ME 747 Introduction to computational

fluid dynamics

By Chainarong Chaktranond

Lecture 4

Introduction to numerical methods

2Chainarong Chaktranond, Thammasat University

Lecture schedule

5. Introduction to solve engineering problems with finite-different method

- Taylor series expansion, Approximation of the second derivative, Initial condition and

Boundary conditions

6 – 7

4. Introduction to numerical methods

- Finite different method, Finite volume method, Finite element method, etc.

5

3. Overviews of governing equations for flow and heat transfer

-Elliptic, Parabolic and Hyperbolic equations

4

2. Introduction to Fortran programming

- Basic commands in Fortran programming

2 - 3

1.Overviews of computational fluid dynamics

- Overviews and importance of heat transfer in real applications1

TopicsSession

3Chainarong Chaktranond, Thammasat University

Contents

Overviews of numerical solving methods

Finite difference method

4Chainarong Chaktranond, Thammasat University

Introduction to numerical methods

การกาหนดฟสกสของปญหา (Define the physical problem)

การกาหนดแบบจาลอง (Create a mathematical model)

- Systems of PDEs, ODEs, algebraic equations

- การกาหนดเงอนเรมตน เงอนไขขอบเขต เพอใหสอดคลองกบปญหา (Well- posed

problem)

การสรางแบบจาลองแบบดสครท (Discrete model)

- การดสครไตซโดเมน → การสรางกรด → การไดแบบจาลองแบบดสครท

- ระบบการแกสมการดสครท

การวเคราะหคาผดพลาดในระบบดสครท (Analyze errors in the discrete system)

- ความสอดคลอง/ตรงกบกายภาพ ความเสถยร และการวเคราะหการลเขาของคาตอบ

5Chainarong Chaktranond, Thammasat University

Numerical solving methods

Finite difference method

Finite element method

Finite volume method

Spectral method

6Chainarong Chaktranond, Thammasat University

Main numerical methods for PDEs

Finite difference method (FDM)

Advantages:

Simple and easy to design the scheme

Flexible to deal with the nonlinear problem

Widely used for elliptic, parabolic and hyperbolic equations

Most popular method for simple geometry, ….

Disadvantages:

Not easy to deal with complex geometry

Not easy for complicated boundary conditions

……..

7Chainarong Chaktranond, Thammasat University

Finite difference method

( )0, XΩ =

หลกการ คอ การหาคาอนพนธในสมการอนพนธยอยเปนคาประมาณโดยใชคาฟงกชนเชงเสนทจด

บนกรด

1 D ( )i iu u x≈ 0,1,2, ,i N= …

Grid points ix i x= Δ Mesh sizeXxN

Δ =

อนพนธอนดบท 1( ) ( ) ( ) ( )

0 0lim limi i i ii

x x

u x x u x u x u x xux x xΔ → Δ →

+ Δ − − − Δ∂= =

∂ Δ Δ

( ) ( )0

lim2

i i

x

u x x u x xxΔ →

+ Δ − − Δ=

Δ

8Chainarong Chaktranond, Thammasat University

การประมาณคาอนพนธอนดบทหนง

1i i

i

u uux x

+ −∂⎛ ⎞ ≈⎜ ⎟∂ Δ⎝ ⎠

1i i

i

u uux x

−−∂⎛ ⎞ ≈⎜ ⎟∂ Δ⎝ ⎠

1 1

2i i

i

u uux x

+ −−∂⎛ ⎞ ≈⎜ ⎟∂ Δ⎝ ⎠

Taylor series expansion

x

( ) ( )2 32 3

1 2 32 6i ii i i

x xu u uu u xx x x+

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + Δ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )2 32 3

1 2 32 6i ii i i

x xu u uu u xx x x−

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − Δ + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

T1

T2

9Chainarong Chaktranond, Thammasat University

คาผดพลาดจากการประมาณคาอนพนธอนดบทหนง

T1

- T2

Truncation error ( )O xΔ

T1

T2

คาผดจากการการคานวณโดยการประมาณอนพนธอนดบหนง

10Chainarong Chaktranond, Thammasat University

การประมาณอนพนธอนดบทสอง

( )( )

221 1

2 2

2i i i

i

u u uu O xx x

− +⎛ ⎞ − +∂= + Δ⎜ ⎟∂ Δ⎝ ⎠

Central difference scheme

Alternative derivative

11Chainarong Chaktranond, Thammasat University

การประมาณคาโดยอนพนธผสม

Second difference approximation

12Chainarong Chaktranond, Thammasat University

การประมาณคาโดยอนพนธอนดบสงๆ

Taylor series expansion

backward

forward

central

central

13Chainarong Chaktranond, Thammasat University

Example: 1-D Poisson equation

14Chainarong Chaktranond, Thammasat University

Example: 1-D Poisson equation

15Chainarong Chaktranond, Thammasat University

Example: 2-D Poisson equation

16Chainarong Chaktranond, Thammasat University

Example: 2-D Poisson equation

17Chainarong Chaktranond, Thammasat University

18Chainarong Chaktranond, Thammasat University

19Chainarong Chaktranond, Thammasat University

20Chainarong Chaktranond, Thammasat University

Main numerical methods

Finite element method (FEM)

Advantages:

Flexible to deal with problems with complex geometry and complicated boundary conditions

Keep physical laws in the discretized level

Rigorous mathematical theory for error analysis

Widely used in mechanical structure analysis, computational fluid dynamics (CFD), heat transfer, electromagnetics, …

Disadvantages:

Need more mathematical knowledge to formulate a good and equivalent variational form

21Chainarong Chaktranond, Thammasat University

Finite element methods

Basic idea( ) ( ) ( )

1

ˆM

j jj

u x u x u xφ=

≈ = ∑basic functions

M unknowns: ตอง M สมการ

Discretizing derivative results in linear system

jujφ

22Chainarong Chaktranond, Thammasat University

Main numerical methods

Finite volume method (FVM)

Flexible to deal with problems with complex geometry and complicated boundary conditions

Keep physical laws in the discretized level

Widely used in CFD

2

2e w

e wP

u ux xu

x xx

⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎡ ⎤∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦=⎢ ⎥ −∂⎣ ⎦

E P

e E P

u uux x x

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠P W

w P W

u uux x x

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠

23Chainarong Chaktranond, Thammasat University

Main numerical methods

Spectral method

Advantage

High (spectral) order of accuracy

Usually restricted for problems with regular geometry

Widely used for linear elliptic and parabolic equations on regular geometry

Widely used in quantum physics, quantum chemistry, material sciences,

Disadvantage

Not easy to deal with nonlinear problem

Not easy to deal with hyperbolic problem

…..