Booklet Limites
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SucessõesDefinição
Usamos atrás o conceito de sucessão e alguns factos relacionados, queveremos agora com um pouco mais de detalhe.
Uma sucessão de números reais é uma função s : N ∩ [k , +∞[ → R. Éhabitual designar a imagem de n por s n (dito o termo de ordem n) erepresentar a sucessão na forma (s n)n≥k ou mesmo (s n)n ou
s k , s k +1, s k +2, . . . (quando é clara a intenção subjacente . . . ).
Exemplos:
((−1)n)n≥1
(n3)n
(cos n)n
1, 12 ,
13 ,
14 , . . . (é clara a intenção de sugerir a sucessão ( 1
n)n≥1)
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Limites e Continuidade Sucessões
SucessõesLimite - definição
Seja (s n)n uma sucessão e seja L ∈ R. Diremos que L é o limite dasucessão (s n)n, e escreveremos limn→+∞ s n = L (ou s n → L) se, para nsuficientemente grande, s n estiver tão próximo de L quanto for requerido.
Mais precisamente, diremos que limn→+∞ s n = L se
∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀n ∈ Nn > p ⇒ |s n − L| < ε
s n ∈ ]L−ε,L+ε[
.
(
(
( (
L
LL-!
L-!
L+!
L+!
|
|
1
1
p n > p ...2
2 35p
...
gráfico da sucessão
termos da sucessão
s s s ss
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SucessõesLimite - exemplos
1. limn→+∞
1n
= 0 pois
!
1/!
|
|1 p2
y=1/x
dado qualquer ε > 0,basta tomar p >
1ε
para garantir que :
n > p ⇒ |1n − 0| =
1n
<1p
< ε.
2. limn→+∞
1√ n
= 0 pois
∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀n ∈ N (n > p ⇒ | 1√
n| < ε).
De facto, para um dado ε > 0, basta tomar p ∈ N maior que 1ε
2 . Entãon > p implica
| 1√
n| =
1√ n
<1√ p
< ε.
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Limites e Continuidade Sucessões
SucessõesUnicidade do limite
O limite de uma sucessão, quando existe, é único .
De facto, suponhamos que limn→+∞ s n = L1 e limn→+∞ s n = L2 comL1, L2
∈R distintos. Seja ε = |L2−L1|
2 (> 0). Como limn→+∞ s n = L1,
existe p 1 ∈ N tal que
n > p 1 ⇒ |s n − L1| < ε.
Por outro lado, como limn→+∞ s n = L2, também existe p 2 ∈ N tal que
n > p 2 ⇒ |s n − L2| < ε.
( ( (
(
LL-! L+!
2! | |
1 L21 2
Mas então, para qualquer n > max{p 1, p 2},tem-se |s n − L1| < ε e |s n − L2| < ε, o queé absurdo pois os intervalos ]L1 − ε, L1 + ε[ eL2 ε L2 + ε são dis untos.
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SucessõesExistência de limite
É fácil verificar que nem toda a sucessão tem limite, por exemplo (n2)n ou((−1)n)n. Uma sucessão com limite diz-se convergente, caso contráriodiz-se divergente.
E como é que sabemos se uma sucessão é ou não convergente? Nemsempre é fácil responder, mas há um caso em que podemos garantir aconvergência: quando a sucessão é monótona e limitada.
Dizemos que (s n)n é:
crescente se m < n ⇒ s m ≤ s n para todos m, n ∈ N;
decrescente se m < n ⇒ s m ≥ s n para todos m, n ∈ N;
monótona se for crescente ou decrescente;
limitada se {s n | n ∈ N} for um subconjunto limitado de R.
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Limites e Continuidade Sucessões
SucessõesSucessões monótonas e limitadas
Toda a sucessão monótona e limitada é convergente.
Demonstração: Suponhamos que (s n)n é uma sucessão crescente elimitada (o caso decrescente é análogo). Como (s n)n é limitada, existe
L = sup{s n | n ∈ N}. Vejamos que limn→+∞ s n = L.Seja ε > 0. Como L é o supremo de {s n | n ∈ N}, existe algum s p nointervalo ]L− ε, L] (caso contrário, existiria um majorante de {s n | n ∈ N}menor que L...). Mas então, se n > p , e porque (s n)n é crescente, resultaque s n ≥ s p . Como s n ≤ L = sup{s n | n ∈ N}, concluimos ques n ∈ ]L− ε, L] e logo |s n − L| < ε. Logo
∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀n ∈ N (n > p ⇒ |s n − L| < ε)
e portanto limn→+∞ s n = L.
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SucessõesSucessões monótonas e limitadas
Notas:
Basta que a sucessão seja monótona e limitada a partir de umdeterminado termo s p , pois é fácil ver quelimn→+∞ s n = limn→+∞ s n+p .
Toda a sucessão convergente é necessariamente limitada, pois
∀ε > 0 ∃p ∈ N (n > p ⇒ |s n − L| < ε)
implica que só um número finito de termos (s 1, . . . , s p ) podem estarfora do intervalo ]L− ε, L + ε[. Mas não tem que ser monótona! Porexemplo, limn→+∞
(−1)n
n = 0.
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Limites e Continuidade Sucessões
SucessõesSubsucessões
Uma subsucessão da sucessão (s n)n é uma sucessão que se obtém a partirde s 1, s 2, s 3, . . . eliminando alguns termos desta sucessão e mantendo osrestantes, na mesma ordem. Por exemplo, s 2, s 4, s 6, . . . = (s 2n)n é umasubsucessão de (s n)n.
Genericamente, representamos uma subsucessão de (s n)n na forma (s i n)n,onde i 1 < i 2 < i 3 < . . . são números naturais.
Exemplos: ( 12n )n≥1, ( 1
n3 )n≥1 e ( 1n! )n≥1 são subsucessões de ( 1
n)n≥1;
(1, 14 ,
12 , . . .) ou (1,
12 ,
13 ,
13 . . .) nunca poderão ser subsucessões de ( 1
n)n≥1;
para qualquer sucessão (s n)n∈N, pode-se considerar a subsucessão dostermos de índice par, (s 2n)n∈N, a subsucessão dos termos de índice ímpar,(s 2n+1)n∈N, a subsucessão dos termos cujos índices são múltiplos de 3,(s 3n)n∈N, ...
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ExercíciosTeoremas de continuidade
27 Para cada uma das seguintes funções f de R em R, determine um inteiro n tal quef (x ) = 0 para algum x entre n e n + 1.
a) f (x ) = x 3 − x + 3; b) f (x ) = x 5 + 5x 4 + 2x + 1; c) f (x ) = x 5 + x + 1.
28 Mostre que existe algum número real x tal que:
a) sen x = x − 1. b) x 179 +
163
1 + x 2 + sen2 x = 119.
29 Com o auxílio do Teorema de Bolzano e de uma calculadora:
a) determine uma solução da equação cos x = ln x com erro inferior a 0, 01;
b) determine uma solução da equação e x = −x com erro inferior a 0, 01.
30 (∗) a) Sejam a , b ∈ R tais que a < b e f : [a, b ] −→ [a, b ] uma função contínua.Mostre que existe algum x 0 ∈ [a, b ] tal que f (x 0) = x 0. (Nota: diz-se que um talx 0 é um ponto fixo de f )
b) Dê exemplo duma função contínua g : [0, 1[−→ [0, 1[ que não tenha pontosfixos.
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ExercíciosLimite de uma função num ponto
21 Sejam A ⊂ R, a um ponto de acumulação de A e f e g funções de A em R .
a) Não existindo limx →a
f (x ) e limx →a
g (x ), poderão existir limx →a
(f (x ) + g (x )) ou
limx →a
(f (x ) · g (x ))?
b) Existindo limx →a
f (x ) e limx →a
(f (x ) + g (x )), existirá sempre limx →a
g (x )?
c) Existindo limx →a
f (x ) e limx →a
(f (x ) · g (x )), poderá não existir limx →a
g (x )?
d) Mostre que se f (x ) ≤ 0, ∀x ∈ X e existir L = limx →a
f (x ), então L ≤ 0.
e) Mostre que se f (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ X , então limx →a
f (x ) ≤ limx →a
g (x ) sempre que
estes limites existam.
f) Se f (x ) < g (x ), ∀x ∈ X , ter-se-á necessariamente limx →a
f (x ) < limx →a
g (x ), no caso
de existirem os referidos limites?
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Limites e Continuidade Exercícios
ExercíciosLimite de uma função num ponto
22 Use o Teorema de Heine para mostrar a inexistência dos seguintes limites:
a) limx −→+∞
cos2x b) lim
x −→+∞x sin x
c) limx −→0+
sin(1/x )
x d) lim
x −→+∞log(|cos x | +
1
x ).
23 Calcule, usando enquadramento de limites:
a) limx −→+∞
cos2 x
2x b) lim
x −→+∞
x sin x
(x − π)2 c) lim
n−→+∞
n
|sin n| + 1.
24 Sejam f , g : R → R e a ∈ R. Supondo que f e g são contínuas e que f (a) < g (a),prove que existe δ > 0 tal que ∀x ∈ R, |x − a| < δ ⇒ f (x ) < g (x ).
25 (∗) a) Mostre que se f : R→ R é contínua, então |f | também é contínua.
b) Dê exemplo de f : R → R que não seja contínua em nenhum ponto, mas talque |f | seja contínua em todos os pontos.
26 As funções f (x ) =
1, se x ≥ 1−1, se x < 1
e g (x ) = 1x
satisfazem
f (−1) · f (1) < 0 e no entanto não têm zeros no intervalo [−1, 1]. Porque é queeste facto não contradiz o Teorema de Bolzano?
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SucessõesLimites de subsucessões
É claro que a existência de limite de uma subsucessão (s i n)n não implica aexistência de limite de (s n)n∈N; e podem até existir subsucessões de umamesma sucessão com diferentes limites.
Por exemplo,- a sucessão (s n)n∈N = ((−1)n)n∈N = (1,−1, 1,−1, . . .) não é
convergente, mas a subsucessão (s 2n)n∈N tem limite 1 (é constante = 1) ea subsucessão (s 2n+1)n∈N tem limite −1 (é constante = −1);
- para qualquer n ∈ N, a sucessão (0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, . . .) temuma subsucessão convergente para n.
Por outro lado, é fácil ver que se (s 2n)n∈N → l e (s 2n+1)n∈N → l , entãotambém (s n)n∈N → l .
Isto verifica-se facilmente a partir da definição de limite e resulta do factode todos os termos da sucessão serem da forma s 2n ou s 2n+1, para algumn ∈ N.
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Limites e Continuidade Sucessões
SucessõesLimites de subsucessões
Além disso:
Se limn→+∞ s n = L, então limn→+∞ s i n = L para toda a subsucessão (s i n)nde (s n)n.
De facto, se∀ε > 0 ∃p ∈ N (n > p ⇒ |s n − L| < ε),
então também é válido
∀ε > 0 ∃p ∈ N (n > p ⇒ |s i n − L| < ε),
pois i 1 < i 2 < i 3 < . . . implica que i n ≥ n para todo n, e logo n > p implicará sempre i n > p .
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Limite de uma função num pontoNoção intuitiva
Recordamos agora a noção de limite de uma função real de variável realnum ponto.
Intuitivamente, o limite de uma função f num ponto x 0 ∈ R, quandoexiste, é o valor para o qual evoluem os valores de f (x ) quando x se
aproxima de x 0, ou seja, o valor que esperaríamos para f (x 0) tendo emconta apenas os valores que f toma próximo de x 0.Claro que nem sempre é possível fazer tais previsões, por isso nem sempreexistirá limite...
Além disso, para que esta noção tenha sequer sentido, o domínio de f teráde conter pontos arbitrariamente próximos de x 0.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Limite de uma função num pontoPonto de acumulação
De forma já mais precisa, diremos que limx →x 0 f (x ) = L ∈ R se f (x )estiver tão próximo de L quanto for requerido, desde que x estejasuficientemente próximo de x 0.
Para muitos fins, esta descrição não é ainda suficientemente rigorosa.
Matemáticos como Bolzano, Cauchy e Weierstrass, no século XIX,contribuíram para a seguinte formulação:
Suponhamos que x 0 é um ponto de acumulação do domínio de f (Df ),isto é, para qualquer distância arbitrária δ , existem pontos diferentes de x 0em D f que distam de x 0 menos do que δ :
∀δ > 0, ∃x ∈ Df : 0 < |x − x 0| < δ .
(Note-se que não é exigido que x 0 ∈ Df .)
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ExercíciosSucessões
15 (⋆) Seja (an)n a sucessão de números reais definida recursivamente por a 1 = 1 ean+1 = 1 + an
2 (n ≥ 1).
a) Calcule os cinco primeiros termos da sucessão.
b) Prove por indução que (an)n é monótona e limitada.
c) Usando a igualdade limn→+∞ an+1 = 1 + limn→+∞ an2 , calcule o limite da sucessão.
16 (⋆) Diga, justificando, se cada uma das afirmações seguintes é verdadeira ou falsa:
a) Seja (s n)n uma sucessão convergente com limite L e seja t n = max{s n, L}.Então, tem-se limn→+∞ t n = L.
b) Dadas sucessões (s n)n e (t n)n, seja (u n)n a sucessão definida por u 2n = s n eu 2n+1 = t n. Então, (u n)n converge se e só se (s n)n e (t n)n convergem.
17 (⋆) Seja (s n)n uma sucessão limitada. Para cada m ∈ N sejamt m = inf {s n : n ≥ m} e u m = sup{s n : n ≥ m}. Mostre que:
a) as sucessões (t m)m e (u m)m convergem;
b) se L é limite de alguma subsucessão de (s n)n, então tem-selimm→+∞ t m ≤ L ≤ limm→+∞ u m.
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Limites e Continuidade Exercícios
ExercíciosLimite de uma função num ponto
18 Determine o conjunto dos pontos de acumulação [à esquerda / à direita] de cadaum dos conjuntos:
a) Z b) [−1, 1[ c) ]2, 5[\{3, 4}d) R \ Z e) {(−1)n/n : n ∈ N} f) {n/(n + 1) : n ∈ N}
19 a) Seja f : R −→ R a função definida por f (x ) = 9x − 5. Encontre δ > 0 tal que|f (x )− 4| < 1
10 para qualquer x tal que |x − 1| < δ .
b) Seja f : R −→ R a função definida por f (x ) = x 2 − x . Encontre δ > 0 tal que|f (x )− f (1)| < 1
5 para qualquer x tal que |x − 1| < δ .
20 Prove, utilizando a definição, que:
a) limx →−1
(2x − 7) = −9 b) limx →2
(x 2− 1) = 3 c) lim
x →1−[x ] = 0
d) ∼
limx →−1
(2x ) = 0
e) ∼
limx →1+
[x ] = 0
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ExercíciosSucessões
10 Verifique se cada uma das seguintes sucessões é monótona, limitada e / ouconvergente.
a)
2n−35n+1
n∈N
b)
(−1)n
5n+1
n∈N
c)
117
nn∈N
.
11 Indique os limites das seguintes sucessões e comprove o resultado a partir dadefinição de limite:
a) (e −n)n; b) n2
1+n2 n
; c) ln( n1+n
)n.
12 Dê exemplo de uma subsucessão monótona de cada uma das seguintes sucessões:
a)
(−1)n
5n+1
n∈N
b)
sen( nπ4
)n∈N
c)
n + (−1)n
n
n∈N
.
13 Seja (an)n∈N a sucessão definida por an = n
senn π
2
, ∀n ∈ N. Diga,
justificando, se cada uma das afirmações seguintes é verdadeira ou falsa:
a) {an : n ∈ N} tem supremo.
b) {an : n ∈ N} tem mínimo.
c) (an)n∈N é limitada.
d) (an)n∈N é monótona.
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Limites e Continuidade Exercícios
ExercíciosSucessões
e) (an)n∈N é convergente.f) (an)n∈N admite uma subsucessão constante.g) Toda a subsucessão monótona de (an)n∈N é convergente.h) Toda a subsucessão limitada de (an)n∈N é convergente.
14 Diga, justificando, se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira paraqualquer sucessão (an)n com limite real L, ou se pode ser falsa.
a) (∀n ∈ N, an ≥ 0) ⇒ L ≥ 0.
b) (∀n ∈ N, an > 0) ⇒ L > 0.
c) L > 0 ⇒ (∀n ∈ N, an > 0).
d) Se L > 0 então todos os termos da sucessão a partir de certa ordem sãopositivos.
e) Se todos os termos da sucessão são racionais, então L é racional.
f) Se L é racional então todos os termos da sucessão a partir de certa ordem sãoracionais.
Limite de uma funçãoDefinição
Escrevemos limx →x 0
f (x ) = L ∈ R se
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df (0 < |x − x 0| < δ ⇒ |f (x )− L| < ε).
( (
(
(
x +"
L
x -"
L-!
L+!
|
|
x00 0
(Note-se que, mesmo no caso em que f está definida em x 0, o valor dolimite não depende de f (x 0)).
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Limite de uma funçãoLimites laterais
Se considerarmos apenas vizinhanças à esquerda (respectivamente àdireita) de x 0, obtemos o limite lateral à esquerda (respectivamente àdireita) de f em x 0.
Mais precisamente, suponhamos que x é um ponto de acumulação àesquerda de Df , isto é, para qualquer δ > 0 existe x
∈Df
∩]x 0−
δ , x 0[.
Diz-se que limx →x
−
0
f (x ) = L sse
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R (x 0 − δ < x < x 0 ⇒ |f (x )− L| < ε).
Analogamente se define o limite lateral à direita limx →x +0
f (x ) = L.
A relação com o limite bilteral é dada por
limx →x 0
f (x ) = L ⇐⇒ limx →x
−
0
f (x ) = limx →x +0
f (x ) = L.
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Limite de uma funçãoUnicidade e exemplos
De forma análoga ao caso dos limites de sucessões, o limite de uma funçãonum ponto, caso exista, é único. O mesmo vale para os limites laterais.
Exemplos:
Seja f (x ) = 3√
x . É claro que 0 é um ponto de acumulação de Df = R.Vejamos que limx →0 f (x ) = 0. Seja ε > 0. Temos |f (x )− 0| = | 3√ x |, logo,tomando δ = ε
3, resulta que
|x − 0| < δ ⇒ |f (x )− 0| < ε.
Analogamente se mostra que limx →0+
√ x = 0.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Limite de uma funçãoAritmética de limites
Os limites comutam com as operações aritméticas elementares, quandoestas estão definidas em R:
Se limx →x 0
f (x ) = K e limx →x 0
g (x ) = L, então verifica-se que:
limx →x 0
(f (x ) + g (x )) = K + L
limx →x 0
(f (x )− g (x )) = K − L
limx →x 0
f (x )g (x ) = KL
limx →x 0
f (x )
g (x ) =
K
L (se g (x ), L̸ = 0)
limx →x 0
f (x )g (x ) = K L (se f (x ), K > 0)
Teoremas de continuidadeMáximos e mínimos
Seja ε > 0. Por continuidade de f , existe δ > 0 tal que
|x − c | < δ ⇒ |f (x )− f (c )| < ε.
Por outro lado, como limn→+∞ x i n = c , existe p ∈ N tal que
n > p ⇒ |x i n − c | < δ .
Logon > p ⇒ |f (x i n)− f (c )| < ε
e portanto limn→+∞ y i n = limn→+∞ f (x i n) = f (c ). Como f (c ) ∈ Im f ,resulta que que Im f é compacto e o teorema está demonstrado.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidadeMáximos e mínimos
A determinação de máximos e mínimos de funções é um problema degrande relevância em muitas aplicações.
Apesar de a sua existência para funções com domínios compactos sergarantida apenas pela continuidade da função, as técnicas mais eficazespara a sua determinação dependem da existência de derivada.
Iremos desenvolver o conceito de derivada no próximo capítulo evoltaremos ao problema da determinação de máximos e mínimos maistarde.
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Teoremas de continuidadeMáximos e mínimos
Se f (m) = min(Im f ), dizemos que f (m) é o mínimo da função f , e m umponto de mínimo de f . Se f (M ) = max(Im f ), dizemos que f (M ) é omáximo de f , e M um ponto de máximo de f .
Teorema de Weierstrass
Se f : [a, b ]
→R for contínua, então tem um máximo e um mínimo.
a bMm
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidadeMáximos e mínimos
Demonstração: Pelo Corolário do Teorema dos Valores Intermédios, Im f é um intervalo. Para mostrar que tem máximo e mínimo, basta mostrarque Im f é um intervalo fechado e limitado.
Por um teorema anterior, os intervalos fechados e limitados sãocompactos, e é fácil ver que estes são os únicos intervalos compactos.Logo basta mostrar que Im f é compacto.
Seja (y n)n uma sucessão em Im f . Para cada n ∈ N, seja x n ∈ [a, b ] talque y n = f (x n). Como [a, b ] é compacto, existe uma subsucessão (x i n)n talque limn→+∞ x i n = c ∈ [a, b ]. Vejamos que limn→+∞ f (x i n) = f (c ) ∈ Im f .
Limite de uma funçãoAritmética de limites
Por exemplo, vejamos que limx →x 0(f (x ) + g (x )) = K + L. Seja ε > 0.Como limx →x 0 f (x ) = K , existe δ 1 > 0 tal que
0̸ = |x − x 0| < δ 1 ⇒ |f (x )− K | <ε
2.
Por outro lado, como limx →x 0 g (x ) = L, também existe δ 2 > 0 tal que
0̸ = |x − x 0| < δ 2 ⇒ |g (x )− L| < ε
2.
Seja δ = min{δ 1, δ 2}. Então 0̸ = |x − x 0| < δ implica simultaneamente|f (x )− K | <
ε
2 e |g (x ) − L| < ε
2 . Logo
|f (x ) + g (x )− (K + L)| = |(f (x )− K ) + (g (x )− L)|≤ |f (x )− K | + |g (x ) − L| <
ε
2 + ε
2 = ε,
portanto limx →x 0 (f (x ) + g (x )) = K + L.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Caracterização de Heine de limiteTeorema de Heine
São já conhecidas do ensino secundário várias técnicas que ajudam adeterminar o limite de uma função. E se não houver limite? Comopoderemos chegar a uma tal conclusão?
A caracterização de Heine de limite de uma função, usando limites desucessões, é um auxiliar precioso nessa tarefa:
Teorema de Heine
As condições seguintes são equivalentes para uma função f : D → R e umponto de acumulação a do domínio de f :
limx →a
f (x ) = L.
Para toda a sucessão (x n)n em D \ {a},
limn→+∞
x n = a ⇒ limn→+∞
f (x n) = L.
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Caracterização de Heine de limiteTeorema de Heine
Demonstração: Suponhamos que limx →a f (x ) = L. Seja (x n)n umasucessão em D \ {a}, convergente para a.
Seja ε > 0. Como limx →a f (x ) = L, existe δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x )− L| < ε.
Por outro lado, como limn→+∞ x n = a, existe p ∈N
tal quen > p ⇒ |x n − a| < δ .
Logo n > p implica |f (x n)− L| < ε e portanto limn→+∞ f (x n) = L.
Suponhamos agora que limx →a f (x )̸ = L. Então existe algum ε > 0 tal que
∀δ > 0 ∃x ∈ D (0 < |x − a| < δ ∧ |f (x )− L| ≥ ε).
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Caracterização de Heine de limiteTeorema de Heine
Em particular,
∀n
∈N
∃x n ∈
D (0 < |x n−
a| <1
n ∧|f (x n)
−L|
≥ε).
É imediato que limn→+∞ x n = a mas limn→+∞ f (x n)̸ = L, o que completaa demonstração do teorema.
Nota: O Teorema de Heine admite versões análogas para limites laterais.É válido também para limites de sucessões, considerando-se n → +∞ emvez de x → a..
Teoremas de continuidadeA árvore infinita
Podemos usar a árvore infinita seguinte para representar as expressõesdeste tipo dos diversos elementos de [a, b ], onde [x ] representa acaracterística, ou seja, a parte inteira, de um número real x :
•
[a]
[a + 1] [b ]
x [n]0
0
1 9 0
9
x
[n]1
0
9
0
9
x
[n]2
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 37
Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidadeA árvore infinita
É fácil ver por indução que esta árvore possui um ramo x = x 0, x 1x 2x 3 . . .
em que, para todo k , há uma infinidade de termos x [n] que começam porx 0, x 1x 2 . . . x k .
Escolhemos uma subsucessão (x [i n])n de modo a que cada x [i n] comece por
x 0, x 1x 2 . . . x n. É fácil verificar que lim
n→+∞x [i n] = x ;
x ∈ [a, b ].
Nota: Esta representação dos reais na árvore infinita permite uma novaperspectiva do supremo e do ínfimo: se desenharmos na árvore todos oselementos de S simultaneamente, o supremo de S (quando S formajorado) é dado pelo ramo infinito mais à direita, e o ínfimo (quando S for minorado) pelo ramo infinito mais à esquerda.
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Teoremas de continuidadeTeorema de Bolzano
Um caso particular do Teorema dos Valores Intermédios é o
Teorema de Bolzano
Se f : [a, b ] → R é contínua e f (a)f (b ) < 0, então f tem um zero em]a, b [.
De facto, se f (a)f (b ) < 0, então f (a) e f (b ) têm sinais contrários e logo 0é um valor intermédio entre f (a) e f (b ).
Exemplo: Não sabemos resolver exactamente a equação cos x = ln x , masa função f (x ) = cos x − ln x é contínua em ]0, +∞[ e f (π
4 )f (π
2 ) < 0. Logocos x = ln x para algum x ∈]π4 ,
π
2 [.
Calculando sucessivamente o valor da função nos pontos médios dosintervalos assim obtidos, podemos reduzir a amplitude do intervalo quecontém a solução, obtendo assim uma aproximação da dita.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidadeCompactos
Para simplificar, o próximo teorema de continuidade será enunciado parafunções definidas num intervalo do tipo [a, b ] mas é também válido paradomínios mais gerais, não necessariamente intervalos, que satisfazem apropriedade a seguir descrita.
Diremos que S ⊆ R é compacto se toda a sucessão em S admitir umasubsucessão convergente para algum elemento de S .
Teorema
Todo o intervalo da forma [a, b ] é compacto.
Demonstração (esboço): Seja (x [n])n uma sucessão em [a, b ], com
x [n] = x [n]0 , x
[n]1 x
[n]2 x
[n]3 . . .
Caracterização de Heine de limiteAplicações
As aplicações mais importantes do Teorema de Heine são as seguintes:
Para mostrar que limx →a f (x )̸ = L, basta encontrar uma sucessão (x n)n em D \ {a} que tenda para a e tal que (f (x n))n não tenda paraL.
Para mostrar que não existe limx →a f (x ), basta encontrar:
uma sucessão (x n)n em D \ {a} que tenda para a e tal que (f (x n))nnão tenha limite,
ou
duas sucessões (x n)n e (y n)n em D \ {a} que tendam para a e tais que limn→+∞ f (x n)̸ = limn→+∞ f (y n).
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Caracterização de Heine de limiteAplicações
Exemplo:
1. Não existe limx →0 sen 1x
1
-1
f(x)=sen(1/x)
pois as sucessões (x n)n = ( 1π
2 +2nπ )n e (y n)n = ( 1
−π
2 +2nπ )n tendem ambas
para 0, mas enquanto (sen 1x n
)n é a sucessão constante (1)n, (sen 1y n
)n é asucessão constante 1 n.
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Teorema do enquadramento de limites
O seguinte resultado, a que iremos recorrer com frequência, permitedeterminar limites de uma função comparando-a com outras das quaisconhecemos previamente os limites.
Este teorema é conhecido nalguns países como o “teorema dos doispolícias”: se dois polícias segurarem um prisioneiro de cada lado, e sedirigirem ambos para a mesma cela, o prisioneiro entrará também na celainevitavelmente.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 23
Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teorema do enquadramento de limites
Teorema do enquadramento de limites
Se f (x ) ≤ g (x ) ≤ h(x ) numa vizinhança de x 0 elimx →x 0 f (x ) = limx →x 0 h(x ) = L, então também limx →x 0 g (x ) = L.
De facto, dado ε > 0, existem δ 1, δ 2 > 0 tais que
0 < |x − x 0| < δ 1 ⇒ |f (x ) − L| < ε ⇔ f (x ) ∈ ]L− ε, L + ε[,
0 < |x − x 0| < δ 2 ⇒ |h(x )− L| < ε ⇔ h(x ) ∈ ]L− ε, L + ε[.
Logo, se 0 < |x − x 0| < min{δ 1, δ 2}, obtemos tambémg (x ) ∈ ]L− ε, L + ε[.
Teoremas de continuidadeTeorema dos Valores Intermédios
Demonstração: Assumimos f (a) < f (b ), pois o caso f (b ) < f (a) éanálogo. Seja
S = {x ∈ [a, b ] | f (x ) ≤ u }.
Então S ̸= ∅ pois a ∈ S . Seja c = sup S .
Suponhamos que f (c ) < u . Como c < b , o Princípio da Permanência doSinal aplicado à função g (x ) = f (x )− u garante que f (d ) < u para algumd ∈]c , b [, contradizendo c = sup S . Logo f (c ) ≥ u .
Suponhamos agora que f (c ) > u . O Princípio da Permanência do Sinalaplicado à função g (x ) = f (x )− u garante que existe δ > 0 tal quef (x ) > u para todo x ∈]c − δ , c + δ [, contradizendo c = sup S . Logof (c ) = u .
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidadeTeorema dos Valores Intermédios
O Teorema dos Valores Intermédios pode ainda ser formulado da seguinteforma:
CorolárioSe I ⊆ R é um intervalo e f : I → R é contínua, então Im f é um intervalo.
Demonstração: Sejam y , z ∈ Im f e seja u um valor intermédio entre y ez . Escrevendo y = f (a) e z = f (b ), podemos assumir que a < b em I .Como a restrição f |[a,b ] de f a [a, b ] é contínua, resulta do Teorema dosValores Intermédios que u ∈ Im f |[a,b ] ⊆ Im f . Logo Im f é um intervalo.
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T d i id d
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T d d d li i
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Teoremas de continuidadePermanência do sinal
L
c+"c-"
L-!
L+!
c
Logo f (x ) e L têm o mesmosinal para x ∈ ]c − δ , c + δ [\{c }.
Corolário
Se f é contínua em c e f (c ) > 0, então existe δ > 0 tal que f é umafunção positiva em ]c − δ , c + δ [.
Se f é contínua em c e f (c ) < 0, então existe δ < 0 tal que f é umafunção negativa em ]c − δ , c + δ [.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidadeTeorema dos Valores Intermédios
Podemos agora provar um dos mais importantes teoremas sobre funçõescontínuas definidas em intervalos, devido a Bolzano:
Teorema dos Valores Intermédios
Seja f : [a, b ] → R contínua e seja u um valor intermédio entre f (a) e
f (b ). Então u ∈ Im f .
a bf(a)
f(b)
u
c
Teorema do enquadramento de limitesExemplo
Podemos usar o Teorema do enquadramento de limites para mostrarfacilmente que o limite quando x tende para 0 da função
y = x
y = - x f (x ) =
x sen 1
x , se x ̸= 0
0 se x = 0
é igual a 0.
Como, paratodo o x ̸= 0, −1 ≤ sen 1
x ≤ 1, então
−|x | ≤ x sen 1x ≤ |x |
e, sendo limx →0−|x | = limx →0 |x | = 0, resulta o pretendido deste teorema.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 25
Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teorema do enquadramento de limitesOutro exemplo: um famoso limite
O limite da função f (x ) = senx x
quando x tende para 0 também não podeser calculado usando a aritmética de limites, uma vez que limx →0 sen x = 0e limx →0 x = 0. É um exemplo do que se chama uma indeterminação.
Vamos usar o Teorema do enquadramento de limites para mostrar que
limx →0
sen x x
= 1.
De facto, se x > 0 for suficientemente pequeno, podemos concluir dosignificado geométrico de seno e tangente, ilustrado na figura, que
1
x
tg x
sen x
A
C
12
sen x <12
x <12
tg x ,
correspondendo a área(△OAB ) <
área do sector circular(OAB ) < área(△OCB ).
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T d d t d li it
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F õ tí
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Teorema do enquadramento de limitesUm famoso limite
Logo 1 < x sen x
< 1cos x .
Como limx →01
cos x = 1limx →0 cos h = 1, resulta do enquadramento de limites
que limx →0x
senx = 1 e logo também limh→0
senx x
= 1 pela aritmética delimites.
O caso de x < 0 é análogo, substituindo x por −x .
Mais tarde voltaremos ao conceito de limite, com as definições de limitesno infinito e de limites infinitos, após desenvolvermos ferramentas quedarão um precioso auxílio na determinação destes limites e, em particular,na resolução de indeterminações.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 27
Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Funções contínuasDefinição
Seja f uma função real de variável real e x 0 um ponto de Df que ésimultâneamente um ponto de acumulação do domínio.Diz-se que f é contínua em x 0 sse
limx →x 0
f (x ) = f (x 0).
Convenciona-se que f é contínua em todos os pontos isolados do domínio,isto é, em pontos que não são pontos de acumulação. Diz-se ainda que f é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio.
Intuitivamente, uma função contínua é uma função previsível em que ovalor num ponto pode ser adivinhado a partir dos valores tomados numasua vizinhança.Graficamente, para funções cujo domínioé um intervalo, isto corresponde à ideiade um gráfico que pudesse ser traçado “sem
”
Funções contínuasImensos exemplos
Para lidar com funções cujo domínio é um intervalo fechado à esquerda ouà direita, também podemos definir continuidade à esquerda(lim
x →x −
0f (x ) = f (x 0)) e à direita (limx →x +0
f (x ) = f (x 0)).
Todas as funções elementares com que lidamos habitualmente (constantes,
potências, trigonométricas, exponenciais, logarítmicas) sãoafortunadamente funções contínuas. Além disso:
A soma, diferença, produto e quociente de funções contínuas são funções contínuas.
A composição de funções contínuas é uma função contínua.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidadePermanência do sinal
Princípio da Permanência do Sinal
Se limx →c f (x ) = L > 0, então existe δ > 0 tal que f é uma funçãopositiva em ]c − δ , c + δ [\{c }.
Se limx →c f (x ) = L < 0, então existe δ > 0 tal que f é uma funçãonegativa em ]c − δ , c + δ [\{c }.
Demonstração: Seja ε = |L|2 . Como limx →c f (x ) = L, existe δ > 0 tal que
0̸ = |x − c | < δ ⇒ |f (x )− L| < ε = |L|
2 .