Bán Márton LY8UQH
Transcript of Bán Márton LY8UQH
Bán Márton LY8UQH
HÁLÓZATOK ÉS RENDSZEREK II
2. házi feladat : Diszkrét idejű hálózatok vizsgálata
Név : Bán Márton tk.: 3. törzsszám : LY8UQH Javító : Horváth Zoltán konzultációs idõ : ábra: 17. adatsor: 9. Beadási határidõk: 1.rész : elfogadta : 2.rész :
3.rész : 17.
s[k]
a
c
bD
+
D
+
D
d
y[k]+ + +
Erősítések:
a b c d 0,5 0,5 0,8 0,5
Oldal 1
1.4.:
F G p 3 0,9 -14/13
2.2.: S 0ϑ ρ 20 0,12π 4π/3
2.3. s[k] értékei: k 0 1 2 3 4 5
s[k] 0 5 0 3 2 2
Megjegyzések: Mindenkinek le kell töltenie a feladatlapot, a megadott hálózat ábráját, és a feladatlap fejlécét ki kell tölteni. Ha javítás ill.részfeladat megoldásának külön beadása miatt többször adja be a házi feladatot, minden alkalommal az elõzõ részeket is és a feladatlapot is (az ábrával) be kell adni. Javítás esetén a hibás részt nem szabad kicserélni még akkor sem, ha valamelyik pontot elölrõl kezdi. A javítást külön lapon kell mellékelni, megjelölve, hogy melyik pont korrekciójáról van szó. Ügyeljen az áttekinthetõ és világos külalakra és arra, hogy a teljes megoldást részletesen le kell írni, nem elegendõ csak az eredményeket közölni. A numerikus számításokra és az ábrák elkészítésére alkalmazhat számítógépes programokat ( ANDI, DERIVE, MATLAB stb), de a megoldás elvi lépéseit akkor is részletesen le kell írni!
Bán Márton LY8UQH
Vizsgálat az idõtartományban 1.1 Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját! A késleltetők mögé beírt állapotváltozókkal kiegészített hálózat:
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
1 (1 )1 1 3
1 (2 )2 1 3
1 (2 ) (1 )3 1 3
(2 ) (2 )1 2 3
x k ac x k adx k as k
x k ac x k adx k as k
x k b ac x k bad x k bas k
y k b ac x k x k bad x k bas k
+ = + + +
+ = + + +
+ = + + + +
= + + + + +
Oldal 2
a b c d
0,5 0,5 0,8 0,5
Így az állapotváltozós leírás normál alakja:
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
1 1.4 0.25 0.51 1 3
1 2.4 0.25 0.52 1 3
1 1.2 1.125 0.253 1 3
1.2 2.125 0.251 2 3
x k x k x k s k
x k x k x k s k
x k x k x k s k
y k x k x k x k s
+ = + +
+ = + +
+ = + +
= + + + k
1.2 Határozza meg a sajátértékeket! Döntse el, hogy stabilis-e a hálózat! Ha nem stabilis, változtasson meg erõsítést (esetleg többet) úgy, hogy a hálózat stabilis legyen, majd oldja meg újra az 1.1.feladatot! A hálózaton végzett módosítással nem csökkentheti a hálózat rendjét, nem teheti triviálissá a hálózatot, és nem vehet fel további komponenst! Minden további feladatot az így stabilissá tett hálózaton végezzen el! A stabilitás vizsgálatához felírom a rendszeregyenletet mátrixait: Először paraméteresen:
( )
1 02 02 0 1
ac adA ac ad
b ac bad
+⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
( ) (2 1 2TC b ac bad= + +⎡ ⎤⎣ ⎦
aB a
ba
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]D ba=
)
Bán Márton LY8UQH
Majd behelyettesítve az adott szorzók értékeit:
1.4 0 0.252.4 0 0.251.2 0 1.125
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]1.2 1 2.125TC =
0.50.50.25
B⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]0.25D =
Ebből a sajátértékek kiszámolása:
Oldal 3
( )det 0A λ− ⋅Ε = 1.4 0 0.25
2.4 0.25 01.2 0 1.125
λλ
λ
−− =
−
( ) 21.4 ( 1.125 ) 0.25(1.2 ) 0λ λ λ λ− − + + =
3 22.525 1.225 0λ λ λ− + − =
( )2 2.525 1.225 0λ λ λ− + =
Így azt kapjuk a sajátértékekre, hogy:
01λ =
0.65512λ =
1.86993λ =
Látszik, hogy 3λ abszolút értéke nagyobb 1-nél, így a rendszer nem lehet asszimptótikusan stabilis. Hogy mi mégis stabilissá tegyük, meg kell változtatni valamelyik szorzó(k) értékét. Én a következőképp választom meg a szorzóim értékét:
a b c d -1 -0.1 0,5 -0,5
Így a hálózat stabilis jelleget mutat, teljesül a Jury kritérium is , az új mátrixok (1.1 feladat megoldása újra):
0.5 0 0.51.5 0 0.50.15 0 0.95
A⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
[ ]0.15 1 1.95TC = −
11
0.1B
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]0.1D=
Ebből a sajátértékek kiszámolása: ( )det 0A λ− ⋅Ε = 0.5 0 0.5
1.5 0.5 00.15 0 0.95
λλ
λ
−− =
− −
( ) ( )( )0.5 0.95 0.5 0.15 0λ λ λ λ− − − − ⋅ =
( )( )20.5 0.95 0.075 0λ λ λ λ− − − =
Bán
Márton LY8UQH
2 3 20.5 0.475 0.95 0.075 0λ λ λ λ λ− − + − =
3 21.45 -0.55 0λ λ λ− + = ( )2 1.45 0.55 0λ λ λ− + =
Így azt kapjuk a javított rendszer sajátértékeire, hogy:
01λ = 0.725 - 0.1561j2λ = 0.725 + 0.1561j3λ =
xponenciális alakban: E
01λ = 0.2121=0.7416 e2jλ −⋅ 0.2121=0.7416 e3
jλ ⋅
átszik, hogy az eredmények az egysékörön belül esnek, így a rendszer aszimptotikusan stabilis.
.3
L 1
állapotváltozós leírás ismeretében számítsa ki és ábrázolja az impulzusválaszt a k = 0, 1, Az 2,...10.ütemre! Adja meg az impulzusválaszt analitikus alakban is! a, Az impulzusválasz numerikus alakban:
[ ] [ ] [ ] [ ]1 0.5 0.51 1 3x k x k x k s+ = + −
Oldal 4
k
[ ] [ ] [ ] [ ]1 1.5 0.52 1 3x k x k x k s+ = + − k
[ ] [ ] [ ] [ ]1 0.15 0.95 0.13 1 3x k x k x k+ = − + + s k [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0.15 1.95 0.11 2 3y k x k x k x k s= − + + + k
zaz a következő táblázat írható fel a ”lépésről-lépésre” módszer segítségével: A
k [ ]kδ [ ]1x k [ ]2x k [ ]3x k [ ]w k 0 1 0 0 0 0.1 1 0 -1 -1 0.1 -0.655 2 0 -0.45 -1.45 0.245 -0.9047 3 0 -0.1025 -0.5525 0.3003 0.0485 4 0 0.0989 -0.0036 0.3006 0.5677 5 0 0.1997 0.2986 0.2708 0.7967 6 0 0.2352 0.4350 0.2273 0.8430 7 0 0.2313 0.4665 0.1806 0.7840 8 0 0.2059 0.4372 0.1369 0.6733 9 0 0.1714 0.3773 0.0992 0.5450
10 0 0.1353 0.3067 0.0685 0.4200 b, Az impulzusválasz analitikus alakban:
[ ]3
1kw k ci i
iλ= ∑
=; ha
01
2k ≥
= → [ ] 2 2 3 3k kw k c cλ λ λ= + Mivel példánkban
Bán Márton LY8UQH
(
Oldal 5
Ezt így is írhatjuk úgy is, hogy: [ ] )2 2( 2) 2 2 3 3kw k E k c cλ λk− −= − +
ől álló egyenletrendszer:
( azért hagyható el, mivel az impulzusválasz felírásánál a
Így felírható ez a kétismeretlenb
2k = 0.9048 2 3c c− = +
3=k 0.2121 0.21210.0485 0.7416 e 0.7416 e2 3j jc c= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −
1c 01λ = miatt úgyis kiesne)
A kétismeretlenes egyenletrendszerünk, a Derive segítségével könnyen rendezni lehet:
-0.4524 + 2.2562j2c = -0.4524 - 2.2562j3c =
Exponenciális alakban:
1.76872.3011 je= ⋅ 2c 1.76872.30113jc e−= ⋅
Ezeket az eredményeket visszaírva kapjuk az impulzusválaszra, hogy:
) 2k
[ ] ( ) ( 1.7687 0.2121( 2) 2.3011 0.7416 e 2.3011 0.7416 e jE k e e2 1.7687 0.2121 kj j jw k
− − ⎞= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ − −
[ ] ( ) ( )2 1.7687 2 1.76870.2121 0.21212( 2) 2.3011 0.7416 e ek j k jj jkw k E k ⎛ ⎞− + − −⎛ ⎞−−= − ⋅ ⋅ +⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
[ ] ( )(0.2121 (0.21212.1929) 2.1929)2( 2) 2.3011 0.7416 e ej j kkkw k E k − − −⎛ ⎞−= − ⋅ ⋅ +⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
Az Euler-formula segítségével az impulzusválasz felírható trigonometrikus alakban, imarginárius tagok
élkül a következőképpen: n
[ ] ( ) ( )( )2( 2) 4.6022 0.7416 cos 0.2121 2.1929kE k k−= − ⋅ ⋅ − w k
[ ] ( ) ( )( )( )2( 2) 4.6022 0.7416 cos 0.2121 2 1.7687kw k E k k−= − ⋅ ⋅ − − (ha k>2)
Az impulzusválasz formulájának érvényességét kiterjesszük k=1-re és k=0-ra, em ad helyes
rtékeket. Ezért most ”kijavítjuk” a függvényt: hozzáadunk egy k=0 és egy k=1 beli Dirac-deltát a helyes ahol az n
éérték beállítására. A ”lépésről-lépésre” módszerrel való megoldásánál megkaptuk, hogy k=0-ban [ ] 0.1w k = illetve k=1-ben [ ] 0.655w k = − . A MATLAB-ba beírva viszont látható, hogy a fenti képlet k ezen értékeire mást ad:
umns 1 through 7
85 0.5679 0.7968 0.8430
w = Col -4.8765 -2.4737 -0.9049 0.04
Bán Márton LY8UQH
Columns 8 through 12 0.7841 0.6733 0.5450 0.4200 0.3092
övetkezőképpen módosul:
)
Így az impulzusválaszra adódó képletünk így a k
[ ] [ ] [ ] ( ) (( ( ) )20.1 0.655 1 ( 2) 4.6022 0.7416 cos 0kw k k k E kδ δ −= ⋅ − ⋅ − + − ⋅ ⋅ .2121 2 1.7687k − −
(természetesen az értékek mind radiánban értendők) Ábrázolva:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Impulse response (k=0...10)
k
w[k]
.41 hálózat gerjesztése : s[k] = ε[k](F + Gpk). Határozza meg a választ az impulzusválasz ismeretében a k A
= 0, 1,...5 értékekre!
F G p
3 0,9 -14/13 Az adott táblázat alapján felírható a gerjesztés:
Oldal 6
Bán Márton LY8UQH
[ ] [ ]( ) [ ] 14 kk ⎛ ⎞−⎛ ⎞3 0.913
E k F Gp E k ⎜ ⎟= + = + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
A hálózat válaszát a gerjesztés és az impulzusválasz konvolúciója adja, ami diszkrét esetben a következő
sszegzéssel számítható:
s k
ö
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]y k s k w k s n w k nn
= ∗ = −∑=−∞
; ∞
A gerjesztés belépő ezért az összegzés határai leszűkíthetők:
[ ] [ ] [ ]0
k
y k s n w k nn
= −∑=
;
Az impulzusválasz értékei adottak az előző feladatból, a gerjesztés értékeit pedig MATLAB-bal
gyszerűen számítható adott k értékeire:
9000 2.0308 4.0438 1.8759 4.2105 1.6963
k
e >> s=3+0.9*(((-14)/13).^k) s = 3.
[ ]s k [ ]w k 0 3.900 0.1 01 2.030 -0.655 82 4.0438 -0.9048 3 1.8759 0.0485 4 4.2105 0.5677 5 1.6963 0.7967
Ezeket az értékeket visszahelyette e a k s képletsítv onvolúció be: [ ] [ ] [ ]0 0 0y s w= ⋅
[ ]0 3.9000 0.1= 0.3900y = ⋅
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 0 1 1y s w s w= ⋅ + ⋅ 0
[ ] ( )1 3.9000 0.655 2.0308 0.1= 2.3514y = ⋅ − + ⋅ −
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 0 2 1 1 2y s w s w s w= ⋅ + ⋅ + ⋅ 0
[ ] ( ) ( )2 3.9000 0.9048 2.0308 0.655 4.0438 0.1= 4.4545y = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]3 0 3 1 2 2 1 3 0y s w s w s w s w= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
[ ] ( ) ( )
Oldal 7
3 3.9000 0.0485 2.0308 0.9048 4 438 0.655 1.8759 0.1= 4.1094y = ⋅ + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −
[.0
] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]4 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0y s w s w s w s w s w= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
[ ] ( )4 3.9000 0.5677 2.0308 0.0485 4.0438 0.9048y = ⋅ + ⋅ + ⋅ −
Bán Márton LY8UQH
( )1.8759 0.655 4.2105 0.1= 2.1540+ ⋅ − + ⋅ −
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5 0 5 1 4 2 3 3 2 4 5 0y s w s w s w s w s w s w= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 1
[ ]5 3.9000 0.7967 2.0308 0.5677 4.0438 0.0485y = ⋅ + ⋅ + ⋅ +
( ) ( )1.8759 0.9048 4.2105 0.655 1.6963 0.1= 0.1706⋅ − + ⋅ − + ⋅
y megkapjuk a választ az impulzusválasz és a gerjesztés ismeretében k = 0, 1,...5 értékekre:
k
Íg
[ ]y k 0 0.3900 1 -2.351 42 -4.4545 3 -4.1094 4 -2.1540 5 0.1705
.51 em kötelezõ). Ellenõrizze a numerikus eredményeket az ANDI programmal!(N
. Vizsgálat a frekvenciatartományban
2 2.1 Határozza meg a hálózat átviteli karakterisztikáját a hálózatra felírt frekvenciatartománybeli egyenletek alapján! Adja meg és ábrázolja az amplitúdó karakterisztikát a (-2π,+2π) tartományon!
gyenlet, ami már a Az állípotváltozós normálalaknak kapott egyenltek kis módosításával felírható 4 újabb e
frekvenciatartományra vonatkozik. Ahol je ϑ− egyszeres késleltetést jelent, így ennek ismeretébe írom át a fent kapott egyenleteket, ahol 4 ismeretlen szerepel: 1X , 3X , 2X , Y
S
Oldal 8
A hálózatról leolvasható három frekvenciatartománybeli egyenlet, ami alapján már kiszámolható az átvitelarakterisztika:
i k
Bán Márton LY8UQH
( )( )
0.5 0.51 1 2
0.12 2 1 1
1 1 2 2
j je X e S
j jX X e X X e
X X
Oldal 9
j j jY X X e e X X e
ϑ
ϑ ϑ
ϑ
ϑ ϑ ϑ
⎫−= + − ⎪⎪⎪− −= − + ⎬⎪⎪− − −= + ⋅ + + ⋅ ⎪⎭
Amiket kicsit egyszerűbb alakra hozva:
−
( ) ( )( )( )
( ) ( )
2
1
0.5 1je1
1 0.5 1 0.5
0.1 0.12
1
2 11 2
X X Sj je e
jeX X
je
j j jY e e X e X
ϑ ϑ
ϑ
ϑ
ϑ ϑ ϑ
⎫⎪= −
− − ⎪− −⎪⎪−+ ⎪⎪= ⎬− ⎪−⎪⎪− − −= +⋅ + +⋅ ⎪⎪⎪⎭
ϑ−
2X -t behelyettesítve az első egyenletbe, megkapjuk, hogy:
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) 1
11
0.5 0.1 0.1 1 0.5 1
1 1 0.1 1
1
jeX S
j j j je e e e
j j j je e e eY X
je
ϑ
ϑ ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ ϑ ϑ
ϑ
⎫− − ⎪= ⎪− − − − ⎪+ − − −
⎪⎬⎛ ⎞− − − −⎛ ⎞ ⎪+ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪= ⎜ ⎟ ⎪−⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭
1X -t egyszerűbb alakra hozva:
( )11 21 1.45 0.55
jeX Sj je e
ϑ
ϑ ϑ
−= − −− +
Majd behelyettesítve a válasz képletébe:
−
( )( ) ( )( )
21 0.1 0.9j j je e eϑ ϑ ϑ 1
21 1.45 0.551
je
j jj e ee
ϑ
Y Sϑ ϑϑ
− −⎜ ⎟= ⎜ ⎟ − −− − +− +⎜ ⎟⎝ ⎠
− − −⎛ ⎞+ − +
Bán Márton LY8UQH
( )( )21 0.1 0.9
21 1.45 0.55
j je e eY Sj je e
ϑ ϑ
ϑ ϑ
− − −+ − += − −− +
jϑ
2 20.1 0.9 0.1 0.9
21 1.45 0.55
3j j j j je e e e eY Sj je e
ϑ ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ
− − − − −− + + − += − −− +
ϑ
2 30.1 0.8 0.1
21 1.45 0.55
j j je e eY Sj je e
ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ
− − −− + += − −− +
Amiből S -el leosztva kapjuk az átviteli karakterisztikát:
2 30.1 0.8 0.1( ) 21 1.45 0.55
j j jY e e ejW e j jS e e
ϑ ϑ ϑϑϑ ϑ
− − −− + += = − −− +
MATLAB-bal ellenőrizve: A=[0.5, 0, 0.5; 1.5, 0, 0.5; -0.15, 0, 0.95 ]; B=[-1;-1;0.1]; C=[-0.15, 1, 1.95]; D = 0.1; Ts = -1; % idővektor nem meghatározott Hs=ss(A,B,C,D, Ts); Hz = tf(Hs) %amire a válasz: Transfer function: 0.1 z^3 - 0.8 z^2 + 0.1 z + 1 ----------------------------- z^3 - 1.45 z^2 + 0.55 z Sampling time: unspecified
Mivel a rendszer stabil, az átviteli függvényből (fent Hz) egyszerű z je ϑ= helyettesítéssel kapjuk az átviteli karakterisztikát, amit fent már „kézzel-ceruzával” kiszámítottunk. Az amplitúdókarakterisztikát, az átviteli karakterisztika aboszolútértékeként számítjuk:
( ) ( )jK W e ϑϑ = ;
Enneka megadásához kicsit át kell alakítani az átviteli karakterisztikát:
3 2
3 2
0.1 0.8 0.1 1 0.1cos3 0.1 sin 3 0.8cos 2 0.8 sin 2 0.1cos 0.1 sin( )1.45 0.55 cos3 sin 3 1.45cos 2 1.45 sin 2 0.55cos 0.55 sin
j j jj
j j j
Y e e e j j jW ee e e j j jS
ϑ ϑ ϑϑ
ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑ ϑ ϑ ϑ
− + + − − + + −ϑ+
= = =− + − − + + −
Különválasztva a képzetes és a valós részt:
Oldal10
Bán Márton LY8UQH
( ) ( )( ) ( )
0.1cos3 0.8cos 2 0.1cos 1 0.1sin 3 0.8sin 2 0.1sin( )
cos3 1.45cos 2 0.55cos sin 3 1.45sin 2 0.55sinj j
W ej
ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑ ϑ ϑ ϑ
− + + − − +=
− + − − +ϑ
ϑ
Ezzel az alakkal már könnyen elvégezhető az abszolútérték művelet:
( ) ( ) ( ) (( ) (
))
2 2
2 2
0.1cos3 0.8cos 2 0.1cos 1 0.1sin 3 0.8sin 2 0.1sin( )
cos3 1.45cos 2 0.55cos sin 3 1.45sin 2 0.55sinjjK W e W e ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑϑ
ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ− + + + − +
= = =− + + − +
ϑ
Az amplitúdókarakterisztika ábrázolásához, szintén a MATLAB-ot használom, a következő parancssorral kirajzoltatom a fv-t: mintavetel = 10000; felbontas = 1/mintavetel; teta = -2*pi:felbontas:2*pi; Kteta = zeros(1, length(teta)); for i=1:length(teta) Kteta(1,i)=abs( ( 0.1*exp(3*j*teta(i))- 0.8*exp(2*j*teta(i))+0.1*exp(j*teta(i))+1)/(exp(3*j*teta(i))-1.45*exp(2*j*teta(i))+0.55*exp(j*teta(i)))); end; plot(teta, Kteta); Ami krajzolja, hogy:
Oldal11
Bán Márton LY8UQH
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5Amplitúdó - karakterisztika
teta
K(teta)
2.2 Az s[k] = Scos(ϑok + ρ) gerjesztõjel esetére határozza meg a válasz gerjesztett összetevõjének idõfüggvényét! Ábrázolja az s[k] és az yg[k] jeleket a k = 0, 1, 2,...10 értékekre! Vizsgálja meg, hogy periodikusak-e a jelek, és ha igen, adja meg a periódust! Mi a feltétele annak, hogy az yg[k] jelnek legyen fizikai tartalma?
S 0ϑ ρ 20 0,12π 4π/3
A paramétereket behelyettesítve: [ ] 420cos 0.123
s k k ππ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
+
Ebből látszik a gerjesztés komplex amplitudója:
4320
jS e
π
= ⋅ Tudjuk, hogy: Y H S= ⋅
3 0,12 2 0,12 0,121.1 2.25 0.1 1( ) 3 0,12 2 0,12 0,121.45 0.4
j j jY e e ejW e j j jS e e e
π π πϑπ π
− ⋅ − ⋅ − ⋅− −= = − ⋅ − ⋅ − ⋅− + π
+
Amit leegyszerüsítve:
Oldal12
Bán
Márton LY8UQH
-1.3691j( ) 0.4812 - 2.3537·j=2.4024jW e eϑ = ⋅ Azaz:
4-1.3691j j 2.819732.4024 20 48.048
jY e e e
π⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
Ebből pedig megkapjuk a gerjesztett összetevőt:
[ ] ( )48.048cos 0.12 2.8197y k kπ= ⋅ +
A válasz fizikai tartalma a rendszer gerjesztés-válasz stabilitásától függ, jelen esetben a rendszer GV stabilis, így ez a feltétel teljesül. Ábrázolás a MATLAB-bal:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10
-5
0
5
10
15
20Gerjesztõjel (s[k])
k
s[k]
Oldal13
Bán Márton LY8UQH
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50Gerjesztett valsz( y[k])
k
y[k]
2.3 Egy 6 periódusú s[k] gerjesztõjel egy periódusának értékei a mellékelt táblázatban adottak. Határozza meg ezen gerjesztõjel Fourier sorának valós és komplex alakját, és ellenõrizze, hogy a Fourier sorral számított értékek valóban az adott s[k] értékeket szolgáltatják! A megadott gerjesztés egy periódusa (K=0...5 -> K=6):
k 0 1 2 3 4 5 s[k] 0 5 0 3 2 2
A Fourier-sor komplex alakja: [ ]1
0
K j p ks k F epp
ϑ− − ⋅ ⋅ ⋅= ∑=
ahol értékeit a következő képlet adja meg:
Si [ ]
11
0
K j p kF s k ep K k
ϑ− − ⋅ ⋅ ⋅= ∑=
ahol,
2 26 3K
π π πϑ = = =
A képletbe behelyettesítve:
Oldal14
Bán Márton LY8UQH
( )1 0 5 0 3 2 2 20 6F = + + + + + =
2 4 51 3 3 3 3
j j j jjπ π π π
π⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟−0 5 0 3 2 2 -0.0833 - 0.1443j1 6
F e e e e e= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2 4 8 101 23 3 3 30 5 0 3 2 2 0.2500 0.7217j2 6
j j j jjF e e e e e
π π π ππ
⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟−= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
3 6 12 151 33 3 3 30 5 0 3 2 2 1.33333 6
j j j jjF e e e e e
π π π ππ
⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟−= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Továbbá:
0.2500 0.7217j4 2F F ∗= = − + 0.0833 0.1443j5 1F F ∗= = − +
A MATLAB-bal könnyen ellenőrizhetőek az adott k-hoz tartozó Fp komplex Fourier eggyütthatók értékei
a következő két soros utasítással: s = [0 5 0 3 2 2]; Fp = fft(s)/6; Amiből kapjuk a következő táblázatot:
k Fp Fp (exp. alak)
0 2.0000 2.0000 1 -0.0833 + 0.1443i j2.09430.1666 e⋅ 2 -0.2500 + 0.7217i j1.90430.7638 e⋅ 3 -1.3333 -1.3333 4 -0.2500 - 0.7217i -j1.90430.7638 e⋅ 5 -0.0833 - 0.1443i -j2.09430.1666 e⋅
Így meg kapom a gerjesztés Fourier sorának komplex alakjára, hogy:
[ ]1
0
L j i ks k S eii
ϑ− − ⋅ ⋅ ⋅= ∑=
[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( )
23 3
4 53 3
2 0.0833 + 0.1443j 0.2500 + 0.7217j
1.3333 0.2500 - 0.7217j 0.0833 - 0.1443j
j k j k
j k j kj k
s k e e
e e
π π
eπ π
π
− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅− ⋅ ⋅
= + − + −
+ − + − + −
Oldal15
Bán Márton LY8UQH
[ ]-2.0943 2 -1.9043
3 32 0.1666 0.7638
4 +1.9043 5 +2.09433 31.3333 0.7638 0.1666
j k j ks k e e
j k j kj ke e e
π π
π ππ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + ⋅ + ⋅
⎛ ⎞ ⎛− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜− ⋅ ⋅ ⎝ ⎠ ⎝− + +
⎞⎟⎠
Az és a 0i =2Li = sorszámú Fourier együtthatók értékei szükségszerűen valósnak adódtak. A valós
Fourier-sor és AFiBFi értékeit a következő képen határozzuk meg a komplex együtthatókból:
0 0AF F= , 00
BF =
20
22
AF F Li i iBF Fi i
⎫= ℜ ⎪ ≤ <⎬⎪=− ℑ ⎭
2 2
AF FL L= , 02
BFL =
A gerjesztés Fourier-sorának valós alakja:
[ ] ( ) ( )( )2cos sin0 0
LA Bs k S S i k S i ki i
iϑ ϑ= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∑
=
Így a megadott gerjesztésre a következő valós és ASiBSi Fourier-együtthatókat kapjuk:
k ASi BSi
0 2.0000 0 1 -0.1666 0.2886 2 -0.5000 1.4434 3 -1.3333 0
Így kapjuk a gerjesztésre, hogy:
[ ]
( )
2 0.1666cos 0.2886sin3 3
0.5000cos 2 1.4434sin 2 1.3333cos3 3
s k k k
k k k
π π
π π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ellenőrzés: A valós és komplex inverz Fourier-transzformációk képleteibe behelyettesítve, könnyen leellenőrizhető, hogy valóban visszakapjuk a gerjesztésre megadott s[k] értékeket, De a MATLAB is visszaadja közelítőleg az adott értékeket: s=ones(1,6);
Oldal16
Bán Márton LY8UQH
for i=1:6 %feltöltjük egy periódusnyi elemmel s(i)=2-0.1666*cos(pi*i/3)+0.2886*sin(pi*i/3)-0.5*cos(2*pi*i/3)+1.4434*sin(2*pi*i/3)-1.3333*cos(pi*i); end; stem(s); s %ábrázolunk egy periódust 1-6 ig, ahol a 6-nál lévő érték értelemszerűen %megegyezik a 0-nál lévő értékkel, mivel egy egész periódust nézünk, csak 1-el elcsúsztatva. s = 5.0000 -0.0001 2.9999 2.0001 2.0000 0.0001 >> Komplex alakra: >> s=2+0.1666*exp(i*2.0943)*exp(-i*k*pi/3)+0.7638*exp(i*1.9043)*exp(-i*k*pi*2/3)+(-1.3333)*exp(-i*k*pi)+0.7638*exp(-i*1.9043)*exp(-i*k*pi*4/3)+0.1666*exp(-i*2.0943)*exp(-i*k*pi*5/3) s = 0.0001 + 0.0000i 5.0000 + 0.0000i -0.0001 - 0.0000i 2.9998 + 0.0000i 2.0002 + 0.0000i 2.0001 + 0.0000i >> Ha ábrázoljuk akkor is látszik:
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6-1
0
1
2
3
4
5
Oldal17
Bán Márton LY8UQH
2.4 Határozza meg a fenti periodikus gerjesztéshez tartozó válasz gerjesztett összetevőjének valós alakú Fourier sorát, adja meg és ábrázolja egy periódusának értékeit! Az azonos körfrekvenciájú tagok összevonása után(addíciós tétel):
[ ] ( )2 0.3332cos -1.0473+ +1.5275cos -1.2373+2 1.3333cos3 3
s k k k kπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A szögeket -ban írva:
[ ] ( )2 0.3332cos -60.0034 + +1.5275cos -70.8937 +2 1.3333cos3 3
s k k k kπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A hálózat linearitása miatt a választ a gerjesztés különböző körfrekvenciájú komponenseire adott válaszok szuperpozíciójaként kapjuk meg. A következő táblázat a hálózat átviteli karakterisztikájának értékeit tartalmazza, azokon a frekvenciákon, amelyeket a gerjesztés is tartalmaz:
k k ϑ⋅ ( )jkW e ϑ− (radián) ( )jkW e ϑ− (fok) 0 0 4 4 1
3π
0.10151.8987 e j⋅⋅ 5.81551.8987 e j⋅⋅
2 2
Oldal 18
3π
-2.47500.7288 e j⋅⋅ -141.80710.7288 e j⋅⋅
π 0 0 3
0.1 0.8 0.1 1( ) 41 1.45 0.550
kjW ek
ϑ − + += =
− +=
2 3 43 3 3 30.1 0.8 0.1 0.1015
j j j je e e ekj j( ) 1.8888 + 0.1925j 1.8987 e
1 23 31 1.45 0.55
W ek j j
e e
π π π π
ϑ− − − −
− + + ⋅⋅π π= = == − −
− +
2 2 2 22 3 43 3 3 30.1 0.8 0.1 -2.4750( ) -0.5728 - 0.4506j 0.7288 e2 2
j j j je e e ekj jW e
π
2 23 31 1.45 0.55
k j je e
π π π
ϑπ π
− − − −− + + ⋅= = = ⋅
= − −− +
2 3 40.1 0.8 0.1 0( ) 02 33 1 1.45 0.55
j j j je e e ekjW e j jk e e
π π π πϑπ π
− − − −− + += = =− −= − +
[ ]
A hálózat válasza ezek alapján közvetlenül felírható:
8 0.6326cos -54.1879 + +1.113242cos 147.2992 +23 3
k k kπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
y
Bán Márton LY8UQH
Összefoglalva egy táblázatba, K=0…5 értékeire:
[ ]k s k [ ]y k 0 0 7.4334 1 5 7.6401 2 0 8.2067 3 3 8.5666 4 2 8.3599 5 2 7.7933
Ábrázolva:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10A válasz
k
y[k]
2.5 Az 1.3.-ban kiszámított impulzusválasz Fourier transzformálásával határozza meg az impulzusválasz komplex spektrumát, és hozza azt polinom/polinom alakra! Vesse az eredményt össze 2.1. eredményével! Az 1.3-asban kiszámított impulzusválasz: [ ] [ ] [ ] ( ) ( )( )( )20.1 0.655 1 ( 2) 4.6022 0.7416 cos 0.2121 2 1.7687kw k k k E k kδ δ −= ⋅ − ⋅ − + − ⋅ ⋅ − −
Az addíciós tétal felhasználásával átalakítjuk, úgy hogy a cosinusos tag argumentumából eltűnjön az eltolás:
Oldal19
[ ] [ ] [ ] ( )( ) ( )( )( ) ( )( )
24.6022 0.7416 cos( 1.7687)cos 0.2121 20.1 0.655 1 2
24.6022 0.7416 sin( 1.7687)sin 0.2121 2
k kw k k k E k
k kδ δ
−⎛ ⎞⋅ ⋅ − −⎜ ⎟= ⋅ − ⋅ − + − ⎜ ⎟−⎜ ⎟− ⋅ ⋅ − −⎝ ⎠
Bán Márton LY8UQH
A konstansokat összevonva:
[ ] [ ] [ ] ( )( ) ( )( )( ) ( )( )
20.9044 0.7416 cos 0.2121 20.1 0.655 1 2
2+4.5125 0.7416 sin 0.2121 2
k kw k k k E k
k kδ δ
−⎛ ⎞− ⋅ ⋅ −⎜ ⎟
= ⋅ − ⋅ − + − ⎜ ⎟−⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠−
[ ] ( ){ } ( )( )
1 cos 0cos 0 221 2 cos 0
ja ekF E k a k j ja e a e
ϑϑϑ ϑ ϑϑ
−− ⋅ ⋅⋅ ⋅ = − −− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
[ ] ( ){ } ( )( )sin 0sin 0 221 2 cos 0
ja ekF E k a k j ja e a e
ϑϑϑ ϑ ϑϑ
−⋅ ⋅⋅ ⋅ = − −− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
Alkalmazva az eltolási tételt, azt kapjuk, hogy:
[ ]{ }( ) ( )( ) ( )
( )
0.1 0.655
0.9044 1 0.7416 cos 0.2121 +4.5125 0.7416 sin 0.2121 2221 2 0.7416 cos 0.2121 0.7416
jF w k e
j je e jej je e
ϑ
ϑ ϑϑ
ϑ ϑ
−= −
− −⎛ ⎞− − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ −+ ⋅⎜ ⎟− −− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
[ ]{ } 0.9044+0.6557 +0.7045 20.1 0.655 21 1.4500 0.5500j
j je e jF w k e ej je eϑ
ϑ ϑ ϑϑ ϑ
−− −⎛ ⎞− ⋅ ⋅ −⎜ ⎟= − + ⋅− −⎜ ⎟− ⋅ + ⋅⎝ ⎠
[ ]{ }( )( )2 20.1 0.655 1 1.4500 0.5500 0.9044 + 1.3602
21 1.4500 0.5500
3j j j je e e eF w k j je e
jeϑ ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ
− − − −− − ⋅ + ⋅ − ⋅= − −− ⋅ + ⋅
ϑ−
( )( )2
2 2
0.1 0.655 1 1.4500 0.5500
0.1 0.655 -0.14500 0.9498 +0.05500 -0.36025
j j j
j j j j
e e e
e e e e
ϑ ϑ ϑ
3 jeϑ ϑ ϑ ϑ
− − −
− − − −
− − ⋅ + ⋅ =
− ⋅ + ⋅ ϑ−
Ebből adódik, hogy az impulzusválasz komplex spektruma:
( ) [ ]{ }2 30.1 0.8 0.1004 0.9999
21 1.4500 0.5500
j j je e ejW e F w k j je e
ϑ ϑ ϑϑϑ ϑ
− − −− ⋅ + +− = = − −− ⋅ + ⋅
A 2.1-ben kapott eredmény:
( ) 2 30.1 0.8 0.121 1.45 0.55
j j jY e e ejW e j jS e e
ϑ ϑ ϑϑϑ ϑ
− − −− + += = − −− +
Oldal20
Bán Márton LY8UQH
Amiből látszik, hogy a két eredmény gyakorlatilag ugyanaz. 2.6 Az átviteli karakterisztika ismeretében írja fel a hálózat rendszeregyenletét! A hálózat rendszeregyenlete az átviteli karakterisztikából:
2 30.1 0.8 0.121 1.45 0.55
j j jY e e ej jS e e
ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ
− − −− + += − −− +
( ) ( )2 21 1.45 0.55 0.1 0.8 0.1j j j j je e Y e e eϑ ϑ ϑ ϑ− − − − −− + = − + + 3 Sϑ
Tudjuk hogy, az je ϑ− kifejezés 1x-es késleltetést jelent (és ennek megfelelően 2 je ϑ− kétszerest, 3 je ϑ− háromszorost).
Ebből adódik, hogy a hálózat rendszeregyenlete:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1.45 1 0.55 2 0.1 0.8 1 0.1 2 3y k y k y k s k s k s k s k− − + − = − − + − + −
2.7 (Nem kötelező) Ellenőrizze a 2.1. és a 2.2. pont eredményeit az ANDI programmal! 3. Vizsgálat a komplex frekvenciatartományban 3.1. Határozza meg a hálózat átviteli függvényét a z-tartománybeli egyenletek felírása vagy az állapotváltozós leírás alapján! Vesse össze az eredményt az átviteli karakterisztika kifejezésével!
A megoldás gyakorlatilag analóg az 2.1 -es feladatban leírt megoldással:
Oldal21
Bán Márton LY8UQH
( )( )
1 10.5 0.51 1 21 10.12 2 1 1
1 1 11 1 2
X z X z X S
X z X X z X
Y X z X z X z X
⎫− −= + − ⎪⎪⎪− −= − + ⎬⎪⎪− − −= + + + ⎪⎭2
Egyoldalra hozva az állapotváltozókat:
( ) ( )( )
( )( ) ( )
10.5 11 21 11 0.5 1 0.5
10.1 12 111
1 1 11 11 2
zX X Sz z
zX X
z
Y z z X z X
− ⎫− ⎪= +− − ⎪− −
⎪⎪−− + ⎪⎪= ⎬− ⎪−⎪⎪− − −= +⋅ + +⋅ ⎪⎪⎪⎭
2X -t behyettesítve a másik két egyenletbe:
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
10.1 110.5 11 11 1 11 0.5 1 1 0.5
10.1 11 1 11 11 111
zzX X Sz z z
zY z z X z X
z
− ⎫− +− − ⎪= + ⎪− − −− − − ⎪⎪⎬
− ⎪− +− − − ⎪= +⋅ + +⋅
⎪−− ⎪⎭
Ezt egyszerűsítve:
( )( )( ) ( )( )( ) ( )
( )
111 1 1 1 11 0.5 1 0.05 1
21 1 1 11 1 0.1 1111
zX S
z z z z
z z z zY X
z
− ⎫− − ⎪= ⎪− − − −− − + + ⎪⎪⎬⎛ ⎞− − − − ⎪+⋅ − +− +⎜ ⎟⎪⎜ ⎟=⎪−⎜ ⎟− ⎪⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎭
1X -t behelyettesítve a másik egyenletbe:
Oldal22
Bán Márton LY8UQH
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )
21 1 1 1 1
1 1 1
1 1 0.1 1 1
1 1 0.5 1 0.05 1
z z z z zY S
z z z z
− − − − −
− − −
⎛ ⎞+ ⋅ − + − + − −⎜ ⎟=⎜ ⎟− − − +⎝ ⎠
1 1z− −+
Ezt egyszerűbb alakra hozva:
( )( ) ( )( )( )( ) ( )
21 1 1 1
1 1 1 1
1 1 0.1 1
1 0.5 1 0.05 1
z z z zY S
z z z z
− − − −
− − − −
− + ⋅ − + − +=
− − + +
Majd felbontva a zárójeleket:
1 3 1 2
1 1 2 1 2
0.1 0.2 0.11 0.5 0.5 0.05 0.05
z z z zY Sz z z z z
− − − −
− − − − −
− + + + +=
− − + + +
És a közös kitevőjű eggyütthatókat összvonva azt kapjuk, hogy a hálózat átviteli függvénye:
( )1 2
1 2
0.1 0.8 0.11 1.45 0.55
Y z zW zz zS
3z− − −
− −
− + += =
− +
Az átviteli karakterisztika fügvényével összevetve láthatjuk, hogy a két rendszer számlálójában illetve nevezőjében ugyanazok a kitevők állnak, ami érthető, hiszen ezt vártuk. 3.2 Határozza meg az átviteli függvény zérusait és pólusait! Ábrázolja a pólus - zérus elrendezést! Vizsgálja meg ennek alapján a hálózat gerjesztés- válasz stabilitását! Az átviteli függvény számlálójának gyökei a zérusok, nevezőjének gyökei a pólusok, ahhoz, hogy ezeket kiszámítsuk, használjuk a MATLAB-ot. Először bevisszük a számlálót és a nevezőt majd keressük külön- külön a gyököket: A=[0.5, 0, 0.5; 1.5, 0, 0.5; -0.15, 0, 0.95 ]; B=[-1;-1;0.1]; C=[-0.15, 1, 1.95]; D = 0.1; Ts = -1; Hs=ss(A,B,C,D, Ts); Hz = tf(Hs); >> [num,den]=tfdata(Hz, 'v'); >> roots(den) >> roots(num) Amire kapjuk, hogy: ans = 0 0.7250 + 0.1561i 0.7250 - 0.1561i ans =
Oldal23
Bán Márton LY8UQH
7.7016 1.2984 -1.0000 Tehát az eredmény, hogy a pólusok:
1
2
3
00.7250 0.1561j0.7250 - 0.1561j
ppp
== +=
Illetve a zérusok:
1
2
3
7.70161.2984
1.0000
zzz
=== −
Stabilitásvizsgálat:
( )
1
2 22
223
0
0.7250 0.1561 0.7318
0.7250 + -0.1561 0.7318
p
p
p
⎫=⎪⎪= + = ⎬⎪
= = ⎭⎪
A pólus zérus ábrából lehet látni, hogy GV-stabilis a rendszer, ugyanis mindegyik pólus az egységkörön belül helyezkedik el, azaz abszolút értéke kisebb 1-nél. Ábrázolva:
Oldal24
Bán Márton LY8UQH
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Pole-Zero Map
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
A p=0 pólus nyilvánvaló a másik kettő pedig következik az 1.2-ben kiszámított sajátértékekkel. 3.3 Határozza meg az átviteli függvény alapján a hálózat impulzusválaszát analitikus alakban, és vesse össze az eredményt az 1.3.-ban kapottal! Ellenőrizze az eredményt k = 0, 1, ...5-re polinom-osztáson alapuló inverz transzformációval! Az átviteli függvény inverz Z transzformáltja az impulzusválasz. Ahhoz, hogy a transzformációt elvégezzük, legelőször valódi törtet kell csinálnunk az átviteli függvényből(ugyanis a , a számlálóban 1z−magasabb hatványon szerepel, mint a nevezőben), majd azt részlettörtekre kell bontani:
[ ] ( ){ }1 2
1 11 2
0.1 0.8 0.11 1.45 0.55
z z zw k Z W z Zz z
− − −− −
− −
⎧ ⎫− + += = ⎨ ⎬− +⎩ ⎭
3
Polinóm osztás:
Oldal25
Bán Márton LY8UQH
( ) ( )( )
( )
1 2 3 1 2
1 2
1 2 3
1 2 3
2 3
0.1 0.8 0.1 : 1 1.45 0.55 0.1 0.655
0.1 0.145 0.055
0.655 0.045
0.655 0.94975 0.36025
-0.9047 0.6398
z z z z z
z z
z z z
z z z
z z
− − − − −
− −
− − −
− − −
− −
− + + − + = −
− − +
− + +
− − + −
+
1z−
Tehát:
1 2 31 1
1 2 2
0.1 0.8 0.1 -0.9047 1.36025( ) 0.1 0.6551 1.45 0.55 1.45 0.55
z z z zW z z zz z z z
− − −− −
− −
− + + += = − +
− + − +
Részlettörtekre bontás:
( )( ) ( )( )2
0.9047 1.36025 0.9047 1.360251.45 0.55 z 0.7250 + 0.1561j z 0.7250 0.1561j
z zz z
− + − +=
− + − − −
( )
( )( )
( )
0.9047 0.7250 + 0.1561j 1.36025-0.4524 - 2.2561j
0.7250 + 0.1561j -0.7250 + 0.1561j
0.9047 0.7250 - 0.1561j 1.36025-0.4524 + 2.2561j
0.7250 - 0.1561j -0.7250 - 0.1561j
− +=
− +=
( )( ) ( )( )2
0.04025 1.26025 -0.4524 - 0.0516j -0.4524 + 0.0516j1.45 0.55 z 0.7250 + 0.1561j z 0.7250 0.1561j
zz z
+= +
− + − − −
Visszahelyettesítve a kapott eredményt:
( )( )( )
( )( )( )
1 1
1-0.4524 - 0.0516jz- 0.7250 + 0.1561j
( ) 0.1 0.6551-0.4524 + 0.0516j
z- 0.7250 - 0.1561j
W z z z− −
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − + ⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
( )
( )
1.76870.2121
1 2
j1.76870.2121
2.3010z-0.7416
( ) 0.1 0.6552.3010
z-0.7416
jj
j
zee
W z z zzee
−
− −
−
⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟= − + ⎜ ⎟+ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
[ ] [ ] [ ][ ] ( ) ( )( ) ( )( )( )0.2121 2 -1.7687 0.2121 2 -1.76872
0.1 0.655 1
2 2.3010 0.7416 e j k j kk
w k k k
E k e
δ δ− − −−
= − −
+ − ⋅ ⋅ +
Megkapjuk az impuzusválaszt analitikus alakban:
Oldal26
Bán Márton LY8UQH
[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( )( )20.1 0.655 1 2 4.6020 0.7416 cos 0.2121 2 -1.7687kw k k k E k kδ δ −= − − + − ⋅ ⋅ −
Láthatjuk, hogy az eredmény teljes mértékben ekvivalens az 1.3 -as feladatban kapot eredménnyel. Az eredmény ellenőrzése k = 0, 1, ...5-re, polinom-osztáson alapuló inverz transzformációval:
( ) ( )( )
1 2 3 1 2 1 2 3
1 2 4 5
1
0.1 0.8 0.1 : 1 1.45 0.55 0.1 0.655 0.9047 0.04845
0.1 0.145 0.055 0.56785 0.7968
0.655 0.
z z z z z z z z
z z z
z
− − − − − − − −
− − − −
−
− + + − + = − − +
− − + + +
− +
( )
z
( )
( )
( )
2 3
1 2 3
2 3
2 3 4
3 4
3 4 5
4 5
4 5 6
045
0.655 0.94975 0.36025
-0.9047 1.36025
-0.9047 1.3118 -0.4976
0.04845 0.4976
0.04845 -0.070252 0.0266
0.56785 0.0266
0.56785 0.8234 0.3123
0.79
z z
z z z
z z
z z z
z z
z z z
z z
z z z
− −
− − −
− −
− − −
− −
− − −
− −
− − −
+
− − + −
+
+
+
+
−
− +
( )5 6
5 6 7
6 7
68 0.3123
0.7968 1.1554 0.4382
0.8431 0.4382
z z
z z z
z z
− −
− − −
− −
−
− +
−
[ ] 1 2 3 40...5
0.1 0.655 0.9047 0.04845 0.56785 0.7968k
W z z z z z z− − − −
== − − + + + 5−
Ezután elvégezhetjük az inverz transzformációt, minek eredményeképpen megkapjuk az 1.3-as táblázatbeli értékeket.
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
0...50.1 0.655 1 0.9047 2
0.04845 3 0.56785 4 0.7968 5k
w k k k k
k k k
δ δ δ
δ δ δ=
= ⋅ − ⋅ − − ⋅ − +
⋅ − + ⋅ − + ⋅ −
3.4. Határozza meg a választ analitikus alakban, ha a gerjesztõ jel: s[k[ = ε[k] (F + Gpk) !
F G p 3 0,9 -14/13
Az adott táblázat alapján felírható a gerjesztés:
[ ] [ ]( ) [ ] 143 0.913
kks k k F Gp kε ε⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟= + = + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
Oldal27
A gerjesztés Z-transzformáltja megszorozva a hálózat átviteli függvényével, megadja a válasz Z-
Bán Márton LY8UQH
transzformáltját. Ebből inverz Z-transzformációval kapjuk a válasz időfüggvényét:
{
Oldal 28
[ ] ( ){ } ( ) ( ){ } [ ]{ } ( )}1 1 1y k Z Y z Z S z W z Z Z s k W z− − −= = ⋅ = ⋅
( ) [ ]{ } 3 0.9 3 0.9 3 0.9 1314 13 141 1 1
13 13
z z z z zS z Z s kzz z zz
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = + = + = +
− +− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
13 14z
z+
A válasz transzformálását két részre lehet bontani:
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
3 2 3 2
2 2
0.1 0.8 0.1 1 0.1 0.8 0.1 13 0.91 21 1.07691.45 0.55 1.45 0.55
z z z z z zz zY z Y z Y zz zz z z z z z
− + + − + +⋅ ⋅= + =
− − −− + − ++
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
3 2
2
0.1 0.8 0.1 1 0.3 4 -2.2775 + 6.9091j -2.2775 - 6.9091j31 1 z- 0.7250 + 0.1561j z- 0.7250 - 0.1561j1.45 0.55 1
z z zY z
zz z z
⎛ ⎞− + += = + +⎜ ⎟⎜ ⎟−− + − ⎝ ⎠
A következő MATLAB utasítással lehet részlettörtekre bontani a kifejezést: szam1=[0.1 -0.8 0.1 1]; nev1=conv([1 -1],[1 -1.45 0.55]); [r1,p1,k1]=residue(szam1,nev1) >> r1 = 4.0000 -2.2775 + 6.9091i -2.2775 - 6.9091i p1 = 1.0000 0.7250 + 0.1561i 0.7250 - 0.1561i k1 = 0.1000
A Z-transzformációnál szűkségünk lesz egy z szorzóra, ezért megszorozzuk a törtet -vel: 1z z− ⋅
( ) ( )( )( )( )
( )( )( )
-6.83 + 20.73j -6.83 - 20.73j12z11 1 z- 0.7250 + 0.1561j z- 0.7250 - 0.1561j
z zY z z
z⎛ ⎞−= + +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
Letranszformálás után az egyenlet így néz ki:
[ ] [ ] ( )( )( ) ( )( )( )1 11 1.2+ -6.83 + 20.73j 0.7250 + 0.1561j -6.83 - 20.73j 0.7250 - 0.1561j1k ky k kε − −⎛ ⎞= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Bán Márton LY8UQH
Ugyanezt a műveletet elvégezzük a 2. részére is:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
3 2
2
0.1 0.8 0.1 1 0.9 -0.0490 -0.3568 - 1.2209j -0.3568 + 1.2209j0.92 1.0769 0.7250 + 0.1561j 0.7250 j 0.1561j1.45 0.55 1.0769
z z zY z
z z zz z z
⎛ ⎞− + += = + +⎜⎜ − − −− + − − ⎝ ⎠
( ) ( )( )( )
( )( )( )
-0.321 - 1.099j z -0.321 + 1.099j z-0.044z12 1.0769 0.7250 + 0.1561j 0.7250 - j 0.1561j
Y z zz z z
⎛ ⎞−= + +⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
Letranszformálás után a második egyenlet így néz ki:
[ ] [ ]
( )
( )( ( )
( )( ( )
1
1
1
-0.044 1.0769
1 -0.321 - 1.099j 0.7250 + 0.1561j2-0.321 + 1.099j 0.7250 - 0.1561j
k
k
k
y k kε
−
−
−
⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
))
)
)
A két egyenletből összerakható a válasz:
[ ] [ ]
( )
( )( ( )
( )( ( )
112-0.044 1.076911 -6.83 + 20.73j-0.321 - 1.099j 0.7250 + 0.1561j
1-6.83 - 20.73j-0.321 + 1.099j 0.7250 - 0.1561j
k
ky k k
k
ε
−⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟−= − +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟+⎝ ⎠
[ ] [ ]
( )
( )( )( )
( )( )( )
112-0.044 1.076911 -7.154 + 19.628j 0.7250 + 0.1561j
1-7.154 - 19.628j 0.7250 - 0.1561j
k
ky k k j
k
ε
−⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟−= − +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟+⎝ ⎠
[ ] [ ]
( )
( ) ( )
( ) ( )
112-0.044 1.07691 0.2121 11.92031 20.891 0.7416
1 0.2121 11.920320.891 0.7416
k
k j kjy k k e ek j kje e
ε
−⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟− −= − + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟− − −−⎜ ⎟+ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
[ ] [ ]
( )
( )( )( )
( )( )
112-0.044 1.0769
0.2121 1 1.92031 120.891 0.74160.2121 1 1.9203
k
j ky k k ekj k
e
ε
−⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞− += − ⎜ ⎟− ⎜ ⎟+ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠
Így megkaptuk a választ analitikus alakban:
Oldal29
Bán Márton LY8UQH
[ ] [ ] ( ) ( ) ( )( )1 11 12-0.044 1.0769 41.782 0.7416 cos 0.2121 1 1.9203k ky k k kε − −⎛ ⎞= − ⋅ + ⋅ ⋅ − +⎜ ⎟⎝ ⎠
3.5 Adjon meg egy olyan kanonikus hálózatot, amelynek a vizsgálttal megegyező az átviteli függvénye, és adja meg a hálózat rendszeregyenletét! A hálózat függvényét megvalósító egy lehetséges kanonikus kapcsolást a következő ábra mutatja:
( )1 2
1 2
0.1 0.8 0.11 1.45 0.55
z z zW zz z
3− − −
− −
− + +=
− +
Látható, hogy a hálózat megkonstruálása semmilyen gondot nem jelent. A „létrát” addig folytatjuk lefelé, amíg el nem fogy a számláló és a nevező, az erősítőkre pedig ráírogatjuk a z‐hatványok együtthatóit. Ha valamilyen közbenső z‐hatvány nem szerepel a törtben, akkor a neki megfelel ˝o erősítőt kihagynánk.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1.45 1 0.55 2 0.1 0.8 1 0.1 2 3y k y k y k s k s k s k s k= − − − + − − + − + −
Ebből a hálózat rendszeregyenlete:
Oldal30
Bán Márton LY8UQH
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1.45 1 0.55 2 0.1 0.8 1 0.1 2 3y k y k y k s k s k s k s k− − + − = − − + − + −
Mint ahogy azt a 2.6-os feladatban egyszer már ki is jött. 3.6 A rendszeregyenlet alapján a fokozatos behelyettesítés módszerével ellenőrizze a 3.4. feladat megoldását a k = 0, 1, 2,...8 ütemre! A rendszeregyenlet alapján:
k [ ]s k [ ]y k 0 3.9 0.39 1 2.0308 -2.3514 2 4.0438 -4.4545 3 1.8759 -4.1101 4 4.2105 -2.1542 5 1.6963 0.16951 6 4.4039 2.8109 7 1.4881 4.9884 8 4.6282 7.0963
A táblázat MATLAB segítségével lett kitöltve: k = 0:8; sk = 3 + 0.9 * ((-14/13).^k); yk = zeros(1, length(k)); yk(1)=0.39; yk(2)=-2.3514; yk(3)=-4.4545; for i = 4:length(k) yk(i) = 0.1*sk(i) - 0.8*sk(i-1) + 0.1*sk(i-2) + sk(i-3) + 1.45*yk(i-1) - 0.55 * yk(i-2); end; A 3.4-es feladat megoldás:
[ ]k y k 0 0.39 1 -2.3515 2 -4.5485 3 -4.1084 4 -2.2624 5 0.1716 6 2.6850 7 4.9902 8 6.9495
Szintén a MATLAB-bal ellenőrzöm: k=1:10;
Oldal31
Bán Márton LY8UQH
Oldal 32
y=12+-0.044.*(1.0769.^(k-1))+41.782.*(0.7416.^(k-1)).*cos(0.2121.*(k-1)+1.9203) y = Columns 1 through 6 -2.3515 -4.5485 -4.1084 -2.2624 0.1716 2.6850 Columns 7 through 10 4.9902 6.9495 8.5220 9.7237 Ugyanezt az eredményt kapjuk a 3.4. pontban kapott formulából, a rendszeregyenletbe és az állapotegyenletekbe való fokozatos behelyettesítésből, és az 1.4.pontban, ahol csak a k=0…_ 5 tartományt tekintettük, ugyanezt kaptuk diszkrét konvolúcióval is. 3.7 (Nem kötelező) Adjon meg egy olyan nem zérus gerjesztést, amelyhez tartozó válasz véges idejű! Adja meg a választ is! 3.8 (Nem kötelezõ) Az ANDI program felhasználásával ellenõrizze eredményeit! ________________________________________________________________________________ A javító megjegyzései: