BLOQUE...- 73 - 2. Un barco de carga tiene un tanque de almacenamiento para combustible de 2 400...
Transcript of BLOQUE...- 73 - 2. Un barco de carga tiene un tanque de almacenamiento para combustible de 2 400...
- 71 -
Contenido:
BLOQUE
Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Funciones
Ecuaciones
cuadráticas y la
fórmula general
Forma, espacio y medida.
Teorema de Tales
Homotecias
Manejo de la información
Gráficas de
funciones
Gráficas de
funciones no lineales
- 72 -
Funciones Al finalizar la sección 3-1 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos:
Saber identificar situaciones que varían a modo de una función. Saber registrar una variación en una tabla. Saber describir una variación a través de una fórmula Cada vez que estés seguro de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que tú mismo lleves el control de tu avance.
ACTIVIDAD 3.1.1 Trabajando la representación con funciones. Fecha: ___________
Tal como viste en los cursos anteriores, las relaciones funcionales establecen una estructura de
dependencia entre dos situaciones. Cuando sale agua por un tubo de forma constante, se dice que
la cantidad de agua emanada por el tubo está en función del tiempo, así, la cantidad de agua
emanada depende del tiempo que se esté considerando. Muchas situaciones de la vida real pueden
representarse por medio de una relación funcional.
En algunas ocasiones se puede observar un fenómeno físico, social, etc., que presente cierta
regularidad, ante esto, el reto es encontrar la expresión matemática (función) que relacione los
elementos que intervienen en tal fenómeno. Para que comprendas mejor, resuelve la siguiente
situación:
1.Se tiene un recipiente con agua a 24 °C (temperatura ambiente). El agua se calienta, de tal manera que su
temperatura aumenta 4°C por minuto. De acuerdo con esta información completa la siguiente tabla:
Tiempo (min) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Temperatura (0C) 24
a) Si el calentamiento del agua continúa en la misma forma, ¿cuál será su temperatura a los 20
minutos? ______ ¿Después de cuántos minutos empezará a hervir el agua? ________ (Recuerda que
el agua en condiciones normales de temperatura y presión hierve a los 100°C)
b) ¿Si consideras las variables tiempo (t) y temperatura (T), ¿cuál es la expresión algebraica que
modela esta situación? _________________
c) Haz la gráfica poligonal de este planteamiento.
Qué vas a aprender:
Reconocer en
diferentes situaciones
y fenómenos de la
física, la biología, la
economía y otras
disciplinas, la
presencia de
cantidades que
varían una en función
de la otra y
representar la regla
que modela esta
variación mediante
una tabla o una
expresión algebraica.
Por qué es importante:
Un fenómeno
representado a través
de una fórmula
puede analizarse
utilizando recursos
tecnológicos.
- 73 -
2. Un barco de carga tiene un tanque de almacenamiento para combustible de 2 400 litros. Al navegar, cada
día consume 150 litros de combustible. Con base en la información que hay en la siguiente tabla, anota los
datos que faltan.
DIAS
TRANSCURRIDOS
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
LITROS DE
COMBUSTIBLE EN
EL TANQUE
2400 2100 1200
a) ¿Cuánto combustible quedará después de 5 días?_________________ ¿Y después de 10
días?___________, ¿y después de 15 días?_____________
b) ¿Cuántos días deben transcurrir para que se agote el combustible? _____________.
c) Escribe la expresión algebraica que relaciona la cantidad de combustible en el tanque, en función
de los días transcurridos. __________________________.
d) Realiza la gráfica poligonal de este problema:
3. Una cierta cantidad de agua a una temperatura de 80°C se pone en un congelador que está a 0°C. En el
proceso de enfriamiento se observa que la temperatura se reduce en un 5% de la temperatura original por cada
minuto que transcurre.
a) Representa la relación de los datos en una tabla.
b) ¿En cuánto tiempo llega a tener el agua una temperatura de 5°C) __________
c) ¿En cuánto tiempo el agua llega a una temperatura de 0°C? ______________
d) Escribe una expresión algebraica que modele el fenómeno._______________
- 74 -
4. Un helicóptero dejó caer un automóvil desde una altura de 490 metros. Algunos datos que se registraron
son los siguientes:
Tiempo transcurrido (seg) 0 1 2 3 4
Distancia acumulada de caída (m) 0 4.9 19.6 44.1 78.4
a) De acuerdo con la información, completa la siguiente tabla:
Tiempo ( t ) Distancia de caída ( d ) Altura a la que se
encuentra el automóvil
0 0 490
1 4.9
2 19.6
3 44.1
4 78.4
5
6
7
8
9
10
b) ¿Cuánto tiempo tardó el auto en llegar al suelo? ___________
c) ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la distancia de caída ( d ) en función del
tiempo transcurrido ( t )? ________________. Argumenta tu respuesta.
24.9d t 4.9d t 9.8d t 24.9d t
5. Cuando se proyecta una película, el área de la imagen depende de la distancia entre el proyector y la pantalla,
como se ilustra en la figura de la izquierda.
Distancia entre el proyector y la pantalla (m) 1 2 3
Área de la imagen en m2 4 16 36
a) Escribe la expresión algebraica que muestre la relación entre las distancias y las áreas. ________
b) Anota los datos que hacen falta en la siguiente tabla.
Distancia entre el proyector y la pantalla (m) 1.5 2.5 3.5 4.5
Área de la imagen (m2)
c) Utiliza la expresión anterior para encontrar a qué distancia se debe colocar el proyector de manera
que el área de la imagen sea de 24.01 m2. d = _____________
CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #
1042
aciertos ______
1 m
2 m
3 m
- 75 -
ECUACIONES CUADRÁTICAS Y
LA FÓRMULA GENERAL
Al finalizar la sección 3-2 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos: Saber resolver una ecuación cuadrática por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP). Saber obtener la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas Saber resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general Saber resolver planteamientos que requieren de la ecuación cuadrática para su solucionamiento. Cada vez que estés seguro de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que tú mismo lleves el control de tu avance.
ACTIVIDAD 3.2.1 Estudiando el método de completar el TCP. Fecha: ____________
Método previo para comprender el origen de la fórmula general
Una ecuación cuadrática cuando tiene la forma del trinomio cuadrado perfecto (TCP) ofrece una
gran ventaja de solución dado que se puede factorizar como un binomio al cuadrado y una vez
realizada la factorización se hace un simple despeje. Para aprovechar la utilidad de este método en
la solución de ecuaciones cuadráticas, se cumple con los siguientes pasos:
1) Se pasa el término independiente al segundo miembro de la igualdad (Respetando siempre las
reglas del despeje).
2) Se completa el TCP. (Asegúrate que a = 1, si esto no es así divide toda la ecuación entre tal valor
de “a”. Luego divide el coeficiente “b” entre dos, al resultado elevar al cuadrado.)
3) El término nuevo agregado en el primer miembro de la igualdad también se agrega en el
segundo miembro de la igualdad.
4) Se factoriza el TCP.
5) Se despeja y se hacen los cálculos necesarios.
6) Se obtienen las soluciones
Ejemplo: Resolver la ecuación 2 8 20 0x x por el método de completar el TCP
1 2
1 2
6 4 6 4 Separando las soluciones
10 2
x x
x x
Qué vas a aprender:
Utilizar ecuaciones
cuadráticas para
modelar situaciones
y resolverlas usando
la fórmula general.
Por qué es importante:
Es un método fácil
para resolver
ecuaciones
cuadráticas por
tratarse de una
fórmula.
2
2
2
8 20 0
8 20 Pasando el término independiente al segundo miembro de la igualdad
8 20 Completando el TCP y escribiendo el nuevo término en los dos lad s16 16 o
x x
x x
x x
2
de la igualdad
4 36 Factorizando el TCP y reduciendo
4 36 Despejando el cuadrado como raiz cuadrada
4 6 Operando la raiz cuadrada
6 4
x
x
x
x
Despejando x
- 76 -
ACTIVIDAD 3.2.2 Resolviendo ecuaciones por el método de completar el TCP. Fecha: ____________
1. Resuelve las ecuaciones cuadráticas completando el TCP.
a) 2 9 10 0x x b) 2 2 3 0x x
c) 2 10 21x x d) 2 6 7 0x x
e) 2 10 5 0x x f) 2 7 18 0x x
g) 2 3 4 0x x h) 22 2 3 0x x
i) 2 2 11 0x x j) 2
2 2 04
kx kx p
CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = # aciertos ______
- 77 -
ACTIVIDAD 3.2.3 Demostrando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Fecha: ________
La fórmula general Se trata de un recurso muy efectivo pues con ella es posible resolver cualquier tipo de ecuaciones
cuadráticas con una incógnita. Como es una fórmula, para usarla con éxito el secreto reside en tener
cuidado al sustituir y operar datos.
Primero observa una manera de obtener la fórmula general tomando como punto de partida la
forma general de la ecuación cuadrática 2 0ax bx c , resuelta por el método de completar el TCP
se tiene:
2
2
0
0 Dividiendo entre "a" para tener coeficiente igual a uno en el término cuadrático
ax bx c
ax bx c
a
2
2
2 22
2 2
2 2
2
0
Pasando el término independiente al segundo miembro de la igualdad
Completando el TCP4 4
4
2 4
b cx x
a a
b cx x
a a
b b b cx x
a aa a
b b acx
a a
2
2
2
Factorizando el TCP y reduciendo la fracción del segundo miembro de la igualdad
4 Despejando
2 4
4 Resolviendo para
2 2
b b acx
a a
b b acx
a a
2
la raíz cuadrada
4 Despejando " "
2 2
b b acx x
a a
2 4
Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas con una incógnita2
b b acx
a
Al usar esta fórmula hay que cuidar que la ecuación cuadrática esté en la forma 2 0ax bx c , es
decir, debe estar igualada a cero y todos los términos reducidos y ordenados. Si hubiera
denominador en algún término, de preferencia hay que multiplicar a toda la ecuación por ese
denominador para eliminarlo y hacer más fácil la tarea de operar.
Ejemplos:
a) Resuelve la ecuación 2 5 24 0x x usando la fórmula general.
2
1 2
1 2
1, 5, 24
5 5 4 1 24 5 25 96 5 121 5 11
2 1 2 2 2
5 11 6 5 11 16 8
2 2 2 2
3 8
a b c
x
x x
x x
- 78 -
b) Resuelve la ecuación 2 2 5 0x x usando la fórmula general.
2
1 2
1, 2, 5
2 2 4 1 5 2 4 20 2 24 2 4 6 2 2 6 2 2 61 6
2 1 2 2 2 2 2 2
1 6 1 6
a b c
x
x x
c) Resuelve la ecuación 2 6 10 0x x usando la fórmula general.
2
1 2
1, 6, 10
6 6 4 1 10 6 36 40 6 4 6 2 6 23
2 1 2 2 2 2 2
3 3
a b c
i ix i
x i x i
ACTIVIDAD 3.2.4 Resolviendo ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general. Fecha: _____________
a) 2 9 10 0x x
b) 29 12 1 0x x
c) 2 2 24 0x x
d) 2 10 12 0h h
e) 25 4 0y y
- 79 -
f) 2 8 0x x
g) 2 4 0x
h) 2 8 16 0x x
i) 22 7 3w w
j)2 4
11 2
x x
x x
k) 2
5 102 0
ww
l) 23 2 1m m
m) 23 10 10 0x x
- 80 -
n) 2 1
4x x
o) 23 4 0x x
p) 2 2 2 0x x
q) 2 3 1 0x x
r) 3 3 8x x x
CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #
1018
aciertos ______
- 81 -
TEOREMA DE TALES
Al finalizar la sección 3-3 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos: Saber reconocer la propuesta del teorema de Tales en una figura. Saber explicar el teorema de Tales junto con sus propiedades Saber resolver planteamientos que requieren de la utilización del teorema de Tales. Cada vez que estés seguro de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que tú mismo lleves el control de tu avance.
ACTIVIDAD 3.3.1 Estudiando el teorema de Tales. Fecha: ____________
Reproduce la siguiente construcción utilizando Cabri II o Geogebra
MN PQ AC
La consecuencia fundamental de la semejanza se conoce como teorema de Tales y puede enunciarse
así: dado cualquier triángulo ABC, si se traza una recta paralela a uno de los lados del triángulo,
por ejemplo, la recta PQ paralela al lado AC, ésta interseca los otros dos lados del triángulo AB y
BC en los puntos P y Q, respectivamente; los lados quedan así divididos en segmentos
proporcionales, esto es, P divide al lado AB en los segmentos AP y BP, mientras que el punto Q
divide al lado BC en los segmentos BQ y CQ. Entonces, si dividimos la longitud de AP entre la
longitud de BP, este cociente es el mismo que el obtenido al dividir la longitud de CQ entre la
longitud de BQ. Como la recta PQ es paralela a AC, verifica (midiendo en tu figura con la
herramienta respectiva) que:
Proporción: Con medidas: Entonces, los segmentos
seleccionados son ______
______________ AP CQ
BP BQ
Considera el segmento MN y escribe a continuación los segmentos que son proporcionales en forma
de una proporción:
CASO 1. Ahora, si eliges el punto medio de un lado, por ejemplo del lado AC, y por éste trazas la
paralela al lado AB, ¿en qué punto intersecará al lado BC? Compruébalo con Cabri II o Geogebra.
______________________________
Describe qué ocurre si arrastras con el puntero el vértice C: _________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Qué vas a aprender:
Determinar el teorema
de Tales mediante
construcciones con
segmentos. Aplicar el
teorema de Tales en
diversos problemas
geométricos.
Por qué es importante:
Permite reconocer
propiedades de las
figuras.
- 82 -
CASO 2. El teorema recíproco del teorema de Tales también es cierto y puede enunciarse así: si
sobre dos lados de cualquier triángulo elegimos puntos, por ejemplo, L sobre BC y M sobre AC, de
manera que cumplan el enunciado BL AM
CL CM ,entonces, al trazar la recta que pasa por los puntos
L y M, ésta es paralela a AB.
Mide los segmentos BL, CL y AM, CM, para obtener los cocientes correspondientes. ¿Son iguales?
____________. Si tu respuesta fue afirmativa, verifica que la recta que pasa por L y M sea paralela
al lado AB.
Pega la impresión de tus diseños del caso 1 y 2 en el siguiente espacio:
Enuncia el teorema de Tales:
CASO 3. Señala los puntos donde el segmento corta a las rayas de la hoja de un cuaderno.
a) ¿Cuántos puntos obtuviste? ____________________________
b) ¿En cuántas partes quedó dividido el segmento? __________
c) ¿Por qué se puede asegurar que todas esas partes son iguales? (Explica recurriendo al teorema
de Tales) ______________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
CASO 4. Usando solo compás, regla y escuadra (sin efectuar medición métrica) divide el siguiente
segmento en cinco partes iguales.
Describe el procedimiento utilizado.______________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
- 83 -
CASO 5. Usando compás, regla y escuadra, divide el segmento AB en dos partes, de tal forma que
la razón entre las medidas de las dos partes sea 2:3
B
A
CASO 6. Con regla, compás y escuadra, divide los segmentos en partes cuya razón sea la
indicada.
ACTIVIDAD 3.3.2 Trabajando aplicaciones del teorema de Tales. Fecha: ____________
1. Considera el triángulo ABC que se ha utilizado en el estudio de este capítulo. Al unir con
segmentos los puntos medios de los tres lados del triángulo, surge un nuevo triángulo. Enlista al
menos cuatro características del nuevo triángulo en relación al triángulo original.
a.___________________________________ b. ______________________________
c. ___________________________________ d. ______________________________
2. Conforme a la figura de la derecha, contesta lo que se pide:
a) Si AB = 5, CD = 15 y GH = 24. Hallar EF = ________.
b) Si FG = 6, CD = 21 y GH = 18. Hallar BC = _______.
c) Si EF = 20, DC = 50 y AB = 40. Hallar GH = _______.
d) Si FG = 21, AB = 15 y BC = 30. Hallar EF = ________.
3. La siguiente gráfica muestra tres lotes que colindan uno a uno. Los límites laterales son segmentos
perpendiculares a la calle 8 y el frente total de los tres lotes en la calle 9 mide 120 metros. Determine
la longitud de cada uno de los lotes de la calle 9. Incluye las proporciones para validar tus
respuestas.
CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #
1011
aciertos ______
- 84 -
m n
a b
HOMOTECIAS
Al finalizar la sección 3-4 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos: Saber identificar las propiedades de la homotecia directa y la homotecia inversa. Saber realizar los trazos apropiados para obtener la homotecia directa o inversa de una figura dada. Saber calcular e interpretar una razón de homotecia. Cada vez que estés seguro de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que tú mismo lleves el control de tu avance.
ACTIVIDAD 3.4.1 Identificando las propiedades de las homotecias. Fecha: ____________
Organizado en un equipo realiza el siguiente experimento:
1. Utilizando la pared como pantalla o fondo, coloquen un objeto (por ejemplo: un vaso, el borrador,
un lápiz, una vela, un CD o una de tus manos) a 1 m de distancia de ella. Después, iluminen dicho
objeto con una lámpara de mano a 50 cm de distancia de él en línea recta, de tal forma que se
proyecte la sombra del objeto en la pared.
2. Enseguida, acerquen y alejen la lámpara del objeto, y observen qué sucede en ambos casos.
3. Dejen fija la lámpara a 1 m de la pared, acerquen y alejen el objeto de ella. Expliquen lo que sucede
en ambos casos.
4. Midan las distancias entre la lámpara y el objeto y entre éste y la sombra. También midan la
longitud del objeto y la de la sombra. Verifiquen que la razón entre las distancias es igual a la razón
entre las longitudes.
Analiza la siguiente figura y contesta
las preguntas planteadas.
El foco alumbra un pino y éste
proyecta una sombra de mayor
tamaño sobre la pared. Los
segmentos de recta unen todos los
vértices del arbolito con los de su
sombra y la prolongación de éstos
hacia la izquierda coincide en un
punto O (centro de homotecia).
a) ¿Cuál es la razón entre OA’ y
OA?____________
b) Elige otro par de segmentos, sobre
una misma recta, y verifica que
guardan la misma razón que OA’ y
OA.
c) Compara la altura de la sombra con la del pino y anota la relación entre ambas
medidas.________________________________________
Qué vas a aprender:
Determinar los
resultados de una
homotecia cuando la
razón es igual, menor
o mayor que 1 o que
–1.Determinar las
propiedades que
permanecen
invariantes al aplicar
una homotecia a una
figura. Comprobar
que una composición
de homotecias con el
mismo centro es igual
al producto de las
razones.
Por qué es importante:
Permite reconocer
propiedades de las
figuras.
B C D
E A’
A
B’
C’
D’
E’
- 85 -
CASO 1. Homotecia directa. Toma el punto O como centro de homotecia. A partir de O traza rayos
punteados que pasen respectivamente por cada vértice del polígono ABCD. Con tu compás copia
la distancia OA y reprodúcela sobre el mismo rayo partiendo de A y ubica el nuevo punto A’; repite
este procedimiento copiando las distancias respectivas con los puntos: B, C, y D para encontrar los
puntos B’, C’ y D’, Después, une los cuatro puntos obtenidos para formar el polígono A’B’C’D’ y
contesta las preguntas.
¿Qué relación existe entre la medida de los lados de ambos polígonos? ________________
¿Cómo son los ángulos de las dos figuras?_______________________
¿Qué relación existe entre los perímetros de ambas figuras?_______________________
¿Qué relación existe entre las áreas de ambas figuras?_______________________________
¿Cuál es la razón de homotecia? _____________________________
CASO 2. Homotecia inversa. Toma como centro de homotecia el punto O, traza los segmentos AO,
BO, CO y prolóngalos hacia la izquierda la misma distancia. Ubica los puntos A’, B’, C’ y únelos
para formar un nuevo triángulo.
¿En qué posición está el nuevo triángulo con respecto al original? ____________________
¿Dónde quedó el punto de homotecia con respecto de las dos figuras? ________________
¿Cuál es la distancia OA?__________________________________
¿ Y cuál la de OA’?________________________________________
Si consideran el punto de homotecia O, como origen en una recta numérica, ¿cuál es el sentido que
tiene la distancia OA?________________ ¿Y el sentido de OA’?__________________
¿Cuál es la razón de homotecia? ___________________________
¿Cuál es el perímetro de ambas figuras?_______________ ¿Cuál es su área?_____________
O
A
B
C
8 10
6
- 86 -
ACTIVIDAD 3.4.2 Trabajando con las propiedades de la homotecia. Fecha: ____________
1. Analiza el siguiente dibujo y contesta las preguntas.
La figura 1 es la original, la figura 2 es la primera figura homotética (sombra 1) y la figura 3 es la
segunda figura homotética (sombra 2). Se sabe que OP = 4 cm, OP’ = 8 cm, P’P’’ = 8 cm y QR = 3cm.
1. ¿Cuál es la razón de
homotecia de la figura 2 con
respecto de la 1?_______
2. ¿Cuál es la razón de
homotecia de la figura 3 con
respecto a la 2?________
3. ¿Cuál es la razón de
homotecia de la figura 3 con
respecto a la 1?________
4. Si el segmento QR mide
2.6cm, ¿Cuánto mide el
segmento Q’’R’’?____________
2. Utilizando Cabri II o Geogebra efectua los trazos respectivos del Caso 1 y Caso 2 de este
capítulo y comprueba tus resultados por medio de este recurso electrónico. Pega tus diseños en el
siguiente espacio.
CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #
1010
aciertos ______
- 87 -
GRÁFICAS
Al finalizar la sección 3-5 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos: Comprender que hay fenómenos que se representan a través de gráficas diferentes a la recta. Saber representar y analizar gráficas de fenómenos no lineales. Saber calcular datos a partir de la observación de un comportamiento gráfico. Cada vez que estés seguro de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que tú mismo lleves el control de tu avance.
ACTIVIDAD 3.5.1 Trabajando con gráficas. Fecha: ____________
Traza las gráficas que se indican, posteriormente contesta lo que se pide. Para el primer caso
considera g = 9.81 m/s2. Para el segundo considerar v = 20 m/s. Puedes utilizar tu calculadora.
d = 2
2gt
t (s) d (m) (x ,y)
0 0 (0,0)
1
2
3
4
5
d = vt
¿Qué fenómeno representa cada gráfica?___________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
¿Qué diferencias y semejanzas tienen las gráficas?___________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
t (s) d (m) (x, y)
0 0 (0,0)
1
2
3
4
5
Qué vas a aprender:
Interpretar, construir y
utilizar gráficas de
relaciones
funcionales no
lineales para modelar
diversas situaciones o
fenómenos.
Por qué es importante:
Permite extender el
concepto de
representación
gráfica a situaciones
no modelables con
una recta.
0 5
10
100
90
4
Tiempo (segundo)
1 2 3
20
Dis
tancia
(m
etr
os)
50
60
70
80
30
40
0 5
10
100
90
4 Tiempo (segundos)
1 2 3
20
Dis
tancia
(m
)
50
60
70
80
30
40
- 88 -
¿Qué relación encuentras entre las expresiones algebraicas y sus
gráficas?_______________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Analiza la siguiente gráfica que representa el área de un rectángulo en función de la medida de la
base, cuando el perímetro es constante (10 cm). Posteriormente contesta lo que se pide.
a) ¿Por qué la curva no inicia en el origen del plano? ________________________________
_______________________________________________________________________________
b) ¿Cuántos rectángulos de 10 cm de perímetro pueden formarse? ________________ ¿Por qué?
____________________________________________________________________________________
c) ¿Cuánto puede medir la base cuando el área es igual a 4 cm2? ______________________
d) ¿Entre qué valores enteros de la base se encuentra el rectángulo de área máxima? ____________
___________________________________________
e) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de área máxima? ______________________
Rectángulos de perímetro =
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
base (cm)
Are
a (
cm
2)
- 89 -
Analiza la siguiente gráfica que representa la relación entre el área de la imagen proyectada sobre
la pantalla y la distancia a la que se coloca el proyector. Posteriormente contesta lo que se pide.
a) ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia
de 5 m? ____________________________
b) ¿A qué distancia deberá colocarse el proyector con respecto a la pantalla para que la
imagen tenga un área de 4 m2? _________________________
c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área (A) de la imagen proyectada en
función de la distancia (d) a que se coloca el proyector? ____________________________
d) ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia
de 5.5 m? ____________________________________________
CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #
1030
aciertos ______
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
distancia (m)
áre
a d
e l
a im
ag
en
(m
2)
- 90 -
GRÁFICAS NO LINEALES
Al finalizar la sección 3-6 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos: Comprender el efecto de “a” y “b” en las gráficas de las funciones de la forma y = ax2 + b. Comprender el efecto de “a” en las gráficas de las funciones de la forma y = (x + a)2. Dada una gráfica saber la función a la que representa. Cada vez que estés seguro de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que tú mismo lleves el control de tu avance.
ACTIVIDAD 3.6.1 Estudiando las gráficas de funciones no lineales. Fecha: ____________
Gráficas de la forma 2y ax b (PRIMERA PARTE). Para reconocer las gráficas de este tipo de
relación funcional (función), primero haremos un estudio del efecto del coeficiente “a”.
Por simplicidad demos por despreciable el valor de “b” (cero), así, la función se reduce a 2y ax .
Observa las siguientes funciones:
¿Las funciones anteriores tienen el formato 2y ax ? _______
¿Qué valores se asignaron al coeficiente “a” en cada caso? __________________________________
Utiliza Derive o Geogebra para graficar las funciones anteriores en una sola ventana, luego,
identifica cada gráfica escribiendo sobre cada una su función respectiva. Recorta y pega tu gráfica
en el siguiente espacio, obsérvala y llena la tabla:
Qué vas a aprender:
Establecer la relación
que existe entre la
forma y la posición
de la curva de
funciones no lineales
y los valores de las
literales de las
expresiones
algebraicas que
definen a estas
funciones.
Por qué es importante:
Se aprende a
anticipar detalles de
una gráfica no lineal
con solo reconocer
algunos datos de la
función
a) 23y x b) 22y x c) 2y x d) 21
2y x e) 21
3y x f) 21
4y x
g) 2y x h) 22y x
- 91 -
Tabla de resumen de efectos del coeficiente “a” en parábolas del tipo 2y ax
CONCLUSIONES Cuando “a” es positiva Cuando “a” es
negativa
Cuando “a” se aleja
del valor cero
Efecto observado
en la parábola:
Gráficas de la forma 2y ax b (SEGUNDA PARTE). En esta sección consideremos “a=1”, así, la
función que queda es 2y x b .
Utilizando Derive o Geogebra y en una sola ventana de trabajo desarrolla el estudio siguiendo los
pasos:
1. Haz la gráfica de 2 0y x
2. En la misma ventana realiza las gráficas 2 1y x , 2 3y x ¿qué ocurrió? ____________
_______________________________________________________________________________
3. Realiza las gráficas de 2 1y x y 2 4y x , ¿qué ocurrió? _____________________
_______________________________ ¿a qué crees que se deba el que las parábolas no están en el
mismo lugar del plano? ______________________________________________________
Imprime las gráficas obtenidas, identifica las parábolas escribiendo sobre cada una su función
respectiva. En la función 2y x b ¿cuál es el efecto de “b” en los vértices de las parábolas?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
Recorta y pega tus gráficas en el siguiente espacio:
El punto donde
la curvatura
cambia de
sentido (punto
de inflexión) se
llama vértice
de la parábola
- 92 -
Gráficas de la forma 2
y x a
Utilizando Derive o Geogebra y en una sola ventana de trabajo desarrolla el estudio siguiendo los
pasos:
1. Grafica las funciones 2
6y x y 2
2y x . ¿Qué observas en cuanto a la posición de
las gráficas? _________________________________________________________
2. Grafica a continuación 2
1y x y 2
4y x ¿Qué ocurrió en cuanto a la
posición del vértice de cada parábola? _____________________________________________
_______________________________________________________________________________
3. Imprime las gráficas, pégalas en el siguiente espacio y escribe sobre cada una de ellas su función
respectiva. ¿Qué relación encuentras entre el valor de “a” y el vértice de las
parábolas?_____________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
ACTIVIDAD 3.6.2 Trabajando con gráficas no lineales. Fecha: ____________
1. Identifica cada gráfica con su función respectiva.
( ) y = (x + 3)2
( ) y = -2x2
( ) y = (x – 3)2
( ) y = x2 + 2
( ) 2
2
1x
- 93 -
y y
2. Para cada parábola escribir su función respectiva:
3. Resuelve la ecuación a) 2 9 0x
La misma ecuación, convertida en función es 2 9y x . Elige la gráfica de esta función..( )
a) b)
a)
x
c) b)
a) ______________
b) ______________
c) ______________
d) ______________
x
x
y d)
- 94 -
III
m(t)
¿Qué relación tiene las soluciones de la ecuación anterior con los puntos donde su función graficada
(su parábola) interseca al eje “x”? _________________________________________
_______________________________________________________________________________
CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #
1012
aciertos ______
INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS
Al finalizar la sección 3-7 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos: Dada una gráfica saber relacionarla con el fenómeno que representa. A partir de los datos de un fenómeno ser capaz de representarlo con una gráfica. Cada vez que estés seguro de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que tú mismo lleves el control de tu avance.
ACTIVIDAD 3.7.1 Relacionando gráficas y fenómenos. Fecha:
____________
Seleccionen el texto que mejor describe la siguiente gráfica:
a) Ricardo salió a caminar cerca de una pendiente y le tomó menos tiempo bajar por el lado más
bajo que por el más alto.
b) Maribel manejaba su coche a cierta velocidad, un policía le dijo que se detuviera y después de
recibir una infracción y de que el policía se retiró, ella manejó más rápido, llegó a una velocidad
mayor a la que venía circulando y mantuvo esa velocidad durante cierto tiempo para recuperar el
tiempo perdido por la infracción.
c) En un tanque había cierta cantidad de agua que quedó de la noche anterior. Pedro se empezó a
bañar e hizo que la velocidad del flujo de salida de agua se redujera a cero. Tiempo después llegó
el agua al tanque hasta que quedó lleno.
d) Beatriz vive en una casa a desniveles. Se encuentra sentada en la cocina de su casa durante cierto
tiempo. Sube las escaleras hacia la sala de su casa y se queda viendo la televisión durante algún
tiempo, finalmente sube las escaleras hacia su recámara y se queda dormida.
Relaciona cada una de las siguientes gráficas con el texto que mejor describe su información.
Qué vas a aprender:
Interpretar y elaborar
gráficas formadas por
secciones rectas y
curvas que modelan
situaciones de
movimiento, llenado
de recipientes,
etcétera.
Por qué es importante:
Se trata de una
ocasión para
relacionar las
gráficas con
situaciones reales.
I)
m(t)
Tiempo
II
m(t)
Tiempo
- 95 -
a) La permanencia de una medicina en el cuerpo
de un paciente, la cual es administrada por medio
de una inyección. ( )
b) La permanencia de una medicina en el cuerpo
de un paciente, la cual es administrada por medio
de píldoras cada cierto tiempo. ( )
c) La permanencia de una medicina en el cuerpo
de un paciente, la cual es administrada por medio
de una mezcla del medicamento con suero y vía
intravenosa.( )
La gráfica que aparece a continuación representa el comportamiento de la temperatura de cierta
solución (compuesto químico) en diferentes instantes.
Describe y argumenta:
A. Qué ocurrió del inicio a los 5 minutos
B. De los 5 minutos a los 8 minutos.
C. De los 8 a los 9 minutos.
Las siguientes gráficas representan el llenado de recipientes variando la altura que va alcanzando
el líquido en relación con el tiempo. Asocia cada uno de los 3 recipientes con su respectiva gráfica.
Justifica tus respuestas.
A) B) C)
(Minutos)
(Grados)
1
2
3
4
5
- 96 -
( ) ( ) ( )
Bosqueja una gráfica que represente cada una de las siguientes situaciones:
a) La altura de los rebotes de una pelota que cae desde la azotea de una casa con respecto al
tiempo.
b) La altura con respecto al tiempo de izar manualmente una bandera en un asta.
c) La altura que alcanza el líquido en el recipiente que se muestra en relación con el tiempo.
CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #
1016
aciertos ______
ACTIVIDAD 3.7.2 Relacionando gráficas y fenómenos. Fecha: ____________
Resuelve las actividades propuestas en:
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/funciones/pinte
rpretcionfunciones/interpretaciondegraficas.htm