BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf

8/18/2019 BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf

1/450

TRNG THPT CHUYÊN LÝ T TRNG

TOÁN − TIN HC

Chuyên

BBTT NNGG TTHHCC

Th c hi n : Võ Quc Bá Cn

c sinh chuyên Toán, niên khóa 2004 − 2006

TPCT − 2006


2/450

1

i nói u - - - - o O o - - - -

t ng thc là mt trong nhng vn hay và khó nht ca ch ng trình toán

ph thông b i nó có mt trên hu kh p các l nh vc ca toán hc và nó òi hi

chúng ta phi có mt vn kin thc t ng i vng vàng trên tt c các l nh vc.

i ng i chúng ta, c bit là các bn yêu toán, dù ít dù nhiu thì cng ã tng

au u tr c mt bt ng thc khó và cng ã tng có c mt cm giác t hào

khi mà mình chng minh c bt ng thc ó. Nhm “kích hot” nim say mê

t ng thc trong các bn, tôi xin gi i thiu v i v i các bn cun sách “chuyên

t ng thc”.

Sách gm các ph ng pháp chng minh bt ng thc m i mà hin nay cha c

ph bin cho lm. Ngoài ra, trong sách gm mt s l ng l n bt ng thc do tôi

sáng tác, còn li là do tôi ly toán trên internet nhng cha có l i gii hoc có

i gii nhng là l i gii hay, l, p mt. Phn l n các bài t p trong sách u do tôi

gii nên không th nào tránh khi nhng ng nhn, sai lm, mong các bn thông

m.Hy vng r ng cun sách s giúp cho các bn mt cái nhìn khác v bt ng thc và

mong r ng qua vic gii các bài toán trong sách s giúp các bn có th tìm ra

ph ng pháp ca riêng mình, nâng cao c t duy sáng to. Tôi không bit các

n ngh sao nhng theo quan m ca bn thân tôi thì nu ta hc tt v bt ng

thc thì cng có th hc tt các l nh vc khác ca toán hc vì nh ã nói trên bt

ng thc òi hi chúng ta phi có mt kin thc tng h p t ng i vng vàng.

Tôi không nói suông âu, chc hn bn cng bit n anh Phm Kim Hùng, sinh

viên h CNTN khoa toán, tr ng HKHTN, HQG Hà Ni, ng i ã c tham

hai k thi IMO và u t k t qu cao nht trong i tuyn VN. Bn bit

không? Trong th i hc ph thông, anh y ch chuyên tâm rèn luyn bt ng thc

thôi. (Các bn lu ý là tôi không khuyn khích bn làm nh tôi và anh y âu nhé!)


3/450

2

c dù ã c gng biên son mt cách tht cn thn, nhng do trình có hn nên

không th tránh khi nhng sai sót, mong các bn thông cm và góp ý cho tôi

cun sách ngày càng c hoàn thin h n. Chân thành cm n.

i óng góp xin gi v mt trong các a ch sau:

+ Võ Quc Bá Cn, C65 khu dân c Phú An, ph ng Phú Th, qun

Cái R ng, thành ph Cn Th .

( 071.916044

+ Email. [email protected]

Kính tng các thy ng Bo Hòa, Phan i Nh n, Tr n Diu Minh, Hunh Bu

Tính, cô T Thanh Thy Tiên và toàn th các thy cô giáo trong t Toán Tin, thân

ng các bn cùng l p.

mailto:[email protected]:[email protected]


4/450

3

T S BT NG TH C THÔNG DNG

1. Bt ng th c AM-GM.

u 1 2, ,..., na a a là các s th

c không âm thì

1 2

1

1. ...

n

nn

i

a a a an =

≥∑ng thc xy ra khi và ch khi 1 2 ... na a a= = = .2. Bt ng th c AM-HM. u 1 2, ,..., na a a là các s thc d ng thì

1

1

1 1.

1 1.

n

i ni

i

an

n a

=

=

≥∑∑

ng thc xy ra khi và ch khi 1 2 ... na a a= = = .3. Bt ng th c Bunhiacopxki.Cho 2n s thc 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b . Khi ó, ta có

2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2( ... )( ... ) ( ... )n n n na a a b b b a b a b a b+ + + + + + ≥ + + +

ng thc xy ra khi và ch khi 1 2

1 2

... .n

n

aa a

b b b= = =

4. Bt ng th c Minkowski.Cho 2n s thc d ng 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b . Khi ó v i mi 1,r ≥ ta có

1 1 1

1 1 1

( )n n nr r r

r r r i i i i

i i i

a b a b= = =

+ ≤ + ∑ ∑ ∑

5. Bt ng th c AM-GM m rng. u 1 2, ,..., na a a là các s thc không âm và 1 2, ,..., nβ β β là các s thc không âmcó tng bng 1 thì

1 2

1 1 2 2 1 2... .. n

n n na a a a a aββ ββ β β+ + + ≥

6. Bt ng th c Chebyshev.Cho 2n s thc 1 2 ... na a a≤ ≤ ≤ và 1 2, ,..., nb b b . Khi ó a) Nu

1 2

...n

b b b≤ ≤ ≤ thì

1 1 1

.n n n

i i i

i i i

n a b a b= = =

≥

∑ ∑ ∑ a) Nu 1 2 ... nb b b≥ ≥ ≥ thì

1 1 1

.n n n

i i i

i i i

n a b a b= = =

≤

∑ ∑ ∑


5/450

4

ng thc xy ra khi và ch khi 1 2

1 2

...

...

n

n

a a a

b b b

= = = = = =

7. Bt ng th c Holder.Cho 2n s thc không âm 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b . Khi ó v i mi , 1 p q > tha

1 1 1, p q+ = ta có

1 1

1 1 1

n n n p q p q

i i i i

i i i

a b a b= = =

≤

∑ ∑ ∑8. Bt ng th c Schur. i mi b ba s không âm , ,a b c và 0,r ≥ ta luôn có bt ng thc

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0r r r a a b a c b b c b a c c a c b− − + − − + − − ≥ng thc xy ra khi và ch khi a b c= = hoc , 0a b c= = và các hoán v.

9. Bt ng th c Jensen.Gi s ( ) f x là mt hàm li trên [ , ]a b . Khi ó, v i mi 1 2, ,..., [ , ]n x x x a b∈ và

1 2, ,..., 0nα α α ≥ tha 1 2 ... 1nα α α+ + + = ta có bt ng thc

1 1

( )n n

i i i

i i

f x f xα α= =

≥

∑ ∑

10. Bt ng th c sp xp li.Cho 2 dãy n u cùng tng 1 2 ... na a a≤ ≤ ≤ và 1 2 ... nb b b≤ ≤ ≤ . Khi ó, v i

1 2, ,..., ni i i là mt hoán v bt kì ca 1,2,..., n ta có

1 1 2 21 1 2 2 1 2 1 1... ... ...

n nn n i i i i i i n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b−+ + + ≥ + + + ≥ + + +

11. Bt ng th c Bernulli. i 1> − , ta có

+ u 1 0r r ≥ ∨ ≤ thì (1 ) 1r rx+ ≥ ++ u 1 0r > > thì (1 ) 1r x rx+ ≤ +


6/450

5

T NG TH C THUN NHT

1. M u.u ht các bt ng thc c n (AM-GM, Bunhiacopxki, Holder, Minkowsky,

Chebyshev ...) u là các bt ng thc thun nht. u này hoàn toàn không ngu

nhiên. V logíc, có th nói r ng, ch có các i l ng cùng bc m i có th so sánh

i nhau mt cách toàn cc c.

Chính vì th, bt ng thc thun nht chim mt t l r t cao trong các bài toán bt

ng thc, c bit là bt ng thc i s (khi các hàm s là hàm i s, có bc

u hn). i v i các hàm gii tích (m, l ng giác, logarith), các bt ng thc

ng c coi là thun nht vì các hàm s có bc ∞ (theo công thc Taylor).

Trong bài này, chúng ta s c p t i các ph ng pháp c bn chng minh bt

ng thc thun nht, cng nh cách chuyn t mt bt ng thc không thun nht

mt bt ng thc thun nht. Nm vng và vn dng nhun nhuyn các ph ng

pháp này, chúng ta có th chng minh c hu ht các bt ng thc s c p.

2. Bt ng th c thun nht.

Hàm s 1 2( , ,..., )n f x x x ca các bin s thc 1 2, ,..., n x x x c là hàm thun nht bc

α nu v i mi s thc t ta có

1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )n n f tx tx tx t f x x xα=

t ng thc dng

1 2( , ,..., ) 0n f x x x ≥

i f là mt hàm thun nht c gi là bt ng thc thun nht (bc α ).

Ví d các bt ng thc AM-GM, bt ng thc Bunhiacopxki, bt ng thc

Chebyshev là các bt ng thc thun nht. Bt ng thc Bernoulli, bt ng thc

sin x x< v i 0> là các bt ng thc không thun nht.

www.VNMATH.com


7/450

6

3. Ch ng minh bt ng th c thun nht.

3.1. Ph ng pháp dn bin.

c m ca nhiu bt ng thc, c bit là các bt ng thc i s là du bng

y ra khi tt c hoc mt vài bin s bng nhau (xut phát t bt ng thc c bn

2 0≥ !). Ph ng pháp dn bin da vào c m này làm gim s bin s ca

t ng thc, a bt ng thc v dng n gin h n có th chng minh tr c ti p

ng cách kho sát hàm mt bin hoc chng minh bng quy n p.

chng minh bt ng thc

1 2( , ,..., ) 0 (1)n f x x x ≥

Ta có th th chng minh

1 2 1 21 2( , ,..., ) , ,..., (2)2 2n n

x x x x f x x x f x+ + ≥

hoc

( )1 2 1 2 1 2( , ,..., ) , ,..., (3)n n f x x x f x x x x x≥

Sau ó chuyn vic chng minh (1) v vic chng minh bt ng thc

1 1 3 1 3( , , ,..., ) ( , ,..., ) 0 (4)n n f x x x x g x x x= ≥

c là mt bt ng thc có s bin ít h n. D nhiên, các bt ng thc (2), (3) có

th không úng hoc ch úng trong mt s u kin nào ó. Vì ta ch thay i 2

bin s nên thông th ng thì tính úng n ca bt ng thc này có th kim tra

c d dàng.

Ví d 1.

Cho , , 0a b c > . Chng minh bt ng thc

3 3 3 2 2 2 2 2 23a b c abc a b b c c a ab bc ca+ + + ≥ + + + + +

Ch ng minh.

Xét hàm s 3 3 3 2 2 2 2 2 2( , , ) 3 ( ) f a b c a b c abc a b b c c a ab bc ca= + + + − + + + + +

Ta có

25( , , ) , , ( )2 2 4

b c b c a f a b c f a b c b c

+ + − = + − −

www.VNMATH.com


8/450

7

Do ó, nu min{ , , }a a b c= (u này luôn có th gi s) thì ta có

( , , ) , ,2 2

b c b c f a b c f a

+ + ≥

Nh vy, chng minh bt ng thc u bài, ta ch cn chng minh

( , , ) 0 f a b b ≥

Nhng bt ng thc này t ng ng v i

3 3 2 2 2 2 3 2 3

3 2 2

2

2 3 ( ) 0

2 0

( ) 0

a b ab a b a b b a b b a b

a ab a b

a a b

+ + − + + + + + ≥

⇔ + − ≥

⇔ − ≥

Ví d 2. (Vietnam TST 1996)

Cho , ,a b c là các s thc bt k . Chng minh r ng

4 4 4 4 4 44( , , ) ( ) ( ) ( ) .( ) 07

F a b c a b b c c a a b c= + + + + + − + + ≥

i gi i .

Ta có

4 4 4 4 4 4

4 44 4

4 44 4 4 4

3 3 3 2 2 2

( , , ) , ,2 2

4( ) ( ) ( ) .( )7

42 ( ) . 2

2 7 2

4 ( )( ) ( ) 2 .

2 7 8

(4 4 ( ) ) 3 (2 2 (

b c b c F a b c F a

a b b c c a a b c

b c b ca b c a

b c b ca b c a a b c

a b c b c a b c b c

+ + − =

= + + + + + − + + −

+ + − + − + + +

+ + = + + + − + + − −

= + − + + + − +4

2 4 4

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

3 ( )) )

7 8

33 ( )( ) 3 ( ) ( ) (7 7 10 )

563

3 ( )( ) ( ) (7 7 10 )56

b cb c

a b c b c a b c b c b c bc

a a b c b c b c b c bc

++ + −

= + − + − + − + +

= + + − + − + +

www.VNMATH.com


9/450

8

hng 2 2 23

( ) (7 7 10 )56

b c b c bc− + + luôn không âm. Nu , ,a b c cùng du thì bt

ng thc cn chng minh là hin nhiên. Nu , ,a b c không cùng du thì phi có ít

nht 1 trong ba s , ,a b c cùng du v i a b c+ + . Không mt tính tng quát, gi s

ó là a .

ng thc trên suy ra ( , , ) , ,2 2

b c b c F a b c F a

+ +≥

. Nh vy ta ch còn cn

chng minh

4 4 4 4

( , , ) 0 ,

42( ) (2 ) .( 2 ) 0 ,

7

F a b b a b

a b b a b a b

≥ ∀ ∈

⇔ + + − + ≥ ∀ ∈

R

R

u 0b = thì bt ng thc là hin nhiên. Nu 0b ≠ , chia hai v ca bt ng thc

cho 4b r i t a

xb

= thì ta c bt ng thc t ng ng

4 442( 1) 16 .( 2) 07

x x+ + − + ≥

t ng thc cui cùng có th chng minh nh sau

Xét 4 44

( ) 2( 1) 16 .( 2)7

f x x x= + + − +

Ta có

/ 3 3

/ 3

16( ) 8( 1) .

7

2( ) 0 1 . 2.9294

7( 2.9294) 0.4924 0min

f x x x

f x x x x

f f

= + −

= ⇔ + = ⇔ = −

= − = >

(Các phn tính toán cui c tính v i chính xác t i 4 ch s sau du phy. Do

min f tính c là 0.4924 nên nu tính c sai s tuyt i thì giá tr chính xác ca

min f vn là mt s d ng. Vì ây là mt bt ng thc r t cht nên không th tránh

www.VNMATH.com


10/450

9

c các tính toán v i s l trên ây. Chng hn nu thay4

7 bng

16

27 3min x = −

thì *min f có giá tr âm! ây* 4 44( ) 2( 1) 16 .( 2)

7 f x x x= + + − + .)

3.2. Ph ng pháp chun hóa.

ng th ng g p ca bt ng thc thun nht là

1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )n n f x x x g x x x≥

trong ó f và là hai hàm thun nht cùng bc.

Do tính cht ca hàm thun nht, ta có th chuyn vic chng minh bt ng thc

trên v vic chng minh bt ng thc 1 2( , ,..., )n f x x x A≥ v i mi 1 2, ,..., n x x tha

mãn u kin1 2

( , ,..., )n

x x x A

=. Chun hóa mt cách thích h p, ta có th làm n

gin các biu thc ca bt ng thc cn chng minh, tn dng c mt s tính

cht c bit ca các hng s.

Ví d 3. (Bt ng th c v trung bình ly th a)

Cho b n s thc d ng 1 2( ) ( , ,..., )n x x x x= . V i mi s thc r ta t

1

1 2 ...( )r r r r

nr

x x x M x

n

+ + +=

Chng minh r ng v i mi 0r s> > ta có ( ) ( ).r s M x M x≥

i gi i .

Vì ( ) ( )r r M tx tM x= v i mi 0t > nên ta ch cn chng minh bt ng thc úng

cho các s thc d ng 1 2, ,..., n x x tho mãn u kin ( ) 1 s M x = , tc là cn chng

minh ( ) 1r M x ≥ v i mi 1 2, ,..., n x x tho mãn u kin ( ) 1 s M x = . u này có th

vit n gin li là

Chng minh 1 2 ...r r r

n x x x n+ + + ≥ v i 1 2 ... s s s

n x x x n+ + + = .

chng minh bt ng thc cui cùng, ta áp dng bt ng thc Bernoulli

( ) (1 ( 1)) 1 .( 1) 1,r r

r s s s s si i i i

r x x x i n= = + − ≥ + − ∀ =

ng các bt ng thc trên li, ta c u phi chng minh.

www.VNMATH.com


11/450

10

Ví d 4. (VMO 2002)

Chng minh r ng v i , , x y z là các s thc bt k ta có bt ng thc

32 2 2 2 2 2 26( )( ) 27 10( ) x y z x y z xyz x y z + + + + ≤ + + +

i gi i .

t ng thc này r t cng k nh. Nu thc hin phép bin i tr c ti p s r t khó

khn (ví d th bình ph ng kh cn). Ta thc hin phép chun hóa n gin

hóa bt ng thc ã cho. Nu 2 2 2 0 x y z + + = , thì 0 y z = = = , bt ng thc tr

thành ng thc. Nu 2 2 2 0 x y z + + > , do bt ng thc ã cho là thun nht, ta có

th gi s 2 2 2 9 x y z + + = . Ta cn chng minh 2( ) 10 x y z xyz + + ≤ + v i u kin

2 2 2 9 x y z + + = . chng minh u này, ta ch cn chng minh2[2( ) ] 100 x y z xyz + + − ≤

Không mt tính tng quát, có th gi s x y z ≤ ≤ . Áp dng bt ng thc

Bunhiacopxky, ta có

( ) 2 2

2 2 2

2 2

2 2 3 3

2

[2 ] [2( ) (2 )]

[( ) ][4 (2 ) ]

(9 2 )(8 4 )72 20 2

100 ( 2) (2 7)

x y z xyz x y z xy

x y z xy

xy xy x y

xy x y x y

xy xy

+ + − = + + −

≤ + + + −

= + − += − + +

= + + −

2 2 23 2 6, x y z z xy x y≤ ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≤ + ≤ tc là 2( 2) (2 7) 0 xy xy+ − ≤ . T ây,

t h p v i ánh giá trên ây ta c u cn chng minh.

u bng xy ra khi và ch khi 2 2

2 0

x y z

y

xy

+ = − + =

.

ây gii ra c 1, 2, 2 y z = − = = .

thut chun hóa cho phép chúng ta bin mt bt ng thc phc t p thành mt

t ng thc có dng n gin h n. u này giúp ta có th áp dng các bin i

i s mt cách d dàng h n, thay vì phi làm vic v i các biu thc cng k nh ban

www.VNMATH.com


12/450

11

u. c bit, sau khi chun hóa xong, ta vn có th áp dng ph ng pháp dn bin

gii. Ta a ra l i gii th hai cho bài toán trên

t ( , , ) 2( ) f x y z x y z xyz = + + − .

Ta cn chng minh ( , , ) 10 f x y z ≤ v i 2 2 2 9 x y z + + =

.

Xét

( )2 2 2 2 2

2 2

2

2 2

( ), , ( , , ) 2 2( )

2 2 2

2( )

22( )

z y z x y z f x f x y z y z y z

y z y z y z

+ + − − = + − − −

= − − + + +

+ Nu , , 0 x y z > , ta xét hai tr ng h p

* 1 x y z ≤ ≤ ≤ . Khi ó

2 2 22( ) 2 3( ) 1 6 3 1 10 x y z xyz x y z + + − ≤ + + − = − <

* 0 1 x< ≤ . Khi ó

2 2 22( ) 2 2 2( ) 2 2 2(9 ) ( ) x y z xyz x y z x x g x+ + − ≤ + + = + − =

Ta có ( )2

/

2

2 9 2( ) 0

9

x x g x

x

− −= >

−, suy ra ( ) (1) 10 g x g ≤ = .

+ Nu trong 3 s , , x y z có mt s âm, không mt tính tng quát, ta có th gi s là

0< . Khi ó2 2 2 2

, , ( , , )2 2

y z y z f x f x y z

+ + ≥

, nên ta ch cn chng minh

2 2 2 2

22

3 2

, , 102 2

(9 )2 2 2(9 ) 102

( ) 5 4 2(9 ) 20

y z y z f x

x x x x

h x x x x

+ + ≤

−⇔ + − − ≤

⇔ = − + − ≤

Ta có / 22

4 2( ) 3 5

9

xh x x= − −

−.

www.VNMATH.com


13/450

12

Gii ph ng trình / ( ) 0h x = (v i 0 x < ), ta c 1 x = − . ây là m cc i ca

h , do ó ( ) ( 1) 20h x h≤ − = .

ng cách chun hóa, ta có th a mt bài toán bt ng thc v bài toán tìm giá

tr l n nht hay nh nht ca mt hàm s trên mt min (chng hn trên hình cu2 2 2 9 x y z + + = nh ví d 4). u này cho phép chúng ta vn dng c mt s

thut tìm giá tr l n nht, giá tr nh nht (ví d nh bt ng thc Jensen, hàm

i,...).

Ví d 5.

Cho , ,a b c là các s thc d ng. Chng minh r ng

2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) 3

5( ) ( ) ( )

b c a c a b a b c

a b c b c a c a b

+ − + − + −

+ + ≥+ + + + + +

i gi i .

Ta ch cn chng minh bt ng thc cho các s d ng , ,a b c tho 1a b c+ + = .

Khi ó bt ng thc có th vit li thành

2 2 2

2 2 2

2 2 2

(1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 3

52 2 1 2 2 1 2 2 11 1 1 27

52 2 1 2 2 1 2 2 127

( ) ( ) ( ) (5.1)5

a b c

a a b b c c

a a b b c c

f a f b f c

− − −+ + ≥

− + − + − +

⇔ + + ≤− + − + − +⇔ + + ≤

Trong ó2

1( )

2 2 1 f x

x x=

− +

ý r ng27 1

35 3

f =

, ta thy (5.1) có dng bt ng thc Jensen. Tuy nhiên, tính

o hàm c p hai ca( )

f x , ta có

2//

2 3

4(6 6 1)( )

(2 2 1)

x x f x

x x

− +=

− +

www.VNMATH.com


14/450

13

hàm ch li trên khong3 3 3 3

,6 6

− +

nên không th áp dng bt ng thc

Jensen mt cách tr c ti p. Ta chng minh27

( ) ( ) ( )5

f a f b f c+ + ≤ bng các nhn

xét b sung sau

12

2max f f

= =

( ) f x tng trên1

0,2

và gim trên1

,12

3 3 3 3 12

6 6 7 f f

− += =

u có ít nht 2 trong 3 s , ,a b c nm trong khong3 3 3 3

,6 6

− +

, chng hn là

a, b thì áp dng bt ng thc Jensen ta có

2

1 4( ) ( ) 2 2

2 2 1

a b c f a f b f f

c

+ − + ≤ = = +

Nh vy trong tr ng h p này, ta ch cn chng minh

2 21 4 27

52 2 1 1c c c+ ≤

− + +

Quy ng mu s và rút gn ta c bt ng thc t ng ng

4 3 2

2 2

27 27 18 7 1 0

(3 1) (3 1) 0 (ñuùng)

c c c c

c c c

− + − + ≥

⇔ − − + ≥

Nh vy, ta ch còn cn xét tr ng h p có ít nht hai s nm ngoài khong

3 3 3 3,6 6

− + . Nu chng hn

3 3

6a +

≥ thì rõ ràng3 3

, 6b c −

≤ và nh vy,

do nhn xét trên36 27

( ) ( ) ( )7 5

f a f b f c+ + ≤ < .

Ta ch còn duy nht mt tr ng h p cn xét là có hai s, chng hn3 3

,6

a b −

≤ .

www.VNMATH.com


15/450

14

Lúc này, do3

13

a b+ ≤ − nên3 1

3 2c ≥ > .

Theo các nhn xét trên, ta có

3 3 3 24 15 6 3 27( ) ( ) ( ) 2 .6 3 7 13 5 f a f b f c f f

− ++ + ≤ + = +


16/450

15

Chun hóa là mt k thut c bn. Tuy nhiên, k thut ó cng òi hi nhng kinh

nghim và tinh t nht nh. Trong ví d trên, ti sao ta li chun hóa

2 2 2 9 x y z + + = mà không phi là 2 2 2 1 x y z + + = (t nhiên h n)? Và ta có t

c nhng hiu qu mong mun không nu nh chun hóa 1 x y z + + =

? ó là

nhng vn mà chúng ta phi suy ngh tr c khi thc hin b c chun hóa.

3.3. Ph ng pháp trng s.

t ng thc AM-GM và bt ng thc Bunhiacopxki là nhng bt ng thc

thun nht. Vì th, chúng r t hu hiu trong vic chng minh các bt ng thc

thun nht. Tuy nhiên, do u kin xy ra du bng ca các bt ng thc này r t

nghiêm ngt nên vic áp dng mt cách tr c ti p và máy móc ôi khi khó em li

t qu. áp dng tt các bt ng thc này, chúng ta phi nghiên cu k ukin xy ra du bng và áp dng ph ng pháp tr ng s.

Ví d 6.

Chng minh r ng nu , , x y z là các s thc không âm thì

32 2 2 2 2 2 26( )( ) 27 10( ) x y z x y z xyz x y z − + + + + + ≤ + +

i gi i .

dng nguyên lý c bn«

u bng xy ra khi mt c p bin s nào ó bng nhau»

,ta có th tìm ta c du bng ca bt ng thc trên xy ra khi 2 z x= = . u

này cho phép chúng ta mnh dn ánh giá nh sau

32 2 2 2 2 22

12 2 2 2 2 2 2

1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 22 2

2 2 2

2 2 2

10( ) 6( )( )

( ) 10( ) 6( )

10( ) .( ) (1 2 2 ) 6( )3

10( ) .( 2 2 ) 6( )

3

( )(28 2 2 )(6

3

x y z x y z x y z

x y z x y z x y z

x y z x y z x y z

x y z x y z x y z

x y z x y z

+ + − − + + + + =

= + + + + − − + +

= + + + + + + − − + + ≥ + + + + − − + +

+ + + += .1)

www.VNMATH.com


17/450

16

Áp dng bt ng thc AM-GM, ta có

4 42 2 2 2 2 8 82 2 2 2 2 99

8

7 8 79 9

4 4 9 94 4 4 4 4

28 2 2 7.4 2 2 9 (4 ) (2 )(2 ) 9 4

y z y z x y z x y z x x

x y z x y z x y z x yz

+ + = + + ≥ =

+ + = + + ≥ = Nhân hai bt ng thc trên v theo v, ta c

2 8 82 2 2 8 799

8( )(28 2 2 ) 9 .9 4 81 (6.2)4

x y z x y z x y z x yz xyz + + + + ≥ =

(6.1) và (6.2) ta suy ra bt ng thc cn chng minh.

Trong ví d trên, chúng ta ã s dng c bt ng thc Bunhiacopxki và bt ng

thc AM-GM có tr ng s. L i gii r t hiu qu và n t ng. Tuy nhiên, s thành

công ca l i gii trên nm hai dòng ngn ngi u. Không có c « oán»

ó, khó có th thu c k t qu mong mun. D i ây ta s xét mt ví d v vic

chn các tr ng s thích h p bng ph ng pháp h s bt nh các u kin xy

ra du bng c tho mãn.

Ví d 7.

Chng minh r ng nu 0 x y≤ ≤ thì ta có bt ng thc

1 1

2 2 2 2 22 213 ( ) 9 ( ) 16 x y x x y x y− + + ≤ i gi i .

Ta s áp dng bt ng thc AM-GM cho các tích v trái. Tuy nhiên, nu áp dng

t cách tr c ti p thì ta c

2 2 2 2 2 22 213( ) 9( ) 9 11 (7.1)

2 2

x y x x y xVT x y

+ − + +≤ + = +

ây không phi là u mà ta cn (T ây ch có th suy ra 220VT y≤ ). S d ta

không thu c ánh giá cn thit là vì du bng không th ng th i xy ra hai

n áp dng bt ng thc AM-GM. u chnh, ta a vào các h s d ng ,a b

nh sau

www.VNMATH.com


18/450

17

1 12 2 2 22 2

2 2 2 2 2 2 2 2

13( )( ) 9( )( )

13( ) 9( )(7.2)

2 2

ax y x by y xVT

a b

a x y x b x y x

a b

− += +

+ − + +≤ +

ánh giá trên úng v i mi , 0a b > (chng hn v i 1a b= = ta c (7.1)) và ta s

phi chn ,a b sao cho

a) V phi không ph thuc vào x

b) Du bng có th ng th i xy ra hai bt ng thc

Yêu cu này t ng ng v i h

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

13( 1) 9( 1)0

2 2, :

a b

a ba x y x

x yb x y x

− ++ =

= −∃ = +

c là có h

2 2

2 2

13( 1) 9( 1)0

2 2

1 1

a b

a b

a b

− ++ =

+ = −

.

Gii h ra, ta c

1

23

2

a

b

= =

. Thay hai giá tr này vào (7.2) ta c

2 22 2 2 2 2913 3 16

4 4

x xVT y x y x y

≤ + − + + + =

Ghi chú.

Trong ví d trên, thc cht ta ã c nh y và tìm giá tr l n nht ca v trái khi x

thay i trong n [0, ] y .4. Bt ng th c thun nht i x ng.

Khi g p các bt ng thc dng a thc thun nht i xng, ngoài các ph ng

pháp trên, ta còn có th s dng ph ng pháp khai trin tr c ti p và dng nh lý v

nhóm các s hng. Ph ng pháp này cng k nh, không tht p nhng ôi lúc t ra

www.VNMATH.com


19/450

18

khá hiu qu. Khi s dng bng ph ng pháp này, chúng ta th ng dùng các ký

hiu quy c sau n gin hóa cách vit

1 2 (1) ( 2) ( )( , ,..., ) ( , ,..., )n n sym

Q x x x Q x x xσ σ σσ

=∑ ∑

trong ó, σ chy qua tt c các hoán v ca {1,2,..., }n .

Ví d v i 3n = và ba bin s , , x y z thì

3 3 3 32 2 2 sym

x x y z = + +∑2 2 2 2 2 2 2

6

sym

sym

x y x y y z z x x z z y y x

xyz xyz

= + + + + +

=

∑

∑

i v i các biu thc không hoàn toàn i xng, ta có th s dng ký hiu hoán v

vòng quanh nh sau

2 2 2 2

cyc

x y x y y z z x= + +∑

Ph ng pháp này c xây dng da trên tính so sánh c ca mt s tng i

ng cùng bc - nh lý v nhóm các s hng (h qu ca bt ng thc Karamata)

mà chúng ta s phát biu và chng minh d i ây. Trong tr ng h p 3 bin, ta còn

có ng thc Schur.

u 1 2( , ,..., )n s s s= và 1 2( , ,..., )nt t t t = là hai dãy s không tng. Ta nói r ng là

tr i ca t nu1 2 1 2

1 2 1 2

... ...

... ... 1,

n n

i i

s s s t t t

s s t t t i n

+ + + = + + +

+ + + ≥ + + + ∀ =.

nh lý Muirhead. («Nhóm»)

u s và t là các dãy s thc không âm sao cho là tr i ca t thì

1 2 1 21 2 1 2... ...n n s t s s t t n n

sym sym

x x x x x≥∑ ∑Ch ng minh.

www.VNMATH.com


20/450

19

u tiên ta chng minh r ng nu là tr i ca t thì tn ti các hng s không âm

k σ , v i σ chy qua t p h p tt c các hoán v ca {1,2,..., }n , có tng bng 1 sao

cho

(1) (2) ( ) 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )

n nk s s s t t t

σ σ σ σσ =∑Sau ó, áp dng bt ng thc AM-GM nh sau

(1) (2) ( ) ( (1)) ( (2 )) ( ( )) (1) (2) ( )1 2 1 2 1 2

,

... ... ...n n n s s s s s s t t t

n n n x x x k x x x x x xσ σ σ σ τ σ τ σ τ σ σ σ

τσ σ τ σ

= ≥∑ ∑ ∑

Ví d, v i (5,2,1) s = và (3,3,2)t = , ta có

3 3 1 1(3,3,2) .(5,2,1) . .(2,1,5) .(1,2,5)

8 8 8 8= + + +

Và ta có ánh giá5 2 2 5 2 5 2 53 3 23 3

8

x y z x y z x yz xy z x y z

+ + +≥

ng bt ng thc trên và các bt ng thc t ng t, ta thu c bt ng thc

5 2 3 3 2

sym sym

x y z x y z ≥∑ ∑

Ví d 8.

Chng minh r ng v i mi s thc d ng , ,a b c ta có

3 3 3 3 3 3

1 1 1 1

abca b abc b c abc c a abc+ + ≤

+ + + + + +

i gi i .

Quy ng mu s và nhân hai v cho 2, ta có

3 3 3 3

3 3 3 3 3 3

7 4 4 5 2 2 3 3 3

3 3 3 6 3 4 4 5 2 2 7

6 3 5 2 2

( )( )

2( )( )( )

( 3 4 )

( 2 3 2 )

(2 2 ) 0

sym

sym

sym

sym

a b abc b c abc abc

a b abc b c abc c a abc

a bc a b c a b c a b c

a b c a b a b c b c a bc

a b a b c

+ + + + ≤

≤ + + + + + +

⇔ + + + ≤

≤ + + + +

⇔ − ≥

∑

∑∑

∑

t ng thc này úng theo nh lý nhóm.

www.VNMATH.com


21/450

20

Trong ví d trên, chúng ta ã g p may vì sau khi thc hin các phép bin i i s,

ta thu c mt bt ng thc t ng i n gin, có th áp dng tr c ti p nh lý

nhóm. Tuy nhiên, không phi tr ng h p nào nh lý này cng gii quyt vn

. Trong tr ng h p 3 bin s, ta có mt k t qu r t p khác là nh lý Schur.

nh lý. (Schur)

Cho , , x y z là các s thc không âm. Khi ó v i mi 0r >

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0r r r x x y x z y y z y x z z x z y− − + − − + − − ≥

u bng xy ra khi và ch khi x y z = = hay khi hai trong ba s , , y z bng nhau

còn s th ba bng 0.

Ch ng minh.

Vì bt ng thc hoàn toàn i xng i v i ba bin s, không mt tính tng quát,ta có th gi s x y z ≥ ≥ . Khi ó bt ng thc có th vit li d i dng

( )( ( ) ( )) ( )( ) 0r r r x y x x z y y z z x z y z − − − − + − − ≥

và mi mt tha s v trái u hin nhiên không âm.

Tr ng h p hay c s dng nht ca bt ng thc Schur là khi 1r = . Bt ng

thc này có th vit li d i dng

2 2( 2 ) 0 sym

x x y xyz

− + ≥∑ây chính là bt ng thc ví d 1.

Ví d 9.

Cho , ,a b c là các s d ng. Chng minh r ng

2 2 2

1 1 1 9( )

4( ) ( ) ( )ab bc ca

a b b c c a

+ + + + ≥ + + +

i gi i .

Quy ng mu s, khai trin và rút gn, ta c

5 4 2 3 3 4 3 2 2 2 2(4 3 2 ) 0 (9.1) sym

a b a b a b a bc a b c a b c− − + − + ≥∑

Dùng bt ng thc Schur

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 x x y x z y y z y x z z x z y− − + − − + − − ≥

www.VNMATH.com


22/450

21

Nhân hai v v i 2 xyz r i cng li, ta c

4 3 2 2 2 2( 2 ) 0 (9.2) sym

a bc a b c a b c− + ≥∑

Ngoài ra, áp dng nh lý nhóm (hay nói cách khác − bt ng thc AM-GM có

tr ng s) ta có

5 4 2 3 3(4 3 ) 0 (9.3) sym

a b a b a b− − ≥∑

(9.2), (9.3) suy ra (9.1) và ó chính là u phi chng minh.

Nói n bt ng thc thun nht i xng, không th không nói n các hàm s

i xng c bn. ó là các biu thc 1 2 1 21 1

, ,..., ...n

i j n n

i i j n

S x S x x S x x x= ≤ < ≤

= = =∑ ∑ .

i các bt ng thc liên quan n các hàm i xng này, có mt th thut r t hu

hiu c gi là «th thut gim bin s bng nh lý Rolle». Chúng ta trình bày ý

ng ca th thut này thông qua ví d sau

Ví d 10.

Cho , , ,a b c d là các s thc d ng. Chng minh r ng

1 1

2 3

6 4

ab ac ad bc bd cd abc abd acd bcd + + + + + + + +≥

i gi i .

t 2 3,S ab ac ad bc bd cd S abc abd acd bcd = + + + + + = + + + . Xét a thc

4 3 22 3( ) ( )( )( )( ) ( ) P x x a x b x c x d x a b c d x S x S x abcd = − − − − = − + + + + − +

( ) P x có 4 nghim thc , , ,a b c d (nu có các nghim trùng nhau thì ó là nghim

i). Theo nh lý Rolle, / ( ) P x cng có 3 nghim (u d ng) , ,u v w . Do / ( ) P x

có h s cao nht bng 4 nên/ 3 2( ) 4( )( )( ) 4 4( ) 4( ) 4 P x x u x v x w x u v w x uv vw wu x uvw= − − − = − + + + + + −

t khác

/ 3 22 3( ) 4 3( ) P x x a b c d x S x S = − + + + + −

www.VNMATH.com


23/450

22

suy ra 2 32( ), 4S uv vw wu S uvw= + + = và bt ng thc cn chng minh u bài

có th vit li theo ngôn ng , ,u v w là

11

23( )

3

uv vw wuuvw

+ + ≥

t ng thc này hin nhiên úng theo bt ng thc AM-GM.

5. Thun nht hóa bt ng th c không thun nht.

Trong các phn trên, chúng ta ã trình bày các ph ng pháp c bn chng minh

t bt ng thc thun nht. ó không phi là tt c các ph ng pháp (và d nhiên

không bao gi có th tìm c tt c!), tuy vy có th giúp chúng ta nh h ng tt

khi g p các bt ng thc thun nht. Nhng nu g p bt ng thc không thun

nht thì sao nh? Có th bng cách nào ó a các bt ng thc không thun

nht v các bt ng thc thun nht và áp dng các ph ng pháp nói trên c

không? Câu tr l i là có. Trong hu ht các tr ng h p, các bt ng thc không

thun nht có th a v bt ng thc thun nht bng mt quá trình mà ta gi là

thun nht hóa. Chúng ta không th “chng minh” mt “nh lý” c phát biu

kiu nh th, nhng có hai lý do tin vào nó: th nht, thc ra ch có các i

ng cùng bc m i có th so sánh c, còn các i l ng khác bc ch so sánh

c trong các ràng buc nào ó. Th hai, nhiu bt ng thc không thun nht ã

c “to ra” bng cách chun hóa hoc thay các bin s bng các hng s. Ch cn

chúng ta i ng c li quá trình trên là s tìm c nguyên dng ban u.

t ví d r t n gin cho lý lun nêu trên là t bt ng thc thun nht

3 3 3 2 2 2 y z x y y z z x+ + ≥ + + , bng cách cho 1= , ta c bt ng thc không

thun nht

3 3 2 2

1 y x y y x+ + ≥ + +Ví d 11. (England 1999)

Cho , , p q r là các s thc d ng tho u kin 1 p q r + + = . Chng minh

7( ) 2 9 p q r pqr + + ≤ +

www.VNMATH.com


24/450

23

Ví d 12. (IMO 2000)

Cho , ,a b c là các s thc d ng tho mãn u kin 1abc = . Chng minh

1 1 11 1 1 1a b c

b c a

− + − + − + ≤

ng d n.

t , , x y z

a b c y z x

= = = !

Ví d 13. (IMO, 1983)

Chng minh r ng nu , ,a b c là ba cnh ca mt tam giác thì

2 2 2( ) ( ) ( ) 0a b a b b c b c c a c a− + − + − ≥ ng d n.

t , ,a y z b z x c x y= + = + = + !

www.VNMATH.com


25/450

24

Bài tp

Bài 1.

Cho , , 0 x y z > . Chng minh r ng3 3 3 3 3 3 2 2 2

3 3 3 3 3 3 2 2 2

y z x z y x y z yz zx xy

yz zx xy y z x z y x x y z + + + + + ≥ + + + + +

Bài 2.

Chng minh bt ng thc sau v i mi s thc d ng , , x y z

9 2

4( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

x y z

x y z x y x z y z y x z x z y x y z ≥ + + ≥

+ + + + + + + + + +

Bài 3.

Cho , , y z là các s thc d ng tho mãn u kin 2 4 7 2 x y z xyz + + = . Tìm giá

tr nh nht ca biu thc

P x y z = + +

Bài 4.

Cho , ,a b c là các s thc d ng tho 2 2 2 4a b c abc+ + + = . Chng minh r ng

3a b c+ + ≤Bài 5. (IMO 1984)

Cho , , x y z là các s thc không âm tho mãn u kin 1 y z + + = . Chng minh

ng

70 2

27 xy yz zx xyz ≤ + + − ≤

Bài 6. (Iran, 1996)

Cho , , 0a b c > . Chng minh r ng

2 2 2

1 1 1 9( )

4( ) ( ) ( )ab bc ca

a b b c c a

+ + + + ≥ + + +

www.VNMATH.com


26/450

25

Bài 7. (VMO 1996)

Cho , , ,a b c d là các s thc không âm tho mãn u kin

2( ) 16ab ac ad bc bd cd abc abd acd bcd + + + + + + + + + =

Chng minh r ng

3( ) 2( )a b c d ab ac ad bc bd cd + + + ≥ + + + + +

Bài 8. (Poland 1996)

Cho , ,a b c là các s thc tho mãn u kin 1a b c+ + = . Chng minh r ng

2 2 2

9

101 1 1

a b c

a b c+ + ≤

+ + +

Bài 9. (Poland 1991)

Cho , , x y z là các s thc tho mãn u kin2 2 2

2 x y z + + = . Chng minh r ng2 x y z xyz + + ≤ +

Bài 10. (IMO 2001)

Cho , , 0a b c > . Chng minh r ng

2 2 21

8 8 8

a b c

a bc b ca c ab+ + ≥

+ + +

www.VNMATH.com


27/450

26

PH NG PHÁP DN BIN

I. M u.

c m chung ca nhiu bt ng thc, c bit là các bt ng thc i s là du

ng xy ra khi tt c hoc mt vài bin s bng nhau. Có mt ph ng pháp ánh

giá trung gian cho phép ta gim bin s ca bt ng thc cn chng minh. Ph ng

pháp dn bin da vào c m này làm gim s bin s ca bt ng thc, a

t ng thc v dng n gin h n có th chng minh tr c ti p bng cách kho sát

hàm mt bin. chng minh bt ng thc dng 1 2( , ,..., ) 0,n f x x x ≥ ta chng minh

1 2( , ,..., ) ( , ,..., )n n f x x x f t t x≥

Trong ó t là l ng trung bình ca 1 2, ,... x x chng hn nh trung bình nhân hoc

trung bình cng. Nu c nh vy thì ti p tc sang b c th hai ca phép chng

minh là ch ra r ng

( , , ..., ) 0n f t t x ≥

t nhiên, bt ng thc này ã gim s bin s i mt và th ng là d chng minh

n bt ng thc ban u. Vic la chn l ng trung bình nào dn bin tùy

thuc vào c thù ca bài toán, và ôi khi l ng t khá c bit.

Th ng thì, b c th nht trong 2 b c chính trên là khó h n c vì thc cht ta

n phi làm vic v i các c l ng có ít nht là ba bin s. Sau ây là mt vài

ng dn bin th ng g p.

II. Ph ng pháp dn bin trong i s.

1. Dn bin ba bin s.

ây là phn n gin nht ca ph ng pháp dn bin. Và ng c li cng có th nói

ph ng pháp dn bin hiu qu nht trong tr ng h p này.

www.VNMATH.com


28/450

27

Ví d 1.1.

Cho , , 0a b c ≥ tha mãn 2 2 2 3a b c+ + = . Chng minh r ng

2 2 2 2 2 2a b c a b b c c a+ + ≥ + +

i gi

i .

t 2 2 2 2 2 2( , , ) f a b c a b c a b b c c a= + + − − −

Gi s min{ , , }a a b c= thì d thy 2 21, 2 2a b c b c≤ + ≥ ⇒ + ≥

Xét hiu

2 2 2 2 22

2 2

2

( ) 1( , , ) , , ( )

2 2 4 2( )

2 1( ) 04 2 2

b c b c b c f a b c f a b c

b c b c

b c

+ + + − = − − + + +

≥ − − ≥ + Do ó

2 2 2 2

2 2 22 2 2 2 2

2 22 2 2

22

2

2

( , , ) , ,2 2

( )2( ) ( )

4

(3 )

2(3 ) (3 ) 4

3( 1) 3( 1)

4 2(3 ) 3

3 3( 1) 0

4 4

( , , ) 0

b c b c f a b c f a

b ca b c a b c

a

a a a a

aa

a a

a

f a b c

+ + ≥

+= + + − + −

−

= + − − − − + = − − − + − ≥ − − =

⇒ ≥

ng thc xy ra khi và ch khi 1.a b c= = =

Ví d 1.2.

Cho , , 0a b c ≥ tha mãn 3a b c+ + = . Chng minh r ng

2 2 2( , , ) ( 1)( 1)( 1) 27 f a b c a a b b c c= + + + + + + ≤

i gi i .

Gi s , 1, 2.a b c a b c≤ ⇒ ≤ + ≥ Xét hiu

www.VNMATH.com


29/450

28

2 2 2

( , , ) , ,2 2

( 1)( ) (4 ( ) ( ) 4 )0

16

b c b c f a b c f a

a a b c b c b c bc

+ + − =

+ + − − + − + −= ≤

222

2 2

( , , ) , ,2 2

( 1) 12 2

( 1) ( ( 1)( 12 48) 37 71)27

1627

( , , ) 27

b c b c f a b c f a

b c b ca a

a a a a a a

f a b c

+ + ⇒ ≤

+ + = + + + + − − − + − −

= +

≤

⇒ ≤ng thc xy ra khi và ch khi 1.a b c= = =

Ví d 1.3.

Cho , ,a b c ∈ R . Chng minh r ng

2 2 2( , , ) 0 f a b c a b c ab bc ca= + + − − − ≥

i gi i .

Xét hiu

2

2 22

3( , , ) , , .( ) 0

2 2 4

( , , ) , , ( ) 02 2 2 2

( , , ) 0

b c b c f a b c f a b c

b c b c b c b c f a b c f a a a b c a

f a b c

+ + − = − ≥

+ + + + ⇒ ≥ = − + + = − ≥

⇒ ≥

Nhn xét.

Chc ai cng cm thy ây là mt bt ng thc quá d, quá c bn và tôi ngh chc

ng có ng i không hiu ni ti sao tôi li a ví d này vào. Nhng hãy chú ý

ng nhng cái hay trong nhng bài toán n gin không phi là không có và bây

gi tôi s trình bày ý t ng mà tôi cm thy thích thú nht trong bài này mà mình

phát hin c (có th không ch mình tôi).

Vì ( , , ) f a b c là hàm i xng v i các bin , ,a b c nên theo trên, ta có

www.VNMATH.com


30/450

29

( ), , , ,2 2

, ,2 2

2 2, ,2 4 4

... ...

b c b c f a b c f a

b c b c f a

b c a b c a b c f

+ + ≥

+ + =

+ + + + +≥

= ≥

Và ý t ng dãy s bt u xut hin.

Xét các dãy s ( ), ( ),( )n n na b c c xác nh b i

0 0 0

2 22 1 2 2 1 2 1

2 1 2 12 2 2 1 2 2 2 2

, ,

, ,

2, ,

2

n nn n n n

n nn n n n

a a b b c c

b ca a b c n

a ca b b c n

+ + +

+ ++ + + +

= = =

+= = = ∀ ∈

+= = = ∀ ∈

N

N

thy

lim lim lim3n n nn n n

a b ca b c t

→+∞ →+∞ →+∞

+ += = = =

Và

( , , ) ( , , ),n n n f a b c f a b c n≥ ∀ ∈ N

Do hàm ( , , ) f a b c liên tc nên

( , , ) ( lim , lim , lim ) ( , , ) 0

( , , ) 0

n n nn n n

f a b c f a b c f t t t

f a b c

→+∞ →+∞ →+∞≥ = =

⇒ ≥

ng thc xy ra khi và ch khi .a b c= =

Cách là trên là mt ý t ng có th nói là khá c áo và là c s hình thành nên

cách thc dn bin bn bin s mà chúng ta s xét ngay bây gi .

2. Dn bin bn bin s.Khác v i ba bin s dn bin bn bin s khó khn và phc t p h n nhiu. Trong

tr ng h p này kiu dn bin thông th ng mà chúng ta vn làm v i ba bin vô tác

ng. Và ví d 1.3 chính là tin xây dng nên ng li tng quát gii

quyt các bài bt ng thc có th gii bng dn bin k t h p dãy s.

www.VNMATH.com


31/450

30

Ví d 2.1. (D tuyn IMO 1993)

Cho , , , 0a b c d ≥ tha mãn 1a b c d + + + = . Chng minh r ng

1 176.

27 27abc abd acd bcd abcd + + + ≤ +

i gi i .

t

176( , , , ) .

27176

( ) .27

176( ) .

27

f a b c d abc abd acd bcd abcd

bc a d ad b c bc

ad b c bc a d ad

= + + + −

= + + + − = + + + −

V i mi b bn s ( , , , )a b c d tha mãn 1a b c d + + + = , nu tn ti hai s trong

n s này, chng hn ,b c tha mãn176

. 027

b c bc+ − ≤ thì

3

176( , , , ) ( ) .

27

( )

3

1

27

f a b c d bc a d ad b c bc

bc a d

b c a d

= + + + −

≤ +

+ + + ≤

=

Do ó, không mt tính tng quát có th gi s v i mi b bn s ( , , , )a b c d tha

mãn 1a b c d + + + = thì hai s bt k trong b bn s này, chng hn , ,a d u tha

mãn176

. 027

a d ad + − ≥

Khi ó, ta có

2

176( , , , ) ( ) .

27

176( ) .

2 27

f a b c d ad b c bc a d ad

b cad b c a d ad

= + + + −

+≤ + + + −

www.VNMATH.com


32/450

31

, , ,2 2

b c b c f a d

+ +=

Xét các dãy ( ),( ), ( )n n nb c d c xác nh b i

0 0 0

2 22 1 2 2 1 2 1

2 1 2 12 2 2 1 2 2 2 2

, ,

, ,2

, ,2

n nn n n n

n nn n n n

b b c c d d

b cb d c d n

b cb c c d n

+ + +

+ ++ + + +

= = =

+= = = ∀ ∈

+= = = ∀ ∈

N

N

Khi ó, d thy1

1lim lim lim

3

n n n

n n nn n n

a b c d n

ab c d

→+∞ →+∞ →+∞

+ + + = ∀ ∈ −

= = =

N

cách t, ta có ( , , , ) ( , , , ),n n n f a b c d f a b c d n≤ ∀ ∈ NDo f liên tc nên

2 3 3

2

( , , , ) ( , lim , lim , lim )

1 1 1, , ,

3 3 3

1 1 176 13 .

3 3 27 3

(4 1) (11 14) 1729 27

1

27

n n nn n n

f a b c d f a b c d

a a a f a

a a aa a

a a a

→+∞ →+∞ →+∞≤

− − − =

− − −= + −

− −= +

≤

⇒ pcm.

ng thc xy ra khi và ch khi1 1 1 1 1 1 1

( , , , ) , , , , , , ,04 4 4 4 3 3 3

a b c d =

.

Ngoài cách trên ta có th làm n gin nh sau

Ta có th gi s ( , , , ) , , ,2 2

a d a d f a b c d f b c

+ +≤

v i mi , , , 0a b c d ≥ tha mãn

u kin 1a b c d + + + = (vì trong tr ng h p ng c li bài toán c gii quyt).

Vì tính i xng ca hàm ( , , , ) f a b c d ta có

www.VNMATH.com


33/450

32

( , , , ) , , , , , ,2 2 2 2 2 2

1 1, , ,

2 2 4 4

1 1 1 1 1, , ,4 4 4 4 27

a d a d a d b c b c a d f a b c d f b c f

a d b c f

f

+ + + + + +≤ ≤

+ + ≤

≤ =

Cách làm trên khá hay nhng ch có th áp dng c v i mt s ít bài toán dng

này.

Ví d 2.2.

Cho , , , 0a b c d ≥ tha mãn 1a b c d + + + = . Chng minh r ng

4 4 4 4 148 1( , , , )

27 27

f a b c d a b c d abcd = + + + + ≥

i gi i .

Xét hiu

2 27 37( , , , ) , , , ( ) .( ) 3 .2 2 8 27

a b a b D f a b c d f c d a b a b ab cd

+ += − = − − + −

ó, nu có 0 ( , , , ) , , ,2 2

a b a bab cd D f a b c d f c d

+ +≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥

Gi s a b c d ≥ ≥ ≥ .Xét các dãy s ( ), ( ),( )n n na b c c xác nh b i

0 0 0

*2 1 2 12 2 1 2 2

2 22 1 2 1 2 1 2

, ,

,2

,2

n nn n n n

n nn n n n

a a b b c c

a ca b b c n

a ba b c c n

− −−

+ + +

= = =

+= = = ∀ ∈

+= = = ∀ ∈

N

N

thy

1

1lim lim lim

3 3

n n n

n n n

n n nn n n

a b c d n

a b c d n

a b c d a b c

→+∞ →+∞ →+∞

+ + + = ∀ ∈

≥ ∀ ∈ + + − = = = =

N

N

Và

www.VNMATH.com


34/450


35/450

34

2 2 2 2

2 2 2

( , , , ) , , ,2 2

33( ) .( ) ( )

2

3((4 ) 6) 3( ) (4 )2

c d c d f a b c d f a b

a b c d ab c d

a b ab a b a b

+ + ⇒ ≥

= + + + + +

= − − − + + + − −

2 29( 8 10) . 12 242

( , )

x x y x x

g x y

= − + + − +

=

Trong ó , x a b y ab= + = .

Ta có 2 2. y x≤ ≤ Xét các tr ng h p

+ Nu

22 29 9 4

8 10 0 ( , ) . 12 24 . 16 162 2 3 x x g x y x x x − + ≥ ⇒ ≥ − + = − + ≥

+ Nu 2 8 10 0 x x− + <2 2 2

2 29 ( 2) ( 4 8)( , ) ( 8 10). . 12 24 16 164 2 4

x x x x g x y x x x x

− − +⇒ ≥ − + + − + = + ≥

⇒ pcm.

ng thc xy ra khi và ch khi4 4 4

( , , , ) (1,1,1,1), , , ,03 3 3

a b c d =

.

Ví du 2.4. (Vasile Cirtoaje)

Cho , , , 0a b c d ≥ tha mãn 2 2 2 2 1a b c d + + + = . Chng minh r ng

(1 )(1 )(1 )(1 )a b c d abcd − − − − ≥

i gi i .

Ta có B sau

. (China TST 2004)

Cho , , , 0a b c d ≥ tha mãn 1abcd = . Khi ó, ta có

2 2 2 2

1 1 1 1( , , , ) 1

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) f a b c d

a b c d = + + + ≥

+ + + +

Ch ng minh.

thy, nu , 0 x y > tha mãn 1 xy ≥ thì

www.VNMATH.com


36/450

35

( )2 2 2

1 1 2

(1 ) (1 ) 1 x y xy+ ≥

+ + +

ó ta có nu 1ab ≥ thì ( )( , , , ) , , , f a b c d f ab ab c d ≥

Gi s a b c d ≥ ≥ ≥ và xét các dãy s ( ), ( ),( )n n na b c c xác nh b i

0 0 0

2 1 2 1 2 2 2 1 2

2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1

, ,

, ,

, ,

n n n n n n

n n n n n n

a a b b c c

a b a b c c n

a b a c c b n

+ + +

+ + + + + +

= = =

= = = ∀ ∈

= = = ∀ ∈

N

N

thy

33

1

1

1lim lim lim

n n n

n n

n n nn n n

a b c d n

a b n

a b c abcd →+∞ →+∞ →+∞

= ∀ ∈ ≥ ∀ ∈ = = = =

N

N

ó

( )

( ) ( )( )

3 3 3

3 2

2 23

23 3 32 4 23 3

223

( , , , ) ( , , , ),

( , , , ) ( lim , lim , lim , )

1 1 1, , ,

3 1

(1 )1

1 2 2 4 31

1 (1 )

1

( , , , ) 1

n n n

n n nn n n

f a b c d f a b c d n

f a b c d f a b c d

f d d d d

d

d d

d d d d d d

d d

f a b c d

→+∞ →+∞ →+∞

≥ ∀ ∈⇒ ≥

=

= +++

− + + + += +

+ +

≥⇒ ≥

N

y B c chng minh.

Tr li bài toán, ta có 2 2 2 2 1 , , , [0,1]a b c d a b c d + + + = ⇒ ∈

u 0abcd = thì (1 )(1 )(1 )(1 )a b c d abcd − − − − ≥ .

u 0abcd > .

www.VNMATH.com


37/450

36

t1 1 1 1

, , , , , , 0a b c d

x y z t x y z t a b c d

− − − −= = = = ⇒ >

Gi thit 2 2 2 22 2 2 2

1 1 1 11 1

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )a b c d

x y z t + + + = ⇔ + + + =

+ + + +

Và bt ng thc cn chng minh t ng ng v i

1 yzt ≥

Gi s ng c li 1 yzt < . Khi ó, t /1

t xyz

= thì / 1 xyzt = và /t t < .

Áp dng B , ta c

2 2 2 / 2

2 2 2 2

1 1 1 11

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

1 1 1 1 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

x y z t

x y z t

≤ + + ++ + + +

< + + + =+ + + +

y u gi s sai.

1 yzt ⇒ ≥

⇒ pcm.

ng thc xy ra khi và ch khi1

2a b c d = = = = .

Nhn xét.

ây là mt bài toán hay và l i gii va r i ã s dng hai công c là i bin và

n bin (v i các bin m i). Ngoài ra có th dn bin tr c ti p v i các bin ban u

(dành cho mi ng i).

3. Dn bin v i nhiu bin s h n.

Ví d 3.1.

Cho , , , , 0a b c d e ≥ tha mãn 5a b c d e+ + + + = . Chng minh r ng

2 2 2 2 2( , , , , ) 4( ) 5 25 f a b c d e a b c d e abcde= + + + + + ≥

i gi i .

Xét hiu

2 5( , , , , ) , , , , ( ) 2 .2 2 4

d e d e D f a b c d e f a b c d e abc

+ += − = − −

www.VNMATH.com


38/450

37

ó, ta có nu8

0 ( , , , , ) , , , ,5 2 2

d e d eabc D f a b c d e f a b c

+ +≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥

.

Gi s a b c d e≤ ≤ ≤ ≤ và xét các dãy s ( ),( ), ( )n n nc d e c xác nh b i

0 0 0

*2 2 2 22 1 2 2 2 1 2 1

*2 1 2 12 2 1 2 2

, ,

, ,2

, ,2

n nn n n n

n nn n n n

c c d d e e

d ec c d e n

c ec d d e n

− −− − − −

− −−

= = =

+= = = ∀ ∈

+= = = ∀ ∈

N

N

thy

1

8min{ , , }

5

n n n

n n n n

a b c d e n

a b c d e n abc n

+ + + + = ∀ ∈

≤ ≤ ∀ ∈ ⇒ ≤ ∀ ∈

Và5

lim lim lim3 3n n nn n n

c d e a bc d e

→+∞ →+∞ →+∞

+ + − −= = = =

ó, ta có

( , , , , ) ( , , , , )n n n f a b c d e f a b c d e n≥ ∀ ∈N

Suy ra

32 2 2

2

( , , , , ) ( , , lim , lim , lim )

5 5 5, , , ,3 3 3

4 5 (5 )4( ) .(5 )

3 27

44( ) 8 .(5

3

n n nn n n

f a b c d e f a b c d e

a b a b a b f a b

ab a ba b a b

a b ab a

→+∞ →+∞ →+∞≥

− − − − − − =

− −= + + − − +

= + − + − −3

2

2 3 2

5 (5 ))

27

5 (5 ) 16 40 1008

27 3

( )

ab a bb

y x x x y

g y

− −+

− − += − +

=Trong ó , x a b y ab= + = .

Ta có

3/ 10 (5 )( ) 8

27

y x g y

−= −

www.VNMATH.com


39/450

38

+ Nu310 (5 )

8 027

y x−− ≥ thì

2216 40 100 16 5( ) (0) . 25 25

3 3 4

x x g y g x

− + ≥ = = − + ≥

+ Nu310 (5 )

8 027

y x−− < thì

2

23

2 2

2 3 2

( )4

5 (5 )4 16 40 100

8 .27 4 3

( 2) ( 5 55 135 225)25

108

x g y g

x x

x x x

x x x x

≥

− − + = − +

− − + − +

= +

dàng chng minh

3 25 55 135 225 0 [0,2] x x x x− + − + ≥ ∀ ∈

Do ó

( ) 25 g y ≥

⇒ pcm.

ng thc xy ra khi và ch khi5 5 5 5

( , , , , ) (1,1,1,1,1), , , , ,0 .4 4 4 4

a b c d e =

Ví d 3.2.

Cho 1 2, ,..., 0n x x x ≥ tha mãn 1 2 ... 1n x x x+ + + = . Tìm giá tr l n nht ca biu thc

1 21

( , ,..., ) ( )n i j i ji j n

f x x x x x x x≤ < ≤

= +∑

i gi i .

Ta có 2 2 2 21 21 1 1 1

( , ,..., ) . .(1 )i j

n n

n j i i j i i

i j n i j n i j i i

f x x x x x x x x x x x≤ < ≤ ≤ < ≤ = ≠ =

= + = = −

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Xét hiu

www.VNMATH.com


40/450

39

1 1( ,..., ,...,0, ) ( ,..., ,..., ,..., ) 2 (2 3( )) j n i j n i j i j f x x x x f x x x x x x x x+ − = − +

Do ó, nu 3( ) 2i j x x+ ≤ , thì 1 1( ,..., ,..., ,..., ) ( ,..., ,...,0, ) j n i j n f x x x x f x x x x≤ + .

Xét tt c các b s 1 2( , ,..., )n x x sao cho 1 2( , ,..., )n f x x x t max f .

Trong ó, chn ra b s 1 2( , ,..., )na a a sao cho s phn t d ng trong b s ó là ít

nht (luôn có th chn c vì s s d ng là hu hn).

Gi s 1 2 1 2... 0 ... .k k k na a a a a a+ +≥ ≥ ≥ > = = = =

u 3k ≥ thì ta có

2 31 2 2 3 2 3 2 3

31 ... .( ) 3( ) 2

2 2na a

a a a a a a a a a+

= + + + ≥ + + = + ⇒ + ≤

Do ó

1 2 1 2 3 1 2 3( , ,..., ) ( , ,0,..., ) ( , ,0,..., ) maxn n n f a a a f a a a a f a a a a f ≤ + ⇒ + =

u này vô lý do b s 1 2 3( , ,0,..., )na a a a+ có s s d ng ít h n b s 1 2( , ,..., )na a a .

y 2k ≤ . Do ó

1 2 1 2 1 2 1 1

1( , ,..., ) ( ) (1 )

4n f a a a a a a a a a= + = − ≤

Do ó

1 2 1( , ,..., ) 4n f x x x ≤

ng thc xy ra chng hn khi 1 2 3 41

, ...2 n

x x x x x= = = = = .

4. Các kiu dn bin khác.

Trong môt s tr ng h p, các kiu dn bin thông th ng (ã nói phn m u)

vô tác dng (th ng do du bng không phi xy ra khi tt c các bin bng nhau).

Vì vy, xut hin mt s kiu dn bin khác.

Ví d 4.1.

Cho , , 0 x y z ≥ tha mãn 1 y yz zx+ + = . Tìm min ca

1 1 1( , , ) f x y z

x y y z z x= + +

+ + +

i gi i .

www.VNMATH.com


41/450

40

Khác v i nhng ví d tr c, ví d này có hai u khin vic dn bin khó khn

n là cc tr t c không phi khi c ba bin bng nhau và biu thc u kin

a bin ht sc khó chu. Sau ây là mt trong nhng l i gii cho bài này.

Gi s , x y z ≥ và t a y z = + thì 1ax ≤ và 2 x a≥ . Xét hiu

2

2 2

2 2

2

1 (1 )(2 )( , , ) 0, , 0

(1 )(1 )

1 ( 1) (2 2) 5 5( , , ) 0, ,

2 22 (1 )

ax x a a x f x y z f a

a x a

a a a f x y z f a

a a a

− − + − = ≥ + +

− − + ⇒ ≥ = + ≥ +

ng thc xy ra khi và ch khi ( , , ) (1,1,0). x y z =

y

5min ( , , ) 2 f x y z =

Ví d 4.2.

Cho , , 0a b c ≥ tha mãn 1a b c+ + = . Tìm giá tr l n nht ca biu thc

3 3 3( , , ) ( 7)( 7)( 7) f a b c a a b b c c= + + + + + +

i gi i .

ng tính toán tr c ti p (hoc gi s có b c= ), ta d oán c max 441 f = t

c chng hn khi 1, 0.a b c= = = T ó, dn n l i gii nh sau

Gi s2

,3

a b c b c≤ ⇒ + ≥ .

t khác, do 2 20 , , 1 1, 1a b c b c b c bc≤ ≤ ⇒ + ≤ + ≤ ≤ .

Xét hiu

3 2 2 2 2

3

( , , ) ( , ,0) ( 7) ( 7( ) 1 21( ))

2

( 7) 1 7 1 21. 30

f a b c f a b c a a bc b c b c b c

a a bc

− + = + + + + + − +

≤ + + + + − ≤

3 3

2 3

( , , ) ( , ,0)

7( 7)((1 ) 1 7)

7 ( 1)((1 )(2 ) 19) 441 441

f a b c f a b c

a a a a

a a a a a

⇒ ≤ +

= + + − + − +

= − − − + + + ≤

www.VNMATH.com


42/450

41

ng thc xy ra khi và ch khi ( , , ) (1,0,0).a b c =

y max 441 f = .

III. Dn bin trong tam giác.

1. Dn bin l ng giác trong tam giác.

Trong tam giác ph ng pháp dn bin a bt ng thc ã cho tr ng h p tam

giác th ng v tr ng h p tam giác cân.

Ví d 5.1.

Cho tam giác ABC không tù. Cgng minh r ng

sin .sin sin .sin sin .sin 5( , , )

sin sin sin 2

B C C A A B f A B C

B C = + + ≥

i gi i .

Gi s ,2 3

A B C Aπ π

≥ ⇒ ≥ ≥ .

Xét hiu

2 2 2

22

2

sin 4sin .sin2 2( , , ) , , . 1

2 2 sin sin .sin

sin 2 . 4sin 1sin 2

0

sin 12( , , ) , , 2sin 2sin2 2 sin 2 2

cotg

B C A A

B C B C f A B C f A

A B C

B C A

A

B C B C B C A

f A B C f A A A A

− + + − = −

− ≥ −

≥+

+ + ⇒ ≥ = + = +

t 12

cotg A

t t = ⇒ ≥ .

Và2

2 2

1 4 1 ( 1)( 4 5) 5 52sin .

2 2 2 2 21 2( 1).cotg

A t t t t A t

t t

− − ++ = + = + ≥

+ +

5( , , )

2 f A B C ⇒ ≥

www.VNMATH.com


43/450

42

⇒ pcm.

ng thc xy ra khi và ch khi ,2 4

A B C π π

= = = và các hoán v t ng ng.

Nhn xét.

ây là dng l ng giác ca ví d 4.1. D thy r ng dn bin bài này d chu và d

ngh h n bài kia r t nhiu.

Ví d 5.2. (VMO 1993)

Cho tam giác ABC . Tìm min ca

2 2 2( , , ) (1 cos )(1 cos )(1 cos ) f A B C A B C = + + +

i gi i .

+ Cách 1.Gi s

1, cos

3 2 A B C A A

π≤ ⇒ ≤ ⇒ ≥

Xét hiu

( )

2 2

2 2

22 2

22

2

( , , ) , ,2 2

6cos cos( ) 1(1 cos ).sin .

2 2

3 1 1(1 cos ).sin .2 2

0

( , , ) , ,2 2

(1 cos ) 1 cos2

(1 cos ) 3 cos

4(2cos 1) (4(1 cos )(4 cos ) 3)

64

B C B C f A B C f A

B C A B C A

B C A

B C B C f A B C f A

B C A

A A

A A A

+ + − =

− − − −= +

− − −≥ +

≥

+ + ⇒ ≥

+ = + +

+ −

=− − − +

=125

64125

64

+

≥

www.VNMATH.com


44/450

43

ng thc xy ra khi và ch khi3

A B C π

= = = .

y125

min ( , , ) .64

f A B C =

+ Cách 2.

Gi s3

cos3 2 2

C A B C C

π≥ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥

Ta có

2 2 2 2

22 2 2 2

2

(1 cos )(1 cos ) (cos cos ) (1 cos cos )

4sin .cos cos 1 cos2 2 2 2

cos2

A B A B A B

C A B A B C

A B f

+ + = + + −

− −= + − −

− =

Ta có

/ 2 2 2 2

2 2

cos 4sin 2 cos 1 cos2 2 2 2

2 cos 1 3cos2 2

0

B C A B C f

A B C

− −= + − −

− = + −

≤

Do ó

22cos (1) 1 sin

2 2

( , , ) , ,2 2

B C f f

A B A B f A B C f C

2− ≥ = +

+ +⇒ ≥

n ây, l p lun hoàn toàn t ng t nh cách 1, ta có125

min ( , , ) .64

f A B C =

Ví d 5.3.

Cho tam giác ABC . Chng minh r ng

2cos cos cos .(sin sin sin )

2 2 2 3

A B B C C A A B C

− − −+ + ≥ + +

i gi i .

www.VNMATH.com


45/450

44

Gi s ,3

A B C A π

≤ ⇒ ≤ . Bt ng thc cn chng minh t ng ng

3 2 4cos 2cos .cos .sin .cos .cos 0

2 4 4 2 23 3

B C B C A A B C A

π− − − −+ − − ≥

24 3 21 .cos . 2cos 1 2cos .cos .sin 02 4 4 43 3

A B C B C A A

π− − − ⇔ − − + − ≥

Xét hàm s 24 3 2

( ) 1 .cos .(2 1) 2 .cos sin2 43 3

A A f x x x A

π − = − − + −

i2

cos ,14 2

B C x x

−= ⇒ ∈

Ta có

/ 4 3( ) 4 1 .cos 2cos2 43

4 34 1 .cos 2cos

6 43

34 2cos

4

2 34. 2cos

2 4

0

4 3 2( ) (1) 1 .cos 2cos .sin ( )

2 43 3

A A f x x

A x

A x

A

A A f x f A g A

π

π π

π

π

π

− = − +

− ≤ − +

−= − +

−< − +

<−

⇒ ≥ = − + − =

Ta có

/ 2 2 3 3( ) .cos .sin .sin2 2 43 3

2 3 2sin cos 2sin 1 . sin cos

4 4 2 4 4 43

0( 0 )3

( ) 03

do

A A g A A

A A A A A

A

g A g

π

π

π

−= − + +

= + − + −

≤ < ≤

⇒ ≥ =

(1) 0 f ⇒ ≥

www.VNMATH.com


46/450

45

( ) 0

ñpcm.

f x⇒ ≥⇒

Nhn xét. Vic s dng công c o hàm trong ph ng pháp dn bin r t có l i khi

vic bin i t ng ng phc t p.

2. Dn bin theo các cnh.

Ví d.

Cho tam giác ABC tha mãn ,a b c≥ . Chng minh r ng

3.( )

2a b cl m m a b c+ + ≤ + +

i gi i .

Ta co

( )2 2 2 2 2 2 2 21. ( ) . 2 2 2 22( , , )

a b c

bcl m m b c a a b c a b c

b c

f a b c

+ + = + − + + − + − ++

=

Tröôùc heát, ta chöùng minh

22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 (1)

2

b ca b c a b c a

+ + − + − + ≤ +

Thaät vaäy2( ) ( )( ) 0(1) (hi eån nhieân ñuùng)b c a b c b c a⇔ − + + + − ≥

M aët khaùc, ta l aïi co

2 2 2 21. ( ) . ( ) (2)2

bcb c a b c a

b c+ − ≤ + −

+

Töø(1) vaø(2), ta co

2

2 2 21( , , ) . ( ) 22 2

, , (3)2 2

b c f a b c b c a a

b c b c f a

+ ≤ + − + + + + =

Ta seõchöùng minh

www.VNMATH.com


47/450

46

3, , .( ) (4)

2 2 2

b c b c f a a b c

+ + ≤ + +

Thaät vaäy

2

2 2 21 3(4) . ( ) 2 .( )2 2 2b cb c a a a b c+ ⇔ + − + + ≤ + +

2 2

2 2

3

1 8 3 1

1 8 3(1 ) ( (1,2])

( 2) ( 2) 0

trong ñoù

(hieån nhieân ñuùng)

b c b c b c

a a a

b c x x x x x

a

x x

+ + + ⇔ − + + ≤ +

+⇔ − + + ≤ + = ⇒ ∈

⇔ − + ≤

.K eát hôïp (3) vaø(4), ta suy ra ñpcm.Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaøchækhi a b c= =

Tuy ã r t c gng nhng bài vit này cng không th vét ht các kiu và dng bài

p dn bin cng nh nói v t duy và cách thc hình thành ph ng pháp. Nhng

tôi ngh nó cng ã các bn hình thành nên ph ng pháp này trong u, t ó

các bn s t cm nhn c cái hay ca ph ng pháp này cng nh các kiu dn

bin khác mà bài vit này cha c p n. Chú ý r ng các l i gii trên là phù

p v i bài vit này nên cng có th có nhng cách khác hay h n.VI. Bài tp.

Bài 1. (Vietnam TST 1996)

, ,Cho .Tìm giaùtrònhoûnhaát cuûa bieåu thöùca b c ∈ R

4 4 4 4 4 44( ) ( ) ( ) .( )7

P a b b c c a a b c= + + + + + − + +

Bài 2. (China TST 2004)

, , , 0Cho thoûa maõn 1. Chöùng minh raènga b c d abcd > =

2 2 2 2

1 1 1 11

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) P

a b c d = + + + ≥

+ + + +

www.VNMATH.com


48/450

47

Bài 3.

, , 0 1Cho thoûa maõn . Chöùng mi nh raènga b c a b c≥ + + =

3 3 3 15 1.4 4

a b c abc+ + + ≥

Bài 4.

, , , 0 4Cho thoûa maõn . Chöùng minh raènga b c d a b c d ≥ + + + =

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8abc abd acd bcd a b c a b d a c d b c d + + + + + + + ≤

Bài 5. (Phm Kim Hùng)

, , 0 3Cho thoûa maõn . Chöùng minh raènga b c a b c≥ + + =

2 2 2( )( )( ) 13a b b c c a abc+ + + ≤ +

Bài 6.

, , , 0 4Cho thoûa maõn .a b c d a b c d ≥ + + + =

a) Chng minh r ng

( )2 4a b c d abc abd acd bcd + + + ≥ + + + +

b) Tìm min ca

( )7 P a b c d abc abd acd bcd = + + + − + + +

Bài 7.

Cho tam giác nhn BC . Chng minh r ng

2 2 2sin .sin sin .sin sin .sin 9

sin sin sin 4

B C C A A B

A B C

+ + ≥

Bài 8.

Cho tam giác ABC . Chng minh r ng

( )2 3 3 4 p R r ≤ + −Bài 9.

Cho , , , , 0a b c d e ≥ tha mãn 1a b c d e+ + + + = . Chng minh r ng

5 5 5 5 5 1845 1.256 256

a b c d e abcde+ + + + + ≥

www.VNMATH.com


49/450

48

Bài 10.

, , 0 3Cho thoûa maõn .a b c a b c≥ + + = Tìm giá tr l n nht và giá tr nh nht ca

biu thc

( ) ( ) ( )2 2 2

3 3 3 P a a b b c c= + + + + + +Bài 11. (Phm Kim Hùng)

Cho , , 0a b c > tha mãn 1abc = . Chng minh r ng

2 2 2

3 3 33

( 1) ( 1) ( 1)

a b c

a b c

+ + ++ + ≥

+ + +

Bài 12.

Cho , , 0 x y z ≥ tha mãn 1 y yz zx+ + = . Chng minh r ng

1 1 1 12

2 y z z x x y+ + ≥ +

+ + +

Bài 13.

, , 0 1Cho thoûa maõn .a b c a b c≥ + + = . Chng minh r ng

1 1 1 21

1 1 1 3

a b c

a b c

− − −+ + ≤ +

+ + +

Bài 14.Cho , , , 0a b c d ≥ . Chng minh r ng

4 4 4 4 3 3 3 33( ) 4 ( )( )a b c d abcd a b c d a b c d + + + + ≥ + + + + + +

Bài 15. (Phm Kim Hùng)

, , 0 3Cho thoûa maõn .a b c a b c≥ + + = Chng minh r ng

3 3 3 3 3 3 3 3 336( ) ( )( )ab bc ca a b b c c a a b c+ + ≥ + + + +

Bài 16. (Võ Quc Bá Cn)

, , 0 1Cho thoûa maõn .a b c a b c≥ + + = Tìm min

4 4 4 4 4 4 4 4 4( )( )

ab bc ca P

a b b c c a a b c

+ +=

+ + + +

www.VNMATH.com


50/450

49

N BIN KHÔNG XÁC NH

I. Dn bin không xác nh.Cái tên nghe có v l nh? tìm hiu ph ng pháp m i m này chúng ta hãy cùng

bàn n hai bài toán quen thuc sau

Bài toán 1.

Cho n là s nguyên d ng và 1 2, ..., n x x x là các s thc thuc n [ , ] p q v i , p q

là hai s thc cho tr c. Tìm giá tr l n nht ca biu thc 1 2( , ..., )n f x x x

Bài toán 2.

Cho n là s nguyên d ng và là 1 2, ..., n x x x các s thc không âm có tng bng n .

Tìm giá tr nh nht ca biu thc 1 2( , ..., )n f x x x

c hai bài trên thì 1 2( , ..., )n f x x x u là các biu thc i xng ca 1 2, ..., n x x x )

Thông th ng i v i các Bài toán 1 chúng ta th ng s p th t các bin và dn giá

tr ca bin v hai biên so sánh tr c ti p chúng. Chng hn so sánh

1 2( , ..., )n f x x x v i 2( , ..., )n f p x x v i mc ích là a bài toán v tr ng h p n

gin v i s l ng bin ít h n. Còn v i Bài toán 2 chc chn các bn s ngh ngay

n ánh giá 1 2 1 21 2( , ..., ) , ,...,2 2n n x x x x

f x x x f x+ +

≥

hoc hi hu lm thì chúng

ta có ánh giá 1 2 1 2( , ..., ) (0, ,..., )n n f x x x f x x x≥ + . Có th thy nhng suy ngh nh

trên là vô cùng t nhiên nhng nói chung là khó thc hin vì nhng bài có th gii

tr c ti p là t ng i n gin. Vì vy chúng ta cn mt b c phát trin h n cho

ph ng pháp này ó là dn bin không xác nh. Vy dn bin không xác nh là

gì? Tôi có th gi i thiu luôn t t ng chính ca ph ng pháp này là “Dn các bin

do v mt trong nhng m c bit mà ta cha th xác nh rõ s dn c th v

m c bit nào”. Có v h i khó hiu phi không? Chúng ta s cùng quay tr li

i 2 bài toán trên

www.VNMATH.com


51/450

50

(i) V i Bài toán 1, thay vì chng minh 1 2 2( , ..., ) ( , ,..., )n n f x x x f p x x≤ chúng ta s

chng minh

1 2 2 2( , ..., ) { ( , ,..., ), ( , ,..., )}maxn n n f x x x f p x x f q x x≤

(ii) V i Bài toán 2, thay vì ánh giá ã nói trên chúng ta s ch ra c

1 2 1 21 2 1 2( , ..., ) min , ,..., , (0, ,..., )2 2n n n

x x x x f x x x f x f x x x

+ + ≥ +

c n ây bn ng vi c i vì nó ch tin b h n ph ng pháp ban u mt

chút khi u kin dn bin c n i lng mà trông li có v phc t p v i max, min

ng nhng! Bn hãy xem th sc mnh ca t t ng này thông qua ví d quen

thuc sau ây nhng tr c ht chúng ta hãy n v i B c bn

1.Cho , ,a b c là các s thc tha mãn b c≥ . Khi ó ít nht mt trong hai bt ng thc

sau úng

(i) a c≥

(ii) a b≤

Ch ng minh.

Gi s c hai bt ng thc trên u sai ta suy ra c a b c> > ≥ (Mâu thun).

qu 1.

Cho ,a b là các s thc. Khi ó ít nht mt trong hai bt ng thc sau úng

(i) a b≥

(ii) a b≤

Các bn ng nên xem th ng B 1, tuy ây là mt B n gin theo úng

ngh a ca nó nhng li là mt B cc k hiu qu y. Sau ây là mt ví d cho

thy u ó

Ví d 1.

Cho , p q là hai s thc d ng, n là s nguyên d ng và 1 2, ,..., n x x là các s thc

thuc n [ , ] p q v i , p q là hai s thc d ng cho tr c. Tìm giá tr l n nht ca

biu thc

www.VNMATH.com


52/450

51

1 2 1 21 2

1 1 1( , ,..., ) ( ... ) ...n n

n

f x x x x x x x x x

= + + + + + +

i gi i .

t 2 32 3

1 1 1... , ...n

nS x x x T x x x= + + + = + + +

1 2 2

11

11

1

( , ,..., ) ( , ,..., )

1 1( ) ( )

( ) 0

(1)

n n f x x x f p x x

x S T p S T x p

S x p T

px

S

T px

≤

⇔ + + ≤ + +

⇔ − − ≤

⇔ ≤

1 2 2

11

11

1

( , ,..., ) ( , ,..., )

1 1( ) ( )

( ) 0

(2)

n n f x x x f q x x

x S T q S T x q

S x q T

qx

S T

qx

≤

⇔ + + ≤ + +

⇔ − − ≤

⇔ ≥

Do1 1

S S

px qx≥ nên theo B 1 s có ít nht mt trong hai bt ng thc (1), (2)

úng.

Suy ra 1 2 2 2( , ..., ) { ( , ,..., ), ( , ,..., )}maxn n n f x x x f p x x f q x x≤

Hoàn toàn t ng t ta nhn c k t qu sau

n ti 1 2, ,..., { , }n y y y p q∈ sao cho 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )n n f x x x f y y y≤

Bài toán a v tìm giá tr l n nht ca 1 2( , ,..., )n f y y y v i 1 2, ,..., { , }n y y y p q∈ .

Không quá khó khn chúng ta tìm c

www.VNMATH.com


53/450


54/450

53

II. nh lý dn bin không xác nh U.M.V (Undefined Mixing Variables).

nh lý U.M.V. Cho 1 2, ,..., n x x x là các s thc không âm có tng là mt hng s

ng cho tr c. 1 2( , ,..., )n f x x x là mt hàm liên tc, i xng ca 1 2( , ,..., )n x x x

tha mãn u kin1 2 1 2

1 2 1 2( , ,..., ) min , ,..., , (0, ..., )2 2n n n x x x x

f x x x f x f x x x+ + ≥ +

i mi 1 2( , ,..., )n x x tha mãn u kin ã cho.

Khi ó, giá tr nh nht ca 1 2( , ,..., )n f x x x là giá tr nh nht ca

( 0,1,2,..., 1)t C t n= − trong ó ( 0,1,2,..., 1)t C t n= − là giá tr ca 1 2( , ,..., )n f x x x

khi trong 1 2( , ,..., )n x x x có t s bng 0 và n t − s còn li bng nhau.

Ch ng minh.

Tr c ht, ta chng minh B sau

2. Cho mt b s thc không âm 1 2( , ,..., ) ( 2)n x x x n ≥ thc hin phép bin

i ∆ nh sau

Chn 1 2( , ,..., )max n x x x x= và 1 2( , ,..., )mi n n x x x x= .

Gán , j x x b i2

j x x+ nhng vn gi nguyên v trí ca chúng trong 1 2( , ,..., )n x x x .

Khi ó sau vô hn ln thc hin ta c 1 21 2...

... nn x x x

x x xn

+ + += = = = .

Ch ng minh.

Ký hiu dãy ban u là 1 1 11 2( , ,..., )n x x x .

Ta chng minh bng quy n p.

i 2n = thì B hin nhiên úng.

Gi s b úng v i : 1n n= − ta chng minh nó úng v i :n n= .

Tht vy, gi s ln th k nào ó thc hin phép bin i ∆ ta s nhn c b

1 2( , ,..., )k k k

n x x x .

i 1 2 1 2min{ , ,..., }, { , ,..., }maxk k k k k k

k n k nm x x x M x x x= = .

www.VNMATH.com


55/450

54

thy { }k m là dãy không gim b chn trên b i 1 M nên lim k k

m m→∞

∃ = , còn { }k M

là dãy không tng b chn d i b i 1m nên lim k k

M M →∞

∃ = .

u b c th k nào ó thc hin phép bin i ∆ mà 1k

k x m= hoc 1k

k x M = thì

1 c gi là có tham gia vào phép bin i ∆ b c th k .

i 1 2 ... su u u< < < là tt c nhng ln 1 x tham gia phép bin i d i vai trò s

nh nht, còn 1 2 ... t v v v< < < là tt c nhng ln 1 x tham gia phép bin i d i vai

trò s l n nht.

*) Nu t + < ∞ , t 0 { , }maxk s t = suy ra t b c 0k tr i thì 1 x s không tham

gia vào phép bin i ∆ na. Nh th ta ch áp dng phép bin i này cho b

0 0 02 3( , ,..., )k k k

n x x x .

Áp dng gi thit quy n p, ta nhn c b

0 0 00 0 0 2 3

2 3

......

1

k k k k k k n

n

x x x x x

n

+ + += = = =

−.

Do 1 x không tham gia vào phép bin i ∆ nào na nên

0 0 00 0 0 2 3

1 2

......

1

k k k k k k n

n

x x x x x

n

+ + += = = =

− ây ta có pcm.

**) Nu t + = ∞ . Không gim tng quát, gi s = ∞ suy ra 1lim k u

k m

→∞= .

+ Tr ng h p 1. t < ∞

Do lim , limk k k k

m m M M →∞ →∞

= = nên theo nh ngh a gi i hn thì v i mi 0>ε nh

thì

1n∃ sao cho v i mi 1 N n> thì N m m− < ε

2n∃ sao cho v i mi 2 N n> thì N M M − < ε

Chn 3 1 2{ , , }max t n v n n= , suy ra v i mi 31iu n− > thì

1 1,i iu um m M M − −− < −


56/450

55

mà 1 11 2i ii

u uu m M

x − −+= nên 1 2

iu M m

x +

− < ε

1

1

lim2

lim2

iu

i

k

k

M m x

M m x

→∞

→∞

+⇒ =

+⇒ =

+ Tr ng h p 2. t = ∞ .

Hoàn toàn t ng t ta suy ra

1

1

lim2

lim2

i

i

u

i

v

i

M m x

M m x

→∞

→∞

+=

+=

Vì vy 1lim 2k

k

M m x

→∞

+=

Do ó trong mi tr ng h p ta u có

1lim 2k

k

M m x

→∞

+=

Hoàn toàn t ng t ta nhn c k t qu sau lim2

k i

k

M m x

→∞

+= v i mi 1,2,...,i n=

nên ta có pcm.Ch ng minh nh lý.

Thc hin thut toán t β v i {0,1,2,..., 1}t n∈ − cho tr ng h p t p 1 2( , ,..., )n x x x ã

có t s 1 2 ... 0t x x x= = = = nh sau

cho gn ta quy c 1 2( , ,..., ) ( , )n i j f x x x f x x= trong ó

1 2 1 2{ , ,..., }, min{ , ,..., }max n j n x x x x x x x= = tha mãn 0 j x > .

Tin hành so sánh ( , ) j f x x v i ,2 2 j i j x x x x

f + +

và (0, ) j f x x+ .

*) Nu ( , ) (0, ) j i j f x x f x x< + thì ( , ) ,2 2 j i j

i j

x x x x f x x f

+ +≥

. Khi ó áp dng

thut toán ∆ cho 1 2{ , ,..., }t t n x x x+ + . Nu trong mt b c nào ó li có

www.VNMATH.com


57/450

56

( , ) (0, ) j i j f x x f x x≥ + thì chuyn sang thut toán 1t +β . Nu không có thì phép

bin i ∆ s c thc hin vô hn ln nên 1 2 ...t t n x x∞ ∞ ∞+ += = = .

**) Nu ( , ) (0, ) j i j f x x f x x≥ + ta chuyn tr c ti p sang thut toán 1t +β .

Rõ ràng thut toán 1n−β ã là thut toán hng và ó là k t qu c nh.

Vì vy nh lý ã c chng minh hoàn chnh.

Trong nh lý U.M.V ta có th thay th u kin tng các bin bng các u kin

khác nh tng bình ph ng, tng l p ph ng...và có cách dn bin t ng ng thì

nh lý vn úng và cách chng minh không có gì khác.

qu. Cho 1 2, ,..., n x x x là các s thc không âm có tng là mt hng s d ng

cho tr c.1 2

( , ,..., )n

f x x x là mt hàm liên tc, i xng ca1 2

( , ,..., )n

x x x tha mãn

u kin

1 2 1 21 2 1 2

2 3

1 2 1 2 1 2

( , ..., ) min , ,..., , (0, ..., )2 2

(0, , ,..., ) 0

... ... ..., ,..., 0

n n n

n

n n n

x x x x f x x x f x f x x x

f x x x

x x x x x x x x x f

n n n

+ + ≥ + ≥

+ + + + + + ≥

v i mi 1 2( , ,..., )n x x tha mãn u kin ã cho thì 1 2( , ,..., ) 0n f x x x ≥ .III. Mt s ng dng ca ph ng pháp dn bin không xác nh.

s dng ph ng pháp dn bin không xác nh rõ ràng ta phi thc hin theo

trình t hai b c

c 1. Xác l p u kin dn bin.

c 2. Gii quyt bài toán v i u kin ã xác l p bên trên.

n nhiên B c 2 chính là ni dung ca nh lý U.M.V và ã c gii quyt mt

cách hoàn toàn trit . Do ó, phn quan tr ng nht ca chúng ta cn phi làm ólà thc hin c B c 1. Mt u kì l là b c này th ng c x lý r t gn nh

ng cách s dng B 1, mt b gn nh hin nhiên da trên quan h th t

a các s trên tr c s thc. Chúng ta hãy tìm hiu rõ h n qua các ví d c tr ng

sau

www.VNMATH.com


58/450

57

Ví d 3. (Phát trin t mt bài IMO)

Cho n là s nguyên d ng và 1 2, ,..., n x x là các s thc không âm có tng bng n .

Tìm s

BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf

Documents

Transcript of BĐT Chuyen De On HSG BDT - Vo Quoc Ba Can.pdf