BME - NESZ

download BME - NESZ

of 218

  • date post

    19-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    62
  • download

    3

Embed Size (px)

description

Bevezetés a számítástudományba

Transcript of BME - NESZ

  • A szamtastudomany alapjai

    A BME I. eves villamosmernok, mernok-informatikus es matematikus-hallgatoi szamara

    Osszealltotta: Fleiner Tamas

    x

    x

    v

    GG1

    v

    Utolso frisstes: 2013. december 23.

  • Tartalomjegyzek

    Bevezeto 4

    Vizsgatematika 7

    1. Alapismeretek 101.1. Komplex szamok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2. Kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    1.2.1. Elemi leszamlalasok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2. A szita-formula es a skatulya-elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.3. Koordinatageometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2. Linearis algebra 262.1. Vektorterek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2. Linearis egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.2.1. Egy koordinatageometriai alkalmazas . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3. Permutaciok, determinansok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.3.1. Permutaciok, inverzioszam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.2. Determinansok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.4. Matrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4.1. Matrixmuveletek, terbeli vektorok szorzasa . . . . . . . . . . . . . 452.4.2. Matrix inverze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.3. Matrix rangja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4.4. Linearis egyenletrendszerek targyalasa matrixokkal . . . . . . . . 52

    2.5. Linearis lekepezesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.5.1. Linearis lekepezesek matrixai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.5.2. Linearis transzformaciok es matrixok sajatertekei, sajatvektorai es

    sajatalterei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    3. Grafok 623.1. A grafelmelet alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2. Fak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    1

  • 3.2.1. Fak alaptulajdonsagai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.2. Cayley tetele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.2.3. Kruskal algoritmusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    3.3. Euler es Hamilton bejarasok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3.1. Grafok eleinek bejarasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3.2. Grafok csucsainak bejarasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    3.4. Grafbejarasok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.4.1. Legrovidebb utak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.4.2. Legszelesebb utak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4.3. Melysegi bejaras, aciklikus grafok, leghosszabb utak . . . . . . . . 94

    3.5. Halozati folyamok es alkalmazasaik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.5.1. Menger tetelei es grafok tobbszoros osszefuggosege . . . . . . . . . 1053.5.2. Paros grafok, parostasok es grafparameterek . . . . . . . . . . . . 110

    3.6. Skgrafok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.6.1. Skgrafok dualitasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    3.7. Grafok sznezesei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.7.1. Grafok elsznezese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.7.2. Skgrafok sznezese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    3.8. Perfekt grafok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    4. Szamelmelet 1424.1. Oszthatosag, prmek, kozos osztok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.2. Kongruenciak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.3. Redukalt maradekrendszer, Euler-Fermat tetel . . . . . . . . . . . . . . . 1514.4. Linearis kongruenciak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    5. Altalanos algebra 1585.1. Algebrai strukturak, csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

    5.1.1. Felcsoportok es csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.1.2. Ciklikus csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.1.3. Diedercsoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.1.4. Permutaciocsoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.1.5. A kvaterniocsoport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.1.6. A csoportelmelet alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

    5.2. Direkt osszeg, veges Abel csoportok alaptetele . . . . . . . . . . . . . . . 1715.3. Gyuruk, testek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

    6. Adatszerkezetek, algoritmusok es bonyolultsagelmelet 1766.1. Alapveto adatszerkezetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.2. Kereses, rendezes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

    6.2.1. Keresesi feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

    2

  • 6.2.2. Rendezesi feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.3. Grafok tarolasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.4. Algoritmusok bonyolultsaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

    6.4.1. Nehany egyszeru eljaras bonyolultsaga . . . . . . . . . . . . . . . 1906.5. A P es NP problemaosztalyok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

    6.5.1. NP-teljesseg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.5.2. Nehez problemak megoldasa a gyakorlatban . . . . . . . . . . . . 200

    6.6. A kriptografia alapjai es az RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.6.1. Prmteszteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.6.2. Nyilvanos kulcsu titkosrasok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

    6.7. Bizonytas informaciokozles nelkul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

    7. A halmazelmelet alapjai 210

    3

  • Bevezeto

    Jelen tankonyv a BME-n villamosmernok-hallgatoknak oktatott,A szamtastudomany

    alapjai cmu (VISZA 105 fedonevu) targyhoz tartozo jegyzet, de hasznosan forgathat-jak a Bevezetes a Szamtastudomanyba (VISZA 103 es VISZA 110) eloadast hallgatomernok-informatikusok es a Kombinatorika es Grafelmelet (VIMA 0173 es VIMA 0175)targy matematikus hallgatoi is. A feldolgozott anyag nagyreszt lefedi a tanorakon le-adott (es szamonkereseken elvart) ismereteket, helyenkent tul is mutat az eloadasonelhangzottakon, gy olyan reszeket is tartalmaz, amelyek ismeretet nem koveteljuk mega vizsgan. Mivel a villamosmernok tananyag eppen atalakuloban van, ezert bizonyostemakorok egyelore hianyoznak, am ahogyan a valtozasok elorehaladnak, ugy kerulnekazok is kidolgozasra.

    A vizsgara torteno felkesztesen tul a jegyzetnek celja egyuttal az diszkret matemati-kara fogekony hallgatok erdeklodesenek felkeltese is. Az egy-egy temakor irant komolyab-ban erdeklodo olvasokat celozzak azok a megjegyzesek, amelyek melyebb osszefuggesekremutatnak ra. Ne felejtsuk el azonban, hogy ezek csupan a kiegeszto ismeretek: ahhoz,hogy egy adott anyagreszben valaki tenylegesen elmelyulhessen, a valodi szakirodalmat(is) erdemes tanulmanyoznia. Hogyan celszeru a jegyzetet hasznalni, es egyaltalan: ho-gyan folyik a vizsga?

    A jegyzetet osszealltasakor fontos szempont volt, hogy abban a tananyagbol min-den szerepeljen, amit a vizsgan megkerdezhet a vizsgaztato. Ez bizonyosan nem sike-rult tokeletesen, de a szandek megvolt. A jegyzet feleptese a defincio-tetel-bizonytasszentharomsagon alapszik: a definialt fogalmakat dolt betus szedes jelzi, a tetel (alltas,megfigyeles, lemma) elott felkoveren talalhato, mirol is van szo, a bizonytasok vegetpedig olyan kiskocka jelzi, mint amilyen pl. ennek a sornak a vegen is all.

    A jegyzet osszealltasakor az is cel volt, hogy ne legyen tul szaraz az anyag. A jegyzetezert tartalmaz a tananyagot kiegeszto, ill. ahhoz kapcsolodo, erdekesnek telt informa-ciomorzsakat is. Az gy (pl. Megjegyzes vagy Tortenelem cmszavak utan, vagy aprobetuvel szedetten) kozolt ismereteket a (BME) vizsgan tehat nem koveteljuk meg: az azaltalanos iranyelv, hogy az ilyen reszeket meg a jeles osztalyzatert sem kotelezo ismer-ni. Talan nem tul kockazatos azt kijelenteni, hogy a fennmarado reszek behato ismereteelegendo az adott temakorben a jeles osztalyzathoz. A spektrum masik vegenek elere-sere mar lenyegesen tobb lehetoseg knalkozik. Elegtelent pl. ugy lehet szerezni, hogy

    4

  • a vizsgazo nem tudja pontosan kimondani valamelyik lenyeges definciot, tetelt vagy al-ltast. Eredmenyes modszer az is, ha a definciokat es teteleket szo szerint bemagoljaa hallgato, de a vizsgan bizonysagat adja, hogy nem erti, mirol beszel. Mas szoval:a legalabb elegseges osztalyzatnak feltetele a torzsanyaghoz tartozo fogalmak, alltasokpontos ismerete, vagyis az, hogy a hallgato ezeket ki tudja mondani, kepes legyen azokatalkalmazni es azokra szukseg eseten peldat mutatni. Az elegseges osztalyzatnak nemfeltetele, hogy minden ismertetett bizonytast tokeletesen ismerjen a vizsgazo. Sot: akaregyetlen egyet sem kell tudnia. Azonban aki ennek alapjan probal levizsgazni, az azt uze-ni az ot vizsgaztatonak, hogy nagyon nem erdekli ot az anyag. Mint gyakorlo vizsgaztatoelmondhatom, hogy ez engem arra osztonoz, hogy alaposan gyozodjek meg a definciokes tetelek kello szintu ismereterol, mert azt gondolom, hogy szamos olyan alltast tar-talmaz a tananyag, amit ugy a legkonnyebb megerteni, ha ismerjuk a bizonytast, vagylegalabb annak vazlatat. Altalanossagban elmondhato, hogy sokkal f