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BUREAU D’ÉTUDE II
• Fatigue (Cour & TD: 6h)
• Tribologie (Contact Hertzien) (Cour & TD: 4h)• Lien flexible (Courroies) (Cour & TD: 4h)
• Couplage Moteur/Récepteur (Cour & TD: 4h)• Engrenage (Cour & TD: 16h)
• Etanchéité (Cour & TD: 6h)
• Projet (40 h)
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FATIGUE
• Concentration de contrainte• Limite d’endurance/Courbe de Wöhler
• Facteurs d’influences sur sD• Diagrammes de fatigue uniaxiale
• Diagrammes de fatigue multiaxiale• Applications
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CONCENTRATION DE
CONTRAINTES
moy = !??
σmoy
σmax = k tσmoy
Zone d e concentration
moyt
k σ
σ max=
σmoy
moy= !??
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Concentration = f( de quoi)
kt est fonction de:
TYPE DE L’ENTAILLETYPE DE SOLLICITATION
Donc il existe:kt (flexion) = ktf
kt (torsion) = ktokt (traction) = ktt
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Exemple de kt
Gorge pour circlips
Mtd
D
r
D = 25 mm, r = 3 mm, d = 20 mm
r/d = 3/20 = 0.15 D/d = 25/20 = 1.25
Abaque k t0 = 1.35Si la valeur de kt ne se trouve pas sur l’abaque: Interpolation
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CONCENTRATION DE
CONTRAINTE: ABAQUE
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ENDOMMAGEMENT PAR
FATIGUEFATIGUE ?
Rupture
0
D o m m a g
e
100%
III
III
Durée de Vie
100%
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LIMITE D’ENDURANCE
• COURBE DE WOHLER
temps
c o n t r a i n t e II
I
III
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LIMITE D’ENDURANCE DE
RÉFÉRENCE σD´• Éprouvette de référence:
φ = 6 à 10 mmétat de surface de référenceforme sans entaille
• Essais de référence:Flexion rotative
• Fiabilité de référence:50% de chance de survie• Température de référence T = 25oC
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Courbe de Wohler: différentes
probabilités de survie
cycle
75% 90%50%
106
σa
σD’
σD’σD’
Acier : D’ = rt(0.58 - 1.110-4 rt) MPa D’ = 0.5 rt
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Équation de la courbe de Wohler:
Zone de fatigue limitée
103
0.9σr
106
σD'
N
σa
fiabilité de 50%
Ni
σD' (Ni)
A N k a =σ
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Équation de zone linéaire
3
3)log(
9.09.0)(
−
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′=
i N
r
Dr i D N
σ
σ
σ σ
( ) D
r
i D
r i
N
N σ
σ
σ
σ ′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ =
9.0log
3
3
)(
9.010
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Exemple
Acier 35CrMo4: σrt
= σrc
= σr
= 920 MPa.σD(106) = 400 MPa fiabilité de 50%.Déterminer σD(10
5) et Ni pour σD = 600 MPa.
MPa X
X D 5099209.04009209.0)10(
3
3)10log(
5
5
=⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ =
−
σ
( ) cycles X N X
i 213236009209.010 400
9209.0
log
3
3 =⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ =
Pour N = 1500 tr/mn
21323 cycles : 21323 / (1500) = 14 mn ???
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FACTEURS AFFECTANT LA
LIMITE D’ENDURANCEσD = kskgkpkTσD’
k s: Coef. d’effet de surfacek g: Coef. d’effet d’échelle (grosseur)
k p: Coef. d’effet de sollicitation (charge P)k T: Coef. d’effet de la température
σD : Limite d’endurance, Limite de fatigue, Résistance à lafatigue de la pièceσD’ : Limite d’endurance de référence (celle de
l’éprouvette normalisée)
FACTEURS AFFECTANT LA
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FACTEURS AFFECTANT LA
LIMITE D’ENDURANCE, suite• Pour k g
kg = 1 si ≤ 10 mm
kg
= 0.85 si 10 <≤
50 mm
kg = 0.75 si > 50 mm• Pour k T
Co71Tsi 1
Co71T si 273
344
≤=
>+= T T k
FACTEURS AFFECTANT LA
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FACTEURS AFFECTANT LA
LIMITE D’ENDURANCE, suite• Pour kp
kp = 1.00 flexion rotativekp = 1.05 flexion plane
kp = 0.90 traction - compressionkp = 1/√3 cisaillement
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FACTEURS AFFECTANT LA
LIMITE D’ENDURANCE, suite
Pour ks
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Concentration de contrainte en
fatigue kf
kf = 1+(kt -1)qkt: Coefficient de concentration de contrainte
statiqueq: Coefficient de sensibilité à l’entaille
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Coefficient de sensibilité à l’entaille
q:
TorsionFlexion , Traction, Compression
DIAGRAMMES
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DIAGRAMMES
D’ENDURANCES (Fatigue)• SOLLICITATIONS UNIAXIALES
c o n t r a i n t e
ondulé positive alterné ondulé négative
répétéquelconque
quelconque pur quelconque répété
temps
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SOLLICITATION UNIAXIALE
)sin( t am ω σ σ σ +=
2minmax
2minmax
σ σ σ
σ σ
σ
+=
−=
m
a
DIFFÉRENTS DIAGRAMMES
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DIFFÉRENTS DIAGRAMMES
D’ENDURANCES
σm
σa
σD(Ni)
++
+++
+
+
σe
droite de Soiderberg
parabole de Gerber
parabole expérimentale
droite de Goodman
σr
É ti d diffé t
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Équations des différents
diagrammes
( ) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
2
1r mi N Da
σ
σ
σ σ
( ) ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= r
mi N Daσ
σ
σ σ 1
Diagramme de Gerber
Diagramme de Goodman
( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ −=
e
mi N Da
σ
σ σ σ 1Diagramme de Soiderberg
SOLLICITATIONS
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SOLLICITATIONS
MULTIAXIALES
CONTRAINTE DYNAMIQUE: AMPLITUDE ÉQUIVALENTE
2
2)32(2)31(
2)21()(
aaaaaaeqa
σ σ σ σ σ σ
σ
−+−+−=
CONTRAINTE STATIQUE: MOYENNE ÉQUIVALENTE
2
2)32(2)31(
2)21()(
mmmmmmeqm
σ σ σ σ σ σ
σ
−+−+−=
CAS I
CAS II σm(eq) = σ1 oubien σ2
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DIAGRAMME DE HAIG
Diagramme de Haig à partir de Goodman modifié
σD(Ni)
σe σr −σe
σa
σm45ο45ο I
IIIV
III
Équations de s dans les 4
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Équations de s dans les 4
zones du diagramme
)()( eqmeqaesσ σ
σ
+=Zone I:
r
eqm
i N D
eqas
σ
σ
σ
σ )()(
)(
1
+=
)(eqa
Ds σ
σ
=
Zone II:
Zone III:
)()( eqaeqm
esσ σ
σ
−
−=Zone IV:
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Diagramme de Haig à partir de Gerber
σD(Ni)
σe
k σr
−σe
σa
σm45ο45ο I
IIIIIII
(k=2- D(N
i)/
r)
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• Hypothèses:
La courbe de Wohler expérimentale n’estpas disponible
• La zone de fatigue limitée est une droitedans le repère log-log
• T < 70 C
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• Analyse:
σD (103
cycles) = 0.9σrt = 945 MPaσD’ = σrt(0.58 - 1.110-4σrt) = 487.7 MPa (acier)
kp = 0.9 (traction)
d
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Diagramme de fatigue
N (log)
σD (log)
103 cycles 106 cycles
945 MPa
258.5 MPa
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Exemple 2
Sectionà vérifier
P
F
Mt
P = 5000 N; F = 500 N; Mt = 250 Nm; N = 1500 tr/mnr = 3 mm; d = 30 mm; D = 35 mm; l = 100 mm, T = 150 oCσe = 600 MPa; σr = 890 MPa; A% = 13; Acier: 25CD4Clavette k to = 3.8, k tf = 3.15, Rclavette=0.016d0.8 (mm)
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Calcul statique
Flexion: Mfmax = PL/4 = 5000X0.1/4 = 125 Nm
σ = 32Mf /πd3 = 32X125000/(π303)= 47 MPa
Torsion: Mtmax
= 250 Nmτ = 16Mt/πd3 = 16X250000/(π303)
= 45 MPa
Concentration de contrainte:σmax = ktf σ = 3.15X47 = 148 MPaτmax = kt0τ = 3.8X45 = 171MPa
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Calcul Dynamique
• Limite d’endurance σD’ Acier: σ
D’ = σ
rt(0.58-1.110-4σ
rt) = 429 MPa
Coefficients d’influences:kg = 0.85 φ< 50 mm
kp = 1 flexion rotativekT = 0.81 T = 150oCks = 0.7 (Abaque)
kff = 2.61 (q = 0.75 abaque et ktf = 3.15)kft= 3.38 (q = 0.85 abaque et kto = 3.8)
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Limite d’endurance réelle σD:
σD = kgkpkTksσD’= 0.85 X1X0.81X 0.7X429 = 206.7 MPa
Contrainte statique équivalente:
σm(eq) = τmax√3 = 296.2 MPa !? (Pourquoi)Contrainte dynamique équivalente:
σa(eq) = 2.61X47 = 122 MPa !? (Pourquoi)
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Haig (Goodman Modifié)
σD(Ni)
σe σr −σe
σa
σm45ο45ο I
IIIV
III
(330, 269)
Zone I: s = 1.001
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A faire (zone de compression)
Calculer le coefficient de sécurité:
• En statique par les 3 critères sansconcentration de contrainte
• En statique avec concentration decontrainte
• En dynamique par Haig construit parGoodman modifié
CONCLURE???
E l 3
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Exemple 3
• Déterminer le coefficient de sécurité de
l’arbre de la ponceuse suivante:D = 18 mm,r = 5 mm,
surface usinée100
50
d = 16 mm
Ft
ω
Fn
z
y
x
Acier: σr = 900 MPa; σe = 750 MPa; Couple de frottement Mt = 12 N.m;Coefficient de frottement f = 0.6; T
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• Mt = 12 N.m Ft = 120 N
• f = 0.6 Fn = 200 N• Les forces Ft et Fn My et Mz
• My = FtX50 = 120X50 = 6000 N.mm• Mz = FnX100 = 200X100 = 20000 N.mm
• Mf =√ My2
+Mz2
= 20880 N.mm• Abaques ktt = 1.28; kto= 1.1; ktf = 1.28
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• Abaque torsion :q = 0.93
• Abaque flexion: q =0.91• Abaque compression: q = 0.91
• kfo = 1.09; kfc = 1.25; kff = 1.25• Torsion: τ = ktoX16Mt/πd3 = 17.05 MPa
• Compression: σc = 4Fn/πd2
= -1.27 MPa• Flexion: σf = kff X32Mf /πd3 = 65 MPa
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• Statique: Torsion et Compression
σm = 29.5 MPa• Dynamique: Flexion
σa = 65 MPa
σD = 0.5X900X(kpXkgXksXkT)= 450X(1X0.85X0.7X1) = 268 MPa
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σD(Ni)
σe σr −σe
σa
σm45ο
45ο
I
IIIV
III
(738, 12)
CAS I: Zone II: s = 3.68 Von-MisesCAS II: Zone III: s = 3.8 contr. maxi
Ch t lé t i
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Chargements aléatoires
• Dommage linéaire (Palmgren-Miner)
12
2
1
1 =+++=
∑ k k
i
i
N
n
N
n
N
n
N
nL
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Exemple1
Graphe est schématique
40
80
-40
-80
0
20 secondes
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• Données:σ
D= 60 MPa (106 cycles) (tous coefficients
inclus)0.9σr = 142 MPa (103 cycles)
Échantillons de 20 s tel que:5 cycles à 80 MPa2 cycles à 90 MPa
1 cycle à 100 MPaCalculer la durée de vie ?
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140
σ MPa
100
908060
N cycles1061.61043.8104105
Echelle logarithmique
103
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• Règle de Palmgren-Miner:
Durée de vie:
1/0.0001651= 6059 ; 6059X20 = 121180 s
Une durée de vie de 34h
0001651.0
610.1
1
810.3
2
10
5445
3
3
2
2
1
1 =++=++
N
n
N
n
N
n
Exemple 2
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Exemple 2• La section critique d’un élément de machine est soumise à
l’état de contrainte suivant:
Echantillon représentatif 6 s
-50-100
-300
150200
350400
a b c d b
F(t)
Aluminium
σe = 410 MPaσr = 480 MPa
MPa
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• Cycle a: 2 cycles
σmax = 150 MPa, σmin = -50 MPa
σa = (σmax - σmin)/2 = 100 MPa
σm = (σmax + σmin)/2 = 50 MPa• Cycle b: 4 cycles
σmax = 200 MPa, σmin = -50 MPaσa = (σmax - σmin)/2 = 125 MPa
σm = (σmax + σmin)/2 = 75 MPa
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Diagrammes de HAIG
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Diagrammes de HAIG
σa
480410 σm
σe = 410 MPa; σe = 480 MPa410
~100 MPa
~150 MPa
~400 MPa
~300 MPa
Contrainte dynamique à σm = 0 équivalente pour chaque cycle
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(σa, σm=0)i Ni à la rupture pour
chaque cycle
107
450
(107,125)
103
400
2.5103
300
2104 3.5106
150
MPa
Cycles
Règle de Palmgren-Miner
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Règle de Palmgren Miner
0005011.0510.2
1
10
2
510.3
42346 =+++∞=+++=∑ d
d
c
c
b
b
a
a
i
i
N
n
N
n
N
n
N
n
N
n
DURÉE DE VIE = 1/0.0005011 = 1996 périodes de 6sSOIT 199.6 mn = 3h20mn
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