BTS Groupement a 2010

5/10/2018 BTS Groupement a 2010

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MATGRA!

SESSION 2010

SPECIALITES COEF. DUREE

CONTROlE INDUSTRIEl ET REGULATION AUTOMATIQUE 2 3ElECTROTECHNIQUE 2 3GENIE OPTIQUE 3 3

SYSTEMES ElECTRONIQUES 2 3TECHNIQUES PHYSIQUES POUR l'lNDUSTRIE ET lE lABORATOIRE 3 3

rMATHEMATIQUESLe sujet comprend 9 pages, nurnerotees de 1 a 9.Les pages 7, 8 et 9 sont a rendre avec la copie.

Le formulaire officiel de rnathernatiques est joint au sujet.II comprend 7 pages, nurnerotees de 1 a 7.

La clarte des raisonnements et /a qualite de la redaction interviendront pour une part importante dans{'appreciation des copies.L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathematiques est eutorise.

Code sujetMATGRA1

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MATGRAI

Exercice 1 (10points)Dans eet exercice, on se propose d'etudier dans fa partie A une perturbation d'un signal eontinu et,dans la pattie B, fa correction de eette perturbation par un filtre analogique.Partie ADans cet exerciee, on note 1: une constante reelle appartenant a l'intervalle [0; 211:]et on considereles fonctionsfet g, definies sur I'ensemble R des nombres reels, telles que:

pour tout nombre reel t, f () =1 ; Ia fonction gest periodique de periode 2n et :

{g ( t ) = o si O : : ; t < 1 "g (t ) = 1 si r::; t < 2n

Pour tout nombre reel t, on pose: h(t)=f(t)-g(t)La fonction h ainsi definie represente la perturbation du signal.1. Les courbes representatives des fonctions fet g sont tracees sur le document reponse nOl

(figures 1 et 2).Sur la figure 3 du document reponse nOI, tracer la representation graphique de la fonction h.2. On admet que la fonction h est periodique deperiode 2n.

Pour tout nombre reel t, on definit la serie de Fourier S ( t ) associee a la.fonction h par-(r ) = ao +I(n cos ( n t ) + bn sin (nt) )n=1

a) Determiner a o .b) Soit n un nombre entier superieur ou egal a 1.

Ca1culet S : cos(nt)dtet en deduire que

a n =_1 sin ( n 1 : ) .nnc) Montrer que, pour tout nombre entier n superieur au egal a 1,

b n =_1 (l-cos(nr)).nn3. Soit n un nombre entier naturel. On associe a n le nombre reel A n tel que:

A u = a o2 b 2 A , . = all + n si n est un nombre entier superieur ou egal a I.2

Montrer que, pour tout entier n superieur au egal a I,on a: A n = _1_~1_ cos ( n 1 : )nn2/9


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MATGRAI

On suppose, pour toute la suite de l'exercice,que t= 7r 44. Completer le tableau 1 du document reponse n02, avec des valeurs approchees a 10-5 pres.5. La valeur efficace h e f f de la fonction h est telle que :

2 1 i 21[ 2h e f f=- [ h ( t ) ) d t .2n 0a) Calculer h~~

3b) Calculer une valeur approchee a 10-4 pres du nombre reel P defini par P = I.A; .11;0

c) Calculer une valeur approchee a 10-2 pres du quotient ~ ..h~[rPartie B

On rappelle que j est le nombre complexe 'de module 1 et dont un argument est 1t .2On considere la fonction de transfert H definie, pour tout nombre complexe p different de _ 2 . , par:2

H(p)=_3_.2p+3On definit la fonction r, pour tout nombre reel positif OJ, par:

Le but de cette partie est de determiner le spectre d'amplitude du signal, note k, obtenu en filtrant laperturbation h au moyen d'W1 filtre dont la fonction de transfert est H.

31. Montrer que r ( O J ) = . J 9+4al2. Pour tout nombre entier nature 1n, O n definit le nombre feel positif E n par :

En =r(n)xA",a u A n est le nombre reel positif defini dans ta question 3 de la partie A.Completer le tableau 2 du document reponse n02, avec des valeurs approehees a 10-5 pres.Le spectre d'amplitude du signal filtre k est donne par la suite des nombres reels B" .

3. La figure 4 sur le document reponse D 02 donne le spectre d'amplitude de la perturbation h,c'est-a-dire une representation graphique de la suite des nombres reels A n .

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Sur la figure 5 dudocument reponse n02, on a commence de rneme a representer la suite desnombres reels E ll .Completer cette representation graphique a l'aide du tableau de valeurs n02 du documentreponse n02.

4. Vne valeur approchee a 10-4 pres du carre de la valeur efficace du signal k est : k~ "'"0,0516 .3a) Calculer une valeur approchee a 10-4 pres du nombre reel Q defini par Q = L B,~.

b) Calculer une valeur approchee a 10-2 pres du quotient q .keJJ

On a etudie le spectre de Fourier d'une perturbation d'un signal. On ne peut pas negliger les raiesde hautes frequences de ce spectre. Le filtrage dissipe une part importante de I 'energie de Zaperturbation et les raies de hautes frequences de la perturbation filtree sont negligeables.

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Exercice 2 (10 points)On considere un systeme physique dont l' etat est modelise par la fonction y de Ia variable reelle t,solution de I'equation differentielle :

y " { t ) + 4 y { t ) = : e { t ) (1),ou la fonction e represents une contrainte exterieure au systeme.

Partie ADans cette partie, on suppose que e { t ) = 20 pour tout nombre reel t.L'equation differentielle (1) s'ecrit alors sous la forme :

y " ( t ) + 4 y { t } = 20 (2).1. Determiner la fonction constante h solution particuliere de I'equation differentielle (2).2. Determiner la solution generate de l'equation differentielle (2).3. En deduire l'expression de la fonction fsolution de I 'equation differentielle (2) qui verifie les

conditions f ( O ) = O et 1 ' ( 0 ) = 0 .

Partie BDans cettepartie, on etudie un moyen d'amener le systeme vers un etat d'equilibre de rnaniere lisse .A cette fin, on soumet le systeme a une contrainte exterieure modelisee par 1a fonction e definiepar:

e ( t ) = 8t U ( t) - 8 ( t - T ) U ( t - T ) ,ou 'C designe un nombre reel strictement positif.On rappelle que la fonction echelon unite U est definie par :

{u( t) = 0 si t < 0U(t) = 1 si t e 0Une fonction definie sur Rest dite causale si eUe est Dulle sur 1'intervalle ] - 00 ; 0 [ .On appelle g la fonction causale telle que :

g " { t ) + 4 g ( t ) = = e { t )et verifiant : g ( O ) = 0 et g ' ( O ) = = O .

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MATGRAI

On note G ( p ) la transformee de Laplace de la fonction g et E ( p ) la t ransformee de Laplace de lafonctione.1. Exprimer E ( p ) en fonction de p et de t.2. En deduire que :

3. Determiner les constantes reelles A et B teUes que:8 A B

p2(P2+4)=p2+ p2+4'

4. Determiner alors l'original de 2 (~ ) p p +45. En deduire que, pour tout nombre reel t :

6. Montrer que pour t ~ r , on a :g ( t ) = 2-r-sin(2t) + sin(2t- 2,).

7. On suppose maintenant que r = = 1t.

a) Simplifier I'expression de g ( t ) pour t er.b) La courbe representative de la fonction e, pour - r = 1t, est tracee sur la figure du document

reponse n03,Sur Iememe graphique, tracer la courbe representative de la fonction g.

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MAT GRA 1

Document reponse nOl, a rendre avec la copie (exercice 1)

Figure 1 : courbe representative de la fonctionf_____ ro ~ _ _ _ _ ~ ._ _ __ ~ oo ~ .t , .. . - - . - ~~ - - - - - - _ __ , I , , j ,, . ,

.. .. - ~....~- - - .~... . . . . _ . ~. . - - ... - --I I '" .. .., ., ,_ - - ,, _ . . , - -- _. -~.... - - -~. - ,.. _ . _ - - .. - ~...,'_ - - .- - - - ,' - - - _ - ~- - - - ;. - -; , . . '..........,., I I, ., .......,.

I " 1 . ,I I I I I" ~ " .. ' ,I . ,, . . .' ,, . , ,. ,

~--+-~-1--+-~-4--+'--~4'--~~--+--~~-+--~4--~~4-~--1~->- S iT ; -211 -11 ; 0 rr : 2iT : 3rT ..- _ . - - _ _ .. - - - - - - - - ~. - -~_ .. .. I "- _ - - - _ . .. - - - - - ,,_ - - - - - - _ .. - - - -. - ~ - - - -

Figure 2 : courbe representative de la fonctiong

-11 : 0

I . , ~~ ~~r~~ "_"" .~ __ ._" __ ~_ _~ ~ ' _ _ 1 ., ... . .. ., . .~- _ .. - .. , . . - ... - - ~- - .~.. . - --~ . , . . . . , . . . . , . , . . , ., I .. .. . .., .. .- - - _ - - - - - - _ _ _ . _ - - -

2iT 3:rrt )

. .._..o_ - - _ - ~ _ - - - - ~ I I ,.- - -~- - - - ~ _ .- - - -'. - - . '" - . - - - - ,- _, - - _ - '

Figure 3 : courbe representative de la fonction h

_ ...~.- - -~ - .. - ..- - . _ . - - - 1 . . . . - . . . '1 --- .-.- ~... _--- --_j -- _-o _ , _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ . . _ _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _" ~ _ . ~ _,. .- _ ...",. - - ~-- - - - .... "" _ - - - - _ .... - .. .

-311 -211 2 r r 3:rr

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Document reponse n02, a rendre avec la copie (exercice 1)Tableau 1

n 0 1 2 3 4 5 6 7A n 0,12500 0,17227 0,13863 0,08318 0,05305 0,02461n 8 9 10 11 12 13 14 15

A n 0,01914 0,03183 0,03781 0,03199 0,02274 0,01148Tableau 2

n 1 2 3 4 5 6 7B n 0,14334 0,06200 0,03952 0,02390 0,01287 0,00516n 8 9 10 11 12 13 14 15

B n 0,00000 0,00315 0,00472 0,00511 0,00367 0,00242 0,00114Figure 4

0,1 .- I I I I T I I T I

0,20,180,160,140,12

0,080,060,040,02

o a 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Figure 50,160,140,120,10,080,060,040,020

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

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Document reponse n03, a rendre avec la copie (exercice 2)

. . . . . . . . . . . _ . + 1 _ ~ ' . ." . , ~ _ ~ " " " ' " ' ' ' " t , - - 1 1 _ " , , _. I .----------++---- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . - ~ - " ' " J " , " , , " ' , , - " _ . . . . . .i I, , - - ~ ' ' ' t - ~ ~ ~ = = ~ ~ . _ J _ ' ' ' ' 'i;

3 T T -

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