BTT I Chisacof Cap 3

Cap. 3 AGENI TERMODINAMICI 3.1 Gaze perfecte

3. 1. 1 Legile simple ale gazelor perfecte

3. 1. 2 Ecuaiile calorice de stare ale gazelor perfecte.

3. 1. 3 Capacitatea caloric unitar a gazelor perfecte

3. 1. 4 Amestecuri de gaze perfecte

3. 1. 4. 1 Legile amestecurilor de gaze perfecte

3. 1. 4. 2 Proprietile amestecurilor de gaze perfecte

3. 1. 5 Transformri de stare la gaze perfecte

3. 1. 5. 1 Transformarea izocor (V= constant)

3. 1. 5. 2 Transformarea izobar (p= constant)

3. 1. 5. 3 Transformarea izoterm (T= constant)

3. 1. 5. 4 Transformarea adiabat ( =Q 0) 3. 1. 5. 5 Transformarea politrop la gaze perfecte 3. 2 Gaze reale

BTT I, Facultatea Energetic Prof. Alexandru Chisacof, 2007

3-1

Cap. 3 AGENI TERMODINAMICI

Agenii termodinamici sunt constituii din gaze, lichide sau corpuri solide i sunt utilizai fie ca purttori de energie, fie pentru realizarea schimbului de energie ntre sisteme termodinamice sau ntre un sistem i mediul ambiant. Caracteristic pentru agenii termodinamici n stare pur este faptul ca ei prezint proprieti termofizice bine definite n raport cu modificarea parametrilor de stare.

Alegerea tipului de agent termodinamic se face n raport de capacitatea sa de acumulare a cldurii, de valoarea coeficientului de compresibilitate izoterm, de care depinde capacitatea de acumulare a energiei poteniale, toxicitate, pre de cost, etc.

Din punct de vedere al comportrii agenilor termodinamici n stare gazoasa, se disting: gaze perfecte i gaze reale.

3.1 Gaze perfecte

n cursul secolelor XVII-XIX savanii au studiat comportarea gazelor din natur la

presiunea atmosferic normal i au stabilit empiric o serie de legi. Cercetrile ulterioare au artat ca aceste gaze care se afl la presiune foarte redus p0,

departe de domeniul de lichefiere, sunt foarte rarefiate, ipoteza n care se supun legilor gazelor perfecte. Teoria cinetico-molecular a permis s se stabileasc, pe cale teoretic legile simple ale gazului perfect. Conform acestei teorii gazul perfect este definit n urmtoarele condiii:

- moleculele gazului sunt perfect sferice i elastice; - volumul propriu al moleculelor este neglijabil n comparaie cu volumul ocupat de gaz; - forele de coeziune moleculare sunt nule; - traiectoria unei molecule ntre doua ciocniri consecutive este o linie dreapt. La presiuni sczute i temperaturi ridicate gazele din natur prezint abateri mici de la

legile gazelor perfecte. La limit, atunci cnd presiunea tinde ctre zero, orice gaz se comport riguros ca un gaz perfect, deoarece forele intermoleculare (de coeziune) se anuleaz, iar volumul moleculelor devine neglijabil n raport cu volumul ocupat de gaz.

n domeniul de presiuni i temperaturi uzuale pentru funcionarea mainilor i instalaiilor, gazele care evolueaz n aceste echipamente (exemplu: H2, O2, N2, CO, CO2, He, etc.), respect cu abateri relativ mici, circa 1-2%, legile gazului perfect.

3. 1. 1 Legile simple ale gazelor perfecte

a. - Legea Boyle-Mariotte. In 1662 Robert Boyle i independent de el Emile Mariotte, n

1676, au artat ca n cursul unei transformri termodinamice la temperatur constant (destindere sau comprimare), care are loc ntre starea iniiala 1 i starea final 2, sau invers, produsul dintre presiunea absolut i volumul unei mase m de gaz rmne constant. Deci:

p1V1=p2V2=const. sau pV=const. (3. 1)

Valoarea produsului pV depinde de temperatura i de natura gazului.


3-2

b. - Legea Guy-Lussac. n 1802 Joseph-Louis Guy-Lussac a stabilit c dac are loc o nclzire la presiune constant, atunci volumul gazului crete cu temperatura conform unei legi liniare de forma:

V=V0[1+(T-T0)] [m3] (3. 2)

n care V0 este volumul ocupat de gaz la temperatura T0=0oC (T0=273,15 K), w = coeficientul izobar de dilatare volumic, n K-1, care la starea normal fizic se definete cu relaia:

pTV

V

=

0

1 [K-1] (3. 3) Pentru gaze perfecte aflate la starea normal fizic =1/273,15 =0,003661 K-1.

Dac V1 i V2 sunt volumele gazului la temperaturile T1 i T2 n condiii izobare, raportul lor, utiliznd relaia (3.2), este:

( )[ ]( )[ ]

( )( )

.

sau

15,273

15,273

15,27315,273

constTV

TV

TV ;

TT

VV

TT

T1

T1

T1VT1V

VV

1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

10

20

1

2

====

=++

=++=

(3. 4)

c. - Legea lui Charles. n 1798 Jacques Alexandre Csar Charles a studiat variaia

presiunii unui gaz la volum constant i a observat c aceasta este independent de presiunea iniial, temperatur i natura gazului. Astfel la un proces de nclzire la volum constant, denumit i proces izocor, presiunea gazului crete cu temperatura dupa o lege liniara de forma:

p=p0[1+ (T-T0)] (3. 5)

n care p0 este presiunea gazului la temperatura de 0oC (273,15 K), coeficientul de compresibilitate izocor, dat de relaia:

VTp

p

=

0

1 [K-1] (3. 6) coeficient care la gaze perfecte este egal cu coeficientul izobar de dilatare volumic (==1/273,15=0,003661 K-1).

Dac p1 i p2 sunt presiunile gazului la temperaturile T1 i T2 , n condiii izocore, raportul lor dat de relaia (3.5), conduce la:


3-3

( )[ ]( )[ ]

.

sau

15,273

15,273

15,27315,273

constTp

Tp

Tp ;

TT

pp

TT

T1

T1

T1pT1p

pp

1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

10

20

1

2

====

=+

+=+

+=

(3. 7)

d. - Ecuaia de stare a gazelor perfecte. Ecuaia de stare a gazelor perfecte exprim

legtura ntre mrimile de stare p, V (v) i T pornind de la legile simple ale gazului perfect, respectiv legea Boyle-Mariotte (pV=const.) i legea Guy-Lussac (V/T=const.). ntre doua puncte de stare 1 respectiv 2 se aplica legea Boyle-Mariotte

p1V1=p2V2 (3. 8)

n continuare are loc o nclzire izobar a aceleai pn la starea 3, legea Guy-Lussac,

deci:

3

3

2

2

TV

TV = (3. 9)

Deoarece T2=T1 rezult:

33

12 VT

TV = (3. 10) Se nlocuiete aceast expresie n relaia (3.8), de unde rezult:

33

1211 VT

TpVp = dar pe transformarea izobar 2-3, p3=p2, i reordonand se obine:

.const3

33

1

11 ==TVp

TVp (3. 11)

Deci, oricare ar fi starea gazului, atunci cnd masa se menine constant, este verificat

relaia:

.const=TpV (3. 12)

iar pentru un kilogram de agent termic se obine:

RTpv == .const (3. 12)


3-4

n care R este constanta specific a gazului i are unitatea de msur J/(kg K).

S-a obinut astfel o ecuaie care leag univoc parametrii de stare p, v (V), T ai gazului perfect. Ecuaia poarta numele de ecuaia Clapeyron, sau Mendeleev - Clapeyron. Constanta R nu depinde de parametrii de stare, ci numai de natura gazului, deci ea se poate numi constanta specifica a gazului respectiv.

Din aceast relaie se poate determina unul din parametrii de stare atunci cnd se cunosc doi dintre ei. De asemenea, densitatea gazului se poate determina pe baza relaiei de definiie =m/V i cu relaia (3.12):

=== 3mkg

TRMp

RTp

Vm

M

(3. 13)

Atunci cnd ecuaia de stare se scrie pentru 1 kmol de substan, rezult:

pVM=RMT=M R T (3. 14)

n care VM este volumul molar, n m3/kmol, RM =MR constanta molara universal a gazului perfect, n J/(kmol K), p presiunea n N/m2 sau Pa, T temperatura in K, M masa molara a gazului in kg/kmol.

e. - Legea lui Avogadro. In 1811 fizicianul italian Amadeo Avogadro a enunat legea conform creia:

In aceleai condiii de presiune i temperatur volume egale de gaze diferite conin acelai numr de molecule. Legea a fost verificata ulterior pentru gaze perfecte att experimental ct i teoretic.

Pentru a avea o referin cantitativ s-a luat 1 kmol de gaz. Conform teoriei cinetico-moleculare presiunea unui gaz este:

23

2_

2. wm

Vnp molec= (3. 15)

n care nmolec. este numrul de molecule coninut n volumul V, n m3, 2

2wm_

- energia

cinetic medie pentru o molecul de mas medie m, n J/molec. Pentru 1 kmol de gaz care conine un numr N de molecule, cruia i corespunde volumul molar VM relaia (3.15) devine:

23

2 2wmVNp M

= (3. 15) ntre energia cinetic a moleculei i temperatur exist relaia lui Boltzmann:

Tkwm

B

23

2

_2

= (3. 16) n care kB= 1,380662 10-23 J/(molec K) reprezint constanta lui Boltzmann.


3-5

nlocuind expresia energiei cinetice a moleculei din expresia de mai sus n relaia (3. 15) se obine:

TkVNTk

23

VN

32p B

MB

M

== (3. 17)

sau

const.NkT

pVB

M == (3. 18)

Numrul de molecule coninute ntru-un kmol de gaz a fost determinat experimental i are valoarea N=NA6,0221367 1026 molec/kmol i poart numele de numrul lui Avogadro. Deci, produsul NAkB este o constant molara, fiind produsul a doua constante fizice aferente unui kmol de substan. Acest produs este notat cu RM i are valoarea:

RM=NA kB=6,0221367 1026 1,380662 10-23 =

= 8314,5353 J/(kmol K) 8315 J/(kmol K) (3. 19) i se numete constanta (molar) universal a gazelor, deoarece ea nu depinde de natura gazului, adic de numrul de atomi din molecul. Pentru un anumit gaz constanta specific gazului raportat la 1 kg de substan se determina cu expresia:

R=RM/M [J/(kg K)] (3. 20)

Cu aceste precizri ecuaia de stare a gazelor perfecte pentru n kmol de substan este:

pV=nRMT (3. 21) iar pentru m kg, innd seama ca m=nM, deci n=m/M, rezult:

TRmTMRmpV M == (3. 22)

Dac se scrie ecuaia (3.18) pentru 1 kmol de substana la starea normal fizic

(pN=1At=760 mmHg=1,01325 105 N/m2 i TN=273,15 K), rezult:

pNVNM=RMTN (3. 23) de unde se obine volumul molar normal:

l/kmom3N 22,414101,01325273,158314,5353

pTRV 5N

NMMN

== (3. 24) Volumul de gaz coninut de n kmol de substan este atunci:

V=nVM [m3] (3. 25)


3-6iar n condiiile strii normale fizice rezult volumul normal:

VN=nVMN= n 22,414 [m3N] (3. 25)

In funcie de volumul specific v(m3/kg) volumul molar se determina cu relaia (=1/v):

VM=Mv=M/ [m3/kmol] (3. 26) Din aceast ultim relaie se poate obine densitatea sau masa volumic, a unui gaz

perfect n condiiile strii normale fizice:

][kg/m3N 22,414M

VMMN

N == (3. 27) Dac se utilizeaz ecuaia de stare a gazelor perfecte pentru un kg de substan (relaia 3.

12), n care se nlocuiete volumul specific cu densitatea (v=1/), ntre starea normal fizic i o stare oarecare, rezult:

.const=== RT

pTp

NN

N (3. 28)

de unde rezult densitatea gazului perfect la o stare oarecare atunci cnd se cunoate densitatea gazului n condiii normale N:

N

NN p

pTT = [kg/m3] (3. 29)

n mod similar se poate utiliza ecuaia (3.12) ntre starea normal fizic i o stare

oarecare:

.const=== mRTpV

TVp

N

NN (3. 30)

de unde se obine unul din parametrii p, V, T n funcie de valoarea acestora la starea normal fizic, de exemplu volumul:

TT

ppVV NNN= [m3] (3. 31)

Observaie. Atunci cnd se lucreaz cu debite (masice, volumice sau molare), ecuaia de stare a gazelor perfecte rmne valabil. Prin mprirea ambilor membri ai relaiilor (3. 21), respectiv (3.22) cu timpul rezult ecuaia de stare aplicat la debitele volumice, masice, respectiv molare:

TRnVp M&& = (3. 21)

respectiv


3-7

RTmVp && = (3. 22)

n mod similar se procedeaz i cu relaiile (3.30) i (3.31) de unde rezult:

....1

11 constRnRmTVp

TVp

TVp

MN

NN ====== &&&&& (3. 30) respectiv

TT

ppVV NNN&& = [m3/s] (3. 31)

n care debitul masic se msoar n kg/s, iar debitul molar se msoar n kmol/s. m& n&

n calcule pentru gazul perfect se mai utilizeaz i raportul dintre numrul lui Avogadro i volumul molar normal:

2526

107,2414,22

10023,6 ==MN

AL V

Nn [molecule/m3N] (3. 32)

raport numit numrul lui Loschmidt.

f. - Legea lui Joule. Fizicianul englez James Prescott Joule a experimentat n 1844 pe un dispozitiv izolat adiabatic (termostatat), format din dou recipiente, aflate iniial la temperaturi egale, unul umplut cu aer, iar n celalalt domnete vid total, situaia n care acestea sunt puse n contact prin intermediul unui robinet. Sistemul astfel format este un sistem termodinamic nchis de tip izolat. La sfritul experienei, atunci cnd n urma deschiderii robinetului de legtur aerul a umplut ambele recipiente, s-a constatat ca att lichidul de termostatare constituit din ap, ct i aerul care a umplut cele dou recipiente nu i-au modificat temperatura fa de starea iniial. In cursul experienei n care gazul trece de la starea iniial 1 la starea final 2, nu are loc nici schimb de cldur i nici de lucru mecanic, deci Q12=0, L12=0. Se aplic sistemului supus experienei, principiul I al termodinamicii pentru sisteme nchise:

Q12-L12=U2-U1

i pentru sistemul izolat menionat mai sus, rezult:

U2-U1=0; U2=U1 (3. 33) deci energia intern a sistemului nu se modific n cursul experienei. Se poate concluziona astfel :

Energia interna a unui gaz perfect este independent de presiune i de volum. Aceasta concluzie poarta numele de legea lui Joule i se poate exprima matematic sub forma:

0pU

VU

TT

=

=

(3. 34)


3-8

Ca o consecin a legii lui Joule rezult c energia interna a unui gaz perfect depinde

numai de temperatura, deci:

U=U(T) [J] (3. 35) S-a utilizat energia intern deoarece sistemul analizat este de tip nchis.

3. 1. 2 Ecuaiile calorice de stare ale gazelor perfecte.

innd seama de prima ecuaie caloric de stare precizat la capitolul 2:

dVVU dTmcdU

Tv

+=

cu condiia (3.34) rezult:

dU=mcvdT (3. 36) sau pentru 1 kg de agent termic:

du=cvdT (3. 36) expresii care reprezint prima ecuaie caloric de stare, sau ecuaia caloric de stare a energiei interne pentru gaze perfecte.

In entalpiei, mrime caloric de stare caracteristic sistemelor termodinamice deschise, pornind de la relaia sa de definiie dH=dU+d(pV), iar pentru gaze perfecte pV=mRT, se obine:

dH=dU+m R dT

Se observ ca membrul drept al ultimei ecuaii depinde numai de temperatur. Rezult ca i entalpia gazelor perfecte depinde numai de temperatur H(T). Deci:

mRdTdVVUdTmcdH

Tv +

+= (3. 37)

sau

( ) dpdpV

VUdTmRmcdH

TTv

++= (3. 37)

innd cont de expresia (3.34) a legii lui Joule, relaia de mai sus cu 0=

TVU devine:

( )dTRcmmRdTdTmcdH vv +=+= (3. 38)


3-9

Deci, n cazul gazelor perfecte derivata parial a entalpiei cu presiunea la temperatur constant este:

0=

=

TTT pV

VU

pH (3. 39)

Aceast ultim expresie nlocuit n ecuaia caloric de stare a entalpiei (cap. 2):

dppHdTmcdH

Tp

+=

conduce la:

dH=mcpdT; dh=cpdT (3. 40) Aceast expresie reprezint ecuaia caloric de stare a entalpiei pentru gaze perfecte, sau a doua ecuaie caloric de stare. Prin egalarea lui dH din expresiile (3.38) i (3.40) rezult: ( )dTRcmdTmc vp += de unde se obine:

cv+R=cp; cp-cv=R [J/kgK] (3. 41) relaie care poart numele de formula Robert Mayer (1842). Aceast expresie face lagtura dintre cldura specific la volum constant i cldura specific la presiune constant la gaze perfecte. Pentru cldurile specifice raportate la 1 kmol de gaz, relaia (3.41) devine:

CMp - CMv = RM [J/kmol K] (3. 42) iar pentru cldura specific raportat la 1 m3N de gaz rezult:

414,22M

MN

Mvp

RVRCC == [J/m K] (3. 43) 3N

3. 1. 3 Capacitatea caloric unitar a gazelor perfecte

Dup cum s-a artat anterior, cldura specific a gazelor depinde de: temperatur,

presiune, tipul transformrii i cantitatea de substan. n cazul gazelor perfecte s-a artat c diferena dintre cldura specific la presiune constant i aceea la volum constant este dat de relaia Robert Mayer cp-cv=R i raportul dintre cldurile specifice numit exponent adiabatic k=cp/cv. Din aceste relaii se obin cldurile specifice la presiune constant:

Rk

kcp 1= [J/(kg K)] (3. 44) BTT I, Facultatea Energetic Prof. Alexandru Chisacof, 2007

3-10

respectiv la volum constant:

1= k

Rcv [J/(kg K)] (3. 45)

n funcie de unitile de msur rezult cldurile specifice corespunztoare:

- pentru 1 kmol de gaz: -

MMvMMp RkC R

kkC

11;

1 == [J/(kmol K)] (3. 46)

- pentru 1 m3N de gaz:

414,2211;

414,221M

vM

pR

kC R

kkC == [J/(kmol K)] (3. 47)

Conform teoriei cinetico-moleculare a gazelor ideale exponentul adiabatic este constant

cu temperatura i presiunea. n consecin cldura specifica a gazelor ideale este constant cu temperatura.

Considernd moleculele gazelor perfecte lipsite de fore de coeziune, energia intern sensibil a gazului este constituit numai din energia cinetic a moleculelor n micarea de translaie, de rotaie i de oscilaie, deci:

U=Uc,sens =Uc,tr+Uc,rot+Uc,osc [J] (3. 48)

Conform teoriei echipartiiei energiei pe grade de libertate, rezult ca fiecrui grad de

libertate de micare a moleculelor i corespunde aceeai valoare a energiei cinetice medii moleculare de 1/2 kBT. Introducnd numrul total al gradelor de libertate n micarea moleculara , energia intern a NA molecule dintr-un kmol de gaz perfect se poate exprima sub forma:

UM=NA( 1/2 kBT) = (RMT)/2 [J/kmol] (3. 49)

unde NAkB=RM, numrul gradelor de libertate

=tr+rot+2osc (3. 50) n numeroase cazuri micarea oscilatorie a atomilor nu are loc. Dar dac oscilaiile atomilor din molecul au totui loc i dac amplitudinea lor este redus n raport cu distana dintre ei, aceste oscilaii pot fi asimilate cu oscilaiile armonice. n acest caz atomii constituie oscilatori armonici. Se cunoate faptul c un oscilator posed att energie cinetic ct i energie potenial, energia potenial fiind necesar aducerii oscilatorului la starea de echilibru. Se tie din mecanic c pentru un oscilator armonic, valorile medii ale energiei poteniale i ale energiei cinetice sunt egale. Deci, pentru cazul atomilor ce efectueaz oscilaii armonice, conform legii echipartiiei, fiecrui grad de libertate de oscilaie i corespunde energia cinetic kB T/2, respectiv energia potenial kB T/2. Pentru oscilaiile nearmonice aceast constatare nu este valabil. n consecin, energia care corespunde fiecrui grad de libertate de oscilaie este 2 (kB T/2), adic suma energiilor cinetic i potenial a oscilatorului. Acesta este motivul pentru care gradul de libertate de oscilaie este 2 osc.


3-11

Conform primei ecuaii calorice de stare a gazelor perfecte aplicat pentru 1 kmol, rezult:

dUM= CMvdT (3. 51) Din relaia (3. 49) se deduce dUM= (RMdT)/2 i din egalarea cu ultima expresie se obine:

2

RdT

dUC MMvM, == [J/kmol K] (3. 52) Pentru cldura specific molara la volum constant din relatia Robert Mayer rezult:

( )2

R2RCC MMvM,pM,+=+= [J/kmol K] (3. 53)

Numrul gradelor de libertate n micarea de translaie este tr=3. Numrul gradelor de

libertate n micarea de rotaie depinde de structura moleculelor, astfel: - pentru gaze monoatomice rot=0; - pentru gaze biatomice rot=2; - pentru gaze tri i poliatomice rot=3 (molecule neliniare) Numrul gradelor de libertate n micarea de oscilaie a atomilor din interiorul

moleculelor se determin cu relaia:

osc=3z- (tr+rot) (3. 54) unde z este numrul de atomi din molecul.

n cazul n care se neglijeaz oscilaia atomilor, fapt ce are loc la temperaturi coborte, determinarea cldurii specifice se face dup cum urmeaz:

- la gazele monoatomice (gaze inerte He, Ne, Ar, etc.) intervin numai cele trei grade de libertate aferente translaiei =tr=3, astfel din relaiile (3. 52) i (3. 53) se obine:

MpM,MvM, R25C R

23C == ; [J/kmol K] (3. 55)

iar exponentul adiabatic aferent are valoarea:

66,135 ===

Mv

Mp

CC

k

valoare constant cu temperatura pe un domeniu larg de temperaturi. Valoarea exponentului adiabatic de 1,66 a fost verificat experimental cu o buna aproximaie (kHe=1,659, kNe=1,64, kAr=1,67, kKr=1,68, kXe=1,66). n consecin i cldura specific a acestor gaze este constant cu temperatura (pe domeniul 0-1000 oC).

- la gazele biatomice n afara de gradele de libertate aferente translaiei tr=3, se ine cont i de rotaia atomilor n jurul centrului de greutate al moleculei. Dac se consider ca axa Ox trece prin cele doua nuclee ale atomilor, atunci rotaia sistemului biatomic se va putea produce n jurul celorlalte doua axe Oy si Oz, deci rot=2. Spre deosebire de rotaie i translaie, vibraia (oscilaia) atomilor apare la temperaturi nalte (peste 1000oC). Pentru


3-12

evaluarea cldurilor specifice la gaze cu molecule biatomice, se disting doua domenii de temperatur:

- domeniul temperaturilor moderate sub 1000 C unde tr=3, rot=2, osc=0, deci =5, i rezult

MpM,MvM, R27C R

25C == ; [J/(kmol K)] (3. 56)

i raportul cldurilor specifice

4,157 ===

Mv

Mp

CC

k

- domeniul temperaturilor ridicate, peste 1000 C, tr=3, rot=2, osc=3*2- (3+2)=1,

deoarece la vibraia atomilor din molecul apar cele doua tipuri de energii: cinetic si potenial, deci =7, atunci:

MpM,MvM, R29C R

27C == ; [J/(kmol K)] (3. 57)

i exponentul adiabatic este:

3,179 ===

Mv

Mp

CC

k

- la gazele cu molecule poliatomice liniare (C2H2), numrul gradelor de libertate de

rotaie rot=2, numrul gradelor de libertate de translaie rmne acelai tr=3, iar la temperaturi coborte (apropiate de acelea ale mediului ambiant), lipsete oscilaia atomilor n molecul, deci osc=0. Numrul total de grade de libertate este atunci =5, iar cldurile specifice sunt aceleai ca la gazele biatomice:

MpM,MvM, R27C R

25 == ;C [J/(kmol K)] (3. 58)

iar exponentul adiabatic rezult:

4,157 ===

Mv

Mp

CC

k

- la gazele cu molecule poliatomice neliniare (H2O, CO2, CH4) tr=3, iar rotaia are

loc in jurul celor trei axe, deci rot=3. La temperaturi moderate lipsete vibraia atomilor, deci osc=0. Numrul total de grade de libertate este =6. Cldurile specifice i exponentul adiabatic se determina cu relaiile:

MpM,MvM, R28C R

26 == ;C [J/kmol K] (3. 59)

33,168 ===

Mv

Mp

CC

k


3-13

Atunci cnd apare vibraia atomilor n molecul, pentru molecula cu z atomi, osc=3z-6,

iar numrul total de grade de libertate este:

=3+3+2(3z-6)=6(z-1) (3. 60)

iar cldurile specifice sunt date de expresiile:

( ) MMpM,MMvM,

RzR2

2]1)-[6(zC

RzR2

1)-6(zC

23

;)1(3

=+=

== (3. 61)

Exponentul adiabatic corespunztor este:

)1(323

==

zz

CC

kMv

Mp (3. 62)

Dup cum se constat din cele expuse mai sus, la gazele monoatomice exponentul

adiabatic k este constant cu temperatura, n schimb la gazele bi i poliatomice el este dependent de temperatura, deci:

k=f(T) (3. 63)

De asemenea, rezult c la gazele bi i poliatomice i cldurile specifice sunt variabile cu

temperatura, fapt explicabil cu ajutorul mecanicii cuantice, prin apariia progresiv a gradelor de libertate cu temperatura. Astfel, la temperaturi joase moleculele au numai micare de translaie, micrile de rotaie apar la temperaturi mai ridicate. Dac temperatura crete, moleculele intr progresiv n vibraie, deci apar gradele de libertate aferente oscilaiei. Teoretic rezult c variaia cldurii specifice ar trebui s se produc n salturi (fig. 3. 1a). Dac se ine seama de fenomenul apariiei treptate a gradelor de libertate cu temperatura, i nu brusc, precum i de fenomenul de deformaie treptat a moleculelor, deformaie care apare chiar n domeniul temperaturilor mijlocii, de fenomenul de disociere care apare la temperaturi nalte, precum i de schimbul de energie n cuante, se obine curba real de variaie a cldurii specifice a gazelor cu temperatura (fig. 3. 1b).

Variaia cldurii specifice a gazelor cu temperatura se poate reprezenta sub forma polinomial prin:

CM,v=A+BT+CT2+D/T+... [J/kmol K] (3. 64)

unde coeficienii A, B, C, D... sunt dependeni de natura gazului.


3-14

CMV

I II III T [K]

stare condensat

CMV

T [K]

Fig. 3. 1. Variaia cldurii specifice a gazelor perfecte cu temperatura

a) variaie n salturi; b) variaie continu 3. 1. 4 Amestecuri de gaze perfecte

n natur i n sistemele tehnice agenii de lucru de tipul gazelor perfecte sunt constituite

din amestecuri de gaze i nu dintr-un gaz monocomponent denumit gaz tip substan pur. Substana pur este o substan care conine un singur tip de molecul (N2, NH3, H2O etc).

Amestecurile de gaze, denumite i soluii gazoase (exemplu: aer, gaze de ardere, gaze de proces etc), sunt formate din mai muli componeni cu molecule diferite. Amestecurile de gaze perfecte se supun legilor gazelor perfecte.

Legile specifice amestecurilor de gaze perfecte au fost stabilite de John Dalton i Emile Amagat la nceputul secolului XIX.

Amestecurile de gaze perfecte sunt caracterizate de aditivitatea presiunilor pariale i a volumelor pariale.

3. 1. 4. 1 Legile amestecurilor de gaze perfecte

Orice amestec de gaze perfecte se comport ca un gaz perfect. Deci, legile gazelor

perfecte se aplic i amestecurilor de gaze perfecte. a) Legea lui Dalton precizeaz c : Presiunea total a amestecului de gaze, care ocup un anumit volum i se afl la o anumit temperatur, este egal cu suma presiunilor pariale ale gazelor componente, fiecare component ocup acelai volum i are temperatura amestecului.

Sub form matematic aceast lege se exprim cu relaia: ( ) ( )TVpTVp i ,, = (3. 65) n care pi este presiunea parial a componentului i a crui molecule difuzeaz n volumul V i se afl la temperatura amestecului T. Pentru componentul gazos i ecuaia de stare corespunztoare este:


3-15

piV = mi R T (3. 66) pentru amestecul de gaze ecuaia de stare este pV = mRT. Mrimea caracteristic componentului i este participaia masic gi definit prin raportul:

mmg ii = (3. 67)

i care verific relaia 1= ig , unde mmi = .

b) A doua lege a amestecurilor de gaze este legea lui Amagat care stabilete: Suma volumelor pariale ale gazelor componente, care au parametri intensivi presiune i temperatur ai amestecului, este egal cu volumul total al amestecului de gaze

Sub form matematic legea enunat mai sus se exprim prin: ( ) ( )TpVTpV i ,, = (3. 68)

Pentru componentul gazos i ecuaia de stare aferent este:

pVi = mi R T (3. 69) Mrimea caracteristic componentului i este participaia volumic ri definit prin raportul: ( )

( )= TpVTpVr

i

ii ,

, (3. 70)

i care verific relaia 1= ir . Volumul amestecului ( ) ( )TpVTp i ,,V = .

3. 1. 4. 2 Proprietile amestecurilor de gaze perfecte a) Constanta specific a amestecului de gaze R Se scrie ecuaia de stare pentru un component i, de exemplu n ipoteza legii lui Dalton sub forma: piV = mi R T, i ecuaia pentru amestecul de gaze sub forma: pV = mRT. )

Dar i , care nlocuite n ecuaia de stare a amestecului de gaze

conduc la: ( ) ( TVpTVp i ,, = mmi =

( ) ( )RTmVp ii = sau ( )RTmVp i= cu piV = mi Ri T membrul stng al relaiei de mai sus devine ( ) ( )TRmVp iii = sau ( ) ( ) TRmTRmpV iii == BTT I, Facultatea Energetic Prof. Alexandru Chisacof, 2007

3-16

din aceast relaie rezult constanta specific a amestecului de gaze:

iiiiii RgR

mm

mRm

R === [J/(kg K)] (3. 71) b) Densitatea amestecului de gaze

Pentru determinarea densitii amestecului de gaze se utilizeaz ecuaia de stare a acestuia din care se expliciteaz raportul m/V. Masa unui component este dat de produsul dintre densitatea sa i, la presiunea p i temperatura T ale amestecului, i volumul ocupat de acest component Vi(p,T). Cu aceste precizri densitatea amestecului de gaze rezult:

===== iiiiiii rVVV VVmVm [kg/m3] (3. 72) respectiv: ( )= TprTp ii ,),( (3. 72) c) Masa molar aparent a amestecului de gaze. Un amestec de gaze este format din componente cu structuri moleculare diferite. Pentru a putea efectua calcule practice este nevoie de o mrime echivalent cu masa molar, motiv pentru care s-a introdus noiunea de masa molar aparent a amestecului de gaze ca mrime de calcul. Pentru aceasta se folosete ecuaia densitii amestecului obinut anterior, n care densitile sunt considerate la o anumit stare, de exemplu la starea normal fizic, deci:

= NiiN r Se utilizeaz expresia densitii la starea normal fizic att pentru amestecul de gaze, =M/VMN , ct i pentru componeni i=Mi/VMN. Cu acestea se obine:

=MN

ii

MN VMr

VM

de unde rezult masa molar aparent sub forma:

= ii MrM [kg/kmol] (3. 73) d) Presiunea parial a unui gaz component. Se va considera ecuaia de stare a unui component scris n situaia presiunii pariale i a volumului parial:

piV = mi R T , pVi = mi R T se face raportul celor dou ecuaii i se obine:

1=i

i

pVVp de unde rezult iii rV

Vpp == (3. 74)


3-17

Presiunea parial a unui component este egal cu produsul dintre participaia volumic a componentului respectiv i presiunea total a amestecului:

pi = ri p (3. 75) e) Numrul de kmoli dintr-un component. Se aplic ecuaia de stare a gazului perfect componentului i i aceeai ecuaie scris pentru amestecul de gaze, deci :

pVi = ni RM T, respectiv pV = n RM T

Din raportul acestor ecuaii rezult:

nnr

VV i

ii == (3.76)

deci participaia volumic i participaia molar sunt egale la gaze perfecte. Numrul de kmol de component i rezult:

ni = ri n (3. 77) f) Transformarea participaiei volumice n participaie masic i invers. Participaia masic se definete prin relaia:

== iiii mm

mmg

masa de component i rezult din ecuaia de stare a componentului pVi = mi Ri T, deci:

iM

i

i

ii MTR

pVTR

pVm == Se nlocuiete aceast relaie n expresia lui gi i se obine:

===

VMV

VMV

MTR

pV

MTR

pV

mmg

ii

ii

iM

i

iM

i

ii 1

1

Prin mprirea cu volumul total att a numitorului ct i a numrtorului se obine participaia masic n funcie de participaia volumic respectiv molar a componentului:

MMr

MrMrg ii

ii

iii == (3. 78)

n care M este masa molar aparent a amestecului de gaze.


3-18

Pentru determinarea participaiei volumice a unui gaz component se pleac de la relaia de definiie ri = Vi/V n care volumul parial se obine din ecuaia de stare a componentului i dat de expresia p Vi = mi Ri T, deci:

pMTRm

pTRmV

i

Miiii ==

Se introduce aceast expresie n relaia de definiie a participaiei volumice se mparte cu masa att numitorul ct i numrtorul fraciei:

====

mMm

mMm

pMTRm

pMTRm

VV

VVr

i

i

i

i

i

Mi

i

Mi

i

iii 1

1

i rezult:

=

i

i

i

i

i

Mg

Mg

r (3. 79)

g) Cldura specific a amestecului de gaze. La un amestec de gaze energia schimbat sub form de cldur este dat de suma schimbului de cldur a componenilor. Pentru un schimb elementar de cldur rezult:

= iQQ Prin utilizarea cldurii specifice masice la o transformare termodinamic:

dTcmmcdT ii= dup mprirea cu masa m se obine

iiii cgc

mmc == [J/(kg K)] (3. 80)

Schimbul elementar de cldur n funcie de cldura specific molar la o transformare termodinamic conduce la:

dTCndTCn MiiM =

dup mprirea cu numrul de kmoli n se obine:

Miiii

M CrcnnC == [J/(kmol K)] (3. 81)


3-19

n care s-a inut seama de faptul c participaia molar la gaze perfecte este egal cu participaia volumic. n mod similar se determin i cldura specific volumic, deci se poate scrie:

NiiN CrC = [J/(m K)] (3. 82) N3

3. 1. 5 Transformri de stare la gaze perfecte

Determinarea elementelor caracteristice ale unei transformri termodinamice se face pe baza ecuaiei de stare a gazelor perfecte, a expresiilor matemat al termodinamicii, a ecuaiilor calorice de stare, concepte care au fo .

Pentru fiecare transformare analizat se va determina ecua rile de energie sub form de cldur i lucru mecanic precum i vastare energia intern i entalpia.

3. 1. 5. 1 Transformarea izocor (V= constant)

Din ecuaia de stare a gazelor perfecte scris ntre o stare incondiia volumului constant, rezult:

tconstanVmR

Tp

Tp

Tp ===== ....

2

2

1

1

n care raportul p/T se aplic pentru orice stare intermediar n coEvoluia gazului la o transformare izocor ntre o presiune iniieste reprezentat grafic pe diagrama p V (figura 3. 2). Conformfinal p2 este mai redus dect presiunea iniial p1 i din ecuaia izocorei rezult c i temperatura final T2 este mai redus dect T1.

p p1

p2

Lucrul mecanic al transformrii izocore 1-2 este:

02

112==

= constVpdVL (3.84) Lucrul mecanic total (tehnic) este:

)( 212

112,ppVVdpL

constVt==

= (3.85) pentru 1 kg de agent termic lurul mecanic total este:

)()( 2121

2

112,ppppvvdpl

constVt===

= n care masa volumic sau densitatea = 1/v.

Acest lucru mecanic este aplicabil sistemelor deschise n caeste neglijabil (cazul ventilatoarelor sau a turbinelor la carediagrama p-V acest lucru mecanic este dat de aria a12b, deci Lt,12

BTT I, Facultatea Energetic Prof. Alexandru Chisacof, 2007 ice ale primului principiust prezentate la capitolul 2ia transformrii, schimbu

riaia mrimilor calorice de

iial 1 i o stare final 2, n

(3. 83)

ndiii izocore. al p1 i o presiune final p2 graficului alturat presiunea

1

2

V V 1 =V 2

b

a

Fig. 3.2 Transformarea izocor n diagrama p V

[J/kg] (3. 85)

re compresibilitatea fluidului p12= |p2-p1|< 0,1 p1). n = aria a12b. Lucrul Lt,12 este

3-20

pozitiv deoarece p1>p2. n consecin, transformarea izocor 1-2 aplicat sistemelor deschise este echivalent unui proces de destindere.

Cldura schimbat n cursul transformrii izocore, n conformitate cu expresia primului principiu al termodinamicii i innd cont c L12 = 0, este:

( ) ( ) ( )121212 TTCVTTnCTTc m U - U Q 212121 TTNvMNTTMvTTv12constV12 ===== [J] (3. 86) Deci, variaia energiei interne este dat de schimbul de cldur al sistemului cu mediul cu care interacioneaz. Valorile cldurilor specifice aferente unitii de cantitate sunt considerate medii pe intervalul de temperatur T1 - T2.

n procesul 1-2 prezentat n diagrama p-V (figura 3. 2), temperatura T2

( ) )( 12122112 TTmRVVppdVL constp === = [J] (3. 89) n diagrama p-V acest lucru mecanic este dat de aria a12b, deci L12 = aria a12b. Lucrul L12 este pozitiv deoarece V2>V1. n consecin, transformarea izobar 1-2 aplicat sistemelor nchise este echivalent unui proces de destindere. Pentru 1 kg de agent termic lucrul mecanic este:

===

=12

12

2

11211)( pvvppdvl constp [kJ/kg] (3. 90)

n care masa volumic sau densitatea = 1/v.

Lucrul mecanic total (tehnic) este:

02

112,==

= constpt VdpL (3. 91)

Cldura schimbat n cursul transformrii izobare, n conformitate cu expresia primului principiu al termodinamicii i innd cont c Lt,12 = 0, rezult:

( ) ( ) ( )121212 TTCVTTnCTTc m H - H Q 212121 TTNpMNTTMpTTp12constp12 ===== [J] (3. 92) Deci, variaia entalpiei este dat de schimbul de cldur al sistemului cu mediul su nconjurtor. Valorile cldurilor specifice aferente unitii de cantitate sunt considerate medii pe intervalul de temperatur T1 - T2.

n procesul 1-2 prezentat n diagrama p-V (figura 3. 3), temperatura T2>T1 i rezult Q12 > 0, deci cldura este primit de sistem n cursul destinderii.

Variaia de energie intern este dat de prima ecuaie caloric de stare aplicat la gaze perfecte, deci:

( ) ( ) ( )121212 TTCVTTnCTTc m U - U 212121 TTNvMNTTMvTTv12 === [J] (3. 93)

sau conform principiului nti al termodinamicii:

( ) ( )( ) ( 121212 TTmcTTRcm)T-mR(TTTc m )T-mR(T- H-H L - Q U - U

vp12p

1212121212

== )===

(3. 93)

3. 1. 5. 3 Transformarea izoterm (T= constant)

Din ecuaia de stare a gazelor perfecte scris ntre o stare iniial 1 i o stare final 2 n

condiia temperaturii constante, se obine:

tconstanmRTpVVpVp ==== 2211 (3. 94) n care produsul pV=const. se aplic pentru orice stare intermediar n condiii izoterme. Sub form diferenial aceast ecuaie se scrie sub forma:


3-22

0=+VdV

pdp (3. 95)

panta curbei este Vp

dVdp

constT

=

= .

, deci o pant negativ.

Evoluia gazului la o transformare izoterm ntre o stare iniial de parametri p1 i V1 i o stare final de parametri p2 i V2 este reprezentat grafic pe diagrama p V (figura 3. 4). Conform graficului de mai sus volumul final V2 este mai ridicat dect volumul iniial V1 i din ecuaia izotermei rezult c presiunea final p2 este mai redus dect p1.

Lucrul mecanic al transformrii izoterme 1-2 se determin din relaia de definiie

constTpdVL

== 2112 , n care se expliciteaz p din ecuaia izotermei scris ntre starea 1 i o stare oarecare p1V1= pV=mRT = const. Astfel p =p1V1/V, iar lucrul mecanic rezult :

2

1

2

111

1

2

1

222

1

211

2

111

2

1 11

2

112

lnlnln

lnln

ppmRT

ppVp

VVmRT

VVVp

VVVp

VdVVp

VdVVppdVL

constT

==

===== = [J] (3. 96)

n diagrama p-V acest lucru mecanic este dat de aria a12b, deci L12 = aria a12b. Lucrul L12 este pozitiv deoarece V2>V1. n consecin, transformarea izoterm 1-2 aplicat sistemelor nchise este un proces de destindere. Pentru 1 kg de agent termic lucrul mecanic este:

2

1

2

111

1

2

1

222

1

211

2

1 11

2

112

lnlnln

lnln

ppRT

ppvp

vvRT

vvvp

vvvp

vdvvppdvl

constT

==

==== = [J/kg] (3. 96)

p

b

d

c

a

1 p1

2 p2

VV1 V2 Fig. 3. 4 Transformarea izoterm n diagrama p - V

Lucrul mecanic total (tehnic) se determin n mod similar i este:


3-23

21

2

111

1

2

2

122

2

111

2

111

2

1 11

2

112,

lnlnln

lnln

ppmRT

ppVp

VVmRT

ppVp

ppVp

pdpVp

pdpVpVdpL

constTt

==

====== = (3. 97)

deci Lt12 = L12 i este reprezentat de aria c12d (fig. 3.3) . Pentru lucru mecanic elementar rezult egalitatea tLL = . n sensul evoluiei de la starea 1 la starea 2 lucrul mecanic elementar

constTpdV =L = este pozitiv deoarece dV>0.

Pentru aceeai evoluie lucrul mecanic elementar tehnic sau total constTt

VdpL == este de asemenea pozitiv, deoarece variaia elementar de presiune dp

0=+=+= pdVdULdUQ (3. 103) 0==+= VdpdHLdHQ t (3. 104)

Din ultima egalitate a fiecrei ecuaii rezult:

pdVdU = (3. 105) VdpdH = (3. 106)

Se face raportul variaiei de entalpie la variaia energiei interne, raport adimensional care se noteaz cu k i se obine:

0=

==

QpdVVdp

dUdHk

(3. 107)

Acest raport poart numele de exponent adiabatic k. Din egalarea primului i celui de-al treilea membru al ecuaiei de mai sus se obine ecuaia diferenial a adiabatei:

0=+p

dpVdVk (3. 108)

Prin integrarea acestei ecuaii ca primitiv rezult:

.lnln constpVk =+ (3. 109) respectiv

.constpV k = (3. 110) n cazul gazului perfect dU = m cv dT i dH = m cp dT, iar exponentul adiabatic este:

v

p

v

p

cc

dTmcdTmc

dUdHk === (3. 111)

ceea ce reprezint raportul cldurilor specifice unitare la presiune constant, respectiv la volum constant ale gazului perfect. Valorile exponentului adiabatic pentru gaze perfecte au fost date la paragraful anterior ele fiind supraunitare (de exemplu k=1,4 la gaze biatomice, k=1,67 la gazele monoatomice etc.). n diagrama p-V din figura 3.5 este prezentat evoluia transformrii adiabate comparativ cu evoluia transformrii izoterme.

Pe diagrama din figura 3. 5 a) se prezint adiabata de destindere, iar pe figura 3. 5 b) este artat transformarea adiabat de comprimare. n ambele situaii se constat c indiferent de presiune i temperatur, panta adiabatei n valoare absolut este mai mare dect panta izotermei datorit faptului c exponentul adiabatic este supraunitar:

izotermaadiabata Vp

Vpk

dVdp

>

= (3. 112)


3-25

p

p1

p2

V1 V2

1

2izot

V

2

c

d

a b

p

p1

p2

V1 V2

11izot

V

2

c

d

a b

a) b)

Fig. 3. 5 Transformarea adiabat n diagrama p - V a) destindere 1-2; b) comprimare 2-1

O alt expresie a transformrii adiabate se obine din relaia i ecuaia de

stare a gazului perfect pV = mRT. Prin eliminarea presiunii se obine: .constpV k =

.1 constTV k = (3. 113)

sau sub form diferenial rezult:

( ) 01 =+VdVk

TdT (3. 114)

A treia expresie a adiabatei este obinut prin eliminarea volumului ntre expresiile

i TV Se obine astfel expresia: .constpV k = .1 constk =

.1 constp

T

kk = (3. 115)

expresie care sub form diferenial este:

01 =p

dpk

kTdT (3. 116)

Lucrul mecanic al unei transformri adiabate rezult din expresia principiului nti al

termodinamicii n care 0=Q :

dTk

RmdTmcdUL v 1=== (3. 117) Sub form integrat, ntre strile 1 i 2, lucrul mecanic adiabat rezult:


3-26

( ) ( )

=

=

====

k

k

vv

pp

kVp

TT

kVp

TT

kmRTTT

kRmTTcmdTcmL

1

1

211

1

211

1

212112

2

112

11

111

1

11

11

[J] (3.118)

Pe diagrama din figura 3. 5 a) lucrul mecanic de destindere adiabatic n evoluia 1-2 este

pozitiv, deoarece dV>0, i este reprezentat de L12 = aria a12b > 0. Pentru evoluia de comprimare adiabat 2-1, prezentat pe figura 3. 5 b), rezult un lucru negativ deoarece volumul scade dV

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 121

1

211

1

211

1

2121

22111122

11

1

11

2

11

2

1 /11112,

11

11

111

1111

lkpp

kkvp

TT

kkvp

TT

kkRTTT

kkR

kvpvpk

kvpvpk

k

ppvp

pdpvpl

kk

kk

kk

kt

=

=

=

==

=

=+

==

++

[J/kg] (3. 121)

unde l12 este lucrul mecanic al transformrii adiabate pentru 1 kg de agent termic, exprimat n J/kg. Se constat c semnul lucrului mecanic tehnic lt este acelai cu acela al lucrului de proces l deoarece raportul cldurilor specifice k este ntodeauna pozitiv lt = kl. Astfel pentru m kg de gaz pafect lucrul mecanic tehnic pe transformarea 1 - 2 este Lt,12 = m l12 . Grafic, lucrul mecanic tehnic este :

- Lt12 = aria c12d >0 pentru procesul de destindere 1-2 (fig. 3. 5 a), deoarece dp0 (V este totdeauna pozitiv) ; - respectiv Lt,21 = aria d21c 0 i VdpLt =

pdVVdp

cccc

vn

pn =

(3. 129)

Raportul diferenelor de clduri specifice se noteaz cu n i poart numele de exponent

politrop fiind definit prin:

vn

pn

cccc

n = (3. 130)

Cu acestea se obine ecuaia diferenial a politropei:

0=+p

dpVdVn (3. 131)

Ecuaie asemntoare formal cu ecuaia adiabatei. Sub form integrat pentru n = constant, aceast ecuaie rezult:

.constpV n = (3. 132) n mod similar cu cazul adiabatei, pentru n = constant, se obin celelalte ecuaii ale politropei pentru gazul perfect cu ecuaia de stare pV = mRT, n funcie de :

- temperatur i volum

.1 constTV n = (3. 133)

sau sub form diferenial

( ) 01 =+VdVn

TdT (3. 134)

- presiune i temperatur

.1 constp

T

nn = (3. 135)

sau sub form diferenial

01 =p

dpn

nTdT (3. 136)

Determinarea lucrul mecanic al transformrii politrope const n a utiliza relaia sa de

definiie i ecuaia politropei corespunztoare Se

exprim presiunea la o stare intermediar procesului 1-2= 2112 pdVL .2211 constpVVpVp nnn ===

, sub forma p = p1V1n/Vn i lucrul mecanic, pentru exponentul politropic n=constant, rezult: BTT I, Facultatea Energetic Prof. Alexandru Chisacof, 2007

3-29

( ) ( ) ( )

( )

=

=

=

==+

=+==

++n

n

nnn

kn

pp

nVp

TT

nVp

TT

nmRTTT

nRm

nVpVp

nVpVp

nVVVp

VdVVpL

1

1

211

1

211

1

2121

221111221

11

211

2

11112

11

111

111

11

111 [J](3. 137)

Pentru lucrul mecanic tehnic al transformrii politrope se folosete relaia sa de definiie

aplicat pentru 1 kg de agent termic i ecuaia corespunztoare

Se exprim presiunea la o stare intermediar procesului 1-2= 2112, vdplt

.2211 constpvvpvpnnn === , sub

forma v = v1p11/n/p1/n, iar lucrul mecanic rezult:

( ) ( )

( ) 121

1

211

1

211

1

2121

22111122

11

1

11

22

1 /11/1

112,

111

111

1111

lnpp

nnvp

TT

nnvp

TT

nnRTTT

nnR

nvpvpn

nvpvpn

n

ppp

pdpvpl

nn

nn

nn

t

=

=

=

==

==

=+

==

++

[J/kg] (3. 138)

unde l12 esteJ/kg. Lucrul Pe fpentru expocorespunde

d

c p

p1

p2

Pe diagramevoluia 1-2Pentru evolnegativ deode destinde

BTT I, FacultaProf. Alexand lucrul mecan mecanic tehnig. 3. 6 sunt renentul politrounei transform

1

V1 V

2ad a b

10 (se cunoate c Lt = -Vdp).

Schimbul de cldur pe transformarea politrop, cu n = constant, pe intervalul de temperatur de la T1 la T2 este:

( )1212 2

1TTcmQ T

Tn= (3. 139)

La gaze perfecte cldura specific la o transformare politrop, se obine din relaia de definiie exponentului politropic (3.129):

kc

nkn

cn

knc pvn 11

== (3. 140)

Se constat c aceast cldur specific este determinat pe baza exponentului politropic,

a celui adiabat i a cldurii specifice la volum constant, sau la presiune constant. Ea poate lua valori pe domeniul -; +, funcie de valoarea exponentului politrop n.

n continuare se vor particulariza valorile exponentului politropic pentru transformrile simple ale gazelor descrise mai sus. Astfel:

- pentru n+; rezult vnn cnkn

c1

lim = = cv , iar ecuaia pV

n=const. scris sub

forma p1/n V=const. conduce la V=const., deci procesul este izocor pentru n= 0 se obine cn = k cv, i ecuaia pv0= p=constant conduce la un proces

izobar -

- pentru n =1; rezult == vnn cn

knc

1lim

1= ciz , iar ecuaia pVn=const. devine p

V=const., adic ecuaia izotermei, condiie care rezult i din ecuaia politropei scrisa sub forma TVn-1 = TV0=T=const. deci, procesul este izoterm

- pentru n=k se obine cn=0=cad, deci dTmcQ ad= =0, iar ecuaia transformrii

devine pVk=const., adic ecuaia adiabatei.

Evoluia proceselor politrope n funcie de valorile exponentului politrop n sunt prezentate pe diagrama mecanic generalizat p-V pe figura 3. 7.

Transformri de destindere cu dV > 0, conduc la lucrul mecanic pozitiv L=pdV>0,

; lucrul mecanic tehnic este pozitiv deoarece dp= iAiA pdVL0, >= iAiAt VdpL

t=-Vdp>0,

. Se consider c toate transformrile au punctul iniial A. Cazurile

particulare ale politropei sunt: A 1 n=0 transformare izobar pA=p1, LA-1 >0 , destindere, Lt,A-1=0 ;

nclzire; QA-1>0; TAp2, VA

A 3 n=k transformare adiabat, QA-3 = 0; LA-3 > 0, Lt,A-3 >0, destindere; VA T3; pA > p3; apare o reducere de temperatur ceea ce echivaleaz cu o "rcire"adiabat

A 4 transformare izocor; Qn A-4 < 0 , rcire TA > T4; LA-4 = 0, Lt,A-4 >0 destindere pA > p4;

A stare final cuprins ntre 2 i 3 cu 1< n < k constituie o transformare politrop de desindere deoarece dV>0, dpV2,3 i pA > p 2,3); LA-2,3 > 0, Lt,A-2,3 >0 destindere; QA-2,3 > 0 nclzire deoarece cn T2,3;

Pentru toate transformrile ce au starea iniial n punctul A i starea final pe semicercul

ce pornete din vecintatea din dreapta punctului 4, adic (4 - 1 2 3 4] , procesele termodinamice sunt de destindere, exponentul politropic n crete de la - la + (- < n < +), iar pe aceast zon dV > 0.

p

Com

prim

are

L t,A

-0 . Toate transformrile termodinamice care au punctul iniial A i se desfoar catre partea de sub adiabata 3'A3 spre arcul de cerc (3 4 1' 2' 3'), constituie procese de rcire cu Q

BTT I Chisacof Cap 3

Documents

Transcript of BTT I Chisacof Cap 3