1.Mintafeladat:

Ferde gerincű nyeregtető vizsgálata Adott: ~ a nyeregtető trapéz alakú felülnézeti eresz - körvonalrajzának a, b, c adatai, valamint a nagyobbik oromfal m1 magassága; ~ a tetősíkok egyező hajlásszögűek ( α ); ~ az ereszek ugyanazon vízszintes síkban találhatók.

Keresett: a d, m2, h; α, β, γ, δ ; Atető mennyiségek.

Megoldás: A megoldás módja: a geometriai szerkesztésre alapozott számítás − grafoanalitikus módszer. Ezt itt különösen indokolttá teszi az a tény, hogy elvileg különböző mennyiségek

gyakorlatilag szinte egybeesnek. A számítást úgy rendeztük be, hogy egyszerre csak egy ismeretlent kelljen meghatározni. A megoldás lépései az alábbiak. 1.) d meghatározása: Pitagorasz tételével:

2 2 22 2 2

2

d a c b 6m 4m 10m 104m ;

d 104m 10,1980m 10,20m;d =10,20 m .

2.) δ meghatározása: tangens szögfüggvénnyel, az ábrával is:

1

o

m 3mtg 1,0000 45 .a 6m2 2

δ = 45,0 .

3.) m2 meghatározása: az ábra alapján:

2

3

2

2

2

mtg ,innenc2

c 4mm tg 1,0000 2m;2 2

m = 2,00 m.

4.) h’ meghatározása: Pitagorasz tételével:

2 2

22 2 2

2

a c 6m 4mh ' b 10m 101m ;2 2 2 2

h ' 101m 10,0499m 10,05m;h' =10,05 m.

5.) h meghatározása: Pitagorasz tételével:

2 22 2 2 21 2

2

h h ' m m 101m 3m 2m 102m ;

h 102m 10,0995m 10,10m;h =10,10 m.

6.) γ meghatározása: tangens szögfüggvénnyel:

1 2m m 3m 2mtg 0,0995 5,68 5,7 ;h ' 10,0499m

5,7 .

7.) β meghatározása: az ábra alapján:

b 10mcos 0,9806 11,31 11,3 ;d 10,1980m

11,3 .

4

8.) α meghatározása: az ábra szerint:

1

1

mtg ;dee

ae cos ;ezekkel :2

m 3mtg 1,0198 45,56 45,6 ;a 6mcos 0,98062 2

45,6 .

9.) Atető meghatározása: Bár a szerkesztéssel – a képsíkba forgatással – előállt a két tetősíkidom „valódi” méreteket tartalmazó képe, a tető felszínét mégsem e síkidomok területének – az ábráról lemérhető adatok alapján történő – kiszámításával, majd ezek összegzésével határozzuk meg, hanem a lényegesen gyorsabban eredményre vezető, alább közölt képlettel. Ez utóbbi arról nevezetes, hogy nem szerepel az általunk is használt, szakmai számításokkal foglalkozó tankönyvekben. Talán ez az oka, hogy a vizsga - és versenyfeladatok készítői sem alkalmazzák. Ez pedig problémák forrása lehet.

alaprajztető

2alaprajz

22 2

tető

2tető

TA ;

cosa c 6m 4mT b 10m 50m ;

2 2cos cos 45,56 0,7002;ezekkel :

50mA 71, 41m 71,4m ;0,7002

A 71,4m .

Ezzel a feladatot megoldottuk.

5

Megjegyzések: M1. A feladat geometriai adottságai olyanok, hogy a gyakorlatban szokásos hossz - és szögmérési pontosság alkalmazásával egyes eredmények szinte egybeesnek. Például: h’≈ h, vagy α ≈ δ, a számszerű értékek alapján. Fontos látni, hogy itt elvileg lényegesen eltérő mennyiségekről van szó, melyek meghatározása a fenti módon a bemenő adatok tetszőleges – de értelmes – értékei mellett is ugyanígy történhet. M2. A feladat további tanulsága, hogy ismét rámutat: a szerkesztéses megoldásról levett eredmények pontossága, ill. relatív hibája jelentősen függ a rajz méretarányától. Ennél a feladatnál ugyanis az eredmény szakaszhosszak cm - pontosságú leolvasása szinte reménytelen, az alkalmazott M 1:100 méretarány mellett. Gondoljuk meg: 1 cm valódi hossznak 0,01 cm = 0,1 mm rajzi hossz felel meg! Így az egymáshoz közel fekvő eredmények közti különbségeket akár a szerkesztési és leolvasási hibák számlájára is írhatnánk. A számításos megoldás alkalmazása tehát segít a durva hibák elkövetésének elkerülésében is. M3. Érdemes megemlíteni, hogy a tető felszínébe nem számít bele az oromfalak területe. M4. E mintafeladat alapjául szolgálhat egy összetettebb feladatnak; pl.: ezután következhet a fizikai megvalósítás részleteinek tisztázása, a tervezett háztető esetében. M5. A szerkesztés magyarázatát itt nem részleteztük; az legyen a Szakrajz, ill. az Ábrázoló geometria tantárgyak óráinak feladata. Célunk: a számításos megoldás népszerűsítése. M6. A számítás fontossága – többek között – abban rejlik, hogy ellenőrzési lehetőséget biztosít; mindenki beláthatja, hogy a feladatok megoldása során aranyat ér, ha az egyik úton kapott eredményünket megerősíti egy másik úton nyert eredmény. M7. Az is figyelemre méltó tény, hogy a számítások során főként a derékszögű háromszögben értelmezett alapösszefüggéseket – a szögfüggvényeket és a Pitagorasz - tételt – használtuk fel. Minthogy ezek az ismeretek a szakmunkástanulók részére is előírt tudnivalók, látható, hogy mondanivalónk nekik is szól. Az már egy másik kérdés, hogy vajon rájön - e a tanuló, hogy hol van és hogyan állítható elő az a derékszögű háromszög, melynek megoldásával a probléma is megoldódik. A trükk: minél több feladat megoldásával a térszemlélet fejlesztése, a technikai részletek begyakorlása. Ehhez kíván sok sikert a szerző:

Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2008. 02. 07.