Beiträge zur Filtertheorie. I

B e ~ ~ ~ g e zur ~iltertheorie. I. Von JURGEN SCHMIDT in Berlin,

(Eingegangen am 17.5.1952.)

Die vorliegencle Note sol1 eine Reihe von Beitriigen zur Theorie der Filter eroffnen, einer Theorie, welche in jiingster Zeit auch bei uns Interesse findetl), nachdem sie schon seit geraumer Zeit in den Arbeiten der BOTJRBAKI-SchUka) und anderer 3) als ~rundstein einer modernen ~onvergenz~heorie ihren P k t z behauptet. Die Entdeckung des Filterbegriffs wird im allgemeinen H. CARTAN*) zugeschrieben; wenig bekannt scheint es zu sein, daR schon zwei Jahre vor Cartans erster Veroffentlichung G. BIBKHOFE~) die Ides des Filters und der Filterkonvergenz bezessen hat.

Me gegenwartige ~eroffentlichung geht zum Teil auf Vortriige euriick.* welche an der Berliner Humboldt-UniversitiLt irn Rahmen eines seit dem Sommer- semester 1950 unter Leitung von E. SCHMIDT, K. SCEIRODER, K. SCHROTER und H. GRELL laufenden mengentheoretisch-~pologis~h~n seminar^ gehalten wurden. Ziel dieser Arbeit ist eine maglichst erschbpfende Behandlung der Theorie, allerdings, im Gegensatz zu anderen Autoreno), unter bewuRter Be- schriinkung auf die Filtertheorie in ~engenverbiinden voni Potenzmengen- typus '@(E), d. h. in vollstandigen, atomistischen Booleschen Algebren. Hies ist nun nicht iingstlich nur auf die Bediirfnisse der Konvergenztheorie gesehen worden, sondern aagestrebt, auch iiber die Aufgabe der BereitstelIung von topologischem Handwerkszeug hinaus dem als so fruchtbar erwiesenen Begriff des Filters volle Gerechtigkeit widerfahren, ihn g e w i s s ~ m a ~ e n plastisch her- vortreten zu lassen.

Diese Bemerkung bezieht sich insbesondere auf den vorliegenden ersten Teil, die A ~ ~ € ~ ~ t ~ k der ~ ~ l t ~ ~ , welche sich, analog der Idealtheorie, mit der Unter- suchung des Verbandes aller Filter in einem gegebenen Grundbereich E l , sowie mit dem Studium spezieller Typen von Filtern beschiiftigt, Neu diirfte hier sein : die E i n f ~ i r u n g des Filterquotienten (I 3), der Infra- und der hypo- und hypercharakteristischen Filter (§ 5 ) , der Isotopie von Filtern (J 6), sowie die KliCrung

1) Siehe NOBELING [lo]. ') Siehe CARTAN [6], 171, WEIL[lgf, DIEUDOBBE [S], BOURBAKI[4], 8. 20ff. u, s. 85ff.,

a) Siehe WALLMAX [15J, [lS]. 4, Siehe BOFBARI. [4], Note historique, S. 79ff., insbesondere S. 83. Diese Z u s c ~ e i b ~ g

bezieht sich auf die beiden zitierten Noten [6] und [7] von H. CARTAN aus dem Jahre 1937. s, Siehe Birkhoffs Note [l] aus dam Jahre 1935. 6 , Siehe SAMUEL [12], WALLMAN [15], [ls].

SAMUEL [12].

360 J. Schmidt, Beitriige zur Filtertheorie. I.

der Zusammenhange zwischen diesen Begriffen und denen der Hauptfilter ( Q 4) und der Ultrafilter ( Q 7).

8 1. Filter und F ~ t e r h ~ ~ e . Im folgenden betrachten wir ein fur allemal eine gewisse Menge E , die Grund-

menge, AlLMenge. Elemente von E notieren wir rnit kleinen lateinisclien Buch. staben, a, b , c , . . . , Teilmengen von E mit groRen lateinischeri Buchstaben, A , B , C, . . ,; insbesondere sei 0 die leere Menge. Mengen von Teilmengen von E , d. h. Teilinengen der Potenzmenge q ( E ) , bezeichnen wir afs ~ e n g e n s j - ~ t e ~ i i e und notieren sie mit grol3en deutschen Buchstaben, 52, %, Q , . . . ; insbesoridere werde die Potenzmenge $(E) als All-System bezeichnet und mit Q notiert, D sei das leere Mengensystem. Mengen von Mengensystemen, d. 11. Teilmengen der Potenzmenge '$@) = b( p ( E ) ) werden wir mit grofien griecliisdien Bueh- staben, A B, r, . . . , schreiben.

Ein Mengensystem fF: heiDt ein YiEter (genauer : ein Filter in E) , nenn fol- gendes gilt :

8 1. mit F gehort auch jede Obernienge G (2 E ) von F zu 3 (wir sagen, 8

8 2. der Durchsch~itt n T jedes endlichen (evtl. leeren} T e i l s ~ s t e ~ i s 2 von

8 gehort zu 8 (wir sagen, 8 sei ein finit durchschnitts-abgeschlossenes Mengensystem) .

Die Forderung 5 2 impliziert, dnI3 insbesondere die ganze Menge fl, niimlich der DL~rc~~sclinitt des leeren Systems %, zu fF: gehort und dernzufolge 8 nichtleer ist. Die Dfenge (I, aller Filter in E besitzt die Eigenschaft eines H~lensyst-en~sl) oder voll durchschnitts-abgeschlossenen Mengensystems in dem Grundbereiclh & = !$(E), d. h. der Durchschnitt n @ jedes beliebigen (et-tl. leeren) Teil-

sj-stems r von G? gehort zu f.D; insbesondere ist das All-System Q, als Durch- schnitt der leeren Nenge ton Filtern, ein Filter. Man kann also jedem beliebigen Mengensystem YX den kleinsten YX umfassenden Filter, die Fdterhfille I-on 911,

sei ein aufsteigendes Mengensystem),

T e 5

a i r

zuordnen. Der so definierte Operator F erfiillt dann die Axionie eines Hiillel?- operators2), d. h. es gilt:

1. wenn YXIE; %V2, so FYX1 C F %a (Monotonie), 2. YXE;FYX (Extensionalitiit), 3. FF%=FYX (Idempotenz).

(I> ist gerrade der ~ ~ e s t e v o r r a t dieses Operators, und %V ist Filter genau dam, wenn F 82 = 83, oder auch schon, wenn nur F lf32 5,83 ist.

Das sind alles Dinge, welche sehr leicht direkt einzwehen sind, sicli andererseits einfach durch Spezialisierung aus einer sehr allgemeinen AlgebIen. ader Idealtheorie3) herreiten. Wir geben hier zwei Interpretationen der Filter IS

l) Siehe J. SCHMIDT [13], S. 165ff. a) Siehe J. SCHMIDT [ 131, s. 166, ferner BIRKHOFF [2], s, 4% WARD [is]. 5, Die Begriffe ,,Algebra" und ,,Ideal'' im Sinne von J. SCHMIDT [13], S. 167f. h w .

S. 170f.

J. Schmidt, Beitriige zur Filtertheorie. I. 361

Idealel) im Sinne gewisser Algebrenl) an; diese sind indes fur das Verstandnie dieser Arbeit - von einer spiiter zu e r w ~ n e n d e n Stelle abgesehen - un- wesentlich. Die erste Interpretation lehnt sich unmittelbar an die Definition des Filters an, derzufolge die Filter die Ideale der Algebra [G, PI sind; dabei ist P die Menge, bestehend aus der einstelligen, unbeschriinkt ausfuhrbaren, mehr- deutigen O ~ r a t i o n z ) L, der ~eilmengenre~ation, und aus der zweistelligen, unbeschriinkt ausfuhrbaren, eindeutigen Operation 0, der Durchschnitts- bildung3). Zum zweiten kann man bekanntlich @ zu einem sogenannten Boole. schen Ring4) machen durch folgende Erklarung der ring operation en^) :

A + B = ( A n B) u (An Bj6), 0 .

(2) (3) A 0 B = A u B . Die Filter sind gerade die Ideale dieses Binges, ~ul le lement ist die Ail-Menge E , weshalb wir auch den Filter { E ) als NullfiEter bezeichnen und mit %! notieren wollen; Einselement und zugleich einzige Einheit ist die leere Menge 0, und der Filter Q = !$((E) ist das Einsideal, folgerichtig Einsfilter genannt. Wir bezeichnen im folgenden @ auch ats den ~ n e i g e n t l i c ~ n , alle ubrigen Filter ats die eigentlichen Filter.

g 2. Der Verband der Filter. Durch die Relation 2 des mengentheoretischen Enthaltenseins wird die

Menge 4i, aller Filter in E , als Teilmenge der halbgeordneten') Menge @( $(E)) , eine halbgeordnete Menge; ubrigens sagen wir, im FalIe die Filter S1 und SZ in der Relation B1 $ & stehen, & sei grober als Sa oder eine Vergroberung von &, oder, was dasselbe sagt, sei feiner a& S1 oder eine V e r f e i ~ ~ n g ~ ~ SF,, in Zeichen $J2 2 &, und im Fa116 Sl C S2 (d. h. s1 2 SZ und & =I= Sa) sagen wir, -& sei wirklich grober ah S2, oder, was auf dasselbe hinauskommt, &- sei wirklich feiner a& &, in Zeichen & 3 &.

Gegenstand der klassischen ~dealt~ieorie ist e i~ent l ic l~ nichts anderes als die Untersuchung der Struktur der halbgeordneten Menge aller Ideale, in unsererii Falle also der Menge Q aller Filter, und dieser Untersuchung wollen wir uns jetzt zuwenden.

Uber die Feststellung hinaus, daB @ li~lbgeordnet sei, bernerkt man sofort die folgende Vollstiindigkeitseigenschaft :

Sat2 I. Zu jeder Familie (&)16T von Filtern & existiert ein und nur ein f e i ~ 8 ~ ~ r Fitter %, we~cher griiber ist a h nlte gt, ~ ~ l i c ~ der ~ e n g e n ~ ~ o r e ~ i s c h e Durchschnitd

3 = n gt, tc!P

1) Siehe FuBn. 3 auf S. 360. 2) ,,Operation" im S h e von 3. 8crnX.D~ [13], s. 167. s, Die Filter sind die nichtleerren ,,dualen Ideale" im Sinne von BIREHOFF [2], S. 21. 4 ) Siehe BIRKHOFP [a], S. 153ff. 6, Ublich ist allerdings sonst die zu der hier angegebenen'duale Erkliirung

A + B = ( A A B ) v (An B) , 0

A Q B = A n B . 6 , d bedeutet die Komplementiirmenge E - A .

,,Partially ordered set" im Sinne von BIRKHOFF [2].

362 J . Schmidt, Beitrage zur Filtertheorie. 1.

und entsprechend ein und nur ein grdbster Filter G , webher feiner ist als alle &, n ~ m l i ~ h die Fi~terhul l~ der Vereinigung~enge :

Wir nennen G auch die F i ~ ~ e r ~ ~ ~ der Famitie (5t)teT, in Zeichen

1st insbesondere T = (1 , 2 , . . , , n}, so schreiben wir auch

(3) B1 + * * * + S, = f f5, u * * * w 5dAS 91s Filtersumme der leeren Familie von Filtern ergibt sic11 Ubrigens Rinnvoller- weise der Nullfilter = { E ) .

Auf Criind der in Satz 1 e n t h a l t ~ ~ e n Feststellung, welc+he in die ~l lgen~eine Theorie der Hullenbildungen hineingehort, bildet CP einen vollstiindigen Ver- band1).

Die Filtersumme liiflt sich allgemein folgendermaflen charakterisieren :

Satz 2. Die Fil~eraumme & + * - + g8 ist g~eich der Henge atler Durch- schni t te Fl n - - - n F, mit F , E 8, ( 2; = 1 , , . . , n) .

Der Beweis darf dem Leser ubsrlassen bleiben. Es ist interessant, daQ man dual den Durchschnitt & n . . n 8, der Filter S,, charakterisieren kann a19 ififenge aller ~ e ~ e i n i g ~ n g e n Fl w 9 - v F, mit F , f sv. Man merke sic11 also, dal3 die li’iltersumme %us Durchschnitten, der Durchschnitt aus Vereinigurlgen gebildet wird !

Fur beliebige Filtersummen findet man den dem Satz 2 entsprechenden

Sat2 3. Die ~ ~ ~ t e r s u ~ m e 2 & ist g~eich der ~ e n g e aller ~ r ~ h s c h n i ~ ~ e 2tm

der Form u F,, wobei F , = E auper f u r endlich viele Indizes t , und im ubrigen t eT

t e T Ft E 5t.

Hieraus zieht nisn sofort eine b e m e ~ ~ e n s ~ e r t e Folgerung :

Satz 4. Im Verbande @ aller Filter gi l t das folgende unendliche Zh’etributiv- gesetz :

Hierzu genugt es, zu zeigen, dafl die linke Seite in der rechten Seite enthatten

Korollar. Der Verband iD ist dis~r~but iv , d. h. es gelten die bedden zueinander

ist; das sber resultiert direkt aus dem vorigen Satz,

J. Schmidt, Beitriige zur Filtertheorio. I.

Q 3. Fi~terquotiefft.

363

Die bemerkenswerteste - iibrigens rein verbandstheoretische - Folgerung

Satz 1. Zu ~eaem Filter 5 and j e ~ e ~ Filter 8 gibt es genau ~ i n ~ n F i l ~ r Q

HUS Sat! 4 des vorigen Paragraphen enthalt

mit folgenden Eigenachaften : 1. CS)n % C 5, 2. ~ e n n 6n Q L 5, so - a.

Dai3 es hochstens ein solches Q geben kann, ist kbr . Man definiere nun Q als die Filtersumme aller Filter mit 0 n Sj 5. Wir bemerken, daB es ein solches 6 wirklich gibt, ~ ~ m l i c h den ~u l l f i l t e r % = {E}. Das so definjerte Q erfiillt nun Bedingung 2 des Satzes. Aber es gilt auch 1; denn nach Satz 4 des vorigen Paragraphen ist

Wir nennen Tz den Filterquotienten der Filter 5 und 0, in Zeichen 5: 8. In A b s c h ~ ~ ~ ~ h u n ~ der Definition gilt die Gieichung

Wir wolIen hier die wichtigsten Rechengesetze der . Quotientenhildung au~fii~irenl) : ( 2 ) 8L 8: 8; (3) ( g : 0 ) f i @ = ? j h @ ;

(4) 8 : 8 = @ genau dann, wenn 8 C 1 3; ( 5 ) wenn 81CSs, - so ~ l : O ~ ~ z : O ;

5 : (3 + 0) = ?j : 0; 8 : (8 - Q) = (5: @): Q;

(5: 0): 8 = 8 : 8;

8 2 8 : (5: 8); 6 : 8 = @ ; 8:@=5;

wenn ?j+ 0=@, so 3:8=3; (17) 3:%=@.

*) Die folgenden Rechengesetze finden sich z m Teil bei FUCHS [9], S. 337f. Eingehend nntersucht wird die Quotientenbildung bei WARD [ 171.

364 J. Schmidt, Beitrage zur Filtertheorie. I.

Beweise. ad (2): Denn es ist ja 8 n 8 E; 8. ad (3): Es ist (8 : 8) n 8 5 8 , also (5: W) n @ C - 3 fi (3, Naeh (2) gilt

ad(4) : 1st g : @ = Q , so ist wegen (3) @=%n8, d.11. Is tuni-

ad ( 5 ) : 3 s ist 8 n (& : CY) 2 & 2 &, daraus die Behauptung. ad (6): Wegen (5) ist nur noch zu zeigen: n (&: 8) C - (n &) : 8; das folgt

ad (7): Wegen (6j und (4) ist nLndich (5 n @) : 8 = (3: 8) n (8 : W)

ad (8): Es ist (5;: 8%) 2 ad (9) : Wegen (8) is& nur nGh zu zeigen: fi (8 :

such das Umgekehrte.

gekehrt 8 C 8, so erfullt (3 gerade die Definition von 5; : 8.

aber aus 8 n n (%$: 8) = n 8 (&: 8) 2 n &.

= (5: (33) ,-&. n (8: G2) 2 8, daraus die Behauptung.

2 55. : (2 8,) ; das folgt aber, unter Benutzung des unendfichen Distributivgesetzes, aus

ad ~0) :Wegen (9)und (4jistn~mlich 3:(5;+@)=(S: s)n(s: @ ) = ~ n ( ~ : ~ ) .

ad (1 1) : Esist doch8 n Q n (55. : (@ n Sj))Ls; daraus folgt n (8 : (W fi @))E; '3. : W , und daraus '3. : (8 n Q) C (8 : @) : @. Andererseits ist @ n ((3 : 8) : Q) C 8 : 8 und 8 n (8 : 8) C 3. Somit ist @ fi Q 0 ((8 : 8) : Q) 5 8, und hieraus folgt (3: 8): QL 3: 5 n 5).

ad (12) rSpezialfal1 von (11). ad (13) : Es ist doch (5 : 8) ad (14): Direkte Folge von (2). ad (15) : Aus (3) folgt niimlich 5 : 0: = (8 : Q ) fi Is: = 8 n @ = 3. ad (16) : Aus (10) und (15) folgt piimlich 5: 8 = 3: (8 + (3) = 3: C5 = 8. ad (17) : Direkte Folge von (4). Auf Grund der Eigense~iaften (a), (5) und (12) ist die Operation 8 --f 3 : 8 bei

festem (3 ein Hiillenoperator in der durch 2 halbgeordneten Menge aller Filter, und zwar auf Grund von (6) ein, wie wir uns kurz ausdrucken wollen, voll durchschnittstreuer Hullenoperator. Bei festeni 8 dagegen stellt die OFeration @ -+ : @ auf Grund der Eigenschaften (9) und (13) -es genugt ubrigens, (8) und (13) zu fordern, (9) ist dann beweisbar -das dar, was ich a18 einen Komplement. operator voni Hiillentypus bezeichnel). Ein solcher Operator hat insbesondere die Eigenschaft, daJ3 seine zweimalige Hintereinanderausfiihrung einen Hullen- operator bildet, und dald er mit seiner dreimaligen H i n t e ~ e i n a ~ d e r a u s f ~ ~ ~ r ~ ~ n ~ identiscli ist.

Wir bemerken, dald die oben bewiesenen Reohenregeln rein halbordnungs- theoretische Folgerungen aus den Definitionseigenschaften des Filterquotienten darstellen. Erst nachtr~glich geben wir hier die folgende explizite Deutung des Filterquotienten an :

Satz 8. Der Filterquotient 5 : @ ist gleich dem ,System 0 a& Mengen &, welche die ~ ~ g e ~ s c ~ ~ t b e ~ i ~ z e ~ , dakap bei belieb~gem c f f @ die Vere~nig~ng~~eng$ C w Q zu '3: geh6rt.

1) Anders ausgedriiokt: die Abbildung 0 -+ 8 : (Sl der halbgeordneten Nenge R in sich bildet, mit sich selbst gepaart, eine Galois-Konnexion im S h e von BIRXHOFF [21, s. 56ff.

(3 C - 8 , daraus die Behauptung.

-

J. Schmidt, Bsitr&ge zur Filtertheorie. I. 365

Beweis. Man verifiziert niuhelos, unter alleiniger Benutzung der Filter- eigenschaften von %, daR das System Q uberhaupt ein Filter ist. Nun sei M E @ n Q. Dann ist iW = M w M E 8, a1so ist 8 n Qc 8. Hieraus folgt bereits Qg 3 : 8. Nun sei @ ein Filter mit 8 n QL.5. ER sei H E €& vnd Gf @ beliebig. Dann ist G u H E 8 n S j , also w N E 3. Dies gilt fur jedes G E ($5. Also-ist H E G und somit Q C 3. Nach sllem gift Q = 8 : 8, q. e. d.

Wir beme&en, daB wir in vorstehendem Beweis von den Filtereigenschaften von @ gar keinen Gebrauch gernacht haben.

9 4. Hauptfilter und prinzipale Hiille. Komplementaritlt, Nach diesen allgemeinen Erbrterungen woIIen wir uns dem Studium spezieller

Filter zuwenden. Es ist naheliegend, zunachst solche Filter zu betrachten, welche von einer Menge M (genauer: von eicem aus nur einer Menge M be- stehenden Mengeneystem {M}) erzeugt werden, d. h, Filter vom Typus F { M } . Man sieht sofort, daR (1 F {MI = ( M , E>

ist, wobei wir allgemein niit dem Symbol ( A , B>l) das System alIer Mengen X mit A 2 X C B notieren wolIen. Fiiter der Bauart (1) bezeichnen wir als ~ a u p t - oder, IG uber ein Adjektiv zu verfugen, als ~ i n z i ~ Z e F i ~ e r . Ein solcher Filter ist auf genau eine Weise in der Form (1) darstel~bar; die erzeugende Menge M ist namlich gerade der Durchschnitt des erzeugten Hauptfilters. ~auptf i l ter sind u. a. der Nullfilter 132 = (E , E> und der Einsfilter @ = (0, E ) . Weitere Hauptfilter werden wir kennenlernen . Auf Grund der rein mengentheoretischen Identitat

gilt nun der ,'

Satz 1. Die Menge TI aller prinxipalen Filter ist ein Hullensystem in dern #rundbereich @, d. h. der Durchechnitt n 8 einer beliebigen (evtl. leeren) Menge r urn Hauptfiltem ist Haupt/ilter. r

Auf Grund dieses Satzes existiert zu jedem beliebigen Mengensystem %, insbesondere zu jedem Filter, ein kleinster % enthaltender Hauptfilter, die p r i n x ~ ~ Z e Hiilb von %.

Man bestat~gt sofort den

Satz 2. 1st % eiB ~ e l i e ~ ~ g e s ~ e n g e n s ~ s € e ~ , und D der Durc~schn~~t von %, so ist die ~ i n z i ~ k Hiilk vtm $3 gbich ( D , E ) .

Uns interessiert die Bifdung der prinzipalen HuIIe patiirlich nur im Bereichi (z, aller Filter; die prinzipale Hiille eines Filters 8 ist - in der Filtersprache - der grobste Hauptfilter, welcher feiner ist als 8, oder anders: der Durchschnitt der Menge 118 aller prinzipalen Verfeicerungen von 8. Auf Grund dessen, daI3 er aufsteigend ist, ist iibrigens der Filter 3 selbst gIeich der Vereinigungsmenge und damit gleicli der Filtersumme aller seiner prinzipalen Vergrobecungen.

l) Siehe BouRBAKI[3], S. 34. Die Bourbakische Klammerform konnte leider noch nicht verwendet werden, da sie in der Druckcrei dicht vorhanden ist.


B e ~ ~ i e ~ k e n s ~ ~ e r t ist, als Gegenstu~k zu Satz 1 und Formel (2), der Satz 1. Die F ~ ~ t e r 8 u ~ ~ e endlich vieler H a u ~ t i i l ~ e r ist H a u ~ t l i ~ ~ e r ; genauer :

es gilt (3)

v = l V = l

Beweis. Setzen wir zur Abkiirzung n M , = D, so ist wegen D C_ M , ( M Y , E ) 5 (0, E), also 2 ( M Y , E) 5 (D, E ) . Nach 0 2, Satz 2 ist %ber n E C ( M , , E ) , u n d s o m i t a u c h ( D , E ) C C ( M , , E ) . E

Die Hauptfilter spielen in der Theorie der Quotientenbildung eine ganz hesondere Rolle. Das liegt wesentlich an dern folgenden

Satz 4. Ist M eine be2iebige Menge, u.rzd @ ein vd&g beliebiger Filter, so gilt

Bewei s. Nach Satz 2 des vorigen Paragraphen ist &E { M , E ) : (3 dRlnit gleichbedeutend, dalj Q u Q E ( M , E ) , d.h. M C C u Q , fur jedes ffECSj, und das ist gleichbedeutend mit M C n (ff v Q ) = Q v n ff; dus schlieljlich ist gleirhbedeu-

tend mit M - n G L Q , d.h . Q E ( M - - n G , E ) , q.e.d. G e e a € @

Wegen % == ( E , E ) folgt hieraus das Korollar I. Fur ein,nen beliebigen Filter @ gilt

Nun ist M - n G =J M n ( E - n G) . Unter Beriicksichtigung der Formeln (4),

Korollar 2. Fur eine beliebige Menge M uad eiaen beliebigen, Filler CIS gilt (3) und ( 5 ) erhslten wir also das

(6) ( M , E ) : a = ( M , E ) + in : a. Auf Qrund der Bemerkung, dal3 der Durchschnitt des Hauptfilters (M, E )

Korollar 3. Fur eine beliebige Menge Y gilt gleich M ist, folgt BUS den1 Korollar 1 dm

(7 ) %:(a,&} = ( P - H , E } .

Setzen wir in (5 ) 8 fur (3, so erhalten wir wegen (7), unter Beachtung von

Korollar 4, Die prinxipale Hiille eines Filters 8 ist gkich Satz 2, das bemerkenswerte

%: (% :3) = (p F, E }

Aus diesen Siitzen ergibt sich eine fur die Struktur des Verbandes @ aller Filter wesentliche Folgerung. Die Filter 8 und @ mogen kornplementar heifien, wenn ihr Durchschnitt der Nullfilter %, ihre Filtersuninie der Einsfilter 8 ist. Es gilt nun

e ~ i s t i e r ~ , ist notwendig und hinr~ichend, dap 8 H a u p t ~ ~ l ~ e r ist. @ ist dann eindeutig bestimmt, und xwar ist @J=%:s.

eT3 (8)

8atz 5. D a ~ i ~ zu dem Filter 5 ein ~ ~ ~ ~ e ~ e n ~ r e r Filtep

J. Sohrnidt, Beitriige zur;Filterthearie. I. 367

Beweis. Zunt'ichst sei8einHaupt€ilter ( S , E ) . 8etzenwir@= ( E - M , E ) ,

Umgekehrt seien nun $j und @ komplement&r. Dann gilt so sind 8 und (3 trivialerweise komplement&r.

'$I : @ =5 (8 n @I : @ tnach Vor~ussetzung) =8:@ (5 3, Formel (7))

= 8 : (8 + @) ($3, Formel (10))

h = 8:@ (nach Voraussetzung) =8 ($3, Formel (15)).

Nach Formel (5) ist also 8 Hauptfilter. Da die Beziehung der Komplementaritiit symmetrisch ist, gilt entsprechend (8 = 8 : 8. Damit ist der Satz vollstandig bewiesen.

Wir bemerken abschlieBend, dai3 zwar auf Grund der Formel (3) des vorigen Paragraphen gane ellgemein die Formel (9) sn((,n:%) =%, dagegen, auf Grund des soeben bewiesenen Satzes, im alfgemeinen &lit $j+(%:s)==@ gilt.

$# 6. Der ch~~kter i~ t i sche Filter. Hypo- und hypercherakteristische Filter. ~ n ~ r ~ ~ i l t e r .

Im folgenden wird ein ganz spezieller, fiir die Grundmenge E charakteristischer Filter eine b e ~ i e ~ s c ~ e n d e Rolle spielen. Es ist dies das System aller Mengen M , deren ~omplement&rmenge E - H endlich ist. Wir werden dieses Mengensystem ausnahmslos mit Q bezeichnen ; man bestatigt sofort, dai3 4S in der Tat ein Filter ist. Wir nennen Q den charak~eri~tische~ Filter. Die Ver- groberungen von (s; bezeichnen wir als die hyp~c~rakteristiechen, die Ver- feinerungen als die hypercharakteristischen FiZter. Zu jedem Filter 8 gibt es trivialerweise eine feinste hypocharakteristische Vergroberung, den li ypo. charakterd8tischen Kern von 8, niimlich den Durchschnitt 8 0 Q, und eine grijbste hyperoharakteristische Verfeinerung, die hypercharakteristisch& Hiille von 8, namlich die Filtersumme 8 + 6. Der konkreten Bedeutung dieser Bildungen wollen wir in diesem und den folgenden Paragraphen unsere Auf merksamkeit widmen.

Zu diesem Zweck fiihren wir eine weitere Art von Filtern ein, die Infrafilter; als solche definieren wir die oberen Nachbarn des Nullfilters '92, d. 11. die Filter 3 mit den Eigenschaften :

1. m c s , 2. wenn 82sL3, so s = % o d e r 8 = 3 . Diese Filter-werden ch~rakterisiert durch den Sat8 1. Die I n f r ~ f ~ l ~ e r sind g e ~ ~ e die F i ~ ~ e $ der B a ~ ~ ( E - {z), E>. Beweis. Sei 3 Infrafilter. Dann gibt es ein ilf E 3 mit M =i. E . Es gibt

also ein x E E - M , Dann ist 3 = ( E - {x}, E>. DaB umgekehrt ( E - (XI, E> ein Infrafilter ist, ist klar.

Korollar. Jeder In frufilter ist ein hy~oc~rak~er is~i8cher BazLptfilter.

368 J. Schmidt, Beitrage zur Filtertheorit?.. I.

-4llgerneiner kann maE sagen : Satz 2. Bie ~ o ~ e n ~ e n Aussagen iiber einen Filter @ sind gleichbedeuten~~ 1. 8 ist ein hypochara~~eristisscher ~ a ~ ~ ~ ~ n f ~ Z ~ e T , 2 . 8 = ( M , E ) , and E - M ist ~ ~ l ~ c h , 3 . @ ist ~iltersumme endlich vieler ~ n f ~ a f i ~ ~ e r , Beweis. 1 + 2 : M sei Erzeugende von 8. Dann ist M E 6, also E - M endlich. 2 - 3: Nach Voraussetzung ist E - M = { x ~ , . . . , x%}. Dann ist

M =1 n E - {zy} , also nach Formel (3) des vorigen Paragraphen

( N , hT'= 2 ( E - {x,}, E ) . 3 -3 1 : Nach dem Korollar zu Satz 1 ist 8 Filtersumme endlich vieler hypo-

charakteristischer Hauptfilter, und damit triviale'rwaise selbst hypocharakteristisch, und nach Satz 3 des vorigen Paragraphen auch selbst ein Hauptfilter.

Zu den hypocharakteristischen Hauptfiltern gehort insbesondere der Null- filter %.

Zur Kennzeichnung des hypocharakteristischen Kerns eines beliebigen Filters 5 mittels der Infrafilter dient der

Satz 3. Ber h ~ ~ ~ c ~ r u ~ ~ r i s ~ ~ s c h e Kern einee be8iebige.n FiEters ist gleich der Piltersumme der Menge Ag atler ~nnf~anfi~ter, wekhe gr6ber sin4 a k %, i n Zeichen:

A

Beweis. Es sei F E 5 n G. Dann is% E - F endlieh, E - F = {x,, , . . , xn}, also P = n E - ( x v } . Wegen F E 8 ist E - {x,,} E 3 fur alle v. Die ( E - (x,>, E> sind also Infrafilter (Satz 1 ) und zugleich Trergroberungenvon 8. Nach $ 2 , Satz 3 ist F = n E - {x,,} E 2 3, und soniit 8 n B Lx 3.

Nun sei umgekehrt # E 2 3. Nach den eben zitierten Satzen gibt es endlich viele Elemente xl, . . . , x,, derart, daB E - {x,,} E 3 und c;C = n E - { x v } . Dann ist Lt:E 3 und E - - G = {xl,. . . , xn}, also # € a . Also ist 2 3L 8n6. Damit ist der Satz bewieken.

Auf Grund der Bemerkung, daB die Menge A(M,a) aller Infrafilter, die grober sind als der Hauptfilter ( M , E), beschriebdn werden kann als Menge aller ( E - ( x } , E ) init x E E - M , erhalten wir das

Korollar 1. Fiir den hypocha~akteristischen Kern des Hauptfilters ( M , E ) gilt die Darstellung

Bezeichnen wir die Menge aller ~nfrafilter niit A, so ist nach den? Korollar

Korollar 2. @er C h u r a ~ t e T i s t ~ ~ e ~ ~ ~ ~ ~ e r 6 ist die ~ i l ~ e r ~ m ~ e atkr ~ n ~ r a ~ i ~ ~ e T . Weiterhin folgt aus Satz 3 unmittelbar das Korollar 3. Damit ein Filter 8 h y ~ o c ~ r a k ~ e r i ~ t i s c h sea', ist no~wendig und

zu Satz 1 A 2 I &, also A = A@, und wir erhalten somit das

hinreichend, dap er Filtersumme von Innfrafillern is$.

J. Schmidt, Beitraga zur Fil~rtheorie. I. 369

Denn ist 3 hypocharakteristisch, d. h. 826, so ist 8 = 3 n 6 = 2 3. 364% I

Und da nach dem Korollar zu Sata 1 jeder Infrafilter hypocharakteristischist, ist trivialerweise auch umgekehrt jede Filtersumme von Infrafiltern hypocharakteristisch.

Die wichtigsten Eigenschaften der Zuordnung 5 + A3 werden genauer beschrieben in dem

$atz 4. Die Z,uordnung 3 --> A3 ist voll durcbchnittstreu, d. h. es gill ganz allgemein, fur eine beliebige Familie ( 8JlG von Filtern ;

(3)

~ n s b e s ~ d e r e ie6 also diese A b b i ~ u ~ monoton ~ c ~ e n a , d. h. es gilt:

(4) wen% sl 2 BFa, 50 AS, 2 A@*. Bingeschrankt auf die Menge <% , &> aller hypocharakteristischen Filter ist die Zuordnung 8 --f Ag sogar eine umbhrbar eindeutige, in beiden Richtungen m ~ n o ~ ~ n w a c ~ e n d e ~ b b i l d u n g auf die Menge @(A) azler Bengen von Iniraii~tern, d. A. iiber (4) h i n a ~ gilt fur h ~ ~ o c ~ r a k t e r ~ s t i s c h e Filter

(5 ) ?jl 5 genau dann, wenn A.3, I: A@*,

und xu jeder Menge r von Infrafiltern gibt es einen hy~oc~rakteris t ischen Filter 8 derart, dug r = A@ ist.

Beweis. (4) folgt unmittelbar BUS der Definition von Ag. Damit ist von (3) nur noch n AS, g An3* zu zeigen, was gleichfalls unmittelbar Bus der Definition folgt. Urn (5) zu beweisen, miissen wir noch zeigen: wenn & 2 0: (i = 1 , 2 ) , d. h. & n Q = &, und ferner Ag, 2 Ayl, so ?jl - C &. Das folgt unmittelbar aus Formel (1).

Nun sei r eine beliebige Menge von Infrafiltern, und es sei 3 die Filtersumme von r. Nach dem Korollar 2 zu Satz 3 ist 8 hypocharakteristisch. Trivialerweise ist r C As. Sei nun E Ag; dann ist 3 C 3 = 2: 8, also nach dem unendlichen D i s t r ~ u t i ~ ~ e s e t z 3 = 9 n 2 8 = in, so wsre also 3 = 8, was unmoglich i&. Also gibt es ein Go E r mit 3 n a0 #= 8, und da 3 und a0 beide Infrafilter Pind, ist 3 = a0, d. h. 3 E r. Alao ist Ag C - r, und somit A3 = r, q. e. d.

Korollar. Fur zuvi beliebige Fdi?er und ga.giEt n 0, = n 6 dann und nur dann, wenn Ag, = A3% is$.

Denn es ist ja ganz allgemein A@ = A, n A6 = Ag,,a.

Nach dem Vorangegangenen entsprechen insbesondere einander umkehrbar

die leere Menge von Infrafiltern die Mengen aus einem Infrafilter clie endlichen Mengen von I n f r ~ f i l t ~ r n , . . , den h~~ocharakteristischen

die Menge aller Infrafilter

and &:

= 2 (3: a). Wsre stets 3

eindeutig : . . . . dem Nullfilter, . . . . den Infrafiltern,

Hauptiiltern, . . . . dem charakteristischen Filter.

370 J. Schmidt, Beitriige zur ~~ltertheor~e. I.

0 6, Isotopic. Die Zilter '& und sz mijgen iso~opl) heillen, wenn ihre prinzipalen Hiillen,

oder, was nach $ 4 , Satz 2 dasselbe ist, wenn ihrs Durchschnitte iibereinstinimen. Wir konnen natiirlich aueh sagen, daB die Mengen n,, und II,% ihrer prinzi- pden Verfeinerungen miteinander identisch sein sollen. Eerdureh ist nun im Bereiche aller Fifter eine #quivalenzrelation definiert, deren Klaseen wir als Isotopieklassen bezeichnen, Die Struktur dieser Iclassen l&Bt sich vollstiindig iiberblicken. Urn uns diesen fjberblick zu verschaffen, stellen wir einen Satz till die Spitze, der in zunaehst vielleicht iiberrasehender Weise eine konkrete Interpretation des Filterquotienten 3 : 0. liefert, die die ebenbiirtige Bedeutung dieser Bildung, etws verglichen mit den Bildungen 8 n Q und 8 + @, recht vor Augen fiihrt.

Satz 1. Die prinzipale Hii lk eines Filters 8 ist gleich dem Filterquotienten @a.

Beweis. Nach $ 4, Satz 2 liiuft die Behauptung darauf hinaus, die Giiltigkeit der Gleichung

F C i 7 ; (1)

zu beweisen. Es sei dazu x E E - n F . Dann gibt es ein F,, E 8 mit x E E - F,,, d. h.

Pa 2 E -- {z). Somit ist E - {x} E 3, also ist ( E - {x}, E ) C 3. Dies gilt fur jedes z E E - n F. Nach Formel ( 2 ) des vorigen PnragraplGn ist also

3 : Q =( n F , E )

cn F, E ) n~ = c ( E - E ) E; 3 stE-UF

und soinit (n F, E ) 5 3 : Q . Angenommen, es giibe ein G E 8 : fS niit n B'$ G . Dann giibe es also ein

E E n mit z E E - a, d. h. es ware (r 2 E - (2). Dann ware E - {x} E 8 : 6. Nun ist aber E - {z} E 6. Also hatten wir E - {z} E (8 : Q) n Q = 8 p-6 (5 3, Formel (3)) und sornit E - {x} f 8, Nieraus folgte n P E - {x} und somit x E E - { x } , was unmoglieh ist. AIso gilt n P E cil fur jedes 0 E 8 : Q, d. 11. es ist 8 : Q

Mit Rucksicht auf die Formel (8) des Paragraphen4 erhalten uir die bemm- kenswerte Formel

(n F, E ) . Damit ist (1) bewiesen.

(2) 3 :Q = Fx1 : m : (5)

Aus 1 Satz folgert nian nun leicht den Satz 2. Ein beliebiger Filter 3 ist gleich dem Durchschnitt seiner hyper-

charakteristischen und seiner prinzipaten HUle, in Zeichen :

(3) (%++)n (S :Q = % . Denn unter Benutzung der Fornieln 8 2, [5) und 5 3, (2), (3) erhdten w4r

(3 + 6) n (8 : 6) = 8 n (8 : 6) + Q n (5 : 6) = 8 + Q n 8 r= 3. I ) Bezeichnung nach RIGUET [11], S. 149. Siehe such TAR SKI[^^], S. 371 ff., wo dies%

~eziehung eingehender ~~ntersuc~t w i d .

J. Sohmidt, Beitriige zur Filtertheorie. I. 3 7 1 ~

Eine ebenso einfache Folgerung aus Satz 1 stellt dar der

Satz 3. Die Filter & und Sz eind isotop dann und nu7 dann, wenn ihre hypo- charakteristiachen Kerne i$l n 0. und & n CS iibereinstimmen.

Der Beweis beruht auf den Forineln Q 3, (3) und (7); man setze dort 6 an Stelle von (3.

Man vergleiche diese Aussage ubrigens mit dem Korollar zu Satz 4 des vorigen Paragraphen !

Da mit haben wir alle Hilfsmittel zur Cliarakterisierung der Isotopieklassen in der Hand. Es gilt der

Satz 4. Die Isotopiekbsen sind gerade diejenigen Mengen urn Filtern, welche die Gestalt (H, '$3) mit '$1 = 8 n Q , 23 = 'u : & haben. Dabei ist '$1 der einzige hypocharakteristische, !I3 der einzige prinzipale Repraaentant der Klaase.

Beweis. Es sei K eine Isotopieklasse. Diese besteht definitionsgemall aus allen Filtern, welche die gleiche prinzipale Hulle 8, oder nach,Satz 3 nuch aus allen Filtern, welche den gleichen charakteristischen Kern besitzen. Unter Benutzung der Rechenregeln fiir die Durchschnitts- und Filterquotientenbildung bestiitigt man nun leiclit die folgenden - iibrigens auch der allgemeinen Theorie der Hullen- und Kernbildungenl) zu entnehmenden -Tatsachen, dal3 9[ und 123 selbst zu K gehoren, und zwar, daD 'u der einzige hypocharakteristische, 8 der einzige prinzipale Heprasentant, rnehr nocli, daD 2[ der grobste, 8 der feinste Reprbentant von K ist, und daD somit, da eine Isotopieklasse notwendig konvex sein mu0 (d. h. mit zwei Elementen S1 und '& alle dazwischenliegenden enthiilt), K = (a, 8) ist. Nach Definition des hypocharakteristischen Kerns ist dabei '11 = 8 n & , n a c h S a t z l i s t % 3 = % : 6 . 1 s t n u n u m g e k e h r t % = 8 f i & , B = P I : & , so ist '$1 hypocharakteristischer, 8 nach Satz 1 prinzipaler Filter, und aus dem Gesagten folgt ohne weiteres, da13 (%, %) die durch '$1 oder 8 bestimmte Isotopie- klasse ist. Damit ist der Satz vollstiindig bewiesen.

Wir ziehen bieraus eine Reilie bemerkenswerter Folgerungen.

Korollar 1. Die Z m d n u n g 9f - '$1 : 6 , eingeechrankt auf die M'enge (8, 6) aller hypocharakteristischen Filter %, ist eine umbhrbar eindeutige Abbildung von (g ,a) auf die Menge n alkr p i n z i p a b n Filter 8, mil der Umkehrung '$3 + B 6.

Korollar 2. Die durch einen beliebigen Filler 5 erzeugk Ieotopiekhsse iet gleich (3 n Q, 5 : 6).

Korollar 3. Die hypocharakteristischen Hauptfilter, und nu7 diese, bilden Isotopieklassen von nu7 einem Repaentanten.

Man vergleiche hierzu Satz 2 des vorigen Paragraphen ! Da der Nullfilter (n ein hypocharakteristisclier Hauptfilter ist, schliel3en

sich an das Korollar 3 die beiden folgenden ebenso einfaclien wie fur die Struktur des Vcrbandes @ wichtigen Feststellungen :

Korollar 4. Fur einen Filter 5 gilt 8 n 6 = 53t dann und nu7 dann, wenn 5 = iR ist.

I ) Siehe RIQUET [ll] und T I L R S R I [ ~ ~ ] . loc. cit.

blnth. Nachr. 1052. Rd. 7 , H . 13. 26

372 J. Schmidt, Beitriige zur Filtertheorie. 1.

Korollar 5. Zu jedem v m Nullfilter % verschiedenen Filter ?j gibt es einefi lnfrufilter 3, der grober ist ale 8 (d. fi. die &nge As ist nichtleer).

Denn wegen 5: $: iSZ ist 8 nicht rnit iSZ isotop. Nach Satz 3 und nach dem Korollar zu Satz 4 des vorigen Paragraphen ist also A, + A,, d. h. As ist nichtleer.

Eine weitere Folgerung aus Satz 4 stellt,dar der Sat2 5. Die hypercharakteristischen Filter bitden eine Isotopieklasse, deren

h y~ocharakterdstischer Reprusentunt der churakteristische Filter 4, deren prinzipter R e ~ r ~ s e n ~ u n t der Einsf~l~er Q ist .

Per definitionem sind nllmlich die hypercharakteristischen Filter die Filter 8 mit G L 3, d. h. ?j nQ =& fig, d. h. nach Sat2 3: die rnit 4 isotopen Filter. DemgemtiB bilden die hypercharakteristisclien Filtel; eine Isotopieklasse, deren einziger hypocharakteristischer Repriisentant gerade CS: ist. Nun ist aber, riach 5 3, Formel {4>, 4 : G = Q, also ist Q der einzige prinzipale Reprasen~ant der Klasse.

Wegen § 4, Satz 2 und Q = (0, E> gilt das ~ o r o ~ ~ 1. B e h y p e r c h a r a b e r i s t i ~ F i i ~ r sind ~ e ~ u d e die~enigen ~ i l ~ e r ,

Mit Ruckaicht auf die Forniel (7) des Paragraphen 4 erhalten wir ferner das KoroIiar 2. Dumit 8 h ~ ~ e ~ c h ~ r a ~ t e r i s . t i s c h sei, ist 8 : 3 z 8 notwendig und hi%-

deren Darchschnitt leer ist,

Peichend, Q 7. Ultrafilter.

Dual zum Begriff des lnfrafilters definiert man die UItrafilter als die unteren Nachbarn des Einsfilters Q, oder anders ausgedriickt, als die maximalen Elemente der Menge (I, - (65.) der eigentlichen Filter. Diese Gattung uberragt an Be- deutung bei weitem alle ubrigen in dieser Note be~~andelten Arten von Fi1tt.m ; ihre Entdeckung ist aufs engste verknupft mit der Entstehung der Filtertheorie uberhauptl) und hat wesentlich zu ihrem Siege in der mengentheoretischen Topologie beigetragen3. Man kann sich jedoch der Tatsache nicht verschliegen, daB der Begriff des Ultrafilters vom logischen Standpunkt aus problematischer ist als aIle bisher eingefulirten Begriffe, worauf wir am SchluB dieser Kote noch zurfickkommen wollen .

Zur Kennzeichnung der Ultrafilter dient der Satz 1. Damit der Filter U U ~ t r u ~ i l ~ e r sei, dst notwendig and ~inreichend, dap

fur jede Menge M entweder M E U oder E = M E U gilt. Beweis. Es sei U Ultrafilter, und M C E beliebig. Wir betrachten nun die

Filtersumme U = ( X , E ) + U, welche man auch als die Spar plon U in 1M3)

bezeichnet. Wegen U S - 8 ist 8 = U oder 8 = Q. 1st 23 = U, so ist ( M , E )

1) Siehe CAFCTAN [7]. 2) So z. B. durch die ungeheure Vere~nfachung des Beweiees zum Sat% von TYCHONOFF

8 ) Siehe ~ o ~ B ~ I [ ~ ] , S. Bf. M ~ R iiberzeugt sich niimlich mit Hilfe des Satzes 2 aus 2 sofort davon, daB die Filtersumme ( M , E ) + U gleich dem System aller Durchschnitte

uber das Produkt bikompakter Ritume, siehe BOURBAKI [4], S. 63.

M n U mit U E U iet.

J. Schmidt, Beikge zur ~ i l ~ r t ~ e o r i e . I. 373

also M E U. 1st 58 = Q, so ist 0 f 23, es gibt also nach 8 2, Satz 2 ein U, f U mit M n U, = 0. Somit ist V, E - Y, also E - Y f U. Nun kann aber nicht gleichzeitig M E U und E - Y E U sein, da sonst 0 = Y n (3 - Y) E U und damit U = @ ware.

Nun sei U ein Filter, der das Kriterium des Satzes erfiillt, Wegen E' E U ist 0 U, also U =fE &. Nun sei 8 ein Filter mit U C 3 2 B. Angenommen, es gabe ein Y E S mit Y @ U. Nach Voraussetzung wiire dann E - 191 E U, und somit E - Y € 8, also 0 = Hn (E - Y) E 8, d. h. 8 = 6, im Widerspruch zur Wahl von 3. Also ist 8 2 U, d. h. 5 = U, U ist also Ultrafilter.

Man kann diesen Satz le<cht verscharfen durch das unmittelbar aus ihm folgende

Korollar. 1st U ein Ultrafilter und XI w M , E U, 80 geh&rt wenigstens eine der Mengen Ml und M , zu U.

Denn ware dies nicht der Fall, so wliren nach Satz 1 E - MI und E - M , aus U, also ware E - (MI w Y,) = ( E - Ml) - (E - H2) E U, im Wider- spruch zu Satz 1.

Satz 2. Der D%rch~chnitt eines U~rafilters U ist h6chstens eineze~ntig. Die Ultra filter mit nichtleerem Durchschnitt sind gerade die prinxipalen Ultrafilter, und das sind gerade die Filter der Bamrt ( { x } , E ) .

Beweis. Es sei D der Durchschnitt des Ultrafilters U , und x E D . Dann ist U 5 ({y}, E) C Q, also U = ({x}, E} und D = {x}. Damit ist gezeigt:

1, %er Durchschnitt eines Ultrafilters ist hochstens einelementig ; 2. wenn der Durchschnitt von Unichtleer ist, SO ist Uvon der Form ((s), E) . Es ist klar, dai3 ein Filter von der Form ({x}, E> ein prin~ipaler ~ t r a f i l t e r ist.

Bleibt zu zeigen : ein prinzipaler Ultrafilter % besitzt einen nichtleeren Durch- schnitt, was wegen U $. B aber ebenfalls trivial ist.

Man vergleiche diesen Satz mit Satz 1 des Paragraphen 5 ! Mit Rucksicht auf das Korollar zu Satz 5 des vorigen Paragraphen erhalten

Horollar. Bin uz~rafilter id en t w ede r prhzipaa ode r hy23erchura~~eri8tisc~.

Beides zugleich kann n a t ~ l ~ c h nieht sein; denn das leistet allein der Eins- filter Q.

Damit haben wir eine wesentliche Hlassifikation der Ultrafilter gefunden, zu der es bei den Jnfrafiltern kein Analogon gibt.

Der folgende fundamentale Satz ist die ein:ige Stelle, wo wir, wie im Para. graphen 1 angekundigt, von der Auffassung der Filter als Ideale einer Algebra Gebrauch machen. Die Menge 0 aller Filter ist namlich induktivl), ja sogar die Menge Q, - {@I aller eigentlichen Filter, da letztere als die die Ieere Menge 0 (das Einselement der ~ g e b r a ) nicht enthaltenden Filter anzusprechen sind. Auf Grund des Satzes von Zom*] gilt also der wichtige

gibt es einen UEtrufiher U, der jeiner ist als 3.

wir das

Satz 3. 2% jedem eigentlichen Filter

I) Siehe J. SCHMIDT [13], S. 173ff. *) Siehe J. SCHMIDT [13], 8. 174, ferner BOURBAXI [3], s. 37, Eiowie BOURBAKI [6].

26 *

374 J. Sohmidt, Beitrage zur Filtertheorie. I.

Man vergleiche diesen Satz niit dem Korollar 5 zu Satz 4 des vorigen Para. graphen ! Wiihrend aber j ener duale Satz vollig konstruktiv gewonnen wurde, beruht vorliegender Satz uber die Existenz von Ultrafiltern wesentlich auf dem Auswahfaxiom, das ja bekanntlioh rnit dem Satz von Zorn aquivalent istl). Wir beriihren hier die zu Eingang dieses Paragraphen erwiihnte Problematik.

Bezeichnen wir die Menge aller Ultrafilter rnit a, die Menge aller Ultrafilter, die feiner sind als 8, mit Q, , so konnen wir Satz3 auch so ausdrucken : sofern 8 + e ist, ist a, nichtleer.

Aus $atz 3 gewinnt man leiclit die folgende schiirfere Aussage, auf der die Bedeutung der Ultrafil~er beruht :

Satz 4. Ein beliebiger Filter 3 ist gleich deh Durchschnitt der Menge a, aller ~ ~ ~ a f i ~ ~ e r , welche feiner sind als 3, in Zeichen:

'3:= n U. ura ,

Beweis. Trivial ist SC n U. Angenom~ien, es giibe ein M f fl U rnit M @ 8. Dann ware die Spur 8 + ( E - M , E) ein eigentlicher Filter. (Sonst giibe es ein F E 8 mit F n ( E - M) = 0, also F C M , also M C: 3.) Nach Satz 3 gabe es also einen Ultrafilter U, rnit S + (E-- M . B) C &: d. $1. 3 C U, rind E - 1M E lb. Wegen U, E f2g ist aber andererseits n U c U o , also auch-xE U, , Wir haben somit einen Widerspruch zu Satz 1.

Die wichtigsten Eigensehaften der Zuordnung 8 + Gg fassen wir zusanimen in dem

Satz 5. Die Zuordnung 5 -> Q, ist eine umkehrbar eindeutkge Abbildung von der Menge if, ctZZer Filter i n die Mesge @(a) alter Mengen vm. ~ Z ~ r a ~ i l ~ e r ~ , Sie gehorcht den folgenden Qeseesetzen :

(1)

(2) wenn 81 - c_ 52, $0 Q,, 2 Q& >

(3)

(4) a,, n,~~ = asl %, 9

(5 ) Q;F - a@ 2 Q,:@i.

Beweis. Nacli Satz 4, bleiben nur noch die RsgeIn (2) bis (5) zu verifizieren. (2} ist trivial. Danach ist von (3) nur noch n Q,Bt C zu zeigen, was ebenfalls trivial ist. Von (4) ist nur noch 52g1n,, G,,nQGl zu zeigen. Es sei also U E R,, ,, 8%. Angenommen, es sei weder & noch & in U enthalten. Ilann gLbe es also ein Pi E 8; (6 = 1 , 2 ) niit F4 @ U. Nach dem Korollar zu Satz 1 wiire also Fl n F2 6 U. Nun ist a%er v P2 E S1 n 327 also doch Fl w F2 E U. Das ist ein Widerspruoh. Somit ist C U oder Be 21, d. h. U E G,l oder 1% E a,,, d. h. U E a3* E Q3*, und damirist (4) hewiesen. Weiter ist

0, & a, n a (uregen (2))

= Q(g:Q)o @ (wegen § 3 7 13)) = fzJ:c@ n Q, (mgen (41)~

und hieraus folgt ( 5 ) .

I) Siehe BIRRKOFF 123, S. 42ff.

J. Schmidt, Beitrage ZUT Filtertheorie. I. 375

Wie wir alsbald sehen werden, braucht in (5) Gleichheit im al lgeme~en nieht einzutreten, und es braucht ferner,' anders als in dem entsprechenden Satz .L des Paragraphen 5, nicht jede Menge r von Ultrafiltern in cter Form r = R-, darstsllbar zu sein. Eine Menge der Form R, nennen wir eine ab. geschlossene Menge von Ultrafi&rn, und wir erlialten aus Satz 5 das

Korollar 1. Der Durchschnitt beliebig vieler und die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen von U ~ r ~ f i ~ e r n sind wieder abgeschb8sen.

Und hierin ist 0nthalten, dal3 die leere Xenge, niimlich &, abgesc}~lossen ist, und ehenfalls die Menge aller ~ t r a f i l t e r , a = Sl,. Durch diesen Abge- schlossenheitsbegriff wird also die Menge aller Ultrafilter zu einem topo- logischen Rauml).

Weiter erhalt man aus Satz 6 das Korcrllar 2. Die hypercharakteristische Hulk 5 $- 6 eines beliebigen Filters 8

ist gkich dem ~ ~ r c h s c h n i ~ € aller h ~ ~ r c ~ ~ ~ k t e r i s ~ ~ ~ h e ~ Ultrafilter, die feiner sind a b 3, in Zeichen:

g + c = n u. Ite o-, 0 06

(6)

Denn nach Formel (3) ist ja, was vie1 inehr besagt, R5+9t = &l3 n G, woraus die Behauptung nach Satz 4 folgt.

Uni zu einem diesern Korollar entspreuhenden Satz fur die prinzipale Hiille zu gelangen, heweisen wir den idlgemeineren, benierkenswerten

Satz 6. Ber Fi~~erq~otient 5 : (3 der Filter % und 8 ist gleich deln ~ r c h s c h n i ~ ~ aEEer ~ ~ t r ~ f i ~ ~ r U, wekhe feiner ab 8, aber nicht fe~ner ah (3 sind, in Ze~&hen:

(7) 3 : s = u u. Ucag-.o@

Beweis. Aus (1) und ( 5 ) folgt

Umgekehrt ist

an n u = n u n n u (wegen 0))

= n u (wegen (4))

== '5 n @C - % (wegen (I)),

uro;S-oiy IlOPiy uro-,-ocs)

- - fl 11 = n 11 (Assoziativgesetz fiir den 11 C " (06- O d '1 * 03 " o(s, Durchschnitt)

l len- , (g

n I I C ~ : ~ . und liieraus folgt ucq-o(s , -

Auf Grund des Korollars zu Satz 2 ist nun die Xenge If n SZ, aller prinzipalen Ultrtifilter, die feiner sind als 8, gleich der Differenzmenge Jz-, - &. Setzen wir daher in Formel (7) Q an Stelle von (51, so gelangen wir zu dem folgenden Analogon zum Korollar 2 des vorigen Satzeu:

1) Tm Sinne von BOVRBAKI [4]. Eine eingehende Untermehung dieser Topologie findet siefi bci SAXUEL [lZJ


Korollar 1. Die inz zip^ ~~Z~ S:B eines beliebige~ FiZ~ers 8 ist gleich dem Durchschnitt aller prinziplen Ultrafilter, die feiner sind als 8, in Zeichen:

Man vergleiche die Formeln (l), (6) und (7a) init Formeln (6) und (7a) mit 5 6, Formel (3)!

Aus Satz 6 erhLlt man weiter das Korollar 2. Die ~ ~ e i c ~ u ~

5, Formel (1) und die

a,-- Q@ = a,:@, wo 8 und @ beliebige Filter sind, gilt dann und nur dann, wenn die Differenxmenge 62% - 52, abgeschlossen ist.

Es ist nur zu zeigen, daO aus der Abgeschlossenheit von !J8 ---a@ die G ~ t i g k e i t obiger Gleichung resultiert. 1st nun s2, - = S2,, so ergibt sich aus den Formeln (1) und (7) fj = ;f: : (8, q. e. d.

Interessant ist nun der Satz 7. Die f o ~ e n d e ~ Awsagen uber einen FiZter 8 sind g ~ ~ ~ ~ b e ~ u t e n ~ ~ 1. der Durchschnitt D von ist endlich, 2. die Menge fz, - fza is$ e ~ l i c ~ , 3. die Melzge fz, - 62@ ist abgesch~oeeen, 4. Qg - & = Qg:a, 5. @:a) + B = @ . Beweis. 1 -+ 2 : Die prinzipalen Ultrafilter, diefeiner sind als 8, sind die Filter ({+, E}

mit x E D ; das sind nach Voraussetzung endlich viele, also ist Qg - Qa endlich. 2 -+ 3: Da trivialerweise jede einelementige Menge von Ultrafiltern ab-

geschlossen ist, ist nach dem Korollar 1 zu Satz 5 aucli jede endliche Menge von Ul trafiltern abgeschlossen.

3 -+ 4: Spezialfall des Korollars 2 zum vorigen Satz. 4 -+ 5 : Wegen 8 E 3 : G ist 8%:(5- 2 52, und somit

fzw - (0, - a,) = Q,:a Q, = %:@)+a* Nach Voraussetzung ist aIso fz(B,a,,aleer, woraus die Behauptung nach Formel (I)

5 -+ 1 : Nach Voraussetzung ist 0 E (3 : 6) + 6. Es gibt also ein M El 0. derart, daB D n M = 0, d. h, D C - E - M ist. Da E - M endlich ist, gilt die Behauptung .

Auf Grund dieses Satzes kijnnen wir nun leicht ein Beispiel dafiir angeben, daB, wie schon bemerkt, in Formel (5) das Gleichheitszeichen nicht zu gelten braucht und da13 nicht jede Menge von Ultrafiltern abgeschlossen ist: wir brauchen ja nur einen Filter 3 zu wthlen, dessen Durchschnitt D unendlich ist; am einfachsten einen von einer unendlichen Menge D erzeugten Hauptfilter ( D , E} . Das geht naturlich nur, wenn die Grundmenge E selbst unendlich ist.

Es ergibt sich weiter, daB die Menge f z f g : ~ f + ~ im allgemeinen nicht leer ist und daB es somit hypercharakteristische Ultrafilter gibt (deren Existerz man

folgt.

W. Sohmtdt, Beitrlige zur Filtertheorie. I. 377

hiitte auch direkt aus Satz 3, auf dem aUes beruht, erschlie~en konnen); Voraus- setzung war allerdings dabei, wie wir soeben gesehen haben, die Unendlichkeit der Grundmenge E . Es ist iibrigens klar, daI3 in einer endlichen Menge E keine hypercharakteristischen Ultrafilter existieren konnen, da dann der cha. rakteristische Filter (S mit dem Einfilter @ zusammenf&llt. Wir konnen also sagen : die Existenz hypercharakteriatischer Ultrafilter ist notwendig uad hinreichend fiir die Unendlic~ikeit der Grundmenge E . Es ist nun bemerkenswert, daB es b b heute nicht gelungen ist, einen hypercharakteristhchen Ultrafilter effektiv aufzuweisen, ja wir neigen zu der Ansicht, daB eine solche Aufweisung, in einem mit den Methoden der mathematischen Logik naher zu priizisierenden Sinne, unmoglich ist - mit anderen Worten: wir operieren zwar mit diesen gedanklichen Gebilden, aber wir werden sie nie zu ,,sehen" bekonimen. Die hypercharakteristischen Ultrafilter gehoren also durchaus in den Bereich der idealen Gebilde im Sinne von HILBERT, weIche zwar zur Abrundung und Ver- vollkommnung der Mathematik niltzlich, ja unentbehrlich erscheinen, welchen aber g~eichwohi nicht dasselbe MaB objektiver Realitiit wie den effektiv auf- weisbaren Gegenstiinden zugesprochen werden kann.

Anhang: Der Graph der Filter ( s ~ h e m a t ~ e ~ ) .

/

378 J. Schmidt. Bcitriige zur Filtertheorie. I,@

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Beiträge zur Filtertheorie. I

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