平成２７年度東京大学大学院理学系研究科

物理学専攻修士課程入学試験問題

物 理 学

平成２６年８月２５日（月） １３時００分～１７時００分

【注意事項】

1. 試験開始の合図があるまで、この問題冊子を開いてはならない。

2. 解答には、必ず黒色鉛筆（または黒色シャープペンシル）を使用すること。

3. 問題は全部で６問ある。第１問、第２問、第３問は全員解答すること｡さらに

第４問、第５問、第６問の中から１問を選んで解答せよ。

4. 答案用紙は各問につき１枚、合計４枚配付されていることを確かめること。

5. 問題冊子の所定欄に受験番号、氏名を記入すること。

6. 各答案用紙の所定欄に科目名(物理学)、受験番号、氏名、問題番号を記入す

ること。

7. 解答は、各問ごとに別々の答案用紙を使用すること。

8. 答案用紙は点線で切り取られるので、裏面も使用する場合には、点線より上

部を使用しないこと。

9. 答案用紙には解答に関係ない文字、記号、符号などを記入してはならない。

10. 解答できない場合でも、答案用紙に科目名(物理学)、受験番号、氏名、問題

番号を記入して提出すること。

11. 答案用紙を計算用紙として使用してはならない。計算用紙は別に配付する。

受験番号

氏 名

H = − h̄2

2m

d2

dx2+ V (x)

2πh̄(= h) m V (x)

2πL x x+2πL

ψ(x) V (x) ψ(x+2πL) = ψ(x),

V (x+ 2πL) = V (x)

1. V (x) = 0 Hψ(x) = Eψ(x) E

x ∈ [−πL,πL]

V (x) =h̄2v

2mδ(x)

v

2. ψ(x) ψ′(x) = dψdx x = 0

limϵ→0+

(ψ′(ϵ)− ψ′(−ϵ)) = vψ(0)

3. v < 0 x = 0

x ∈ (0, 2πL) ψ(x) = eκx + Ae−κx (A κ > 0)E = − h̄2κ22m

x = 0 A v κ

v < 0 κ

4. v > 0, E > 0 E k E = h̄2k2

2m

k

v

5. k >> v v = 0 v

1

2

1

(x, y) = (0, 0) ( )√2 45 45

y L ( L+1) 2L

(x, L) C(x, L) C(x, L) C(x, L+ 1)

C(x, L+ 1) = C(x− 1, L) + C(x+ 1, L) (1)

1. C(x, L)

C(x, L) =

⎧⎪⎨

⎪⎩

L!

((L− x)/2)! ((L+ x)/2)! (L+ x) |x| ≤ L

0(2)

2. x C(x, L) C̃(k, L)

C̃(k, L) =∞∑

x=−∞e−ikxC(x, L), C(x, L) =

1

2π

∫ π

−πeikxC̃(k, L) dk (3)

(1) C̃(k, L)

3. L = 0 C̃(k, L)

4. k2L L log C̃(k, L) k

2 C(x, L)∫ ∞

−∞e−ax

2dx =

√π/a ( a )

q x

E y L T

kBL 4

5.

6. x ⟨x⟩ T E

7. E = 0 x ⟨x2⟩E=0 x E∂⟨x⟩∂E

∣∣∣E=0

C(x, L)

2

1:

3

3

Maxwell

∇ ·E = ρϵ0, ∇×E = −∂B

∂t,

∇ ·B = 0, 1µ0∇×B = ϵ0∂E

∂t+ i

E, B ρ, i

c ϵ0 µ0 ϵ0µ0 = 1/c2

3 O z −∞ +∞z v = (0, 0, vz)

q O a

1. O (x, 0, 0) ( |x| ≫ a) E B

O v = (0, 0, vz) O′

O(t, x, y, z) O′(t′, x′, y′, z′) Lorentz

(ct′, x′, y′, z′) = (γ(ct− βz), x, y, γ(z − βct)) (1)

β = vz/c, γ = 1/√

1− β2

2. O′ a′ a′ = γa (1)

3. O′ (x′, y′, z′) ( x′2 + y′2 ≫ a′2) E′ B′

O O′ E E′ B B′

(Ex, Ey, Ez) =(γ(E′x + cβB

′y), γ(E

′y − cβB′x), E′z

)(2)

(Bx, By, Bz) =

(γ

(B′x −

β

cE′y

), γ

(B′y +

β

cE′x

), B′z

)(3)

4. 3 (2) (3) O E B1

O z v = (0, 0, vz) 1 ( q)O′

5. O′ (x′, y′, z′) E′ B′

6. O (x, 0, 0) ( x ̸= 0) E B(1) (2) (3)

4

4

c 3.0× 108 m/sh = 2π! 6.6× 10−34 Js!c 200 MeV fme 1.6× 10−19 Cα = e2/(4πϵ0!c) 1/137me 0.5 MeV/c2

1

2me(αc)

2 13.6 eV

1. 0.5 MeV 2

2. λ θ

λ′ pe ψ h

me

3. 2 pe ψ λ′

λ θ λe = h/(mec)

4. 3 1 3 NaI

2 3

1 A B C

5. NaI 13755Cs822

(a)–(c)

( 2 )

6. 10 MeV GeV

λ

γmec2 (θ = π)

λmec/h ≫ 4γ [(1 + β)γ]2 λ′

1/[(1 + β)γ]2 γ = 1/√

1− β2

5

1:

2:

6

5

H M H M = χH

χ

µ0 = 1.26× 10−6 N ·A−2

µB = 9.27× 10−24 J · T−1 kB = 1.38× 10−23 J ·K−1

1. 1 x

χ v Hxµ0 χ v Hx

2. 1 x Hx y

y = 0 y Hx(y) = H0 − αyα > 0 H0 > 0

y f 1 y f

µ0 χ v H0 α

|αy| H0

3. 2 f

H0 = 0 y = 0

H0 ̸= 0 fI y

I f

χR vR R H0I H0 I = AH0

v X I = BH0X χ χR vR v A B

Nm χ T

χ(T ) = Nm(peffµB)2µ0/(3kBT ) peffµBS S

g p2eff = g2S(S + 1)

4. Gd3+ ( Nm) χ/Nmχ

1 p2eff 2

5. Gd3+ ℓ = 3 4f 7

2 ℓz = 3, 2, 1, 0,−1,−2,−37

(A) s S( S

7

(B) A ℓ L L

(C) A, B J = |L−S| ()

Gd3+ Gd3+

S p2eff 4

g = 2

1: Nm Gd3+

T (K) χ/Nm(m3)

50 3.30× 10−30

100 1.65× 10−30

200 0.83× 10−30

300 0.55× 10−30

1:

8

6

1 ( v)

d = 0.5 cm (

ρ = 1.1 g/cm3) 30 m

(PMT)

mµc2 = 100 MeV c = 3.00×108 m/sβ = vc γ = 1/

√1− β2 ε 2

1. β = 0.9

2

2.

σ = 0.7 ns

β = 0.990 PMT

3

v 3

“ ” 1

検出器1 (プラスチックシンチレータ)

高速 ミューオン

検出器2 (プラスチックシンチレータ)

光電子増倍管(PMT) PMT

30 m

v

時刻記録装置

1

1

2

3

4

5 6

8

10

1.0 10 100 1000 100000.1

ε ( MeV g－ 1cm2)

βγ

2

∆t

∆x “ ” u = ∆x∆t3 A

θ v B

3. B ub θ β =vc A

B

9

4. v ub θ β = 0.99 ub1

5. A B C v

−x “ ” uc θ β = vcub = 2c uc = 0.25c β sinθ

地球の 方角

θ

β= v/c x 軸 x 軸

横から見た動き 地球から見た 天球面内の動き

天体 A

物体 B

θ 物体C

β= v/c

ub= xb / t

uc= xc / t

3 A B C

10