Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
-
Upload
haydarozer -
Category
Documents
-
view
242 -
download
0
Transcript of Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
1/72
T.C.SAKARYA NVERSTES
FEN BLMLER ENSTTS
BORSA LEMLERNDEOYUN TEORS KULLANIMI
YKSEK LSANS TEZ
Mat.r. Yldray SANCAK
Enstit Anabilim Dal : MATEMATK
Tez Danman : Yrd. Do. Dr.Hseyin KOCAMAN
Temmuz 2008
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
2/72
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
3/72
ii
NSZ
Trkiyede oyun teorisi, son yllarda akademik olduu kadar gnlk hayatta da
-zellikle Akl Oyunlar adl filmin lkemizde vizyona girmesinden sonra- ilgi oda
oldu. Yine son yllarda Nobel Ekonomi dl zellikle oyun teorisi alannda yaplan
almalara verildi. 1994te John Nashin bu dle layk grlmesinden sonra, 2002
ylnda Daniel Kahneman, 2005te Thomas Schelling ve Robert Aumann, 2007de
Leonid Hurwicz, Eric Maskin ve Roger Myerson da bu dllere hak kazanarak, oyun
teorisi alannda yaplan almalara verilen nemi gstermektedirler.
nsan ilikileri ve karlalan doal durumlar karsnda gelitirilecek stratejileri ve
davranlar incelemekte olduka yarar salayan oyun teorisinin, ekonomi alannda
ve zellikle sfr toplaml bir oyun olan borsada kullanlmas ile nasl bir durumla
karlalaca analiz edildi. Piyasann d etkenler ile genel etkilenmesi durumu
dnda, toplam likitte de deime olmad grld.
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
4/72
iii
NDEKLER
NSZ......................................................
NDEKLER ................................................................................................
ii
iii
EKLLER LSTES ....................................................................................... v
TABLOLAR LSTES....................................................................................... vi
ZET................................................................................................................. viii
SUMMARY...................................................................................................... ix
BLM 1.
RSK VE BELRSZLK ORTAMLARINDA KARAR VERME................. 1
1.1. Giri.................................................................................................. 1
1.2. Temel Kavramlar.......................................................................... 3
1.3. Risk Ortamnda Karar ltleri ....................................................... 5
1.3.1. En iyi beklenen deer lt................................................... 5
1.3.2. En byk olaslk lt.........................................................
1.3.3. Hrs dzeyi lt..
8
9
1.4. Belirsizlik Ortamnda Karar ltleri............................................. 11
1.4.1. Eit olaslkl durumlar(Laplace) lt.....
1.4.2. Ktmserlik (Wald) lt.
1.4.3. yimserlik (Plunger) lt.1.4.4. Genelletirilmi iyimserlik (Hurwicz) lt.
1.4.5. Pimanlk (Savage) lt....
11
12
1314
16
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
5/72
iv
BLM 2.
OYUNLAR: ATIMA ORTAMINDA KARAR VERME.... 19
2.1. Genel Aklamalar............................................................................ 19
2.2. Sfr Toplaml ki Kiilik Oyunlar.................................................... 21
2.2.1. Genel gsterim ve temel kavramlar........................................ 21
2.2.2. Sfr toplaml iki kiilik oyunun zm................................. 22
2.2.3. Kesinlikle saptanm oyunlarn zm.................................. 24
2.3. Karma Strateji Vektrnn Bulunmas............................................ 28
2.3.1. kier stratejili oyunlarda strateji vektrnn bulunmas 31
2.3.2. ok stratejili iki kiilik oyunlarn zm...... 40
2.3.2.1. Cebirsel zm.... 42
2.3.2.2. Dorusal programlama ile zm.... 44
BLM 3.
DEME (PAY-OFF) TABLOLARININ BORSADA KULLANIMI.. 51
BLM 4.
SONU............ 60
KAYNAKLAR.. 61
ZGEM... 62
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
6/72
v
EKLLER LSTES
ekil 1. Kazan Matrisi............................................................................... 4
ekil 2.1. Oyunlarn Snflandrlmas........................................................... 20
ekil 2.2. Strateji Belirleme Eilimi.............................................................. 32
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
7/72
vi
TABLOLAR LSTES
Tablo 1.1. En yi Beklenen Deer lt................................................... 6
Tablo 1.2. En yi Beklenen Deer lt................................................... 6
Tablo 1.3. Talep Dzeyi ve Olaslk............................................................ 7
Tablo 1.4. Hrs Dzeyi lt.................................................................... 10
Tablo 1.5. Eit Olaslkl Durumlar lt................................................. 12Tablo 1.6. Ktmserlik lt.................................................................... 13
Tablo 1.7. yimserlik lt....................................................................... 14
Tablo 1.8. Genelletirilmiyimserlik lt............................................. 15
Tablo 1.9. Genelletirilmiyimserlik lt............................................. 16
Tablo 1.10. Pimanlk lt........................................................................ 16
Tablo 1.11. Pimanlk lt........................................................................ 17
Tablo 1.12. Pimanlk lt........................................................................ 18Tablo 1.13. Pimanlk lt........................................................................ 18
Tablo 2.1. Kazan Matrisi........................................................................... 21
Tablo 2.2. Kazan Matrisi........................................................................... 23
Tablo 2.3. Kazan Kayp likisi............................................................. 23
Tablo 2.4. Kazan Matrisi........................................................................... 24
Tablo 2.5. Kazan Matrisi........................................................................... 24
Tablo 2.6. Kazan Matrisi........................................................................... 26
Tablo 2.7. Kazan Matrisi........................................................................... 29
Tablo 2.8. demeler Matrisi....................................................................... 31
Tablo 2.9. demeler Matrisi....................................................................... 34
Tablo 2.10. demeler Matrisi....................................................................... 36
Tablo 2.11. cretlendirme Kararlar............................................................. 37
Tablo 2.12. ndirgenmi demeler Matrisi................................................... 40
Tablo 2.13. Kazan Matrisi........................................................................... 43
Tablo 2.14. Kazan Matrisi........................................................................... 47
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
8/72
vii
Tablo 2.15. Kazan Matrisi........................................................................... 47
Tablo 2.16. Balang Simpleks Tablosu...................................................... 49
Tablo 2.17. Sonu Simpleks Tablosu............................................................ 49
Tablo 3.1. deme Matrisi............................................................................ 51
Tablo 3.2. deme Matrisi............................................................................ 52
Tablo 3.3. deme Matrisi............................................................................ 52
Tablo 3.4. deme Matrisi............................................................................ 53
Tablo 3.5. deme Matrisi............................................................................ 53
Tablo 3.6. deme Matrisi............................................................................ 54
Tablo 3.7. deme Matrisi............................................................................ 54
Tablo 3.8. deme Matrisi............................................................................ 55
Tablo 3.9. deme Matrisi............................................................................ 55
Tablo 3.10. deme Matrisi............................................................................ 56
Tablo 3.11. deme Matrisi............................................................................ 56
Tablo 3.12. deme Matrisi............................................................................ 57
Tablo 3.13. deme Matrisi............................................................................ 57
Tablo 3.14. deme Matrisi............................................................................ 58
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
9/72
viii
ZET
Anahtar kelimeler: Borsa, oyun teorisi, karar verme, sfr toplam
Saysal bilimin bir rn olmasna ramen sosyal bilimlerde sklkla kullanlan oyunteorisinin genel amac, rakiplerin birbirlerine stnlk salamaya alrkengelitirdikleri stratejilerin ve bu stratejileri gelitirirken kullandklar yntemlerinincelenmesidir. Ekonomi dalnda ve zellikle borsada, oyuncu olarak hisse sahipleri,oyun olarak da devaml surette bu hisse senetlerinin el deitirmesi gz nnealndnda, aslnda oyun teorisinin borsada pek ok kullanm alannnbulunabilecei aikardr.
ncelikle, oyun teorisi ile ilgili temel kavramlar, oyun eitleri ve oyuncularnstratejilerini belirlerken kulland yntemler, borsa ve oyun teorisi ilikisininanlalmas iin gereklidir. u an borsada bulunan yzlerce kat ve milyonlarcahisse senedi sahibinin, 5 adet hisse senedi ve bunlara sahip 4 oyuncu zerindendeerlendirilmesi, borsa mantnn anlalmasna k tutacaktr. Burada esas alnan,piyasadaki toplam miktarn sabit, ancak oyuncular arasnda ve katlar arasnda,
oyuncularn belirledikleri stratejilere bal olarak yaanan kr ve zararlardr.
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
10/72
ix
USAGE OF THE GAME THEORY AT STOCK EXCHANGE
SUMMARY
Keywords: Stock exchange, game theory, decision making, zero sum
Although, the game theory is a work of numerical science, it is being used at socialscience requently. Aim of the game theory is researching the strategies of rival andused methods in developing these strategies. At the branch of economy andespacially at the stock exchange, in appropriating the share certificate owner asplayer, and exchanging of these certificates as the play, its clear that there are a lotof usage areas of game theory at stock exchange.
In this thesis at first, explained the basic concepts about the game theory, variety ofgames and the methods of the game strategy determination. Its necessary to
understand the affinity between the stock exchange and game theory. At the moment,there are hundreds of share certificates and millions of owners of these certificates. Ihave worked with 5 share certificates different from real ones, and 4 owners to lightthe way for understanding the exchange logic. Total summary is fixed, but gain andloss between players and between certificates dependent on determinated strategies isthe base of this thesis.
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
11/72
1
BLM 1. RSK VE BELRSZLK ORTAMLARINDA KARAR
VERME
1.1. Giri
Akademik aratrmalarda kullanm alanlar yaygnlatka nemi anlalan bu ara,
1990lardan itibaren Amerikada yaygn olarak uygulanmaya baland. zellikle
ekonomi alannda ihale dzenlemelerinden rekabet analizlerine kadar geni bir
uygulama alan ortaya kt.
Trkiyede oyun teorisi ancak son yllarda akademik olduu kadar gnlk hayatta
da- zellikle de Akl Oyunlar adl filmin lkemizde vizyona girmesinden sonra- ilgi
oda oldu. Aslnda, modern oyun teorisi bugn karsmza kan ekline uzun bir
gelime srecinden sonra ulat. Bu srece ksaca gz atmak Oyun Teorisi isminin
nereden geldiini anlamamza yardmc olabilir.
Satran, poker, bri gibi oyunlarda oyuncularn davranlarn modellemek ve aklc
strateji seimleri zerine alan Macar asll Amerikal John von Neuman, oyunlarzerine ilk makalesini 1928 ylnda yaynlad. Hidrojen bombas ve ilk bilgisayarn
mucitlerinden saylan bu dahi matematiki, bir ekonomist olan Oskar Morgenstern
ile birlikte, oyun teorisini 1944 ylnda baslan Oyun Teorisi ve Ekonomik
Davran isimli kitaplarnda ilk defa ekonomi alanna tadlar. Bu almada iki
oyunculu, sfr toplaml oyunlar ve ibirliki oyunlar incelediler. John F. Nash,
1950-53 yllar arasnda yaynlad drt almas ile oyun teorisini gelitirdi ve hem
rekabeti hem de ibirliki oyunlarda kullanlabilecek bir denge kavramn ortaya
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
12/72
2
kard. Halen oyun teorisinin ar ykn onun ortaya att Nash dengesi
ekmektedir. Martin Shubik 1959 basml Strateji ve Pazar Yaps: Rekabet,
Oligopol ve Oyun Teorisi kitabnda rekabeti oyun teorisini ilk defa oligopollere (az
sayda firmann olduu piyasa yapsna) uygulad. 1965te Reinhard Selten, Nash
dengesini yaygn biimdeki oyunlarda (oyuncularn sra ile stratejilerini setikleri
oyunlar) kullanlabilecek ekilde gelitirdi. seri makalesi ile John Harsanyi, 1967-
68 yllarnda teorinin oyuncularn eksik bilgi sahibi olduu oyunlara nasl
uygulanabileceini gsterdi.
Gittike gelien, oyunlar teorisi, ekonomi bilimi iin olduu kadar, hukuk, politika,
iletme, uluslararas ilikiler ve hatta biyoloji gibi bilimler iin de vazgeilmez bir
matematiksel ara oldu. Ekonomide, zellikle de endstriyel organizasyon alannda
teorik gelimelere yol at ve yn verdi. Oyun teorisi ayn zamanda stratejik
karlamalarn incelenmesinde standart bir dil haline geldi.
Oyunlar, kazanlar asndan sfr toplaml ve sfr toplaml olmayan oyunlar olarak
iki ekilde incelenir. Oyunun , sfr toplaml olarak isimlendirilmesinin sebebi iseoyun sonunda elde edilen kar ve zararn toplamnn 0 a eit olmasdr. Oyunda bir
oyuncunun , dierinin kaybettiini kazanmasndan dolay net kazan 0 a eittir.
Oyunda bir kiinin kazanabilmesi iin dierinin kaybetmesi gerekir. Bu nedenle
oyuncular rakiptirler. Taraflarn ulamak istedikleri amalar atmaktadr.
Oyuncular aralarnda birleerek veya bir kombinasyon yaparak bir kazan
salamalar imkanszdr.
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
13/72
3
1.2. Temel Kavramlar
Karar Verme: Birden fazla seenek iinden seim yapma ilemidir. Sreklilik
gsteren bir ilevdir.
Karar Sreci:
1. Problem nedir?
2. Seenekler nelerdir?
3. En iyi seenek hangisidir?
Problem nedir? sorusunun doru cevaplanabilmesi iin;
- Karar vericiler ve amalar,
- Karar deikenleri (Kontrol edilebilir deikenler)
- Parametreler (Kontrol edilemeyen deikenler)
- Kstlar belirlenmelidir.
Karar Ortamlar:
- Belirlilik Ortamnda Karar: Parametrelerin deerleri biliniyordur.
- Risk Ortamnda Karar: Parametrelerin olaslklar biliniyordur.
- Belirsizlik Ortamnda Karar: Parametrelerin alabilecekleri deerler
bilinmiyordur.
Strateji: Risk veya belirsizlik ortamnda karar verme srecindeki seenektir. Elde
edilecek sonu ynnden karar vericinin yaklamna baldr.
Doal Durum: Karar verme evresinde kontrol edilemeyen deikenlerin alabilecei
her farkl deer bir doal durumdur.
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
14/72
4
Risk veya belirsizlik ortamnda karar verme durumunda kalan bir kii:
- Uygulayabilecei stratejileri gelitirir.
-Karlaabilecei doal durumlar saptar.
- Her bir stratejinin bu doal durumlara katksn ler.
- Stratejilerini deerlendirerek seimini yapar.
Karar Matrisi: Karar probleminde, uygulanabilir m tane strateji gelitirilsin.
Bu stratejiler, i = 1,2,3,,m iin Si lerle gsterilsin.
Karlalabilir doal durumlar n tane olsun.Bu doal durumlar, j = 1,2,3,,n iin Dj lerle gsterilsin.
Karar vericinin fayda/deer fonksiyonu, f(Si,Dj) eklinde belirlensin.
i-inci strateji uygulandnda j-inci doal durumla karlalyorsa elde
edilecek fayda f(Si,Dj)=Kij ile gsterilsin.
ekil 1. Kazan Matrisi
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
15/72
5
1.3. Risk Ortamnda Karar ltleri
Risk ortamnda karar sz konusu iken D1, D2, , Dn doal durumlarnn ayrk ve
btn oluturan olaylar olduu ve j-inci doal durumun ortaya kma olaslnn Pj
olduu gz nne alnrsa,
1
1n
j
j
P=
=
dir.
1.3.1. En iyi beklenen deer lt
Eer problem katk, kazan yapl ise kazanlarn en byne; maliyet yapl ise
masraflarn en kne karlk gelen strateji benimsenir.
j-inci doal durumun ortaya kma olasl Pj ve
i-inci strateji uygulandnda beklenen deer B[Si] ile gsterilsin.
Her bir stratejinin beklenen deeri: [ ]1
n
i j ij
j
B S P K =
=
Kazan yapl problemde [ ]{ } [ ]i r Max B S B S= eitliine karlk gelen r-inci strateji,
Maliyet yapl problemde [ ]{ } [ ]i k Min B S B S= eitliine karlk gelen k-nc strateji
benimsenir.
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
16/72
6
[ ]{ }i Max B S
[ ]
[ ]
[ ]
1
2
3
3 0, 4 7 0,6 5,4
8 0, 4 1 0,6 3,8
7 0,4 5 0,6 5,8
B S
B S
B S
= + =
= + =
= + =
rnek 1:ki farkl durum bulunan ortamda olaslklar, stratejiler ve krlaraadaki gibidir:
Tablo 1.1. En yi Beklenen Deer lt
yleyse S3 stratejisi nerilir.
rnek 2: Bir firmann mala olan devrelik talep dalm tablodaki gibidir:
Tablo 1.2. En iyi Beklenen Deer lt
Birim maliyet: 120 TL
Birim sat fiyat: 150 TL
Satlmayan maln deeri yoktur.
xi retim, yj talep, Kij Kr
Talep > retim Kij = (150 120). xi
Talep retim Kij = 150. yj 120. xi
D1 D2Beklenen
Kr
B[Si]Olaslk 0,4 0,6
St
ra
te
iler S1 3 7 5,4
S2 8 1 3,8
S3 7 5 5,8
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
17/72
7
( )
( )
( )
11
12 13 14 15
21
22 23 24 25
31
32
33 34 35
41
42
150.10 120.10 300
150 120 .10 300
150.10 120.12 60
150 120 .12 360
150.10 120.15 300
150.12 120.15 0
150 120 .15 450
150.10 120.16 420
150.12
K
K K K K
K
K K K K
K
K
K K K
K
K
= =
= = = = =
= =
= = = = =
= =
= =
= = = =
= =
=
( )43
44 45
120.16 120
150.15 120.16 330150 120 .16 480
KK K
=
= =
= = =
Tablo 1.3. Talep Dzeyi ve Olaslk
retim
Dzeyi
0,15
10
0,25
12
0,30
15
0,20
16
0,10
18
Beklenen
Kr
S1
S2
10 300 300 300 300 300 300
12
15
60 360 360 360 360 315
S3 -300 0 450 450 450 225
S4 16 -420 -120 330 480 480 150
S5 18 -660 -360 90 240 540 -60
yleyse, en yksek kra karlk gelen S2 stratejisi benimsenmelidir.
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
18/72
8
1.3.2. En byk olaslk lt
Risk ortamnda hareket eden baz kiiler, stratejilerini ortaya kma olasl enyksek olan doal duruma gre belirlerler. Bylece problem, belirlilik ortamna
indirgenerek en iyi kazanc veren strateji benimsenir.
Doal durumlarn olasl Pj ler iin { }j dj
Max P P= ise seim d-inci doal duruma
gre yaplr.
{ }id rd Eniyi K K = ise benimsenecek strateji Sr dir.
rnek 3: rnek 1de en iyi beklenen deer ltne gre S3 stratejisinerilirken, D2 nin ortaya kma olasl %60 olduundan en byk olaslk
ltne gre D2nin krlarna baklr ve bunlar arasnda en byk olana gre strateji
belirlenir.
{ } { }2 7,1,5 7i Max K Max= = olduundan S1 stratejisi benimsenir.
rnek 4: Devrelik retimin kararlatrld rnek2de en byk olaslk
ltne gre,
{ }0.15,0.25,0.30,0.20,0.10 0.30Max =
olduundan nc doal duruma gre davranlacak ve talebin 15 adet olduu
varsaylarak bu durumdaki en byk kr;
{ }300,360,450,330,90 450Max =
olduundan bu kra karlk gelen nc stratejideki 15 adet retime karar verilmesi
nerilir.
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
19/72
9
1.3.3. Hrs dzeyi lt
lgilenilen olayn sonucunda elde edilebilecek katklarn dzeyine ve snrna gredavran belirlenmesidir. Bir iinin kabul edebilecei en dk cret, iletme btesi
planndaki en dk kr, bir mala denmesi gze alnan en yksek fiyat vb.
durumlarda karar vericinin tutumu, nceden belirledii deerlerle karlatrmal
olarak ekillenir.
Bir problemde strateji belirlenmesine esas olan katknn deerine hrs dzeyi, bu
yndeki lte hrs dzeyi lt denir. Bu ltte kr maksimize etmek yada
maliyeti minimize etmek sz konusu deildir.
Kazan yapl problemde hrs dzeyi, olay sonucunda elde edilmesi beklenen en
dk kazantr. Bu durumda, sadece hrs dzeyini (en dk kazanc) veya daha
fazlasn veren stratejiler benimsenebilir. Eer birden fazla stratejinin hrs dzeyinde
kazan salamas sz konusu ise, bunlardan en byk olasla karlk gelen strateji
benimsenir.
Maliyet yapl problemde hrs dzeyi, denmesi gze alnan en byk masraftr.Buna eit veya daha dk olan stratejiler benimsenebilir. Bu ekilde birden fazla
strateji varsa yine en byk olaslk lt uygulanr.
Kazan yapl bir problemde hrs dzeyi Hd ile gsterilsin. Karar verici her stratejiyi
uygulamas halinde elde edebilecei kazancn hrs dzeyine eit yada fazla kma
olaslklar hesaplanr.
{ }{ }
{ }
1 1
2 2
//
/
d
d
d m m
P Kazan H S hP Kazan H S h
P Kazan H S h
=
=
=
M
ile gsterilir ve { }i wi
max h h= ise Sw stratejisinin benimsenmesi nerilir.
Eer son eitlikte birden fazla strateji ayn deeri veriyorsa karar verici bunlardan
birini uygulayabilir.
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
20/72
10
{ }
{ }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
1
2
3 3 4 5
4 4 5
5 5
400 / 0
400 / 0
400 / 0,60
400 / 0,30
400 / 0,10
P Kr S
P Kr S
P Kr S P D D D
P Kr S P D D
P Kr S P D
=
=
= =
= =
= =
{ }max 0; 0; 0,60; 0,30; 0,10 0,60=
rnek 5: Devrelik retim miktarnn kararlatrlmas istenen rnek-2de devrekrnn en az 400 TL olmasnn istenmesi halinde benimsenecek olan stratejiyi
bulunuz.
zm: Bu rnekte, Hd = 400 olarak verilmitir.
Tablo 1.4. Hrs Dzeyi lt
retim
Dzeyi0,15
10
0,25
12
0,30
15
0,20
16
0,10
18
Beklenen
Kr
S1
S2
10 300 300 300 300 300 300
12
15
60 360 360 360 360 315
S3 -300 0 450 450 450 225
S4 16 -420 -120 330 480 480 150
S5 18 -660 -360 90 240 540 -60
olup,
bulunur ki, en az 400 TL kr elde etmek isteyen karar vericiye nc stratejiyi
benimsemesi yani 15 adet retim yapmas nerilir.
1.4. Belirsizlik Ortamnda Karar ltleri
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
21/72
11
Doal durumlarn ortaya kma olaslklarnn bilinmedii problemlerde, verilecek
karar belirleyecek olan tutum ve davranlar belirsizlik ortamnda karar ltleri
balnda incelenir.
1.4.1. Eit olaslkl durumlar (Laplace) lt
Doal durumlardan birinin ortaya kma olaslnn, dier durumlarn olaslndan
fazla olmas iin bir neden bulunmadnda her doal durumun ortaya kma olasl
eit kabul edilirse bu yaklama eit olasl durumlar denir. Laplace ltnde, mdoal durum varsa, j inci doal durumun ortaya kma olasl;
( )1
, 1,2,3,...,j
P D j mm
= =
olur ve karlalan problem risk ortamna dntrlm olur.
Bundan sonra da bilinen ltlerle strateji seimi yaplr. Ancak olaslklar eit
olduundan, en byk olaslk ltnn kullanlamayaca aktr.
Laplacen kulland lt, en iyi beklenen deer ltdr. Bu takdirde, i-inci
stratejinin beklenen deeri,
[ ] ( )1 1
i j ij ij ij
j j j
B S P D K K K m m
= = =
olup, Bu deer ilgili stratejiye karlk gelen katklarn aritmetik ortalamas olur.
rnek 6: Bir kazan problemine ilikin karar matrisi aada verilmitir. Laplaceltne gre benimsenecek stratejiyi bulunuz.
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
22/72
12
Tablo 1.5. Eit Olaslkl Durumlar lt
Stratejiler
Doal Durumlar
(Kij)/3D1 D2 D3
S1 4 3 2 9/3
S2 2 4 2 8/3
S3 5 3 2 10/3
S4 4 1 3 8/3
Bu rnekte durum sz konusu olduundan her birinin ortaya kma olasl 1/3
olarak kabul edilir. Daha sonra stratejilerin beklenen kazanlar bulunur ve en byk
kazan seilirse nc stratejinin benimsenmesi nerilir.
[ ]10
max
3
ii
B S =
1.4.2. Ktmserlik (Wald) lt
Belirsizlik ortamnda karar vermek durumunda kalan karamsar kiilerin izledikleri,
ktlerin iinden az kt olana gre davranma yaklamdr.
Kazan yapl bir problemde uygulanmak istenirse, her strateji karlnda elde
edilebilecek en kk kazanlar bulunur ve bunlardan en byne karlk gelen
strateji benimsenir. Kazan yapl problemde benimsenecek strateji
( ){ }max min ijji
K
ilemiyle bulunur.
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
23/72
13
Maliyet yapl bir karar matrisinde ktmserlik lt uygulanmak istenirse,
karlalabilir en byk maliyetlerin en kne karlk gelen strateji benimsenir.
( ){min max iji j
K
rnek 7: Bir kazan problemine ilikin karar matrisi aada verilmitir.Ktmserlik ltne gre benimsenecek stratejiyi bulunuz.
Tablo 1.6. Ktmserlik lt
Stratejiler D1 D2 D3 D4 Min(Kij)
S1 -1 3 1 0 -1
S2 2 1 3 1 1 MaxMin
S3 0 -1 2 4 -1
zm: Her bir strateji karl elde edilebilecek en kk kazanlar strateji srasna
gre -1, 1, -1 olup bunlarn en byne karlk gelen strateji S2 dir.
1.4.3. yimserlik (Plunger) lt
Btnyle iyimser karar vericilerin davranlarna ilikin bir genellemedir. Bu lt,
karar vericinin her bir strateji karl elde edebilecei en iyi katklarn en iyisinegre seim yapmasdr.
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
24/72
14
( ){min min iji j
K
Bu lte gre benimsenecek strateji,
kazan yapl problemlerde, ( ){ }max max iji j
K
maliyet yapl problemlerde, ( ){min min iji j
K ilemleri ile bulunur.
rnek 8: Bir maliyet problemine ilikin karar matrisi aadaki gibi verilmitir.yimserlik ltne gre benimsenecek olan stratejiyi bulalm.
Tablo 1.7. yimserlik lt
Stratejiler D1 D2 D3 D4 Min(Kij)
S1 3 2 5 4 2
S2 2 3 1 5 1
S3 7 3 2 4 2
S4 2 1 3 5 1
Her bir stratejide karlalabilecek en kk maliyetler srasyla 2, 1, 2, 1 dir.
Bunlardan en kne karlk gelen iki strateji vardr. yimserlik ltne gre
seim yapmak isteyen karar verici ikinci yada drdnc stratejiyi uygulayabilir. Bu
iki strateji arasnda fark yoktur.
1.4.4. Genelletirilmi iyimserlik (Hurwicz) lt
yimserlik ve ktmserlik ltleri, belirsizlik ortamlarnda iki u davran biimidir.
Gerek hayatta bu ekilde karar veren says az olduundan, Hurwicz, karar vericinin
ve olayn yapsna gre belirlenecek iyimserlik derecesine gre bir forml
gelitirmitir.
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
25/72
15
Hurwicz ltne gre, karar vericinin deneyimine, riske katlanabilmesine ve
olayn yapsna bal bir iyimserlik derecesi vardr. Karar probleminde iyimserlik
derecesi ise ( )0 1 ktmserlik derecesi 1 olur.
Karar verici, her bir strateji karlnda elde edebilecei katklarn en iyisini
iyimserlik derecesi ile, en ktsn de ktmserlik derecesi ile arpar. Elde ettii
deerleri toplar ve bu toplamlar iinden en iyisine karlk gelen stratejiyi benimser.
Hurwicz ltne gre seim yapacak olan karar verici, eer problem;
kazan yapl ise, ( ){ } ( ) ( ){ }{ }max .max 1 .minij ijji j
K K + ,
maliyet yapl ise, ( ){ } ( ) ( ){ }{ }min .min 1 .maxij iji j j
K K +
ilemine karlk gelen stratejiyi benimser.
Grld gibi, = 1 ise, kii tamamen iyimser demektir. Bu durumda, kazan
yapl problemde benimsenecek strateji, katklar arasnda, en byklerin en
byn veren max(max) ilemi ile belirlenir.
rnek 9: Bir kazan yapl probleme ilikin karar matrisi aadaki gibi
verilmitir. = 0,3 ise benimsenecek olan stratejiyi bulalm.
Tablo 1.8. Genelletirilmiyimserlik lt
D1 D2 D3
S1 -1 2 3,5
S2 3 -1,5 4,5
S3 2 2,3 -0,5
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
26/72
16
zm: = 0,3 ise 1 = 0,7 olur. Problem kazan yapl olduundan her strateji
iin,
( ){ } ( ){ }0,3.max 0,7.minij ijjj
K K+
deeri hesaplanr. Bunlar arasndan en byne karlk gelen stratejinin
benimsenmesi nerilir. Bunun iin aadaki ilemler yaplr:
Tablo 1.9. Genelletirilmiyimserlik lt
Strateji max(Kij) min(Kij) 0,3.max(Kij) + 0,7.min(Kij)
S1 3,5 -1 1,05 0,7 = 0,35
S2 4,5 -1,5 1,35 1,05 = 0,30
S3 2,3 -0,5 0,69 0,35 = 0,34
Bu durumda karar vericinin 0,35 iyimserlik derecesine gre birinci stratejiyi
benimsemesi nerilir.
1.4.5. Pimanlk (Savage) lt
Her problemde, benimsenen strateji ile beklenen katklarn yannda, benimsenmemi
olan stratejiler nedeniyle gze alnan kayplar sz konusudur. Sanki karar verilmi
gibi dnlerek, gze alnan kayplar ile maliyet yapl bir karar matrisi oluturulur.
Her doal durum karsnda karar vericinin birinci ncelikle benimseyecei
stratejinin katksna gre dier stratejileri uygulamas halinde gze ald kayplar,
problemin pimanlk matrisini oluturur.
Kazan yapl bir karar matrisi aadaki gibi verilmi olsun:
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
27/72
17
Tablo 1.10. Pimanlk lt
D1 D2 D3
S1 3 1 7
S2 5 3 1
S3 2 4 3
Bu problemde D1 doal durumu ile karlalaca bilinirse karar verici S2 stratejisini
uygular ve 5 birim kazan salar. Eer S1 benimsenir ve D1 ortaya karsa karar
verici 5 3 = 2 birimlik bir kazanc kayp ettiini varsayar. Pimanlk 2 birimdir.
Eer S3 uyguladnda D1 ortaya karsa, 5 2 = 3 birimlik kazan kayp edilmi
olur. Ancak S2 yi uygular ve D1 ortaya karsa pimanlk duymayacaktr. Benzer
dnceyle, dier doal durumlara karlk gelen pimanlklar da hesaplanrsa, bu
olayda pimanlk matrisi Tablo 1.11. deki gibi olur.
Tablo 1.11. Pimanlk lt
D1 D2 D3
S1 2 3 0
S2 0 1 6
S3 3 0 4
Benimsenecek olan stratejiyi belirlemek iin pimanlk matrisinin ele alnmas
halinde balang probleminin yaps nasl olursa olsun, pimanlk matrisinin maliyet
yapl olduuna dikkat edilmelidir.
Savage, pimanlk matrisinde karar vericinin, en byk pimanlklar iinden en
kne karlk gelen stratejinin benimsenmesini nerir. Pimanlk ltnde
nerilen ilem, maliyet yapl bir problemde ktmserlik yaklamdr. Pimanlk
matrisi maliyet yapl bir problem olarak ele alnr ve belirsizlik ortamnda her
ltle benimsenecek olan stratejiyi benimsemek mmkndr.
Her stunda en az bir sfr olacandan iyimserlik lt her zaman duyarl sonu
vermez.
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
28/72
18
rnek 10: Bir maliyet problemine ilikin karar matrisi aadaki gibi verilmitir.Pimanlk matrisinden yararlanarak eit olaslkl durumlar ve ktmserlik ltne
gre benimsenecek olan stratejileri bulalm.
Tablo 1.12. Pimanlk lt
D1 D2 D3 D4
S1 5 6 7 6
S2 7 8 4 6
S3 10 10 5 8
zm: Problemin pimanlk matrisi aadaki gibidir.
Tablo 1.13. Pimanlk lt
D1 D2 D3 D4
S1 0 0 3 0
S2 2 2 0 0
S3 5 4 1 2
Eit olaslkl durumlar ltne gre,
3 2 2 5 4 1 2 3min , ,
4 4 4 4
+ + + + =
olduundan, S1 benimsenir. Eer ktmserlik ltne gre seim yaplmak
istenirse,
( ){ } { }min max min 3,2,5 2ijK = =
olduundan, buna karlk gelen S2 nin benimsenmesi nerilir.
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
29/72
19
BLM 2. OYUNLAR: ATIMA ORTAMINDA KARARVERME
2.1. Genel Aklamalar
atma ortamnda karar verme , rekabet sz konusu olduunda, taraflarn stratejibelirleme kriterleri ve bunlar belirleme olaslklar bilinmediinde ortaya kan bir
durumdur. Bu durumda en iyi stratejiyi seme ii, karlalan doal durumlara gre
deil, baka karar vericinin uygulayabilecei stratejilere baldr. Her karar vericinin,
kendisi iin iyi, kardaki iin tersi durumu salayan stratejiyi belirlerken sergiledii
davranlar bir oyun oluturur. Karlkl atma veya rekabet iindeki karar
vericilerin en iyi stratejiyi bulmalar ile ilgili kavram, teknik, model ve genellemeler
Oyun Kuram balnda toplanr.
Oyun kuramnda esas olan, zel durumlarla kar karya gelen karar vericilerin
dizisel karar verme olanana sahip olmalardr. Karar vericilerin davranlarnda
oyunun belirli evrelerinde duraanlama olur. Bu esnada, karar vericilerin
rakiplerine kar uygulayacaklar stratejiler konusunda belirsizlik yada risk ortamna
gemi olurlar.
Oyun kuramnda kavram, teknik ve stratejilerde aadaki durumlarn gerekletii
durumlar da uygulanr:
1. Oyuna taraf olan kii yada gruplarn uygulayabilecekleri farkl stratejilervardr ve bunlar bilinmektedir.
2. Taraflar, her evrede bir strateji semek zorundadr.3. Taraflar, kendi stratejileri ve kar tarafn stratejileri hakknda tm
ayrntlar bilmektedir.
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
30/72
20
4. Oyunun herhangi bir evresinde taraflar, kar tarafn hangi stratejiyiuygulayacan kesin olarak bilmemekte ancak bu strateji hakknda sezgi,
ngr gibi deerlendirmelerde bulunabilmektedir.
5. Taraflarn kazan yada kayplar sadece kendi davranlarn deil aynzamanda dier taraflarn uygulayaca stratejilere de baldr.
6. Taraflarn stratejilerine bal olarak dier taraflarn uygulayabilecekleristratejilere gre elde edecekleri kazan ve kayplar olup bunlar taraflarca
bilinmektedir.
Oyunlar, taraflarn saysna ve kazan-kayp durumuna gre u ekilde
snflandrlabilir:
ekil 2.1. Oyunlarn Snflandrlmas
Buna gre oyun trleri kazan-kayp durumlarna gre u balklarda toplanabilir:
- ki kiili sfr toplaml- ki kiili sfr toplaml deil- n-kiili sfr toplaml- n-kiili sfr toplaml deil
Oyuncu says ikiden fazla ve oyun sonunda kazan kayp toplamnn sfrdan farkl
olduu oyunlar iin matematik modelleme ve zm teknikleri yeterince
OYUNLAR
OYUNCU
SAYISI
KAZAN-
KAYIP
STRATEJ
SAYISI
K KLK OK KL SIFIR
TOPLAMLI
SIFIR
TOPLAMLI
DEL
SONLU SONSUZ
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
31/72
21
gelitirilmemitir. Burada, oyun kuram konusunda, sonlu stratejili, sfr toplaml iki
kiilik oyunlar zerinde durulacaktr.
2.2. Sfr Toplaml ki Kiilik Oyunlar
2.2.1. Genel gsterim ve temel kavramlar
Bu tr oyunlarda iki taraf vardr. Birinin benimsedii stratejiye bal olarak elde
edecei kazan, dierinin kaybna eittir.
ki kiilik bir oyunda taraflar A ve B, bunlarn uygulayabilecekleri stratejiler;
ai: Ann stratejileri , i = 1, 2, 3, . . . , m
bj: Bnin stratejileri , j = 1, 2, 3, . . . , n
iken, A i-inci stratejiyi uyguladnda B j-inci stratejiyi uygulad durumda
Kij: Ann kazanc
- Kij: Bnin kazanc olsun.
Bu durumda, oyunun kazan matrisi u ekilde olur:
Tablo 2.1. Kazan Matrisi
B
Stratejiler b1 b2 b3 . . . bn
a1 K11 K12 K13 K1ma2 K21 . . .
A
a3 K31 . . .
. . . . .
. . . . .
am Km1 . . Kmn
Oyun sfr toplaml deilse, karar matrisinde oyuncularn ayr ayr katk
(kazan/kayp) gstergeleri belirtilmelidir. Sfr toplaml oyunun karar matrisinde
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
32/72
22
gstergeler, bunlara karlk gelen stratejilere bal olarak taraflarn katklarn
(kazancn yada kaybn) gstermektedir. Kij >0 ise Ann kazanc Bnin kayb,
Kij
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
33/72
23
uygulanan zel abalara bal olarak karlkl mteri kazan ve kayplar aadaki
gibi bulunmutur:
Tablo 2.2. Kazan Matrisi
B Firmas
Stratejiler TV Reklam Radyo Reklam zel Prim
AFirmas
TV Reklam 16 12 -5
Radyo Reklam 8 -2 -4
zel Prim 4 -2 6
A ve B firmalar arasndaki bu oyunda, reklam zellikleri ve ortamlaryla prim
sistemleri, bunlarn uygulayabilecekleri stratejilerdir. Birinin kazanaca mteriyi
dieri kaybedeceinden, sfr toplaml bir oyun sz konusudur. Matristeki deerler,
Ann kazand, ayn zamanda Bnin kaybettii mteriyi gstermektedir.
A firmas TV reklam uyguladnda B firmas da TV reklam uygularsa A 16
mteri kazanacak, B 16 mteri kaybedecektir (-16 kazan). Eer A birincistratejiyi (TV reklam) uyguladnda, B zel prim sistemine giderse, A 5 mteri
kaybetmekte ve B, -5 kayp gstergesi ile 5 mteri kazanmaktadr.
A firmasnn uygulanabilir stratejilerinden hibiri dierine baskn deildir. B firmas
iin kazanlar oyun matrisindeki gstergelerin ters iaretlileridir. Bundan dolay
Bnin birinci stratejisi iin;
Tablo 2.3. Kazan Kayp likisi
Kazan Kayp
- 16 < - 12 12 < 16
- 8 < 2 veya - 2 < 8
- 4 < 2 - 2 < 4
ilikilerinin sonucu olarak, Ann uygulayabilecei stratejilere gre, Bnin radyo ile
reklam stratejisi televizyonla reklam stratejisine baskndr. Yani B firmas TV
reklam stratejisini uyguladnda A firmasna mteri kaptracan bildiinden bunu
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
34/72
24
yapmak istemeyecektir. Bu durumda oyun aadaki indirgenmi matristen
srdrlecektir.
Tablo 2.4. Kazan Matrisi
B
b1 b2
a1 12 -5
A a2 -2 -4
a3 -2 6
2.2.3. Kesinlikle saptanm oyunlarn zm
ki kiilik sfr toplaml bir oyunun kazan matrisi aadaki gibi olsun.
Tablo 2.5. Kazan Matrisi
B
A
b1 b2 b3 ............... bn
a1 K11 K12 K13 .......... .......... K1n
a2 K21 .
a3 K31 .
.
.
.
.
. .
. .
. .
am Km1 ........... ........... ........... ........... Kmn
B oyuncusu, Ann uygulayabilecei her stratejiyi bildiinden, Ann davranna
bal olarak en az kayp verecei stratejiyi seecektir. Bu nedenle, A oyuncusu
uygulayaca stratejiyi aratrrken Bnin kar stratejilerini de gz nne alarak, her
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
35/72
25
strateji karl elde edebilecei en kk kazanlardan hareketle bunlarn iinden
en byk kazanca kar gelen stratejiyi benimser. Bylece Ann strateji seimindeki
davran ktmserlik ltne gre olup, benimsenecek strateji A oyuncusu iin
Kijler kazan gstergesi olduundan,
( ){ }iji j
Max Min K
eklinde belirlenir. Ayn mantkla, B oyuncusu da Ann stratejilerine gre en byk
kayplarn gz nne alarak, bunlarn iinden en kk kayb verecei stratejiyi
benimser. Yani B oyuncusu da genel karar kuramndaki ktmser yaklamla hareket
ederek, Kij ler B oyuncusu iin kayp gstergesi olduundan, benimseyecei strateji;
( ){ }ij
i j Min Max K
eklinde belirlenir.
Buna gre, Ann her strateji karl salayabilecei en kk kazan ve Bnin her
strateji karl urayabilecei en byk kayp, katk matrisine son stun ve son satr
olarak eklenir. A oyuncusu bu en kk kazanlar arasndan en byn (kazan
durumunda ktmserlik lt), B oyuncusu ise en byk kayplar iinden en
kn (kayp durumunda ktmserlik lt) veren stratejiyi
benimseyeceklerdir.
rnek 2:ki kiilik bir oyuna ait katk matrisi aadaki gibi verilsin:
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
36/72
26
Tablo 2.6. Kazan Matrisi
B
b1 b2
a1 - 1 3
A a2 1 2
a3 - 3 - 5
Oyuna A oyuncusu asndan bakldnda, eer A, a1 stratejisini seerse en kk
kazanc -1, a2yi seerse 1 ve a3 seerse -5 birim olmaktadr. Bylece A oyuncusu
iin,
{ }
{ }
{ }
1
2
3
1
1
5
j
j
j
Min K
Min K
Min K
=
=
=
olup, bunlardan A iin en fazla katk salayan a2 olup elde edilecek kazan 1
birimdir.
Buradan grlecei gibi Ann benimseyecei strateji,
( ){ } 1iji j
Max Min K =
eklindeki 2. stratejidir. B oyuncusunun benimseyecei strateji ise;
( ){ }iji j
Min Max K
ltne gre
{ }
{ }
1
2
1
2
i
i
Max K
Max K
=
=
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
37/72
27
deerlerinin en k olan
{ }1, 2 1Min =
eklindeki 1. stratejidir.
Bu rnekte grld gibi, Ann en iyi stratejisi olarak benimseyecei a2 ile elde
edecei kazan 1 birim olup, bu deer Bnin en iyi strateji olarak benimseyecei b1
ile urayaca kayba eittir. Bu oyunda A ve Bnin nasl davranacaklar aratrlarak
nasl davranmalar gerektii bulunmu yani oyun zlmtr. zmde oyunun
deeri 1 olarak bulunmutur.
ki kiilik sfr toplaml oyunlarda, yukarda karlalan durum genelletirilemez.
Baka bir deyile, oyuncularn uygulayaca en iyi stratejiler her zaman kesinlikle
bulunamaz. Oyunun zlebilirlii konusunu genel olarak incelemek amacyla
aadaki kavrama ihtiya vardr:
Tanm: ki kiilik sfr toplaml bir oyunda;
( ){ } ( ){ }ij iji j j i
Max Min K Min Max K =
ise, oyuna Kesinlikle Belirlenmi Oyun ve bu deere de Tatmin Noktas yada Eyer
(Saddle) Noktas denir.
Oyunda eyer noktas varsa, her iki oyuncunun en iyi stratejileri akr. Bylecetaraflarn uygulayacaklar stratejiler kesinlikle belirlenebilmektedir.
2.3. Karma Strateji Vektrnn Bulunmas
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
38/72
28
Baz oyunlarda eyer noktas yoktur. Dier bir deyile, taraflarn uygulayabilecekleri
en iyi stratejilere kar katk gstergeleri farkl olabilir. Yani;
( ){ } ( ){ij iji j j i Max Min K Min Max K
durumu sz konusudur. Kesinlikle belirlenmemi bu tr oyunlarda taraflarn nasl
davranacaklar ve nasl davranmalar gerektii sorularna dorudan cevap bulunmaz.
Belirsizlik altnda zel bir karar verme ilemi olan bu tr oyunlarn kesin zm
yoktur.
Taraflar, hangi stratejiyi uygulamalar gerektiini kesinlikle bilmediklerinden, oyuna
bir strateji ile balayacak, kar tarafn uygulad stratejiye bal olarak izleyenaamalarda amacna en uygun gelen stratejilere geecektir. Yani oyun boyunca
taraflar karma strateji uygulayacaklardr.
Kesinlikle belirlenmemi oyunlarn zmyle, oyuncularn kar karya kaldklar
belirsizlik ortamnn risk ortamna dnm yaplr. Bu amala, oyunun en iyi
srdrlebilmesi iin, uygulanacak stratejilerin greli sklklar aratrlr.
Eyer noktas olmayan oyunlarn genel zmn vermeden nce, aadaki rnei
incelemekte yarar vardr.
rnek 3:
Tablo 2.7. Kazan Matrisi
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
39/72
29
B Oyuncusu
b1 b2A'nn En
Kk KazanlarMin(Kij)
AOyuncusu
a1 7 2 2
a2 -3 6 -3
B'nin EnByk Kayplar
Max(Kij)
7 6
Bu rnekte,
( ){ } 2ij Max Min K = , a1 iin
olup, oyunun eyer noktas yoktur.
( ){ } 6ij Min Max K = , b2 iin
A oyuncusu en kk kazanlarn en by olarak a1 stratejisini uyguladnda, B
oyuncusu b2yi uygulayarak 2 birimlik kayba urayacaktr. Ancak Bnin ikinci
stratejiyi uygulayacan bilen A oyuncusu, a2 stratejisini uygulayarak kazancn 6
birim yapabilecektir. Byle bir durumda B oyuncusu b1i uygulayarak Aya 3 birim
kayp verdirebilecektir. Grld gibi, taraflarn hangi stratejiyi niin
benimsemeleri gerektii belirsizdir. Bu oyunun zmyle taraflara uygulanabilir
stratejilerin greli sklklar yani stratejilerin olaslk vektrleri verilerek,
belirsizlikten risk ortamna dn salanr.
ki kiilik sfr toplaml bir oyunda; birinci oyuncunun uygulanabilir stratejilerine
karlk gelen dizin kmesi
{ }1,2,..., I i i m= =
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
40/72
30
ve ikinci oyuncunun uygulanabilir stratejilerine karlk gelen dizin kmesi
{ }1,2,..., J j j n= =
olsun. Birinci oyuncunun oyun boyunca iinci stratejiyi uygulama saysnn toplamuygulanan strateji saysna oran xi ise, A oyuncusunun karma strateji vektr
[ ]1 2, , ..., , 0 , 1n i i X x x x x x= =
eklinde yazlr.
Ayn ekilde Bnin karma strateji vektr de
[ ]1 2, , ..., , 0 , 1n j jY y y y y y= =
olur. Bu gsterimlerde oyun kesinlikle saptanmamsa oyunun zmyle X ve
Ynin bulunmas amalanr.
Oyuncularn karma strateji vektrlerinin bulunmasyla, her bir oyuncu kar tarafn
hangi stratejiyi hangi sklkla uygulayacan yani hangi stratejiyi hangi olaslkla
benimseyeceini bilir duruma gelmektedir.
2.3.1. kier stratejili iki kiilik oyunlarda karma strateji vektrnn bulunmas
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
41/72
31
nceki rnekte B oyuncusunun b1 stratejisini greli uygulama skl y1, b2yi greli
uygulama skl y2 olsun.
1 2 1 2, 0 1 y y ve y y + =
olmas gerektiinden, y1 = y alnrsa y2 = 1 y1 yazlr.
Benzer ekilde A oyuncusunun a1 stratejisini benimsemesinin greli skl x iken, bu
oyuncunun a2yi benimsemesinin greli skl 1 x olur. Bylece oyunun demeler
matrisi her stratejinin greli uygulama sklklar ile birlikte,
Tablo 2.8. demeler Matrisi
y 1 y
b1 b2
x a1 7 2
1 x a2 -3 6
eklinde ele alnr.
B oyuncusu b1 stratejisini uygularsa bu stratejinin Aya getirecei beklenen kazan
B[b1], A nn stratejilerini benimseme olaslklar ve her bir strateji karl elde
edecei kazanlara gre;
[ ] ( )1 7 3 1 B b x x=
yazlr.
Benzer ekilde, B oyuncusunun b2 stratejisini benimsemesi halinde Ann beklenen
kazanc,
[ ] ( )2 2 6 1 B b x x= +
eklinde bulunur. B oyuncusunun uygulayabilecei stratejilere gre, Ann beklenen
kazanlar yazlabildiinden A, stratejilerinin skln (genelde karma strateji
vektrn) yukardaki ifadeleri olabildiince bytecek ekilde belirleyecektir.
Dier bir deyile, A, xe deer atarken,
-
8/2/2019 Borsa Islemlerinde Oyun Teorisi
42/72
32
1
1
90
14, ' .
x iin
B b i uygular