Isaac Asimov-Ce Stimnvn Si Ce Nu Stim Inca Despre Pamant Si Cer-Bucuresti, Editura Elis (1996)
Bucuresti 1996
-
Upload
szep-gyuszi -
Category
Documents
-
view
226 -
download
0
Transcript of Bucuresti 1996
-
7/25/2019 Bucuresti 1996
1/2
ADMITERE, UNIVERSITATEA BUCURESTIFACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICA
1996
ALGEBRA
1. a) Daca a, b Q, atunci a2 + b3 = 0 daca si numai daca a= b = 0.b) Sa se arate ca exista c si d numere rationale, astfel ncat
3
9
3 11
2 =c
2 + d
3.
2. Fie n 1 un numar natural. Sa se demonstreze ca:a) kCkn = nC
k1
n1, unde n N, k N, 1 k n.b) C1n+ 2C
2n+ 3C
3n+ . . . + nC
nn =n 2n1, unde n N.
c) C0n+1
2C1n+
1
3C2n+ . . .+
1
n + 1Cnn =
2n+1 1n + 1
, unde n N.
3. Sa se discute si sa se rezolve sistemul
ax + y+ z= 1x + 2ay+ z= b
(a+ 1)x + y+ 2az= 0
, a si b fiind parametri reali.
4. a) Daca a, b Z, atunci 3 divide numarul a2 + b2 daca si numai daca 3 divide a si 3 divide b.
b) Sa se arate ca multimea G =
a b
b a a, b Z3, a =0 sau b =0
este un grup comutativ n raport cu
nmult irea matricelor.
c) Cate elemente are grupul G?
ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATIC
A
1. Sa se calculeze limn
na( 3
n3 + 1 n).
2. Sa se reprezinte grafic functiaf : R R, f(x) = x 1x2 + 1
, () x R, folosind si derivata a doua.
3. Fie functia f :
0,
2
R, f(x) =
1
sin2 x 1x2, daca x
0,
2
1
3, daca x= 0
. Sa se arate ca f este continua si sa se
calculeze o primitiva a sa.
4. a) Sa se enunte teorema lui Lagrange.
b) Sa se studieze derivabilitatea functiei f : [1, 1] R, f(x) = arcsinx + x 1 x2, () x [1, 1].
c) Sa se calculeze
11
1 x2 dx.
GEOMETRIE SI TRIGONOMETRIE
1. FieABCDun patrat,Emijlocul laturii [AB] siFpunctul de pe diagonala [AC] cu proprietatea caAF = 3 FC.Aratati ca EFD este un unghi drept.
2. a) Enuntati teorema cosinusului.b) Sa se rezolve ecuatia cosx sinx= 2cos2x.
1
-
7/25/2019 Bucuresti 1996
2/2
3. Fie [ABCD] un tetraedru si un plan care trece prin A si este perpendicular pe AB. Se noteaza cu C si D
proiectiile ortogonale ale lui C, respectiv D pe planul . Sa se arate ca
3 Vol[ABCD] =AB [ACD].
4. In planul xOy se considera punctele fixe A(1, 1), B(3, 2) si un punct variabil M(x, 0).
a) Sa se scrie ecuatia drepteiAB
, undeA
este simetricul punctuluiA
fata de axaOx
.b) Sa se afle lungimile segmentelor [AM] si [BM].
c) Sa se afle valoarea minima a functiei f : R R, f(x) =
(x 1)2 + 1 +
(x 3)2 + 4.
2