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Algoritmos e Estruturas de Dados II Busca em Grafos Prof. Tiago Eugenio de Melo [email protected] www.tiagodemelo.info
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Algoritmos e Estruturas de Dados II
Busca em GrafosProf. Tiago Eugenio de Melo
www.tiagodemelo.info
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Observações
● As palavras com a fonte Courier indicam as palavras-reservadas da linguagem de programação.
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Referências
● Projetos de Algoritmos – com implementações em Pascal e C. Nivio Ziviani. 2a edição. Thomson, 2005.
● Material baseado nas notas de aula do professor Marco Antônio Moreira de Carvalho. Acessado em 14/10/2019: http://www.decom.ufop.br/marco/ensino/bcc204/material-das-aulas
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IntroduçãoBusca em Grafos
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Busca em Grafos
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Busca em Grafos
● Definição
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Busca em Grafos
● Definição– A busca em grafos (ou percurso em grafos) é a
examinação de vértices e arestas de um grafo.
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Busca em Grafos
● Definição– A busca em grafos (ou percurso em grafos) é a
examinação de vértices e arestas de um grafo.– O projeto de bons algoritmos para determinação de
estruturas ou propriedades de grafos depende fortemente do domínio dessas técnicas.
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Busca em Grafos
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Busca em Grafos
● Terminologia
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Busca em Grafos
● Terminologia– Uma aresta ou um vértice ainda não examinados
são marcados como não explorados ou não visitados.
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Busca em Grafos
● Terminologia– Uma aresta ou um vértice ainda não examinados
são marcados como não explorados ou não visitados.
– Inicialmente, todos os vértices e arestas são marcados como não explorados.
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Busca em Grafos
● Terminologia– Uma aresta ou um vértice ainda não examinados
são marcados como não explorados ou não visitados.
– Inicialmente, todos os vértices e arestas são marcados como não explorados.
– Após terem sido examinados, os mesmos são marcados como explorados ou visitados.
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Busca em Grafos
● Terminologia– Uma aresta ou um vértice ainda não examinados
são marcados como não explorados ou não visitados.
– Inicialmente, todos os vértices e arestas são marcados como não explorados.
– Após terem sido examinados, os mesmos são marcados como explorados ou visitados.
– Ao final, todos os vértices e arestas são marcados como explorados (no caso de uma busca completa).
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Busca Genérica
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Atravessando Labirintos
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Como escapar?
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Como escapar?
● Algoritmo de Trémaux (Século XIX)
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Como escapar?
● Algoritmo de Trémaux (Século XIX)– Pierre Trémaux
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Como escapar?
● Algoritmo de Trémaux (Século XIX)– Pierre Trémaux– Arquiteto francês, fotógrafo e orientalista.
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Como escapar?
● Algoritmo de Trémaux (Século XIX)– Pierre Trémaux– Arquiteto francês, fotógrafo e orientalista.– Autor de várias publicações científicas e
etnografias.
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Como escapar?
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Como escapar?
● Algoritmo
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Como escapar?
● Algoritmo– Inicialmente, uma direção aleatória é escolhida.
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Como escapar?
● Algoritmo– Inicialmente, uma direção aleatória é escolhida.– Ao chegar em uma junção não visitada (ou seja,
nenhuma linha), escolha a direção aleatória e risque o caminho.
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Como escapar?
● Algoritmo– Inicialmente, uma direção aleatória é escolhida.– Ao chegar em uma junção não visitada (ou seja,
nenhuma linha), escolha a direção aleatória e risque o caminho.
– Ao chegar em uma junção já marcada, vire-se e caminhe de volta, marcando o caminho pela segunda vez.
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Como escapar?
● Algoritmo– Inicialmente, uma direção aleatória é escolhida.– Ao chegar em uma junção não visitada (ou seja,
nenhuma linha), escolha a direção aleatória e risque o caminho.
– Ao chegar em uma junção já marcada, vire-se e caminhe de volta, marcando o caminho pela segunda vez.
– Se este não for o caso, escolha o caminho com menos linhas e marque-o novamente.
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Como escapar?
● Algoritmo– Inicialmente, uma direção aleatória é escolhida.– Ao chegar em uma junção não visitada (ou seja, nenhuma
linha), escolha a direção aleatória e risque o caminho.– Ao chegar em uma junção já marcada, vire-se e caminhe
de volta, marcando o caminho pela segunda vez.– Se este não for o caso, escolha o caminho com menos
linhas e marque-o novamente.– Quando finalmente chegar à saída do labirinto, os
caminhos marcados com apenas uma linha indicarão o caminho direto até o ponto inicial.
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Como escapar?
● Algoritmo– Inicialmente, uma direção aleatória é escolhida.– Ao chegar em uma junção não visitada (ou seja, nenhuma
linha), escolha a direção aleatória e risque o caminho.– Ao chegar em uma junção já marcada, vire-se e caminhe de
volta, marcando o caminho pela segunda vez.– Se este não for o caso, escolha o caminho com menos linhas
e marque-o novamente.– Quando finalmente chegar à saída do labirinto, os caminhos
marcados com apenas uma linha indicarão o caminho direto até o ponto inicial.
– Se não houver saída, você voltará ao ponto inicial, no qual todos os caminhos possuem duas linhas.
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Atravessando Labirintos
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Atravessando Labirintos
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Atravessando Labirintos
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Atravessando Labirintos
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Atravessando Labirintos
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Atravessando Labirintos
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Atravessando Labirintos
● Ideia
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Atravessando Labirintos
● Ideia– Uma forma de encontrar a saída do labirinto sem
nunca percorrer mais de uma vez o mesmo caminho consiste em realizar uma busca no grafo de modo a nunca repetir arestas, marcando-as.
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Atravessando Labirintos
● Ideia– Uma forma de encontrar a saída do labirinto sem
nunca percorrer mais de uma vez o mesmo caminho consiste em realizar uma busca no grafo de modo a nunca repetir arestas, marcando-as.
– A busca se inicia no vértice que representa a entrada e termina no vértice que representa a saída.
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Atravessando Labirintos
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Atravessando Labirintos
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Atravessando Labirintos
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Busca em Grafos
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Busca em Grafos
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Busca em Grafos
● Dependendo do critério utilizado para a escolha dos vértices e arestas a serem visitados, diferentes tipos de buscas são desenvolvidos a partir da busca genérica.
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Busca em Grafos
● Dependendo do critério utilizado para a escolha dos vértices e arestas a serem visitados, diferentes tipos de buscas são desenvolvidos a partir da busca genérica.
● Basicamente, duas buscas completas em grafos são essenciais:
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Busca em Grafos
● Dependendo do critério utilizado para a escolha dos vértices e arestas a serem visitados, diferentes tipos de buscas são desenvolvidos a partir da busca genérica.
● Basicamente, duas buscas completas em grafos são essenciais:– Busca em profundidade (ou DFS – Depth-First
Search);
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Busca em Grafos
● Dependendo do critério utilizado para a escolha dos vértices e arestas a serem visitados, diferentes tipos de buscas são desenvolvidos a partir da busca genérica.
● Basicamente, duas buscas completas em grafos são essenciais:– Busca em profundidade (ou DFS – Depth-First
Search);– Busca em largura (ou BFS – Breadth-First Search).
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DFS versus BFS
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DFS versus BFS
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DFS versus BFS
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Busca em Profundidade (DFS)
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Busca em Profundidade (DFS)
● Características
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Busca em Profundidade (DFS)
● Características– A busca em profundidade visita todos os vértices
de um grafo, usando como critério os vizinhos do vértice visitado mais recentemente.
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Busca em Profundidade (DFS)
● Características– A busca em profundidade visita todos os vértices
de um grafo, usando como critério os vizinhos do vértice visitado mais recentemente.
– Principal característica:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Características– A busca em profundidade visita todos os vértices
de um grafo, usando como critério os vizinhos do vértice visitado mais recentemente.
– Principal característica:● Utiliza uma pilha explícita ou recursividade para guiar
a busca.
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Exemplo de uso de pilha:
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Busca em Profundidade (DFS)
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Busca em Profundidade (DFS)
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Busca em Profundidade (DFS)
● Classificação de arestas
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Busca em Profundidade (DFS)
● Classificação de arestas– Ao explorar um grafo G conexo usando a DFS,
podemos categorizar as arestas:
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Busca em Profundidade (DFS)
● Classificação de arestas– Ao explorar um grafo G conexo usando a DFS,
podemos categorizar as arestas:● Arestas de árvore: satisfazem ao primeiro se do
algoritmo (linha 3), ou seja, levam à visitação de vértices ainda não visitados.
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Busca em Profundidade (DFS)
● Classificação de arestas– Ao explorar um grafo G conexo usando a DFS,
podemos categorizar as arestas:● Arestas de árvore: satisfazem ao primeiro se do
algoritmo (linha 3), ou seja, levam à visitação de vértices ainda não visitados.
● Arestas de retorno: demais arestas. Formam ciclos, pois levam a vértices já visitados.
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Busca em Profundidade (DFS)
● Classificação de arestas– Ao explorar um grafo G conexo usando a DFS,
podemos categorizar as arestas:● Arestas de árvore: satisfazem ao primeiro se do
algoritmo (linha 3), ou seja, levam à visitação de vértices ainda não visitados.
● Arestas de retorno: demais arestas. Formam ciclos, pois levam a vértices já visitados.
– Árvore de profundidade
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Busca em Profundidade (DFS)
● Classificação de arestas– Ao explorar um grafo G conexo usando a DFS,
podemos categorizar as arestas:● Arestas de árvore: satisfazem ao primeiro se do
algoritmo (linha 3), ou seja, levam à visitação de vértices ainda não visitados.
● Arestas de retorno: demais arestas. Formam ciclos, pois levam a vértices já visitados.
– Árvore de profundidade● A subárvore G formada pelas arestas de árvore é
chamada de Árvore de Profundidade G.
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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DFS
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DFS
● Complexidade
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DFS
● Complexidade– Para cada vértice do grafo, a DFS percorre todos
os seus vizinhos.
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DFS
● Complexidade– Para cada vértice do grafo, a DFS percorre todos
os seus vizinhos.– Cada aresta é visitada duas vezes.
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DFS
● Complexidade– Para cada vértice do grafo, a DFS percorre todos
os seus vizinhos.– Cada aresta é visitada duas vezes.– Se apresentarmos o grafo por uma lista de
adjacências, a DFS tem complexidade O(|V| + |E|).
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DFS – Grafos Direcionados
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DFS – Grafos Direcionados
● A aplicação da DFS em grafos direcionados é essencialmente igual à aplicação em grafos não direcionados.
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DFS – Grafos Direcionados
● A aplicação da DFS em grafos direcionados é essencialmente igual à aplicação em grafos não direcionados.
● No entanto, mesmo o grafo direcionado sendo conexo, a DFS pode precisar ser chamada repetidas vezes enquanto houver vértices não visitados, retornando uma floresta.
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DFS – Grafos Direcionados
● A aplicação da DFS em grafos direcionados é essencialmente igual à aplicação em grafos não direcionados.
● No entanto, mesmo o grafo direcionado sendo conexo, a DFS pode precisar ser chamada repetidas vezes enquanto houver vértices não visitados, retornando uma floresta.
● Este é o mesmo caso quando a DFS é aplicada a um GND desconexo.
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Busca em Profundidade - Reinício
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Busca em Profundidade
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Busca em Profundidade
● Classificação de arestas
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Busca em Profundidade
● Classificação de arestas– Ao explorar um grafo G direcionado usando a DFS,
podemos categorizar as arestas.
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Busca em Profundidade
● Classificação de arestas– Ao explorar um grafo G direcionado usando a DFS,
podemos categorizar as arestas.– Sejam o vértice v a origem da aresta e o vértice w o
destino da mesma:
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Busca em Profundidade
● Classificação de arestas– Ao explorar um grafo G direcionado usando a DFS,
podemos categorizar as arestas.– Sejam o vértice v a origem da aresta e o vértice w o
destino da mesma:● Arcos de avanço
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Busca em Profundidade
● Classificação de arestas– Ao explorar um grafo G direcionado usando a DFS,
podemos categorizar as arestas.– Sejam o vértice v a origem da aresta e o vértice w o
destino da mesma:● Arcos de avanço● Arcos de retorno
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Busca em Profundidade
● Classificação de arestas– Ao explorar um grafo G direcionado usando a DFS,
podemos categorizar as arestas.– Sejam o vértice v a origem da aresta e o vértice w o
destino da mesma:● Arcos de avanço● Arcos de retorno● Arcos de cruzamento
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Busca em Profundidade
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Busca em Profundidade
● Classificação de arestas
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Busca em Profundidade
● Classificação de arestas– Arcos de avanço
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Busca em Profundidade
● Classificação de arestas– Arcos de avanço
● Caso w seja descendente de v na floresta.
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Busca em Profundidade
● Classificação de arestas– Arcos de avanço
● Caso w seja descendente de v na floresta.
– Arcos de retorno
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Busca em Profundidade
● Classificação de arestas– Arcos de avanço
● Caso w seja descendente de v na floresta.
– Arcos de retorno● Caso v seja descendente de w na floresta.
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Busca em Profundidade
● Classificação de arestas– Arcos de avanço
● Caso w seja descendente de v na floresta.
– Arcos de retorno● Caso v seja descendente de w na floresta.● Ou, w é ancestral de v.
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Busca em Profundidade
● Classificação de arestas– Arcos de avanço
● Caso w seja descendente de v na floresta.
– Arcos de retorno● Caso v seja descendente de w na floresta.● Ou, w é ancestral de v.
– Arcos de cruzamento (cruzado)
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Busca em Profundidade
● Classificação de arestas– Arcos de avanço
● Caso w seja descendente de v na floresta.
– Arcos de retorno● Caso v seja descendente de w na floresta.● Ou, w é ancestral de v.
– Arcos de cruzamento (cruzado)● Caso w não seja descendente de v e v não seja
descendente de w.
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Busca em Profundidade
● Classificação de arestas– Arcos de avanço
● Caso w seja descendente de v na floresta.
– Arcos de retorno● Caso v seja descendente de w na floresta.● Ou, w é ancestral de v.
– Arcos de cruzamento (cruzado)● Caso w não seja descendente de v e v não seja
descendente de w.● Ou, w é primo de v.
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Busca em Profundidade
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Busca em Profundidade
● Exemplo
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Busca em Profundidade
● Exemplo
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Busca em Profundidade
● ExemploArcos da floresta são vermelhos.
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Busca em Profundidade
● ExemploArcos da floresta são vermelhos.
Arcos de retorno são verdes.
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Busca em Profundidade
● ExemploArcos da floresta são vermelhos.
Arcos de retorno são verdes.
Arcos de avanço são roxos.
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Busca em Profundidade
● ExemploArcos da floresta são vermelhos.
Arcos de retorno são verdes.
Arcos de avanço são roxos.
Arcos cruzados são azuis.
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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DFS - Exemplo
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Exemplo
● https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/DFS.html
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Busca em Largura
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Busca em Largura
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Busca em Largura
● Características
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Busca em Largura
● Características– A busca em largura visita todos os vértices de um
grafo, usando como critério o vértice visitado menos recentemente e cuja vizinhança ainda não foi explorada.
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Busca em Largura
● Características– A busca em largura visita todos os vértices de um
grafo, usando como critério o vértice visitado menos recentemente e cuja vizinhança ainda não foi explorada.
– Característica principal: utiliza uma fila para guiar a busca.
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Busca em Largura
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Busca em Largura
● Atuação em camadas
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Busca em Largura
● Atuação em camadas– Inicialmente são considerados os vértices com
distância 0 (zero) do vértice inicial.
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Busca em Largura
● Atuação em camadas– Inicialmente são considerados os vértices com
distância 0 (zero) do vértice inicial.– Na iteração 1 são visitados os vértices com
distância 1; prosseguindo, de modo genérico, na iteração d será adicionada uma camada com todos os vértices com distância d do vértice inicial.
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Busca em Largura
● Atuação em camadas– Inicialmente são considerados os vértices com
distância 0 (zero) do vértice inicial.– Na iteração 1 são visitados os vértices com
distância 1; prosseguindo, de modo genérico, na iteração d será adicionada uma camada com todos os vértices com distância d do vértice inicial.
– Cada novo vértice visitado é adicionado no final de uma fila Q.
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Busca em Largura
● Atuação em camadas– Inicialmente são considerados os vértices com
distância 0 (zero) do vértice inicial.– Na iteração 1 são visitados os vértices com
distância 1; prosseguindo, de modo genérico, na iteração d será adicionada uma camada com todos os vértices com distância d do vértice inicial.
– Cada novo vértice visitado é adicionado no final de uma fila Q.
– Cada vértice da fila é removido depois que toda a vizinhança for visitada.
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Busca em Largura
● Atuação em camadas– Inicialmente são considerados os vértices com distância 0
(zero) do vértice inicial.– Na iteração 1 são visitados os vértices com distância 1;
prosseguindo, de modo genérico, na iteração d será adicionada uma camada com todos os vértices com distância d do vértice inicial.
– Cada novo vértice visitado é adicionado no final de uma fila Q.
– Cada vértice da fila é removido depois que toda a vizinhança for visitada.
– Cada vértice da fila é removido depois que toda a vizinhança for visitada.
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Busca em Largura
● Atuação em camadas– Inicialmente são considerados os vértices com distância 0
(zero) do vértice inicial.– Na iteração 1 são visitados os vértices com distância 1;
prosseguindo, de modo genérico, na iteração d será adicionada uma camada com todos os vértices com distância d do vértice inicial.
– Cada novo vértice visitado é adicionado no final de uma fila Q.– Cada vértice da fila é removido depois que toda a vizinhança
for visitada.– Cada vértice da fila é removido depois que toda a vizinhança
for visitada.– A busca termina quando a fila se torna vazia.
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Busca em Largura - BFS
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Busca em Largura - BFS
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Busca em Largura - BFS
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Busca em Largura - BFS
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Busca em Largura - BFS
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Busca em Largura - BFS
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Busca em Largura - BFS
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Busca em Largura - BFS
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Busca em Largura - BFS
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Busca em Largura - BFS
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Busca em Largura - BFS
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Busca em Largura - BFS
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Busca em Largura - BFS
● Complexidade
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Busca em Largura - BFS
● Complexidade– Cada vértice só entra na fila uma vez.
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Busca em Largura - BFS
● Complexidade– Cada vértice só entra na fila uma vez.– Inserir e remover na fila possuem complexidade
constante, realizadas |V| vezes cada.
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Busca em Largura - BFS
● Complexidade– Cada vértice só entra na fila uma vez.– Inserir e remover na fila possuem complexidade
constante, realizadas |V| vezes cada.– A lista de adjacências de cada vértice é examinada
apenas uma vez, e a soma dos comprimentos de todas as listas é Ө(m).
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Busca em Largura - BFS
● Complexidade– Cada vértice só entra na fila uma vez.– Inserir e remover na fila possuem complexidade
constante, realizadas |V| vezes cada.– A lista de adjacências de cada vértice é examinada
apenas uma vez, e a soma dos comprimentos de todas as listas é Ө(m).
– Logo, se representarmos o grafo por uma lista de adjacências, a busca em largura (BFS) tem complexidade O(n+m).
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Exemplo
https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/BFS.html
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DFS x BFS
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DFS x BFS
● DFS – Busca em Profundidade
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DFS x BFS
● DFS – Busca em Profundidade– Incursão profundas no grafo, voltando somente
quando não existem mais vértices desconhecidos pela frente.
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DFS x BFS
● DFS – Busca em Profundidade– Incursão profundas no grafo, voltando somente
quando não existem mais vértices desconhecidos pela frente.
– Marca o vértice antes de visitar toda sua vizinhança.
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DFS x BFS
● DFS – Busca em Profundidade– Incursão profundas no grafo, voltando somente
quando não existem mais vértices desconhecidos pela frente.
– Marca o vértice antes de visitar toda sua vizinhança.
– Uso de pilha.
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DFS x BFS
● DFS – Busca em Profundidade– Incursão profundas no grafo, voltando somente
quando não existem mais vértices desconhecidos pela frente.
– Marca o vértice antes de visitar toda sua vizinhança.
– Uso de pilha.● BFS – Busca em Largura
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DFS x BFS
● DFS – Busca em Profundidade– Incursão profundas no grafo, voltando somente quando
não existem mais vértices desconhecidos pela frente.– Marca o vértice antes de visitar toda sua vizinhança.– Uso de pilha.
● BFS – Busca em Largura– Busca progride em largura: certifica-se de que vizinhos
próximos sejam visitados primeiramente.
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DFS x BFS
● DFS – Busca em Profundidade– Incursão profundas no grafo, voltando somente quando
não existem mais vértices desconhecidos pela frente.– Marca o vértice antes de visitar toda sua vizinhança.– Uso de pilha.
● BFS – Busca em Largura– Busca progride em largura: certifica-se de que vizinhos
próximos sejam visitados primeiramente.– Marca o vértice depois de visitar toda a sua vizinhança.
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DFS x BFS
● DFS – Busca em Profundidade– Incursão profundas no grafo, voltando somente quando não
existem mais vértices desconhecidos pela frente.– Marca o vértice antes de visitar toda sua vizinhança.– Uso de pilha.
● BFS – Busca em Largura– Busca progride em largura: certifica-se de que vizinhos
próximos sejam visitados primeiramente.– Marca o vértice depois de visitar toda a sua vizinhança.– Uso de fila.
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Aplicações
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Aplicações
● Detectar grafos desconectados.
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Aplicações
● Detectar grafos desconectados.● Detectar se o grafo possui ciclos.
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Aplicações
● Detectar grafos desconectados.● Detectar se o grafo possui ciclos.● Encontrar componentes biconexas.
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Aplicações
● Detectar grafos desconectados.● Detectar se o grafo possui ciclos.● Encontrar componentes biconexas.● Classificar arestas.
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Aplicações
● Detectar grafos desconectados.● Detectar se o grafo possui ciclos.● Encontrar componentes biconexas.● Classificar arestas.● Encontrar componentes fortemente conexas.
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Aplicações
● Detectar grafos desconectados.● Detectar se o grafo possui ciclos.● Encontrar componentes biconexas.● Classificar arestas.● Encontrar componentes fortemente conexas.● Determinar o menor caminho em grafos não
ponderados.
