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BUSCANDO EL LÍMITE META 35

Duración

MÓDULO CUALIFICAR MATEMÁTICAS AÑO 2020

Meta de Aprendizaje Infiero la razón de cambio como noción de derivada a partir del análisis de los gastos mensuales generados en mi hogar u otras situaciones de la vida real, identificando y solucionando problemas de acuerdo a mis necesidades económicas y a las de otros.

Preguntas Esenciales

• • ¿Cómo se relaciona la definición de límite con

situaciones económicas de la vida real? • ¿Cómo puede aplicarse la serie Fibonacci en una

situación problema económico del común? • ¿Hay alguna diferencia o relación entre sucesiones de

bienes económicos y sucesión matemática?

• ¿Cómo se relaciona el IMC con la idea de límites y

derivada?

• ¿Qué sucede cuando un vehículo cambia su velocidad

en determinado instante de tiempo?

• ¿Una tasa de cambio como se relaciona con la

derivada?

• ¿Cómo se puede explicar el aumento o disminución de

una tasa de interés?

Evidencias • Demuestra la relación entre la razón de cambio como

noción de derivada y situaciones de otras disciplinas que

le permiten comprender los gastos mensuales generados

en su hogar y otras actividades económicas. • Cuestiona situaciones de la vida real, las cuales pueden

ser modeladas por medio de límites. • Identifica límites y soluciona problemas de acuerdo a mis necesidades económicas y a

las de otros.

• Cuestiona actividades económicas propias y de su comunidad.

• Identifica derivadas y soluciona problemas de acuerdo a mis necesidades económicas y

a las de otros.

• Demuestra la razón de cambio como noción de derivada y situaciones de otras

disciplinas que le permitan comprender los gastos mensuales generados en su hogar y

otras actividades económicas.


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ACTIVIDAD 1: LOS CONEJOS BEBES

Una persona adquiere una granja para comercializar algunas especies, entre ellas conejos.

Para eso se debe estudiar su reproducción en tiempo y cantidad. El ejercicio de Fibonacci

pregunta cuántas parejas de conejos habrá en la granja luego de 12 meses, si se coloca

inicialmente una sola pareja y se parte de las siguientes premisas:

• Los conejos alcanzan la madurez sexual a la edad de un mes.

• En cuanto alcanzan la madurez sexual los conejos se aparean y siempre resulta preñada

la hembra.

• El periodo de gestación de los conejos es de un mes.

• Los conejos no mueren.

• La hembra siempre da a luz una pareja de conejos de sexos opuestos.

• Los conejos tienen una moral y un instinto de variedad genética muy relajados y se

aparean entre parientes.

• El proceso de crecimiento de la población de conejos es mejor descrito con la siguiente

ilustración.

MATERIALES REQUERIDOS

• Fotocopia de la guía por estudiante. • Hojas milimetradas. • Libros de matemáticas de grado 11 con las temáticas acerca de sucesión y límites. • Cuaderno o bitácora con el seguimiento de la situación planteada. • Folleto. • Juego jenga • Dados y tablero impreso.


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¿Cómo se puede observar el número de parejas de conejos por mes está determinado por la

sucesión de Fibonacci? Así que la respuesta al ejercicio acerca de ¿cuántas parejas de conejos

habrá luego de un año es?

Las siguientes figuras fueron construidas con palos de fósforos. Completa cada celda y

responde la pregunta

A. ¿Cuántos palos de fósforos se usaron para construir la sexta figura?

B. Si se ocuparon 41 palos de fósforos, ¿qué figura es?

C. ¿Cuál es la regla de formación que permite saber la cantidad de fósforos usados en

cualquier figura?

• Las siguientes figuras fueron construidas con palos de fósforos. Completa cada celda

y responde la pregunta.


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a. ¿Cuántos palos de fósforos se usaron para construir la séptima figura?

b. Si se ocuparon 17 palos de fósforos ¿qué figura es?

c. ¿Cuál es la regla de formación que permite saber la cantidad de fósforos usados en cualquier figura?

11. El jardinero de un parque lo está reforestando. Planta árboles siguiendo cierto

patrón: en la primera fila 5 árboles, en la segunda 7 árboles y así sucesivamente, tal

como se muestra a continuación:

12. Completa la tabla y de acuerdo a ello, responde:

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a. ¿Cuántos árboles tendrá la quinta fila?

b. Si una fila tiene 17 árboles, ¿a cuál corresponde?

13. Por cada vez que completes un número en la secuencia que está en el caparazón del

caracol, éste avanza hacia su comida. Ayúdale a que pueda alimentarse.

ACTIVIDAD 2: LA PRÁCTICA HACE AL MAESTRO

CONSULTA

https://www.matematicasonline.es/BachilleratoCCNN/Primero/ejercicios/limites_sucesiones_2.pdf

A) Consulta el concepto de sucesión.

B) Consulta cuales son las partes de una sucesión.

C) Escribe la sucesión de los números naturales.

D) Crea una fórmula matemática que genere los números pares.

E) Crea una fórmula matemática que genere los números impares.

¡¡¡¡ BUSCO A MI PROFE!!!!

Me acerco al docente acompañante para

verificar procesos y avances de mi guía.

https://www.matematicasonline.es/BachilleratoCCNN/Primero/ejercicios/limites_sucesiones_2.pdfhttps://www.matematicasonline.es/BachilleratoCCNN/Primero/ejercicios/limites_sucesiones_2.pdfhttps://www.matematicasonline.es/BachilleratoCCNN/Primero/ejercicios/limites_sucesiones_2.pdf


ACTIVIDAD 3: CONVERGE O DIVERGE “PRACTICA”

a. Continúa la secuencia con siete términos más sobre los que ya aparecen en la figura.

a. ¿A partir de los siguientes términos de sucesiones encuentra cuales de ellas son

Convergentes o divergentes e indica cuál es su límite?

b. En los problemas del 1 al 6 determina los cinco primeros términos de la sucesión con el

término enésimo dado.

c. En los problemas del 7 al 12 determina el término general n y a, suponiendo que se

mantiene el patrón de los cinco términos que se dan.


Actividad 4: APRENDIENDO SIN LÍMITES

¿QUÉ ES INFINITO Y CÓMO RESOLVEMOS EJERCICIOS DE LÍMITES?

Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites.

En ocasiones es necesario hacer un trabajo algebraico en la función antes de resolver el límite, para evitar que el cálculo del mismo sea indeterminado, a esto se le conoce como "Evitar la indeterminación"

Si tienes dudas te invitamos a que des clic en el siguiente link https://www.vitutor.com/fun/3/a_e6.html

ANALIZA

a. ¿Hornear un pastel tiene límites? si no ¿Por qué?

b. ¿Cuál es el límite de velocidad en la ciudad de Barranquilla? ¿Cuál son las

consecuencias si se excede este límite? Adjunta evidencia fotográfica que indique esta

señalización. (Google maps, Google earth)

c. ¿En la toma de un medicamento existen límites? Justifique su respuesta

https://www.vitutor.com/fun/3/a_e6.html


ACTIVIDAD 5: FRACTALES

CONOCIENDO LOS LÍMITES DE LA NATURALEZA

Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de auto

similitud a cualquier escala, su dimensión no es entera o si es entera

no es un entero normal. El hecho que goce de auto similitud significa

que el objeto fractal no depende del observador para ser en sí, es decir,

si tomamos algunos tipos de fractales podemos

Comprobar que al hacer un aumento doble el dibujo es exactamente igual a la inicial, si hacemos un

aumento 1000 comprobaremos la misma característica, así pues, si hacemos un aumento n, el dibujo

resulta igual luego las partes se parecen al todo.

1. ¿Existen objetos fractales en la naturaleza?

Te invito a ver el siguiente video acerca de la presencia de fractales en el medio que te rodea:

https://www.youtube.com/watch?v=uK1unoVNtMs

Se comienza con una hoja y se dobla por la mitad, procurando marcar bien el doblez en los dos

sentidos.

Se hacen dos cortes por donde se ha doblado, cada uno a ¼ del borde de la hoja, de longitud la mitad

del original. Se dobla y se marca bien la pieza que se ha recortado hasta el extremo contrario. Se dobla

y se pliega la parte recortada hacia adentro

Se repite el proceso. Ahora se hacen los cortes, dada uno a ¼ del comienzo del pliegue y de longitud la mitad del papel que queda. Se dobla y se marca la pieza que se ha recortado para plegarla de nuevo hacia adentro. Se repite de nuevo el proceso.

https://www.youtube.com/watch?v=uK1unoVNtMs


Al realizar tres iteraciones (dobleces) comienza a ser complicado hacerlo manualmente, pues el

espesor de las dobleces va aumentando mucho. Ya por último se desdobla todo formando ángulos

rectos y se puede apreciar la belleza del objeto de tipo fractal realizado. Ayúdate del siguiente video

para la construcción de fractal https://www.youtube.com/watch?v=Jukd-HBm3Jw

A. ¿Se puede hacer este proceso de manera infinita?

B. ¿Cómo podrías calcular el área de cada trozo formado?

C. ¿el área es infinita?

ACTIVIDAD 6: LA FUNCIÓN DE LOS LÍMITES

TÉCNICAS PARA CALCULAR LÍMITES Del texto

http://huilaaprendematematicas.com/calculo/LIMITES.pdf

https://es.slideshare.net/eecoronado/4-guia-04-semestre-2-

limites-de-funciones

https://www.youtube.com/watch?v=Jukd-HBm3Jwhttp://huilaaprendematematicas.com/calculo/LIMITES.pdfhttps://es.slideshare.net/eecoronado/4-guia-04-semestre-2-limites-de-funcioneshttps://es.slideshare.net/eecoronado/4-guia-04-semestre-2-limites-de-funcioneshttps://es.slideshare.net/eecoronado/4-guia-04-semestre-2-limites-de-funciones


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ACTIVIDAD 7: SI NO FACTORIZO NO ENCUENTRO LÍMITE

Para poder solucionar los siguientes ejercicios: consulta el último link sugerido “técnicas para

calcular límites

Actividad 8: Al infinito y más allá

El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos

alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al

infinito dentro. Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/infinito.html


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Explica brevemente el chiste de la imagen:

_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

Hagamos un pare y con resuelve el siguiente RETO:

LÍMITES INFINITOS EN UN PUNTO FINITO

Observa y analiza el link

https://www.youtube.com/watch?v=gJwOB1x3A2g

Se dice que el límite cuando se acerca por la derecha de es , pues a medida que la

se acerca a la función se hace cada vez mayor ( ) tiende a ):

De igual modo se define el límite −∞ cuando nos acercamos a sea por la derecha o por la

izquierda ( ) tiende a −∞.

https://www.youtube.com/watch?v=gJwOB1x3A2g


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LÍMITES FINITOS EN EL INFINITO: Observa y analiza el link

https://www.youtube.com/watch?v=P4Ui8wukDK0

Se dice que una función tiene límite cuando tiende a +∞ cuando la función se acerca a

cuando la se hace cada vez mayor, es decir:

LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO

Observa y analiza e link

https://www.youtube.com/watch?v=P4Ui8wukDK0 https://www.youtube.com/watch?v=unqJwhnwN3Y

Límites al infinito. Un límite al infinito es aquel al que tiende f(x) cuando la variable x se hace tan grande, tanto en positivo como en negativo, como queramos. Entonces la función f(x) puede tender a un valor finito o puede diverger a infinito (límite infinito).

Aparece este caso cuando si tiende a + ∞ la función se hace cada vez mayor o menor

(lo mismo si x tiende a −∞).

https://www.youtube.com/watch?v=P4Ui8wukDK0https://www.youtube.com/watch?v=P4Ui8wukDK0https://www.youtube.com/watch?v=unqJwhnwN3Y


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ACTIVIDAD 9: DERIVADA CON TAZA DE CAFE


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El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se

produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los

estudios de Física, Química y Biología. También en las ciencias sociales como la Economía y la

sociología, se utiliza el análisis matemático para explicar la rapidez de cambio en algunas

magnitudes.

La derivada en un punto está asociada a la pendiente de la recta tangente al gráfico de una función,

en el punto que le corresponde a la imagen de determinado valor de “x”. La recta tangente solamente

corta a la función en un punto.

Finalmente veremos la relación que tiene la derivada con los problemas de optimización de

funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o de mínimo (máximo rendimiento, mínimo

costo, máximo beneficio, mínima aceleración, mínima distancia, etc.

1. Representa gráficamente las siguientes rectas:

A. y = 2

B. y = −2

C. y = ¾

D. y = 0

E. x = 0

F. x = − 5

G. y = x

H. y = −2x – 1

I. y = ½x – 1

J. y = 2x

2. Representa las siguientes funciones, sabiendo que

A. Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (−3, 2).

B. Pasa por los puntos A (−1, 5) y B (3, 7).

C. Pasa por el punto P (2, −3) y es paralela a la recta de ecuación y = −x + 7


De manera individual en el cuaderno, construye un mapa conceptual en el que identifique características de la derivación de una suma, de un producto y de un cociente. Y soluciona los ejercicios propuestos en el link.

¿Cómo sería la derivada de una resta?

¿La derivada de un producto es igual al producto de las derivadas?

• http://matematica1y2bgudomingocomin.blogspot.com.co/

• http://diferencialintegraljjj.blogspot.es/

No olvides responder a las preguntas planteadas y desde ahí, identificar, por qué se necesita

dicha información y describir la manera cómo se va a utilizar en la elaboración de la solución

del problema propuesto.

A Continuación, comparte con dos o tres compañeros/as los resultados obtenidos de los siguientes

ejercicios propuestos

http://matematica1y2bgudomingocomin.blogspot.com.co/


Calcula la derivada para funciones

1.

2.

3.

4.

5.

Calcula las derivadas en los puntos que se indica:

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada

número real su derivada, si existe. Se denota por f'(x).

Realiza la búsqueda de información pertinente utilizando las herramientas como (libros de texto

de grado 11, Google, etc.). Se recomiendan consultar de google los siguientes enlaces:

• https://www.vitutor.com/fun/4/a_5.html Aquí se puede encontrar información

Acerca de la derivada de una función. • https://es.wikihow.com/calcular-la-derivada-de-algunas-funciones-b%C3%A1sicas

¿Cuál es la derivada de una constante?

¿Cómo es la derivada de una potencia entera positiva? ¿Y de una

negativa?

https://www.vitutor.com/fun/4/a_5.htmlhttps://es.wikihow.com/calcular-la-derivada-de-algunas-funciones-b%C3%A1sicas


Una aplicación de la derivada en la vida cotidiana se observa el siguiente link

https://www.youtube.com/watch?v=sMxlbTVDifo

1. Utiliza las reglas de derivación para solucionar:

ACTIVIDAD 10: HACIENDO EL PRESUPUESTO DE MI HOGAR

ANALIZA

A. Dada la situación, indaga con las personas que aportan dinero al hogar, luego realiza el

presupuesto:

Se quiere hacer un ahorro programado en las familias de los estudiantes de grado once, pensando

que es necesario optimizar gastos, con el fin de obtener los recursos económicos necesarios para el

ingreso a una educación universitaria.

Recuerda que el dinero que entra al hogar es producto de la prestación de servicios que recibe el

nombre de ingreso. Y la manera de calcular el ingreso total conseguido con el servicio es: Ingreso

total = (horas h) (cantidad de dinero por hora c) = hc

https://www.youtube.com/watch?v=sMxlbTVDifo


En esta relación se supone que el ingreso es igual para todos los trabajadores

Presupuesto dinero$

Salario

Otros ingresos

Total ingresos

Arriendo o cuota de pago de

la vivienda

Pago de servicios públicos

Alimentación

Trasporte

Recreación

Otros gastos

Total egresos

• ¿Cuál es el valor máximo de ahorro esperado?

• ¿Cuál es el valor máximo de ahorro alcanzado?

De manera individual al finalizar y con el apoyo del docente, compartir con los demás compañeros

este presupuesto.


ACTIVIDAD 11: A INVESTIGAR SE DIJO: LA DERIVADA Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

TASA DE CAMBIO

Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas

"a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx). Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por

Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h.

TASA DE VARIACIÓN MEDIA

Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por ó , al

cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de

abscisas, h ó Δx, esto es:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa

por los puntos de abscisas a y a+h.

ya que en el triángulo PQR resulta que: Tomado de https://es.scribd.com/document/246316387/SEMANA-09

SI QUIERES INVESTIGAR UN POCO MÁS TE INVIAMOS A CONSULTAR EN EL SIGUIENTE ENLACE Para comprender la interpretación geométrica de la derivada puedes ir al siguiente

enlace: http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_derivadas/te

oria/derivada_geo.html.

https://es.scribd.com/document/246316387/SEMANA-09http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_derivadas/teoria/derivada_geo.htmlhttp://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_derivadas/teoria/derivada_geo.html


Actividad 12: APLIQUEMOS

Realiza una consulta acerca de máximo y mínimos de una función utilizando las

herramientas que se consideren más convenientes (libros de texto grado 11,

Google, etc.). Se recomiendan consultar de google los siguientes enlaces:

https://edumatth.weebly.com/uploads/1/3/1/9/13198236/mximos_y_mnimos_de_una_fu

ncion_de_una_variable_independiente.pdf

http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htm

1. De manera individual en el cuaderno, construye un mapa mental en el que identifiques

características de la aplicación de la derivada hallando los valores máximos y mínimos.

¿Cuándo una función es cóncava? ¿Cuándo convexa?

Gráficamente ¿Cuándo una función crece? Y ¿Cuándo

decrece?

Antes de seguir analiza:

https://edumatth.weebly.com/uploads/1/3/1/9/13198236/mximos_y_mnimos_de_una_funcion_de_una_variable_independiente.pdfhttps://edumatth.weebly.com/uploads/1/3/1/9/13198236/mximos_y_mnimos_de_una_funcion_de_una_variable_independiente.pdf

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1. Dadas las funciones

a. ¿Cuál es su dominio?

b. Determina los puntos de corte con los ejes.

c. Calcula los máximos y los mínimos.

d. Calcula los puntos de inflexión.

e. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

f. Calcula los intervalos de concavidad y convexidad.

g. Determina las asíntotas, si es que existen.

2. Al trasladar un espejo de 70 x 100 cm, se ha roto por uno de sus vértices, y se ha hecho

añicos un triángulo rectángulo de 6 x 9 cm. Calcula por dónde debe cortarse este espejo para

obtener otro espejo que también sea rectangular y que tenga la mayor área posible.

¡ME PREPARO PARA SUSTENTAR LA META A

MI PROFE!


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