Biomeccanica & Simulazione di dispositivi biomedici Corso ... · generica trave allo studio di 6...

Biomeccanica & Simulazione di dispositivi biomediciCorso di Laurea in Ingegneria Biomedica

Pavia, 2016

An introduction to the mechanics of deformable solids:

Saint Venant / criteri di resistenza

Ferdinando Auricchio 1 2

1Dipartimento di Ingegneria Civile e Architettura, Universita di Pavia, Italy2IMATI – Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche, CNR, Italy

June 14, 2016

F.Auricchio (UNIPV) Saint Venant June 14, 2016 1 / 26

Saint Venant I

Particolare problema elastico tridimensionale,relativo ad un solido cilindrico caricato sulle sole basi

Ipotesi geometriche: solido cilindrico

Sezione retta; assi x-y principali di inerzia Asse z coincidente con l’asse della trave

Ipotesi sul materiale

Elastico lineare isotropo omogeneo

Ipotesi sul carico

Forze di volume nulle: b = 0 in Ω Forze di superficie nulle sul “mantello”: t = 0 su ∂L

Forze di superficie non nulle sulle basi: t 6= 0 su A1 e A2


Saint Venant II

Problema lineare ⇒ vale il principio di sovrapposizione degli effetti

Tutte le equazioni sono lineari (equilibrio, congruenza, costitutive)

Principio di sovrapposizione:

Problema 1 con soluzione 1Problema 2 con soluzione 2

Problema (1+2) con soluzione (1+2)


Saint Venant I

Corpo non vincolato ⇒ per l’equilibrio azioni esterne devono avere risultante emomento risultante nullo

Presenti solo azioni sulle basi, per cui∫

A1∪A2

tdA = 0 ,

∫

A1∪A2

[r × t] dA = 0

Sulla base A2 abbiamo:

t = σn = σe3 =

σxx τxy τxzτxy σyy τyzτxz τyz σzz

001

=

τxzτyzσzz

Si fa l’ipotesi (da verificarne l’ammissibilita ) che in tutto il solido le unichecomponenti non nulle del tensore delle tensioni siano

σzz , τxz , τyz

da cui:

σ =

0 0 τxz0 0 τyzτxz τxy σzz

(1)


Saint Venant: equazioni al contorno I

Grazie all’ipotesi 1, le equazioni che governano il problema si semplificano

∂τxz∂z

= 0

∂τyz∂z

= 0

∂τxz∂x

+∂τyz∂y

+∂σzz

∂z= 0

εxx = −νσzz

E

εyy = −νσzz

E

εzz =σzz

E

γxy = 0

γyz =τyzG

γxz =τxzG

εxx =∂u

∂x

εyy =∂v

∂y

εzz =∂w

∂z

γxy =∂u

∂y+

∂v

∂x

γyz =∂v

∂z+

∂w

∂y

γzx =∂w

∂x+

∂u

∂z

(2)


Saint Venant: condizioni al contorno I

Sul mantello abbiamo:t = σn = 0

da cui:


nxny0

=

σxxnx + τxynyτxynx + σyynyτxznx + τyzny

= 0

Banalmente verificate la 1 e la 2 ricordando Eq. 1

Sulla base A2 abbiamo:t = σn = σe3 6= 0


001

=

τxzτyzσzz

con singole componenti assegnate !!

Sulla base A1 abbiamot = σn = σe−3 6= 0


00−1

=

−τxz−τyz−σzz

da calcolarsi con l’equilibrio globale della trave


Saint Venant: postulato del Saint Venant I

Ipotesi fondamentale. A sufficiente distanza da ciascuna base (del cilindro retto),la soluzione del problema dell’equilibrio elastico dipende soltanto dalla risultante edal momento risultante delle forze agenti sulle rispettive basi, e non dalla particolaredistribuzione

R1 =

∫

A1

tdA , M1 =

∫

A1

[r × t] dA

R2 =

∫

A2

tdA , M2 =

∫

A2

[r × t] dA

Distanza di estinzione. Distanza oltre la quale si verifica l’ipotesi fondamentale delSaint Venant

Caratteristiche di sollecitazione R e M. Possiamo esprimere le azioni che agisconosulle basi attraverso risultanti e momenti risultanti, le quali rappresenterannoopportune classi di equivalenza di azioni agenti sulle basi

sono le azioni della rimanente parte della struttura sulla parte in esame ricordiamo che vale il principio di azione e reazione⋆ caratteristiche di sollecitazione sulle due basi⋆ caratteristiche di sollecitazione nella generica sezione retta del solido


Saint Venant I

Le azioni agenti sulle basi, espresse attraverso le caratteristiche di sollecitazione R eM, sono rappresentate attraverso le componenti di tali forze e momenti risultanti,opportunamente in equilibrio tra loro

Componenti delle caratteristiche di sollecitazione R e M spesso indicate conterminologia particolare:

Rx = Tx sforzo di taglio lungo XRy = Ty sforzo di taglio lungo YRz = N sforzo normaleMx momento flettente lungo XMy momento flettente lungo YMz = Mt momento torcente


Saint Venant II

Relazione tra le caratteristiche di sollecitazioni e la distribuzione di forze superficialisulla base A2

N =

∫

A2

σzzdA

Tx =

∫

A2

τxzdA

Ty =

∫

A2

τyzdA

Mx =

∫

A2

yσzzdA

My = −

∫

A2

xσzzdA

Mt =

∫

A2

(xτyz − yτxz ) dA

(3)


Saint Venant I

Valendo il principio di sovrapposizione degli effetti posso ricondurre lo studio dellagenerica trave allo studio di 6 sollecitazioni elementari

1] N sforzo normale centrato2.a] Tx taglio e momento flettente2.b] Ty taglio momento flettente3.a] Mx flessione retta3.b] My flessione retta4] Mt torsione


Flessione retta I

Flessione retta: solido del Saint Venant con condizioni di carico in termini di risultantidato da

Mx 6= 0 , N = Tx = Ty = My = Mt = 0 (4)

Per l’equilibrio il momento risultante sara costante lungo l’asse della trave

Ogni tronco di trave (concio) si “deforma” nella stessa misura


Flessione retta II

Costruzione della soluzione

Ipotesi sul campo tensionale:

σzz = ax + by + c

σxx = σyy = τxy = τyz = τzx = 0

Costanti a, b, c calcolate soddisfacendo condizioni N = My = 0, Mx 6= 0 attraversole definizioni 3

a = 0 , b =Mx

Ix, c = 0

Ix e il momento di inerzia della sezione retta rispetto all’asse x

Ix =

∫

A

y2dA

Esercizio. Data una sezione rettangolare di lati a e b si calcoli la posizione del baricentro, i momenti diinerzia rispetto a due assi baricentrici e paralleli ai lati, e si dimostri che tali assi sono principali di inerzia.


Flessione retta I

Soluzione in termini di stato tensionale:

σzz =Mx

Ixy

σxx = σyy = τxy = τyz = τzx = 0

Asse neutro: luogo dei punti in cui la tensione e nulla

σzz = 0 ⇒ y = 0 ⇒ asse x

Piano di sollecitazione: piano ortogonale al momento flettente

M = Mxex ⇒ M ⊥ Piano yz ⇒ yz piano di sollecitazione

Asse di sollecitazione: traccia del piano di sollecitazione sul piano della sezioneretta

asse y ⇒ asse di sollecitazione


Flessione retta I

Dallo stato tensionale σ attraverso le equazioni costitutive passiamo allo statodeformativo εεε

εxx = −νσzz

E

εyy = −νσzz

E

εzz =σzz

E

γxy = γyz = γxz = 0

In termini della caratteristica di sollecitazione momento flettente

εxx = −νMx

EIxy

εyy = −νMx

EIxy

εzz =Mx

EIxy

γxy = γyz = γxz = 0

Le fibre longitudinali all’asse della trave si incurvano, evidenziando allungamentinelle fibre inferiori e accorciamenti in quelle superiori


Flessione retta I

Dallo stato deformativo εεε attraverso le equazioni di congruenza passiamo al campodi spostamenti u (derivato)

εxx =∂u

∂x

εyy =∂v

∂y

εzz =∂w

∂z

γxy =∂u

∂y+

∂v

∂x

γyz =∂v

∂z+

∂w

∂y

γzx =∂w

∂x+

∂u

∂z

⇒

∂u

∂x= −ν

Mx

EIxy

∂v

∂y= −ν

Mx

EIxy

∂w

∂z=

Mx

EIxy

∂u

∂y+

∂v

∂x= 0

∂v

∂z+

∂w

∂y= 0

∂w

∂x+

∂u

∂z= 0

Integrando posso calcolare il campo di spostamento a meno di un moto rigido


Flessione retta I

Trascurando il contributo di moto rigido il campo di spostamenti risulta essere:

u = −νMx

EIxxy

v = −Mx

2EIx

[

z2 + ν

(

y2 − x

2)]

w =Mx

EIxyz

Esercizio. Si dimostri che la soluzione trovata per il problema di flessione retta (in termini di tensioni,deformazioni, spostamenti) soddisfa tutte le equazioni del problema. Si concluda che la soluzione trovatae anche la soluzione del problema in esame.

Esercizio. Nel caso di una trave a sezione rettangolare si disegni la configurazione acquisita dalla

generica sezione trasversale della trave (z = costante). Si verifichi che sezioni piane rimangono piane

durante la deformazione.


Flessione retta: da Saint Venant alla teoria tecnica di trave I

Nota la soluzione di flessione retta di trave nell’ambito della teoria del Saint Venant,e facile costruire quella che nota come teoria tecnica di trave

Limitiamoci per semplicita al caso delle travi piane: x = 0

Trascurando i termini di ordine superiore (ipotizzando la trave snella)

v = −Mx

2EIxz2

w =Mx

EIxyz


Taglio e flessione retta I

Taglio e flessione retta: solido del Saint Venant con condizioni di carico in termini dirisultanti dato da

Ty 6= 0 , Mx 6= 0 , N = Tx = My = Mt = 0 (5)

Problema molto piu complesso


Criteri di resistenza I

Domanda. Dato un corpo sottoposti ad opportuni carichi, il materiale e in grado diresistere alla sollecitazione prodotta ??

Assegnato un corpo deformabile (o un sistemi di corpi deformabili) ed un sistema dicondizioni al contorno (sollecitazioni esterne e spostamenti imposti), dobbiamo fareun’analisi strutturale volta all’individuazione della soluzione del problemadell’equilibrio elastico

Nota la soluzione del problema dell’equilibrio elastico, in ogni punto del corpo (o delsistema di corpi) conosciamo

u,εεε,σ


Criteri di resistenza II

Si ricordi la risposta di un generico materiale durante una prova monoassiale ditrazione [caratterizzazione della risposta del materiale]

Se il punto materiale e soggetto ad uno stato tensionale monoassiale, allora laverifica e immediata ⇒ avendo fatto un’analisi nell’ipotesi di materiale elasticolineare dobbiamo garantire che:

σ ≤ σP

Verifica accettabile se tutte le grandezze in gioco fossero note in modo certo, ovverosenza oscillazioni statistiche

Tutte le quantita sono soggette ad oscillazioni statistiche (dimensioni del corpo,proprieta misurate in laboratorio, forze agenti, etc.)

Tensione ammissibile. Tensione ammissibile per consentire condizioni di sicurezza eallora una frazione della resistenza nominale attraverso un coefficiente di sicurezza s:

σ ≤σP

s


Criteri di resistenza III

Per un problema “reale” la risposta meccanica e in termini tensoriali generali

σ =

σxx τxy τxzτxy σxx τyzτxz τxy σzz

Per problemi particolari, come nel caso del Saint Venant, la soluzione e in terminitensoriali speciali, ma in generale non presente uno stato mono-componente

σ =

0 0 τxz0 0 τyzτxz τxy σzz

⋆ Da un lato abbiamo una risposta del solido in termini tensoriali, dall’altro abbiamouna caratterizzazione del comportamento materiale in termini scalari

Come rapportare e confrontare un tensore con uno scalare ???


Criteri di resistenza IV

Criteri di resistenza: funzioni che danno una misura scalare del tensore delletensioni, ovvero che permettono di ottenere uno “sforzo uniassiale equivalente”

σeq(σxx , σyy , σzz , τxy , τyz , τzx) ≤ σP

Nel caso di isotropia del materiale

σeq(σ1, σ2, σ3) ≤ σP


Criteri di resistenza V

Criterio di Tresca o Criterio della massima tensione tangenziale: la crisi si haquando la tensione tangenziale massima τmax raggiunge un valore limite τP

Per un generico stato tensionale:

τmax =1

2max |σ1 − σ2|, |σ1 − σ3|, |σ2 − σ3|

Riferendoci ad una prova monoassiale:

τP =1

2σP

In definitiva il criterio risulta essere:

max |σ1 − σ2|, |σ1 − σ3|, |σ2 − σ3| ≤ σP


Criteri di resistenza VI

Criterio di Von Mises o Criterio della massima energia di distorsione: la crisi siha quando l’energia di deformazione relativa al componente deviatorica (a volumecostante) raggiunge un valore limite.

Per un generico stato tensionale:

Edev =1 + ν

3E

[(

σ21 + σ2

2 + σ23

)

− (σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1)]

Riferendoci ad una prova monoassiale:

Edev =1 + ν

3Eσ2P

In definitiva il criterio risulta essere:

[(

σ21 + σ2

2 + σ23

)

− (σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1)]

≤ σ2P

[(

σ2xx + σ2

yy + σ2zz

)

− (σxxσyy + σyyσzz + σzzσxx)+ 3(

τ 2xx + τ 2

yy + τ 2zz

)]

≤ σ2P


Criteri di resistenza VII

Il criterio di von Mises puo anche espresso in modo molto efficace in termini delsecondo invariante della parte deviatorica s del tensore delle tensioni σ

La parte deviatorica del tensore delle tensioni e definito come

s = σ −1

3tr(σ) 1 con tr(σ) = σ : 1 = σii

Il secondo invariante di s puo anche essere definito come

J2(s) =1

2s : s , J2(s) =

1

2sij sij

Per uno stato tensionale di trazione

σtraction =

σ 0 00 0 00 0 0

straction = σ

2/3 0 00 −1/3 00 0 −1/3

Per uno stato tensionale di trazione

Jtraction2 =

1

2

6

9σ2 =

1

3σ2 (6)


Criteri di resistenza VIII

Criterio di von Mises

J2(σ) ≤ Jtraction2 ⇒

1

2s : s ≤

1

3σ2

ovvero√

3

2s : s ≤ σP

Esercizio. Si dimostri nel dettaglio equazione 6.


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