BİLİM ve TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL...

1

BİLİM ve TEKNOLOJİDEKİ BİLİM ve TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL

TEMELİTEMELİ

Prof. Dr. İrfan ŞİAP

[email protected]

Matematik Bölümü

Yıldız Teknik Üniversitesi

TUSSİDE

Şubat 2010

2

SUNUM AKIŞI

Bilim, Teknoloji ve Matematik nedir? Uygulamalı ve Soyut Matematik Nedir? Matematik ve Görüntü İşleme Matematik ve Hata Düzelten Kodlar Matematik ve Şifreleme Matematik ve Tıp Teknolojisi Sorular

BİLİM ve TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL TEMELİ Şubat 2010 -TUSSİDE

3

Bilim, Matematik ve Teknoloji

BİLİM: Gözlem, tanımlama, benzerlikler ve örüntüler yardımıyla çevremizdeki doğal olayları araştırmaktır.

MATEMATİK: Örüntü ile düzen ve niceliklerin özelliklerini, ölçümlerini ve ilişkilerini araştıran bilim dalıdır.

TEKNOLOJİ: Bilgi üretimi ve uygulaması ile problemleri çözen sistemleri üreterek yeniliklerin uygulanmasıdır.


4

Aralarındaki ilişki nedir?

BİLİM: Doğayı anlamaya yardımcı olur.

MATEMATİK: Ölçme, tahminde bulunma, iletişim kurmaya yardımcı olur.

TEKNOLOJİ: istek ve ihtiyaçlarımızı karşılamak için gerekli yazılım, donanım ve sistemleri sağlar.


5

Matematik, Bilim ve Teknoloji arasındaki ilişki:

Bilim teknoloji için bilgi kaynağı sağlar.Matematik hem bilim hem de teknoloji

için bir araçtır. Teknoloji bilim için araç ve malzeme

sağlar.


6

MATEMATİK

Uygulamalı Matematik: Çevremizdeki doğal olayları modelleme ve bu modellerin özelliklerini inceleme ile ilgilenir.

Soyut Matematik: Aksiyomlar ile belirlenmiş kümeler üzerindeki işlemleri inceleme ile ilgilenir.


7

Matematik ve Teknolojik Uygulamaları

Üzerinde Durulacak Ana Başlıklar Dijital Bilgi depolama ve aktarımı Görüntü işleme Kodlar- Hata Düzelten ve Şifreleme X ışını –Tomografi ve Radon Dönüşümü


8

GÖRÜNTÜ İŞLEME

Hırsız banka soyar


Araba ile kaçar

Polis tarafından takip edilir.

İyi Haber: Arabanın plakasının fotoğrafı çekilir.

Kötü Haber: Fotoğraf net değildir!

9

Görüntü işleme

Fotoğraf-Plaka


Bozulmuş Fotoğraf

10

Problemin Çözümü


Fotoğraf

f(x)

Etki eden

g(x)

Bozulmuş Foto

h(x) = f(x)*g(x)

Matematik yardımıyla bozulmaya neden olan g(x) fonksiyonu hesaplanarak, fotoğraftaki hata düzeltilebilir!

11

Görüntü işlendikten sonra:


Plaka okunabiliyor!

12

DİJİTAL GÖRÜNTÜLER

CD DVD MOBİL İLETİŞİM ARAÇLARI TV …


Görüntünün sayısal temsili

13

Diğer Uygulamalar

Animasyon- PIXAR Trigonometri: HareketlerCebir: ParlaklıkAnaliz: Işıklandırma100 adet süper bilgisayar-1/24 saniyelik bir film için 5-6 saat gerekli!


14

CD ve İçindeki Matematik-Hata Düzelten Kodlar


CD

Galois

1sn lik müzik yaklaşık:4 321 800 bit (bit: 0 veya 1)

1 CD dijital formda yaklaşık: 5 km bit!

Yeni bir CD’de bile ortalama:

5 00000 errors (van Lint)

15


ÖRNEKLERLE KODLAMA HATA KONTROLÜ VE DÜZELTME

Örnek 1: International Standard Book Number (ISBN)

9-758-64403-3

Dil Basımevi kontrol hanesi (bit)Kitap numarası9 - 758 - 64403 - 3

16


16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 mod 119 7 5 8 6 4 4 0 3

Dil Basımevi kontrol hanesi (bit)Kitap numarası9 - 758 - 64403 - 3

Genel olarak: ISBN No:

5 71 2 3 4 6 8 9 10d d d d d d d d d d

510 1 2 3 4

76 8 9

1 2 3 4 56 7 8 9 mod 11

d d d d d dd d d d

10 10d X

ISBN kodlaması bir hata tespit edebilir!

17

Ali, Oya’ın güvenli bir şekilde geçebileceği güzergah yönünü aşağıdaki gibi verir:

KKBKKBBGGBBKKKKBBK

C1 = {00, 01, 10, 11}

000001000001011111010100000000010100

{K, B, G, D}

C2 = {000, 011, 101, 110}

C3 = {00000, 01101, 10110, 11011}

1 hata tespit edilebilir.

1 hata düzeltebilir.


18


BİLGİ TRANSFER ŞEMASI

1011

zararlıetki

1010010

10110101011010

1011

Güncel hayatımızda bu şekilde hataları düzeltme örneğimiz var mı?

19


Örnek 4:"KODLAMA“ sözcüğü

Haberleşme-Depolama Kanalın Özellikleri:

0.1y hatalı sembol ulaşma olasılığı

0.9d hatasız sembol ulaşma olasılığı.

Kodlamadan önce:

7 0.48d doğru bilginin ulaşma olasılığı:

Uzaydan Görüntü İletme:

20


Kodlamadan sonra: ( 5 kez tekrar kodu ile)

“KKKKKOOOOODDDDDLLLLLAAAAAMMMMMAAAAA”

doğru harfi dekodlama olasılığı 5 4 3 25 10 0.99d d y d y

doğru bilginin ulaşma olasılığı! 7(0.99) 0.94

(Tekrarlı) Kodlama yapmadan önce doğru bilgi ulaşma olasılığı:

Kodlamadan sonra ise;7(0.99) 0.94

7 0.48d

21

ŞİFRELEME - KRİPTOGRAFİ


Sade Metin Şifreleme

(Anahtar kullanılır)

Şifrelenmiş

MetinÇözümleme

DeşifrelemeSade Metin

Gönderen Alıcı

22

Simetrik Şifreleme Örneği


Permütasyon Şifrelemesi:

A B C Ç D E F G Ğ H İ I J K L M N O Ö P R S Ş T U

Ü V Y Z

Z A BC

Ç

D

E

F

G

Ğ H İ IJ K LM NO Ö P RSŞ T U

Ü

V Y

A L İ Ğ S D

29! Şifreleme anahtarı mevcuttur.

Deneme yanılma ile çözme bilgisayar desteği ile yıllar alır!

İstatistik işe yarar mı?

23

Simetrik Şifreleme Örneği-2

A B C Ç D E F G Ğ H İ I J K L M N O Ö P R S Ş T U0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

011

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Ü V Y Z25 26 27 28

A 0 00000

B 1 00001

Y 27 11011

Z 28 11100

İkili Sistemde-5 uzunluğunda


24

Simetrik Şifreleme Örneği-2 devamı


ALİ 0000001001001010

Bir paragraf yaklaşık 200 kelime

Yaklaşık 600 karakter (harf)

Anahtar = Gelişigüzel (Keyfi) 0 ve 1 lerden oluşan bi sıralı dizi olsun.

Örneğin: 011001001110010010111000110…..1001

2600 Durum sözkonusu Çok güvenli

Pratik yani kullanışlı değil! Neden?

Anahtar Değişimi Gizli Yapılmalı!

Yer, Zaman, Olanaklar!

25

Asimetrik (Açık) Şifreleme Örneği

dinlemeAyça Kaya

Aralarında herhangi bir gizli ön iletişim yok


26

The Diffie-Hellman (1976) Anahtar Değişimi(Açık Şifreleme Metodu)

Zq – özel q seçimi yapılır! Ör: Z5={0,1,2,3,4} q = |G| g –G grubun üreteci

Ayça Kaya

x ← Zqh1 = gx

y ← Zqh2 = gy

çıktıkA=(h2)x

çıktıkB=(h1)y

gyx gxyEŞİT!


27Diffie-Hellman Metodun Güvenirliği

h1 = gx h2 = gyG,g

Bilinmekte- Halka Açık!

gyx bilinmiyor?

gyx ?


28

Anahtar Kırmak için gerekli zaman!


Anahtar Uzunluğu(bits)

Olası Anahtar Seçeneklerin sayısı

106 çözümleme/ µshızında gerekli zaman

32 232 = 4.3 x 109 2.15 mili saniye

56 256 = 7.2 x 1016 10 saat

128 2128 = 3.4 x 1038 5.4 x 1018 yıl

168 2168 = 3.7 x 1050 5.9 x 1030 yıl

29

Anahtarı Bulmak için Gerekli Zaman


128 bits AES standardı olarak kullanılmakta (2001’den günümüze.)256 bits ABD Çok Gizli İletişim için kullanılmakta

30

RSA – AÇIK ŞİFRELEME ÖRNEĞİ

Bu metodun güvenliği bir sayının (yeterince büyük) çarpanlarına ayrılışının güç (zaman alması) üzerine kuruludur.

77 nin asal çarpanları? 7 ve 11

70058167 nin asal çarpanları nedir? 8867 ve 7901


31


Mesaj şifreleme için kullanılacak küçük sayılan bir anahtar örneği:

27997833911221327870829467638722601621070446786955428537560009929326128400107609345671052955360856061822351910951365788637105954482006576775098580557613579098734950144178863178946295187237869221823983

Asal çarpanları nelerdir?

32

Çarpanlara Ayırma – Bir Örnek


N=pq ve

p = 3532461934402770121272604978198464368671197400197625023649303468776121253679 423200058547956528088349

q = 792586995447833303334708584148005968773797585736421996 0734330341455767872818 152135381409304740185467

N= 279978339112213278708294676387226016210704467869 55428537560009929326128400107609345671052955360856061822351910951365788637105954482006576775098580557613579098734950144178863178946295187237869221823983

RSA-200 challenge, 5/9/05 tarihinde çarpanlarına Jens Franke’in ekibi tarafından BonnÜniversitesi (Almanya) da ayrıldı. Ödül 20,000 A.B.D $.

33

Dijital Fotoğraflarda Bilgi Saklama(Steganography)


Her bir rengi temsil eden sayı grubunun sonuna iki hane eklenmiştir.

(Şifreleyen kişi bilmektedir!)

Son iki haneler kullanılarak yukarıdaki gizlenmiş resim elde edilir!

34

Matematik ve TIP Teknolojisi

CAT = Computerised axial tomography


Roengten tarafından icat edilen X-Ray tabanlıdır.

X-Ray: Gölge!

İYİ Kemik (sert doku) incelemesi

KÖTÜ Yumuşak doku incelemesi

35

MODERN MATEMATİK İLE DAHA İYİSİ YAPILABİLİR


Modern CAT Tarayıcıları

CAT Tarayıcıları: Çeşitli sayı ve açılarda X – ışınları göndererek elde edilen verileri matematik yardımıyla fotoğrafa çevirirler!

36

X ışının ölçülmesi ile Nesnenin Şeklinin Belirlenmesi


X-Işın Kaynağı

Nesne

Detektör

X

Detektör deki X ışının yoğunluğu nesnenin

kalınlığına bağlıdır.

Kalınlığı ölçebiliyoruz … Şekli çizebilir miyiz?

Yoğunluk

X

37

CAT’ in Çalışması

Kaynak ve Detektörleri hareket ettirerek, Nesnenin gölgeleri farklı açılardan elde edilir ve X-ışın yoğunlukları ölçülür


38


nesne

kaynak

detektör

X-ışınıρ : Nesnenin merkezinden olan uzaklık

θ : X-ışının açısı

X-Işının Sönümü R(ρ, θ) yi hesaplayalım:

39


Nesne

ρ

θ

Nesnenin Radon Transformu!

R(ρ, θ)’nın grafiği

40


Nesne

R(ρ, θ)’nın grafiği

ρ

θ

kenar kenar

kenar kenar

41

R(ρ, θ)’nın hesaplanması


R(ρ, θ)’nin hesaplanması = nesnenin f(x,y) yoğunluk fonksiyonun hesaplanması

•Radon (1917) tarafından Matematik formül keşfedildi

• Bu formülü kullanacak bilgisayar ve

makinaların icatı için 60 yıl geçmesi gerekiyordu! • Cormack cihazı keşfetti ve Nobel ödülü aldı!

• Radon ödül almadı!

42

Radon Formülü


Radon dönüşümü

Geri Dönüşüm (projeksiyon)

Bir çok farklı uygulamalar:

•X-ışını ve mumyalar

•Isıyı gözlemek

•Uzaktan Algılama …

43


Radon Dönüşümü - Mayınlar

Mayınlar kırsal (orman, vs…) alanlarda yaprak veya benzeri doğal bitkiler ile örtülüdür. Tetikleyici tel gibi tuzaklar gözle kolayca tespit edilememektedir.

44

Tuzak-mayınları tetikleyen tel(ler), nerede?


45

Dijital Foto ile görüntü ve Radon Dönüşümü


••

•

•

x

y

θ

f(x,y)

Radon dönüşümü

ρ

R(ρ,θ)

R(ρ,θ) deki yüksek yoğunluklu noktalar fotoğraftaki tel tuzaklarını göstermektedir!

Noktaları tespit ettikten sonra geri dönüşüm (ters fonksiyon) ile teller tespit edilir!

46


Geri Dönüşüm ile Mayınlar Tespit edilir:

47

Diğer Uygulama Alanları

•Modelleme (Doğal olaylar, vs.)•Hızlı Hesaplamalar (Bilgisayar, Animasyon-Filmler, Quantum!)•Yaklaşık Hesaplamalar (Modeller, Hesap

makinaları)•İstatistik ve Olasılık (Bankacılık, Sosyal olaylar,vs.)•Veri Düzenleme (Bilgisayar, vs.)•Optimizasyon (Ulaştırma, internet, vs.)• Kombinatöriyel Matematik, Algoritmalar (DNA)

48

MATEMATİK VAZGEÇİLMEZDİR!

Matematik alanındaki gelişmeler Teknolojide kullanılacak olan araçların inşası ve geliştirilmesi için olanaklar (denklemler…) sağlar.

Dolayısıyla, Matematik vazgeçilmez bir araç olarak anlaşılmaya ve değerlendirilmeye çalışılmalıdır…


49

TEŞEKKÜRLER

Sayın Prof. Dr. Mehmet AY – Çalıştay KoordinatörüDeğerli Çalıştay Ekibine

Değerli ÖğretmenlerimizeTUSSİDE Ekibine

TUBİTAK


BİLİM ve TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL...

Documents

Transcript of BİLİM ve TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL...