Béton armé aux états limites

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- COURS béton armé - Eurocode 2 AUX _______________________________________________ Cisaillement. Justification vis à vis de l’ E.L.U.R. des poutres de sections rectangulaires et en « Té »soumises à l’effort tranchant Bibliographie Powerpoint de M : J-M. Jaeger - T. Genest - C. Boileau - F. Lebrun cours ECP (diapositives expérimentation) site SETEC TPI Vérification des contraintes tangentielles suivant l’eurocode 2 Henri Thonier Franco Levi et Piero Marro annales de l’ITBTP n° 508 novembre 1992 et n° 522 1994 Application de l’eurocode 2. Calcul des bâtiments en béton Jean-Armand Calgaro et Jacques Cortade Presses de l’école des Ponts et Chaussées Poutres en béton : effort tranchant et bielles d’appui Jacques Cortade site : btp.equipement.gouv.fr Tome 7 Conception et calcul des structures de bâtiment L’Eurocode 2 pratique Henri Thonier Presses de l’école des Ponts et Chaussées Si vous détectez des erreurs (et il y en a), merci de bien vouloir me les communiquer à l’adresse : christian.albouy@ac- toulouse.fr

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- COURS béton armé -

Eurocode 2

AUX

_______________________________________________

Cisaillement. Justification vis à vis de l’ E.L.U.R. des poutres de sections rectangulaires et en « Té »soumises à l’effort

tranchant

Bibliographie♦ Powerpoint de M : J-M. Jaeger - T. Genest - C. Boileau - F. Lebrun cours ECP (diapositives expérimentation) site

SETEC TPI♦ Vérification des contraintes tangentielles suivant l’eurocode 2 Henri Thonier Franco Levi et Piero Marro annales de l’ITBTP n° 508 novembre 1992 et n° 522 1994♦ Application de l’eurocode 2. Calcul des bâtiments en béton Jean-Armand Calgaro et Jacques Cortade Presses de

l’école des Ponts et Chaussées♦ Poutres en béton : effort tranchant et bielles d’appui Jacques Cortade site : btp.equipement.gouv.fr♦ Tome 7 Conception et calcul des structures de bâtiment L’Eurocode 2 pratique Henri Thonier Presses de l’école des

Ponts et Chaussées

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SOMMAIRE

HYPOTHÈSES.............................................................................................................................................................................................6

COMPORTEMENT EXPÉRIMENTAL D'UNE POUTRE EN B.A. SOUS L'ACTION DE L'EFFORT TRANCHANT :.................6

JUSTIFICATION VIS A VIS DE L'E.L.U.R. DES PIÈCES PRISMATIQUES SOUMISES À DES SOLLICITATIONS TANGENTES................................................................................................................................................................................................8

1.1. POUTRE EN BÉTON ARMÉ DE SECTION RECTANGULAIRE DONT LE FERRAILLAGE EST CONSTITUÉ UNIQUEMENT D’ARMATURES LONGITUDINALES EN PARTIE INFÉRIEURE..............................................................................8

NOTATIONS UTILISÉES........................................................................................................................................................................10

MODÉLISATION : (TREILLIS DE RITTER-MÖRSH)......................................................................................................................111.2. ELABORATION D’UN MODÈLE STABLE...........................................................................................111.3. RELATIONS ENTRE L’EFFORT TRANCHANT ET LES EFFORTS DANS LES MONTANTS ET LES DIAGONALES DU TREILLIS (ARMATURES D’ÂME DROITES)...............................................................................................13

1.3.1. DÉTERMINONS L’EFFORT DANS UN MONTANT :........................................................................................131.3.2. DÉTERMINONS L’EFFORT DANS UNE DIAGONALE (BIELLE):..........................................................................14

1.4. MODÉLISATION : (TREILLIS DE RITTER-MÖRSH) ARMATURES D’ÂME INCLINÉES.....................................14 ÉTUDE D'UN TRONÇON ÉLÉMENTAIRE:................................................................................................14

FORCE DE TRACTION DES ARMATURES LONGITUDINALES DUE À L’EXISTENCE DE L’EFFORT TRANCHANT........161.5. ASPECT NORMATIF.................................................................................................................161.6. DÉTERMINATION DU DÉCALAGE PAR H. THONIER ( TOME 7 CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES DE BÂTIMENTS PAGE 250)...................................................................................................................17

1.LIMITES DE CISAILLEMENT ...........................................................................................................................................................201.7. PROCÉDURES GÉNÉRALES DE VÉRIFICATION À LA RÉSISTANCE À L’EFFORT TRANCHANT CLAUSE 6.2.1(1)P. .201.8. PRINCIPES DE VÉRIFICATION À L’EFFORT TRANCHANT, POUTRES DE HAUTEUR CONSTANTE........................21

ÉLÉMENTS NE NÉCESSITANT PAS D’ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT .....................................................................221.9. PRISE EN COMPTE DU BÉTON:...................................................................................................221.10. ÉLÉMENTS NE NÉCESSITANT PAS D’ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT ..............................................23

1.10.1. EN FLEXION COMPOSÉE..................................................................................................................231.10.2. FLEXION SIMPLE AUTRE FORME DE 6.2......................................................................................24

ÉLÉMENTS POUR LESQUELS DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT SONT REQUISES EFFORT TRANCHANT RÉSISTANT : ..........................................................................................................................................................................................26

1.11. ASPECT RÉGLEMENTAIRE.......................................................................................................261.12. ÉLÉMENTS POUR LESQUELS DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT SONT REQUISES MÉTHODE DES BIELLES D’INCLINAISON VARIABLE .................................................................................................................271.13. DÉTERMINONS : EFFORT TRANCHANT DE CALCUL POUVANT ÊTRE REPRIS PAR LES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT TRAVAILLANT À LA LIMITE D’ÉLASTICITÉ DE CALCUL..................................................................291.14. DÉTERMINATION DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT DROITES : MÉTHODOLOGIE.............................30

1.14.1. DÉTERMINATION DE ......................................................................................................................301.14.2. IL FAUT DONC DÉTERMINER .............................................................................................................311.14.3. CONDITION SUR L’AIRE DE LA SECTION D’ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT MAX..........................................32

CALCUL ET CHOIX DES EFFORTS TRANCHANTS .......................................................................................................................33

DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES RELATIVES AUX ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT.........................................37

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1.15. CONSTITUTION D’UN COURS D’ARMATURES TRANSVERSALES............................................................37 FIGURE 18 BIS: DIVERSES FORMES DE CADRES, ÉTRIERS ET ÉPINGLES.....................................................371.16. LE POURCENTAGE MINIMUM D’ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT EST DONNÉ PAR L’ÉQUATION : 9.2.2(5)................................................................................................................................................381.17. L’ESPACEMENT MAXIMAL........................................................................................................38

2.RÉPARTITION DES ARMATURES TRANSVERSALES.............................................................................................................391.18. POSITION DE LA PREMIÈRE NAPPE............................................................................................391.19. CHOIX DE LA SECTION D’ARMATURES :......................................................................................391.20. DÉTERMINATION DES ESPACEMENTS..........................................................................................39

EXEMPLES ...............................................................................................................................................................................................421.21. EXEMPLE 1 .......................................................................................................................421.22. EXEMPLE 2 SECTION RECTANGULAIRE « APPLICATION DE L’EC 2 CHAP.10 ».....................................431.23. EXEMPLE 3 SECTION EN TÉ APPLICATION DE « L’EC 2 CHAP.8 POUTRE ISOSTATIQUE DE 14 M DE PORTÉE, PLAQUES D’APPUI DE 400 MM ».......................................................................................................44

ORGANIGRAMME DE CALCUL DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT EN FLEXION SIMPLE :..............................461.24. DONNÉES...........................................................................................................................471.25. ORGANIGRAMME DE CALCUL DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT : MÉTHODE DES BIELLES D’INCLINAISON VARIABLE :...................................................................................................................................481.26. POUR UN EFFORT TRANCHANT MODÉRÉ (CAS COURANTS), ORGANIGRAMME SIMPLIFIÉ DE CALCUL DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT : .................................................................................................491.27. ORGANIGRAMME SIMPLIFIÉ DE CALCUL DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT : .................................501.28. TRANSMISSIONS DIRECTES.....................................................................................................511.29. ÉLÉMENTS POUR LESQUELS DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT SONT REQUISES. 6.2.3(8) , ASPECT RÉGLEMENTAIRE............................................................................................................................511.30. JUSTIFICATION 6.2.1(8)........................................................................................................521.31. TRANSMISSION DIRECTES : (APPUI MONOLITHIQUE ET PLAQUE D’APPUI).............................................541.32. DIAGRAMME DE L’EFFORT TRANCHANT RÉDUIT. APPUI SOUPLE (EN TENANT COMPTE DES TRANSMISSIONS DIRECTES)...................................................................................................................................54

DÉTERMINONS LE DIAGRAMME ENVELOPPE DE L’EFFORT TRANCHANT (APPLICATION NUMÉRIQUE)................55

CAS OU LA BIELLE D’ABOUT EST TROP COMPRIMÉE ..............................................................................................................59

LES SUSPENTES À PRÉVOIR AU NIVEAU DES APPUIS INDIRECTS ....................................................................................60

CISAILLEMENT LE LONG DES SURFACES DE REPRISE.............................................................................................................621.33. GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE CALCUL......................................................................................621.34. POUR UN PLANCHER CONFECTIONNÉ À PARTIR DE PRÉDALLES, ÉTUDE DE LA SURFACE DE REPRISE DE LA RETOMBÉE PRÉFABRIQUÉE D’UNE POUTRE. ..........................................................................................641.35. CAS DES DALLES CONFECTIONNÉES À PARTIR DE PRÉDALLES SANS ARMATURES DE COUTURE...................65

CISAILLEMENT À LA JONCTION ÂME-MEMBRURES.:...............................................................................................................661.36. CISAILLEMENT À LA JONCTION ÂME-MEMBRURE. CAS DE MEMBRURE (OU TABLE) COMPRIMÉE..................66

1.36.1. POSITION DU PROBLÈME.................................................................................................................661.36.2. MODÉLISATION :...........................................................................................................................671.36.3. DÉTERMINATION DES ARMATURES TRANSVERSALES À LA JONCTION ÂME-MEMBRURE.......................................681.36.4. VÉRIFICATION DES BIELLES DE BÉTON COMPRIMÉ:..................................................................................68

1.37. CISAILLEMENT À LA JONCTION ÂME-MEMBRURE. MEMBRURE (OU TABLE) TENDUE ................................691.37.1. SECTION DES ARMATURES TRANSVERSALES À LA JONCTION ÂME-MEMBRURE.................................................701.37.2. VÉRIFICATION DES BIELLES DE BÉTON COMPRIMÉ:..................................................................................711.37.3. MODÉLISATION :...........................................................................................................................71

1.38. ARMATURES MINIMALES 9.2.2.................................................................................................711.39. ARMATURES RÉGLEMENTAIRES : CISAILLEMENT ENTRE MEMBRURE ET ÂME COMBINÉ À LA FLEXION TRANSVERSALE.............................................................................................................................72

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1.40. MÉTHODE APPROCHÉE..........................................................................................................721.1. CAS D'UN CHARGEMENT EXCENTRÉ..............................................................................................76

3. TORSION .............................................................................................................................................................................................77

4.TABLEAU VALEUR DE NOTE 3 :....................................................................................................................................................82

ANNEXES..................................................................................................................................................................................................831.2. JUSTIFICATION DE L’EXPRESSIONS DE : EFFORT TRANCHANT DE CALCUL POUVANT ÊTRE REPRIS PAR LES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT TRAVAILLANT À LA LIMITE D’ÉLASTICITÉ DE CALCUL 6.13 ......................831.3. JUSTIFICATION DE L’EXPRESSION DE 6.14 ............................................................................841.4. AUTRE FORMALISATION POUR LA RECHERCHE DES ÉQUATIONS...........................................................861.5. ÉTUDE STATIQUE : SYSTÈME DE 2 ÉQUATIONS...............................................................................871.6. EXPRESSION DE EFFORT TRANCHANT DE CALCUL MAXIMAL POUVANT ÊTRE SUPPORTÉ SANS PROVOQUER L’ÉCRASEMENT DES BIELLES DE BÉTON ARMÉ ;......................................................................................881.7. EXPRESSION DE EFFORT TRANCHANT DE CALCUL POUVANT ÊTRE REPRIS PAR LES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT TRAVAILLANT À LA LIMITE D’ÉLASTICITÉ DE CALCUL .................................................................891.8. RELATIONS SI .......................................................................................................................901.9. MÉTHODOLOGIE POUR DES ARMATURES VERTICALES ......................................................................921.10. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ................................................................................................931.11. CONCLUSION .....................................................................................................................94

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Hypothèses♦ éléments en béton armé (pas de précontrainte) 1=cwα . ♦ de hauteur constante cteh = dans le cas contraire voir 6.2.1.♦ en flexion simple, on peut considérer l’expression forfaitaire : d,z 90= .♦ armatures d’effort tranchant droites : °= 90α .

Comportement expérimental d'une poutre en B.A. sous l'action de l'effort tranchant EdV :

Trois types de ruptures.

Figure 1

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Sections 6 et 9

Page 7: Béton armé aux états limites

P

P−

M

V

3/

3/P−

3/P

PP2

P2

3/

P−

P

Figure 1’

Schéma mécanique et diagrammes de sollicitations associés.

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JUSTIFICATION VIS A VIS DE L'E.L.U.R. des pièces prismatiques soumises à des sollicitations tangentes

1.1. Poutre en béton armé de section rectangulaire dont le ferraillage est constitué uniquement d’armatures longitudinales en partie inférieure.

Cette poutre est sollicitée par des charges uniformément réparties.Sur la figure 2, sont représentés les diagrammes des sollicitations : effort tranchant et moment de flexion.

p

p

zL 10=

h

hL 8=

2Lp

V

pz5=

2Lp−

xy

diagramme de l'effort tranchant

8

2LpM

diagramme du moment de flexion

z

Figure 2. Diagrammes de l’effort tranchant et du moment de flexion

La résistance des matériaux nous apprend que sous l’action du moment de flexion positif, la poutre est sollicitée en compression dans la partie supérieure et en traction dans la partie inférieure.Dans les zones tendues, comme la résistance du béton à la traction est faible, on ne peut pas compter sur lui pour la reprise de l’effort de traction donc il est négligé dans les calculs.Cet effort de traction doit être repris par un matériau compatible bon en traction c’est-à-dire l’acier, d’où la mise en place d’armatures longitudinales.Ce premier modèle (= 2 membrures distantes de z) (Figure 2) permet de comprendre comment s’effectue la reprise du moment de flexion mais pas celle l’effort tranchant.

p

h

Fcd

Ftd

p

hM V Vz

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6.2

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Figure 3. Première modélisation de la poutre en béton armé

Flexion simple : Fcd = Ftd M = Fcd × z = Ftd × zLe paramètre géométrique z est appelé bras de levier, parfois on utilise la valeur approchée forfaitaire : z = 0,8h pour les poutres de section rectangulaire.

Lors d'essais sur une poutre B.A (voir figure 4). sans armatures d’âme, on constate l'apparition de fissures inclinées, celles-ci délimitent des prismes de béton inclinés à environ 45° sollicités en compression simple, ces prismes sont appelés bielles.Ces fissures apparaissent d’abord au voisinage des appuis et se propagent ensuite vers la zone centrale de la travée. Montrons qu’il y a une corrélation entre l’intensité de l’effort tranchant et l’apparition et la propagation de ces fissures.

Lors d'essais sur une poutre B.A. sans armatures d’âme, on constate l'apparition de fissures inclinées, celles-ci délimitent des prismes de béton inclinés à 45° environ sollicités en compression simple, ces prismes sont appelés BIELLES.

Si nous isolons un élément de volume situé dans la zone tendue d’une poutre soumise à un effort tranchant.Sur la fig. ci-dessous, cet élément est situé proche de l’appui gauche, l’effort tranchant y est négatif. On peut montrer qu’il est soumis uniquement à des contraintes tangentes τ u . On montre qu’une diagonale est comprimée tandis que

l’autre est tendue. Si nous faisons varier l’intensité du chargement. ↑⇒↑⇒↑ uEdVp τLorsque la contrainte de traction (qui est aussi égale en intensité à la contrainte tangente) atteint la résistance de traction du béton σ τ= =u ctmf , il se produit une fissure sensiblement inclinée à 45°.

Compléments :Avant l’apparition des fissures , la RDM (section homogénéisée et béton tendu négligé) permet de déterminer la

contrainte ( )

( )Gz hc

Gz h

VS VgI z

ΩΩ

= = z bras de levier ;db,

Vzb

Vww 90

≈=τ

( )hcGzS Ω Moment statique / axe passant par G (le cdg de la section homogénéisée) pour la section homogénéisée restreinte au béton comprimé.

( )hGzI Ω Moment quadratique / axe passant par G (le cdg de la section homogénéisée) pour la section totale homogénéisée.Après l’apparition des fissures à 45°, le modèle précédent n’est plus valide, il faut considérer un arc sous-tendu par les armatures longitudinales. Une redistribution d’efforts s’instaure dans la poutre.

VEdτ u

τ u

τ u

τ u fissu

reτ u

τ u

σ = τ u

τ u

τ u

σ = τ ucompressiontraction

Figure 4

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Page 10: Béton armé aux états limites

sens d'apparition des fissures

bielle

s

membrure comprimée

Figure 5

Notations utilisées

tdF valeur de calcul de l’effort de traction dans les armatures longitudinales.

cdF valeur de calcul de l’effort de compression dans le béton dans la direction de l’axe longitudinal de l’élément.

swdF valeur de calcul de l’effort pour le montant tendu représentant les armatures d’effort tranchant.

bdF effort normal de calcul dans la bielle de béton comprimé.

wb plus petite largeur de la section comprise entre la membrure tendue et la membrure comprimée. (figure 6) α valeur absolue de l’angle des armatures d’effort tranchant avec la ligne moyenne de la poutre (origine ouest). Cadre vertical : °= 90α θ valeur absolue de l’angle d’inclinaison des bielles de béton avec la ligne moyenne de la poutre. (origine est).z bras de levier des forces normales internes, en flexion simple on peut adopter d,90 clause 6.2.3.(1).d hauteur utile de la section.

bw bw

Figure 6. Largeur wb à considérer

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.. 6.2.2 .. 6.2.3.

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Modélisation : (Treillis de Ritter-Mörsh)1.2. Elaboration d’un modèle stable

Pour un chargement composé de 2 forces ponctuelles, on peut imaginer une modélisation comme indiqué sur la figure ci-dessous.

vôute de déchargearc

tirant

Figure 6’. Modélisation de la poutre en béton armé pour deux charges ponctuelles faibles

Si nous remplaçons les charges uniformément réparties par des forces ponctuelles régulièrement espacées, nous pouvons imaginer une modélisation tenant compte de la symétrie.

A 2 charges ponctuelles symétriques est associé une voûte sous-tendue mais une seule est stable, celle qui repose sur les appuis d’extrémités ; les autres ne sont pas équilibrées, les charges verticales ne peuvent pas être transmises aux appuis (l’armature longitudinale ne peut reprendre que des efforts normaux donc horizontaux). Cette modélisation par une structure instable est représentée sur les figures suivantes.

θ =45°

Figure 6’’. Modélisation de la poutre en béton armé dépourvue d’armatures d’effort tranchant par une structure (instable) composée d’arcs sous-tendus.

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Page 12: Béton armé aux états limites

Figure 6’’’. Modélisation de la poutre en béton armé dépourvue d’armatures d’effort tranchant par une structure stable composée d’arcs sous-tendus superposés. Cela tend

vers la modélisation d’un arc sous-tendu.

Si nous remplaçons les charges uniformément réparties par des forces ponctuelles régulièrement espacées, nous pouvons imaginer une modélisation tenant compte de la symétrie. Le schéma mécanique est représenté (cf. figure 7). Montrons que ce modèle est instable.Déterminons le degré d’hyperstaticité (noté L) de la poutre treillis correspondant à la poutre en béton armé confectionnée sans armatures d’effort tranchant. Les barres sont articulées au niveau de tous les nœuds.

Figure 7. Treillis associé à la modélisation de la poutre en béton armé dépourvue d’armatures d’effort tranchant = mécanisme = structure instable

La membrure comprimée comprend 6 barres, la membrure tendue comprend 7 barres, 8 diagonales soit 21 barres en tout : L = i - 3b , le nombre d’inconnue total i obtenu en isolant tous les nœuds est égal à :i = 57 d’où L = 57 -3 × 21 = -6 L < 0, c’est un mécanisme donc instable, on peut le remarquer sur la figure 7, le treillis est constitué de 6 panneaux formant des parallélogrammes (lesquels sont déformables). Cette structure est à rejeter par le projeteur ou à transformer.Pour rigidifier ces panneaux, il faudrait placer 6 diagonales qui sont ici verticales, on les appelle alors des montants.Si nous plaçons des montants constituant les diagonales des parallélogrammes : nous avons l’égalité 2n = b + 3 (n = nombre de nœuds et b = nombre de barres) relation des systèmes matériels constitués de triangles, la structure est isostatique donc stable. L = 0. (figure 8)Ces montants représentent les armatures d’effort tranchant qu’il faut impérativement disposer dans la poutre pour assurer sa stabilité.

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Page 13: Béton armé aux états limites

Figure 8. Treillis associé à la modélisation de la poutre en béton armé avec armatures d’effort tranchant verticales.

On modélise le fonctionnement mécanique d’une poutre en béton armé comme celui d’un treillis que l’on nomme treillis de Ritter-Mörsch.Les barres d’un treillis sont sollicitées uniquement à des efforts normaux soit de compression soit de traction. En béton armé, la barre comprimée est appelée bielle, la barre tendue tirant.Ce treillis est constitué : D’une membrure qui représente le béton comprimé en partie supérieure de poutre ; D’une membrure tendue constituée des aciers longitudinaux ; De diagonales constituées de bielles de béton inclinées d’un angle : °= 45θ ; De montants constitués par les armatures d’effort tranchant verticales ;Les 2 membrures reprennent le moment de flexion.Les diagonales et montants reprennent l’effort tranchant.On montrera en étudiant le treillis que les montants sont tendus et les diagonales (bielles de béton) comprimées.Les montants tendus constituent les armatures d’âme ou d’effort tranchant. Pour des raisons de facilité de montage de la cage d’armatures elles sont verticales (90°) mais elles pourraient être inclinées, l’Eurocode permet une inclinaison de 45° à 90°.

Figure 9. Treillis associé à la modélisation de la poutre en béton armé avec armatures d’effort tranchant inclinées

Si nous plaçons des diagonales inclinées, nous avons aussi l’égalité 2n = b + 3, la structure est isostatique donc stable. L = 0 (figure 9)

1.3. Relations entre l’effort tranchant et les efforts dans les montants et les diagonales du treillis (armatures d’âme droites)

Le schéma mécanique associé à la poutre en béton armé uniformément chargée est représenté figure 10.

2L

pzpz

pz21

z

pz pz

pz5

pz

θ =45°

z5

z

Figure 10. Schéma mécanique associé à la poutre en béton armé uniformément chargée représentée figure 2.

1.3.1.Déterminons l’effort dans un montant :

Utilisons la méthode de Ritter : pratiquons une coupure, celle-ci doit couper le montant étudié et les 2 membrures (voir figure 11)

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Page 14: Béton armé aux états limites

z

B

A

C

θcotz

Ftd

Fcd

Fswdz

θ =45°

Figure 11. Détermination des efforts dans les montants

La section droite considérée est soumise au moment de flexion EdM et l’effort tranchant EdV lequel est constant entre B+ et C-.Pour des armatures d’effort tranchant droites swEd FV =Le montant est tendu.Entre B+ et C-, l'effort tranchant EdV est donc "repris" par le montant tendu positionné en C (constitué d’un cadre et éventuellement d’étriers ou d’épingles)

1.3.2.Déterminons l’effort dans une diagonale (bielle):Utilisons la méthode de Ritter : pratiquons une coupure entre les nœuds B et C coupant une diagonale (bielle) et les 2 membrures (figure 12)

z

C

A

θ

θcotz

B

θ =45°

V

2VsinVFbd

==θ

Ftd

Fcd

zθ =45°

Fbd

Figure 12. Détermination des efforts dans les diagonales (bielles)

Cas des bielles inclinées de θ : θsin

VF Edb =

Cas des bielles à 45° 2Edb VF =

Entre B+ et C-, l'effort tranchant EdV est donc "repris" par la bielle de béton. On remarque que l’effort de compression des bielles augmente lorsque θ diminue.

1.4. Modélisation : (Treillis de Ritter-Mörsh) armatures d’âme inclinées

Étude d'un tronçon élémentaire:

On étudiera uniquement un tronçon de poutre comprenant une bielle de béton.

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Page 15: Béton armé aux états limites

B

C

A

bielle z

α θ

αcotzθcotz( )αθ cotcotz +

On définit donc les efforts dans une section quelconque :

- cdF dans la membrure comprimée

- tdF dans la membrure tendue

- Fsw pour la diagonale tendue.

Fc bielle, effort normal dans labielle de béton comprimé

B

C'

A

armaturetransversale

Fsw z

Fcd

Ftd

α

C

Utilisons la méthode de Ritter : coupure entre les nœuds C et C’La section droite considérée est soumise à EdM et

EdV .

Soit EdV l’effort tranchant entre les points C et B .On peut établir la relation entre l’effort tranchant et l’effort normal dans la diagonale tendue représentant

les armatures d’effort tranchant : αsin

VF Edsw =

Pour des armatures d’effort tranchant droites

swEd FV =Entre C et B, l'effort tranchant EdV est donc "repris" par la diagonale tendue (cadre, étriers ou épingles)

B

C

A

armaturetransversale

Fc,bielle z

Fcd

Ftd

θ

C'' Utilisons la méthode de Ritter : coupure entre les nœuds A et C , soit EdV l’effort tranchant.

Cas des bielles inclinées de θ θsin

VF Edbielle,c =

Cas des bielles à 45° 2Edbielle,c VF =

Entre A et C, l'effort tranchant EdV est donc "repris" par la bielle de béton. On remarque que l’effort de compression des bielles augmente lorsque θ diminue.

• D’après l’article 6.2.3(5), dans les zones ou il n’y a pas de discontinuité de EdV (par exemple, pour une charge répartie), la détermination des armatures d’effort tranchant sur une longueur élémentaire l z cot θ= peut être effectuée en utilisant la plus petite valeur de EdV sur cet intervalle. Cela revient à considérer un décalage de la courbe enveloppe théorique d’effort tranchant de : l z cot θ= ;

Cette longueur est égale à la projection horizontale de AC.

• Inclinaison des biellesDans le cas de poutres, l’angle θ des bielles de béton avec la fibre moyenne est limitée par :En flexion simple 521 ,cot ≤≤ θ soit °≤≤° 4522 θ (6.7a NF)

Inclinaison des armatures d’effort tranchantL’angle α des armatures d’effort tranchant avec la ligne moyenne doit être tel que : °≤≤° 9045 α . En pratique °= 90α

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.. 9.2.2(1)

.. 6.2.3(2)

Armature d’effort tranchant

Armature d’effort tranchant

Page 16: Béton armé aux états limites

Force de traction des armatures longitudinales due à l’existence de l’effort tranchant

1.5. Aspect normatif

II convient que les armatures longitudinales tendues soient capables de résister à l'effort de traction tdF∆ supplémentaire généré par l'effort tranchant

La force de traction des armatures principales est donc représentée par l’expression

( )αθ∆∆ cotcotVFz

M;F

zM

minF Edtd,maxEd

tdEd

td −=

+=

21

avec z d= 0 9, 6.18

Cela équivaut à admettre un décalage de la courbe enveloppe des moments de ( )12la z cot cotθ α= −

Figure 6.5 : Modèle de treillis et notations dans le cas d’éléments comportant des armatures d’effort tranchant

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α

s

d θ z=0,9d

EdMz EdV

EdV

αcotVEd

α

αsinVEd

EdV

θsinVEd

θcotVEd

EdN

tdF

cdF

tdF∆

tdcd FF ∆∆ =

θcotVEd21

θcotVEd21

θαcotVEd2

1

effort

dans la bielle

( )αθ∆ cotcotVF Edtd −=21

αcotVEd21

effort dans

l'armature

d'effort tranchant

cdF

tdF

EdV EdMEdN

EdV2z

2z

[ ]αθ cotcotVEd −

[ ]αθ∆ cotcotVF Edtd −=21

A B

CD

A B

C D

membrure comprimée

membrure tendue

bielles

armatures

d'effort tranchant bw bw

EdV[ ]αθ cotcotVEd −

.. 6.2.1 (7) 6.2.3(7)

Page 17: Béton armé aux états limites

Justification Dans la section droite de la poutre (voir fig 6.5), l’âme est soumise d’une part à un effort tranchant EdV et d’autre

part en raison de l’existence des bielles et armatures d’effort tranchant à un effort normal ( )αθ cotcotVEd − L’équilibre de la section droite en projection sur la ligne moyenne entraîne l’existence d’efforts complémentaires dans les membrures.

( )αθ∆ cotcotVF Edtd −=21

6.18 représente la contribution de l’effort tranchant à l’effort normal appliqué à la

membrure tendue (armatures longitudinales) Une contribution identique est appliquée à la membrure comprimée qui s’en trouve soulagée d’autant.

L’effort dans l’armature à l’abscisse x se détermine à partir du moment situé à lax + : ( ) ( )z

axMxF ltd

+=

L’effort de traction supplémentaire dans les armatures longitudinales

( ) ( ) ( )l Ed ltd

M x a M x V aMF xz z z

∆∆+ −

= = =

soit ( )12

tdl

Ed

F za z cot cotV

θ α∆= = − d,z 90=

Pour des armatures d’effort tranchant droites θcotza l 2=

Pour z,a,cot l 25152 ==θPour z,acot l 501 ==θ

1.6. Détermination du décalage par H. Thonier ( tome 7 conception et calcul des structures de bâtiments page 250)

Soit un treillis multiple constitué de n treillis élémentaires.

L’espacement des cours d’armatures transversales : [ ]αθ cotcotnzs +=

Sur le tronçon considéré A1 B1, on suppose s constant.Le segment A1 B3 de longueur s constitue la membrure tendue de n treillis élémentaires

( )αθ cotcotz +s

treillis

n°1

treillis

n°2

treillis

n°3

x

θcotz αcotzs s

treillis n°1

treillis n°2

treillis n°3

A3 A2 A1

C3

B3

C2

B2

C1

B1

z

Hypothèse : On considère que chacun des treillis reprend un même moment

de flexion : ( )n

xM, le

choix de ( )xM peut se justifier par le fait que l’on se place en sécurité en considérant la valeur du moment la plus grande soit en C1 sur le tronçon considéré A1 B1.

Déterminons l’effort tdF dans la membrure tendue en sommant les efforts normaux déterminés pour chacun des

treillis élémentaires. Cet effort existe au point A1 d’abscisse 0=x

Pour le treillis n° 1 : ( )

nzxM

zMC =1

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Page 18: Béton armé aux états limites

Pour le treillis n° 2 : ( )nz

sxMz

MC −=2

Pour le treillis n° 3 : ( )

nzsxM

zMC 23 −=

Pour le treillis n° i : ( )( )

nzsixM

zM

iC 1−−=

Pour le treillis n° n : ( )( )

nzsnxM

zM

nC 1−−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]snxM...sixM...sxMsxMsxMxMnz

Ftd 11321 −−++−−++−+−+−+=

( )( )∑ −−=n

td sixMnz

F1

11

Soit ( )( )∑ −−=n

m sixMn

M1

11 : mM représente le moment correspondant à l’effort tdF dans la membrure au

point A1 d’abscisse x=0 zFM tdm =Soit )x(fMm = ; l’abscisse correspondant au moment mM est fourni par la fonction inverse )M(fx m

1−=

Déterminons l’abscisse a correspondant à mM ( )( )

−−= ∑−

n

sixMn

fa1

1 11

Hypothèse : on fait l’hypothèse que sur le tronçon considéré M est une fonction affine :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0

000V

xMMxx.VMxM −=−=

pour l’abscisse x ( ) ( ) ( ) x.VMxM 00 −=pour l’abscisse sx − ( ) ( ) ( ) ( )sx.VMsxM −−=− 00pour l’abscisse ( ) six 1−− ( )( ) ( ) ( ) ( )( )six.VMsixM 1001 −−−=−−

( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

−+−=−−−=−− ∑∑∑

nnn

i.s.Vx.V.nM.nn

six.VMn

sixMn 111

10001100111

( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sn.Vx.VMsnn.Vx.nVM.nn

sixMn

n

21000

21000111

1

−+−=

−+−=−−∑

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )02

10000

2100011 1

1

1

V

sn.Vx.VMMsn.Vx.VMfsixM

nfa

n

−+−−

=

−+−=

−−= −− ∑

( ) snxa2

1−−=

En remplaçant s et x par leurs expressions : [ ]αθ cotcotnzs += θcotzx =

( ) ( ) [ ] ( ) ( )n

ncotzn

ncotzcotcotnzncotzsnxa

21

211

21

21 −−

−−=+−−=−−= αθαθθ

−−

+=

ncotz

ncotza 11

211

2αθ

Pour déterminer tdF dans la membrure tendue (armatures longitudinales tendues) dans une section droite, il faut considérer le moment dans une section éloignée de a .a correspond au décalage de la courbe des moments pour tenir compte de l’effort tranchant.

Cette expression doit être comparée avec celle imposée par l’EC2 : ( )2

αθ cotzcotzal−=

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Page 19: Béton armé aux états limites

Pour des cours d’armatures verticaux :

+=

ncotza 112

θ

1=n θcotza =2=n

αθ cotzcotza41

43 −=

3=nαθ cotzcotza

31

32 −=

4=nαθ cotzcotza

83

85 −=

∞=n ( )lacotzcotza =−=

2αθ

expression EC2

Formons le rapport :

−++=

−−

+

=αθαθ

αθ

αθ

cotcotcotcot

ncotzcotzn

cotzn

cotz

aa

l

11

22

112

112 1>

Ce rapport est toujours supérieur à 1, donc l’expression donnée de l’EC2 n’est pas sécuritaire.

Avec des cours verticaux naa

l

11+=

Ce rapport est max. pour 1=n soit 2=la

aθcotzaa l == 2

Cherchons minn ; s/cotzn θ= [ ] 2175090750 ,d,/d,d,/zs/cotzn maxminmin ==== θPour être toujours du côté de la sécurité, il faudrait adopter : θcotzaa l == 2

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Page 20: Béton armé aux états limites

1. Limites de cisaillement

1.7. Procédures générales de vérification à la résistance à l’effort tranchant clause 6.2.1(1)P

La vérification de la résistance à l’effort tranchant s’effectue uniquement à l’ELU.On définit:VEd est l'effort tranchant agissant de calcul.VRd,c est l’effort tranchant résistant de calcul de l'élément en l'absence d'armatures d'effort Tranchant.VRd,s est l’effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d'effort tranchant travaillant à la limite d'élasticité (de calcul fywd).VRd,max est la valeur de calcul de l'effort tranchant maximal pouvant être repris par l'élément, avant écrasement des bielles de compression.Dans les éléments de hauteur variable, on définit également (voir Figure 13) :Vccd est la valeur de calcul de la composante d'effort tranchant de la force de compression, dans le cas d'une membrure comprimée inclinée.Vtd est la valeur de calcul de la composante d'effort tranchant de la force dans l'armature tendue, dans le cas d'une membrure tendue inclinée.

Vccd

Vtd

Figure 13 : Fig :6.2 de l’EN 1992-1-1: Composantes d'effort tranchant dans le cas d'éléments de hauteur variable

Clause 6.2.1(2) La résistance à l'effort tranchant d'un élément comportant des armatures d'effort tranchant est égale à :

VRd = VRd,s + Vccd + Vtd (6.1)

Clause 6.2.1 (3) Dans les zones de l'élément où c,RdEd VV ≤ , aucune armature d'effort tranchant n'est requise par le calcul. VEd est l'effort tranchant agissant de calcul dans la section considérée, résultant des charges extérieures appliquées et de la précontrainte (armatures adhérentes ou non).Dans le cas d'éléments de hauteur variable c,RdtdccdEd VVVV ≤−−

Clause 6.2.1 (4) Même lorsque aucune armature d'effort tranchant n'est requise, il convient de prévoir un ferraillage transversal minimal comme indiqué en 9.2.2. Ce ferraillage minimal peut être omis dans les éléments tels que les dalles (pleines, nervurées ou alvéolées) lorsqu'une redistribution transversale des charges est possible. Le ferraillage minimal peut également être omis dans les éléments secondaires (linteaux de portée m2≤ par exemple) qui ne contribuent pas de manière significative à la résistance et à la stabilité d'ensemble de la structure.

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Page 21: Béton armé aux états limites

Clause 6.2.1 (5) Dans les régions où c,RdEd VV > (VRd,c étant donné par l'Expression (6.2)), il convient de prévoir

des armatures d'effort tranchant en quantité suffisante de telle sorte que RdEd VV ≤ (voir l'Expression (6.1)).Clause 6.2.1 (6) Il convient qu'en tout point de l'élément, la somme de l'effort tranchant agissant de calcul (sans réduction due aux transmissions directes aux appuis) et des contributions des membrures, VEd - Vccd - Vtd, soit inférieure ou égale à la valeur maximale admise VRd,max (voir 6.2.3).

tdccdmax,RdEd VVVV ++≤ ⇔ max,RdtdccdEd VVVV ≤−−

1.8. Principes de vérification à l’effort tranchant, poutres de hauteur constante.

1. La vérification à l’effort tranchant s’effectue uniquement à l’ELU.2. Le règlement est basé sur la comparaison de l’effort tranchant de calcul noté EdV à 3 valeurs de calcul des efforts tranchants résistants.

c,RdV Effort tranchant résistant de calcul de l’élément sans armatures d‘effort tranchant ;

max,RdV Effort tranchant de calcul maximal pouvant être repris par l’élément avant écrasement des bielles debéton comprimées;

s,RdV Effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d’effort tranchant travaillant à la limite d’élasticité ;

RdV Effort tranchant de calcul pouvant être supporté par un élément avec armatures d‘effort tranchant.(la contribution des armatures d’âme)

Si c,RdEd VV ≤ il convient de prévoir des armatures d’effort tranchant minimales selon les indications de l’article 9.2.2. Ce ferraillage minimal peut être omis dans les éléments tels que les dalles (pleines, nervurées ou alvéolées) lorsqu'une redistribution transversale des charges est possible. Le ferraillage minimal peut également être omis dans les éléments secondaires (linteaux de portée ≤ 2 m par exemple) qui ne contribuent pas de manière significative à la résistance et à la stabilité d'ensemble de la structure.

Si c,RdEd VV > il convient de prévoir des armatures d’effort tranchant de manière à vérifier la relation :

[ ]s,Rdmax,RdEd V,VminV ≤ et vérifier le pourcentage minimal indiqué en 9.2.2Dans le cas où les armatures d’effort tranchant seraient nécessaires, la norme actuelle utilise la méthode des bielles d’inclinaison variable.Dans ce cas, on optimise l’inclinaison des bielles. °≤≤° 4522 θElle ne prend pas en compte la contribution forfaitaire secondaire du béton à la reprise de l’effort tranchant.Elle conduit à une économie d’armatures d’effort tranchant mais peut exiger plus d’armatures longitudinales.

• Dans le cas d’une charge non située à la partie supérieure de la poutre, il faut prévoir des suspentes pour transmettre correctement cette charge.

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.. 6.2.1

.. 6.2.1

Page 22: Béton armé aux états limites

Éléments ne nécessitant pas d’armatures d’effort tranchant c,RdEd VV ≤

Ce sont principalement des dalles, des semelles superficielles,…

1.9. Prise en compte du béton:

Si les charges appliquées p sont faibles, la poutre est stable.Les expérimentations le montrent, le béton participe à la reprise de l'effort tranchant.Dans le cas d’une poutre sans armatures d’effort tranchant, les bielles d’appuis et la membrure comprimée forment une voûte de décharge sous-tendue par les armatures longitudinales jouant le rôle de tirant et maintenant l’écartement des naissances de la voûte. Cet arc sous-tendu est une structure stable et repose sur les appuis d’extrémité.La hauteur de la voûte étant faible, les efforts normaux sont très importants. La capacité portante de la voûte sous-tendue est liée à la résistance à la compression du béton (pour la voûte) et à l’aire de la section des armatures tendues (tirant). (voir figure 14)Les éléments en béton armé sans armatures d’effort tranchant sont essentiellement les dalles ainsi que des éléments secondaires (linteaux de portée inférieure à 2 m par exemple) qui ne contribuent pas de manière significative à la résistance et à la stabilité d'ensemble de la structure.

vôute de déchargearc

tirant

Figure 14. Modélisation de la poutre en béton armé pour des charges uniformément réparties faibles : Éléments fonctionnant comme une voûte sous-tendue.

Pour un chargement composé de 2 forces ponctuelles, on peut imaginer une modélisation comme proposé sur la figure 15.

vôute de déchargearc

tirant

Figure 14. Modélisation de la poutre en ba pour deux charges ponctuelles faibles

La capacité de résistance au cisaillement : effort tranchant résistant de calcul en l’absence d’armatures d’effort tranchant est noté : c,RdV .Des essais ont fait apparaître des différences sensibles entre les résultats expérimentaux et théoriques. Ces différences sont d’autant plus marquées que l’effort tranchant EdV est plus faible. Les essais montrent qu’il y a un décalage à l’origine qui est dû en grande partie au fait que tant que le béton n’est pas fissuré, il équilibre la grande majorité de EdV .

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Page 23: Béton armé aux états limites

Tout se passe en fait comme si l’armature d’âme n’avait à équilibrer qu’une partie de l’effort tranchant notée VSw .

avec c,RdEdSw VVV −= .membrure comprimée

Vu

Fsw

Ritter Mörsh

courbe expérimentale

les droites sontparallèles

VRdccourbe théoriquemodèle de Ritter Mörsh

swF effort dans l’armature d’effort tranchantRemarque :La méthode des bielles d’inclinaison variable ne prend pas en compte explicitement la reprise d’une partie de l’effort tranchant par le béton. Cependant, lorsqu’il n’y a pas de discontinuité de l’effort tranchant, l’EC2 permet de calculer les espacement des cours en effectuant un décalage du diagramme de l’effort tranchant de : z cot θ . On peut montrer que la modélisation en treillis conduit un décalage de : 0 5, z cot θ . On pourrait penser que le

complément : 0 5, z cot θ est dû à la reprise par le béton.

1.10. Éléments ne nécessitant pas d’armatures d’effort tranchant c,RdEd VV ≤

c,RdV est d’origine expérimentale, les paramètres pris en compte sont :

la résistance caractéristique du béton à la compression ckf ; les dimensions des pièces k ; le pourcentage des armatures longitudinales lρ ;

la présence d’un effort normal (en flexion composée) cpσ ;

1.10.1. En flexion composée

( ) ( ) 1 31100N

Rd ,c Rd ,c l ck cp wV C k f k b dρ σ = + 6.2.a

Valeur minimale ( ) [ ] dbkvV wcpminc,RdN σ1+= 6.2.b

On peut aussi l’écrire : ( ) ( ) 1 31 1100N

Rd ,c min cp Rd ,c l ck cp wV max v k ; C k f k b dσ ρ σ = + + × 6.2.

ckf en MPa ( )2001 2mmk min ;

d

= +

Le pourcentage ρ l d’acier longitudinal de flexion : sll

w

Ab d

ρ = 020,≤

Asl : Aire de la section des armatures tendues, prolongée d’une longueur supérieure à bdld + au delà de

la section considérée. ( bdl étant la longueur d’ancrage de calcul)

wb : est la plus petite largeur de la section droite dans la zone tendue, en mm.

cdc

Edcp f,

AN 20<=σ en MPa

EdN est l’effort normal agissant dans la section droite, dû aux charges extérieures appliquées et ou à la

précontrainte (en Newtons, 0>EdN en compression)

en flexion simple 0=EdN

cA aire de la section droite de béton en mm2

1501 ,k = ;C

c,Rd,C

γ180=

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Page 24: Béton armé aux états limites

210340 /ck

Cmin f,v

γ= pour les dalles bénéficiant d’un effet de redistribution transversale sous le cas de

charge considéré.21230530 /

ckC

min fk,vγ

= poutres et dalles autres que celles ci-dessus

210350 /ck

Cmin f,v

γ= voiles

Pour les éléments précontraints voir 6.2.2(2) et (3)

(5) Lorsque les armatures d’effort tranchant ne sont pas requises, pour le calcul des armatures longitudinales, dans les régions fissurées en flexion, il convient de décaler la courbe enveloppe des moments de :• dal = dans la direction défavorable (voir 9.2.1.3(2))

Voir (6) pour les transmissions directes.

45°45°

section considéréesection considéréeA A

EdV EdVbdl bdl

d

slAslA

section considérée

bdl

slA

EdV

d

A

°45

Figure 6.3 : Définition de Asl dans l'Expression (6.2)

1.10.2. Flexion simple Autre forme de 6.2.( ) ( ) 1 3100N

min w Rd ,c Rd ,c l ck wv b d V C k f b dρ≤ = 6.2.

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.. 6.2.2

Page 25: Béton armé aux états limites

( ) 1 3100Ed w min Rd ,c l ckV b d max v ;C k fρ ≤ × en flexion simple pour les poutres et dalles portant dans un sens :

( ) ( )

1 31 2

1 2200 2001 2 0 053 1 2 0 18 100 0 02/

/w slEd ck ckmm mm

C w

b d AV min ; max , min ; f ; , min ; , fb dd dγ

≤ + × + × × en flexion simple pour les dalles portant dans 2 sens :

( )

1 3

1 2 2000 034 0 18 1 2 100 0 02/w slEd ck ckmm

C w

b d AV max , f ; , min ; min ; , fb ddγ

≤ × × + × (5) Lorsque les armatures d’effort tranchant ne sont pas requises, pour le calcul des armatures longitudinales, dans les régions fissurées en flexion, il convient de décaler la courbe enveloppe des moments de :• dal = dans la direction défavorable (voir 9.2.1.3(2)) (par exemple les dalles)

• Attention 2la zcot /θ= , lorsque les armatures d’effort tranchant sont requises.Voir (6) pour les transmissions directes.

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Page 26: Béton armé aux états limites

Éléments pour lesquels des armatures d’effort tranchant sont requises c,RdEd VV > Effort tranchant résistant : )V;Vmin(V ,maxRds,RdRd =

1.11. Aspect réglementaire

• Si les armatures d’effort tranchant sont inclinées

( )swRd ,s ywd

AV zf cot cot sins

θ α α= + 6.13

( )( )1 21Rd ,max cw w cd

cot cotV b z f

cotθ α

α νθ

+=

+ 6.14

L’aire effective maximale de la section des armatures transversales

1

2sw ,max ywd cw cd

w

A f fb s sin

α να

≤ 6.15

• Si les armatures d’effort tranchant sont verticales

swRd ,s wd ywd

AV V zf cots

θ= = 6.8

( )1cw w cd

Rd ,maxb z fV

tan cotα ν

θ θ=

+ 6.9

1

2sw ,max ywd cw cd

w

A f fb s

α ν≤ 6.12

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6.2.3(2) (3) (4)

Page 27: Béton armé aux états limites

1.12. Éléments pour lesquels des armatures d’effort tranchant sont requises c,RdEd VV > Méthode des bielles d’inclinaison variable

Dans le cas de poutres, en flexion simple, l’angle θ des bielles de béton avec la fibre moyenne est limitée par 521 ,cot ≤≤ θ soit °≤≤° 4522 θ 6.7NCas des bielles inclinées à θ

θ α

z cot θ

z ( cot θ + cot α )

z ( cot θ + cot α ) sin θ largeur de la bielle

z ( cot θ + cot α )z cot α

Justification de max,RdV Effort tranchant de calcul maximal pouvant être supporté sans provoquer

l’écrasement des bielles de béton armé ; ( )

( )1 21Rd ,max cw w cd

cot cotV b z f

cotθ α

α νθ

+=

+ 6.14

La largeur de la bielle de béton est égale à : ( ) θαθ sincotcotz +L’aire de la section droite : ( ) wb.sincotcotz θαθ +La contrainte de compression des bielles de béton ne doit pas dépasser 1c cdfσ ν≤ ;

L’effort normal maximal dans la bielle est : ( )1w cdzb f cot cot sinν θ α θ+Cela correspond à un effort tranchant

( ) ( ) 21 1Rd ,max w cd w cdV zb f cot cot sin sin zb f cot cot sinν θ α θ θ ν θ α θ= + = +

Or ( )sincot

22

11

θθ

=+

d’où l’expression théorique : ( )

( )1 21Rd ,max w cd

cot cotV b z f

cotθ α

νθ

+=

+

expression donnée par EC2 : ( )

( )1 21Rd ,max cw w cd

cot cotV b z f

cotθ α

α νθ

+=

+ 6.14

Avec cwα : coefficient tenant compte de l’état de contrainte dans la membrure comprimée.

Pour α fixé, cherchons la valeur de θ qui rende maximum max,RdV

( )( ) ( ) 2

1 121Rd ,max cw w cd cw w cd

cot cotV b z f b z f cot cot sin

cotθ α

α ν α ν θ α θθ

+= = +

+

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6.2.3

Page 28: Béton armé aux états limites

( )21Rd ,max cw w cdV b z f sin cos sin cotα ν θ θ θ α= +

[ ]1 2 2Rd ,maxcw w cd

dVb z f cos sin cot

dα ν θ θ α

θ= +

[ ] 022 =+ αθθ cotsincos ( )ααθ −°=−= 1802 cotcotcot

−°=

290 αθ

Pour des armatures droites : °= 90α ; °= 45θ

Si les armatures sont verticales

( )1w cd

Rd ,maxb z fV

tan cotν

θ θ=

+ 6.9

( ) ( ) 22

11

2

θθ

θθθ

sincot

cotcottan

=+

=+

Pour 521 ,cot ≤≤ θ soit °≤≤° 4522 θ 6.7N 22θsin

est une fonction croissante de θ , il en est de même pour

max,RdV .

12

2Rd ,max w cdsinV b z f θν= 6.9

Il faut que l’effort tranchant appliqué EdV soit tel que max,RdEd VV ≤ . Cette condition pourrait définir la largeur

minimale de l’âme de la poutre, en se fixant une valeur de °= 45θ ou connaissant le coffrage déterminer l’inclinaison de la bielle θ .

Pour °= 45θ , 21

22 =θsin ⇒ max,RdV est maximum 1

12Rd ,max w cdV b z fν=

si 112Ed Rd ,max w cdV V b z fν> = alors il faut redimensionner le coffrage ou augmenter la résistance du béton pour

obtenir max,RdEd VV ≤

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Page 29: Béton armé aux états limites

1.13. Déterminons s,RdV : Effort tranchant de calcul pouvant être repris par

les armatures d’effort tranchant travaillant à la limite d’élasticité de calcul

L’effort dans un cours d’armatures transversales est donné par sw ywdA f ;

pour n cours l’effort est donné par sw ywdnA f . Nous avons vu la relation entre l’effort tranchant et l’effort dans la

diagonale tendue du treillis αsin

VF Edsw = ; Rd ,s

sw ywd

VnA f

sinα= ; Rd ,s sw ywdV nA f sinα=

C

A

zbielle

α θθcotz αcotz

( )αθ cotcotz +

B

cas des bielles inclinées à θ

sachant que s représente l’espacement de 2 cours consécutifs, mesuré suivant la fibre moyenne, le nombre de cours est :

( )n

zs

=+cot cotθ α

( )Rd ,s sw ywd

z cot cotV A f sin

sθ α

α+

= ( )swRd ,s ywd

AV zf cot cot sins

θ α α= + 6.13

Il serait possible d’optimiser la valeur de α pour rendre minimum la section des armatures transversales, cependant du fait du coût supplémentaire de main d’œuvre, cela n’a pas d’intérêt pratique.

Si les armatures sont verticales swRd ,s ywd

AV zf cots

θ= 6.8

Cette expression fixe ainsi la section d’armatures nécessaire et l’espacement s

Asw

On remarque que pour s

Asw fixé, s,RdV est une fonction décroissante de θ .

On remarque que pour s,RdV fixé, s

Asw est une fonction croissante de θ .

Soit Asw la section des brins constitutifs d’un cours d'armatures transversales dans une section droite.

Asw

1. aire effective maximale de la section des armatures d’effort tranchantL’aire effective maximale de la section des armatures d’effort tranchant max,swA est donnée par la relation :

cas des barres inclinées : 1

2sw ,max ywd cw cd

w

A f fb s sin

α να

≤ 6.15

cas des barres droites 1

2sw ,max ywd cw cd

w

A f fb s

α ν≤ 6.12

Pour °= 45θ , 21

22 =θsin

; 1=θcot ⇒ max,RdV est maximum

112

swRd ,s Rd ,max ywd w cd

AV V zf b z fs

ν≤ ⇔ ≤

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Page 30: Béton armé aux états limites

1.14. Détermination des armatures d’effort tranchant droites : Méthodologie

Méthode basée sur l’inclinaison variable des bielles521 ,cot ≤≤ θ ⇔ °≥≥° 2245 θ

hyp : armatures d’âme droites °= 90α ; structure non précontrainte 1=cwα

EdV représente l’effort tranchant de calcul.On a montré que plus θ est faible, plus la section d’armatures d’effort tranchant nécessaire est faible, mais en contrepartie la compression des bielles augmente ainsi que la valeur du décalage de la courbe des moments (ce qui entraîne une augmentation des armatures longitudinales).

Le principe consiste à incliner les bielles sur l’horizontale d’un angle θ le plus petit possible pour réduire s

Asw tout

en contrôlant la contrainte dans la bielle max,RdEd VV ≤ .

Si EdV est faible, °= 22θ ⇔ 52,cot =θSi EdV est élevé, θ est déterminé par max,RdEd VV = .

Si EdV est très élevé, comme °=≤ 45maxθθ ,il faut redimensionner ou augmenter la résistance du béton,

déterminé par max,RdEd VV = .

1.14.1. Détermination de c,RdV

• Si c,RdEd VV ≤ il convient de prévoir des armatures d’effort tranchant minimales selon les indications de l’article 5.4, à l’exception des cas définis en 6.2.1 (4) et 9.2.2 (5)

en flexion simple :: ( ) ( ) 1 31100N

Rd ,c min Rd ,c ck wV max v ;C k f b dρ = 6.2.

• Si c,RdEd VV > les armatures d’effort tranchant sont requises.

Nous devons vérifier : RdEd VV ≤ [ ]s,Rdmax,RdRd V;VminV =

Il faut donc que s,RdV ne puisse en aucun cas dépasser la valeur de max,RdV pour que les cadres atteignent leur

limite élastique, soit s,Rdmax,Rd VV ≥

On pose : avec s.bA

w

sww =ρ 9.4

1 1

Ed

w

cd cd

Vzb

v f v fτ τ= = ψ

ρ=

cd

ywdw

fvf

1

♦ Détermination de ,maxRdV :

( )1w cd

Rd ,maxb z fV

tan cotν

θ θ=

+ 6.9 ; ( ) ( ) 22

11

2

θθ

θθθ

sincot

cotcottan

=+

=+

1 1

Rd ,max

Rd ,maxwRd ,max

cd cd

Vzb

v f v fτ

τ= = ; ( ) ( ) 22

11

2

θθ

θθθ

τ sincot

cotcottanmax,Rd =

+=

+=

Si °= 821,θ ⇔ 52,cot =θ ; ( ) 345092

14052

11 ,,,,cottan

==+

=+ θθ

Si °= 45θ ⇔ 1=θcot ; ( ) 211 =

+ θθ cottan

521 ,cot ≤≤ θ ⇔ °≥≥° 2245 θ ⇔ 503450 ,, max,Rd ≤≤ τ

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.. 9.2.2

Page 31: Béton armé aux états limites

1.14.2. Il faut donc déterminer τ

1 1

Ed

w

cd cd

Vzb

v f v fτ τ= =

Si on veut exploiter la résistance des bielles au maximum, on écrit :max,RdEd VV ≤ ⇔ max,Rdττ ≤ 503450 ,, max,Rd ≤≤ τ

Comparons τ Si 50,>τ ⇔ max,RdEd VV > il faudrait incliner les bielles d’un angle °> 451θ ce que le règlement ne

permet pas, alors il faut redimensionner ou augmenter la résistance du béton pour obtenir max,RdEd VV ≤

Pour °= 45θ , ⇒ 112Rd ,max w cdV b z fν= 1

12Ed Rd ,max w cdV V b z fν< =

On peut agir sur wb ou d (hauteur h ) ou cdf .Dans l’intervalle 34500 ,<< τ droite OBCeci peut se produire lorsque, pour des raisons architecturales, nous disposons d’une âme de dimensions excessives. EdV est faible. L’optimisation bielles-armatures d’effort tranchant n’est plus possible.Si nous voulons réduire au max. les armatures d’effort tranchant, il faut choisir °= 821,θ , mais dans ce cas les armatures longitudinales seront plus importantes. Choix 521 ,cot =θ .

6.8 swRd ,s ywd

AV zf cots

θ=

6.8 5211 ,cotfvf s,Rds,Rd

cd

ywdw τθ

τρψ === sw

ww

Ab s

ρ = s,RdEd VV ≤ ⇔ s,Rdττ ≤ 2 5sw Ed

ywd

A Vs zf ,

La valeur de τ peut être déterminée à partir de l’effort tranchant réduit. Ed Ed ,rV V=♦ Si EdV est élevé, 503450 ,, << τ arc de cercle BDDans l’intervalle 503450 ,, << τ arc de cercle BD (annexes page …..)Nous sommes dans les conditions d’atteinte simultanée de l’état limite ultime dans les bielles et dans les armatures. La lecture du diagramme donne directement les sections d’armatures et la solution est toujours optimale.

1θ est déterminé par max,RdEd VV = .

De 22θτ sin= on en déduit [ ]τθ 2

21

1 sinarc=

cd

ywdw

fvf

1

ρψ = sw

ww

Ab s

ρ = 12

1

θθ

τψ sincot

== 6.8 ⇒s

Asw

Il est préférable d’utiliser 1θ

τψcot

= car la valeur de τ peut être déterminée à partir de l’effort tranchant

réduit.

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Page 32: Béton armé aux états limites

Autre procédure

( )1w cd

Edb z fV

tan cotν

θ θ=

+ posons ( ) ( ) 2

21

12

1

θθ

θθθ

τ sincot

cotcottanfv

b.zV

cd

w

Ed

=+

=+

==

( )θθτ 21 cot

cot+

= τ comme max,RdV est une fonction décroissante de θcot pour 1≥θcot

02 =+− τθθτ cotcot équation du second degré en θcot τ

τθ2

411 2−±=cot

le produit des racines est = 1, la somme =τ1

, comme 11 >θcot

on en déduit 1θ τ

τθ2

411 2

1−+=cot 521 1 ,cot ≤≤ θ

1

sw Ed

ywd

A Vs zf cot θ

≥1

sw Edywd

w w

A Vfb s zb cot θ

≥ ; ( )2

21

2

1 1 4ywdsw

w cd

fAb s v f

τ

τ≥

+ −

( )( )

2411

4112 2

2

2 ττ

τψ −−=−+

1.14.3. Condition sur l’aire de la section d’armatures d’effort tranchant max. aire de la section d’armatures d’effort tranchant max.

1

2sw ,max ywd cd

w

A f fb s

ν≤ 6.121

12

ywdsw ,max

w cd

fAb s fν

≤ soit 21≤maxψ

l’espacement maximal longitudinal max,ls des cours successifs de cadres ou armatures d’effort tranchant est

défini par : pour des armatures droites d,s max,l 750= 9.6N

L’espacement maximal longitudinal max,bs des barres relevées est défini par : ( )αcotd.,s max,b += 160 9.7N Calculons l’espacement maximal transversal des brins verticaux dans un cours d’armatures d’effort tranchant

est défini par : Pour des armatures droites [ ]mm;d,infs max,t 600750= 9.8N

Calculons la section d’acier mini

Le pourcentage d’armatures d’effort tranchant est donné par l’équation : ρ ρw w≥ ,min

sww

w

Ab s

ρ = 9.4 avec :

ρ w pourcentage (taux) d’armatures d’effort tranchant

Asw section d’un cours d’armatures d’effort tranchantbw largeur de l’âme de l’élément (largeur minimale de la section dans la hauteur utile)s espacement des cours d’armatures d’effort tranchant

Les valeurs minimales ρ w ,min sont données dans l’Annexe Nationale , voir le tableau 5.5 yk

ckmin,w f

f,080=ρ 9.5N

Choix de la section d’armatures Asw : min,ww

sww s.b

A ρρ ≥= ; sw w ,min w max w ,min wA b s b sρ ρ≥ ≥

0 75sw w ,min w l ,max w ,min wA b s , b dρ ρ≥ = permet de définir une valeur min de la section d’armature d’un cours.

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Page 33: Béton armé aux états limites

Calcul et choix des efforts tranchants EdV

L’effort tranchant au nu de l’appui calculé d’après la résistance des matériaux sera noté : nu,EdV . Cet effort

servira à :• vérifier la résistance de la bielle d’about. (fig. 18) ;

• vérifier la résistance à la compression des bielles de béton : Ed ,nu Rd ,maxV V≤ .

transmissions

directes

EdV

nu,EdV

effL

nL

• Pour vérifier la résistance de l’appui lui-même, il faut considérer l’effort tranchant EdV = l’effort tranchant

au nu de l’appui nu,EdV + les charges appliquées directement sur l’appui.

Si la poutre est soumise principalement à des charges réparties, il n’y a pas lieu d’effectuer de vérification à l’effort tranchant à une distance au nu de l’appui < d. Il convient de maintenir les armatures d’effort tranchant requises jusqu’au droit de l’appui. clause 6.2.1(8) Voir justification 6.2.1(8)

Cet effort tranchant réduit, noté Ed ,rV , sera déterminé à une distance d du nu de l’appui. Considérer cet effort tranchant réduit traduit qu’une partie des charges proches de l’appui est transmise directement, véhiculées par la bielle d’about. Ces charges ne sollicitent donc pas les armatures de la poutre. Pour la détermination des armatures d’effort tranchant, on pourrait ne pas les représenter sur le schéma mécanique de la poutre.

Dans les zones où il n’y a pas de discontinuité de EdV (par exemple, pour une charge répartie), la détermination des armatures d’effort tranchant sur une longueur élémentaire θcotz peut être effectuée en utilisant la plus petite valeur de EdV sur cet intervalle. Cela revient à considérer un décalage (translation horizontale) de la courbe enveloppe d’effort tranchant de θcotz . Clause 6.2.3(5)

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Page 34: Béton armé aux états limites

z

effort dans les montants

(cours d'armatures transversales)

effort tranchant RDM charges unif. réparties

décalage de :

EdV

θ'θ

θcotz

θcotpz θcotpz θcotpz θcotpz

θcotpz,53

θcotpz,52

θcotpz,51

θcotpz,50

θcotz,50

'cotz θ

2pL

2L

clause 6.2.3(5) à modifier

[ ]'cotcotpz θβθ +4

nu de l'appui'a

[ ]'aLp −2

θθβ cotpz,'cotpz 50+

[ ]'cotcotpz θβθ +4

effort tranchant RDM treillis

L = portée utile (de calcul)

θθ cotz,'cotz 50+

Remarque 1 :Le diagramme de l’effort tranchant dans la travée isostatique n’est pas modifié lorsqu’on considère la portée aux nus des appuis nL .

Remarque 2 :L’application de la méthode des bielles, avec un treillis simple, montre que l’effort repris par un tirant vertical (ou montant du treillis) situé à l’abscisse x est inférieur à l’effort tranchant théorique à la même abscisse x pour une poutre chargée uniformément.Ce qui signifie que la courbe d’effort tranchant permettant de déterminer les armatures d’effort tranchant peut être

décalée de θcotz21

en direction des efforts tranchants croissants en valeur absolue.

On peut remarquer que les efforts dans les montants sont indépendants de l’inclinaison de la bielle d’about ainsi que de la charge appliquée sur le nœud supérieur voisin de rive.

Remarque 3. Soit la modélisation en treillis simple en considérant la portée aux nus des appuis nL . Considérons la même inclinaison θ des bielles le long de la travée. Figure 19bPour une charge répartie uniforme, l’application de la méthode des bielles à un treillis simple où toutes les bielles sont inclinées du même angle θ , montre que les aciers calculés au droit du premier tirant à partir de l’appui sont calculés avec l’effort tranchant correspondant à l’abscisse θcotz,51 . Cette distance est la somme du décalage

θcotz,50 vu ci-dessus et de la distance du 1er tirant au nu de l’appui qui vaut θcotz .On remarque donc que les clauses 6.2.3 (5) (décalage) et 6.2.1 (8) (transmissions directes) se cumulent. Cependant, on notera que la clause 6.2.3 (5) de l’EC2 est non sécuritaire. (On peut aussi penser que 0 5, z cot θ correspond à la contribution du béton à la reprise de l’effort tranchant)

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Page 35: Béton armé aux états limites

z

effort dans les montants

(cours d'armatures transversales)

effort tranchant RDM charges unif. réparties

décalage de :

θ

θcotz

θcotpz θcotpz θcotpz θcotpz

θcotpz,53

θcotpz,52

θcotpz,51

θcotpz,50

θcotz,50

2pL

2L

clause 6.2.3(5) à modifier

nu de l'appui

effort tranchant RDM treillis

θ

θcotpz

θcotpz21

θcotpz5

nu,EdV

EdVL = portée aux nus des appuis

θcotpz,54

θcotz,51

Figure 19b

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Page 36: Béton armé aux états limites

Pour l’application des 2 clauses 6.2.1(8) et 6.2.3(5), on pourrait envisager les trois interprétations suivantes :

Procédure n. 1 : On ne cumule pas les 2 clauses. Cela correspond à d’abord écrêter pour tenir compte des transmissions directes sur la longueur d à partir du nu de l’appui (§ 6.2.1(8) ) puis pour x > d à effectuer une translation de la courbe des efforts tranchants de θcotz . (§ 6.2.3(5))Les recommandations Professionnelles préconisent le non-cumul des 2 clauses sans préciser.Certains auteurs utilisent la plus favorable économiquement des 2 clauses.H Thonier utilise cette procédure reoprésentée ci-dessous.

diagramme d'effort tranchant de calcul (sollicitant)

effort tranchant RDMdécalage: clause 6.2.3(5)

transmissions directes: clause 6.2.1(8)

EdV

nL1aeffL

d

nu,EdV

r,EdV

- pour déterminer l'épure des espacements

- pour vérifier la résistance à la compression des bielles

up

diagramme de chargement sollicitant la poutre

z cot θ

des cours d'armatures d'âme Procédure n. 2 :

On cumule les 2 clauses, c’est-à-dire que l’on procède d’abord au décalage de la courbe de la courbe des efforts

tranchants de θcotz21

et non θcotz (§ 6.2.3(5) modifiée ou demi-décalage) puis on écrête sur la longueur d à

partir de l’appui pour tenir compte des transmissions directes. (§ 6.2.1(8) )Si on compare cette interprétation avec la modélisation en treillis :

0 5 1 5d , z cot , z cotθ θ+ ≤ soit θθ cotz,cotz,,z 515090

≤+

On montre que cette interprétation n’est sécuritaire que si 111,cot ≥θCependant, c’est le meilleur compromis entre sécurité et économie, tout en respectant la distance d à l’appui.

Procédure n. 3 : On cumule les 2 clauses, c’est-à-dire que l’on procède d’abord au décalage de la courbe de la courbe des efforts tranchants de θcotz comme indiqué dans l’EN 1992-1-1(§ 6.2.3(5)) puis on écrête sur la longueur d. (§ 6.2.1(8) ) Rien, dans le texte de l’EN 1992-1-1 n’interdit de cumuler ces 2 diminutions d’effort tranchant.Si on compare cette interprétation avec la modélisation en treillis :

1 5d z cot , z cotθ θ+ ≤ soit θθ cotz,cotz,z 5190

≤+

On montre que l’application du cumul de ces 2 clauses n’est sécuritaire que pour : 222,cot ≥θ .

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Page 37: Béton armé aux états limites

Dispositions constructives relatives aux armatures d’effort tranchant1.15. Constitution d’un cours d’armatures transversales

Les armatures d’effort tranchant peuvent être composées d’une combinaison de : (voir Fig. 18)- cadres, étriers ou épingles entourant les armatures longitudinales tendues et la zone comprimée ;- barres relevées ; (rares en France)- cadres ouverts, échelles, épingles etc… façonnés sans entourer les armatures longitudinales mais correctement ancrées dans les zones tendues et comprimées.

Dans les poutres, la résistance à l’effort tranchant ne peut être assurée par des barres relevées sans le concours d’armatures transversales sous forme de cadres, étriers ou épingles ; celles-ci doivent reprendre au moins

503 ,=β soit 50% de EdV . 9.2.2(4)

Dans le cas d’une charge non située à la partie supérieure de la poutre, il faut prévoir des suspentes pour transmettre correctement cette charge. 6.2.1(9)

Il convient que les cadres, étriers et épingles soient efficacement ancrés. Un recouvrement sur le brin vertical situé près de la surface de l’âme est autorisé sous réserve que le cadre ne participe pas à la résistance à la torsion.

cadre extérieur

cadres, épingles,étriers intérieurs

B

A

Figure 18 Fig : 9.5 : Exemples d’armatures d’effort tranchantcadre fermé

à 135 °

étrier 180° épingle 135 °épingle 180 °

cadre fermé à 90° cadre ouvert cadre ouvrable

cadre fermé à plat

Figure 18 bis: Diverses formes de cadres, étriers et épingles

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.. 9.2.2 (4)

.. 6.2.1

Page 38: Béton armé aux états limites

1.16. Le pourcentage minimum d’armatures d’effort tranchant est donné par l’équation : min,ww ρρ ≥ 9.2.2(5)

sww

w

Ab s sin

ρα

= 9.4

Pourl es armatures d’âme droites : sww

w

Ab s

ρ = 9.4 avec :

wρ pourcentage géométrique (taux) d’armatures d’effort tranchant (par rapport à une section de béton orthogonale aux armatures)

swA section d’un cours d’armatures transversales régnant sur la longueur s

wb largeur de l’âme de l’élément s espacement des cours d’armatures transversalesα angle formé par les armatures d’effort tranchant et l’axe longitudinal de la poutre ; si les armatures sont droites α = °90 et sinα = 1

La valeur minimale min,wρ : yk

ckmin,w f

f,080=ρ 9.5N

Les éléments pour lesquels ce ferraillage minimal peut être omis sont définis en 6.2.1 (4).

1.17. L’espacement maximal

Tableau 3 : espacement maximal des armatures inclinéesL’espacement maximal longitudinal max,ls des cours successifs de cadres ou armatures d’effort tranchant est défini pour des armatures droites par :

)cot(d,s max,l α+= 17509.6N

Annexe nationale Pour les poutres de hauteur mmh 250≤

d,s max,l 90=

L’espacement maximal longitudinal max,bs des barres relevées est :

)cot(d,s max,b α+= 160 9.7N

Annexe nationale : Pour les poutres de hauteur mmh 250≤

d,s max,l 90=

Tableau 4 : espacement maximal des armatures droitesL’espacement maximal longitudinal max,ls des cours successifs de cadres ou armatures d’effort tranchant est défini pour des armatures droites par :

d,s max,l 750=9.6N

Annexe nationale Pour les poutres de hauteur mmh 250≤

d,s max,l 90=

L’espacement maximal longitudinal max,bs des barres relevées est :

0 6b ,maxs , d= 9.7N

Annexe nationale : Pour les poutres de hauteur mmh 250≤

d,s max,l 90=

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.. 9.2.2 (5)

.. 9.2.2 (6) (7)

.. 6.2.1 (4)

.. 9.2.2 (5)

Page 39: Béton armé aux états limites

2. Répartition des armatures transversales.

1.18. Position de la première nappe

Position de la première nappe 0s par rapport au nu de l’appui, à ne pas confondre avec le premier espacement qui dépend de l’effort tranchant.Elle est déterminée empiriquement, pour des raisons d’efficacité du premier cours, on prendra:

=

270

61

0s;mm;hsupmins article des annales de l’ITBTP n°445 de juin 1986

Certains bureaux d’études prennent une valeur forfaitaire par exemple : 50 ou 100 mm selon l’importance de la poutre pour simplifier la mise en place du premier cours lors de la fabrication de la cage d’armatures.

1.19. Choix de la section d’armatures swA :

On peut utiliser sww w ,min

w

Ab s

ρ ρ= ≥

sw w ,min w max w ,min wA b s b sρ ρ≥ ≥

La quantité obtenue avec l’expression 0 75 w ,min w, b dρ constitue une valeur minimum de la section d’un cours d’armatures d’effort tranchant qui satisfait la condition d’espacement max. ( mmh 250> )Pour mmh 250≤ , 0 90 w ,min w, b dρ constitue une valeur minimum de la section.

Remarque : Avec sw w ,min w l ,maxA b sρ≥ , si le premier espacement calculé vérifie 1 l ,maxs s> , pour optimiser le poids d’acier, il faut diminuer la section d’armatures pour ne pas être pénalisé par l’espacement maximum. Il faut vérifier que cela ne conduit pas à des espacements à l’appui trop faibles eu égard aux dimensions de la poutre.Le choix de swA est à diminuer si le premier espacement dépasse environ 0,2h.

1.20. Détermination des espacements

Pour la détermination des autres espacements, on utilise soit :La méthode utilisant la suite numérique de Caquot ;La méthode générale basée sur le diagramme de l’effort tranchant : épure d’espacement.

En général, la variation de EdV est représentée par un ensemble de segments de droite, c’est une fonction affine sur

chacun des tronçons, la représentation de ( )1

s x sera aussi un ensemble de segments de droite.

Les méthodes qui consistent à déterminer les espacements successifs seront graphiques.(Voir exercice)

La méthode simplifiée de CAQUOT est valable uniquement pour les charges réparties. On détermine ensuite 1s avec l’effort tranchant au nu de l’appui. Le nombre de répétition 0 1 1réels n s d+ × >On détermine ensuite 2s avec l’effort tranchant à la distance d du nu de l’appui

On choisit 2réels tel que: 2 2réel théoriques s≤ dans la suite numérique de Caquot: 7 8 9 10 11 13 16 20 25 35 60 en cm

On détermine ensuite le nombre de répétitions d'espacements n tel que:

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Page 40: Béton armé aux états limites

n partie entièreportée de la travée de la poutre

portée de la console=

2

,

On Les espacements suivants 3 is , ...s sont ceux de la suite de Caquot répétés n fois.

Le procédé est réitéré sur l’appui opposé, pour x l= (voir figure 21)Le tracé des sollicitations (moment de flexion et effort tranchant) est représenté en correspondance avec le ferraillage.On remarque que les armatures longitudinales sont en relation (leur section est une fonction croissante) avec le moment de flexion et les armatures transversales avec l’effort tranchant (espacement des cadres d’autant plus petit que l’effort tranchant est grand).

Remarque : méthode de caquot restreinte au nombre de répétitionsPour simplifier la confection de la cage d’armature, on peut déterminer forfaitairement n qui correspond au nombre de répétitions d'espacements.

n = partie entière

consoleladeportée,poutreladetravéeladeportée

2Les espacements 1 2 3 is , s , .s , ..s sont calculés et répétés n fois.Le procédé est réitéré sur l’appui opposé. (voir figure 25)

L1 L2

.s1'n1 .s2'

n1 = partie entière de L1n2 = partie entière de L2

2

.s1 .s2n1 n2

n2st0

p

V

M

diagramme de l'effort tranchant

diagramme du moment de flexion

Figure 21 : Schéma de principe du ferraillage d’une poutre à une travée se prolongeant en console

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Page 41: Béton armé aux états limites

La méthode générale basée sur le diagramme de l’effort tranchant : épure d’espacement.

L’ordonnée est graduée en 1s

et s . Un autre choix est possible par exemple s

Asw et s .

1 2 3 4

s (mm)1s

(10 )-4

10

20

30

5060

70

80

90

100

110

120

130

140

150

40

70

80

90

100110

130150

200

250300350

5

θcot, ywdsw

sRd zfs

AV = s,RdEd VV =

3 HA 6

section d'effort tranchant nulabscisse définie par:

choix pour un cours:

θcotz

MPaf yk 500=

2001a

400450500600

52,cot =θ

mmh,d 40090 ==

mmbw 250= mmh,d 40090 == mmd,z 36090 ==

2984 mm,Asw=

m/kN,pu 7572=

MPafck 25=

mms 750=mmssa 7251503752003 101

=×++=×++

mmd,s ,maxl 300750 ==

mms 50025022 2=×=×

mm,,

,xV 39337572

82460

===

effort tranchant RDM

décalage clause 6.2.3(5)

transmissions directes: clause 6.2.1(8)effort tranchant résistant

ywdywd

S

ff

γ=

Figure 26. Exemple d’épure de détermination des espacements des cours d’armatures d’effort tranchant.

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Page 42: Béton armé aux états limites

Exemples 1.21. Exemple 1

Section rectangulaire : mmbw 200= ; mmh 450= mmd 400= d,z 90=Effort tranchant au nu de l’appui : 350Ed ,nuV kN= ; 140up kN / m= ;

MPa,

ffMPafC

ckcdck 20

513030 ====

γ( )

−=

2501601

MPackf,ν MPa,f, cd 56105280 11 == νν

MPa,

ff

S

ywkywd 435

151500 ===

γ

1 1

0 9Ed ,nu

w nunu

cd cd

V, dbv f v f

τ τ= =

3350 10 0 46200 0 9 400 10 56nu ,

, ,τ = =

× × ×

Cette valeur est inférieure à 0 5, , la résistance du béton des bielles est vérifiée.Pour déterminer le premier espacement, on peut utiliser l’effort tranchant à la distance = d du nu de l’appui soit :

350 0 4 140 294Ed ,r Ed ,nu uV V p d , kN= − = − × = .3294 10 0 3864

200 0 9 400 10 56r ,, ,

τ = =× × ×

Cette valeur est supérieure à 3450, , on peut se placer dans les conditions d’épuisement simultané des bielles et des cadres ;

L’angle θ des bielles est donné par l’expression : [ ]τθ 221 sinarc= , 25 3,θ = ° 2 115cot ,θ =

La section des armatures transversales ψρ

=cd

ywdw

fvf

1

; sww

w

Ab s

ρ =

6.8 θ

τθψψcot

sin' === 2 ; 0 182,ψ = ; wywd

cdsw bf

fvs

A 1ψ= ; 0 887swA ,s

=

Soit l’effort tranchant réduit : 220EdV kN=

1 1

0 9Ed

w

cd cd

V, dbv f v f

τ τ= =

3220 10 0 289200 0 9 400 10 56

,, ,

τ = =× × ×

Cette valeur est inférieure à 3450, . La résistance des bielles est surabondanteL’angle θ des bielles est choisi : °= 821,θ ; 52,cot =θ ;

6.8θ

τψcot

= ; 116052

2890 ,,

, ==ψ ;

La section des armatures transversales : ψρ

=cd

ywdw

fvf

1

; sww

w

Ab s

ρ =

wywd

cdsw bf

fvs

A 1ψ= ; 5620,s

Asw = ;

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Page 43: Béton armé aux états limites

1.22. Exemple 2 section rectangulaire « application de l’EC 2 chap.10 »

Poutre continue de n travées de 8 mètres : 180wb mm= ; mmh 600= ; mmd 550= ;

34 3uvp , kN / m= ; profondeur d’appui 200 mm en rive et 300 mm sur appuis intermédiaires

MPa,

ff

S

ywkywd 435

151500 ===

γ ;

2525 16 71 5

ckck cd

C

ff MPa ; f , MPa,γ

= = = =

( )

−=

2501601

MPackf,ν ; MPaf, cd 9540 11 == νν ;

Au nu de l’appui A: 117 9Ed ,nuV , kN= ;

1 1

0 9Ed ,nu

w nunu

cd cd

V, dbv f v f

τ τ= = ; 3117 9 10 0 147

180 0 9 550 9nu, ,,

τ = =× × ×

Cette valeur est inférieure à : 3450, . La résistance des bielles est surabondante ;L’angle θ des bielles est choisi : °= 821,θ ; 52,cot =θ ;

Pour le calcul des armatures transversales, on peut considérer l’effort tranchant réduit (transmissions directes) sur une distance = d du nu de l’appui+ 0,100 m d’appui : 117 9 34 3 0 55 99 1Ed ,rV , , , , kN= − × =

En considérant effort tranchant réduit (transmissions directes) 99 1EdrV , kN= ; 399 1 10 0 124

180 0 9 550 9r, ,,

τ = =× × ×

Certains auteurs utilisent aussi : (la plus favorable des 2 clauses)[ ]( ) [ ]( ) ( )0 100 0 550 0 100 0 9 0 550 2 5 1 2375Ed Ed EdV x max d , m; z cot V x max , , m; , , , V x , mθ= + = = + × × = = au lieu

de 99 1Ed ,rV , kN= pour déterminer τ ; ( )1 2375 78 9EdV x , , kN= =

pour 99 1EdV , kN= ;399 1 10 0 124

180 0 9 550 9, ,,

τ = =× × ×

; 6.8 ;θ

τψcot

= ; 0 124 0 052 5, ,,

ψ = =

La section des armatures d’effort tranchant : ψρ

=cd

ywdw

fvf

1

;s.b

A

w

sww =ρ ;

wywd

cdsw bf

fvs

A 1ψ= ; 0 161swA ,s

= soit 161 mm2 / mètre

♦ Au nu de l’appui B : 171 4EdV , kN= ; 1 1

0 9Ed

w

cd cd

V, dbv f v f

τ τ= =;

3171 4 10 0 214180 0 9 550 9

, ,,

τ = =× × ×

Cette valeur est inférieure à : 3450, . La résistance des bielles est surabondante.L’angle θ des bielles est choisi : °= 821,θ ; 52,cot =θEn considérant effort tranchant réduit (transmissions directes) : 152 6Ed ,rV , kN= ;

3152 6 10 0 19180 0 9 550 9

, ,,

τ = =× × ×

;

On peut aussi utiliser dans 6.8 [ ]( )θcotz;m,dmaxxVEd 1500+=

au lieu de 152 6Ed ,rV , kN= pour déterminer τ ;0 9 550 2 5 1237 5z cot , , , mmθ = × × = ; ( )1 2375 132 4EdV x , , kN= = ;

Pour 152 6Ed ,rV , kN= : 3152 6 10 0 191

180 0 9 550 9, ,,

τ = =× × ×

; 6.8θ

τψcot

= ; 0 191 0 0762 5, ,,

ψ = = ;

La section des armatures d’effort tranchant : ψρ

=cd

ywdw

fvf

1

; s.b

A

w

sww =ρ

wywd

cdsw bf

fvs

A 1ψ= ; 0 247swA ,s

= soit 247 mm2 / mètre

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Page 44: Béton armé aux états limites

1.23. Exemple 3 section en Té application de « l’EC 2 chap.8 poutre isostatique de 14 m de portée, plaques d’appui de 400 mm »

mmbw 550= ; mmh 1250= ; mmd 1100= ; mmd,z 99090 ==

MPa,,

ffMPafC

ckcdck 323

513535 ====

γ ; MPa

,f

fS

ywkywd 435

151500 ===

γ ;

Béton armé ⇔ 1=cwα ; ( )

−=

2501601

MPackf,ν ; MPa,f, cd 04125160 11 == νν ;

m/kNg 70= ; m/kNq 80= ; m/kN,q,g,pu 521451351 =+=Armatures longitudinales 3 lit de 5 HA 32

♦ A l’appui A : (du modèle) ; kN,VEd 51501=♦ les armatures d’effort tranchant sont-elles nécessaires ?en flexion simple :: ( ) ( ) dbfk.CVdbv wckc,Rdc,Rd

Nwmin

311100ρ=≤ 6.2.

( ) 2431110020012001 ≤=+=+= ,

dk mm

; 12051180180 ,,,,C

Cc,Rd ===

γ4020 0 0065 0 02

550 1100sl

lw

A , ,b d

ρ = = = ≤×

(1 lit de 5 HA 32)

21230530 /ck

Cmin fk,v

γ= ; 3 2 1 2 3 2 1 20 03533 0 03533 1 43 35 0 356min ckv , k f , , ,= = × × =

( ) ( ) 1 30 356 550 1100 215445 0 12 1 43 100 0 0065 35 550 1100 295591NRd ,c, V , , , N× × = ≤ = × × × × =

( ) kNNV c,RdN 295295591 ==

Ici c,RdEd VV > les armatures d’effort tranchant sont nécessaires.

♦ Vérification de la résistance des bielles de béton effectuée avec l’effort tranchant EdV théorique

1 1

0 9Ed

w

cd cd

V, dbv f v f

τ τ= =

31501 5 10 0 23550 0 9 1100 12 04

, ,, ,

τ = =× × ×

Cette valeur est inférieure à 3450, . La résistance des bielles est surabondanteL’angle θ des bielles est choisi °= 821,θ 521 ,cot =θ

On aurait pu considérer l’effort tranchant au nu de l’appui : x = 0,200 m♦ Déterminons la section des armatures transversales

Effort tranchant réduit (transmissions directes) Distance d depuis le nu de l’appui ( ) ( )200 1 100 0 200 1222 65Ed ,r Ed u Ed uV V p d V p , , , kN= − + = − + =

En tenant compte de l’article Dans les zones ou il n’y a pas de discontinuité de EdV , la détermination des armatures sur un longueur de

θcotz peut être effectuée en utilisant la plus petite valeur de EdV sur cette longueur. L’étude du treillis montre que le décalage est de : θcotz,50 .Certains auteur considère la plus favorable des 2 clauses : 6.2.1(8) et 6.2.3(5)On peut considérer un décalage de la courbe de l’effort tranchant de 0 9 2 5 2475z cot , d , mmθ = × × = .

Soit 2 475 970 7Ed ,r Ed u Ed uV V p z cot V p , , kNθ= − = − × =

Avec 970 7Ed ,rV , kN=

La section des armatures transversales est représentée par : ψρ

=cd

ywdw

fvf

1

; s.b

A

w

sww =ρ

En considérant effort tranchant réduit :

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.. 6.2.3

.. 6.2.1

Page 45: Béton armé aux états limites

kN,VEdr 2970= ;3970 2 10 0 148

550 0 9 1100 12 04, ,

, ,τ = =

× × ×

6.8θ

τψcot

= ; 059052

1480 ,,

, ==ψ ;

wywd

cdsw bf

fvs

A 1ψ= ; 90,s

Asw = soit 902 mm2 / mètre

Avec 1222 65Ed ,rV , kN= ;

La section des armatures transversales est représentée par : ψρ

=cd

ywdw

fvf

1

; sww

w

Ab s

ρ = ;

En considérant effort tranchant réduit 31222 65 10 0 187

550 0 9 1100 12 04, ,

, ,τ = =

× × ×

6.8θ

τψcot

= ;0 187 0 0752 5, ,,

ψ = = ;

wywd

cdsw bf

fvs

A 1ψ= ; 0 988swA ,s

= soit 988 mm2 / mètre

♦ décalage de la courbe des moments (pour le tracé de l’épure d’arrêt des barres longitudinales)

( ) 0 9 1100 2 5 12382

z ,cot , mm2

θ ×= × =

♦ condition aire max. des armatures transversales

1

2sw ,max ywd cd

w

A f fb s

ν≤ 6.121

12

ywdsw ,max

w cd

fAb s fν

≤ soit 21≤maxψ implicitement vérifié

♦ Le pourcentage mini. d’armatures d’effort tranchant est donné par l’équation : ρ ρw w≥ ,min

yk

ckmin,w f

f,080=ρ 9.5N ; 000950

50035080 ,,

min,w ==ρ

♦ Conditions sur l’espacementPour des armatures droites 0 75 0 75 1100 825l ,maxs , d , mm= = × = 9.6N

♦ choix de la section d’acier

♦ 0 00095sww

w l

A ,b s

ρ = ≥ ; 0 00095 0 00095sw w max w lA , b s , b s≥ ≥

20 00095 0 00095 550 825 432sw w maxA , b s , mm≥ = × × = soit 6 HA 10 471 mm2

♦ Calcul du premier espacement

0 988swA ,s

= 1471 477

0 906s mm

,≤ =

mm),d,min(s max,t 600600750 == = distance entre les brins d’un cours. Vérifié.

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Page 46: Béton armé aux états limites

Organigramme de calcul des armatures d’effort tranchant en flexion simple :3 organigrammes sont présentés :Organigramme de la méthode des bielles d’inclinaison variable, c’est la méthode générale. Voir formalisation

Organigramme simplifié de calcul des armatures d’effort tranchant en flexion : 52,cot =θPour un effort tranchant modéré, c’est la même procédure utilisée dans la méthode générale. Considérer les bielles de béton inclinées à 21,8° conduit à :Minimaliser en poids d’acier les armatures d’effort tranchant, les cours sont très espacées ; Maximaliser en poids d’acier les armatures longitudinales, (augmenter la longueur des armatures longitudinales pour le 2ème lit et les suivants s’ils existent du décalage maximum). Pour des armatures d’âme droites, l’expression

du décalage proposé par l’Eurocode 2 est : z,cotza l 25121 == θ , on montre par le calcul qu’il faudrait le double

soit z,52 pour être en sécurité.

Organigramme simplifié de calcul des armatures d’effort tranchant en flexion : 1=θcot

Considérer les bielles de béton inclinées à 45° conduit à :Maximaliser en poids d’acier la quantité d’armatures d’effort tranchant ;Minimaliser en poids d’acier les armatures longitudinales, le décalage de la longueur des armatures longitudinales pour le 2ème lit et les suivants s’ils existent est minimal, l’expression du décalage proposé par l’Eurocode 2 est :

z,cotza l 5021 == θ , on montre par le calcul qu’il faudrait le double soit z pour être en sécurité.

Quelle est la méthode optimum ?Avec 52,cot =θ , si le gain pour les armatures d’effort tranchant est important (poids et façonnage) il y a augmentation en poids d’acier pour les armatures longitudinales. De plus 52,cot =θ pénalise la bielle d’about et l’ancrage des armatures qui arrivent sur l’appui de rive.Pour les poutres dont la retombée est préfabriquée, la vérification du cisaillement sur les surfaces de reprise (6.2.5 EN 1992-1-1 et paragraphe 11) conduit à un pourcentage réglementaire d’armatures (de couture). Si la poutre est peu sollicitée, celui-ci peut être déterminant et imposer une valeur maximum de θcot inférieure à 2,5.

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Page 47: Béton armé aux états limites

1.24. Données

Classe structurale : 4SSection droite : wb h ; Environnement : Classes d’exposition X ...

Béton ../..CC

ckcdck

fffγ

=

Enrobage nominal : devminnom ccc ∆+= mm;c;cmaxc durmin,bmin,min 10=

⇒ hauteur utile : dsi z inconnu ⇒ élément en ba, en flexion simple d,z 90=

Acier B500 classe B MPaf yk 500= MPa,

ff

S

ywkywd 435

151500 ===

γArmatures d’effort tranchant verticales °= 90αUnités : celles de la norme NF EN 1992-1-1 (mm, N, MPa) sinon (m, MN, MPa)

Effort tranchant à considérer : Effort tranchant max. de calcul (au nu de l’appui) Ed ,nuV pour vérifier :• La compression de la bielle d’about.• La section droite des armatures devant être prolongées sur cet appui et leur ancrage. • Vérifier la résistance des bielles de béton au voisinage immédiat du nu de l’appui Rd ,maxV .

Effort tranchant max. de calcul Ed ,rV pour:• Déterminer les armatures d’effort tranchant (espacement et section droite) ; compte tenu des

Recommandations Professionnelles, considérer l’effort tranchant réduit Ed ,rV sur la distance d depuis le nu de l’appui (transmissions directes) puis au-delà effectuer la translation (ou décalage) du diagramme de l’effort tranchant issu de la RDM de: z cot θ .

( )

cd

MPack ff, 11 250

160 νν ⇒

−= ; ( )

+= 22001 ;

dmink mm ;

Cc,Rd

,Cγ180=

Le pourcentage lρ d’acier longitudinal de flexion sll

w

Ab d

ρ = 020,≤

slA : aire de la section des armatures tendues, prolongée d’une longueur supérieure à bdld + au delà de la

section considérée.( bdl étant la longueur d’ancrage de calcul)

Valeurs de minv (6.2.2(1) NOTE NF EN 1992-1-1/NA)

1 20 34 /min ck

C

,v fγ

= pour les dalles bénéficiant d’un effet de redistribution transversale sous le

cas de charge considéré.21230530 /

ckC

min fk,vγ

= pour les poutres et dalles autres que celles ci-dessus

1 20 35 /min ck

C

,v fγ

= pour les voiles

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Page 48: Béton armé aux états limites

1.25. Organigramme de calcul des armatures d’effort tranchant : méthode des bielles d’inclinaison variable :

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Ed Rd ,cV V>oui non

Les armatures d’effort tranchant sont nécessaires, Ed Ed ,nuV V= effort tranchant max. de calcul au nu de l’appui pour vérifier la compression des bielles.

1 1

Ed

w cd cd

Vzb v f v f

τ τ= =

521 ,cot ≤≤ θ 500 ,≤≤ τ

3450,≤τoui

Soit Ed Ed ,rV V= : l’effort tranchant réduit

521 ,cot

τθ

τψ == 6.8 ⇒s

Asw

ψρ

=cd

ywdw

fvf

1

sww

w

Ab s

ρ =

Dispositions constructives : sw ywd swl ,max

Ed w w ,min

A zf cot As min ; ; sV b

θρ

Taux min. d’armatures d’effort tranchant :yk

ckmin,w f

f,080=ρ 9.5N

Distance max. des cours : si mmh 250> alors d,s max,l 750= sinon d,s max,l 900=Distance entre les brins dans un cours : si 250h mm> alors [ ]0 75 600t ,maxs min , d ; mm= sinon 0 90t ,maxs , d=

12

1

θθ

τψ sincot

== 6.8 ⇒s

Asw

ψρ

=cd

ywdw

fvf

1 sw

ww

Ab s

ρ =

non

Les armatures d’effort tranchant ne sont pas requises 6.2.2 Armatures min 9.2.2(5)Poutres uniquement.

50,>τ oui

Il faut redimensionner le coffrage.

En considérant l’effort tranchant réduit ; l’angle 1θ des bielles est

déterminé par : [ ]τθ 221

1 sinarc=

La résistance des bielles est surabondante L’angle 1θ des bielles est choisi : °= 8211 ,θ ,

521 ,cot =θ

Épuisement simultané des bielles et des armatures d’effort tranchant.

non

Données ( ) 1 3

1100Rd ,c Rd ,c ck min wV max C k f ;v b dρ = 6.2.

Cette valeur de 1θcot sera utilisée pour toutes les sections de la partie de poutre ayant un VEd de même signe ou sur la totalité de la travée. Déterminer les espacements sur le reste de la poutre : épure basée sur le diagramme d’effort tranchant ; vérifier la bielle d’about la plus sollicitée ; vérifier et ancrer les armatures longitudinales sur les appuis.

Page 49: Béton armé aux états limites

1.26. Pour un effort tranchant modéré (cas courants), organigramme simplifié de calcul des armatures d’effort tranchant : 52,cot =θ

EUROCODE 2 - Effort tranchant ELU. LT « le Garros » AUCH ...............Ch. ALBOUY ..................................................n°49/94

( ) 1 31100Rd ,c Rd ,c ck min wV sup C k f ;v b dρ =

6.2.

Ed Rd ,cV V>oui non

max,RdEd VV ≤oui

La résistance des bielles est surabondante.

swRd ,s ywd

AV zf cots

θ= 6.8

On se fixe 2 5cot ,θ =

2 5 swEd ywd

AV , zfs

≤ ⇒ 0 4sw Ed

ywd

A V,s zf

Choix de la section d’acier swAsw w ,min w l ,maxA b sρ≥ si cela conduit à 1 l ,maxs s≤

Calcul du premier espacement 1s avec 6.8

1

2 5 sw ywd

Ed

, A zfs

V≤

Vérifier que la valeur de 1s trouvée est convenable eu égard aux dimensions de la poutre.

2 5 sw ywd swl ,max

Ed w w ,min

, A zf As min ; ; sV b ρ

Dispositions constructives :

yk

ckmin,w f

f,080=ρ 9.5N

Distance max. des coursSi mmh 250> d,s max,l 750= sinon

d,s max,l 900= .

Distance max. entre les brins Si mmh 250> 0 75 600t ,maxs inf( , d ; mm )=

sinon 0 90t ,maxs , d= .

Les armatures d’effort tranchant ne sont pas requises 6.2.2Armatures min 9.2.2(5)Poutres uniquement.

Les armatures d’effort tranchant sont nécessaires.On se fixe : 52,cot =θ

( )1w cd

Rd ,maxb z fV

tan cotν

θ θ=

+ 6.9

10 345Rd ,max w cdV , b z fν=

non

Choisir 1θ =45°OuL’angle 1θ des bielles doit être déterminé par épuisement simultané des bielles et des armatures d’âme. 521 ,cot ≤≤ θ .

Données

Vérification de la capacité portante des bielles 6.2.2

Déterminer les espacements sur le reste de la poutre : épure basée sur le diagramme d’effort tranchant ; vérifier la bielle d’about la plus sollicitée ; vérifier et ancrer les armatures longitudinales sur les appuis.

Page 50: Béton armé aux états limites

1.27. Organigramme simplifié de calcul des armatures d’effort tranchant : 1=θcot

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( ) 1 3100Rd ,c Rd ,c l ck min wV sup C k f ;v b dρ = 6.2.

Ed Rd ,cV V>ouinon

max,RdEd VV ≤oui

La résistance des bielles est surabondantesw

Rd ,s ywdAV zf cots

θ= 6.8

On se fixe 1=θcot : swEd ywd

AV zfs

⇒ sw Ed

ywd

A Vs zf

Choix de la section d’acier swAsw w ,min w l ,maxA b sρ≥ si cela conduit à 1 l ,maxs s≤

Calcul du premier espacement 1s avec 6.8

1sw ywd

Ed

A zfs

V≤

Vérifier que la valeur de 1s trouvée est convenable eu égard aux dimensions de la poutre.

sw ywd swl ,max

Ed w w ,min

A zf As min ; ; sV b ρ

Les armatures d’effort tranchant ne sont pas requises 6.2.2.Armatures min 9.2.2(5)Poutres uniquement.

Les armatures d’effort tranchant sont nécessaires.

( )1w cd

Rd ,maxb z fV

tan cotν

θ θ=

+ 6.9

On se fixe 1=θcot soit °= 45θ

10 5Rd ,max w cdV , b z fν=

non

L’angle °= 45θ des bielles ne peut pas être augmenté.Il faut redimensionner le coffrage.

Données

Vérification de la capacité portante des bielles 6.2.2

Déterminer les espacements sur le reste de la poutre : épure basée sur le diagramme d’effort tranchant ; vérifier la bielle d’about la plus sollicitée ; vérifier et ancrer les armatures longitudinales sur les appuis.

Dispositions constructives :

yk

ckmin,w f

f,080=ρ 9.5N

Distance max. des coursSi mmh 250> d,s max,l 750= sinon

d,s max,l 900= .

Distance max. entre les brins Si mmh 250> 0 75 600t ,maxs inf( , d ; mm )=

sinon 0 90t ,maxs , d= .

Page 51: Béton armé aux états limites

1.28. Transmissions directes

1.29. éléments pour lesquels des armatures d’effort tranchant sont requises. 6.2.3(8) , Aspect réglementaire

Lorsque des charges sont appliquées sur la face supérieure de l'élément, à une distance va du nu de

l'appui telle que dad, v 250 <≤ , la contribution de cette charge à l'effort tranchant agissant EdV peut être

minorée par d

av

2=β . (figure 22)

Pour la valeur de l’effort tranchant EdV ainsi calculé, il convient de satisfaire αsin.f.AV ywdswEd ≤ , swA

représente la section des armatures d’effort tranchant dans la partie centrale sur une longueur de va,750 . (voir fig. 22)Cette réduction est uniquement valable lorsque les armatures longitudinales sont complètement ancrées au droit de l’appui.

va,750

va

α

va,750

va

α

Figure 22 Fig.6.6 : Armatures d'effort tranchant dans des travées courtes, avec bielle de transmission directe

Pour d,av 50≤ , il convient de prendre la valeur d,av 50= . 250,=βPour la valeur de EdV calculée sans appliquer le facteur de réduction β , il convient de satisfaire la

condition : max,RdEd VV ≤

β

0 , 5 d 2 , 0 d

1

0,25va

Figure 23 Transmissions directes : cas des charges ponctuelles : coefficient β

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Page 52: Béton armé aux états limites

L

F

L

F

Edr,Ed V,V 250=

VV

Edv

r,Ed Vd

aV2

=

va

2dav

≤dadv 2

2≤≤

)La(FV v

Ed−−= 1 )

La(FV v

Ed−−= 1

LaF v

LaF v

va

Figure 24 Transmissions directes : cas des charges ponctuelles

1.30. justification 6.2.1(8)

Clause 6.2.1(8) de l’EN 1992-1-1 Si la poutre est soumise principalement à des charges réparties, il n’y a pas lieu d’effectuer de vérification à l’effort tranchant à une distance au nu de l’appui < d. Il convient de maintenir les armatures d’effort tranchant requises jusqu’au droit de l’appui.

Justification :Au niveau des appuis, sur la largeur d’appui, la charge est intégralement transmise à l'appui mais de plus, une partie de la charge au delà de l'appui est aussi transmise directement à l'appui véhiculée par le bielle d’about.

On utilise l’article 6.2.3(8) de l’EN 1992-1-1Les charges (réparties ou ponctuelles) situées à une distance va des appuis sont:

multipliées par :d

av

2=β si 0 5 2v, d a d≤ ≤

250,=β si 0 0 5va , d≤ ≤ La charge transmise directement à l’appui correspond à :0 5 0 75 1 5 0 75 2 0 9375, d , p , d , p / , dp× + × =

On montre qu’il est équivalent de considérer comme transmission directe la charge uniformément répartie sur la longueur : d,93750

Pour simplifier l’EN 1992-1-1 considère d .

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Page 53: Béton armé aux états limites

0,5 d

h

0,94 d

h

2d

pcharge transmisepar la poutre

effort tranchant compte tenu des transmissions équivalentes

effort tranchant théorique

trait

volume des charges appliquées sur la poutre et transmises directement

0,94d.p

0,94.d.p

portée L

dav

2 va

transmissions équivalentes

droiteparabole

cte

volume des charges appliquées sur le poteauet transmises directement

EN 1992-1-1 6.2.1(8) d

Figure Représentation des charges transmises directement avec transmission équivalente dans le cas d’une charge répartie.

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Page 54: Béton armé aux états limites

1.31. Transmission directes : (appui monolithique et plaque d’appui)

h

L

chargement de calcul charges transmises directement

d

Vu

x

Vu(L)

Vur(L)

Vu(0)

Vur(0)

d

1.32. Diagramme de l’effort tranchant réduit. Appui souple (en tenant compte des transmissions directes)

h

L

chargement de calcul charges transmises directement

d

Vu

x

Vu(L)

Vur(L)

Vu(0)

Vur(0)

d

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Page 55: Béton armé aux états limites

Déterminons le diagramme enveloppe de l’effort tranchant (application numérique)

Donnéescaractéristiques dimensionnelles : poteaux 300 300× , poutre : section droite 300 1100× , portée 10L m=caractéristiques mécaniques : béton : 25ckf MPa= , acier : 500ykf MPa= ;

Chargement appliqué : m/kNqg 30== (le poids propre n’est pas compris) ;

• Poids propre de la poutre :0 30 1 10 25 8 25g , , , kN / m= × × = ;

• charges permanentes :30 0 30 1 10 25 38 25g , , , kN / m= + × × = ;

1 35 51 64, , /g kN m= ;

• charge d’exploitation : q kN m= 30 / 150 45, /q kN m= ;

1 35 1 50 96 64, , , /g q kN m+ = ;

Posons mmd 1000= ;

• ( ) kN,Lg,x,g,Vu 192582

3510351 −=−== ;

• ( ) kN,dLg,x,g,Vur 1991502

3510351 −=

−−−== ;

• ( ) kNLq,x,q,Vu 2252

5010501 −=−== ;

• ( ) kN,dLq,x,q,Vur 1741502

5010501 −=

−−−== ;

• ( ) kN,xVu 24830 −== ;

( ) kNxVur 3720 −== ;

Pour obtenir le diagramme enveloppe de VuOn a considéré que la charge d’exploitation n’est pas forcément répartie sur la longueur de la travée, lorsqu’elle est répartie sur la moitié de la travée par exemple, on obtient la valeur max de Vu au milieu de la travée.

V xL

qL

u =

= ±

21 50

8, , dans la pratique, on néglige souvent cette valeur, car elle est relativement faible et de

plus l’espacement des armatures transversales est borné.

A partir du diagramme de l’effort tranchant représenté au verso, tracez l’épure d’arrêt des armatures transversales dans les deux cas suivants :

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Page 56: Béton armé aux états limites

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d

h=1100

L =10 000

chargement de calcul

Vu

x

1,35 g

1,50 q

(1,50q)

Vu

x

Vu(L)

Vur(L)

Vu(0)

Vur(0)

Vu

x

(1,35g)

-258,19

(KN)

-199

-225

-174

b0=300

-483.2

-372

1,5q L8

=56,25

56,25

d

Page 57: Béton armé aux états limites

mmbw 300= ; mmh 1100= ; mmd 1000= ; mmd,z 90090 == ;

3030 201 5

ckck cd

C

ff MPa f MPa,γ

= = = = ;500 4351 15

ywkywd

S

ff MPa

,γ= = = ;

béton armé ⇔ 1=cwα ; ( )

−=

2501601

MPackf,ν ; MPa,f, cd 810540 11 == νν

m/kN,g 2538= ; m/kNq 30= ; m/kN,q,g,pu 649651351 =+= ;2

1 3135 mmAs ≥ Armatures longitudinales 3 lit :3HA 25 3HA20 et 3HA20♦ A l’appui A :

kN,VEd 2483=♦ les armatures d’effort tranchant sont-elles nécessaires ?En flexion simple : ( ) ( ) dbfk.CVdbv wckc,Rdc,Rd

Nwmin

311100ρ=≤ 6.2.

( ) 2451100020012001 ≤=+=+= ,

dk mm

; 12051180180 ,,,,C

Cc,Rd ===

γ ;

1470 0 0042 0 02300 1000

sll

w

A , ,b d

ρ = = = ≤×

(1 lit de 3 HA 25)

21230530 /ck

Cmin fk,v

γ= ; 3 2 1 2 3 2 1 20 03533 0 03533 1 45 30 0 337min ckv , k f , , ,= = × × =

( ) ( ) 1 30 337 300 1000 101080 0 12 1 45 100 0 0042 30 300 1000 127627NRd ,c, V , , , N× × = ≤ = × × × × × =

( ) kNNV c,RdN 127127627 ==

Ici c,RdEd VV > les armatures d’effort tranchant sont nécessaires.

♦ Vérification de la résistance des bielles de béton effectuée avec l’effort tranchant EdV théorique

On peut utiliser l’effort tranchant au nu de l’appui 372EdV kN=

1 1

0 9Ed

w

cd cd

V, dbv f v f

τ τ= =

3483 2 10 0 165300 0 9 1000 10 8

, ,, ,

τ = =× × ×

Cette valeur est inférieure à 3450, . La résistance des bielles est surabondanteL’angle θ des bielles est choisi : °= 821,θ ; 521 ,cot =θ

♦ Déterminons la section des armatures transversalesEffort tranchant réduit (transmissions directes) Distance d depuis le nu de l’appui ( )150 372Edr Ed uV V p d kN= − × + =

en tenant compte de l’article Dans les zones ou il n’y a pas de discontinuité de EdV , la détermination des armatures sur un

longueur de ( )αθ cotcotz + peut être effectuée en utilisant la plus petite valeur de EdV sur cette longueur.

On peut considérer un décalage de la courbe de l’effort tranchant de 0 9 1000 2 5 2250z cot , , mmθ = × × = .

Soit 2 25 266Edr Ed u Ed uV V p z cot V p , kNθ= − = − × =

La section des armatures transversales est représentée par : ψρ

=cd

ywdw

fvf

1 s.bA

w

sww =ρ

En considérant effort tranchant réduit

kNVEdr 266=3266 10 0 091

300 0 9 1000 10 8,

, ,τ = =

× × ×

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.. 6.2.3

.. 6.2.1

Page 58: Béton armé aux états limites

6.8θ

τψcot

= ; 0365052

0910 ,,

, ==ψ ;

wywd

cdsw bf

fvs

A 1ψ= ; 2720,s

Asw = soit 272 mm2 / mètre

♦ décalage de la courbe des moments (pour le tracé de l’épure d’arrêt des barres longitudinales):

( ) 0 9 1000 2 5 11252

z ,cot , mm2

θ ×= × =

pour être en sécurité, il faudrait θcotz♦ condition aire max. des armatures transversales

1

2sw ,max ywd cd

w

A f fb s

ν≤ 6.121

12

ywdsw ,max

w cd

fAb s fν

≤ soit 21≤maxψ implicitement vérifié

♦ Le pourcentage mini. d’armatures d’effort tranchant est donné par l’équation : ρ ρw w≥ ,min

yk

ckmin,w f

f,080=ρ 9.5N 0008750

50030080 ,,

min,w ==ρ

♦ Conditions sur l’espacementPour des armatures droites 0 75 0 75 1000 750l ,maxs , d , mm= = × = 9.6N

♦ choix de la section d’acier

♦ 0008750,s.b

Alw

sww ≥=ρ lwmaxwsw s.b,s.b,A 00087500008750 ≥≥

20 000875 0 000875 300 750 198sw w maxA , b s , mm≥ = × × = soit 4 HA 8 201 mm2

♦ Calcul du premier espacement

9020,s

Asw = ; mm,

s 7392720

2011 =≤ ;

0 75 600 600t ,maxs min( , d ; ) mm= = entre les brins d’un cours vérifié

Avec kN,VEd 2483= ;3483 2 10 0 165

300 0 9 1000 10 8, ,

, ,τ = =

× × × ; 06630

521650 ,,

, ==ψ ;

4940,s

Asw = ; mm,

s 4064940

2011 =≤ ;

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Page 59: Béton armé aux états limites

Cas ou la bielle d’about est trop comprimée Toutefois en cas de poutre haute, on pourra superposer plusieurs bielles d’about suivant le principe ci dessous illustré pour 2 bielles. Les bielles et ses tirants seront calculés comme ci-avant, chacun avec sa part de charge (ici 0,5. VEd).(BAEL)°

Pour soulager la bielle d’about, nous pouvons utiliser un réseau croisé d’armatures reprenant une partie de l’effort tranchant. Si la largeur d’appui est insuffisante pour permettre le passage de Vu (bielle trop comprimée), nous pouvons faire intervenir une largeur de bielle supérieure en disposant des armatures horizontales réparties sur la hauteur de la poutre et ancrées au-delà de la ligne AB ; Il ne faut cependant pas oublier de « remonter » la part d’effort tranchant Vu2 par l’intermédiaire de cadres et d’étrier situés tout près du voisinage de l’appui.

Aw3

Ast2

Ast1

a(z-a)/2

z~~0,9d

A

B=Ast2

a

z+Lb,net

isolons la seconde bielle

C

Vu2

V V Vu u u= +1 2 ; Vu1 effort tranchant repris par la première bielle, on peut la faire travailler à sa valeur limite soit 1uV .

D’après le règlement BAEL, il faut que VV

uu

1 3≥ , cela

suppose que VV

uu

2

23

< ; or les règles de bonne

construction conseillent de ne pas compter exagérément sur ces bielles secondaires au risque de désordres graves

VV

uu

2 4< .

Pour les armatures Ast 2 , on peut utiliser des boucles disposées à plat comme indiqué sur le schéma ci-contre.

Ast2boucle disposée à plat

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6.2.3 (7)

Page 60: Béton armé aux états limites

Les suspentes à prévoir au niveau des appuis indirects (9) Lorsqu'une charge est appliquée en partie inférieure de l'élément, il convient, en plus des armatures nécessaires pour reprendre l'effort tranchant, de prévoir des armatures verticales (suspentes) suffisantes pour transmettre la charge à la partie supérieure.

Dispositif permettant de relever les charges ponctuelles. Par »relever », il faut entendre « remonter » les charges, c’est à dire les transférer en partie supérieure dans la membrure comprimée. Par exemple au croisement poutre porteuse poutre portée, il faut relever la réaction d’appui transmise par la poutre portée.

RuRu

poutre secondaire

poutreprincipale

La poutre secondaire s’appuie sur la partie tendue de la poutre principale, il faut donc remonter la réaction d’appui à la partie supérieure comprimée de la poutre principale par l’intermédiaire de suspentes.

Solution 1

Ru

Asw45°

h h1

isolons un tronçon de suspente

Ru

Ru

2 22

yd

u

yd

u

sw fR

f

R

A ==

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6.2.1 (9)

9.2.5

Page 61: Béton armé aux états limites

Les suspentes à prévoir au niveau des appuis indirects 9.2.5

Clause 6.2.1 (9) Lorsqu'une charge est appliquée en partie inférieure de l'élément, il convient, en plus des armatures nécessaires pour reprendre l'effort tranchant, de prévoir des armatures verticales (suspentes) suffisantes pour transmettre la charge à la partie supérieure.La poutre secondaire s’appuie sur la partie tendue de la poutre principale, il faut donc remonter la réaction d’appui à la partie supérieure comprimée de la poutre principale par l’intermédiaire de suspentes.

21 /h≤

31 /h≤

32 /h≤ 22 /h≤

A

B

figure 50 Figure 9.7Voir Figure 9.7 : Disposition des suspentes dans la zone d'intersection de deux poutres (vue en plan) (A = poutre support de hauteur h1, B = poutre supportée de hauteur h2 (h1 ≥ h2)

R

Asws

section droite d'une suspente = cadre

45°

2h1h 2wb

21 /h≤

31 /h≤

figure 51 Disposition des suspentes dans la zone d'intersection de deuxpoutres (vue en élévation)

swA section résistante d’un cours

Ces cours doivent être répartis sur

+ 211 3

2wbh;hmin et coudre les fissures probables qui se

développent à 45°.

Partie entière

+ 211 3

21wbh;hmin

s = nombre de cours

La section droite de l’ensemble des cadres formant suspente doit vérifier :

ydwsw f

Rbh;hmin.

s.A ≥

+ 211 3

21

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Page 62: Béton armé aux états limites

Cisaillement le long des surfaces de reprise1.33. Généralités et méthode de calcul

(1) A l'interface entre des bétons coulés à des dates différentes, outre les exigences de 6.2.1 à 6.2.4, il convient également de vérifier :

RdiEdi vv ≤ (6.23)

Ediv est la valeur de calcul de la contrainte de cisaillement à l'interface ; elle est donnée par :

i

EdEdi zb

Vv β= (6.24)

où : β est le rapport de l'effort normal (longitudinal) dans le béton de reprise à l'effort longitudinal total dans la zone comprimée ou dans la zone tendue, calculé, à chaque fois, pour la section considérée

EdV est l'effort tranchant transversalz est le bras de levier des forces internes de la section composite

ib est la largeur de l'interface (voir Figure 6.8)

Rdiv est la valeur de calcul de la contrainte résistante de cisaillement à l'interface :

( )0 5Rdi cd ctd n w ydv min , f ; cf f sin cosν µ σ ρ µ α α = + + + (6.25)où :c et µ sont des coefficients qui dépendent de la rugosité de l'interface (voir (2))

ctdf est défini en 3.1.6 (2)P

nσ est la contrainte engendrée par la force normale externe minimale à l'interface susceptible d'agir en

même temps que l'effort de cisaillement ; elle est positive en compression, avec cdn f,60<σ , et négative

en traction. Lorsque σn est une contrainte de traction, il convient de prendre 0=ctdcf .

i

sw A

A=ρ

sA aire de la surface des armatures traversant l'interface, armatures d'effort tranchant comprises, le cas échéant, correctement ancrées de part et d'autre de l'interface

iA aire du jointα défini sur la Figure 6.9 ; il convient de limiter α de telle sorte que °≤≤° 9045 αν coefficient de réduction de la résistance donné par l'Expression (6.6)

[ ]250160 /f, ck−=ν (6.6N) ( ckf en MPa)(3) Les armatures transversales (armatures de coutures) peuvent être réparties par zones de pas constant le long de l'élément, comme indiqué sur la Figure 6.10. Lorsque la liaison entre deux bétons différents est assurée par des armatures (poutrelles en treillis), la contribution de l'acier à Rdiv peut être prise égale à la résultante des efforts dans chaque diagonale, sous réserve que °≤≤° 13545 α .(4) La résistance au cisaillement longitudinal de joints coulés en place entre éléments de dalles ou de voiles peut être calculée comme indiqué en 6.2.5 (1). Toutefois, lorsque le joint peut être significativement fissuré, il convient de prendre 0=c pour les joints lisses et rugueux et 50,c = pour les joints avec indentation (voir également 10.9.3 (12)).

(5) Sous charges de fatigue ou charges dynamiques, il convient de diviser par deux les valeurs de c données en 6.2.5 (1).

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Page 63: Béton armé aux états limites

surface de reprise

ib

béton de reprise

largeur de l'interface de reprise

ib

ib

élément préfabriquéprédalle

Figure 30 (Fig.6.8 EN 1992-1-1) : Exemples de surfaces de reprise.

Tableau 5 : paramètres c et µÉtat de surface : c µTrès lisse : surface coulée au contact de moules en acier, en matière plastique ou en bois traité spécialement.

0,25 0,5

Lisse (surface non coffrée laissée sans traitement ultérieur après vibration)

0,35 0,6

Rugueuse : surface présentant des aspérités d'au moins 3 mm de haut, espacées d'environ 40 mm, obtenues par striage, lavage direct ou toute autre méthode donnant un comportement équivalent.

0,45 0,7

Avec indentation : surface présentant des clés comme sur la Figure 6.9 de l’EN 1992-1-1

0,5 0,9

nctdcf µ σ+armatures de

couture requises

( )ααµρ cossinf yd+

le béton seul résiste aux contraintes de cisaillement

diagramme résistant dû aux armatures

i

sw

i

s

sbA

AA ==ρ

RdivEdiv

diagramme résistant du béton seul

Figure 31 : (Fig.6.10 EN 1992-1-1) Diagramme de cisaillement indiquant les armatures de couture requises, avec une répartition par 2 paliers.

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Page 64: Béton armé aux états limites

1.34. Pour un plancher confectionné à partir de prédalles, étude de la surface de reprise de la retombée préfabriquée d’une poutre.

surface de reprise

ib

wb

béton de reprise

largeur de l'interface de reprise

élément préfabriquéprédalle

Figure 32. Surface de reprise pour une poutre rectangulaire

Sachant que la largeur de repos de la prédalle est de l’ordre de 20 mmLargeur de la surface de reprise (interface) mmbb wi 40−=

i

EdEdi zb

Vv β=

1=β si l’axe neutre est situé dans le béton de reprise.

RdiEdi vv ≤ ( )0 5Rdi cd ctd n w ydv min , f ; cf f sin cosν µ σ ρ µ α α = + + + avec des armatures orthogonales à la surface de reprise °= 90α

0=nσ en négligeant la contrainte normale orthogonale à la surface de reprise

0 5Rdi cd ctd w ydv min , f ; cf fν µ ρ = + ; )f

(, ck

250160 −=ν (6.6) ;

c

,,ctkctctd

ff

γα 050=

0 3 1250

Ed ckcd ctd w yd

i

V fmin , ( ) f ; cf fzb

µ ρ ≤ − + s.bA

i

sww =ρ

Surface non coffrée : 0 3 1 0 35 0 6250

Ed ck swcd ctd yd

i i

V f Amin , ( ) f ; , f , fzb sb

≤ − +

Surface rugueuse : 0 3 1 0 45 0 7250

Ed ck swcd ctd yd

i i

V f Amin , ( ) f ; , f , fzb sb

≤ − +

Armatures minimales transversales des poutres : yk

ckmin,w f

f,080=ρ

Tableau 6 : Valeurs max. (en MPa) de i

Ed

zbV

(obtenues pour le pourcentage min. d’armatures transversales

de la poutre) pour lesquelles les armatures de couture supplémentaires sont inutiles. Béton C25/30 Béton C30/37

État de surfacemin,wρ = 0,0008 min,wρ = 0,000876

Lisse (surface non coffrée) 0,62 0,69Rugueuse 0,78 0,82

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Page 65: Béton armé aux états limites

Tableau 7 : Vérification du cisaillement sur la surface de reprise (avec des armatures transversales traversant l’interface).

État de surface

C25/30 C30/37

LisseSurface non coffrée

4 5 0 42 260 87Ed sw

i i

V Amin , ; , ,zb sb

≤ +

5 28 0 46 260 87Ed sw

i i

V Amin , ; , ,zb sb

≤ +

Rugueuse 4 5 0 54 304 3Ed sw

i i

V Amin , ; , ,zb sb

≤ +

5 28 0 6 304 3Ed sw

i i

V Amin , ; , ,zb sb

≤ +

1.35. cas des dalles confectionnées à partir de prédalles sans armatures de couture

On considère une surface rugueuse et 1=β

Surface rugueuse : 0 3 1 0 45250

Ed ckcd ctd

i

V fmin , ( ) f ; , fzb

≤ −

Tableau 8: Valeurs max. (en MPa) de i

Ed

zbV

obtenues sans armatures de couture

C25/30 C30/37surface rugueuse 0,54 0,6

armatures de couture

requises

le béton seul résiste aux

contraintes de cisaillement

diagramme résistant dû aux armaturesorthogonales à la surface de reprise

ydfµ ρi

sw

i

s

sbA

AA ==ρ

RdivEdiv

diagramme résistant du béton seul

ctdcf

Figure 33. Diagramme de cisaillement indiquant les armatures de couture requises, avec une répartition par 2 paliers. (cas particulier d’armatures droites et 0=nσ )

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Page 66: Béton armé aux états limites

Cisaillement à la jonction âme-membrures.:Dans les plans de liaison de 2 éléments ou existent des variations brutales de section (par exemple à la jonction nervure-table des poutres en Té que nous allons étudier), sollicités par des contraintes tangentes, il faut placer des armatures traversant ces plans. Ces armatures viennent coudre les fissures probables engendrées par les contraintes tangentes, ces armatures dites de couture ou transversales empêchent le glissement relatif des 2 plans.

VEd

x

yx∆

fh

x∆∆ FEd

fh

EdvEdv

Edv

∆ FEd

Figure 34. Jonction nervure-table des poutres en Té : distribution des contraintes tangentes.

sf

Asf

bw

hf

beff

barre longitudinale ancrée au-delà du point obtenu par construction avec (voir 6.2.4(7):

B

A bielles de béton:

x∆

+bdl ∆ FEd

FEd

FEd

FEd

+ ∆ FEdFEd

Figure 35. Fig.6.7 Notations pour la jonction âme-membrure.

1.36. Cisaillement à la jonction âme-membrure. Cas de membrure (ou table) comprimée

1.36.1. Position du problèmeLa largeur efficace d’une poutre en Té est notée effb .

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6.2.4

Page 67: Béton armé aux états limites

On détermine l’effort de compression dans la section droite distante de x∆ du point de moment nul:

zMF Ed

Ed = .

EdM : variation du moment de flexion à l’ELU sur la distance x∆ , z est le bras de levier Soit EdF∆ , la variation de l’effort de compression agissant sur le débord (ou partie extérieure de la table) de la poutre en Té, pour une longueur de poutre x∆ .Déterminons l’effort de compression sur le débord de la poutre en Té au prorata de sa largeur. Si l’axe

neutre est situé dans la table, cas le plus fréquent en bâtiment : ( )1

2eff w

Ed Edeff

b bF F

b∆

−= .

La contrainte de cisaillement longitudinal (glissement longitudinal moyen) Edv développée à la jonction entre

l’âme (nervure) et un coté de la membrure (table ou hourdis) est définie par : Ed

Edf

Fvh x∆

∆=

avec : x∆ plafonné à la moitié de la distance du point de moment maximal au point de moment nul ; lorsqu’il

existe des charges ponctuelles, x∆ est plafonné à la distance entre ces charges.

fh : hauteur de la membrure

si ctdEd kfv ≤ les armatures de cisaillement des membrures ne sont pas nécessaires.

0 05ctd ct ctk , , Cf fα γ=

Tableau 9 : Définition des valeurs numériques de kNF EN 1992-1-1 40,k =

Annexe nationale 6.2.4(6) NotePour une surface de bétonnage verticale et rugueuse

50,k =

S’il n’existe pas de reprise verticale de bétonnage

1=k

1.36.2. Modélisation :La résistance au cisaillement de la membrure peut être justifiée par la considération d'un treillis formé par des bielles de béton comprimé et les armatures transversales tendues.L'état ultime peut être atteint par écrasement des bielles de béton ou par rupture des armatures transversales de liaison de l'âme à la membrure.

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Page 68: Béton armé aux états limites

( )αθ cotcotz +

zα θ h-hf

hf

beffbw

zMF Ed

Ed=

( )eff

weffEdEd b

bb.FF

−=

21∆

eff

wEd b

b.F °≤≤° 45526 f, θ

( )4

weff bb −

2wb

fEd tanF θ∆fEd cos/F θ∆

( )eff

weffEdEd b

bb.FF

−=

21∆

eff

wEd b

b.F

°≤≤° 45526 f, θ

fEd tanF θ∆

fEd cos/F θ∆EdF∆

EdF∆

membrure comprimée

Figure 36: Modélisation table comprimée.

1.36.3. Détermination des armatures transversales à la jonction âme-membrure

La section des armatures transversales à la jonction âme-membrure est déterminée par l’équation :

sf yd fEd

f f

A f hv

s cot θ> 6.21

Équation équivalente sf yd Ed ff

xA f F tans

∆ ∆ θ> , avec Ed fF tan∆ θ = l’effort dans les armatures

transversales.Pour les membrures comprimées : °≤≤° 45526 f, θ

En prenant °= 526,fθ ; 2=fcotθ , on minimise la section des armatures transversales.

Cette section sfA peut être disposée sur les faces supérieures et inférieures de la table.

1.36.4. Vérification des bielles de béton comprimé:

fcdffcdEd sinfcossinfv θνθθν 221=≤

6.22

( )

−=

250160

Mpackf,ν

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Page 69: Béton armé aux états limites

équation équivalente Ed

cd f ff

F f h x sincos∆ ν ∆ θ

θ≤ avec

f

Ed

cosF

θ∆

l’effort dans la bielle

en prenant °= 45fθ 1=fcotθ cdEd f,v ν50≤en prenant °= 526,fθ 2=fcotθ cdEd f,v ν40≤

i;nL

i;effLi;a2i;a1

1−iM

iM

2/L i;eff

( )i;effi

iii;eff

L.pMML

1

2−−

+

ip

0iM

( )0

2101

162 i

iii

iimax;ti M

MMMMMM −− −++

+=

i;nM 1

i;nM 2

=ix0

0

8

i

maxii

i

max;tii M

MLp

Ma ==

20i

iax −

20i

iax +

max;tiM,750 max;tiM,750

charge uniformément répartie

max;tiM,750

max;tiM,250

4iax =∆ x∆ x∆ x∆

zone 1

zone 3

zone 2 zone 1

zone 3

Figure 37. Définition des zones et notations

Pour simplifier, on peut considérer pour longueur de la table comprimée ia :figure 5.2 NF EN 1992-1-1Travée de rive d’une poutre continue : effL,850

Travée intermédiaire d’une poutre continue : effL,700

1.37. Cisaillement à la jonction âme-membrure. Membrure (ou table) tendue

Cette vérification n’est à effectuer que si on prend en compte les armatures tendues de la table situées à l’extérieur de la largeur de la nervure. (voir figue 38)Lorsque la membrure (table) est tendue : °≤≤° 45638 f, θ 2511 ,cot f ≤≤ θ

Pour minimiser ces armatures il faut considérer des bielles avec °= 638,fθ 251,cot f =θ

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Page 70: Béton armé aux états limites

zMF i

Ed = iM moment de flexion sur l’appui i

d,z 90= : bras de levier forfaitaire

si on note dt,sA la fraction de la section totale d’acier située dans le débord (ou partie extérieure de la table)

(figure 38 ) s

dt,sEdEd A

AFF =∆

s

dt,siEd A

Az

MF =∆

effb

wb

fh

dt,sA

sA

Figure 38. Armatures de la table tendue d’une poutre en Té.

La contrainte de cisaillement longitudinal (glissement longitudinal moyen) Edv

Expression définie précédemment : x.hFv

f

EdEd ∆

∆=

x∆ peut être estimé à : effL,150 longueur de la zone 3

si ctdEd kfv ≤ les armatures de cisaillement des membrures ne sont pas nécessaires.

1.37.1. section des armatures transversales à la jonction âme-membrureLa section des armatures transversales à la jonction âme-membrure est déterminée par l’équation :

sf yd fEd

f f

A f hv

s cot θ> 6.21

Équation équivalente : sf yd Ed ff

xA f F tans

∆ ∆ θ> ; avec fEd tan.F θ∆ = l’effort dans les armatures

transversales.

s

dt,siEd A

Az

MF =∆ fyds

dt,si

f

sf tanfA

Az

Mxs

∆11>

Pour minimiser ces armatures, il faut des bielles avec °= 638,fθ ; 251,cot f =θ

effL,x 150=∆

yds

dt,si

efff

sf

fAA

d,M

L,sA 1

90187501>

La section sfA peut être disposée sur les faces supérieures et inférieures de la table.

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Page 71: Béton armé aux états limites

1.37.2. Vérification des bielles de béton comprimé:

fcdffcdEd sinfcossinfv θνθθν 221=≤

6.22

( )

−=

250160

Mpackf,ν

équation équivalente Ed

cd f ff

F f h x sincos∆ ν ∆ θ

θ≤ avec

f

Ed

cosF

θ∆

l’effort dans la bielle

1 1 1 20 15 2

s ,dticd f

s f eff

AM f sinz A h , L

ν θ≤

1.37.3. Modélisation :La résistance au cisaillement de la membrure peut être justifiée par la considération d'un treillis formé par des bielles de béton comprimé et les armatures transversales tendues.L'état ultime peut être atteint par écrasement des bielles de béton ou par rupture des armatures transversales de liaison de l'âme à la membrure.

dt,sA

( )αθ cotcotz +

α θ

beffbwf

θ

EdF∆

EdF∆

°≤≤° 45638 f, θ

dt,sA

membrure tendue

appui i

zMF i

Ed=

sA

s

dt,sEdEd A

AFF =∆

sA

Figure 39. Modélisation table tendue

1.38. armatures minimales 9.2.2

Le pourcentage d’armatures d’effort tranchant est donné par l’équation : ρ ρw w≥ ,min

s.bA

w

sww =ρ 9.4 avec :

ρ w pourcentage (taux) d’armatures d’effort tranchant

Asw section d’un cours d’armatures transversales ici sfA

bw largeur de l’âme de l’élément ici fhs espacement des cours d’armatures d’effort tranchant

yk

ckmin,w f

f,080=ρ 9.5N soit

yk

ckf

f

sf

ff

h,sA

080≥

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Page 72: Béton armé aux états limites

1.39. Armatures réglementaires : cisaillement entre membrure et âme combiné à la flexion transversale

6.2.4(5) Dans le cas où le cisaillement entre membrure et âme est combiné à la flexion transversale, il convient de prendre pour l'aire de la section des armatures la valeur donnée par l'Expression (6.21) ou la moitié de celle-ci plus l'aire requise pour la flexion transversale, si l'aire ainsi obtenue est supérieure.

Soit sA l’aire de la section des armatures pour la flexion transversale / mètre (unité de longueur). Ces armatures seront disposées en partie supérieure de la table.

On doit disposer une section égale au

+

yk

ckfs

f

sf

f

sf

ff

h,;AsA

,;sA

max 08050

L’espacement des barres de flexion dans les dalles 9.3.1.1(3) [ ]mm;hinfs ff 4003≤(Remarque : s’il n’y a pas d’armatures de flexion, cette condition ne s’applique pas)

1.40. Méthode approchée

Pour simplifier, on peut considérer pour longueur de la table comprimée ia :

Travée de rive d’une poutre continue : effL,850

Travée intermédiaire d’une poutre continue : effL,700

Soit 4

iax =∆ pour la membrure comprimée et effL,x 150=∆ pour la membrure tendue. On définit 3

zones (voir figure 40)La contrainte de cisaillement longitudinal (glissement longitudinal moyen) Edv développée à la jonction entre

l’âme (nervure) et un coté de la membrure (table, hourdis) est définie par : Ed

Edf

Fvh x∆

∆= avec :

si ( ) ctdEdEd kfv,vmax ≤31 les armatures de cisaillement des membrures ne sont pas nécessaires.

Avec 0 05ctd ct ctk , , Cf fα γ= 1ctα =

Soit sA l’aire de la section des armatures pour la flexion transversale / mètre (unité de longueur). Ces armatures seront disposées généralement en partie supérieure de la table.L’espacement des barres dans les dalles 9.3.1.1(3) [ ]mm;hinfs ff 4003≤(Remarque : s’il n’y a pas d’armatures de flexion, cette condition ne s’applique pas)La section des armatures transversales à la jonction âme-membrure est déterminée par l’équation :

sf yd fEd

f f

A f hv

s cot θ> 6.21

Équation équivalente sf yd Ed ff

xA f F tans

∆ ∆ θ> , avec Ed fF tan∆ θ = l’effort dans les armatures

transversales.Pour minimiser les armatures il faut considérer des bielles inclinées :Pour la membrure comprimée : °= 526,fθ 2=fcotθ

Pour la membrure tendue : °= 638,fθ 251,cot f =θ (si on prend en compte les armatures tendues de la table situées à l’extérieur de la largeur de la nervure. (voir figue 33)

vérification des bielles

fcdffcdEd sinfcossinfv θνθθν 221=≤ 6.22

( )

−=

250160

Mpackf,ν

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Page 73: Béton armé aux états limites

0 05ctd ct ctk , , cf fα γ= 1ctα =

équation équivalente Ed

cd f ff

F f h x sincos∆ ν ∆ θ

θ≤ avec

f

Ed

cosF

θ∆

l’effort dans la bielle

Si cdEd f,v ν401 ≤ , la vérification des bielles dans la membrure comprimée est satisfaite.

Si cdEd f,v ν4803 ≤ la vérification des bielles dans la membrure tendue est satisfaite.

Tableau 10: Cas ou des armatures supplémentaires sont nécessaires : ctdEd kfv > .zones EdF∆ Edv Armatures transversales

nécessaires pour la vérification du

cisaillement table-

nervure : f

sf

sA

section des armatures

transversales6.2.4(5)

1z

M, max,ti750=1Edv

3 ti ,max

f i

Mh a z

fh,dz 50−=ydi

max,ti

f

sf

fzaM

sA

231 >

fh,dz 50−=

+

yk

ckf

sf

sf

f

sf

ff

h,

AsA

,

sA

max

080

502

zM, max,ti250

=2Edv ti ,max

f i

Mh a z

fh,dz 50−=ydi

max,ti

f

sf

fzaM

sA

212 >

fh,dz 50−=

3(appui i) s

dt,si

AA

d,M90

efffs

dt,si

Ed

L,hAA

d,M

v

15011

90

3 =

yds

dt,si

eff

f

sf

fAA

d,M

L,

sA

19018750

1

3 >

(s’il existe des armatures tendues de flexion à l’extérieur de la largeur de la nervure)

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Page 74: Béton armé aux états limites

i;nL

i;effLi;a2i;a1

1−iM

iM

ip

i;nM 1

i;nM 2

max;tiM,750 max;tiM,750

charge uniformément répartie

max;tiM,750

4ia

4ia

4ia

4ia

max;tiM,250

,maxtiM

i,effi L,a 70=

zone 1

zone 3

zone 2 zone 1

zone 3

Figure 40. Définition des zones.

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Page 75: Béton armé aux états limites

zθ h-hf

hf

beffbw

zM

F EdEd

=

( )eff

weffEdEd b

bb.FF

−=

21∆

eff

wEd b

b.F

°≤≤° 45526 f, θ

( )4

weff bb −

2wb

fEd tanF θ∆

fEd cos/F θ∆

( )eff

weffEdEd b

bb.FF

−=

21∆

eff

wEd b

b.F

°≤≤° 45526 f, θ

fEd tanF θ∆

fEd cos/F θ∆EdF∆

EdF∆

membrure comprimée

θcotz

Figure 41. Modélisation table comprimée (armatures transversales droites).

dt,sA

θ

beffbwf

θ

EdF∆

EdF∆

°≤≤° 45638 f, θ

dt,sA

membrure tendue

appui i

zMF i

Ed=

sA

s

dt,sEdEd A

AFF =∆

sA

θcotz

Figure 42. Modélisation table tendue (armatures transversales droites).

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Page 76: Béton armé aux états limites

1.1. cas d'un chargement excentré

Dans le cas d'un chargement excentré

+=

WVuMk

udV

vred,Ed

Edred,EdEd 1 (6.51)

k est le coefficient qui dépend du rapport des dimensions b et c du poteau : sa valeur est fonction de la proportion du moment non équilibré transmis par cisaillement non uniforme et par flexion et torsion (voir Tableau 6.1)

tableau 6.1 Valeur de k pour les aires chargées rectangulairesb/c 50,≤ 1,0 2,0 03,≥k 0,45 0,60 0,70 0,80

b est la dimension du poteau parallèlement à l'excentricité de la chargec est la dimension du poteau perpendiculairement à l'excentricité de la chargeW correspond à une répartition des contraintes de cisaillement telle que représentée sur la Figure 6.19 de l’EN 1992-1-1 ; est fonction du périmètre du contour de contrôle de référence u :

dbdcdbcbW π216421 22 ++++= (6.41)

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Page 77: Béton armé aux états limites

3. Torsion 6.3.2(1) Le flux de cisaillement en torsion pure dans la paroi est constant, il peut être obtenu par :

k

Edi,efi,t A

Tt2

=τ (6.26)

cadrefeuillet moyen

i,eft2/t i,ef

EdT

iz

c i,EdV

j,EdV

Figure 41 Fig. 6.11 : symboles et définitions utilisés en 6.3

La sollicitation tangente i,EdV dans une paroi i du fait de la torsion est donnée par :

ii,efi,ti,Ed z.tV τ= (6.27)où (voir Figure 6.11 de l’EN 1992-1.1)TEd est le moment de torsion agissant de calcul Ak est l'aire intérieure au feuillet moyen des parois, partie creuse comprise

i,tτ est la contrainte tangente de torsion dans la paroi iA est l'aire totale de la section délimitée par le périmètre extérieur, partie creuse compriseu est le périmètre extérieur de la sectionzi est la longueur de la paroi i, définie par la distance entre points d'intersection des parois adjacentes

i,eft est l'épaisseur de la paroi fictive. Elle peut être prise égale à A/u, mais il convient qu'elle ne soit pas inférieure à deux fois la distance entre le parement extérieur et l'axe des armatures longitudinales. Dans le cas de sections creuses, elle est limitée par l'épaisseur réelle de la paroi.c enrobage des armatures longitudinales t épaisseur réelle de la paroi si elle est creuse

lφ diamètre des armatures longitudinales

+= t;

uA);c(maxt l

i,ef 22

φ

Dans le cas des profils de section creuse comme dans celui des profils de section pleine, les effets de la torsion peuvent être superposés à ceux de l'effort tranchant, en prenant une même valeur pour l'inclinaison θ des bielles. Les valeurs limites de θ données en 6.2.3 (2) s'appliquent également entièrement dans le cas de sollicitations combinées d'effort tranchant et de torsion. Clause 6.3.2 (2)

La résistance d'un élément soumis à des sollicitations d'effort tranchant et de torsion se déduit de 6.3.2 (4).

Clause 6.3.2(4) : La résistance d'un élément soumis aux sollicitations d'effort tranchant et de torsion est limitée par la résistance des bielles de béton. Afin de ne pas dépasser cette résistance, il convient de satisfaire la condition suivante :

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Page 78: Béton armé aux états limites

TEd / TRd,max + VEd / VRd,max ≤ 1,0 (6.29)

En torsion pure TEd / TRd,max ≤ 1,0

où : TEd est le moment de torsion agissant de calculVEd est l'effort tranchant agissant de calculTRd,max est le moment de torsion résistant de calcul donné par :

θθν α cossintAfT i,efkcdcwmax,Rd 2= (6.30)

où : ν est donné en 6.2.2 (6) [ ]250160 /f, ck−=ν (6.6N) (fck en MPa)

cwα par l'Expression (6.9) VRd,max est la valeur maximale de l'effort tranchant résistant de calcul selon les Expressions (6.9) ou (6.14). Dans les sections pleines, on peut utiliser la largeur complète de l'âme pour déterminer VRd,max

Clause 6.3.2(5) Les sections pleines approximativement rectangulaires ne requièrent qu'un ferraillage minimal (voir 9.2.1.1) sous réserve que la condition ci-après soit vérifiée :TEd / TRd,c + VEd / VRd,c ≤ 1,0 (6.31)oùTEd est le moment de torsion agissant de calculVEd est l'effort tranchant agissant de calculVRd,c se déduit de l'Expression (6.2)TRd,c est le moment de fissuration en torsion, qui peut être déterminé en posant

ctdti f=τ TRd,c = 2Ak tef,i fctd

Justification de l’expression de TRd,max est le moment de torsion résistant de calcul donné par : 6.30

EdT

bielle i

bielle

j

i,EdV

j,EdV

iz

i,EdV

j,EdVjz

Figure 42. Section rectangulaire sollicitée en torsion pure : on a représenté le moment de torsion et son équivalent en termes d’efforts de cisaillement sur les parois de la

section.

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Page 79: Béton armé aux états limites

EdT

bielle i

bielle

j

i,bi,li,Ed FFV +=i,bF i,lF

j,bF

j,lF

A

B

C

jz

iz

Figure 43. Section rectangulaire sollicitée en torsion pure : on a représenté le moment de torsion et son équivalent en termes d’efforts de compression dans les bielles et les efforts dans les armatures longitudinales. L’équilibre de la section montre la nécessité

de placer des armatures longitudinales.

iz

iθi

θ

ii,efi,ti,Ed z.t.V τ=

iz

iz

i,tτi,t

τ

i,swFi,lF

A

A

B

B

C

C

i

i,Ed

i

ii,efi,t tan

Vtan

z.t. θθτ =

i

i

tanz

θ

Figure 44. Isolement d’un tronçon de bielle ABC. . L’équilibre montre la nécessité de placer des armatures longitudinales et transversales

i,bF effort dans la bielle i

i,bi,li,Ed FFV += ii,bi,Ed sinFV θ=

i

i,Edii,bi,l tan

VcosFF

θθ ==

ii,efi,ti,Ed z.t.V τ=k

Edi,efi,t A

Tt2

=τ ik

Edi,Ed z.

ATV2

=

la contrainte dans la bielle iii,ef

i,bi,b coszt

σ =

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Page 80: Béton armé aux états limites

cdi,b fνσ ≤ iii,efkcdEd cossintAfT θθν2≤

max,RdEd TT ≤ iii,efkcdcwmax,Rd cossintAfT θθαν2= (6.30)

avec cwα : coefficient tenant compte de l’état de contrainte dans la membrure comprimée.

Justification de l’expression de la section des armatures longitudinales (6.28)Armatures longitudinales hypothèse : θθ =i

kk

Ed

ii

k

Ed

ii

ik

Ed

i i

i,Ed

ii,ll u

tanATz

tanATz.

tanAT

tanV

FFθθθθ 222

===== ∑∑∑∑

∑=i

ydsll fAF

θcotA

Tu

fA

k

Ed

k

iydsl

2=

Justification de l’expression de la section des armatures transversales

L’étude de l’équilibre du coin de bielle de ABC : Le théorème de Cauchy égalité des contraintes tangentes sur les parois AB et BC

On en déduit la force de cisaillement sur la paroi AB i

i,Ed

tanV

θSur la paroi AC effort dans les armatures longitudinales opposé à l’effort de cisaillement sur AB soit

i

i,Edi,l tan

VF

θ= L’équilibre exige un effort de traction transversal opposé à i,EdV : i,Edi,sw VF =

ik

Edi,Edydi,sw z.

ATVfnA2

==i

i

tanszn

θ=

θcotAT

sfA

k

Edydi,sw

2=

Hypothèse : θθ =i armatures transversales θcotA

TsfA

k

Edydsw

2= (6.28)

Clause 6.3.2(2) de l’annexe de l’EN 1992-1-1

Soit une section rectangulaire : Soit un tronçon de poutre de longueur dx

A

B

C

dx

isindx θ

dx

B

Aitandx θ

jtandx θ

Figure 45. Isolement d’un tronçon de bielle ABC . Traduction du principe des actions mutuelles.

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Page 81: Béton armé aux états limites

Le principe des actions mutuelles sur dx impose : jj,bii,b cos'Fcos'F θθ =

L’effort dans la bielle i de longueur dx : i,b'F :

L’effort dans la bielle j de longueur dx : j,b'F :

iii

i,bi,efii,bi,b

iii,ef

i,bi,b sindx.

coszF

tsindx.'Fcoszt

θθσ

θσ ===

jj

j,bi

i

i,b sinz

Fsin

zF

θθ = jij,biji,b sinzFsinzF θθ =

ij,Edji,EdEd z.Vz.VT += ijj,bjii,bEd z.sinFz.sinFT θθ +=

ijj,bjii,bEd z.sinFz.sinFT θθ 22 ==

Relation entre le moment de torsion, les efforts de cisaillement et les caractéristiques géométriques :

ij,Edji,EdEd z.Vz.VT 22 ==j

i

j,Ed

i,Ed

zz

VV

=

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Page 82: Béton armé aux états limites

4. Tableau valeur de cwα Note 3 :

Tableau valeur de cwα Note 3 :EN 1992-1.1valeur recommandée de cwα

pour les structures non précontraintes 1=cwα

pour cdcp f,2500 ≤< σ )f/( cdcpcw σα += 1 (6.11.aN)

pour cdcpcd f,f, 50250 ≤< σ 251,cw =α(6.11.bN)

pour cdcpcd f,f, 0150 << σ )f/(, cdcpcw σα −= 152 (6.11.cN)où :

cpσ est la contrainte de compression moyenne dans le béton due à l'effort normal de calcul, mesurée positivement. Il convient de la déterminer en faisant la moyenne sur toute la section de béton, en tenant compte des armatures. Il n'y a pas lieu de calculer cpσ à une distance inférieure à θcotd,50 du nu de l'appui.

Annexe nationaleFlexion composée avec traction, avec membrure comprimée

Remplacer dans (6.9) cwα par )f/( ctmctt,cw σα += 1

Section entièrement tendue et celui ctmct f≥σ

Non traité

Sections sans effort de traction

pour les structures non précontraintes 1=cwα

pour cdcp f,2500 ≤< σ )f/( cdcpcw σα += 1 (6.11.aN)

pour cdcpcd f,f, 50250 ≤< σ 251,cw =α(6.11.bN)

pour cdcpcd f,f, 0150 << σ )f/(, cdcpcw σα −= 152(6.11.cN)

où :cpσ est la contrainte de compression moyenne dans le

béton due à l'effort normal de calcul, mesurée positivement. Il convient de la déterminer en faisant la moyenne sur toute la section de béton, en tenant compte des armatures. Il n'y a pas lieu de calculer cpσ à une distance inférieure à θcotd,50 du nu de l'appui.

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Page 83: Béton armé aux états limites

ANNEXES

1.2. Justification de l’expressions de s,RdV : Effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d’effort tranchant travaillant à la

limite d’élasticité de calcul ( )swRd ,s ywd

AV zf cot cot sins

θ α α= + 6.13

La modélisation de la poutre en treillis simple doit être abandonnée au profit d’un treillis multiple résultant de la superposition de treillis simples.

B

C

A

bielle z

α θ

αcotzθcotz( )αθ cotcotz +

figure 46 modélisation de la poutre en treillis simple

B

C

A

zbielle

α θ

( )αθ cotcotz +

θcotz αcotz

figure 47 modélisation de la poutre :superposition de treillis simples

L’effort dans un cours d’armatures transversales est donné par sw ywdA f ;

pour n cours l’effort est donné par sw ywdnA f . Relation entre l’effort tranchant et l’effort dans la diagonale tendue du treillis :

αsinVF Ed

sw = ; Rd ,ssw ywd

VnA f

sinα= ; Rd ,s sw ywdV nA f sinα=

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Page 84: Béton armé aux états limites

sachant que s représente l’espacement de 2 cours consécutifs, mesuré suivant la fibre moyenne, le nombre

de cours est : ( )

scotcotzn αθ +=

( )Rd ,s sw ywd

z cot cotV A f sin

sθ α

α+

= ; ( )swRd ,s ywd

AV zf cot cot sins

θ α α= + 6.13

Il serait possible d’optimiser la valeur de α pour rendre minimum la section des armatures transversales.

Si les armatures sont verticales swRd ,s ywd

AV zf cots

θ= 6.8

Cette expression fixe ainsi la section d’armatures nécessaire et l’espacement s

Asw

On remarque que pour s

Asw fixé, s,RdV est une fonction décroissante de θ .

Pour °= 45θ swRd ,s ywd

AV zfs

=

1.3. Justification de l’expression de ( )

( )1 21Rd ,max cw w cd

cot cotV b z f

cotθ α

α νθ

+=

+ 6.14

θ α

z cot θ

z ( cot θ + cot α )

z ( cot θ + cot α ) sin θ largeur de la bielle

z ( cot θ + cot α )z cot α

figure 48

La largeur de la bielle de béton est égale à : ( ) θαθ sincotcotz +l’aire de la section droite

( )wzb cot cot sinθ α θ+

La contrainte de compression des bielles de béton ne doit pas dépasser : cdf.1ν ;

L’effort normal maximal dans la bielle est : ( )1w cdzb f cot cot sinν θ α θ+Cela correspond à un effort tranchant

( ) ( ) 21 1Rd ,max w cd w cdV z cot cot sin b f sin zb f cot cot sinθ α θ ν θ ν θ α θ= + = +

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Page 85: Béton armé aux états limites

or ( )θθ 2

2

11

cotsin

+= d’où l’expression théorique :

( )( )1 21Rd ,max w cd

cot cotV b z f

cotθ α

νθ

+=

+

expression donnée par EC2 : ( )

( )1 21Rd ,max cw w cd

cot cotV b z f

cotθ α

α νθ

+=

+ (6.14)

avec cwα : coefficient tenant compte de l’état de contrainte dans la membrure comprimée.

Pour α fixé, cherchons la valeur de θ qui rende maximum max,RdV

( )( ) ( ) 2

1 121Rd ,max cw w cd cw w cd

cot cotV b z f b z f cot cot sin

cotθ α

α ν α ν θ α θθ

+= = +

+

[ ]1 2 2Rd ,maxcw w cd

dVb z f cos sin cot

dα ν θ θ α

θ= +

[ ] 022 =+ αθθ cotsincos ( )ααθ −°=−= 1802 cotcotcot

−°=

290 αθ

Si les armatures sont verticales

( )1w cd

Rd ,maxb z fV

tan cotν

θ θ=

+ 6.9

( ) ( ) 22

11

2

θθ

θθθ

sincot

cotcottan

=+

=+

Pour 521 ,cot ≤≤ θ soit °≤≤° 4522 θ 6.7N 22θsin

est une fonction croissante de θ , il en est de

même pour max,RdV .

12

2Rd ,max w cdsinV b z f θν= 6.9

Il faut que l’effort tranchant appliqué EdV soit tel que max,RdEd VV ≤ . Cette condition pourrait définir la

largeur minimale de l’âme de la poutre, en se fixant °= 45θ

Pour °= 45θ , 21

22 =θsin ⇒ max,RdV est maximum 1

12Rd ,max w cdV b z fν=

si 112Ed Rd ,max w cdV V b z fν> = alors il faut redimensionner le coffrage ou augmenter la résistance du béton

pour obtenir max,RdEd VV ≤

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Page 86: Béton armé aux états limites

Montrons que plus θ est faible, plus la section d’armatures transversales nécessaire sera faible, mais en contrepartie la compression des bielles augmente ainsi que la valeur du décalage de la courbe des moments.

1.4. Autre formalisation pour la recherche des équations

θ

bielle

α

αsindx

dx

θsindx

bielle,cdFswdF

gdxdFsl =

wb

Isolons une bielle de béton de largeur wb et un tronçon d’armature transversale.Cet ensemble est soumis à : une force élémentaire de compression : bielle,cdF sur la bielle de béton comprimé, une force élémentaire de traction dans l’armature transversale swdFet l’action du tronçon d’armature longitudinale de longueur dx sur la bielle noté gdxdFsl =Cette force est due à l’adhérence entre l’armature et le béton, on note g le glissement par unité de longueur.

d,M

zMF EdEd

sl 90==

d,dxV

zM

F EdEdsl 90

=∂

=∂

d,V

g Ed

90=

La section droite de la bielle étant θsindxbw cwbielle,c .sindxbdF σθ=

cσ désigne la contrainte de compression

ρ w pourcentage (taux) d’armatures d’effort tranchant αρ

sin.s.bA

w

sww = 9.4

Asw section d’un cours d’armatures transversales

bw largeur de l’âme de l’élément (largeur minimale de la section dans la hauteur utile)s espacement des cours d’armatures transversales

Désignons la contrainte de traction dans l’armature transversale swσ

sdx

représente le nombre de cours d’armatures transversales sur la longueur dx

swsw sw sw sw w w sw w

w

AdxdF A b sin dx b sin dxs b s sin

σ σ α ρ σ αα

= = × = ×

gdxdFsl =

sw w sw wdF b sin dxρ σ α= ×

c ,bielle c wdF b sin dxσ θ= ×

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Page 87: Béton armé aux états limites

1.5. Étude statique : système de 2 équations

Projetons les forces sur l’horizontale0sl sw c ,bielledF dF cos dF cosα θ− − =

0w sw w c wg.dx b dx sin cos b dx sin cosρ σ α α σ θ θ− − =

0w sw cw

g sin cos sin cosb

ρ σ α α σ θ θ− − =

d,V

zV

g EdEd

90==

00 9

Edw sw c

w

Vsin cos sin cos

, dbρ σ α α σ θ θ− − =

posons τ==w

Ed

w

Ed

db,V

zbV

90

0w sw csin cos sin cosτ ρ σ α α σ θ θ− − = w sw csin cos sin cosτ ρ σ α α σ θ θ= +

Projetons les forces sur la verticale0sw c ,bielledF sin dF sinα θ− =

2 2 0w sw w c wb dx sin b dx sinρ σ α σ θ− = 2 2 0w sw csin sinρ σ α σ θ− =

Nous obtenons 2 équations w sw csin cos sin cosρ σ α α σ θ θ τ+ =

2 2 0w sw csin sinρ σ α σ θ− =

autres formes

2

2w sw csinsin

θρ σ σα

= 2

2c csin sin cos sin cossin

θσ α α σ θ θ τα

+ =

[ ]αθθτσ

cotcotsinc += 2 [ ]αθα

τσρcotcotsinsww +

= 2

Avec des armatures droites s.bA

w

sww =ρ τ==

w

Ed

w

Ed

db,V

zbV

90

θτ

θθτσ

22

sincossinc == θτσρ

cotsww =

La contrainte dans les armatures transversales ne pourra atteindre la résistance de calcul que si la résistance à la compression dans la bielle n’est pas dépassée.

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Page 88: Béton armé aux états limites

1.6. Expression de max,RdV Effort tranchant de calcul maximal pouvant être supporté sans provoquer l’écrasement des bielles de béton armé ;

La contrainte de compression des bielles de béton ne doit pas dépasser cdc f.1νσ ≤ ;

1ν est un coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l’effort tranchant, c’est un facteur

d’efficacité défini par : ( )

−==

2501601

MPackf,νν avec

s

ywkywdsw

ff

γσ == 6.6N

si ywksw f,80≤σ 601 ,=ν MPafck 60≤

200901

cdf, −=ν MPafck 60>

Montrons que [ ]

( )1 21Ed cd w Rd ,max

cot cotV f zb V

cotθ α

νθ

+≤ =

+ 6.14

Démonstration

À partir des équations , [ ] 12c cdfsin cot cot

τσ νθ θ α

= ≤+ avec τ==

w

Ed

w

Ed

db,V

zbV

90

[ ] 12

Ed

wcd

Vzb f

sin cot cotν

θ θ α≤

+ [ ]2

1Ed cd wV f zb sin cot cotν θ θ α≤ +

en utilisant θ

θ 22

11

cotsin

+=

[ ]( )1 21Ed cd w Rd ,max

cot cotV f zb V

cotθ α

νθ

+≤ =

+ 6.14

♦ Avec des armatures droites

À partir des équations 12c cdfsin cot

τσ νθ θ

= ≤ posons 1 cdfττ

ν=

θθτ cotsin2≤

θθ 2

2

11

cotsin

+= ( ) ( ) 2

21

12

2 θθ

θθθ

θθ sincot

cotcottan

cotsin =+

=+

=

max,RdEd VV ≤ ⇔22θτ sin≤ ou ( )θ

θτ 21 cotcot

+≤

max,RdEd VV = ⇔ ( ) τθ

θ =+ 21 cotcot

max,RdV est une fonction décroissante de θcot pour 1≥θcot

max,RdV est une fonction croissante de θ pour °≤≤° 4522 θ

Posons ucot =θ ( )21 uu

+=τ ( ) 0

11

22

2

<+−=

uu

dudτ

1≥= θcotu

τ est extremum pour 1=u soit pour °= 45θIl serait donc inutile d’augmenter l’inclinaison de la bielle au delà de 45°

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Page 89: Béton armé aux états limites

1.7. Expression de s,RdV effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d’effort tranchant travaillant à la limite d’élasticité de calcul

♦ Si l’effort tranchant agissant EdV est au plus égal à max,RdV , la contrainte swσ peut atteindre ywdf , de sorte que la borne de l’effort tranchant qui définit l’ELU atteint par la contrainte max. des armatures

d’âme est : s,RdV ( )swRd ,s wd ywd

AV V zf cot cot sins

θ α α= = + 6.13

Démonstration

À partir de l’équation [ ]αθατσρ

cotcotsinsww += 2

en remplaçant sww

w

Ab s sin

ρα

= pour ywdsw f=σ et s,RdEd VV = w

s,Rd

zbV

[ ]2Rd ,s w ywd wV f zb sin cot cotρ α θ α= +

on retrouve 6.13 ( )swRd ,s wd ywd

AV V zf cot cot sins

θ α α= = +

♦ pour °= 90α armatures d’âme droites

swRd ,s ywd

AV zf cots

θ= 6.8 en posant ψρ

=cd

ywdw

fvf

1 6.8 est équivalent à ψθτ .cot=

On peut aussi utiliser l’équation θτσρ

cotsww =

En replaçant swσ par ywdf (en faisant travailler l’armature à la limite de calcul) on retrouve [6.8 cotτ ψ θ=

la ligne représentative de ( )ψτ est une droite passant par l’originepour 1=θcot ψτ = droite passant par l’origine de pente 1pour 52,cot =θ 2 5,τ ψ= droite passant par l’origine de pente 2,5

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Page 90: Béton armé aux états limites

1.8. relations si max,Rds,Rd VV =

On se place dans la configuration ou cdc fv1=σ et ywdsw f=σ ⇔ on utilise la capacité portante de la bielle et de l’armature transversale

posons 1 1

Ed

w

cd cd

Vzb

v f v fτ τ= =

ψρ

=cd

ywdw

fvf

1

les 2 équations w sw csin cos sin cosρ σ α α σ θ θ τ+ =

2 2 0w sw csin sinρ σ α σ θ− =deviennent 1w ywd cdf sin cos v f sin cosρ α α θ θ τ+ =

2 21 0w ywd cdf sin v f sinρ α θ− =

sin cos sin cosψ α α θ θ τ+ = 022 =− θαψ sinsin. posons αψψ 2sin' = θψ 2sin' =

sin cos sin cosψ α α θ θ τ+ =

+ ( )1' cot ' 'ψ α ψ ψ τ+ − =

si on utilise des armatures d’âme droites, °= 90α , 090 =°= cotcotα

avec 1 1

Ed

w

cd cd

Vzb

v f v fτ τ= =

ψρ

=cd

ywdw

fvf

1

θψψ 2sin' == + ( )1' 'ψ ψ τ− =

( ) τψψ =−1 ⇔ ( ) 21 τψψ =−

( )ψτ est un arc de cercle pour 210 ≤≤ ψ de diamètre 1,

( )1' 'ψ ψ τ− = en remplaçant θψψ 2sin' == on obtient τθθ =cossin soit τθ =22sin

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Page 91: Béton armé aux états limites

ψτ .,52=

ψτ =

ψρ

=cd

ywdw

fvf

1

τ=cd

w

Ed

fvb.d,

V

1

90

21

21

Représentations graphiquesArmatures droites °= 90α

°= 45θ

52,cot =θ°= 821,θ

O

1=θcotvariableθ

B

D

s.bf.A

fw

ywdswywdw =ρ

1 2 3 4 5MPa,f ywdmin,w 380=ρ MPa,f ywdmax,w 285=ρ

τ=w

Ed

b.d,V90

ywdw f, ρτ 52=

Pour un béton MPafck 30= MPafcd 20=

yk

ckmin,w f

f,080=ρ

MPa,f,

fs

ckywdmin,w 380

080==

γρ

1 5 282

sw ,max ywd cdw ,max ywd

w

A f ff , MPab s

νρ = ≤ =

avec : ( )

5280250

1601 ,f,MPa

ck =

−== νν 6.6N

435ywd yk sf f MPaγ= =Dans le cas de contraintes de cisaillement faibles ou moyenne, la quantité minimale d’armatures d’effort tranchant est obtenue généralement en attribuant à cot θ la valeur maximale permise 52,cot =θ .Pour des contraintes plus élevées, la valeur maximale de cot θ peut être obtenue en choisissant une valeur

de max,RdV égale à l’effort tranchant de calcul EdV . La

valeur de θcot peut également être choisie de façon à optimiser le projet, en minimisant la quantité totale d’armatures transversales et longitudinales.

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Page 92: Béton armé aux états limites

1.9. Méthodologie pour des armatures verticales

structure non précontrainte 1=cwα ; d,z 90=

avec s.bA

w

sww =ρ τ=

w

Ed

zbV

1 1

Ed

w

cd cd

Vzb

v f v fτ τ= =

ψρ

=cd

ywdw

fvf

1

pour le pourcentage minimum mincd

ywdmin,w

fvf

ψρ

=1

θτρ

cotf ywdw = devient ψ

θτ =

cot

θτσ2

2sinc = avec cdc fv1=σ devient 2

2θτ sin=

soit max,RdEd VV = ( )1w cd

Edb z fV

tan cotν

θ θ=

+ équation du second degré en θcot

02 =+− τθθτ cotcotτ

τθ2

411 2−±=cot

le produit des racines est 1 et comme 1≥θcot on en déduit 1θ τ

τθ2

411 2

1−+=cot

on peut aussi déduire 1θ de [ ]τθ 221

1 sinarc=

♦ si 1θcot est tel que 521 1 ,cot ≤≤ θ ⇔ 503450 ,, ≤≤ τ

pour déterminer ψ soit à partir de ψθ

τ =1cot

ou utiliser 1sw

Rd ,s wd ywdAV V zf cots

θ= = 6.8 ; s,RdEd VV ≤ ; 10 9swEd ywd

AV , df cots

θ≤

10 9Ed sw

ywdV A f

, d cot sθ≤ ;

10 9Ed sw

ywdw w

V A f, db cot b sθ

≤ ; ( )2

1

2

2

1 1 4cd sw

ywdw

v f A fb s

τ

τ≤

+ −

( )2

21

2

1 1 4ywdsw

w cd

fAb s v f

τ

τ≤

+ − ; ( )2

1 1

1 1 4

2ywd w ywdsw

w cd cd

f fAb s v f v f

τ ρψ

− −≤ = = ; soit ( )

2411 2τψ −−≥

♦ si 1θcot n’appartient pas à 521 1 ,cot ≤≤ θ

c’est-à-dire si 3450,≤τ il faut considérer 521 ,cot =θ

2 5Ed sw

ywdw w

V A fzb , b s

≤ ;1 12 5

ywd w ywdsw

w cd cd

f fA, b s v f v f

ρτ ψ≤ = = soit 52,

τψ ≥

♦ si 50,>τ il faut redimensionner le coffrage de la poutre ou augmenter la résistance du béton

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Page 93: Béton armé aux états limites

1.10. Représentation graphique

Hypothèses et données :- structure non précontrainte 1=cwα ; bâtiment : d,z 90=- armatures d’âme droites, 90α = ° , 90 0cot cotα = ° =

- avec sww

w

Ab s

ρ = ; Ed

w

Vzb

τ= ;

1 1

0 9Ed

w

cd cd

V, dbv f v f

τ τ= = ;

1

w ywd

cd

fv f

ρψ=

- pour le pourcentage minimum mincd

ywdmin,w

fvf

ψρ

=1

°= 45θ

52,cot =θ°= 821,θ

ψρ

=cd

ywdw

fvf

1

ττ ==cdcd

w

Ed

fvfvb.d,

V

11

90

0,1

0,2 0,345 0,4 0,50,1O

B

D

0,2

0,3

0,4

0,5 1=θcot

mincd

ywdmin,w

fvf

ψρ

=1

ψτ =1=θcot

on se fixe °= 45θ droite OD

ψτ 52,=on se fixe droite OB52,cot =θ

Méthode des bielles

d'inclinaison variable

arc de cercle BD s,Rd,maxRd VV =

arc OB exclu car °≤ 821,θ

pourcentage min.

0,3 50,>τ domaine exclu de L'EC2 il faut redimensionner le coffrage ou augmenter la classe du béton

figure 63 Diagramme pour le dimensionnement : Armatures droites °= 90α

Pour 2 5 21 8 2 43 6 0 69cot , ; , ; sin sin , ,θ θ θ= = ° = ° = ; 0 345 0 1379, ; ,τ ψ= =Pour 1 45 2 1 0 5 0 5cot sin , ,θ θ θ τ ψ= = ° = = =Dans l’intervalle 0 345 0 5, ,τ< < arc de cercle BD.Nous sommes dans les conditions d’atteinte simultanée de l’état limite ultime dans les bielles et dans les armatures transversales. La lecture du diagramme donne directement les sections d’armatures et la solution est toujours optimale (pour les armatures transversales).Dans l’intervalle 0 0 345,τ< < droite OBLa bielle n’est pas sollicitée au maximum car l’inclinaison de la bielle est fixée par le règlement : 1 21 8,θ = °La méthode des bielles d’inclinaison variable conduirait à un angle 21 8,θ ≤ ° , point situé sur l’arc de cercle OB, ce que le règlement n’autorise pas. L’angle est donc fixé réglementairement : 1 21 8,θ = ° . Les

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armatures d’âme sont dimensionnées par l’équation Ed Rd ,sV V= qui est équivalente à 2 5cot ,τ ψ θ ψ= = 6.8, représentée par le segment de droite OB.Le pourcentage d’armature varie linéairement avec l’effort tranchant.Ceci se produit lorsque nous disposons d’une âme de dimensions excessives. (souvent le cas en bâtiment). L’optimisation bielles armatures transversales n’est plus possible. Cela se traduit par une augmentation en poids des armatures longitudinales due au décalage de la courbe enveloppe des moments.

0 5 1 25la , z cot , zθ= =

Droite ODLe projeteur peut choisir l’inclinaison des bielles : 1 45θ = ° 1 1cot θ =L’équation 6.8 se réduit à : τ ψ= ; la ligne représentative correspond au segment de droite OD.Sur la figure 63, on remarque que ce choix conduit à une valeur du pourcentage d’armatures transversales par excès. La solution n’est pas optimale (pour les armatures transversales) mais située du coté de la sécurité.Il faut aussi noter que le décalage de la courbe enveloppe des moments sera moindre.

0 5 0 5la , z cot , zθ= =

Au point D : 0 5,τ = 1 45θ = ° cela correspond aussi à la section max. des armatures transversales donnée par 6.12.Si 0 5,τ > , il faut redimensionner, soit augmenter wb soit cdf pour que :

1 1

0 50 9

Ed

cd w cd

V ,v f , db v f

ττ = = ≤

1

12

ywdsw ,max

w cd

fAb s fν

≤ soit 12maxψ ≤ .

Si τ dépasse légèrement 0,5 : D’après 6.2.3(3) Notes 1 et 2 EN 1992-1-1Note 1 La valeur de recommandée de 1ν

1ν ν= [ ]0 6 1 250ck, f /ν = − (6.6N) ( ckf en MPa)Note 2 : Pour les éléments en béton armé ou en béton précontraint, si la contrainte de calcul des armatures d'effort tranchant est inférieure à 80 % de la limite caractéristique d'élasticité fyk, on peut adopter pour 1ν :

1 0 6,ν = pour 60ckf MPa≤ (6.10.aN)

1 0 9 200 0 5ck, f / ,ν = − > pour 60ckf MPa> (6.10.bN)

Intérêt : Si la capacité portante de la bielle est insuffisante pour reprendre l’effort tranchant, ces valeurs de 1ν permettent de l’augmenter mais il faut limiter la contrainte de traction dans les armatures transversales à

0 8 ywk, f au lieu de ywk Sf / γ ce qui entraîne un surcroît d’acier.

1.11. Conclusion

L’économie de ces nouvelles méthodes par rapport au BAEL n’est pas évidente. En effet si le gain d’aciers pour les cadres et étriers est important puisque, en dehors des zones ferraillées au pourcentage minimum, la quantité peut être divisée par 2,5 au maximum, il peut y avoir, dans ce cas, perte sur l’ancrage des barres longitudinales sur appui ainsi qu’allongement de ces mêmes barres longitudinales du fait d’une courbe de décalage des

moments supérieure. Ce décalage est 2

θcotza l = (9.2.1.3), donc il peut être 1,25 fois plus grand que celui du

BAEL. Par ailleurs l’augmentation de θcot pénalise les bielles d’about.Dans le cas d’une poutre dont le soffite est préfabriqué, le critère de cesaillement sur la surface de reprise est souvent déterminant et impose un cot θ proche de 1.

Or l’Eurocode ne donne aucune indication sur la manière de procéder pour trouver l’optimum des possibilités offertes. En conséquence, ce sera au projeteur, en fonction des poutres étudiées et de son expérience, de trouver la solution optimale.

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