Bpmpd Manual

8/14/2019 Bpmpd Manual

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B P M P D u s e r ' s m a n u a l

V e r s i o n 2 . 2 0

C s a b a M e s z a r o s

I m p e r i a l C o l l e g e , D e p a r m e n t o f C o m p u t i n g

A b s t r a c t

T h e p u r p o s e o f t h i s d o c u m e n t i s t o d e s c r i b e a s o f t w a r e p a c k a g e , c a l l e d

B P M P D , w h i c h i m p l e m e n t s t h e i n f e a s i b l e p r i m a l { d u a l i n t e r i o r p o i n t m e t h o d

f o r l i n e a r a n d q u a d r a t i c p r o g r a m m i n g p r o b l e m s . T h i s m a n u a l d e s c r i b e s h o w

t o p r e p a r e d a t a t o s o l v e w i t h t h e p a c k a g e , h o w t o u s e B P M P D a s a c a l l a b l e

s o l v e r l i b r a r y a n d w h i c h a l g o r i t h m i c o p t i o n s c a n b e s p e c i e d b y t h e u s e r .

1 P r o b l e m f o r m u l a t i o n

B P M P D i s a s o f t w a r e p a c k a g e t o s o l v e l i n e a r ( L P ) a n d c o n v e x q u a d r a t i c ( Q P )

p r o b l e m s . F o r s i m p l i c i t y w e w i l l i n t r o d u c e h e r e t h e q u a d r a t i c p r o g r a m m i n g p r o b l e m

w h i c h i n c l u d e s t h e l i n e a r p r o g r a m m i n g a s s p e c i a l c a s e . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y ,

t h e c o n v e x Q P p r o b l e m i s u s u a l l y a s s u m e d t o b e i n t h e f o l l o w i n g f o r m :

m i n c

T

x +

1

2

x

T

Q x

s u b j e c t t o A x = b

x 0

( 1 )

w h e r e A 2 R

m n

o f f u l l r o w r a n k , Q 2 R

n n

s y m m e t r i c p o s i t i v e s e m i d e n i t e

a n d c x 2 R

n

b 2 R

m

. I t i s t o b e n o t e d t h a t a n 1 / 2 e x p l i c i t t e r m i s g i v e n i n

t h e q u a d r a t i c m a t r i x . T h e d u a l a s s o c i a t e d w i t h t h i s p r o b l e m c a n b e w r i t t e n a s

m a x b

T

y ;

1

2

x

T

Q x

s u b j e c t t o A

T

y + z ; Q x = c

z 0

( 2 )

T h e a u t h o r w a s s u p p o r t e d b y E P S R C g r a n t N o . G R / J 5 2 6 5 5

1



w h e r e z 2 R

n

a n d y 2 R

m

. T h e c o n s t r a i n s o f t h e a b o v e p r o b l e m s d e n e c o n -

v e x p o l y h e d r o n s w h i c h a r e n o n e m p t y i f a f e a s i b l e p r i m a l { d u a l s o l u t i o n e x i s t s . T h e

K a r u s h { K u h n { T u c k e r o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s f o r ( 1 ) a n d ( 2 ) a r e :

A x = b ( 3 )

A

T

y + z ; Q x = c ( 4 )

X z = 0 ( 5 )

( x z ) 0 ( 6 )

w h e r e X = d i a g ( x

1

: : : x

n

)

B P M P D i m p l e m e n t s t h e i n f e a s i b l e p r i m a l { d u a l i n t e r i o r p o i n t a l g o r i t h m 1 0 , 1 ]

t h a t i s B P M P D g e n e r a t e s a s e q u e n c e o f i t e r a t e s

( x

k

y

k

z

k

) k = 0 1 2 : : :

w h i c h s a t i s e s a s t r i c t p o s i t i v i t y c o n d i t i o n ( x

k

z

k

) > 0 , b u t f e a s i b i l i t y ( 3 , 4 ) a n d

o p t i m a l i t y ( 5 ) r e a c h e d a s k ; ! 1 . T h e p r i m a l { d u a l i n t e r i o r p o i n t a l g o r i t h m i s

b a s e d o n t h e a p p l i c a t i o n o f t h e N e w t o n m e t h o d t o s o l v e t h e p e r t u r b e d K K T s y s t e m .

T h e p e r t u r b a t i o n i s i n t r o d u c e d t o r e t a i n p o s i t i v i t y i n ( x z ) b y r e p l a c i n g ( 5 ) w i t h

X z = e

w h e r e i s t h e n o n n e g a t i v e c e n t e r i n g p a r a m e t e r a n d e i s t h e n v e c t o r o f o n e s .

T o d e r i v e t h e p r i m a l - d u a l a l g o r i t h m o n e s h o u l d :

r e p l a c e n o n n e g a t i v i t y c o n s t r a i n t s o n t h e v a r i a b l e s w i t h l o g a r i t h m i c b a r r i e r

p e n a l t y t e r m s

m o v e e q u a l i t y c o n s t r a i n t s t o t h e o b j e c t i v e w i t h t h e L a g r a n g e t r a n s f o r m a t i o n t o

o b t a i n a n u n c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n p r o b l e m a n d w r i t e r s t o r d e r o p t i m a l i t y

c o n d i t i o n s f o r i t a n d

a p p l y N e w t o n ' s m e t h o d t o s o l v e t h e s e r s t o r d e r o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s ( i . e . t o

s o l v e a s y s t e m o f n o n l i n e a r e q u a t i o n s ) .

R e p l a c i n g n o n n e g a t i v i t y c o n s t r a i n t s w i t h t h e l o g a r i t h m i c p e n a l t y t e r m s g i v e s t h e

f o l l o w i n g l o g a r i t h m i c b a r r i e r p r o b l e m :

m i n i m i z e c

T

x +

1

2

x

T

Q x ;

n

P

j = 1

l n x

j

s u b j e c t t o A x = b

( 7 )

2



T h e L a g r a n g i a n f o r ( 7 ) i s

L ( x s y w ) = c

T

x +

1

2

x

T

Q x ;

n

X

j = 1

l n x

j

; y

T

( A x ; b )

a n d t h e r s t o r d e r o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s f o r ( 7 ) a r e :

r

x

L = c ; X

; 1

e ; A

T

y + Q x = 0

r

y

L = b ; A x = 0

B y i n t r o d u c i n g Z = X

; 1

w e c a n w r i t e t h e r s t o r d e r o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s o f ( 7 )

a s

A x = b

A

T

y + z ; Q x = c ( 8 )

X Z e = e

L e t u s o b s e r v e t h a t t h e r s t t w o o f t h e a b o v e e q u a t i o n s a r e l i n e a r a n d f o r c e p r i m a l

a n d d u a l f e a s i b i l i t y o f t h e s o l u t i o n . T h e l a s t e q u a t i o n i s n o n l i n e a r a n d d e p e n d s o n

t h e b a r r i e r p a r a m e t e r . I t b e c o m e s t h e c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n f o r = 0 , w h i c h

t o g e t h e r w i t h t h e f e a s i b i l i t y c o n s t r a i n t s p r o v i d e s o p t i m a l i t y o f t h e s o l u t i o n s .

I t c a n b e s e e n t h a t ( 8 ) i s i d e n t i c a l t o t h e K a r u s h - K u h n - T u c k e r ( K K T ) s y s t e m

f o r t h e L P p r o b l e m , i n w h i c h t h e c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n s a r e p e r t u r b e d b y

H e n c e , ( 8 ) i s c a l l e d t h e p e r t u r b e d K K T c o n d i t i o n s .

A n o n n e g a t i v e s o l u t i o n o f ( 8 ) i s c a l l e d a n a n a l y t i c c e n t e r . I t c l e a r l y d e p e n d s o n

t h e v a l u e o f t h e b a r r i e r p a r a m e t e r . T h e s e t o f s u c h s o l u t i o n s ( x ( ) ) a n d ( y ( ) z ( ) )

d e n e s a t r a j e c t o r y o f c e n t e r s f o r t h e p r i m a l a n d d u a l p r o b l e m , r e s p e c t i v e l y a n d i s

c a l l e d t h e c e n t r a l p a t h . T h e q u a n t i t y

g = x

T

z + s

T

w

m e a s u r e s t h e e r r o r i n t h e c o m p l e m e n t a r i t y a n d i s c a l l e d a c o m p l e m e n t a r i t y g a p

N o t e t h a t f o r a f e a s i b l e p o i n t , t h i s v a l u e r e d u c e s t o t h e u s u a l d u a l i t y g a p . F o r a

- c e n t e r , f o r e x a m p l e ,

g = 2 e

T

e = 2 n ( 9 )

a n d i t v a n i s h e s a t a n o p t i m a l s o l u t i o n .

O n e i t e r a t i o n o f t h e p r i m a l - d u a l a l g o r i t h m m a k e s o n e s t e p o f N e w t o n ' s m e t h o d

a p p l i e d t o t h e r s t o r d e r o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s ( 8 ) w i t h a g i v e n a n d t h e n i s

3



u p d a t e d ( u s u a l l y d e c r e a s e d ) . T h e a l g o r i t h m t e r m i n a t e s w h e n t h e i n f e a s i b i l i t y a n d

t h e c o m p l e m e n t a r i t y g a p a r e r e d u c e d b e l o w p r e d e t e r m i n e d t o l e r a n c e s .

G i v e n a n x z 2 R

n

+

y 2 R

m

, N e w t o n ' s d i r e c t i o n i s o b t a i n e d b y s o l v i n g t h e

f o l l o w i n g s y s t e m o f l i n e a r e q u a t i o n s

2

6

4

A 0 0

Q A

T

I

Z 0 X

3

7

5

2

6

4

x

y

z

3

7

5

=

2

6

4

b

c

e ; X Z e

3

7

5

( 1 0 )

w h e r e

b

= b ; A x

a n d

c

= c ; A

T

y ; z + Q x

d e n o t e t h e v i o l a t i o n s o f t h e p r i m a l a n d t h e d u a l c o n s t r a i n t s , r e s p e c t i v e l y . W e c a l l

t h e l i n e a r s y s t e m ( 1 0 ) t h e N e w t o n e q u a t i o n s s y s t e m .

N o t e t h a t t h e p r i m a l - d u a l m e t h o d d o e s n o t r e q u i r e f e a s i b i l i t y o f t h e s o l u t i o n s (

b

a n d

c

m i g h t b e n o n z e r o ) d u r i n g t h e o p t i m i z a t i o n p r o c e s s . F e a s i b i l i t y i s a t t a i n e d

d u r i n g t h e p r o c e s s a s o p t i m a l i t y i s a p p r o a c h e d . I t i s e a s y t o v e r i f y t h a t i f a s t e p

o f l e n g t h o n e i s m a d e i n t h e N e w t o n ' s d i r e c t i o n ( 1 0 ) , t h e n f e a s i b i l i t y i s r e a c h e d

i m m e d i a t e l y . T h i s i s s e l d o m t h e c a s e a s a s m a l l e r s t e p s i z e u s u a l l y h a s t o b e c h o s e n

( a d a m p e d N e w t o n i t e r a t i o n i s t a k e n ) t o p r e s e r v e p o s i t i v i t y o f x a n d z . I f t h i s i s

t h e c a s e a n d a s t e p s i z e < 1 i s a p p l i e d , t h e n i n f e a s i b i l i t i e s

b

a n d

c

a r e r e d u c e d

b y a f a c t o r ( 1 ; )

O n c e t h e s y s t e m ( 1 0 ) h a s b e e n s o l v e d , t h e m a x i m u m s t e p s i z e s i n p r i m a l s p a c e

(

P

) a n d d u a l s p a c e (

D

) a r e c o m p u t e d s u c h t h a t t h e n o n n e g a t i v i t y o f v a r i a b l e s i s

p r e s e r v e d :

P

=

1

m a x

k = 1 : : : n

n

1 ;

x

k

x

k

o

D

=

1

m a x

k = 1 : : : n

n

1 ;

z

k

z

k

o

T h e n t h e c o m m o n s t e p l e n g t i s d e n e d a s = m i n (

P

D

) . T h e s e s t e p s i z e s a r e

s l i g h t l y r e d u c e d w i t h a f a c t o r

0

< 1 t o p r e v e n t h i t t i n g t h e b o u n d a r y . F i n a l l y a n e w

i t e r a t e i s c o m p u t e d a s f o l l o w s

x x +

0

x

y y +

0

y

z z +

0

z

( 1 1 )

4



A f t e r m a k i n g t h e s t e p , t h e b a r r i e r p a r a m e t e r i s d e c r e a s e d b y a g i v e n f a c t o r a n d

t h e p r o c e s s i s r e p e a t e d .

I n t e r i o r p o i n t a l g o r i t h m s t e r m i n a t e w h e n t h e r s t o r d e r o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s

( 8 ) a r e s a t i s e d w i t h s o m e p r e d e t e r m i n e d t o l e r a n c e . I n t h e c a s e o f t h e p r i m a l { d u a l

m e t h o d , t h i s t r a n s l a t e s t o t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s i m p o s e d o n t h e r e l a t i v e p r i m a l

a n d d u a l f e a s i b i l i t y a n d t h e r e l a t i v e d u a l i t y g a p

A x ; b

1 + b

1 0

; p

A

T

y + z ; w ; c

1 + c + Q x

1 0

; p

c

T

x +

1

2

x

T

Q x ; ( b

T

y ;

1

2

x

T

Q x )

1 + b

T

y +

1

2

x

T

Q x

1 0

; p

w h e r e p i s t h e n u m b e r o f d i g i t s a c c u r a t e i n t h e s o l u t i o n . A n 8 { d i g i t s e x a c t s o l u t i o n

( p = 8 ) i s t y p i c a l l y r e q u i r e d i n t h e l i t e r a t u r e .

I n e a c h i t e r a t i o n B P M P D u s e s M e h r o t r a ' s p r e d i c t o r c o r r e c t o r t e c h n i q u e 5 ] t o

c o m p u t e t h e s e a r c h d i r e c t i o n a n d t h e c e n t e r i n g p a r a m e t e r . F u r t h e r m o r e , t h e

m u l t i p l e c o r r e c t i o n t e c h n i q u e 3 ] i s a l s o a p p l i e d .

2 I n s t a l l i n g B P M P D

B P M P D i s e n t i r e l y w r i t t e n i n F o r t r a n 7 7 a n d i s b e l i e v e d t o b e p o r t a b l e . O n l y

t h e t i m i n g r o u t i n e h a s t o b e a d j u s t e d t o t h e a c t u a l p l a t f o r m a n d c o m p i l e r . I n t h e

d i s t r i b u t i o n t h i s t i m i n g r o u t i n e i s p r o v i d e d f o r a n u m b e r o f p l a t f o r m s a n d c o m p i l e r s

a n d t h e r e l e v a n t o n e c a n b e e a s i l y a c t i v a t e d . T h e C v e r s i o n o f t h e t i m i n g r o u t i n e i s

a l s o i n c l u d e d w h i c h i s s t a n d a r d u n d e r U N I X .

B P M P D c a n b e c o m p i l e d a n d l i n k e d w i t h a F o r t r a n 7 7 c o m p i l e r s y s t e m . A l -

t e r n a t i v e l y , t h e F o r t r a n 7 7 s o u r c e c o d e c a n b e t r a n s l a t e d t o C b y u s i n g t h e p u b l i c

d o m a i n f 2 c s y s t e m .

T o i n s t a l l t h e e x e c u t a b l e v e r s i o n o f B P M P D o n e p a r a m e t e r , r e a l m x x h a s t o b e

s e t i n b p m a i n f f o r m e m o r y a l l o c a t i o n p r i o r t o c o m p i l e t h e s o u r c e l e . T h e v a l u e

o f t h i s p a r a m e t e r d e p e n d s o n t h e a v a i l a b l e m e m o r y o f t h e p l a t f o r m a n d d e t e r m i n e s

t h e m e m o r y a l l o c a t i o n . B P M P D w i l l a l l o c a t e a b o u t 1 4 r e a l m m x b y t e s o f m e m o r y ,

t h a t i s f o r a c o m p u t e r p l a t f o r m w i t h 6 4 m e g a b y t e o p e r a t i v e m e m o r y r e a l m m x c a n

b e s e t t o a b o u t 4 5 0 0 0 0 0 .

5



T o c o m p i l e t h e c a l l a b l e l i b r a r y f o r m o f B P M P D , t h e s o u r c e l e s b p m a i n . f ,

m i n p u t . f , m p s i n p . f , m p s o u t . f a n d c o n v e r t . f h a v e t o b e o m i t t e d . A n i n t e r f a c e ,

w h i c h s i m p l i e s t h e u s e o f B P M P D a s a s u b r o u t i n e c a n b e c r e a t e d ( w e w i l l d e s c r i b e

s u c h a n i n t e r f a c e i n o n e o f t h e f o r t h c o m i n g s e c t i o n s ) a n d i n c l u d e d t o t h e s o u r c e l e s .

W e w o u l d l i k e t o n o t e t h a t o n l y o n e r o u t i n e , m p r n t ( l o c a t e d i n t h e l e m p r n t . f )

c o n t a i n s w r i t e s t a t e m e n t s t o e x t e r n a l l e s .

3 S o l u t i o n o f a p r o b l e m

T h e r s t s t e p o f t h e s o l u t i o n p r o c e s s i s t o g e n e r a t e a n i n p u t l e w h i c h d e s c r i b e s

t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . B P M P D s u p p o r t s t h e i n d u s t r y { s t a n d a r d M P S f o r m a t

w i t h s o m e e x t e n s i o n s . I n t h e i n p u t l e A b a n d c , f u r t h e r m o r e t h e b o u n d s o n

i n d i v i d u a l v a r i a b l e s a n d r o w s a r e s p e c i e d b y t h e u s u a l R O W S , C O L U M N S , R H S ,

B O U N D S , R A N G E S r e c o r d s o f t h e M P S f o r m a t 1 1 ] . T o s p e c i f y t h e q u a d r a t i c p a r t

o f t h e p r o b l e m , a n e w s e c t i o n " Q U A D O B J " i s i n t r o d u c e d . I t s e r v e s t o s p e c i f y t h e

l o w e r t r i a n g u l a r p a r t o f t h e q u a d r a t i c o b j e c t i v e i n t h a t r e l a t i v e c o l u m n o r d e r a s

i t h a s b e e n g i v e n i n t h e C O L U M N S s e c t i o n . O t h e r w i s e t h e d a t a r e c o r d s i n t h e

Q U A D O B J s e c t i o n a r e o f t h e s a m e s t r u c t u r e t h a n t h a t o f t h e C O L U M N S s e c t i o n .

A s e x a m p l e f o r t h e p r o b l e m f o r m u l a t i o n , l e t u s c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g q u a d r a t i c

p r o g r a m m i n g p r o b l e m :

m i n f ( x y ) = 4 + 1 5 x ; 2 y + 4 x

2

+ 2 x y + 5 y

2

2 x + y 2

; x + 2 y 6

0 x 2 0 y 0

A f t e r i m p l i e d r e w r i t i n g :

m i n f ( x y ) = 4 + 1 5 x ; 2 y +

1

2

( 8 x

2

+ 2 x y + 2 y x + 1 0 y

2

)

2 x + y 2

; x + 2 y 6

0 x 2 0 y 0

T h u s t h e Q m a t r i x i s

"

8 2

2 1 0

#

6



f o r w h i c h t h e l o w e r t r i a n g u l a r p a r t ( t o b e g i v e n ) i s :

"

8

2 1 0

#

B e l o w w e h a v e s h o w n t h e M P S l e c o r r e s p o n d i n g t o t h e e x a m p l e . N o t e t h a t t h e

a d d i t i v e t e r m i n t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n i s g i v e n i n t h e R H S s e c t i o n b y o p p o s i t e s i g n .

N A M E Q P e x a m p l e

R O W S

N o b j

G r 1

L r 2

C O L U M N S

c 1 r 1 2 . 0 r 2 - 1 . 0

c 1 o b j 1 . 5

c 2 r 1 1 . 0 r 2 2 . 0

c 2 o b j - 2 . 0

R H S

r h s 1 o b j - 4 . 0

r h s 1 r 1 2 . 0 r 2 6 . 0

B O U N D S

U P b n d 1 c 1 2 0 . 0

Q U A D O B J

c 1 c 1 8 . 0

c 1 c 2 2 . 0

c 2 c 2 1 0 . 0

E N D A T A

A f t e r t h e i n p u t l e h a s b e e n c r e a t e d t h e p r o b l e m c a n b e s o l v e d . T h e o p t i m i z e r

c a n b e c a l l e d b y t h e b p m p d c o m m a n d . F i r s t , B P M P D w i l l r e a d i t s p a r a m e t e r l e

c a l l e d b p m p d . p a r i f p r e s e n t e d . I f t h e p a r a m e t e r l e e x i s t s a n d t h e p r o b l e m l e n a m e

i s s p e c i e d i n i t , B P M P D w i l l s t a r t t o r e a d t h e p r o b l e m a n d t o s o l v e i t . O t h e r w i s e

B P M P D w i l l p r o m p t t h e u s e r f o r t h e t h e i n p u t l e n a m e . I t i s a s s u m e d b y B P M P D

t h a t t h e e x t e n s i o n o f t h e i n p u t l e i s e i t h e r . m p s o r . q p s . T h e n a m e o f t h e M P S

i n p u t l e h a s t o b e g i v e n b y t h e u s e r w i t h o u t e x t e n s i o n .

D e p e n d i n g o n t h e s p e c i c a t i o n s B P M P D w i l l c r e a t e a n o p t i m i z a t i o n r e p o r t l e

( w i t h e x t e n s i o n . l o g ) a n d a s o l u t i o n l e ( w i t h e x t e n s i o n . o u t )

7



4 U s i n g t h e p a c k a g e a s c a l l a b l e l i b r a r y

B P M P D i s a m o d u l a r i z e d s o f t w a r e p a c k a g e , w r i t t e n i n F o r t r a n 7 7 , i n w h i c h t h e

p r o b l e m i n p u t / o u t p u t a n d o p t i m i z a t i o n a r e c o m p l e t e l y s e p a r a t e d . A s a s t a n d - a l o n e

s o l v e r , B P M P D i s p r e p a r e d t o r e a d o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s f r o m M P S l e s . T h e m a i n

p r o g r a m ( b p m a i n . f ) c o n t a i n s s u b r o u t i n e c a l l t o t h e M P S i n p u t r e a d e r ( n p u t ) , t o

t h e o p t i m i z e r d r i v e r r o u t i n e ( s o l v e r ) a n d t o t h e o u t p u t w r i t e r r o u t i n e ( m p s o u t )

A d d i t i o n a l l y , t h e " b u i l t { i n " v a l u e s o f t h e o p t i m i z a t i o n p a r a m e t e r s a r e d e n e d h e r e .

B P M P D o p e r a t e s i n a c o l u m n l e a n d i n a r o w l e . T h e c o l u m n l e c o n s i s t s o f

t w o w o r k i n g a r r a y s ( o n e d o u b l e p r e c i s i o n c a l l e d c o l n z s a n d o n e i n t e g e r c a l l e d c o l i d x )

w h i c h a r e o f t h e s a m e d i m e n s i o n . T h e r o w l e i s o n e i n t e g e r w o r k i n g a r r a y ( c a l l e d

r o w i d x ) . T h e c o l u m n l e c o n t a i n s t h e A a n d t h e l o w e r o { d i a g o n a l p a r t o f Q a s

p a r t o f t h e i n p u t i n f o r m o f s p a r s e v e c t o r s . T h e y n e e d t o b e p l a c e d c o n t i n u o u s l y

f r o m t h e r s t p o s i t i o n o f t h e w o r k i n g a r r a y s . T h e r e m a i n i n g p a r t o f t h e c o l u m n l e

w i l l b e u s e d t o h o l d t h e f a c t o r i z a t i o n d u r i n g t h e a l g o r i t h m , w h i l e t h e p u r p o s e o f t h e

r o w l e i s t o s u p p o r t r o w - w i s e r e p r e s e n t a t i o n o f d a t a w h e n n e c e s s a r y .

T h e p r o b l e m a n d m e m o r y d i m e n s i o n s a r e p u t i n t h e c o m m o n b l o c k / d i m s / w h i c h

h a s t h e f o l l o w i n g s t r u c t u r e :

c o m m o n / d i m s / n , q n , n 1 , m , m n , n z , q n z , c f r e e , p i v o t n , d e n w i n , r f r e e

i n t e g e r * 4 n , q n , n 1 , m , m n , n z , q n z , c f r e e , p i v o t n , d e n w i n , r f r e e

T h e f o l l o w i n g v a l u e s n e e d e d t o b e s e t p r i o r t o c a l l i n g t h e o p t i m i z a t i o n d r i v e r

r o u t i n e :

N a m e D e s c r i p t i o n

n N u m b e r o f v a r i a b l e s .

q n N u m b e r o f q u a d r a t i c v a r i a b l e s .

n 1 = n + 1 .

m N u m b e r o f r o w s i n A .

m n = n + m .

n z N u m b e r o f n o n z e r o s i n A .

q n z N u m b e r o f n o n z e r o s i n Q .

c f r e e L e n g h t o f t h e c o l u m n l e .

r f r e e L e n g t h o f t h e r o w l e .

T h e o p t i m i z a t i o n d r i v e r r o u t i n e c a n s e r v e a s a c a l l a b l e l i b r a r y . T h e Q P p r o b l e m

h a s t o b e p a s s e d t o t h i s s u b r o u t i n e a s i n p u t . B P M P D a s s u m e s t h e p r o b l e m i n t h e

8



f o l l o w i n g f o r m :

m i n c

T

x +

1

2

x

T

Q x

s u b j e c t t o A x ; I s = b

u ( x s )

T

l

w h e r e s 2 R

m

a r e s l a c k v a r i a b l e s f o r r o w s a n d u l 2 R

n + m

a r e ( p o s s i b l y i n n i t e )

u p p e r a n d l o w e r b o u n s . B P M P D c o m p u t e s t h e p r i m a l { d u a l s o l u t i o n c o r r e s p o n d i n g

t h i s f o r m u l a t i o n .

T h e i n p u t p a r a m e t e r s f o r t h i s s u b r o u t i n e a r e :

1

N a m e T y p e L e n g t h D e s c r i p t i o n

o b j d o u b l e p r e c . n L i n e a r p a r t o f t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n .

r h s d o u b l e p r e c . m R i g h t h a n d s i d e .

u b o u n d d o u b l e p r e c . n + m U p p e r b o u n d o f v a r i a b l e s .

l b o u n d d o u b l e p r e c . n + m L o w e r b o u n d s o f v a r i a b l e s .

c o l p n t i n t e g e r n + 1 C o l u m n p o i n t e r s o f A .

c o l i d x i n t e g e r c f r e e I n d i c e s o f t h e c o l u m n s i n A a n d Q .

c o l n z s d o u b l e p r e c . c f r e e N o n z e r o v a l u e s i n A a n d Q .

q d i a g d o u b l e p r e c . n D i a g o n a l o f t h e q u a d r a t i c o b j e c t i v e .

q p n t i n t e g e r n + 1 C o l u m n p o i n t e r s o f Q .

b i g d o u b l e p r e c . 1 R e p r e s e n t s i n n i t y ( 1 0

3 0

)

a d d o b j d o u b l e p r e c . 1 A d d i t i v e t e r m t o t h e o b j e c t i v e .

N o t e i f q n z = 0 t h e n q p n t , i f q n = 0 t h e n b o t h q p n t a n d q d i a g c a n b e d u m m y

p a r a m e t e r . T h e s u b r o u t i n e r e s u l t s i n t h e f o l l o w i n g o u t g o i n g p a r a m e t e r s :

N a m e T y p e L e n g t h D e s c r i p t i o n

x s d o u b l e p r e c . n + m L a s t ( o p t i m a l ) p r i m a l i t e r a t e .

d v d o u b l e p r e c . m L a s t ( o p t i m a l ) d u a l i t e r a t e .

d s p r d o u b l e p r e c n + m L a s t ( o p t i m a l ) d u a l s l a c k i t e r a t e .

c o d e i n t e g e r 1 T e r m i n a t i o n c o d e .

i t e r i n t e g e r 1 N u m b e r o f i t e r a t i o n s d u r i n g o p t i m i z a t i o n .

o p t d o u b l e p r e c . 1 F i n a l p r i m a l o b j e c t i v e f u n c t i o n v a l u e .

T h e t e r m i n a t i o n c o d e c a n h a v e o n e o f t h e f o l l o w i n g v a l u e s :

9



C o d e v a l u e S t a t e m e n t

< 0 N o t e n o u g t m e m o r y , o p t i m i z a t i o n w a s n o t p e r f o r m e d .

1 S u b o p t i m a l s o l u t i o n .

2 O p t i m a l s o l u t i o n .

3 P r o b l e m i s d u a l i n f e a s i b l e .

4 P r o b l e m i s p r i m a l i n f e a s i b l e .

A s a n e x a m p l e t h e f o l l o w i n g c o d e p r e s e n t s a n i n t e r f a c e t o t h e o p t i m i z a t i o n d r i v e r

r o u t i n e :

s u b r o u t i n e b p m p d ( m m , n n , q n n , q n n z , i s i z , r s i z , c o l n z s , c o l i d x ,

x c o l p n t , q p n t , u b o u n d , l b o u n d , o b j , q d i a g , r h s , a d d o b j , x s , d v ,

x d s p r , v s t a t , o p t , b i g , c o d e )

i n t e g e r * 4 m m , n n , q n n , q n n z , i s i z , r s i z , c o l i d x ( i s i z ) ,

x c o l p n t ( n n + 1 ) , q p n t ( n n + 1 ) , v s t a t ( m m + n n ) , c o d e

r e a l * 8 c o l n z s ( r s i z ) , u b o u n d ( n n + m m ) , l b o u n d ( n n + m m ) ,

x o b j ( n n ) , q d i a g ( n n ) , r h s ( m m ) , a d d o b j , x s ( m m + n n ) , d v ( m m ) ,

x d s p r ( m m + n n ) , o p t , b i g

c

c o m m o n / d i m s / n , q n , n 1 , m , m n , n z , q n z , c f r e e , p i v o t n , d e n w i n , r f r e e

i n t e g e r * 4 n , q n , n 1 , m , m n , n z , q n z , c f r e e , p i v o t n , d e n w i n , r f r e e

c o m m o n / l o g p r t / l o g l o g , l f i l e

i n t e g e r * 4 l o g l o g , l f i l e

c

c L o c a l v a r i a b l e s t o r e a d p a r a m e t e r f i l e

c

r e a l * 8 b i g b o u , a t

c h a r a c t e r * 8 o b j n a m , r h s n a m , b n d n a m , r n g n a m

c h a r a c t e r * 9 9 n a m s t r , o u t s t r , o f n a m

i n t e g e r * 4 i , j , k , l , i t e r , f n z m a x , f n z m i n

c

c S e t t i n g u p p r o b l e m d i m e n s i o n s

c

1 0



q n = q n n

q n z = q n n z

n = n n

m = m m

n 1 = n + 1

m n = m + n

n z = c o l p n t ( n + 1 ) - 1

c

c C o m p u t i n g t h e l e n g t h o f t h e r o w a n d c o l u m n f i l e s

c

c f r e e = r s i z - ( 1 3 * m n + 3 * m + 3 )

r f r e e = i s i z - ( 1 1 * m n + 3 ) - c f r e e

i f ( r f r e e . l t . 0 ) t h e n

c o d e = - 2

g o t o 9 9 9

e n d i f

c

c S e t p r i n t i n g l o g t o " s t d o u t o n l y " , w e d o n o t o p e n l o g f i l e

c

l o g l o g = 1

c

c R e a d - i n o p t i m i z a t i o n p a r a m e t e r s .

c

o u t s t r = ' b p m p d . p a r '

c a l l r e a d p a r ( o u t s t r , i , j , k , n a m s t r , o f n a m ,

x o b j n a m , r h s n a m , b n d n a m , r n g n a m , b i g b o u , a t , l )

c

c C a l l t h e o p t i m i z e r

c

c o d e = 0

c a l l s o l v e r (

x o b j , r h s , l b o u n d , u b o u n d , c o l n z s ( r s i z - m n ) , c o l n z s ( r s i z - 2 * m n ) , x s ,

x c o l n z s ( r s i z - 3 * m n ) , c o l n z s ( r s i z - 4 * m n ) , c o l n z s ( r s i z - 5 * m n ) , d s p r ,

x c o l n z s ( r s i z - 6 * m n ) , c o l n z s ( r s i z - 7 * m n ) , c o l n z s ( r s i z - 8 * m n ) ,

x c o l n z s ( r s i z - 9 * m n ) , c o l n z s ( r s i z - 1 0 * m n ) , d v ,

x c o l n z s ( r s i z - 1 0 * m n - m ) , c o l n z s ( r s i z - 1 0 * m n - 2 * m ) ,

x c o l n z s ( r s i z - 1 0 * m n - 3 * m ) , c o l n z s ( r s i z - 1 1 * m n - 3 * m ) ,

1 1



x c o l n z s ( r s i z - 1 2 * m n - 3 * m ) , c o l n z s ( r s i z - 1 3 * m n - 3 * m ) ,

x q d i a g , c o l n z s ,

x c o l i d x ( i s i z - n ) , c o l i d x ( i s i z - m n ) , c o l p n t , c o l i d x ( i s i z - 2 * m n ) ,

x c o l i d x ( i s i z - 3 * m n ) , c o l i d x ( i s i z - 4 * m n ) , v s t a t , c o l i d x ( i s i z - 5 * m n ) ,

x c o l i d x ( i s i z - 6 * m n ) , c o l i d x ( i s i z - 7 * m n ) , c o l i d x ( i s i z - 8 * m n ) ,

x c o l i d x ( i s i z - 9 * m n ) , c o l i d x ( i s i z - 1 0 * m n ) , q p n t ,

x c o l i d x ( i s i z - 1 1 * m n ) , c o l i d x , c o l i d x ( c f r e e + 2 ) ,

x c o d e , o p t , i t e r , i , j , k , f n z m a x , f n z m i n , a d d o b j , b i g b o u , b i g , l )

c

c S o l v e r f i n i s h e d , r e t u r n

c

9 9 9 r e t u r n

e n d

T h e i n t e r f a c e e x p e c t s a d o u b l e p r e c i s i o n a r r a y ( c o l n z s ) o f s i z e r s i z , a n i n t e g e r

a r r a y ( c o l i d x ) o f s i z e i s i z w h i c h r e p r e s e n t A a n d Q . P a r a m e t e r s m m a n d n n p a s s t h e

n u m b e r o f r o w s a n d c o l u m n s i n A r e s p e c t i v e l y . P a r a m e t e r q n n c o n t a i n s t h e n u m b e r

o f q u a d r a t i c v a r i a b l e s . F o r p u r e L P p r o b l e m s t h i s h a s t o b e s e t t o z e r o , a n d t h e

a l l o c a t i o n o f t h e a r r a y s q d i a g a n d q p n t c a n b e i g n o r e d . P a r a m e t e r q n n z c o n t a i n s

t h e n u m b e r o f o - d i a g o n a l n o n z e r o s i n t h e l o w e r t r i a n g u l a r p a r t o f Q . F o r s e p a r a b l e

q u a d r a t i c p r o b l e m s t h i s h a s t o b e s e t t o z e r o a n d t h e a l l o c a t i o n o f t h e a r r a y q p n t

c a n b e o m i t t e d .

T h e o t h e r i n p u t p a r a m e t e r s c o l p n t , q p n t , u b o u n d , l b o u n d , o b j , q d i a g , r h s , a d d o b j ,

b i g a n d t h e o u t p u t p a r a m e t e r s x s , d v , d s p r , o p t , c o d e a r e a s m e n t i o n e d p r e v i o u s l y .

A n a d d i t i o n a l o u t p u t p a r a m e t e r b s t a t i s a l s o p a s s e d i n o u r s a m p l e i n t e r f a c e . T h i s

p a r a m e t e r i s a n i n t e g e r v e c t o r o f s i z e ( n n + m m ) w h i c h c o n t a i n s 0 o r 1 a s o u t p u t

c o r r e s p o n d i n g t h e o p t i m i z e r ' s g u e s s o n t h e s t a t u s o f t h e i n d i v i d u a l v a r i a b l e s / s l a c k s

( n o n - b a s i c { b a s i c r e s p e c t i v e l y ) .

I t i s t o b e n o t e d t h a t n o d e f a u l t v a l u e s f o r t h e o p t i m i z a t i o n p a r a m e t e r s a r e d e n e d

i n o u r s a m p l e i n t e r f a c e r o u t i n e . T h e s e p a r a m e t e r s w i l l b e s e t f r o m t h e p a r a m e t e r

l e b y t h e r e a d p a r p r o c e d u r e .

T o d e m o n s t r a t e t h e c a l l i n g t h e i n t e r f a c e r o u t i n e l e t u s c o n s i d e r o u r p r e v i o u s

s a m p l e p r o b l e m . T h e n , t h e i n p u t p a r a m e t e r s n e e d t o b e d e n e d a s :

1 2



m m = 2

m n = 2

q n n = 2

q n n z = 1

a d d o b j = 4 . 0

i s i z = . . . ( s i z e o f t h e a l l o c a t e d i n t e g e r m e m o r y )

r s i z = . . . ( s i z e o f t h e a l l o c a t e d d o u b l e p r e c . m e m o r y )

u b o u n d : ( 2 0 , b i g , b i g , 0 )

l b o u n d : ( 0 , 0 , 0 , - b i g )

r h s : ( 2 , 6 )

o b j : ( 1 . 5 , - 2 )

q d i a g : ( 8 , 1 0 )

c o l c n t : ( 1 , 3 , 5 )

q p n t : ( 5 , 6 , 6 )

c o l i d x : ( 1 , 2 , 1 , 2 , 2 )

c o l n z s : ( 2 , - 1 , 1 , 2 , 2 )

5 T h e p a r a m e t e r l e

B P M P D i s a r e s e a r c h c o d e w h i c h a l l o w e s t o e x p e r i m e n t b y t r y i n g d i e r e n t a l g o -

r i t h m i c o p t i o n s . T o s u p p o r t t h i s , s e v e r a l a l g o r i t h m i c p a r a m e t e r s a n d i n p u t / o u t p u t

o p t i o n s c a n b e s p e c i e d f o r B P M P D v i a t h e p a r a m e t e r l e c a l l e d b p m p d . p a r . I n t h e

p a r a m e t e r l e a l l p a r a m e t e r s m u s t b e i n l i n e s b e t w e e n t h e B E G I N a n d E N D m a r k -

e r s , o t h e r l i n e s w i l l b e i g n o r e d . I t i s a l s o i m p o r t a n t t h a t t o p r e s e r v e c o m p a t i b i l i t y

a c r o s s p l a t f o r m s a n d c o m p i l e r s , E A C H n u m e r i c a l v a l u e M U S T c o n t a i n a d e c i m a l

p o i n t . W i t h i n o n e l i n e t h e p a r a m e t e r n a m e a n d i t s a s s o c i a t e d v a l u e h a s t o b e s e p -

a r a t e d w i t h a t l e a s t o n e s p a c e o r w i t h o n e " = " s y m b o l . B P M P D w i l l i g n o r e t h e

s e c t i o n o f a l i n e w h i c h i s a f t e r a " ! " s y m b o l , t h i s a l l o w s t o p u t c o m m e n t s i n t h e

p a r a m e t e r s e c t i o n .

1 3



5 . 1 I n p u t / o u t p u t o p t i o n s

T h e p u r p o s e o f t h e s e o p t i o n s i s t o s u p p o r t M P S l e h a n d l i n g . T h e y c a n b e o m i t t e d

i n t h e c a l l a b l e l i b r a r y f o r m o f B P M P D .

p a r a m e t e r : N A M E d e f a u l t : v a l u e s : S t r i n g

T h i s o p t i o n s p e c i e s t h e n a m e o f t h e i n p u t l e . I f i t i s l e f t b l a n k ( a s d e f a u l t ) ,

B P M P D w i l l p r o m p t t h e u s e r f o r t h e l e n a m e . T h e l e n g h t o f t h e s t r i n g i s l i m i t e d t o

3 6 c h a r a c t e r s . T h e e x t e n s i o n " . m p s " i s a u t o m a t i c a l l y a d d e d t o t h e s t r i n g r e a d i n . I f

t h e o p e n i n g o f t h e l e i s n o t s u c c e s s f u l , B P M P D r e p l a c e s t h e e x t e n s i o n w i t h " . q p s "

a n d t r i e s a g a i n .

p a r a m e t e r : S T A R T S O L d e f a u l t : v a l u e s : S t r i n g

T h i s s t r i n g s p e c i e s t h e n a m e o f t h e l e w h i c h c o n t a i n s t h e s t a r t i n g p o i n t u s e d

i n w a r m s t a r t . T h e l e n g t h o f t h i s s t r i n g i s l i m i t e d t o 4 0 c h a r a c t e r s . T h e w h o l e

l e n a m e ( w i t h e x t e n s i o n ) h a s t o b e g i v e n . B P M P D c a n r e a d a l e w h i c h h a s b e e n

g e n e r a t e d b y B P M P D i t s e l f p r e v i o u s e l y w i t h O U T P U T = 1 s e t t i n g ( s e e p a r a m e t e r

O U T P U T ) o r w h i c h h a s t h e s a m e l e f o r m a t a s B P M P D ' s o u t p u t l e . I f t h e v a l u e

o f t h e p a r a m e t e r i s l e f t b l a n k , n o l e w i l l b e r e a d . I f r e a d i n g t h e l e i s u n s u c c e s s f u l ,

B P M P D w i l l a u t o m a t i c a l l y s w i t c h f r o m w a r m s t a r t t o c o l d s t a r t .

p a r a m e t e r : M A X M N d e f a u l t : 2 5 0 0 0 0 v a l u e s : P O S I T I V E I N T E G E R

B P M P D w i l l p a r t i t i o n t h e m e m o r y a n d r e a d t h e M P S l e b y a s s u m i n g t h a t t h e

n u m b e r o f r o w s p l u s n u m b e r o f c o l u m n s i s l e s s t h a n M A X M N . I f t h i s i s i n c o r -

r e c t , B P M P D w i l l r e p a r t i t i o n t h e m e m o r y a n d r e a d t h e M P S l e o n c e m o r e . A f t e r

s u c c e s s f u l r e a d i n g t h e M P S l e t h e d i m e n s i o n s o f t h e p r o b l e m w i l l b e k n o w n a n d

B P M P D w i l l r e d i s t r i b u t e t h e m e m o r y f o r i t s m a x i m a l p o s s i b l e e x p l o i t a t i o n . I t i s r e c -

o m m e n d e d t o g i v e a n o v e r e s t i m a t i o n o n t h e p r o b l e m d i m e n s i o n o t h e r w i s e B P M P D

w i l l n e e d t o r e a d t h e M P S l e t w i c e . I f t h e M A X M N v a l u e i s t o o l a r g e t o f o r m t h e

c o r r e s p o n d i n g m e m o r y p a r t i t i o n s B P M P D w i l l a u t o m a t i c a l l y d e c r e a s e i t .

p a r a m e t e r : M I N M A X d e f a u l t : 1 v a l u e s : - 1 o r 1

B P M P D s o l v e s m i n i m i z a t i o n p r o b l e m s . F o r m a x i m i z a t i o n p r o b l e m s M I N M A X h a s

t o b e s p e c i e d a s - 1 , t h e n B P M P D w i l l n e g a t e t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n ( a n d m i n i m i z e

i t ) .

p a r a m e t e r : O U T P U T d e f a u l t : 1 v a l u e s : 0 o r 1

1 4



T h i s p a r a m e t e r d e n e s e i t h e r a w h o l e s o l u t i o n r e p o r t h a s t o b e w r i t t e n o r n o t . W h e n

s p e c i f y i n g 1 , B P M P D w i l l c r e a t e a n o u t p u t l e w h i c h c o n t a i n s t h e w h o l e o p t i m a l

s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m . O t h e r w i s e a s h o r t l e w i l l b e c r e a t e d c o n t a i n i n g t h e m o s t

i m p o r t a n t s t a t i s t i c s a b o u t t h e s o l u t i o n p r o g r e s s .

p a r a m e t e r : O B J N A M d e f a u l t : v a l u e s : S t r i n g o f 8 c h a r a c t e r l e n g t h

T h i s p a r a m e t e r s p e c i e s t h e n a m e o f t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n i n t h e M P S l e . I f i t i s

l e f t b l a n k , B P M P D w i l l s e l e c t t h e r s t r o w w h i c h h a s t h e t y p e " N " .

p a r a m e t e r : R H S N A M d e f a u l t : v a l u e s : S t r i n g o f 8 c h a r a c t e r l e n g t h

T h i s p a r a m e t e r s p e c i e s t h e n a m e o f t h e r i g h t h a n d s i d e i n t h e M P S l e . I f i t i s l e f t

b l a n k , B P M P D w i l l s e l e c t t h e r s t r i g h t h a n d s i d e n a m e .

p a r a m e t e r : B N D N A M d e f a u l t : v a l u e s : S t r i n g o f 8 c h a r a c t e r l e n g t h

T h i s p a r a m e t e r s p e c i e s t h e n a m e o f t h e b o u n d s i n t h e M P S l e . I f i t i s l e f t b l a n k ,

B P M P D w i l l s e l e c t t h e r s t b o u n d n a m e .

p a r a m e t e r : R N G N A M d e f a u l t : v a l u e s : S t r i n g o f 8 c h a r a c t e r l e n g t h

T h i s p a r a m e t e r s p e c i e s t h e n a m e o f t h e r a n g e s i n t h e M P S l e . I f i t i s l e f t b l a n k ,

B P M P D w i l l s e l e c t t h e r s t r a n g e n a m e .

p a r a m e t e r : B I G B O U N D d e f a u l t : 1 0

1 5

v a l u e s : P O S I T I V E R E A L

A l l b o u n d s a n d r a n g e s w i l l b e c o n s i d e r e d a s i n n i t y w h i c h a r e l a r g e r t h a n t h i s

p a r a m e t e r . T h i s p a r a m e t e r s e r v e s t o c o r r e c t t h o s e M P S l e s i n w h i c h i n n i t i e s a r e

e x p r e s s e d b y v e r y l a r g e n u m b e r s .

p a r a m e t e r : S M A L L V A L d e f a u l t : 1 0

; 1 2


A l l n u m e r i c a l v a l u e s i n t h e M P S l e w h i c h a r e l e s s i n a b s o l u t e v a l u e t h a n t h i s

p a r a m e t e r w i l l b e c o n s i d e r e d a s z e r o .

p a r a m e t e r : E X P S L A C K S d e f a u l t : 0 v a l u e s : 0 o r 1

B P M P D w i l l i n c l u d e s l a c k v a r i a b l e s a s s t r u c t u r a l o n e s ( a n d f o r m t h e c o n s t r a i n s a s

e q u a l i t i e s ) i f t h i s p a r a m e t e r i s s e t t o 1 . O t h e r w i s e s l a c k s a r e h a n d l e d a s s p e c i a l

v a r i a b l e s f o r i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s .

p a r a m e t e r : I T E R L O G d e f a u l t : 3 v a l u e s : N O N N E G A T I V E I N T E G E R

T h i s v a l u e s p e c i e s h o w t h e i t e r a t i o n l o g h a s t o b e p r o d u c e d . T h e f o l l o w i n g v a l u e s

a r e p o s s i b l e :

1 5



0 : B P M P D w o r k s i n s i l e n t m o d e , n o l o g w i l l b e c r e a t e d .

1 : B P M P D s e n d s t h e i t e r a t i o n l o g t o t h e s t a n d a r d o u t p u t .

2 : B P M P D s e n d s t h e i t e r a t i o n l o g t o t h e l o g l e ( w h i c h h a s t h e s a m e n a m e a s t h e

i n p u t l e b u t w i t h " . l o g " e x t e n s i o n ) .

3 : B P M P D s e n d s t h e i t e r a t i o n l o g t o b o t h t h e s t a n d a r d o u t p u t a n d l o g l e .

L a r g e r n u m b e r s c a n b e a l s o s p e c i e d f o r d e b u g g i n g p u r p o s e s . I n t h i s c a s e B P M P D

w i l l p r i n t a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n s d u r i n g t h e s o l u t i o n p r o c e s s .

5 . 2 P a r a m e t e r s f o r h a n d l i n g s p a r s i t y

O n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t f e a t u r e s o f B P M P D i s t h e s o p h i s t i c a t e d m e t h o d s f o r

h a n d l i n g s p a r s i t y . T w o d i e r e n t a p p r o a c h e s a r e i m p l e m e n t e d t o b u i l d t h e f a c t o r i z a -

t i o n f o r c o m p u t i n g i n t e r i o r p o i n t i t e r a t i o n s . O n e i s c a l l e d a s n o r m a l e q u a t i o n s w h i l e

t h e o t h e r i s c a l l e d a s a u g m e n t e d s y s t e m a p p r o a c h . T h e m a i n d i e r e n c e b e t w e e n

t h e m i s t h a t b y t h e n o r m a l e q u a t i o n s t h e p i v o t o r d e r i s c o m p u t e d b y s y m b o l i c a l

i n v e s t i g a t i o n w h i l e b y t h e a u g m e n t e d s y s t e m i t i s d e t e r m i n e d b y b o t h s y m b o l i c a l

a n d n u m e r i c a l t e s t s . T h e a u g m e n t e d s y s t e m i s m o r e a d v a n t a g e o u s i f t h e p r o b l e m

h a s s p e c i a l s t r u c t u r e s ( e . g . d e n s e c o l u m n s ) b u t i t i s m o r e e x p e n s i v e t h a n t h e n o r m a l

e q u a t i o n s a p p r o a c h . S e e m o r e d e t a i l s i n 4 ] . T h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r s i n u e n c e t h e

h e u r i s t i c w h i c h d e c i d e s w h i c h o f t h e t w o a p p r o a c h e s i s p r e f e r a b l e b y t h e p a r t i c u -

l a r p r o b l e m s . T h e i m p l e m e n t e d m e t h o d u s e s a n i m p r o v e d v e r s i o n o f t h e h e u r i s t i c

d e s c r i b e d i n 4 ] .

p a r a m e t e r : D E N S G A P d e f a u l t : 0 . 2 0 v a l u e s : P O S I T I V E R E A L

M a x i m a l r a t i o o f t h e d e n s e c o l u m n s . A t m o s t D E N S G A P n c o l u m n s a r e a l l o w e d

t o b e h a n d l e d a s d e n s e .

p a r a m e t e r : D E N S L E N d e f a u l t : 1 0 v a l u e s : P O S I T I V E I N T E G E R

M i n i m u m r e q u i r e d c o l u m n l e n g t h f o r d e n s e c o l u m n s . S h o r t e r c o l u m n s a r e n o t

t r e a t e d a s d e n s e .

p a r a m e t e r : S U P D E N S d e f a u l t : 3 5 0 v a l u e s : P O S I T I V E I N T E G E R

M i n i m a l c o l u m n l e n g t h o f ' s u p e r ' d e n s e c o l u m n s . V e r y d e n s e c o l u m n s a r e h a n d l e d

s p e c i a l l y i n t h e f a c t o r i z a t i o n s e t { u p p h a s e t o i n c r e a s e t h e s p e e d o f t h e p r o c e s s .

1 6



p a r a m e t e r : L A M d e f a u l t : 1 0

; 5

v a l u e s : R E A L

T h i s p a r a m e t e r r e p r e s e n t s t h e m i n i m u m a c c e p t a b l e d e n s i t y f o r " d e n s e " c o l u m n s .

T h i s p a r a m e t e r c a n o v e r r i d e t h e r e s u l t o f t h e h e u r i s t i c i n s u c h a c a s e i f t h e h e u r i s t i c

d e c i d e s t o h a n d l e s o m e c o l u m n s a s " d e n s e " w h i c h a r e o f v e r y s m a l l d e n s i t y . P o s i -

t i v e L A M m e a n s a r e l a t i v e d e n s i t y m e a s u r e w h i l e a n e g a t i v e v a l u e i s n e g a t e d a n d

c o n s i d e r e d a s a b s o l u t e d e n s i t y v a l u e ( i . e . c o l u m n c o u n t ) .

p a r a m e t e r : S E T L A M d e f a u l t : 0 v a l u e s : - 1 , 0 , 1

B y d e f a u l t , B P M P D u s e s i t s o w n h e u r i s t i c t o i d e n t i f y d e n s e c o l u m n s . W h e n s p e c i -

f y i n g - 1 , B P M P D s k i p s t h i s h e u r i s t i c a n d u s e s L A M a s c r i t e r i o n t o h a n d l e c o l u m n s

a s " d e n s e " a n d " s p a r s e " . S e t t i n g u p t h e f a c t o r i z a t i o n b y t h e a u g m e n t e d s y s t e m

a p p r o a c h c a n b e r e q u e s t e d b y s p e c i f y i n g 1 f o r t h i s p a r a m e t e r .

W e w o u l d l i k e t o n o t e t h a t t o r e q u e s t t h e n o r m a l e q u a t i o n s a p p r o a c h i s p o s s i b l e

w h e n s p e c i f y i n g 1 . 0 f o r L A M .

5 . 3 S u p e r n o d e p a r a m e t e r s

B P M P D p e r f o r m s t h e s u p e r n o d a l C h o l e s y f a c t o r i z a t i o n . A p a p e r 8 ] i s a v a i l a b l e

w h i c h c o n t a i n s t h e p a r t i c u l a r s . T h e p a r a m e t e r s i n t r o d u c e d h e r e c o n t r o l t h e s u p e r n -

o d e p a r t i t i o n s o f t h e f a c t o r i z a t i o n .

p a r a m e t e r : P S U P N O D E d e f a u l t : 4 v a l u e s : P O S I T I V E I N T E G E R

R e q u i r e d m i n i m u m n u m b e r o f c o l u m n s o f a p r i m e r s u p e r n o d e .

p a r a m e t e r : S S U P N O D E d e f a u l t : 4 v a l u e s : P O S I T I V E I N T E G E R

R e q u i r e d m i n i m u m n u m b e r o f c o l u m n s o f a s e c o n d a r y s u p e r n o d e .

p a r a m e t e r : M A X S N Z d e f a u l t : 9 9 9 9 9 9 9 9 v a l u e s : P O S I T I V E

I N T E G E R

M a x i m u m n u m b e r o f n o n z e r o s a l l o w e d i n o n e s u p e r n o d e . T h i s p a r a m e t e r c a n b e

v e r y i m p o r t a n t i f t h e c o m p u t e r p l a t f o r m h a s a n e c i e n t c a c h e m e m o r y s y s t e m .

5 . 4 P i v o t a n d f a c t o r i z a t i o n p a r a m e t e r s

T h e s e p a r a m e t e r s c o n t r o l t h e p i v o t s e a r c h i n g i n t h e s y m b o l i c a l a n d n u m e r i c a l p r o -

c e s s e s i n t h e f a c t o r i z a t i o n s e t u p a s w e l l d u r i n g i n t e r i o r p o i n t i t e r a t i o n s .

p a r a m e t e r : T P I V 1 d e f a u l t : 1 0

; 3


1 7



F i r s t r e l a t i v e p i v o t t o l e r a n c e f o r t h e a u g m e n t e d s y s t e m f a c t o r i z a t i o n .

p a r a m e t e r : T P I V 2 d e f a u l t : 1 0

; 8


S e c o n d r e l a t i v e p i v o t t o l e r a n c e f o r t h e a u g m e n t e d s y s t e m f a c t o r i z a t i o n . I f t h e r e a r e

n o p i v o t s s a t i s f y i n g t h e r s t t o l e r a n c e , t h e v a l u e o f t h e t o l e r a n c e w i l l b e r e d u c e d

u n t i l T P I V 2 . S e e 7 ] f o r m o r e d e t a i l s .

p a r a m e t e r : T A B S d e f a u l t : 1 0

; 1 2


R e l a t i v e p i v o t t o l e r a n c e f o r t h e s t a r t i n g f a c t o r i z a t i o n . W h e n a c o m p u t e d p i v o t v a l u e

i n t h e f a c t o r i z a t i o n i s l e s s t h a n t h i s p a r a m e t e r , t h e c o r r e s p o n d i n g r o w o f t h e p r o b l e m

w i l l b e c o n s i d e r e d a s d e p e n d e n t a n d w i l l b e d r o p p e d . T h i s p a r a m e t e r e e c t s t h e

r s t f a c t o r i z a t i o n w h i c h i s p e r f o r m e d t o c o m p u t e t h e s t a r t i n g p o i n t .

p a r a m e t e r : T R A B S d e f a u l t : 1 0

; 1 5


R e l a t i v e p i v o t t o l e r a n c e d u r i n g t h e a l g o r i t h m . P i v o t v a l u e s b e l l o w t h i s p a r a m e t e r

w i l l i n d i c a t e d e p e n d e n t r o w s .

p a r a m e t e r : T F I N D d e f a u l t : 2 5 v a l u e s : N O N N E G A T I V E I N T E G E R

P i v o t s e a r c h i n g p o w e r . T F I N D = 0 w i l l r e s u l t i n t h e " m i n i m u m d e g r e e " o r d e r i n g

w h i l e a l a r g e n u m b e r w i l l r e s u l t i n t h e " m i n i m u m l o c a l l l { i n " o r d e r i n g . I n t e r -

m e d i a t e v a l u e s b a l a n c e s b e t w e e n s p e e d a n d o r d e r i n g q u a l i t y . S e e m o r e d e t a i l s i n

6 ] .

p a r a m e t e r : O R D E R I N G d e f a u l t : 2 v a l u e s : 0 , 1 , 2 o r 3 .

T h i s p a r a m e t e r s e l e c t s t h e o r d e r i n g a l g o r i t h m . T h e f o l l o w i n g v a l e s a r e p o s s i b l e :

0 : " N a t u r a l " o r d e r i n g ( w i t h o u t i n v e s t i g a t i o n s ) .

1 : M i n i m u m d e g r e e o r d e r i n g

2 : M i n i m u m l o c a l l l { i n o r d e r i n g f o r t h e n o r m a l e q u a t i o n s , m i n i m u m d e g r e e f o r

t h e a u g m e n t e d s y s t e m .

3 : M i n i m u m l o c a l l l { i n o r d e r i n g .

1 8



5 . 5 S t o p p i n g c r i t e r i o n p a r a m e t e r s

B P M P D t e r m i n a t e s w i t h o p t i m a l s t a t u s i f t h e r e l a t i v e p r i m a l i n f e a s i b i l i t y

A x ; b

1 + b

t h e r e l a t i v e d u a l i n f e a s i b i l i t y

A

T

y + z ; w ; c

1 + c + Q x

a n d t h e r e l a t i v e d u a l i t y g a p

c

T

x +

1

2

x

T

Q x ; ( b

T

y ; u

T

w ;

1

2

x

T

Q x )

1 + b

T

y ; u

T

w ;

1

2

x

T

Q x

o r t h e a v e r a g e c o m p l e m e n t a r i t y g a p

x

T

s

n

a r e l e s s t h a n t h e p r e d e t e r m i n e d t o l e r a n c e s . I n f e a s i b i l i t y i s d e t e c t e d i f a s h a r p i n -

c r e a s e i n o n e o f t h e a b o v e t e r m s o c c u r s . T h i s i s m o n i t o r e d b y t h e m e r i t f u n c t i o n :

A x ; b

1 + b

+

A

T

y + z ; w ; c

1 + c + Q x

+

c

T

x +

1

2

x

T

Q x ; ( b

T

y ; u

T

w ;

1

2

x

T

Q x )

1 + b

T

y ; u

T

w ;

1

2

x

T

Q x

p a r a m e t e r : T O P T 1 d e f a u l t : 1 0

; 8


B P M P D s t o p s i f t h e c u r r e n t i t e r a t e i s p r i m a l a n d d u a l f e a s i b l e a n d t h e r e l a t i v e

d u a l i t y g a p i s l e s s t h a n t h i s v a l u e .

p a r a m e t e r : T O P T 2 d e f a u l t : 1 0

; 2 0


B P M P D s t o p s i f t h e a v e r a g e c o m p l e m e n t a r y g a p i s l e s s t h a n t h i s t o l e r a n c e .

p a r a m e t e r : T F E A S 1 d e f a u l t : 1 0

; 7


R e l a t i v e p r i m a l f e a s i b i l i t y t o l e r a n c e .

p a r a m e t e r : T F E A S 2 d e f a u l t : 1 0

; 7


R e l a t i v e d u a l f e a s i b i l i t y t o l e r a n c e .

1 9



p a r a m e t e r : I N F T O L d e f a u l t : 1 0

5


B P M P D s t o p s i f t h e " m e r i t " v a l u e o f " n o n - o p t i m a l i t y " g r o w s f a s t e r t h a n t h i s v a l u e .

p a r a m e t e r : T S D I R d e f a u l t : 1 0

; 1 6


B P M P D s t o p s i f t h e m a x i m u m n o r m o f t h e s e a r c h d i r e c t i o n i s l e s s t h a n t h i s v a l u e .

p a r a m e t e r : M A X I T E R d e f a u l t : 9 9 v a l u e s : P O S I T I V E I N T E G E R

B P M P D s t o p s i f t h e n u m b e r o f i t e r a t i o n s e x c e e d s t h i s l i m i t .

5 . 6 N u m e r i c a l t o l e r a n c e s

T h e s e p a r a m e t e r s a r e u s e d i n s p e c i a l p a r t s o f t h e c o d e . I t i s n o t r e c o m m e n d e d t o

c h a n g e t h e s e v a l u e s .

p a r a m e t e r : T P L U S d e f a u l t : 1 0

; 1 0


R e l a t i v e a d d i t i o n t o l e r a n c e . I n s o m e p r o c e d u r e s ( f o r e x a m p l e i n t h e a g g r e g a t o r ) t h e

r e s u l t o f a + b i s r e p l a c e d b y z e r o i f a b s ( a + b ) < m a x ( a b ) T P L U S

p a r a m e t e r : T Z E R d e f a u l t : 1 0

; 3 5


A b s o l u t e z e r o t o l e r a n c e . A l l c o m p u t e d v a l u e s w h o s e a b s o l u t e v a l u e i s l e s s t h a n t h i s

p a r a m e t e r w i l l b e c o n s i d e r e d a s z e r o .

5 . 7 I t e r a t i v e r e n e m e n t p a r a m e t e r s

D u r i n g c o m p u t a t i o n o f t h e s e a r c h d i r e c t i o n i t e r a t i v e m e t h o d s c a n b e i n v o k e d t o

i m p r o v e n u m e r i c a l a c c u r a c y . T h r e e s u c h m e t h o d s a r e a v a i l a b l e i n B P M P D , t h e s e

a r e :

I t e r a t i v e i m p r o v e m e n t .

C o n j u g a t e g r a d i e n t m e t h o d .

Q u a s i m i n i m u m r e s i d u a l a l g o r i t h m .

T h e a p p l i c a t i o n o f r e n e m e n t s c a n s l o w d o w n t h e i t e r a t i o n s r e m a r k a b l y i f t h e p r o b -

l e m a n d i t s f a c t o r i z a t i o n i s v e r y s p a r s e . O t h e r w i s e , i t h a s l e s s i n u e n c e o n t h e s p e e d .

T h e s e m e t h o d s a r e h i g h l y r e c o m m e n d a b l e d u e t o t h e i r a d v a n t a g e o u s n u m e r i c a l e f -

f e c t .

2 0



p a r a m e t e r : T R E S X d e f a u l t : 1 0

; 9


A c c e p t a b l e r e s i d u a l i n t h e p r i m a l s p a c e .

p a r a m e t e r : T R E S Y d e f a u l t : 1 0

; 9


A c c e p t a b l e r e s i d u a l i n t h e d u a l s p a c e . I t e r a t i v e r e n e m e n t w i l l b e p e r f o r m e d i f t h e

p r i m a l o r d u a l r e s i d u a l i s n o t a c c e p t a b l e .

p a r a m e t e r : M A X R E F d e f a u l t : 5 v a l u e s : I N T E G E R

B a s e n u m b e r f o r c o m p u t i n g t h e m a x i m u m a l l o w a b l e r e n e m e n t s t e p s . I f i t s v a l u e i s

p o s i t i v e , t h e c u r r e n t l i m i t o f t h e i t e r a t i v e r e n e m e n t s i s c o m p u t e d a s

M A X R E F l o g

2

f l o p s

f n z

!

w h e r e o p s i s t h e n u m b e r o f o a t i n g p o i n t o p e r a t i o n s r e q u i r e d f o r o n e f a c t o r i z a t i o n

a n d f n z i s t h e n u m b e r o f n o n z e r o e s i n t h e f a c t o r i z a t i o n .

I f a n e g a t i v e v a l u e i s p r e s e n t e d , B P M P D w i l l d o a t m o s t { M A X R E F r e n e m e n t s .

p a r a m e t e r : R E F M E T d e f a u l t : 1 v a l u e s : 0 t o 7 I N T E G E R

T h e b i t s o f t h i s v a l u e r e p r e s e n t t u r n i n g o n { o i n d i v i d u a l r e n e m e n t t e c h n i q u e s . T h e

f o l l o w i n g m e t h o d s a r e a v a i l a b l e :

1 I t e r a t i v e i m p r o v e m e n t .

2 C o n j u g a t e g r a d i e n t m e t h o d .

4 Q u a s i m i n i m u m r e s i d u a l m e t h o d .

5 . 8 S c a l i n g p a r a m e t e r s

S c a l i n g i s p e r f o r m e d p r i o r t o t h e i n t e r i o r p o i n t i t e r a t i o n s t o i m p r o v e t h e c o n d i t i o n

a n d n u m e r i c a l b e h a v i o r o f t h e p r o b l e m . T h e s c a l i n g i s p e r f o r m e d i n i t e r a t i o n s ( c a l l e d

h e r e a s p a s s e s ) . T h e r e a r e t h e f o l l o w i n g s c a l i n g m e t h o d s a v a i l a b l e :

0 N o s c a l i n g .

1 S i m p l e s c a l i n g . S c a l e s e a c h c o l u m n s a n d r o w s t o h a v e 1 . 0 m a x i m u m n o r m .

2 G e o m e t r i c m e a n s c a l i n g + s i m p l e s c a l i n g .

2 1



3 C u r t i s - R e i d ' s a l g o r i t h m + s i m p l e s c a l i n g .

4 G e o m e t r i c m e a n s c a l i n g o n l y .

5 C u r t i s - R e i d ' s a l g o r i t h m o n l y .

T h e r e a r e t w o p o s s i b l e p l a c e s f o r s c a l i n g : b e f o r e t h e a g g r e g a t o r ( w h i c h i s r e c o m -

m e n d e d ) a n d a f t e r a g g r e g a t o r ( w h i c h i s n o t r e c o m m e n d e d ) .

p a r a m e t e r : O B J N O R M d e f a u l t : 1 0

2

v a l u e s : N O N N E G A T I V E R E A L

B P M P D w i l l s c a l e t h e o b j e c t i v e t o t h i s m a x i m u m n o r m . I f t h e p r o b l e m i s q u a d r a t i c ,

t h e o b j e c t i v e w i l l b e s c a l e d i n s u c h a w a y t h a t t h e s q u a r e o f t h e l a r g e s t d i a g o n a l

e l e m e n t o f Q w i l l b e O B J N O R M . I f t h e v a l u e o f O B J N O R M i s z e r o , n o s c a l i n g o n

t h e o b j e c t i v e w i l l b e p e r f o r m e d .

p a r a m e t e r : R H S N O R M d e f a u l t : 0 . 0 v a l u e s : N O N N E G A T I V E R E A L

B P M P D w i l l s c a l e t h e r i g h t h a n d s i d e t o t h i s m a x i m u m n o r m . I f t h i s v a l u e i s z e r o ,

n o s c a l i n g o n t h e r i g h t h a n d s i d e w i l l b e p e r f o r m e d .

p a r a m e t e r : M I N D I F F d e f a u l t : 1 . 0 v a l u e s : P O S I T I V E R E A L

B P M P D w i l l t e r m i n a t e t h e s c a l i n g i f t h e r a t i o o f t h e l a r g e s t a n d s m a l l e s t a b s o l u t e

v a l u e i n t h e m a t r i x i s l e s s t h a n t h i s t h r e s h o l d .

p a r a m e t e r : S I G N O R E d e f a u l t : 1 0

; 1 2


B P M P D w i l l i g n o r e t h o s e m a t r i x e l e m e n t s d u r i n g s c a l i n g w h o s e r e l a t i v e a b s o l u t e

v a l u e t o t h e m a x i m u m n o r m o f t h e c o r r e s p o n d i n g c o l u m n i s l e s s t h a n S I G N O R E .

T h i s p a r a m e t e r i s v e r y u s e f u l i f s m a l l c o m p u t a t i o n a l e r r o r s a r e p r e s e n t e d i n t h e

p r o b l e m .

p a r a m e t e r : S P A S S E S 1 d e f a u l t : 5 v a l u e s : N O N N E G A T I V E I N T E G E R

M a x i m u m n u m b e r o f p a s s e s b e f o r e t h e a g g r e g a t o r . T h i s v a l u e s h o u l d b e l e s s t h a n

1 2 8 .

p a r a m e t e r : S M E T H O D 1 d e f a u l t : 2 v a l u e s : 0 t o 5 I N T E G E R

S c a l i n g m e t h o d b e f o r e a g g r e g a t o r .

p a r a m e t e r : S P A S S E S 2 d e f a u l t : 0 v a l u e s : N O N N E G A T I V E I N T E G E R

2 2



M a x i m u m n u m b e r o f p a s s e s a f t e r a g g r e g a t o r . T h i s v a l u e s h o u l d b e l e s s t h a n 1 2 8 .

W e d o n o t r e c o m m e n d t o s c a l e a f t e r d o i n g a g g r e g a t i o n , b u t i t c a n b e a d v a n t a g e o u s

i n s o m e c a s e s .

p a r a m e t e r : S M E T H O D 2 d e f a u l t : 0 v a l u e s : 0 t o 5 I N T E G E R

S c a l i n g m e t h o d a f t e r a g g r e g a t o r .

5 . 9 P r e d i c t o r - c o r r e c t o r a n d b a r r i e r p a r a m e t e r s

T h e p a r a m e t e r s d e n e d h e r e i n u e n c e t h e p r e d i c t o r { c o r r e c t o r m e t h o d 5 ] a s w e l l

t h e c o m p u t a t i o n o f t h e b a r r i e r p a r a m e t e r .

p a r a m e t e r : S T O P C O R d e f a u l t : 1 0

; 3


C o r r e c t o r i s i g n o r e d i f i t d e c r e a s e s t h e s t e p l e n g t s b y a l a r g e r f a c t o r t h a n S T O P C O R .

p a r a m e t e r : B A R S E T d e f a u l t : 0 . 2 5 v a l u e s : N O N N E G A T I V E R E A L

B A R S E T

x

T

s

n

w i l l b e u s e d a s a n u p p e r l i m i t f o r t h e b a r r i e r p a r a m e t e r .

p a r a m e t e r : B A R G R O W d e f a u l t : 1 0

3


B a r r i e r g r o w i n g b o u n d b e t w e e n t w o s u c c e s s i v e i t e r a t i o n s .

p a r a m e t e r : B A R M I N d e f a u l t : 1 0

; 1 2


M i n i m u m b a r r i e r t h r e s h o l d . S m a l l e r b a r r i e r v a l u e w i l l b e r e p l a c e d b y z e r o .

p a r a m e t e r : M I N C O R R d e f a u l t : 1 v a l u e s : - 1 , 0 o r 1

N u m b e r o f m i n i m u m c o r r e c t o r s t e p s i n t h e p r e d i c t o r { c o r r e c t o r p r o c e d u r e . V a l u e 1

f o r c e s t o d o o n e c o r r e c t i o n w i t h i t e r a t i v e r e n e m e n t , w h i l e v a l u e s 0 a n d - 1 a l l o w t o

s k i p c o r r e c t o r . W h e n v a l u e 0 i s s p e c i e d t h e p r e d i c t o r i s e n h a n c e d w i t h i t e r a t i v e

r e n e m e n t .

p a r a m e t e r : M A X C O R R d e f a u l t : 1 v a l u e s : N O N N E G A T I V E

I N T E G E R

M a x i m u m n u m b e r o f c o r r e c t i o n s a l l o w e d i n t h e p r e d i c t o r { c o r r e c t o r p r o c e d u r e .

p a r a m e t e r : I N I B A R R d e f a u l t : 0 . 0 v a l u e s : N O N N E G A T I V E R E A L

T h i s p a r a m e t e r d e t e r m i n e s t h e b a r r i e r v a l u e f o r t h e p r e d i c t o r d i r e c t i o n a s I N I B A R R

x

T

s

n

2 3



5 . 1 0 C e n t r a l i t y c o r r e c t i o n s p a r a m e t e r s

A f t e r t h e p r e d i c t o r { c o r r e c t o r s t e p B P M P D u s e s c e n t r a l i t y c o r r e c t i o n s . M o r e d e t a i l s

i n 3 ] .

p a r a m e t e r : T A R G E T d e f a u l t : 0 . 0 9 v a l u e s : P O S I T I V E R E A L

T r i a l s t e p l e n g t h i m p r o v e m e n t .

p a r a m e t e r : T S M A L L d e f a u l t : 0 . 1 v a l u e s : P O S I T I V E R E A L

S m a l l c o m p l e m e n t a r i t y b o u n d .

p a r a m e t e r : T L A R G E d e f a u l t : 1 0 . 0 v a l u e s : P O S I T I V E R E A L

L a r g e c o m p l e m e n t a r i t y b o u n d .

p a r a m e t e r : C E N T E R d e f a u l t : 5 . 0 v a l u e s : P O S I T I V E R E A L

C e n t r a l i t y f o r c e .

p a r a m e t e r : C O R S T O P d e f a u l t : 1 . 0 1 v a l u e s : P O S I T I V E R E A L

C o r r e c t i o n s t o p p a r a m e t e r .

p a r a m e t e r : M I N C C O R R d e f a u l t : 0 v a l u e s : N O N N E G A T I V E

I N T E G E R

N u m b e r o f t h e m i n i m u m c o r r e c t i o n s .

p a r a m e t e r : M A X C C O R R d e f a u l t : 9 v a l u e s : N O N N E G A T I V E

I N T E G E R

B a s e n u m b e r f o r c o m p u t i n g t h e n u m b e r o f m a x i m u m c o r r e c t i o n s . T h e n u m b e r o f

m a x i m u m c o r r e c t i o n s w i l l b e c o m p u t e d s i m i l a r l y a s d e s c r i b e d b y t h e p a r a m e t e r

M A X R E F .

5 . 1 1 S t e p l e n t h p a r a m e t e r s

B o t h b y L P a n Q P p r o b l e m s d i e r e n t s t e p s i z e s a r e u s e d i n t h e p r i m a l a n d d u a l

s p a c e s . I n t h e q u a d r a t i c c a s e , h o w e v e r , a s p e c i a l t e c h n i q u e i s i m p l e m e n t e d w h i c h

g u a r a n t e e s t h e d e c r e a s e i n t h e p r i m a l a n d d u a l i n f e a s i b i l i t i e s . T h e f o l l o w i n g p a -

r a m e t e r s a r e u s e d t o p r e v e n t t o h i t t h e b o u n d a r y d u r i n g i n t e r i o r p o i n t i t e r a t i o n s .

S m a l l e r v a l u e s c a n b e b e n e c i a l o n " d i c u l t " p r o b l e m s .

2 4



p a r a m e t e r : P R D A R E d e f a u l t : 0 . 9 9 9 v a l u e s : 0 . 0 < P R D A R E < 1 0

T h e m a x i m a l p o s s i b l e s t e p l e n g t t o t h e b o u n d a r y i n t h e p r i m a l s p a c e i s m u l t i p l i e d

b y P R D A R E .

p a r a m e t e r : D U D A R E d e f a u l t : 0 . 9 9 9 v a l u e s : 0 . 0 < D U D A R E < 1 0

T h e m a x i m a l p o s s i b l e s t e p l e n g t t o t h e b o u n d a r y i n t h e d u a l s p a c e i s m u l t i p l i e d b y

D U D A R E .

5 . 1 2 S t a r t i n g p o i n t p a r a m e r e r s

T h e r e a r e t w o p o s s i b i l i t i e s f o r d e t e r m i n a t i o n o f t h e s t a r t i n g p o i n t : c o l d s t a r t a n d

w a r m s t a r t ( u n d e r d e v e l o p i n g ) . B y c o l d s t a r t B P M P D c o m p u t e s f o r t h e p r i m a l

v a r i a b l e s t h e s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m :

m i n ^x + P ^x

T

Q ^x

A ^x = b

w h e r e P > 0 w e i g h t f o r t h e q u a d r a t i c o b j e c t i v e f u n c t i o n . F o r t h e d u a l v a r i a b l e s

t h e r e a r e t w o o p t i o n s . E i t h e r t h e o p t i m a l s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m

m i n ^s + P ^s

T

Q ^s

A

T

y + ^s ; Q ^x = c

o r ^y = 0 ^s = c + Q ^x i s c o m p u t e d . T o a v o i d s m a l l o r n e g a t i v e v a l u e s , ^x a n d ^s a r e

m o d i e d ( s a f e d )

p a r a m e t e r : P R M I N d e f a u l t : 1 5 0 . 0 v a l u e s : P O S I T I V E R E A L

M i n i m u m i n i t i a l p r i m a l v a l u e . T h i s p a r a m e t e r i s u s e d d u r i n g t h e m o d i c a t i o n o f ^x

a n d ^s

p a r a m e t e r : U P M A X d e f a u l t : 5 0 0 0 0 . 0 v a l u e s : P O S I T I V E R E A L

M a x i m u m i n i t i a l p r i m a l v a l u e . T h i s p a r a m e t e r i s u s e d d u r i n g t h e m o d i c a t i o n o f ^x

a n d ^s

p a r a m e t e r : D U M I N d e f a u l t : 1 5 0 . 0 v a l u e s : P O S I T I V E R E A L

M i n i m u m i n i t i a l d u a l s l a c k v a l u e . T h i s p a r a m e t e r i s u s e d d u r i n g t h e m o d i c a t i o n

o f ^x a n d ^s

2 5



p a r a m e t e r : L S Q W E I G H T d e f a u l t : 1 0 . 0 v a l u e s : P O S I T I V E R E A L

W e i g h t o f ^x b y t h e p r i m a l p r o b l e m .

p a r a m e t e r : S M E T H O D d e f a u l t : 2 v a l u e s : - 2 , - 1 , 1 o r 2

B y t h i s p a r a m e t e r t h e r s t o r s e c o n d m e t h o d f o r t h e d u a l c a n b e s e l e c t e d . W h e n

n e g a t i v e v a l u e i s p r e s e n t e d , B P M P D t r y w a r m s t a r t . I f t h e w a r m s t a r t i s n o t

s u c c e s s f u l , B P M P D w i l l u s e - S M E T H O D i n t h e c o l d s t a r t p r o c e s s .

p a r a m e t e r : S A F E M E T d e f a u l t : - 3 v a l u e s : f r o m - 3 t o + 3

T h i s p a r a m e t e r s e l e c t s t h e m e t h o d f o r m o d i c a t i o n o f ^x a n d ^s . N e g a t i v e v a l u e s i m -

p l i e s m e t h o d s w h i c h i m p r o v e s a l l c o m p o n e n t s o t h e r w i s e o n l y t h e s m a l l c o m p o n e n t s

a r e m o d i e d . M e t h o d 1 ( a n d - 1 ) c h e c k s t h e i n d i v i d u a l v a l u e s o f t h e v a r i a b l e s w h i l e

m e t h o d s 2 a n d 3 ( a s w e l l - 2 a n d - 3 ) c o n s i d e r t h e c o m p l e m e n t a r i t y c o m p o n e n t s a l s o .

p a r a m e t e r : R E G U L A R I Z E d e f a u l t : 0 v a l u e s : 0 o r 1

V a l u e 1 . i n t r o d u c e s a r t i c i a l v a r i a b l e s ( s l a c k v a r i a b l e s f o r e q u a l i t y r o w s w i t h u p p e r

a n d l o w e r b o u n d s z e r o ) t o t h e m o d e l .

5 . 1 3 P r e s o l v e p a r a m e t e r s

P r i o r t o t h e s o l u t i o n p r o c e s s B P M P D m a y a p p l y p r e s o l v e t e c h n i q u e s . T h e s e t e c h -

n i q u e s r e d u c e t h e p r o b l e m s i z e b y d e t e c t i n g x v a r i a b l e s o r r e d u n d a n t r o w s , a n d

i n g e n e r a l , i m p r o v e t h e e c i e n c y o f t h e i n t e r i o r p o i n t m e t h o d . S e v e r a l p r e s o l v e

t e c h n i q u e s c a n b e i n v o k e d . I n a d d i t i o n t o t h e p r e s o l v e , B P M P D i s a b l e t o e l i m i n a t e

v a r i a b l e s a n d c o n s t r a i n t s f r o m t h e L P / Q P p r o b l e m . A p a p e r i s a v a i l a b l e w h i c h

d i s c u s s t h e p a r t i c u l a r s 9 ] .

p a r a m e t e r : P R E S O L V d e f a u l t : 1 0 2 3 v a l u e s : 0 t o 2 0 4 7 I N T E G E R

P r e s o l v e a c t i o n c o n t r o l . T h e b i t s o f t h i s v a l u e r e p r e s e n t t u r n i n g o n o r o i n d i v i d u a l

p r e s o l v e t e c h n i q u e s . T h e f o l l o w i n g m e t h o d s a r e a v a i l a b l e :

1 : S i n g l e t o n r o w c h e c k . S i n g l e t o n r o w s a r e r e p l a c e d b y b o u n d s o n v a r i a b l e s .

2 : S i n g l e t o n c o l u m n c h e c k . F r e e ( o r i m p l i e d f r e e ) s i n g l e t o n c o l u m n s a r e e l i m i n a t e d

f r o m t h e p r o b l e m .

4 : P r i m a l f e a s i b i l i t y c h e c k . T h i s p r o c e s s e v a l u a t e s t h e p o s s i b l e m i n i m u m a n d

m a x i m u m r o w v a l u e s . B a s e d o n t h e r e s u l t s , i t m a y d e t e c t r e d u n d a n t r o w s a n d

x e s v a r i a b l e s o n t h e i r b o u n d .

2 6



8 : C h e a p d u a l t e s t . T h i s p r o c e d u r e p e r f o r m s t e s t s b a s e d o n t h e s i g n s o f t h e n o n z e r o

v a l u e s o f t h e c o l u m n s .

1 6 : D u a l f e a s i b i l i t y c h e c k . T h e s a m e a s t h e p r i m a l b u t o n t h e d u a l p r o b l e m .

B o u n d s o n t h e d u a l v a r i a b l e s a r e t i g h t e n e d i f p o s s i b l e .

3 2 : P r i m a l b o u n d c h e c k a n d r e l a x a t i o n . T h i s p r o c e d u r e d e t e c t s h i d d e n f r e e v a r i -

a b l e s i n t h e p r o b l e m .

6 4 : S e a r c h i n g i d e n t i c a l v a r i a b l e s . T h i s p r o c e d u r e d e t e c t s s p l i t t e d v a r i a b l e s i n t h e

p r o b l e m a n d r e p l a c e s t h e m w i t h a n a p p r o p r i a t e o n e .

1 2 8 : D o u b l e t o n r o w c h e c k . T h i s p r o c e d u r e g e n e r a t e s f r e e v a r i a b l e s i n d o u b l e t o n

r o w s .

2 5 6 : A g g r e g a t o r . T h i s p r o c e d u r e e l i m i n a t e s f r e e v a r i a b l e s .

5 1 2 : S p a r s e r . T h i s p r o c e d u r e m a k e s t h e c o n s t r a i n t m a t r i x s p a r s e r .

1 0 2 4 : E x t e n d e d d u a l t e s t . T h i s p r o c e d u r e p e r f o r m s a d d i t i o n a l d u a l t e s t s w h i c h

m a y c h a n g e t h e o p t i m a l s o l u t i o n . T h e o p t i m a l o b j e c t i v e v a l u e i s n o t c h a n g e

h o w e v e r , t h e r e f o r e t h i s p r o c e d u r e c a n b e t u r n e d o n i f t h e o p t i m a l o b j e c t i v e

f u n c t i o n v a l u e i s t h e o n l y i m p o r t a n t .

p a r a m e t e r : B N D L O O P d e f a u l t : 5 v a l u e s : N O N N E G A T I V E

I N T E G E R

M a x i m u m n u m b e r o f i t e r a t i o n s i n t h e p r i m a l b o u n d c h e c k p r o c e d u r e .

p a r a m e t e r : D U L O O P d e f a u l t : 1 0 v a l u e s : N O N N E G A T I V E I N T E G E R

M a x i m u m n u m b e r o f i t e r a t i o n s i n t h e d u a l f e a s i b i l i t y c h e c k p r o c e d u r e .

p a r a m e t e r : P R I M A L B N D d e f a u l t : 1 0 0 0 . 0 v a l u e s : N O N N E G A T I V E

R E A L

M a x i m u m a l l o w a b l e g e n e r a t e d b o u n d d u r i n g p r i m a l b o u n d i n v e s t i g a t i o n s .

p a r a m e t e r : D U A L B N D d e f a u l t : 1 0 0 0 0 . 0 v a l u e s : N O N N E G A T I V E

R E A L

M a x i m u m a l l o w a b l e g e n e r a t e d b o u n d d u r i n g d u a l f e a s i b i l i t y t e s t s .

2 7



p a r a m e t e r : P R E F E A S d e f a u l t : 1 0

; 8


R e l a t i v e p r i m a l f e a s i b i l i t y t o l e r a n c e d u r i n g p r e s o l v e .

p a r a m e t e r : P I V R T O L d e f a u l t : 1 0

; 2


R e l a t i v e p i v o t t o l e r a n c e i n t h e a g g r e g a t o r p r o c e s s .

p a r a m e t e r : P I V A T O L d e f a u l t : 1 0

; 4


A b s o l u t e p i v o t t o l e r a n c e i n t h e a g g r e g a t o r p r o c e s s .

p a r a m e t e r : F I L L T O L d e f a u l t : 4 . 0 v a l u e s : N O N N E G A T I V E R E A L

F i l l { i n b o u n d o n i n d i v i d u a l p i v o t s i n a g g r e g a t o r . A g g r e g a t o r s t o p s i f

( c

i

; 1 ) ( r

j

; 1 ) > F I L L T O L ( c

i

+ r

j

)

f o r a l l p o s s i b l e p i v o t p o s i t i o n s , w h e r e ( i j ) a r e t h e c o l u m n / r o w i n d i c e s o f t h e p i v o t

c a n d i d a t e s a n d c

i

, r

j

a r e t h e c o l u m n a n d r o w c o u n t e r o f c o l u m n i a n d r o w j , r e s p e c -

t i v e l y .

5 . 1 4 R e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r s

T h e p u r p o s e o f t h e s e p a r a m e t e r s i s t o p r e v e n t n u m e r i c a l i n s t a b i l i t y . U n f o r t u n a t e l y ,

i n c r e a s i n g n u m e r i c a l b e h a v i o r ( e . g . d o i n g s t r o n g e r r e g u l a r i z a t i o n ) m a y d e c r e a s e t h e

e c i e n c y o f t h e c o m p u t e d s t e p s a n d p o s s i b l y i n c r e a s e s t h e n u m b e r o f n e c e s s a r y

i t e r a t i o n s . I n e x t r e m e c a s e s r e g u l a r i z a t i o n c a n p r e v e n t c o n v e r g e n c e . T h e t h e o r y o f

r e g u l a r i z a t i o n i s d i s c u s s e d i n 9 ] .

p a r a m e t e r : S O F T R E G d e f a u l t : 1 0

; 1 2


S o f t r e g u l a r i z a t i o n o f t h e d i a g o n a l s c a l i n g m a t r i x . T h i s p a r a m e t e r s l o w e s d o w n

t h e d e c r e a s e o f s m a l l v a l u e s i n t h e d i a g o n a l s c a l i n g m a t r i x . T h e i n c r e a s e o f t h i s

p a r a m e t e r w i l l i n c r e a s e t h e r e g u l a r i z a t i o n .

p a r a m e t e r : H A R D R E G d e f a u l t : 1 0

; 1 6

v a l u e s : N O N N E G A T I V E

R E A L

T h e p a r a m e t e r i n t r o d u c e s " h a r d " r e g u l a r i z a t i o n , n a m e l y " f r e e s e s " s m a l l v a l u e s i n

t h e d i a g o n a l s c a l i n g m a t r i x . T h e i n c r e a s e o f t h i s p a r a m e t e r w i l l i n c r e a s e t h e r e g u -

l a r i z a t i o n .

p a r a m e t e r : S C F R E E d e f a u l t : 1 0

; 8


2 8



B a s e v a l u e f o r s c a l i n g f r e e v a r i a b l e s . S e e 9 ] f o r t h e d e t a i l s .

p a r a m e t e r : T F I X V A R d e f a u l t : 1 0

; 2 0


B P M P D x e s v a r i a b l e s w h o s e v a l u e f a l l u n d e r t h i s l i m i t .

p a r a m e t e r : T F I X S L A C K d e f a u l t : 1 0

; 2 0


R E A L

B P M P D x e s s l a c k s w h o s e v a l u e f a l l u n d e r t h i s l i m i t .

p a r a m e t e r : D S L A C K L I M d e f a u l t : 1 0

; 2 0


R E A L

D u a l s l a c k l i m i t . B P M P D d o e s n o t d e c r e a s e d u a l s l a c k s b e l l o w t h i s v a l u e .

p a r a m e t e r : C O M P L I M I T d e f a u l t : 1 . 0 v a l u e s : N O N N E G A T I V E

R E A L

C o m p l e m e n t a r i t y b a l a n c i n g t e c h n i q u e t u r n s o n i f t h e a v e r a g e c o m p l e m e n t a r i t y f a l l s

b e l l o w t h i s v a l u e .

p a r a m e t e r : C O M P P A R d e f a u l t : 1 0

; 5


T h e c o m p l e m e n t a r i t y b a l a n c i n g t e c h n i q u e w i l l i m p r o v e t h o s e c o m p l e m e n t a r i t y c o m -

p o n e n t s w h i c h a r e l e s s t h e n t h e a v e r a g e c o m p l e m e n t a r i t y g a p m u l t i p l i e d b y C O M P -

P A R .

6 B u g r e p o r t s a n d f u r t h e r i n q u i r e s

I f t h e r e a r e a n y p r o b l e m s o r q u e s t i o n s a b o u t t h e B P M P D p a c k a g e p l e a s e c o n t a c t :

C s a b a M e s z a r o s ,

C o m p u t e r a n d A u t o m a t i o n R e s e a r c h I n s t i t u t e ,

L a b o r a t o r y o f O p e r a t i o n s R e s e a r c h a n d D e c i s i o n S y s t e m s ,

H - 1 5 1 8 B u d a p e s t ,

P . O . B O X 6 3 , H u n g a r y .

F A X : + ( 3 6 1 ) 2 6 9 - 8 2 6 8

P H O N E : + ( 3 6 1 ) 2 6 9 - 8 2 6 7

E - M A I L : m c s a b a @ o p l a b . s z t a k i . h u , m e s z a r o s @ s z t a k i . h u

2 9



R e f e r e n c e s

1 ] T . J . C a r p e n t e r , I . J . L u s t i g , J . M . M u l v e y , a n d D . F . S h a n n o . H i g h e r o r d e r

p r e d i c t o r - c o r r e c t o r i n t e r i o r p o i n t m e t h o d s w i t h a p p l i c a t i o n t o q u a d r a t i c o b -

j e c t i v e s S I A M J o u r n a l o n O p t i m . , 3 : 6 9 6 { 7 2 5 , 1 9 9 3 .

2 ] A . V . F i a c c o a n d G . P . M c C o r m i c k . N o n l i n e a r P r o g r a m m i n g : S e q u e n t i a l U n c o n -

s t r a i n e d M i n i m i z a t i o n T e c h n i q u e s . J o h n W i l e y a n d S o n s , N e w Y o r k , 1 9 6 8 .

3 ] J . G o n d z i o . M u l t i p l e c e n t r a l i t y c o r r e c t i o n s i n a p r i m a l - d u a l m e t h o d f o r l i n e a r

p r o g r a m m i n g . C o m p u t a t i o n a l O p t i m i z a t i o n a n d A p p l i c a t i o n s , 6 : 1 3 7 { 1 5 6 , 1 9 9 6 .

4 ] I . M a r o s a n d C s . M e s z a r o s . T h e r o l e o f t h e a u g m e n t e d s y s t e m i n i n t e r i o r

p o i n t m e t h o d s . T e c h n i c a l R e p o r t T R / 0 6 / 9 5 , B r u n e l U n i v e r s i t y , D e p a r t m e n t o f

M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s , L o n d o n , 1 9 9 5 . t o a p p e a r i n E u r o p e a n J o u r n a l o f

O p e r a t i o n s R e s e a r c h .

5 ] S . M e h r o t r a . O n t h e i m p l e m e n t a t i o n o f a p r i m a l - d u a l i n t e r i o r p o i n t m e t h o d .

S I A M J o u r n a l o n O p t i m . , 2 ( 4 ) : 5 7 5 { 6 0 1 , 1 9 9 2 .

6 ] C s . M e s z a r o s . T h e \ i n e x a c t " m i n i m u m l o c a l l l { i n o r d e r i n g a l g o r i t h m . W o r k i n g

p a p e r W P 9 5 { 7 , C o m p u t e r a n d A u t o m a t i o n I n s t i t u t e , H u n g a r i a n A c a d e m y o f

S c i e n c e s , B u d a p e s t , 1 9 9 5 .

7 ] C s . M e s z a r o s . T h e a u g m e n t e d s y s t e m v a r i a n t o f I P M s i n t w o { s t a g e s t o c h a s t i c

l i n e a r p r o g r a m m i n g c o m p u t a t i o n . W o r k i n g p a p e r W P 9 5 { 1 , C o m p u t e r a n d

A u t o m a t i o n I n s t i t u t e , H u n g a r i a n A c a d e m y o f S c i e n c e s , B u d a p e s t , 1 9 9 5 . t o

a p p e a r i n E u r o p e a n J o u r n a l o f O p e r a t i o n s R e s e a r c h .

8 ] C s . M e s z a r o s . F a s t C h o l e s k y f a c t o r i z a t i o n f o r i n t e r i o r p o i n t m e t h o d s o f l i n e a r

p r o g r a m m i n g . C o m p u t e r s & M a t h e m a t i c s w i t h A p p l i c a t i o n s , 3 1 ( 4 / 5 ) : 4 9 { 5 4 ,

1 9 9 6 .

9 ] C s . M e s z a r o s . O n f r e e v a r i a b l e s i n i n t e r i o r p o i n t m e t h o d s . T e c h n i c a l R e p o r t

D O C 9 7 / 4 , I m p e r i a l C o l l e g e , D e p a r t m e n t o f C o m p u t i n g , L o n d o n , 1 9 9 7 .

1 0 ] R . D . C . M o n t e i r o a n d I . A d l e r . I n t e r i o r p a t h f o l l o w i n g p r i m a l - d u a l a l g o r i t h m s .

P a r t I I : C o n v e x q u a d r a t i c p r o g r a m m i n g . M a t h . P r o g r a m m i n g , 4 4 : 4 3 { 6 6 , 1 9 8 9 .

1 1 ] J . L . N a z a r e t h . C o m p u t e r S o l u t i o n o f L i n e a r P r o g r a m s . O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s ,

N e w Y o r k , 1 9 8 7 .

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