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IntroduçãoBissecção
Newton-RaphsonDiscussão final
Equações não-lineares e raizes de polinômios
Alexandre Rosas
Departamento de FísicaUniversidade Federal da Paraíba
6 de Maio de 2009
Alexandre Rosas Equações não-lineares e raizes de polinômios
IntroduçãoBissecção
Newton-RaphsonDiscussão final
O problema
Como calcular a solução de f (~x) = 0?
Exceto por problemas lineares, procedemos iterativamenteaté atingirmos um critério de paradaAqui, trataremos apenas de problemas unidimensionaisPara problemas multidimensionais
Método de Newton funciona se tivermos uma boaestimativa inicialHá ainda os métodos globalmente convergentes os quaisgarantem convergência (ver Numerical Recipes in C)
Alexandre Rosas Equações não-lineares e raizes de polinômios
IntroduçãoBissecção
Newton-RaphsonDiscussão final
O problema
Como calcular a solução de f (x) = 0
Exceto por problemas lineares, procedemos iterativamenteaté atingirmos um critério de paradaAqui, trataremos apenas de problemas unidimensionaisPara problemas multidimensionais
Método de Newton funciona se tivermos uma boaestimativa inicialHá ainda os métodos globalmente convergentes os quaisgarantem convergência (ver Numerical Recipes in C)
Alexandre Rosas Equações não-lineares e raizes de polinômios
IntroduçãoBissecção
Newton-RaphsonDiscussão final
O problema
Como calcular a solução de f (x) = 0
Exceto por problemas lineares, procedemos iterativamenteaté atingirmos um critério de paradaAqui, trataremos apenas de problemas unidimensionaisPara problemas multidimensionais
Método de Newton funciona se tivermos uma boaestimativa inicialHá ainda os métodos globalmente convergentes os quaisgarantem convergência (ver Numerical Recipes in C)
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IntroduçãoBissecção
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O problema
Como calcular a solução de f (x) = 0
Exceto por problemas lineares, procedemos iterativamenteaté atingirmos um critério de paradaAqui, trataremos apenas de problemas unidimensionaisPara problemas multidimensionais
Método de Newton funciona se tivermos uma boaestimativa inicialHá ainda os métodos globalmente convergentes os quaisgarantem convergência (ver Numerical Recipes in C)
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O problema
Como calcular a solução de f (x) = 0?
Exceto por problemas lineares, procedemos iterativamenteaté atingirmos um critério de paradaAqui, trataremos apenas de problemas unidimensionaisPara problemas multidimensionais
Método de Newton funciona se tivermos uma boaestimativa inicialHá ainda os métodos globalmente convergentes os quaisgarantem convergência (ver Numerical Recipes in C)
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IntroduçãoBissecção
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Valor inicial
ExemploNa aproximação de campo médio para o modelo de Ising despin-1/2, encontramos a seguinte equação transcendental:
m = tanh(βJm)
onde β = 1kBT , J é a constante de troca e m a magnetização.
f (x) = x − tanh(ax) = 0
Um valor inicial pode ser obtido do gráfico de f (x)
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Valor inicial
ExemploNa aproximação de campo médio para o modelo de Ising despin-1/2, encontramos a seguinte equação transcendental:
m = tanh(βJm)
Para determinar m(βJ), definimos
f (x) = x − tanh(ax) = 0
Um valor inicial pode ser obtido do gráfico de f (x)
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Valor inicial
ExemploNa aproximação de campo médio para o modelo de Ising despin-1/2, encontramos a seguinte equação transcendental:
m = tanh(βJm)
Para determinar m(βJ), definimos
f (x) = x − tanh(ax) = 0
Um valor inicial pode ser obtido do gráfico de f (x)
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Valor inicial
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
-1 -0.5 0 0.5 1
f(m)
m
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IntroduçãoBissecção
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Métodos iterativos
Encontrar uma raiz de f (x) ⇒ encontrar s tal que f (s) = 0Na prática, estamos limitados por uma precisão numéricaPortanto, vamos procurar x0 tal que |x0 − s| < ε ou|f (x0)| < δ
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Métodos iterativos
Encontrar uma raiz de f (x) ⇒ encontrar s tal que f (s) = 0Na prática, estamos limitados por uma precisão numéricaPortanto, vamos procurar x0 tal que |x0 − s| < ε ou|f (x0)| < δ
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Métodos iterativos
Encontrar uma raiz de f (x) ⇒ encontrar s tal que f (s) = 0Na prática, estamos limitados por uma precisão numéricaPortanto, vamos procurar x0 tal que |x0 − s| < ε ou|f (x0)| < δ
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Método
Algoritmo1 Escolha a e b tais que a < x0 < b
O intervalo deve conter apenas uma raiz ⇒ f (a)f (b) < 02 Defina c = a+b
2 e calcule f (c)
3 Se f (a)f (c) > 0, faça a = c, se não, faça b = c.4 Se b − a > ε, e |f (a)− f (b)| > δ vá para o passo 25 A solução é c
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Método
Algoritmo1 Escolha a e b tais que a < x0 < b
Quanto menor o intervalo [a,b] melhor!2 Defina c = a+b
2 e calcule f (c)
3 Se f (a)f (c) > 0, faça a = c, se não, faça b = c.4 Se b − a > ε, e |f (a)− f (b)| > δ vá para o passo 25 A solução é c
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Método
Algoritmo1 Escolha a e b tais que a < x0 < b
Quanto menor o intervalo [a,b] melhor!2 Defina c = a+b
2 e calcule f (c)
3 Se f (a)f (c) > 0, faça a = c, se não, faça b = c.4 Se b − a > ε, e |f (a)− f (b)| > δ vá para o passo 25 A solução é c
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Método
Algoritmo1 Escolha a e b tais que a < x0 < b
Quanto menor o intervalo [a,b] melhor!2 Defina c = a+b
2 e calcule f (c)
3 Se f (a)f (c) > 0, faça a = c, se não, faça b = c.4 Se b − a > ε, e |f (a)− f (b)| > δ vá para o passo 25 A solução é c
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Método
Algoritmo1 Escolha a e b tais que a < x0 < b
Quanto menor o intervalo [a,b] melhor!2 Defina c = a+b
2 e calcule f (c)
3 Se f (a)f (c) > 0, faça a = c, se não, faça b = c.4 Se b − a > ε, e |f (a)− f (b)| > δ vá para o passo 25 A solução é c
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Método
Algoritmo1 Escolha a e b tais que a < x0 < b
Quanto menor o intervalo [a,b] melhor!2 Defina c = a+b
2 e calcule f (c)
3 Se f (a)f (c) > 0, faça a = c, se não, faça b = c.4 Se b − a > ε, e |f (a)− f (b)| > δ vá para o passo 25 A solução é c
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Método
Algoritmo1 Escolha a e b tais que a < x0 < b
Quanto menor o intervalo [a,b] melhor!2 Defina c = a+b
2 e calcule f (c)
3 Se f (a)f (c) > 0, faça a = c, se não, faça b = c.4 Se b − a > ε, e |f (a)− f (b)| > δ vá para o passo 25 A solução é c
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Exemplo
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
m
kB T/J
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Prós e Contras
PrósTiro certo: dificilmente não encontrará a resposta
ContrasConvergência lenta: após n iterações, intervalo seráreduzido a
12n |a− b|
Não pode ser aplicado se a raiz for ponto de máximo oumínimo
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Prós e Contras
PrósTiro certo: dificilmente não encontrará a resposta
ContrasConvergência lenta: após n iterações, intervalo seráreduzido a
12n |a− b|
Não pode ser aplicado se a raiz for ponto de máximo oumínimo
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Prós e Contras
PrósTiro certo: dificilmente não encontrará a resposta
ContrasConvergência lenta: após n iterações, intervalo seráreduzido a
12n |a− b|
Não pode ser aplicado se a raiz for ponto de máximo oumínimo
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Método
A ideiaGeometricamente, consistem em estender a tangente no pontoatual até cruzar o eixo−x e tomar este valor como aaproximação seguinte
A matemática
f (s) = 0 = f (s − x + x) = f (x) + f ′(x)(s − x) + . . .
Portanto, para pequenas distâncias e funções bemcomportadas
s = x − f (x)
f ′(x)⇒ xn+1 = xn −
f (xn)
f ′(xn)
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Método
A ideiaGeometricamente, consistem em estender a tangente no pontoatual até cruzar o eixo−x e tomar este valor como aaproximação seguinte
A matemática
f (s) = 0 = f (s − x + x) = f (x) + f ′(x)(s − x) + . . .
Portanto, para pequenas distâncias e funções bemcomportadas
s = x − f (x)
f ′(x)⇒ xn+1 = xn −
f (xn)
f ′(xn)
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Método
A ideiaGeometricamente, consistem em estender a tangente no pontoatual até cruzar o eixo−x e tomar este valor como aaproximação seguinte
A matemática
f (s) = 0 = f (s − x + x) = f (x) + f ′(x)(s − x) + . . .
Portanto, para pequenas distâncias e funções bemcomportadas
s = x − f (x)
f ′(x)⇒ xn+1 = xn −
f (xn)
f ′(xn)
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Método
A ideiaGeometricamente, consistem em estender a tangente no pontoatual até cruzar o eixo−x e tomar este valor como aaproximação seguinte
A matemática
f (s) = 0 = f (s − x + x) = f (x) + f ′(x)(s − x) + . . .
Portanto, para pequenas distâncias e funções bemcomportadas
s = x − f (x)
f ′(x)⇒ xn+1 = xn −
f (xn)
f ′(xn)
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Método
A ideiaGeometricamente, consistem em estender a tangente no pontoatual até cruzar o eixo−x e tomar este valor como aaproximação seguinte
A matemática
f (s) = 0 = f (s − x + x) = f (x) + f ′(x)(s − x) + . . .
Portanto, para pequenas distâncias e funções bemcomportadas
s = x − f (x)
f ′(x)⇒ xn+1 = xn −
f (xn)
f ′(xn)
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Interpretação geométrica
x
f (x)
−1.1 −0.9 −0.7 −0.5 −0.3 −0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1
−0.2
−0.1
0.1
0.2
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Interpretação geométrica
x
f (x)
−1.1 −0.9 −0.7 −0.5 −0.3 −0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1
−0.2
−0.1
0.1
0.2
×n
f (×n)
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Interpretação geométrica
x
f (x)
−1.1 −0.9 −0.7 −0.5 −0.3 −0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1
−0.2
−0.1
0.1
0.2
×n
f (×n)
f ′ (×n)
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Interpretação geométrica
x
f (x)
−1.1 −0.9 −0.7 −0.5 −0.3 −0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1
−0.2
−0.1
0.1
0.2
f ′ (×n)
xn+1 = xn − f (xn)f ′(xn)
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Interpretação geométrica
x
f (x)
−1.1 −0.9 −0.7 −0.5 −0.3 −0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1
−0.2
−0.1
0.1
0.2
f ′ (×n)
xn+1 = xn − f (xn)f ′(xn)
f (×n+1)
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Implementação
Algoritmo1 Escolha um valor inicial para x0
2 Escolha um número máximo de passos Nmax
3 Inicialize a variável número de passos N4 Calcule o próximo valor de x0
x0 ← x0 −f (x0)
f ′(x0)
5 Se |f (x0)| > δ e N < Nmax , faça N ← N + 1 e vá para opasso 4
6 A solução é x0
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Implementação
Algoritmo1 Escolha um valor inicial para x0
2 Escolha um número máximo de passos Nmax
3 Inicialize a variável número de passos N4 Calcule o próximo valor de x0
x0 ← x0 −f (x0)
f ′(x0)
5 Se |f (x0)| > δ e N < Nmax , faça N ← N + 1 e vá para opasso 4
6 A solução é x0
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Implementação
Algoritmo1 Escolha um valor inicial para x0
2 Escolha um número máximo de passos Nmax
3 Inicialize a variável número de passos N4 Calcule o próximo valor de x0
x0 ← x0 −f (x0)
f ′(x0)
5 Se |f (x0)| > δ e N < Nmax , faça N ← N + 1 e vá para opasso 4
6 A solução é x0
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Implementação
Algoritmo1 Escolha um valor inicial para x0
2 Escolha um número máximo de passos Nmax
3 Inicialize a variável número de passos N4 Calcule o próximo valor de x0
x0 ← x0 −f (x0)
f ′(x0)
5 Se |f (x0)| > δ e N < Nmax , faça N ← N + 1 e vá para opasso 4
6 A solução é x0
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Implementação
Algoritmo1 Escolha um valor inicial para x0
2 Escolha um número máximo de passos Nmax
3 Inicialize a variável número de passos N4 Calcule o próximo valor de x0
x0 ← x0 −f (x0)
f ′(x0)
5 Se |f (x0)| > δ e N < Nmax , faça N ← N + 1 e vá para opasso 4
6 A solução é x0
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Algoritmo1 Escolha um valor inicial para x0
2 Escolha um número máximo de passos Nmax
3 Inicialize a variável número de passos N4 Calcule o próximo valor de x0
x0 ← x0 −f (x0)
f ′(x0)
5 Se |f (x0)| > δ e N < Nmax , faça N ← N + 1 e vá para opasso 4
6 A solução é x0
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Prós e Contras
PrósConvergência rápida
εn+1 =|f ′′(s)|[f ′(s)]2
ε2n
Ótimo se conhecermos f ′(x) analiticamente
Contras
Às vezes é difícil prever para que raiz o método convergiráConverge se: f (x) ∈ C2(R), for convexa, crescente e possuir zero
Se não pudermos calcular f ′(x) analiticamente, podemoster erros devido à perda de precisão numérica
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Prós e Contras
PrósConvergência rápida
εn+1 =|f ′′(s)|[f ′(s)]2
ε2n
Ótimo se conhecermos f ′(x) analiticamente
Contras
Às vezes é difícil prever para que raiz o método convergiráConverge se: f (x) ∈ C2(R), for convexa, crescente e possuir zero
Se não pudermos calcular f ′(x) analiticamente, podemoster erros devido à perda de precisão numérica
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Prós e Contras
PrósConvergência rápida
εn+1 =|f ′′(s)|[f ′(s)]2
ε2n
Ótimo se conhecermos f ′(x) analiticamente
Contras
Às vezes é difícil prever para que raiz o método convergiráConverge se: f (x) ∈ C2(R), for convexa, crescente e possuir zero
Se não pudermos calcular f ′(x) analiticamente, podemoster erros devido à perda de precisão numérica
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Prós e Contras
PrósConvergência rápida
εn+1 =|f ′′(s)|[f ′(s)]2
ε2n
Ótimo se conhecermos f ′(x) analiticamente
Contras
Às vezes é difícil prever para que raiz o método convergiráConverge se: f (x) ∈ C2(R), for convexa, crescente e possuir zero
Se não pudermos calcular f ′(x) analiticamente, podemoster erros devido à perda de precisão numérica
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IntroduçãoBissecção
Newton-RaphsonDiscussão final
Possíveis dificuldades
Se o cálculo da função envolver instabilidades numéricas,os algoritmos podem não convergir ou retornar resultadoserradosErros de arredondamento podem fazer a função oscilarnumericamenteRaízes próximas também podem causar problemas
SaídaTransformar a função em uma função bem comportadaÉ importante conhecer as propriedades analíticas dafunção e configurar o algoritmo de acordo com elas
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Possíveis dificuldades
Se o cálculo da função envolver instabilidades numéricas,os algoritmos podem não convergir ou retornar resultadoserradosErros de arredondamento podem fazer a função oscilarnumericamenteRaízes próximas também podem causar problemas
SaídaTransformar a função em uma função bem comportadaÉ importante conhecer as propriedades analíticas dafunção e configurar o algoritmo de acordo com elas
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Possíveis dificuldades
Se o cálculo da função envolver instabilidades numéricas,os algoritmos podem não convergir ou retornar resultadoserradosErros de arredondamento podem fazer a função oscilarnumericamenteRaízes próximas também podem causar problemas
SaídaTransformar a função em uma função bem comportadaÉ importante conhecer as propriedades analíticas dafunção e configurar o algoritmo de acordo com elas
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Possíveis dificuldades
Se o cálculo da função envolver instabilidades numéricas,os algoritmos podem não convergir ou retornar resultadoserradosErros de arredondamento podem fazer a função oscilarnumericamenteRaízes próximas também podem causar problemas
SaídaTransformar a função em uma função bem comportadaÉ importante conhecer as propriedades analíticas dafunção e configurar o algoritmo de acordo com elas
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Possíveis dificuldades
Se o cálculo da função envolver instabilidades numéricas,os algoritmos podem não convergir ou retornar resultadoserradosErros de arredondamento podem fazer a função oscilarnumericamenteRaízes próximas também podem causar problemas
SaídaTransformar a função em uma função bem comportadaÉ importante conhecer as propriedades analíticas dafunção e configurar o algoritmo de acordo com elas
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Tipos de algoritmo
Isolamento de raízesInicia com uma região limitada que contém a raizReduzem a região iterativamente – proporciona estimativarigorosa do erroTêm convergência garantida
Refinamento de raízesParte de uma estimativa inicial e tenta melhorá-laSó converge se iniciado próximo a raizSe funcionar, converge rapidamente
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Tipos de algoritmo
Isolamento de raízesInicia com uma região limitada que contém a raizReduzem a região iterativamente – proporciona estimativarigorosa do erroTêm convergência garantida
Refinamento de raízesParte de uma estimativa inicial e tenta melhorá-laSó converge se iniciado próximo a raizSe funcionar, converge rapidamente
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Tipos de algoritmo
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Refinamento de raízesParte de uma estimativa inicial e tenta melhorá-laSó converge se iniciado próximo a raizSe funcionar, converge rapidamente
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Tipos de algoritmo
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Refinamento de raízesParte de uma estimativa inicial e tenta melhorá-laSó converge se iniciado próximo a raizSe funcionar, converge rapidamente
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Tipos de algoritmo
Isolamento de raízesInicia com uma região limitada que contém a raizReduzem a região iterativamente – proporciona estimativarigorosa do erroTêm convergência garantida
Refinamento de raízesParte de uma estimativa inicial e tenta melhorá-laSó converge se iniciado próximo a raizSe funcionar, converge rapidamente
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Tipos de algoritmo
Isolamento de raízesInicia com uma região limitada que contém a raizReduzem a região iterativamente – proporciona estimativarigorosa do erroTêm convergência garantida
Refinamento de raízesParte de uma estimativa inicial e tenta melhorá-laSó converge se iniciado próximo a raizSe funcionar, converge rapidamente
Alexandre Rosas Equações não-lineares e raizes de polinômios
IntroduçãoBissecção
Newton-RaphsonDiscussão final
Comparação
Isolamento Bissecção muito simples, convergência linear
Falsa posição baseado em interpolação, convergê-cia linear
Método deBrent
combina interpolação e bissecção,método rápido
Refinamento Newton toma a intersecção da tangente comabicissa como nova aproximação
Secante baseado no método de Newton, nãocalcula derivada em todos os passos
Método deSteffenson
Associa método de Newton a um pro-cedimento de aceleração produzindoa nova aproximaçãoRi = xi−(xi+1−xi)
2/(xi+2−2xi+1 +xi)Muito rápido
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Comparação
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Falsa posição baseado em interpolação, convergê-cia linear
Método deBrent
combina interpolação e bissecção,método rápido
Refinamento Newton toma a intersecção da tangente comabicissa como nova aproximação
Secante baseado no método de Newton, nãocalcula derivada em todos os passos
Método deSteffenson
Associa método de Newton a um pro-cedimento de aceleração produzindoa nova aproximaçãoRi = xi−(xi+1−xi)
2/(xi+2−2xi+1 +xi)Muito rápido
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Comparação
Isolamento Bissecção muito simples, convergência linear
Falsa posição baseado em interpolação, convergê-cia linear
Método deBrent
combina interpolação e bissecção,método rápido
Refinamento Newton toma a intersecção da tangente comabicissa como nova aproximação
Secante baseado no método de Newton, nãocalcula derivada em todos os passos
Método deSteffenson
Associa método de Newton a um pro-cedimento de aceleração produzindoa nova aproximaçãoRi = xi−(xi+1−xi)
2/(xi+2−2xi+1 +xi)Muito rápido
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Isolamento Bissecção muito simples, convergência linear
Falsa posição baseado em interpolação, convergê-cia linear
Método deBrent
combina interpolação e bissecção,método rápido
Refinamento Newton toma a intersecção da tangente comabicissa como nova aproximação
Secante baseado no método de Newton, nãocalcula derivada em todos os passos
Método deSteffenson
Associa método de Newton a um pro-cedimento de aceleração produzindoa nova aproximaçãoRi = xi−(xi+1−xi)
2/(xi+2−2xi+1 +xi)Muito rápido
Alexandre Rosas Equações não-lineares e raizes de polinômios
IntroduçãoBissecção
Newton-RaphsonDiscussão final
Comparação
Isolamento Bissecção muito simples, convergência linear
Falsa posição baseado em interpolação, convergê-cia linear
Método deBrent
combina interpolação e bissecção,método rápido
Refinamento Newton toma a intersecção da tangente comabicissa como nova aproximação
Secante baseado no método de Newton, nãocalcula derivada em todos os passos
Método deSteffenson
Associa método de Newton a um pro-cedimento de aceleração produzindoa nova aproximaçãoRi = xi−(xi+1−xi)
2/(xi+2−2xi+1 +xi)Muito rápido
Alexandre Rosas Equações não-lineares e raizes de polinômios
IntroduçãoBissecção
Newton-RaphsonDiscussão final
Comparação
Isolamento Bissecção muito simples, convergência linear
Falsa posição baseado em interpolação, convergê-cia linear
Método deBrent
combina interpolação e bissecção,método rápido
Refinamento Newton toma a intersecção da tangente comabicissa como nova aproximação
Secante baseado no método de Newton, nãocalcula derivada em todos os passos
Método deSteffenson
Associa método de Newton a um pro-cedimento de aceleração produzindoa nova aproximaçãoRi = xi−(xi+1−xi)
2/(xi+2−2xi+1 +xi)Muito rápido
Alexandre Rosas Equações não-lineares e raizes de polinômios