rincipio de BernoulliPara el teorema matemático enunciado por Jakob Bernoulli, véase Teorema de Bernoulli.

Esquema del Principio de Bernoulli.

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli,

describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una corriente de agua. Fue expuesto

por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal

(sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee

el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido.

Índice

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1 La Ecuación de Bernoulli

2 Ecuación de Bernoulli con fricción y trabajo externo

3 Aplicaciones del Principio de Bernoulli

4 Véase también

La Ecuación de Bernoulli[editar · editar código]

La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

1. Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.

2. Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea.

3. Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.

La siguiente ecuación conocida como "Ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos

mismos términos.

donde:

 = velocidad del fluido en la sección considerada.

 = densidad del fluido.

 = presión a lo largo de la línea de corriente.

 = aceleración gravitatoria

 = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.

Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:

Viscosidad  (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se

aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido.

Caudal  constante

Flujo incompresible, donde ρ es constante.

La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo irrotacional

Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en

primer lugar por Leonhard Euler.

Un ejemplo de aplicación del principio lo encontramos en el flujo de agua en tubería.

También podemos reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda

la ecuación por  , de esta forma el término relativo a la velocidad se llamarápresión

dinámica, los términos de presión y altura se agrupan en la presión estática.

Esquema del efecto Venturi.

o escrita de otra manera más sencilla:

donde

 es una constante-

Igualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energía cinética,

la energía de flujo y la energía potencial gravitatoria por unidad de masa:

En una línea de corriente cada tipo de energía puede subir o disminuir en virtud

de la disminución o el aumento de las otras dos. Pese a que el principio de

Bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservación de la

energía realmente se deriva de la conservación de la Cantidad de movimiento.

Esta ecuación permite explicar fenómenos como el efecto Venturi, ya que la

aceleración de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energía

potencial) implicaría una disminución de la presión. Este efecto explica porqué las

cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automóvil en movimiento

cuando se abren las ventanas. La presión del aire es menor fuera debido a que

está en movimiento respecto a aquél que se encuentra dentro, donde la presión

es necesariamente mayor. De forma, aparentemente, contradictoria el aire entra

al vehículo pero esto ocurre por fenómenos de turbulencia y capa límite.

Ecuación de Bernoulli con fricción y trabajo externo[editar · editar código]

La ecuación de Bernoulli es aplicable a fluidos no viscosos, incompresibles en los

que no existe aportación de trabajo exterior, por ejemplo mediante una bomba, ni

extracción de trabajo exterior, por ejemplo mediante una turbina. De todas

formas, a partir de la conservación de la Cantidad de movimiento para fluidos

incompresibles se puede escribir una forma más general que tiene en cuenta

fricción y trabajo:

donde:

 es el peso específico ( ). Este valor se asume constante a través

del recorrido al ser un fluido incompresible.

 trabajo externo que se le suministra (+) o extrae al fluido (-) por unidad

de caudal másico a través del recorrido del fluido.

 disipación por fricción a través del recorrido del fluido.

Los subíndices   y   indican si los valores están dados para el comienzo o

el final del volumen de control respectivamente.

g = 9,81 m/s2.

Aplicaciones del Principio de Bernoulli[editar · editar

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Chimenea

Las chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es más

constante y elevada a mayores alturas. Cuanto más rápidamente sopla el viento

sobre la boca de una chimenea, más baja es la presión y mayor es la diferencia

de presión entre la base y la boca de la chimenea, en consecuencia, los gases de

combustión se extraen mejor.

Tubería

La ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad también nos dicen que si

reducimos el área transversal de una tubería para que aumente la velocidad del

fluido que pasa por ella, se reducirá la presión.

Natación

La aplicación dentro de este deporte se ve reflejado directamente cuando las

manos del nadador cortan el agua generando una menor presión y mayor

propulsión.

Carburador de automóvil

En un carburador de automóvil, la presión del aire que pasa a través del cuerpo

del carburador, disminuye cuando pasa por un estrangulamiento. Al disminuir la

presión, la gasolina fluye, se vaporiza y se mezcla con la corriente de aire.

Flujo de fluido desde un tanque

La tasa de flujo está dada por la ecuación de Bernoulli.

Dispositivos de Venturi

En oxigenoterapia, la mayor parte de sistemas de suministro de débito alto

utilizan dispositivos de tipo Venturi, el cual está basado en el principio de

Bernoulli.

Aviación

Los aviones tienen el extradós (parte superior del ala o plano) más curvado que

el intradós (parte inferior del ala o plano). Esto causa que la masa superior de

aire, al aumentar su velocidad, disminuya su presión, creando así una succión

que sustenta la aeronave.

a) Sopla por encima de una hoja de papel dispuesto horizontalmente bajo tu boca, como se indica

en la figura 81. A muchas personas les sorprenderá ver que el papel se levanta. Una variante de

este experimento consiste en soplar por el espacio que hay entre dos globos ligeramente

separados, como lo indica la figura 82. Aquí también ocurre algo inesperado para la mayoría de las

personas: los globos se juntan. 

b) Sopla por una pajilla doblada sobre una abertura de modo que funcione como atomizador, tal

como se ilustra en la figura 83. Es curioso observar que el agua asciende por el tubo vertical. 

c) Afirma con un dedo una pelota de pimpón en un embudo (preferiblemente transparente, para

que puedas ver lo que ocurre) y justo cuando soples fuertemente saca el dedo. Esto también

produce una sorpresa: la pelotita, en vez de caer, se mantiene dentro del embudo, como muestra

la figura 84. 

d) Con un secador de pelo puedes mantener flotando en el aire una pelotita de pimpón del modo

que se ilustra en la figura 85. Lo que debe llamar tu atención es que, cuando la pelota está en

equilibrio, al mover el chorro de aire de un lado a otro, la pelota sigue al chorro y continúa en

equilibrio. Si inclinas un poco el chorro de aire, constatarás que tampoco cae. 

e) Si estás a la orilla de una carretera y pasa por ella un bus o camión muy grande y muy rápido,

¿qué sientes? Esta observación puede ser muy peligrosa, especialmente si vas en bicicleta, pues

una fuerza te empujará hacia la carretera y puedes caer sobre ella.

f) Si acercas una pelota que cuelga de un hilo al chorro de agua que sale de una llave observarás

que la pelota puede mantenerse en equilibrio en la posición que se indica en la figura 86; es decir,

parece que el flujo de agua y la pelota se atraen. 

Todas estas situaciones tienen algo en común: fluidos en rápido movimiento. Todos los casos

ilustrados, corresponden a diferentes aplicaciones del efecto Venturi, cuya comprensión cabal

requiere conocer e interpretar el principio de Bernoulli. Llamamos efecto Venturi al fenómeno que

se produce cuando un fluido se mueve rápidamente por el costado de un cuerpo, produciendo una

especie de “succión” sobre el cuerpo, tal como se observa en los casos anteriores.

¿Cómo explicamos el efecto Venturi o las situaciones ilustradas?

Dichas explicaciones las encontramos en el análisis que realizaremos a continuación, haciendo

uso de nuestros conocimientos matemáticos.

Empecemos por preguntarnos: ¿Qué ocurre con la velocidad de un fluido que se mueve por un

tubo en que cambia su sección, por ejemplo, al pasar de una cañería gruesa a otra más delgada?

 

La figura 87 ilustra bien esta idea. Si presionamos de igual manera el pistón de dos jeringas

idénticas, una sin aguja y otra con aguja, podremos apreciar que el líquido sale mucho más veloz

en el segundo caso; es decir, cuando la sección del conducto es menor. En realidad la rapidez v

con que se mueve el fluido es inversamente proporcional a la sección A de la cañería.

Posiblemente has notado que el agua que fluye por un río o canal se mueve también más rápido

en los lugares en que este es más angosto o menos profundo. Este fue el primer descubrimiento

de Bernoulli, el cual puede expresarse diciendo que:

vA = constante                                      [7]

Analicemos un ejemplo para comprender mejor este punto. Supongamos que un flujo de agua viaja

con una rapidez de 50 cm/s por una cañería cuya sección es de 6 cm2, según se indica en la figura

88. Si la cañería se hace más angosta, de modo que su sección se reduce a 2 cm2, ¿con qué

rapidez se moverá en esta zona? 

Aplicando la relación [7] tenemos que:

v · (2 cm2) = (50 cm/s) · (6 cm2),

de donde se tiene que:

v = 150 cm/s

Es importante preguntarse también cuántos litros de agua atraviesan la sección de la cañería en

cada zona durante un cierto tiempo, por ejemplo en 10 segundos. En la zona más gruesa el

volumen de agua que cruzará la sección será:

500 cm · 6 cm = 3.000 cm3 = 3 litros.

En la zona más delgada será:

1.500 cm · 2 cm = 3.000 cm3 = 3 litros.

Como se ve, el volumen de agua que atraviesa ambas secciones es el mismo, lo cual es lógico,

pues en otro caso significaría que cierta cantidad de agua se está perdiendo o está surgiendo de la

nada.

Otra manera de visualizar esto es considerando un tubo como el de la figura 89 con dos medidores

de presión como los que se usan para medir la presión de los neumáticos de los automóviles,

semejantes al representado en la Figura

89(a); o de los cuales salen tubos verticales, como en 89(b); o conectados a manómetros de

mercurio. Al circular un fluido por él, la presión será mayor en el tubo de mayor sección.

Todo lo anterior es igualmente válido para un gas, aunque los efectos térmicos y las turbulencias

que se producen ya no son despreciables, como ocurre con la mayoría de los líquidos

Si dos cañerías de distinta sección se encuentran a alturas distintas, la descripción del movimiento

de un fluido a través de ellas es más complejo, pues influye la presión hidrostática y su análisis

debe considerar la ley de conservación de la energía mecánica. La expresión matemática que

describe esta situación es conocida como ecuación de Bernoulli.

Ella puede deducirse a partir del análisis de la figura 90. 

La parte inferior del tubo posee una sección A1 y se encuentra a una altura h1 de cierto nivel. La

parte más elevada del tubo está a una altura h2 y tiene una sección A2. El fluido está retenido por

pistones en ambos extremos y se puede iniciar su movimiento aplicando una fuerza F1 en el pistón

inferior, forzando un desplazamiento del pistón superior, donde la fuerza será F2. Estas fuerzas, en

función de las presiones, deben ser:

F1 = P1A1 y F2 = P2A2,

y el trabajo realizado por ellas:

T1 = P1A1d1 y T2 = – P2A2d2;

en que d1 y d2 son los desplazamientos de los pistones. Como el volumen es V = Ad (iguales en la

parte angosta y en la ancha), podemos escribir:

T1 = P1V y T2 = – P2V,

luego, el trabajo total realizado por estas fuerzas debe ser:

T = (P1 – P2)V.                                     [8]

Por otra parte, si m es la masa de líquido desplazado (igual arriba que abajo), la variación de

energía cinética,

,

debe ser:

                        [9]

donde v2 y v1 son las velocidades con que se mueve el fluido en la parte alta y baja

respectivamente. Por último, el cambio de energía potencial gravitatoria (EP = mgh) es:

EP   = mgh2 – mgh1                             [10]

Entonces, considerando la ley de conservación de la energía mecánica tenemos que:

T = EC + EP.

Reemplazando aquí [8], [9] y [10] queda: 

Si dividimos esta expresión por V, teniendo en cuenta [1]; es decir, que la densidad del líquido

es   , tenemos: 

Llevando todos los términos con subíndice 1 al primer miembro y los con subíndice 2 al segundo,

nos queda:

                           [11]

o bien, podemos decir que:

              [12]

Esta es la ecuación de Bernoulli, y debes notar que todas las cantidades que figuran en ella tienen

unidades de presión. Si consideramos que el líquido posee la misma densidad D en todas partes,

que la aceleración de gravedad g y que la diferencia de altura h se conservan en todo momento;

entonces, si cambia P debe también cambiar v, de tal manera que si una aumenta la otra

disminuye.

Si aplicamos esto, entonces los experimentos señalados en las figuras 81 a 86 encuentran una

fácil explicación. Por ejemplo, al soplar encima de un papel, el aire en movimiento aplica en esa

cara una presión menor a la que el aire en reposo aplica sobre la otra cara, por lo que la fuerza

resultante sobre la hoja de papel estará dirigida hacia arriba, haciendo que el papel se eleve. Lo

mismo ocurre con los globos: la presión del aire en la superficie de los globos donde está en

movimiento es menor que en las restantes, produciendo sobre ellos la fuerza que los junta. Por otra

parte, si soplamos el extremo superior de un tubo sumergido en un líquido, la presión en este

también será menor que la presión atmosférica normal y el líquido dentro de él ascenderá.

Además, si soplamos alrededor de una pelota, las zonas de esta por donde el aire circula más

rápidamente, ejercerán sobre ella una presión inferior que en las otras. Por ejemplo, en el caso de

la pelota que se aproxima al chorro de agua, la zona en que el agua se mueve recibirá una presión

menor que del otro lado y en consecuencia la fuerza total sobre ella estará dirigida hacia el chorro

de agua. Lo mismo explica el caso del secador de pelo.

Es interesante analizar lo que ocurre cuando hay un fuerte viento: contrariamente a lo que podría

pensarse, la presión atmosférica es menor que la normal. Esta es la explicación de por qué

tornados y huracanes quiebran los vidrios de los ventanales hacia fuera, abren las puertas también

hacia fuera y levantan las techumbres, tal como se ilustra en la figura 91. 

En juegos de pelota, como el tenis o el fútbol, hay un efecto considerado comúnmente curioso que

encuentra aquí su explicación: nos referimos al “chanfle”. Este efecto se consigue haciendo girar la

pelota sobre sí misma mientras se desplaza. La diferente rapidez de ciertas partes de la pelota

respecto del aire circundante produce presiones diferentes, lo cual tiene como consecuencia la

acción de una fuerza que implica una desviación en la trayectoria rectilínea que tendría si no

girase. La figura 92 ilustra el efecto. 

El caso más espectacular es el del ala de un avión. La figura 93 ilustra la particular forma del corte

de un ala típica. La gracia de su diseño consiste en obligar al aire a circular con mayor rapidez por

la parte superior que por la inferior, lo que se consigue haciendo que, en el mismo tiempo, el aire

deba recorrer una distancia mayor. Al ser la rapidez del aire mayor por arriba que por debajo del

ala, la presión que actúa arriba es inferior a la que actúa abajo y, en consecuencia, aparece una

fuerza total sobre el ala dirigida hacia arriba. Cuando esta fuerza total sobre las alas, debida a esta

diferencia de presión, es mayor que el peso del avión, este se empieza a elevar. 

La figura 94 ilustra un experimento que puedes realizar con el propósito de verificar lo anterior. La

idea es hacer un ala con papel corriente que, colgada de un dinamómetro por medio de hilos, la

expongas a la corriente de un ventilador. Luego compara lo que marca el dinamómetro cuando el

ventilador no funciona, con lo que marca cuando gira con diferentes velocidades. 

Si bien en primera instancia el principio de Bernoulli explica bastante bien el comportamiento de un

ala de avión, el vuelo de estas máquinas es un fenómeno bastante más complejo debido a que en

el aire se producen torbellinos que este principio no considera. En todo caso, si te interesa el tema

puedes investigar más a fondo la estructura aerodinámica de los aviones. Por ejemplo, es

instructivo conocer el efecto de los alerones y cómo el piloto se las arregla para ascender,

descender y cambiar el rumbo.

Problema:

Apliquemos la ley de Bernoulli a un problema numérico interesante. Supón un estanque muy

grande, lleno de algún líquido, por ejemplo agua, que sale por un agujero situado en su parte

inferior, como se indica en la figura 95. ¿Con qué rapidez sale el líquido? 

Solución:

Si el estanque es muy grande la rapidez con que desciende el nivel superior del líquido puede

considerarse nula; es decir, v1 = 0. Si h1 es la distancia ente la superficie del líquido y el agujero,

donde h2 = 0, y consideramos otra aproximación razonable: que la presión en la parte superior del

líquido es la misma que a la salida del agujero; es decir, la presión atmosférica, P1 = P2, entonces

al reemplazar todos estos valores en [11], encontramos que:

,

de donde despejando v2, que es lo que queremos conocer, obtenemos:

.

Este resultado es sorprendente: la rapidez con que sale el líquido no depende de la densidad del

líquido del que se trate, ni de la forma del recipiente, ni del volumen de líquido; depende solo del

desnivel h y, lo más interesante, este sale con la misma rapidez que adquiere un objeto que cae

libremente desde la altura h.

Roce y velocidad límite

Compara la rapidez con que caen en el aire diferentes objetos; por ejemplo, dos hojas de papel

iguales, pero estando uno estirado y el otro arrugado conformando una pelota. O, como lo hiciera

Galileo, la caída de una pluma con la de un martillo. Compara también la rapidez de caída de una

moneda en el aire y en el agua. ¿Cómo explicas las diferencias que se observan?

Si no existiera el aire o el agua; es decir, en el vacío, papeles arrugados o estirados, plumas,

martillos y monedas, dejados caer simultáneamente desde alturas iguales, tendrían en todo

momento la misma rapidez y experimentarían todos la misma aceleración constante, del orden de

10 m/s2 aquí, en la superficie terrestre. En un homenaje rendido a Galileo Galilei, el astronauta

David Scott estando en la Luna dejó caer simultáneamente una pluma y un martillo frente a las

cámaras de televisión. Como en nuestro satélite no hay atmósfera, se pudo apreciar que ambos

objetos caían uno junto al otro. El video de este experimento puedes verlo en Internet en la

dirección

http://www.lpi.usra.edu/expmoon/Apollo15/A15_surfops.html.  

Evidentemente es el fluido el que aplica sobre ellos una fuerza que los frena* , es el roce que se

origina en la superficie del cuerpo que se mueve y el medio en que lo hace. Esta fuerza se opone

al movimiento y depende principalmente de la rapidez, de la forma del cuerpo que se mueve y del

fluido. Se trata de una fuerza aproximadamente proporcional a la rapidez. Por lo tanto, cualquier

cuerpo que se deje caer desde el reposo, inicialmente aumentará su rapidez y también la magnitud

de esta fuerza. Si el tiempo de caída es suficientemente largo, esta fuerza se hará igual al peso y la

fuerza neta será cero desde ese momento en adelante, por lo tanto, continuará moviéndose con

velocidad constante. Esta velocidad se denomina velocidad límite o terminal. El gráfico de la figura

96 ilustra la situación descrita. En él se puede ver cómo la rapidez de un cuerpo que se mueve en

un fluido depende del tiempo de caída.

* La fuerza a que nos referimos es distinta a la del empuje que describe el principio de Arquímedes.

En los casos que estudiaremos a continuación y por razones de simplicidad supondremos

despreciable dicho empuje.

Una buena descripción matemática de esta situación, considerando la segunda ley de Newton,

consiste en escribir:

F – v = ma,                                       [13]

donde F = mg es el peso del cuerpo de masa m, a su aceleración y  una constante. La

aceleración a se reduce desde un valor máximo (la aceleración de gravedad g) hasta hacerse cero.

Su valor corresponde a la pendiente de la curva del gráfico (figura 96) para cada instante de

tiempo. La constante , que debe ser positiva para que la expresión tenga sentido, depende tanto

de la forma, posición y material del cuerpo que cae, como del medio en que cae. La velocidad

límite es v = F/, pues corresponde a la que adquiere el cuerpo cuando su aceleración es nula.

¿Qué unidades debe tener ? 

Esto se puede estudiar en forma experimental y cuantitativamente analizando el movimiento de

una bolita de acero que cae dentro de un frasco largo y lleno de aceite (figura 97). Bastará una

regla larga y el cronómetro del (la) profesor(a) de Educación Física para obtener los datos

necesarios. 

Hay algunas circunstancias en que este efecto es de gran importancia. Por ejemplo, cuando llueve,

gracias al roce con el aire, las gotas de agua alcanzan rápidamente la velocidad límite, la cual

afortunadamente es bastante pequeña. Si no fuera así, se convertirían en peligrosos proyectiles

que atentarían contra nuestras vidas. Esto es también importante para los paracaidistas, quienes

antes de abrir el paracaídas, alcanzan velocidades límites del orden de los 100 km/h, pudiendo

disfrutar de la caída durante varios minutos, aunque pueden cambiar su rapidez cambiando la

posición de su cuerpo.

Cuando la superficie que enfrenta el aire aumenta, por ejemplo cuando se ponen en posición

horizontal con los brazos extendidos, la velocidad límite será menor, fenómeno que conocen muy

bien los murciélagos. Los paracaidistas que poseen mayor masa tardan más tiempo en alcanzar la

velocidad límite y ella es mayor, por cuanto, para hacer piruetas mientras caen (figura 98) y

descender todos juntos, deben poner sus cuerpos en distintas posiciones. Cuando abren el

paracaídas la fuerza de roce se incrementa significativamente y la velocidad límite se reduce a

unos 15 o 20 km/h, lo cual permite un aterrizaje seguro. 

Presión sanguínea

Una de las primeras cosas que hace el médico cuando nos examina es medir nuestra “presión

arterial”. Si todo está bien, informa que tenemos “120/80”. ¿De qué presión se trata? ¿Cómo se

mide? ¿Qué significan los valores que informa? ¿Por que simultáneamente se usa un

estetoscopio?

Con seguridad en más de una oportunidad tendrás que ir al médico y es preferible que conozcas

las respuestas a preguntas como las anteriores, pues, si no ha ocurrido ya, te medirán la presión

arterial.

Las características y función del sistema circulatorio sanguíneo es un relevante tema de estudio de

la Biología, ya que dichas funciones son esenciales para la vida y la salud. Aquí estudiaremos los

aspectos del sistema circulatorio que tienen que ver con la Física. 

Lo primero a considerar es que nuestro corazón (figura 99) es una compleja bomba que impulsa

mecánicamente la sangre por arterias, venas y capilares. Este bombeo es variable en intensidad y

a ello se debe nuestro “pulso”; pero a medida que la sangre circula, la corriente sanguínea se va

haciendo más uniforme y es prácticamente continua cuando regresa al corazón. Por otra parte,

este flujo, cumpliendo la ley de Bernoulli, se mueve más rápido mientras menor es el diámetro de

las venas. La excepción son los capilares. La presión sanguínea también depende de la altura

respecto de nuestro corazón. Por esta razón se ha convenido en medirla siempre en el mismo

lugar, en el brazo y en la posición que se indica en la figura 100; es decir, a la misma altura del

corazón. En este bombeo se denomina sistólica a la presión máxima y diastólica a la mínima. Al

decir “120/80”, el 120, corresponde a la sistólica y 80 a la diastólica. Su unidad, rara vez

mencionada por los médicos, es el torr o mm de Hg. Suelen decir también 12/8, correspondiendo a

cm de Hg. 

En relación a su medición, debe saberse que el instrumento que se usa tiene un nombre difícil:

esfigmomanómetro. Consiste en una manga que se le enrolla a la persona en el brazo y que se

infla con una pequeña bomba manual y un manómetro de mercurio que mide la presión de aire

dentro de la manga. El estetoscopio permite al médico oír el momento en que deja de circular

sangre por el brazo.

El procedimiento es el siguiente: se infla la manga hasta que deja de circular sangre por la arteria

branquial, y la presión medida en esa circunstancia corresponde a la sistólica o alta. Al abrir la

válvula de la manga y dejar salir el aire de ella, se reestablece el flujo sanguíneo y la presión

medida en ese momento es la diastólica o mínima.