Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1...

172
����������

Transcript of Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1...

Page 1: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

���������������������������

������������������������

�����������������������������������������

�������������������

Page 2: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

�������������������������������������� ������ ����!�������"#$�#��%

�����������������������������������������������������������������������������������

���� !!���������������"!��������!�#���!���!

�������&���

�������� $�����#%�&������������&��������������'��

���������$�����(%������)��%���&�����&������������������

*�&�������)��'��"���&�����

�����'�����$���������"������������������&��%�����&����������������������%���&�

��&�������)�����"���'������&��������#�&��������#�����������������%�������������#�

'�#��������""�������������������&�����#����#��������

$��������(��� $������#���������������������)���������������������

�����������$��)�#������(%������)��%�������&�����������������%�#�������&����������

#�����������������&�����������������������������"�����

+����������&������&��"�����

���!��%���#�)������������&�������������'����&��)�#��"�������������)�������

��#��"�����&���

)'��(�*�����%�+���������'�������#�)�������������������������������&�������&���

�������������'%���������������������'�#��))����&��#�������������

+����� �����%������'�#�������#�)�����)��'��"���"�����))����&��#������������

, ����)����&�����"���)����������"���%���������������������#��"����(����������&�

����������-

, .��������/���������"���-

, 0�"������������������#��������������������'��������)�������'�����'���������&������

�����������#���������#���"���

.������������������&�����������#�)�����)������"����&��'���������������&��������)��'��"�

*01 ����� !!���������������"!��������!�#������!���!��"���&�

Page 3: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

�������������� ����������������

��������������������������������������������������������������������������

������������

����������������������������� ��!���������"��������������������������������"���

��������������������������������"��������������������������������"�����������

������#��������!�2���3���4���2��

$������������������������"%�&����������������������%

'�������������������� �������������� ������(����������������������������

'������������������ �������������������������"��

'�)���������������������������������������������������������������

*

A

B

L

LR

Page 4: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

)��+��������#�������������������������������������������

Go

Doing

2� �� 3� �� 4� �� 2�

�2 �� �3 �� �4 �� �2 Return

Undoing

(������������������������������������������������������ �����������������������*��

��������������������������������

� $������������������������������������,��������������������

$����������#��������������������������������(�����������������"���������

�����������������#������������������

Go

Doing

Return

Undoing

-

A

B

Page 5: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

� $�������+����������.

�������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������� ��������������!��������������������������

����������"����������#���������������������������������$�������������������������

������������������������������������%�������������������������������&���������

'��������������������!�������������!���#

(�������������������!���������������������������

/�����#���������������������"���������������������"!

$�����������������������������������������������"�

0

Aunt’s

House

Page 6: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

1�������������������"������������������������������"�����������������"�������

��"�������������

������������������������2��������!�3���5��3�����������������������������������

����"�����������������������������("�����������(�������"�������4��������������

��������������������������*����������������1����������������������������� ����

3���5�3�3��5���5��6��(����������������������������������������������������

���"���������-����50��3������������������������������������������������

�����������������"��������������������������������"������������������5��%�

(������������������������

'�������������������� �������������� ������(��������������������������5���

'�����������������������������������

'������������������������� ��������� ��������������������������������������

����������

Arithmetic

Take the

square root

Multiply

by 2

Subtract 9

Take the

square

Divide

by 2

Add 9

�Algebra

1����������5��������������������������������������%������������������������

������������������6��5�2�2����������� ������������2�

3 �6��������������"��������

�4�����63�36������������ ���������������0�

(������"����������0�����������2��������!�3�36�5�3�6��5�2��5�2��1�������

�������������

���7������� ��������������������!�3���5�2��(�����������������36�

8

Page 7: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

1������������� �������������������� ������(�������� �����������������������

���������������������������9�������������������������������������������

����!

������������� ��������4�����������

�������������� �2��������� ����������

�� ����� �����������4����������������

�� �������������������

��������� ��������������

� ��������������2���������4 �3�7��/�������������8���������������������

�������������� ����������2���������

/�����#����������������������������:��������������;�9�����������������

:����������;����������������������������������������

Arithmetic

Algebra

$����������������������������4�������!�1����������5��������8<������

�����������������������%

(�����4 �3�7�89��������:::: �

=

Page 8: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

�������������� �������������������

� 6

23� 2

7

8� 4

2�

� 6 � 2 7 � 4

� 3

44� 6

45

62�

28

96

� 3 � 6 �

�28

<

Page 9: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

6

67�27

56

9

66� 3

77

6 � 27 9 � 3

52�

9

84

6

223�

5

9�

�9

6

�5

6

Page 10: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ��������������������

>2�����������������������������������������������!

26

2�4� 8

52

�26

2224�

8

724

�26

22247

7�

8

72422

22

�267

72224�

822

72224

�2�6�88

72224

�45

72224

�424

72224

�4

722

� 4

77

*

-

0

8

=

�?

Page 11: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ������������������

� ,��������������������"������������������������������5*%

$������)���

@�����5*����*� �����:���;

A�������5*�������������������������������

,����5*���������������B*�

>2! ��6�7������0� �����:��;����=� �����:���;�

�������%�CCCCCCCCC

9����������%�CCCCCCCCC

�6�7�:::::::::

>2! ��65�49�

�������%�CCCCCCCCC

9����������%�CCCCCCCCC

�65�49�:::::::::

>2! ��9��22�

�������%�CCCCCCCCC

9����������%�CCCCCCCCC

�9��22�:::::::::

� ,��������������������"������������������

��4 9���������B*�������������D

���4 ���� �������������B*�

(�����������������������������������"������������������������������������

��

Page 12: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

>2! �6�7���������������6�::::����CCCCC�

>2! �9��9��������������CCCCCCCC����CCCCC�

� ������������� �������������� ��������� �%

5* 5* 5* 5* 5* 5* 5*

� - * � � ? 5� 5�

>2! �6 ��7�����CCCCC� >2! �3�4�����CCCCC�

� &�������2

3�������0%��������������������������������������������!

� � * - 0 8 = < 6 �?

6�2

3 � 2

3�2

3 ��2

3 4 2

3�2

3 4�2

3 3 2

3�2

3 3�2

3 2 2

3�2

3 2�2

3

2

3�2

3

E�������/�������������,� �����!�6�2

3�2�

>2! &�������3

4�������<%�::::�::::�::::

>2! &�������2

6��������%�::::�::::�::::

>2! 23� 2

4��"��:&�������CCCCC�������CCCCC%;

>2! 6�6

7 ��"��:&�������CCCCC�������CCCCC%;

>2! 873����"��:&�������CCCCC�������CCCCC%;

� � * - � �?? �?� �?� � �

873�� 873�� 873�� 873�� � 873�� 873�� 873�� � 873��

>2! 873������CCCCCCCCCCCCCC�

��

Page 13: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

� >2�������������������������������������

>2! 74�777�:::::

>2! ��7�4���7���7���7��:::::

>2! �74��777�:::::

>2! ��26�3���26���26��:::::

>2! �263��2626�:::::

A������������������

�������F��������F��������! �3�6�7�3��3��3�3

�������9���������>2������! �3��3�3��3���

���G������������! �3�����9�

� (���F��������F��������!

���H��������/������!

����������������I������������J��K������������L�����������KI��JL�

/��������������������

&���������������������� �������������������������������

� ����&��)����

�����&��)�����

���>2���������

*��G����������������,� �����������)���5��5E�����

-��������������/���������������)���5��5E�����

�*

Page 14: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

>2! (����������� �����4��6��3�!

>2! > �����4��6��3�!

>2! > �����8�5

4����������������!

�����!�8�5�4�::::

�������!��8�5��4�::::

���������������������������������

�������������������������������������������� !��

����������������������������"����#$��%&'#�&()'*�

>���������������������������������!

�8�5 �;<���������=���#>�4�;<���������=���#>::::

+ ��������!��A�����!����*��0��=�������*���=���6���*���6��*���*=��-���-*��-=���0*��

06��8���8=��=���=*��=6��<*��<6��6=���?����?*���?=���?6����*����=���*����*=����

�� G�������������(���� >2!�-0 >2!���

�� E����!�>2!�=0 >2!�*�? >2!��*�

*� A�����!�>2!��<= >2!�-?* >2!��=�6

�-

Page 15: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

, E�����

>2!��48�::::��������::::�48�

>2!��223�::::����������������������CCCCCCCCCC�����������

>2!��2��:::::::::::::�

�- A���������!��??M�NCCCCC

>2!��0M >2!���*M >2!���0M

>2!�?��0� >2!�?�0 >2!��=

�� :���;���������������������

�� ��������������������� �3��������������������������������3� ��

�0

�����

2��������

�������

Page 16: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

�� /�� ��)�����>4������

>2! 6 ��9�7

>2! �7 ���6��32

�8

Page 17: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

�� /�� �������4���������������������������������������������"�

>2! �28

5��

4 �6

4��� >2!

�2

5�

6

3 ��� 3

4 �� 2

4�

�� /�� �������4���������������������������������������������"�

>2!6

��

26

7>2!

8�

24

�3

�=

Page 18: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

�+ /�� �������4���������������������������������������������"�

>2!7

8�

4���

4

3��3���

4

3 � >2!2

4��

35

8�3� �

4��

3

4 �

�<

Page 19: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

��

/�� ���������������

.��/�"�&0� ��1 (�����������������������������

*-���������(���������������������������������������

&01 (�����������������������������8?�������(���

���������6�����������������������

'�/�����!�����������2�� ��3

��3 ��3 ��3 ��3

'�/�����!�����������/��4��3�(�����������������

��4� ���� ��23 �

'�/����*!���!������������"���������������������3

4��3�23��3

'�/����-!���5�������4�����3

4��3��3

2��3

�6

'�/����0!�����/������������������4��3

��3�23��3�6��3��2��4�

(������������0��������

�6 (�����������������������������8?�������(������������6�����������������������

�6

��3 ��3

(����������������������������������������

����������!�����������������������������������������

����������

Page 20: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

�, ��������������������������� �������������"����2����(��������������*�

��2�����������������������"���(��������� �������2�������������������

���� ����&���������2������������������%

�?

Page 21: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

/�� ���������������

.��/�"�&0� ��1 (�����������������������������8?���������(�������������<�����������������������������������������������������

&01 (�����������������������������08������(����������������������������������������������������������������

'�/�����!�����������2�� ��3

��3 ��3 ��3 ��3

'�/�����!�����������/��4��3�(�����������������

��8�.������"���

����

9��������9

����������'����&��&&����

����'�&���

���9

��::::::::.���'�&���::::::::

����

3�����3

����������::::::::

�������"���::::::::

'�/����*!���!������������"���������������������3

8��3��9��3

'�/����-!���5�������4�����3

8��3�28�3

8����28

����

�22

'�/����0!�����/������������������4��3

��3�25��3�22��49�33�8�

(��������������6���������������������������

�������

�- (�����������������������������08������(�������������������������������

���������������������������������

��

Page 22: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

�� ����������������"������4�������?��#��������������"�����#������"�����&���

�������������������������4����������"���0����"���%

�� �����������"������������N�-�����������N�6����������������

��

::::: � �?����

���������������@������

��������������

�������������

::::: �

Page 23: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

/�� ��������� ���������� � � ��"���� �

������

2

3������

������������� ���� ��������������!�"����

&03�� /�� �� ��2

3 ������ �������

/�������������� ���������������������������������������������������� 2

3 ���� �� ��

(������������������������������� ����������������"������� �������������������

��������������������������� ��������������

/����������������������������������������� �����������������������������������������

�*

Page 24: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

/�� ��������� ���������� � � ��"���� �

���

������

2

3������

&03�� /�� �� �� 2

3������ �������

/�������������� ���������������������������������������������������� 2

3������ ��

(������������������������������� ����������������"������� �������������������

��������������������������� ��������������

/����������������������������������������� �����������������������������������������

�-

Page 25: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

/�� ��������� ���������� � ��"���� �

��

2

4 ��

&03�� /�� �� ��2

4 �� ���������(�������������������������� ����������������

/�������������� ���������������������������������������������������� 2

4 �� ��(�����

�������������������������� ����������������"������� ������������������������

����������������������� ��������������

/����������������������������������������� �����������������������������������������

�0

Page 26: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

���������� � � ��"���� �

&03�� /�� �� ��2

6 �3����� �������

/�������������� ���������������������������������������������������� 2

6 �3����� ��

(������������������������������� ����������������"������� �������������������

��������������������������� ��������������

/����������������������������������������� �����������������������������������������

�8

Page 27: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

���������� � � ��"���� �

&03�� /�� �� ��9����� �������

/�������������� ���������������������������������������������������� 9 ���� � ��

(������������������������������� ����������������"������� �������������������

��������������������������� ��������������

/����������������������������������������� �����������������������������������������

�=

Page 28: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

���������� � � ��"���� �

&03�� /�� �� ����6��3�� �������

/�������������� ���������������������������������������������������� ��6 ��3�� ��

(������������������������������� ����������������"������� �������������������

��������������������������� ��������������

/����������������������������������������� �����������������������������������������

�<

Page 29: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ��#�$���������%���������&����������

'�&�����������������������������%CCCCCCC������CCCCCC���

'�������7��������������������%�

'�����������������������%CCCCCCC�"�O�����CCCCCCC�����

'�&����������������������������������%CCCCCCC�"�O�����CCCCCCC�����

'�(�����������"�����������������������#�������CCCCCC����������CCCCCCCCCCC�

�6

Page 30: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

'�&���������������������������������������������������%

CCCCCCC�"�O�����CCCCCCC�����

)��&�����������������������

'�&��������������������������������������������������������%

CCCCCCC�"�O�����CCCCCCC�����

'�(��������������������������������%�

CCCCCCC�"�O�����CCCCCCC�����

'�������7����������������� ����������%�

*?

Page 31: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

'�(�����7������������������������������������������������������������������%

��

��

'�����������������������"�������������%

'�(��������������������������������������������������������������������������%

��

��

'�1��������������������������������������������������CCCCCCCCC������9��������

CCCCCCCC�������������������������������������������������CCCCCCCC���������

����������������������"�������������������������������������������������������

���������������������������������������%

*�

Page 32: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ��#�$�����������������

��������

:@����;������:����������������;

::::::���

::::::�����������

::::::�)�

������

���(������������������H������>4�����

���/��������������H� ���1���������

*��/�� ������"

-�����������/��������>4�����

0��/��������������P�����������/�� �

8��/��������������������3����

*�

:,�������;�����������������

:1� ������;����:����������;���������

�����������

:Q������;������:���������������;

Page 33: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

&0�� ��������� ��������������������!����������!�!��������������������������*��������

��������������������!�!�������������������������������������!�!����!�����������

����������������+,,������������������������!������������ �������������������

!�!�����-������������������������������.+�����!�!����!������������������

���������������������������������#

�7����������������������������&�������

.���������)�'�����������&��#��������

���������

&������#�����������

��������A�����)�����&��������)����������� 3

�7���!��������������5���8�2�� �����

����������������������������������!�!����!���������������������������+,,�

�����������������������!������������ �������������������!�!�����-�������

�:::::::: ���� ��::::::::

$������������������������������������������ �����������������������������������

��������������+���������������������������������%�9�����������������������.

�7���5��2����

�7�9��"����������2���&�������

�6�668�3

�7���!������������(����������"���5�

����������������������.+�����!�!����!������������������������������������

���������������#

��23 ���� �6�668233�6�6682���::::::::

�7�����������'��4���4����)����

(������������������������<??�����������������������������������

**

Page 34: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

� (������4�������������������� �������������������������������������� �����

�� ���������������������(���������������������� ����������������������������������

�����������������/���������������������?�80�������� �������-�*�������������������

�������4��������������������?�0��������� �%

*-

Page 35: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

� (���������������������������������� �����7������������������������������

�4������������������/���������???5�������� ��������00�������������������

���������8�����������������������������������������������80����%

*0

Page 36: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

� (�����������������5�����������������������������������������������������

������� �����7������������������������������������������ ���������������������

��������������1��<?�???���������������������������������������-??�����������

�������������������=?�???�����??�???�������������������������������������

�������������������0?�???����=0�???���������0?����������%

*8

Page 37: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ��'��������� �������%�(����������

����������������������>����������������������������!

�7�&� �������0����4��"�3���������������������������������/ �����������������������������������������������

)��"�����:1����������������������;������������������

>2�!�1���� ������������������������������������������ ��8�

9������!��� ��������������������������� ��8�

>2�!� 1��G�����"���<��������������������������������������������������������0?����������������������������&����������������� �������������%

9������!�>������"����������������������0?����"��������������������������:G�������CCCC����������������������������;�

�7�*��/�2�������!������������:2���� 73

'�:��;���������N���'�:�����������;���������R���'�:�����������;���������S

�7�*��/�2��������;;;;;;��23�

��� ��� �9����E����������:��;�������������������

>��������������������!�������������9��

(������������������ (����������������������������(���������������������������� (���4������������� �������������������������

>2�!� ������� ��������

*=

��

������CCCCCC���

'��

��

��������

(����������������

>��������������������

Page 38: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

�7�*��/�2����4����"���!��������3

'�:��������������;�'�:�"�������;�'�:��������;

��������������������������������

���������������9���

����9�������������

�7 *���������������������� ���"����2�����&����������� ���3������2������:������;�:�����;�:�����������;�����:��;�������������������������������������������>��������������

(������������� ����!

��������� ����/���4��������% ��������� ����/���2�� ������%

(����������������!

�������������� �� ����������������������� ��

�������������������� � ��������������� �

*<

$���!�:���������;����:��������;�����������������(�������$F(����������������������

Page 39: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ��'��������� �������%�(����������

����������������������������/���������������������2�������������4������

�� (�������������������������������������������������������������

�� >���������������������������5������������������

*� �������������������������������4������������������������������ ������

-�� (���4���������������������������������������������2�

*6

Page 40: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

�� �� ������������������������������������������������

��� �� ����������������������������������������������������������������

*�� 1�������������������������������������������������������� ����������������#����

-�� 1����2������������������������������� �������������������������������������

0�� 1���� ������������������������������������������������������������������

8�� 1������4�������������������������������������������������������4�������������������������������

-?

Page 41: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ��'��������� �������%�(�����

>2�!�(��������8�<�����������������/��������E���(�����������������06�*0?�

���������

�������"�����������������������������������06�*0?������������:$���������

/�������;���������������:(���;�����������������������06�*0?�

$��������/�������

�E�

/��

(��� 06�*0?

�������"��������������������������������������������E�������������������

������(������������:$���������/�������;���������������:�E�;����������������

�������(�

$��������/�������

�E� (

/��

(��� 06�*0?

-�

Page 42: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

�*�����"��������/������8�<��������������������E������1���������������:(���

���������������������/������8�<������������������������������������E��;�E����

����:��������;�����������������������������������(�����/������(�5�8�<��������

����:$���������/�������;���������������:/��;�����������������������(�5�8�<�

$��������/�������

�E� (

/�� (�5�8�<

(��� 06�*0?

�-��$��������������������������������"����������������4����������1����������������������4����������������:$���������/�������;���������E������������������������������������������������!

.����������)����&���������0���

��&��

.����������)����&��������������839

����

����������������)����&������6546�

�0��(����� ��� ��839��6546� �������� ��������������4�����!

3 ��839�6546�

3 ��65579

��35595

�8��(���������������6�6<6�������������E��

-�

Page 43: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ��'��������� �������%� &��

>2�����(��������8�������������������������������������������������(��������

���������08����������

'�����������������������%�CCCCCCCCCCCCC

'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC

�*����� �����

/��������

E�������

(��� 08

>2�����(���������������������������������������������������(������������������<

����

'�����������������������%�CCCCCCCCCCCCC

'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC

�������

���������

(���

>2��*��(��������8������������������������������������(�����������������--������

�����������

'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC

(���

-*

Page 44: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

>2��-��(���������������������������������������+������(�����������������0�������

�����������������������������(������������������*���������������������������

�������(����������� �������������������*��������

'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC

(���

>2��0��(��������������������7�������������(��������-��������

'�����������������������%�CCCCCCCCCCCCC

'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC

Q���A����

A����A����

(���

>2��8��(�������� 3

4 ���������������������������������(���������?0�������

'���������������� 3

4 ���%�CCCCCCCCCCCCC

'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC

/�����9����

)����9����

(���

--

Page 45: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

>2��=��(�������������"���������� 3

6 ��������������������������������(��������

���������������?��4���������

'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC

'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC

>2��<��(�������� 6

9 ������������7����������������7����������(���������08�

'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC

'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC

>2��6��(�������� 5

3 ��������������������5���������(��������--�����������

'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC

'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC

-0

Page 46: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

>2���?��/�������"����<����������/���������������������������������������������/����������-���������������������������������&�������������������������������������%

'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC

>2������������������������?�������������������������?�*���������� �����������������������������1������������������������������������������������%

'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC

>2������G���������>������������������� ����������������������������������������&������7���������������������������������������������&�����"�������*0�������&����������������������7��%

'��������������"�������������%�CCCCCCCCCCCCC

-8

Page 47: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ��'��������� �������%�)�������

(������������������������������������<?T�

������29�

>2� (������������������������������*���������������

����������������(�����������������*?�������������

�������������������������������������������������

>2� (������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������

-=

Page 48: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� *������������+�,����

A����������!�����/������������������ ��%�� ����������� ��*��

�����

>2!�A��������������!����*����?�5�����50�5=������50�-�

-<

Page 49: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

:�������4������������� ������;�U�����2����������� �������

������������������U��������� �

'��!���� ��� �����

F�������A�� � A����

)�����>4����� � )���

�����������������������������������������4��������������

� ����������������������

(�������������������������������������������4������������� �������

� (��������������������������������������

1����������������������#�����������?�?�����

�����������������������4������

� 1����������������������#�������������

������������������������������

-6

Page 50: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

>2!�H���� ��3 ��4��������������������������������������!

( �

5� ����� ���3 �� ��3��3��4�::::::::::

? ����� ��� �� ��3����4�::::::::::

0

A��������������������������������������������������������3�������������������

����"�

0?

Page 51: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� *�*� ��-�

/��������������������� ���������������������:���������;����������

F���������!�����������"������ �������������������

$���� ��/����V����/����

A����� ��/���� 3���������/����

0�

Page 52: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������������������������������������������������(���������������������

CCCCCCCCCC������������������������

�����������������������������������������

�����������(��������������������

CCCCCCCCCC�������������������������

0�

(��������������������������������������

/��������

/�������

(��������������������������������������

�B������#�<��������

�������������������

���������#�<��������

Page 53: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

$������!

3 ���������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC���������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC�

�3��������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC���������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC�

�3��������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC���������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC�

�2��������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC���������CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC�

�������������������������

������������������������������������������������!

>2! 0�����

>2! *����5-

>2! 5=����5*

0*

Page 54: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

H��������������������������������!

/����!� ������

����������������

��

������

������������

��������������������������������!

/����!� ���3� �2

�3��2

� ������������������� ��2 � �2� ���� ��3 � �3� �

����������������������������������������������������!

>2! �5��*������-��� >2! �0�*������0���

0-

Page 55: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

H�����������������������������������������������������������5��-������8�5<��

�H������������������������!

� �� �

������������������������!

� �� �

>2! �=�*������-�*� >2! �?�=������-�5*�

00

Page 56: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� *�.� ��-�/0������-������

,��� �����������5������������������������������������������?��������(�����

����������������������� ��������������������������5���������!� �����

���

08

Page 57: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

>2!�3��������������������������4�������������������

>2!������������������������������ �����������4������ ��3

4��6�

>2!�H��������������� �����������4������ ���2

4��2�

0=

Page 58: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

>2!�H��������������� �����������4������ ��4 ��

>2!�H��������������� �����������4������ ��4

6��3�

0<

Page 59: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

>2!������������������������������ �����������4������6 ��4 ��32�

>2!������������������������������ �����������4��������� ��6�

06

Page 60: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� *�.��������1�,������2&������

)������4�����������������������������������������������������������������

������

/����5���������������������

/����������

H��������������� �����!

���2

3 ��4

��������!

�������!���������������������!

�5������������!

����������������������5����������

���A���������5�������������������

*�������������������������� �������

-��������������������������������������

���������������

��3 ���

(5������������!

�5������������!

��������������!

����"!

���/������������N�?�������������(5����������

���/����������(�N�?��������������5����������

*��A�������������������������������������

-��������:�����������;�������������

0������"����������������������������������

�4����������������������

8?

Page 61: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

H��������������� �����!

���3 �

��������!

�������!���������������������!

�5������������!

3 ��4 ���

(5������������!

�5������������!

���������������!

��������������!���������������"!

��4 ���

��������!

�5������������!

3 ��6 ���2�

(5������������!

�5������������!

��������������!���������������"!

8�

Page 62: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� *�.�3���4��������+�$�������

H���������4��������������������������������"����������&���#�������� ����������������������������#���������������������!

@�������)����!(�N��

������������������

&���#�����)����!��N��

���������#���

����������������������������������������������2�����!

� H��������������� ����������4������(�N�*

/����������������������������� ��������������������� �����������������(�N�*�

� ����������4��������������������������������������5���*������0��*��

/����������5 �����������������������������������4�����������������#��������������N�*�

� ����������4�������������������������������������=��0�������������#����

/������������������#��������"������������ �������#�����������(����4�������������#�������������������������N����/����������5 �������0������������N�0�

8�

�52��

(52��

Page 63: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� *�5������/ ��-������

,��� �����������5����������������������������������������� ��2 � �2� ���� �� � �� �

����������������������������2���� ��2 � �2� ��������������� ������ �� � �� �!

���� �2

���2

8*

Page 64: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

����������4�����������������D

>2!������������������������W����W�0����������������N��!

>2!�����������������������-��W������������������N��4

3!

>2!��������������������������W������������������N��!

>2!�����������������������5=��6����������������N�?!

>2!�����������������������5=��6�������������������������!

8-

Page 65: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� *��������������+����-��+��&���

(�����������2�����3��������������

�2��3�

$������!��2��3

(�����������4���������������������������

�������������!����������������������������������������������������������������������

��2��2

�3

$������!��4� ��

(���!��2�3��2

����������4�����������������D

>2!���������������*��������������� ��7

6����

���/�������!�������������������������������������������A��������������!

*��>4�����������������!

80

Page 66: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

>2!��������������������6 ��4 ��7����������5*�<��

���/�������!�������������������������������������������A��������������������!

*��>4�����������������!

88

Page 67: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� )��-����� &�����

9'���1

/����51��������! �����!

A����5/����! �����!

/���������������! �����!

/������H���������!

(���������������������� �2 �����3 ���!

����������CCCCCCCCCCCCCCC�

����������������CCCCCCCCCCCCCCC��(�����!�

&���#�����)����!�/��������CCCCCCCCCC��>4�����!�CCCCCCCCCC

@�������)����!�/��������CCCCCCCCCC��>4�����!�CCCCCCCCCC

(���������������������������7������� ��2 � �2� ���� ��3 � �3� ���!

8=

Page 68: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

<=$�&>)=&�1

��5��1 '�/�"�2��1

(���A�����! /����!��2 � �2� ���� ��3 � �3�

H���!

>4�������������!

A��������/������� /����!�H� ��

H���!

>4�������������!

������ /����!

H���!

>4�������������!�H� ��

������� /����!

H���!

>4�������������!�H� ��

8<

Page 69: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� �������������������������������

��� ���������������������������������

��� ����������������������������� ������ ���

��� ���

�������������

� �

� �����������

� �����������

��� ���

��������������������

��������

������������

��� ������������������������������

����

�� �� ����

���� ����

�������������

� �

� �����������

� �����������

����

����

��������������������

��������

������������

��

Page 70: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

��� ����������������������������� �������

����

��� ����

�������������

� �

� �����������

� �����������

�� �

����

��������������������

��������

������������

��� ������������������������������ ���� �� ���

� �� ���

�������������

� �

� �����������

� �����������

���� ���

��������������������

��������

������������

��� ��������������������������� �� ������� ���

����

� �� ����

�������������

� �

� �����������

� �����������

��� ���

�������������

� �

� �����������

� �����������

Page 71: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� �����������������������������������

��� �����������������������������

���� ������ ���

��� �����������������������������

������� �

� ��� ����

��� �����������������������������

�����

����

����

����

��� �����������������������������

��� ����� ���

��� �����������������������������

���� ��������

��� �����������������������������

���� ���� �� ���

Page 72: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

��� �����������������������������

��

��� �

���

��

��

���

��� �����������������������������

��

����

����

��

���� ���

Page 73: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ���������������������������������

��� ����������������������������

��� ����������������������������

�� ��� ����� ��� ����

��� ����������������������������

�� �� ����� ��� ���

��� ����������������������������

�� ��� ���� ��� ���

��� ����������������������������

�� ���� ��� ��� ���

Page 74: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

��� ����������������������������

��

��

��

��� �

���

��� ����������������������������

�� ���� �

� �� ���

Page 75: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ��������� ���������������!�"�������

����������

����� �������������� ���������!����������������������������

������ ��������� ����������

���

"����

���#� ���������� ����������������� ������$�����!�������������

������

���

"����

���%� �����������������&��# ��� ��������������� ����� ����������$�'�����&���������������(

������ ��������� ����������

���

"����

Page 76: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

��������

)���������� ������������������ �

����� "'������������)*�������������������������������������������"����������������&��������������������&������������������������+���������������������������

���� ������������������

���������

�������������

�����

�������

"����

����� ������������������

���������

�������������

�����

�������

"����

Page 77: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

���#� "'������������)*������������������������������"������������������, ���-'���������������������% ����"�����������������������&������������$�'�����&������������������������������� ����������(

���� ������������������

���������

�������������

�����

�������

"����

����� ������������������

���������

�������������

�����

�������

"����

Page 78: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

��������

)���������� ���������������������������� �

����� .���������'�������������������������&��/!�� ������������������ 0������%� 0�$�'����'��������������������(

���� ����������������

�����������

���������

���������������

0

%� 0

"����

����� ����������������

�����������

���������

���������������

0

%� 0

"����

Page 79: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

���#� .���������'�������������������������&�%#���%��������������������������#���������������������������� 0���������������������������1���'�����������(

���� ����������������

�����������

���������

���������������

$���)���

2�')���

"����

����� ����������������

�����������

���������

���������������

$���)���

2�')���

"����

Page 80: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ��������������#�������

������"����������+ ������������������������������������������������

������������������&�����������������+/����$�'�����&���������������

����������������������(

)��� "��� 3�������

�������

2����

�����"��������4��&��� ����������'��4�&��, ��������$����������������������'��4�������4����1��4���������������'�������������4��$�'&���������'��4������������4�(

)��� "��� 3�������

1��4

5�4�

/�

Page 81: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

�����6������6�������������������������������'����������������������'��������������4�������"������#�����������'�������������6����������,���&���������6���6������������#����$�'�����������������(

)��� "��� 3�������

6���

6��

"����

�����"'�����������������)*������������������������������"��7/#������� ���������&������7�������������������&���������%����������'���������������%������������$�'&�������������������(

)��� "��� 3�������

7/#

7�

"����

/�

Page 82: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

�������

)����������base × percent = amount�

����� ������������'����������8�������������������������������&��&&�������9����:�"�������������;� �������&�����<���&��������������! 0�����������������# 0����������� �����������&���! 0���������������# 0���������$�'�����������&�����������������������������(

"��������=================�"����������==================�

���� ����������

�����������

������������

! 0

# 0

"����

����� ����������

�����������

������������

! 0

# 0

"����

/#

Page 83: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

���#� ����������������������9���9����������&�������<���������%�0�������'������������������#�0�"�������������������#�������&��������$�'�����&���������'������(

"��������===============�"����������================�

���� ���������

�����������

�����������

%�0

#�0

"����

����� ���������

�����������

�����������

%�0

#�0

"����

/%

Page 84: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ���������$��%� ��������!��������

�����"������&�'�����������+�"����&&���������'���������������#��1����������'��������(*���4�������'���

�����"�������������-1�����������'���&&������������$���������,+;������� ��������, ��������"����������������������;#����������������������+/����$�'����'���������������(

���� )��� "��� 3�������

�������"����

2����"����

"����

����� )��� "��� 3�������

�������"����

2����"����

"����

/,

Page 85: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

�������������������������������4����������"����������������,��%;�"������4����� 0'����������������%� 0�$�'����'����������������(

����

�����

/

Page 86: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

�����$�'�����������&# 0�������������������������'����#0��������������������%�������&� 0��������������(

����

�����

/+

Page 87: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

���������������������������&���������� ��������������������������������������������&����������%����������������������������&�/��������������������&�����������������������������1�����������'�������������

����

�����

/!

Page 88: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ���������&%%��������'�(����� �������

)����������base × percent = amount�

����� ������������'����������8�������������������������������&��&&�������9����:�"��������������!�������&�����<���&����������������0�����������������# 0�����������%�����������&���# 0�����������������0���������$�'�����������&�����������������������������(

"��������=================�"����������==================�

���� ����������

�����������

������������

����� ����������

�����������

������������

//

Page 89: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

���#����������������������&���������������������&���������������������������#!0�������'�������&���������;0�"�������������������� �%������&��������$������'������������&�����������������$�'�����&���������'������(

"��������=================�"����������==================�

���� ���������

�����������

�����������

����� ���������

�����������

�����������

/;

Page 90: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

���%� $�'����������&�%0���������������������������'���#�������&���0��������������������!0���������

"��������=================�"����������==================�

���� ���������

�����������

�����������

����� ���������

�����������

�����������

;�

Page 91: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

���,� "�����&��������������������#0�����>�����$�'������������&��������'���#�0�����>�����������������/��������&��������'���!0�����>���������������&������������������(

"��������=================�"����������==================�

���� �����������

�����������

�������������

����� �����������

�����������

�������������

;�

Page 92: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ���������$��%� ��������!�)�����

� ������������������#+��������������'����!?'������������������'�����#?�"�������������&������������#� !�$�'�����&����(

������ ��������� ����������

!?

�#?

�����

�������9������8�:�===============================================� <���������-���������������&���'�����5���������������.����4

����#���������������#/ ������������������+ ���-'����5���������+�����$�'����'�������������������(

���� ���� ��������

�����

5��

�����

�������9������8�:�===============================================� �����������������������������������&�#0����������$�'����

��������&#�0������������������������4��,0�����(

���� ���������� ������

�#0

#�0

�,0

�������9������8�:�===============================================� ������&��'��������'�'��������������.�&��'&��!������������'���

����#�����'������'����������������-�! ������.������������ # ��������������$�'&���'�����'���(

���� ���� ��������

1���

.���

�����

�������9������8�:�===============================================

;#

Page 93: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

� ���������������@%�-# ������4�&&���/0'��������������������&&�������%0����'�����������@�/� �1������������������������������(

��������� ���� ��������

5��4

*����

�����

�������9������8�:�===============================================� ���������������@%�-# ������4�&&���/0'��������������������&&���

����%0�$���������,0������������&��&�������1�����������������������������(

��������� ���� ��������

5��4

*����

�����

�������9������8�:�===============================================� ������������������������������������&�����������������/0��������

<�������#�0������������������������0�����������$�'�����&������������������������������(

���� ���������� ������

5��)�����

�������

������

�������9������8�:�===============================================� ������'�����&�/������������&�������8����� ����������:�"��

4����������������'����-�&�����������������'�����&�������������

������ ��������� ����������

���

�����

�������9������8�:�===============================================

;%

Page 94: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ���������$��%� ��������!�*�%�

������������ !�����"��!�#

.&���'��'����������'��������������&�������������-����������'�4��'���������������������

��������������������������������������������������������������� �������������������!�

��������������������"��#$%����������������&��������'���������������������������(

�4��'�������������9�����������4�������9���������

�:1����&���������4���'���������4���($�'����'������������������(

#:"���A�����������$�'�������'��������(

%:$�'��������������������4��(

,:$�'������������4�����������������4��������&&������'�A���������(

:.&����������������4���'�������-��'����4��A����4���'�������(

;,

Page 95: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

;

Page 96: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� �������������������

����� "'�������������������������4������������&����������-�������4����������� 0���������������������%0���������������"�����������������������������; �

��������� ���� ���� ��������

����4�

5����

"����

����� �������&� ���������������������&����������������&����������-���������&��������������+0����������������������� �+0���������������"����������������������������#; �

��������� ���� ���� ��������

B����������

�������

"����

��

Page 97: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ���������+�����"���(�������

C���� ������&�����������������������������

����� ����� ����� ����� ����� ����� ����

����������������� ������������������

"���-����������������������� ������������������������

D������)�����������

���C��������

��������������������������

��� �������������������������

C��� ����������

D�'��)�������������C����������������������������������������

��� �������������������������

�������������

C��� ���

D�'��)������5�������� ������

C��������� ������ �������� ����������������������������

��� ����������� ��� ��� ����

C��� � ����� ���������

Page 98: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

E�������)�����

����

���

����)���������"����������*��������������""��������"���������������

C���������

�����������������

���������

��������

���

��

���

�����

����

� ���

C����

��

�� �

��

*�����������)�����

��

���

��

����

����

-'������������

#+����������������"��������������������������������������(

%+�&������������(

,������-���

���

����������

��

����

�����

����

���

�����

����

���

�� �

���

������

��

Page 99: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

F���D�'��)��������G.�����/����������������0�#������"��1

C�����������

�������������

������-��������� �

��� � �

� ��

� ��� ����

��� � ����� � �

����

���� �

C�������D�'��)����� ����������������� ����������

����

����������������������

��������/��������������������������*��������������������������

C����������������

��

���������������������

-������

�������������������

��� ��� ���

� �������

� �� ���

����

�����

)���&������������� �

� ��

��

��C���������� �

���� �� �� ���� �������������� � �� �

� ���� ��

� ���� �

� � ��

�� �

��

Page 100: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

�������

�������

�����4�G$�'����&��������.����(H

���������-��� ����

��

����� �

� ��

��

���������������G������������������������

���������������H

��

��

���

��

����

����

-'�������������4��

�:������������&���������������������������������(

#:$�'��������(

�I��������������������������������������������������

�����������������-���-����������������������'���������-

���

���

Page 101: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ���������&� ��,�%����"���(�������

$!%������!�!�����&�%���'�����23�����������4����+�

���������������(��������������������(%���)���*��'���(�������

���������

+�"�%���*�)��%�����������������)'�*�)��%�����'����(������

��� ������

�,���!������������������������%���%����������!����%�����'���

�(������

� �� ��

��

��

+'�%�)���

J2��4&��������������

� ���

��

� ��

��

���

��

���

��

������������������������������������������

�������������������������������������������

������������������������������������������

�������������������������������������

+�)�������!�!�����-�.��!"���(������2,�����/��5��������4����+

����������.��!"���(����������%�)!(%�)����*��'�����������'��(��!�!"��

�(������

��� ���

���� ��

�����!���'������%���%�/�%������!����%0��������.��!"���(�������������������'��(��!�!"���(������!���'�������!����%�/�%�����%���%0�

���� �

����

���

���

+'�%�)���

J2��4&��&������'���������������������

���

���

��

��

���������������������������������

�����������������������������������

������������������������������������

���������������������������

�����������������

���

Page 102: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

����� �����������!������"�����������������#�����26����7����4����+

�(%���)�'�������������������������

����������*��'���(�������

�������������������

�������������������

��

�������������������

�������������������

+'�%�)���

J2��4&��&�������&����������������

���������84��������������������&���

�����������:�

���

���

��

����

����

������������������������������������

�������������������������������

�����������

$����� �����������!������"�����%����������$��������"���26����7����4����+

�,���!���'�������������������������

������!**�%��)���*��'���(�������

�����������������

�����������������

��������������������������������

+'�%�)���

J2��4&��&�������&��������������

��&&����������

B���&���������������������

�������

��������

������������������

B���&�����������������������

��������

�������

��

�����������������

�%����������������������������������

�������������������������������&�

'������������&�

������������'��������������������&���'������������������������-����������������������������������������&�������&�������������

��������1�%���(����������� ����

�����'���������(����������������&�� ���� �

���

Page 103: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

�� ���

��

�� ��

� � ���

����

��� �� ������ �

��

���

Page 104: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

��� �� ����� ����

��� ���� ��� ���

���

Page 105: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� �����,�����-�,�.�������

���� ��������

���� ��������

���� ��������

���� ��������

����� ���������

����� ���������

����� ���������

����� ���������

���

Scienti�c Notation has the form:

±___ . ___ ___ ___ ×10± ___

0

positive -> largersmaller <- negative

1

<- near zero ->

-1

far from zero -><- far from zero

Negative Exponent Positive ExponentPositive Exponent

Positive or Negative Near or Far from Zero

One Nonzero Digit

Page 106: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

*������������������������&��C������������������

�����������

�������������

��������������

*����������������������������������&��C��������

������ !�K

���#-�, -% /K

���������/�;%K

1����'����������������

�������������������

�����������������

�����������������������

������������

������������

����������

������������

���������

����������

���

Page 107: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ����/��������� ����������

D��������������G����������H

� �������

�� �������

� ������

������� C�����&D�����������

B������������� ��

5������������� ��

"������������� ���� ��

*��&&������ % �!

*�������

3����� % # � �

*�������

��� �� ���� ������ ��� ���

��� � ���� ���������� ���� �����

��� �� ���� ������� ���� �����

��

Page 108: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ����'����������� ����������

������������������������ �� ���� � �� ������� ���!�����

���� ���"!��

��� ��

��� � ������ ����

��� �� �� ��� �� ����

��� � ���� ���� ���� ��� �� ���� ��� ����

��� ���������� ���� ��� � ������ �������

���� ��� � ������� ��������� ��� � ������� ���

���

Page 109: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

��������&�������������&����������

���������������&

��������������������

����� <���� .���� 2���

������ �������� ������� ��������

��� �� ����� ��� ��� ������

L���������������������&�<.2�

������������%����������������������&;�9����������

.���������������������������"����������������

�����������������������'������������������������������&� ��

"���-��9����'������������������������������ ����

���

� ��

�� ��

� �

Page 110: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

��� �� �����

��� ������ ��� � ��������� ����

���

Page 111: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ��0����,���� ��%�,��

)���&���9�������������������� ������� �����

��� �������� ����� �� ��� ���

��� �� ��� ����� �������� ����� ������ ������

��� � ��������� �������� ��� �� ������ ��� ���

)���&�����������&&����������� ������������

��� ���� �� ������ ��� ���� ��� ���

��� �� �� �

���� �� �

���� ������� ������

��� � ����� ������ ���� ���

���

Page 112: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

������������� ����1���������-� ����������

3�������������������

��� �

���� ����

� ��

� ��������

����� �

����� �

��� ���� �

�� �

3�������'�������������������������������

�� ������� ���������� �� �� ����� �

�� ������ ��� ����

��#

Page 113: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

83�������'����������������:

�� ���� ���������� ���

���#� ���� � ��������

���#� ���� ���� ��� �

�� ���� ��� ���������� ���

���#� ���� ��� � ��������

���#� ���� ���� ��� �

)��������&��'��������������&������������������������

���)�'�����

����������������

"�������������������������������������������������������������������

����

��%

Page 114: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

83�������'��������������:

�� �� ���� �

�� ��� ����������

������ #�� �

��� ��� ��� �

�� � ���� ��� ���������� ���

���#�� ���� ��� �

��,

Page 115: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

ab

ba

a+b

Benjamin Etgen 6 Diamonds

1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as

a product of two integers. For example, 20=4⋅5 , 20=−4⋅−5 , 20=2⋅10 ,

20=−2⋅−10 , 20=1⋅20 , 20=−1⋅−20 .

(a) 8 (b) 16 (c) 15 (d) 21 (e) 23 (f) 36

2 Find two numbers such that their product is the number in the top diamond

and their sum is the number in the bottom diamond.

Example: Complete the diamond by determining two factors of 3 that have

a sum of -4. Since 3=1⋅3 and 3=−1⋅−3 are the ways of rewriting 3 as a

product of two integers, we must chose the two whose sum is -4. Since we

−1+−3=−4 chose the pair -1 and -3.

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g) (h)

115

18

9

18

-9

-12

1

54

15

-12

-1

3

-4

9

10

3

-3-1

-4

-15

2

-15

-2

Page 116: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen Factoring

116

Page 117: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

117

Page 118: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 6§1 Factoring

When we rewrite 6=3×2, we are factoring.

To factor out the a common factor, we use the distributive property in reverse:

Distributive Property: 3(x+7)=3 x+21

Factoring: 3 x+21=3 (x+7)

Factor out the Greatest Common Factor (GCF), if possible.

(a) 5x + 15 (b) 8x −12 (c) 14x2−21x

(d) 9x2+3x (e) 45z + 3 (f) 5m + 3n

(g) 8x3y2−12x

2 (h) 15x

3yz−20x

2y3z2

(i) 6s2t5−4s

2t2

(j) 8x3y2−12x

2+14x

3y (k) 21x

2y2−35xy

3+7y

2

118

Page 119: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 6§2 Factoring By Grouping

(l) 2x(x+3)+5(x+3) (m) x(2x−1)+(2x−1)

(n) −x2−x+3xy+3y (o) −3x+xy

2−x

2y+3y

(p) −5x+x2y+5xy−25 (q) −5x+3xy−15xy−25

(r) x−y3−y2+xy (s) −5x+xy−7y+35

119

Page 120: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 6§3 Factoring One-Sum-Product

Factor the following trinomials. Then, check by multiplying.

(a) 1 x2+8 x+12 (b) 1 x

2+2 x−15 (c) 1 x2−11 x+28

(d) x2−2 x−15 (e) x

2+5 x−14 (f) x2+10 x−21

120

12

8

-15

2

28

-11

Page 121: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 6§4 Factoring Trinomials

Factor the following trinomials. Then, check by multiplying.

(a) 3 x2+8 x+5 (b) 6 x

2+13 x+6

(3 x2+___ x)+(___ x+5) (6 x

2+___ x)+(___ x+6)

(c) 2 x2+2 x−12 (d) 8 x

2−18 x−18

2( x2+x−6) 4 (4 x2−9 x−9)

4 x2___ x | ___ x−9

121

Page 122: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 6§5 Factoring Special Products

Difference of Squares: x2− y

2=(x+ y )(x− y)

In general: (A )2−(B )2=(A+B )( A−B)

Ex: x2− 1

4=( )2−( )2=( + )( − )

Ex: 2 x2−50=

Ex: 4 x2−49=

Ex: x2+25

Perfect Square Trinomial: x2+2 xy+ y

2=(x+ y )2

In general: (A )2+2(A )(B )+(B)2=(A+B)2 and (A )2−2(A )(B)+(B)2=(A−B)2

Ex: 16 x2+56 x+49

1) ( )2+2( )( )+( )2 Find A and B.

2) ( )2+2( )( )+( )2 Check that 2AB is the linear term.

3) ( + )2 Use the rule to factor.

Ex: 9 x2−42 x+49

122

Page 123: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Difference of Cubes: x3− y

3=(x− y)(x2+xy+ y2)

In general: (A )3−(B )3=(A−B)((A )2+(A )(B)+(B)2)

Ex: 8 x3−1=( )3−( )3=

Ex: 64 x3− y3=( )3−( )3=

Sum of Cubes: x3+ y

3=(x+ y )(x2−xy+ y2)

In general: (A )3+(B)3=(A+B )((A )2−(A )(B)+(B)2)

Ex: x3+1=( )3+( )3=

Ex: 27 x3+125=( )3+( )3=

123

Page 124: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 6§7 Solve by Factoring

Zero Factor Property

Ex: (9 x+7)(3 x−8)(2 x+1)=0

Zero: ✔

Factor: ✔

Property:

Ex: x2+2 x−8=0

Zero: ✔

Factor:

Property:

124

a⋅b=0

a=0 b=0

Ex: Solve (x−3)(x+2)=0

x−3=0

x=3

x+2=0

x=−2

Page 125: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex: 49 x2=9

Zero:

Factor:

Property:

Ex: 49 x2=3(10 x−3)

Zero:

Factor:

Property:

Ex: x (6 x−1)=2

Zero:

Factor:

Property:

125

Page 126: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 7 Simplifying Rational Expressions

Compare the way we simplify a fraction with the way we simplify a rational expression:

Ex. 1: Simplify Same as fractions!

2 x2+7 x+3

4 x2−1

385

1001

• Step 1: Factor the numerator and the denominator.

(x+3)(2 x+1)(2 x+1)(2 x−1)

11⋅7⋅5

11⋅7⋅13

• Step 2: Cancel the common factors.

x+3

2 x−1

5

13

Ex. 2: Determine where the rational expression is undefined.

x2−2 x−15

x−4

• Step 1: Set the denominator equal to zero.

x−4=0

• Step 2: Solve the resulting equation.

x=4

Same as fractions!

When x=4 ,

x2−2 x−15

x−4=

−7

0

Recall that you can

not divide by zero.

126

Page 127: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex. 3: Multiply the rational expressions. Same as fractions!

( 9 x2−1

x2−2 x−15 )( x

2−5 x

3 x2+10 x+3 ) 15

14⋅

22

35

• Step 1: Factor all numerators and denominators.

(3 x+1)(3 x−1)(x+3)( x−5)

⋅x(x−5)

(3 x+1)(x+3)3⋅5

2⋅7⋅

2⋅11

5⋅7

• Step 2: Cancel any common factors.

x(3 x−1)(x+3)(x+3)

3

7⋅

11

7

• Step 3: Perform any remaining multiplication.

3 x2−x

x2+6 x+9

33

49

Ex. 4: Divide the rational expression.

Same as fractions!

x+3

x2+5 x

÷x

2−9

x+5

3

10÷

21

5

• Step 1: Multiply by the reciprocal.

x+3

x2+5 x

⋅x+5

x2−9

3

10⋅

5

21

• Step 2: Multiply the rational equation.

x+3

x(x+5)⋅

x+5

(x+3)( x−3)=

1

x (x−3)=

1

x2−3 x

3

2⋅5⋅

5

3⋅7=

1

2⋅7=

1

14

127

Page 128: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex. 5: Combine the rational expressions. Same as fractions!

x+9

x2−3 x−10

−x+5

x2−5 x

15

143−

6

91

• Step 1: Factor denominators.

x+9

(x−5)(x+2)−

x+5

x(x−5)15

11⋅13−

6

7⋅13

• Step 2: Multiply numerator and denominator

by the missing factors of each term separately.

x

x⋅

x+9

(x−5)( x+2)−

x+5

x (x−5)⋅(x+2)(x+2)

7

7⋅

15

11⋅13−

11

11⋅

6

7⋅13

• Step 3: Combine.

x(x+9)−(x+5)(x+2)x (x−5)(x+2)

7⋅15−11⋅6

7⋅11⋅13

• Step 4: Simplify the numerator.

(multiply, then combine like terms)

(x2+9 x)−(x2+7 x+10)x (x−5)(x+2)

=2 x−10

x (x−5)(x+2)105−66

7⋅11⋅13=

39

7⋅11⋅13

• Step 5: Factor the numerator.

2( x−5)x(x−5)(x+2)

3⋅13

7⋅11⋅13

• Step 6: Cancel any common factors.

2

x(x+2)=

2

x2+2 x

3

7⋅11=

3

77

128

Page 129: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 7§1 Simplify Rational Expressions

Evaluate 4 x+7

3 x+9 at…

… x=2

… x=−4

… x=−3

What values make the rational expression undefined?

Ex:3 x

x2+6 x+8

Ex:2 x+6

x2−9

129

Page 130: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Simplify:

Ex:x

2−1

1−xEx:

12 x2−3

8 x−4

Ex:x

2+3 x

x2−9

Ex:x

2−4 x−5

x2+x

130

Page 131: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 7§2 Multiply Or Divide Rational Expressions

Ex:2 x

2+7 x+3

x2−9

⋅x

2−3 x

2 x2+11x+5

Ex:x

2+4 x−5

x2+7 x+10

÷x−1

x+5

131

Page 132: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 7§3 Least Common Denominator

Ex:7

10+

1

25LCD is:

Ex:9

8 x4+

11

12 x6

LCD is:

Ex:6

x2−4 x

+3 x−1

x2−16

LCD is:

Ex:12

x−3+

5

3−xLCD is:

132

Page 133: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 7§4 Combining Rational Expressions

Ex:5 x

x−1−

x+5

x−1Ex:

−2

x+1+

4 x

x2−1

Ex:x

x−2+

−8

x2−4

Ex: 1+2

x+2

133

Page 134: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex:x+47

x2+4 x−5

+x+12

x2+11 x+30

134

Page 135: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

2x−7

x2−2 x−8

+ x−3

x2−6 x+8

135

Page 136: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 7§7 Solving Rational Equations

Worked Example 1: Solve. Check your answer.

1

x−1+ x+4

x+3= 1

x+3

• Step 1: When solving we need the least common denominator. First we factor

the denominators.

1

x−1+ x+4

x+3= 1

x+3

• Step 2: Then, multiply each term by the LCD. In this case LCD: (x−1)(x+3)

1

x−1(x−1)(x+3)+ x+4

x+3(x−1)(x+3)= 1

x+3(x−1)(x+3)

(x+3)+(x+4)(x−1)=x−1

• Step 3: Solve the resulting equation. Ask yourself, if the equation is linear or

quadratic.

(x+3)+(x2+3 x−4)=x−1 Since this equation is quadratic, we will use the

Zero Factor Property (ZFP).

x2+3 x=0 becomes x(x+3)=0 so x=0 or x=−3 .

• Step 4: Check the proposed solutions in the original equation.

When x=0 the equation is solved, 1

3=1

3 .

When x=−3 the equation is undefined.

Thus, x=0 is the only solution.

136

Page 137: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex 1: Solve. Check your answer.

10

x−2− x+3

x+2= 2

x+2

• Step 1: When solving we need the least common denominator. First we factor

the denominators.

10

x−2− x+3

x+2= 2

x+2

• Step 2: Then, multiply each term by the LCD. In this case LCD: x−2( )x+2( )

• Step 3: Solve the resulting equation. Ask yourself, if the equation is linear or

quadratic.

• Step 4: Check the proposed solutions in the original equation.

137

Page 138: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Worked Example 2: Solve. Check your answer.

1

x+2+ x+1

x2+x−2

= 1

x−1

• Step 1: When solving we need the least common denominator. First we factor

the denominators.

1

x+2+ x+1

(x+2)(x−1)= 1

x−1

• Step 2: Then, multiply each term by the LCD. In this case LCD: (x+2)(x−1)

1

x+2(x+2)( x−1)+ x+1

(x+2)(x−1)(x+2)(x−1)= 1

x−1( x+2)(x−1)

(x−1)+(x+1)=x+2

• Step 3: Solve the resulting equation. Ask yourself, if the equation is linear or

quadratic.

2 x=x+2 Since this equation is linear, we will isolate the variable.

x−2=0 becomes x=2 .

• Step 4: Check the proposed solutions in the original equation.

When x=2 the equation is solved, 1=1 .

138

Page 139: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex 2: Solve. Check your answer.

−4

x+2+ x−4

x2+7 x+10

= 3

x+5

• Step 1: When solving we need the least common denominator. First we factor

the denominators.

−4

x+2+ x−4

(x+5)(x+2)= 3

x+5

• Step 2: Then, multiply each term by the LCD. In this case LCD: (x+5)(x+2)

• Step 3: Solve the resulting equation. Ask yourself, if the equation is linear or

quadratic.

• Step 4: Check the proposed solutions in the original equation.

139

Page 140: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen Solving Rational Equations

Solve. Check your answer.

1

x+2+ x+1

x2+x−2

= 1

x−1

• Step 1: When solving we need the

least common denominator. First we

factor the denominators.

1

x+2+ x+1

(x+2)(x−1)= 1

x−1

• Step 2: Then, multiply each term by

the LCD.

In this case the LCD is: (x+2)(x−1)

(x−1)+(x+1)=x+2

• Step 3: Solve the resulting equation.

Ask yourself, if the equation is linear or

quadratic.

2 x=x+2 Since this equation is linear,

we will isolate the variable.

x−2=0 becomes x=2 .

• Step 4: Check the proposed solutions

in the original equation.

When x=2 the equation is solved,

1=1 .

Combine the rational expressions.

1

x+2+ x+1

x2+x−2

• Step 1: Factor denominators.

1

x+2+ x+1

(x+2)(x−1)

• Step 2: Multiply numerator and

denominator by the missing factors of

each term separately.

x−1

x−1⋅ 1

x+2+ x+1

(x+2)(x−1)

• Step 3: Combine.

(x+1)+(x−1)( x+2)(x−1)

• Step 4: Simplify the numerator.

(multiply, then combine like terms)

2 x

(x+2)(x−1)

• Step 5: Factor the numerator.

• Step 6: Cancel any common factors.

2 x

(x+2)(x−1)

140

Page 141: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 8 Roots And Radicals

1 Complete the following pairs of squares and square roots.

(a) 22=___ and √___=2 (b) 3

2=___ and √___=3

(c) 42=___ and √___=4 (d) 5

2=___ and √___=5

(e) 62=___ and √___=6 (f) 7

2=___ and √___=7

(g) 82=___ and √___=8 (h) 9

2=___ and √___=9

(i) 102=___ and √___=10 (j) 11

2=___ and √___=11

(k) 122=___ and √___=12 (l) 13

2=___ and √___=13

(m) 142=___ and √___=14 (n) 15

2=___ and √___=15

2 Complete the following pairs of cubes and cube roots.

(a) 23=___ and

3√___=2 (b) (−2)3=___ and 3√___=−2

(c) 33=___ and

3√___=3 (d) (−3)3=___ and 3√___=−3

(e) 43=___ and

3√___=4 (f) (−4)3=___ and 3√___=−4

(g) 53=___ and

3√___=5 (h) (−5)3=___ and 3√___=−5

(i) 63=___ and

3√___=6 (j) (−6)3=___ and 3√___=−6

141

Page 142: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 8§1 Square Roots

Operations come in pairs with their inverses:

3+5=8 is undone with 8−5=3

7⋅6=42 is undone with 42÷6=7

42=16 is undone with √16=4

√16 is the “square root” of 16.

The square (like all other even powers) looses the sign. The square of 5 and -5 are

both 25.

Since there is no information about the sign remaining after squaring, we can not

know if a positive or a negative was squared. This means that there are two square

roots of 25, both 5 and -5.

We use the sign to tell us which square roots we want:

Ex: √16=______ Ex: −√81=______

Ex: ±√4=______ and ______ Ex: √49=______

142

52

25(−5)2

5

−5±√25

5

and

−5square 25 square root

5

and

−5

Page 143: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Since the product of fractions is simply the product of the numerators and the

product of the denominators, taking the square roots of fractions is the same as

taking the square root of the numerator and the denominator separately.

Ex: √ 25

196=

since ( )

2

=

.

Ex: −√ 36

49=−

Because the square of all (real) numbers are positive (or zero), negative numbers

do not have square roots.

Taking the square root of a negative requires finding a number that is negative

when you square it.

Suppose that there was a number x that was the square root of -9, √−9=x . Then,

that would mean that x2=−9 . Since there is no (real) number that makes this true,

then √−9 is not a real number. (In intermediate algebra √−9=3 i .)

Ex: √9 Ex: −√9 Ex: √−9 Ex: −√−9

Product Rule:

(No Sum Rule! Both √x+ y and √x+√ y can not be simplified.)

Simplify: √28 Simplify: −7√75

Simplify: √145

143

Page 144: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

If we know that x is positive, then √x2=x . (In intermediate algebra √x

2=|x| .)

All variables are positive:

Simplify: −3√72 x y2z

3

Simplify: √x4y

5z

6

144

Page 145: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 8§2 Higher Roots

33= (−3)3=

Since the cube of a positive is positive and the cube of a negative is negative, the

cube keeps its sign. Thus, the cube root of a negative is a real number.

Ex: 3√27=______ since ______

3=______ .

Ex: 3√−27=______ since ______

3=______ .

Ex: 3√−8=______ Ex:

3√375=______

Ex: 3√72 x

2y

3z

4=______ Ex: 3√189 x

6y

7z

10=______

145

3 cube 27 cube root 3

−3 cube −27 cube root −3

Page 146: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 8§3 Combining Radicals

Ex: 2 x−5 x= Ex: 2 x−5 y=

Ex: 2√3−5√3= Ex: 2√3−5√6=

Recall that √x+√ y can not be simplified.

Ex: x−2 x= Ex: √6+√7=

Ex: √17−2√17= Ex: 5√3+√12=

Ex: 3√27+2√3−√12= Ex: −33√16+2

3√2=

146

Page 147: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 8§4 Multiply and Divide Radicals

...just like multiplying polynomials. Because of the product rule, we can distribute,

FOIL and use the multiplication algorithm.

Product Rule: √x⋅√ y=√x⋅y

Ex: √2⋅√5= Ex: 3√5⋅7 √2=

Ex: x√2⋅3√ y= Ex: √6⋅√15=

When we are squaring, it is easier to not use the product rule:

Ex: √72= Ex: √3 x+7

2=

Ex: √2⋅√2= Ex: √x+5⋅√x+5=

When we have a special product, it is easier to not use the product rule:

Rule for a sum and difference: (A+B )(A−B)=A2−B2

(√5+3)(√5−3)=√52−32=5−9=−4

Ex: (√7+√2)(√7−√2) Ex: (2√3−1)(2√3+1)

Rule for squaring binomials: (A+B )2=A2+2 AB+B2

(√5+2)2=(√5)2+2(√5)(2)+(2)2=5+4 √5+4=9+4 √5

Ex: (√10−5)2 Ex: (√15−√6)2

147

Page 148: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Distribute:

Ex: 2√5(3+√2)= Ex: 6 √15(2√3−7√5)=

FOIL:

Ex: (√2+1)(√5+3)= Ex: (2√6+3)(3 √6+7)=

Quotient Rule: √ x

√ y=√ x

y

Recall that the same number can be written in different ways:2

3=

4

6=

6

9=⋯ and √75=√25⋅√3=5⋅√3=5 √3

When we simplify radicals involving fractions, we want:

1) no radicals in the denominator, and

2) no fractions in radicals.

We don’t actually divide!

148

Page 149: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex: √5

6=√5

√6=√5

√6⋅√6

√6=√5⋅√6

√6⋅√6=√5⋅6

√62=√30

6.

Ex: √12

√3= Ex:

√5

√45=

Ex: 1

√3= Ex:

2

3 √5=

Ex: √ 7

11= Ex: √ 3

100=

149

Page 150: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 8§5 Rationalize Radicals

Ex: √5⋅______=5 Ex: 3√2⋅______=2

Ex: √18⋅______=6 Ex: 3√4⋅______=2

Ex: (√3−5)(________)=3−25=−22 Ex: (2√5+3)(________)=

What is the conjugate of 3√5+3 ?

Ex: 1

2√6= Ex:

1

2+√6=

150

Page 151: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex: 5 √7−10

5= Ex:

2√3

√3+1=

Ex: √3+3

√3−1= Ex:

13√4 x

2y

3z

4=

151

Page 152: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 9§1 Solving with Radicals

Looking at the equation √x+5=3 it is natural to square both sides in order to

undo what was done to x. However, squaring loses the sign.

Look at what happens to this false statement when we square both sides:

5=−5

(5)2=(−5)2

25=25

Squaring made this false statement look like a true statement because it lost the

sign. For this reason we MUST CHECK when we square both side of an equation.

Ex: √x+5=3 Ex: √x+5=31) Isolate a radical:

2) Square both sides:

3) Simplify and solve:

4) Check:

152

5

and

−5square 25 square root

5

and

−5

Page 153: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex: √10 x−8=3√x Ex: √3 x−5=√2 x+1

Ex: 7 x=√49 x2+2 x−10 Ex: √2 x+4=x

153

Page 154: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 9§1 Solving Equations With Two Radical Terms

Ex. 1:Solve. Check your answer.

√x+4−√x−1=1

• Step 1: Isolate a radical term and then square both sides. (Repeat as needed.)

isolate: √x+4=1+√x−1 square: (√x+4)2=(1+√x−1)

2

The resulting equation, x+4=2√x−1+x , still has a radical we perform step 1

again:

• Step 1: Isolate a radical term and then square both sides.

isolate: 2√ x−1=4 square: (2√ x−1)2=(4)2

• Step 2: The resulting equation, 4 (x−1)=16 , no longer has a radical term. We

solve the equation. In this case the equation is linear, so we isolate the variable.

x−1=4 becomes x=5 .

• Step 3: Check the proposed solutions in the original equation.

When x=5 the equation is solved, 1=1 .

154

Page 155: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex. 2:Solve. Check your answer.

√2 x+3=√x+13+1

• Step 1: Isolate a radical term and then square both sides. (Repeat as needed.)

isolate: A radical is already isolated. square: (√2 x+3)2=(√ x+13+1)

2

The resulting equation, 2 x+3=2√x+13+x+14 , still has a radical we perform

step 1 again:

• Step 1: Isolate a radical term and then square both sides.

isolate: 2√ x+13=x−11 square: (2√ x+13)2=( x−11)2

• Step 2: The resulting equation, 4 (x+13)=x2−22 x+121 , no longer has a radical

term. We solve the equation. In this case the equation is quadratic, so we use the

ZFP.

0=x2−26 x+69 becomes 0=( x−23)(x−3) so x = 23 or x = 3.

• Step 3: Check the proposed solutions in the original equation.

When x = 23 the equation is solved, 1 = 1.

When x = 3 the equation is not solved, -1 = 1.

Thus, x = 23 is the solution to the radical equation.

155

Page 156: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Solve the radical equation.

Ex.1: √x+3−√x−1=2

156

Page 157: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 9§2 Solving with Exponents

Looking at the equation (x+5)2=25 it is natural to take the square root of both

sides in order to undo what was done to x. However, the there are two square roots.

When we take the square root, we must remember that there is both a positive and

negative root:

(x+5)2=25

√(x+5)2=±√25

x+5=±5

x+5=5 or x+5=−5

x=0 or x=−10

Remembering that we MUST HAVE BOTH ROOTS is called the Square Root

Property.

We should not be surprised that there are two solutions, since we found two

solutions when we used the Zero Factor Property.

Zero Factor Property

x2=81

x2−81=0

(x+9)(x−9)=0

x+9=0 or x−9=0

x=−9 or x=9

Square Root Property

x2=81

√x2=±√81

x=±9

157

5

and

−5square 25 square root

5

and

−5

Page 158: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Solving for x Arithmetic: ↓ Algebra: ↑

x2

5 x2

5 x2+4

Ex: x2=80 Ex: (3 x+2)2=49

The Square Root Property is how we started the semester, using the inverse

operation in the opposite order from the order of operations.

Solve 5 x2+4=8

Since algebra undoes arithmetic, we do the inverse of each step and in the opposite

order.

158

Page 159: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex: x2+5=0 Ex: 3 x

2+1=73

Ex: 5 x2=80 Ex: (2 x+1)2+3=21

159

Page 160: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 9§3 Solving Equations By Completing The Square

Solve x2−10 x−11=0 by completing the square.

We need (1) the variables on one side and (2) the leading coefficient to be “1”.

x2−10 x+___=11

b:

-10→

half:

-5→

square:

25

We add the square of the half, 25, to both sides.

x2−10 x+25=11+25

To factor the left side, a perfect square trinomial, we use the half.

x2−10 x+25⏟( x−5)2

=11+25⏟36

(x−5)2=36

The square root property will allow us to solve for x.

√(x−5)2=±√36

x−5=±6

x−5=6

x=6+5

x=11

Check:

x−5=−6

x=−6+5

x=−1

160

Page 161: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex. 1 x2−4 x=60

b:

____→

half:

____→

square:

____

x2−4 x+___=60+___

(x ____)2=___

√(x ____)2=±√___

x ____=±___

Ex. 2 x2+4 x=117

b:

____→

half:

____→

square:

____

x2+4 x+___=117+___

(x ____)2=___

√(x ____)2=±√___

x ____=±___

Ex. 3 x2−2 x=8

b:

____→

half:

____→

square:

____

x2−2 x+___=8+___

(x ____)2=___

√(x ____)2=±√___

x ____=±___

161

Solve the equation by

completing the square. Make

notes to yourself in the margin.

Be sure to explain to yourself

when to use the half and the

square.

Page 162: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 9§4 Quadratic Formula

Completing the square on the general quadratic equation, ax2+bx+c=0 , we

derive the quadratic formula:

x=−b±√b

2−4 ac

2a

Ex: x2+12 x−13=0

Ex: 2 x2+12 x=−5

162

Page 163: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex: 2 x2+x+5=0

Ex: 4 x2−x+4=x+7

163

Page 164: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 9§7 Rectangles

Ex: In a landscape plan, a rectangular flowerbed is designed to be 4 meters longer

than it is wide. If 60 square meters are needed for the plants in the bed, what

should the dimensions of the rectangular bed be?

Ex: A rectangular lot is 20 yards longer than it is wide and its area is 2400 square

yards. Find the dimensions of the lot.

164

Page 165: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex: The area of a rectangle is 48 sq-ft and its perimeter is 32 ft. Find its length and

width.

165

Page 166: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 9§8 Teamwork

Ex. 1: Lea can pack for a summer vacation in Monterey in 3 hours while Chris

takes 6 hours. Complete the table to approximate how long it will take

them working together.

Lea takes 3 hours to pack: Chris takes 6 hours to pack:Working

together:

time

(hours)

fraction of

the job

time

(hours)

fraction of

the job

fraction of

the job

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

t t

Now, write the equation for the time it will take them to pack when working

together. Solve:

166

Page 167: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex. 2: Jill can paint a room in 12 hours while Carl takes only 8 hours. How long

it will take them working together?

Ex. 3: Working together, Ellen and Dianna can plant the garden in 3 hours.

Working alone would take Ellen 12 hours. How long would it take

Dianna working alone?

Ex. 4: Working together, Steve and Peter can trim the bushes in 4 hours.

Working alone would take Steve 15 hours. How long would it take Peter

working alone?

167

Page 168: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Benjamin Etgen 9§11 Graphs of Quadratics

Ex: Graph y=x2

x y

3

2

1

0

-1

-2

-3

Ex: Graph y=−x2+4

x y

3

2

1

0

-1

-2

-3

168

Page 169: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex: Graph y=(x+3)2

x y

3

2

1

0

-1

-2

-3

169

Page 170: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex: Graph y=x2+2 x−3

x-intercept:

y-intercept:

x-vertex:

y-vertex:

Vertex:

170

Page 171: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product

Ex: Graph y=x2+2 x

x-intercept:

y-intercept:

x-vertex:

y-vertex:

Vertex:

171

Page 172: Beginning Algebra Workbook 3rd Edition - Amazon S3€¦ · ab a b a+b Benjamin Etgen 6 Diamonds 1 Factor the following numbers in as many ways a possible by rewriting each as a product