Boole, Piaget y el "psicologismo"

Rey. FiL Univ. Costa Rica, XIX (49, 50), 49-67,1981

Carmen María Chaves

BOOLE, PIAGET Y EL "PSICOLOGISMQ"

1. INTRODUCCION

1. A pesar del adelanto con que las cienciasdeductivas alcanzan su desarrollo en la historia, lalógica quedó relegada a la repetición escolástica delos filósofos hasta bien entrado el siglo XIX, mien-tras las ciencias experimentales y matemáticas acu-mulaban avance sobre avance, libres de cualquieratadura dogmática. De hecho la historia de lasciencias nos muestra la existencia de una gran dife-rencia temporal entre el desarrollo de las ciencias.deductivas (lógica y matemáticas), y el de las expe-rimentales. La lógica y las matemáticas comen-zaron a existir como tales desde la época griega,mientras que las ciencias experimentales tuvieronque esperar, a pesar de los intentos puramente teóricos de algunos filósofos medievales como Bacony su escuela, el gran desarrollo de los talleres arte-sanales que se produce en el Renacimiento, con laconfluencia coyuntural del conocimiento tradicio-nalmente práctico de los artesanos, y la nueva ma-temática del siglo XVI (Niccolo Tartaglia, Ludo-vico Ferrari, Gerolamo Cardano) que, dentro de latradición de Arquímedes, se manifiesta como unaciencia eminentemente práctica, repudiando la ma-temática especulativa y mística de las escuelas neo-platónicas y neopitagóricas. La aplicación delmétodo matemático-experimental surgido de estacoyuntura, y el perfeccionamiento creciente de losinstrumentos de observación y de experi-mentación, posibilitan el desarrollo de una nuevaciencia de la naturaleza a partir de la época mo-derna. Esta relación con la ciencia natural propicia,a su vez, un desarrollo acelerado de las matemá-ticas; uno de los casos más conocidos es el delcálculo infinitesimal que surge a la par de la nueva

física como instrumento de análisis y cuantifica-ción del movimiento.

La ciencia experimental de los siglos XVII-XIX utiliza el método matemático, y deja a la ló-gica recluída en el ámbito de la filosofía antiguaque permanece ajena al desarrollo científico. Bastarecordar la lucha que emprenden los filósofos deavanzada contra el aristotelismo; la crítica quedirige Descartes al método de la lógica y su elogiodel método de los matemáticos, va unida a unaactitud práctica orientada hacia la construcción deun nuevo modelo lógico que imite el de las mate-máticas; también Leibniz aspira, en la mismaépoca, a elaborar un cálculo lógico. En resumen,mientras la lógica formal no hizo progresos signifi-cativos en relación con el establecimiento de un"nuevo método de cálculo lógico", y la impor-tancia de los aportes renovadores que introducenalgunos lógicos medievales y renacentistas sólo esreconocida ahora, a la luz de los nuevos desarrollosde la lógica, la matemática realizó grandes transfor-maciones en el período que va del Renacimiento alsiglo XVIII (1).

¿Cuál fue la causa de este atraso? Creo quelos factores que lo explican son, básicamente, detipo ideológico:

a. La lógica surgida en las escuelas de los filó-sofos como ciencia puramente deductiva, no sedesprende de sus raíces especulativas. Durante la

(1) ".:. los mate~ticos y los hombres en general,razonaban libremente sin reparar en la falta de adecuaciónteórica de la lógica formal de la época o, por lo menos, sinocuparse de reformarla o extenderla ... " (Quine, W.,1958, p. 2).

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Edad Media permanece atada al dogma teológico ya la metafísica. Dadas las características político-económico-sociales de esa época, el hecho de sudependencia ideológica convertía en "política-mente subversiva" cualquier invención (recordar elcaso de Occam).

b. Por otra parte, la matemática conserva unaposición independiente en relación con las cuestio-nes especulativas, en parte por la influencia de latradición de Alejandría, y en parte porque desdeAristóteles la tradición derivada de su escuela noconsideró a la ciencia del número apta para expli-car la realidad, esencialmente cualitativa, delmundo físico. Además, cuando se mezcla con cues-tiones especulativas, o bien asume el partido de lacrítica a las ideas establecidas, o degenera en misti-cismo; pero en ningún caso permanece atada aldogma social del momento (2).

c. Por último, al desarrollarse plenamente elmétodo matemático aplicado a la física, la lógicaes abandonada, junto con la metafísica, a las escue-las de los filósofos, constituidas en gran parte porreligiosos.

2. Esta situación se mantendrá hasta finalesdel siglo XIX, época en que comienza a adquiririmportancia el desarrollo de la lógica más allá delos límites impuestos por la silogística aristotélica.Las realizaciones más significativas para este desa-rrollo fueron:

a. La construcción de la estructura algebraicade "grupo" desde finales del siglo XVIII (Lagran-ge, Cauchy, Niels Abel, Evariste Gaulois), pro-vocada en parte por la necesidad de resolver lacuestión planteada en relación con las ecuacionesalgebraicas de quinto grado. Abel demuestra que,en general, la ecuación de quinto grado no puedeser resuelta por radicales; Galois muestra que es

(2) En la Edad Media tardía la escuela de Oxford,por influencia sobre todo el pensamiento árabe, incorporaa la tradición el pensamiento que floreció en las escuelasplatónicas y pitagóricas, fuertemente influido por las reali-zaciones de los matemáticos, así como el aporte de Ale-jandrfa. Pero esta inyección de pensamiento no aristo-Iélico, si bien desempeña históricamente un papel muyimportante al fomentar la crítica a la filosofía tradicional,no produce su desplazamiento. El pensamiento árabe, in-troducido por la tradición de Oxford, además de influir enel desarrollo de métodos de observación, provoca la cons-trucción de métodos más cercanos a los matemáticos, co-mo el álgebra de palabras de Bradwardine y el análisis delos cambios cualitativos efectuado por Oresme. Pero elpensamiento de estos filósofos-científicos continúa dentrodel modelo cualitativo de la física antigua.

posible resolverla sólo si un grupo asociado con laecuación tiene ciertas propiedades específicas (es-tos grupos son llamados ahora "solvable groups").La construcción de esta estructura de grupo fuemuy importante para el desarrollo de la nueva ló-gica porque, a partir de 1850, la teoría de grupospermite la aparición de un álgebra abstracta queabarca el álgebra numérica clásica como un casoespecial. Esto encuentra acogida en el interés delos lógicos por construir un cálculo, y, aunque estaambición se remonta a Leibniz y se continúa enPloucquet, Lambert, Jean Castillo, y otros, el pro-greso real lo representa la obra de Boole.

Además, durante la segunda mitad del sigloXIX se colocaron los cimientos para los más im-portantes desarrollos de las nuevas lógicas (Ger-gonne, Hamilton, Bentham, De Morgan, Jevons,Peirce, Boole, Schroder, Frege). Boole en 1847 ensu Mathemathieal analysis of logic presenta la no-ción de "sistema formal" como un cálculo suscep-tible de recibir diversas interpretaciones, y cuyavalidez depende tan sólo de las leyes de combi-nación de los símbolos que usa, con independenciade cuál sea la interpretación que se les confiera. Ensu obra de 1854, An investigation 01 the laws 01thougth, se propone: " ... investigar las leyes fun-damentales de las operaciones de la mente me-diante las cuales se realiza un razonamiento; expre-sarIas en el lenguaje simbólico de un cálculo ysobre esta base establecer la ciencia de la lógica yconstruir su método" (p. 1). Boole logra construirun cálculo lógico utilizando un álgebra no cuanti-tativa, y a partir de él se produce una verdaderarevolución en lógica. Estos avances, unidos a losdel álgebra, harán posible la constitución de unalógica matemática totalmente axiomatizada en laprimera mitad del siglo XX (Frege, Cantor, Rus-sell, Hilbert, etc.).

c. Existe otro rasgo en la matemática de lossiglos XIX-XX que es decisivo para el avance dela lógica: Ia investigación sobre los fundamentos delos axiomas, postulados y reglas de deducción. Losmatemáticos del síglo XVIII no se preocuparonpor la fundamentación de sus teorías analíticas;trabajaron con las estructuras infinitas al igual quecon las finitas, sin preocuparse por la fundamenta-ción rigurosa de los métodos aplicados. Cuandoaparecen las primeras contradicciones se hace pa-tente el límite del "sentido matemático", y, yadesde finales del siglo XVIII, surge la preocupaciónpor la fundamentación del método; G. Saccheri(1733) y J.H. Lambert (1766) con sus investiga-

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ciones sobre el axioma de las paralelas; Lagrange ysu "cálculo de derivaciones" que debía funda-mentar inobjetablemente el cálculo diferencial sinrecurrir a las diferencias "infinitamente pequeñas";la obra de Hilbert (I899) que rompe con la con-cepción que venía desde los griegos, y que suponíaque el "sentido" de los conceptos empleados enmatemáticas era intuitivo.

3. Al fallar las técnicas puramente intuitivas,los matemáticos se ven obligados a reexaminar sustécnicas de deducción; se siente la necesidad derecurrir a la lógica para definir las reglas válidas deinferencia; " ... es preciso tornar explícitos losmétodos deductivos y estudiarlos intensamente".(Quine, 1958, p. 4). A principios de este siglo, B.Russell descubre "que los principios del raciocinioque se emplean tácitamente en matemáticas, y talvez fuera de ella, son.capaces de envolvemos encontradicciones. Este descubrimiento precipitóuna crisis. Los principios de la lógica deductivatuvieron que ser formulados explícita y cuidadosa-mente, así como también fueron sometidos a unarevisión para que la matemática en general estu-viese bien fundada." (Quine, 1958, p. 4).

Se llega así a determinar que un sistema de-ductivo, ya sea lógico o matemático, es un sistematotalmente abstracto y formal. En el siglo XX seafirmará la concepción puramente "convencional"del cálculo; hasta las reglas de procedimiento sonconstruídas por definición, y, por lo tanto, sólotienen sentido lingüístico en relación con los ele-mentos del sistema. No existen ya ni la significa-ción absoluta y única de los elementos y las reglassintácticas, ni la validez absoluta de los axiomas yteoremas; todo es relativo a las convenciones quehan servido para fundar el principio de construc-ción de la teoría deductiva. Además, el resultadode los procedimientos de deducción no recibe unainterpretación determinada. La ingenuidad de lossiglos anteriores en relación con esto, se manifiestaen la creencia de que la verdad, o validez, de losconceptos y relaciones lógicas empleados en la de-ducción, es captada directamente por el intelectocon toda claridad y distinción, y que las reglas deinferencia son absoluta y evidentemente válidas.Aún en las concepciones de la lógica que corres-ponden al período de transición del siglo XIX alXX, y que representan el gran paso revolucionarioen la historia de la lógica, se encuentran residuosde esa concepción intuitiva que se remonta a losgriegos. Esta versión intuitiva de la lógica queflorece sobre todo en el siglo XIX, se ha llamado

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"psícologismo" (3), y a ella permanecen atadoscasi todos los lógicos hasta que se impone la con-cepción puramente formal a principios del si-glo XX (4).

Este enorme avance en la construcción de unalógica axiomática, hizo explícita una cuestión quehasta entonces había sido supuesta sin preocuparsepor ella: ¿cuál es el significado real de la lógica yde las matemáticas? Porque, al convertirse en unsistema puramente simbólico, perdió el contactoque mantenía con contenidos intuitivos. En rela-ción con esto afirma Piaget que "una de las carac-terísticas más curiosas de las ciencias deductivas esque pueden alcanzar un grado muy alto de perfec-ción antes de que sean capaces de discernir conprecisión el género de realidades al que corres-ponden. No es, por ejemplo, exagerado decir quehasta fmales del siglo XIX los matemáticos han os-cilado entre el ideal de una matemática pura oabstracta y el de una deducción matemática de loreal, sin ser suficientemente conscientes de la dua-lidad de inspiración que supone este doble objeti-vo ... La lógica ... ha oscilado durante muchotiempo entre el ideal de una disciplina deductiva yel de un modelo abstracto, pero adecuado, de las"operaciones del pensamiento": de hecho, desde lalógica de Aristóteles hasta la de Goblot (Goblot,1918), ha perseguido a la vez ambos objetivos"(piaget, 1972, p. 61-62). Así Boole (1854) consi-dera "las leyes de los símbolos de la lógica", "de-ducibles a partir de la consideración de las opera-ciones de la mente en el razonamiento"; e investigalas operaciones del pensamiento en el lenguaje,porque las operaciones lingüísticas y sus leyes ex-presan las operaciones reales del pensamiento y lasleyes que las rigen (Bao le , 1952, cap. 11y I1I).

La cuestión en relación con el objeto de lalógica no se plantea en la lógica antigua: existe enel pensamiento griego una total indiferenciaciónentre el campo de investigación que corresponde ala lógica, a la epistemología y a la metafísica. Elestudio de las formas de inferencia válida en suexpresión lingüística de Sujeto-Predicado, consti-tuía a la vez la fundamentación del conocimientoverdadero porque expresaba el orden que debe se-

(3) A esta desviación "psicologista" en lógica, co-rresponde la desviación "logicista" en psicología de la in-teligencia.

(4) Pero también en nuestro siglo existen escuelasintuicionistas que mantienen el criterio de "evidencia sub-jetiva", aún cuando se trate de una subjetividad "trascen-dental"


guir el pensamiento para alcanzar la verdad irrefu-table, en las ciencias de la naturaleza y en las delespíritu. Se suponía que las categorías que deter-minan la conexión válida Sujeto-Predicado, se refe-rían a la vez al pensamiento, al lenguaje y a lascosas; los principios lógicos regían no sólo el pen-samiento y el lenguaje, sino toda la realidad. Yaunque los sofistas permanecieron al nivel de unanálisis del lenguaje con fínes prácticos, la historiade la lógica sigue la vía marcada por la Academia,el Liceo y los conventos medievales: la lógica cons-tituirá el camino para alcanzar la esencia de lo real.La psicología como ciencia experimental no exis-tía en el mundo griego; la vida mental, la actividadde las potencias del alma racional, se manifestabaen el razonamiento, en las conductas volitivas y enlas diferentes expresiones del sentimiento, y el me-dio para captar estas manifestaciones lo constituíala experiencia subjetiva. 'Si la existencia del almainmortal y espiritual explicaba la existencia de sus'manifestaciones, a su vez el conocimiento subje-tivo de estas manifestaciones era prueba suficientede la existencia del alma y de su inmortalidad yno corporeidad. La evidencia subjetiva servía fun-damento a conclusiones epistemológicas; la premi-sa de la "intuición intelectual", la universalidad del"ansia de conocer" y de la "capacidad racional",no eran más que generalizaciones a partir de esasexperiencias. La única experiencia no subjetiva seencontraba en el análisis del discurso científico, yfue precisamente el análisis del discurso el que per-mitió el desarrollo de la ciencia de la deduccióncon los sofistas y Aristóteles; pero la fundamen-tación del método se basó en el criterio de "evi-dencia subjetiva".

La seguridad subjetiva en relación con losdatos de introspección constituyó un obstáculoepistemológico cuya superación no se vislumbrahasta finales del siglo XIX. Por esto se pensará, aúnen ese siglo, que la descripción de las formas de losjuicios y razonamientos verdaderos, o la expresión através de un cálculo de las leyes de la lógica que semanifiestan en el lenguaje, alcanza a las formas yleyes del pensamiento natural, y los psicólogos dela inteligencia utilizarán en sus explicaciones mo-delos lógicos. Según Piaget, los "hechos de con-ciencia son, desde el punto de vista del sujeto, de

. naturaleza implicadora, y conllevan aspectos nor-mativos. Tal es la razón por la que el psicologismocorriente sintió la tentación de reducir, sin más, lasnormas de la lógica a las "leyes del pensamiento",olvidando que entre la lógica "ingenua" del suje-

to ... y la del lógico media una distancia análoga ala que separa la ''física ingenua" del niño de la delfísico ... " (piaget y Beth, 1968, p. 194).

Además, aún en el siglo XIX la psicología ca-recía de métodos de experimentación sistemáticapara la investigación de los mecanismos reales delpensamiento, lo que explica que, en el campo de lapsicología de la inteligencia, se tomara en cuentasólo el aspecto normativo del pensamiento delsujeto descrito por los lógicos, tendencia a la quePiaget califica de "logicismo": "Ellogicismo es latendencia a introducir consideraciones sacadas dela lógica, cuyo objeto depende de la validez deduc-tiva y no de cuestiones de hecho, en el contexto delas explicaciones causales que la psicología trata defundar únicamente en la experiencia" (Piaget yBeth, 1968, p. 174-175). Aún después del surgi-miento de la psicología experimental en el si-glo XIX, la psicología del pensamiento se conten-tará, durante mucho tiempo, con describir suma-riamente los conceptos, juicios y raciocinios ex-traídos de la lógica clásica. Píaget critica la utili-zación del método introspectivo en psicología dela inteligencia, fundamentalmente porque, alcarecer de perspectiva gen ética, la introspección sedirige exclusivamente a "los estadios finales de laevolución intelectual", y por esto sus conclusionesse fundan en las leyes de la lógica que parecen regiren forma absoluta el pensamiento de los sujetos;los hechos de pensamiento no son explicable s en-tonces en términos psicológicos, reduciéndose elpapel del psicólogo a utilizar las formalizaciones delos lógicos para describirlos;" ... la sombra de lalógica formal continúa proyectándose, como unadato irreductible, sobre la investigación explicativay causal del psicólogo, mientras no se coloque enun punto de vista resueltamente genético ... "(Piaget, 1966, p. 43). Su crítica está dirigida espe-cialmente contra la Denkpsychologie de la Escuelade Wurzburg que, desde Marbe y Kulpe a K.Buhler y Selz, trató de llegar a los mecanismos delpensar utilizando un método de introspección pro-vocada. Si bien esta escuela genera la reaccióncontra el asociacionismo y, además, obtiene algu-nos resultados válidos (entre ellos que el juicio nose reduce a una simple asociación sino que consti-tuye un acto intencíonal, que la imagen no es unelemento del pensamiento sino un simple auxiliarque no siempre está presente), termina en un "pan-logismo" que obstaculiza la investigación psico-lógica.

4. y aún después de que tanto la lógica como

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la psicología pudieron utilizar métodos propios(matematización y formalización en lógica; experi-mentación sistemática en psicología), permanecedurante cierto tiempo la infiltración psicologistaen lógica y la logicistaen psicología, lo que produ-cirá una separación radical por desconfianza mutuaen la primera mitad del sigloXX. Piaget y Boole,situado éste antes y aquél después de esta etapa,proponen ambos la diferenciación desde puntos devista distintos debidos a su separación temporal.Después de una primera etapa de total indíferenciación entre lógica y psicología, Boole comenzó aestablecer las diferencias al construir un "cálculológico" vaciado de contenidos intuitivos.

Durante mucho tiempo las cuestiones descrip-tivas y las normativas no se diferenciaron suficien-temente al tratar de comprender la naturaleza de laciencia de la lógica; se la entendía a la vez como elestudio de los procesos deductivos y como unadescripción de las leyes del pensamiento. Esta indi-ferenciación que, como lo hemos anotado, se man-tuvo hasta tiempos relativamente recientes, seremonta a la lógica antigua aunque explícitamentese manifiesta a partir del Renacimiento (así, paraPetrus Ramus una ley lógica era, a la vez, una leyde la razón). Y hasta inicios del sigloXX no seestableció claramente la diferencia entre una disci-plina que describe cómo se piensa y cómo serazona de hecho, y que además busca la expli-cación causal de estos hechos, y una disciplina quese ocupa de fijar las pautas del razonamiento co-rrecto.

En términos generales se dice que la diferenciase establece desde la segunda mitad del sigloXIX,cuando las dos obras de Boole producen lo que seha llamado el ilucio de una revolución en la lógica.Pero si bien Boole es, precisamente, el punto departida para la formalización de la lógicay, por lotanto, para su separación definitiva de la psicologíay de la filosofía, creemos que su obra (Boole,1854) no establece suficientemente esa diferencia.En primer lugar, considera "las leyes de los sím-bolos de la lógica", "deductibles a partir de la con-sideración de las operaciones de la mente en elrazonamiento" (Boole, 1854, 1958, p.45-46).Dentro de esta línea, deduce la ley de contradic-ción de lo que para él es una "ley fundamental delpensamiento" (idem, p. 49-51). En segundo lugar,toma como punto de partida el supuesto queafirma la posibilidad de una ciencia de la lógicafundándola en la existencia de leyes del pensa-miento que pueden ser conocidas experimental-mente, la ciencia que las descubrirá y expresará

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será precisamente la lógica: " ... Es innecesariopresentar aquí ningún argumento para probar quelas operaciones de la mente están realmente sujetasa leyes, y que la cienciade la mente es por lo tantoposible ... Permítaseme suponer que la ciencia delas facultades intelectuales es posible, y conside-remos por el momento cómo las conocemos"(Boole, 1854, 1958, p. 3). Anotemos que las leyesobjeto de investigación, tanto en la física como enla lógica, preexisten, según Boole, a su descubri-miento: Además, el "conocimiento de las leyes dela mente no requiere como base ninguna colecciónextensa de observaciones. La verdad general esvista en el caso particular, y no tiene que ser con-firmada por la repetición de los casos" (ídem,p. 4). O sea: el conocimiento de las leyes que rigenlas operaciones mentales, no es probable sino nece-sario.

En Boole no existe, por lo tanto, un deslindeclaro del campo que corresponde a una cienciapuramente normativa; pero tampoco recurre a unaciencia empírica como la psicología para conocerlas "leyes del pensamiento". Su punto de partidaconcreto lo constituye el lenguaje: las operacioneslingüísticas y sus leyes son la expresión de las ope-raciones reales del pensamiento y de las leyes quelas rigen (ef. Boole, 1854, 1958, cap. 11y I1I). Siafirma el postulado "psicologista", no existe dehecho en su obra la interferencia del método yresultados de la psicología con las cuestiones nor-mativas propias de la lógica. La insuficiencia sedebe a la falta de distinción entre las condiciones"formales" de validez, y las condiciones "reales"que determinan la existencia de un pensamientológico. A la lógica como ciencia "formal" norma-tiva, no le interesan las condiciones concretas queexplican la génesis del pensamiento lógico; estopertenece al campo de la epistemología y de lapsicología de la inteligencia. Resumiendo: por nodistinguir adecuadamente las cuestiones de hechode las cuestiones de forma, en relación con el pro-blema de la validez, es que podría tildarse a Boolede "psicologismo". Sin embargo, en el detalle desu obra no se encuentran errores causados por esainterferencia; las deficiencias que presenta su librode 1854 son debidas a una formalización todavíaincompleta, y no a falta de la diferencia apuntada.En la construcción del cálculo lógicono introducecuestiones de hecho y, desde el punto de vista his-tórico, el desarrollo posterior de la lógica se basóen ese aspecto puramente formal de su trabajo, yno en las consideraciones especulativas o "psícolo-gistas" que aparecen en su obra.

Se llama pensamiento natural, o "pensamientoreal", a los procesos intelectuales tal como se danen los sujetos concretos y que sólo pueden ser co-nocidos por observación experimental. La relaciónentre el pensamiento concreto y la lógica ha sidoplanteada en nuestro siglo desde diferentes puntosde vista que, básicamente, pueden reducirse a dos:el pensamiento sigue lógicas; el pensamiento nosiempre es lógico, o casi no tiene que ver con lalógica (posición bastante generalizada, como ano-tamos arriba, en la primera mitad de este siglo).Algunos de los que defienden esta segunda posi-ción se basan en los errores que comenten los suje-tos en el razonamiento; a lo que responden lospartidarios de la primera posición, extrayendo susargumentos también de estudios experimentales,que los errores no expresan la no existencia deprocedimientos lógicos en el pensamiento de lossujetos estudiados, sino la interferencia de otrosdatos supuestos en la interpretación que el sujetohace del material que se le presenta. Generalmenteesta distorsión del material es causada por el con-tenido, porque como la mayoría de los sujetos noestá constituida por lógicos, no se manifiesta enellos las tendencia a utilizar únicamente el aspectoformal de la cuestión presentada; además, tiendena seguir normas subjetivas que no están dadas ex-plícitamente. Un ejemplo: el problema de las per-las (Bulbrook, 1932) que consiste en sacar lascuentas de la parte central de un collar sin sacar lasde los extremos. La mayoría de los sujetos difícil-mente ve la solución en romper las perlas porquesuponen que no deben destruir el material, aunqueesta regla no se les haya dado. También la interfe-rencia de factores ernotivos hace que el sujeto seadhiera a una conclusión emotivamente favorablesin prestar atención al desarrollo de la inferencia(Cf. Piaget y otros, 1977, cap. 2, 5,6,).

De esto se concluiría que los argumentos, fun-dados en el resultado de experiencias con sujetosconcretos, a través de los cuales se ha querido de-mostrar que el pensamiento no sigue pautas lógicaso que no siempre lo hace, no podrían ser válidosporque en la acción de pensar intervienen, comoen cualquier acción humana, una serie de factoresno explícitos que estarían provocando una distor-sión en el resultado esperado. De aquí que elestudio del pensamiento no pueda hacerse sobrepautas casi exclusivamente verbales; lo que debeinteresar es más la coordinación de las accionesmismasque la respuesta verbal.

Píaget que ha sido tal vez el psicólogo que hadedicado más tiempo a estudiar las relaciones entre

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El lastre de lenguaje "psicologista" que perma-nece aún en obras que inician la separación entrelas dos ciencias, como es el caso de Boole, motivóa los filósofos y lógicos de la primera mitad delsigloXX a iniciar una acción de limpiezabarriendotodo vestigio de "psicologismo" del campo de lalógica. Esto tuvo como resultado una actitud devigilancia constante y de intolerancia recí-proca (5).

5. A la cuestión planteada sobre la naturalezade la lógica, Piaget ha respondido repetidamenteque, para él, la lógica formal o logística es la "teo-ría formal de las operaciones deductivas" (piaget,J., 1949). A la pregunta: ¿es la lógica la "cienciapositiva de las leyes del pensamiento"? , respondenegativamente. Su respuesta no significa que pre-fiera sustituir simplemente esa definición por otracomo "la ciencia positiva de las leyes de la comuni-cación", o de "las reglasde una sintaxis", sino quecree necesario profundizar en las característicasque definen una ciencia normativa, y en su rela-ción con las normas propias del pensamiento natu-ral.

(5) En general, en la primera mitad del siglo XX, lospsicólogos por su parte han tenido a subestimar el papelde la lógica en el pensamiento de sus sujetos (Henle,1962): J. S. Bruner, J. J. Goodnow y G. A. Austin afir-man que "buena parte del razonamiento humano se apoyaen un tipo de proceso temático más que en una lógicaabstracta. Ee principal rasgo de este proceso temático essu estructura más bien pragmática que lógica". Los indi-

o viduos tienden a preferir "proposiciones empíricamenterazonables" a proposiciones lógicas (En: Bulbrook, M. E.,1932). Morgan y Morton (1944): "Es probable que unapersona acepte una conclusión que exprese sus convic-ciones sin tener en cuenta la corrección o incorrección delas inferencias que intervienen. Nuestros datos indicaránque la única circunstancia bajo la cual podemos estar rela-tivamente seguros de que las inferencias de una personaserán lógicas es cuando conducen a una conclusión que yaha sido aceptada" (p. 39). Lefford (1946): Los principiosde inferencia lógica "son técnicas que no forman parte delpatrimonio común de los sujetos no sofisticados"(p. 144). Distingue "las inferencias psicológicas que pue-den ser realizadas por una persona corriente" de la infe-rencia lógica; la inferencia psicológica es simplemente unhecho (p. 145). Dollar, J. y Miller, N. E. (1950), sostienenque ser lógico es "un impulso aprendido: se castiga al niñopor las contradicciones lógicas y los disparates, por losplanes ilógicos y contradictorios. El resultado para la ma-yor parte de la gente, es un impulso aprendido a hacer quelas explicaciones y planes tengan apariencia lógica".

"Todas estas afirmaciones de psicólogos tienen encomún la suposición de que los principios lógicos son irre-levantes, cuando no antitéticos, con buena parte del razo-namiento real". (Henle, 1962).

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la lógica y la psicología (Cf. Piaget, J., 1949; 1951;'1952; 1953; 1967; 1968), distingue extensa y de-talladamente los objetos y métodos propios de lalógica de los de la ciencia que estudia las "leyes delpensamiento". La lógica se ocupa de los principiosy reglas de la deducción en su aspecto puramenteformal; la psicología de la inteligencia estudia las"operaciones reales del pensamiento". Y, si bienhay convergencia en cuanto a los problemas queatañen a la epistemología de los principios lógicosy a la psicología del desarrollo de las operacionesmentales, existe una independencia radical en losmétodos utilizados por la lógica y la psicología dela inteligencia. La lógica es autónoma en relacióncon cualquier "normatividad" aceptada social oindividualmente por los sujetos; en cambio a lapsicología le interesa el origen de esas normas co-múnmente aceptadas a nivel subjetivo.

Piaget propone una coordínacíón de la lógicacon la psicología. Su posición es la siguiente: si lalogística intentase negar la validez de la investi-gación experimental cuyo objeto es el pensamientológico, esta actitud no tendría fundamento cientí-fico alguno. El enunciado que afirma la invalidezde ese tipo de conocimiento es extralógico; a pesarde que los lógicosquieren plantear el asunto comouna cuestión de derecho (normativa), sin embargono puede resolverse dentro del campo de la lógicaporque se trata de una cuestión de hecho, y sólolos hechos podrían tener la última palabra. Piagetaflrrna entonces que la psicología de la inteligenciadebe existir como ciencia experimental indepen-diente de la lógica, sin atenerse a lo que ésta lepermita o no. Además, " ... el cálculo expresa lasoperaciones como tales y, por refinada que puedaser su axiomatización, los axiomas no describen enfin de cuentas más que el juego de un ciertonúmero de "operadores" fundamentales, cuyopapel irreductible ha sido puesto en evidencia, pre-cisamente, por la formalización" (Piaget, 1949,p. 10). Al lógico no le corresponde preguntarse porel origen de los mismos; corresponde al psicólogoexplicar causalmente las operaciones lógicas, estoes, explicar cómo se han construido esas estruc-turas operatorias que subyacen a toda forrnali-zación; o sea, relacionar los operadores lógicos conlas acciones reales del sujeto. Según Piaget, en suafán dé separar completamente a la lógica de todocontacto con los hechos, algunos lógicos han que-rido "reducir el pensamiento al lenguaje antes quedescubrir sus relaciones con la acción", y olvidarseasí del concepto de "pensamiento" como realidad

empírica; " ... como dicen Carnap y Wittgenstein,ya que 1 + 1= 2 sólo es una tautología, caracte-rística de ese lenguaje que es la "sintaxis lógica" yque no interesa al pensamiento mismo, cuyas inda-gaciones son específicamente experimentales", laacción de reunir dos unidades en un todo, opera-ción que interesa a la psicología, es una acciónilusoria desde el punto de vista de la logística. Peroeste argumento no puede eliminar el hecho de quela operación es una realidad mental que debe serestudiada empíricamente por el psicólogo. All lla-mar a la noción de operación "antropomórfica"Couturat no elimina esta realidad" (piaget, 1966,p. 34-35). El pensamiento individual en su acciónde comprehender los entes lógico-matemáticos,para asimilados "tendrá que reconstruirlos me-diante operaciones psicológicamente reales" cuyaexistencia ningún lógico podrá negar (Piaget, 1966,p.35-36).

Además, al afirmar la independencia de losentes lógico-matemáticos respecto a las opera-ciones que los engendran, los lógicos se enfrentan"con la dificultad fundamental del realismo de cla-ses, de las ralaciones y de los números, que es la delas antinomias relativas a la "clase de todas las cla-ses" y al número infinito actual. Contrariamente,desde el punto de vista operatorio, los entes infi-nitos no son más que la expresión de operacionessusceptibles de repetirse indefinidamente" (Piaget,1966, p. 36).

Por lo tanto debe admitirse, en primer lugar,que los puntos de vista de la lógica y de la psico-logía son radicalmente diferentes; la lógica se ocu-pa de la validez formal de las composiciones opera-torias y de su fundamentación puramente axiomá-tica; el campo de la psicología es el de las opera-ciones reales del pensamiento, y su finalidad esexplicarlas causalmente. En segundo lugar, existeuna independencia total en los métodos: la forma-lización lógica no utiliza datos psicológicos, ni elpsicólogodebe aceptar en sus investigacionesla im-posición de los lógicos. En tercer lugar, debe exis-tir coordinación y colaboración entre las dos disci-plinas, así como los físicos emplean la matemática,el psicólogo puede emplear la lógica para construirun modelo formal de las operaciones reales delpensamiento. La utilización de un modelo lógicopermitirá al psicólogo una comprensión mayor delos procesos de razonamiento. Piaget construyeuna lógica, que denomina "operatoria" o "psicoló-gica", utilizando básicamente el modelo de Boole,y que constituye un modelo algebraico de las ope-


raciones del pensamiento natural. No utiliza unmodelo extraído de la logística actual porque enella las operaciones han sido reducidas a un es-quema, sobre el cual se ha montado un aparatoformal que desborda, en complejidad, el pensa-miento natural propio de los sujetos concretos.Además, las operaciones del pensamiento puedenexpresarse a través de un cálculo lógico, pero noson susceptibles de axiomatización. Por ejemplo,los 16 operadores binarios se encuentran en el len-guaje ordinario y en el pensamiento como "opera-ciones algebraicas" y no como "simbolismo forma-lizado: se trata de las operaciones V, 1\, -+, etc., alas cuales se buscará eventualmente un equivalenteen el lenguaje o en los mecanismos mentales, y noen los axiomas sobre los que se funda la mención yel empleo de estas operaciones en lógica" (Piaget yotros, 1977, p. 66).

La utilización del modelo lógico permite alpsicólogo establecer las "conexiones existentesentre estas operaciones y las estructuras de con-junto de las que las operaciones eventualmente de-penden" (idem., p. 67). Afirma que es un instru-mento adecuado para llegar hasta la "estructuratotal que explicaría esas sincronías en el desarrolloy que daría cuenta de las posibilidades nuevas quese abren al espíritu a partir del nivel considerado"(idem., p. 67).

. En resumen: Piaget deslinda el campo propiode la lógica y el de la psicología, pero afirma lacontinuidad de las operaciones del pensamientonatural en las "operaciones formalizadas y axioma-tizadas de la lógica". El pensamiento sigue impe-rativos lógicos pero, como todos los aconteci-mientos reales, se desvía respecto al modelo abs-tracto por la interferencia de factores aleatorios. Elorigen de la normatividad lógica sería un misterio,como lo fue durante tanto tiempo para los fi-lósofos, si no pudiera ser explicada a partir de lasoperaciones reales del pensamiento. El modelo ló-gico constituye la pauta ideal, y relativa al nivel deconocimientos alcanzado, para comprender los me-canismos del pensamiento concreto. Pero los sis-temas extremadamente axiomatizados, si bien su-ponen siempre en su base el sistema de las ope-raciones naturales, no lo reflejan sino que en partelo esconden tras la sofisticación del lenguaje for-malizado. La psicología del pensamiento consti-tuye la ciencia experimental que corresponde a lalógica formal o "axiomática de los estados de equi-librio del pensamiento" (piaget, 1966). O sea: lapsicología debe explicar la génesis de esos "estadosde equilibrio".

11. La lógica operatoria de J. Piaget

l. Señalamos antes que Piaget insiste en quela "teoría formal" de las estructuras operatoriasdel pensamiento, que trata de explicar el funciona-miento del pensamiento real mediante sistemas deconjunto de los que dependen las operaciones, nopuede confundirse con la "lógica axiomática" a laque no interesan los problemas relativos al pensa-miento concreto y en devenir (6). La axiomati-zación "constituye una de las formas superiores dela estructuración del pensamiento"; Piaget dis-tingue entre las condiciones elementales axiomá-ticas que interesan al especialista en lógica, y lascondiciones elementales genéticas que interesan alpsicólogo ocupado en estudiar el desarrollo y losmecanismos del pensamiento real (Cf. Piaget, J. YBeth, E.w., p. 314). Para Piaget, en "toda formade pensar lógico-matemática, el proceso que sigueel saber no consiste en copiar la realidad, sino enesquematizarla, y . . . el comienzo de abstracciónque es inherente a todo esquematismo, conduce,tarde o temprano, a laesquematización de ordensuperior que es la axiomatización" (idem.). El es-quematismo procede de una abstracción efectuadaa partir de las acciones ejercidas sobre los objetos(ordenar, clasificar, etc.); esto explica el carácterde construcción autónoma que caracteriza a lasoperaciones lógico matemáticas. Si se quiere des-cribir las condiciones elementales "genéticas" nose puede tomar como punto de partida la lógicaaxiomática puesto que ella es el resultado de unproceso de formalización que "se apoya sobre es-tructuras que se elaboran estadio por estadio"(Piaget, J., 1972a, p. xiii); la función de la lógicaoperatoria utilizada por el psicólogo es "liberar lasestructuras elementales que preceden a la matema-tización" (o sea, a la axiomatización - Piaget, J.,1949, p. 99), para "aprehender la naturaleza de losconocimientos en función de sus mecanismos for-madores ... " (Piaget, J., 1972a, p. xii).

(6) Esto no significa que la "teoría formal" que élpropone no pueda ser axiomatizada; Piaget cree que esposible construir una lógica de estos "sistemas" de con-junto", una lógica de las totalidades, que no sirva única-mente para expresar las operaciones elementales del pen-samiento real, sino que constituya un sistema axiomático,construido por especialistas en lógica, que guarde relacióncon el sistema concreto. Afirma que el "tratar de volver alo concreto", es también útil a la logística como tal. Peroesta lógica axiomática. está por construirse; de hecho enesto trabajan actualmente especialistas en lógica que coin-ciden con Piaget, pero en la realidad es sólo una aspiraciónque guía algunas investigaciones lógicas.

BOOLE, PIAGET Y EL "PSICOLOGISMO" 57

Para describir la estructura y los mecanismosdel pensamiento real, Piaget utiliza un modeloconstruido a partir del álgebra booleana, Este mo-delo lo presenta por primera vez en 1942 (Piaget,J., 1942), Y luego, en forma más completa, en suTraitéde /ogique (Píaget, J., 1949), al que describecomo la obra de "un psicólogo que se interesa porla lógica en tanto ella permite construir un modelodepurado de las estructuras del pensamiento"(Píaget, J., 1949, p. v). Tanto esta obra como elEnsayo acerca de las transformaciones de las ope-raciones lógicas, redactado por la misma época ypublicado en 1952 (Piaget, J., 1952), cumplen lamisma finalidad: " ... presentar un modelo lógicode las operaciones reales del pensamiento, o másprecisamente, una imagen del proceso según el cualla lógica formaliza progresivamente las operacionesconcretas del espíritu" (piaget, J., 1949, p. v). Esteinstrumento de análisis lógico es aplicado por pri-mera vez a la interpretación del pensamiento realen la obra De la lógica del niño a la lógica deladolescente, publicada en 1955 [Píaget, J., e Inhel-der, B., 1972).

Piaget se decide a escribir su Traité de /ogique(I949), sin ser él mismo especialista en lógica, por-que no encuentra en esa época ningún especialistaque se atreva a hacer lo, ya que se trataba de "mos-trar cómo se construyen las formas lógicas", o sea,las "estructuras elementales de clases, de rela-ciones, de números, de proposiciones, etc., forma-lizadas con total independencia y autonomía porel lógico, y de buscar cuáles son sus relaciones conlas "operaciones" del pensamiento "natural", mu-cho más pobre y no formalizado" (Píaget, J.,1972a, p. xi).

Ha defendido sin reservas el empleo de la lógi-ca moderna en el estudio de los procesos reales delpensamiento. Opina que la formalización "por arti-ficial que pueda parecer ... constituye, en reali-dad, un instrumento irreemplazable de disecciónde conceptos que logra hacer evidentes sus implica-ciones y conexiones estructurales"; de esta manerael análisis regresivo de fundamentación que efectúael lógico, le ayuda al psicólogo en su análisis regre-sivo de las condiciones de formación de un con-cepto (Piaget y Beth, 1968, p. 313). la lógica nosólo le sirve al psicólogo para comprender mejor,sino también para descubrir elementos determi-nantes desde el punto de vista estructural, en elproceso de formación y utilización de los con-ceptos (Piaget, 1972 (1951), p. 76-90). Pero haido más allá de esta posición puramente instru-mental en relación con la lógica, afirmando un iso-

morfismo entre las estructuras de la lógica opera-toria que gusta llamar "lógica de las totalidades", yel sistema concreto de las operaciones del pensa-miento natural (Píaget, 1949). Sin embargo en al-gunos textos no parece definirse claramente en re-lación con esto; por ejemplo, para expresar simbó-licamente la estructura propia del estadio más a-.vanzado de evolución cognitiva (estadio formal),afirma que utiliza el "simbolismo proposicional co-rriente, en lugar de construir un simbolismo parti-cular con vistas a tales combinaciones proposi-cionales "naturales"; pero a la vez advierte que noquiere "hacer ninguna hipótesis acerca de la corres-pondencia entre la estructura formal y la natural,salvo la de que ambas involucran la misma combi-natoria elemental ... " (Piaget y Beth, 1968,p. 225). Tal vez las críticas que algunos lógicosepistemólogos y psicólogos presentaron a su Tra-tado de lógica (Beth señala cerca de 40 objecionesen 1950), lo condujeron a hacer a un lado la cues-tión del isomorfismo. Además, en fecha más re-ciente el lógico belga Leo Apostel (Apostel, L.,1965), ha criticado, si bien en forma constructiva,la utilización del álgebra booleana como modelode las operaciones concretas del pensamiento real,y ha afirmado que el funcionamiento del pensa-miento real que presenta Piaget en su libro de1955 (Piaget, J. e Inhelder, B., 1972), se desvíafuertemente del modelo lógico del álgebra boo-leana. la formalización de los razonamientos con-cretos de los jóvenes que aparece en el libro esinsuficiente (7). Sin embargo Apostel opina que lasnovedades descubiertas, " ... en lugar de produ-cimos inquietud, deben damos confianza. En efec-to, la lógica contemporánea en su búsqueda de laspropiedades de la implicación natural, de la verda-dera deducción, se ha alejado también del álgebrabooleana. Lo que constituía antes un escándalo (laincomprensible distancia entre los descubrimientosde la epistemología genética y los de los lógicosque realizaban el estudio de la implicación natural)podría dejar de serIo ... " (Apostel, L., 1965).

2. Cuando Piaget utilizó el álgebra booleanaya ésta había sido perfeccionada por los lógicos ymatemáticos que continuaron la obra de Boole(Cf. Kneale, 1972, p. 389-395): a) tabulación delas posibilidades alternativas de verdad (Frege ensu Begrifisschrift en 1879 con el fm de expresar enforma más clara las expansiones booleanas; luegoPeirce, 1885; Post y Wittgenstein, 1920; b) uti-

(7) Ver mas sobre esto en p. 39-41.

58 CARMEN MARlA CHAVES

lización de diagramas a base de espacios inter-sectantes que ilustran las relaciones entre clases ylas condiciones de verdad de las proposiciones (J.Venn en su Symbolic Logic de 1881 representatodas las posibles combinaciones por medio deáreas diferentes, para pasar luego a señalar cuáleshan de ser nulas y cuáles no para que una propo-sición determinada sea verdadera; estos diagramasilustran la teoría de la expansión mediante la cualBoole justifica sus diversos procedimientos decálculo); c) el signo + se usa en el sentido de "o"inclusivo sin imponer ninguna restricción acerca dela índole de los signos entre los que pudiera inter-venir (J evons: Pure Logic o Logic of quality apartfrom quantity, 1864).

Piaget no emplea el álgebra booleana en suforma estrictamente axiomática, tal como la pre-sentan los trabajos de A.N. Whitehead en 1898, yde E.V. Huntington en 1904 y 1933 (Cf. Kneale,1972, p.391-392) Además, a la par del sistemabooleano utiliza también las estructuras de conjun-to que define el álgebra moderna (grupo, corps,anillo, retículo, etc.): "A falta de la lógica axiomá-tica, ¿habrá que dirigirse entonces al álgebra gene-ral? En un cierto sentido, sí, puesto que la teoríade grupos y de retículo s nos enseñará más acercadel mecanismo operatorio del pensamiento que losaxiomas de la lógica formalizada ... " (Piaget yotros, 1977, p. 68).

3. Las abstracciones efectuadas por el sujeto apartir de las acciones que ejerce sobre los objetos,producen cierto número de sistemas operatorioselementales (8) que explican el paso del pensa-miento representativo al operatorio (hacia los sie-te-ocho años), y que permitirán más adelante (ha-cia los 12-15 años), substituir el pensamiento ope-ratorío concreto que sólo funciona apoyándose enla manipulación de objetos o en la representaciónde ést-Osmediante imágenes (o sea, en la prolon.gación representativa de la manipulación posible),por el pensamiento hipotético deductivo (pensa-miento formal) que se apoya en los enunciadosverbales.

En la etapa de pensamiento concreto (7-12años), "de estructuras limitadas y que funcionan

(8) Las "operaciones elementales" son las más sim-ples, o sea, las acciones más fundamentales del sujeto pen-sante (substituciones, clasificaciones, encadenamientos,correspondencias, etc.), en tanto que aplicadas a objetoscualificados y no a unidades cualesquiera" (la logísticamatemática no incluye una lógica de las operaciones ele-mentales).

sólo con ocasión de la manipulación de objetos ...las formas están en camino de disociarse de su con-tenido, pero sin haberse llevado a cabo la diso-ciación: existe un comienzo de ésta, dado que seconstruyen unas estructuras cuyos aspectos forma-les podría desgajar un lógico y ofrecemos una for-malización adecuada de ellos (véase, en el Cap. 8,# 45, la formalización de la estructura del "agrupa-miento" dada por l.B. Grize). Sin embargo, desdeel punto de vista del sujeto, tales formas no llegana funcionar más que ligadas a su contenido ... "(piaget y Beth, 1968, p. 297).

Desde el punto de vista estructural, único queinteresa a la lógica, las "operaciones concretas"constituyen sistemas limitados. Para expresar sim-bólicamente sus características estructurales,Piaget utiliza la noción de "agrupamiento". Intro-duce esta noción en 1942 (Piaget, 1942); "psicoló-gicamente el "agrupamiento" consiste en ciertaforma de equilibrio de las operaciones, vale decir,de las acciones interiorizadas y organizadas en es-tructuras de conjunto, y el problema consiste encaracterizar este equilibrio a la vez en relación conlos diversos niveles genéticos que lo preparan, yenoposición con las formas de equilibrio propias deotras funciones que no sean la inteligencia (las "es-tructuras" perceptivas o motrices, etc.). Desde elpunto de vista logístico, el "agrupamiento" pre-senta una estructura suficientemente definida (ern-parentada con la del "grupo", aunque díferiendoen algunos puntos esenciales), y que expresa unasucesión de distinciones dicotómicas; sus reglasoperatorias constituyen, pues, precisamente, esalógica de las totalidades que traducen en un es-quema axiomático o formal el trabajo del espíritu,al nivel operatorio de su desenvolvimiento, esto es,en su forma de equilibrio final". (Piaget, 1966,p.56-57).

La psicología experimental llegó pronto a laconclusión de que la actividad del espíritu se mani-fiesta, ya desde las primeras semanas de vida delniño, como una actividad totalizadora. No entra-remos aquí en los detalles de descripción de lasestructuras no operatorias, coIl\o las perceptivas ymotrices, ni a señalar sus diferencias (Cf. Piaget,1966). Solamente nos interesa aclarar que la acti-vidad operatoria, de equilibrio más fuerte, se carac-teriza por una mayor movilidad (permite un mayornúmero de transformaciones), y que esta movi-lidad y la estabilidad que de ella se deriva, crecen amedida que se construyen las estructuras formales(el mecanismo genético de la abstracción reflectora


da cuenta del proceso de construcción de las es-tructuras de equilibrio más fuerte a partir de es-tructuras más débiles; cf. Piaget, 1975 y 1977,PUF).

El concepto, elemento del pensamiento y, a lavez, elemento de la lógica tradicional clásica, nopuede existir fuera de un sistema operatorio:" una "clase" no podría existir por sí mis-ma Como instrumento del pensamiento real, yabstracción hecha. de su definición lógica, sóloconstituye un elemento "estructurado" y no "es-tructurante", o, al menos, está ya estructurado enla medida en que es estructurante; no tiene reali-dad sino en función de todos los elementos a loscuales se opone o en los cuales está introducido (oque él mismo introduce). Una "clase" supone una"clasificación", y el hecho primario está consti-tuido por esta última ... Independientemente deuna clasificación de conjunto, un término genéricono designa una clase, sino una colección intuitiva"(Piaget, 1966, p. 55; cf. Piaget e Inhelder, 1973).Una relación tampoco existe aislada sino es como"referencia perceptiva, o intuitiva": "La "se-riación" constituye, pues, la realidad primaria, dela cual una relación asimétrica cualquiera sólo esun elemento momentáneamente abstracto". (Pía-get, 1966, p. 55; cf. Piaget e Inhelder, 1973). Ade-más: " ... es preciso recordar igualmente que unnúmero entero no existe, psicológica y lógica-mente (pese a Russell), sino a título de elementode la sucesión misma de los números (engendradapor la operación +1); que una relación espacialsupone todo un espacio, que una relación temporalimplica la comprensión del tiempo a título de es-quema único? En otro terreno, ¿habría que insis-tir en el hecho de que un valor sólo vale en funciónde una "escala" de valores completa, momentáneao estable? " (Piaget, 1966, p. 55-56). Por esto "elproblema central de una lógica que pretenda ade-cuarse al trabajo real del espíritu ... es el de for-mular las leyes de esas totalidades como tales"(Piaget, 1966, p. 56).

4. Para construir esa "lógica de las totali-dades" Piaget emplea tres estructuras operatorias,dos, el grupo y el reticulado, las toma del álgebramoderna, la tercera, el agrupamiento, la construyeél.

A. El grupo: es la estructura matemática fun-damental. Condiciones:

a. Dos operaciones del sistema tienen comoproducto una nueva operación del sis-tema.

b. Toda operación del sistema puede ser a-nulada por una operación inversa.

c. Existe sólo una operación idéntica, pro-ducto de toda operación directa y su in-versa, y tal que su composición con unaoperación cualquiera no modifica a ésta.

d. Las operaciones son asociativas.

Existen dos operaciones fundamentales desdeel punto de vista lógico, que el grupo no podríaincorporar: A +A = A y A +B = B. Esto marcala frontera entre la lógica y las matemáticas (Pia-get, 1949, p. 94).

B. La red (o reticulado): es una noción másabarcadora que la de grupo porque un grupo y sussubgrupos constituyen una red. Expresa muy bienla estructura parcialmente ordenada del conjuntode las partes de un conjunto total, o sea, permitedefinir, en estricto lenguaje formal, la relación mu-tua entre las diferentes partes de un mismo todo.Un sistema parcialmente ordenado es un sistemaen el cual si tenemos dos elementos a y b, debedefinirse si a viene antes que b, o lo contrario; o sino tienen relación de anterioridad. Se llama red,entonces, un sistema parcialmente ordenado en elcual todo par de elementos posee un límite infe-rior, es decir el más grande de los menores (o inter-sección), y un límite superior, el más pequeño delos mayores (o unión) (Piaget, 1949, p. 95)(9). Elconcepto fundamental es la relación de inclusiónentre una parte y otra (> < = ). Las redes tambiénpueden ser descritas en términos de las pro-piedades algebraicas VeA, exactamente defi-nidas, sin referencia al concepto de orden. En todared las operaciones de unión e intersección sonconmutativas, asociativas y de la misma potencia(x V x = x A x = x). Además, satisfacen la ley decontracción: x A (x V y) = x V (x A y) = x paratodo x e y. Estas leyes se deducen de la condición:los elementos poseen una relación reflexiva (x :?x)para todo X, transitiva y antisimétrica (si x ¿ y, ey ¿ x), (entonces x = y).

Boole fue quien primero estudió, hacia 1850,la estructura algebraica de la red complementariadistributiva por sus aplicaciones en lógica; las pro-piedades que presenta esta estructura le permitírañexpresar toda la lógica en forma de un puro cálcu-lo simbólico. Pero en el sistema de Boole la ley de

. (9) Hay un elemento máximo xAy que está conte-~do en ambos, y un elemento mínimo x D y que con-tiene a ambos.

ciones de clases débilmente estructuradas" (12).Por otra parte las seriaciones elementales tam-

bién constituyen un semi-reticulado porque estánconstruidas a partir de clases semi-es-tructuradas (13).

Las llama "semired" porque todos los límitesinferiores son nulos en caso de clases disyuntas ytodas las clases del mismo rango lo son (Piaget,1949, p. 95), por el contrario como señalamos an-teriormente, la red debe tener siempre el límiteinferior y el superior. Además varios pares de cla-ses tienen los mismos límites inferiores y supe-riores. Al no permitir la reversibilidad completa laestructura del reticulado no se adecúa suficien-temen te al funcionamiento del pensamiento.(" ... la reversibilidad es la condición de toda ra-cionalidad ... ").

"El "agrupamiento" no tiene interés matemá-tico, sólo lógico; está constituido por relacionesintensivas solamente. Constituye una secuenciasimple o múltiple de inclusiones dicotómicas" (Pia-get, 1949, p. 97). En el "agrupamiento" las clasesdel mismo rango son disyuntas (su intersección esla clase nula, es decir, no tienen ningún elementoen común), y la partición esdicotómica (clasesprimarias y secundarias). Las operaciones propiasdel "agrupamiento" son:

a. operación directa: consiste en reunir unaclase y su complementaria bajo la clase in-cluyente más cercana.

b. operación inversa: anula la operación di-recta.

c. operación idéntica: es el producto de la o-peración directa y su inversa, y tal quesucomposición con una operación cualquie-ra no modifica a ésta.


contracción sólo es válida parcialmente: x A x = x.Al eliminar la ecuación x V x = x, no podrá aplicarel principio de dualidad para la unión y la inter-sección que utiliza De Morgan en sus reglas (10).

Cuando se trata de aplicar la estructura de lared a la restructura de conjunto que corresponde auna clasificación, se presentan ciertas limitaciones:

Primero: los límites inferiores son nulos encaso de clases disyuntas (no puedentener ningún elemento en común).varios pares de clases tienen los mis-mos límites inferiores y superiores.No existe reversibilidad completa(sit-un par de clases correspondeun sólo límite superior, la operacióninversa no es posible (11).

Segundo:

Tercero:

Ejemplo:

A = B - A' y A' = B - A, pero A y C' tienen elmismo límite D, yA = D - C' no puede darse, sino:A = D - C' - B' - A' (Piaget, 1949, p. 95).

C. Agrupación (o agrupamiento): Piaget partede la estructura del reticulado sin las restriccionesque introduce Boole. Pero introduce limitacionesde otro tipo que las de Boole para poder describirformalmente los sistemas elementales de clases yrelaciones. Las clasificaciones bajo su forma lógicamás simple constituyen una semi-red (Piaget,1949, p. 91), ya que reposan sobre las "solas no-

(10) A partir de esta restricción podría afirmarseque de hecho, pero no intencionalmente, Boole hace de-pender las leyes de la lógica de las leyes parciales delnúmero, puesto que como O y 1 no satisfacen la ecuaciónX V X = X (sólo O la satisface), esta ecuación no es válidaen su sistema (Cf. Boole, 1854, 1958, cap. 11I,12-16).

(11) "Ahora bien, la reversibilidad es la condiciónde toda racionalidad ... La reversibilidad juega, en efecto,en una lógica operatoria, el papel que asumía la iden-tifidad en la lógica clásica de los conceptos . . . El pro-blema consiste entonces en definir una estructura queconcilie la reversibilidad propia del grupo y el sistema deinclusiones limitadas propias de la red. El "agrupamiento"llena esta doble exigencia. Se le puede concebir ya seacomo una red reversible gracias al juego de dicotomÍas ocomplementariedad jerárquicas ... ya sea como un grupocuya movilidad es restringida por la introducción de inclu-siones que implican identidades especiales A +A = A yA +B = B (Piaget, 1949, p. 96).

(1"2) Def. 11: "Lamaremos "débilmente estruc-turadas", las clases tales que los individuos pertenecientesa ellas (por ejemplo B) están religados e~tre ellos por laposesión de ciertas cualidades comunes ~ propias a estaclase, sin que ninguna operación dada permita construir apartir de esas propíedades+-e, las cualidades ~, etc.,propias a las clases C, etc., en las cuales la clase B estáincluida, ni las cualidades ~ propias a las clases A in-cluídas en B" (Piaget, 1949, p. 69).

(13) Def. 12: "Llamaremos "semi-estructuradas" lasclases ordenadas A -*B -* C ... tales que las relacionesasirnétricas (-*), que unen un elemento A de la clase a unelemento C, constituyen la suma de las relaciones par-ciales (A -*B) (A -*C), pero sin que ninguna operacióndada permita componer la relación A -* C a partir de lasola relación A -*B (es decir sin que sea posible trans-formar 'A-*B en B-*C o en A-*C." (Piaget, 1949,p.70).

BOOLE, PIAGET Y EL "PSICOLOGISMO"

d. identidad especial: "toda operación + Kfuncionará como operación idéntica o de

. nivel superior: A + A = A;-A '+ -A = -A; A -;- B = B(Piaget, 1949, p. 98).

e. las operaciones son asociativas, pero conciertas restricciones debido a la comple-mentariedad propia de las relaciones conti-guas producidas por la participación dico-tómica. Por ejemplo, no se puede tener:

(A' + B) - A' = A' + (B - A'), pues el pri-mer miembro sería igual a A porque B - A' = A,mientras que el segundo miembro daría B porqueB - A' = A Y A' + A = B.

El agrupamiento, entonces, no puede com-binar más que operaciones contiguas y esa es sudiferencia esencial con el grupo. Dos clases elemen-tales cualquiera no pueden ser relacionadas másque por el intermediario de las clases que las encie-rran. La unión de A y C' no se puede efectuar másque por medio de su totalidad común D:(A + C' = D - A' - B').

Las operaciones a-d han sido extraídas de laspropiedades de las redes. La última es propia ex-clusivamente del "agrupamiento" porque en la redno se toman en cuenta estas contigüidades.

El "agrupamiento" es un sistema carente degeneralidad desde el punto de vista lógico, debidoa sus múltiples limitaciones. El interés que pre-senta es, por lo tanto, esencialmente psicológico yaque parece constituir el punto de partida de lasdemás estructuras. Piaget ha creído convenienteformalizarlo para dar precisión a su estu-dio (I4).Pero las formalizaciones efectuadas nohan sido del todo exitosas en clarificar el alcancede esta estructura, porque o bien han tenido queutilizar estructuras poco manejables porque sondemasiado grandes, o bien "redes limitadas porconvenciones" (Cf. Piaget, J., 1972 a, Note com-plémentaire). Piaget cree que la causa de esta difi-cultad es la inmediatez de forma y contenido queexiste en el agrupamiento; sin embargo, aclara (pia-get, J., idem) que el lógico A. Wermus "acaba delograr esta axiomatización de los agrupamiento s" ,introduciendo el predicado binario x y (llamado"sucesor inmediato"), y el símbolo nuevo J "quereemplaza el "U" de la red y expresa la unión de

(l4) Véase la formalización efectuada por el lógicoJ. B. Grize en: Piaget, J. y Beth, E. W., 1968, p. 215-216.O en Grize, J. B., 1960.

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cercano a cercano propia de los "agrupamientos".Esta operación de "unión contigua" x J y = z, en-gendra el sucesor inmediato "z" de dos elementoscontiguos (x, y)" (Piaget, J., ídem) (I5).

Encuentra la estructura del agrupamiento enocho sis temas diferentes (I6), "todos repre-sentados en grados diversos de acabamiento, en elcomportamiento de los niños de siete a ocho hastalos once a doce años, sistemas que se diferencianentre sí según se trate de clases o de relaciones, decomposiciones aditivas o multiplicativas, y de co-rrespondencias simétricas (o biunívocas) o asímé-tricas (o counívocas)". (Piaget, J. y Beth, E. W.,1968, p. 217).

Agrupaciones de clases:

Aditivas:

1. Adición simple (encajamientos simples):truchas incluído en peces, en animales, enseres vivos.

11. Vicariancias (o vicarías): los suizos mástodos los extranjeros con respecto a Sui-za = los holandeses más todos los extran-jeros con respecto a Holanda.

Multiplicativas:

Ill. Bi-unívocas (I7) (clasificación por tablasde dos o n entradas): objetos clasificadossimultáneamente en redondos o cuadra-dos y en rojos o blancos.

IV. Co-unívocas (clasificaciones que corres-ponden a árboles genealógicos: una de lasdimensiones está constituída por el ante-pasado, sus hijos, sus nietos, etc., y laotra, la de los hermanos, primos herma-nos, etc.).

(15) Ver artículo de Wermus sobre la formalizaciónde los agrupamiento s en: Archives de psychologie (Gine-bra},42, 1973, n. 163.

(16) Los presentamos aquí resumidos, pero puedenverse la descripción detallada en: Piaget, 1949, 1972a;Piaget, 1966.

(17) Piaget utiliza esta agrupación para extraer 16combinaciones que definen los 16 functores o conectivasdel cálculo proposicional de dos variables de la lógica biva-lente. Una tabla T = (P V-P). (Q V-O), Y el resultado secombina con las posibilidades de V o F que son cuatro. Elconjunto de estas' agrupaciones es el conjunto de combi-nadon es po sibles.


Agrupaciones de relaciones:

Aditivas:

V. Encadenamiento de relaciones asimétricastransitivas (18).

VI. Encadenamiento de relaciones simétricastransítivas (y aliotransitivas).

Multiplicativas

VII. Biunívocas: multiplicación entre dos se-riaciones que se refieren, bien a la mismarelación (correspondencia serial entre dosfilas distintas de objetos ordenados de a-cuerdo con una y la misma seriación; porejemplo, unas figuritas humanas cada vezmayores en correspondencia con unosbastoncitos cada vez mayores), bien dosrelaciones distintas (objetos ordenados deacuerdo con peso y volumen simultánea-mente).

VIII. Counívocas: corresponde a las relacionesgenealógicas que habían aparecido ya enN traducidas en clasificación de términos.

5. Los agrupamiento s elementales no invo-lucran aún combinatoria alguna, y "por tanto nodisponen de todas las operaciones posibles en unálgebra de Boole" (Piaget y Beth, 1968, p. 217).Las operaciones formales que hacen posible el pen-samiento hipotético-deductivo se construyen a par-tir de las "operaciones concretas", a las que corres-ponde la estructura del "agrupamiento". Es-tructuras que estuvieron separadas mientras la inte-ligencia sólo manipuló objetos en función de suspropiedades perceptivas, se reúnen formado un re-ticulado completo y un grupo de combinaciones(INRC) que contiene la transformación inversa y larecíproca en un único sistema. Si bien "el reticu-lado del álgebra de Boole está virtualmente impli-cado en los agrupamientos de clasificación, puestoque basta generalizar éstos (por vicaría) a todas lasclasificaciones posibles por medio de unos ele-mentos dados para obtenerlo; pero la combinatoriaque conduce a este resultado, y que el niño descu-

(18) Según Piaget, el sistema de los números natu-rales que se adquiere, en forma elemental, a lo largo delperíodo de operaciones concretas, se construye por sínte-sis progresiva de los agrupamientos 1 y V (Cf. Piaget yBeth, 1968, cap. 10-11).

bre de hecho en el nivel mismo en que construyelas primeras operaciones interproposicionales (im-plicación, disyunción, etc.), constituye, por otraparte, una operación nueva, ya que, por más queno consista sino en una generalización de la clasifi-cación, es preciso adquirir conciencia de esta posi-bilidad y dedicarse a cierta clasificación entre to-das las posibles ... ; o sea, construir unas opera-ciones que versen sobre operaciones anterio-res ... " (Piaget, H. y Beth, E. W., 1968, p. 298).

Para describir esta nueva estructura propia delpensamiento formal (cuya manifestación principalen el comportamiento de los sujetos es que puedenrazonar en abstracto, tomando una proposición co-mo hipótesis independient.emente de la verdad desu contenido), Piaget emplea el cálculo proposi-cional bivalente (Cf. Piaget J. y Beth, E. W.,p. 224-231; Piaget, J. e Inhelder, B., 1972; Piaget,J., 1966; Piaget, J., 1949).

Leo Apostel (19) afirma (Apostel, L., 1965)que "es preciso construir nuevos cálculos" porqueel cálculo de la lógica proposicional corriente pare-ce no ser suficiente para expresar el comporta-miento cognitivo propio de los sujetos examinadospor Piaget (se refiere concretamente a la obra De lalógica del niño a la lógica del adolescente, yespecí-ficamente al capítulo XVI de la misma), y se pre-gunta "sino debería privarse al álgebra booleana,que desempeña un papel tan importante tanto enel pensamiento de Piaget (como formalización deuno de los niveles más avanzados del desarrollo delpensamiento) como en la lógica actual (como pro-totipo del álgebra de los subconjuntos de un con-junto, del cálculo de clases y del cálculo clásico de.proposiciones), de la importancia central que lehemos atribuído, para ser reemplazada por otrasálgebras, algunas de las cuales están ya desarro-lladas y otras están en gestación, y que serían re-presentantes más fieles, tanto de la línea evolutivadel pensamiento natural, como de las tendenciasde desarrollo de la lógica actual". (Apostel, L.,1965, p.89-90). Propone "una lógica al mismotiempo combinatoria y modal" aunque él no lapresenta en forma acabada. Insiste sobre todo en elproblema planteado por la implicación causal talcomo se emplea en el libro de Piaget e Inhelder(1955, 1972), porque la expresión formal de losrazonamientos de niños que allí se presentan, no

(19) Profesor en la Universidad de Gante, y colabo-rador del Centre International d 'Epistémologie Génétiquede Ginebra.


podría lograrse con el álgebra booleana. Introduceen el cálculo que propone las nociones de tiempo,operación y posibilidad (o necesidad) (Apostel, L.,1965, p. 91), porque en el libro se explican lasreacciones de los sujetos en términos de equilibrioy desequilibrio, de dinámica y estática, y éstas sonoposiciones temporales. Además, para oponer elpensamiento preoperatorio al operatorio se nece-sita de la noción de operación; y, ''finalmente, laprimacía de lo posible que caracteriza el estadioformal sólo puede comprenderse en la medida enque se ha desarrollado una lógica modal (de lonecesario y de lo posible)" (idem, p. 91-92) (20).

Pero lo que nos parece más problemático, des-de el punto de vista de la formalización, en lostrabajos de Piaget, es que no se trata de "objetoscambiantes" ni de "enunciados de significacióncambiante" (Camacho, L., 1979), sino de "esque-mas de comprensión" que se transforman dentrode una proceso dialéctico, y que, además consti-tuyen estructuras dinámicas en las cuales el equili-brio se manifiesta como movimiento de compen-sación por transformación. Desde este punto devista es necesario establecer una diferencia entre loque pertenece a la estructura de equilibrio di-námico (nivel sincrónico), y lo que pertenece alproceso de construcción de las estructuras (niveldiacrónico). En el artículo citado de Apostel(Apostel, L., 1965) no se precisa esta diferencia; apesar de que se refiere al modelo diacrónico quepresenta Piaget en sus trabajos, no explicita la dife-rencia cuando trata de expresar las característicasde los estadios en que divide Piaget el proceso dedesarrollo (preoperatorio, operatorio-concreto yoperatorio-formal).

111. Piaget y Boole

Existen puntos de coincidencia y diferenciasentre Piaget y Boole, tanto en el campo de la epis-

(20) Para construir su cálculo se apoya en los escri-tos de A. N.Prior: Time and moda lity (Oxford, ClarendonPress, 1957), y "The sintax of time distinction" (Fran-ciscan Studies, 105-125,1958); en la obra de H. B. Curryy R. Feys: Combinatory logic, 1 (Amsterdam, North-Holland \ Pub., Co., 1958. Trad. casto en Ed. Tecnos,Madrid, 1967); y en la de G. H. Von Wright: Norm andaction, A logical iru¡uiry (Londres, Routiedge & KeganPaul, 1963 - Trad. castellana en Ed. Tecnos, Madrid,1970), especialmente el capítulo titulado "The logic ofchange".

temología de la lógica como en relación con laconstrucción de una teoría algebraica de las ope-raciones del pensamiento.

1. Básicamente ambos conciben el sistemaoperatorio del pensamiento natural como la es-tructura que hace posible el desarrollo de la cienciade la lógica: "Cualquiera sea la filosofía que setenga, las operaciones logísticas correspondensiempre a operaciones reales del pensamiento"(Piaget, 1949, p. v-vi). Pero Boole afirma esta co-rrespondencia en -bloque, sin señalar las diferenciasque encuentra la psicología experimental en elpensamiento real de los sujetos concretos al com-pararlo con el pensamiento formal construido porlos lógicos. En este sentido tendrían razón Coheny Nagel (1968) cuando afirman que el título de laobra de Boole (1854) es un nombre inapropiado,ya que en ella, después de afirmar "extralógi-camente" la coincidencia entre el pensamiento realy el pensamiento lógico, se dedica a describir alge-braicamente las leyes de la lógica aristotélica, per-feccionando y ampliando la teoría del razona-miento deductivo, y refiriéndose, cada vez que en-cuentra ocasión, a las "elevadas facultades del en-tendimiento humano" sin que sepamos a cienciacierta ¿qué tipo de ente está evocando (un "enten-dimiento trascendental"? ).

Piaget establece una diferencia de grado entrelas operaciones de la lógica formal y las opera-ciones propias de la actividad mental de los sujetosconcretos. La psicología experimental encuentraconductas lógicas en el comportamiento cognitivode los sujetos, las cuales pueden describirse utili-zando un modelo lógico al que da el nombre de"lógica operatoria o psicológica" para distinguirlade la logística: "Sin ser una lógica, la lógica opera-toria es, pues, una teoría algebraica de las estruc-turas en función de las cuales el pensamiento realse impone (correcta o incorrectamente) una lógica.y como, a fin de cuentas, los lógicos que forma-lizan la lógica y los matemáticos que formalizan lasmatemáticas son también sujetos pensantes cuyaactividad mental es real, es posible que un día lalógica operatoria encuentre algún contacto con lalógica pura, cuando la primera haya estudiado to-dos los niveles intermedios que unen el pensa-miento común con el pensamiento propiamenteformalizado que caracteriza a la segunda. Mientraseso llega, es claro que la lógica operatoria debeproseguir sus investigaciones con total indepen-dencia". (Piaget y otros, 1977, p. 71).

2. El análisis del fundamento real de posibi-lidad de una ciencia de la lógica y "del origen de su


dificultad", pertenece al campo de la episte-mología. Boole no distingue suficientemente entreepistemología y lógica, aunque de hecho, en la his-toria de la lógica, el cálculo de Boole inaugura la'separación entre lógica y epistemología, y esto apesar de la mezcla que aparece en su obra de 1854.

Para Piaget, en primer lugar, la fundamen-tación de una disciplina, la lógica o cualquier otraciencia, no le corresponde al epistemólogo sino alespecialista: "la interpretación de los principios dela lógica pertenece a los mismos lógicos" (piaget,1949, p. ix). Las episternologías especulativas, alcontrario, creyeron que a ellas les tocaba fundar lavalidez de los principios científicos; el trabajo delos formalistas, sobre todo en el campo de la fun-damentación de las matemáticas, mostró que estono es posible porque la construcción de un sistemaaxiomático es una cuestión de definición y no deexistencia real. Por esto es que, más allá del límitemarcado por las bases de la construcción formal, elformalista encontrará siempre la aporía al salirsede su "universo del discurso". El trabajo de funda-mentación de la lógica que deben efectuar los lógi-cos, se reduce a las cuestiones de validez, de cohe-rencia formal, y esto es precisamente lo que encon-tramos en la historia de la lógica: desde las técnicasde deducción fundadas en el silogismo hasta las denuestros días, los avances lógicos se han producidoa partir de la necesidad de introducir nuevas for-mas de razonamiento, empleadas ya, generalmente,en el campo de las matemáticas o en las otras cien-cias. Según el dato histórico, entonces, el objeto dela lógica ha sido el aspecto formal de los conoci-mientos ya establecidos (desde Platón hasta nues-tros días).

En segundo fugar, el trabajo de la episte-mología, en el campo de las ciencias formales, con-sistirá en explicar "cómo son posibles una lógica yuna matemática puras": "La epistemología suponeentonces resuelto el problema lógico pero la recí-proca no es verdadera ... "(Piaget, 1949, p. 5). Ala epistemología de la lógica le corresponde estu-diar la relación entre el contenido de la lógica y el"pensamiento real"; para esto necesita de los re-cursos de una ciencia empírica que estudie experi-mentalmente el funcionamiento y desarrollo delpensamiento. Una epistemología cientifica sólopuede existir si se basa en el conocimiento experi-mental del desarrollo de esa "razón constituyente"que explicará cómo es posible la ciencia. A partirde los resultados obtenidos por la psicología gené-tica será entonces posible construir una episte-mología no especulativa que explique causal y es-

tructuralmente la posibilidad del conocimientopuro, la diferencia entre lógica y matemáticas, lascondiciones de posibilidad del conocimiento exac-to del mundo físico, biológico, social, etc. La epis-temología genética presenta dos vertientes: la deldesarrollo histórico de los conocimientos (métodohistórico-crítico), y la del desarrollo individual(método psicogenético).

A la epistemología le debe preocupar, comocuestión primordial, comprender la génesis de lasestructuras lógicas porque éstas constituyen el úni-co instrumento común de demostración utilizadopor todas las ciencias. El proyecto epistemológicoen que Piaget trabaja tiene como punto de partidalas actividades reales del sujeto concreto, enten-dido como realidad que es, a la 'vez, histórica, so-cial, biológica e individual; si bien no han sido aúncubiertos todos los aspectos de un proyecto que sepropone ser esencialmente interdisciplinario yapo-yado en la investigación intercultural.

Al establecer esta diferencia entre la ciencianormativa y el estudio experimental de los "he-chos" normativos, Piaget supera tanto el punto devista "psicologista" como el "logicista".

Quien quiera analizar sistemáticamente las ver-dades lógicas, nos dice, tiene que apoyarse sobrealgo; ya se trate de la evidencia propia del pensa-miento reflexivo (platonismo), de ciertas rea-lidades colectivas como el lenguaje, de ciertasconvenciones, etc., en los tres casos se deja porfuera al sujeto concreto. En la medida en que sequiera eliminar al sujeto concreto, objeto de estu-dio de la psicología, se tendrá que recurrir a lacreación de un "sujeto trascendental", "al quecompetirán unas funciones cognoscitivas espe-ciales, irreductibles a la fiscalización psicológica"(Piaget y Beth, 1968, p. 285). Por otra parte,quien no se apoye en nada tendría que justificar suapriorismo absoluto. De hecho en la base de todalogística existen supuestos de naturaleza intuitiva(la intuición racional que cree alcanzar las "formasen sí"; la intuición simbólica que cree no mani-pular más que signos según una combinatoria sus-pendida en el vacío; la intuición psicológica quecree trabajar sobre los "datos inmediatos"; la intui-ción fisicalista, etc.).

Contra la afirmación de B. Russell: "En cual-quier parte de la lógica y las matemáticas la exis-tencia de la mente humana o de cualquier otra estotalmente irrelevante; los procesos mentales sonestudiados mediante la lógica, pero el objeto de lalógica no presupone procesos mentales y seríaigualmente verdadero si no hubiera procesos men-


tales" (Russell, 1904). las investigaciones de Pía-get han mostrado que sí es relevante, y que elobjeto de la lógica presupone procesos mentales, yque, si bien su validez no depende, en términosgenerales, del conocimiento de los mismos, la coo-peración entre lógica y psicología aclara problemaslógicos como el del infinito actual. Opina que lateoría de la inteligencia de Russell representa elpunto "máximo de sumisión de la psicología a lalogística" (Píaget; J., 1966, p. 33-37). SegúnRussell" " ... las leyes que rigen los universales yque regulan sus relaciones, provienen de la solalógica, y la psicología no puede sino inclinarse anteeste conocimiento previo, que se le ofrece total-mente formado" (idem, p. 34). Pero, afirma, enesta forma se suprime "la noción de operación, yaque, si los universales se cogen desde fuera, malpuede construírselos ... Finalmente, se suprime elpunto de vista genético ... Genéticamente, lasoperaciones son, en efecto, acciones propiamentedichas, y no sólo comprobaciones o aprehensionesde relaciones ... " (idem, p. 34-35).

3. Mientras que Boole afirma que el mo-delo formal de un cálculo algebraico que expreselas leyes de las operaciones mentales constituyepor sí mismo la ciencia de la lógica, hemos vistoque para Piaget el resultado de la formalización delas operaciones mentales pertenece al campo teó-rico de la psicología genética, y que constituye unmodelo abstracto mediante el cual se describe elcomportamiento intelectual de los sujetos huma-nos, depurándolo de los elementos subjetivos y fa-cilitando al mismo tiempo su análisis teórico (21).Además, la psicología sólo podrá servirse de aque-llas estructuras formales cuya validez lógica se fun-da en un sistema axiomático, en tanto sirvan paraexplicar comportamientos reales; y, por otra parte,el objeto de cualquier disciplina experimental esca-pará siempre a cualquier intento de reducción apriori.

4. Piaget y Boole utilizan la noción de "ope-ración" para referirse a las realidades mentales.Operaciones de la mente humana es el nombre ge-nérico que Boole aplica a los diferentes poderes y

(21) Desde luego, como sucede con todo modeloabstracto, el comportamiendo individual no será nunca lamanifestación física exacta o la realización completa delmodelo, no sólo por la interferencia de lo aleatorio cuyaintervención es característica de todo hecho concreto,sino también porque el modelo o esquema formal siempreencerrará lagunas en relación con el acontecer real.

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facultades de la mente; los filósofos, afirma, se re-ferirían a ellos con nombres diferentes: atención,simple arpehensión, concepción, imaginación, abs-tracción, etc. (Boole, 1854,1958, p. 41). Para Pía-get la "operación" es un esquema de acción ínte-riorizado; por esto "deducir es construir" (Piaget,1966, p.51-52): " ... el carácter, esencial delpensamiento lógico es el de ser operatorio, valedecir, de prolongar la acción interiorizándola"(idem, p. 53). Pero no es cualquier acción la que seinterioriza, sino "las coordinaciones más generalesde la acción"; además, entre la acción y el concep-to media toda una construcción que permite lageneralización; la operación sólo puede identi-ficarse con una acción si es aislada del sistema ope-ratorio que la estructura.

Ambos se situán así en un punto de vista nue-vo respecto a la epistemología de la lógica: el de laactividad del sujeto tomada en sí misma. Pero paraPiaget la actividad del sujeto que se interioriza co-mo "operación del pensamiento" no es la que co-rresponde a una experiencia acerca de objetos, yasea física (abstraer las cualidades de un objeto), opsicológica, porque en esta esperiencia sólo estáconociendo características de los objetos a las queda una representación mental y un nombre. laoperación es la interiorización de la acción que elsujeto ejerce sobre los objetos, o sea, de los orde-namientos que el sujeto introduce en los objetos.Boole insiste en que las leyes operatorias que rigenel uso de los símbolos son "leyes del pensamientoy no de las cosas" (Boole, 1854, 1958, cap, 11),pero permanece en su investigación a nivel del len-guaje como realidad trascendente a los sujetos con-cretos, y no podría explicar por qué el significadoreal de la sintaxis del lenguaje varía en los dife-rentes niveles de desarrollo cognitivo, desde la fun-ción puramente representativa que reemplaza lascosas por signos y los movimientos por su evo-cación, hasta el nivel de "instrumento de la razón"en el pensamiento formal. Para Boole las leyes ope-ratorias del pensamiento no son el producto deuna construcción, sino una característica del pen-samiento que existe por sí misma, como existen las"leyes de la naturaleza". Piaget opina que el "granescollo de una teoría de la inteligencia que partadel análisis del pensamiento en sus formas supe-riores, consiste en la fascinación que ejercen sobrela conciencia las facilidades del pensamiento ver-bal , , . (la introspección no ve en él sino reflexión,discurso y representación conceptual) .. , Para al-canzar el funcionamiento real de la inteligencia es

66 CARMEN MARlA CHAVES

REFERENCIAS

preciso invertir, pues, ese movimiento natural delespíritu y situarse nuevamente en la perspectiva dela acción misma; sólo entonces aparece claramenteel papel de esta acción interna que es la operación"(Piaget, 1966, p. 51)

Desde la perspectiva genética Piaget superatoda versión psicologista, o fundada en la intros-pección, en relación con el origen de los principioslógicos: " ... esta experiencia lógico-matemática,que versa, pues, sobre las acciones del sujeto y nosobre los objetos, no constituye, por ello, en ma-nera alguna, una "experiencia psicológica", en elsentido en que descubrimos por introspección cier-tas regularidades referentes a nuestra con-ducta ... ; la experiencia psicológica versa sobre elsujeto en cuanto objeto interior ... y procede alrespecto por introspección o adquiriendo con-ciencia de los caracteres subjetivos de la ac-ción ... , la experiencia lógico-matemática no serefiere a la acción en cuanto proceso individual",sino que a través de esta experiencia se interiorizan(esquematizan) las "coordinaciones más generalesde todo sistema de acciones: coordinaciones quetraducen, por ello, lo que hay de común en todoslos sujetos y se refieren, por consiguiente, al sujetouniversal o epistémico , y no al individual ... "(Piaget y Beth, 1968, p. 289-295). Como el sujeto"comprueba sobre los objetos el resultado de lasacciones ejercidas sobre ellos", y "precisamente

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Además, Piaget se sitúa en el contexto de lasinvestigaciones actuales en lógica que tratan de lo-grar una mejor adaptación de los modelos lógicos aaspectos del mundo físico, de la actividad humana,del pensamiento o del lenguaje. Por ejemplo, lasinvestigaciones en relación con la construcción deuna "lógica del cambio y del desarrollo" y sus rela-ciones con el cálculo proposicional, se encuentranen el tapete de discusiones entre los lógicos (22).En relación con esto explica J. B. Grize: "La lógicapiagetiana ... no apunta a la dedución ... Para élno se trata de producir un sistema formal, en elsentido clásico del término, sino de realizar unarepresentación, precisa de los fenómenos vincu-lados a las ciencias del hombre. Esto no solamente10 pretende su lógica: 10 logra ... Finalmente, parael lógico, prevenido por los siglos de esterilidadque ha conocido su ciencia, es profundamente es-peranzador ver que un hombre como Jean Piagetno solamente le proporciona razones para adaptarla lógica a los nuevos problemas sino que además leprecede en el recorrido de nuevos caminos".(Grize, J. B., 1974,p. 58-59).

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(22) Ver el artículo de Luis A. Camacho N. "Lógicadel cambio-desarrollo y cálculo proposicional: análisis ycomparaciones" (En: Revista de Filosofta de la Universi-dad de Costa Rica, n. 45, enero-junio 1979, p. 49-55).


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Boole, Piaget y el "psicologismo"

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