CHAPITRE

3Programmation linéaire

Tout gérant d’un système de livraisons souhaite minimiser les

coûts et les délais entre les points de départ et de destina-

tion.

Aux États-Unis d’Amérique, la compagnie UPS (United Parcel

Service) est spécialisée dans la collecte et l’acheminement des

colis. Elle assure une liaison efficace en seulement 24 heures à

travers le monde. Son aire de desserte s’étend sur 200 pays sur

lesquels circulent 3,1 milliards de colis par an.

Un graphique, tel que celui qui figure ci-contre, permet de

déterminer l’affectation du trafic à moindre coût de

transport.

Les notions abordées dans ce chapitre

1. Équations de droites : page 60

2. Systèmes linéaires d’inéquations à deux inconnues : page 64

3. Programmation linéaire : page 6858

Ox

d

d1

d2

y

d3

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A. Savez-vous… tracer une droite ?

A B C D

1. La droite d’équation y = 3x passe parle pointA(1 ; 3)

l’originedu repère

l’origine durepère et le

point B(3 ; 1)

le point C(– 1 ; – 3)

2. La droite d’équation x = 2est parallèle

à l’axedes abscisses

est parallèleà l’axe

des ordonnées

passe par les pointsA(2 ; 3)

et B(2 ; –3)

passe par le pointC(3 ; 2)

3. La droite d’équation y = 3est parallèle

à l’axedes abscisses

est parallèleà l’axe

des ordonnées

passe par les pointsA(1 ; 3)

et B(– 1 ; 3)

passe parl’origine du repère et le

point C(2 ; 3)

B. Savez-vous… reconnaître une équation de droiteet ses propriétés ?

A B C D

4. La droite d’équation y = 2x + 3

coupe l’axedes ordonnées

au pointA(0 ; 3)

a pour coefficientdirecteur 2

est parallèleà la droited’équation

y = 2x

est parallèleà la droited’équationy = x + 2

5. Soit les points A(2 ; 1) et B( 0 ; – 3).La droite (AB)

a pourcoefficient

directeur 0,5

a pourcoefficient directeur 2

a pouréquation

y = 2x – 3

a pouréquation

y = 2x + 1

6. La droite d’équation y = 2x – 3est parallèle à la droite d’équation

y = x – 3 y = 2x y = – 3 y =

C. Savez-vous… traduire « au plus », « au moins » ?

A B C D

7. On achète au moins x objets à 10 €et y objets à 8 €. La dépensecorrespondante D vérifie

D � 10x + 8y D � 10x + 8yD � (10 + 8)

× (x + y)D � (10 + 8)

× (x + y)

8. Une salle de spectacle contient au plus 120 places. Il y a x invitées et y personnesqui ont pris un billet. Donc

x + y � 120 x × y � 120 x + y � 120il y a moins de 120 billets

vendus

2x – 37

Testez-vous avant de commencer !Pour chacune des questions suivantes, choisir la (ou les) bonne(s) réponse(s).

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Réponses page 211

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60

1. Équations de droitesACTIVITÉS

Équation et représentation graphiqueOn considère la droite d d’équation 2x + y = 3.

1. Écrire y en fonction de x. On obtient ainsi l’équation réduite de d, qui est de la forme y = mx + p.Remplir le tableau ci-contre : choisir x arbitrairement et calculer la valeur correspondante de y.

2. Déduire du tableau précédent deux points de d que l’on tracera dans un repère orthonormal (O ; i, j ). Comment faire apparaître sur le graphique le coefficient directeur de d ?

3. Donner une équation de la droite d1 parallèle à l’axe des abscisses, passant par A(2 ; 3), puis une équation de la droite d2 parallèle à l’axe des ordonnées et pas-sant par A(2 ; 3).

4. Soit d’ la parallèle à d passant par l’origine du repère.Donner une équation de d’.

Activité 1

Dans un club de natation1. L’adhésion à un club de natation A est de 30 € par an. De plus, pour chaque séance, l’adhérent doit acheter un ticket à 2 €.Soit y la somme totale, en euros, payée pour se rendre à un nombre x de séances. a) Déterminer y en fonction de x.b) Montrer que les points de coordonnées (x ; y) appartiennent à une droite que l’on notera d.Compléter le tableau ci-contre. En déduire deux points de d, puis tracer d.c) Déterminer sur le graphique la somme totale payée par l’adhérent s’il se rend à 10 séances, puis s’il se rend à 20 séances. Vérifier le résulat par le calcul. Compte tenu du montant de l’adhésion, à combien lui revient chaque séance dans les deux cas ? d) Au bout de combien de séances, celles-ci lui reviennent en fait à 3 € ?

2. Un club de natation B ne demande pas de cotisation d’adhésion, mais pour chaque séance, il faut acheter un ticket à 4 €.Soit y la somme, en euros, payée pour se rendre à un nombre x de séances. a) Déterminer y en fonction de x.b) Justifier que les points de coordonnées (x ; y) appartiennent à une droite que l’on notera d’, passant par l’origine O du repère. Déterminer un deuxième point de d’. Tracer d’ sur le même graphique que d.c) À partir de combien de séances l’adhésion au club A est-elle financièrement plus avantageuse que l’adhésion au club B ?

Activité 2

Fabrication artisanale de commodesUn menuisier fabrique des commodes. Toute commode fabriquée est vendue. Le segment C ci-après représente la fonction c qui, à chaque nombre x de commodes fabriquées associe le coût de fabrication de ces x commodes (x � [0 ; 30]).En abscisses, le nombre d’objets fabriqués (une unité représente 5 objets).En ordonnées, le coût de fabrication en euros (une unité représente 1 000 €).

Activité 3

yx

yx

0

10

VocabulaireUne équation de la forme ax + by = c, avec a et bnon nuls tous les deux, est une équation cartésienne de droite.

TechniqueLe somme, qui dépend du nombre de séances, est repé-rée sur l’axe des odonnées et le nombre de séances sur l’axe des abscisses.

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ACTIVITÉS1. a) Quel est le coût de fabrication de 10 commodes ? de 20 commodes ?b) Combien d’objets sont fabriqués pour un coût de 3 500 € ?c) Montrer que c (x) = 150x + 500.La somme de 500 € représente les frais fixes engagés indépendamment du nombre de commodes vendues. Que représente le nombre 150 ? On en déduit que le coût de fabrication est constant.

2. Chaque commode est vendue 350 €.a) Soit R la fonction telle que R (x) = 350x.Que représente R (x) ?Tracer la représentation graphique de R sur le graphique précédent.b) Déterminer graphiquement le nombre de commodes que le menuisier doit fabriquer pour être bénéficiaire.

3. a) Quel est le bénéfice b (x) obtenu pour la fabrication de x objets ?b) Retrouver par le calcul le nombre de commodes que l’artisan doit fabriquer pour en retirer un bénéfice.

Ce qu’il faut savoir� Équation réduite

• Une droite d non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = mx + p, appelée équa-tion réduite.Elle coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée p (p est l’ordonnée à l’origine de d).m � 0 m � 0 m = 0

• Une droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme :

x = k,où k est une constante.

� Équation générale

Toute équation du type ax + by = c, avec a et b nonnuls en même temps, est une équation de droite d.

• Si b ≠ 0, l’équation s’écrit y = mx + p, et si de plus a = 0, alors l’équation s’écrit y = p.d est une parallèle à (x’x).

• Si b = 0 et a ≠ 0, l’équation s’écrit x = p.d est une parallèle à (y’y).

� Coefficient directeur

• Pour la droite d’équation :y = mx + p,

le réel m est appelé coeffi-cient directeur et un vec-teur directeur est u (1 ; m).

• Pour la droite (AB) non parallèle à l’axe des ordon-nées, le coefficient directeur

est avec A (xA ; yA) et B (xB ; yB).

� Droites parallèles

Deux droites d’équations respectives :y = mx + p et y = m’x + p’

sont parallèles si, et seulement si, m = m’.

yB – yA

xB – xA

VocabulaireLe bénéfice est la différence entre la somme d’argent ré-sultant de la vente des ob-jets et celle correspondant aux frais de fabrication.

O

C

x

y

1 000

5

O

y

x

p

O

y

x

p

O

y

x

p

O

y

x

k

O

y

x

p

u m

1M N

R

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1. Équations de droitesMÉTHODES

Soit la droite d d’équation 4x – 2y = 5.

1. Donner l’équation réduite de d. Tracer sa représentation graphique.

2. Tracer en utilisant le coefficient directeur, la droite d’ parallèle à d et passant par l’origine du repère.

Énoncé 1OBJECTIF :Déterminer et utiliser une équation réduite

Un marchand de marrons a remarqué que lorsque la température est inférieure à 0° lenombre de cornets de marrons vendus en une journée est fonction de la températureextérieure. Il a relevé les résultats dans le tableau. Soit x la température exprimée en degrés Celsius et y le nombre de cornets de marrons vendus. On suppose que y = mx + p lorsque la température varie de – 20° à 0°.1. Placer dans un repère les points correspondant aux données du tableau, puis tracer le segment correspondant à x variant de – 20 à 0.

2. Lire sur le graphique quel a été le nombre de cornets vendus un jour où la température a été de – 12°.3. Déterminer les nombre m et p. Vérifier par le calcul le résultat de la question 2.

Énoncé 2OBJECTIF :Utiliser des données sur un graphique et se servir de celui-ci pour résoudre un problème concret

SOLUTION

1. 4x – 2y = 5 équivaut à 2y = 4x – 5, c’est-à-dire y = 2x – 2,5 qui représente l’équation rédui-te de d.

2. d’ est parallèle à d, donc d’ a pour coefficient directeur 2. On part de l’origine O, puis on se déplace d’une unité horizontalement vers la droite, on obtient le point H. À partir de H, on se déplace de 2 unités verticalement vers le haut car 2 est positif (sinon ce serait vers le bas), on obtient le point M. La droite d’ est la droite (OM).

MéthodeOn aurait pu se déplacer dans le même sens, horizon-talement de 0,5 unité et ver-ticalement de 1 unité.

Et maintenant, exercez-vous !Soit la droite d d’équation 6x + 3y = 9.1. Déterminer l’équation réduite de d, puis son coefficient directeur m.2. Déterminer le point A de d d’abscisse 0. Tracer d en utilisant A et le coefficient directeur m de d.

SOLUTION

1. La température correspond à l’abscisse et le nombre de cornets à l’ordonnée. On prend comme unité 5 en abscisses et 20 en ordonnées.Les points sont A (– 15 ; 80) et B (– 5 ; 0).y = mx + p et – 20 � x � 0, donc la représentation graphique est le segment [FE].

2. Le point d’abscisse – 12 a une ordonnée de 55 environ. Il y aura environ 55 cornets vendus.

3. m = , donc m = , soit

m = – 8, d’où y = – 8x + p.

O

y

x

M

dd’

H

1

– 5 °C– 15 °C

80

Températures (x)

Nombre de cornetsvendus (y) 0

yB – yA

xB – xA

0 – 80– 5 – (– 15)

O

y

x

M K

E

BH

A

F

5

20

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MÉTHODES

Une étudiante fabrique chaque semaine un petit stock de bijoux fantaisie qu’elle vend en fin de semaine afin de s’assurer quelques revenus.Pour chaque semaine, le coût de fabrication en euros de x objets est donné par c (x) = 2x + 27,5 pour x variant de 0 à 40. Chaque bijou est vendu 8 €.

1. On note r (x) la recette, en euros, réalisée pour la vente de x objets. Exprimer r (x) en fonction de x.

2. Construire la représentation graphique C de la fonction c, puis celle de la fonc-tion r notée R (en abscisses, une unité représente 5 objets et en ordonnées, une unité représente 10 €). Déterminer graphiquement à partir de combien d’objets vendus, elle réalise un bénéfice.

3. Vérifier ce résultat par le calcul.

Énoncé 3OBJECTIF :Utiliser la position de deux droites représentant deux quantités pour les comparer

A (– 15 ; 80) est un point de (AB), donc 80 = – 8 × (– 15) + p.D’où 80 = 120 + p et p = – 40, donc une équation de (AB) est y = – 8x – 40.Pour x = – 12, on a y = ( – 8) × (– 12) – 40, soit y = 56.Le résultat trouvé dans la question 2 est voisin de 56.

Et maintenant, exercez-vous !Reprendre l’exercice précédent avec les données indiquées dans le tableau ci-contre.

SOLUTION

1. r (x) = 8x, car il y a x objets à 8 €

chacun.

2. • c (x) est de la forme ax + b, donc Cest une droite passant par les points :

A (0 ; 27,5) et B (40 ; 107,5).• r (x) est de la forme ax, donc R est un segment de droite passant par l’origine du repère. Elle passe par le point E (10 ; 80).• Elle réalise un bénéfice pour r (x) � c (x), c’est-à-dire lorsque R est au-dessus de C. D’après le graphique, c’est donc à partir de 5 objets vendus.

3. b (x) = r (x) – c (x), donc b (x) = 6x – 27,5. On a b (x) � 0 pour x � 4,6,soit x � 5.

Et maintenant, exercez-vous !Reprendre l’exercice précédent avec c (x) = 3x + 12 et r (x) = 9x.

Vrai – FauxA. Le point d’intersection de la droite d’équation– 3x + y = 6 avec l’axe (x’x) est le point (2 ; 0).

B. La droite d’équation y – 4x = – 3 a pour coeffi-cient directeur 4.

C. Les droites d’équations 2x + y = 1 et 2x – y = 1 sont parallèles.

D. La droite d’équation y = 1 a pour coefficient directeur 0.

MéthodeDans y = mx + p après avoir trouvé m, on détermine p enécrivant que l’équation est vérifiée pour les coordon-nées d’un point connu de la droite.

Méthodef (x) � g (x) lorsque dans un même repère la représenta-tion graphique de f est au-dessus de celle de g.

– 2 °C– 10 °C

50

Températures (x)

Nombre de cornets vendus (y) 5

O

y

x

B

K

RC

E

A

5 40

10

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2. Systèmes linéaires d’inéquations à deux inconnuesACTIVITÉS

Régionnement du plan1. Déterminer deux points de la droite d, dont une équation dans un repère (O ; i, j ) est :

2x – 3y – 2 = 0.Pour cela, donner deux valeurs arbitraires à x etdéterminer les valeurs correspondantes de y.Puis tracer la droite d.

2. On s’intéresse au signe de l’expression numérique 2x – 3y – 2.Recopier et compléter le tableau ci-contre.

3. Placer sur le graphique de la question 1, le pointA de coordonnées (0 ; 1), puis tous les points dont les coordonnées figurent dans ce tableau.

4. La droite d définit deux demi-plans : P1 qui contient le point A et P2 qui ne contient pas A.Quel est le signe de 2x – 3y – 2, selon que le point de coordonnées (x ; y) appar-tient à P1 ou à P2 ?On admet que ce résultat est vrai pour tous les points de chacun des demi-plans P1

et P2.

Activité 1

Résolution graphique d’un systèmeOn veut déterminer l’ensemble des points M (x ; y) du plan dont les coordonnées vérifient le système d’inéquations :

1. On considère les droites d1 et d2 d’équations respectives :d1 : y = – xd2 : 2x – y + 3 = 0

Tracer ces droites dans un repère orthonormal (unité 1 cm), en justifiant ce tracé. À l’aide du graphique, donner leur point d’intersection.Retrouver les coordonnées de ce point par le calcul.

2. Déterminer l’ensemble P1 des points du plan de coordonnées (x ; y) pour les-quels y � – x.On rayera la partie du plan qui ne satisfait pas à cette condition.

3. Prendre un point particulier de coordonnées (x ; y) n’appartenant pas à la droite d2 et déterminer pour ce point, le signe de 2x – y + 3.En déduire l’ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient l’inéqua-tion 2x – y + 3 � 0.Rayer sur la figure la partie du plan qui ne convient pas.

4. Quel est l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient le système (1) ?

5. À l’aide du graphique, déterminer les points de l’ensemble trouvé dans la ques-tion 4, dont les coordonnées vérifient les conditions :

Activité 2

ySigne de2x – 3y – 2x

0 1 –

1,5 0

0 – 1

0 0

1 2

2 – 1

2 3

VocabulaireLa droite d est appelée la frontière des demi-plans P1et P2.

VocabulaireLa droite d1 ne fait pas par-tie du demi-plan P1, on dit que P1 est un demi-plan ou-vert.

y � – x2x – y + 3 � 0{ (1)

– 1 � x � 1y � 0{

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ACTIVITÉS

Soit x le nombre de CD de Max et y celui de Léo, x et y sont des entiers naturels.

1. Montrer que les données de l’énoncé peuvent se traduire par le système :

2. Dans un repère orthonormal, 1 cm représente 5 unités. Représenter sur un gra-phique l’ensemble des points de coordonnées (x ; y) représentant le nombre de CD que peuvent posséder respectivement Max et Léo.

3. Montrer qu’il est possible que Léo ait 15 CD. Si tel est le cas, quel est le nom-bre de CD que peut posséder Max ?

4. Exprimer en fonction de x et de y le nombre total de CD possédés par Max et Léo.Tracer les droites d’équations respectives x + y = 20 et x + y = 40.Est-il possible que Max et Léo aient à eux deux 20 CD ? aient à eux deux 40 CD ?

Ce qu’il faut savoir� Régionnement du plan

• La droite d d’équation ax + by + c = 0 partage le plan en deux demi-plans :- un demi-plan fermé P1 contenant d, ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que :

ax + by + c � 0 ;- un demi-plan P2 fermé contenant d, ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que :

ax + by + c � 0.La droite d est appelée droite frontière des demi-plans P1 et P2.

Si les inégalités sont strictes, les demi-plans ne con-tiennent pas les points de la droite d et sont des demi-plans ouverts.

Pour différencier ces demi-plans, on calcule la valeur de ax + by + c pour les coordonnées d’un point particulier non situé sur d et on s’intéresse à son signe.

• Lorsque l’équation de la droite d s’écrit y = mx + p :- le demi-plan fermé (1) contenant d, situé au-dessus de d est l’ensemble des points M de coor-données (x ; y) tels que y � mx + p ;

- le demi-plan fermé (2) contenant d situé au-des-sous de d est l’ensemble des points M de coordon-nées (x ; y) tels que y � mx + p.

� Systèmes d’inéquations

Résoudre graphiquement le système de deux iné-quations linéaires à deux inconnues x et y suivant :

signifie déterminer l’ensemble des points M dontles coordonnées (x ; y) vérifient simultanément les deux inéquations du système.

Le principe de résolution est semblable quel que soit le sens des inégalités.

ax + by + c � 0a’x + b’y + c’ � 0{

O

(2)

y

x

d

O

(1)

y

x

d

x � 00 � y � 50x – y + 10 � 0y � 2x

Les CD de Max et LéoMax et Léo ont de nombreux CD mais ils ne les ont pas comptés. Ils pensent que :• le nombre de CD de Max est au plus égal à la moitié du nombre de CD de Léo ;• la différence entre le nombre de CD de Léo et le nombre de CD de Max est infé-rieure ou éventuellement égale à 10 ;• Léo a moins de 50 CD.

Activité 3

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2. Systèmes linéaires d’inéquations à deux inconnuesMÉTHODES

Représenter graphiquement les solutions du système :

(on hachurera ce qui ne convient pas).

Énoncé 1OBJECTIF :Résoudre graphiquement un système d’inéquations

Après une première sélection, une section sport étude section ski fait subir aux candidats des épreuves physiques et techniques notées sur 20.L’admission se fait alors aux conditions suivantes :- toute note strictement inférieure à 8 à l’épreuve physique est éliminatoire ; - toute note strictement inférieure à 10 à l’épreuve technique est éliminatoire ;- la somme de la note technique et du double de la note physique doit être supé-rieure à 32.

1. On note respectivement x et y les notes obtenues aux épreuves physique et technique par un candidat. Donner le système de conditions sur x et y pour qu’un candidat soit admis.

2. Représenter graphiquement, dans un repère orthogonal, le système de condi-tions. On hachurera ce qui ne convient pas.

3. Cinq candidats ont obtenu les résultats ci-dessous.

Placer sur le graphique les points de coordonnées (x ; y) représentant les résultats des cinq candidats. Quels sont les candidats qui seront admis ?

Énoncé 2OBJECTIF :Utiliser le régionnement du plan pour un problème d’admission

SOLUTION

• Soit d1 la droite d’équation 3x – y = 0 ; d1 passe par l’origine O et par le point A (1 ; 3).O est sur d1, on ne peut donc pas le prendre pour déterminer le signe de 3x – y.On prend par exemple le point M (0 ; 1) qui n’est pas sur d1.On calcule 3x – y avec les coordonnées de M : 3 × 0 – 1 = – 1 � 0. On veut 3x – y � 0, donc le demi-plan limité par d1 contenant M ne convient pas.

• Soit d2 la droite d’équation y = – x + 3.La droite d2 passe par les points B (3 ; 0) et C (0 ; 3).y � – x + 3, donc les points qui conviennent sont les points du demi-plan défini par d2 et situé au-dessous de d2.

• Les solutions du système sont les coordonnées des points de la partie du plan non hachurée, les frontières d1 et d2 étant comprises car les inéga-lités sont écrites au sens large.

MéthodeLorsque la droite passe par l’origine O, on choisit un point non situé sur la droite.

MéthodeLorsque l’inéquation est de la forme y � ax + b, les solu-tions sont les coordonnées des points situés au-dessus de la droite d’équation :

y = ax + b.

Et maintenant, exercez-vous !Représenter graphiquement les solutions du système :

(on hachurera ce qui ne convient pas).

BA

10x

y

12

12 8

C

7

18

D

11

15

E

14

10

3x – y � 0y � – x + 3{

O

y

xB

CA

d1

d2

2y – 3x � 0x + 3y – 5 � 0{

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MÉTHODES

SOLUTION

1. • Les candidats sont notés sur 20, donc 0 � x � 20 et 0 � y � 20.Compte tenu des notes éliminatoires à l’épreuve physique et à l’épreuve tech-nique : x � 8 et y � 10.On doit donc avoir les premières conditions :

8 � x � 20 et 10 � y � 20.• La somme de la note technique et du double de la note physique doit être supérieure à 32, d’où la condition :

2x + y � 32.Le système de conditions requises est :

2. On trace les droites d’équations respectivesx = 8 et x = 20 ; ce qui convient est situé entre ces deux droites.De même, on trace les droites d’équations respectives y = 10 et y = 20 ; ce qui convient est situé entre ces deux droites.L’inéquation 2x + y � 32 équivaut à y � – 2x + 32, on trace donc la droite d’équation y = – 2x + 32 ; ce qui convient est la partie située au-dessus de cette droite.

3. Voir le graphique plus haut.Les candidats admis à l’issue de toutes les épreuves sont ceux qui sont repré-sentés par des points situés dans la partie du plan non hachurée ou sur la fron-tière, il s’agit donc de A, D et E.

Et maintenant, exercez-vous !Dans une école de musique pour passer en classe supérieure, il faut que la note de solfège soit au moins égale à 10/20 et celle d’instrument au moins égale à 12/20. Il faut de plus que la somme de la note de solfège et du triple de la note d’instrument soit supérieure ou égale à 52. On note respectivement x et y les notes obtenues en solfège et en instrument par un candidat.Donner le système de conditions sur x et y pour passer en classe supérieure. Repré-senter graphiquement dans un repère le système de conditions.On hachurera ce qui ne convient pas.

Vrai – FauxA. Dans un repère orthogonal, l’ensemble des points M (x ; y) tels que 2 � x � 6 et 0 � y � 4 est un carré.

B. x et y étant des réels positifs, l’ensemble des points M (x ; y) tels que x + y � 1 est l’intérieur du triangle.

C. Le point A (0 ; 4) et le point B ( – 1 ; 1) sont

situés d’un même côté de la droite d’équation :3y – 2x + 7 = 0.

D. Les points A(– 2 ; 2) et O sont situés d’un même côté de la droite d’équation y = x – 3.

E. Les points A (– 2 ; 2) et B (1 ; – 2) sont situés de part et d’autre de la droite d’équation :

2x + y – 1 = 0.

MéthodePour résoudre un problème, il faut exprimer toutes les conditions de l’énoncé.

8 � x � 2010 � y � 202x + y � 32

O

y

x

A

10 20

B

CD

E

20

10

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3. Programmation linéaireACTIVITÉS

Dans une fabrique de jouetsUn artisan fabrique deux types de jouets en bois A et B.Un jouet A nécessite 1/2 h de travail et 3 kg de bois.Un jouet B nécessite 1 h de travail et 2 kg de bois.L’artisan dispose quotidiennement de 24 kg de bois, il travaille au plus 8 h par jour et limite sa production quotidienne de jouets A à 7 unités au plus.Soit x et y les nombres respectifs de jouets A et B fabriqués par jour.

1. Le but de cette question est de traduire les conditions de l’énoncéJustifier le fait que x et y sont des entiers positifs et que x � 7.Montrer que la condition relative au nombre d’heures de travail peut s’écrire :

0,5x + y � 8.Donner la condition relative à la quantité de bois utilisée.

2. Interprétation graphique des contraintesÀ tout couple (x ; y) de nombres réels, on associe le point M de coordonnées (x ; y)dans un repère orthonormal, d’unité graphique 1 cm.À l’aide des résultats de la question 1, vérifier que le système suivant traduit les contraintes :

Résoudre graphiquement chaque inéquation du système (on hachurera la partie du plan qui ne convient pas).En déduire l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient ce système.

3. Introduction d’une fonction économique : la fonction bénéficeLa vente d’un jouet A rapporte un bénéfice de 12 euros, celle d’un jouet B un bénéfice de 18 euros. On suppose que tout objet fabriqué est vendu.a) Quel est le bénéfice réalisé par l’artisan lorsqu’il vend 2 jouets A et 3 jouets B ? b) Exprimer en fonction de x et de y le bénéfice noté b, obtenu chaque jour, pour la vente de la totalité de la production de l’artisan.Montrer que les couples (x ; y) permettant d’obtenir un bénéfice donné b sont les

coordonnées des points de la droite ∆ b d’ équation y = – x + .

Tracer la droite correspondant à un bénéfice de 78 euros.c) Compte tenu des contraintes, montrer à l’aide du graphique, que l’artisan peut fabriquer 2 jouets A et 3 jouets B en un jour.Quel est le bénéfice réalisé ?Indiquer tous les types de ventes lui permettant de réaliser le même bénéfice (ne pas oublier que x et y sont des entiers).

4. Méthode graphique de recherche d’un bénéfice maximalOn cherche dans quels cas on peut obtenir un bénéfice maximal sous les contrain-tes de l’énoncé.a) Quel est le coefficient directeur des droites ∆ b ?Que peut-on en déduire pour les droites ∆ b ?Quelle est l’ordonnée du point d’intersection de ∆ b avec l’axe (y’y) ?On remarquera que le bénéfice est d’autant plus grand que ce point est plus « haut » sur (y’y).

Activité 1

VocabulaireCes conditions sont appelées contraintes.

0 � x � 7y � 0x + 2y � 163x + 2y � 24

23

b18

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ACTIVITÉSb) En tenant compte des contraintes, déterminer la droite ∆ b correspondant à un bénéfice maximal. Quel est le nombre de jouets de chaque type à fabriquer chaque jour pour obtenir ce bénéfice maximal bM ?Calculer ce bénéfice bM.

Ce qu’il faut savoir� Programmation linéaire

La programmation linéaire consiste à chercher à optimiser, c’est-à-dire rendre le plus grand possible ou le plus petit possible une fonction linéaire à deux inconnues x et y, cela sous certaines condi-tions, appelées contraintes.Par exemple, on cherchera à rendre un bénéfice le plus grand possible et à rendre un coût le plus petit possible.Cela revient à chercher tous les couples (x ; y) (co-ordonnées de points) vérifiant certaines conditions, exprimées sous la forme d’inéquations.

� Traduction en termes mathématiques

Choix des inconnues x et y, puis traduction de tou-tes les conditions de l’énoncé (les contraintes), ce qui conduit à la résolution d’un système d’inéqua-tions d’inconnues x et y.

� Interprétation graphique

des contraintes

Représentation dans un repère orthonormal de l’ensemble des points dont les coordonnées (x ; y)sont solutions des inéquations précédentes. Cet ensemble est appelé polygone des contraintes.

� Fonction économique

• Elle peut être définie par exemple pour un béné-fice par b = 12x + 18y.Pour b donné, b = 12x + 18y est une équation de droite d.On veut alors que b prenne une valeur la plus grande possible car il s’agit d’un bénéfice.Il s’agit donc de trouver les valeurs de x et de y quioptimiseront cette fonction.• Lorsque la fonction définit un coût, on voudra qu’elle prenne une valeur la plus petite possible.

� Méthode graphique de résolution

du problème

• On considère les droites associées à la fonction économique ; elles ont le même coefficient direc-teur et sont donc parallèles.Après avoir tracé une droite particulière d, on s’intéresse aux droites parallèles à d coupant le polygone des contraintes.

• À l’aide d’une règle appliquée sur d, on cherche la parallèle à la droite d, traversant le polygone des contraintes et coupant l’axe (y’y) de la façon sui-vante :- au point le plus « haut » lorsqu’on veut définir une valeur maximale de la fonction économique, par exemple pour un bénéfice ;- au point le plus « bas » lorsqu’on veut définir une valeur minimale de la fonction économique, par exemple pour un coût.

• Soit A le point (éventuellement il peut y en avoir plusieurs) situé dans le polygone des contraintes et sur la droite ainsi définie.Ce point A a pour coordonnées x0 et y 0. Pour ces valeurs x 0 et y 0, la fonction économique prend la valeur optimale b 0 (dans notre exemple, c’est b0 = 12x 0 + 18y 0).

O

A (x 0 ; y 0)

y

x

dA

d

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3. Programmation linéaireMÉTHODES

Pour fleurir un parc, il faut au minimum :1 200 jacinthes, 3 200 tulipes et 3 000 narcisses.

Deux pépiniéristes proposent :• l’un le lot A : 30 jacinthes, 40 tulipes et 30 narcisses pour 15 euros ;• l’autre le lot B : 10 jacinthes, 40 tulipes et 50 narcisses pour 12 euros.Le but de l’exercice est de déterminer le nombre de lots A et le nombre de lots B que l’on doit acheter pour que la dépense soit minimale.

1. On achète x lots A et y lots B. Traduire, par des inégalités faisant intervenir x et y, les besoins de la plantation (ce sont les contraintes).

2. a) À tout couple (x ; y) de nombres réels, on associe le point M de coordonnées (x ; y) dans un repère orthonormal (O ; i, j ).Déterminer graphiquement l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient le système :

(hachurer la partie du plan qui ne convient pas).

b) Montrer que ce système équivaut au système formé des contraintes trouvées dans la question 1.

3. a) Exprimer en fonction de x et de y la dépense d, occasionnée par l’achat de xlots A et de y lots B. b) Les couples (x ; y) correspondant à une dépense d donnée sont les coordonnées des points d’une droite ∆d dont on donnera une équation sous la forme y = mx + p.c) Représenter graphiquement la droite ∆d dans le cas particulier où d = 1 500. Donner un exemple d’un nombre de lots A et d’un nombre de lots B entraînant une telle dépense.

4. Déterminer, à l’aide du graphique, le nombre de lots de chaque type à acheter pour obtenir une dépense minimale dm. Calculer cette dépense.

Énoncé 1OBJECTIF :Résoudre un problème de programmation linéaire

SOLUTION

1. • x et y sont des nombres de lots, donc des entiers et x � 0 et y � 0.• On s’intéresse d’abord aux jacinthes.Il y a 30 jacinthes dans un lot A, donc en achetant x lots A, on a 30x jacin-thes. Il y a 10 jacinthes dans un lot B, donc en achetant y lots B, on a 10y ja-cinthes. On a donc 30x + 10y jacinthes dans x lots A et y lots B.Pour fleurir le parc, il faut au minimum 1 200 jacinthes.On doit donc avoir :

30x + 10y � 1 200, soit 3x + y � 120.• Il y a 40 tulipes dans un lot A et 40 tulipes dans un lot B. Donc dans x lotsA et y lots B, on a 40x + 40y tulipes.Pour fleurir le parc, il faut au minimum 3 200 tulipes.On doit donc avoir :

40x + 40y � 3 200, soit x + y � 80.• Pour les narcisses, il y en a 30 dans le lot A et 50 dans le lot B. On a donc 30x + 50y narcisses dans x lots A et dans y lots B.Pour fleurir le parc, il faut au minimum 3 000 narcisses.On doit donc avoir :

30x + 50y � 3 000, soit 3x + 5y � 300.

x � 0y � 0y � – 3x + 120y � – x + 803x + 5y � 300

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MÉTHODES

2. a) x � 0 et y � 0 donc seul convient le quart de plan supé-rieur droit.Pour résoudre les trois dernières inéquations du système, on trace les droites d1, d2 et d3 d’équa-tions respectives :

y = – 3x + 120, y = – x + 80, 3x + 5y = 300.

On veut :y � – 3x + 120 et y � – x + 80.Donc les points M qui convien-nent sont ceux situés au-dessus de d1 et de d2.On veut que :

3x + 5y – 300 � 0.On sait que d3 partage le plan en deux demi-plans, dont l’un seulement con-vient. On étudie le signe de 3x + 5y – 300 pour un point particulier, par exemple O :

3 × 0 + 5 × 0 – 300 = – 300donc l’inéquation n’est pas vérifiée. Pour cette dernière équation, le demi-plan qui convient est celui qui est défini par d3 et qui ne contient pas O.b) Dans la question 1, on a trouvé les conditions suivantes :

x � 0 ; y � 0 ; 3x + 1y � 120 ; x + y � 80 ; 3x + 5y � 300.Le système des contraintes est bien équivalent au système donné.

3. a) Un lot A coûte 15 euros et un lot B coûte 12 euros. La dépense en euros occasionnée par l’achat de x lots A et y lots B est d = 15x + 12y.

b) d = 15x + 12y, donc – 15x + d = 12y. On obtient y = – x + , ce qui

peut s’écrire y = – 1,25x + d/12.c) Pour d = 1 500, l’équation est y = – 1,25x + 125, d’où le tracé de la droite qui passe par les points de coordonnées (0 ; 125) et (100 ; 0).Par exemple, le point E (20 ; 100) est un point de cette droite situé dans le polygone des contraintes, donc avec 20 lots A et 100 lots B on a une dépense de 1 500 €.

4. D’une part, les droites ∆d ayant pour équation y = – 1,25x + d/12 ont le même coefficient directeur – 1,25 ; elles sont donc parallèles.D’autre part, leur intersection avec (y’y) est le point d’ordonnée d/12, on veut d le plus petit possible, donc également d/12 le plus petit possible.À l’aide d’une règle que l’on fait glisser à partir de ∆1 500, on cherche la paral-lèle à ∆1 500 passant par le polygone des contraintes et qui coupe l’axe (y’y)au point le plus bas. C’est la parallèle passant par F, point d’intersection des droites d1 et d2, dont on lit les coordonnées (20 ; 60).La dépense minimale est donc obtenue avec 20 lots A et 60 lots B.Cette dépense est 20 × 15 + 60 × 12, soit 1 020 euros.

MéthodePour tracer une droite, on en détermine deux points.

MéthodeOn résout les inéquations du système les unes après les autres.

MéthodeDes droites de même coef-ficient directeur sont paral-lèles.

MéthodeLes inégalités étant écrites au sens large, on peut pren-dre un point de la frontière.

d12

1512

O

E

y

x10

10

80

120

d1

d2

d3

40 80

F

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EXERCICES et PROBLÈMES

Équations de droites et systèmes

Inéquationset systèmes d’inéquations

Déterminer le coefficient directeur, puis une équation des droites (AB) avec :

a. A (0,5 ; 5) et B confondu avec l’origine du repère ;

b. A (0 ;2) et B ( – 3 ; 0) ;

c. A (2 ; 1) et B (4 ; – 5) ;

d. A ( – 4 ; 1) et B (3 ; – 1).

1

Représenter graphiquement l’ensemble des so-lutions des inéquations suivantes.

a. 2y – 6 � 0. b. x + y – 4 � 0.

c. y � – 2x – 1. d. y � x + 3.

e. – 2x + 4 � 0. f. 3y – 2x � 0.

8

Représenter graphiquement l’ensemble des so-lutions des systèmes donnés.

a. b.

c. d.

9

PISTE On peut calculer le coefficient directeur, puis écrire que la droite passe par A.

PISTE Tracer d’abord les droites limitant l’ensemble cherché.PISTE Pour certaines de ces droites il est facile de lire leur

coefficient directeur.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i, j ).

Donner une équation de la droite passant par A et de coefficient directeur m.

a. A est confondu avec l’origine du repère et m = .

b. A (1 ; 2) et m = – 3.

c. A (2 ; 1) et m = 5.

d. A (1 ; 3) et m = 0.

2

13

Déterminer une équation des droites passant par les points A et B donnés.

a. A (1 ; 1) et B (– 1 ; 0). b. A (2 ; 1) et B (2 ; – 5).

c. A (– 4 ; 1) et B (0 ; 2). d. A (3 ; 0) et B (5 ; 1).

3

Soit d une droite de coefficient directeur égal à 5.Trouver l’équation réduite de la parallèle à d :

a. passant par l’origine O du repère ;

b. d’ordonnée à l’origine égale à 3 ;

5

Lire sur le graphique une équation des droites :(OA) ; (OB) ; (OC) ; (AB) ; (AC) ; (BC).

4

y

O

BC

A

x

Résoudre algébriquement les systèmes.

a. b.

c. d.

6

x – 3y = 4x – 2y = – 1.{ 3x + y = 1

4x – 2y = 4.{5x + 4y = – 32x + 2y = 1.{ 4x – 7y = 15

x – 8y = 2.{Voici Soit d1, d2 et d3. Les représentations graphi-ques de trois droites d’équations respectives :d1 : y = – 2,5x + 11 ; d2 : y = 0,5x + 5 ;d3 : y = – 0,1x + 1,4.

a. Reconnaître les droites d1, d2 et d3 sur le graphi-que ci-dessous.

b. À l’aide du graphique, résoudre les systèmes.

(1)

(2)

(3)

7

y

O

B

C

A

x

y = 0,5x + 5y = – 0,1x + 1,4.{

y = – 2,5x + 11y = 0,5x + 5.{

y = – 2,5x + 11y = – 0,1x + 1,4.{

2x + 3 � 0x + y � 0.{y + 4 � 0

2x – y � 5.{5x – 2y + 2 � 03y – x – 2 � 0.{y � 3 – x

y � 2x + 3.{c. passant par le point A (2 ; – 3).

Pour s’entraîner

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EXERCICES

Programmation linéaire

a. Placer dans un repère othonormal les points :A (1 ; 1), B ( 3 ; 1), C (3 ; 2) et D (1 ; 2).

Donner une équation des droites (AB), (BC), (CD) et (AD).

b. Donner un système d’inéquations dont les solu-tions sont les coordonnées des points situés à l’inté-rieur du rectangle ABCD.

10

Dans un lycée, des élèves se chargent de la distribution de pains au chocolat et de croissants.Pour pouvoir satisfaire la demande, ils doivent disposer au minimum de 108 pains au chocolat et de 96 croissants.

Deux boulangers proposent pour le même prix : - l’un le lot A comprenant 12 pains au chocolat et 8 croissants ;- l’autre le lot B composé de 9 pains au chocolat et 12 croissants.

Le but de l’exercice est de déterminer le nombre de lots A et le nombre de lots B qui doivent être ache-tés pour satisfaire la demande au moindre coût.On rapporte le plan à un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm) et, à l’achat de x lots A et de ylots B, on associe le point M de coordonnées (x ; y).

1. Quelles inégalités vérifient respectivement x et y ?Placer :- le point E associé à l’achat de 13 lots A et de 14 lots B ;- le point F associé à l’achat de 10 lots A et de 1 lot B.Les achats associés aux points E et F permettent-ils de satisfaire la demande ?

2. On s’intéresse à la satisfaction de la demande.a) Pour que l’achat correspondant au point de coor-données (x ; y) permette de satisfaire la demande, montrer que les nombres x et y doivent vérifier les inégalités :

4x + 3y � 36 et 2x + 3y � 24.b) Hachurer la région du plan dans laquelle se trou-vent les points dont les coordonnées (x ; y) ne sont pas solutions du système :

3. On cherche à minimiser le coût, c’est-à-dire le nombre total de lots achetés.

15

PISTE d. On fera intervenir la droite d’équation y = x.

Placer dans un repère orthonormal les points :A (2 ; – 2) et B ( – 3 ; – 1)

a. Donner une équation de la droite (AB).

b. Donner une inéquation dont les solutions sont les coordonnées des points situés dans le demi-plan dé-fini par la droite (AB) et contenant l’origine O.

11

a. Construire les droites d1 et d2 d’équations :d1 : y = 4x – 1 et d2 : 2x + 2y = 3.

b. En déduire la résolution graphique du système d’équations :

c. Retrouver par le calcul les résultats de la question b.

d. Résoudre graphiquement le système d’inéqua-tions :

12

Une salle de cinéma contient 120 places. Il y a x enfants et y adultes qui assistent à la projection d’un film.

a. Quelles inégalités vérifient x et y ?

b. Représenter ces inégalités dans un repère (O ; i, j )en hachurant ce qui ne convient pas.

c. Il y a trois fois plus d’adultes que d’enfants. Repré-senter sur le graphique la droite d’équation y = 3x etindiquer à l’aide du graphique entre quelles valeurs est compris le nombre d’enfants.

13

Montrer que :

b. Tracer dans un repère les droites d’équation :d1 : 2x + 5y = 250 ; d2 : 3x + 5y = 300.

On prend 1 cm pour 10 unités sur l’axe (x’x) et 1 cm pour 10 unités sur l’axe (y’y).

c. Résoudre graphiquement le système (1).

d. Le type de clientèle du chocolatier fait qu’il vend un nombre de boîtes G au plus égal au nombre de boîtes N. Donner des valeurs possibles pour y.

y = 4x – 12x + 2y = 3{

y � 4x – 12x + 2y � 3{

Un chocolatier veut confectionner des boîtes contenant un mélange de truffes et de chocolats à la liqueur.Il prépare deux types de boîtes :- des boîtes normales N, composées de 6 truffes et 12 chocolats à la liqueur ; - des boîtes gourmandes G, composées de 15 truffes et 20 chocolats à la liqueur.

Il a 750 truffes et 1 200 chocolats à la liqueur.

a. On désigne par x le nombre de boîtes N et par y le nombre de boîtes G qu’il prépare.

14

x � 0y � 02x + 5y � 2503x + 5y � 300

(1).

4x + 3y � 362x + 3y � 24{

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EXERCICES et PROBLÈMES

a) Les points associés à des achats d’un nombre to-tal de n lots sont situés sur une droite ∆n, dont on donnera une équation. Tracer ∆9 et ∆11.b) D’après le graphique, peut-on satisfaire la deman-de en achetant au total seulement 9 lots ? en ache-tant au total 11 lots ?c) En utilisant le graphique, déterminer l’achat qui permet de satisfaire la demande au moindre coût.

1. Déterminer une équation de la droite (CB) et une équation de la droite (CD).

2. Écrire un système d’inéquations caractérisant la partie grisée du plan, frontières comprises. (On jus-tifiera la réponse.)

B. Une entreprise embauche des commerciaux les uns sous contrat A travaillant 35 h et payés 550 € parsemaine, les autres sous contrat B travaillant 20 h et payés 220 € par semaine. Le chef d’entreprise peut embaucher au plus :- 8 personnes sous contrat A ;- 15 personnes sous contrat B. Il dispose de 370 h de travail et d’un budget de 5 060 € par semaine.

1. On note x le nombre de personnes embauchées sous contrat A et y le nombre de personnes sous contrat B. Traduire les informations ci-dessus par un système d’inéquations.

2. Vérifier que ce système est équivalent à celui trouvé dans la question A2 pour des nombres x et y entiers.

3. On estime à 30 le nombre de ventes hebdomadai-res effectuées par un commercial sous contrat A, à 16 celles effectuées par un commercial sous contrat B. a) Exprimer en fonction de x et de y le nombre glo-bal de ventes effectuées par semaine.b) Les couples (x ; y) correspondant à la réalisation de N ventes sont les coordonnées de points d’une droite DN dont on donnera une équation. Construire sur la figure la droite D320 correspondant au cas N = 320. c) Déterminer alors graphiquement le nombre de com-merciaux sous contrat A et le nombre de commerciaux sous contrat B qu’il faut embaucher pour réaliser un nombre de ventes maximal par semaine. Quel est ce dernier nombre ? (On expliquera la méthode utilisée.)

D’après Pondichéry, mars 2003.PISTE Pour déterminer les contraintes, s’intéresser d’abord au

nombre total de tulipes, puis à celui de muscaris et en-fin à celui de narcisses.

Un jardinier souhaite aménager un parterre. Deux jardineries proposent :- l’une, le lot A constitué de 5 tulipes, 3 muscaris et 2 narcisses pour une somme de 1,90 € ;- l’autre, le lot B constitué de 6 tulipes, 1 muscari et 3 narcisses pour une somme de 0,90 €.Le jardinier veut planter entre 165 et 180 tulipes et au moins 60 muscaris.Le but de cet exercice est de déterminer le nombre xde lots A et le nombre y de lots B que le jardinier doit acheter pour que la dépense soit minimale.

1. Expliquer pourquoi les contraintes auxquelles doi-vent satisfaire les nombre x et y se traduisent par le système d’inéquations :

2. À tout couple (x ; y) de nombres réels, on associe le point M du plan de coordonnées (x ; y) dans un repère orthonormal (on choisira 1 cm pour 2 unités).Déterminer graphiquement l’ensemble des points Mdu plan dont les coordonnées vérifient le système précédent (on hachurera la zone qui ne convient pas).

3. a) Exprimer, en fonction de x et de y, la dépense D occasionnée par l’achat de x lots A et de y lots B.b) Tracer, dans le repère précédent, la droite corres-pondant à une dépense de 34,20 €.c) Déterminer graphiquement le nombre de lots à commander dans chaque jardinerie pour que la dépen-se soit minimale, en précisant la méthode utilisée.d) Quelle est alors la dépense en euros ?

D’après Bac, La Réunion, juin 2005.

16

A. Le plan est rapporté à un repère orthonor-mal (O ; i, j ).On considère la figure représentée ci-dessous.On note � la partie du plan grisée.

17

B

C

DE

AO

1

1 5

5

10

15

x

y

x � 0y � 05x + 6y � 1655x + 6y � 1803x + y � 60.

Madame Maréchal tient une librairie pour la jeunesse. Une grande partie de sa clientèle lit des romans ou des bandes dessinées (BD). Pour approvi-sionner son rayon, cette libraire a besoin d’au moins50 romans et 20 BD, mais ne peut dépasser les 180 ouvrages au total.

18

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EXERCICES

PISTE 3c. La droite représentant le bénéfice doit passer par un point de coordonnées entières du quadrilatère repré-sentant les contraintes et couper l’axe des ordonnées au point d’ordonnée la plus grande possible.

La place nécessaire, en moyenne, est de 3 cm pour un roman et de 2 cm pour une BD.Madame Maréchal ne dispose que de 4,80 m de lon-gueur d’étagères pour ces ouvrages.On note x le nombre de romans et y le nombre de BD en rayonnage.1. Montrer que les contraintes de l’énoncé peuvent se traduire par le système d’inéquations :

où x et y sont des entiers naturels.

2. À tout couple (x ; y), on associe le point M de coor-données (x ; y) dans le repère orthonormal (O ; i, j ).Unités graphiques : 1 cm pour 10 unités.Déterminer graphiquement l’ensemble des points M(x ; y) dont les coordonnées vérifient les contraintes (on hachurera la zone qui ne convient pas).Cet ensemble est l’intérieur d’un quadrilatère. On dé-terminera précisément par le calcul les coordonnées des sommets de ce quadrilatère.

3. Madame Maréchal réalise un bénéfice de 0,50 €

par roman et de 0,40 € par BD. Elle désire connaître le nombre de romans et de BD pour obtenir un béné-fice maximal dans l’hypothèse où elle vend la totalité de ses ouvrages.a) Exprimer son bénéfice B en fonction de x et de y.b) Tracer les droites (D1) et (D2) correspondant res-pectivement à un bénéfice B1 de 100 € et à un bénéfice B2 de 80 €. Justifier que ces droites sont parallèles.c) À l’aide du graphique, déterminer alors le nombre de romans et le nombre de BD que Madame Maréchal doit avoir en rayon pour obtenir un bénéfice maxi-mal. Calculer ce bénéfice.

D’après Bac, Polynésie, septembre 2004.

x � 50y � 20x + y � 1803x + 2y � 480,

1. On donne trois droites d1, d2 et d3 d’équa-tions respectives :d1 : 5x + y = 10 ; d2 : 2x + 2y = 12 ;d3 : x + 4y = 12.a) Vérifier que le point A (1 ; 5) appartient aux droi-tes d1 et d2.b) Vérifier que le point B (4 ; 2) appartient aux droi-tes d2 et d3.c) Déterminer les coordonnées du point C commun à la droite d1 et à l’axe (y’y). De même, déterminer les coordonnées du point D commun à la droite d3 et à l’axe (x’x).d) Sur un même graphique, placer les points A, B, Cet D, puis construire les droites d1, d2 et d3.e) Colorier l ‘ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient le système :

(S)

2. Trois engrais différents, appelés E, G et H sont con-ditionnés ensemble en boîtes ou en sacs. Une boîte contient 5 kg d’engrais E, 2 kg d’engrais G et 1 kg d’engrais H. Un sac contient 1 kg d’engrais E, 2 kg d’engrais G et 4 kg d’engrais H.On cherche en achetant x boîtes et y sacs à obtenir au moins 10 kg d ‘engrais E, 12 kg d’engrais G et 12 kg d’engrais H.On admet que le système (S) écrit dans la question 1e traduit le système de contraintes ainsi défini.Une boîte est vendue 30 euros et un sac 20 euros.a) Exprimer en fonction de x et de y la dépense oc-casionnée par l’achat de x boîtes et de y sacs.b) Placer, sur le graphique construit, la droite d’é-quation 30x + 20y = 200. Vérifier que cette droite passe par le point de coordonnées (4 ; 4).c) Au moyen d’une étude graphique, déterminer le nombre x de boîtes et le nombre y de sacs qui occa-sionnent la dépense minimale. Calculer cette dépense.

19

x � 0y � 05x + y � 102x + 2y � 12x + 4y � 12.

Pour aller plus viteTraiter ces exercices en 30 minutes.

30 min

1. Soit les points A(3 ; 1), B(2 ; – 2) et C(0 ; 3). Donner une équation des droites (AB) et (AC).Déterminer un système d’inéquations vérifié par les coordonnées (x ; y) des points M situés au-dessus de (AB) et au-dessous de (AC).

2. Déterminer graphiquement l’ensemble des points

M de coordonnées (x ; y) vérifiant .

Indiquer pour quel point M de coordonnées entières, la quantité 2x + y est maximale. En donner la valeur.

x � 1y � 1x + y � 6

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EXERCICES et PROBLÈMES

1. Montrer que les productions hebdomadaires de la couturière sont soumises aux contraintes suivantes :

2. Représenter graphiquement les contraintes de production dans un repère (O ; i, j ).On choisira 1 cm comme unité.

3. Utiliser le graphique pour répondre aux questions a et b.a) Si la couturière produit dans sa semaine 8 panta-lons du modèle A, combien de pantalons du modèle B peut-elle produire ? (Donner toutes les solutions.)b) Si la couturière produit dans sa semaine 8 panta-lons du modèle B, combien de pantalons du modèle A peut-elle produire ? (Donner toutes les solutions.)

4. Sur un pantalon du modèle A, la couturière fait un bénéfice de 60 euros et sur un pantalon du modè-le B, un bénéfice de 40 euros. On suppose qu’elle vend toute sa production.a) Exprimer, en fonction de x et de y, le bénéfice hebdomadaire R qu’elle peut réaliser.b) Représenter, sur le graphique précédent, les cou-ples (x ; y) qui permettent de réaliser un bénéfice de 240 euros.c) Déterminer graphiquement le nombre de panta-lons de chaque modèle à fabriquer par semaine pour que le bénéfice soit le plus grand possible (on ad-mettra que ce bénéfice est obtenu pour un point de coordonnées x et y liées par x + y = 12).d) Quel est, alors, le bénéfice en euros ?

D’après Bac, Inde, avril 2002.

x � �, y � �

x � 0 et y � 02x + 3y � 302x + y � 20.

3. Résoudre graphiquement le système d’inéquations :

B. La fabrication de la bière nécessite du maïs, du houblon et du malt (orge).Pour produire un baril de bière blonde, il faut 2,5 kg de maïs, 125 g de houblon et 17,5 kg de malt. Pour produire un baril de bière brune, il faut 7,5 kg de maïs, 125 g de houblon et 10 kg de malt. Un brasseur dispose de 240 kg de maïs, de 5 kg de houblon et de 595 kg de malt.Soit x le nombre de barils de bière blonde et y celuide bière brune que l’on peut fabriquer.

1. Traduire les contraintes sous la forme d’un systè-me d’inéquations. Montrer que ce système est équi-valent au système (S).

2. Le brasseur peut-il fabriquer :a) 10 barils de bière blonde et 20 barils de bière brune ? b) 10 barils de bière blonde et 30 barils de bière brune ?

C. Le brasseur réalise un bénéfice de 13,50 euros par baril de bière blonde et de 20,25 euros par baril de bière brune.

1. Exprimer le bénéfice pour une vente de x barils de bière blonde et de y barils de bière brune.

2. a) Tracer la droite correspondant à un bénéfice de 405 euros.b) Le brasseur peut-il réaliser un bénéfice de 810 euros ?

3. a) Déterminer à l’aide du graphique le nombre de barils de bière blonde et le nombre de barils de bière brune assurant le bénéfice maximal. Quel est ce béné-fice maximal ?b) Dans le cas du bénéfice maximal, indiquer s’il res-te du maïs, du houblon et du malt. Si oui, en quelle quantité ?

4. Si le brasseur dispose de 5 kg de maïs supplémen-taire, de combien le bénéfice maximal est-il aug-menté ?

A. 1. Tracer dans un repère orthonormal les droites d1, d2 et d3 définies par :d1 : x + 3y = 96 ; d2 : x + y = 40 ; d3 : 17,5x + 10y = 595.

21

x � 0y � 0x + 3y � 96x + y � 4017,5x + 10y � 595

Une couturière fabrique des pantalons suivant deux modèles A ou B. Elle dispose de 15 m de tissu par semaine et travail-le 40 heures par semaine.Le modèle A nécessite 1 mètre de tissu et 4 heures de travail.Le modèle B nécessite 1,50 mètre de tissu et 2 heu-res de travail.On note x le nombre de pantalons du modèle A et yle nombre de pantalons du modèle B fabriqués par semaine.

20 (On choisira 1 cm pour représenter 5 unités sur cha-que axe.)Le point de coordonnées (10 ; 42) appartient-il à d3 ?

2. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection de d1 et d2.

(S).

Pour approfondir

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CH

AP

ITR

E3

77

Pro

gra

mm

atio

n l

inéa

ire

EXERCICES

Le plan est muni d’un repère orthonor-

mal (O ; i, j ).On considère la figure représentée en annexe et on appelle � la partie hachurée bords compris.On admettra que :• la droite (CD) a pour équation y = 40 – x ;

• la droite (AD) a pour équation y = – x + 50.

Une entreprise veut faire transporter par bateaux au moins 300 véhicules et 400 tonnes de matériel.Le transporteur maritime auquel elle s’adresse dispose :- de 30 bateaux de type A, susceptibles chacun de transporter 10 véhicules et 10 tonnes de matériel ;- de 35 bateaux de type B, susceptibles chacun de transporter 6 véhicules et 10 tonnes de matériel.

On note x le nombre de bateaux de type A et y lenombre de bateaux de type B à affréter pour effec-tuer ce transport.

1. a) Traduire les informations ci-dessus par un systè-me d’inéquations.b) Montrer que ce système caractérise la partie �.

2. Le coût d’affrètement d’un bateau de type A est de 10 000 € et celui d’un bateau de type B de 7 500 €.Soit C le coût total d’affrètement de x bateaux A et de y bateaux B.a) Exprimer C en fonction de x et de y.b) Déterminer une équation de la droite (d) corres-pondant à un coût total de 450 000 €.Représenter (d) dans la figure tracée en annexe.c) Déterminer graphiquement le couple d’entiers (x ; y)qui permet d’assurer le transport pour un coût minimal. Calculer ce coût. On justifiera la démarche.

AnnexeLes points A, B, C et D ont pour coordonnées :

A (9 ; 35) ; B (30 ; 35) ; C (30 ; 10) ; D (15 ; 25).

Énoncé A A. Dans un repère orthonormal (O ; i, j ),construire les droites D et D’ d’équations respectives :

2x + y = 24 et 2x + 3y = 36.

1. Calculer les coordonnées du point I, intersection des droites D et D’.

2. Déterminer graphiquement (en hachurant ce qui ne convient pas) l’ensemble des points M du plandont les coordonnées (x ; y) vérifient :

B. Un artisan fabrique des portes de placard. Les unes sont en hêtre, les autres en chêne.En raison de contraintes liées à l’approvisionnement, cet artisan ne peut pas produire plus de 9 portes en chêne par semaine.La fabrication d’une porte en hêtre dure 4 h et né-cessite 2 m2 de bois. Celle d’une porte en chêne dure 2 h et nécessite 3 m2 de bois.L’artisan ne travaille pas plus de 48 heures par se-maine et il ne peut pas entreposer plus de 36 m2 de bois dans son atelier.Soit x le nombre de portes en hêtre fabriquées et yle nombre de portes en chêne fabriquées par semai-ne (x et y sont des nombres entiers).

1. Déterminer, en justifiant les réponses, le système d’inéquations traduisant les contraintes de la pro-duction hebdomadaire de l’artisan.

2. Utiliser le graphique réalisé dans la partie A pour répondre aux questions suivantes.a) Si l’artisan produit 3 portes en hêtre, combien de portes en chêne peut-il fabriquer ?b) Si l’artisan produit 5 portes en chêne, combien de portes en hêtre peut-il fabriquer ?

3. L’artisan fait un bénéfice de 30 € sur une porte en hêtre et de 20 € sur une porte en chêne.a) Exprimer en fonction de x et de y le bénéfice to-tal réalisé, lorsque x portes en hêtre et y portes en chêne sont vendues.On admet que la droite ∆ d’équation 3x + 2y = 18 contient les points dont les coordonnées correspon-dent à un bénéfice de 180 €. Construire la droite ∆sur le graphique.b) Déterminer graphiquement le nombre de portes de chaque sorte à fabriquer par semaine, pour que le bénéfice soit maximal. Expliquer la méthode suivie. Quel est alors ce bénéfice en euros ?

D’après Bac, Nouvelle Calédonie, 2004.

Énoncé B

53

D’après Bac, France, 2005.

x � 00 � y � 92x + y � 242x + 3y � 36

O

BA

D

C

x

y

10

10

Pour le Bac

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78

TRAVAUX PRATIQUES

But du TPRechercher avec un tableur le minimum d’une ex-pression du type ax + by sous plusieurs contraintes linéaires.

ÉnoncéLe patron d’un restaurant prévoit l’achat de mobilier de jardin en vue d’aménager un parc pour ses clients. Il choisit deux modèles, l’un en bois, l’autre en mé-tal.Pour le modèle en bois, le lot comprend une table, trois chaises et quatre fauteuils ; le tout pour un prix de 2 400 euros. Pour le modèle en métal, le lot comprend une table, neuf chaises et deux fauteuils ; le tout pour un prix de 1 600 euros.Le projet est de disposer d’au moins 63 chaises et 30 fauteuils.Il s’agit de déterminer l’achat qui permet de minimi-ser la dépense.1. Traduction de la situationSoit x le nombre de lots en bois et y le nombre de lots en métal achetés par le restaurateur.a) Justifier que les contraintes peuvent s’écrire :

x et y naturels et .

b) Montrer que la quantité à minimiser est 3x + 2y.2. Utilisation d’un tableura) Première solution : prise en compte des contrain-tes avec la fonction « SI … »Partir d’une feuille de calculs sur laquelle on fera apparaître les éléments du tableau ci-dessous.

Justifier le fait que l’on inscrive la formule suivante dans la cellule B2, puis qu’on la reporte vers le bas puis vers la droite :=SI(((B$1+3*$A2)>=21)*ET((2*B$1+$A2)>=15);3*B$1+2*$A2 ; » « )

Déduire de la lecture du tableau ainsi obtenu, le couple de nombres (x ; y) qui minimise 3x + 2y.En déduire le montant de la dépense minimale.

b) Deuxième solution : utilisation de la fonction SOLVEUR du tableurLa fonction SOLVEUR du tableur permet de détermi-ner les quantités optimales de chaque lot à acheter pour minimiser le coût total. Elle devra être utilisée à partir d’une feuille de cal-culs complétée sur le modèle ci-dessous, où les cel-lules complétées en rouge traduisent les données de l’énoncé.Justifier que la formule à mettre dans B5 est :

=B2*F2+B3*E3

Compléter, de même, les cellules C5 et D6 (faire ap-paraître le coût minimal dans D6).

Pour utiliser la fonction SOLVEUR, procéder ainsi :dans « Outils », ouvrir « Solveur », définir les cellu-les cible et variables, puis suivre les indications, en les justifiant. On aboutit au tableau ci-dessous.

Il ne reste plus qu’à cliquer sur « Résoudre ».Que voit-on apparaître sur la feuille de calculs ? Conclure.

12

A

3

xy01

45

23

B0

C1

D2

E3

F4

x + 3y � 212x + y � 15{

1

2

A

3

x (lotsen bois)

y (lotsen métal)

4

5

Nombre d’élementsnécessaires

Nombre d’élements

achetés

B

Nombre dechaises

3

9

63

C

Nombre defauteuils

4

2

30

D

Coûtunitaire

2 400

1 600

E

Quantitéoptimale

6 Coûtminimal

Utilisation du tableur

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CH

AP

ITR

E3

79

Pro

gra

mm

atio

n l

inéa

ire

34

32

1 � xy � 2x + 2y � 12{

y � 2x � 1x + 2y � 12

x � 2y � 1x + 2y � 12

x � 2y � 1x + 2y � 12

A. Savez-vous… déterminer et utiliser le coefficient directeur d’une droite ?

A B C D

1. La droite d’équation – 4x + 2y = 3 a pour coefficient directeur

– – 2 2

2. La parallèle à la droite d’équation3x + y = – 2, passant par A (1 ; – 3),a pour équation

6x + 2y = 0 3x – y = 6 6x + 2y = – 4 x + 3y = – 8

B. Savez-vous… résoudre graphiquement des inéquations ?

A B C D

3. Les points de coordonnées (x ; y) situésau-dessous de (AB) ont

uneordonnée

au plus égaleà 1

uneabscissepositive

descoordonnéesqui vérifientx + 2y � 12

4. L’ensemble des points M (x ; y) situésà l’intérieur du triangle ABC estcaractérisé par

C. Savez-vous… résoudre des problèmes d’optimisation ?On suppose que, dans un problème, les solutions sont les couples d’entiers (x ; y) positifs ou nuls situés à l’inté-rieur du triangle ABC (frontières non comprises).

Pour les questions 3 à 7, utilisez le graphique ci-contre.

A B C D

5. La quantité 4x + 2y estmaximale pour(x ; y) = (7 ; 2)

maximale pour(x ; y) = (3 ; 4)

minimale pour(x ; y) = (3 ; 2)

minimale pour(x ; y) = (5 ; 3)

6. La plus petite valeur de 4x + 2y est 8 0 16 10

7. La plus grande valeur de 4x + 2y est 36 32 24 60

descoordonnéesqui vérifient

y � x + 612

O

B

A

C

x

y

Et pour finir testez-vous !Pour chacune des questions suivantes, choisir la (ou les) bonne(s) réponse(s).

Réponses page 211

chapitre 3

QCM

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