Bin Omul Lui Newton
-
Upload
georgian-craciun -
Category
Documents
-
view
30 -
download
7
description
Transcript of Bin Omul Lui Newton
-
Binomul lui Newton - probleme propuse la examenul de bacalaureat Virgil-Mihail Zaharia
1
Analiz combinatorie
1. Permutri Definiia 1. O mulime mpreun cu o ordine bine determinat de dispunere a elementelor sale
este o mulime ordonat i se notaz (a1,a2,,an). Definiia 2. Se numesc permutri ale unei mulimi A cu n elemente toate mulimile ordonate
care se pot forma cu cele n elemente. Numrul permutrilora n elemente, nN*, este Pn=123n = n!; 0! = 1 (prin definiie).
Factorial (proprieti): n! = (n 1)!n; n! = ( 1)!
1
n
n
++
2. Aranjamente
Definiia 1. Se numesc aranjamente a n elemente luate cte m (mn) ale unei mulimi A cu n elemente, toate submulimile ordonate cu cte m elemente care se pot forma din cele n elemente ale
mulimii A. Se noteaz mnA .
Numrul aranjamentelor a n elemente luate cte m este:
mnA = n(n 1)(n m + 1) = !
( )!
n
n m, nm.
Proprieti: nnA = Pn; nnA =
!
0!
n sau nnA = n!;
1 0; 1n nn n nA A A = = .
3. Combinri
Definiia.1. Se numesc combinri a n elemente luate cte m (mn) ale unei mulimi A cu n elemente toate submulimile cu cte m elemente, care se pot forma din cele n elemente ale mulimii A. Se
noteaz mn
C .
Proprieti:
1. 1 0 00; 1n
n n nC n C C C= = = = ; 2. 1
1 1; .n n m m m mn n n n nC C C C C
= = +3 ;
4. Numrul submulimilor unei mulimi cu n elemente este 2n ;
5. 1 1 1 1 11 1 1 1...m m m m m mn n n m m mC C C C C C
+ = + + + + + ;
6. 211 11
( ... )1 2
!...
! !... ! mpp
n n p pn pn
nC C C
p p p + += unde p1 + pm-1 < n
4. Binomul lui Newton
(x + a)n = 0 1 1 ... ...n n k n k k n nn n n nC x C x a C x a C a + + + + +
(x a)n = 0 1 1 ... ( 1) ... ( 1)n n k k n k k n n nn n n nC x C x a C x a C a + + + + unde nN.
Proprieti:
1. Termenul de rank k+1 este Tk+1 = (-1)k k
nC xn-k
ak;
2. 1 11;1 1k k k kn n n n
n k n kC C C C
k k
+ ++
= =
+ +;
3. Tk+2 = 1
n k a
k x
+ Tk+1 sau Tk+2 =
1
n k a
k x
+Tk+1;
4. Numrul termenilor dezvoltrii (x a)n este n+1; 5. Coeficienii termenilor egal deprtai de extremi sunt egali.
-
Binomul lui Newton - probleme propuse la examenul de bacalaureat Virgil-Mihail Zaharia
2
Relaii importante: 0 1 0 1
0 2 4 1 1 3 5 1
0 2 1 2 22
... 2 ; ... ( 1) 0;
... 2 ; ... 2 ;
( ) ( ) ... ( )
n n n nn n n n n n
n nn n n n n n
n nn n n n
C C C C C C
C C C C C C
C C C C
+ + + = + + =
+ + + = + + + =
= + + +
Dezvoltri particulare uzuale: 1. (a b)2 = a2 2ab + b2; 2. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac); 3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; 4. (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3; 5. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc; 6. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.
5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale
Dac 1 2 3 ...p p p ppS n= + + + + , pN, atunci avem:
2
1 2 3
3 2 2 2 2
4 5
( 1) ( 1)(2 1) ( 1; ;
2 6 2
( 1)(6 9 1) ( 1) (2 2 1);
30 12
n n n n n n nS S S
n n n n n n n n nS S
+ + + + = = =
+ + + + + = =
O relaie care permite calculul lui Sp, cnd se cunosc Sp-1, Sp-2,, S1 este formula lui Pascal: (n+a)p+1
= 1+ 1 21 1 1 11...p
p p P p pC S C S C S n+ + ++ + + +
Progresii
1. Progresii aritmetice
Definiia 1. Se numete progresie aritmetic un ir de numere a1,a2,a3,,an, n care fiecare termen, ncepnd cu a2, se obine din cel precedent prin adugarea unui numr constant numit raia progresiei. Se noteaz a1,a2,a3,an, Dac a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), r raia, n numrul termenilor i Sn suma celor n termeni, atunci avem: an = an-1 + r, n2 (prin definiie) an = a1 + (n 1)r, n2 (prin definiie)
Sn = a1 + a2 + + an, Sn = 1( )
2na a n+ , 12 ( 1)
2na n r
S n+
=
Termenii echidistani de extremi. ntr-o progresie aritmetic suma termenilor echidistani de extremi este egal cu suma termenilor extremi: ak + an-k+1 = a1 + an. Observaie. Dac numrul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci exist un termen n mijloc, am+1, astfel nct 2am+1 = a1 + a2m+1. Condiia necesar i suficient pentru ca trei termeni a,b,c, luate n aceast ordine, s formeze o progresie aritmetic, este s avem 2b = a + c.
-
Binomul lui Newton - probleme propuse la examenul de bacalaureat Virgil-Mihail Zaharia
3
2. Progresii geometrice Definiia 1. Se numete progresie geometric un ir de numere a1,a2,a3,,an, n care fiecare termen, ncepnd cu a2, se obine din cel precedent prin nmulirea acestuia cu un acelai numr q
(q0) numit raie. Se noteaz
a1,a2,a3,an,
Dac a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), q raia, n numrul termenilor i Sn suma celor n termeni, atunci avem: an = qan-1, n2 (prin definiie) an = a1q
n-1, n2 (an n funcie de a1, q i n)
Sn = a1 + a2 + + an, Sn = 11
1
nqa
q
; Sn = 1 , 11
na a q qq
Termeni echidistani de extremi. ntr-o progresie geometric, produsul a doi termeni echidistani de extremi este egal cu produsul termenilor extremi: apan-p+1 = a1an.
Observaie. Dac numrul termenilor este impar (n = 2m + 1) atunci exist un termen la
mijloc, am+1, astfel nct 1212
1 ++ = mm aaa . Condiia necesar i suficient ca trei numere a,b,c, luate n aceast ordine, s formeze o
progresie geometric este s avem b2 = ac.
-
Binomul lui Newton - probleme propuse la examenul de bacalaureat Virgil-Mihail Zaharia
4
Probleme rezolvate
1. Se consider dezvoltarea 16
*16
2 32, ,
8 2
nx
xn x
+
N R .
a) Determinai n astfel nct 1 2
0 , ,2 4n n
nC C
C s fie termeni succesivi ai unei progresii aritmetice.
b) Pentru n=8, verificai dac exist valori ale lui x astfel nct diferena dintre termenii al aselea i al patrulea ai dezvoltrii s fie 56.
R. 1) a) 1 2
0 , ,2 4n n
nC C
C sunt termenii succesivi ai unei progresii aritmetice, atunci
21 0 21 1 1 1 1 ( 1)1 8 8
2 2 4 2 2 4 2n
n nC n n
C C n n n n + = + = + = +
n2-9n+8=0Yn=8 (n=1 nu satisface).
b) Pentru n=8 T6-T4=56
( )
5 38 5 8 35 5
16 162 25 38 83 3
16 2 16 2
3 9 25 5 5 15 15 312 16 16 2 2 16 16 2
2
2 2 2 256
2 22 2
8 7 6 8 7 62 2 56 2 2 1
3 2 3 22
2 1 2 2 2 0 2 1, 2 22
x x
x x
x x x x
x x
x x x x x
x
C C
sau
+ +
=
= =
= + = = =
Soluia x=0 pentru c 2x>0, x0R.
2. Se consider dezvoltarea 2 * *2
, R ,n
x x nx
N .
a) S se determine n astfel nct suma coeficienilor primilor trei termeni ai dezvoltrii s fie 97. b) Pentru n=8, verificai dac exist un termen care conine pe x4. Justificai rspunsul.
R. a) 1k n k k
k nT C a b
+ = 0 1 2 21 ( 2) 1 ( 2) 97n n nC C C+ + =
Rezolvarea ecuaiei ( 1)
1 2 4 97 82
n nn n
+ = = N
b) Pentru n=8Y ( )82 2(8 )1 8 82 ( 2)k
kk k k k k
kT C x C x xx
+
= =
2(8-k)-k=4Yk=4 YT5 conine pe x4.
3. Se consider a,b,c i x numere reale strict pozitive i diferite de 1. S se demonstreze c urmtoarea echivalen este adevrat: a,b,c sunt termenii succesivi ai unei
progresii aritmetice dac i numai dac 1 1 1
, , ilog log loga b cx x x
sunt termeni succesivi ai unei progresii
aritmetice.
-
Binomul lui Newton - probleme propuse la examenul de bacalaureat Virgil-Mihail Zaharia
5
R. Utililiznd relaia 1
logloga b
ba
= obinem: 1 1 1
log , log , loglog log logx x xa b c
a b cx x x
= = = .
i) Presupunem a,b,c progresie geometric, atunci b2=aAc i prin logaritmare n baza x avem:
( )2 log loglog log log2
x xx x x
a cb a c b
+= = , deci este adevrat ii).
ii) Presupunem ( ) 2log loglog 2log log2
x xx x x
a cb b a c b a c
+= = = .
4. Se consider dezvoltarea ( )5lg , , 0.xx x x x+ >R S se determine x, tiind c al treilea termen al dezvoltrii este 106 R. 1
k n k k
k nT C a b
+ =
( )22 3 lg 3 2lg3 2 1 5 10x xT T C x x x ++= = = ( )3 2lg 5 3 2lg 510 lg lg10 3 2lg lg 5x xx x x x+ += = + =
2lg2x+3lgx-5=0Y 5
lg , lg 12
x x= =
5
21 210 , 10.x x
= =
4. Se consider dezvoltarea: *4
1, , 0, , 2
n
x x x x n nx
+ >
R R .
a) S se determine n astfel nct 2 1 44n nC C= + .
b) Pentru n=11, verificai dac exist un termen al dezvoltrii care nu conine pe x. Justificai rspunsul.
R. ) a) 2 1( 1)
44 44 112n n
n nC C n n
+= + = + = N .
b) Pentru n=11 din ( )113
421
k
kk
k nT C x x
+
=
se obine
33 34 0
2
kk
=
cu k=3, deci 44 11T C= nu conine pe x.
6. Se consider dezvoltarea 2 *1
,n
x nx
+
N .
a) S se determine n0N*, tiind c suma primilor trei coeficieni ai dezvoltrii este 46. b) Pentru n=9, verificai dac exist un termen al dezvoltrii care nu conine pe x. R. a) 1
k n k k
k nT C a b
+ = , deci coeficienii cerui sunt 0 1 2,n n nC C i C
Obinem ecuaia 0 1 2( 1)
46 1 46 92n n n
n nC C C n n
++ + = + + = = N .
b) Pentru n=9, ( )92 18 21 9 91k
kk k k k
kT C x C xx
+
= =
, care nu conine pe x 18 3k=0k=6.
7. Se consider dezvoltarea *41
, , 0,n
x x x x nx
+ >
R N .
a) S se determine n astfel nct coeficientul binomial al termenului al treilea s fie 36. b) Pentru n=9, verificai dac exist un termen al dezvoltrii care conine pe x3. Justificai rspunsul.
R. ) a) 2( 1)
36 362n
n nC
= = n2-n-72=0Y n1=9 i n2=-8 nu este soluie
-
Binomul lui Newton - probleme propuse la examenul de bacalaureat Virgil-Mihail Zaharia
6
pentru c nu este numr natural.
b) ( )5(9 )9
4 4 21
1k k k
kk k
k n nT C x x C xx
+
= =
. Avem:
5(9 )3
4 2
k k =
45-5k-2k=12 Y 7k=33 Y 33
7k = N , deci nu exist termeni care s conin pe x3.
8. Se consider dezvoltarea 3
9 , , 03
n
x x xx
>
R i n0N, n$3.
a) S se determine n0N*, astfel nct coeficientul binomial al termenului al treilea s fie 105. b) Pentru n=15, verificai dac exist un termen al dezvoltrii care conine pe x5. Justificai rspunsul. R. a) Punem condiia: 2 105nC = Y n=15
b) Folosind formula termenului general, obinem: ( )151 153
93
k
kk
kT C xx
+
=
i presupunnd c exist
termenul care-l conine pe x5 vom avea de determinat pe k din relaia 15 52
kk = , cu soluia
20
3k =
care nu convine deoarece nu este numr natural. Deci nici un termen al dezvoltrii nu-l conine pe x5.
9. Se consider dezvoltarea *4
1, , 0 i n
2
n
y y yy
+ >
R N .
a) S se determine n pentru care coeficienii termenilor 1, 2, respectiv 3 ai dezvoltrii, formeaz o progresie aritmetic.
b) Pentru n=8, verificai dac exist termeni ai dezvoltrii astfel nct puterea lui y s fie numr natural.
R. a) ( ) ( ) ( )2
10 1 2
4 4 4
1 1 1...
2 2 2
nn n n
n n ny C y C y C yy y y
+ = + + +
i
atunci 21
2
( ) ( )( )1 0 2 11 ! 1 !1 1
4 1 ! 4 2 2 ! 8n n nn nn n
C C C nn n
= + = + = +
21 29 8 0 cu soluiile 1, 8n n n n + = = = n=8.
b) Pentru n=8 dezvoltarea va fi:
8
4
1
2y
y
+
i termenul general:
( )8 16 2 16 3
82 4 4 4
1 8 8 8 84
1 1 1 1
2 2 22
kk k k k k
kk k k k
k k k kT C y C y y C y C y
y
+
= = = =
. Avem:
16 3
4
k N pentru n=4 vom avea y1 n termenul T5.
10. Se consider dezvoltarea lg8
1n
xxx
+
, n0N*, x0R, x>0.
a) S se determine n dac diferena dintre coeficientul binomial al celui de al treilea termen i coeficientul binomial al celui de al doilea termen al dezvoltrii este 27.
b) Pentru n=9, verificai dac exist valori ale lui x, astfel nct al doilea termen al dezvoltrii s fie 900.
-
Binomul lui Newton - probleme propuse la examenul de bacalaureat Virgil-Mihail Zaharia
7
R. a) ( ) ( )
( )2 1 21! !27 27 27 2 3 54 02! 2 ! 1! 1 ! 2n n
n nn nC C n n n
n n
= = = =
cu
soluiile n1=-6 i n2=9, atunci n=9.
b) Pentru n=9 dezvoltarea va fi: ( )9 9 8
lg 0 1 lg9 98 8 8
1 1 1...x xx C C x
x x x
+ = + +
i termenul al
doilea este ( )8
1 lg lg lg 1 lg 1 lg 19 8
1 19 9 9 900 100x x x x xC x x x x x
xx
= = = =
i logaritmm
ecuaia ( ) ( )lg 1 2lg lg100 lg 1 lg 2 lg lg 2 0xx x x x x = = = . Notm lg x=y i obinem 2
1 22 0, cu 1, 2y y y y = = = . Revenim la notaie, avem lg x=1 x1=10 i lg x=2 x2=100.
11. n dezvoltarea binomului ( ) *N+ nnxx ,22 1 , suma coeficienilor ultimilor trei termeni este egal cu 22. S se afle valorile lui x pentru care suma dintre termenii al treilea i al cincilea este egal cu 135.
R. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2
1 0 1 1 2 12 2 2 2 2 ... 2 2n n n n
x x x x x n x x
n n nC C C
+ = + + + +
( ) ( )1
1 1 12 2 2n n
n x x n x
n nC C
+ + i obinem
( ) ( )( )2 1 1! ! !22 22 1 22
2 ! 2! 1 ! 1! ! 2n n n
n n n
n nn n nC C C n
n n n
+ + = + + = + + =
21 242 0 6, 7n n n n+ = = = i atunci n=6, iar dezvoltarea va fi ( )
612 2x x+ .
( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 4
2 1 4 13 5 6 6
6!2 2 2 2x x x xT T C C + = + =
5 6
2! 4!2 1 6!2 2x x +
5 6
4! 2!( )2 12 2 xx
( )21 215 2 15 2 135 :15 2 2 4 2 9 2 2 2 4 9 2x x x x x x x+ + = + = + = , notm 2x=y i obinem: 2
1 2
12 9 4 0 , 4
2y y y y + = = = .
Revenim la necunoscuta x : 1 21
2 1 i 2 4 22
x xx x= = = = .