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BRUNIBRUNICapítuloCapítulo

Juros compostosJuros compostos

Matemática Financeira

Adriano Leal [email protected]

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BRUNIBRUNIPara saber mais ...Para saber mais ...

Todo o conteúdo dos Todo o conteúdo dos slides pode ser visto nos slides pode ser visto nos meus livros de meus livros de Matemática Matemática FinanceiraFinanceira, publicados , publicados pela Editora Atlas.pela Editora Atlas.

Para saber ainda mais, Para saber ainda mais, visite:visite:

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BRUNIBRUNIPara aprender ainda mais ...Para aprender ainda mais ...

CAPÍTULO 1CAPÍTULO 1

CAPÍTULO 6CAPÍTULO 6

CAPÍTULO 4CAPÍTULO 4

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BRUNIBRUNIPara conhecer meus livros e Para conhecer meus livros e minhas aulasminhas aulas

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BRUNIBRUNIPara pensar ...Para pensar ...

"O juro composto é a "O juro composto é a

maior invenção da maior invenção da

humanidade, porque humanidade, porque

permite uma confiável permite uma confiável

e sistemática e sistemática

acumulação de acumulação de

riqueza”.riqueza”.

Albert EinsteinAlbert Einstein

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BRUNIBRUNITrês objetivos do capítuloTrês objetivos do capítulo

Entender operações com Entender operações com

juros compostosjuros compostos

Saber usar a equivalência Saber usar a equivalência

de taxasde taxas

Compreender as Compreender as

operações com operações com

equivalência de capitaisequivalência de capitais

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BRUNIBRUNIConceito de juros compostosConceito de juros compostos

Juros sempre sobre o Juros sempre sobre o

MONTANTE MONTANTE

ANTERIORANTERIOR

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BRUNIBRUNIPreste atenção!!!Preste atenção!!!

EmpréstimoEmpréstimo Valor atual na data Valor atual na data

zero igual a $100,00zero igual a $100,00 Taxa igual a 10% a.p.Taxa igual a 10% a.p.

Considere Considere juros juros compostoscompostos

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BRUNIBRUNIJuros compostosJuros compostos

nn JurosJuros VFVF FórmulaFórmula

0 - 100,00 VF=VP

1 10,00 110,00 VF=VP (1+i)10% x $100

2 11,00 121,00 VF=VP (1+i) (1+i)10% x $110

n i.VFant VF VF=VP (1+ i)n

Juros compostos sempreincidem sobre montante

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BRUNIBRUNIUma constataçãoUma constatação

Juros sobre Juros sobre montantemontante

Montante inclui jurosMontante inclui juros

Juros sobre Juros sobre jurosjuros

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BRUNIBRUNIFórmula dos juros compostosFórmula dos juros compostos

VF=VP (1+ i)n

Expoente!Desafio matemático …Contas mais difíceis …

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BRUNIBRUNICalculando no braçoCalculando no braço

Um investidor aplicou Um investidor aplicou $4.000,00 por seis meses a $4.000,00 por seis meses a uma taxa composta igual a uma taxa composta igual a 8% a.m. Calcule o valor do 8% a.m. Calcule o valor do resgate.resgate.

VFVF

-4000-4000

6 meses6 meses00

i = 8% a.m.i = 8% a.m.

VF = VP (1+i)VF = VP (1+i)nn

VF = 4000 (1+0,08)VF = 4000 (1+0,08)66

VF = $6.347,50 VF = $6.347,50

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BRUNIBRUNIAs tabelas padronizadasAs tabelas padronizadas

Para facilitar as contas …Para facilitar as contas …

VF=VP (1+ i)n

an,i=(1+ i)n

linhalinhacolunacoluna

Tabelas padronizadasTabelas padronizadas

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BRUNIBRUNIPara o exemploPara o exemplo

n\in\i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000

2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100

3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310

4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641

5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105

6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716

7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487

8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436

9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579

10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937

n=6n=6 i=8%i=8%

a6,8=1,5869

VFVF

-4000-4000 6 meses6 meses00

i = 8% a.m.i = 8% a.m.

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BRUNIBRUNISubstituindo aSubstituindo an,in,i

VF = VP (1+i)VF = VP (1+i)nn

VF = $6.347,50 VF = $6.347,50

VF = VP. aVF = VP. an,in,i

VF = 4000. (1,5869)VF = 4000. (1,5869)

VFVF

-4000-4000 6 meses6 meses00

i = 8% a.m.i = 8% a.m.

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BRUNIBRUNICaracterísticas dos compostosCaracterísticas dos compostos

Juros incidem sobre jurosJuros incidem sobre juros Valor futuro cresce Valor futuro cresce

exponencialmenteexponencialmente

Capitalização ExponencialCapitalização Exponencial

Valor Futuro

Tempo

VP

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BRUNIBRUNICompostos superam simples?Compostos superam simples?

Valor Futuro

Tempo

VP

Juros simples maioresque compostos

Juros compostos maioresque simples

N = 1

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BRUNIBRUNIPara valor de n …Para valor de n …

N < 1 N < 1 Juros simples são maiores Juros simples são maiores

que juros compostosque juros compostos

N = 1N = 1 Juros simples são iguais a Juros simples são iguais a

juros compostosjuros compostos

N>1N>1 Juros compostos são Juros compostos são

maiores que juros simplesmaiores que juros simples

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BRUNIBRUNIEquivalência de CapitaisEquivalência de Capitais

““Dois ou mais capitais Dois ou mais capitais nominais, supostos com nominais, supostos com datas de vencimento datas de vencimento determinadas, dizem-se determinadas, dizem-se equivalentes quando, equivalentes quando, descontados para uma descontados para uma data focal, à mesma taxa data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas de juros, e em idênticas condições, produzem condições, produzem valores iguais”.valores iguais”.

(mesmo conceito em juros simples)(mesmo conceito em juros simples)

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BRUNIBRUNIExemplo GExemplo G

Pedro pensa em comprar um carro novo, com Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00.preço a vista igual a $30.000,00.

Pagará uma entrada de $8.000,00Pagará uma entrada de $8.000,00 Pagará $14.000,00 em 30 diasPagará $14.000,00 em 30 dias Pagará X em 60 diasPagará X em 60 dias Taxa Taxa compostacomposta igual a 3% a.m. igual a 3% a.m.

Calcule o valor de XCalcule o valor de X$30.000,00

-$8.000,00 -$14.000,00 -X

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BRUNIBRUNITaxa composta igual a 3% a.m.Taxa composta igual a 3% a.m.

$30.000,00

-$8.000,00 -$14.000,00 -X

$22.000,00 $23.339,80

$14.420,00

$8.919,80

Capitalizando $22.000,00

VF = VP (1+i)n

VF = 22000 (1+0,03)2

VF = $23.339,80

Capitalizando $14.000,00

VF = VP (1+i)n

VF = 14000 (1+0,03)1

VF = $14.420,00

0 1 2

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BRUNIBRUNIExemplo HExemplo H

Uma loja anuncia um Uma loja anuncia um produto a vista por produto a vista por $500,00 ou em duas $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. entrada, iguais a X. Sabendo que a loja Sabendo que a loja cobra juros cobra juros compostacomposta, , iguais a 4%, calcule o iguais a 4%, calcule o valor de X.valor de X.

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BRUNIBRUNIResolução …Resolução …

-X -X

$500,00

0 1 2

i = 4% a.m. (JC)i = 4% a.m. (JC)

Descapitalizando X1

VF = VP (1+i)n

VP = VF / (1+i)n

VP = X / (1+0,04)1

VP = 0,9615.X

Descapitalizando X2

VF = VP (1+i)n

VP = VF / (1+i)n

VP = X / (1+0,04)2

VP = 0,9246.X

Como a soma a valor presente é igual a $500,00,

500 = 0,9615.X + 0,9246.X = 1,8861.X X = 500/1,8861 = $265,10 X = 500/1,8861 = $265,10

$264,91$264,91 $264,91$264,91

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BRUNIBRUNIExemplo IExemplo I

Uma empresa comercial, para efetuar o Uma empresa comercial, para efetuar o pagamento de suas encomendas, deve pagamento de suas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juros final. Se a aplicação for feita a juros compostos, à taxa de 4% ao mês, qual compostos, à taxa de 4% ao mês, qual deverá ser o valor de X? deverá ser o valor de X?

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BRUNIBRUNIEquivalência de taxasEquivalência de taxas

Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros compostos capitalização ou dos juros compostos são equivalentes quando resultam no são equivalentes quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. o mesmo principal.

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BRUNIBRUNIFórmula da equivalênciaFórmula da equivalência

ia = [(1+ib)ia = [(1+ib)(nb/na)(nb/na)]-1]-1

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BRUNIBRUNIExemplo JExemplo J

1. Determinar as taxas semestral e anual 1. Determinar as taxas semestral e anual equivalentes à taxa de juros compostos equivalentes à taxa de juros compostos de 3% ao mês.de 3% ao mês.

RespostaResposta : 19,41% a.s. e 42,58% a.a. : 19,41% a.s. e 42,58% a.a.

2. Calcular a taxa mensal equivalente de 2. Calcular a taxa mensal equivalente de juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% ao ano; c) 96% ao biênio.ao ano; c) 96% ao biênio.

RespostaResposta : a) 11,29% a.m., b) 10,2% a.m., c) : a) 11,29% a.m., b) 10,2% a.m., c) 2,84 a.m.2,84 a.m.

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BRUNIBRUNITrês resultados do capítuloTrês resultados do capítulo

Entendemos operações Entendemos operações

com juros compostoscom juros compostos

Sabemos usar a Sabemos usar a

equivalência de taxasequivalência de taxas

Compreendemos as Compreendemos as

operações com operações com

equivalência de capitaisequivalência de capitais

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BRUNIBRUNIUsando as antigas e funcionais Usando as antigas e funcionais

TabelasTabelas

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BRUNIBRUNITabela de fatores (1+i)Tabela de fatores (1+i)nn

n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000

2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100

3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310

4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641

5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105

6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716

7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487

8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436

9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579

10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937

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BRUNIBRUNITabela de fatores (1+i)Tabela de fatores (1+i)nn

n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531

12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384

13 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523

14 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975

15 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772

16 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 4,5950

17 1,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 5,0545

18 1,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 5,5599

19 1,2081 1,4568 1,7535 2,1068 2,5270 3,0256 3,6165 4,3157 5,1417 6,1159

20 1,2202 1,4859 1,8061 2,1911 2,6533 3,2071 3,8697 4,6610 5,6044 6,7275