BienBienvveenidosnidos y y BienvenidasBienvenidas · si 150 tiene 2 cifras significativas entonces...

7/2/2013

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BienvenidosBienvenidos y y BienvenidasBienvenidas

Laboratorio de Química Física IQQUIM 4051

Ileana Nieves Ileana Nieves MartínezMartínez

25 de junio de 2013 1

ConocimientoConocimiento en en laslas CienciasCiencias NaturalesNaturales

BiologíaBiología

MedicinaMedicina

FísicaFísica

QuímicaQuímica

BiologíaBiología

MétodosMétodosQuímicoQuímico FísicosFísicos

MatemáticaMatemática

211 de junio de 2013

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REPASO:REPASO:

MedidasMedidas y y CifrasCifras significativassignificativas

Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e 25 de junio de 2013 3

¿¿QuéQué eses unauna medidamedida?? Observación cuantitativa Comparación de un

Menisco

estándard conocido Cada medida tiene un

número y su unidadcorrespondiente

4Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e

4.5?

4.57 0.02mL

25 de junio de 2013

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Cifras SignificativasCifras Significativas12.3 cm

Cifras significativas:3

12.30 cm

3

Incertidumbre ±± 0.10.1:12.2 a 12.4 cm

Cifras significativas:

5Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e 25 de junio de 2013

g4

Incertidumbre ±± 0.010.0112.29 a12.31 cm

EjemploEjemplo

Incertidumbre = 0.5 metros. Incertidumbre absolutaabsoluta

10.0 metros

Incertidumbre absolutaabsoluta 0.5 metros

Incertidumbre relativarelativa 0.5

0.0510 0

6

como % resulta en un 5%.

10.00.5

100 5%10.0

x

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DeterminaciónDeterminación de de laslas CifrasCifras SignificativasSignificativas

1. Todos los dígitos son significativos 1.5 tiene 2 cifras significativas (cs)1.5 tiene 2 cifras significativas (cs)

2. Todos los ceros internos son significativos 1.05 tiene 3 cifras significativas

3 Ceros a la izquierda NO son significativos

7

3. Ceros a la izquierda NO son significativos 0.001050 tiene 4 cifras significativas 1.050 x 10−3

Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e 25 de junio de 2013

4. Ceros al final del dígito:a) Después del punto decimal son significativos

1.050 tiene 4 cifras significativas

DeterminaciónDeterminación de de laslas CifrasCifras SignificativasSignificativas

b) Antes del punto decimal son significativos si se escribeel punto decimal 150.0 tiene 4 cifras significativas

c) Al final del dígito sin el punto decimal son ambiguos y se deben evitar usando notación científica si 150 tiene 2 cifras significativas entonces se ecribe

8

si 150 tiene 2 cifras significativas entonces se ecribe1.5 x 102

Si 150 tiene 3 cifras significativas entonces se debeescribir 1.50 x 102


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CifrasCifras SignificativasSignificativas y y númerosnúmeros exactosexactos

• Número infinito de cifras significativas•

• g – aceleración de la gravedad


EjemploEjemplo: : DeterminarDeterminar el el númeronúmero de de CifrasCifras SignificativasSignificativas

¿Cuántas cifras significativas hay en los siguientes números?

0.04450 m 4 cifras sig.; (4’s y 5, y 0 al final)

5.0003 km

10 dm = 1 m

1.000 × 105 s

5 cifras sig.; (5 y 3, y los 0’s internos)

infinito, número exacto

4 cifras sig.; (1, y 0’s al final)

10

0.00002 mm

10,000 m

1 cifras sig.; (2, y los 0’s izda. no cuentan)

Ambiguo y se asume 1 cifras sig.


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ReglasReglas parapara sumasuma y y restaresta Redondeo antes de llevar a

cabo la operación según el número con: 543.2 menosmenos sitios decimales

incertidumbre o error absoluto error absoluto mayormayor.

El resultado tendrá el mismo

41.5

5214.55799.2

70.0

7512229.5

11

número de sitios decimales deaquél con menos sitiosdecimales en la operación.

7.5976.5122.2


ReglasReglas parapara MultiplicaciónMultiplicación y y DivisiónDivisión

Resultado tiene el número de cifras significativas(CS) del que tenga menos cifras en la operación.

5.02 89.665 0.10 = 45.0118 3 CS 5 CS 2 CS

5 892 6 10 = 0 96590

= 452 CS

= 0 966

12

5.892 6.10 0.965904 CS 3 CS


0.966

3 CS

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ReglasReglas de de MultiplicaciónMultiplicación y y DivisiónDivisión Al multiplicarmultiplicar oo dividirdividir se redondean todos los

números de acuerdo con el menosmenos precisopreciso (el demayormayor errorerror relativorelativo) de manera que lamayormayor errorerror relativorelativo), de manera que laincertidumbre del resultado será la del menospreciso.

47 61 0 0024

2 830 040375971

. .

..

13

2 83.

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Ejemplo:Ejemplo: Absoluta

0 0001 1

Relativa

47 61 0 0024

2 830 040375971

. .

..

0.0024 ± 0.0001

47.61 ± 0.01

0 0001

0 0024

1

240 04

.

..

0 01

47 61

1

47610 0002

.

..

14

2.83 ± 0.010 01

2 83

1

2830 004

.

..

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Ejemplo (continuación)Ejemplo (continuación)

0.04 ( )0.040375

Incertidumbre absolutaincertidumbre relativa mayor

. 0.04 0.040375 0.0016Incert absoluta x

Resultado es 0.040 0.002


MultiplicaciónMultiplicación//DivisiónDivisión y Suma/y Suma/RestaRestacon con cifrascifras significativassignificativas

L é d l f Los paréntesis primero y determinar las cifrassignificativas y luego continuar con los otros pasos

3.489 (5.67 – 2.3) =

2 pd* 1 pd

3.489 3.37 = 12

4 1 d & 2 2

16

4 cs 1 pd & 2 cs 2 cs

* pd = pd = puntopunto decimaldecimal


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EjemploEjemplo: : CalculeCalcule usandousando el el númeronúmero correctocorrecto de de cifrascifras significativassignificativas

Tro: Chemistry: A Molecular Approach 17Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e

EjemploEjemplo: : CalculeCalcule usandousando el el númeronúmero correctocorrecto de de cifrascifras significativassignificativas

18Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e

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LogaritmoLogaritmo de un número se mantiene en elresultado el número de dígitos a la derecha delpunto decimal igual al número de cifras

Otras operaciones matemáticasOtras operaciones matemáticas

punto decimal igual al número de cifrassignificativas del número original.

AntilogaritmoAntilogaritmo de un número se mantiene en el resultado el número de dígitos que sean iguales a los dígitos a la derecha del punto decimal del

log . .9 57 10 4 9814x

los dígitos a la derecha del punto decimal del número original.

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anti xlog .12 5 3 1012

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P i ióP i ióPrecisiónPrecisióny y ExactitudExactitud

Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e 25 de junio de 2013 20

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Cálculos e interpretación de resultadosCálculos e interpretación de resultados

Equipo utilizado para obtener datos: buretas buretas Pipetas Balanzas tienen cierto error o incertidumbre. hacer análisis de todos los posibles errores. determinar el grado de precisión que afecta el

l d éresultado numérico.

Análisis estadísticos de resultados


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FUENTES DE ERROR FUENTES DE ERROR Y Y CLASIFICACIÓNCLASIFICACIÓN DE DE LOS LOS ERRORESERRORES

Comparación entre exactitud yi ióprecisión


IncertidumbreIncertidumbre de de medidasmedidas experimentalesexperimentales Provienen de las limitaciones de los instrumentos.

E ióE ió d d fi bilid dfi bilid d

PrecisiónPrecisión indica cuán cercanas estánuna serie de medidas repetidas(reproducibilidad).

ExpresiónExpresión de de confiabilidadconfiabilidad


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PrecisiónPrecisión Errores indeterminados fluctuaciones

íf No tienen causa específica y no se puedencorregir son inherentes en la observación no se puede predecir su origen ni su magnitud tienen signo algebraico positivo o negativo

(ambos con igual probabilidad)

25

(ambos con igual probabilidad)


PrecisiónPrecisión reproducibilidadreproducibilidad que reside en un resultado

numérico. medida del gradogrado dede incertidumbreincertidumbre debido a

errores indeterminados. se puede mejorarmejorar tomando un númeronúmero

grandegrande de medidas y haciendo análisisestadístico.

se expresa como el error mismo (absolutoabsoluto)p ( )o como función de la magnitud de la medida(relativarelativa)

5.0 0.10.1 1

0.025.0 50


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0.510n

UnidadesUnidades relativasrelativas parapara la la precisiónprecisión

0.510

10.0nx

nn Unidad

2 %

Copyright 2011 Pearson Education, Inc.

%

3 ppmil (ppt)

6 ppm

9 ppb

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ExactitudExactitud indica cuán cercana es la medida del valor real (verdadero).

OtraOtra expresiónexpresión de de confiabilidadconfiabilidad

( )

E = X? - XV

Debido a que el valor verdadero (real) nono seconoce, usaremos el promediopromedio aritméticoaritméticode una serie de determinaciones como elvalor verdadero.


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ExactitudExactitud Errores sitemáticos

Limitaciones instrumentales o del diseñoLimitaciones instrumentales o del diseñoexperimental e inclusive error personal

Se pueden reducir usando instrumentos o diseños experimentales más sofisticados


EjemplosEjemplos de los de los erroreserrores

Determinados Indeterminadosfricción entre partes del instrumento

condiciones ambientales (humedad,temperatura)

Humanos: paralaje, lectura errónea de una escala, reflejos lentos, uso incorrecto de cierta técnica

Cambios en voltaje, humedad, presiónatmosférica, temperatura (Ej: Siaumenta la temperatura, el brazo de labalanza se expande)

Humanos: se puede leer una escala unpoco más arriba o abajo de loverdadero sin que incluya paralaje,incorrecto de cierta técnica

Instrumentales: falta de calibración;cambio en línea base; escape de gas enlínea de vacío, no nivelar las balanzas

menisco, reflejos

Instrumentales - límite deconfiabilidad del instrumento (no hayinstrumento perfecto)


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CaracterísticasCaracterísticas

Determinados IndeterminadosSe deben a desperfectos del Se pueden identificar en fluctuacionesSe deben a desperfectos del instrumento o la técnica

Se pueden eliminar usando correcciones

No aparecen como fluctuaciones en la medida

Se pueden identificar en fluctuaciones al azar en las medidas experimentales sucesivas, afectan reproducibilidad.

Se pueden reducir y obedecen a la función de distribución de probabilidad de Gauss. Se usan métodos estadísticos e interpretación probabilística

Se pueden identificar al cambiar la técnica experimental


ÍNDICESÍNDICES DE DE PRECISIÓNPRECISIÓNY Y CONFIABILIDADCONFIABILIDAD


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DefinicionesDefiniciones de los de los índicesíndices de de precisiónprecisión y y confiabilidadconfiabilidad

EjemploEjemplo::

Datos

10.03

9 99

PromedioPromedio: xN

xii

Ni

1

1

= 10.02

9.99

10.06

9.98

MedianaMediana - el valor central (del medio) Colocar los datos en orden ascendente o

xmed

9.98


descendente9.99

10.03

10.06

9.99 10.0310.01

2medianax

DefinicionesDefiniciones de los de los índicesíndices de de precisiónprecisión y y confiabilidadconfiabilidadEjemploEjemplo ((continuacióncontinuación))::

Medidas de exactitud y precisión Desviación o residuo, i ix x

||

= 0.01

= 0.03

= 0.04

= 0 04

|| = (xi – xprom)

10.03-10.02

9.99-10.02

10.06-10.02

9 98-10 02

Datos

10.03

9.99

10.06

9 98 0.049.98 10.02


9.98

x = 10.02

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DefinicionesDefiniciones de los de los índicesíndices de de precisiónprecisión y y confiabilidadconfiabilidadEjemploEjemplo ((continuacióncontinuación)):: Desviación promedio

d pN i

i

N

. .1

1

||

0.01

0.03

0 04= 0.03

Desviación estándard

sN

i

2

1

0.04

0.04 ()2

0.0001

0.0009

0.0016

0 0016

0.00420.037

4 1

w

Intervalo o alcancew x xmayor menor

0.0016w

9.98

9.99

10.03

10.06

= 0.08


LímiteLímite de de confiabilidadconfiabilidad y y distribucióndistribución de de erroreserrores

x

y f xdn

Ndxei

i

x xi

( )/

1

21 2

2

2

2


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TratamientoTratamiento estadísticoestadístico y y evaluaciónevaluación de los de los datosdatos

InocenteInocente convictoconvicto vs culpableculpable librelibre. El análisisanálisis estadísticoestadístico Agudiza el juicio sobre los datos experimentales. estima la probabilidad de que la diferencia entre

dos valores experimentales sea real o solo elresultado de errores al azar. determina si un dato se rechaza con gran

probabilidad.


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Prueba Q para datos sospechososPrueba Q para datos sospechosos Aceptar o rechazar un resultado anómaloAceptar o rechazar un resultado anómalo (“outlier”) Se producen por errores o fallos en la metodología.

Método Se ordenan los datos en forma ascendente y se calcula QQ Se ordenan los datos en forma ascendente y se calcula QQ

? vecino

mayor menor

entre dato sopechosos x y x más cercanoQ

entre x y x

x x

Qcalculado > Qtabulado

El dato se descarta

? ?vecinox xQ

alcance w


TablaTabla estadísiticaestadísitica parapara la la pruebaprueba QQ

Si Qcalculado > Qtabulado el resultado se rechaza


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EjemploEjemplo:: Al efectuar una serie de experimentos para

determinar [SO42-] en una muestra de H2O para

riego se obtienen los siguientes resultados.riego se obtienen los siguientes resultados.Determine si hay alguna medida es dudosa.

Muestra Medida

1 5.0

2 5.2

3 5.5

4 5 6

1. Se ordenan los datos en orden descendiente (para . Se ordenan los datos en orden descendiente (para facilitar el cálculo)facilitar el cálculo)

6.0, 6.0, 5.6, 5.6, 5.5, 5.5, 5.25.2, , 5.05.02. Se calcula Se calcula QQ

Q = Q = (x(x?? –– xxvecinovecino)/w )/w Q = Q = ((6.06.0--5.6)/ (5.6)/ (6.06.0--5.0) =0.405.0) =0.40

6.0

4 5.6

5 6.03. SeSe comparacompara QQcalculadocalculado concon QQtabuladotabulado parapara 55 medidasmedidasyy unun nivelnivel dede confianzaconfianza deldel 9090%%.. ((QQtabtab==00..6464))


0.40 < 0.64, por lo tanto el valor 6.0 0.40 < 0.64, por lo tanto el valor 6.0 NONO se rechazase rechaza

RESUMEN DEL MÉTODO PARA DESCARTAR DATOSRESUMEN DEL MÉTODO PARA DESCARTAR DATOS

Definir que tan grande es la diferencia entre el valor sospechoso y los otros datos.

Aplicar Prueba Q. Ordenar los datos Calcular el intervalo o alcance, w Encontrar la diferencia entre el resultado sospechosos (x?)y su vecino

mas cercano (xvecino) Dividir la diferencia obtenida en el paso anterior entre el alcance. De

esta forma obtiene el coeficiente Q para descartar datos. p Consultar la tabla de valores Q. Si el valor calculado es mayor que el de la tabla el resultado se puede descartar con

un 90% de confianza.


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Parámetros usados en Tratamiento EstadísticoParámetros usados en Tratamiento Estadístico

Nivel de confianza es la probabilidad deque el promedio (experimental overdadero) esté en cierto intervaloverdadero) esté en cierto intervalo.

Nivel significativo “significance level” esla probabilidad de que el resultado estéfuera de los límites de confianza

43

Límites de confianza son las fronterasdel intervalo de confianza

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Parámetros usados en Tratamiento EstadísticoParámetros usados en Tratamiento Estadístico

Intervalos de confianza del promedio esel intervalo de valores donde se espera congran probabilidad que el promedioexperimental esté cercano al real.

donde: tt es un parámetro estadístico que representa la

IC para xts

N

44

tt es un parámetro estadístico que representa ladesviación de un dato del valor promedio por unidadde desviación estándar. Depende del nivel de confianzay de los grados de libertad (NN).

ss es la desviación estándar

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Propagación de erroresPropagación de errores

Cantidades físicas medidas indirectamente Incertidumbre o error en el resultado final Incertidumbre o error en el resultado final

dependerá de la precisión y exactitud de lasmedidas experimentales afectando opropagándosepropagándose enen elel resultadoresultado deldel valorvalor calculadocalculado


EjemploEjemplo Determinación del área de un círculo:

A = r2

rr•

2

2

dA r dr

A r r

El error en AA se representa como AA)

2A r r


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A 20 0 02A A r r r 2

0r ya que

2

0 0

220 0 02

A A r r

A A r r r r

2 2A A

A0-

+A

20 0 02A A r r r

r0

+r-r

r25 de junio de 2013 47

Caso general de propagación de errorCaso general de propagación de error

F F FF dF dx dy dz

, ,,y z x yx zx y z

, ,y z x yx z

F F FF x y z

x y z


, ,,y yx z

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Error Error máximo propagadomáximo propagado (EMP)(EMP)

, ,,y z x yx z

F F FdF dx dy dz

x y z

,

, ,,

y y

y z x yx z

F F FF x y z

x y z

49

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Error Error másmás probable probable propagadopropagado ((EMPP)EMPP)

1

2 22 22 2 2

, ,,y z x yx z

F F FdF dx dy dz

x y z

1

222 22 2 2

, ,,y z x yx z

F F FF x y z

x y z


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FórmulasFórmulas generalesgenerales de de PropagaciónPropagación

Tipo de operación matemática

Ejemplo* Error

SSuma o resta

Multiplicación o división

Exponenciales

y a b c

y a bc

y a x

y a b c 2 2 2

yy

aa

bb

cc

2 2 2

yy

aax

Copyright 2011 Pearson Education, Inc.

Logaritmos

Antilogaritmos

y a log

y anti a log

y aa 0 434.

yy a 2 303.

* a, b y c son variables experimentales y a, b y c son los errores en esasvariables (instrumentales o desviaciones estándard).

51

EjemploEjemplo: : DensidadDensidad Datos experimentales para determinar la densidad m = 0.2852 g m = 0.0001 g

V = 10.0 cm3 V = 0.1 cm3

m m m

V V V

Para determinar el error propagado de una división en términos del error relativo usamos:

33

0.2852 0.0001

10.0 0.10.02852g gm m

V V cmcm

0.0001 0.1 1 10.1000

0 2852 10 0 2852 100 m V

m V

El error abosoluto es:

Se informa el valor como: ((0.029 0.029 0.0030.003) g/cm) g/cm33

0.2852 10.0 2852 100

0.1000 0.02852 0.002852 0.003x


m V

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Ejemplo de termometría de gasesEjemplo de termometría de gasesPV

TnR

T T T

PV nRT

, , , , , ,V n R P n R P V R

T T TdT dP dV dn

P V n

1

22 2 22 2 2

, , , , , ,V n R P n R P V R

T T TEMPP dP dV dn

P V n

53

, , , , , ,V n R P n R P V R

T T TEMP dP dV dn

P V n

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Ejemplo de termometría de gasesEjemplo de termometría de gases

1PV PVT x n

nR R

T T T

2

V P PVdT dP dV dn

nR nR n R

, , , , , ,V n R P n R P V R

T T TdT dP dV dn

P V n

54

1; ;

T V T P T PV

P nR V nR n nR n

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Ejemplo de termometría de gasesEjemplo de termometría de gasesPV

TnR

1T V T P T PV

1

22 2 22 2 2

, , , , , ,V n R P n R P V R

T T TEMPP dP dV dn

P V n

1; ;

T V T P T PV

P nR V nR n nR n

55

, , , , , ,V n R P n R P V R

T T TEMP dP dV dn

P V n

25 de junio de 2013

Ejemplo de termometría de gases Ejemplo de termometría de gases ((ContinuaciónContinuación))

1/22 2 2

2 2 2T T TEMPP T P V n

P V n

1/22 222 V Factor común:

T T TEMP T P V n

1/22 2 2T P V n

T P V n

2 222 V nPP V nT T


EMP T P V nP V n

T P V n

T P V n

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REGRESIÓNREGRESIÓN LINEALLINEAL


MétodoMétodo parapara ajustarajustar datosdatos experimentalesexperimentales en en unauna ecuaciónecuación

Cuadrado mínimo: y = mx + bxx

y

teórica experimental

experimental

i i i

i i i

y y y

y mx b y


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RepresentaciónRepresentación de los de los ErroresErroresPosición de un caracol moviéndose en linea recta


MATERIAL MATERIAL SUPLEMENTARIOSUPLEMENTARIO


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Regresión linealRegresión lineal--definicióndefinición

Escoge la mejor línea que predice y de x. Discrimina entre las dos variables Se utiliza cuando éstas variables se conocen Se utiliza cuando éstas variables se conocen

definitivamente. Encuentra la línea que minimiza la suma de

los cuadrados (SS) de las distancias verticales (o residuales) de los puntos de la línea. Se determina cuán óptima es la línea usando el

61

Se determina cuán óptima es la línea usando el parámetro r2 de la regresión de la minimización.

Determina la pendiente “steepness”(m) y el intercepto (elevación) (b).

25 de junio de 2013

Cálculo del cuadrado mínimoCálculo del cuadrado mínimo

Determinar el valor de m y b que mejor represente las observaciones experimentales.

Asumir que la mejor línea recta que se ajusta a los puntos experimentales es donde la suma de los cuadrados de las desviaciones (yi]2) entre el valor medido experimentalmente y el que predice la mejor línea es un mínimo.

62

Obedece la distribución de errores Gaussiana. Se consideraran solo desviaciones en la variable

dependiente ya que generalmente estas son mayores que en la variable independiente.

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Representación gráficaRepresentación gráficaSSreg = 0.85 SSTot = 4.907

63

r2 = 1 (Ssreg / SSTot) = 1 (0.86/4.91) = 0.84

25 de junio de 2013

Suma de cuadradosSuma de cuadrados

SSreg es la suma de los cuadrados de las regdistancias verticales de la mejor línea.

SSTot es la suma de los cuadrados verticales de la distancia a la línea que

l di d l l d

64

representa la mediana de los valores de y

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Definición de CorrelaciónDefinición de Correlación

Cuantifica la correspondencia entre x y ypara aquellos eventos que se ha medido experimentalmente (no incluye el control)experimentalmente (no incluye el control)

Coeficiente de correlación (r) Va desde -1 hasta + 1 : + 1 es una correlación perfecta entre ambas variables - 1 es una correlación inversa.

Coeficiente de determinación (r2)

65

Coeficiente de determinación (r ) Fracción de varianza de las dos variables Se comparte la varianza por las dos variables: Ejemplo r2 = 0.59 implica que el 59% de la varianza en x

se explica por la variación en y25 de junio de 2013

Ejemplo de correlaciónr2 << 1r2 0

r2 = 1r2 < 1


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ResidualResidualSon las distancias verticales de cada punto a

la línea


DERIVACIÓNDERIVACIÓNMATEMÁTICAMATEMÁTICA DE DE REGRESIÓNREGRESIÓN LINEALLINEAL


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Suma de Suma de las desviaciones al cuadrado (SS)las desviaciones al cuadrado (SS)22

D esviació n , :

teó rica ex p erim en tal

exp erim en tal

i i i

i i i

y y y S

y m x b y S

pi i iy y

2

2 2

Suma de las desviaciones al cuadrado [sum of squares] ( ):

( ) 2N N

i i i i i i

SS

SS mx b y mx b mx b y y

1

Suma de las desviaciones (sum):N

i ii

S mx b y


1 1

2 2 2 2

1 1 1 1 1

( )

( ) 2 2 2

i i i i i ii i

N N N N N

i i i i i ii i i i i

y y y

SS m x mb x Nb m x y b y y

Mínimo de suma desviaciones al cuadradoMínimo de suma desviaciones al cuadradoCondición para que SS sea un mínimo

0 0S S

ym b

m b

2

1 1 1

1 1

0 2 2 2

0 2 2 2

N N N

i i i ii i i

n n

i ii i

Sm x b x x y

m

Sm x bN y

b


2

1 1 1

1 1

Re-arreglando: N N N

i i i ii i i

N N

i ii i

m x b x x y

m x bN y

7/2/2013

36

Mínimo de suma desviaciones al cuadradoMínimo de suma desviaciones al cuadrado

2

1 1 1 1

Resolviendo ecuaciones simultáneasN N N N

i i i i i ii i i i

N N N

x y x x x y

1 1 1

2 2

1 1 1 1

1 1

N N N

i i ii i i

N N N N

i i i ii i i i

N N

i ii i

y N x y

m b

x x x x

x N x N

71

1 1 1

Resolviendo los determinantes:N N

i i i ii i i

N x y x y

m

2

1 1 1 12 2

2 2

1 1 1 1

N N N N N

i i i i ii i i i

n N N N

i i i ii i i i

x y x x yb

N x x N x x

25 de junio de 2013

Error en la Error en la pendiente y el interceptopendiente y el intercepto

2

1

N

ii

xN

12 2

2 2

1 1 1 1

2

1donde: y (exp) ( )1

i

i

im y b y

N N N N

i i i ii i i i

N

yi

y y i i

N x x N x x

y y mejor lineaN


7/2/2013

37

REGRESIONESREGRESIONESNO NO -- LINEALESLINEALES


Si el modelo de regresión lineal es correcto Si el modelo de regresión lineal es correcto pregúntesepregúntese

¿Tiene apariencia lineal? ¿Tiene un valor de P (probabilidad entre ¿Tiene un valor de P (probabilidad entre

eventos) alto? ¿ Tiene residuales al azar?

Si algunas de las respuestas es NO debe

74

Si algunas de las respuestas es NO debe considerar la regresión no-lineal

25 de junio de 2013

7/2/2013

38

RegresiónRegresión NoNo--lineal y lineal y ajustesajustes de la de la curvacurva

Se utilizan modelos matemáticosmodelos matemáticos que sean una descripción de un proceso físico, químico o biológico biológico.

Los modelos se derivan usando lógica simple, álgebra y algunas veces cálculo.

Usar los modelos en los intervalos adecuadosintervalos adecuados. La meta de la regresión no-lineal es ajustar un ajustar un

d l d td l d t

75

modelo a su datamodelo a su data. El programa de regresión encuentra los valores de

las variables que mejor se ajusten en el modelo. Escoger el modelo es una decisión científica.

25 de junio de 2013

RegresiónRegresión NoNo--lineal y lineal y ajustesajustes de la de la curvacurvacontinuacióncontinuación

Es más general que la lineal. Ajusta datos a cualquier ecuación que define y

como función de x y uno o más parámetroscomo función de x y uno o más parámetros. Encuentra el valor de los parámetros que generan

una curva que minimiza SSreg No se puede derivar la ecuación directamente para

calcular los mejores valores que se ajustan a los datos.

76

Se requiere un proceso intenso de iteraciónproceso intenso de iteración. La matemática de una regresión no-lineal requiere

que esté familiarizado con el álgebra de matrices

25 de junio de 2013

7/2/2013

39

PasosPasos parapara la la regresiónregresión nono--lineallineal

Comenzar con valores iniciales estimadosvalores iniciales estimadospara cada variable en la ecuación.

Generar la curva con valores iniciales Generar la curva con valores iniciales. Calcular la suma de los cuadrados de las

distancias verticales. Ajustar las variables para hacer que la curva se

acerque a los datos. (Hay varios algoritmos algoritmos para ajustar las variablespara ajustar las variables.)

77

Ajustar las variables nuevamente para acercar mas la curva.

Repetir

25 de junio de 2013

PasosPasos parapara la la regresiónregresión nono--lineallineal((continuacióncontinuación))

Detener los cálculosDetener los cálculos cuando los ajustes no hagan diferencia en la suma de los cuadrados (criterio de convergenciacriterio de convergencia).

Informar los resultados que se ajustan mejor. Nota: Los valores precisos van a depender

de los valores iniciales y del criterio de detener los cálculos Por lo tanto los

78

detener los cálculos. Por lo tanto los resultados de análisis repetitivos no siempre van a dar exactamente los mismo resultados.

25 de junio de 2013

7/2/2013

40

Ajuste de curvas de regresiones noAjuste de curvas de regresiones no--lineales.lineales.Escogiendo el modeloEscogiendo el modelo

Decaimiento exponencial en una fase

y Ae bkx

Decaimiento exponencial en dos fases

Asociación exponencial de una fase

y Ae b

y Ae Be bk x k x 1 2

kx( )1

79

Asociación exponencial de dos fases

y y e kx max( )1

y y e y ek x k x max max( ) ( )

1

1

2

21 1

25 de junio de 2013

Crecimiento exponencialy Aekx

Ajuste de curvas de regresiones noAjuste de curvas de regresiones no--lineales.lineales.

Escogiendo el modeloEscogiendo el modelo

Serie de potencias

Ecuación de polinomiosy = a + bx + cx2 + dx3 + ....

Sinosoidal

y Ax CxB D

80

Distribución gausiana

25 de junio de 2013

08/07/2013

1

Viscosidad

1

Laboratorio de Química Física IQUIM 4051

Ileana Nieves Martínez

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Viscosity.gif

Definición Es una propiedad de transportetransporte que mide la

resistenciaresistencia que un fluido ofrece bajo la acción de una fuerza aplicadafuerza aplicada.fuerza aplicadafuerza aplicada.

Es específica para cada fluido.

Es la transformación del impulso lineal (momentum) cuando una fuerza externa se aplica al líquido.

2

Representación: ηη

Unidades: (dinas-seg)/cm2 / poise Poiseville

08/07/2013

2

Aplicaciones Viscosidades de polímeropolímeros y soluciones de

macromoléculasmacromoléculas se obtiene información estructural (masa molar) y cinéticacinética.(masa molar) y cinéticacinética.

Selección de materiales de construcciónconstrucción.

Aceite de motor Aceite de motor de acuerdo a la estación del año.

3

LubricantesLubricantes industriales.

Flujo de sangresangre en ductos capilarescapilares

Propósito

Determinar la viscosidad de un líquido con el viscosímetro de Ostwald y el efecto que tiene la temperatura sobre la misma.

Tratamiento estadístico y análisis de error.

4

08/07/2013

3

Flujo laminar vs turbulento

Flujo laminar

Flujo turbulento

5

Modelo flujo laminar

Plano de movimiento

VV1

V2

Vy

llV0 V0

6

Plano estacionario (pared)

V0

Gradiente de velocidad en el flujo bajo la acción de una fuerza aplicada (presión)

Vy

08/07/2013

4

Modelo flujo laminar

Marcasuperior

llV0 = 0

Marcainferior

GradienteGradiente de de velocidadvelocidad

dv

dr

7

Vy

ViscosímetroViscosímetro de Ostwaldde Ostwald

http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSToFCK__-rlcotarqgfcsJFq4Thfae8vPgWVrYYOxdft5nJFm9

r = Rr = R r = 0r = 0

1

Fuerza aplicada

A t

Derivación de ecuación de Poiseville

laminar

donde:

fuerza impulsora

área de contacto

f

A

laminar2f dv

PA dr

área de contacto

de capas adyacentes

gradiente de viscosidad

A

Poiseville fue la persona que midió Poiseville fue la persona que midió

A velocidad bajas el flujo es Newtoneano o laminar

Despejando por :

3f dr

A dv

8

p qp qviscosidad por 1viscosidad por 1rara vez.vez.

2

2 2

unidades:

4g cm

sdinas cm cm gpoise

cm cmcm cm s cms s

08/07/2013

5

L L

2r

(5)circular laminarf f

capilarcapilar

De ecuación 3

A = 2A = 2r x Lr x Lcircunsferencia

f dr

A dv

(6)circular laminar

dvA P A

Presión ejercida

2

( )

2 (7 )

circular laminar drdv

r P r L adr

2 (7 )dv

rP L bdr

9

2 2

(8)2

Pr(9)

2 2 2 4

P r drdv

L

P P rv dv rdr C C

L L L

Velocidad en Capilar de radio, R

2Pr(9)

4v C

L

V0 = 0

Vy

2

2

P0 (10)

4

P(11)

4

RC

L

RC

L

10

r = 0r = 0r = Rr = R

08/07/2013

6

Derivación (continuación)

2 2Pr4 4

2 22 2

Sustituyendo (11): en (9):

( ) (12)

PRL LC v C

P r P R PR

( ) (12)

4 4 4v R r

L L L

pero por definición:

L

Para un líquido en un capilar el volumen, es:

(13)

V

V A L

11

velocidad = (dist.( )/tiempo( ))L

L t v L v tt

2área círculo ( ) 2 (14)A r dA rdr

Derivación (continuación): 2

entonces la derivada de: x

(2 ) ( ) (15)

Como L v t dA rdr

V A L

dV LdA d

(2 ) ( ) (15)dV LdA rdr vt

2 2

2 2

Sustituyendo la ecuación (12) : ( ) en (15):4

22 (16)

Rr

Pv R r

L

t PV v t r dr R r r dr

12

0

0

2 (16)4

V v t r dr R r r drL

08/07/2013

7

2 2

Integrando definidamente la ecuación (15):

22 (16)

Rr t P

V v t r dr R r r dr


0

0

4 42 3

0 0

( )4

(17)2 2 2 4

R R

L

t P t P R RV R r dr r dr

L L

DespejandoDespejando porpor

13

4 4 4

(18)8 8 8

t P R t P R RV t P

L L V L V

DespejandoDespejando porpor

Pero la relación con presión es:

(19)F m g m g h m

P g h g hA A A h V


constanteconstante del del viscosímetroviscosímetro

Funcionalidad con temperatura sigue la ley de Boltzman:

4

8

4

Sustituyendo la ecuación (19) en (18):

(20)8

RLV t P

R g ht A t

L V

14

( ) Ecuación de Guzmán (21)

1ln ln

ERT

GuzmanA e

EA

R T

08/07/2013

8

Gráfica: 1ln ln

EA

R T

ln η

m = E/R

b = ln A

15

1/T

8/4/2013

1

Calorimetría de bomba

Laboratorio de Química Física I

QUIM 4051Ileana Nieves Martínez

8/4/2013 1

Termoquímica

http://www.chem1.com/acad/webtext/energetics/CE04.html

Es el estudio de transferencia de calor a través de las fronteras de un sistema químico

Capacidadcalórica, C

Entalpía de formación

estándard,H0

Ecuacionestermoquímicas

Cambios físicos y cambios de fases

Cambios químicos

calorímetros

Calorímetrosde hielo

Calorimetría

Por cambiosen temperatura

Por otroscambios físicos

Ley de Hess

Mide U(se calcula el H)

que pasa por

se mideexperimentalmente por

definida porbasado en

y emplea varios tipos de

que se puede combinarde acuerdo a la

que miden flujo de calor

por ejemplo por ejemplo

Calorímetros de bomba

8/4/2013 2

8/4/2013

2

Propósito

Determinar el cambio en la entalpía H de:

combustión (ΔHcomb) de substancias orgánicas.

formación (ΔHf) usando la Ley de Hess.

isomerización (ΔHisom).

8/4/2013 3

Definiciones

Calor de combustión – energía necesaria para quemar compuestos y que

producen de los óxidos de los elementos de dichos compuestos.

da una idea de la fortaleza de los enlaces.

Ejemplo: (1)

Otros óxidos que pueden formarse son NO2, SO2

en presencia de azufre (S) o nitrógeno (N).

2( ) 2( ) 2 ( )i i i g g l combustiónC H O zO aCO bH O H

8/4/2013 4

8/4/2013

3

Definiciones (continuación)

Calor de formación (Hf) – es la energía necesaria para la formación de un mol de

compuesto partiendo de sus elementos en su estado natural o patrón (t = 25EC y P = 1 atm).

Función de estado – describe a un sistema con un número mínimo de

variables

no depende del paso, sino que depende del estado final y del estado inicial del sistema.

Ejemplos: ΔU, ΔH.

8/4/2013 5

Primera ley de termodinámica La energía no se crea ni se destruye,

solo se transforma.

2. Volumen constante:

0 0

entonces, (3)V

V w

U C dT C T

1. (2)U q w CdT PdV C T P V

8/4/2013 6

8/4/2013

4

Primera Ley de termodinámica

3. Presión constante:

P P f iU q w C dT PdV q P V V

para gas ideal: por lo tanto:PV nRT

H U nRT

(4)P f iq U P V V U PV H

a temperatura constante.

H U nRT

Despejando para qP

8/4/2013 7

Experimento de calorimetría

8/4/2013 8

8/4/2013

5

Reacción en un calorímetro

Es una reacción adiabática (q = 0) a volumen constante (V = 0) en la que aumenta la temperatura y disminuye la presión porque el oxígeno se consume:

Donde: R = reactivos

P = Productos

C = Calorímetro

0

1 1 1 1 2 2 2 2, , , , (5)I I

TqU o HR T P C T P P T P C T P

8/4/2013 9

Calorímetro de bomba

http://chemlab.truman.edu/chemlab_backup/PChemLabs/CHEM324Labs/Calorimetry%20Equipment/Graphics/Bomb%20Calorimeter%201.jpg

8/4/2013 10

8/4/2013

6

Calorímetro

Porta-muestra

collar

Alambre de ignición

Calorímetro

Alambre de ignición

muestra

Sensor de temperatura

Cubeta de agua

Bomba

8/4/2013 11

Medida experimental de T Cambio en temperatura como función de

tiempo genera la gráfica siguiente:

Tiempo, s

Tem

pera

tura

, °C

T

8/4/2013 12

8/4/2013

7

Ejemplo de ácido benzoicoCombustión de ácido benzoico

(Tiempo ± 1), min

(Tem

pera

tura

±0.

1), °

C

T = 2.23 °C23.0

22.0

24.0

8/4/2013 13

Realidad experimental de calor de solución

Para reacciones en solución la reacción es: Adiabática

a presión constante

NO a volumen constante como en calorímetro de bomba.

0Pq

0V

0 i fP P P

8/4/2013 14

8/4/2013

8

Esquema experimental

1 1 1 1, ,R T P C T P

1 3 1 3, ,P T P C T P

V V

II V

q C T

U q w

IIHTotal

Total

U

H

02 2 2 2,, ,V

I I

Tq

U HP T P C T P

0I

I I

U q w

H U P V

Total I II

Total I II

U U U

H H H

Función de estado

8/4/2013 15

Paso I: Reacción que ocurre en el calorímetro:

proceso adiabático (qV = 0)

volumen constante (∆V = 0)

aumenta la temperatura (T1 < T2 )

presión disminuye (P1 > P2 ) Porque se consume la cantidad de oxígeno

necesaria para llevar a cabo la combustión.

Por lo tanto bajo estas condiciones (qV = 0 y ΔV = 0) w = 0 entonces:

0

0 0 (6)I

I I

U

H U P V ya que V

8/4/2013 16

8/4/2013

9

Paso II: Enfriamiento hasta T1 (teórico)

1 2 2 1

0

(7)

II V V

II V V

U q w C T ya que w

U C T T C T T

8/4/2013 17

Reacción total: Paso I + Paso II

Parámetros termodinámicos a determinar: ∆Htotal y ∆Utotal de la reacción total donde las

especies (reactivos y productos) se mantienen a una misma temperatura.(T = 0)

∆HT y ∆UT son funciones de estado solo dependen del estado inicial y final

se pueden determinar por la Ley de Hess siguiendo una ruta alterna.

(8)total I II total I IIU U U H H H

8/4/2013 18

8/4/2013

10

Cálculo de Utotal y Htotal

2 1

2 1

Sustituyendo (6): 0 y (7):

en (8):

0 (9a)

I II V

total I II

total II V V V I

U U C T T

U U U

U U q C T C T T ya que U

Para líquidos y sólidos PV 0 por lo tanto U H

2 1

2 1

(9b)

9

total total II V

gaseosos gaseosostotal V productos reactivos

H U PV U nRT C T T nRT

H C T T n n RT c

8/4/2013 19

Contenido en el Calorímetro

la muestra, Hmuestra; Umuestra

el alambre que inicia la chispa para la combustión, Halambre; Ualambre

productos de combustión adicionales Nitrógeno (N2 → NO2 → HNO3) HHNO3; UHNO3

pequeña cantidad que contamina el oxígeno que se añade al calorímetro.

Por eso Utotal incluye todas las especies: UTotal = Umuestra + Ualambre + UHNO3

8/4/2013 20

8/4/2013

11

Utotal y Htotal

3

3

2 1

2 1

(10a)

(10b)

total alambre HNO muestra

total alambre HNO muestra

U U U U C T T

H H H H C T T nRT

8/4/2013 21

Determinación de la constante del Calorímetro

Usa muestra de entalpía de combustión conocida: ácido benzoico (C7H6O2)

Usa ecuación siguiente para determinar la constante:

3

2 1

.

2 1 2 1

(11)

total total

alambre HNO ac benzicototal

H nRT U nRT C T T

H H H nRTH nRTC

T T T T

8/4/2013 22

8/4/2013

12

Determinación de H de fenantreno y antraceno

3

3

32 1

(12a)

(12b)

total muestra alambre HNO

muestra total alambre HNO

muestra alambre HNO

H H H H

H H H H

H C T T nRT H H

8/4/2013 23

tiempo

a b c

Corrección de Dickinson max 1 2igT T T r b a r c b

8/4/2013 24

8/4/2013

13

Corrección de Dickinson

max 1 2

max

(13 )

(13 )

ig

ig

T T T r b a r c b a

T TT T T b a c b b

t t

r1 = rapidez (grados/s) de aumento en temperatura por factores externos.

r2 = rapidez (grados/s) de disminución en temperatura por pérdida de calor interno.

a = tiempo de ignición b = tiempo cuando T = 0.63(Tmax - Tignicion) c = tiempo máximo

8/4/2013 25

Datos útiles

Sustancia Entalpía de combustión

Alambre 1400 cal/gramo

Ácido Benzoico - 382.5 kJ/mol

Ácido nítrico 60.58 kJ/mol

8/4/2013 26

8/4/2013

1

Tensión de vapor

Laboratorio de Química Física IQUIM 4051


agua

http://www.kidsgeo.com/images/vapor-pressure.jpg8/4/2013 1

Propósitos Medir la tensión de vapor de un líquido a

varias temperaturas

Calcular: la entalpía de evaporación (HV) usando la

ecuación de Classius – Clapeyron el punto de ebullición normal (Tv) la entropía molar de evaporación (SV)

8/4/2013 2

8/4/2013

2

Definiciones TENSIÓN DE VAPOR - presión sobre la

fase condensada a una temperatura dada.

PUNTO DE EBULLICIÓN - la temperatura donde la tensión vapor es igual a la presión externa.

PUNTO DE EBULLICIÓN NORMAL - la temperatura donde la tensión de vapor es igual una presión externa de 760 mmHg = (1 atm).

8/4/2013 3

Definiciones (continuación)

ENTALPÍA DE EVAPORACIÓN (Hm,v) -La cantidad total de calor que se requiere para evaporar un mol de un líquido. (Calor molar de evaporación)

POTENCIAL QUÍMICO - la energía libre de Gibbs para un mol de sustancia pura ().

8/4/2013 4

8/4/2013

3

Equilibrio líquido - gas

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Vapor_Pressure_Chart.png

Temperatura, °CDiagrama de Tensión de Vapor

Tens

ión

de V

apor

, at

mab

solu

ta

8/4/2013 5

Medidas de tensión de vapor

http://www.hasdeu.bz.edu.ro/softuri/fizica/mariana/Termodinamica/GasLaw/VaporPressureImage.GIF

Condiciones iniciales Aumento tensión de vapor Tensión de vapor constante

Agua líquida Agua líquida Agua líquida

Hg en el tubo

Hg en el tubo

Hg en el tubo

8/4/2013 6

8/4/2013

4

Derivación de ecuación de Claussius-Clapeyron

ln

(1)1

vapd P H

Rd T

Aplica a equilibrio líquido - gas y sólido - gas Dos fases en equilibrio, 1 y 2 ó y ó l y g

1 2fa s e fa s e

l g

s g

8/4/2013 7


2 1

A T y P constante en equilibrio la energía libre de Gibbs:

0 (3)g lG G G G G G G

: (5)

Es el potencial químico para una sustancia pura.

i ipero G

2 1

Energía libre de Gibbs molar:

0 (4)G G G

8/4/2013 8

8/4/2013

5


:

Para un mol de un líquido en equilibrio con el gas: l g

Interpretación

G G

Entonces, sustituyendo (5): en (4):

0 (6)

i i

l g l g l

G

G

8/4/2013 9

Cambio de fases

G H T S

dG dH d TS

dG dU d PV d TS

Cambio infinitesimal para mantener el equilibrio: G(T,P) y (T,P)

revdqdS

TCambio de fase es un proceso reversible:

dG dq dw PdV VdP TdS SdT

dG TdS PdV PdV VdP TdS SdT

(9)

l g

l l g g

l g

d d

d d

(10)dG VdP SdT

8/4/2013 10

8/4/2013

6

Equilibrio de fases a P y T

(14)

(15)

(16)

l g

l g

l l g gl m m m m g

g l g lm m m m

dG dG

d d

d S dT V dP S dT V dP d

S S dT V V dP

m

m

SdP

dT V

Ecuación de Claussius-Clapeyron

(17)Entonces

8/4/2013 11

Regla de Trouton (Entropía)La conversión de un mol de líquido a un mol de vapor viene acompañada por la variación en entropía que se puede expresar por la Regla de Trouton:

1 1

0 0

(19)n n

mvap l

n n

HH HS S S dn dn

T T T

(18)revq HS

T T

8/4/2013 12

8/4/2013

7

Regla de Trouton (Entropía)Sustituyendo (19) en Ecuación de Claussius-Clapeyron (17):

1(20)

pero, (21)vapidealvap l vap

dP S H

dT V T V

RTV V V V

P

, , ,

2

Sustituyendo (21) en (20):

1 1(22)m v m v m v

vap

H H H PdPRTdT T V T RT

P

,

2

Separando variables:

1ln (23)vapm v

v

HdP dT Hd P d TP R T R

8/4/2013 13

Ecuación de Claussius-Clapeyron modificada

,

2

Separando variables:

(23 )m v

v

HdP dTa

P R T

2

Integrando indefinidamente,

ln (23 )

1ln (24)

v

v

v

v

H dTP b

R T

HP C

R T

8/4/2013 14

8/4/2013

8

Interpretación gráfica

1/T

ln P

,

,

1ln m v

v

m v

HP C

R T

y m x b

Hm

R

vv

v

HS

T

8/4/2013 15

Aparato para medir tensión de vapor

Manómetro

Bulbo de seguridad

Sensor de presión

VálvulaManta de calentamiento

Matraz

Sensor de temperatura

Condensador

8/4/2013 16

8/6/2013

1

Constante de equilibrio de un ácido débil(Indicador visual)

Laboratorio Química Física IQUIM 4051


8/6/2013 1

Propósito

Determinar la constante de equilibrio de la disociación (Ka) de un indicador visual ácido-base utilizando medidas espectrofotométricas.

8/6/2013 2

8/6/2013

2

Representación de equilibrios

HA + H2O A- + H3O+

Ka =[A-] [H3O+]

[HA]

Ka = Kh

Kb

=[B] [H3O+]

[BH+]

BH+ + H2O B + H3O+

8/6/2013 3

Ejemplos de sustancias que absorben

Indicadores visuales rojo de metilo azul de bromotimol verde de bromocresol

Color característico depende de: Estructura en medio ácido o básico Ejemplo:

soluciones acuosas ácidas el rojo de metilo Existe como un ión zwitter con estructuras resonantes.

8/6/2013 4

8/6/2013

3

Estructuras resonantes de Rojo de Metilo

Ión switter

http://homepages.wmich.edu/~rossbach/bios312/LabProcedures/Methyl%20Red.jpg

HMR

MR-

(CH3)2 NN N

H

CO2

H OH

(CH3)2N N N

H

CO2

(CH3)2 NN

CO2

NN

CH3

CH3

N N

CO2

MR-

8/6/2013 5

Equilibrio y ecuación de Henderson-Hasselbach

2 (1)

(2)H Ina

HIn

HIn H O In H

H Ina aK

a HIn

El negativo del logaritmo a ambos lados de la ecuación:

log log log (3)

log log (4)

Ecuación de Henderson-Hasselbach

a

InK H

HIn

In InpKa pH pH pKa

HIn HIn

8/6/2013 6

8/6/2013

4

Determinación de Ka por espectrofotometría

In- y HIn tienen bandas de absorción en la región visible. (Absorben radiaciónelectromagnética).

Se determina la razón a diferentes pH’s

Se calcula Ka usando la Ecuación de Henderson-Hasselbach

In

HIn

8/6/2013 7

Fenómeno de absorción Radiación electro-

magnética a ciertalongitud de onda, .

Absorción por la muestra

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Beer%E2%80%93Lambert_law_in_solution.JPG8/6/2013 8

8/6/2013

5

Resultado de la Absorción de la radiación

Paso óptico

Rayo incidente, P0 Rayo transmitido, P

http://teaching.shu.ac.uk/hwb/chemistry/tutorials/molspec/beers1.htm

cromóforo

la intensidad del rayo incidente SE REDUCE al pasar a través de la muestra.

8/6/2013 9

Medidas de absorción en solución

Solución

cubeta

Rayo incidentede luz monocromática

8/6/2013 10

8/6/2013

6

http://www.vernier.com/images/innovate/137-graph_large.png

Espectro de absorción y su relación con la luz visible

Largo de onda

Abso

rben

cia

8/6/2013 11

Ley de Beer-Lambert

Establece la variación de la densidad óptica o absorbencia a un largo de onda () de luz incidente,

Donde: a = absortividad = absortividad molar b = paso óptico b = paso óptico c = concentración de la solución [C] = concentración molar

100

logI

A a b c A b CI

8/6/2013 12

8/6/2013

7

Instrumentación

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Spetrophotometer-en.svg

cubeta

muestra amplificador

monocromador

Rejillas ajustablesFuente

de radiación

fotoresistor registro

8/6/2013 13

Desviaciones de la Ley de Beer

abso

rben

cia

Largo de onda concentración8/6/2013 14

8/6/2013

8

Absorbencia vs concentración

abso

rben

cia

Largo de onda, max

concentración

+

-

x

8/6/2013 15

Curva de calibración

concentración

abso

rben

cia HMR o MR-

y m x b

A b c b

x

cx

Ax

0

8/6/2013 16

8/6/2013

9

Absorbencia individual a pH extremos

abso

rben

cia

Largo de onda,

In− HIn

12 : (11)In In

pH A In

básica ácida

2 : (10)HIn HInpH A HIn

Forma básica

Forma ácida

8/6/2013 17

En máx de HIn & In-

Para determinar se hacen curvas de calibración a pH's extremos.

(12)

(13)

j

HIn HIn In In

HIn HIn In In

i

HIn HIn HIn HIn

In In In In

A HIn A HIn

A In A In

HIn In

8/6/2013 18

8/6/2013

10

Curva de calibración a pH’s extremos

concentración

abso

rben

cia

In-

HIn = 520 nm

= 520 nm

In-

HIn

= 425 nm

= 425 nm

Absorbencia se mide en los max de las formas básicas y ácidas

8/6/2013 19

Absorbencia total para mezcla

(6)

Ley de Beer-Lambert

(7)

TOT HIn In

TOT HIn HIn In In

A A A

A a b c a b c

(8)

1

(9)

TOT HIn In

TOT HIn In

A b HIn b In

b

A HIn In

8/6/2013 20

8/6/2013

11

Absorbencia mezclas a pH intermedios

abso

rben

cia

Largo de onda,

aIn− b

In HIn

(14)

(15)

HIn HIn HIn

In In In

total HIn In

total HIn In

A HIn In

A HIn In

HIn

8/6/2013 21

Evaluación de [In-]/[HIn] vs pH

log log (16)

(17)In HIn HIn In

HIn In In HIn

a a

total HIn Total HIn

total TotalIn In

InpH pK pK Q

HIn

In A AQ

HIn A A

8/6/2013 22

8/6/2013

12

log

InpK a pH

H In

pH

log

In

HIn

pKa = intecepto

Evaluación gráfica de [In-]/[HIn] vs pH

8/6/2013 23

HIn

In-

HIn

In-HIn

Evaluación de Q por Determinantes de Cramer

520 520

425 425 (17)HIn In

HIn In

520 520 520 520

425 425 425 425

520 520

425 425

Concentración de la especie ácida:

(18)

Tot TotIn In

Tot TotIn In

HIn In

HIn In

A A

A AHIn

8/6/2013 24

8/6/2013

13

In-


520 520 520 520

425 425 425 425

520 520

425 425

Concentración de la especie básica:

(19)

HIn Tot HIn Tot

HIn Tot HIn Tot

HIn In

HIn In

A A

A AIn

In-

HIn

In-HIn

520 520

425 425 (17)HIn In

HIn In

8/6/2013 25


520 520 520 520

425 425 425 425

520 520

425 425

520 520 520 5

425 425

520 520

425 425

Especie básica:

(19)

Especie ácida:

HIn Tot HIn Tot

HIn Tot HIn Tot

HIn In

HIn In

Tot TotIn In

Tot In

HIn In

HIn In

A A

A AIn

A A

AHIn

20

425 425

(18)Tot In

A

8/6/2013 26

8/6/2013

14

Resultado de la ecuación simultánea

520 520

425 425

520 520

425 425

Razón de concentraciones de básica a la ácida:

(20)In HIn HIn In

HIn In In HIn

HIn Tot

HIn Tot total HIn Total HIn

Tot total TotalIn In In

Tot In

AIn A A A

QHIn A A A

A

8/6/2013 27

Parámetros termodinámicos0

298

0

2

ln (21)

Determinación de otros parámetros termodinámicos:

ln(Ecuación de Van't Hoff) (22)

G RT K

K H

T RT

0298

0 0 0

Separando variables e integrando definidamente:

ln ln(23)

1 1298

(24)

TK K H

RT

G H T S

8/6/2013 28

1

Conductancia eléctrica

Lalboratorio de Química Física I

QUIM 4051


http://www.usm.maine.edu/chy/manuals/114/text/Conduct.html

8/6/2013 1

Clasificación de Electrolitos

Electrolitos fuertes

Ácidos fuertes Bases fuertes Sales

Electrolitos débiles

Ácidos débiles Bases débiles

8/6/2013 2

8/6/2013

2

Propósitos

En un intervalo de concentración se determinará la conductancia de: un electrolito fuerte (NaCl)

un electrolito débil (HAc)

una sal poco soluble (MnXm)

Se calculará: grado de ionización de HAc, constante de ionización de HAc, Ka

solubilidad de sal poco soluble. sM

8/6/2013 3

Definición de conductancia

Recíproco de Resistencia

Flujo de: electricidad

Electrones

Migración de iones

8/6/2013 4

8/6/2013

3

Clasificación de sustancias

Depende del comportamiento con respecto a un flujo de corriente.

Conductores

Semiconductores

Aisladores

8/6/2013 5

Conducción de corriente eléctrica

Clasificación:

conducción electrónica (metálica)

semi-conductores - conducción huecos (hoyos)

Conducción electrolítica

8/6/2013 6

8/6/2013

4

Conducción electrónica (metálica)

Resulta de la movilidad de los electrones

Ocurre en sólidos (metales iónicos), metales derretidos

Consiste del movimiento (flujo) de electrones bajo la influencia de una diferencia en potencial.

los átomos o iones de la red cristalina no participan en el proceso de conducción.

8/6/2013 7

Semi-conductores

Los electrones que se localizan en banda sin llenar, separada de la banda ocupada por energía del orden kT (intrínseca o extrínseca)

8/6/2013 8

8/6/2013

5


soluciones de electrolitos fuertes y débiles, sales fundidas y algunas sales sólidas.

el flujo de electricidad se debe a: flujo de electrones

La migración de iones positivos y negativos hacia el electrodo. incluye una transferencia de carga eléctrica de un

electrodo a otro

transferencia de materia.

Se observan cambios químicos de los electrodos.

soluciones de electrolitos fuertes y débiles, sales fundidas y algunas sales sólidas.

el flujo de electricidad se debe a: flujo de electrones

La migración de iones positivos y negativos hacia el electrodo. incluye una transferencia de carga eléctrica de un

electrodo a otro

transferencia de materia.

Se observan cambios químicos de los electrodos.

8/6/2013 9


la resistencia al flujo dependerá de: la distancia, (l) entre los electrodos

el área, (A) de los electrodos.

La resistencia para un material es: directamente proporcional a su longitud l

inversamente proporcional al área seccional A del conductor distancia entre los electrodos, l, área expuesta de los

electrodos A

lAR k

l A

'AlL k

8/6/2013 10

8/6/2013

6

Celdas para medir conductancia

http://www.topac.com/conductivityprobes.html

desconocido

interruptor

batería

Resistencia variable(Caja de Resitencia estándard)

B Soluciónexperimental

Celda de Conductancia

Fuente de Corriente Alterna

8/6/2013 11

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Electrical_conductivity_meter.jpg

8/6/2013 12

8/6/2013

7

Factores que afectan la conducción

concentración

grado de ionización

naturaleza de iones

temperatura (es importante controlarla)

8/6/2013 13

Definiciones generales Ohmnio (Ω): unidad de resistencia que representa la

resistencia a 0EC de una columna de mercurio que mide 106.3 cm de largo y pesa 14.4521 g.

Amperio (AMP): unidad de corriente (i)

Voltio (V): es la unidad de expresión de fuerza electromotriz (emf) que representa el potencial necesario para pasar una corriente de un amperio a través de una resistencia de un ohmnio.

8/6/2013 14

8/6/2013

8

Definiciones generales (continuación) Conductancia específica (κ): conductancia de un mL de

solución (κ = L [l / A]) donde: L - conductancia observada

A - área del electrodo

l - distancia entre los electrodos

Unidades: (ohm-1 cm-1 ) ó mho cm-1

ohm-1 = siemens (S) - en el sistema internacional

Conductancia molar (ΛM): conductancia de una cantidad de solución que contenga un peso por mol de electrolito colocado entre dos electrodos apartados por un cm (a lados opuestos de volumen dado).

8/6/2013 15

Ecuaciones útiles

Relación entre conductancia y resistencia

resistenica específica (ohm-cm)

k – constante de la celda

Conductancia

- conductancia específica (ohm-cm)-1

k’ = (k)-1

Ley de Ohm

1 1(1)

l lR k

L A A

lAk

' (2)A

L kl

(3)E I R

8/6/2013 16

8/6/2013

9

Conductancia molar:

Conductancia molar (para un mol de iones)

Kohlraush Suma de conductancias molares límites de cationes y

aniones a dilución infinita

conductancia específica(4)

concentraciónM M

0 0 0 (5)

8/6/2013 17

Conductancia molar: (continuación

Kohlraush para electrolitos fuertes es lineal.

donde b y 0 son constantes y C es la concentración molar

(C)1/2

NaCl

HAc

0

1/20 (6)b C

8/6/2013 18

8/6/2013

10

Conductancia molar y sus usos

Grado de disociación de ácido débil

Constante de ionización de ácido débil

2

00 0

(8)a

HAc HAc

HAcK

0(7)HAc

HAc

8/6/2013 19

Conductancia a dilución infinita; electrolito débil

Cálculo de 0 para HAc

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

HAc H Ac

NaCl Na Cl

HAc NaCl H Ac Na Cl

HAc NaCl HCl NaAc

0 0 0 0HAc HCl NaAc NaCl

8/6/2013 20

8/6/2013

11

Derivación de la ecuación # 8

2

00 0

2

00

0 0

0

(8 )a

H A c H A c

a

H A c

H A c

H A cK

H A c xK

H A c xH A c H

H x

H A c H A c

x H A c

8/6/2013 21

Derivación de la ecuación # 8

2

00

0 0

H A c

H A c

H A cH A c

a H A c H A cK

20

0

H A c H A c

H A c

2

20 00

200

1

0

1

H A c

H A c

H A cH A c

H A cH A c

H A cH A c

aK

0

0H A c

H A c

2

00 0

(8 )a

H A c H A c

H A cK

8/6/2013 22

8/6/2013

12

Relación de valor experimental, L con M

Para un mol por litro (M = 1mol/L) en una distancia de un cm (l = 1 cm)

El factor de 1000 convierte unidades de área de dm2

a unidades de cm2 según la ecuación (10):1

3

1 3 32 -1

3 3

( )

( )

( ) 10mho cm mol (10)

( ) 1

m

m

mho cm

M mol dm

mho cm cmx

M mol dm dm

1000(9)

AL A

l M

8/6/2013 23

Determinación de concentración

Para soluciones diluídas Corregir por disolvente (agua en este caso)

Sólido poco soluble

2 0

1000(11)H OM

2 0

1000(12)H O

sólido

M

8/6/2013 24

8/6/2013

1

1

Termodinámica de una celda

electroquímicaÁnodo(-) cátodo(+)

Placa porosa

Amalgamade Zn (6%)

Amalgama de Pb (6%)

8/6/2013

2

Propósito

Medir fuerza electromotriz de una celda a diferentes temperaturas y calcular: ΔH,

ΔS

ΔG.

8/6/2013

8/6/2013

2

3

Definiciones

Celda Electroquímica:

– Transforma energía eléctrica de reacción en trabajo eléctrico (we).

– Utiliza el ΔG de un proceso químico o físico para producir we .

8/6/2013

4

Definiciones: Trabajo eléctrico

Trabajo eléctrico: (1a)(1b)

Equivalente de corriente: (2)

Donde: T = 96,490 coulombios/equivalente de e− = 96,490 coul/mol e−

dn = número de moles de electrones transferidos.

Sustitiyendo (2) en (1):

(3)

(4)elec

elec

dw dn

w n

elec

elec

dw E dQ

w E Q

dQ dn

8/6/2013

8/6/2013

3

5

Relación de Gibbs con potencial eléctrico

(5)

(6)

G H TS

dG dH TdS SdT

(9)

(10)

dG dU PdV VdP TdS SdT


(7)

(8)

H U PV

dH dU PdV VdP

8/6/2013

6


A T y P constantes la ecuación (10):

dG dq dw PdV V dP TdS S dT (10)

(11)dG dq dw PdV TdS

max

Cancelando términos con :

(14)

dS

dG dw PdV

max

max

Para procesos reversibles la (11) es:

(12)

(13)revdG dq dw PdV TdS

dG TdS dw PdV TdS

8/6/2013

8/6/2013

4

7


max

max

max exp

(14)

(15)

Pero

(16)elec mag

dG dw PdV

G w P V

dw dw dw dw

max

exp

Sustituyendo (16) en

(17)

asumiendo es descartable

elec mag

elec elec

mag

dG dw PdV

dG dw dw dw PdV

dG PdV dw PdV dw

dw

8/6/2013

8

Parámetros termodinámicoscantidad de trabajo útil ( .#3) (18)

(19)elec

elec

dG dw Edn ec

G w n E

Por lo tanto:

(21)

(22)

P T

P T

G GS y V

T P

G GS y V

T P

Por definición (ecuación fundamental):

(20)dG SdT VdP dG d SdT VdP

8/6/2013

8/6/2013

5

9

Entropía y Entalpía Según (22), derivando con respecto a T

(23)P P

G n E

G ES n

T T

Para entalpía:

(24)H G T S Sustituyendo (19) y (23) en (24):

(25)P

EH n T n

T

8/6/2013

Resultados experimentales

10

298

P

E S

T n

E

T8/6/2013

8/6/2013

6

11

Potencial Químico

constante

:

dG d SdT VdP

d VdP a T

RTgas ideal d dP

P

0

0 0

0

:

ln

1

ln ln

ln

f f

i i

P

ff i

iP

i i i

f i f i

i i i

Integrando

PdPd RT RT

P P

Para P

RT P RT P

RT a

8/6/2013

12

Potencial Químico y Reacción Química

0 ln (26)

Reacción química:

Productos Reactivos

i i i

i i i ii i

RT a

aA bB cC dD

n G G G

0 0

0 0

ln ln

ln ln

D C A B

D D C C

A A B B

G d c a b

G d RT a c RT a

a RT a b RT a

0 0 0 0

0

ln

ln

d cD C

D C A B a bA B

a aG d c a b RT

a a

G G RT Q

8/6/2013

8/6/2013

7

13

Ecuación de Nernst

0

0

Potencial químico definido como:

ln (26)

Asociado a G para mas de un mol y varias especies

ln (27)

donde es: (28)

i i i

d cD Ca bA B

RT a

G G RT Q

a aQ Q

a a

0

0

Sustituyendo ( #19) en:

ln (22)

ln (29)

G n ec

G G RT Q

n n RT Q

8/6/2013

14

Ecuación de Nernstcontinuación

0

0

Dividiendo (29) entre - a ambos lados

ln (30)

0.059log para T=298 (31)

n

RTE E Q

n

E E Qn

0 ln (29)n E n E RT Q

Ecuación de Nernst

8/6/2013

8/6/2013

8

15

Nernst, equilibrio y entalpía

0

0

Para sistema en equilibrio 0, = 0 y la

ecuación (31) para equilibrio es:

0.0590 log (32)

0.059log (33)

G E Q K

E Kn

E Kn

0

La ecuación de Van't Hoff para equilibrio relaciona a H:

1log (34)

2.303


0.059(35)

2.303

HK C

R T

HE C

n RT

8/6/2013

16

Criterios de espontaneidad Presión constante:

ΔG < 0 Ε > 0 espontanea

ΔG > 0 Ε < 0 no - espontanea

ΔG = 0 Ε = 0 equilibrio

8/6/2013

8/6/2013

9

17

Celda termodinámica

Zn(Hg) + PbSO4(s) º ZnSO4(0.02M) + Pb(Hg)

Representación convencional:Zn (Hg)* ZnSO4(0.02M) **PbSO4(s) *Pb(Hg)

Ánodo(-) cátodo(+)

Placa porosa

Amalgamade Zn (6%)

Amalgama de Pb (6%)

8/6/2013

8/6/2013

8/6/2013

1

Equilibrio Heterogéneo

Diagrama de fases de una mezcla binaria

Laboratorio de Química Física I

QUIM 4051Ileana Nieves Martínez

8/6/2013 1

PropósitoDeterminar para un sistema binario sólido-líquido:

– las curvas de enfriamiento para construir el diagrama de fases (Tvs xi)

– la composición (xe) y temperatura eutéctica (Te).

– la entalpía de fusión de cada componente (ΔHf).

8/6/2013 2

8/6/2013

2

Equilibrio de fases de sustancias purasSistema homogéneo - una sola fase; unidades en composiciónquímica y estado físico.

Sistema heterogéneo - Varias fases física y químicamentediferentes se separan mecánicamente.

Fase - parte uniforme de un sistema en composición química ypropiedades físicas separadas por superficies límites.

Número de fases de un sistema, (P) - número de regioneshomogéneas diferentes caracterizadas por propiedadesintensivas definidas y separadas una de las otras por fronteras.

8/6/2013 3

Equilibrio de fases de sustancias purasComposición o Componente, (C):– Es el número:

• de especies químicamente diferentes necesarias para describir lacomposición de cada fase. Componente varía su composición en formaindependiente.

• mínimo o menor de sustancias en función de las cuales se puedendescribir separadamente la composición de cada una de las fases delsistema.

– sustancia (s) = componente (C) si no hay reacción entre sí. • # componentes (C) < # de sustancias (s) si hay reacción.

–• # sustancia(s) # ecuaciones de equilibrio(n) # condiciones iniciales o

de estequiometría o condiciones de electroneutralidad (m),

– (i.e.: soluciones iónicas)

C s n m

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3

Equilibrio de fases de sustancias purasEjemplo de cálculo de # componentes: HCN en H2O– H2O, HCN, H+, OH-, CN- 5 sustancias (s)

– H2O º H+ + OH- 2 equilibrios (n)

– HCN º H+ + CN-

– X(H+) = X(CN-) + X(OH-) 1 ecuación de electroneutralidad (m)

– C = 5 2 1 = 2

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Equilibrio de fases de sustancias puras

Número de grados de libertad o Varianza, (F):

– número mínimo de variables intensivas independientes, (P, T, concentración) que deben especificarse para poder describir completamente el estado del sistema.

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8/6/2013

4

F = C P + 2

– C componentes en P fases

– F = # de variables independientes intensivas (varianza).

Regla de fases de Willard Gibbs

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P1

C2

C1

Cc

C3

Determinación de Variables de composición – (C 1) ya que 3xi = 1 en una fase.

– En P fases: P(C 1) = Variables de composición

Derivación de la Regla de fases de Gibbs

P2 P3

C2

C1

Cc

C3

C2

C1

Cc

C3

C2

C1

Cc

C3

C2

C1

Cc

C3

C2

C1

Cc

C3

PP-1 PP8/6/2013 8

8/6/2013

5

Regla de fases de Willard GibbsDeterminación de Variables de composición – (C 1) ya que 3xi = 1 en una fase.

– En P fases: P(C 1) = Variables de composición

Variables intensivas adicionales: T, P

Variables totales intensivas:– P(C 1) + 2

– Si Temperatura o Presión se mantiene constante • (C 1)P + 1 ya que las fases están en equilibrio.

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Estados de equilibrio:– P 1 ecuaciones de equilibrio para un componente.

– C(P 1) ecuaciones de equilibrio para C componentes

Regla de fases de Willard Gibbs

P2P1

C1C1

P2

C2

Cc

C3

P1

C2

Cc

C3

P2P1 P3

C2

C1

Cc

C3

C2

C1

Cc

C3

C2

C1

Cc

C3

C2

C1

Cc

C3

C2

C1

Cc

C3

PP-1 PP8/6/2013 10

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Regla de fases de Willard GibbsVariables totales (extensivas e intensivas):– P(C 1) + 2

Estados de equilibrio:– C(P 1)

Varianza o grados de libertad (F):

– F = # de variables # de ecuaciones

– F = P(C 1) + 2 - C(P 1)

F = C P + 2

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Ejemplos Regla de Fases

Puntocrítico

Punto tripleSólido

Líquido

Diagrama de Fases (T,P)

Un componente:– C = 1 F = C – P + 2 = 3 – P

• P = 1 F = 2 bivariante; T, P

• P = 2 F = 1 univariante; T ó P

• P = 3 F = 0 invariante, pto. triple

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8/6/2013

7

Ejemplos Regla de FasesPolimorfismo

https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQKsTW4FQdhpaoWBZbkNpuRI3hrHq2uqaWVkDwtc37GQCUeahHM

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Ejemplos Regla de FasesPolimorfismo: – asufre (alotropía - elemento): rómbico y monoclínico

Diagrama de fases de asufre (S8)

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8/6/2013

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Ejemplos Regla de FasesAnálisis termal: curvas de enfriamiento a P constante.– En transición de fase se libera calor debido a ΔH y la rapidez de

enfriamiento disminuye.• F = C P + 2 = 1 2 + 2 = 1

• F = 0 a P constanteT

tiempo

En mezcla binaria las curvas de enfriamiento sirven para determinar el punto de congelación de una serie de soluciones líquidas (mezclas) que varían su composición desde A puro hasta B puro.

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Diagrama de fases para mezclas

Puntocrítico

Punto tripleSólido

Líquido

xi8/6/2013 16

8/6/2013

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Curvas de enfriamiento y diagrama de fases de mezcla binaria

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Digrama de fases de mezcla binaria

l

p

q

s

X

T

B

I

II

IV

III

A

B

ECD

l

p

q q'

s

t

T

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8/6/2013

10

Curva de enfriamiento mezcla binarial

p

q q'

s

t

T p depende de x pq disminuye T → Te qq’ aumenta T → Te Tcongelación de A disminuye

cuando xB aumenta. Te = la temperatura más

baja que existe la faselíquida.

xe = fácil de derretir

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Digrama de fases de mezcla binaria

l

p

q

s

X

T

B

I

II

IV

III

A

B

ECD

F = C – P + 1 F = 3 – P

P = 1

P = 2

P = 2

P = 2

sol'nAAC s

Rica en A se separa

sol'nBBC s Rica en B se separa

'As sol n

sol'nBs

A Bs s

P = 3 'A Bs s sol n

'sol n

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0 1

0

Para transición de fase 0

ln ln1

m m m

P

m m

m

dG V dP S dT d

dT

RT dPd V dP dP d RT dG

P P

PRT RT P G

Relaciones Termodinámicas y potencial químico

dG dH d TS dU d PV d TS


dG TdS PdV PdV VdP TdS SdT

dG VdP SdT

Equilibrio de fases

Ecuación fundamental

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Potencial químico para sistemas binarios0

0

0

ln ln1

ln para gases

ln para soluciones

PRT RT P

RT P

RT x

0ln

0ln

Para sistema binario equilibrio sólido-líquido se expresa:

( , ) ( , ) ln (1)

Despejando por ln :

( , ) ( , ) ( , )ln (2)

liqso solido

liqso solido m

T P T P RT x

x

T P T P G l sx

RT RT

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12

Ecuación para determinar parámetros eutécticos0

ln

,

( , ) ( , ) ( , )ln (2)

Derivando con respecto a a ambos lados

ln 1(3)

liqso solido m

C m

P

P

T P T P G l sx

RT RTT

GTx

T R T

,

,

2

El término de la derecha se relaciona a la ecuación de Helmholtz:

(4)

C m

C m

P

GT H

T T

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Ecuación para determinar parámetros eutécticos

0

ln ,

21

Separando variables e integrando definidamente:

1ln (6)

donde se representan las temperaturas de congelación por:

= sólido puro

= solución a fracción molar

x T C m

T

o

Hd x dT

R T

T

T x

,

2


ln(5)C m

P

Hx

T RT

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13

Interpretación gráfica

,,

0

1 1 1 1ln (7)f mC m

f

HHx

R T T R T T

ln x

1/T1/Te

ln xe

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BienBienvveenidosnidos y y BienvenidasBienvenidas · si 150 tiene 2 cifras significativas entonces...

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