Bernoulli Def
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Escoamento sem atrito: a equação de Bernoulli
• estreitamente relacionada à equação da energia para escoamento permanente
• relação entre pressão, velocidade e elevação para um fluido sem atrito
• estabelecida em 1738 (vagamente), em palavras, em um livro-texto, por DanielBernoulli. Uma dedução completa da equação foi dada em 1755 por Leonhard Euler.
• muito famosa e muito usada, mas é necessário estar atento às suas restrições - todos
os fluidos são viscosos e, portanto, todos os escoamentos apresentam algum atrito.Para usar corretamente a equação de Bernoulli, devemos restringi-la a regiões deescoamento aproximadamente sem atrito.
• considere-se, na Fig. 1, um volume de controle formado por um tubo de correnteelementar, fixo, de área variável A(s) e comprimento ds, onde s é uma coordenadanatural na direção das linhas de corrente.
• as propriedades (ρ, V, p) podem variar com s e com o tempo, mas admite-se que sãouniformes sobre a seção transversal A.
• orientação θ do tubo de corrente é arbitrária, com uma variação de elevação dz = ds
sen θ.
Fig. 1: Equação de Bernoulli para um escoamento sem atrito ao longo de uma linha decorrente: (a) forças e fluxos; (b) forças líquidas de pressão após a subtração de p.
• conservação da massa, ( ) ( )0r
VC SC sist
dm d dv V n dA
dt dt ρ ρ
= = + ⋅ ∫ ∫ , para esse volume de
controle elementar, conduz a ( ) md dvt
mmdvdt
d ent sai
VC +
∂∂≈=−+∫ ρ
ρ 0 onde AV m ρ = e
Adsdv ≈ . Logo, nossa forma desejada para a conservação de massa é
Adst
AV d md ∂∂
−==ρ
ρ )( (1)
• relação de quantidade de movimento linear na direção das linhas de corrente
( ) ( ) ( ) ( ) ( )V md AdsV t
V mV mdvV dt
d dF ent sai
VC s
+∂∂
≈−+= ∫ ∑ ρ ρ onde Vs = V (s está na
direção da própria linha de corrente)
• desprezando a força cisalhante nas paredes (escoamento sem atrito), as forças sedevem à pressão e à gravidade.
• a força de gravidade na direção da linha de corrente é igual ao correspondentecomponente do peso do fluido dentro do volume de controle Adz AdssendPsendF grav s γ θ γ θ −=−=−=,
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• força de pressão é mais facilmente visualizada, na Fig. 1b, subtraindo-se antes umvalor uniforme p de todas as superfícies, lembrando-se que isso não altera a força depressão resultante. A força de pressão ao longo da lateral inclinada do tubo decorrente tem um componente na direção das linhas de corrente, que atua não sobre A,mas sobre o anel externo correspondente à variação de área dA. A força de pressão
resultante é, portanto ( ) AdpdA AdpdpdAdF press s
−≈+−=2
1,
• substituindo esses dois termos de força na relação de quantidade de movimento
( ) ( ) mVd dV m Adst
V VAds
t V md AdsV
t Adp Adz dF s ++
∂
∂+
∂
∂=+
∂
∂=−−=∑ ρ
ρ ρ γ
• o primeiro e o último termos da direita se cancelam, em virtude da relação decontinuidade (1). Dividindo-se o que resta por ρA e rearrumando, obtém-se a relaçãofinal desejada:
0=+++∂
∂ gdz VdV
dpdst
V
ρ (2)
essa é a equação de Bernoulli para escoamento sem atrito, não-permanente, aolongo de uma linha de corrente. Ela está em uma forma diferencial e pode ser integrada entre dois pontos 1 e 2 quaisquer sobre a linha de corrente:
( ) ( )∫ ∫ =−+−++∂
∂2
1
2
112
2
1
2
2 02
1 z z g V V
dpds
t
V
ρ (3)
• para avaliar as duas integrais restantes, devemos estimar o efeito não-permanente
(∂v/∂t) e a variação da massa específica com a pressão. A essa altura, consideramosapenas o caso de escoamento permanente (∂v/∂t = 0) e incompressível (densidadeconstante), para o qual a Eq. (3) fica
( ) ( ) 02
112
2
1
2
2
12 =−+−+−
z z g V V p p
ρ
ou const gz V p
gz V p
=++=++2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
ρ ρ (4)
Essa é a equação de Bernoulli para escoamento sem atrito, permanente,
incompressível, ao longo de uma linha de corrente.
Relação entre a equação de Bernoulli e as equações da energia para escoamentopermanente
• a Eq. (4) é uma forma largamente usada da equação de Bernoulli para o escoamentosem atrito, permanente, incompressível, em uma linha de corrente. Ela estáclaramente relacionada à equação da energia para o escoamento permanente em umtubo de corrente (escoamento com uma entrada e uma saída), que escrevemos assim:
( ) ve wwquu gz V p
gz V p
++−−+++=++122
2
222
1
2
111 ˆˆ22
α
ρ
α
ρ (5)
• essa relação é muito mais geral que a equação de Bernoulli, pois leva em conta (1)atrito, (2) troca de calor, (3) trabalho de eixo e (4) trabalho viscoso (outro efeito do
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atrito).
• se comparamos a equação de Bernoulli (4) com a equação da energia (5), vemos quea equação de Bernoulli contém ainda mais restrições do que se poderia imaginar deinício. A lista completa de hipóteses para a Eq. 4 é a seguinte:
1. Escoamento permanente - uma hipótese comum, aplicável a muitos escoamentos.
2. Escoamento incompressível - aceitável, se o número de Mach do escoamento for menor que 0,3.
3. Escoamento sem atrito - muito restritiva, as paredes sólidas introduzem efeitos deatrito.
4. Escoamento ao longo de uma única linha de corrente - linhas de corrente diferentes
podem ter diferentes "constantes de Bernoulli" gz V pw =+= 22
0ρ , dependendo das
condições do escoamento.5. Ausência de trabalho de eixo entre 1 e 2 - sem bombas ou turbinas sobre a linha de
corrente.6. Ausência de troca de calor entre 1 e 2 - seja calor adicionado, seja calor removido.
• Obs.: apenas um certo conjunto limitado de escoamentos satisfaz a essas seishipóteses. A dedução usual da equação de Bernoulli, baseada em quantidade demovimento, ou "força mecânica", não chega a revelar os itens 5 e 6, que sãolimitações termodinâmicas. A razão básica para as restrições 5 e 6 é que astransferências de calor e trabalho, em fluidos reais, estão casadas com os efeitos deatrito, o que, portanto, invalida a hipótese de escoamento sem atrito.
• A Fig. (2) ilustra algumas limitações práticas para a aplicação da equação de Bernoulli(4). Para o teste do modelo em túnel de vento, Fig. 2a, a equação de Bernoulli é válidano núcleo do escoamento do túnel, mas não nas camadas-limite das paredes do túnel,nas camadas-limite da superfície do modelo, nem na esteira do modelo, regiões essas
todas com grande atrito.
Fig. 2: Exemplos ilustrativos de regiões de validade e não-validade da equação deBernoulli: (a) modelo em um túnel, (b) propulsor, (c) chaminé.
• no escoamento através do propulsor a hélice da Fig. 2b, a equação de Bernoulli é
válida tanto a montante como a jusante, mas com diferentes constantes gz V pw =+= 2
2
0ρ , em virtude do trabalho transferido pelo propulsor. A equação de
Bernoulli (4) não é válida nas proximidades das pás do propulsor nem nos vórtices
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helicoidais emitidos a jusante a partir das bordas das pás. Além disso, as constantesde Bernoulli são maiores nas correntes através da hélice do que na atmosferaambiente, por causa da energia cinética dessas correntes.
• para o escoamento na chaminé da Fig. 2c, a Eq. (4) é válida antes e depois dafornalha, mas com uma mudança na constante de Bernoulli, causada pela adição decalor. A equação de Bernoulli não é válida na zona de combustão propriamente, nem
nas camadas-limite das paredes da chaminé.• moral da história: aplicar a Eq. (4) apenas quando todas as seis restrições puderem
ser satisfeitas: escoamento permanente incompressível, ao longo de uma linha decorrente, sem perdas por atrito, sem troca de calor e sem trabalho de eixo entre asseções 1 e 2.
Linhas piezométricas e de energia
• uma interpretação visual proveitosa da equação de Bernoulli consiste em traçar duaslinhas de carga para um escoamento. A linha de energia (LE) mostra a altura da
"constante" de Bernoulli ( ) g V p z h 22
0++= γ . No escoamento sem atrito, sem
trabalho de eixo e sem troca de calor, Eq. (4), a LE tem altura constante. A linhapiezométrica (LP), ou hidráulica, mostra a altura correspondente à elevação mais a
altura de pressão, γ p z + , ou seja, a LE menos a altura de velocidade ( ) g V 22 . A LP
é a altura a que se elevaria o líquido em um tubo piezométrico ligado ao escoamento.No escoamento em um canal aberto, a LP é idêntica à superfície livre da água.
• Fig. 3 ilustra as LE e LP para um escoamento sem atrito entre as seções 1 e 2 de umduto. Os tubos piezométricos medem a altura da pressão estática γ p z + , delineando
então a LP. Os tubos de Pitot medem a altura total g V p z 22++ γ , que corresponde à
LE. Nesse caso particular, a LE é constante, e a LP se eleva devido a uma queda navelocidade.
Fig. 3: Linhas piezométrica e de energia para o escoamento sem atrito em um duto.
• Em condições mais gerais de escoamento, a LE irá cair suavemente em virtude dasperdas por atrito, e irá cair rapidamente no caso de uma perda substancial (umaválvula ou obstrução) ou no caso de uma extração de trabalho (por uma turbina). A LEsó poderá se elevar se houver acréscimo de trabalho (caso de uma bomba ou de um
propulsor). A LP geralmente segue o comportamento da LE no que se refere àsperdas ou à transferência de trabalho, elevando-se e/ou caindo se a velocidadediminui e/ou aumenta.
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• em todos os problemas-tipo de Bernoulli, sugere-se tomar o ponto 1 a montante e oponto 2 a jusante, sistematicamente.
EXEMPLO 1Encontre uma relação entre a velocidade de descarga do bocal, V2, e a altura h dasuperfície livre do reservatório, Fig. E1.
Fig. E1
Solução
• escolhemos o ponto 1 a montante, na superfície do reservatório, onde a elevação e apressão são conhecidas, e o ponto 2 a jusante, na saída do bocal, onde a pressão e aelevação também são conhecidas. As duas incógnitas são V1 e V2.
• normalmente, a conservação da massa é uma parte vital das análises tipo Bernoulli.Sendo A1 a seção transversal do reservatório e A2 a área do bocal, esse escoamento é
aproximadamente unidimensional e incompressível,
2211V AV A = R1
• a equação de Bernoulli (4) fornece
2
2
22
1
2
11
2
1
2
1 gz V
p gz V
p++=++
ρ ρ
• mas, como as seções 1 e 2 estão ambas submetidas à pressão atmosférica, p1= p2 =
pa, os termos de pressão se cancelam, ficando
( ) gh z z g V V 22 21
2
1
2
2 =−=− R2
• eliminado V1 entre as Eqs. (1) e (2), obtemos o resultado desejado:
2
1
2
2
2
21
2
A A
ghV
−
= R3
• geralmente, a área A2 do bocal é muito menor que a área do reservatório A1, de modo
que a razão ( ) ( ) 212
2 A A é desprezível, e uma aproximação precisa para a velocidade
na saída é
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( ) 21
22 ghV ≈ R4
• fórmula descoberta por Evangelista Torricelli em 1644, estabelecendo que avelocidade de descarga do fluido é igual à velocidade de uma partícula em queda livre,sem atrito, do ponto 1 ao ponto 2
• resumindo, a energia potencial da superfície do fluido é inteiramente convertida emenergia cinética de fluxo
• a Eq. (4) é independente da densidade do fluido, característica dos escoamentosregidos pela gravidade
• exceto para as camadas-limite da parede, todas as linhas de corrente 1 a 2comportam-se da mesma maneira, e podemos pressupor que a constante de Bernoullih0 é a mesma para todo o núcleo do escoamento
• todavia, o escoamento na saída tende a ser não-uniforme, não-unidimensional, tal quea velocidade média apenas se aproxima do resultado de Torricelli.
• para se ajustar a fórmula, inclue-se um coeficiente de descarga adimensional, cd
( ) ( ) 21
2
22 ghc
AQV d m
== R5
• o coeficiente de descarga de um bocal varia em tomo de 0,6 a 1,0, em função dascondições (adimensionais) do escoamento e da forma do bocal.
EXEMPLO 2Refaça o Ex. 1, levando em conta, pelo menos aproximadamente, as condições deescoamento não-permanente causadas pelo esvaziamento do reservatório.
Solução• essencialmente, somos levados a incluir o termo integral, não-permanente,envolvendo t V ∂∂ na Eq. (3). Isso irá resultar em um novo termo adicionado à Eq.(2) do Ex. 1:
∫ =−+∂∂2
1
2
1
2
2 22 ghV V dst
V R1
• já que o escoamento é incompressível, a equação da continuidade retém a forma
simples 2211V AV A = do Ex. 1. Para integrar o termo não-permanente, devemos
estimar a aceleração ao longo de toda a linha de corrente. A maior parte da linha de
corrente está na região do reservatório, onde dt dV t V 1≈∂∂ . O comprimento da
linha de corrente média é ligeiramente maior que a profundidade h. Uma estimativagrosseira para a integral é, portanto,
∫ ∫ ≈≈∂
∂2
1
2
1
11 hdt
dV ds
dt
dV ds
t
V R2
• mas, como A1 e A2 são constantes, ( )( )dt dV A Adt dV 2121 ≈ . Substituindo na Eq. (1),
temos
gh A
AV
dT
dV
A
Ah 212
2
1
2
22
22
1
2 ≈
−+ R3
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• essa é uma equação diferencial de primeira ordem para V2(t). Ela é complicada pelofato de a profundidade h ser variável; a relação h = h(t) deve ser determinada pelavariação em V1(t)
( ) ∫ −=t
dt V ht h0
10 R4
• Eqs. (3) e (4) devem ser resolvidas ao mesmo tempo, mas o problema está bemcolocado e pode ser tratado analiticamente ou numericamente. Podemos ainda
estimar a grandeza do primeiro termo da Eq. (3) usando a aproximação ( ) 21
2 2 ghV ≈do exemplo prévio. Após diferenciação, obtemos
2
2
2
1
22
1
22 V A
A
dt
dV
A
Ah
−≈ R5
que é desprezível se A2 «A1, como postulamos originalmente.
EXEMPLO 3Uma contração de seção em um tubo provocará um aumento de velocidade e uma quedade pressão na seção 2 da garganta. A diferença de pressão é uma medida da vazãovolumétrica do escoamento através do tubo. O dispositivo convergente e suavementedivergente mostrado na Fig. E3 é chamado tubo venturi. Encontre uma expressão para ofluxo de massa no tubo em função da queda de pressão.
Fig. E3
Solução
• admite-se a validade da equação de Bernoulli ao longo da linha de corrente central
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1 gz V
p gz V
p++=++
ρ ρ
• se o tubo for horizontal, z1 = z2, e podemos escrever
ρ
pV V
∆=− 22
1
2
2 21 p p p −=∆ R1
• relacionamos as velocidades pela relação de continuidade incompressível
2211V AV A =
ou 2
2
1 V V β =1
2
D
D=β R2
• combinando (1) e (2), obtemos uma fórmula para a velocidade na garganta
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( )
21
421
2
−∆
=β ρ
pV R3
• o fluxo de massa é dado por
21
422212
−∆==β
ρ ρ p AV Am R4
• esse é o fluxo de massa ideal, sem atrito. Na prática, medimos ideal d real mcm = e
correlacionamos o coeficiente de descarga cd.
EXEMPLO 4Uma mangueira de incêndio de 10 cm com um bocal de 3 cm descarrega 1,5 m3/min deágua para a atmosfera. Considerando o escoamento sem atrito, encontre a força Fp
exercida pelos parafusos dos flanges para prender o bocal na mangueira.
Solução
• aplicam-se as equações de Bernoulli e da continuidade para encontrar a pressão p 1 amontante do bocal, e em seguida efetua-se uma análise de quantidade de movimentopara um volume de controle a fim de calcular a força nos parafusos, conforme a Fig.E4.
• o escoamento de 1 a 2 tem uma contração de seção de efeito exatamente similar à doEx. 3, cuja Eq. (1) fornece
( )2
1
2
2212
1V V p p −+= ρ R1
• velocidades determinadas a partir da vazão dada, Q = 1,5 m3/min ou 0,025 m3/s:
( )( )sm
m
sm
A
QV 4,35
03,04
025,02
3
2
2 ===π
• sabe-se que p2 = pa = 0 (manométrica). Logo, a Eq. (1) fica
( ) ( )[ ] ( ) amanométric Pa smkg smmkg p 6200006200002,34,3510002
1 222223
1=⋅=−=
• balanço de forças no volume de controle é mostrado na Fig. E4b:
11 A p F F p x +−=∑
Fig. E3.24
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• pressão manométrica nula sobre todas as outras superfícies não contribui para a
força. O fluxo de quantidade de movimento x é 2V m+ na saída e 1
V m− na entrada.
A relação de quantidade de movimento para regime permanente fornece então
( )1211 V V m A p F p −=+−
ou ( )1211 V V m A p F p −−= R2
• substituindo os valores numéricos dados, encontramos
( )( ) skg smmkg Qm 25025,0100033 === ρ
( ) 222
1100785,01,0
44mm D A ===
π π
( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) N smkg N sm skg mm N F p 406780548722,34,352500785,0620000222 =⋅−=−−=
• esse valor dá uma idéia de por que é preciso mais de um bombeiro para operar umamangueira de incêndio a plena descarga.