Biochemische Reaktionen. Gliederung 1. Einführung 1. Das Massenwirkungsgesetz 1. Enzyme 3.1...
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Biochemische Reaktionen
Gliederung
1. Einführung
1. Das Massenwirkungsgesetz
1. Enzyme
3.1 Enzymkinetik 3.2 Modelle 3.2.1 Gleichgewichtsapproximation
3.2.2 Quasi – Stationaritätsapproximation 3.3 Enzyminhibition
3.3.1 kompetitive Inhibition3.3.2 allosterische Inhibition3.3.3 Kooperativität
3.4 Das Monod – Wyman – Modell
4. Glykolyse und Glykolytische Oszillation
1. Einführung
audesapere.ch/homoeopathie/neuewegekrebs/neuewegekrebs.html - 37k -
• Reaktionsgeschwindigkeit Die Geschwindigkeit, mit der eine reagierende Substanz verbraucht oder mit der
ein Reaktionsprodukt gebildet wird
Sie ist abhängig von: 1. Zahl der Zusammenstöße pro Zeiteinheit2. Anteil mit ausreichender Kollisionsenergie3. Anteil mit geeigneter Orientierung
• Geschwindigkeitskonstante – durch das Symbol k darstellbar– Stellt die Proportionalität der Reaktionsgeschwindigkeit v zu den Konzentrationen
der Substrate dar– v = k1[A] Reaktion 1. Ordnung– v = k2[A][B] Reaktion 2. Ordnung– abhängig von der geometrischen Struktur und Größe der reagierenden Moleküle &
der Temperatur
• ReaktionsrateSie gibt an, wie oft die chemischen Reaktionen pro Zeiteinheit im Einheitsvolumen stattfinden: Sie ist somit proportional zur Anzahl der Zusammenstöße pro Zeiteinheit
zwischen Edukten
V =d [P]
dt
v=d [ A]
dt
1. Einführung
• Reaktion 1. OrdnungA B
die Reaktionsgeschwindigkeit ist proportional zur Konzentration von A
• Reaktion 2. OrdnungA + B C + D
die Reaktionsgeschwindigkeit hängt von der Konzentration zweier Reaktionsteilnehmer abhängt
1. Einführung
2. Das Massenwirkungsgesetz
A + B C
• Reaktionsrate:
→ Massenwirkungsgesetz (MWG)
• Die Reaktionskonstante verdoppelt sich nicht zwingend mit der Verdoppelung der Konzentration eines Substrats
d [C ]dt
d [ C ]
dt= k [ A ] [ B ]
k
A + B C
die Konzentrationsänderung von A für die Reaktion lautet:
= k-[C] – k+[A][B]
im Gleichgewichtszustand ändern sich die Konzentrationen nicht, es gilt:
[C]eq = [A]eq[B]eq
sind A und C an keinen weiteren Reaktionen beteiligt,so gilt [A] + [C] = A0 (const.)
→ [C] = A0
Keq = k-/k+ heißt Gleichgewichtskonstante
2. Das Massenwirkungsgesetz
d [A]dt
k
k−
[B ]K eq [ B ]
2. Das Massenwirkungsgesetz Keq hat keine feste Einheit, sie richtet sich nach der
jeweiligen Reaktionsgleichung
Keq <<1 → hohe Affinität zwischen A und B
[B] = Keq: die Hälfte von A liegt in gebundener Form vor
2. Das Massenwirkungsgesetz
Das MWG gilt für reversible Reaktionen, die den
Gleichgewichtszustand erreicht haben.
Es gibt den Zusammenhang zwischen den
Aktivitäten der Edukte und der Produkte einer
Reaktion im chemischen Gleichgewicht an.
3. Enzyme
„http://www.webmed.ch/Archiv_akuelle_Meldungen/Archiv_Bilder/catalase2%20(Enzym).gif“
3.1. Enzymkinetik
• Enzyme sind die am höchsten spezialisierten Proteine hochspezifisch Katalysatoren biologischer Reaktionen
• für sie gilt: sie arbeiten unter milden Bedingungen in
wässrigen Lösungen sie helfen anderen Molekülen, sich in ein Produkt
umzuwandeln, sie selbst verändern sich nicht
• Wichtigste Eigenschaften: Genauigkeit und katalytische Wirkung
Sie setzen die Aktivierungsenergie herab und beschleunigen so die Bildung des Produkts
bis zu 10Mio mal schnellere Reaktionen
Enzyme folgen nicht direkt dem MWG, die Reaktionsrate steigert sich mit der Enzymkonzentration nur in einem gewissen Umfang, bis die maximale Reaktionsgeschwindigkeit erreicht ist
3.1 Enzymkinetik
3.2. Modelle
• S + E C P + E
• Enzyme beschleunigen die Hin- und Rückreaktion
• Es gibt zwei ähnliche Arten, die Gleichung zu bestimmen
– Die Gleichgewichtsapproximation (Michaelis und Menten)
– Quasi – Steady – State Approximation (Briggs und Haldane)
k1
k-1
k2
s = [S], c = [C], e = [E] und p = [P]
= k-1c - k1se
= (k-1 + k2)c – k1se
= k1se – (k2 + k-1)c
= k2c
e + c = e0
3.2. Modelle
dsdt
dedt
dcdt
dpdt
dedt
dcdt
=0
3.2.1 Die Gleichgewichtsapproximation
S + E C P + E• Annahme: das Substrat seht unmittelbar im
Gleichgewicht mit dem Komplex → k1se =k-1c
• mit e + c = e0 ergibt sich: (Ks = k-1/k1)• die Reaktionsrate ist gegeben durch
• Vmax= k2e0 ist die max. Reaktionsgeschwindigkeit
• wird erreicht, wenn sich alle Enzyme mit dem Substrat S im Komplex befinden
V = dpdt
=k2 c=k 2 e0 s
K s s=
V max s
K s s
k1 k
2
k-1
c =e0 s
K s s
3.2.1 Die Gleichgewichtsapproximation
bei s = Ks hat die Reaktionsrate die Hälfte ihres Maximums erreicht
Wichtig: die Gleichung k1se = k-1c ist nicht immer gültig, denn nach der Gleichung = k-1c - k1se würde das Substrat nicht verbraucht werden und kein Produkt entstehen
dsdt
3.2.2 Quasi – Stationaritätsapproximation
• Annahme: die Bildung und der Zerfalls des Komplexes stehen zu jeder Zeit im
Gleichgewicht • dc/dt ≈ 0
• Einführung dimensionsloser Variablen• σ = x = τ = k
1e
0t
• κ = є = α =
= -σ + x (σ +α)
= σ – x (σ +κ)
ss0
ce0
k−1 k 2
k 1 s0
e0
s0
k−1
k1 s0
dσdτ
єdxdτ
= -σ + x(σ +α) = σ - x(σ +κ)
= 0 ≠ = 0
II
• Quasi - Stationaritätsapproximation: die rechte Seite der Gleichung wird Null
gesetzt Variable x ändert sich mit σ
• sie berücksichtigt: є ist klein und dx/dτ hat die Ordnung 1
3.2.2 Die Quasi - Stationaritätsapproximation
dxdτ
dcdt
єdxdτ
єdxdτ
dσdτ
V = dpdt
=−dsdt
=k2 e0 s
sK m
=V max s
sK m
k−1 k 2
k1
Aus =0 folgen die DGL´s
und „ Michaelis – Menten – Gesetz“
q = κ-α =
Mit Hilfe der ursprünglichen Variablen:
Km =
3.2.2 Die Quasi - Stationaritätsapproximation
єdxdτ
x=σ
σκdσdτ
=−qσσκ
k 2
k1 s0
3.2.2 Die Quasi - Stationaritätsapproximation
Quasi – Stationaritätszustand Gleichgewicht
Km =
ähnliche Form, Ergebnisse basieren jedoch auf unterschiedliche Annahmen
c =e0 s
sK m
V = dpdt
=−dsdt
=k2 e0 s
sK m
=V max s
sK mV = dp
dt=k2 c=
k 2 e0 s
K s s=
V max s
K s s
c =e0 s
K s s
k−1 k 2
k1
(Ks = k-1/k1)
3.2. Modelle
Michaelis – Menten – Gesetz ist eine brauchbare Approximation, wie das MWG nicht universell anwendbar
Km ist relativ einfach zu bestimmen, denn
kann geschrieben werden als
→ 1/V ist eine lineare Funktion von 1/s.
1V
= 1V max
K m
V max
1s
V = dpdt
=−dsdt
=k2 e0 s
sK m
=V max s
sK m
3.2. Modelle
Diese doppeltreziproke Auftragung wird Lineweaver – Burk – Plot genannt
Sie werden experimentell bestimmt
Man kann an ihnen Vmax und Km ablesen
1V
= 1V max
K m
V max
1s
3.2. Modelle• Alternative Methode:
der direkte lineare Graph, Vmax gegen Km
• Wiederholen des Versuchs mit diversen Anfangskonzentrationen und Geschwindigkeiten ergibt eine Familie von Geraden
• Idealfall: Schnittpunkt in einem einzelnen Punkt
• http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Enzymkinetik3.png&filetimestamp=20090302154106
3.3. Enzyminhibition• Hemmt die katalytische Wirkung
• Allgemeine Eigenschaft von Enzymreaktion
• wichtig zur Kontrolle der Enzymaktivität
• irreversible Hemmstoffe oder katalytische Gifte: sie senken die Enzymaktivität auf 0
• Das Enzymmolekül ist für gewöhnlich ein sehr langes Protein, meist weitaus länger als das Substratmolekül, dessen Reaktion katalysiert wird
3.3. Enzyminhibition Im Enzym eingebunden sind ein oder mehr aktive
Zentren, an die sich das Substrat binden kann, um einen Komplex zu bilden
Allgemein katalysiert ein Enzym ein Substratmolekül ähnlicher Struktur (Schlüssel-Schloss-Prinzip)
http://www.scheffel-gymnasium.de/faecher/science/biologie/proteine_enzyme/2enzym/enzym.htm
Gibt es ein dem Substrat ähnliches Molekül, kann dieses ebenfalls an die aktive Seite gebunden werden und so die Bindung des Substratmoleküls verhindern und die Reaktion hemmen
•
• kompetitiver Hemmstoff: der Hemmstoff wetteifert mit dem Substrat um die aktive Seite
3.3. Enzyminhibition
Das Enzym hat häufig andere bindende Seiten, die sich von der aktiven Seite unterscheiden - allosterische Seite→ sie unterscheiden sich strukturell von der katalytisch aktiven Seite
„regulierende Seiten“, da die katalytische Aktivität durch Bindung an diese Seite reguliert wird
Effektor (Modifier):der Liganden, der an die allosterische Seite gebunden ist
Der Effektor heißt allosterischer Aktivator, wenn er die katalytische Wirkung steigert und allosterischer Inhibitor, wenn er die Aktivität des Substrats mindert
3.3. Enzyminhibition
3.3.1 Kompetitive Inhibition
• Einfachstes Beispiel: die Reaktion wird gestoppt, wenn der Inhibitor an die aktive Seite des Enzyms gebunden ist
• S + E C1 E + P
• E + I C2
Mit Hilfe des MWG
= -k1se + k-1c1
= -k3ie + k-3c2
= k1se – (k-1 + k2)c
= k3ie – k-3c2
e + c1 + c2 = e0
k1 k
2
k-1k
3
k-3
dsdt
didtdc1
dt
dc2
dt
Im Quasi-stationären Zustand
für die Reaktionsgeschwindigkeit ergibt sich
Der Effekt des Inhibitors ist es, die effektive Gleichgewichtskonstante des Enzyms durch den Faktor 1+i/Ki zu steigern→ die Reaktionsgeschwindigkeit nimmt ab
c1 =K i e0 s
K m iK i sK m K i
c2 =K m e0 i
K m iK i sK m K i
K m =k−1 k 2
k 1
K i =k−3
k 3
V =k 2 c1 =k 2 e0 sK i
K i sK m iK m K i
=V max s
sK m 1i / K i
Falls der Inhibitor sich an die allosterische Seite binden kann, ergibt sich die Möglichkeit, dass das Enzym den Inhibitor und das Substrat gemeinsam binden
• vier mögliche Bindungsarten für das Enzym und Übergänge zwischen ihnen
• E ES E + P
• EI EIS
3.3.2 Allosterische Inhibition
k1s k
2
k-1
k-3k
3i
k-1
k3i k
-3
k1s
3.3. Enzyminhibition
Die einfachste Analyse ist die Gleichgewichtsanalyse
definiere und x, y, z beschreiben die Konzentrationen von ES,
EI und EIS Aus dem MWG folgt für den stationären Zustand
→ lineares Gleichungssystem
K s =k−1
k 1
K i =k−3
k 3
e0 − x − y − z s − K s x = 0
e0 − x − y − z i − k i y = 0
ys − K s z = 0
xi − K i z = 0
3.3. Enzyminhibition
Wir können x, y, z als Funktionen von i und s bestimmen
mit Vmax = k2e0 ist
der allosterische Inhibitor mindert die maximale Reaktionsgeschwindigkeit, während Ks unverändert bleibt
x=e0 K i
K i is
K s s
V =V max
1 i / K i
sK s s
3.3.3 Kooperativität
Ein Enzym kann mehr als ein Substratmolekül binden
Bindung eines Substratmoleküls beeinflusst die Bindung des nachfolgenden
Annahme:ein Enzym kann zwei Substratmoleküle binden → es kann in einem von drei Stati existieren
Als freies Molekül E Als Komplex mit einem besetzten Center C1 Als Komplex mit zwei besetzten Center C2
S + E C1 E + P
S + C1 C2 C1 + P
k1
k2
k-1
k3
k4
k-3
3.3.3 Kooperativität
Das MWG angewandt, kann man die Gleichungen für die 5 Konzentrationen von S, E, C1, C2 und P aufschreiben
dsdt
= −k 1 se k−1 c1 − k 3 sc1 k−3 c2
dc1
dt= k 1 se − k−1 k 2 c1 − k 3 sc 1 k 4 k−3 c2
dc 2
dt= k 3 sc 1 − k 4 k−3 c2
Wir übernehmen die Annahme des Quasi-stationären Zustands: dc1/dt = dc2/dt = 0
Für die Reaktionsgeschwindigkeit ergibt sich
3.3.3 Kooperation
V =k 2 c1 k 4 c2 =k 2 K 2 k4 s e0 s
K1 K 2 K 2 ss2
c1 =K 2 e0 s
K1 K 2 K 2 s s2 c2 =e0 s2
K 1 K 2 K 2 s s2
K1 =k−1 k 2
k 1
K 2 =k 4 k−3
k 3
3.3.3 Kooperation Die aktiven Seiten handeln unabhängig und identisch
voneinander• → k1 = 2k3 = 2k+, 2k-1 = k-3 = 2k- und 2k2 = k4
Für die Reaktionsgeschwindigkeit ergibt sich
V =2k2 e0K s s
K 2 2Ks s2= 2
k 2 e0 s
K s
Die Bindung des ersten Substratmoleküls erfolgt langsam, die zweite sehr schnell (große positive Kooperativität)
k3 → ∞ und k1 → 0, k1k3 = const.
K1 → ∞ und K2 → 0, K1K2 =const.
Km² = K1K2 und Vmax = k4e0
i.A. gibt es n Gleichgewichtskonstaten, wenn n Substratmoleküle an das Enzym gebunden sind
→ K1 → ∞ und Kn → 0, K1Kn = const.
wobei Kmn =
Diese Gleichung ist bekannt als Hill – Gleichung
∏i=1
n
K i
3.3.3 Kooperation
V =k 4 e0 s2
K m2 s2 =
V max s2
K m2 s2
V =V max sn
K mn sn
es gilt → das Hill – Diagramm sollte eine Gerade mit der Steigung
n ergeben
es ist nicht ungewöhnlich, dass n nicht ganzzahlig ist
3.3.3 Kooperation
ln V
V max −V
n ln s = n ln K m ln V
V max − V
3.3.3 Kooperation ein Enzym kann negative Kooperativität aufweisen
→ k3 wird herabgesetzt
3.4. Das Monod – Wyman – Changeux Modell das Modell basiert auf folgende Annahmen: → kooperative Proteine sind zusammengesetzt aus diversen
identischen Reaktionseinheiten, genannt Protomer, die die gleichen Positionen im Protein belegen
→ jedes Protomer umfasst eine bindende Seite für jeden Liganden
→ die bindenden Seiten innerhalb jeden Proteins sind äquivalent
→ falls die Bindung eines Linganden zu einem Protomer einen konformativen Wechsel im dem Protomer einleitet, wird ein identischer konformativer Wechsel in allen Proteinen eingeleitet
→ das Protein hat zwei konformative Stati, gewöhnlich bezeichnet als R und T, die sich in ihrem Verhalten Liganden zu binden unterscheiden
wir betrachten Protein, mit nur zwei binden Seiten es kann in einem von 6 Stati existieren:
Ri, i= 0, 1, 2 oder
Ti, i= 0, 1, 2
der Einfachheit halber: Ri kann nicht in Ti umgerechnet werden
Die Stati für das Protein und die zugelassenen Übergänge
3.4. Das Monod – Wyman – Changeux - Modell
es gilt ri und ti sind die entsprechenden Konzentrationen von Ri und Ti
für die Sättigungsfunktion gilt:
mit Ki = k-i/ki, i=1, 2, 3 ergibt sich
durch Substitution erhält man
wobei r0/t0 = K2
3.4. Das Monod – Wyman – Changeux - Modell
Y =r1 2r2 t 1 2t2
2 r0 r1 r2 t0 t 1 t 2
r1 = 2sK 1−1 r0, r2 = s2 K1
−2 r0
t 1 = 2sK3−1 t 0, t 2 = s2 K3
−2 t 0
Y =sK 1
−1 1 sK −1 K 2−1 [sK 3
−1 1 sk3−1]
1 sK 1−12 K 2
−1 1 sK 3−12
3.4. Das Monod – Wyman – Changeux - Modell Allgemein ist Y eine sigmoidale Funktion von s
K3 = ∞ → das Substrat kann nicht direkt an die T- Konformation
binden →
K2 = ∞ → nur die R – Konformation existiert
→ Michaelis – Menten Gleichung
Y =sK 1
−1 1 sK 1−1n−1 K 2
−1 [ sK 3−1 1 sK 3
−1n−1 ]
1 sK 1−1n K 2
−1 1 sK 3−1n
Y =sK 1
−1 1 sK 1−1
1 sK 1−1 2 K 2
−1
Y =s
s K 1
4. Glykolyse und glykolytische Oszillation
Stoffwechsel kann als Austausch freier Energie gesehen werden
Stoffwechselwege: die durch Enzyme katalysierten Auf-/Ab- und Umbauprozesse in den Zellen
bekannter Träger von Energie in der Zelle: ATP
Adenosintiphosphat
4. Glykolyse und glykolytische Oszillation
Die Bindungen der drei Phosphate sind sehr energiereich
Werden die Phosphoanhydrid-Bindungen durch Enzyme hydrolytisch gespalten, entsteht das Adenosindiphosphat (ADP) bzw. das Adenosinmonophosphat (AMP) und Phosphat
es werden jeweils etwa 32,3 kJ/mol (Spaltung einer Bindung) oder 64,6 kJ/mol (Spaltung beider Bindungen) Energie frei.
Die freiwerdende Energie ermöglicht die Arbeitsleistungen in den Zellen.
katalysiert vom Enzym PFK1
Isomerisierung
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~ltemgoua/chemie/Glykolyse.html
4. Glykolyse und glykolytische Oszillation PFK 1 wird von ATP allosterisch
gehemmt → allosterisches Enzym
ATP kann Substrat und allosterischer Hemmstoff sein
der Inhibitoranteil von ATP wird durch AMP beseitigt
→ Aktivität von PFK1 steigt, wenn ATP/AMP sinkt
2ADP ATP + AMPhttp://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Phosphofructokinase.png&filetimestamp=20060727180613
4. Glykolyse und glykolytische Oszillation
ein Überfluss an Fructose 6-Phosphat führt zur Bildung von Fructose-2,6-bisphosphat
• → Aktivität von PFK1 wächst• → negative Rückkopplung
PFK1- Aktivität wird von einem komplexen System von Reaktionen kontrolliert
4. Glykolyse und glykolytische Oszillation unter gewissen Umständen ist bekannt: die Rate der Glykolyse ist periodisch, manchmal sogar
chaotisch
ein mathematisches Modell von Sel´kov (1968), später modifiziert von Goldbeter und Lefever (1972)
Achtung: nur die positive Rückkopplung von ADP auf PFK1 wird beachtet
4.1. Modell von Sel´kov
PFK1 ist inaktiv im ungebundenen Status aktiviert durch die Bindung mit ADP-Molekülen im aktiven Status katalysiert das Enzym die
Produktion von ADP aus ATP
das Modell: PFK1 (E) ist aktiviert oder deaktiviert, je nach
Bindungsstatus mit den γ-Molekülen von ADP (S2)
γS2 + E ES2γ
ATP (S1) kann sich an die aktivierte Form des Enzyms binden um ein Produkt von ADP zu bilden
Annahme: die Rate von S1 ist beständig, das Produkt S2 wird jedoch irreversibel verbraucht
4.1. Modell von Sel´kov
→ S1
S1 + ES2γ S1ES2
γ → ES2γ + S2
S2 →
k1
k-1
ν1
k2
4.1. Modell von Sel´kov
s1 = [S1], s2 = [S2], e = [E], x1 = [ES2ν], x2 = [S1ES2
γ]
e + x1 + x2 = e0
ds1
dt= υ1 − k 1 s1 x 1 k−1 x 2
ds2
dt= k 2 x 2 − K 3 s2
υ e k−3 x1 − υ2 s2
dx 1
dt= −k 1 s1 x 1 k−1 k 2 x 2 k 3 s2
υ e − k−3 x 1
dx2
dt= k1 s1 x1 − k−1 k 2 x2
4.1. Modell von Sel´kov
es ergibt sich
mit
dσ1
dτ= υ −
k 2 k−1
k 2
u1 σ1 k−1
k2
u2
dσ2
dτ= α [u2 −
k−3
k 2
σ 2γ 1 − u1 − u2
k−3
k 2
u1] − ησ 2
єdu1
dτ= u2 − σ1 u1
k−3
k 2 k−1
[σ 2γ 1 − u1 − u2 − u1]
єdu 2
dτ= σ 1 u 1 − u 2
4.1. Modell von Sel´kov
Annahme: є ist klein → u1 und u
2 sind fest und können als ihre Quasi
– Stationaritätsgrößen gesetzt werden
u1 =σ 2
γ
σ 2γ σ 1 σ 2
γ 1u2 =
σ 1 σ 2γ
σ 2γ σ 1 σ 2
γ 1= f σ 1 , σ 2
dσ 2
dτ= αf σ 1 , σ 2 − ησ 2
dσ 1
dτ= υ − f σ 1 , σ 2
4.1. Modell von Sel´kov
das System hat periodische Lösungen für einen gewissen Bereich von ν
wegen der Sättigung, ist die Funktion f(σ1, σ2) durch 1 begrenzt
falls ν > 1, sind die Lösungen der Differentialgleichungen nicht begrenzt
4.1. Modell von Sel´kov
0 < ν < 1
die Hauptisoklinen des Phasenflusses sind gegeben durch
σ 1 =υ
1 − υ
1 σ 2γ
σ 2γ
dσ 1
dτ= 0
σ 1 =1 σ 2
γ
σ 2γ p − σ 2
dσ 2
dτ= 0
4.1. Modell von Sel´kov
für die stationäre Lösung gilt:
die Stabilität der konstanten Lösung findet man durch Linearisierung der DGL´s der stationären Lösung und Prüfung der Eigenwerte des linearen Gleichungs-systems
σ 2 = pυ σ1 =υ1 σ2
γ
1 − υσ2γ
4.1. Modell von Sel´kov
das linearisierte System hat die Form:
die charakteristische Gleichung für die Eigenwerte λ der linearen Gleichungssysteme ist
Da f1 immer positiv ist, ist die Stabilität des linearen Systems durch das Vorzeichen von H= αf2 – η – f1 betimmt
es ist stabil für H < 0 und instabil, falls H > 0
d σ 1
dτ= − f 1 σ 1 − f 2 σ 2
d σ 2
dτ= αf 1 σ 1 αf 2 − η σ 2
λ2 − αf 2 − η − f 1λ f 1 η = 0
Wechsel der Vorzeichen, gibt es bei H = 0 dies sind Hopf – Bifurkationen periodischer Lösungen
mit einer approximativen Frequenz
→ H(0) = η(γ-1) H(1) = -η → für γ > 1 muss es einen Hopf-Bifurkationspunkt
geben, unter dem die konstante Lösung instabil ist
4.1. Modell von Sel´kov
ω = f 1 ηH υ =1 − υ1 γ
ηγ υ −1 y −η y = pυγ
4.1. Modell von Sel´kov
für ν kurz unterhalb des Bifurkationspunktes, gibt es eine stabile periodische Bahn
4.2. Hess und Boiteux
Hess und Boiteux (1973): es gibt für hohe und niedrige Injektionsraten eine
stabile Stationaritäslösung es gibt zwei Hopf – Bifurkationspunkte 1. bei 20mM/hr Dauer 8Min 2. bei 160mM/hr Dauer 3Min
4.3. Goldbeter und Lefever sie schlugen 1972 Modell des Monod – Wyman –
Changeux – Typs vor Annahme: PFK1 ist ein Dimer, das in zwei Stati existiert
aktiven Status R inaktiver Status T
S1 kann an beide Formen gebunden werden
S2 (positiver Effektor des Enzyms) bindet nur an die aktive Form
4.3. Goldbeter und Lefever
Die enzymatischen Formen, an die ein Substrat binden, zersetzen sich irreversibel, um ADP zu bilden
das Substrat wir dem System in einer konstanten Rate geliefert
die Rate der Rückbildung des Produkts verläuft proportional zur Konzentration
4.3. Goldbeter und Lefever
Tj = inaktive T-Form von der Enzymbindung zu j Substratmolekülen
Rij = aktive R-Form des Enzyms, gebunden an i Substratmoleküle und j Produktmolekülen
4.3. Goldbeter und Lefever
das Substrat S1 hält das System im inaktiven Status durch Bindung mit T0 um T1 zu bilden
S2 hält das System im aktiven Status durch Bindung mit R00
um R01 zu bilden
durch Bindung mit R01 um R02 zu bilden
4.3. Goldbeter und Lefever
mit Hilfe des MWG erhalten wir die Differentialgleichungen der 14 Arten
ds1
dt= υ1 − F
F = k−2 r 10 r 11 r 12 2k−2 r 20 r 21 r 22 − 2k 2 s 1 r 00 r01 r 02
− k 2 s1 r 10 r11 r 12 − 2k 3 s1 t0 − k 3 s1 ´ t1 k−3 t 1 2k−3 t2
dr00
dt= − k 1 sk 2 s1 2k 2 s2 r00 k−2 k r10 k−2 r01 k−1 t 0
4.3. Goldbeter und Lefever
Annahme: die 12 Zwischenstufen sind im Quasistationaritäszustand
→ lineares Gleichungssystem mit 12 Unbekannten und 12 Gleichungen
es ist lösbar, wenn wir die Gesamtmenge der Enzyme e0 setzen
4.3. Goldbeter und Lefever
durch Substitution dieser Lösung in die Differentialgleichungen für s1 und s2 erhalten wir
wir führen dimensionslose Variablen ein
wir erhalten das System
dσ 1
dτ= υ − f σ 1 , σ 2
dσ 2
dτ= αf σ 1 , σ 2 − ησ 2
ds1
dt= υ1 − F s1 , s2
ds2
dt= F s1 , s2 − υ2 s2
4.3. Goldbeter und Lefever
Falls wir außerdem annehmen1. das Substrat bindet nicht an die T-Form (k3 =
0, T ist komplett inaktiv)2. T0 wird R00 gegenüber bevorzugt (k1>>k-1)
3. falls das Substrat S1 an die R-Form bindet, wird die Bildung des Produkts S2 der Trennung bevorzugt (k>>k-2)
→ das System kann wesentlich vereinfacht werden f(σ1, σ2) = σ1(1 + σ2)
2
4.3. Goldbeter und Lefever
die Hauptisoklinen dieses Systems sind deutlich verschieden vom Sel´kov Modell
die eindeutige Lösung für die Stationaritätsbedingung ist
σ1 =υ
1 σ 22 σ2 =
υη
4.3. Goldbeter und Lefever
Die Stabilität wird wieder von der charakteristischen Gleichung bestimmt und das Vorzeichen des Realteils der Eigenwerte ist das selbe wie von
ausgewertet unter Stationaritätsbedingungen
sie kann auch geschrieben werden als Polynom dritten Gerades
H = f 2 − f 1 − η = 2σ1 1 σ22 − 1 σ 2 − η
1η
y3 − y 2 = 0 y = 1 υη
y2 − 1
y1 − 1=
υ2
υ1
= 16020
= 8
y 1 = 2.08, y 2 = 9.61, η = 116.7
T i =2πωi
=2π
η 1 σ2=
2π
η yi
4.3. Goldbeter und Lefever
für genügend großes η hat das Polynom zwei Nullstellen, die größer sind als 2: y1 und y2
Annahame: die Flussrate ν ist proportional zur experimentellen Angebotsrate von Glucose
Forderung: →
Am Hopf - Bifurkationspunkt, erhalten wir die Oszillationsperiode
theoretisch T1/T2 = 4,6
experimentell T1/T2 = 2,7
4.3. Goldbeter und Lefever