!如果一个同余式两端有一个公约数!则在它与模互质时!可以将它
约去!
定理"
若(
/
,
"
8-C/
#!
-
/
5
"
8-C/
#!"
-
!
/
#
6!
!
-
,
(
!
5
,
,
!则(
-
/
,
5
"
8-C/
#
!
证明 由假设可知-
*
(
-
/
5
*
,
5
/
-
*
,
5
"
8-C/
#
!
又因为"
-
!
/
#
6!
!由定理!
即得
(
-
/
,
5
"
8-C/
#
!
定理#
若"
(
!
/
#
6!
!则必存在(
!使得((
+
/
!
"
8-C/
#
!
证明 取(
和*
!使得((
+
7/
*
6!
即得!
在通常的算术中!如果((
+
6!
!就一定有(6
!
(
!也就是说(
是(
的倒数!
在同余的意义
下!
(
也可以看成是(
的倒数!只有与模互质的数才有倒数!
在算术中!
,
除以(
就是,
乘以(
的倒数!
在同余式中也是类似的!如果(
,
,
!"
(
!
/
#
6
!
!则有,
/
(
*
,
(
"
8-C/
#
!
在同余式两端同乘以(
!就得到,
(
/
,(
+
"
8-C/
#
!
*
%'
*第$
讲 同 余
%"#
完全剩余系
定义"
设/
&
!
!
(
!
!
(
"
!-!
(
/
关于模/
两两不同余!则称(
!
!-!
(
/
为模/
的一个完
全剩余系!简称为模/
的完系!%
!
!
!-!
/<!
称为模/
的最小非负完系!
显然!一个完系的/
个数分别属于模/
的/
个不同的剩余类!
例$
设/
!
%
!则必有一个/
的倍数(
!其十进制的各位数字为!
或%!
证明 考虑/7!
个数!
!
!!
!-!
!!
-
2
!
/7!
位
!
它们属于模/
的至多/
个剩余类!
由抽屉原则
可知!其中必有两个关于模/
同余!设这两个数是!
-
2
!
.
位
和!
-
2
!
>
位
"
.
#
>
#!取(6!
-
2
!
>
位
<!
-
2
!
.
位
6
!
-
2
!
><.
位
+
%
-
2
%
.
位
!显然有/
,
(!
例%
设/
&
"
!"
(
!
/
#
6!
!证明$必有!
-
1
-
/<!
!使(
1
/
!
"
8-C/
#
!
证明 考虑(
%
!
(
!
!-!
(
/<!这/
个数!
由于它们都和/
互质!所以它们都与%
不同余!
因此!这/
个数至多属于模/
的/<!
个剩余类!
故其中必有两个关于模/
是同余的!
设它
们是(
>和(
.
"
%
-
>
#
.
-
/<!
#
!
于是(
.
/
(
>
"
8-C/
#
!
由定理!
可知(
.<!
/
!
"
8-C/
#!取
16.<>
即可!
例&
设"
(
!
/
#
6!
!
1
是使(
1
/
!
"
8-C/
#成立的最小正整数!
(
>
/
!
"
8-C/
#!则1
,
>!
证明 设>61
3
79
"
%
-
9
#
1
#!则必有!
/
(
>
/
"
(
1
#
3
*
(
9
/
(
9
"
8-C/
#
!
由1
的最小
性质可知!
96%!
例+
和例4
告诉我们应该在哪里去寻找最小的正整数1
使(
1
/
!
"
8-C/
#!这在很多地
方都有用!
定理$
如果"
(
!
/
#
6!
!
(
!
!-!
(
/
是模/
的一个完系!则((
!
7,
!-!
((
/
7,
也是模
/
的完系!
证明 只要证明这/
个数关于模/
两两不同余就行了!
若有((
6
7,
/
((
:
7,
"
8-C/
#!则由于"
(
!
/
#
6!
!故必有(
6
/
(
:
"
8-C/
#
!
由于
(
!
!-!
(
/
是完系!所以必须有66
:
!
例'
设(
!
!-!
(
/
是/
个给定的数!则其中必有某些数的和是/
的倍数!
证明 令0
.
6(
!
7
-
7(
.
"
!
-
.
-
/
#
!
如果这/
个和中有一个是/
的倍数!则结论已
经成立!
如果0
.
0
%
"
8-C/
#"
.6!
!-!
/
#!则其中必有两个属于模/
的同一个剩余类!设
它们是0
.
和0
>
"
.
#
>
#
!
于是0
>
<0
.
6(
.7!
7
-
7(
>
就是/
的倍数!
定理%
"费马定理# 设2
是质数!则/
2
/
/
"
8-C
2
#
!
证明 当2
,
/
时!显然!
如果2
/
!即"
2
!
/
#
6!!
考虑/
!
"/
!-!"
2
<!
#
/
!显然它们都与2
互质!
又由于
%
*
/
!
!
*
/
!-!"
2
<!
#
/
是模2
的一个完系!
所以!
*
/
!
"
*
/
!-!"
2
<!
#
/
这2
<!
个数
关于模2
互不同余!并且不与%
同剩余类!
所以有"
!
*
/
#*"
"
*
/
#*-*""
2
<!
#*
/
#
/
!
*
"
*-*"
2
<!
#"
8-C
2
#!消去同余式两边的公约数!即得到
/
2
&
!
/
!
"
8-C
2
#
!
"
$!"
#
*
&(
* 高中数学竞赛教程
由例4
可知!要求最小正整数1
使(
1
/
!
"
8-C/
#!只要在2
<!
的因数中去找就行了!
例(
"威尔逊定理# 设2
为质数!则
"
2
&
!
#,
/
&
!
"
8-C
2
#
!
"
$!#
#
证明2
%
"
!
#
时是显然的!
设2!
#
!对任意"
-
(
-2
&
"
!必有(
"
"
-
(
-2
&
"
#!
使((
/
!
"
8-C
2
#
!
可以证明(
0
(
"
8-C
2
#!否则有(
"
/
!
"
8-C
2
#!即"
(
'
!
#"
(
&
!
#
/
%
"
8-C
2
#!即(
/
?
!
"
8-C
2
#!这与假设"
-
(
-2
&
"
相矛盾!
因此可以将"
!
#
!-!
2
&
"
按(
和(
配成2
&
#
"
对数!
这样就有"
*
#
*
-
*
"
2
&
"
#
/
!
"
8-C
2
#!又2
&
!
/
&
!
"
8-C
2
#!
所以"
2
&
!
#,
/
&
!
"
8-C
2
#
!
威尔逊定理的逆定理也是成立的!因为我们有下面的例题!
例)
若/
为大于+
的合数!则"
/<!
#,
/
%
"
8-C/
#
!
证明 设/6/
!
/
"
"
"
-
/
!
-
/
"
#!显然/
"
&
#!
由于/<!
&
#/
!
<!
!
"/
!
!故!
!
"
!-!
/<!
中至少有两个数是/
!
的倍数!其中必有一个不等于/
"
!所以!
!
"
!-!
/<!
中有两个
分别是/
!
和/
"
的倍数!所以/
!
/
"
,
"
/<!
#,!也就是"
/<!
#,
/
%
"
8-C/
#
!
%"$
例 题
例!*
设/
!
7
&
!
!
!*5=
7 和!*5=
/ 的末三位数字相同!试求7
和/
!使77/
最小!
解 由题设可知
!*5=
/
&
!*5=
7
/
!*5=
7
"
!*5=
/
&
7
&
!
#
/
%
"
8-C"
#
*
+
#
#
!
"
$!$
#
由于/
!
7
!故!*5=
/<7
<!
是奇数!所以"
#
,
!*5=
7
!
因此7
&
#!
由式"
$!$
#可知
!*5=
/
&
7
/
!
"
8-C+
#
#
!
"
$!+
#
先对式"
$!+
#用+
做模!得到
!
/
!*5=
/
&
7
/
#
/
&
7
"
8-C+
#
!
容易算出使#
1
/
!
"
8-C+
#的最小正整数1
%
$
!因此/
&
7
%
$9!
用"+
做模!又有
!
/
!*5=
/
&
7
/
#
$9
/
=!
9
/
"
!
'
=%
#
9
/
!
'
=%9
"
8-C"+
#
!
"
$!4
#
由式"
$!4
#可知"+
,
=%9
!故+
,
9
!所以/<76"%.!
现在回到式"
$!+
#!由/
&
7
%
"%.
!有
!
/
!*5=
"%.
/
#
"%.
/
=!
+.
/
"
!
'
=%
#
+.
/
!
'
$%%.
"
8-C!"+
#
!
"
$!5
#
由式"
$!5
#可知!"+
,
$%%.
!即+
,
.
!因此!
/<76!%%4!
因为/
&
7
最小为!%%
!
7
最小为#
!故/
'
7
%
/
&
7
'
"7
最小为!%4!
这时!
7
%
#
!
/
%
!%#!
例!!
有"/
张扑克牌!每次洗牌都按同样的方式进行$上面/
张放在左手!下面/
张
放在右手!右手的牌依次盖在左手的一张牌上!
证明$至多经过"/
次洗牌!必可使牌的顺序
还原!
证明 把牌从上到下编成!
!
"
!-!
"/
号!设第.
号牌经过>
次洗牌后成为第.
>
张!
只需
*
'(
*第$
讲 同 余
证明存在!
-
>
-
"/
!使.
>
%
.
对所有.
%
!
!
"
!-!
"/
都成立!
当!
-
.
-
/
时!经过一次洗牌!从上往下数的第.
张牌成为第".
张!而第/
'
.
张则
成为第".
&
!
张!因为".
&
!
%
"
"
/
'
.
#
&
"
"/
'
!
#
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因此总有
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'
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".
>
"
8-C"/
'
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#
!
也就是说!对任何!
-
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!
>
-
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都有
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>
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"
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8-C"/
'
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因为"
"
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"/
'
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#
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!由例+
可知!存在!
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"/
!使
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"
8-C"/
'
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#
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对这个>
!就有
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>
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"
8-C"/
'
!
#!
对!
-
.
-
"/
都成立!
因为.
和.
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都不超过"/
!所以.
>
%
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例!"
设$$$$
$$$$的各位数字之和为"
!
"
的各位数字之和为#
!求#
的各位数字
之和!
解 设#
的各位数字之和为)
!则
"
/
#
/
)
/
$$$$
$$$$
/
!4
$$$$
/
"
&
"
#
$$$$
/
"
#
8
!$=!
'
!
/
"
&
!
#
!$=!
8
"
/
5
"
8-C*
#
!
"
$!=
#
又
$$$$
$$$$
#
"
$!+
8
!%
#
#
$$$$
#
"
!%
"
#
8
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#
#
$$$$
#
!%
!4#%%
!
故$$$$
$$$$至多!4#%%
位!因此"
-
!4#%%;*6!$45%%
!所以#
-
+;*6$+
!于是)
-
!"!
由式"
$!=
#可知)65!
例!#
设质数2
"
"
!
+!
证明$在数列!
!
!!
!
!!!
!-中有无穷多个2
的倍数!
证明 如2
6#
!则!!
-
2
!
#.
位
都是#
的倍数!
若2
&
5
!由费马定理可知
!%
2
&
!
/
!
"
8-C
2
#!
因此
!%
>
"
2
&
!
#
/
!
"
8-C
2
#
!
取.6>
"
2
<!
#!则2
,
"
!%
.
<!
#
!
由于"
*
!
.
#
6!
!所以
2
!%
.
&
!
*
%
!!
-
2
!
#.
位
!
习题$
!!
设2
为质数$
(
2
/
,
2
!
8-C
2
"
!
证明'
(
2
/
,
2
!
8-C
2
"
"
!
"!
证明'在!!
$
!!!
$*中没有平方数!
#!
设/6$.7"
$
,
$
6
,
6!
$证明'
$
!
7"$
"
7
*
7/$
/
"
%!
$!
设2
为奇质数$证明'
"
2
<!
的质因数有形式"
2
$7!!
+!
求5
5
1
5
!
.
重幂$
.
&
!
"的末两位数字!
4!
设/
!
,
!
"
/
"
<!
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"
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#
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,
!
"
/
.
<!
"$
/
.
,
!
"
/
!
<!
"
!
证明'
/
!
6/
"
6
*
*
((
* 高中数学竞赛教程
%/
/
6!!
5!
设2
为奇质数$
2
(,!
证明'必存在%
#
$
#
槡2
$
%
#
*
#
槡2
$使(
"
$
"
/
,
"
*
"
!
8-C
2
"
!
=!
设$
%
6$
!
6!
$
$
/7!
6$
/
7"$
/<!
$
*
%
6!
$
*
!
65
$
*
/7!
6"
*
/
7#
*
/<!
!
证明'
$
!
$
$
"
$*$
*
!
$
*
"
$*中没有相同的数!
*!
设2
为奇质数!
证明'在!
$
"
$*$
2
<!
中恰有2
<!
"
个关于模2
与一平方数同余!
!%!
设2
为奇质数$
(
!
$*$
(
2
和,
!
$*$
,
2
是模2
的两个完系$证明'
(
!
,
!
$*$
(
2
,
2
不是模2
的完系!
!!!
一种由两人进行的游戏$规则如下'两人轮流在一堆棋子中取走!
"
/
!
/
!
!
"枚$取
走最后一枚棋子的人为胜方!
问'在什么情况下$先取方可以必胜+
*
)(
*第$
讲 同 余
第%
讲 不 定 方 程
谢盛刚
不定方程是初等数论中最有趣的内容!解不定方程不但要熟知初等数论的基础知识!还
要能十分灵活巧妙地加以运用!
一个方程摆在面前往往令人一筹莫展!一旦柳暗花明!顺利
解决!又不禁令人拍案叫绝!欣喜若狂!
这正是其魅力所在!
&"!
二元一次不定方程
二元一次不定方程是指方程
($
'
,
*
%
-!
"
+!!
#
定理!
方程式"
+!!
#有解的充分必要条件是"
(
!
,
#
,
-!
如"
$
%
!
*
%
#是式"
+!!
#的一组
解!则
$
%
$
%
'
,
"
(
!
,
#
9
!
*
%
*
%
&
(
"
(
!
,
#
9
!
9
*
+
"
+!"
#
是式"
+!!
#的全部解!
证明 先证充分性!
当"
(
!
,
#
6!
时!取$
%
!
*
%
使($
%
7,
*
%
6!!
于是"
-$
%
!
-
*
%
#就是式
"
+!!
#的一组解!
一般当"
(
!
,
#
,
-
时!由于 (
"
(
!
,
#
!
,
"
(
!
,
" #
#
6!
!由上述可知!方程
(
"
(
!
,
#
$
'
,
"
(
!
,
#
*
%
-
"
(
!
,
#
"
+!#
#
有解!显然式"
+!#
#和式"
+!!
#是同解方程!
再证必要性!如"
$
%
!
*
%
#是式"
+!!
#的一组解!则($
%
7,
*
%
6-!
显然要有"
(
!
,
#
,
-!
显然式"
+!"
#都是式"
+!!
#的解!如果"
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!
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*
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#是式"
+!!
#的解!则有
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由于 (
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(
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" #
#
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!故 ,
"
(
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,
#
"
$
!
&
$
%
#!即有
$
!
%
$
%
'
,
"
(
!
,
#
9!
因而
*
!
%
*
%
&
(
"
(
!
,
#
9!
例!
求"$$
'
!+
*
%
!!!
的正整数解!
解 方程等价于
=$
'
+
*
%
#5!
"
+!$
#
由辗转相除法容易得到=;"<+;#6!!
所以"
";#5
!
<#;#5
#
6
"
5$
!
<!!!
#是式"
+!$
#
的一组解!
由式"
+!"
#可知!式"
+!$
#的一般解是
$
%
5$
&
+9
!
*
%&
!!!
'
=9!
取9
使$
!
%
!
*
!
%!
于是5$
+
!
9
!
!!!
=
!只有96!$
!所以$6$
!
*
6!
是式"
+!$
#的唯一正
整数解!
定理"
设(
!
%
!
,
!
%
!"
(
!
,
#
6!
!则当-
!
(,<(<,
时!方程
($
'
,
*
%
-
"
+!+
#
有非负整数解!
当-6(,<(<,
时!式"
+!+
#无非负整数解!
证明 设"
$
%
!
*
%
#是式"
+!+
#的一组解!则式"
+!+
#的解为
$
%
$
%
'
,9
!
*
%
*
%
&
(9!
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使%
-
*
-
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"即9
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除*
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的商#!于是当-
!
(,<(<,
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*
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-<,
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#
!
<(!
故$
!
<!
!即$
&
%!
若有$
&
%
!
*
&
%
使($7,
*
6(,<(<,
!则有(,6(
"
$7!
#
7,
"
*
7!
#
!
由于"
(
!
,
#
6!
!
所以(
,
"
*
7!
#!
,
,
"
$7!
#
!
又因为$7!
!
%
!
*
7!
!
%
!故必有*
7!
&
(
!
$7!
&
,!
因而
(,6(
"
$7!
#
7,
"
*
7!
#
&
"(,
!这是不可能的!
&"#
勾 股 数
中国工匠很早就知道勾三)股四)弦五!并用这个道理来画直角!
一般!把满足方程
$
"
'
*
"
%
@
"
"
+!4
#
的一组整数称为一组勾股数!
由式"
+!4
#可以看出!只要求出它的全部非负整数解就行了!
又如果已经求出式"
+!4
#的
所有满足"
$
!
*
#
6!
的解!其他的解也都可以求出来!这种解称为本原解!
下面我们就来求式
"
+!4
#的非负本原解!
解不定方程的一种常用方法是!假定已经求出了方程的解!再根据方程的限制来看这些
解应具有的性质!
设"
$
!
*
!
@
#是式"
+!4
#的非负本原解!
因为"
$
!
*
#
6!
!故$
!
*
中必有一个是奇数!
由式"
+!4
#!它们不能都是奇数!因若不然!
则@
是偶数!于是有
$
"
/*
"
/
!
"
8-C$
#!
$
"
'
*
"
/
"
"
8-C$
#!
+
@
"
/
%
"
8-C$
#
!
这样就不可能有$
"
7
*
"
6@
"
!
*
"(
*第+
讲 不 定 方 程
设"
,
$
!
"
*
!
由式"
+!4
#可知
$
" #
"
"
%
@
&
*
"
*
@
'
*
"
!
"
+!5
#
由于
@
&
*
"
!
@
'
*
" #
"
% @
!
@
'
*
" #
"
-
"
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'
*
#
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"
*
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#
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!
!
由式"
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#可知必有
@
'
*
"
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A
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@
&
*
"
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B
"
!
$
"
%
AB
! "
+!=
#
这里A
!
B
!
%
!"
A
!
B
#
6!!
由式"
+!=
#可知
$
%
"AB
!
*
%
A
"
&
B
"
!
@
%
A
"
'
B
"
!
A
!
B
!
%
! "
A
!
B
#
%
!!
又因为@
是奇数!所以必须A
!
B
一奇一偶!
综上所述!式"
+!4
#的所有非负本原解中$
为偶
数的那些是
$
%
"AB
!
+
*
%
A
"
&
B
"
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%
A
"
'
B
"
"
+!*
#
"
A
!
B
!
%
!"
A
!
B
#
6!
!
A
!
B
一奇一偶#
!
例"
证明$
$
$
7
*
$
6@
"没有正整数解!
证明 用反证法!
如果方程有正整数解!
设"
$
%
!
*
%
!
@
%
#是它的正的本原解中@
值最小的
那个!
于是"
$
"
%
!
*
"
%
!
@
%
#就是一组正的本原勾股数!
由式"
+!*
#可知!必有A
!
B
!
%
!"
A
!
B
#
6!
!
A
!
B
一奇一偶!使得
$
"
%
%
"AB
!
*
"
%
%
A
"
&
B
"
!
@
%
%
A
"
'
B
"
!
由"
A
!
B
#
6!
及A
"
6
*
"
%
7B
"可知A
为奇数!
B
为偶数!
再由式"
+!*
#!又知2
!
3
!
%
!"
2
!
3
#
6!
!
2
!
3
一奇一偶!使得
*
%
%
2
"
&
3
"
!
B
%
"
23
!
A
%
2
"
'
3
"
!
于是
$
%
" #
"
"
%
23
"
2
"
'
3
"
#
!
容易证明!
2
!
3
和2
"
7
3
"两两互质!因而有正整数1
!
4
!
9
!"
1
!
4
#
6!
!使2
61
"
!
3
64
"
!
2
"
7
3
"
69
"
!从而
1
$
'
4
$
%
9
"
!
于是又得到方程的一组正的本原解"
1
!
4
!
9
#
!
但
9
%
2
"
'
3
槡 "
%
槡A#
$
@槡 %
#
@
%
!
这与@
%
最小相矛盾!
例"
所用的方法叫无穷递降法!
&"$
例 题
用初等方法解不定方程!需要熟悉初等数论的基本内容!还要能灵活地加以运用!并与
*
#(
* 高中数学竞赛教程
恒等变形)估计不等式等技巧配合起来才能奏效!
这里举几个例题!希望读者能举一反三!
例#
求正整数.
!
/
!使!
,
'
"
,
'
-
'
/
,
%
.
"
!
解 直接计算可得.
%
/
%
!
和.
%
/
%
#
两组解!
当/
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$
时!有
!
,
'
"
,
'
-
'
/
,
/
!
'
"
'
4
'
"$
/
#
"
8-C+
#!
但平方数对于模+
仅能与%
!
!
!
$
之一同余!
所以方程只有最初提到的那两组解!
例$
求方程
"
/
&
!
%
*
.
"
+!!%
#
的正整数解!
解/6
*
6!
!
.
为任意正整数是方程的解!
.6!
!
*
6"
/
<!
!
/
为任意正整数也是式"
+!!%
#的解!
.
!
!
!
/
!
!
时显然/
"
"!
所以/
!
"
!这里.
必是奇数!因若不然!则.
为偶数!于是
"
/
&
!
/
&
!
"
8-C=
#!
*
.
/
!
"
8-C=
#
!
这是相矛盾的!
由于.
是奇数!所以
"
/
%
"
*
'
!
#"
*
.
&
!
&
*
.
&
"
'
-
&
*
'
!
#
!
"
+!!!
#
由于*
.<!
<
*
.<"
7
-
<
*
7!
是.
个奇数之和!与式"
+!!!
#左端比较可知只有.6!!
可见方程式"
+!!%
#只有前面提到的那些解而没有.
!
!
!
/
!
!
的解!
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求解不定方程
$
#
'
*
#
'
@
#
%
#$
*
@!
"
+!!"
#
解 由式"
+!!"
#可知
$
#
'
*
#
'
@
#
&
#$
*
@
%
"
$
'
*
'
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#"
$
"
'
*
"
'
@
"
&
$
*
&
*
@
&
@$
#
%
"
$
'
*
'
@
#""
$
&
*
#
"
'
"
*
&
@
#
"
'
"
@
&
$
#
"
#
%
%!
"
+!!#
#
故$7
*
7@6%
或$6
*
6@
!因此方程的解为
$
%
A
!
*
%
B
!
@
%&
A
&
B
"
+!!$
#
或
$
%
*
%
@
%
9!
"
+!!+
#
例&
求方程
#
*
"
$
'
!
%
*
"
"
+!!4
#
的正整数解!
解$6!
!
"
时方程无解!
设$
&
#!
因"
*
!
4
#
6!
!且*
为奇数!所以*
64.D!!
代入方程得
"
$
&
"
%
.
"
#.
?
!
#
!
"
+!!5
#
.6!
时!得到两组解"
#
!
+
#和"
$
!
5
#
!
.
!
!
时!式"
+!!5
#右端必有奇质因数!这与左端为"
的幂相矛盾!所以方程只有两
组解!
例'
求方程
"
/
&
!
#,
%
/
.
&
!
"
+!!=
#
的正整数解!
解/6"
!
#
时!
.6!!
*
$(
*第+
讲 不 定 方 程
/6$
时!方程无解!
/6+
时!
.6"!
/
&
4
时!由于"
/<!
#, 为偶数!故由式"
+!!=
#可知/
为奇数!
因而/<!
是一个合数!
由第$
讲例*
可知
"
/
&
"
#,
/
%
"
8-C/
&
!
#
!
"
+!!*
#
又由式"
+!!=
#可知
"
/
&
"
#,
/
/
.
&
!
'
/
.
&
"
'
-
'
/
'
!
/
.
/
%
"
8-C/
&
!
#
!
"
+!"%
#
由此可知"
/<!
#
,
.
!故.
&
/<!
!即有
"
/
&
!
#,
%
/
.
&
!
&
/
/
&
!
&
!!
"
+!"!
#
当/
&
4
时!这是不可能的!
所以方程只有三个解$
"
/
!
.
#
%
"
"
!
!
#!"
#
!
!
#或"
+
!
"
#
!
例(
证明$方程
$
"
'
*
"
%
@
'
@
+
"
+!""
#
有无穷多组正整数解!
证明 取@
%
(
"
'
,
"
!则
@
'
@
+
%
"
(
"
'
,
"
#"
!
'
"
@
"
#
"
#
%
"
(
'
,@
"
#
"
'
"
(@
"
&
,
#
"
!
"
+!"#
#
所以只要取$
%
(
'
,@
"
!
*
%
(@
"
&
,
即可!
显然!当(
!
,
都是正整数时!
$
!
*
!
@
也都是
正整数!
在这里我们用到了一个非常有用的恒等式$
"
$
"
'
7
*
"
#"
A
"
'
7B
"
#
%
"
$A
?
7
*
B
#
"
'
7
"
$B
?
*
A
#
"
!
"
+!"$
#
在本例中!取$
%
(
!
*
%
,
!
7
%
!
!
A
%
!
!
B
%
@
"
!
例)
求边长为正整数的三角形!使其面积为周长的一半!
解 设三角形之边长分别为(
!
,
!
-!
令2
%
(
'
,
'
-
"
!三角形面积为4
!则
4
"
%
2
"
%
2
"
2
&
(
#"
2
&
,
#"
2
&
-
#
!
于是有
$
"
(
'
,
'
-
#
%
"
(
'
,
&
-
#"
(
&
,
'
-
#"
,
'
-
&
(
#
!
"
+!"+
#
因为(7,<-
!
(<,7-
!
,7-<(
同奇偶!故由式"
+!"+
#可知它们都是偶数!令
(
'
,
&
-
%
"$
!
(
&
,
'
-
%
"
*
!
,
'
-
&
(
%
"@!
代入式"
+!"+
#就得到
$
'
*
'
@
%
$
*
@
!
$
!
*
!
@
!
%!
"
+!"4
#
由对称性!不妨设
$
-*-
@!
于是
"
*&
$
'
*
%
@
"
$
*
&
!
#
&*
"
$
*
&
!
#
!
所以
$
"
-
$
*-
#!
只有$
%
!
!
!
-*-
#!
但*
不能为!
!因若不然!就要有"
'
@
%
@!
*
也不能为#
!否则就有
@
%
"
!这与*-
@
的假设相矛盾!因此只有
$
%
!
!
*
%
"
!
@
%
#!
*
*(
* 高中数学竞赛教程
相应就有
(
%
#
!
,
%
$
!
-
%
+!
例!*
证明$不存在正整数$
!
*
!使$
"
'
*
和*
"
'
$
都是平方数!
证明 设有
$
"
'
*
%
A
"
!
$
'
*
"
%
B
"
! "
+!"5
#
则A
&
$
'
!
!因此
*
%
A
"
&
$
"
&
"$
'
!
!
$!
"
+!"=
#
类似有
$
%
B
"
&
*
"
&
"
*
'
!
&*
!
"
+!"*
#
式"
+!"=
#和式"
+!"*
#是互相矛盾的!所以式"
+!"5
#不可能有正整数解!
习题+
!!
求!
$
'
!
*
%
!
@
的正整数解!
"!
设$
$
*!
%
$!
$
$
*
"
%
!
$售油处有装$
斤和*
斤的容器各一只!
证明'只要顾客购买整
数斤油$就可以用这两只容器进行销售!
#!
求$
"/
'
!
%
"
1
?
!
!
$
!
!
"的正整数解!
$!
求$
#
'
*
#
'
@
#
%
$
'
*
'
@
%
#
的整数解!
+!
证明'
!+$
"
&
5
*
"
%
*
无整数解!
4!
求*
"
%
!
'
$
'
$
"
'
$
#
'
$
$的整数解!
5!
求"
$
&
#
*
%
!
的正整数解!
=!
求$
*
%
*
$
'
!
的正整数解!
*!
证明'两个连续整数的立方和不能表示成三个连续整数的平方和!
!%!
证明'存在无穷多个/
$使前/
个正整数的和是平方数!
*
%(
*第+
讲 不 定 方 程
第&
讲 记 数 法
谢盛刚
'"!
记 数 制
选定一个大于!
的整数,
!就可以把非负整数用,
的不同次幂的不超过,
&
!
倍的和唯
一地表示出来!这就是以,
为基的,
进计数制!
写成式子就是
;
%
(
/
*
,
/
'
(
/
&
!
*
,
/
&
!
'
-
'
(
!
*
,
!
'
(
%
*
,
%
!
%
-
(
6
-
,
&
!!
"
4!!
#
把一个正整数;
写成,
进制数的方法就是用,
的幂作带余除法!
设,
/
-
;
#
,
/
'
!
!由带余除法可得
;
%
(
/
,
/
'
1
/
!
!
-
(
/
#
,
!
%
-
1
/
#
,
/
!
"
4!"
#
这里的不完全商(
/
就是;
在,
进制中的首位数字!
再用,
/
&
!去除1
/
得到的商(
/
&
!
就是;
的第二位数字--最后就得到式"
4!!
#!把它记成
;
%
"
(
/
(
/
&
!
-
(
!
(
%
#
,
!
"
4!#
#
在这一讲里!十进制数的基数!%
都省去!
用,
进制数也可以记负整数)有理数和无理数!
可以证明!一个数是有理数的充分必要
条件是它的,
进制数是一个循环小数!我们就不深入讨论了!
例!
将"%#
分别表示成"
进制)
#
进制和!"
进制数!
在!"
进制中!记!%
为9
!
!!
为C!
解"%#
%
"
5
'
5+
%
"
5
'
"
4
'
!!
%
"
5
'
"
4
'
"
#
'
"
'
!
%
"
!!%%!%!!
#
"
!
"%#
%
"
*
#
$
'
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"
*
#
$
'
#
#
'
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"
*
#
$
'
#
#
'
#
"
'
#
'
"
%
"
"!!!"
#
#
!
"%#
%
!"
"
'
+*
%
!"
"
'
$
*
!"
'
!!
%
"
!$C
#
!"
!
,
进制数的四则运算与十进制数的四则运算是相似的$
加法按逢,
进!
的原则!
减法不够减时前一位数字借!
成"
!%
#
,
!
乘法就是连加!
除法就是连减!
例"
设-
是一个由不同的正整数组成的集合!-
中的数写成#
进制时!各位数字都不是"!
证明$
-
中任意三数不组成等差级数!
证明 设-
中三数$
!
*
!
@
为等差级数!且"
*
%
$
'
@!
由于$
!
*
!
@
的各位数字为%
或!
!
所以在运算过程中不产生进位!"
*
的各位数为%
或"!
如果"
*
的某一位数是%
!则$
!
*
!
@
的
该位数都是%
%如果"
*
的某位数是"
!则$
!
*
!
@
的该位数都是!!
所以$
%
*
%
@!
把一个正整数;
写成,
进制!一般习惯上都采用非负的系数!
其实在,
%
".
'
!
时!
,
进
制数的各位数字可以用%
!
?
!
!-!
?
.
这".
'
!
个数字!
这种写法我们称为,
制!
在,
制的
记法中!把&
>
写成>
"
!
-
>
-
.
#!把,
进制记法换成,
制数很容易!
只要从个位开始把第一
个遇到的大于.
的系数>
换成>
&
,
%
>
&
".
&
!
!并向前进一位!再依次进行到最高位
就行了!
例如!"
"%#
#
%
"
"!!!"
#
#
%
"
"!!"!
#
%
-
%
"
!!!!!!
#
#
!
采用#
制表明!一个正整数可以唯一地表示成#
的不同次幂的和与差!
例#
设"/
个棋子分成两堆!把某堆中的#
.
"
.
&
%
#枚棋子拨入另一堆去称为一次调
整!拨过去的棋子数称为调整数!
证明$必可经过调整数为严格减少的有限次调整!使两堆棋
子数相等!
证明 设甲堆棋子比乙堆多"7
枚!需要从甲堆拨7
枚到乙堆去!
将7
写成#
制数!则
系数为!
的项就是需从甲堆拨入乙堆的调整数!
从证明过程可以看出!这种调整方式还是唯
一的!
'"#
抓 子 游 戏
这是一种两人进行的游戏!规则如下$若干棋子分成/
"
/
&
"
#堆!两人轮流抓取棋子!
只允许从一堆中抓取!至少一枚!多取不限!取得最后一枚棋子者为胜方!
可以想象!一定有某种棋子的分布状态使先抓者能够获胜!这类状态称为"
状态!其他
状态称为"
状态!
下面就来确定哪些状态为"
!哪些状态为"!
"
!
#零状态"各堆棋子数都为零的状态#必须是"
%
"
"
#对于任一个"
状态!必存在某种取子法!使棋子分布成"
状态%
"
#
#对于任一个非零的"
状态!无论怎样取子!都会使棋子分布成"
状态!对此!有下面
的命题!
命题 把每一堆棋子数写成"
进制!如果它们同一位数字的和都是偶数!则棋子成"
状
态!否则为"
状态!
证明 "
!
#显然零状态是"
状态!
"
"
#设/
堆棋子是"
状态!各堆棋子数分别是,
!
!
,
"
!-!
,
/
!则这/
个数的"
进制表示
的同一位数字的和中必定有些是奇数!
假定其最高位是从个位数起的第.
位!因为第.
位的
数字和为奇数!必有某个数的第.
位系数为!
!不妨设这个数就是,
!
!
下面我们来证明可以
从第一堆的,
!
枚棋子中取走若干枚!使棋子成"
状态!
设,
!
%
"
(
>
(
>
&
!
-
(
!
(
%
#
"
!如果第6
位数字的和为偶数!则记(!
6
%
(
6
!如果第6
位数字的
和为奇数!则记(!
6
%
!
&
(
6
!如此可得到一个数
,!
!
%
"
(!
>
-
(!
.
'
!
%(!
.
&
!
-
(!
%
#
"
!
显然,
!
!
,!
!
&
%!
如果我们从第一堆中取走,
!
&
,!
!
枚棋子!则第一堆就剩下,!
!
枚棋子!这
时棋子的分布成"
状态!
因为原来数字和为偶数的那些位上的数字没有变!而数字和为奇数
*
')
*第4
讲 记 数 法
的那些位上的数字不是增加!
!就是减少!
!于是这些位上的数字和就由奇数变成了偶数!即
棋子的分布成"
状态!
我们还可以把抓取棋子的过程作如下分解$从第一堆里取出"
.枚棋子!若第6
位数字和
为奇数!则当(
6
%
!
时再取出"
6枚棋子!当(
6
%
%
时就再放回"
6枚棋子!
由于放回去的棋
子数至多是"
.
&
!
'
-
'
"
'
!
%
"
.
&
!
!而取出的棋子数至少是"
.
!所以最终还是至少从第一
堆里取出!
枚棋子!其结果就是第一堆还剩下,!
!
枚棋子!
"
#
#如果棋子分布成"
状态!则同一位数字的和都是偶数!
无论从哪一堆里取走若干棋
子!那一堆棋子数的二进制表示中至少有一位要由!
变成%
!因为如果所有的!
都不变!则这
个数不会减少!
这样!由!
变成%
的那一位上的和减少!
!原来是偶数!这时成为奇数!既然有
一位数字的和为奇数!棋子的分布就由"
状态变成"
状态了!
这个游戏其实不能成为一种真正的游戏!因为既然存在一种不难实现的必胜状态!那么
一开始就已经胜负分明了!怎么会形成竞争和对抗呢(
对于一些棋类竞赛!我们也相信存在某种必胜或必和的状态!
但是由于它们变化万千!
以致人们无法穷其变!因而不可能确定必胜)必败或必和的状态!更不可能找出致胜或致和
的必然步骤!这才使棋类竞赛因具有激烈的智力对抗特征而具有无穷的魅力!
'"$
例 题
例$
若一个二进制数的各位数字之和为偶数则称为一个正则数!否则称为一个非正
则数!求前"
>
"
>
&
!
#个正则数之和<
"
>
#
!
解 用"
"
/
#和#
"
/
#分别表示前/
个正则数之和与非正则数之和!显然有
"
"
/
#
'
#
"
/
#
%
/
"
/
'
!
#
"
!
"
4!$
#
又!显然"/
和"/
'
!
中必有一个正则数及一个非正则数!所以在%
!
!
!-!
"
>
'
!
&
!
中正
则数和非正则数各有"
>个!
因此又有
<
"
>
#
%
"
"
"
>
'
!
&
!
#
!
"
4!+
#
设%
-
7
-
"
>
&
!
!则"
>
'
7
和7
中一个为正则数!一个为非正则数!
因此如果有一个
非正则数7
!就有一个正则数"
>
'
7
!反之亦然!
由此可以建立起.
%
!
"
>
&
!
/中的非正则数与
.
"
>
!
"
>
'
!
&
!
/中的正则数之间的一一对应关系!
对.
%
!
"
>
&
!
/中的非正则数7
求和!就得到
#
"
"
>
&
!
#
%
.
%
-
7
-
"
>
&
!
7
非正则
7!
我们有
<
"
>
#
%
"
"
"
>
&
!
#
'
.
%
-
7
-
"
>
&
!
7
非正则
"
"
>
'
7
#
%
"
"
"
>
&
!
#
'
#
"
"
>
&
!
#
'
"
>
.
%
-
7
-
"
>
&
!
7
非正则
!!
"
4!4
#
式"
4!4
#右端的和式就是.
%
!
"
>
<!
/中非正则数的个数!从前面的讨论已知它等于"
><!
!
*
()
* 高中数学竞赛教程
所以由式"
4!4
#和式"
4!$
#就得到
<
%
"
>
&
!
"
"
>
&
!
#
'
"
">
&
!
%
"
">
&
"
>
&
!
!
例% .
药片和/
药片在外观上完全一样!工厂在生产时误将它们装在一样的瓶子里!
但每个瓶子只装了一种药!已经知道/
药片每片比.
药片重!%
毫克!每瓶装药!+%
片!
问$用
一次天平最多能分辨出多少瓶药来(
解 从编号!
%
=
的=
个瓶子中分别取出!
!
"
!
"
"
!-!
"
5
%
!"=
片药!在天平上称出总重
量!这"++
片药的总重与"++
片.
药片总重相比!多出!%
毫克为!
个单位!将多出的单位数
写成二进制数!如某位数字为%
!则编号为这位数的瓶子装的是.
药片!否则装的是/
药片!
因为"
=
%
"+4
!
!+%
!所以最多能分辨=
瓶药!
例&
设+
是定义在正整数集上的函数!其定义如下$若/
%
"
>
'
(
>
&
!
*
"
>
&
!
'
-
'
(
!
*
"
'
(
%
!则+
"
/
#的值等于/
的上述表示中把(
6
换成"(
6
&
!
!也就是把为%
的系数都换
成&
!
!求+
"
/
#的一个递推公式!
解 设"
>
-
/
#
"
>
'
!
&
!
!则
/
%
"
>
'
(
>
&
!
*
"
>
&
!
'
-
'
(
!
*
"
'
(
%
!
"
4!5
#
在式"
4!5
#中把系数%
换成!
!则/
就变成"
>7!
<!
!于是增加的值为"
>7!
<!</
!它也就是
把式"
4!5
#中的系数%
换成<!
时所减少的数!所以
+
"
/
#
%
/
&
"
"
>
'
!
&
!
&
/
#
%
"/
'
!
&
"
>
'
!
!
"
4!=
#
当/6".
时!由式"
4!=
#可知
+
"
".
#
%
$.
'
!
&
"
>
'
!
%
"
"
".
'
!
&
"
>
#
&
!
%
"
+
"
.
#
&
!!
"
4!*
#
当/
%
".
'
!
时!有
+
"
".
'
!
#
%
$.
'
#
&
"
>
'
!
%
"
"
"
.
'
!
&
"
>
#
'
!
%
"
+
"
.
#
'
!!
"
4!!%
#
所以!得到下面的递推公式
+
"
!
#
%
!
!
+
"
".
#
%
"
+
"
.
#
&
!
!
+
"
".
'
!
#
%
"
+
"
.
#
'
!!
"
4!!!
#
例'
+
在正整数集上有如下定义$
+
"
!
#
%
!
!
+
"
#
#
%
#
!
+
"
"/
#
%
+
"
/
#!
+
"
$/
'
!
#
%
"
+
"
"/
'
!
#
&
+
"
/
#!
+
"
$/
'
#
#
%
#
+
"
"/
'
!
#
&
"
+
"
/
#
!
问$在不超过!*==
的正整数/
中有
多少个满足+
"
/
#
%
/
(
解 把前几个/
和+
"
/
#的值用二进制数列表示如下"表4!!
#
!
表&3!
/ ! !% !! !%% !%! !!% !!! !%%% !%%!
+
"
/
#
! %! !! %%! !%! %!! !!! %%%! !%%!
从表4!!
中可以看出!当/
%
"
!(
>
&
!
-
(
%
#
"
时!
+
"
/
#
%
"
(
%
(
!
-
(
>
&
!
!
#
"
!
即+
"
/
#的二
进制数是把/
的二进制数倒过来写!
设"
>
-
/
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讲 记 数 法
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这种奇数称为对称数!
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"
位唯一确定!这样在>
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位对称数与
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" 中的奇数"因为对称数是奇数!末位必为!
#之间就可建立一一对应关系!由此可
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/中的对称数共有
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/中对称数的个数减去.
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/中对称数的个数!就是所要求的!
由式"
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/中的对称数有
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习题4
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"把末位的4
移到首位所得的数为原数的$
倍!
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设天平的最大量重为#+%
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克以下的重量可由平衡锤调整!
证明'只需一组重量为
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"
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#
#
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$
$
#
+克的砝码$天平即可使用!
*
!)
* 高中数学竞赛教程
