c Annuities 1

El captulo concluye con una seccin de aplicaciones donde se engloban las frmulas y losconceptos tratados, con problemas que combinan los diferentes tipos y las modalidades de lasanualidades. En esa seccin se pretende que el estudiante desarrolle su capacidad para planteary resolver problemas.

Adems, se hace referencia al concepto de rentas equivalentes, tan importante como el delas tasas y plazos equivalentes estudiados en el captulo 4. Y se utiliza para explicar un parde frmulas que sirven para encontrar el valor presente de las anualidades anticipadas y el va-lor futuro de las ordinarias.

228 Captulo 5: Anualidades

5.1 Definiciones y clasificacin de las anualidades

Aunque literalmente la palabra anualidad indica periodos anuales, no necesariamente los pa-gos se realizan cada ao, sino que su frecuencia puede ser cualquiera otra: mensual, semanal,semestral o diaria, como se ver en este captulo, pero antes, es necesario formular algunas de-finiciones importantes relacionadas con el tema.

Definicin 5.1

Anualidad es una sucesin de pagos generalmente iguales que se realizan a intervalos de tiempoiguales y con inters compuesto.

Definicin 5.2

Renta de la anualidad es el pago peridico y se expresa con R.

Definicin 5.3

Intervalo de pago es el tiempo que hay entre dos pagos sucesivos, y el plazo de la anualidades el tiempo entre las fechas inicial del primer periodo y terminal del ltimo.

Definicin 5.4

El valor equivalente a las rentas al inicio del plazo se conoce como capital o valor presente C.Su valor al final del plazo es el valor futuro o monto de la anualidad, que se expresa con M.

Quiz los pagos sean iguales entre s, por la misma cantidad, o diferentes. Ahora se es-tudiar el primer caso y en captulos subsecuentes el segundo, es decir, las anualidades de ren-ta variable.

Clasificacin de las anualidades

Genricamente la frecuencia de pagos coincide con la frecuencia de capitalizacin de intereses,pero es posible que no coincida. Quiz tambin la renta se haga al inicio de cada periodo o alfinal; o que la primera se realice en el primer periodo o algunos periodos despus. Dependien-do de stas y otras variantes, las anualidades se clasifican de la siguiente manera:

Segn las fechas inicial y terminal del plazo

Anualidad cierta: cuando se estipulan, es decir, se conocen las fechas extremas del plazo. Enun crdito automotriz, por ejemplo, se establecen desde la compra el pago del enganche y elnmero de mensualidades en las que se liquidar el precio del automvil.Anualidad eventual o contingente: cuando no se conoce al menos una de las fechas extremasdel plazo. Un ejemplo de este tipo de anualidades es la pensin mensual que de parte del Ins-tituto Mexicano del Seguro Social recibe un empleado jubilado, donde la pensin se suspendeo cambia de magnitud al fallecer el empleado.

Segn los pagos

Anualidad anticipada: cuando los pagos o las rentas se realizan al comienzo de cada periodo.Un ejemplo de este tipo se presenta cuando se deposita cada mes un capital, en una cuenta ban-caria comenzando desde la apertura.Anualidad ordinaria o vencida: cuando los pagos se realizan al final de cada periodo. Unejemplo es la amortizacin de un crdito, donde la primera mensualidad se hace al terminar elprimer periodo.

De acuerdo con la primera renta

Anualidad inmediata: cuando los pagos se hacen desde el primer periodo. Un ejemplo de es-ta categora se presenta en la compra de un departamento, donde el enganche se paga en abo-nos comenzando el da de la compra.

2295.1: Definiciones y clasificacin de las anualidades

Ejemplo 1

Elementos de una anualidad

Si el propietario de un departamento suscribe un contrato de arrendamiento por un ao, pa-ra rentarlo en $6,500 por mes, entonces:

El plazo es de un ao, la renta es R = $6,500 y el intervalo de pago es un mes.Adems, si el inquilino decide pagar por adelantado en la firma del contrato el equivalen-

te a las 12 mensualidades, entonces el propietario, a causa de los intereses que devenga el di-nero anticipado, recibir un capital menor a los $78,000 que obtendra durante el ao. Estecapital es el valor presente o valor actual de la anualidad.

Si al contrario, al recibir cada pago mensual, el propietario lo deposita en un banco queredita un inters compuesto, entonces el dinero que al final del ao tendr en la institucinbancaria ser mayor a los $78,000 y eso ser el monto o valor futuro de la anualidad.

Anualidad diferida: cuando el primer pago no se realiza en el primer periodo, sino despus.El ejemplo tpico de este caso se relaciona con las ventas a crdito del tipo compre ahora ypague despus, que es un atractivo sistema comercial que permite hacer el primer abono doso ms periodos despus de la compra.

Segn los intervalos de pago

Anualidad simple: cuando los pagos se realizan en las mismas fechas en que se capitalizan losintereses y coinciden las frecuencias de pagos y de conversin de intereses. Por ejemplo, los de-psitos mensuales a una cuenta bancaria que redita el 11% de inters anual compuesto pormeses.

Anualidad general: cuando los periodos de capitalizacin de intereses son diferentes a los in-tervalos de pago. Una renta mensual con intereses capitalizables por trimestre es un ejemplo deesta clase de anualidades.

Otro tipo de anualidades es la perpetuidad o anualidad perpetua, la cual se caracterizaporque los pagos se realizan por tiempo ilimitado. La beca mensual, determinada por los inte-reses que genera un capital donado por personas, o instituciones filantrpicas, es un claro ejem-plo de estas anualidades.

Todas las anualidades de este captulo son ciertas, las primeras son simples e inmediatas;tambin se analizan las generales, tomando en cuenta que pueden convertirse en simples utili-zando las tasas equivalentes que se estudiaron en el captulo anterior.

Tambin es cierto que los problemas de anualidades se resuelven:

a) Con tablas financieras con las que se obtiene el valor presente o el valor acumulado pa-ra np rentas unitarias. En el apndice de este libro estn las tablas (vase www.pearsoneducacion.net/villalobos) para algunas tasas i/p y algunos plazos o nmero de rentas np.

b) Empleando frmulas que para cada clase de anualidad existen y aqu se deducen, ya quela gran mayora de los ejercicios en este libro se resuelven de esta manera.

c) Utilizando solamente dos frmulas, la del inters compuesto y la de la suma de los pri-meros trminos de una progresin geomtrica, tal como se deducen las frmulas de lasanualidades, en las secciones 5.2 y 5.3.

d) Con programas y paquetera de software que hay en el mercado, que son de fcil acce-so para el usuario y que fueron elaborados con fundamento en los conceptos y la teorade las matemticas financieras. Uno de estos soportes es el que se consigue con la edi-torial que publica este libro.

Para decidir con acierto cmo plantear o a qu clase de anualidad corresponde o se ajusta unasituacin particular, se sugiere considerar lo siguiente antes de entrar en detalles del tema.

En vez de la recta horizontal que hasta ahora hemos utilizado para los diagramas de tiempo,utilizaremos rectngulos que representan los periodos, y en cada uno en su extremo derecho oizquierdo se grafican flechas verticales indicando la renta o pago de la anualidad, utilizando,claro, puntos suspensivos para representarlos a todos sin tener que graficarlos.

Si una persona deposita, digamos, $3,000 cada mes durante siete meses, entonces una gr-fica ser la figura 5.1, donde los depsitos estn al final de cada periodo, y el monto que seacumula est al final del ltimo rectngulo.


En esta grfica se aprecian dos puntos importantes.

El plazo real no es de 7 meses sino solamente de 6, ya que el primer mes no interviene,salvo que el trato se haya realizado al inicio; en la prctica, lo ms comn es que el pri-mer depsito se realice al comenzar el plazo.En el momento en que se retira el monto acumulado de los anteriores, se realiza el lti-mo depsito. Esto no tiene razn de ser ya que este pago no se incluira.

En consecuencia, cuando de la sucesin de rentas se requiera el monto, stas debern con-siderarse al inicio de cada periodo, siendo el diagrama apropiado el de la figura 5.2, donde lasflechas horizontales indican que cada renta se traslada en el tiempo hasta el final del plazo,sumando los intereses de cada una y sumndolas todas.

2315.1: Definiciones y clasificacin de las anualidades

R R R R

1 2 3 7

MontoFIGURA 5.1

R1 R2 R3 R7

Monto M

M1

M7M3M2

1 2 3 7

FIGURA 5.2

R1 R2 R3 Rn

Capital C

1 2 3 N-simo

C1

CNC3C2

FIGURA 5.3

Contrariamente, si de las rentas se requiere el valor presente al comenzar el plazo, entonces s-tas debern ubicarse al final de cada periodo, como se aprecia en la figura 5.3.

Esto significa que al no especificarse lo contrario las anualidades anticipadas se asociarncon el valor futuro al trmino del plazo, mientras que las ordinarias sern asociadas con su va-lor presente al comenzar el plazo; es decir,


Anualidadanticipada

Anualidadordinaria

Valor futuroo monto

Valor presenteo capital

Renta

N-simo21

Monto

de cada renta se evala el monto

Por supuesto que lo anterior no es una regla y, como se estudiar despus, en muchas oca-siones el monto se relaciona con rentas vencidas; y el valor presente, con una serie de rentasanticipadas.

Por otro lado, como se aprecia en las figuras 5.4 y 5.5, cada renta har las veces de capitalal considerar el monto de la anualidad, y ser un monto cuando se trate del valor presente.

FIGURA 5.4

Renta

N-simo21

Capital

de cada renta se evala el capital

FIGURA 5.5

Ejercicios5.1

l. Defina y explique plazo e intervalo de pago en las anualidades.

2. Cmo se definen las anualidades y la renta de una anualidad?

3. Qu son el monto y el valor presente de una anualidad?

2335.2: Monto de una anualidad anticipada

4. Mencione cinco ejemplos de anualidades en la vida real.5. En los ejemplos del problema 4, defina el monto o el valor presente, el plazo, la renta, el in-

tervalo de pago y la tasa de inters.

6. Si usted deposita $1,350 cada quincena durante 2 aos y al final le devuelven $45,000, de-termine cul son la renta, el plazo, los intereses, el valor futuro y el intervalo de pago de laanualidad.

Recuerde que los intereses son la diferencia entre el monto y el capital.

7. Mencione las caractersticas principales de las anualidades:

a) Diferidas b) Contingentesc) Ciertas

d) Simplese) Generales f) Anticipadas

g) Inmediatash) Perpetuas

8. Mencione la diferencia bsica entre la anualidad:a) inmediata y diferidab) simple y general

c) cierta y contingented) ordinaria y anticipada

a) ordinaria, general y anticipada. b) inmediata, simple y anticipada.c) vencida, diferida, simple y cierta.d) general, ordinaria, diferida y contingente.

9. Justificando su respuesta, determine si es posible que una anualidad sea, al mismo tiempo,

10. Describa con detalle las anualidades que s son posibles en el problema 9.

11. Mencione y describa con brevedad los cuatro mtodos para evaluar los elementos de lasanualidades.

12. Por qu causas una serie de depsitos peridicos que se acumulan en un monto al final delplazo no debiera considerarse vencida?

13. Mencione dos razones por las que los pagos peridicos en una anualidad no debieran ser an-ticipados, cuando se relacionan con su valor presente.

14. Qu diferencia encuentra entre las anualidades y amortizaciones que se estudiaron en el ca-ptulo 3?

e) ordinaria, simple y cierta.f) contingente, cierta y general.g) anticipada, cierta, simple y diferida.

Se ha dicho que una anualidad es anticipada si los pagos se realizan al comenzar cada periodo.Como se aprecia en el ejemplo 1, para hallar el monto de una anualidad anticipada, a cada

renta se le agregan los intereses que dependen del nmero de periodos que haya entre la rentay el final del plazo. Por lo tanto, la frmula del inters compuesto se emplea para cada montoparcial, despus se suman y se obtiene una frmula general.

5.2 Monto de una anualidad anticipada

Cabe sealar que cualquier anualidad se resuelve aplicando apropiadamente esta frmulageneral, ya que si se tiene un valor nico equivalente a todas las rentas, al trmino del plazo s-te se traslada a cualquiera otra fecha con la frmula del inters compuesto, como se ilustra enla solucin alterna del ejemplo 2 de la seccin 5.3.


solucin

Ejemplo 1

Deduccin de la frmula general

Obtenga el monto que se acumula en 2 aos, si se depositan $1,500 al inicio de cada mes enun banco que abona una tasa del 24% anual capitalizable por meses.

La anualidad es simple porque coinciden la frecuencia de conversin y la de pagos; es cier-ta porque se conoce el nmero de rentas; es inmediata porque desde el primer periodo se ha-cen los depsitos; y es anticipada porque estos ltimos se realizan al principio de cada pe-riodo mensual.

Monto total

R1 R2 R3 R24

1 2 3 24

M1

M24M3M2

FIGURA 5.6

Como se observa en la figura 5.6, el primer depsito genera intereses durante 24 periodos men-suales, el segundo durante 23 meses y as sucesivamente, hasta el ltimo que gana solamentedurante un mes.

Por lo tanto, los montos parciales son, respectivamente:

M1 = 1,500(1 + 0.24/12)24 M = C (1 + i/p)npM2 = 1,500(1 + 0.02)23M3 = 1,500(1.02)22o

M23 = 1,500(1.02)2M24 = 1,500(1.02)

C x

7 8 9

4

5 6

1 2 3

0 .

C x

7 8 9

4

5 6

1 2 3

0 .


El valor futuro o monto de la anualidad es la suma de todos los anteriores, que en orden in-verso es:

M = 1,500(1.02) + 1,500(1.02)2 + + 1,500(1.02)24

Se factoriza la renta $1,500, y lo que queda entre los corchetes corresponde a los trminosde una progresin geomtrica cuyo primer trmino es al = 1.02; la razn es tambin r = 1.02y el nmero de trminos es m = 24. Por lo tanto:

M = 1,500[1.02 + (1.02)2 + (1.02)3 + + (1.02)24] (A)La suma, segn la ecuacin 2.4, es

suma = 1.02(30.42186245) o suma = 31.0302997Si se sustituye este resultado en la ecuacin (A), se tendr que el monto total es:

M = 1,500(31.0302997) o M = $46,545.45

Para generalizar, note que el primer trmino y la razn son:

a1 = r = 1 + 0.24/12 o a1 = r = 1 + i/p

y el nmero de trminos es el nmero de rentas:

m = 2(12) = 24 o m = npLa suma es, entonces:

se cancelan los unos del denominador

a b = (a b)

Resultado que se formaliza en el siguiente teorema:

suma = ++( ) ( )1 1 1i p i p

i p

np

suma = + +

( ) ( )1 1 1i p i pi p

ya que S a rr

m

=

111

suma = + +

+( ) ( )( )1

1 11 1

i p i pi p

np

suma =

1 021 1 608437249

0 02.

.

.

suma =

ar

r

m

111

suma = ( )

1 02

1 1 021 1 02

24.

.

.

De manera semejante a los otros, en lo sucesivo se har referencia a este teorema como ecua-cin 5.1, teorema 5.1 o ecuacin del teorema 5.1.


Teorema 5.1

El monto acumulado de np depsitos anticipados en las anualidades simples y ciertas es:

R es el pago peridico, n es el plazo en aos, e i es la tasa de inters anual capitalizable en pperiodos por ao.

M R i pi pi p

np

= ++( )

( )1

1 1 donde

solucin

Ejemplo 2

Resuelva el ejemplo 1 con la ecuacin 5.1.

Los valores a reemplazar por las literales son:

R = 1,500, la renta mensualp = 12, la frecuencia de conversin y la de pagos son mensualesn = 2, los aos del plazo

np = 24, el total de rentasi = 0.24, la tasa de inters anual capitalizable por meses

i/p = 0.02, la tasa por periodo mensual. Entonces,

M = 1,500 (1 + 0.02)

M = 1,500(1.02)(30.42186245) o M = $46,545.45

Note que ms que el valor de n, el plazo en aos, es ms til el de np, el nmero de rentas.

1 02 10 02

24.

.

( )

Ejemplo 3

Plazo en inversiones

En cunto tiempo se acumulan $40,000 en una cuenta bancaria que paga intereses del8.06% anual capitalizable por semanas, si se depositan $2,650 al inicio de cada semana?

C x

7 8 9

4

5 6

1 2 3

0 .

F


solucin

En la ecuacin 5.1 se reemplazan los valores:

M = 40,000, el monto que se pretende.R = 2,650, la renta semanal.i = 0.0806, la tasa de inters anual capitalizable por semanas.

i/p = 0.0806/52 = 0. 00155, la tasa semanal capitalizable por semanas.

La incgnita es n, el plazo en aos o np = x, el nmero de rentas; entonces:

40,000 = 2,650(1 + 0. 00155) (Teorema 5.1)

Para despejar x, 2,650(1.000155) pasa dividiendo, y 0.000155 pasa multiplicando al lado iz-quierdo; luego el 1 pasa sumando, es decir:*

(0.00155) + 1 = (1. 00155)x

15.0709796 (0. 00155) + 1 = (1. 00155)xo (1. 00155)x = 1.023360018Como siempre que la incgnita est en el exponente, se despeja empleando logaritmos, yaque si dos nmeros positivos son iguales, entonces sus logaritmos tambin son iguales. Esdecir:

Ln(1. 00155)x = Ln(1.023360018)(x)Ln(1. 00155) = Ln(1.023360018), ya que Ln(an) = (n)Ln(a)

x = Ln(1.023360018)/Ln(1.00155)= 0.023091349/0.0015488

x = 14.90918709

Puesto que el nmero de rentas, x = np, debe ser un entero, el resultado se redondea dandolugar a que la renta o el monto varen un poco.Por ejemplo, con np = 15, el entero ms cercano, resulta que la renta es:

40,000 = R(1. 00155)

40,000 = R(15.18735236)de donde

R = 40,000/15.18735236 o R = $2,633.77

( . ).

1 00155 10 00155

15

40 0002 650 1 00155

,

, ( . )

( . ).

1 00155 100155

x

0

* Esto es equivalente a decir que los dos lados de la igualdad se dividen entre 2,650(1.000155), se multiplicanpor 0.000155 y el 1 se suma en ambos lados.


solucin

Ejemplo 4

Tasa nominal quincenal y recuperacin de pagar

Qu tasa de inters capitalizable por quincenas le estn cargando a la seora de Ramrez, sipara recuperar un pagar con valor nominal de $39,750, incluidos los intereses, hace 15 pa-gos quincenales anticipados de $2,400?

Se trata de una anualidad anticipada, donde:

M = 39,750, el valor futuroR = 2,400, la renta quincenalp = 24, la frecuencia de pagos y de conversin n = 15/24, el plazo en aos

np = 15, el nmero de rentasi = la incgnita

por lo tanto, 39,750 = 2,400(1 + i/24)

Para despejar i, se sustituye i/24 por x, y se dividen los dos miembros entre 2,400.

16.5625 = (1 + x)

En la tabla 4 del apndice se encuentran algunos valores de la expresin:

Ah se busca un valor que sea poco menor que 16.5625 en el rengln que corresponde anp = 15. El resultado obtenido para la tasa i/p = 0.0125 es el valor 16.3863, el cual es unabuena aproximacin para la incgnita.

Para determinar el valor de i/p con mayor exactitud, o para encontrarlo sin el uso de ta-blas, se procede con iteraciones, dando a x valores sucesivos hasta alcanzar la precisin de-seada. A continuacin se indican algunos de tales valores.

Primero se simplifica la ecuacin anterior, multiplicndola por x y otras operaciones al-gebraicas.

16.5625(x) = (l + x)[(1 + x)15 _ 1]16.5625(x) = (l + x)16 _ (l + x) aan = a1+n

(l + x)16 1 x 16.5625(x) = 0 o (l + x)16 17.5625(x) = 1

( )1 115+ i pi p

1 115+( )

x

x

( / )1 24 124

15+

ii

Tasa de inters variable


Si x = 0.01,

(1.01)16 17.5625(0.01) = 0.996953645Si x = 0.02,

(1.01)16 17.5625(0.01) = 1.021535705Si con x = 0.01 result menor que 1 y con x = 0.02 qued mayor que 1, entonces el valor quese busca para x debe estar entre 0.01 y 0.02, argumento que sirve para continuar con las ite-raciones.

Si x = 0.015: (1.015)16 17.5625(0.015) = 1.005548048Si x = 0.012: (1.012)16 17.5625(0.012) = 0.999536531

Continuando con el proceso se ver que cuando

x = 0.012287288, el resultado es 1.000000001

entonces, x = i/24 = 0.012287288

de donde i = (0.012287288)24, i = 0.294894912 o 29.4894912%, la cual es la tasa anual ca-pitalizable por quincenas que le cargan a la seora de Ramrez. Y puede comprobarse reempla-zndola en la primera ecuacin del desarrollo anterior.

Solucin alterna

Este resultado se obtiene ms fcil con la calculadora financiera, la HP12C por ejemplo, ylas siguientes instrucciones:

solucin

Ejemplo 5

Monto en cuenta de ahorros e intereses

Cunto se acumula en una cuenta de ahorros con 32 pagos quincenales de $625 cada uno,si la tasa de inters nominal quincenal en los primeros 5 meses es del 22.32%, y despus au-menta 2.4 puntos porcentuales por ao cada trimestre? Cunto se genera por concepto deintereses?

a) El ejercicio se resuelve considerando cuatro anualidades de 10, 8, 8 y 6 rentas quincena-les cada una, como se ilustra en la figura 5.7.

fi x24 29.48949002

nCLX CHS PMTFV39,750 2,400 15


El monto de la primera, puesto que la tasa por quincena es i/p = 0.2232/24 = 0.0093, es

M1 = 625(1 + 0.0093)

M1 = 625(1.0093)(10.42904957) o M1 = $6,578.77 que se traslada hasta el final de la segunda anualidad empleando la frmula del interscompuesto, con la nueva tasa que es 2.4 puntos mayor que la primera.

i = 0.2232 + 0.024 = 0.2472 o i/24 = 0.2472/24 = 0.0103, quincenalcompuesto por quincenas; entonces:

MA = 6,578.77(1.0103)8MA = 6,578.77(1.085432507)MA = $7,140.81

Este monto deber sumarse con el monto acumulado M2 de la segunda anualidad:

M2 = 625(1.0103)

M2 = 625(1.0103)(8.294418155)M2 = $5,237.41

El acumulado de las primeras 18 rentas es, entonces:

MA + M2 = 7,140.81 + 5,237.41 = 12,378.22

que tambin se traslada con la nueva tasa, la del tercer grupo de rentas, hasta el final dela tercera anualidad, ocho quincenas despus.

MB = 12,378.22(1 + 0.2712/24)8MB = 12,378.22(1.094057274) o MB = 13,542.48

monto que debe sumarse al monto M3 del tercer grupo de rentas

1 0103 10 0103

8.

.

( )

( . ).

1 0093 10 0093

10

Nmero de rentas

M1 M2 M3 M4

1a_ 2a_ 3a_ 4a_

MAMB

MC

10 8 8 6

FIGURA 5.7


M3 = 625(1.0113)

M3 = 625(1.0113)(8.323652566) o M3 = 5,261.07entonces,

MB + M3 = 13,542.48 + 5,261.07MB + M3 = 18,803.55

que es el acumulado de los 26 depsitos al trmino de la tercera anualidad. Este montose lleva hasta la fecha terminal del plazo y, finalmente, se suma con el monto M4 de laltima que comprende seis quincenas.

La tasa de inters anual es ahora

i = 0.2232 + 3(0.024) o i = 0.2952e i/24 = 0.0123 es la quincenal capita1izable por quincenas, entonces

MC = 18,803.55(1.0123)6 o MC = 20,234.63 y

M4 = 625(1.0123)

M4 = 625(1.0123)(6.187553821) o M4 = 3,914.79Consecuentemente el monto acumulado de los 32 depsitos quincenales en la cuenta deahorros al final del plazo es:

MC + M4 = 20,234.63 + 3,914.79MC + M4 = $24,149.42

b) Los intereses son la diferencia entre este monto y el total invertido en los 32 pagos quin-cenales.

I = 24,149.42 32(625.00) I = $4,149.42

(1.0123)0.0123

6

1

( . ).

1 0113 10 0113

8

Ejercicios5.2

l. Explique las caractersticas de las anualidades anticipadas.

2. Cunto debe invertir cada quincena en una cuenta que abona el 9.06% de inters compues-to por quincenas, durante 6 meses, para disponer de $20,000 al final?

3. En cunto tiempo se acumulan US$15,000 con depsitos semanales de US$445 y una tasade inters del 6.5% anual compuesto por semanas?


4. Cunto se acumula en 8 meses con depsitos quincenales de $700, en una cuenta que abo-na el 10.24% de inters compuesto por meses?

5. Cuntos pagos mensuales de $1,800 se necesitan para acumular $25,000, a una tasa de in-ters del 11.4% nominal mensual?

6. Cunto debe invertir quincenalmente la contadora Rosala durante 7 meses, para recuperarun pagar que firm por un crdito de $35,000 al principio, a una tasa de inters del 12%simple anual? Suponga que su inversin redita el 13.02% de inters compuesto por quincenas.

7. Qu le conviene ms al comprador de un reproductor de DVD cuyo precio es de $3,200: pagar-la de contado en ese precio o en 8 abonos semanales anticipados de $375, antes de adquirirla?

Suponga que el dinero redita el 9.52% de inters compuesto por semanas.

8. Cunto gana en intereses la licenciada Claudia, al realizar 20 depsitos quincenales antici-pados de $450 que devengan el 11.20% de inters anual compuesto por quincenas?

9. Determine cul alternativa acumula ms dinero en un ao y medio:

a) Un pago nico al principio de $22,500 y una tasa de inters del 10% anual simple.b) 18 rentas mensuales anticipados de $1,380 ganando el 9.06% de inters compuesto pormeses.

c) 6 pagos trimestrales de $4,050 y una tasa de inters del 11% anual compuesto por trimestres.d) 3 depsitos semestrales anticipadas de $7,800 y una tasa de inters del 12.36% efectiva.

10. Al nacer su primognito, un padre de familia realiza un depsito bancario por $7,000, cun-to debe depositar al comenzar cada semestre, desde el segundo, para disponer de $150,000cuando su hijo cumpla los 7 aos de edad, suponiendo que la inversin redita el 11.6% deinters nominal semestral? De cunto dispondra a los 15 aos de edad si contina con losdepsitos? Obtenga los intereses que gan a los 15 aos del primognito.

11. Con cuntas rentas mensuales anticipadas de $875 se acumula un monto de $14,000? Si latasa de inters es del 9.72% anual capitalizable por meses?

12. Al comenzar su carrera profesional, cuya duracin es de 9 semestres, un estudiante decideahorrar $500 al inicio de cada mes, durante todo ese tiempo, en un banco que paga interesesdel 21.6% anual capitalizable por meses. De cunto dinero dispondr 2 aos despus de ha-ber concluido sus estudios?

13. Cunto debe invertir cada quincena, al principio, una persona que pretende acumular$54,000 en un ao y medio, considerando que su inversin gana el 11.76% de inters anualcompuesto por quincenas?

14. Cunto dinero se acumula con 15 pagos mensuales anticipados de $850, si la tasa de inte-rs anual capitalizable por meses en los primeros 4 meses es del 9.6% y despus aumenta1.8 puntos porcentuales cada semestre? Evale los intereses.

15. Cuntos depsitos semanales de $375 se necesitan para acumular $8,500 con intereses del12.48% anual compuesto por semanas?


16. Con cul de los siguientes planes de ahorro un empleado acumula ms dinero en un perio-do de dos aos?a) Depositando $400 al inicio de cada mes ganando intereses del 12.6% anual capitalizablepor meses.b) Invirtiendo $800 al comenzar cada bimestre con intereses del 12.6% nominal bimestral.c) Ahorrando $200 cada quincena, al inicio, devengando intereses del 11.28% compuestopor quincenas.

17. Cunto acumula la licenciada Martha Patricia con 26 pagos quincenales de $425 en un ban-co que le da a ganar el 19.8% de inters anual, capitalizable por quincenas, en los primeros3 meses, el 22.2% en los 4 meses siguientes y el 24% en los ltimos 6 meses del plazo?

18. Cunto dinero tiene Adriana si desde hace 5 aos ha estado ahorrando $650 al inicio de cadaquincena en un banco que le ha pagado el 16.8% compuesto por quincenas?

19. Cuntos abonos semanales de $1,735 se requieren para acumular $25,000, si se devenganintereses del 20.28% anual compuesto por semana?

20. Para rescatar un pagar que se firm por un crdito en mercanca de $179,500, intereses del15% simple anual y un plazo de 14 meses, un comerciante en abarrotes deposita $41,600 ca-da bimestre, en un banco que le da intereses del 11.70% anual compuesto por bimestre.Cuntos abonos deber hacer antes de que se venza el documento?

21. Cunto debe depositar cada mes al inicio, el arquitecto Hernndez durante 8 meses a partirdel segundo para acumular $125,000, que piensa destinar a la remodelacin de sus oficinas,si su inversin devenga intereses del 12.9% anual capitalizable por meses y abri la cuentacon $30,000?

En los problemas 22 a 36 seleccione la opcin correcta justificando la eleccin.22. Cunto se acumula con 13 depsitos semanales de $1,750 en una cuenta que bonifica inte-

reses del 9.10% anual capitalizable por semanas?a) $23,653.09 b) $24,786.42 c) $23,030.65 d) $25,093.18 e) Otra

23. Cunto debe invertirse cada mes al 13.8% capitalizable por meses, para disponer de$129,000 en un ao?a) $9,322.45 b) $10,005.38 c) $9,972.22 d) $9,725.40 e) Otra

24. En cunto tiempo se acumulan $38,850, depositando $2,500 cada quincena al 10.5% nomi-nal quincenal?a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) Otra

25. Cunto se devenga por intereses en el problema 24?a) $1,450 b) $1,430 c) $1,350 d) $1,270 e) Otra

26. El matemtico Gonzlez firma un documento por un crdito de $32,570, con cargos del 13%simple anual y plazo de 6 meses. Cunto debe depositar cada semana en una cuenta que bo-nifica el 11.44% nominal semanal para librar el pagar? Suponga que abre la cuenta cuandofirma el documento.a) $1,311.75 b) $1,250.43 c) $1,297.00 d) $1,294.94 e) Otra


27. Cunto gan o perdi por intereses el matemtico del problema 26?a) perdi $1,098.44 b) gan $502.75 c) perdi $502.75 d) gan $785.32 e) Otra

28. Un estudiante abre una cuenta en un banco que paga el 15.6% nominal quincenal y continadepositando $1,750 cada quincena al inicio. 20 meses despus de que la abri tiene acumu-lados $90,857.45. Con cunto inici sus ahorros?a) $8,250 b) $10,000 c) $11,750 d) $9,000 e) Otra

29. Cuntos pagos bimestrales de $8,193, se necesitan para alcanzar un monto de $70,000, sise devengan intereses del 8.76% capitalizable por bimestre?a) 10 b) 9 c) 7 d) 8 e) Otra

30. Para ayudar con los gastos de su graduacin, una pareja de estudiantes decide depositar $450cada quincena, desde que comienzan su carrera profesional. Cunto acumulan si el primerao ganan el 8.4% de inters anual capitalizable por quincenas, los siguientes dos les boni-fican el 9.12% y los ltimos 3 semestres, el 9.60% nominal quincenal?a) $61,243.09 b) $60,110.07 c) $60,425.08 d) $60,021.32 e) Otra

31. Cunto pag por intereses la pareja del problema 30?a) $11,510.07 b) $11,623.21 c) $12,008.72 d) $11,927.72 e) Otra

32. Durante los primeros 6 aos de vida de su hijo, un padre de familia deposita $750 cada mesen un banco que durante ese periodo bonifica intereses del 15.84% nominal mensual. Paralos siguientes 5 aos incrementa sus depsitos en un 20%, pero la tasa de inters se reduceal 15.48% nominal mensual y durante los siguientes 7 aos incrementa los depsitos mensua-les otro 15%, pero en un lapso el banco le bonificar el 17% efectivo. Cunto dinero tienecuando el hijo llega a los 18 aos de edad?a) $859,343.09 b) $600,302.48 c) $429,425.71 d) $961,496.67 e) Otra

33. Cunto gan por intereses el padre del problema 32?a) $763,556.67 b) $302,465.03 c) $528,293.45 d) $899,008.35 e) Otra

34. Para renovar su maquinaria y equipamiento, la Impresora Occidental consigue un crdito yfirma un documento con valor nominal de $1950,000 incluyendo intereses y vencimiento a13 meses. Simultneamente, abre una cuenta con depsitos mensuales de $125,000 e intere-ses del 10.2%. Cunto le faltar para liberar su pagar?a) $175,243.25 b) $302,425.58 c) $273,429.82 d) $224,946.96 e) Otra

35. En el problema 34, por qu capital fue el crdito otorgado a la Impresora, si le cargaron el12% efectivo?a) $1724,706.05 b) $1689,423.52 c) $1605.405.38 d) $1 928.878.43 e) Otra

36. En el problema 34, cunto dinero pag por concepto de intereses a la Impresora Occidental?a) $127,943.51 b) $125,240.91 c) $115,201.43 d) $140,810.03 e) Otra

2455.3: Valor presente de las anualidades ordinarias

Estas anualidades se caracterizan porque los pagos se realizan al final de cada periodo, raznpor la cual se conocen tambin como anualidades vencidas. Lo ms comn, como se dijo an-tes, es asociar las rentas con su valor equivalente al comenzar el plazo, es decir, con su valorpresente C que se obtiene con la frmula que se desarrolla en el primer ejemplo de esta sec-cin.

Las aplicaciones ms comunes de estas anualidades se refieren a la amortizacin de deudas,como crditos hipotecarios, automotrices o cualquier otro que se liquida con pagos peridicosy cargos de inters compuesto.

5.3 Valor presente de las anualidades ordinarias

solucin

Ejemplo 1

Deduccin de la frmula general

Cunto podr retirar cada viernes durante 8 meses el ingeniero Serrano, si al comienzo delplazo deposita $30,000 devengando intereses del 26% compuesto por semanas?

Los rectngulos de la grfica de la figura 5.8 representan las semanas. Al final de cada unose ubican las rentas.

30,000 R1 R2 R3 R35

1 2 3 35

C1

C35C3C2

8 meses

FIGURA 5.8

El nmero de semanas que hay en 8 meses es

(8/12)52 = 34.67,resultado que se redondea como 35 semanas.

El proceso consiste en encontrar al inicio del plazo el valor presente C de cada renta, pa-ra despus igualar la suma de todos con los $30,000 de la inversin inicial, como si el iniciofuese una fecha focal.

Se emplea la frmula del inters compuesto:

M = C(l + i/p)np

C x

7 8 9

4

5 6

1 2 3

0 .


de donde se despeja C dividiendo los dos lados entre (1 + i/p)np.M/(l + i/p)np = C o C = M(1 + i/p)np ya que a/bn = abn

La tasa por periodo es i/p = 0.26/52 = 0.005 y el plazo en cada renta es, respectivamente, de1, 2, 3, , hasta 35 meses en la ltima. Por lo tanto, el valor actual de cada una es:

C1 = R1(1 + 0.005)1C2 = R2(1.005)2C3 = R3(1.005)3o

C35 = R35(1.005)35y cuya suma deber ser igual a los $30,000 iniciales, es decir:

R1(1.005)1 + R2(1.005)2 + + R35(1.005)35 = 30,000.Puesto que todas las rentas son iguales, stas se reemplazan por R que luego se factoriza.

(A) R[(1.005)1 + (1.005)2 + + (1.005)35] = 30,000De nuevo, la suma entre corchetes es una serie geomtrica con 35 trminos, donde el prime-ro y la razn son:

a1 = r = (1.005)1 porque r = a2/a1, por lo tanto, est dada por

suma = (1.005) 1

a1 = 1/a, si a 0

aa1 = 1, siempre que a 0

(B) 1.005 1 = 0.005suma = 32.03537132

Este resultado se sustituye por el corchete de la ecuacin (A):R[32.03537132] = 30,000

de donde la renta semanal queda como:

R = 30,000/32.03537132 o R = $936.46 Para generalizar, note que la suma entre los corchetes en la misma ecuacin (A) est dadapor:

suma = + +

+

( ) ( / )( / )1 11 11 1

11p

i pi p

np

suma =

1 1 0050 005

35( . ).

suma =

1 1 0051 005 1

35( . ).

suma =

11 005

1 1 0051 1 005

35

1.

( . )( . )

S a rr

n

=

111

1 1 0051 1 005

1 35

1

(( . ) )( . )

Como en todas las frmulas, es posible cuestionar cualquiera de las literales, por lo que para des-pejar una, lo mejor, insistimos, es hacerlo despus de haber sustituido los valores que se conocen.


que con algunos pasos algebraicos, como en el desarrollo anterior, se simplifica como:

tal como result en la ecuacin (B).En la tabla 5 del apndice estn algunos valores para esta expresin, que en ocasiones se

denota como aN i : a subndice N al i, que corresponde al valor presente de N, es decir, nprentas vencidas de $1 cada una.

Si se reemplaza la suma en la ecuacin (A), resulta la frmula del siguiente teorema.

suma = + 1 1( )i p

i p

np

Teorema 5.2

El valor presente C de una anualidad vencida, simple, cierta e inmediata est dado por:

donde:R es la renta por periodo.i es la tasa de inters anual capitalizable en p periodos por ao.p es la frecuencia de conversin de intereses y de pagos, y n es el plazo en aos.

C R i pi p

np=

+

1 1( / )/

solucin

Ejemplo 2

Valor presente de un seguro de vida

La beneficiaria de un seguro de vida recibira $3,100 mensuales durante 10 aos, aunque pre-fiere que le den el equivalente total al inicio del plazo. Cunto le darn si el dinero reditaen promedio el 19.35% anual compuesto por meses?

Los valores para reemplazar en la ecuacin 5.2 son:R = 3,100, la renta mensualn = 10, el plazo en aosp = 12, porque son mensualesi = 0.1935 o i/p = 0.016125, la tasa mensual capitalizable por meses

C x

7 8 9

4

5 6

1 2 3

0 .

F


Entonces, el capital que la aseguradora deber entregar a la beneficiaria es:

np = 10(12) = 120

C = 3,100(52.91964132) o C = $164,050.89

Solucin alterna

Como se dijo en la seccin que precede, otra forma de obtener este resultado consiste en apli-car la ecuacin 5.1 para el monto de anualidades anticipadas; no obstante, para ello se nece-sita convertir o expresar la anualidad ordinaria como una anticipada, agregando un periodoficticio, el 121, e ignorando el primero tal como se ve en la figura 5.9, teniendo presente querealizar un pago al final de cada periodo es lo mismo que hacerlo al inicio del siguiente.

C =

3 100 1 1 0161250 016125

120,

( . ).

R1 R2 R120

C

1o_ 2o_ 120o_ 121o_

Monto

Entonces, el monto que se acumula al final del periodo 120 sin contar el primero, es

M = 3,100(1.016125)(360.8056081) o M = 1136,533.155y 121 meses antes est el valor presente C de este monto, de tal forma que:

l136,533.155 = C(1.016155)121

de donde C = l136,533.155/6.927930526 o C = $164,050.89, que es igual al anterior.

M =

3 100 1 016125

1 016125 10 016125

120, ( . ) ( . )

.

FIGURA 5.9

Ejemplo 3

Plazo en la compra de un tractor

Cuntos abonos bimestrales vencidos de $40,000 son necesarios para pagar el precio de untractor, que se compr con un anticipo y un crdito de $350,000? Suponga intereses de13.8% capita1izab1e por bimestres.

Ajuste del nmero de rentas

En virtud de que los intereses se hacen efectivos hasta que concluyen periodos completos, elresultado anterior deber ser un entero, por eso se hace un ajuste, en este caso y casi siempreque se cuestione el nmero de rentas. Este ajuste se realiza por lo menos de las siguientes ma-neras:

Redondeando x al entero menor, razn por la cual los abonos crecen. Redondeando al entero mayor, con lo que la renta disminuye.Con un pago menor al final del plazo. O bien,Con uno mayor al final.

En todas se supone, claro, que el capital no vara, variarlo sera otra opcin

a) Con np = 9 rentas, cada una es de $43,496.61, ya que

350,000 = R(8.046604074)

350 000 1 1 0230 023

9,

( . ).

=

R


solucin

En la ecuacin 5.2 se reemplazan C por 350,000, i por 0.138, p por 6, porque son bimestra-les y son 6 los bimestres del ao, R por $40,000, el valor de cada pago, e i/p = 0.023. La in-cgnita es n o np, entonces,

Para despejar la incgnita, se multiplica por 0.023, se divide entre 40,000, se resta la unidada los dos lados de la ecuacin, se denota con x a np, el nmero de pagos, y despus se tomalogaritmo.

0.20125 1 = (1.023)x(1.023)x = 0.79875

Ln(1.023)x = Ln(0.79875)(x)Ln(1.023) = Ln(0.79875)

x = Ln(0.79875)/Ln(1.023)x = 9.881809277 o x = 9.881809277

350 000 0 02340 000

1 1 023, ( . ),

( . ) = x

350 000 40 000 1 1 0230 023

, ,

( . ).

=

np

de dondeR = 350,000/8.046604074 o R = $43,496.61

b) Si se consideran 10 rentas, entonces cada una se reduce:

350,000 = R(8.843210239)de donde

R = 350,000/8.843210239 o R = $39,578.39En ste y todos los casos semejantes, debe suponerse que el saldo al final es nulo, es de-cir, que la deuda queda en ceros.

c) Para hallar el pago menor al final del plazo, se obtiene el valor actual C de los 9 prime-ros y su diferencia con el crdito original, ser el valor presente del ltimo pago 10 bi-mestres despus.

C = 40,000(8.046604074) o C = $321,864.163La diferencia con el crdito inicial es:

350,000 321,864.163 = 28,135.837

y el valor futuro, 10 bimestres despus, es:

M = 28,135.837(1.023)10M = 28,135.837(1.25532546) o M = $35,319.63

Note que otra manera ms prctica de obtener la ltima renta consiste en multiplicar laparte decimal de x por 40,000, aunque esto carece de precisin.

0.881809277(40,000) = 35,272.37d) Si el ltimo abono es mayor que los restantes, entonces deber ser el noveno. Para obte-

nerlo, a los $40,000 se les suma el valor futuro de la diferencia anterior, que con plazode 9 meses, es:

M = 28,135.84(1.023)9M = 28,135.84(1.227102112) o M = 34,525.55

Consecuentemente, el ltimo abono es

R9 = 40,000.00 + 34,525.55 o R9 = $74,525.55

C =

40 000 1 1 0230 023

9,

( . ).

350 000 1 1 0230 023

10,

( . ).

=

R


Anualidad general

Como se dijo anteriormente, una anualidad es general si los pagos se realizan en periodos dis-tintos a la frecuencia con que los intereses se capitalizan. Un mtodo de solucin consiste entransformar la anualidad general en simple, utilizando la tasa de inters equivalente, como seaprecia en el siguiente ejemplo.


solucin

Ejemplo 4

Toma de decisiones al vender un camin

El dueo de un camin de volteo tiene las siguientes opciones para vender su unidad:

a) Un cliente puede pagarle $300,000 de contado.b) Otro le ofrece $100,000 de contado y 7 mensualidades de $30,000 cada una. c) Un tercero le ofrece $63,000 de contado y 20 abonos quincenales de $12,500 cada uno.Determine cul le conviene ms, si sabe que el dinero redita el 9.6% de inters anual capi-talizable por quincenas.

El problema se resuelve si se encuentra el valor presente de las ltimas dos opciones y secompara con los $300,000 de la primera.

Para el capital al inicio del plazo de la segunda alternativa, es necesario encontrar la tasacapitalizable por meses, equivalente al 9.6% nominal quincenal, ya que los abonos son men-suales. Para esto se igualan los montos considerando que el capital es C = 1. Luego, para des-pejar i, se obtiene la raz doceava y se realizan otros pasos algebraicos, esto es:

(1 + i/12)12 = (1 + 0.096/24)241 + i/12 = (1.004)2 se obtiene raz doceava, 24/12 = 21 + i/12 = 1.008016

de donde

i = (1.008016 1)12 i = 0.096192 o 9.6192%El valor presente de las 7 mensualidades de $30,000 es, por lo tanto,

C = 30,000(6.780843239)C = 203,425.2972 o C = $203,425.30

que agregados al anticipo arrojan un total de100,000 + 203,425.30 = $303,425.30

Note que la anualidad general se transform en una simple.

C =

30 000 1 1 0080160 008016

7,

( . ).


Para la ltima opcin, se tiene que el valor presente de las 20 rentas quincenales de $12,500es:

C = 12,500(19.18408398) o C = 239,801.0498que junto con el pago de contado nos dan:

63,000 + 239,801.05 = $302,801.05Segn estos tres valores C

a= 300,000, Cb = 303,425.30 y Cc = 302,801.05, que sin tomar en

cuenta otros factores como la inflacin, la segunda opcin es la que ms conviene a los in-tereses del propietario del camin. Sin embargo, la primera, aunque sea menor, sera la msatractiva, ya que se dispone del dinero en efectivo.

C = +

12 500 1 1 0 096 240 004

20,

( . / ).

Ejercicios5.3

1. Cul es la caracterstica de las anualidades ordinarias?

2. Por qu en las anualidades ordinarias las rentas se relacionan con su valor presente al ini-cio del plazo?

3. Cunto debe invertir al principio, al 16% de inters compuesto por semestres, un padre defamilia para retirar $15,000 al final de cada semestre durante 4 aos?

4. Cunto puede retirar cada quincena durante 2 aos la beneficiaria de un seguro de vida de$250,000, si al principio los invierte en una cuenta que produce intereses del 11.28% anualcompuesto por quincenas?

5. Cuntos retiros de $3,585 al mes pueden hacerse, si al inicio se depositan $47,000 en unacuenta que genera intereses del 29.4% anual compuesto por meses?

6. Se compra una lancha cuyo precio es de $275,000 y se paga con un enganche del 30%, unabono a los 3 meses por $50,000 y el resto con 10 mensualidades vencidas a partir del cuar-to mes. De cunto es cada mensualidad si se tienen cargos del 18.6% de inters anual com-puesto por meses? A cunto ascienden los intereses?

7. Cul es el precio al contado de una recmara que se paga con enganche de $1,500 el da dela compra, 24 abonos semanales de $325 e intereses del 13.26% nominal semanal?

8. Cunto debe invertir el padre de un estudiante un ao antes de que ste comience sus estu-dios profesionales, si sabe que necesitar $10,000 al inicio de cada cuatrimestre durante 2aos y 8 meses, y el inters es del 19.5% anual compuesto por cuatrimestres?

c Annuities 1

Documents

Transcript of c Annuities 1