Ứng dụng biến đổi Fourier phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số

Giáo trình lý thuyết mạch đã nghiên cứu biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục. Chương này trình bầy biến đổi Fourier của dãy số và ứng dụng của nó để phân tích phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số.

3.1 Biến đổi Fourier của dãy số

3.1.1 Biến đổi Fourier thuận3.1.1a Định nghĩa : Nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện :

∑n=−∞

∞

|x (n )| < ∞[3.1-1]

thì sẽ tồn tại phép biến đổi Fourier như sau :

X ( e jω) = ∑n=−∞

∞

x (n) e− jω.n

[3.1-2]Biến đổi Fourier đã chuyển dãy số x(n) thành hàm phức X(ej), [3.1-2] là

biểu thức biến đổi Fourier thuận và được ký hiệu như sau :FT [ x (n) ] = X (e j∞ ) [3.1-3]

hay : x (n ) F⃗T X (e j∞ ) [3.1-4]

(FT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Fourier Transform). Ký hiệu X(ej) để phân biệt phép biến đổi Fourier của dãy số x(n)

FT [ x (n) ] = X (e j∞ ) với phép biến đổi Fourier của hàm liên tục x(t) :

FT [ x ( t )] = X

⋅¿(ω ) = ∫−∞

∞

x ( t ). e− jωt dt

¿.Biểu thức biến đổi Fourier của dãy số x(n) [3.1-2] là suất phát từ biểu

thức biến đổi Fourier của hàm liên tục x(t), vì khi hàm dưới dấu tích phân là dãy rời rạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng .

Do tính chất tuần hoàn của hàm mũ ej, nên X(ej) là hàm tuần hoàn của biến với chu kỳ 2 :

X ( e j(ω+k . 2 π )) = ∑n=−∞

∞

x (n) e− j(ω+k . 2 π ). n = ∑n=−∞

∞

x (n) e− jω. n = X (e jω)

Điều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số X(ej) của các dãy rời rạc x(n) với (- , ) hoặc ( 0 , 2 ).

Sử dụng biến đổi Fourier cho phép nghiên cứu phổ của tín hiệu số và đặc

tính tần số của hệ xử lý số. Nếu x(n) là tín hiệu số thì FT [ x (n) ] = X (e j∞ ) là phổ của

tín hiệu x(n), còn với h(n) là đặc tính xung của hệ xử lý số thì FT [h(n ) ] = H (e j∞ ) là đặc tính tần số của hệ xử lý số. 3.1.1b Sự tồn tại của biến đổi Fourier

Theo định nghĩa, biến đổi Fourier thuận [3.1-2] chỉ tồn tại nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện khả tổng tuyệt đối [3.1-1]. Điều đó có nghĩa là, nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện [3.1-1] thì chuỗi [3.1-2] sẽ hội tụ về hàm X(ej), nên x(n) tồn

tại biến đổi Fourier. Ngược lại, nếu dãy x(n) không thoả mãn điều kiện [3.1-1] thì chuỗi [3.1-2] sẽ phân kỳ, vì thế hàm X(ej) không tồn tại và x(n) không có biến đổi Fourier.

Các tín hiệu số x(n) có năng lượng hữu hạn :

Ex = ∑n=−∞

∞

|x (n )|2 < ∞[3.1-5]

luôn thỏa mãn điều kiện [3.1-1] , do đó luôn tồn tại biến đổi Fourier.Ví dụ 3.1 : Hãy xét sự tồn tại và tìm biến đổi Fourier của các dãy sau :

a. u(n ) b. 2nu(n ) c. 2

−nu(n )

d. δ (n ) e. δ (n−k ) f. rect N (n )

Giải : a.∑

n=−∞

∞

|u( n)|= ∑n=0

∞1 = ∞

Hàm u(n) không thoả mãn [3.1-1] nên không tồn tại biến đổi Fourier.

b.∑

n=−∞

∞

|2nu( n)|= ∑n=0

∞2n = ∞

Hàm 2nu(n) không thoả mãn [3.1-1] nên không tồn tại biến đổi Fourier.

c.∑

n=−∞

∞

|2−nu (n)|= ∑n=−0

∞2−n = 1

1−2−1= 2

Hàm 2-nu(n) thoả mãn [3.1-1] nên tồn tại biến đổi Fourier :

FT [2−nu(n ) ] = ∑n=−∞

∞

2−nu (n) .e− jω .n = ∑n=0

∞2−ne− jω.n = ∑

n=0

∞(2−1 . e− jω ) n

Vậy :FT [2−n u(n ) ] = 1

1−¿2−1 . e− jω= 1

1−0,5e− jω¿

[3.1-6]

d.∑

n=−∞

∞

|δ (n )| = 1

Hàm (n) thoả mãn [3.1-1] nên tồn tại biến đổi Fourier :

FT [δ (n) ] = ∑n=−∞

∞

δ (n ).e− jω .n = 1.e− jω0 = 1[3.1-7]

e) Chuỗi [3.1-1] đối với (n - k) hội tụ nên nó có biến đổi Fourier :

FT [δ (n−k ) ] = ∑n=−∞

∞

δ(n−k ) . e− jωn = e− jkω

[3.1-8]

f.∑

n=−∞

∞

|rect N (n )|= ∑n=0

N−1

1 = N < ∞

Hàm rect N(n) thoả mãn [3.1-1] nên tồn tại biến đổi Fourier, :

FT [rect N (n ) ] = ∑

n=−∞

∞rectN (n) . e− jωn = ∑

n=0

N−1

(e− jω )n = 1−e− jω N

1−e− jω[3.1-9]

Có thể thấy rằng, các dãy có độ dài hữu hạn luôn tồn tại biến đổi Fourier, còn các dãy có độ dài vô hạn sẽ tồn tại biến đổi Fourier nếu chuỗi [3.1-1] của nó hội tụ.3.1.1c Các dạng biểu diễn của hàm X(ej)

Vì X(ej) là hàm phức, nên có thể biểu diễn nó dưới các dạng, phần thực và phần ảo, mô đun và argumen, độ lớn và pha.

1. Dạng phần thực và phần ảo

X ( e jω) = X R(ω)+ j X I (ω ) [3.1-10]Theo công thức Euler có :

X ( e jω) = ∑n=−∞

∞

x (n) e− jω.n = ∑n=−∞

∞

x (n) [cos (ω . n)− j sin(ω .n )][3.1-11]

Hàm phần thực : X R(ω ) = Re[ X (e jω )] = ∑

n=−∞

∞

x (n ). cos (ω . n)[3.1-12]

Hàm phần ảo : X I(ω) = Im [ X (e jω) ] = − ∑

n=−∞

∞

x (n) . sin(ω . n)[3.1-13]

2. Dạng mô đun và argumen

X ( e jω) = |X (e jω)|. e jϕ (ω)[3.1-14]

Mô đun : |X (e jω)|= √ X R2 (ω )+¿ X I

2 (ω ) ¿ [3.1-15]

Argumen : ϕ(ω) = Arg [ X (e jω)] = arctg [ X I(ω)

XR(ω ) ] [3.1-16]X(ej) được gọi là hàm biên độ tần số, nó là hàm chẵn và đối xứng qua

trục tung : X(ej)=X(e- j)() được gọi là hàm pha tần số, nó là hàm lẻ và phản đối xứng qua gốc

toạ độ : () = - (-).3. Dạng độ lớn và pha

X ( e jω) = A (e jω) . e jθ(ω) = |A (e jω)|. e jϕ (ω)[3.1-17]

Hàm độ lớn A(ej) có thể nhận các giá trị dương hoặc âm, và :

|A( e jω)|= |X (e jω)| [3.1-18]

Còn : Arg [ A (e jω)] + θ(ω) = ϕ(ω) [3.1-19]

Hàm pha : θ(ω) = ϕ(ω ) − Arg [ A (e jω) ] [3.1-20]

Với Arg [ A (e jω)]phụ thuộc vào dấu của hàm A (e jω)như sau :

Arg [ A (e jω )] = ¿ { 0 Khi A (e jω ) ≥ 0 ¿ ¿¿Một cách tổng quát, có thể viết :

H (e jω) = FT [ h(n ) ] = ∑n=−∞

∞

h( n) . e− jω .n

Theo [3.1-20] , có thể biểu diễn hàm pha () dưới dạng như sau :

H (e jω) = FT [ h(n ) ][3.1-21]

Ví dụ 3.2 : Hãy xác định các hàm phần thực và phần ảo, mô đun và argumen, độ

lớn và pha của hàm tần số X ( e jω) = FT [ x (n ) ]

Giải : Theo [3.1-11] có : Y (e jω) = FT [ y (n) ] = FT [ x (n )∗h (n) ]

Hàm phần thực : Y (e jω) = X ( e jω). H (e jω)

Hàm phần ảo : H (e jω) = Y ( e jω)X (e jω)

Mô đun : h( n) = IFT [H (e jω) ] = 1

2 π ∫−π

π

H (e jω). e jω . n dω

Argumen : ϕ(ω) = −arctg [cos(2 ω ). sin(ω)

cos(2 ω ). cos (ω ) ] =−ω

Hàm độ lớn : |H (e jω)| = |Y (e jω)||X (e jω)|

Hàm pha : Arg [ H( e jω )] = Arg [Y (e jω) ] − Arg [X (e jω) ]

3.1.1d Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi ZTheo biểu thức định nghĩa [2.1-1] của biến đổi Z có :

x (n ) = 2−nu(n ) , với X ( e jω) = FT [2−nu(n ) ] = 1

(1−¿0,5 e− jω)¿

Biểu diễn số phức z theo tọa độ cực : z = r.ej với |z|= r và arg [z] =

Vậy : y (n ) = 6. 2−nu(n−¿1 )−¿2δ (n−¿1 ) = 6 .2−12−(n−1)u (n−¿1 )−¿2 δ(n−¿1) ¿¿¿¿¿¿Khi |z|= r = 1 thì z = ej , nên nhận được :

Y (e jω) = FT [ 6. 2−1 2−(n−1 )u(n−¿1 )−¿2 δ (n−¿1 )] = 3 . e− jω

(1−¿0,5 e− jω)−¿2 e− jω ¿¿¿¿¿

[3.1-22]Theo [3.1-22] thì biến đổi Fourier chính là biến đổi Z khi z nằm trên

vòng tròn đơn vị | z | = 1 , nghĩa là biến đổi Fourier là một trường hợp riêng của biến đổi Z.

a. Y (e jω) = 3.e− jω−¿2 e− jω+e− j2 ω

(1−¿0,5e− jω)=¿ e− jω+e− j2 ω

(1−¿0,5e− jω)¿¿¿¿ , tồn tại FT b. H (e jω ) = Y ( e jω )

X (e jω )= ( e− jω+e− j 2ω)(1 −¿0,5 e− jω )

(1−¿0,5 e− jω )¿¿ , không tồn tại FT

Hình 3.1 : Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z

Từ hình 3.1a thấy rằng, nếu hàm X(z) hội tụ trên vòng tròn đơn vị | z | = 1 thì chắc chắn dãy x(n) tồn tại biến đổi Fourier, và ngược lại. Từ hình 3.1b, nếu hàm X(z) không hội tụ trên vòng tròn đơn vị |z| = 1, thì dãy x(n) sẽ không tồn tại biến đổi Fourier, và ngược lại.

Hàm bậc thang đơn vị u(n) là một ví dụ : Hàm H (e jω ) = e− jω+e− j2 ω có

h (n ) = IFT [H ( e jω ) ] = δ (n−¿1)+δ (n−2) = rect 2 (n−1) ¿, do U(z) không hội tụ trên vòng tròn đơn vị | z | = 1 nên u(n) không có biến đổi Fourier, câu a ví dụ 3.1 đã chứng minh điều đó.

3.1.2 Biến đổi Fourier ngượcBiến đổi Fourier ngược cho phép tìm dãy x(n) từ hàm ảnh X(ej). Để tìm

biểu thức của phép biến đổi Fourier ngược, xuất phát từ biểu thức Fourier thuận [3.1-2] :

H (e jω) = e− jω+e− j2 ω = e− j1,5 ω( e j0,5 ω+e− j 0, . 5 ω) [3.1-23]Nhân cả hai vế của [3.1-23] với ej.m rồi lấy tích phân trong khoảng (- ,

) , nhận được :

H (e jω ) = 2.cos (0,5ω )e− j1,5 ω

Vì : |H (e jω)| = 2.|cos(0,5ω )|

Nên : ϕ(ω ) = −1,5 ω

Từ đó suy ra biểu thức của phép biến đổi Fourier ngược :

h (n ) = rect 2 (n−¿1) ¿[3.1-24]

Phép biến đổi Fourier ngược được ký hiệu như sau :

x (n ) = 2−nu(n ) [3.1-25]

Hay :H (e jω) = FT [ h(n ) ] = ∑

n=−∞

∞rect

2(n−¿1)e− jωn ¿

[3.1-26]

(IFT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Inverse Fourier Transform).Biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-23] và biểu thức biến đổi Fourier

ngược [3.1-24] hợp thành cặp biến đổi Fourier của dãy số x(n).

Ví dụ 3.3 : Hãy tìm tín hiệu số x(n) có hàm phổ là H (e jω) = ∑n=1

2

e− jωn = e− jω+¿e− j 2ω ¿.

Giải : Theo [3.1-24] có : x (n )= 1

2 π∫−π

π

cos (ω ). e− j 2ω .e jω. n dω

Y (e jω) = X (e jω) . H (e jω) =¿ 1

(1−¿0,5 e− jω ).(e− jω+¿e− j2 ω)¿¿¿

Y (e jω) = e− jω 1

( 1−¿0,5 e− jω )+ e− j2 ω 1

( 1−¿0,5 e− jω )¿¿

y (n ) = IFT [ Y (e jω)] =¿ 0,5(n−1)u(n−¿1) + 0,5(n−2)u( n−¿2 ) ¿¿¿y (n ) = 2.2−n u(n−¿1) + 22 2−n [u(n−¿1)−δ( n−¿1) ] ¿¿¿y (n ) = 2.2−n u (n−¿1 ) + 4 .2−n u(n−¿1)−¿ 4 . 2−n δ (n−¿1 ) ¿¿¿¿

Vì : y (n ) = 6. 2−n u(n−¿1 )−¿ 4 .2−n δ (n−¿1 ) ¿¿¿

Nên : δ (n−1 )Vì 4 . 2−n δ(n−¿1) = 2 δ (n−¿1 ) ¿¿, nên để lập bảng biến đổi Fourier chỉ cần sử dụng

bảng biến đổi z khi thay z = ej , và để tìm biến đổi Fourier ngược, ngoài cách tính trực tiếp tích phân [3.1-24], cũng có thể sử dụng các phương pháp giống như tìm biến đổi Z ngược.

3.1.3 Các tính chất của biến đổi Fourier Do biến đổi Fourier là một trường hợp riêng của biến đổi Z nên, biến

đổi Fourier cũng có các tính chất giống như biến đổi Z. Dưới đây trình bầy các tính chất thường được sử dụng khi phân tích phổ tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số.3.1.3a Tính chất tuyến tính : Hàm tần số của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm tần số thành phần.

Nếu : y (n ) = 6. 2−nu(n−¿1 )−¿2δ (n−¿1 ) ¿¿¿

Thì :∑k=0

N

ak y (n−k )=∑r=0

M

br x (n−r ) [3.1-27]

Trong đó các hệ số Ai là các hằng số.Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :

Y (e jω)∑k=0

N

ak e− jωk= X ( e jω)∑r=0

M

br e− jωr

Vì H (e jω)=

Y (e jω)X ( e jω)

=∑r=0

M

br e− jωr

∑k=0

N

ak e− jωk

, nên nhận được [3.1-27].

Ví dụ 3.4 : Hãy tìm hàm phổ của tín hiệu số y (n ) = x (n )+x (n−1)+ y ( n−2)Giải : Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier có :

Y (e jω).(1−e− j2 ω) = X (e jω).(1+e− jω)

H (e jω) = Y ( e jω)X (e jω)

= (1+e− jω)(1−e− j 2ω)

= 1(1−e− jω)

= 1e− j0,5 ω(e j 0,5ω−e− j0,5 ω)

Các ví dụ 3.3 và 3.4 là hai bài toán ngược nhau, với kết quả là đồng nhất.3.1.3b Tính chất trễ : Khi dịch trễ dãy x(n) đi k mẫu thì hàm biên độ tần sốX(ej) không thay đổi, chỉ có hàm pha tần số () bị dịch đi lượng k.

Nếu : H (e jω) = e j 0,5ω

2sin(0,5 ω )

Thì :|H (e jω)| = 1

2 |sin(0,5 ω )| [3.1-28]Nếu k > 0 là x(n) bị giữ trễ k mẫu, nếu k < 0 là x(n) được đẩy sớm k mẫu.Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :

Arg [ H (e jω)] = 0,5ωVí dụ 3.5 : Hãy tìm : Y (e jω) = X ( e jω). H (e jω)

Giải : Có H (e jω) = H ( z )|

z = e jω

Nên : z = e jω

Theo biểu thức [3.1-6] và tính chất dịch của biến đổi Fourier nhận được :

y (n ) = x (n )+x (n−1)+ y ( n−2)Vậy :

X ( e jω) = FT [ 2−n rect N (n )] =1−(0,5. e− jω)N

1−0,5 e− jω[3.1-29]

3.1.3c Tính chất trễ của hàm tần số : Khi nhân dãy x(n) với Y (e jω) = X ( e jω)+e− jω X (e jω)+e− j2 ω Y (e jω), trong đó 0

là hằng số, thì hàm tần số X(ej) không bị biến dạng mà chỉ tịnh tiến trên trục tần số một khoảng bằng 0 , theo chiều ngược với dấu của 0.

Nếu : ∑n=−∞

∞

|h (n)| < ∞

Thì :H (e jω) = ∑

n=−∞

∞

h (n) e− jω. n

[3.1-30]Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :

r x(m)Ví dụ 3.6 : Tín hiệu số x(n) có phổ tần số là Sx (ω ) , hãy tìm phổ tần số của tín hiệu điều biên x (n )

Giải : Có : Rx( e jω) = FT [r x(m)] = X ( e jω). X (e− jω)

Do đó :Rx( e jω) = FT [r x(m)] = |X (e jω)|2 = Sx(ω )

Theo tính chất dịch của hàm tần số nhận được :

y (n ) = x( n) [3.1-31]Biểu thức [3.1-31] chính là nội dung của định lý điều biên.3.1.3d Tính chất biến đảo : Biến đổi Fourier của các dãy thực có biến đảo x(n) và x(-n) là hai hàm liên hợp phức.

Nếu : r x(m)

Thì : Rx( e jω) = FT [r x(m)] = X ( e jω ). X (e− jω) = |X (e jω )|2 = Sx (ω ) [3.1-32]Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :

Rx( e jω)Vì x(-n) là dãy thực nên x (n ) = 2−nu(n ), do đó nhận được [3.1-32].

Như vậy, các dãy thực nhân quả và phản nhân quả tương ứng có hàm biên độ tần số giống nhau, còn hàm pha tần số ngược dấu.

Ví dụ 3.7 : Hãy tìm Rx(e jω ) = 1

(1−0,5 e− jω ). 1

(1−0,5 e jω )= 1

1 , 25−cosω

Giải : Theo biểu thức [3.1-6] và tính chất biến đảo có :

X ( e jω ) = ∑n=−∞

∞

x (n) .e− jω .n = |X ( e jω )|.e jϕ(ω ) = X R(ω )+ j X I (ω )

3.1.3e Hàm tần số của tích chập hai dãy : Hàm tần số của tích chập hai dãy bằng tích của hai hàm tần số thành phần.

Nếu : |X (e jω)|= √ X R2 (ω )+¿ X I

2 (ω ) ¿ và ϕ(ω) = Arg [ X (e jω)] = arctg [ X I(ω)

XR(ω ) ]Thì : Ex [3.1-33]

Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :

Y (e jω) = FT [ x1 (n )∗x2(n )] = ∑n=−∞

∞

[ ∑k=−∞

∞

x1 (k ) . x2 (n−k )] . e− jω . n

Ex =1

2π ∫−π

π

|X (e jω)|2 dω = 12 π ∫

−π

π

Sx(ω ) dω

Hay :Sx (ω )

Ví dụ 3.8 : Hãy tìm Sx (ω ) =|X ( e jω)|2

Giải : Sử dụng các biểu thức [3.1-6] , [3.1-8] với k = 1 , và [3.1-33] , tìm

được :x (n ) = 2−n u(n−¿2) ¿ và X ( e jω ) = FT [2−n u(n−¿2) ] = FT [2−2 . 2−(n−2)u(n−¿2) ] ¿¿

Vậy :X ( e jω) = FT [2−nu(n−¿2) ] = 2−2 e− j2 ω 1

(1−¿ 0,5 e− jω)¿¿

3.1.3f Hàm tần số của tích hai dãy : Hàm tần số của tích hai dãy bằng tích chập của hai hàm tần số thành phần chia cho 2.

Nếu : X ( e jω) = e− j 2ω

4(1−¿0,5e− jω)= 0 ,25 .e− j 2ω

(1−¿0,5cosω+ j 0,5 sinω )¿¿ và |X (e jω)|= 0 , 25

√(1−0,5cos ω)2+(0,5 sinω )2= 0 ,25

√ 1 ,25−cosω

Thì :ϕ(ω) = −2ω−arctg[ 0,5sin ω

(1−0,5cos ω ) ] [3.1-34]

Hay :Sx (ω ) =|X ( e jω)|2 = 0 ,0625

(1 ,25−cosω ) [3.1-35]Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :

Sx (ω )Khi thay x1(n) bằng biểu thức biến đổi Fourier ngược của nó :

T ≤ 1/2 f c

Thì : T ≤ π /ω

c [3.1-36]

T ≤ 1/2 f c

X¿(ω)

3.1.3g Công thức Parseval tính năng lượng của tín hiệu theo hàm phổ.

X¿(ω) = ∫

−∞

∞

x( t ) . e− jω . t dt[3.1-37]

Chứng minh : Viết lại biểu thức [3.1-36] dưới dạng :

x ( t ) = 12π ∫

−ωc

ωc

X¿(ω ). e jω . t dω

Chia cả hai vế của biểu thức trên cho X ( e jω) = ∑n=−∞

∞

x (n T ) e− jω .nT

, nhận được :

x (n T ) = T2 π ∫

− πT

πT

X (e jω) .e jω .n T dω

Hay :x (n .T )= x (t )|t = nT

Khi cho x1(n) = x2(n) = x(n) thì theo [1.3-5], vế trái của biểu thức trên chính là năng lượng x (n .T )= 1

2π ∫−ωc

ωc

X¿(ω) .e jω .n T dωcủa tín hiệu số x(n) :

Ex = ∑n=−∞

∞|x( n)|2= 1

2π ∫−π

π

X ( e− jω). X ( e jω).dω= 12π ∫

−π

π

|X (e jω)|2 dω

Hay :x (n .T )= ∑

k=−∞

∞

x (kT )[3.1-38]

Trong đó :x (n .T ) =∑

k=−∞

∞1

2 π ∫− π

T

πT

X¿(ω+ 2π

Tk ) .e jω . nT dω

[3.1-39]x (n .T )= T

2 π ∫− π

T

πt

1T ∑

k=−∞

∞X¿(ω+ 2 π

Tk ) . e jωn T dωđược gọi là hàm mật độ phổ năng lượng của tín hiệu số x(n), nó là

hàm chẵn và đối xứng qua trục tung. Về bản chất vật lý, hàm mật độ phổ năng lượng X ( e jω) = 1

T ∑k=−∞

∞X¿(ω+ 2π

Tk )chính là hàm phân bố năng lượng của tín hiệu trên trục tần số.

Ví dụ 3.9 : Hãy xác định năng lượng của tín hiệu số X¿(ω) theo cả hàm

thời gian và hàm phổ, so sánh hai kết quả nhận được.Giải : Theo hàm thời gian có :

X¿(ω)

Để xác định năng lượng theo hàm phổ, trước hết tìm :

X ( e jω) = 1T

X¿(ω )

Vậy :Tính năng lượng của x(n) bằng công thức Parseval [3.1-38] :

X¿(ω)

X¿(ω)

Kết quả tính năng lượng theo hai cách là giống nhau. [ ở đây, nếu lấy X¿(ω) thì X

¿(ω) , nên phải lấy X

¿(ω) ].

3.1.3h Đạo hàm của hàm tần số

Nếu : FT [ x (n) ] = X (e jω)

Thì :FT [n . x( n)] = j

d X (e jω)dω [3.1-40]

Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :

X ( e jω) = FT [x (n )] = ∑n=−∞

∞x (n ). e− jω . n ⇒ d X (e jω)

dω= ∑

n=−∞

∞− j .n .x (n ).e− jω. n

Nhân cả hai vế của biểu thức trên với j , nhận được biểu thức [3.1-40].

Ví dụ 3.10 : Hãy tìm biến đổi Fourier của dãy x (n) = 2−nn .u (n)

Giải : a. Có : X¿(ω)

Theo [3.1-40] có :

FT [2−n n .u (n) ] = jd

dω [ 1

1−0,5 e− jω ] = 0,5ω . e− jω

(1−0,5 e− jω) 2

3.1.3i Phổ tần số của hàm tương quan rxy(m)

Nếu : FT [ x (n) ] = X (e jω) và FT [ y (n )] = Y (e jω)

Thì : Rxy(e jω) = FT [ rxy (m)] = X (e jω) . Y (e− jω) [3.1-41]

Chứng minh : Hàm tương quan r xy(m)được xác định theo [1.8-1] ở chương một :

r xy (m) = ∑n=−∞

∞

x (n ). y (n−m)

Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :

FT [r xy(m) ] = ∑m=−∞

∞

r xy(m) .e− jω . m = ∑m=−∞

∞

[ ∑n=−∞

∞

x (n ). y (n−m)] . e− jω . m

FT [r xy(m) ] = ∑m=−∞

∞

[ ∑n=−∞

∞

x (n ). y (n−m)] .e− jω . m .e− jω . n .e jω .n

FT [r xy(m) ] = ∑n=−∞

∞

x (n) .e− jω .n ∑m=−∞

∞

y (n−m) . e− j(−ω ). (n−m ) = X (e jω ) .Y (e− jω )

Ví dụ 3.11 : Cho các tín hiệu số x (n ) = 2−nu(n ) và y (n ) = δ (n−¿1) ¿, hãy tìm hàm

phổ Rxy(ejω) = FT [ rxy (m)] .

Giải : Sử dụng [3.1-6] , [3.1-8] với k = 1 , và [3.1-41], tìm được :

Rxy(e jω ) = X (e jω). Y (e− jω) = 1

1−0,5e− jω. e jω = e jω

1−0,5 e− jω

3.1.3k Phổ tần số của hàm tự tương quan rx(m) : Phổ tần sốH (e jω) = ∑

n=−∞

∞

h (n) e− jω. n

của hàm tự tương quan r x(m) chính là hàm mật độ phổ năng lượng Sx (ω )của tín hiệu sốx (n ).

Nếu : e j0,5 ω

2sin(0,5 ω )

Thì : Rx( e jω) = FT [r x(m)] = X ( e jω). X (e− jω) [3.1-42]

Hay : Rx( e jω ) = FT [r x(m)] = |X (e jω )|2 = Sx(ω ) [3.1-43]Đó chính là nội dung của định lý Wiener - Khintchine. Chứng minh : Trong biểu thức của hàm tương quan, khi thay y (n ) = x( n) nhận được hàm tự tương quan r x(m) , vì thế theo [3.1-41] có :

Rx( e jω) = FT [r x(m)] = X ( e jω). X (e− jω) = |X (e jω)|2 = Sx (ω )

Ví dụ 3.12 : Hãy tìm hàm phổ Rx( e jω) của tín hiệu số x (n ) = 2−nu(n ).Giải : Sử dụng [3.1-6] và [3.1-42] tìm được :

Rx(e jω) = 1

(1−0,5 e− jω). 1

(1−0,5 e jω)= 1

1 , 25−cosω

3.2 Phổ của tín hiệu số

3.2.1 Các đặc trưng phổ của tín hiệu số

Biến đổi Fourier của tín hiệu số x(n) là hàm phổ X(ej) của nó :

X ( e jω ) = ∑n=−∞

∞

x (n) .e− jω .n = |X ( e jω )|.e jϕ(ω ) = X R(ω )+ j X I (ω )

Từ đó xác định được :- Phổ biên độ X(ej)được tính theo [3.1-15] :

|X (e jω)|= √ X R2 (ω )+¿ X I

2 (ω ) ¿- Phổ pha () = Arg[ X(ej)] được tính theo [3.1-16] :

ϕ(ω) = Arg [ X (e jω)] = arctg [ X I(ω)

XR(ω ) ]- Năng lượng Ex được tính theo công thức Parseval [3.1-37] :

Ex =1

2π ∫−π

π

|X (e jω)|2 dω = 12 π ∫

−π

π

Sx(ω ) dω

- Mật độ phổ năng lượng Sx (ω )được tính theo [3.1-39] :

Sx (ω ) =|X ( e jω)|2

Hàm phổ X(ej), phổ biên độ X(ej), phổ pha (), và hàm mật độ phổ năng lượng Sx (ω )là các đặc trưng phổ của tín hiệu số x(n).

Ví dụ 3.13 : Cho tín hiệu số x (n ) = 2−nu(n−¿2) ¿, hãy xác định các đặc trưng phổ của tín hiệu.

Giải : X ( e jω) = FT [2−n u(n−¿2) ] = FT [2−2 . 2−(n−2)u(n−¿2) ] ¿¿Theo [3.1-6] và tính chất trễ của biến đổi Fourier có :

X ( e jω) = FT [2−nu(n−¿2) ] = 2−2 e− j2 ω 1

(1−¿ 0,5 e− jω)¿¿

Hàm phổ : X ( e jω) = e− j 2ω

4(1−¿0,5e− jω)= 0 ,25 .e− j 2ω

(1−¿0,5 cosω+ j 0,5 sin ω )¿¿

Hàm phổ biên độ :|X (e jω)|= 0 , 25

√(1−0,5cos ω)2+(0,5 sinω )2= 0 , 25

√ 1 ,25−cosω

Hàm phổ pha :ϕ(ω) = −2ω−arctg[ 0,5sin ω

(1−0,5cos ω ) ]Hàm mật độ phổ năng lượng :

Sx (ω ) =|X ( e jω)|2 = 0 , 0625

(1 , 25−cosω )Về ý nghĩa vật lý, đồ thị của hàm phổ biên độ X(ej) và hàm mật phổ

năng lượng Sx (ω )chính là bức tranh cho biết sự phân bố năng lượng của tín hiệu số x(n) trên trục tần số. Đồ thị phổ pha () cho biết quan hệ về pha giữa các thành phần tần số của phổ tín hiệu.

Phương pháp phân tích tín hiệu số x(n) dựa trên các đặc trưng phổ của nó được gọi là phương pháp tần số, hay phương pháp phân tích phổ, nó thường được sử dụng để xử lý số tín hiệu âm thanh.

3.2.2 Phổ của tín hiệu liên tục x(t) và tín hiệu lấy mẫu x(n.T)3.2.2a Định lý lấy mẫu

Định lý lấy mẫu là cơ sở để rời rạc hóa tín hiệu liên tục mà không làm mất thông tin của nó, và vì thế có thể khôi phục tín hiệu liên tục từ tín hiệu lấy mẫu.

Giáo trình lý thuyết mạch đã trình bầy và chứng minh định lý lẫy mẫu, do đó ở đây chỉ nhắc lại nội dung của định lý.

Định lý lấy mẫu : Mọi tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn f fc đều hoàn toàn được xác định bởi các giá trị tức thời rời rạc của nó tại các thời điểm cách

đều nhau một khoảng thời gian T ≤ 1 /2 f c (tương ứng T ≤ π /ωc).

Định lý lấy mẫu nêu lên hai điều kiện bắt buộc phải được đảm bảo để việc lấy mẫu không làm mất thông tin của tín hiệu liên tục :

1. Tín hiệu liên tục x(t) phải có phổ hữu hạn f fc

2. Chu kỳ lấy mẫu T phải thỏa mãn điều kiện T ≤ 1 /2 f c

3.2.2b Phổ của tín hiệu liên tục x(t) và phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T)Để thấy được bản chất vật lý của định lý lấy mẫu, chúng ta sẽ xác định

quan hệ giữa hàm phổ X¿(ω)của tín hiệu liên tục x(t) và hàm phổ X(ej) của tín

hiệu lấy mẫu x(n.T) tương ứng. Xét tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn f < fc (hay < c ), quan hệ

giữa x(t) và phổ của nó là cặp tích phân Fourier :

Biến đổi Fourier thuận : X¿(ω) = ∫

−∞

∞

x( t ) .e− jω . t dt[3.2-1]

Biến đổi Fourier ngược : x ( t ) = 1

2π ∫−ωc

ωc

X¿(ω ). e jω . t dω

[3.2-2]Khi rời rạc hóa tín hiệu liên tục x(t) với chu kỳ lấy mẫu T, nhận được tín

hiệu lấy mẫu x(n.T). Quan hệ giữa x(n.T) và hàm phổ X(ej) của nó là cặp biến đổi Fourier của tín hiệu số [3.1-23] và [3.1-24] , khi thay biến n bằng biến n.T :

Biến đổi Fourier thuận :X ( e jω ) = ∑

n=−∞

∞

x (n T ) e− jω .nT

[3.2-3]

Biến đổi Fourier ngược :x (n T ) = T

2 π ∫− π

T

πT

X (e jω) . e jω .n T dω

[3.2-4]Khi thực hiện rời rạc hóa tín kiệu liên tục x(t) theo định lý lấy mẫu thì

x (n .T )= x (t )|t = nT , nên có thể viết lại [3.2-2] dưới dạng :

x (n .T )= 12π ∫

−ωc

ωc

X¿(ω ) .e jω.n T dω

[3.2-5]Khi đó, giá trị của x(n.T) tại thời điểm n = k được xác định là :

x (n .T )|n= k= 1

2 π ∫(2 k−1 ) π

T

(2 k+1 ) πT

X¿(ω) .e jω . nT dω= 1

2 π ∫− π

T

πT

X¿(ω+ 2 π

Tk ) . e jω .nT dω

Biểu thức trên nhận được do tính chất tuần hoàn của hàm mũ ejnT.Khi cho k biến thiên từ - đến + nhận được :

x (n .T )= ∑k=−∞

∞

x (kT )

Hay :x (n .T ) =∑

k=−∞

∞1

2 π ∫− π

T

πT

X¿(ω+ 2π

Tk ) . e jω .nT dω

[3.2-6]Nhân và chia [3.2-6] cho chu kỳ lấy mẫu T, đồng thời đổi thứ tự của dấu

tổng và dấu tích phân, nhận được biểu thức :

x (n .T )= T2 π ∫

− πT

πt

1T ∑

k=−∞

∞X¿(ω+ 2π

Tk ) . e jωn T dω

[3.2-7]So sánh biểu thức dưới dấu tích phân của [3.2-7] và [3.2-4] nhận được :

X ( e jω) = 1T ∑

k=−∞

∞X¿(ω+ 2π

Tk )

[3.2-8]Biểu thức [3.2-8] cho thấy, hàm phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) là

hàm tuần hoàn của biến tần số góc với chu kỳ T = 2/T , và là tổng vô số các

hàm phổ X¿(ω)của tín hiệu liên tục x(t).

Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn và chu kỳ lấy mẫu T thỏa mãn điều kiện của định lý lấy mẫu : T /c , thì phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có chu kỳ T 2c . Khi đó, phổ X(ej) là tổng của các phổ

X¿(ω)hữu hạn tách biệt nhau như trên các đồ thị hình 3.4 và hình 3.5, nên ứng

với mỗi giá trị của k , phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có dạng đúng với phổ của

tín hiệu liên tục x(t) nhưng biên độ bị giảm T lần : X ( e jω) = 1

TX¿(ω )

. Vì thế, khi cho tín hiệu lấy mẫu x(n.T) đi qua bộ lọc thông thấp để lấy thành phần phổ của

X(ej) ứng với k = 0, sẽ nhận được đúng phổ , do đó khôi phục được tín hiệu liên tục x(t).

Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn, nhưng chu kỳ lấy mẫu không thoả mãn điều kiện của định lý lấy mẫu : T > /c , thì phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) sẽ có chu kỳ T < 2c . Khi đó phổ X(ej) là tổng của các

phổ X¿(ω)hữu hạn có các biên tần trùm lên nhau như trên hình 3.5. Sự trùm phổ

làm cho X(ej) bị méo dạng so với phổ X¿(ω)của tín hiệu liên tục x(t), vì thế

không thể khôi phục được tín hiệu liên tục x(t) từ tín hiệu lấy mẫu x(n.T).Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ không hữu hạn như trên hình

3.6 , thì chắc chắn xẩy ra hiện tượng trùm phổ, nên phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) sẽ không thể có dạng giống với phổ của tín hiệu liên tục x(t), do đó không thể khôi phục được tín hiệu liên tục x(t) từ tín hiệu lấy mẫu x(n.T).

Như vậy, bản chất vật lý của việc rời rạc hóa tín hiệu liên tục x(t) mà không làm mất thông tin trong nó là ở chỗ, khi đảm bảo các điều kiện của định lý lấy mẫu thì tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có phổ X(ej) tuần hoàn, và mỗi chu kỳ

của phổ X(ej) hoàn toàn giống với phổ X¿(ω)của tín hiệu liên tục x(t), do đó

thông tin của tín hiệu liên tục x(t) được bảo toàn trong tín hiệu lấy mẫu x(n.T).Như vậy, khi được rời rạc hóa theo đúng điều kiện của định lý lấy mẫu,

thì độ rộng phổ của một chu kỳ phổ tín hiệu số đúng bằng độ rộng phổ của tín

)(X

- c c

X(ej)

- c c

X(ej)

- c c

X(ej)

c- c

X(ej)

)(X

hiệu liên tục. Do đó, để không gây méo tín hiệu số thì dải thông của hệ xử lý số phải độ rộng phổ của tín hiệu liên tục tương ứng.

Hình 3.2 : Tín hiệu liên tục x(t), có phổX¿(ω) hữu hạn : | | < c.

Hình 3.3 : Phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu, khi T = /c thì T = 2c.

Hình 3.4 : Phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu, khi T < /c thì T > 2c.

Hình 3.5 : Phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu, khi T > /c thì T < 2c.

Hình 3.6 : Tín hiệu liên tục x(t), có phổ X¿(ω) vô hạn.

3.3 Đặc tính tần số và Hàm truyền đạt phức của hệ xử lý số Tuyến Tính Bất Biến Nhân Quả

3.3.1 Đặc tính tần số và hàm truyền đạt phức H(ej)

3.3.1a Định nghĩa : Đặc tính tần số H(ej) của hệ xử lý số TTBBNQ là biến đổi Fourier của đặc tính xung h(n) :

H (e jω) = FT [ h(n ) ] = ∑n=−∞

∞

h( n) . e− jω .n

[3.3-1]Đặc tính tần số H(ej) cho biết tính chất tần số của hệ xử lý số TTBBNQ. Xét hệ xử lý số có đặc tính xung h(n), tác động x(n), phản ứng y(n).

Đặc tính tần số của hệ : H (e jω) = FT [ h(n ) ]

Phổ của tác động : X ( e jω) = FT [ x (n ) ]

Phổ của phản ứng : Y (e jω) = FT [ y (n) ] = FT [ x (n )∗h (n) ]

Theo tính chất tích chập của biến đổi Fourier nhận được :

Y (e jω) = X ( e jω). H (e jω) [3.3-2]

Suy ra :H (e jω) = Y ( e jω)

X (e jω) [3.3-3]Như vậy, đặc tính tần số H(ej) của hệ xử lý số TTBBNQ bằng tỷ số giữa

hàm phổ của phản ứng Y(ej) và hàm phổ của tác động X(ej), vì thế H(ej) cũng chính là hàm truyền đạt phức của hệ xử lý số TTBBNQ.

Có thể tìm được đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số từ đặc tính tần số H(ej) bằng biến đổi Fourier ngược :

h( n) = IFT [H (e jω) ] = 1

2 π ∫−π

π

H (e jω).e jω . n dω[3.3-4]

3.3.1b Đặc tính biên độ tần số và đặc tính pha tần số

Từ [3.3-3] có :|H (e jω)| = |Y (e jω)|

|X (e jω)| [3.3-5]

và : Arg [ H( e jω )] = Arg [Y (e jω) ] − Arg [X (e jω) ] [3.3-6]Vậy, mô đun hàm truyền đạt phức H(ej) của hệ xử lý số bằng tỷ số

giữa phổ biên độ của phản ứng và phổ biên độ của tác động, còn argumen của hàm truyền đạt phức Arg[H(ej)] bằng hiệu phổ pha của phản ứng và phổ pha của tác động.

Về ý nghĩ vật lý, mô đun hàm truyền đạt phức H(ej) đặc trưng cho tính chất chọn lọc tín hiệu theo tần số của hệ xử lý số TTBBNQ, vì thế H(ej) còn được gọi là đặc tính biên độ tần số.

Còn argumen của hàm truyền đạt phức () cho biết sự dịch pha của các thành phần tần số tín hiệu khác nhau khi truyền qua hệ xử lý số TTBBNQ, vì thế () = Arg[H(ej)] còn được gọi là đặc tính pha tần số.

Để tín hiệu số không bị méo phổ khi truyền qua hệ xử lý số TTBBNQ thì đặc tính biên độ tần số của hệ xử lý số phải đảm bảo cho qua tất cả các thành phần tần số của tín hiệu với hệ số truyền đạt như nhau. Tức là, về lý tưởng hệ xử lý số phải có đặc tính biên độ tần số dạng hình chữ nhật như ở hình 3.7a. Tuy nhiên, các hệ xử lý số thực tế có đặc tính biên độ tần số với sự nhấp nhô và hai sườn dốc, ví dụ như ở hình 3.7b.

H(ej)

2 c-c

a. Hệ xử lý số lý tưởng. b. Hệ xử lý số thực tế.

Hình 3.7 : Đặc tính biên độ tần số H(ej) của hệ xử lý số.

Khái niệm về dải thông và dải chặn : Dải thông là dải tần số mà hệ xử lý số cho tín hiệu số đi qua, dải chặn là dải tần số mà hệ xử lý số không cho tín hiệu số đi qua. - Đối với hệ xử lý số lý tưởng : Do hai biên tần có dạng dốc đứng nên dải thông 2 là vùng tần số mà đặc tính biên độ tần số H(ej)= 1, còn dải chặn là vùng tần số mà đặc tính biên độ tần số H(ej)= 0 . Tần số giới hạn giữa dải thông và dải chặn gọi là tần số cắt và thường được ký hiệu là c.(hình 3.7a)

- Đối với hệ xử lý số thực tế : Do hai biên tần có dạng sườn dốc, nên người ta quy ước tần số giới hạn của dải thông là c , tần số giới hạn của dải chặn là p , giữa dải thông và dải chặn tồn tại dải quá độ p = |p - c| (hình 3.4b). Nếu độ rộng dải quá độ p càng nhỏ thì độ dốc hai biên tần của đặc tính biên độ tần số H(ej) càng lớn, làm cho khả năng chọn lọc tín hiệu theo tần số của hệ xử lý số càng tốt.

Các tín hiệu số có phổ nằm trọn trong dải thông của đặc tính biên độ tần số sẽ đi qua được hệ xử lý số và không bị méo dạng phổ. Các tín hiệu số có bề rộng phổ lớn hơn dải thông sẽ bị mất các thành phần phổ nằm ngoài dải thông. Các tín hiệu số có phổ nằm ngoài dải thông của hệ xử lý số sẽ hầu như bị suy giảm hoàn toàn khi đi qua hệ xử lý số. Từ các hiệu ứng đó, người ta xây dựng các hệ xử lý số có tính chất chọn lọc tín hiệu số theo tần số, đó là các bộ lọc số.

Ví dụ 3.14 : Hệ xử lý số có phản ứng y (n ) = 6. 2−nu(n−¿1 )−¿2δ (n−¿1 ) ¿¿¿ ứng với tác

động x (n ) = 2−nu(n ). Hãy xác định hàm truyền đạt phức H(ej), đặc tính xung h(n), đặc tính biên độ tần số H(ej) và đặc tính pha tần số () của hệ.

Giải : Có : X ( e jω) = FT [2−nu(n ) ] = 1

(1−¿0,5 e− jω)¿

Vì : y (n ) = 6. 2−n u(n−¿1 )−¿2 δ (n−¿1 ) = 6 .2−1 2−(n−1)u (n−¿1 )−¿2 δ(n−¿1) ¿¿¿¿¿¿

Nên :Y (e jω) = FT [ 6. 2−1 2−(n−1 )u(n−¿1 )−¿2 δ (n−¿1 )] = 3 . e− jω

(1−¿0,5 e− jω )−¿2 e− jω ¿¿¿¿¿

Y (e jω) = 3.e− jω−¿2 e− jω+e− j2 ω

(1−¿0,5 e− jω)=¿ e− jω+e− j2 ω

(1−¿0,5 e− jω )¿¿¿¿

Theo [3.3-3] có :

H (e jω) = Y ( e jω)X (e jω)

= ( e− jω+e− j 2ω)(1 −¿0,5 e− jω)(1−¿0,5 e− jω)

¿¿

Hàm truyền đạt phức : H (e jω) = e− jω+e− j2 ω

Đặc tính xung : h (n ) = IFT [H ( e jω) ] = δ (n−¿1)+δ (n−2) = rect 2 (n−1) ¿

Để tìm đặc tính biên độ tần số và pha tần số, biến đổi H(ej) như sau :

H (e jω ) = e− jω+e− j2 ω = e− j1,5 ω( e j0,5 ω+e− j 0, . 5 ω)

Vậy hàm truyền đạt phức là : H (e jω) = 2.cos (0,5ω )e− j1,5 ω

Đặc tính biên độ tần số : |H (e jω)| = 2.|cos(0,5ω )|

Đặc tính pha tần số : ϕ(ω ) = −1,5 ω

Ví dụ 3.15 : Cho hệ xử lý số có đặc tính xung h (n ) = rect 2 (n−¿1) ¿ và tác động x (n ) = 2−nu(n ), hãy tìm hàm phổ Y(ej) và phản ứng y(n).Giải : Đây là bài toán ngược của ví dụ 3.13, trước hết cần xác định :

Hàm truyền đạt phức :H (e jω) = FT [ h(n ) ] = ∑

n=−∞

∞rect

2(n−¿1)e− jωn ¿

Hay :H (e jω) = ∑

n=1

2

e− jωn = e− jω+¿e− j 2ω ¿

Phổ của tác động : X ( e jω) = FT [ 2−nu(n ) ] = 1

(1−¿0,5 e− jω)¿

Theo biểu thức [3-51] tìm được phổ của phản ứng :

Y (e jω) = X (e jω) . H (e jω) =¿ 1

(1−¿0,5 e− jω ).(e− jω+¿e− j2 ω)¿¿¿

Y (e jω) = e− jω 1

( 1−¿0,5 e− jω )+ e− j2 ω 1

( 1−¿0,5 e− jω )¿¿

Phản ứng : y (n ) = IFT [ Y (e jω)] =¿ 0,5(n−1)u(n−¿1) + 0,5(n−2)u( n−¿2 ) ¿¿¿

y (n ) = 2. 2−nu(n−¿1) + 22 2−n [u(n−¿1)−δ( n−¿1) ] ¿¿¿

y (n ) = 2.2−nu (n−¿1 ) + 4 .2−nu(n−¿1)−¿ 4 . 2−n δ (n−¿1 ) ¿¿¿¿

y (n ) = 6. 2−nu(n−¿1 )−¿ 4 .2−nδ (n−¿1 ) ¿¿¿

Vì δ (n−1 ) chỉ có 1 mẫu tại n = 1, nên 4 . 2−n δ(n−¿1) = 2 δ (n−¿1 ) ¿¿, do đó kết quả là :y (n ) = 6. 2−nu(n−¿1 )−¿2δ (n−¿1 ) ¿¿¿

Kết quả nhận được phù hợp với phản ứng y(n) cho ở ví dụ 3.13.3.3.1c Tìm hàm truyền đạt phức H(ej) theo phương trình sai phân

Có thể tìm được hàm truyền đạt phức của hệ xử lý số TTBBNQ khi biết phương trình sai phân của nó. Xét hệ xử lý số TTBBNQ được mô tả bằng phương trình sai phân bậc N :

∑k=0

N

ak y (n−k )=∑r=0

M

br x (n−r )

Lấy biến đổi Fourier cả hai vế của phương trình trên nhận được :

Y (e jω)∑k=0

N

ak e− jωk= X ( e jω)∑r=0

M

br e− jωr

H(ej)X(ej) Y(ej)

suy ra :

H (e jω)=Y (e jω)X ( e jω)

=∑r=0

M

br e− jωr

∑k=0

N

ak e− jωk

[3.3-7]Ví dụ 3.16 : Hãy xác định hàm truyền đạt phức và các đặc tính tần số của hệ xử lý số có phương trình sai phân y (n ) = x (n )+x (n−1)+ y ( n−2).Giải : Lấy biến đổi Fourier cả hai vế của phương trình trên nhận được :

Y (e jω) = X ( e jω)+e− jω X (e jω)+e− j2 ωY (e jω)

hay : Y (e jω).(1−e− j2 ω) = X (e jω).(1+e− jω)

H (e jω) = Y ( e jω)X (e jω)

= (1+e− jω)(1−e− j 2ω)

= 1(1−e− jω)

= 1e− j0,5 ω(e j 0,5ω−e− j0,5 ω)

Vậy hàm truyền đạt phức là : H (e jω) = e j 0,5ω

2sin(0,5 ω )

Đặc tính biên độ tần số : |H (e jω)| = 1

2 |sin(0,5 ω )|

Đặc tính pha tần số : Arg [ H (e jω)] = 0,5ω

3.3.2 Phân tích hệ xử lý số theo hàm truyền đạt phức H(ej)3.3.2a Sơ đồ khối, sơ đồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử lý số

Theo quan hệ vào ra [3.3-2] :

Y (e jω) = X ( e jω). H (e jω)

có thể mô tả hệ xử lý số TTBB bằng sơ đồ khối theo hàm truyền đạt phức như trên hình 3.8.

Hình 3.8 : Sơ đồ khối trong miền tần số của hệ xử lý số.

Các hệ xử lý số phức tạp có thể được mô tả bằng sơ đồ khối gồm nhiều khối, mỗi khối có hàm truyền đạt phức Hi(ej). Khi đó, hàm truyền đạt phức H(ej) của hệ xử lý số đó cũng có thể được xác định theo các hàm truyền đạt phức Hi(ej) của các khối thành phần.

Vì H (e jω) = H ( z )|

z = e jω, nên từ các phần tử cấu trúc và sơ đồ khối theo

hàm hệ thống H(z), ... có thể nhận được các phần tử cấu trúc và sơ đồ khối theo

hàm truyền đạt phức H(ej) khi thay z = e jω. Do đó, các nguyên tắc xác định hàm

truyền đạt phức H(ej) theo sơ đồ khối cũng tương tự như cách xác định hàm hệ thống H(z).

Sơ đồ khối và sơ đồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử lý số thường được sử dụng khi phân tích và tổng hợp các bộ lọc số.

)sin( 5,02

5,0

jeX(ej) Y(ej)

X(ej) Y(ej)+

e-j

+

e-j

e-j

Ví dụ 3.17 : Hãy xây dựng sơ đồ khối và sơ đồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử lý số cho ở ví dụ 3.16 : y (n ) = x (n )+x (n−1)+ y ( n−2).Giải : Theo kết quả tìm hàm truyền đạt phức H(ej) đã được thực hiện ở ví dụ 3.16, có sơ đồ khối của hệ đã cho như trên hình 3.9.

Hình 3.9 : Sơ đồ khối trong miền tần số của hệ xử lý số ở ví dụ 3.16.

Lấy biến đổi Fourier cả hai vế của phương trình sai phân đã cho, nhận được quan hệ vào ra :

Y (e jω) = X ( e jω)+e− jω X (e jω)+e− j2 ωY (e jω)Theo quan hệ vào ra trên, xây dựng được sơ đồ cấu trúc của hệ xử

lý số đã cho như trên hình 3.10.

Hình 3.10: Sơ đồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử lý số ở ví dụ 3.16.

3.3.2b Xét tính ổn định của hệ xử lý số theo H(ej)Theo định nghĩa của biến đổi Fourier, chỉ có các hệ xử lý số có đặc tính

xung h(n) thỏa mãn điều kiện [3.1-1] : ∑

n=−∞

∞

|h (n)| < ∞

thì mới tồn tại hàm truyền đạt phức : H (e jω) = ∑

n=−∞

∞

h (n) e− jω. n

Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier [3.1-1] cũng chính là điều kiện ổn định [1.6-10] của hệ xử lý số. Do đó, hệ xử lý số tồn tại hàm truyền đạt phức H(ej) thì ổn định, ngược

lại hệ xử lý số không tồn tại hàm truyền đạt phức H(ej) thì không thỏa mãn điều kiện ổn định.

Bài tập Chương ba

BT 3.1 Với |a| < 1 , hãy xác định sự tồn tại và tìm biến đổi Fourier của các dãy sau :

1. x1(n ) = anu (n) 5. x5(n ) = u(n ). sin(ω0 . n )

2. x2(n ) = a−n u(n ) 6. x6 (n) = anu(n ). sin(ω0 . n)

3. x3(n ) = anu(−n) 7. x7( n) = u(n ). cos (ω0 .n )

4. x4 (n ) = a−n u (−n ) 8. x6 (n) = anu(n ). cos (ω0 . n )

BT 3.2 Xác định các hàm phần thực và phần ảo, mô đun và argumen của các hàm tần số sau :

1. X1 (e jω ) = cos (3ω ) . e− j0,3 ω3.

X3(e jω) =

e− jω

1−0 , 25 .e− jω

2. X2 (e jω) = sin(2 ω ).e−ω4. X

4( e jω) =−¿3 .e−(α+ jω ) ¿

BT 3.3 Cho dãy x (n )= ¿ { 1 khi n∈[−N , N ] ¿ ¿¿

1. Xác định X ( e jω ) , X R(ω ) , X I (ω ) , |X (e jω )| , ϕ (ω ) , A (e jω ) , θ (ω )

2. Vẽ đồ thị của x(n) , |X ( e jω)| , ϕ (ω ) , A (e jω) với N = 2BT 3.4 Tìm biến đổi Fourier ngược của các hàm tần số sau :

1. X ( e jω) = e− j0,5 ω3. X ( e jω) = cos2ω

2. X ( e jω) = sin(2ω ) e− j0,5 ω4. X ( e jω) = cos (2ω ) . e− j0,5 ω

BT 3.5 Cho FT [ x (n ) ] = 1

1−a . e− jω, tìm biến đổi Fourier của các dãy sau :

1. x1(n ) = x (n+2) 4. x4 (n ) = x (n+2)+ x( n−2)

2. x2(n ) = x (−n ) 5. x5(n ) = e j 1,5n x (n−2)

3. x3(n ) = x (n)∗x (−n) 6. x6 (n) = n . x( n−2)

BT 3.6 Xác định hàm phổ của các tín hiệu số sau :1. x1(n ) = rect 3( n−2) 3. x3(n ) = rect 3 (n)∗rect 3(−n )

2. x2(n ) = rect 3(−n ) 4. x4 (n ) = rect 3(n−2)+δ (n−1)

BT 3.7 Xác định hàm truyền đạt phức H(ej) của các hệ xử lý số sau :

1. y (n ) = ∑

k=0

∞

3−k x ( n−k )3.

y (n ) = ∑k=0

N−1

2k x ( n−k )

2. y (n ) = x( n−2 )−2 y( n−1 ) 4. y (n ) = x( n )−2 x( n−¿1 ) ¿

BT 3.8 Hệ xử lý số có đặc tính xung h( n) = rect 2 (n−1) , hãy tìm phản ứng y(n), hàm phổ Y(ej) và các đặc trưng phổ của y(n), khi tác động vào hệ là x (n ) = 3−nu (n−¿1 ) ¿

BT 3.9 Hệ xử lý số có phản ứng y (n ) = 2.2−nu (n−¿2 )−¿0,5 . rect 2(n−¿1) ¿¿¿ và tác động x (n ) = 2−nu (n−¿1 ) ¿, hãy xác định hàm truyền đạt phức H(ej), đặc tính xung h(n) và các đặc tính tần số của hệ.

X(ej) +

e-j

2

3

Y(ej)

X(ej) Y(ej)

e-j

+

e-j

+

e -j

e-j+

e-j

e-j

+

BT 3.10 Tìm H(ej) , H(ej) và () của hệ xử lý số có phương trình sai phân

: y (n ) = x( n)+x (n−1)+ 1

2x (n−2)+ 1

6x (n−3)+ 1

24x( n−4 )

BT 3.11 Tìm H(ej) , H(ej) và () của hệ xử lý số có phương trình sai phân y (n ) = x( n )+x ( n−N ) , với N là hằng số.

BT 3.12 Cho hệ xử lý số có đặc tính xung h( n) = a(n+1)rect 2 (n)

1. Xác định điều kiện tồn tại và biểu thức của H(ej).2. Hãy xác định các đặc tính tần số H(ej) và () của hệ.3. Vẽ các đồ thị đặc tính biên độ tần số và pha tần số của hệ.

BT 3.13 Hãy xác định hàm truyền đạt phức, xác định và vẽ dạng của đặc tính biên độ tần số, đặc tính pha tần số của các hệ xử lý số sau :

1. Trên hình 3.11. 2. Trên hình 3.12.

Hình 3.11 : Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số ở BT3.13.1

Hình 3.12 : Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số ở BT3.13.2

BT 3.14 Hãy xác định các đặc trưng phổ của các tín hiệu số sau :

1. x1(n ) = cos ( π .n

N ). rect N (n )2.

x2(n ) = (1− nN ). rect N (n )

BT 3.15 Hãy tính năng lượng của các tín hiệu số sau theo hàm phổ :

1. x1(n ) = 2n .rect 2 (n ) 2. x2(n ) = ( n

2−1) . rect 3(n )

BT 3.16 Cho các tín hiệu số x (n ) = 2−nu(n ) và y (n ) = 2n . rect 2( n), hãy tìm hàm phổ Rxy(e

jω) = FT [ rxy (m)] , |Rxy(ejω)| , Arg [Rxy( e jω)] .

BT 3.17 Hãy tìm hàm phổ Rx( e jω) của các tín hiệu số sau :

1. x1(n ) = sin( π

2n). rect 4 (n) 2.

x2(n ) = cos ( π2

n) .rect 4 (n )

BT 3.18 Tìm đặc tính xung h(n) của các hệ xử lý số có đặc tính tần số :

1. H (e jω ) = cos (ω−π )e j0,5 π 2.

H (e jω) = 2sin (ω2 ) e j 0,5 ω

BT 3.19 Cho tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn f < 3500 Hz :

x ( t ) = ¿ { 0 khi t < 0 ¿ ¿¿1. Xác định chu kỳ trích mẫu lớn nhất T để phổ của tín hiệu lấy mẫu

x(nT) không bị méo dạng so với phổ của x(t) .

2. Hãy biểu diễn phổ X ( e jω)của x(nT) qua phổ X¿(ω)của x(t).

BT 3.20 Hãy xây dựng sơ đồ khối và sơ đồ cấu trúc trong miền tần số của hệ sử lý số có phương trình sai phân như sau :

y (n ) = x( n )+2 x ( n−2 )+ y ( n−1 )−0,5 x ( n−2 )