Beiträge zur Filtertheorie. II

Beitriige zur Filtertheorie. II Herrn Professor Dr. LEOPOLD VIETORIS gewidmet

Von JURGEN SC'CBMIDT in Berlin

(Eingegangen am 24. 3. 1953)

Da, ob es uberhaupt 80 etwas wie eine ,,Filtertheorie" gabe, Zweifel laut geworden sind, scheinen dariiber, mit welchem Bechte wir von einer solchen sprechen, einige Wort0 am Platz. Es kommt uns diese Gelegenheit zustatten, insofern sie uns in den Stand setzt, einiges iiber den Sinn der ,,Beitrage" zu sagen.

Nach allgemeinem wissenschaftlichem Sprachgebrauch ist es doch ublich, einenin sich geschlossenen Komplex von Aussagen, die alle von einem ganz bestimmten konkreten Gegenstande handeln, als eine ,,Theorie", eben die Theorie diems Gegenstandes, zu bezeichnen, dies zwar ohne Rucksicht a d Um- fang und selbstandige wissenschaftliche Bedeutung des Komplexes. I n diesem Sinne ist es also vollig legitim, wenn man beispielsweise in der Gruppentheorie von der Theorie der Gruppencharakterel), in der Zahlentheorie von der Theorie des Fuhrers2) oder aucb, wenn man in der Idealtheorie von de r Idealtheorie ganz bestimmter Ringe spricht. Und in genau diesem Sinne haben wir uns die Freiheit genommen, von der Filtertheorie zu sprechen, als von der Idealtheorie der vollstandigen atomistischen Booleschen Ringe3). Mit dieser Bezeichnungs- weise wird fur die Filtertheorie keineswegs die Bedeutung einer selbstiindigen mathematischen Disziplin beansprucht ; die Filtertheorie ist und - soweit wir when konnen - bleibt ein Instrument der mengentheoretischen Topologie. Man wird aber von keinem lnstrument befriedigende Dienste erwarten konnen, wenn man sich seiner nicht in angemessener Pflege annimmt. Und in genau diesem Sinne haben wir es unternommen, die in der Literatur verstreuten Tat- sachen iiber Filter, vermehrt um eigene Resultate, in einer abgerundeten Form unter dem Namen ,,Filterthe~rie"~) erscheinen zu lassen.

Hiernach ware es unbillig, wollte man von den bisher vorliegenden zwei , ,Beitragen" ausreichende Rechtfertigung des ganzen Unternehmens verlangen. Fur den Leser von BOURBAKIS ,,Topologie g6nt5rale''6) kann heute uber die vielseitige Verwendbarkeit des Filterbegriffs, die jenen geradezu zum integrierenden Bestandteil der mengentheoretischen Topologie werden laat, kein Zweifel

I) SPEISER, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. Berlin 1937, S. 193. a) HASSE, Vorlesungen iiber Zahlentheorie. Berlin 1960, S. 100. s, Zu dieser Auffassung siehe J. SCHMIDT [26] (von jetat ab zitiert ah ,,Beitrag I"), S. 361. 4, Den Namen ,,Filtertheorie" hat iibrigens sohon CARTAN ah Titel seiner Note [lo] 6, Siehe insbesondere die Kapitel I, 11, IX und X (BOURBAKI [S], [7], [8]).

benutzt.

198 J. Schmidt, Beitriige zur Filtertheorie. 11

mehr bestehen; auf diese und die iibrige Literatur miissen wir vorerst ver- weisen.

Hier scheint der rechte 'Ort, unverziiglich einer unserer Meinung nach vorliegenden Verpflichtung nachzukommen. Bereits 1921 - das hat sich heraus- gestellt -, vierzehn Jahre also vor G. BIRKHOFFB, sechzehn Jahre vor H. CAR- TANS erster Filternotel), hat Herr VIETORIS in seiner Dissertation von dem heute so gefeierten Begriff des Filters - genauer der Filterbasis2) -, unter dem poetischen Namen ,,Kranz" s), .wesentlichen Gebrauch gemacht. Leider hat man bis heute versiiumt, diese Erfindung zu wurdigen oder auch nur zu erwahnen; es sei daher gestattet, dieses Versaumnis mit der Zueignung dieses ,,Beitrages" wiedergutzumachen.

Die Geschichte des Filters tragt offenbar ahnliche Zuge wie die anderer menschlicher Erfindungen. Da ist der Vorlaufer, dessen Entdeckung unbeachtet bleibt, bis plotzlich, zu herangereifter Zeit, gewissermaljen die Liift mit dieser Idee triichtig, die Entdeckung gleich yon mehreren Geistern, unabhangig von- einander und in Unkenntnis des Vorlaufers, wiederholt wird. ffberzeugender konnte wohl ein Beweis fur die innere Notwendigkeit des Neuen nicht gefunden werden.

Im vorliegenden ,,Beitrag" nun entwickeln wir weitere handwerkliche Hills- miltel.

Im ersten Kapitel (8 1 bis 12) gelangen, in eben dem fur unsere ,,Beitrage" erforderlichen Umfange, gewisse Partien aus der Theorie der biniiren Relationen zur Darstellung, im wesentlichen die Theorie der Galois-Korrespondenzen ( $ 5 bis 12). Letztere wird, bei moglichster Kiirze, in einer Systematik behandelt, wie sie, trotz der Arbeiten von BIRKROFF, ORE, EVERETT, RIGVET und PICKERT 4),

bis heute in der Literatur nicht zu finden ist. Wesentlich ist hier vor allem die Einbeziehung der Galois-Korrespondenzen vom gemischten Typus ( 5 8, 9), welche, aulJer in meiner bisher unveroffentlichten Dissertations), bisher nur bei BENADO 6 ) , vorher implizite bei N6BELINa '), jedoch ohne den Zusammenhang mit binaren Relationen, aufgetreten sind.

Eine erste Anwendung finden diese Uberlegungen im zweiten Kapitel ($13 bis 22). Dort stellen wir der gelaufigsten allgemein-mengentheoretischen Relation, der des Enthaltenseins, und ihrer Inversen, der des Umfassens, eine dritte spezielle Relation, die Verzahnungsrelation ( 8 13), zur Seite ; wesentlich ist der Begriff der Verzahnung eines Mengensysterns. Indern wir diese Theorie speziell auf Filter anwenden, gelangen wir zum Regriff des Rasters (5 16), der auf CHOQ'UET *) zuriickgehen diirfte.

l) BIRKHOFF [2], CARTAN [lo], auch [ll]. Siehe ferner BIRKHOFF [3], S. 45, wo die BouRBmsche Filterbasis .- BOURBAKI [S], 1. Aufl., S. 23, 2. Aufl., s. 36 -, von geringfiigigen Abweichungeii abgesehen, unter dem Namen ,,overlapping system" auftritt.

*) Vgi. FuSn. 1.

*) BIFGKHOZB [a], S. Wff., ORE 1191, EVERETT [13], RIUUET 1211, PICKERT [20]. 6, J. SCHNIDT [23], S. 178. O) BENADO [l]. ') NOBELING pi']. Vgl. mch S.209, FuBn. 1. *) CHOQUET [12].

VIETORIS [28], 8.45. Formal liiDt VIETORIS, zum Unterschied von BOURBAEI ~ O C . cit.. auch das leere System 63 zu.

J. Schmidt, Beitriige zur Filtertheorie. I1 199

Diesem Kalkiil Leben einzuhauchen, diene die heuristische Gegenuberstel- lung ( 9 20) der nesentlichen SchluRweisen des neuen und der entsprechenden des alten Apparats der (abziihlbaren) Folgen; wir gewinhen so einen tiefen Einblick in Sinn und Notwendigkeit des Mechanismus. Hierdurch wird insbesonde re die Freiheit gerechtfertigt erscheinen, die wir uns, durch Einfiihrung der Ver- zahnungsrelation, gegeniiber CARTAN-BOURBAKI genommen haben. Es erscheint in der Tat verwunderlich, daB BOURBAKI, der dem Filter eine so wesentliche Rolle beim Aufbau seiner ,,Topologie g6n6rale" zuweist, auf die Nachbildung von SchluBweisen verzichtet, deren ZweckmiiBigkeit in der klassischen Analysis niemals in Frage gestellt worden ist; dieser Mange1 ist offenbar selbst von BOTJR- BAKI nahestehenden Autorenl) schon empfunden worden.

Durch die relationentheoretische Betrachtungsweise fallt auch auf die bereits i m ersten Beitrag dargestellte umkehrbar eindeutige Entsprechung zwischen Filtern und abgeschlossenen Mengen von Ultrafiltern 2, ein ganz neues Licht ; die zugrunde liegende binare Relation zwiechen - der Menge aller Ultrafilter - und der Potenzmenge P ( E ) liifert gleichzeitig, durch die induzierte Galois- Korrespondenz vom gemischten Typus, eine analoge Entsprechung zwischen den abgeschlossenen Teilmengen von SZ und den Rastern ( 5 22).

K a p i t e l I

Relationentheoretisehe Hilfsmittel

Q 1. Definition der Relation und ihrer Inversen

Es seien E, und E , irgendwelche Mengen. Unter einer binaren Relatioa, kurz: einer Relation, zwischen E, und E , verstehen wir eine Menge R von ge- ordnetenpaaren [zl, 333 mit xl e E , und x2 E E,, d. h. eine Teilmenge der Pro- duktmenge El x E, 3). 1st [zl, z,] € R, so sagen wir auch, z1 stehe zu 5, in der Relation R4) und schreiben dies kurz: xl Rx,, so daB also die logische Formel

(1.1) zIRz2t-+[xl, 521 E R gilt.

l) SAMUEL [22]. Vgl. auch S. 224, FuBn. 1. a) Beitrag I, S. 374, Satz 5. 3) Diese Auffassung entspricht dem heute fast allgemein akzeptierten ,,extensionalen

Charakter" der Mathematik. WHITWHEAD-RUSSELL [30], S. 211 : a relation will be under- stood in extension. Vgl. auch HAUSDORFF [16], S. 43ff., HAHN [la], S. 2ff., HAUPT-AUMANN- PAUC [15], S. 63ff. Demgegeniiber steht der von BOURBARI in beiden Auflagen von [5] ver- tretene ,,intensionale Standpunkt"; dieser ist dort meines Erachtens nur unscharf durch- gefiihrt. In jedem Palle bringt der intensionale Standpunkt sehr unbequeme, wenn nicht gar unverstiindliche Unterscheidungen mit sich, die in der Praxis des arbeitenden Mathematikers hochst iiberfliissig sind. RIGUET [21], S. 117, geht, gcgeniiber BOTJRBAEI, immerhin schon so weit, ,,pour simplifier le langage, de toujours identifier les relations avec leurs sous-ensembles repdsentatifs" !

4, HAHN [14], S. 3: von x1 zu x, beeteht die Relation R BIRKHOFF [4], S. 54: xl is in the relation R to x,; S. 209: R holds between x, and 5,. TARSKI [27l, S. 127: x2 eat en relation R avec zl (Reihenfolge!). Ebenso ORE [l9], S. 601: x8 is in the relation R to xl. ORE schreibt sogar, damit von allen ubrigen Autoren abweichend, x2 Rxl . Vgl. auch S. 201, FuBn. 3.

200 J. Schmidt, Beitriige zur Filtertheorie. I1

I n dem Spezialfalle, wo El = E , = E iat, sprechen wir auch von einer Re- lation in E. JVir nennen dann das geordnete Paar [B, R] die durch R geregelte Nenge E 1).

1st R eine Relation zwischen El und E , , so bezeichnen wir mit R-' die Menge aller geordneten Paare [Za, 341 mit [q, x ~ J E R :

(3 .2) ["a) 4 E R-' +-+ ~ a ] E Re R-' ist dann eine Relation zwischen E , und E l , die zu R inverse Relation. Aus (1.1) und (1.2) resultiert die logische Forrnel:

(3.3) XI Rx, +-+ xa R-' xl.

Q 2. R.elationcn als (mebrdeiitige) Abbildiingen *) Eine Relation R zwischen El und Ea ordnet einer beliebigen Teilrnenge MI

ron El gewisse Teilmengen von E, zu, welche durch die folgenden drei logischen Formeln definiert sind :

(2.1)

I n \Torten: R ( M l ) ist die Menge aller 22, zu denen wenigs tens e in % E MI, RIMl] die Menge aller "a(€ EB!), zu denen jedes E Ml in der Relation R steht. R)M,( schliel3lich ist die Menge aller xa(E E2!) mit der Eigemchaft, daB jedes zu 5, in der Relation stehende xl zu Ml gehijrt, oder anders ausgedruckt : die Menge aller Za, zu denen keine Elemente x1 in der Relation R stehen, es sei denn die von MI. Und wir nennen:

R(Ml) das positives), R[M,] das dude4), R)Ml( das negative

Bild der Menge Jlr, ; sofern zur Vermeidung von MiBverstandnissen notwendig, werden wir noch hinzufiigen: bei der Abbildung R. R(Ml) heil3t auch schlioht das Bild der Menge Ml.

I ) Nach einem Vorschlag von K. SCHROTER. 1st die Relation R symmetrisch, d. h. gilt R = R-I, so spricht CARATE~ODORY [el, S. 5 von einer gepaarten Menge.

a ) SCERODER [26], 8. 553: In1 weitesten Sinne des W o r h ,,Abbildnng" kann jedm biniire Relativ e als eine Abbildung hingestellt werden.

*) WHITEHEAD-RUSSELL [30], s. 293 schreibt R"Ml. HAUSDORFP [16], 8.43: die Bild- nienge von MI. Ebenso HAEN [14], S. 3, HAWPT-AVMANN-PAUO [la], S. 64; in beiden letztgenannten Werken wird jedoch R(MJ nur erkliirt, falls Ml im Definitionsbereioh (Bereich) von R enthalten ist. TARSKI [2q, 8.127: l'imagededd,, Schreibweise: R(M,). BOURBAXI [6], 5.8: l'image de M, par R, dort jedoch nur fiir auf E definierte eindeutige Funktionen (funktionale Relationen); auf S. 16 wird die Schreibweise, jedoch nicht der Name, auf beliebige Relationen R auegedehnt. Dies entspricht der echleppenden Bomsamschen Unter- scheidong zwischen relation, fonction, ensemble repdsentatif. Vgl. auch S. 199, FuBn. 3. RIOUET[~~], S. 118: coupe de premiere espbce suivant Nl.

*) BIRKEOFF[~], S. 55: t.he polar of Ml. RIGUET[~~], 5. 118: coupe de seconde esphm suivant a,. Von RIQUET haben wir auch die Schreibweise R [NJ iibernommen. 0- [l9], S. 501 verwendet, von allen tibrigen Autoren abweichend, das Zeichen R(Ml) gerade fiir das d u d e Bild.

J. Schmidt, Beitrllge zur Filtertheorie. I1 20 1

1st N, eine Teilmenge von E,, so nennen wir entsprechend:

R-I (Ma) das positive, E1[Me] das duale, R-')M,( das negative

U r b i l d der Menge M , bei der Abbildung R. W 1 ( M 2 ) heiSt auch schlicht das Urbild der Menge M,1).

Bei einelementigen Mengen {xl} stimmen das positive und dae duale Bild miteinander uberein; wir sprechen dann von dem Bild d e s Elements x1 und notieren dies kurz: R%,2). Ee gilt also die Gleichung:

(2.2) B({Xli) = RC{Xl}l = RXl*

Rxl ist nichts anderes als die Menge aller z2, zu denen x1 in der Relation R steht : (2.3) x8 E R x1 +-+ x1 R xa3).

Hieraus und aus (2.1) folgen die Gleichungen:

(2.4)

Entsprechend nennen wir das positive oder, was hier auf das gleiche hinausliiuft, das duale Urbild der einelementigen Menge { x,} kurz das Urbild d es E 1 e - m e n t s re; nach der soeben getroffenen Verabredung ist dies mit R-'z2 zu notieren. Aus (1.3) und (2.3) ergibt sich die Aquivalenz:

(2.5) x1 E R - l ~ a + - - + X , E Rx14). Im folgenden spielen nun gewisse ,,natiirliche" Relationen in einer Potenz-

menge (E) eine beherrschende Rolle. Es ist dies neben der Relation 5 des Ent- haltenseins (,,die Menge A ist enthalten in der Menge B") und der dazu inversen Relation 2 des Umfassens (,,die Menge B umfaBt die Menge A ( ( ) die folgender-

l) HAUSDORFF [19], S. 43: die Urbildmenge von N,,, Ebenso HAHN [la], S. 4, HAUPT- AUMANN-PAUC [15], S. 64; in beiden letztgenannten Werken wird R-I(Ha) jedoch nur er- klhrt, falls Ma im Wertebereich (Bildbereich, Gegenbereich) von R enthalten ist. BOIJR- BIKI [5], S. 9: l'image rhciproque de M a par R, dort zuniichst wieder nur fur funktionale Relationen; Ausdehnung des Symbols, aber nicht des Namens, auf beliebige Relationen auf S. 17.

a ) HAHN [ 141, S. 3: die Bildmerigen von 2,. BOURBAEI [5], S. 17 : coupe de R suivant 2,. Ebenso RIGUET [21], S. 117. Am weiteeten verbreitete Schreibweise: R ( q ) . Diese mu13 jedoch in einer formalisierten Mengenlehre, die keine Unterscheidung zwischen Individuen (Ur- elementen) und Mengen oder zwischen Mengen von verschiedenem Typus kennt, zu Wider- spruchen mit der Schreibweise R ( M l ) fur das Bild einer Menge Ml fuhren (vgl. HAIJS- DORFF [16], S. 43, FuDn.). BOURBAKI [5J, S. 17 fuhrt daher die Schreibweise R ( q ) auch nur ,.par abus de langage" ein. WHITEHEAD-RUSSELL [30], S. 256, schreibt R'x,. I n der Praxis kann Verwirrung wohl kaum entstehen.

3, HAUSDORFF[~~], S. 43: zl ist e i n Bild von zl. Ebenso H A H N [ ~ ~ ] , S. 3. In der No- tation von ORE [19], s. 501, lautet diese Bquivalenz za € Rx, +-+ za Rx, (vgl. auch s. 199, FuBn. 4).

+

4, HAUSDORFF[~~], S. 43: 2, ist ein Urbild von za. Ebenso HAHN [la], S. 3.

202 J. Schmidt, Bcitrage zur Filtertheorie. I1

maBen definierte Relation * des Verzahntseins: A * B, zu lesen: A ist veraahnt niit BI) - bedeute, daB der Durchschnitt A n B nichtleer ist. Dem Strdium dieser Relation, deren Bedeutung fiir die Filtertheorie bisher nicht geniigend gewiirdigt n-orden ist, ist das nachste Kapitel dieser Arbeit gewidmet. Unter Yer- wendung der aufgeziihlten drei allgemein-mengentheoretischen Relationen kiinnen n i r nun die Definitions-Aquiralenzen (2 .1) wie folgt schreiben:

(2.6) xUp E R(Ml)+-+M, * R-'x,, X , E R[M,]c--t M , C R-'x,, r2 E R ) M l ( +--+ M , 1 R-' x2.

Den Zusammenhang zwischen diesen drei Bildungen, dem positiven, detn dualeri und dem negativen Bild von M I , stellen her die folgenden DE MORGAN. schen Kegeln : - - I R ( M l ) = ~ [ X I ] = R ) S l ( , ( 2 . 7 )

Dabei geben die Querstriche die Komplementbildung an, und zwar bedeutet :

fur eine Teilmenge M I von El: f u r eine Teilmenge M , von E , : fur eine Relation R zwischen El und E,:

Zi = E, -- MI,

M , = E , - M,, = ( E , x E2) -- R.

Aus dem Zusammenhang geht stets klar hewor, welche Komplementbildung gemeint ist.

Q 3. Die von einer Relation R erzeugten Mengen-Operatoren

Die Zuordnungen M , --f R ( M , ) , Nl + RIM1] und M I 3 R ) M l ( konnen wir als eindeutige Abbildungen (Operatoren) der Potenzmenge 9 ( E l ) in die Potenz- menge p ( E , ) auffassen. Als wichtigste, ja, wie wir sogleich sehen werden, als charakteristische Eigenschaften dieser Mengen-Operatoren stellen wir die Giiltigkeit der folgenden Gleichungen, fur eine beliebige (evtl. leere) Familie

l) Nach einem Vorschlag von K. DIENER. ORE [IS], 6.579: A overlaps B, in Zeichen A a B. VIETORIS [29], S. 258: A und B schneiden einander.

) Auf Grund des involutoriechen Charakters der Komplementbildung geniigt es natiirlich, etwa die erste Zeile zu beweisen, die sich aber unmittelbar aus der Definition ergibt. Dieses Schema der DE MoRaANschen Regeln erheischt, kombinatorischer Vollstandigkeit halber, die Einfiihrung einer weiteren Bildung : - -

&(%I) = RIM1] = B ) M , ( = R I M , [ , die man als das negativ-duale Bild von Ml bezeichnen konnte. Nach bisheriger Erfahrung kommt dieee Bildung jedoch in der Praxis nicht vor; der Grund mag wohl darin zu auchen sein, daD unter den verschiedenen Bildern von MI allein daa negativ-duale von der ersten Grundmenge, E l , abhangt, wie man sofort aus der Aquivalenz

xi E RIMl[ -MI w R-l x3 + El erkennt.

J. Schmidt, Beitrage zur Filtertheorie. I T 203

( ~ y ) ) ~ ~ ~ ron Teilmengen MY' von El fevt :

R [ U M y ) ] = n R[M!,)J, t

= n~)~ ' , t ) ( . t

(3.1)

Indem wir hier auf den Fall der leeren Familie (bei der der Indexbereich T leer ist) spezialisieren, ergeben sich die Formeln

(3.2)

0, und 0, bedeuten dabei die leere Menge, aufgefaBt als Teilmenge von El bzw-. E2.

Auf Grund der Formeln (3.1) bezeichnen wir nun die drei von der Relation R erzeugten Mengen-Operatoren mit R,,, RUB und Rd6, was darauf hinweisen soll, daB Vereinigung (0) in Vereinigung bzw. Vereinigung in Durchschnitt ( 6 ) bzw. Durchschnitt in Durchschnitt ubergeht, und wir sagen auch, R,, sei ein 1-011 vereinigungstreuer, Rod ein voll vereinigungsdualer, RgB ein voll durch- schnittstreuer Operator 2). Es gilt nun der folgende, ebenso fundamentale wie evidente

Satz 1 3 ) . Die eindeutige Abbildung R --f R,, von der Henge v ( E , x E,) alley Relationen zwischen El und E , in die Nenge $3(E2)s(E1) aller eindeutigen Abbilrtm- gen V O ~ L !@(El) in !)3(E2) ist umkehrbar eindeutig; ihr Wertevorrat ist gerade die Menge aller voll vereinigungstreuen Operatoren.

Es ist klar, wie man, von einem voll vereinigungstreuen Operator w ausgehend, die erzeugende Melation R (fur die also R,, = w ist) zuruckgewinnt; man definiert : [T, , x,] E R genau dann, wenn r2 E w { xl}.

Ganz entsprechend ist naturlich die Zuordnung R -+ Rod bzw. H -+ RC6 eine umkehrbar eindeutige Abbildung \'on der Afenge aller Relationen zwischen E, und E , auf die Menge aller voll vereinigungsdualen bzw. aller voll durch- schnittstreuen eindeutigen Abbildungen von (El) in '$ (E, ) .

5 4. Ubergang zu rein ordnungstheoretiseher Betraehtungsweise Durch den Satz 1 und seine dualen Formulierungen sind die zundchst rein

lelationentheoretisch gewonnenzn Operatoren R,, , Ro6 und Rd8 ordnungs- theoretisch charakterisiert. Die Theorie der vollstandigen Verbhde gibt nun

1) Man erkennt hieraus, daB dudes wie negatives Bild imrnerhin von der Wahl der zwe i t en Grundrnenge, E, , abhiingen. Die Relativitat ist indes nur von der einfaclien Art wie die der abgeschlossenen Hulle in der mengentheoretiechen Topologie. Allein dae positive Bild ist von der Wahl beider Grundmengen, El und E, , unabhangig.

2) Kombinatorische Vollstandigkeit wurde hier die Existenz eines voll durchschnitts- dualen Operators Rd, verlangen. Einen solchen gibt es natiirlich: er entspricht dem negativ- dualen Bild fvg1. S. 202, FuBn. 2).

3) Vgl. TARSKI 1271, S. 127, Theorem 1. TARSKI nennt einen voll vereinigungstreuen Oparcttor totalernent additive.

204

ein Verfahren an, Operatoren vom ordnungstheoretischen Typus der Rag, R,, und Rda in gewisser Weise umzukehren, ihnen einen ,,konjugierten Ope- rator" zuzuordnen. Im folgenden benotigen wir von der Struktur Q, = !+3(Z1) und 6, = !+3(Ez) also nur die Tatsache, daB sie in bezug auf die Enthalten- winsrelation vollstiindig, d. h. daB sie vollstiindige Verbande l) eind. Mit anderen Worten: was wir hier an Tatsachen iiber den konkreten Fall eindeutiger Abbildungen der Potenzmenge El = $((El) in die Potenzmenge Q, = $(E,) zusammentragen, gilt mutatis mutandis auah fur eindeutige Abbildungen eines beliebigen vollstBndigen Verbandes Q, in einen beliebigen vollstandigen Ver- band 6,,).

Wir diirfen uns zunachst auf Operatoren vom Typus Ro4, d. h. auf voll vereinigungsduale Operatoren, beschrhnken; die enteprechenden Aussagen fur die Operatoren der beiden anderen Typen gewinnen wir dann einfach durch Dualisierung der Begriffe in einem von beiden Verbanden.

Schmidt, Beitrhge zur Filtertheorie. I1

8 6. Glalois-Horrespondenzen vom Hiillentypus Indee sei zunilchst ol eine vollig beliebige (eindeutige) Abbildung von %

in 6,. Wir betrachten - bei festem X, E &, - die Gesamtheit aller Losungen Ml (E G1) der Ungleichung M , 2 w1 H 1 . Diese Losungsgesamtheit kann leer, sie kann unendlich sein; das Maximum aller Lijsungen - das nicht zu existieren braucht - bezeichnen wir mit w,M, : (OFK 1) o , M , = max Ml.

w, ist zu betrachten als eindeutige Abbildung a u s 6, (d. h. als nicht notwendig aus ganz E, definierte Abbildung) in Q1. Falls wg eine Abbildung v o n Q, iet, d. h. falls w2 auf ganz 6, definiert ist, bezeiohnen wir w, ale die obere Finalk,onju- gierte vm ol auf (5,; die Zusatz ,,auf E,'' diirfen wir, sofern MiSverstandnisse aus- geschlossen sind, fortlessen. Die obige Definitionsgleichung der oberen Final- konjugierten bedeutet ausfiihrlich, daB die beiden folgenden Bedingungen erfiillt eein miissen :

Jf&lU,M,

M2 c (31%-M2 (w,w, ist extensiv), M, CWlM1 -+ Ml E W B M , .

W K 2 ) { Man sieht nun leicht, daB diese beiden Bedingungen mit den folgenden drei

aquivalent sind : (q o2 ist exteneiv),

(OFK 3) C wZW~M~ (o, ol ist extensiv), (wp ist monoton fallend).

M , c W l % M 2 1 A , 2 4 + waA2 2 In der Tat, (311) erhiilt man aus (211), wenn man in der Priiniisse olM, fur

M a einsetzt. Aua A, & B, folgt, wegen (21), A a L ~ 1 ~ 2 B , , hieraus, wegen (2II), w, B, w2 A,, also gilt ( 3 n I ) . Umgekehrt folgt aus M , w1 M,, wegen (3m), w201H1 w2M2 und hieraue, wegen &I), Hl 2 02H, , also gilt (211). ~-

l) Vgl. BIRKHOFF [4], 8. 49ff. 2) Tatahchlich gilt der Inhalt dea Paragraphen 6 in beliebig geordneten (= teilweise

geordneten) Mengen; im Paragraphen 6 jedoch wtirden gewisse Modifikationen notwendig werden.

J. Schmidt, Beitrage zur Filtertheorie. I1 205

Das Axiomensystem (OFK 3) laSt sich nun durch die Hinzunahme der Forde- rung, da13 auch wI monoton fallend sei, zu einem in w, und o2 vollig symmetrischen ergllnzen, welches nach dem soeben Erorterten darauf hinauslauft, daB wl die obere Finalkonjugierte von w2 auf El, w2 die von w1 auf 6,: (GKH 1) o12Ml = max M,, w,M, = max M I ,

kurz, daB jede der beiden Abbildungen die obere Finalkonjugierte der anderen sei. Wir bezeichnen ein geordnetes Paar [w,, w2] von Abbildungen, die in dieser Wechselbeziehung stehen, als ein Calois-Korrespondenz vow H u l l e n t y p u s zwischen Q, und Q21). Nach obiger Bemerkung liegt eine solche vor, sobald das folgende Axiomensystem erfullt ist :

Ml cua Ma M a s WL

4 c B, - f ~ , A l 2 w 1 4 (w, ist monoton fallend), A2 C B2 + w2A2 2 ~2 B2 Mi C WawiMi

(w2 ist monoton fallend), (a2 o1 ist extensiv), (w,w2 ist extensiv).

Dieses gebrauchlichste Axiomensystem ist keineswegs das kiirzeste, welches aus nur einem einzigen Axiom besteht, namlich:

(GKH 3) 3, M2 L w1Jfj f - - . ~ MI C w2M2.

Die Notwendigkeit dieses Kriteriums ist nach (OFK 2) unmittelbar klar. Um zu zeigen, daB es auch hinreicht, hat man nur, wie im Reweise der Gleich- wertigkeit von (OFK 2) und (OFK 3), in (GKH 3) einmal w,M, fur M a , zum andern w z M 2 fur M, einzusetzen: so ergibt sich der extensive Charakter der Operatoren w201 und w1w2.

Man kann (GKH 3) so interpretieren: w 2 M 2 ist eine obere Schranke der Ge- samtheit aller Losungen Ml der Ungleichung M 2 2 wl MI, m, MI umgekehrt eine obere Schranke der Gesamtheit aller Losungen M , der Ungleichung M I & w z M 2 . Aus der Gleichwertigkeit von (GKH 1) und (GKH 3) ergibt sich nun, auf Grund dieser Bemerkung, eine weitere Formulierung des gleichen Tatbestandes, die zunachst schwiicher als (GRH 1) und starker als (GBH 3) erscheint : ( G K H 4 ) 4 ) ~ l M l = U Mz, waM2= U M i .

M , go, M a M*B ui -If1

Q 6. (falois-Korrespondenzen vom Hiillentypus und voll vereinigungsduale Operatoren

Die Axiomensysteme (GKH 1) und (GKH 3 ) setzen es in Evidenz, da13 ein solches Galoissches Operatorenpaar durch jeden der beiden Partner, d. h. sozusagen durch eine Halfte vollstandig bestimmt ist. Es erhebt sich die Frage,

I ) ORE [lg]: Galois connexion. EVERETT [13]: Galois correspondence. RIQUET [21]: correspondance de Galois. BIRKHOFF [a], S. 60ff. : Galois connection. PICKERT [20]: &lois- Verbindung.

a) Praktisch bis dato das einzig gebriiuchliche Axiomensystem. Vgl. ORE [19], S. 495, EVERETT [13], S. 516, RIGUET [21], S. 152, BIRKHOFF [4], 5. 56, PICKERT [20], S. 285.

8 ) Vgl. meine Dissertation [23], S. 182. 4, Diese Charakterisierung geht zuriick auf eine Bemerkung von J. KERSTAB.

206 J. Schmidt, Beitrage zur Filtertheorie. I1

wclcho Operatown w1 (bzw. w2) der Ergiinzung zu einem solchen Paar fiihig si ntl .

Xur IJeantwortung dieser Frage gehen wir von dem folgenden, in w1 und w2 unnymmetrischcn Axiomensybtem fur Galois-Korrespondenzen vom Hiillen- typus auft:

])as ist js nichts als eine Zusammenfassung des Axiomensystems (GKH 2). I n Verscharfung der ersten und Abschwlchung der zweiten Redingung gelangen wir 7.u dem Axiomensystem:

w1 u M y ) = n w1 My’

w z M , = U M I .

(wz ist voll vereinigungsdual). 1 I t M,c,,.M1

( G K H 6) l )

Um xi1 zeigen, daB eine Galois-Korrespondenz [wl, wz] vom Hiillentypus diesen Iiedingungen geniigt, hat man nur noch zu bestiitigen, daB w1 in der Tat voll vercinigungsdual ist. Da w1 monoton fallend ist, muB nur noch die Un- gleichung

bewiesen werden. Diese ist nach (GKH 3) aber gleichbedeutend mit

n w1 ~ y ) E w1 u ~ y )

u ail) 2 w , n w1 ay, M?) C w 2 n w, ~ y )

n w1 ~ q ) w1 M?)

t t

t t d. 11.

fiir jeden Jndex to, d. h. aber, wieder nach (GHK 3), t

t

fur jeden Index to; letzteres ist aber gerade eine Grundeigenschaft des Durch- schnit ts.

Wenn umgekehrt (GKH 0) erfiillt ist, so gilt

w l w a ~ , = w l u M~ = n w 1 x l ~ ~ , . d.I,EwulM, MIC%MLI.

Eomit ist weH2 selbst auch eine, und damit die groBte Tiieung MI der Unglei- chung M 2 C w1 M l , und da ein voll vereinigungsdualer Operator w1 erst recht monoton fallend ist, ist das Axiomensystem (GRH 5 ) erfiillt.

Das zuletzt gewonnene Axiomensystem ist insofern interessant, als es nur noch eine Ikdingung fur o1 - niimlich (61) - enthiilt; (GI,) stellt, wegen der Vollstiindigkeit des Verbandes 4,, iiberhaupt keine Fordsrung mehr, sondern nur eine Definition von w, mit Hilfe von 0, dar. Demgegeniiber enthiilt das Axiomensystem (GKH 5 ) zwei Bedingungen fur wl, da ja in (511) die Existenz des in Rede atehenden Maximums gefordert wird.

Aus uneerer Bemerkung Bber das Axiomensystem (GKH 6) resultiert nun der folgende Satz, der die eingangs gestellte Frage beantwortet :

I) Zu diesem Axiomensystem siehe NOBELJHQ [17]; vgl. auch S. 2C9, Pub. 1.


Satz 21). Damit die eindeutige Abbildung o1 des vollstandigen Verbandes O;, in den vollstandigcn Verband Q, ab Partner einer Qalois-Korrespondenz vom Hullentypus, [ot , up], mischen &, und Q, aufgefapt werden konne, ist nolwendig und hinreichend, dab col voll vereinigungsdual ist. Die Zuordnung w1 + [q, we] ist eine umkehrbnr eindeutige A bbildung der Menge aller voll vereinigungsdualen Abbildungen von El in Q, auf die Menge aller Galois-Korres~ndenzen v o m Hiillen- typict$ miechen El und 6,.

Damit haben wir den AnschluB an den Paragraphen 4 hergestellt, wo wir das Problem der ordnungstheoretischen Umkehrung voll vereinigungsdualer Operatoren anschnitten.

g 7. (falois-Horrespondenzen und Galoissche Quadrupel vom Hullentypus Die bisherigen Beschreibungen der Galois-Korrespondenzen erschopfen die

allgemein moglichen Aussagen nicht, ja sie gewahren nicht einmal unmittel- baren Einblick in das Wesen der Sache: ihn gewinnen wir vielmehr auf die folgende Weise.

Zunachst bestatigt man leicht die Regeln: (7.1) o,o, w1 = w1 , w2 WIW, = a,, kurz : dreimalige Ausfuhrung gleich einmaliger ! In der Tat, aus dem extensiven Charakter der Abbildung w2w1, d. h. aus I, w, w1 (11 die identische Permuta- tion GI) ergibt sich, durch Linksmultiplikation mit dem monotonfallendenOpera- tor wl : wlwzol 2 oI. Aus 1,c wlo2 folgt andererseits, durch Rechtsmultipli- kation mit q: 'wl 2 wlwzol.

Die andere Gleichung zu beweisen, eriibrigt sich durch die Bemerkung, daB ja [ma, y] gleichfalls ein Galois-Korrespondenz vom Hullentypus, und zwar zwischen G2 und @, ist.

Nun definieren wir vier Operatoren pl, p,, ql, qz folgendermaBen:

$0, = w, wl, p2 =-: w1c02, { qi = Einschrankung von mi auf yi(Qi) ( i = 1, 2). tu 1)

Dieser cbergang von der Galois-Korrespondenz Lol, w,] zu dem geordneten Quadrupel [pl, pz, ql, q,] laBt sich riickgangig machen durch die Formeln:

das ist ja offenbar niahts anderes als (7.1) in neuer Schreibung. Am (7.1) ergibt sich nun unmittelbar, daB die Operatoren p'( idempotent

sind, d. h. der Gleichung p: = pi genugen. Da sie andererseits extensiv und, als Produkte zweier monoton fallender Operatoren, monoton wachsend sind, so sind q1 und pS Hullenoperat~ren~) in 6, bzw. 6,.

Hierdurch wird der Zusatz ,,vom Hiillentypus"s) gerechtfertigt, durch den wir die bislang betrachteten Galois-Korrespondenzen von anderen, von dualem Typus, unterscheiden.

(0 2) w( = qipi (i =: 1 , 2 ) ;

I ) PICKEBT [20], S. 287. 2, J. SCIIMIDT [24], S. 165f. ORE [19], S. 494: closure operation, S. 495: closiire relation.

EVERETT [U]: closure operator. RIGWET [21], S. 149: C fermeture, BIR~ROFF [4], 6.49: losure operation.

a) Nach einem Vorschlag von K. KRICREBERO.

208 J. Schmidt, Beitrilge zur Filtertheorie. I1

Fur die zu den Operatoren p1 und pa gehorigen Hiillensystemel), d. h. fur die Wertevorrate ql(Gl) und cp1(G2) gilt ubrigens, auf Grund von (7.1):

(7.2) cpl(W = w2(@2)1 p2((52) = q(Q,). In der Tat ist ja, wegen o1 (&) Qz, p1(q) = w2 ol (6,) c w2( E2). Wegen

Die Kennzeichnung der abgeschZossenen, d. h. der zu den Hiillensystemen co,(Q,) C. &, ist andererseits aber ~ ~ ( ( 5 ~ ) = ~ , w ~ w , ( 6 ~ ) = p,o,(Q,) 5, ~ ~ ( 6 ~ ) .

q1 ( Q1) und y2( (8,) gehorigen Mengen, darf als das

Hauptproblem einer Galois-Korrespondenz 2)

angesprochen werden; die Losung dieses Problems stol3t im Einzelfalle auf fast unuberwindliche Schwierigkeiten. Allgemein 1a13t sich nur so vie1 sagen: damit eine gewisse Menge MI E $ (im Sinne von ql) abgeschlossen sei, ist, a d Grund der ldempotenz von pl, notwendig und hinreichend, daB Ml Fixpunkt von p,, d. h. daB p1 Ml = MI , oder, was wegen des extensiven Charakters von ql schon ausreicht, daR qlMl 2 M I ist. Wegen (7.2) lauft die Abgeschlossenheit von Ml auf die Existenz einer Menge M, hinaus, fur die w,M2 = MI gilt.

Das Hullensystem p, (&) bildet ubrigens - so war es ja in (ti 1 ) festgesetxt - gerade den Definitionsbereich des eingeschriinkten Operators r), . Aus (7.2) ist aber zu erkennen, da13 den genauen Wertevorrat von q1 gerade das Hullen. system p2 ( B2) darstellt, gilt doch r), p1 (6,) = o1 ( El) = pz ( 6 2 ) .

Hiernach ist, uber das zuletzt angegebene Abgeschlossenheits-Kriterium hi naus, die Abgeschlossenheit einer Menge N, gleichwertig der Existenz einer abgeschlossenen Menge M 2 (d. h. einer Menge M , E p2(E2) = wl(EJ), fur die to,M2 = q2M2 = M I ist.

Man sieht nun leicht, daR 11, umkehrbar eindeutig und qZ gerade die 'C'mkeh- rungvonq,ist; dennfiir abgeschlossenesN1gilt jaqaql M1=w2w1M1==p1M,=M,.

Beriicksichtigt man noch, da13 ql und q2 monoton fallend sind, so konnen wir die Eigenschaften der aus einer Galois-Korrespondenz vom Hiillentypus, [w, , w2], verrniige (E 1) abgeleiteten Operatoren pl, pz, ql, q2 wie folgt zusammenfassen: ql und q, sind Hullenoperatoren in Q, bzw. E2, ql ist ein Anti-Isomorphismus zwischen den Hiillensystemen p1 (6,) und q2( Q2) , mit der Umkehrung q23) .

Ein geordnetes Quadrupel [p,, p2, ql, q,] mit diesen Eigenschaften wollen wir als c:p Galoimches Quadrupel vom Hii l lentyps bezeichnen. Liegt ein solches vor, so bilden umgekehrt die durch ( u 2 ) definierten Operatoren wl und 0, eine Galois-Korrespondenz vom Hiillentypus, und es gelten die Formeln (0 1).

I n der Tat gilt ja, wegenrl,(&J = c p ~ ( ( 5 ~ ) ~ ~ Z ~ , = V Z V ~ V ~ ~ ~ I = ~ ) Z V I Y ~ = 'PI, und entsprechend wlw2 = pz. Somit sind insbesondere w2wl und wlw2 extensiv. Da w1 und w2, als Produkte je eines monoton wacbenden utld eines monoton fallenden Operators, monoton fallend sind, so ist das Axiomensystem (GKH 2) erfiillt : [a,, w3] ist eine Galois-Korrespondenz vom Hullentypus. SchlieRlich ist qi die Einschrankung von oi auf das Hiillensystem (pi( ei) ; denn fur abgeschlos- senes M , gilt ja wiMi= qipiM,, =q$Mi, und qi war gerade auf vr(Ei) definiert.

l ) Vgl. J. SCHMIDT [24], S. 165f. a) Der sogenannte Hauptsatz der Geloisschen Theorie und a h seine spgteren Ver-

allgemeinerungen stellen gerade die Losung dieses Hauptprobleins in bestimmten konkreten Fiillen dar.

3) Vgl. BIRKHOFF[~], S. 54E, Theorem 9; ferner ORE[^^], S. 496, Theorem 2.

J. Schmidt, Beitrage eur Filtertheorie. I1 209

Es gilt also der zusammenfassende

Satz 3. Die ~bergangsformeln (tf 1) definieren eine umkehrbar eindeutige Ab- biuung al2er Culois- Korrespondenzen vom Hiillentypus auf die aller Oaloisschen Quadrupe1 vom Hullentypus; die Umkehrung ist identisch mit der durch die tfber- gangsformeln (u 2 ) definierten AbbiEdu?zg.

AbschlieBend wollen wir bemerken, daB, wiewohl erst die Galoisschen Qua- drupe1 das betrachtete Phanomen vollkommen durchsichtig erscheinen lassen, die Galoisschen Paare (Galois-Korrespondenzen) den wohl wichtigeren Zugang darstellen.

Q 8. Galois-Korrespondenzen voin geniischten Typus Indem wir nun in dem vollstiindigen Verbande E 2 iiberall zu den dualen

Begriffsbildungen ubergehen, d. h. Enthaltensein mit Umfassen, Vereinigung mit Durchschnitt, Maximum mit Minimum vertauschen, erhalten wir ein geordnetes Paar [wl, oz], das wir als eineGalois-Korrespondenz vom g e m i s c h t e n T y p u s 1) bezeichnen und das durch das folgende Axiomensystem gekennzeich. net ist : {GKG 1) w,M, = min M 2 , 02il!f2 = max MI.

M , p OD M , . M # 3 W , . l l ,

Wir driicken dies, in Analogie zu unserer friiheren Terminologie, auch so aus: w1 ist die u n t e r e .Z+"inalkonjugierte w o n 02, o, die obere I~iit ialEoitj~igierie von to1.

Nit dieser Definition gleichwertig sind die folgenden Axiomensysteme:

A,

N , c w2 w1 HI M , 2 wlwzM,

B, 3 w1-4, & o1 Bl (wl ist monoton wachsend), B2-twzA2Cw2B2 (w2 ist monoton wachsend),

(w2 o1 ist extensiv), (wlwz ist intensiv),

M 2 2 wi MI c---+ Ml 2 o2 M,.

1 (GKG2)2)

und (GKG 3)

Man bemerkt weiter, daB w1 in diesem Falle voll vereinigungstreu, w2 voll durchschni t t s t reu is t , d. h. daB f u r beliebige Familien (M\t))t6T bzw. ( d f f ) ) r e T die Formeln

und wI u Lvy) = u o1 Mil)

w2 n 2tip = n w2 ~p t

t t gelten.

* ) Erstnialig bei BENADO [l], S. 529 unter deni Nanien connexion monotone d'esphce mixto. Vgl. aucti NOBELING [17], S. 156: die ,,regularen Homoniorphien" von N ~ R E L I N G [17] sind gerade die voll vereinigungstreuen Operatoren, die also, zusanimen mit ihren ,,Urn. kchrungen" im Sinne von NORELING, d. h. Init ihren oberen Initialkonjugierten, Galois- Korrespondenzen vom geniischten T-vpus hilden. Systematisch behandelt wurden diese GaloiR-Korrespondenzen zuerst in nieiner DisRertation [BS], S. 172 ff. Die Bezeichnung geht zuriick auf einen Vorschhg von K. KRICKEBERGI.

a) Das ist das Axiomensystem von BENADO, loc. cit. Math. Kachr. 1953, Bd. 10, H. 3/4 14


Der ffbergang zu einem Qaloisschen Quadrupel vom gemischten T y p u s , [p,, pa, q L , r ] , ] , und zuriick vollzieht sich, genau wie friiher, durch die For- meln (u 1) und 2). Wie friiher ist p1 ein Hiillenoperator in @,, p, jetzt jedoch ein Kernoperator, d. h. ein monoton wachsender, idempotenter und i n t e n - s iver Operator in G,; die Mengen des Systems p, (a,) wird man jetzt besser als offene Mengen bezeichnen. r], und r] , sind jetzt monoton wachsend ; wir sagen, ql sei ein Isomorphismus zwischen dem Hiillensystem p,(E,) und dern K e r nsystem p2 (@,) , mit der Umkehrung r] , .

Der Zusatz ,,gemischter Typus" im Gegensatz zum ,,Hullentypus" bedarf jetzt keiner Erkliirung mehr.1)

Statt nun (3, zu dualisieren, konnte man natiirlich auch die gleiche Opera- tion mit @, vornehmen, und man wiirde SO einen zu dem soeben betrachteten vollig symmetrischen Typus erhalten, bei dem einfach die Hollen von Q, und Q,, w, und w, vertauscht sind. Ohne eine neue Bezeichnung einzufiihren, konnen wir in diesem Falle also einfach sagen, das geordnete Paar [w,, wJ sei eine Galois- Korrespondenz vom gemischten Typus zwischen Q, und g1 .,)

Q 9. Galois-Korrespondenzen und Relationen Kehren wir nun zu unserem Ausgangspunkte, den binaren Relationen, zuriick,

und niitzen wir die Zusammenhange, die sich in den Satzen 1 und 2 und ihren Dualisierungen miderspiegelten! Ubrig bleibt nur noch die Frage, welchen rela- tionentheoretischen Sinn die Galoissche Umkehrung w2 etwa des von der Re- lation R erzeugten voll vereinigungsdualen Operators wl = Rod besitzt. Die Abbildung w,, in diesem Falle die obere Finalkonjugierte von wl, mu13 ja gleichfalls voll vereinigungsdual sein, und zwar transforrniert sie '$(E,) in '$(El). Man errat daher sofort, daB w, = (R-')oa, gleich dem von der inversen Rela- tion R-l erzeugten ad-Operator, ist. DaB dies tatsachlich der Fall ist, zeigt die triviale Aquivalenz : r9.1) durch die das Axiomensystem (GKH 3) realisiert wird. Unter Beriicksichtigung der Satze 1 und 2 gilt also der

Satz 4s). Die Zuordnung R + [Rod, (R-l)aa] ist eine umkehrbar eindeutige Abbildung der Menge @(El x E,) albr Relationen zwischen El und E , auf die Menge albr Qalois- Korrespondenzen vom Hullentypus zwischen den Potenz- mengen @(El) und @ (E,) .

M , s R [ q l - Jf, c R-' "23 9

l ) Ein Beispiel fiir eine Galois-Korrespondenz vom gemischten Typus:. bei festem Filter (3 bilden die Abbildungen 5 + 5 n (3 und 5 --t 5 : @ des vollstandigen Verbandes CD aller Filter in aich eine Galois-KorreRpondenz vom gemischtcn Typus. Im Falle (3 = 6 (6 charakteristischer Filter) wurde das Hauptproblem durch Bcitrrtg I, S. 370, Satz 1 peachte die Formeln (3) und (7) auf S. 363!] gelost.

4) SchlieBlich konnte man sowohl Q1 cils auch @* dualisieren und kiime so zu einer Galois- Korrespondenz vom Kern type , bei denen jede der beiden Abbildungen w1 und w, die untere Initialkonjugierte der anderen ist. Hier sind o1 und w g voll durchschnittsdual, ql und qg Kernoperatoren. Korrespondenzen von diesem Typus sind meines Wiseens bisher nicht aufgetreten. Vgl. auch S. 202, FuBn. 2, S. 203, FuSn. 2 und S. 211, FuBn. 3.

8 ) Vgl. ORE [19], S. 503, Theoreme 8, 9, 10. ORE behauptet f2llschlicherweise. die Grund- mengen El und E8 seien nicht immer abgeschlossen, im Widerspruch zu Formel (3.2). Vgl. auch EVERETT [13], S. 617, Theorem 5 und die Remerkung S. 518.

J. Schmidt, Beitrage zur Filtertheorie. h 211

Ubrigens sagt man auch, falls eine der nach (9.1) gleichwertigen Absagen M , C R [ M J oder MI 2 R-'[M,] zutrifft, d i e Menge Ml stehe zu d e r M e n g e M , in der Relation R, und schreibt dafiir auch kurz M 1 R M B 1 ) . Rei einelementigen Mengen { xl} und { x 2 } bedeutet hiernach { xl} R { x,} dasselbe wie X~ R x2 . Rntspre- chend werden wir fur { xl} R M , und MI R { x,} einfach x1 R M , und MI R X , schreiben und sagen, due Element x1 stehe zu der Menge M , , die Menge Ml stehe zu dern Element x2 in der Relation R . , )

Die duale Formulierung des Satzes 4 lautet so: die Zuordnung R -+ [R,,, ( R-l)dd] ist eine umkehrbar eindeutige Abbildung der Menge aller Relationen zwischen El und E, auf die Menge aller Galois-Korrespondenzen vom gernischten Typus zwiachen @ ( E l ) und q ( E ' 2 ) 8 ) .

Dabei lautet die (9.1) entsprechende dquivalenz :

(9.2) M , I , R ( M l ) +-+ N1 C R - ' ) M 2 ( .

8 10. Komplementoperatoren und symmetrische Relationen Mir wollen hier eines besonderen Vorkommnisses im Reiche des Galois-

Korresponderuen vom Hiillentypus gedenken. Xehmen wir an, daB die vollstandigen Verbhnde GI und einander gleich seien, El = 6, = G! Dann kann es geschehan, daB auch die beiden Partner wI und w2 einer Calois-Korre- spondenz Tom Hiillentypus in 6, d. h. zwischen 6 und Q , einander gleich sind : w, = w2 = w . Eine solche, als symnzetrisch zu bezeichnende Galois- Korrespondenz vom Hiillentypus liegt gerade dann vor, wenn eines der folgenden, aus den friiheren spezialisierten Axiomensysteme erfiillt ist :

w N , = max M , , oder

(K2)') { M C d M (w2 ist extensiv), oder schliel3lich (K 3) M , MI +-+ MI C W M , .

Mit anderen Worten: o ist die obere Finalkonjugierte von sich selbst. Wir bezeichnen o dann als einen Komplementopertltor in Q5) . Die Aussage, o sei

.If, g 0 Y, (K 1)

A C B + w A 2 w B (w ist monoton fallend),

1) Gegen die Schreibweise stehen die gleichen formalen Bedenken wie gegen die Schrei- bung R(zl) fur das Bild eines Elements q; vgl. S. 201, FuBn. 2. ORE [19], S. 502, kehrt die Reihenfolge gerade um : M , R Ml .

2) Denkt man sich die Mengen El und 1, durch die unikehrbar eindeutigen ,,kanonischen Abbildungen" zi --c (zl) und I, --c (z,) in die Potenzmengen $(El) und '$(Ee) eingebettet, 80 erscheint diese Erkliirung der Ausaage &RM, ah eine, und zwar die wichtigste, unter xahlreichen moglichen Methoden, die urspriingkhe Relation R, eine Relation zwischen den Mengen El und E,, zu einer Relation zwischen den Potensmengen $(El) und $(Bs) &us- zudehnen. Den analogen, durch die ubrigen Galois-Korrespondenzen, also etwa durch (0.2). induzierten Erweiterungen scheint keine praktische Bedeutung zuzukommen.

*) Durch einen cntsprechenden Satz ksnnten wir schliel3lich die Verbindung zwkchen biniiren Reletionen und Galois-Korrespondenzen vorn Kerntypus herstellen; vgl. 5.202, FuBn. 2, S. 203, FuBn. 2, S. 210, FuSn. 2. 9 Vgl. CARATH~ODOUY [Q], Formeln (8.3) und (8.4) auf S. 7. 6, Genauer : Komplementoperator vom Hii2lentypi?; denn aelbetverstiindlich gibt es

aiich die dualen Komplementoperatoren vom Kerntyps, bei denen [w,w] eine Gtclloie- Korrespondenz vom Kentypus - vgl. 5.210, FuSn. 2 - ist.

14"

212 J. Schmidt, BeitrPge zur Filtertheorie. I1

ein Komplementoperator, ist also damit gleichbedeutend, da13 das Paar [w , w] eine Galois-Korrespondenz vom Hullentypus ist. Nach Satz 2 sind solche Ope- ratoren voll vereinigungsdual; insbesondere gilt w 0 = E .

Den symmetrischen Galois-Korrespondenzen [(I), w ] entsprechen nun, auf Grund von Satz 3, umkehrbar eindeutig die symmetrischen Qaloisschen Qua- drupel [p, p, y ~ , y ~ ] , und zwar vermoge der ubergangsformeln:

$0 = w2,

'1 = Einschrankung von w auf p(G), und (SU 2) w = q p .

(10.1) w = wq (Letztere Forniel ist mit

gleichbedeutend.) Die dabei auftretenden Operatoren p sind eben die als Qua- drate von Komplementoperatoren w darstellbaren; solche Operatoren besitzen Paragraph 7 zufolge den Charakter von Hullenoperatoren und mogen a1s symmetrische Hiillenoperatoren bezeichnet werden. Die Operatoren q sind mit ihren Umkehrungen identische, d. h. involutorische, Anti- Automorphismenl) c k r entsprechenden Hullensysteme (10.2) q(Q) -- w ( Q ) .

Diesen Feststellungen entspricht zunachst das folgende Kriterium fur symmetrische Hullenoperatoren.

Satz 5. Damit der Hiillenoperator q~ (des vollstdndigen Verbandes Q ) als Quadrat eines Komplementoperators w darstellbar ist, ist die Existenz eines involutorischen Anti-Automorphismus r] des vollstandigen Verbandes p (4) notwendig und hinreichend.

Bezeichnen wir als einen symmetrischen Verband2) einen solchen, der einen involutorischen Anti-Automorphismus besitzt, so konnen wir diesen Satz auch einfach so formulieren: der Hullenoperator p ist dann und nur dann symmetrisch, wenn dies auf das zugehorige Hullensystem rp (Q) zutrifft.

Selbstverstandlich kann ein symmetrischer Verband mehrere involutorische Anti- Automorphismen besitzen; infolgedessen ist, bei gegebenem symmetrischem Hiillenoperator Q, , der erzeugende Komplementoperator w , sozusagen die ,, Quadratwurzel" von p, im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Obige Fest- stellungen lassen sich niimlich zusammenfassen in dem

Siatz 6 . Die lhergangsformeln (So 1) definieren eine umlcehrbnr eindeutige AbbiWung der Menge aller Komplementoperatoren w in 0: auf die Meitye alkr geordneten Paare [p> q], bestehend aus einem symmetrischen Hiillenoperator p und einem involutwischen An<ti-Automorphismus 7 des zuqehorigen Hulbts?&ems q~ ( Q) . Die Umkehrung tuird definiert durch (Su 2 ) .

1) BIRXHOFF [4], S. 4 bezeichnet dio involutorischen Anti-Automorphismen kurz als involutions.

2) Symmetrische Verbiinde sind also selbst-dual im Sinne von RIBEHOIW [4], S. 4. Von G. H I G M ~ riihrt dss Beispiel einea selbst-duden, nicht symmetrischen Verbandes von 42 Elementen her. Siehe auch BIRKHOFE [4]. S. 22, Ex. 6.


1st nun R eine symmetrische Relation in der Menge E, d. h. R = R-I, so ist Rob = (R-1)08, nach Satz 4 ist also Rob ein Komplementoperator in der Potenzmenge (5 = p ( E ) . 1st umgekehrt w ein Komplementoperator in $ ( E ) , so gibt es nach Satz 4 genau eine Relation R mit [Rob, (R-l)og] = [w , w ) , wor- aus, eben wegen der eindeutigen Bestimmtheit von R, R = R-' folgt. Wir haben also den

Satz 7 l). Die Zuordnung R+ Rob, eingeschrankt auf die Yenge aller symmetri. sehen Relationen in E , bildet diese umkekbar eindeutig auf die Menge aller Kom- polementoperatoren in der Potenzmenge $ ( E ) ab. 2,

Dieser Satz ist als ein Zusatz zu der dualen Formulierung des Satzes 1 an- zusehen.

§ 11. Diskrete Galois-Korrespondenzen und Quasi-Ordnungen An besonderen Vorkommnissen in der allgemeinen Theorie der Galois-Kor-

respondenzen interessiert uns hier noch eines; diesmal dreht es sich urn Galois- Korrespondenzen vom gemischten Typus. Wie im vorigen Paragraphen seien die Verbande (5, und 6, miteinander identisch, El = @, = Q. Wir gehen aus von folgendem

Satz 8. Die folgenden vier Atissagen iiber eine Galois- Korrespondenz [w, , w2] vom gemischten T y p u s in B sind gleichwertig:

1. o, ist ein Hullenoperatm in G, 2 . w2 ist ein Kernoperator in Q, 3. o1 = w2w1, 4. w2 = W1W2.

Reweis. 1 3 4: Bezeichnen wir die identische Permutation von 01 mit 1 , so ist voraussetzungsgemafl 1 2 w, = a$. Nach $8 (GKG 2) ist ferner 1 2 w2 0,. Somit haben wir, unter Berucksichtigung von (7.1):

w2 == l w 2 ~ w 1 w 2 = 1(w1w2)~ (w2w1) (w1w2) = w2w;w2 = w2w1o2*= w2.

-i 3 2: nach $ 8 trivial. 2 + 3 : dual zu 1 + 4 . 3 + l : dual zu 4 4 2 .

Eine solche Galois-Korrespondenz bezeichnen wir, aus alsbald zutage treten- den Grunden, als diskret.

1st nun [wl , w2] eine diskrete Galois-Korrespondenz und [p, , v2, ql, qa] das zugehorige Galoissche Quadrupel, so besagen die beiden letzten Kriterien gerade, daB (11.1) P6 = mi ( i = 1,2)

') vg1. C-RATHfiODORY [9], 8 14. 2) Ein Beispiel fur einen Komplementoperator in einem vollstandigen Verbande : die

Abbildnng 8-+ 8 : 8 (bei festem Filter 8) des Verbandee 0 aller Filter in sich. Im Falle 5 = % (W Nullfilter) wurde das Hauptproblem duroh das Korolltlr 4 zu Satz 4, Beitrag I, 6. 366 gelost. Nach Beitrag I, S. 364, Satz 2 la& sich dieser Kornplementoperator auf natiir!iche Weise zu einem Komplementoperator Em -+ 5 : Dl der ganzcn Potenzmenge !$ ( p ( E ) ) erweitern; die erzeugende symmetrische Relation R, eine Relation in !$(E) , ist definiert durch

[ A , B ] E R - A u R E 5.


ist. Man merke sich also die Regell): besitzt wl den Charakter eines Hullen- operators, so gleicht wl unter den Operatoren pl und pe demjenigen, auf welchen diese Eigenschaft der allgemeinen Theorie gemail3 zutrifft; w2 gleicht dann dem anderen der beiden Operatoren p1 und pa.

Hieraus ergibt sich, auf Grund von (7.2), daB das.System w, (&) - als Werte- vorrat desHiillenoperators w, einHiillen-, d. h. ein voll durchschnittsabgeschlosse- nes System - mit dem System w, (@) - einem voll vereinigungsabgeschlossenen oder Kernsystem - ubereinstimmt. Bezeichnen wir dieses System kurzerhand mit %, so gilt also (DO 1) 9 = w1(6) = w e ( @ ) .

Aus den Grundeigenschaften eines Hiillen- bzw. Kernoperators folgt umgekehrt

Wir drucken dies einfach 80 aus: w1 ist der z u 9 gehorige Hullen-, w2 der zugehorige Kernoperators).

Aus den Grundeigenschaften von Hiillen- und Kernoperatoren ergibt sich ubrigens des weiteren, daB die Einschrankungen qi der w, auf das System 9 gleich der identischen Permutation 1% dieses Systems sind,

(11.2) V i = 1% (i = 1 , 2 ) .

Das zu der diskreten Galois-Korrespondenz [wl, w2] gehorige Galoissche Qua- drupe1 hat nach (11.1) und (11.2) also einfach die Bauart [wl, w,, l%, l ~ ] .

Nun sei umgekehrt ein System '3 gegeben, das zugleich den Charakter eines Hiillen- und eines Kernsystems besitzt; ol bzw. w, sei der durch (DO 2) definierte zugehorige Hiillen- bzw. Kernoperator. Dann ist 9 der Wertevorrat der Opera- toren w1 und w,, d. h. es gilt (DU 1). Ferner ist [w l , up;, l m , lm] ein Galoissches Quadrupel vom gemischten Typus, wegen wi = l ,wz ist also, zufolge Satz 3, [q, wgl eine Galois-Korrespondenz vom gemischten Typus, und zwar, nach Definition von w1 oder 0 2 , eine diskrete.

Wir haben also den zusammenfassenden

Satz 9. Die Zuordnung [a,, w2] 3 w I ( @) = w2( (3) bildet die Menge des diskreten Galois-Korrespondenzen [wl, w2] umkeRrbar eindeutig auf die Menge nller Systeme 9 ab, die zugbich Htlllen- und Kernsysteme sind; bei gqebenem solchen B ist [w, , w2] das geordnete Pam, bestehend am dem zugeh&igen Hiillenoperator w1 und dern zugehorigen Kernoperator w2.

Dieser Satz tritt im vorliegenden Falle der diskreten Galois-Korrespondenzen zweckmafiigerweise an die Stelle des Satzes 3. Im Grunde haben wir ja iiber Satz 3 hinaus nur noch den umkehrbr eindeutigen Ubergang von den diskreten Qalois- schen Quadrupeln [w, , w,, 19, 191 zu den Systemen 9 vollzogen.

Die Verbindung zu den binaren Relationen in einer Menge E wird nun hergestellt durch den folgenden Zusatz zu Satz 1.

l) Diese Regel ist insofern sehr niitzlich, als sie auch richtig bleibt, wenn

8, J. SCHMIDT [24], S. 166.

ein Kern- operator ist.

J. Schmicjt, Beitrtige zur Filtertheorie. I1 215

Satz 10. Die Zuordnung R + R,,, eingeschrankt auf die Menge aller Quasi- Ordnungenl), d. h. aller reflexiven, transitiven Relationen in E , bildet diese umkehrbar eindeutig auf die Menge aller voll vereinigungstreuen Hullenoperatoren in der Potenzmenge Q = P ( E ) ab.

Man hat nur noch zu zeigen, da13 R genau dann eine Quasi-Ordnung ist, wenn R,, den Charakter eines Hiillenoperators besitzt. Nun ist aber offenbar die Reflexivitat von R mit 1 R,, (1 die identische Permutation von '$(I#)), die Transivitat von R mit (R,a)2 R,, aquivalent.

Wir erhalten also den folgenden Zusatz zu Satz 4.

Satz 11. Bie Zuordnung R +- [R,,, ( R - ' ) & J , eingeschrankt auf die Menge aller Quasi-Ordnungen in E, bildet letztere umkehrbar eindeutig auf die Menge aller disheten Galois-Kowespondenzen in ($ = '$(E) ab.

Betrachtet man, bei gegebener diskreter Galois-Korrespondenz [q , ma], das in (Du 1) definierte System '3 als System der abgeschlossenen Mengen einer Topologie der Grundmenge E , so wird letztere dadurch gerade zu einem diskreten Raum2) im Sinne von ALEXANDROFF-HOPF. Satz 9 stellt also eine umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen diskreten Galois-Korrespondenzen und diskreten Topologien her, worauf sich die gewahlte Terminologie grundet. Kopp- lung der Satze 9 und 11 liefert den bekannten umkehrbar eindeutigen Zusammen- hang zwischen diskreten Topologien und Quasi-Ordnungen3).

1st R eine gewisse Quasi-Ordnung in E, SO schreibt man iiblicherweise a 2 b statt a R b . Die Mengen des Systems 9 bezeichnen wir als die aufsteigenden Mengen4). Die nufsteigende Hiille einer Menge M ist nach allem gleich ihrem positiven Bild R ( M ) , d. h. nach (2.1): gleich der Menge aller Elemente b , die durch ein Element a von M unterboten werden (a b ) ; der aufsteigende Kern ist gleich dem negativen Urbild R - l ) M ( , d. h. nach (2.6): gleich der Menge aller Elemente a mit der Eigenschaft, da13 das von a erzeugte Endintervall ( a , -+ [ = R a 4 ) ganz z u M gehort. Damit eine Menge M aufsteigend sei, ist also ( R ( M ) 2 M notwendig und hinreichend, ausfiihrlich: daB a E M und a b stets b E M nach sich zieht.

Mit diesen Bemerkungen ist das Hauptproblem fur alle diskreten Galois- Korrespondenzen gelost.

ubrigens ist mit einer Relation R auch ihre Inverse R-' eine Quasi-Ordnung, und wir nennen die im Sinne von R-l aufsteigenden Mengen die absteigenden Mengen (beziiglich R ) . Demzufolge ist R-I ( M ) die absteigende Hiille, R)M( der absteigende Kern 0071. M .

Die wichtigste Quasi-Ordnung ist die Relation des Enthaltenseins in einer Potenzmenge !@(E). Wenn wir die Aussagen dieses Paragraphen auf diesen Fall spezialisieren wollen, so haben wir nur alle Begriffe gewissermaflen urn eine Stufe heraufiudriicken : Elemente werden ersetzt durch Mengen (Teilmengen

1) BIRKHOFF [a]. S. 4f. 2) Vgl. J. SCIIMIDT [24]. S. 176. 8 ) J. SCHMIDT [a], 8.177. 4) BOURBARI [Fi], S. 34: intervalle ferm6 illimit6 droite ct d'origine a; dort jedoch

nur fur total (= einfach) geordnete Mengen.

216 J. Schmidt, Beitrhge zur Filtertheorie. I1

von E), Mengen durch Mengensysteme (Teilmengen von !# (E)), Systeme durch Mengen von Mengensystemen (Teilmengen von @ (p(E)). Wir sprechen also von aufsteigenden, von absteigenden Mengensystemen, von der aufsteigenden, der absteigenden Hiille, dem aufsteigenden, dem absteigenden Kern eines Mengen- systems 9Il. Hierbei ist zu bemerken, da13 der Begriff des aufsteigendenMengen- systems (und somit auch der der aufsteigenden Hiille eines Mengensystems) von relativem Charakter ist, ihsofern er abhangt von der Wahl der Grundmenge E; auf den dualen Begriff hingegen des absteigenden Mengensystems trifft dies keineswegs zu : er ist von absolutem Charakter.

$12. SchluBbemerkungen zum emten Kapitel Die beiden letzten Paragraphen geben pragnante Beispiele dafiir, in welchen

RichFungen die allgemeine Theorie der Galois-Korrespondenzen fortzuschreiten vermbhte.

Im umfassenderen Bereich beliebiger Verbiinde kann sie weitere besondere Vorkommnisse vom rein ordnungstheoretischen Standpunkte aus analysieren. Im engeren, zugleich wichtigeren Bereich der Potenzmengen vermag sie, durch Anfertigung eines immer umfengreicheren Lexikons, das Eigenschaften von Relationen in Eigenschaften der entsprechenden Galois-Korrespondenzen uber- setzt, zu einem integrierenden Bestandteil der Theorie der binaren Relationen zu werden.

Andererseits last sich, wie wir im folgenden sehen werden, der Zusammen- hang zwischen Relationen und Galois-Korrespondenzen auch in umgekehrter Richtung mit Erfolg ausnutzen, so etwa, indem man, bei gegebenen Mengen- Operatoren o, und 0 2 , das Vorliegen einer Galois-Korrespondenz einfach duroh Angabe der eneugenden Relation R verifiziert. Wichtiget noch scheint uns, daB wir, vermiSge unseres Kalkuls der positiven, negativen und dualen Rilder, nun imstande sind, die Geloissche Umkehrung w2 eines gegebenen Mengen- Operators w, effektiv zu konstruieren.

Unabhiingig von diesen Anwendungen md3 man es aber als daa Haupt- verdienst dieser von BIRKEOFF und ORE herriihrenden Theorie betrachten, da13 sie den Bliok geschiirft hat fur ein Phiinomen, das wahrzunehmen - urn ein Wort von BI~KEOFF zu pointiewn - urn nur die Hiiufigkeit seines Vor- kommens in der Welt rings um uns her so lange gehindert hat.

Kapi te l I1

Verzahnung, Filter, Raster Q 13. Verzahnung

I n diesem Kapitel wollen wir urn zunachst dem Studium einer ganz speziellen Relation widmen, um dann von dort aus die Briicke zu unserem eigentlichen Gegemtande, der Filtertheorie, zu schlagen. Es handelt sich um die bereits im vorigen Kapitel fluchtig eingefiihrte Relation der Verzahnung, einer Relation also in der Potenzmenge B = ?J3(E) einer beliebigen, von nun an feat vor- gegebenen Grundmenge 1, die folgendermaBen definiert war : (13.1). MI * M a c - t M i nM, + 0.


Da die Elemente des durch diese Relation geregelten Bereiches (5 Mengen sind, so wirken die von ihr erzeugten Mengenoperatoren au.f XIengen von Mengen, d. h. auf Mengemysteme. Da die Verzahnungsrelation offenbar symmetrisch ist, so interessiert uns hier nur der das duale Bild vermittelnde ad-Operator, ein Komplementoperator also, den wir als den Verxahnungsoperator bezeichnen und der jedem Mengensystem 93 eindeutig sein duales Bild, genannt die Verzahnung von 92, in Zeichen W*, zuordnet. Nach Definition des dualen Bildes gehort also die Menge Y zur Jrerzahnung !Dl* von a, wenn Y mit jeder zum System !Dl gehorenden Menge M verzahnt ist :

(13.2) Y E %R* +-+ V M ( N E 913 -+ M * Y ) .

gilt die Aquivalenz : Als Spezialfall der im AnschluB an die Formel (9.1) getroffenen Verabredung

Y E m*- Y * %; (13.3)

wir sagen, die Menge Y sei mil dem Mengensystena '93 verzahnt. Fur den allgemei- neren Fall zueier Mengensystem 93, und m, haben wir die Kettenaquivalenz:

(13.1) !D?& n: -* m1-C !D?: ++ m1 * %2;

wir sagen, das Mengensystem YJll sei mit dcm Mengensptem %, verzahnt1). Das bedeutet, daI3 jede zum System '2& gehorende Menge &Il mit jeder zum System 91, gehorenden Menge M , veraahnt ist :

(13.5) % n , * % , - v ~ , v ~ z ( M , ~ % ? l A M , E ~ ~ , + ~ l * M z ) . Der Formel (3.1) zufolge ist der Verzahnungsoperuh %t + Bt* voll ver-

einigungsdual, d. h. fur eine beliebige Familie ( 93 t ) t eT von Mengensystemen %Tit gilt die Gleichung : (13.6) (U mt)* = n 93:.

t t

Fur das leere Mengensystem D gilt also insbesondere, (3.2) entsprechend:

(13.7) D*= @.

(13.8) m*** = yJ* SchlieBlich wollen wir uns als Spezialfall von (lO.l), die Formel

notieren. Q 14. L6sung des Bauptproblems

Wir wenden uns nun dem im Paragraphen 7 formulierten Hauptproblem zu ; dic Losung ist in diesem Falle auBerordentlich einfach. Wir gehen aus von folgenden, fur ein beliebiges Mengensystem 'B giiltigen Regeln :

(14.1) u nd (14.2) in MTorten: falls die Menge A mit dem System !Dl verzahnt ist, so trifft dies auch auf jede A umfassende Menge B (2 B ) zu; es Bann nicht eintreten, daB die Menge A mit dem System 'B verzahnt und gleichzeitig ihre Komplementlir-

1) Hier emcheint die von K. DIENER vorgeschlagene Benennung iiuBerst suggestiv.

218 J. Sohmidt, Beitrage zur Filtertheorie. I1

menge 2 Element von %R ware. (14.1) ist trivial; denn aus A n H + 0 und A Bfolgt B n M $. 0. (14.2) folgt aus A a 2 = 0. Letztere RegellaBt sich auch so formulieren: (14.3) A * 9)31 --f ,T E $3; in Worten: ist die Menge A mit dem System D verzahnt, so gchort ihre Kom- plementtirmenge ;? zu dem zu YX (beziiglich der Potenzmenge (3 = % ( E ) ) koni- plementaren System f@. Umgekehrt dad man im allgemeinen nicht schlierjen; das geht hervor aus dem

Satz 1. Llamit das Mengensystem 9X aufsteigend se i , ist notwendig und hinreichend, dab aus La E % atets A * 9X Jolgt.

Beweis. Zuniichst sei YX aufsteigend, und A sei n i c h t mit !JJl verzahnt. Dann gibt es im System % eine zu A elementfremde Menge M. Wegen M C n gehort dann zu BI.

Nun gelte umgekehrt das im Satz angegebene Kriterium. Es sei A E %R und A C R. Dann ist B nicht niit A und somit nicht mit den1 System !Ill verzalint. Nach Voraussetzung gehort also B zu %TI; !IT ist also aufsteigend.

Zusammen rnit (14.2) oder (14.3) erhalten wir hieraus das

Korollar. Ist 9X ein aufsteigendes Mengensystem, so gilt, bei beliebiger MengP A, sn tweder A * %R oder 2 E 9X. Anders ausgedruckt: A * %R ist gleichbedeutend rnit

Nach diesen Vorbereitungen konnen wir nun ohne weiteres den folgenden, A€@. das Hauptproblem losenden Satz aussprechen:

Satz 2. Der Wertevorrat des Verzuhnungsoperators Sm +- B* ist gernde die Menge aller aufsteigenden Mengensysteme.

Beweis. Die Itegel (14.1) besagt geradc, daB die I7erzahnung %* eines beliebigen Mengensystems BI aufsteigend ist. Nun sei unigekehrt 9Jl aufsteigend. Dann ist, wie zu zeigen, % identisch mit der I'erzahnung seiner Ierzalinung, DJz**. Es geniigt, %It** D zu beweisen. Es sei also A E !)It**. U'cgen (14.2) kann dann die Komplementarmenge 2 nicht zu !IT* gehijren. Nach dem vorigen Satz mu13 also A selbst zu !IT gehijrcn.

Aus diesem Satz ergibt sich ohne weiteres das

Korollar 1. Die zweifache Verzahnung m* * eines beliebigen Mengens ystems !IT

Und unter Beriicksichtigung \Ton Satz 6 des vorigen Kapitels erhalten wir das

Korollar 2. Die Einschrunkung des Verzahnungsoperators 911 3 Y11* nuf den Verband aller aufstsigenden Mengens ysteme ist ein involutmischer Anti- Auto- -?norphism its dieses Verbandes.

Aus dem ersten Korollar ergibt sich nun, auf Grund der im Paragraphen 11 ausfiihrlich behandelten Deutung der aufsteigenden Hiille als des durch die Enthaltenseinsrelation vermittelten positiven Bildes, als Spezialfall von (3.1)

ist nichts nnderes a b die aufsteigende Hiilk von m.


die Formel (14.4) cu %d** = u mn:*,

t t

gultig fur eine beliebige Familie ( Y X t ) t e T ron Mengensystemen W t . I m Falle der leeren Familie erhllt man hieraus insbesondere, unter Berucksiclitigung von (13.7), (14.5) @* := 0.

An die Seite der fur beliebige Mengensysteme 9Xt giiltigen Regeln (13.6) und

Korollar 3. Fur e ine beliebige Familie ( 91t) aufsleigender Mengensysteme 91, gilt

(14.4) tritt schliel3lich das folgende

(14.6) (n Bit)* = u 91;. t t

Denn es ist ja (n?i t )* = (nn_r;*)* (nach Korollar 1)

= (Us(;)** (wegen (13.6))

= (J ?I,*** (wegen (14.4))

= u ar: (wegen (13.8)).

t t

t

t

t Yon dieser Regel ist (14.5) abermals ein Spezialfall. Dieses Korollar spiegelt nur eine selbstverstiindliche Funktionaleigenschaft

eines jeglichen .4nti-ilutomorphismus wider und erscheint somit als unmittel- bare Folgerung aus Korollar 2; man hat dabei nur zu bemerken, dafi nicht nur Durchschnitts-, sondern auch JTereinigungsbildung im Verbrtnde aller aufsteigenden Mengensysteme mit den inengentheoretischen Operationen ubereinstimmen.

0 15. Das Supplement eines Mengensystems Besonders einpriigsam werden einzelne Ergebnisse des rorigen Paragraphen,

wenn wir den Begriff des Supplements eines Mengens!jstems einfuhren. Dar- unter verstehen wir das System XJl - aller Mengen Y , deren Komplementlrmenge P = E - Y zu '92 gehort: - (15.1) Y E m- - Y E '9J.

Offenbar ist das Supplement 5YJI - nichts anderes als das positive Bild des Mengensystems 9X bei der (eindeutigen) dbbildung X --f x, und der Supplement- operator 9X -+ 3 ist ein involutorischer Automorphismus des Yerbandes T ( P ( E ) ) , d. h. es gilt

und (15.3)

nicht mit dem Komple- mentoperatorl) 9X -f a = $ ( E ) - %Q! Letzterer ist ja auch involutorisch, zum

(15.2) g=rm

Ylnz, 6 9x2 3 9Jt1 c mz. - - Man verwechsele den Supplementopera.tor m 3

l) Der spezielle Kompleiiientoperator 9X -+ % ist in der Tat ein Komplemcntoperator im Sinne des Paragraphen 10; erzeugende Relation ist die der 17erschiedenheit von Mengen.


Unterschied vom Supplementoperator aber monoton f a l l end , d. h. also ein involutorischer AD ti - Automorphismus des Verbandes '$3 ('$3 (E)) . Die beiden Operatoren sind aber vertauschbar, d. h. das Komplement des Supplements ist gleich dem Supplement des Komplements :

(15.4) (-EJ = pTIJ1).

Denn in der Tat gilt ja die Ketteniiquivalenz:

YE(~--Y€~,,,~€~t-~~Eimt-YE(~. - - Wir konnen also einfach schreiben.

Die Regel (14.3) bekommt nun die einfache Gestalt

(15.5) rn*L@. Und nach Satz 1 tritt Gleichheit dann und nur dann ein, wenn das System lrJl aufsteigend ist.

8 16. Ideale, Filter, Raster Die letxte Bemerkung konnen wir zu einer sehr bequemen Kennzeichnung

der Verzahnungen von Filtern ausnutzen. Als Ideal2) bezeichnen wir ein Mengensystem $, das darstellbar ist als

Supplement 8 eines Filters 5, oder, was wegen des involutorischen Charakters des Supplementoperators dasselbe ist, ein Mengensystem 3, dessen Supplement 3 ein Filter ist. Damit dies der Fall sei, ist auf Grund der DE MonaANschen RegeG fiir Vereinigung und Durchschnitt notwendig und hinreichend das Erfulltsein der folgenden beiden, zu den Filteraxiomen dualen Bedingungen :

3 1. mit einer Menge I gehort auch jede Teilmenge J v o n I zum System 3 (d. h.

3 2. die Vereinigungsmenge U T jedes endlichen (evtl. leeren) Teilsystems S

von sgehort zu 9 (9 ist ein finit vereinigungsabgeschlossenesMengensystem). Die Forderung $ 2 impliziert, daB insbesondere die leere Menge 0, als Ver- einigungsmenge des leeren Systems D, zu 3 gehort und demzufolge 3 nichtleer ist. Beispiele fur Ideale : das charakteristische Ideal aller endlichen Teilmengen von E, die Hauptideale, der Form (0, A ) , usw.

Man kann nun auch umgekehrt als Filter die Mengensysteme 3 definieren, die als Supplemente 3 von Idealen 3 darstellbar oder, was dasselbe bedeutet, deren Supplement - 37deale sind.

Als Rasters) bezeichnen wir hingegen ein Mengensystem % , das darstellbar ist als Komplemen t 3 eines Ideals 3, oder, was dasselbe bedeutet, dessen Komplemen t % ein Ideal ist. Das ist dann und nur dann der Fall, wenn die folgenden Rasteraxiorne*) erfiillt sind :

-

9 ist ein absteigendes Mengensystem),

Te5

1) Diem Gleichung besagt nichts anderes, ds daJ3 bei der Abbildung X -+ x positives und negatives Bild miteinander identisch eind. eine Bedingung, die fur ,,ein-mehrdeutige Abbildungen auf " charakteristisch ist.

3) Vgl. etwa BIRKHOFF [4], S. 21. 8 ) CHOQUET [lo]: grill?. 4) Der Nachweis derAquivalenz der hier angegebenen mit den Axiomen von CHOQUET

[lo] mag dem Leser tiberlassen bleiben. Vgl. aber S. 222, FuBn. 1.

J. Schmidt, Beitrilge zur Filtertheorie. I1 22 1

% 1. mit R gehort auch jede Obermenge S (2 E ) von R zu % (%ist aufsteigend), % 2. falls die Vereinigungsmenge U T eines beliebigen endlichen (evtl. leeren)

Systems ZE zum System % gehort, 50 gibt es in ZE wenigstens eine zu % gehorende Menge T (wir sagen, % sei finit vereinigungsojfen).

Auf Grund des letzten Axioms gehort die leere Menge 0 jedenfalls n i c h t zum Raster 8.

Man kann nun umgekehrt ein Ideal definieren als ein Mengensystem 3, das darstellbar ist als Komplement eines Rasters 3, oder: dessen Komple- ment 3 ein Raster ist.

Auf Grund der SchluBbemerkung endlich im letzten Paragraphen kann man ein Raster ansprechen als ein Mengensystem W , das darstellbar ist als Verzah- nung 3* eines Filters 8, oder, was wegen des involutorischen Charakters des Ver- zahnungsoperators im Bereich der aufsteigenden Mengensysteme dasselbe ist, als ein Mengensystem %, dessen T7erzahnung %* ein Filter ist. Umgekehrt ist ein Filter ein Mengensystem 3, das darstellbar ist aIs Verzahnung W* eines Rasters 8, oder: dessen Verzahnung 8* ein Raster i d ) .

Zusammenfassend kijnnen wir also sagen :

Satz 3. Die Einschrankuung des Supplementoperators auf die Menge aller Ideale 3, 3 -+ 3 , - bildet diese umkehrbar eindeutig auf die Menge aWer Filter 5 ab ; die Umkehrung ist gerade die Einschrankung des Supplementoperators auf die Menge aller Filter 3, S + 3. - Die Einschrankuw des Komplementoperators aui die Menge alter Ideale 3, 3 3 $, bildet diese umkehrbar eindeutig auf die Menge aller Raster % ab; die Umkehrung ist gerade die Einschrankung des Kwnplement- operators a u f die Menge aller Raster W, W -> 8. Die Einschrankung des Verzah- nungsoperators au f die Menge aller Filter 3, 3 .+ %*, bildet diese umkehrbar eindeutig auf die Menge aller Raster Ilt ab; die Untkehrung ist gerade die Einschran- kung des Verzahnungsoperators auf die Menge aller Raster %, W 3 %*,

Diese I'erhaltnisse lassen sich grob veranschaulichen durch den folgenden Graphen :

T6"k

Jdeole

Rast& Verzohnungsoperotor Rfter

l ) CHOQUET [lo] nennt %*: la grille associ6e svec le filtre 8, und schreibt G@); ebemo W*: 1e filtre associ6 avec la grille W, in Zeichen J(I).


Dabei ist zu bemerken, daB sinngemaI3-sukzessive Anwendung zweier Opera- toren der Wirkung des dritten Operators gleichkommt; das beruht darauf, daB fur Filter und Raster in (15.5) das Gleichheitszeichen gilt.

Zur Illustration der dreifachen Korrespondenz zwischen Idealen, Filtern und Rastern kniipfen wir an das Reispiel des charakteristischen Filters Q wie des charakteristischen Ideals 5 aller endlichen Mengen an : ihnen entspricht der charakteristische Raster Q* = aller unendlichen Mengen.

Q 17. Hauptraster Es kann unsere Aufgabe nicht sein, die im ersten Beitrag entwickelte Arith-

metik der Filter in die duale Arithmetik der Itaster zu iibersetzen; das darf fiig- lich dem Leser iiberlassen bleiben. Einen Augenblick verweilen wir bei den Hauptrustern, als welche wir die Verzahnungen von Hauptfiltern sinngemii5 zu bezeichnen haben.

Man bemerkt, da13 das Supplement ( M , E ] des von der Menge M erzeugten Hauptfilters ( M , E ) gleich dem von der Komplementarmenge 2 erzeugten Hauptideal (0, %) - anders ausgedriickt: gleich dern System !$(%) aller Teilmengen von @ - ist : (17.1) ( M , E ) =: (0, Z) .

(Jf, El* = (0, Z) 9

Infolgedessen erhalten wir fur die Veraahnung :

(17.2)

d. h. die Verzahnung des Hauptfilters ( M , E ) ist gleich dem System aller nicht in der Komplementarmenge enthaltenen Teilmengen von E, anders ausgedruckt : gleich dem System aller mit der Menge M selbst verzahnten Mengen, will sagen: gleich der Verzahnung {M}* des nur aus der Menge M bestehenden Mengensystems { M } : (17.3) (M, E ] * = {M}*.

Das ist aber nur ein Spezialfall von (13.8); denn der von M erzeugte Haupt- filter ( M , E ) ist ja nichts anderes als die aufsteigende Hulle, d. h. also die zweifache Verzahnung des Mengensystems {M}.

Hiernach kann man die Hauptraster auch definieren als Verzahnungen von Mengensystemen der Form {a}, kurz: als Verzahnungen von Mengen M .

Speziell erhalt man aus (17.2) als Verzahnung des uneigentlichen Filters @ = p ( E ) = (0, E ) den leeren oder uneigentlichen Raster 01) (was ubrigens schon in (14.S)festgestellt wurde), als Verzahnung desNullfilters % = { E } = ( E , E ] den Raster Q - {O} aller nichtleeren Teilmengen von E .

Wir wollen noch einige weitere Charakterisierungen der Hauptraster angeben, die im folgenden von Interesse sind. Entsprechend dem bei der Formu- lierung der Rasteraxiome eingefiihrten Sprachgebrauch nennen wir ein Mengen- system 0011 vereinigungsoffen, wenn das komplementare System % voll ver- einigungsabgeschlossen ist, d. h. die Vereinigungsmenge jedes (leeren oder nichtleeren) Teilsystems 5K enthalt. Dann gilt der

1) Zum Unterschied von CHOQUET[~~] , der den leeren Raster ?3 nicht xuliifk

J. Schmidt, Beitriige zur Filt,ertheorie. I1 223

Satz 4. D i e Hauptraster sind gerade d i e aufsteigenden u n d volt verek igungs - oifenen :7lengensysteme.

Das ist, ja nicht als eine duale Form des trivialen Sat'zes, wonach die Haupt- ideale 10, 31) gerade die absteigenden, voll vereinigungsabgeschlossenen Xlengensysteine sind.

Fast ebenso unmittelbar erhiilt man den

Satz 5 . Ein Hauptraster is t gerade ein. solches aufsteigendes Mengensys t em, rlas n i c A t t r ls Ihrchschn i i t anderer aufsteigender Mengensysteme dargestellt werdeii kann.

l\'ir bemeisen den dualen Satz, da13 ein Hauptideal gerade ein solches absteigendes Alengc.nsj,stem ist, das nicht als Vereinigung anderer, oder, was auf dasselbe hinausliiuft, das niclit als Yereinigung a l l e r absteigenden echten Teil- systeme dargestellt werden kann. I n der Tat ist ein Hauptideal (0. M ) so nicht dorstellbar ; andernfalls miiljte cs ein absteigendes echtes Teilsystem 5 von (0, H ] geben, das 111 enthielte, dann wlire nber [0, M ) c 2. 1st andererseits 'ilk' ein dmtcigendes Mengensystem, das nicht 17ereinigung aller seiner echten absteigenden Teile ist., so enthiilt 93 eine Nenge M , die ihrerseits zu keinem absteigenden echtm Teil yon 9X gehiirt. Da YJl absteigend ist, ist (0, M ] %. FHnde nun hier nicht sogar Crleichlieit statt, so wfire (0, $I) ein absteigender echter Teil \-on .W, der M selbst enthiilt, im Jiiderspruch zur Wahl von M .

Der Satz 3 besagt gerade - um an Friiheres anzultniipfen - daI3 die Haupt- rastcr in der ,,Algebra" der aufsteigenden Mengensysteme gerade die Rolle der .,irreduzihlen I deale" spielenl). Ohne Berufung auf Friiheres konnen wir jecloch direkt den folgenden Satz aussprechen :

Satz 6. Ein. aufsteigendcs J Iengemys ten i ist gleich d e m Durchschnitt aller 9111 im fassenden Haicptraster ".

Das ist eine duale Form des trivialen Sntzes, wonach ein absteigendes Mengen- system gleich der Yereinigung aller darin enthaltenen Hauptideale, namlich gleich seinem abst,cigenden Kern ist.

Satz G ist' nichts als ein Spezialfall des Satzes yon RIcCol- und FUCHS, wonach jedcs . , l deal" gleich clem Durchschnitt seiner ,,irreduziblen Teiler" ist 3)- Berufung a,uf jenes auBerordentlich allgemeine Theorem erscheint indes nicht angebracht, insofern es nur niit Hilfe des iluswahlasioms bewiesen wurde.

cbrigens enthiilt. Bntz 6 einen Teil des Satzes 5: aus Satz 6 folgt niimlich abernials, daI3 jedes ,,irredu~iblc" absteigende Alengensystem ein Hauptraster sein mdJ.

$ 18. Verzahniiiig und Filt,rrarithmctik Khe wir im Stndiunl dcr Bcziehiingen z\vischcn Filtern und Rastern fortfah-

ren, wollen wir eine einfaclie fi1terarithmet.ischc Charakterisierung der T7er- zahiiungsrelation im Bereiclie der Filter angeben. Es gilt namlich der

') lTgj. J. SCIIMIDT [24]. s. 152. 2, CITOQUET [lo] forinulicrt nur den Satz, daB jedes aufsteigendc Nengensgstem Durch-

schnitt von Rastern sei. Vgl. J. SCAMIDT [24], 8. 173.


Satz 7 . Damit der Filter 8 mit dem Filier 8 verzahnt sei, &t notwendig und hinreichend, dap die Filtersumme 5 -I- 8 vom Einsfilter 3 verschieden, d . L. eigentlick istl).

5 + @ = 0 bedeutet niimlich nichts anderes, als daB die leere Menge 0 in 8 + (3 enthalten, d. h. daB 0 als Durchschnitt F n B einer Menge F des Filters 3 und einer Menge des Filters 8 darstellbar ist; das bedeutet aber gerade, daIj 5 und 8 n ich t verzahnt sind.

Dieses fur das Operieren rnit Filtern sehr bequeme Kriterium laBt sich .lit Erf olg beim Beweis der folgenden lrrundregeln verwenden : (18.1) (18.2) (18.3) -G*$;

?L * 8 A ?(2 % + B * 3, ?L, A '21, * 8-+ BI, * 5 v '21, * 5,

in Worten: wenn der Filter ?I mit dem Filter 3 verzahnt ist, so trifft dies auch auf jede Vergroberung 'x3 von 91 zu; wenn der Durchschnitt %, - 91, mit dem Filter 3 verzahnt ist, 80 trifft dies auf wenigstens einen der beiden Filter ?I, und 91, zu; der uneigentliche Filter Q ist mit keinem Filter

(18.1) 1aBt sich zwar sofort aus Satz 7 gewinnen; sinnvoller jedoch ist es, (18.1) als direkte Folge von (13.4) aufzufassen: von den Filtereigenschaften von 5 wird dabei nicht der geringste Gebrauch gemacht. Wesentliche Dienstc leistet iinser Kriterium jedoch beim Beweise von (18.2): aus $Il + 8 = '21, + 8 = Q folgt niimlich, unter. Benutzung des endlichen Distributivgesctzes der Filter- ctrithmetik, % + ?(, 91, = (3 + %,) n (% + I(, ) = E. (18.3) schlieBlich folgt, wenn man will, aus (13.4) und (14.5) auf Grund der Bemerkung, daB ein Filter 8 ja nichtleer ist.

Wir bemerken, da13 man die Regeln (18.1) und (18.2) bzw. (18.2) und (18.3) bzw. alle drei Regeln wie folgt zusamnienfassen kann:

verzahnt.

(18.1/2) n %a * 8 - 91, * 8 v '212 * 3, (18.213)

(1 8.1/2/3)

in Worten : der Durchschnitt 9L, n 812 ist mit dem Filter 8 genau dann verzahnt, wenn dies auf wenigstens einen der beiden Filter !XI und 2iz zutrifft; damit der Durchschnitt nilt der endl ichen Familie (at) mit dem Filter verzahnt sei. ist notwendig, ja sogar notwendig und hinreichend, daB dies bei wenigstens einem der Pilter '21t der Fall ist.

Was den Beweis anlangt, diirfen wir uns auf die Bemerkung beschriinken, da13 man (18.3) aus (18.2/3) durch Spezialisierung auf den Fall der leereh Familie (T = 0) erhalt: der uneigentliche Filter CS- ist ja der Durchschnitt der leeren Familie.

Ein hinreichendes Kriterium dafiir, daB die Filter 5 und @ verzahnt sind, liefert uns die Theorie des Filterquotienten, namlich:

Satz 8, 1st der Filterquotient 3 : @ von 5 verschieden, 80 sind die Filter 0 und (3 verzahnt.

s * n Y[~--, 3t,(to E T A B * u t j 8 * n 9 1 ~ --+ 3 to ( to E T A 8 *

(T endlioh),

(T endlich); t6T

t6T

1) SAMUEL [22], S. 104 nennt verzahnte Filter 8 und 8 compatible.


Das ist, unter Berucksichtigung von Satz 7, nur eine Neufassung der For- me1 (16) des Paragraphen 3 des ersten Beitrages.

Eine hubsche Anwendung ergibt sich, wenn wir fur @ den charakteristischen Filter ($ wahlen. Da13 mit diesem der Filter 8 verzahnt sei, bedeutet soviel wie, dal3 8 im charakteristischen Raster &* aller unendlichen Mengen enthalten, dal3 also jede zum Filter gehorige Menge unendlich ist. Nach dieser Bemerkung gewinnt man aus Satz 8 das

Korollar. Damit der Filter S eine endliche Menge enthalte (d. h. mit dem churak- teristischen Filter Q nicht verzahnt sei), ist notwendig und hinreichend, daa 3 ein won einer endZichen Menge M erzeugter Hauptfilter ( M , E ) ist.

Offenbar genugt es, folgendes zu zeigen: ist 8 n i c h t Hauptfilter, d. h. von seiner 'prinzipalen Hulle 8 : Q 1) verschieden, so besteht 8 nur aus unendlichen Mengen. Letzteres hiel3 ja doch, 8 sei mit CS. verzahnt. Und daB ist gerade die SchluBfolgerung von Satz 8.

Wir when nun auch, daB das Kriterium des Satzes 8 fur das Verzahntsein von Filtern keineswegs notwendig ist. Denn ein von einer unendlichen Menge M erzeugter Hauptfilter 5 = (M, E ) iet ja mit Q venahnt; gleichwohl gilt

8 19. Verzahnung zwisehen Mengen und Filtern g:c=g.

Aus (17.3) und (13.4) ergibt sich der Satz 9. Die Menge M ist mit dem Filter 3 dann und nur dann verzahnt, wenn

Mit Rucksicht auf Satz 7 erhalten wir also das Korollar. Damit die Menge M mit dem Filter 3 verzahnt sei, ist notwendig und

hinreichend, dap die Spur des Filters 8 i n der Menge M, d . h. die Filtersumnie 8 + ( M a E l , ein eigentlicher Filter ist.

Beriicksichtigen wir nun, dal3 dem Durchschnitt von Hauptfiltern - der ja wieder ein Hauptfilter ist - gerade die Vereinigung der eneugenden Mengen ent- spricht2), so konnen wir dieRegeln des vorigenparagraphen wie folgt spezialisieren: (19.1) (19.2) A, u A , * 3 3 A , * 8 V A , * 8 , (19.3) -0* 5 ; in Worten: wenn die Menge A rnit dem Filter 8 verzahnt ist, so trifft dies auf jede Obermenge B (c E ) von A ZU; wenn die Vereinigungsmenge A, u A , mit dem Filter 5 verzahnt ist, 80 trifft dies auf wenigstenieine der beiden Mengen A, und A, zu; die leere Menge 0 ist mit keinem Filter 8 verzahnt.

Fassen wir wie im vorigen Paragraphen (19.1) und (19.2) bzw. (19.2) und (19.3) bzw. alle drei Regeln zusammen, so erhalten wir ganz entsprechend:

(19.2/3) S * U At-+3t,(43 E T A S * At,,) (T endlich),

(1 9.1/2/3) S * U At.c*3t,(t , E T A % *At,,) (T endlich) ;

dies auf derk won M erzeugten Hauptfilter ( M , E ) zutrifft.

A * 3 A A L R + B* 5,

(1 9.1/2) A l v A , * 3 - A j * S V A , * 8,

IeT

1eT

l ) Beitrag I, S. 370, Satz 1. a) Beitrag I, S. 366, Formel (2). Math. Nachr. 1953. Bd. 10, H. 3/4 15


in Worten: die Vereinigungsmenge A, u A, ist genau dann mit dem Filter 8 verzahnt, wenn dies auf wenigstens eine der beiden Mengen A , und A , zutrifft; damit die Vereinigungsmenge U A t der end l i chen Mengenfamilie (A,) mit dem

Filter 8 verzahnt sei, ist notwendig, je sogar notwendig und hinreichend, daB dies auf wenigstens eine der Mengen A, zutrifft.

(19.1) besagt offenbar gerade, da13 der Raster 3* aufsteigend, (19.2/3), daD er, wie wir uns friiher ausdriickten, finit vereinigungsoffen sei. Diese beiden Eigen- schaften waren aber gerade die fur Raster charakteristischen. Unsere Regeln sind also nichts als Varianten der Rasteraxiome ; insbesondere zieht (19.1/2/3) diese zu einem einzigen zusammen.

Diesen Bemerkungen entnimmt man, dal3 die Regel (19.2/3) im allgemeinen nur fur endliche Mengenfamilien (A,) richtig sein kann: damit sie, bei festem Filter,%, fur bel iebige Familien (At) gelte, ist, auf Grundvon Satz 4, notwendig und hinreichend, daD 3 Hauptfilter ist.

Diese Feststellung ubertragt sich auf die entsprechende Regel (18.2/3) des vorigen Paragraphen; man hat sich nur noch zu uberlegen, da13, falls 8 ein Hauptfilter [ M , E ) ist, die Regel'(18.2/3), und damit sogar (18.1/2/3), fur beliebige Familien (!&) von Filtern ?It richtig ist: das ist aber, unter Be- riicksichtigung von Satz 9, nichts anderes als ein Spezialfall der Funktional- gleichung (14.6) fur aufsteigende Mengensystenie V,.

Aus der Bemerkung, da.a (18.2/3) im allgemeinen nur auf endliche Familien ( ? I t ) zutrifft, ergibt sich ubrigens, da13 in der Arithmetik der Filter ein unendliches Distributivgesetz der Form

t

3 + n %t = n (3 + 9~ t t

unmoglich gelten kann: sonst liel3e sich namlich der SchluB beim Beweise von (18.2) in entsprechend scharferer Form wiederholen.

Q 20. Filter und Folgen Unser Apparat, insbesondere der im vorigen Paragraphen enthaltene Teil,

wird sofort lebendig, wenn wir - vorbehaltlich einer spiiteren exakten Regrun- dung - die folgende - sozusagen vorlaufige - Ubersetzung in die Sprache der gewijhnlichen, abzahlbaren Folgen vornehmen.

Allgemein sage man ,,Folge" atatt ,,Filter", und man interpretiere die Aus- sage , ,M * 8'' so: ,,die Menge ikf enthalt unendlich viele Glieder der Folge 8" Dann sind die Regeln des vorigen Paragraphen so zu lesen: mit der Menge A enthalt auch jede A umfassende Menge B unendlich viele Glieder der Folge 3; wenn die Vereinigungsmenge A, A , unendlich viele Glieder der Folge enthalt, so trifft dies auf wenigstens eine der beiden Mengen A, und A, zu; die leere Menge 0 enthalt von keiner Folge 3 unendlich viele Glieder.

Neben der eben betrachteten Beziehung spielt nun in der klassischen Theorie der abzahlbaren Folgen noeh die Beziehung ,,die Menge &l enthalt fast alle Glieder der Folge 8'' eine wesentliche Rolle; ,,fast alle", d. h. ,,alle aul3er endlich vielen". Mit dieser iiblichen Erklarung des ,,fast alle" ist aber gerade die zweite Beziehung auf die zuerst betrachtete zuriickgefiihrt ; lautet doch unsere Erkla. rung ausfiihrlich so: M enthalt gerade dann fast alle Glieder der Folge M , wenn

J. Schmidt, Beitriige zur Filtertheorie. 11 227

die Konlplementarmenge @ nicht deren unendlich viele enthalt. Letzteres entspricht VerabredungsgemaB der filtertheoretischen Aussage : ,,M ist nicht verzahnt mit 8.'' Und das war ja doch, dem Korollar zu Satz 1 zufolge, gleichbedeutend mit der Aussage ,,M E 5." Demnach hiitten wir diese Aussage zu interpretieren: ,,.M enthalt fast alle Glieder der Folge s."

Den Regeln des vorigen Paragraphen, die ja nichts als die Rasteraxiome darstellen, stehen nun die folgenden dualen, die Definitionseigenschaften der Filter widerspiegelnden Regeln gegeniiber :

(20.1) A E ~ A A C B - - > B E g , (20.2)

(20.3) E E 3; A, E 8 A A , € 3 4 A, A , E 8 ,

verabredungsgemiifi nun zu lesen: rnit der hlenge A enthtilt auch jede A umfassende Menge R fast alle Glieder der Folge %; mit den Mengen A, und A , enthalt auch deren Durchschnitt A, 11 A , fast alle Glieder der Folge 3; die gauze Menge E enthalt von jeder Folge 3 fast atle Glieder. (Es ist klar, dalj wir hier nur von Folgen sprechen, deren s l m t l i c h e Glieder in E liegen, wie wir ja auch nur Filter i n E betrachten.)

Aus gegebenem AnlaB bedarf es hier doch wohl der Feststellung, daB, obschon sich jede der beiden Fundamentalbeziehungen durch die andere, etwa die Ver- zahnungs- durch die Element-Relation, ausdrucken laat, ein Verzicht auf eine von beiden aus praktischen Griinden genau so wenig angezeigt erscheint wie in der klassischen Analysis, wo man de facto beide Relationen standig benutzt.

So iiberzeugend die Nachbildung des klassischen Mechanismus bisher auch schori sein mag, noch fehlt etwas. SO ist doch die Aussage , ,M enthalt fast alle Glieder der Folge 8" eine Verschiirfung der Aussage ,,Menthalt unendlich viele". Demnach mul3te also M E 5 stets M * 5, d. h. M € %*, nach sich ziehen, mit anderen Wyorten : es miiIjte 5 %*, d. h. 8 * 3 sein, und das ist nach Satz 7 dann und nur dann der Fall, wenn der Filter 3 eigentlich ist. Wir hatten dem- gemaB fur ,,Folge" nicht ,,Filter", sondern ,,eigentlicher Filter" zu setzen. Be- schrankung auf eigentliche Filter bedeutet Hinzunahme der folgenden Regeln:

E * 5,

- 0 E 8 ; dual :

zu lesen: die ganze Menge E enthiilt unendlich viele, die leere Menge 0 hingegen nicht fast alle Glieder der Folge 5.

Aus eben den Grunden, welche uns zur Einfuhrung des unaigentlichen Filters bewogen haben - Griinden, die denen etwa entsprechen, welche zur Schaffung der uneigentlichen reellen Zahlen + 00 und - 00 gefiihrt haben -, wollen wir jetzt,, urn einer geringfiigigen Diskrepanz in den Analogien zwischen Filtern und Folgen willen, nicht wieder auf die Vorteile verzichten, welche une der uneigentliche Filter zu bieten bcheint. Spiitere Praxis wird lehren, daB die Ausschlie. fiung des uneigentlichen F i l t m da, wo sie notwendig sein sollte, fast imrner durch Aussagen der Form ,,!It * 8" oder , ,A * 3" sozusagen automatisiert, will sagen iiberfliissig gemacht werden kann.

16*


8 21. Filter, Ultrafilter, Raster Wir wollen nun der Sonderrolle gedenken, welche die Ultrafilter in der

Theorie der Verzahnung von Filtern spielen. Wir beginnen mit dern

Satz 10. Jeder Filter ist mil seiner Verzahnung 8* vergkichbar. Die eigentlichen Filter sind gerade dieienigen, die i n ihrer Verzahnung enthalten sind; der uneigentliche Filter Q ist also der einzige, der seine Verzahnung, namlich das leere System D, nls echtes Teilsystem snthalt. Die Ultrafilter schlieplich sind gerade diejenigen Fiber, die mit ihrer Verzahnung identisch sind.

Die Aussagen uber eigentliche und uber den uneigentlichen Filter fassen nur bereits beilaufig Gesagtes noch einmal zusammen. Die Aussage uber Ultrafilter ist nichts als eine Seufassung des Satzes 1 des Paragraphen 7 des ersten Bei- trages. Denn nach jenem Satz ist M E 11 gleichbedeutend mit % E a, und das ist nach dem Korollar zu Satz 1 d i e m Kapitels gleichbedeutend mit M * U , d. h. M E U*.

Die Ultrafilter sind also gerade die ,,Fixpunkte" des Verzahnungsoperators im Bereiche der Filter. Leider besitzt der Verzahnungsoperator - sofern die Grundmenge E mindestens drei Elemente enthiilt - auaerhalb des Rereiches der Filter noch weitere Fixpunkte. So greife man aus E eine endliche Teilmenge F von einer ungeraden Kardinalzahl 2n. + 1 (n = 0 , 1 ,2,. . .) heraus und betrachte das System %RF aller Teilmengen von E, die mit F rnindestens n + 1 Elemente gemein haben: stete gilt %$= %XF; aber nur im Palle n = 0 ist %IxnF ein Filter.

Mit der Charakterisierung der Ultrafilter als Fixpunkte hangt aufs engste zusammen der

Satz 11. Die Ultrafilter sind gerade die jenigen Mengensysteme, welche zuyleich Filter und Raster sind, d . h. die aufsteigenden, j init durc~schnittsabgeschloss~nen, f in i t cereinigungsoffenen Mengensysteme.

Denn nach Satz 10 ist ein Ultrafilter zugleich auch ein Raster. 1st umgekehrt 8 zugleich Filter und Raster, dann ist 5 =k 6 und somit 3 3*. Aus der Defini- tion des Rasters folgt weiter die Esistenz eines Filters Q mit 5 = Q*, und es ist dann Q = a** == S*. 0 ist also gleichfalls ein Raster und somit von E verschieden, also ist @ 2 Q*, d. h. S* 2 und somit 8 = %*, d. h. $j ist Vltra- filter, q. e. d.

Dieses Beweises hatte es eigentlich gar nicht bedurft, stellt doch vorliegender Satz nichts anderes 81s eine abermalige Seufassung des hereits zitierten Satzes (einschliefilich seines Korollars) aus dem ersten Beitrag dar.

Die Ultrafilter spielen nun - und das nird jetzt nicht weiter \-erwundern -- im Bereiche der Raster ganz die gleiche Rolle nie im Bereiche der Filter; uir konnen sie geradezu auch als Ultraraster bezeichnen. 60 gilt der

Satz 12. Die UltrafiUer sind gerade diejenigen Raster, welche nur den leeren Raster E und sich selbst, sonst 'keinen anderen Raster mehr enthalten.

Das ist das genaue Analogon zur Definition der Cltrafilter; der Beweis dieses mie der folgenden Satze beruht auf den Eigenschaften des Yerzahnungsoperators und darf dem Leser selbst uberlassen bleiben.

Wir erinnern an den Satz 4 des Paragraphen 7 des ersten Beitrages, nach dem ein Filter 3 gleich dem Durchtritt ist aller seiner C'ltraverfeinerungen, d. h.

J. Schmidt, Beitriige zur Wltertheorie. I1 229

gleich dem Durchschnitt des Systems f& aller Ultrafilter, die feiner sind als 8, d. h. aller 5 enthaltenden Ultrafilter: (21.1) 5 - nu.

Ueog Es gilt nun der entsprechende

Satz 13. Jeder Raster % ist gleich der Vereinigung seiner Ultraverfeinerungen, d . h, gleich der Vereinigung des Systems R" aller in 8 enthaltenen Ultrafilter: (21.2) % = u u .

Ue 0%

Im Umkreis der Formeln (21.1) und (21.2) interessiert der

Satz 14. Die Verzahnung %* des Filters 3 ist gleich der Vereinigungsmenge aller Ultraverfeinerungen won 3: (21.3) 5*= u u.

U E 03

Dual ist die Verzahnung %* des Rasters % gleich dem Durchschnitt aller Ultra- verfeinerungen von % : (21.4) w = n u .

u6 0' Die gegenseitige Lage von Filtern, Ultrafiltern und Rastern konnen wir grob

veranschauliohen durch den folgenden Graphen:

230 J. Schmidt, Beitriige zur Filtertheorie. 11

Q 22. Filter, Raster, Topologie dor Ultrafilter Diesc Verhaltnisse werden besonders durchsichtig, wenn man sie mit Hilfe

von Galois-Korrespondenzen deutet. n'ir gehen aus von einer Relation P zwischen 52 - der Menge aller Ultra-

filter -undderPotenzmenge !$ ( E ) ,einerRelation, diefolgendermaBendefiniert ist :

im Grunde also nichts als eine passende Einschrankung der Inversen der Element- Relation. Als Spezialfall von (2.3) hat man:

und somit, als Spezialfall von (2.4), fur eine beliebige Teilmenge r von 0:

(21.1) [U, M ] E P t - + M E 11,

(22.2) P U = u,

(22.3)

Und aus (2.6) erhalten wir, fur ein beliebiges Mengensystem W:

(22.4)

Mit anderen Worten: P-l['D] ist das, was wir im vorigen Paragraphen, im Spezialfalle eines Filters '$R = 3, mit 52%, P-')YR( das, was wir im Spezial- falle eines Rasters !!.TI = W mit a' beqeichneten: die Mengen aller Ultreverfeine- rungen von 3 bzw. W.

Wir betrachten nun die beiden aus der Relation P abgeleiteten Galois-Korre- spondenzen zwischen $(Q) und !$(!$((E)), die erste, [PsB, (P-'),a], vom Hiillen. typus, die zweite, [P,,, ( P-')aa], vom gemischten Typus. Fur diese wird das Hauptproblem gelost durch den folgenden

Satz 16. Die beziiglich der Galois-Korrespondenz [P,a, ( P:'),h] abgeschlossenen Teilmengen von 52 bzw. von !$(E) sind gerade die topologisch abgeschlossenen Mengen von Ultrafiltern bxw. die Filter. Die beziiglich der Galois- Korrespondenz [ P,,, (P-')aa] abgeschlossenen bxw. ofjenen l'eilmengen von a bzw. von '$ ( E ) sind die topologisch abgeschlossenen Mengen von Ultrnfiltern bzw. die Raster. Somit ist, bei beliebiger Teilmenge r von $2,

d. h. die Menge aller Ultraverfeinerungen des Durchschnitts gleich der Menge aller Ultraverfeinerungen der Vereinigung gleich der topologisch abgeschlosstnen Hiille c r von r. Bei beliebigem Mengensystem YX ist P [P-'[m]] d ie Filterhiille F a, P( P-I) W( ) der dazu d u d e Rasterkern R W VMZ W:

u E P-'[%J2]-m~Uu, I u E P--')W(+-+rm2U.

(22.5) P;! [~[r]] = p-l,)p(r)( = Cr,

(22.6)

Beweis. Der Durchschnitt von Ultrafiltern ist Filter, also ist der Wertevor- rat des Operators PUB in der Menge aller Filter enthalten. (21.1) besagt aber nun gerade, daB fiir einen Filter 5 stets 8 = P [P-l[s]] gilt. Mit anderen Worten: die beziiglich des '"Hullenoperators PUa ( P-l),g abgeschlossenen Mengemysteme

J. Schmidt, Beitrage zur Filtertheorie. I1 23 1

sind gerade die Filter, und es gilt demzufolge die erste Gleichung von (22.6). Entsprechend beweist man die duale Aussage.

Per definitionem sind die topologisch abgeschlossenen Mengen von Ultra- filtern die in der Form r = P-'@] - 5 Filter - darstellbaren. Da nun die Filter gerade den Wertevorrat des Operators Pod ausmachen, sind also die topologisch abgeschlossenen Mengen von Ultrafiltern gerade die bezuglich des Hiillenopera- tors ( P - ' ) u b PUB abgeschlossenen; mithin liefert dieser Operator gerade die topologisch abgeschlossene Hiille, d. h. es gilt

fur eine beliebige Menge r von Ultrafiltern. C r = P-' [~ [ r ] ]

Um schliel3lich die Gleichung P - ~ [ P [ ~ ] I = P-1 p( r ) (

zu beweisen, gehe man auf die Deutungen (22.3) und (22.4) zuruck: unsere Gleichung reduziert sich dann auf die Allgemeingultigkeit der dquivalenz

der Durchschnitt von r ist genau dann im Ultrafilter U, enthalten, wenn U, in der Vereinigung von r enthalten ist. Das ist aber trivial; denn da der Verzah- nungsoperator ein Anti-Automorphismus des Verbandes der aufsteigenden Mengensysteme ist, so ist n U 2 U, niit Uf (n U)* gleichbedeutend, und das unter Beachtung von Satz 10 sowie dem Korollar 3 zu Satz 2, mit U, 2 U U.

Damit ist der Satz vollstsndig bewiesen. Damit eine Menge r von Ultrafiltern topologisch abgeschlossen sei, ist jetzt

auch notwendig und hinreichend, daB r gerade aus allen mit einem gewissen Mengensystem ill? vergleichbaren Ultrafiltern besteht, mit anderen Worten: darj

gilt. Darj diese Bedingung nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend ist, ist klar : sind doch die Mengen P-'m] und P-')!IJl( aller !IJl enthaltenden und aller in !IJl enthaltenen Ultrafilter topologisch abgeschlossen; und die Vereinigung zweier topologisch abgeschlossener Mengen von Ultrafiltern ist, zufolge Korollar 1 zu Satz 2 von Paragraph 7 des ersten Beitrages, wieder topologisch abgeschlossen.

Die hier geschilderten Verhaltnisse lassen sich grob veranschaulichen durch den folgenden Graphen:

r = p-l [~tn] p-l)mm(

Verzuhnungsoprarator

abgedlmene Mqen von UMttern

232 J. Schmidt, Bcitrage zur Filtertheoric. I1

Dahei ist wieder zu bemerken - siehe auch unseren ersten Graphen auf S. 221 -, da13 sinngemiifi-aukzeseive Anwendung zweier Operatoren der Wir- kung des cntqwechenden dritten gleichkommt; das beruht vor allern auf Satz 14, dcsscn Formcln sich jetzt auch so schreiben lassen: fur einen beliebigen Filter 3 bzw. eincn beliebigcn ltastcr !Ji gilt

3' = P(P-"13.]), w* = P[P-')%(].

Litoratur 111 M. I ~ N A T ) O , Nouvcaux thhorbmcs de d6compoaition et d'intercalation 11 la normalit6 a.

[2] u. IhIIKlIOFF, A ncw definition of limit. Bull. Amer. math. 8oc. 41, 030 (abstract

[:I] --, Moorc-Smith cnnvrtrgcncr in general topology. Ann. Math, Princeton, 11. S. 38

[4J --, Lnttirc theory. 2. Aufl., New York 1948. [BJ N. HOUIWAKI, Th6orie des ensemblcs. Actual, sci, induotr., 1. Aufl. 846 (1939), 2. Aufl.

[GI ___ , Structuic-s topologiyucs. Structures unifornies. Actual. soi. industr., 1. Aufl.

171 - , Utilimtion dcs nonibres reels en topologic g6n6rale. Actual. sci. industr. 1045

Dl -- , E3paccs fonctionnels. Actual. sci. industr. 1084 (1949). [9] C. CARATII~~ODORY, Cepaarte Mengen, Verbande, Somenringe. Math. 2. 48, 4-26

C. r. h a d . SCI., Paris 228, 529-631 (1949).

355) (1!)06).

39- Gfi (1937).

1141 (1981).

858 (l940), 2.Aiifl. 1142 (1951).

(1948).

(1942/43). [lo1 H. CARTAN, ThBorie des filtrcs. C. r. Acad. Soi., Paris 305, 595-598 (1937). ill1 - , Filtrcs e t ultrafiltrea. C. r. Acad. Sci., Paris 205, 777-779 (1937). [I21 G . CIIOQITICT, Sur Ics notions do filtrc e t de grille. C. r. Acad. Sci., Paris 224,171-173

[13] c'. J. IhWILRTT, Closure opcrators and Galois theory in lattices. Trans. Anirr. math.

[la] H. HAIIN, Rccllc Funktionen. Erster Teil : Punktfunktionen. Leipzig 1932. [la] C. HAUIT, G . A u r n . 4 ~ ~ und Cii. PAW, Differential. und Integralrechnung. I.

[lo] It'. HAUSI)ORFF, Grundxuge der Mengenlehro. Leipzig 1914. [17] G. N ~ ~ E L I N G , 'I'opologie der Vercinc und Vcrbfinde. Arch. Math. I, 164-159 (1948). [I81 0. O m , Thcory of equivalence relations. Duke math. J. 9, 553-8827 (1942). [19] --, Galois connexions. Trans. Amor. math. Soo. 51, 493-513 (1944). [no] G. l'IcXKIcwr, ncmcrkungcn iiber Galois-Vcrbindungen. Arch. Math. 3, 285-289 (1952). [21] *J. ItI(IUE:T, Relations binairos, ferniotures, correspondnnces de Calois. Bull. SOC. math.

[22] P. SAMUEL, Ultrafiltcrs niid conipactifioation of uniform spaces. Trans. Amer. math.

[23] J. SOIIMIDT, Dic C;rundlagcn der Theorie der halbgeordneten Mengen. Diss. Berlin 1952

[24] - , lf ber die Rdle der transfiniten SchluBweiwn in eincr allgemeinen Idealtheorie.

[25] ___ , Bcitriige zur Filtcrtlieorie. I. Diese Nachr. 1, 259-378 (1952). [26] E. t%!I€R6DER, Algebra und Logilr der Relative. Erste Abteilung. Leipzig 1895. [27] A. TARSKI, Sur quclques propriBt6s caracthristiques des images d'ensembles. Ann. SOC.

[28] L. VIETORIS, tw - , Bereiche zweiter Ordnung. Monatsh. Math. Physik 32, 258-280 (1922), mit

[30] A. N. WHITEHEAD und B. RUSSELL, Principia Mathematiea. I. 1. Aufl., Cambridge 1910.

(1 947).

SOC. 55, 814-525 (1941).

2. Aufl., lkrlin 194s.

Francc 16, 114-155 (1948).

SOC. 64, 100-132 (1948).

(umvariiffriitlirlit).

Dicsc Nnchr. 7, 165-182 (1952).

Polon. Math. 6, 127-128 (1928). Stetige Mengcn. Monatsh. Math. Physik 31, 173-204 (1921).

einor Richtigstcllung Monatsh. Math. Physik 35, 103-164 (1928).

Beiträge zur Filtertheorie. II

Documents

Transcript of Beiträge zur Filtertheorie. II