Belirsizlik Durumlar ve L’Hopital Kuralkisi.deu.edu.tr/cem.celik/files/1009_hafta_07.pdf · 2 Bir...

Belirsizlik Durumları ve L’Hopital Kuralı L’Hopital Kuralı

Belirsizlik Durumları ve L’Hopital KuralıL’Hopital Kuralı

a noktasının yakınında (belki a noktası dısında), f ve g fonksiyonlarınınturevlenebilir ve g′(x) 6= 0 oldugunu varsayalım.

limx→a

f(x) = 0 and limx→a

g(x) = 0

ya dalimx→a

f(x) = ±∞ and limx→a

g(x) = ±∞

olsun. Diger bir ifadeyle0

0ya da

∞∞

belirsizligi olsun.

O zaman, sag taraftaki limit varsa (ya da ∞ veya (−∞) ise)

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

olur.MAT 1009 Kalkulus I 1 / 39


NOT

L’Hopital kuralı aynı zamanda tek yonlu limitler, sonsuzdaki ve eksisonsuzdaki limitler icin de gecerlidir.Diger bir ifadeyle “x→ a” yerine “x→ a+”, “x→ a−”, “x→∞” veya“x→ −∞” sembollerinden biri gelebilir.

MAT 1009 Kalkulus I 2 / 39


Ornek 1

limx→1

lnx

x− 1limitini bulunuz.

Cozum.

Buradalimx→1

lnx = ln 1 = 0 and limx→1

(x− 1) = 0

oldugundan L’Hopital kuralı’nı uygulayabiliriz. Boylece,

limx→1

lnx

x− 1= lim

x→1

d

dx(lnx)

d

dx(x− 1)

= limx→1

1/x

1

= limx→1

1

x= 1

elde edilir.



Ornek 2

limx→∞

ex

x2limitini hesaplayınız.

Cozum.

limx→∞

ex =∞ and limx→∞

x2 =∞

oldugundan L’Hopital kuralı ile

limx→∞

ex

x2= lim

x→∞

ex

2x.

bulunur. x→∞ iken ex →∞ ve 2x→∞ oldugundan L’Hopital kuralıuygulanabilir. Boylece,

limx→∞

ex

x2= lim

x→∞

ex

2x= lim

x→∞

ex

2=∞

buluruz.



Ornek 3

limx→∞

lnx3√x

limitini hesaplayınız.

Cozum.

x→∞ iken lnx→∞ ve 3√x→∞ oldugundan L’Hopital kuralı

uygulanabilir. Bu durumda,

limx→∞

lnx3√x

= limx→∞

1x

13x−2/3

olur. Sag taraftaki limitte 00 turu belirsizlik vardır. Ancak onceki ornekteki

oldugu gibi L’Hopital kuralını ikinci kez uygulamadan sadelestirmeyapalım. Boylece,

limx→∞

lnx3√x

= limx→∞

1x

13x−2/3 = lim

x→∞

33√x= 0 elde edilir.



Ornek 4

limx→0

tanx− xx3

limitini hesaplayınız.

Cozum.

x→ 0 iken hem tan(x)− x→ 0 hem de x3 → 0 oldugundan L’Hopitalkuralı kullanırsak

limx→0

tanx− xx3

= limx→0

sec2 x− 1

3x2

buluruz. Sag taraftaki limit yine 00 turu belirsizlik oldugundan L’Hopital

kuralını tekrar uygularsak

limx→0

sec2 x− 1

3x2= lim

x→0

2 sec2 x tanx

6x

buluruz.



Cozum (devamı).

Birkez daha hem pay hem payda 0’a yaklastıgından L’Hopital kuralınıucuncu kez uygulamak gerekir. Bu uc adımı birlestirerek

limx→0

tanx− xx3

= limx→0

sec2 x− 1

3x2= lim

x→0

2 sec2 x tanx

6x

= limx→0

4 sec2 x tan2 x+ 2 sec4 x

6=

2

6=

1

3

elde ederiz.



Ornek 5

limx→π−

sinx

1− cosxlimitini bulunuz.

Cozum.

Eger burada L’Hopital kuralını kosullarını kontrol etmeden uygularsak

limx→π−

sinx

1− cosx= lim

x→π−

cosx

sinx= −∞

elde ederiz. Bu yanlıstır!



Cozum (devamı).

limx→π−

sinx

1− cosx

ifadesinde x→ π− iken paydaki sinx→ 0 olmasına ragmen paydadabulunan 1− cosx ifadesi sıfıra yaklasmaz. Dolayısıyla, burada L’Hopitalkuralı uygulanamaz.Aslında, bu limiti hesaplamak kolaydır cunku fonksiyon sureklidir ve paydaπ’de sıfırdan farklıdır. Boylece,

limx→π−

sinx

1− cosx=

sinπ

1− cosπ=

0

1− (−1)= 0

elde edilir.


Belirsizlik Durumları ve L’Hopital Kuralı Belirsiz Carpımlar

Belirsiz Carpımlar

Eger limx→a

f(x) = 0 ve limx→a

g(x) =∞ (ya da −∞) ise limx→a

f(x)g(x)

limitinin degerinin (eger varsa) ne olacagı acık degildir.Bu tur limit, 0 · ∞ turu belirsizlik olarak adlandırılır.fg carpımını bolum seklinde yazarak durumu ele alırsak

f · g =f

1/gya da f · g =

g

1/f

yazılabilir. Verilen limiti 00 ya da ∞∞ turu belirsizlige donusturup boylece

L’Hopital kuralını kullanabiliriz.



Ornek 6

limx→0+

x lnx limitini hesaplayınız.

Cozum.

Verilen limit belirsizdir. Cunku x→ 0+ icin birinci carpan x, 0’ayaklasırken ikinci carpan ln(x), (−∞)’a yaklasır.x = 1

1x

yazarak x→ 0+ iken 1x →∞ elde ederiz.

Dolayısıyla, L’Hopital kuralını uygulayarak

limx→0+

x lnx = limx→0+

lnx

1/x= lim

x→0+

1

x−1x2

= limx→0+

(−x) = 0

buluruz.



Not

Bu ornegi cozerken bir baska secenek

limx→0+

x lnx = limx→0+

x

1/ lnx.

yazmaktır. Bu, 00 turu belirsizlik verir ama L’Hopital kuralını uygularsak

bastakinden daha karmasık bir ifade elde ederiz. Genelde belirsiz bircarpımı yeniden yazarken daha basit bir limit elde edecegimiz durumusecmeye calısırız.


Belirsizlik Durumları ve L’Hopital Kuralı Belirsiz Farklar

Belirsiz Farklar

limx→a

f(x) =∞ and limx→a

g(x) =∞

iselimx→a

[f(x)− g(x)]

limiti ∞−∞ turu belirsizlik olarak adlandırılır.Yanıtı bulmak icin, farkı bolume cevirerek (ornegin, ortak payda kullanarakya da kesirlestirerek ya da ortak carpanlara ayırarak), 0

0 ya da ∞∞ turubelirsizlik elde etmeye calısırız.


Belirsizlik Durumları ve L’Hopital Kuralı Belirsiz Farklar

Ornek 7

limx→(π/2)−

(secx− tanx) limitini hesaplayınız.

Cozum.

x→ π2− iken sec(x)→∞ ve tan(x)→∞ oldugundan verilen limit

belirsizdir. Burada ortak paydayı kullanırsak

limx→(π/2)−

(secx− tanx) = limx→(π/2)−

(1

cosx− sinx

cosx

)= lim

x→(π/2)−

1− sinx

cosx

= limx→(π/2)−

− cosx

− sinx= 0

buluruz. x→ π2− iken 1− sinx→ 0 ve cosx→ 0 olmasının L’Hopital

kuralını uygulamayı haklı cıkardıgına dikkat ediniz.


Belirsizlik Durumları ve L’Hopital Kuralı Belirsiz Kuvvetler

Belirsiz Kuvvetler

limx→a

[f(x)]g(x)

limitinden cesitli belirsizlik durumları ortaya cıkar.

00 turu: limx→a


g(x) = 0

∞0 turu: limx→a

f(x) =∞ ve limx→a

g(x) = 0

1∞ turu: limx→a


g(x) = ±∞



Bu uc durumdan her biri ya dogal logaritma alarak

y = [f(x)]g(x) ise ln y = g(x) ln f(x)

yada ustel fonksiyon seklinde yazarak

[f(x)]g(x) = eg(x) ln f(x)

asılabilir. Bu yontemlerin her ikisinin de bu fonksiyonların turevlerinibulurken kullanıldıgını anımsayınız.Her iki durumda da 0 · ∞ turu g(x) ln f(x) belirsiz carpımını elde ederiz.



Ornek 8

limx→0+

(1 + sin 4x)cotx limitini hesaplayınız.

Cozum.

Ilk olarak, x→ 0+ iken 1 + sin 4x→ 1 ve cotx→∞ oldugundan verilenlimitin belirsiz olduguna dikkat ediniz.

y = (1 + sin 4x)cotx

olsun. O zaman,

ln y = ln[(1 + sin 4x)cotx] = cotx · ln(1 + sin 4x)

=ln(1 + sin 4x)

tanx

olur.



Cozum (devamı).

limx→0+

ln y = limx→0+

ln(1 + sin 4x)

tanx

(0

0belirsizligi

)Dolayısıyla, L’Hopital kuralı ile

= limx→0+

4 cos 4x1+sin 4x

sec2 x= 4

buluruz. Buraya kadar ln y’nin limitini hesapladık. Fakat biz y’nin limitinibulmak istiyoruz. Bunu bulmak icin y = eln y oldugunu kullanırsak,

limx→0+

(1 + sin 4x)cotx = limx→0+

y = limx→0+

eln y = e4

olur.



Ornek 9

limx→0+

xx limitini bulunuz.

Cozum.

Herhangi bir x > 0 icin 0x = 0 ama herhangi bir x 6= 0 icin x0 = 1oldugundan bu limitin belirsiz olduguna dikkat ediniz.Fonksiyonu ustel sekilde yazarak devam edersek

xx = (elnx)x = ex lnx

yazarız. Daha once L’Hopital kuralını kullanarak limx→0+

x ln(x) = 0

oldugunu gosterdik. Dolayısıyla,

limx→0+

xx = limx→0+

ex lnx = e0 = 1

olur.


Belirsizlik Durumları ve L’Hopital Kuralı Optimizasyon Problemleri

Optimizasyon Problemleri

Optimizasyon Problemlerinin Cozumunde Takip Edilecek Adımlar

1 Problemi Anlayınız. Birinci adım problemi iyice anlayana kadardikkatlice okumaktır. Kendinize sorunuz. Bilinmeyen nedir? Verilennicelikler nelerdir? Verilen kosullar nelerdir?

2 Bir Sema Ciziniz. Cogu problemde bir sema cizmek ve sema uzerindeverilenve istenen nicelikleri belirlemek yararlı olur.

3 Gosterimleri Gelistiriniz. Maksimumu ya da minimumu bulunacak olannicelige bir sembol atayınız (simdilik Q diyelim). Diger bilinmeyennicelikler icin semboller seciniz (a, b, c, . . . , x, y) ve bu sembolleri semauzerinde gosteriniz. Verilen niceliklerin ilk harflerini semboller olarakkullanmak yararlı olabilir. Ornegin, alanı A ile, yuksekligi (ingilizcesiheight) h ile ve zamanı (ingilizcesi time) t ile gosterebilirsiniz.



4 Q’yu Adım 3’deki diger semboller cinsinden ifade ediniz.

5 Eger Q Adım 4’deki birden fazla degiskeni olan bir fonksiyon olarakifade edildiyse verilen bilgileri kullanarak bu degiskenler arasında(denklemler seklinde) iliskiler bulunuz. Sonra bu denklemlerikullanarak Q’nun ifadesindeki bir degisken dısında diger butundegiskenleri yok ediniz. Boylece Q, tek degiskeni x’in fonksiyonuolarak Q = f(x) seklinde ifade edilebilir. Bu fonksiyonun tanımkumesini yazınız.

6 Onceki bolumlerde ogrenildigi gibi f ’nin mutlak maksimum ya daminimum degerini bulunuz. Ozel olarak, f ’nin tanım kumesi bir kapalıaralıksa Kapalı Aralık Yontemini kullanabilirsiniz.



Ornek 10

2400m citi olan bir ciftci, bu cit ile bir kenarı ırmaga sınır olandikdortgensel bir arazi cevirmek istiyor. Irmak boyunca cit cekmesine gerekyoktur. En buyuk alana sahip arazinin boyutları nedir?

Cozum.

Bu problemde neler oldugunu hissetmek icin birkac ozel durumu deneyelim.Sekil, 2400m’lik telin nasıl kullanılacagının olası yollarından ucugosterilmektedir.

3. Introduce Notation Assign a symbol to the quantity that is to be maximized orminimized (let’s call it for now). Also select symbols forother unknown quantities and label the diagram with these symbols. It mayhelp to use initials as suggestive symbols—for example, for area, forheight, for time.

4. Express in terms of some of the other symbols from Step 3.

5. If has been expressed as a function of more than one variable in Step 4, usethe given information to find relationships (in the form of equations) amongthese variables. Then use these equations to eliminate all but one of the vari-ables in the expression for . Thus, will be expressed as a function of onevariable , say, . Write the domain of this function.

6. Use the methods of Sections 4.2 and 4.3 to find the absolute maximum orminimum value of . In particular, if the domain of is a closed interval, thenthe Closed Interval Method in Section 4.2 can be used.

EXAMPLE 1 A farmer has 2400 ft of fencing and wants to fence off a rectangular fieldthat borders a straight river. He needs no fence along the river. What are the dimen-sions of the field that has the largest area?

SOLUTION In order to get a feeling for what is happening in this problem let’s experi-ment with some special cases. Figure 1 (not to scale) shows three possible ways oflaying out the 2400 ft of fencing. We see that when we try shallow, wide fields ordeep, narrow fields, we get relatively small areas. It seems plausible that there issome intermediate configuration that produces the largest area.

Figure 2 illustrates the general case. We wish to maximize the area of the rect-angle. Let and be the depth and width of the rectangle (in feet). Then we express

in terms of and :

We want to express as a function of just one variable, so we eliminate byexpressing it in terms of . To do this we use the given information that the totallength of the fencing is 2400 ft. Thus

From this equation we have , which gives

Note that 0 and (otherwise ). So the function that we wish tomaximize is

The derivative is , so to find the critical numbers we solve the A�x� � 2400 � 4x

0 � x � 1200A�x� � 2400x � 2x 2

A � 0x � 1200x �

A � x �2400 � 2x� � 2400x � 2x 2

y � 2400 � 2x

2x � y � 2400

xyA

A � xyyxA

yxA

100

2200

100

Area=100 · 2200=220,000 ft@

700

1000

700

Area=700 · 1000=700,000 ft@

1000

400

1000

Area=1000 · 400=400,000 ft@

ff

Q � f �x�xQQ

Q

Q

thA

�a, b, c, . . . , x, y�Q

308 � CHAPTER 4 APPLICATIONS OF DIFFERENTIATION

x

y

A x

FIGURE 2

� Understand the problem� Analogy: Try special cases� Draw diagrams

� Introduce notation

FIGURE 1Alan = 220 000m2 Alan = 700 000m2 Alan = 400 000m2



Cozum (devamı).

Sıg, genis bolgeleri ya da derin, dar bolgeleri denedigimizde kucuk alanlarelde ettigimizi goruyoruz. En buyuk alanı arada bulunan seklin verecegiakla yatkındır.Sekil genel durumu gostermektedir. Dikdortgenin A alanını maksimumyapmak istiyoruz. x ve y sırasıyla dikdortgenin derinligi ve genisligi olsun.

3. Introduce Notation Assign a symbol to the quantity that is to be maximized orminimized (let’s call it for now). Also select symbols forother unknown quantities and label the diagram with these symbols. It mayhelp to use initials as suggestive symbols—for example, for area, forheight, for time.

4. Express in terms of some of the other symbols from Step 3.

5. If has been expressed as a function of more than one variable in Step 4, usethe given information to find relationships (in the form of equations) amongthese variables. Then use these equations to eliminate all but one of the vari-ables in the expression for . Thus, will be expressed as a function of onevariable , say, . Write the domain of this function.

6. Use the methods of Sections 4.2 and 4.3 to find the absolute maximum orminimum value of . In particular, if the domain of is a closed interval, thenthe Closed Interval Method in Section 4.2 can be used.

EXAMPLE 1 A farmer has 2400 ft of fencing and wants to fence off a rectangular fieldthat borders a straight river. He needs no fence along the river. What are the dimen-sions of the field that has the largest area?

SOLUTION In order to get a feeling for what is happening in this problem let’s experi-ment with some special cases. Figure 1 (not to scale) shows three possible ways oflaying out the 2400 ft of fencing. We see that when we try shallow, wide fields ordeep, narrow fields, we get relatively small areas. It seems plausible that there issome intermediate configuration that produces the largest area.

Figure 2 illustrates the general case. We wish to maximize the area of the rect-angle. Let and be the depth and width of the rectangle (in feet). Then we express

in terms of and :

We want to express as a function of just one variable, so we eliminate byexpressing it in terms of . To do this we use the given information that the totallength of the fencing is 2400 ft. Thus

From this equation we have , which gives

Note that 0 and (otherwise ). So the function that we wish tomaximize is

The derivative is , so to find the critical numbers we solve the A�x� � 2400 � 4x

0 � x � 1200A�x� � 2400x � 2x 2

A � 0x � 1200x �

A � x�2400 � 2x� � 2400x � 2x 2

y � 2400 � 2x

2x � y � 2400

xyA

A � xyyxA

yxA

100

2200

100

Area=100 · 2200=220,000 ft@

700

1000

700

Area=700 · 1000=700,000 ft@

1000

400

1000

Area=1000 · 400=400,000 ft@

ff

Q � f �x�xQQ

Q

Q

thA

�a, b, c, . . . , x, y�Q


x

y

A x

FIGURE 2

� Understand the problem� Analogy: Try special cases� Draw diagrams

� Introduce notation

FIGURE 1



Cozum (devamı).

Bu durumda, A’yı x ve y cinsinden

A = xy

seklinde ifade ederiz.A’yı tek degiskenli fonksiyon olarak ifade etmek istiyoruz. Bu nedenle y’yix cinsinden yazarak yok edecegiz. Bunun icin, telin toplam uzunlugunun2400m oldugu bilgisini kullanırız. Buradan,

2x+ y = 2400

olur. Bu denklemden y = 2400− 2x elde ederiz ve

A = x(2400− 2x) = 2400x− 2x2

buluruz. Bu ifadede x ≥ 0 ve x ≤ 1200 (aksi takdirde A < 0) oldugunadikkat ediniz.



Cozum (devamı).

SimdiA(x) = 2400x− 2x2 0 ≤ x ≤ 1200

fonksiyonunu maksimum yapmak istiyoruz. Turev, A′(x) = 2400− 4x’tir.Kritik sayıları bulmak icin,

2400− 4x = 0

denklemini cozerek x = 600 buluruz.A’nın maksimum degeri ya bu kritik sayıda ya da aralıgın bir uc noktasındaolusur.A(0) = 0, A(600) = 720000 ve A(1200) = 0 oldugundan kapalı aralıkyontemi maksimum degeri A(600) = 720000 olarak verir.Alternatif olarak, her x icin A′′(x) = −4 < 0 oldugundan A daima icbukeydir ve x = 600’deki yerel maksimum bir mutlak maksimum olmalıdır.Sonuc olarak, dikdortgensel bolgenin derinligi 600m ve genisligi 1200molmalıdır.



Ornek 11

1 lt yag koymak icin silindir biciminde bir teneke kutu yapılmak isteniyor.Metal maliyeti minumum olan kutu uretmek icin boyutları bulunuz.

Cozum.

Sekildeki gibi yarıcapı r’ve yuksekligi h olan bir silindir ciziniz.

equation

which gives . The maximum value of must occur either at this criticalnumber or at an endpoint of the interval. Since ,and , the Closed Interval Method gives the maximum value as

.[Alternatively, we could have observed that for all , so is

always concave downward and the local maximum at must be an absolutemaximum.]

Thus, the rectangular field should be 600 ft deep and 1200 ft wide.

EXAMPLE 2 A cylindrical can is to be made to hold 1 L of oil. Find the dimensionsthat will minimize the cost of the metal to manufacture the can.

SOLUTION Draw the diagram as in Figure 3, where is the radius and the height(both in centimeters). In order to minimize the cost of the metal, we minimize thetotal surface area of the cylinder (top, bottom, and sides). From Figure 4 we see thatthe sides are made from a rectangular sheet with dimensions and h. So thesurface area is

To eliminate we use the fact that the volume is given as 1 L, which we take tobe 1000 cm . Thus

which gives . Substitution of this into the expression for gives

Therefore, the function that we want to minimize is

To find the critical numbers, we differentiate:

Then when , so the only critical number is .Since the domain of is , we can’t use the argument of Example 1 con-

cerning endpoints. But we can observe that for and for , so is decreasing for all to the left of the critical number andincreasing for all to the right. Thus, must give rise to an absoluteminimum.

[Alternatively, we could argue that as and as ,so there must be a minimum value of , which must occur at the critical number.See Figure 5.]

The value of corresponding to is

Thus, to minimize the cost of the can, the radius should be cm and theheight should be equal to twice the radius, namely, the diameter.

s3 500��

h �1000

�r 2 �1000

��500��2�3 � 2�3 500

�� 2r

r � s3 500��h

A�r�r l A�r� l r l 0�A�r� l

r � s3 500��rrAr � s

3 500��A�r� � 0r � s

3 500��A�r� � 0�0, �A

r � s3 500��r 3 � 500A�r� � 0

A�r� � 4�r �2000

r 2 �4��r 3 � 500�

r 2

r � 0A�r� � 2�r 2 �2000

r

A � 2�r 2 � 2�r�1000

�r 2 � � 2�r 2 �2000

r

Ah � 1000��r 2 �

�r 2h � 1000

3h

A � 2�r 2 � 2�rh

2�r

hr

x � 600AxA��x� � �4 � 0

A�600� � 720,000A�1200� � 0

A�0� � 0, A�600� � 720,000Ax � 600

2400 � 4x � 0

SECTION 4.6 OPTIMIZATION PROBLEMS � 309

r

h

FIGURE 3

r

Area 2{πr@}

FIGURE 4

Area (2πr)h

2πr

h

r

y

0 10

1000 y=A(r)

FIGURE 5

� In the Applied Project on page 318we investigate the most economicalshape for a can by taking into accountother manufacturing costs.

Module 4.6 takes you througheight additional optimization

problems, including animations of thephysical situations.



Cozum (devamı).

Metal maliyetini minimum yapmak icin, silindirin toplam yuzey alanını (alt,ust ve yan) minumum yaparız. Sekilden kenarların boyutları 2πr ve h olanbir dikdortgensel levhadan yapıldıgını goruruz.

equation
















s3 500��

h �1000

�r 2 �1000

��500��2�3 � 2�3 500

�� 2r

r � s3 500��h


r � s3 500��rrAr � s

3 500��A�r� � 0r � s

3 500��A�r� � 0�0, �A

r � s3 500��r 3 � 500A�r� � 0

A�r� � 4�r �2000

r 2 �4��r 3 � 500�

r 2

r � 0A�r� � 2�r 2 �2000

r

A � 2�r 2 � 2�r�1000

�r 2 � � 2�r 2 �2000

r

Ah � 1000��r 2 �

�r 2h � 1000

3h

A � 2�r 2 � 2�rh

2�r

hr

x � 600AxA��x� � �4 � 0

A�600� � 720,000A�1200� � 0

A�0� � 0, A�600� � 720,000Ax � 600

2400 � 4x � 0


r

h

FIGURE 3

r

Area 2{πr@}

FIGURE 4

Area (2πr)h

2πr

h

r

y

0 10

1000 y=A(r)

FIGURE 5




equation
















s3 500��

h �1000

�r 2 �1000

��500��2�3 � 2�3 500

�� 2r

r � s3 500��h


r � s3 500��rrAr � s

3 500��A�r� � 0r � s

3 500��A�r� � 0�0, �A

r � s3 500��r 3 � 500A�r� � 0

A�r� � 4�r �2000

r 2 �4��r 3 � 500�

r 2

r � 0A�r� � 2�r 2 �2000

r

A � 2�r 2 � 2�r�1000

�r 2 � � 2�r 2 �2000

r

Ah � 1000��r 2 �

�r 2h � 1000

3h

A � 2�r 2 � 2�rh

2�r

hr

x � 600AxA��x� � �4 � 0

A�600� � 720,000A�1200� � 0

A�0� � 0, A�600� � 720,000Ax � 600

2400 � 4x � 0


r

h

FIGURE 3

r

Area 2{πr@}

FIGURE 4

Area (2πr)h

2πr

h

r

y

0 10

1000 y=A(r)

FIGURE 5




Alan 2(πr2) Alan (2πr)h



Cozum (devamı).

Bu nedenle silindirin yuzey alanı

A = 2πr2 + 2πrh

olur. h’yi yok etmek icin hacmin 1 lt olarak verildigini 1000 cm3 alarakkullanırız. Boylece,

πr2h = 1000

den

h =1000

(πr2)

olur. Bunu A’nın ifadesinde yerine koyarsak

A = 2πr2 + 2πr

(1000

πr2

)= 2πr2 +

2000

r

elde ederiz.



Cozum (devamı).

Simdi

A(r) = 2πr2 +2000

rr > 0

fonksiyonunu minimum yapmak istiyoruz. Kritik sayıları bulmak icin A(r)nin turevini alırsak

A′(r) = 4πr − 2000

r2=

4(πr3 − 500)

r2

olur. Burada, πr3 = 500 oldugunda A′(r) = 0 olur.

Bu nedenle, tek kritik sayı r = 3

√500π ’dir.



Cozum (devamı).

A’nın tanım kumesi (0,∞) oldugundan bir onceki ornekteki gibi ucnoktaları kullanamayız.

Ama r < 3

√500π icin A′(r) < 0 ve r > 3

√500π icin A′(r) > 0 oldugunu,

dolayısıyla A’nın kritik sayısının solundaki her r icin azaldıgını ve sagındakiher r icin arttıgını gozlemleyebiliriz.

Boylece, r = 3

√500π mutlak minimumu vermelidir.



Cozum (devamı).

Alernatif olarak, r → 0+ iken A(r)→∞ ve r →∞ iken A(r)→∞oldugundan A(r)’nin bir minumum degeri olmalı ve bu minimum degerkritik sayıda meydana gelmelidir.

equation
















s3 500��

h �1000

�r 2 �1000

��500��2�3 � 2�3 500

�� 2r

r � s3 500��h


r � s3 500��rrAr � s

3 500��A�r� � 0r � s

3 500��A�r� � 0�0, �A

r � s3 500��r 3 � 500A�r� � 0

A�r� � 4�r �2000

r 2 �4��r 3 � 500�

r 2

r � 0A�r� � 2�r 2 �2000

r

A � 2�r 2 � 2�r�1000

�r 2 � � 2�r 2 �2000

r

Ah � 1000��r 2 �

�r 2h � 1000

3h

A � 2�r 2 � 2�rh

2�r

hr

x � 600AxA��x� � �4 � 0

A�600� � 720,000A�1200� � 0

A�0� � 0, A�600� � 720,000Ax � 600

2400 � 4x � 0


r

h

FIGURE 3

r

Area 2{πr@}

FIGURE 4

Area (2πr)h

2πr

h

r

y

0 10

1000 y=A(r)

FIGURE 5






Cozum (devamı).

r = 3

√500π degerine karsılık gelen h degeri

h =1000

πr2=

1000

π(500/π)2/3= 2

3

√500

π= 2r

olur.

Boylece kutunun maliyetini minimum yapmak icin yarıcap 3

√500π cm ve

yukseklik yarıcapın iki katı, yani cap olmalıdır.



Mutlak Uc Degerler icin Birinci Turev Testi

c’nin, bir aralıkta tanımlı, surekli bir f fonksiyonunun bir kritik sayısınınoldugunu varsayalım.

(a) Her x < c icin f ′(x) > 0 ve her x > c icin f ′(x) < 0 ise, f(c), f ’ninmutlak maksimum degeridir.

(b) Her x < c icin f ′(x) < 0 ve her x > c icin f ′(x) > 0 ise, f(c), f ’ninmutlak minimum degeridir.



Ornek 12

y2 = 2x parabolu uzerinde (1, 4) noktasına en yakın olan noktayı bulunuz.

Cozum.

(x, y) ve (1, 4) noktalarıarasındaki uzaklık

d =√

(x− 1)2 + (y − 4)2

ile verilir.

NOTE 1 � The argument used in Example 2 to justify the absolute minimum is a vari-ant of the First Derivative Test (which applies only to local maximum or minimumvalues) and is stated here for future reference.

First Derivative Test for Absolute Extreme Values Suppose that is a critical numberof a continuous function defined on an interval.

(a) If for all and for all , then is theabsolute maximum value of .

(b) If for all and for all , then is theabsolute minimum value of .

NOTE 2 � An alternative method for solving optimization problems is to use implicitdifferentiation. Let’s look at Example 2 again to illustrate the method. We work withthe same equations

but instead of eliminating h, we differentiate both equations implicitly with respect to r :

The minimum occurs at a critical number, so we set , simplify, and arrive at theequations

and subtraction gives , or .

EXAMPLE 3 Find the point on the parabola that is closest to the point .

SOLUTION The distance between the point and the point is

(See Figure 6.) But if lies on the parabola, then , so the expressionfor becomes

(Alternatively, we could have substituted to get in terms of alone.)Instead of minimizing , we minimize its square:

(You should convince yourself that the minimum of occurs at the same point asthe minimum of , but is easier to work with.) Differentiating, we obtain

so when . Observe that when and when, so by the First Derivative Test for Absolute Extreme Values, the absolute

minimum occurs when . (Or we could simply say that because of the geomet-y � 2y � 2

f �y� � 0y � 2f �y� � 0y � 2f �y� � 0

f �y� � 2(12 y

2 � 1) y � 2�y � 4� � y 3 � 8

d 2d 2d

d 2 � f �y� � ( 12 y

2 � 1)2 � �y � 4�2

dxdy � s2x

d � s( 12 y 2 � 1)2 � �y � 4�2

dx � y 2�2�x, y�

d � s�x � 1�2 � �y � 4�2

�x, y��1, 4�

�1, 4�y 2 � 2x

h � 2r2r � h � 0

2h � rh � 02r � h � rh � 0

A � 0

2�rh � �r 2h � 0A � 4�r � 2�h � 2�rh

�r 2h � 100A � 2�r 2 � 2�rh

ff �c�x � cf �x� � 0x � cf �x� � 0

ff �c�x � cf �x� � 0x � cf �x� � 0

fc


x

y

0 1

1

2 3 4

¥=2x(1, 4)

(x, y)

FIGURE 6



Cozum (devamı).

Ama, (x, y) parabolun uzerindeyse x = 12y

2’dir ve d’nin ifadesi

d =

√(1

2y2 − 1

)2

+ (y − 4)2

olur (ikinci secenek, y =√2x alarak d’yi yalnızca x cinsinden ifade

edebilirdik).d’yi minimum yapmak yerine karesi olan

d2 = f(y) =

(1

2y2 − 1

)2

+ (y − 4)2

fonksiyonunu minimum yapacagız. d2’nin minimumu ile d’ninminimumunun aynı noktada meydana geldigine ama d2 ile calısmanın d ilecalısmaktan daha kolay olduguna dikkat ediniz.



Cozum (devamı).

Turev alırsak

f ′(y) = 2

(1

2y2 − 1

)y + 2(y − 4) = y3 − 8

elde ederiz. Dolayısıyla, y = 2 oldugunda f ′(y) = 0 olur.y < 2 icin f ′(y) < 0 ve y > 2 icin f ′(y) > 0 oldugunu gozlemleyiniz.Buradan mutlak uc degerler icin birinci turev testine gore mutlak minimumy = 2’de meydana gelir.(Yalnızca, problemin geometrik yapısından oturu en yakın noktanınoldugunun fakat en uzak noktanın olmadıgının acık oldugunusoyleyebilirdik.) Karsı gelen x degeri x = 1

2y2 = 2’dir.

Boylece, y2 = 2x parabolu uzerinde (1, 4) noktasına en yakın olan nokta,(2, 2) noktasıdır.



Ornek 13

r yarıcaplı bir yarıcember icine cizilebilecek en buyuk dikdortgenin alanınıbulunuz.

Cozum.

Yarıcember olarak, merkezi baslangıc noktası olan x2 + y2 = r2 cemberininust yarısını alalım. Bu durumda, yarıcemberin icine cizmek demek, Sekildegosterildigi gibi dikdortgenin iki kosesinin yarıcember uzerinde, ikikosesinin de x-ekseni uzerinde olması demektir.

EXAMPLE 5 Find the area of the largest rectangle that can be inscribed in a semicircleof radius .

SOLUTION 1 Let’s take the semicircle to be the upper half of the circle with center the origin. Then the word inscribed means that the rectangle has twovertices on the semicircle and two vertices on the -axis as shown in Figure 9.

Let be the vertex that lies in the first quadrant. Then the rectangle has sidesof lengths and , so its area is

To eliminate we use the fact that lies on the circle and so. Thus

The domain of this function is . Its derivative is

which is 0 when , that is, (since ). This value of gives a maximum value of since and . Therefore, the area of the largestinscribed rectangle is

SOLUTION 2 A simpler solution is possible if we think of using an angle as a variable.Let be the angle shown in Figure 10. Then the area of the rectangle is

We know that has a maximum value of 1 and it occurs when . Sohas a maximum value of and it occurs when .

Notice that this trigonometric solution doesn’t involve differentiation. In fact, we didn’t need to use calculus at all.

� � ��4r 2A��2� � ��2sin 2�

A�� 2r cos ��r sin �� r 2�2 sin � cos �� r 2 sin 2�

�

A� r

s2� � 2r

s2�r 2 �r 2

2� r 2

A�r� � 0A�0� � 0Axx � 0x � r�s22x 2 � r 2

A � 2sr 2 � x 2 �2x 2

sr 2 � x 2�

2�r 2 � 2x 2 �sr 2 � x 2

0 � x � r

A � 2xsr 2 � x 2

y � sr 2 � x 2

x 2 � y 2 � r 2�x, y�y

A � 2xy

y2x�x, y�

x

x 2 � y 2 � r 2

r


always 23. On the basis of the evidence in your table,estimate the answer to the problem.

(b) Use calculus to solve the problem and compare withyour answer to part (a).

2. Find two numbers whose difference is 100 and whose prod-uct is a minimum.

3. Find two positive numbers whose product is 100 and whosesum is a minimum.

4. Find a positive number such that the sum of the number andits reciprocal is as small as possible.

1. Consider the following problem: Find two numbers whosesum is 23 and whose product is a maximum.(a) Make a table of values, like the following one, so that

the sum of the numbers in the first two columns is

Exercises � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4.6

First number Second number Product

1 22 222 21 423 20 60. . .. . .. . .

x

y

0

2x

(x, y)

y

_r r

FIGURE 9

Resources / Module 5/ Max and Min

/ Start of Max and Min

r

¨

r Ł ¨

r N ¨

FIGURE 10



Cozum (devamı).

(x, y) noktası birinci bolgedeki kose olsun. Bu durumda dikdortgeninkenasr uzunlukları 2x ve y’dir. Dolayısıyla, dikdortgenin alanı

A = 2xy

olur. y’yi yok etmek icin (x, y) noktasının x2 + y2 = r2 cemberi uzerindeoldugunu kullanarak y =

√r2 − x2 yazarız. Boylece,

A = 2x√r2 − x2

olur. Bu fonksiyonun tanım kumesi 0 ≤ x ≤ r’dir.



Cozum (devamı).

Turevi,

A′ = 2√r2 − x2 − 2x2√

r2 − x2=

2(r2 − 2x2)√r2 − x2

olarak bulunur ve bu turev 2x2 = r2 oldugunda 0’dır. Buradan, (x ≥ 0oldugundan) x = r√

2buluruz. A(0) = 0 ve A(r) = 0 oldugundan x’in bu

degeri A’nın maksimum degerini verir. Dolayısıyla, yarı cember icinecizilebilecek en buyuk dikdortgenin alanı

A

(r√2

)= 2

r√2

√r2 − r2

2= r2

olur.


Belirsizlik Durumlar ve L’Hopital Kuralkisi.deu.edu.tr/cem.celik/files/1009_hafta_07.pdf · 2 Bir...

Documents

Transcript of Belirsizlik Durumlar ve L’Hopital Kuralkisi.deu.edu.tr/cem.celik/files/1009_hafta_07.pdf · 2 Bir...