91. ABC гурвалжны BC талыг диаметр болгосон, AB талыг D цэгт огтолсон тойрог байгуулав. Хэрэв AC=15, BC=20 ба · ·ABC ACD= бол ABC ба BCD гурвалжны талбайн харьцааг ол.

Бодолт:

Хэрэв тойрог AC талыг K цэгт огтолдог гэж үзвэл · ·KCD DBK= болно.Үүнээс · ·DBK DBC= болохоор

K цэг C цэгтэй давхцана. Иймээс · 090ACB = бөгөөд CD нь ABCV -ны тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндөр болно. B – ерөнхий өнцөг тул

CDB ACBV :V байна. Эндээс AB ACBC CD

=

15 20 1225

AC BCCDAB⋅ ⋅

= = =

ABCV 2 2 225 400 625 25AB AC BC= + = + = =

25 520 4

AB KBC

= = =

22 5 25

4 10ABC

CBD

S KS

= = =

V

V

#

92. A ба D цэгт огтолцсон 2 тойрог өгөгджээ. AB ба CD нь хоёр тойргийн шүргэгчүүд болно.

(B ба C –тойргийн цэг) 2

2AC CDBD AB

= гэж батал.

Бодолт:

Хөвч ба шүргэгчийн хоорондох өнцгийн теорем ёсоор:

·

·

¼ ·

1212

BAD ADBAD ACD

ACD AD

= ⋅ ⇒ == ⋅

(

(

·

·

· ·

1212

ADC ADADC ABD

ABD AD

= ⋅ ⇒ == ⋅

(

(

· ·

· ·

BAD ACDDAC BDA

ADC ABD

= ⇒=

V :V тул

AD CDBD ABAC CDAD AB

= =

харгалзуулан үржүүлбэл 2

2AC CDBD AB

= #

93. Шүргэгч ба огтлогчийн теорем. Нэг цэгээс тойрогт шүргэгч ба огтлогч татав. Огтлогчийг түүний гаднах хэсэгт үржүүлсэн үржвэр нь шүргэгчийн уртын квадраттай тэнцүү гэж батал.

Бодолт:

·

·

· ·

µ

121 ?2

CMA MC CMA MBA

A ер нхийMBA MC

= ⋅ = ⇒ − = ⋅

(

(тул ӨӨ шинжээр

ABM AMCV :V тул

AM ABAC AM

= 2AM AC AB= ⋅ #

94. Тойргийн гадна орших А цэгээс тойрогт шүргэгч ба огтлогч шулуун татав. А цэгээс шүргэлтийн цэг хүртэлх зай 16, харин А цэгээс татсан огтлогчийн урт 32. Хэрэв тойргийн төвөөс огтлогч шулуун хүртлэх зай 5 бол тойргийн радиусыг ол.

Бодолт:

AM=16, AC=32, AB=32-BC,

Шүргэгч ба огтлогчийн теоремоор

2AM AC AB= ⋅

( )216 32 32 BC= ⋅ − 256 1024 32BC= − 32 768BC = 24BC =

1 122

KB BC= • =

OKBV тэгш өнцөгт гурвалжин тул

2 2 2OB OK KB= + 25 144 13OB = + = 13R = #

95. Тойргийн гаднах цэгээс татсан огтлогчийн урт 12, шүргэгч нь огтлогчийн тойрог доторх

хэрчмийн 23

-той тэнцүү бол шүргэгч шулууны уртыг ол.

Бодолт: 12AB = , 23

AM BC=

Шүргэгч огтлогчийн теорем ёсоор: 2AM AB AC= ⋅ 12AC AB BC BC= − = −

( )22 12 12

3BC BC = ⋅ −

24 12 144 0

9BC BC+ − =

729 1296 2025D = + = 9BC = 2 9 63

AM = ⋅ = #

96. ABCD квадратын тал 1 ба квадратын нэг тал тойргийн хөвч болох ба бусад талууд нь тойргийн гадна оршино. C оройгоос тойрогт татсан шүргэгч CK=2 бол тойргийн диаметрийг ол.

Бодолт:

AD – тойргийн хөвч , CD цацраг нь D цэгээс өөр M цэгт тойргийг огтолно.

Шүргэгч ба огтлогчийн теоремоор : 2CK CM CD= ⋅

4 1CM= ⋅

4CM = 4 1 3DM = − = см

· 090ADM = ба AM – тойргийн диаметр

ADMV - тэгш өнцөгт

2 2 2AM AD DM= +

1 9AM = + 10AM = 10D AM= = #

97. R радиустай тойрог нь ABC гурвалжны A ба B оройг дайрах ба AC шулууныг А цэгт шүргэнэ. ·ABC β= , ·CAB α= бол гурвалжны талбайг ол.

Бодолт:

· 12

BAC BCα= = ⋅(

µ 2O BC α= =(

AOBV хувьд : ( ) sin 2sin 90

R ABαα

=−o

( ) 0 00

sin 2 2 sin cos 2 sin cos 2 sinsin 90 cos sin cos90 cossin 90

R R RAB Rα α α α α αα α αα

⋅ ⋅ ⋅= = = = ⋅

−−

ABCV хувьд: µ 0180C α β= − − тул ( )0 sinsin 180

AB ACβα β

=− −

( )( ) ( ) ( )0

sin sin 2 sin sinsin sinsin 180

AB AB RAC β β α βα β α βα β

⋅ ⋅ ⋅= = =

+ +− +

( )2 31 2 sin sinsin

2 sinABCRS AB AC α βα

α β⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ =+V #

98. Тойрог нь ABC гурвалжны AB ба BC талуудыг D болон E цэгт шүргэнэ. A,D,E,C цэгүүд нэг тойрог дээр орших ба AB=5, AC=2 бол А цэгээс татсан ABC гурвалжны өндрийг ол.

Бодолт:

Хоёр огтлогчийн теоремоор:

BD AB BE BC⋅ = ⋅ Эндээс BD BE= , AB AC= тул ABCV - адил хажуут гурвалжин

Хэрэв h – ABC гурвалжны В оройгоос татсан өндөр бол

Пифагорын теорем ёсоор : 2

2 25 1 2 62

ACh AB = − = − =

1212

S AP BCAP BC h AC

S AC h

= ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅= ⋅ ⋅

2 2 6 4 65 5

AC hAPBC

⋅ ⋅= = =

99. А цэгээс R радиустай тойрогт шүргэгч ба огтлогч шулуун татав. B шүргэлтийн цэг, D ба C огтлолцлын цэгүүд бөгөөд D цэг нь A ба C цэгүүдийн хооронд оршино. ABC гурвалжны B өнцгийн биссектрис нь BD бөгөөд түүний урт R-тэй тэнцүү. A цэгээс тойргийн төв хүртэлх зайг ол.

Бодолт:

BD = R гэдгээс OBDV - адил талт тул

· µ ·060ODB O OBD OB AB= = = ⊥

· 90 60 30DBA = − =o o o µ 60O BD= =o(

µ 1 302

C BD= ⋅ = o(

ABCV -ны хувьд µ 60B = o , µ 30C = o тул µ 90A = o болж

ABCV - тэгш өнцөгт ADB⇒V - тэгш өнцөгт

3cos302

RAB R= ⋅ =o

OABV - тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд: 2 2 2OA AB OB= + 2 23 7

4 2ROA R R= + = #

100. О цэгт төвтэй R радиустай тойрог нь ABC гурвалжны A ба B оройг дайрах бөгөөд BC хэрчмийг M цэгт огтолно. Харин AC шулууныг A цэгт шүргэнэ . ·ACO α= ·MAB β= бол CM –ыг ол.

Бодолт: Шүргэгч ба огтлогчийн теоремоор:

2 ( )AC BC MC MC MC MB= ⋅ = ⋅ +

2 2AC CM CM BM= + ⋅ 2 sinBM R β= ⋅ болно.

AOCV - тэгш өнцөгт гурвалжин тул µ 090O α= − байх ба

0sin(90 ) sinAC R

α α=

−

0sin(90 ) sin cos cossin sin

R RAC Rα α α αα α

⋅ − ⋅= = = ⋅

cosAC R α= ⋅ буюу 2 sinBM R β= ⋅ болно.

2 2 2cosAC R α= ⋅ орлуулбал

2 2 22 sin cosCM R CM Rβ α+ ⋅ ⋅ = ⋅

2 2 22 sin cos 0CM R CM Rβ α+ ⋅ ⋅ − ⋅ =

2 2 2 2 2 22 22 sin 4 sin 4 cos 2 sin 2 sin cos

( sin cos sin )2 2

R R R R RCM Rβ β α β β αβ α β

− + + − + += = = ⋅ + −

2 2( sin cos sin )CM R β α β= ⋅ + − #

101. ABC тэгш өнцөгт гурвалжны AB гипотенуз нь 2 бөгөөд тойргийн хөвч болно. AC катет нь 1 бөгөөд тойргийн дотор оршино. Харин түүний үргэлжлэл тойргийг D цэгээр огтолно. CD=3 бол тойргийн радиус ол.

Бодолт:

ABCV тэгш өнцөгт гурвалжны AB=2 AC=1 ба AB=2AC тул · 030ABC = · 060BAC = болно.

Эндээс · 12

BAC BD= ⋅(

буюу 0120BD =(

· 0120BOD BD= =(

болно.

ABCV хувьд 2 2 2 22 1 3BC AB AC= − = − =

BCDV хувьд 2 2 9 3 2 3BD CD BC= + = + =

BODV хувьд 2 2 2 2 02 cos120BD R R R= + − ⋅

2 212 2R R= + 2R =

102. ABCDEF зөв зургаан өнцөгтийн тал 3AB = , энэ нь тойргийн хөвч болох бөгөөд бусад талууд нь тойргийн гадна оршино. C оройгоос тойрогт татсан CM шүргэгчийн урт 3 ( B оройтой хөрш ) . Тойргийн диаметрийг ол.

Бодолт:

M- шүргэлтийн цэг

К – өгсөн тойргийг BC шулуунтай огтолцох хоёр дах цэг болно. Шүргэгч ба огтлогчийн теоремоор: 2CM CK CB= ⋅ 9 3CK= ⋅ 3 3CK = 3 3 3 2 3BK CK BC= − = − =

эндээс 2 3 2BK AB= = ⋅ болно. Зөв зургаан өнцөгтийн дотоод өнцгийн хэмжээ нь

·0

0180 ( 2) 1206nCBA ⋅ −

= =

· ·0 0 0 0180 180 120 60ABK CBA= − = − = болж ABKV - тэгш өнцөгт гурвалжин болж BK –гипотенуз буюу олох диаметр болно.

2 3BK D= = #

103. ABC гурвалжны AB тал нь тойргийн хөвч болно. AC ба BC талууд нь тойргийн дотор орших бөгөөд AC талын үргэлжлэл D цэгт, BC талын үргэлжлэл E цэгт тойргийг огтолно. AB=AC=CD=2 ,

2CE = байх тойргийн радиусыг ол.

Бодолт:

Огтлогдсон хөвчийн теоремоор:

AC CD BC FC⋅ = ⋅ 4 2BC= ⋅ 2 2BC = Эндээс 2 2 2BC AC AB= + буюу Пифагорын теорем биелж байгаа тул

ABCV - гурвалжин тэгш өнцөгт , BC –гипотенуз , µ 090A = болно.

DABV - тэгш өнцөгт гурвалжин , DB – диаметр болно.ө/х2 22 20 2 5DB R AB AD= = + = =

5R = #

104. AB=3 ; BC= 4 катеттай ABC тэгш өнцөгт гурвалжны AB ба AC талын дунджийг дайрсан , BC катетыг шүргэсэн тойрог татжээ . AC гипотенузын тойргийн дотор орших хэрчмийн уртыг ол.

Бодолт:

M цэг- AC талын дундаж , N цэг – AB талын дундаж , Кцэг – BC талын шүргэлтийн цэг. MN –ABC гурвалжны дундаж шугам

1 22

MN BC= ⋅ = 1 12

KB MN= ⋅ =

4 1 3KC BC BK= − = − = 2 2 9 16 5ABC хувьд AC AB BC= + = + =V

1 52 2

CM AC= ⋅ =

Огтлогч ба шүргэгчийн теоремоор: 2CK CT CM= ⋅

5 592 2

CT CM MT тул MT = + = + ⋅

1110

MT = #

105. Тойрог ABCD тэгш өнцөгтийн AB ба AD талуудыг шүргэх ба C оройг дайрна. Харин DC талыг N цэгт огтолно. Хэрэв AB=9 ; AD= 8 бол ABND трапецын талбайг ол. Бодолт: DN=x гэе.

P , Q - тойргийн өгсөн тэгш өнцөгтийн AD ба AB талуудтай шүргэсэн шүргэлтийн цэг AB талд татсан перпендикуляр нь Q цэгийг дайрах ба DC талтай F цэгт огтолно. F цэг нь NC хөвчийн дундаж , QF шулуун дээр тойргийн төв оршино. D цэгийн хувьд огтлогч ба шүргэгч теорем ёсоор:

2PD DC DN= ⋅ 2 9PD x= 3PD x=

8 3AQ AP x= = − 9 8 3 1 3QB AB AQ x x= − = − + = +

1 3QB FC x= = +

( )2 2 1 3 2 6NC FC x x= ⋅ = ⋅ + = +

DC DN NC= + 9 2 6x x= + + 6 7 0x x+ − = x y= гэе.

2 6 7 0y y+ − =

1y = 1x = 1x = 1DN =

1 9 8 402 2

DN ABS AD+ += ⋅ = ⋅ = #

106. r ба R (r<R) радиустай хоёр тойрог гадна талаараа шүргэлцэнэ. Эдгээр тойргуудыг шулуун M ба N цэгт шүргэнэ. Хоёр тойрог А ба В цэгт гурав дах тойрогтой гадна талаараа шүргэнэ. AB ба MN шулуунууд нь C цэгт огтлолцох ба С цэгээс гурав дах тойрогт шүргэгч татав. (D- шүргэлтийн цэг) CD зайг ол. Бодолт:

O1, O2 – r ба R радиустай хоёр тойргийн төв O3 – гурав дах тойргийн төв K – нэгдүгээр тойргийн AC огтлогч шулуунтай огтлолцсон хоёрдугаар цэг P – нэг ба хоёрдугаар тойргийн шүргэлтийн цэг гэе. Иймээс эдгээр тойргууд хоорондоо шүргэлцэж байгаа тул P цэг O1O2 шулуун дээр оршино. MN ба AB шулуунуудын огтлолцлын цэг нь O1O2 шулуун дээр оршино гэдгийг баталъя.

- MN шулуун /

C цэгт O1O2 шулууныг огтолно гэж үзье. Хэрэв Q нь O1 цэгийн O2N дээрх проекц бол

1 1 1

2 2 2 1

O M O M O M rO Q O N NQ O N O M R r

= = =− − −

коэффициентоор /1 2 1O MC O QOV : V болно.

Иймээс ( ) ( )/1 1 2

r R rr rC O O O R rR r R r R r

+= ⋅ = ⋅ + =

− − −

- AB шулуун нь O1O2 шулууныг C// цэгт огтолдог байг. A цэг нь O1O3 хэрчим дээр, B цэг нь O2O3 хэрчим дээр байрладаг болохоор · · · · ·

1 1 3 3 2O KA O AK O AB O BA O BF= = = = . эндээс F нь O2 төвтэй тойрог болон AB шулууны огтлолцсон хоёр дах цэг болно. Иймээс 1 2/ /KO BO болно. - O1 цэгийг AB шулуунтай параллелиар дайран гарч байгаа шулуун нь O2B радиусыг L цэгт

огтолдог гэж үзье.

Тэгвэл 1 1 1

2 2 2 1

O K O K O K rO L O B BL O B O K R r

= = =− − −

коэффициентоор "1 2 1O KC O LOV : V байна.

( ) ( )1 1 2"

r R rr rC O O O R rR r R r R r

+= ⋅ = ⋅ + =

− − − болно.

Иймээс '1 1"C O C O= болж C’ ба C “ цэгүүд давхцана . Үүний улмаас NM , AB шулуун нь O1O2

шулуунтай огтлолцоно. Одоо CD –г олъё. A , P , B цэгүүд нь O1O2O3 гурвалжны талууд дээр 1 1 2 2 3 3, ,O A O P O B O P O A O B= = = байхаар байрласан байгаа.

Тэгэхээр энэ гурвалжинд багтсан тойрог нь эдгээр цэгүүдээр түүний талуудыг шүргэнэ гэсэн үг. CP- энэ тойргийн шүргэгч , CD – O3 төвтэй тойргийн шүргэгч , харин CAB эдгээр тойргуудын ерөнхий шүргэгч болох тул 2 2CD CA CB CP= ⋅ = эндээс

( )1 1

2r R r rRCD CP CO O P rR r R r

+= = + = + =

− −#

107. АВС адил хажуут гурвалжны АВ ба BC хажуу талууд нь тус бүр 3 тэнцүү хэсэгт хуваагджээ. Эдгээр талууд дээрх хуваагдсан 4 цэгийг дайруулан, AC суурь дээр DE хөвчийг огтолсон тойрог татав. Хэрэв AB=BC=3 ба AC=4 бол ABC ба BDEV V -ны талбайн харьцааг ол.

Бодолт: ABCV - адил хажуут гэдгээс AD=EC , DE=x гэе.

42 2

AC DE xEC − −= =

4 42 2

x xDC DE EC x − += + = + =

C цэгээс татсан хоёр огтлогчийн хувьд:

2 1DC EC⋅ = ⋅ буюу 4 4 22 2

x x+ −⋅ =

216 2

4x−

= 2 2x =

2 2DE =

142 2

1 2 22

ABCABC

BDCBDC

S h AC S ACS DES h DE

= ⋅ ⇒ = = == ⋅

VV

VV

#

108. 14 2AB ба BC= = байх ABC гурвалжин өгөгдөв. Гурвалжны B цэг , BC талыг дундаж D цэг , AB талын E цэгийг дайрсан, AC талыг шүргэсэн тойрог татав . Хэрэв DE нь энэ тойргийн диаметр бол AB талыг тойрог хуваах харьцааг ол.

Бодолт:

1 12

BD DC BC= = =

C цэгийн хувьд огтлогч ба шүргэгчийн теорем хэрэглэвэл : 2PC BC DC= ⋅ 2PC = ED – диаметр тул ABCV - тэгш өнцөгт 2 2 14 4 3 2AC AB BC= + = + = 3 2 2 2 2AP AC PC= − = − =

A цэгийн хувьд огтлогч ба шүргэгчийн теорем хэрэглэвэл :

2AP AB AE= ⋅ 8 4 14714

AE = =

4 14 3 14147 7

BE AB AE= − = − =

4 144733 14

7

AEBE

= = #

109. Адил хажуут ABC гурвалжны B өнцөг – тэгш , AB=BC=2. Тойрог нь хоёр катетыг дундаж цэгээр нь шүргэх ба гипотенузыг DE хөвч үүсгэн огтолно. BDE гурвалжны талбайг ол. Бодолт:

1 12

PC BC= =

ABCV - тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд 2 2 4 4 2 2AC AB BC= + = + =

DE = x гэе. 2 22 2

AC x xEC − −= = ,

2 2 2 22 22 2

x xDC AC EC − += − = − =

C цэгийн хувьд огтлогч ба шүргэгчийн теорем бичвэл: 2PC DC CE= ⋅ болно.

2 2 2 212 2

x x− += ⋅ ( )( )2 2 2 2 4x x− + = 2 2x ба DE= =

2

2 4 2 22

ACh AB = − = − =

1 1 2 2 22 2BDES h DE= ⋅ = ⋅ ⋅ =V #

110. Тойрог нь ABC гурвалжны BC талыг B цэг дээр шүргэдэг , A цэгийг дайрдаг ба тойргийн төв нь AC хэрчим дээр оршино. Хэрэв BC= 6 , AC= 9 бол ABC гурвалжны талбайг ол. Бодолт:

R – тойргийн радиус CK=AC-2R C цэгийн хувьд огтлогч ба шүргэгчийн теорем бичвэл:

2BC AC CK= ⋅ ( )2 2BC AC AC R= ⋅ −

( )36 9 9 2R= ⋅ − 52

R =

ABCV гурвалжны A оройгоос татсан өндрийн суурь – H гэе .

/ /OB AH тул AH ACOB OC

=

59 4525 1392

AC OB AC RAHOC AC R

⋅⋅ ⋅= = = =

− −

1 1 45 13562 2 13 13ABCS AH BC= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =V #

111. ABC гурвалжны AM ба BE медианууд O цэгт огтолцоно. O, M, E, C цэгүүд нэг тойрог дээр оршино. Хэрэв BE=AM=3 бол AB –г ол. Бодолт:

1 13

OM OE AM= = ⋅ = гэдгээс OM OE=( (

болно.

·

·

· ·

1212

OCE OEOCE OCM

OCM OM

= ⇒ ==

(

(болохоор OC хэрчим

ABC гурвалжны биссектрис болно. Эндээс ABC гурвалжин адил хажуут болж AC=BC , CE=MC байна. Иймд

CEO CMO=V V

· · · ·0

0 0180180 902

CEO CMO CEO CMO+ = = = = гэдгээс

AM ба BE медианууд нь өндөр болох ба ABCV - адил талт болно.

0sin 60 AMAB

= 0

3 2 3sin 60 3

2

AMAB = = = #

112. Гортиг ба шугам ашиглан өгсөн хоёр цэгийг дайрах, өгсөн шулууныг шүргэсэн тойрог байгуул. Бодолт: # A , B – өгөгдсөн цэг , M – AB шулууны өгсөн шулуунтай огтлолцсон цэг , K – эхний шүргэлтийн цэг . Шүргэгч ба огтлогчийн теорем ёсоор MK MB MA= ⋅ байна. Эндээс дараах зураглал гарна. Мэдэгдэж байгаа MB ба MA хэрчмүүдийн геометр дундажтай тэнцүү хэрчим байгуулья. Түүнийгээ өгсөн шулуун дээр орших M цэгээс эхлүүлэн тал тал тийш нь үргэлжлүүлэн зурья. MP нь тэдгээр хэрчмүүдийн нэг болог. ABP гурвалжныг багтаасан тойрог зураад, эхний тойрог гэдгийг баталья. Энэ тойрог A ба B цэгүүдийг дайран гарсан бөгөөд 2MP MA MB= ⋅ байна. Хэрэв P1 – байгуулагдсан тойрог болон өгсөн шулууны нэг ерөнхий цэг бол

( )21MP MA MB MP MP PP= ⋅ = ⋅ ± болно. Иймээс P ба P1 цэгүүд давхцана. Ингэхээр A , B , P

цэгүүдийг дайран гарч буй тойрог өгсөн шулуунтай шүргэлцэнэ. Хоёр дах хэрчмийн хувьд яг адил байна . Хэрэв A , B цэгүүд нь өгөгдсөн шулууны нэг талд өөр өөр зайнд оршиж байгаа бол бодлого 2 шийдтэй байна. Харин тэнцүү зайнд оршиж байгаа бол 1 шийдтэй . Бусад тохиолдолд шийдгүй . # 113. Тойрог AB ба BC шулуунуудыг D , E цэгээр шүргэнэ. B ба D цэгийн хооронд A цэг , B ба E цэгийн хооронд C цэг оршино. Хэрэв AB=13 , AC = 1 ба A , D , E , C цэгүүд нэг тойрог дээр орших бол ABC гурвалжны талбайг ол.

Бодолт: Хоёр огтлогчийн теорем ёсоор: BD AB BE BC⋅ = ⋅ байна. Эндээс BD = BE (нэг цэгээс татсан шүргэгчүүд) тул AB = BC=13 болж ABCV - адил хажуут болно. ABC гурвалжны B оройгоос татсан өндөр – h гэе.

22 1 15 3169

4 4 2ACh BC= − = − =

1 1 15 3 15 312 2 2 4ABCS AC h= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =V #

114. 1800 -тай тэнцүү биш AOB өнцгийн OA ба OB талуудад A1 ба B1 цэгүүд харгалзан харьяалагдах ба 1 1OA OA OB OB⋅ = ⋅ байна. Тэгвэл A , B , A1 , B1 цэгүүд нэг тойрог дээр оршино гэж батал.

Бодолт:

1 1OA OA OB OB⋅ = ⋅ гэдгээс 1 1

OA OBOB OA

= болж

1 1AOB B OAV : V байна. Эндээс · · · · ·( ) ·0 0

1 1 1 1 1 1 1180 180A B O OAB BAA BB A OAB A B O= ⇒ + = − + = тул

AA1B1B – дөрвөн өнцөгт тойрогт багтана. Иймд A , B , A1 , B1 цэгүүд нэг тойрог дээр оршино . #

115. Өгсөн цэгийг дайрах , өгсөн тойрог болон өгсөн шулууныг шүргэсэн тойрог байгуул . Бодолт: # Бодлогыг бодогдсон гэж үзье. Q- хоёр тойргийн шүргэлтийн цэг A1 - байгуулсан тойрог ба өгсөн шулуун хоёрын шүргэлтийн цэг O – өгөгдсөн тойргийн төв O1 - байгуулсан тойргийн төв M – өгсөн цэг AP – өгсөн шулуунд перпендикуляр байх өгсөн тойргийн диаметр K – AP диаметрийн үргэлжлэл өгсөн шулуунтай огтлолцох цэг ба P нь A ба K цэгийн дунд оршино гэж үзье. A , Q , A1 цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэж үзье. Тэгвэл тэгш өнцөгт 1AQP AKAV : V байх ба

1AK AP AQ AA⋅ = ⋅ болно. Иймээс T цэг - AM шулууныг байгуулсан тойрогтой огтлолцох хоёр дах цэг гэвэл : 1AQ AA AM AT⋅ = ⋅ AK AP AM AT⋅ = ⋅ болж P , K , T , M цэгүүд нэг тойрог дээр оршино гэсэн үг . Эндээс дараах байгуулах арга гарна. M , K ,P цэгүүдийг дайрсан тойрог байгуулья. Хэрвээ AM шулуун нь энэ тойргийн M цэгээс ялгаатай T цэгт энэхүү тойргийг огтолж байвал өгсөн тойргийг шүргэдэг , мөн M ба T цэгүүдийг дайрсан тойргийг байгуулахад хүрнэ. Хэрвээ өгсөн цэг , тойрог нь өгсөн шулууны нэг талд оршдог ба цэг нь тойрог гадна оршдог бол бодлого 4 шийдтэй . #

116. Тойрогт багтсан дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талууд нь P ба Q цэгүүдэд огтлолцоно. Хэрэв P ба Q цэгүүдээс тойрогт татсан шүргэгчүүд нь a ба b бол PQ – г ол. Бодолт:

Q - DA ба CB талуудын огтлолцлын цэг ,

P - BA ба CD талуудын огтлолцлын цэг

M - ABQV гурвалжныг багтаасан тойргийн PQ хэрчимтэй огтлолцсон цэг

· · · ·0180BMP BAQ BCD BCP= = = − тул CBMP –дөрвөн өнцөгт тойрогт багтана. Тэгэхээр

2QM QP QC QB QA QD b⋅ = ⋅ = ⋅ =

2PM PQ PA PB PC PD a⋅ = ⋅ = ⋅ =

харгалзуулан нэмбэл

( )2 2 2a b QM QP PM PQ PQ QM PM PQ+ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + =

2 2PQ a b= + #

117. Тойрог ба шулуун M цэгт шүргэлцэнэ. Энэ тойргийн A , B цэгээс шулуунд a ба b урттай перпендикуляр татжээ. M цэгээс AB шулуун хүртэлх зайг ол.

Бодолт:

sin b x aBK MK AK

α = = =

x aMK AK

=

x bMK BK

= харгалзуулан үржүүлбэл :

2

2ab x

AK BK MK=

⋅

Огтлогч ба шүргэгчийн теоремоор:

2MK AK BK= ⋅ тул 2

2 ab MK ab AK BKx abAK BK AK BK

⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ 2x ab x ab= = #

118 ABCDEF зөв зургаан өнцөгтийг 2 радиустай тойрогт багтаажээ. KA < KF ба 11 1KA = − байхаар AF талын үргэлжлэл дээр орших K цэгээс N ба H цэгүүдэд тойргийг огтлох KH огтлогч татав. Огтлогч шулууны гадна орших хэсгийн урт 2 ( KN=2) , ·NFH - мохоо өнцөг бол ·HKF -г ол.

Бодолт:

Зөв зургаан өнцөгтийн дотоод нэг өнцөг -1200

FOAV - адил талт

OF=OA=AF =R =2

Хоёр огтлогчийн теоремоор :

KA KF KN KH⋅ = ⋅

( )( ) ( )11 1 11 1 2 2 NH− + = ⋅ + NH=3

KH=NH+KN = 3+2=5

NH ба AF хөвчүүдийн дундаж цэг – P , Q гэвэл

HOPV - тэгш өнцөгт 2 2 9 744 2

OP OH PH= − = − =

OAQV - тэгш өнцөгт 2 2 4 1 3OQ OA AQ= − = − =

· ·PKQ POQ ϕ= = гэе .

2 2 2 2 cosPKQ хувьд PQ PK KQ PK KQ ϕ= + − ⋅ ⋅V

2 2 2 2 cosPOQ хувьд PQ OP OQ OP OQ ϕ= + − ⋅ ⋅V

2 2 2 22 cos 2 cosPK KQ PK KQ OP OQ OP OQϕ ϕ+ − ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅

( ) ( )2 2 2 2

49 711 3 37 7 11 214 4cos2 287 7 2 7 11 212 11 3

2 2

PK KQ OP OQPK KQ OP OQ

ϕ+ − −+ − − +

= = = =⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −⋅ ⋅ − ⋅

7 11 21 7 3 77arccos arcsin28 28

ϕ + −= = #

119. BEFC квадрат 2 2 радиустай тойрогт багтжээ. PC<BP ба 28 2PC = − байхаар BC талын үргэлжлэл дээр орших P цэгээс PA огтлогч татахад тойргийг D ба A цэгт огтлох PA огтлогч татав. PD огтлогчийн тойргийн гаднах хэсгийн урт 4 , (PD=4) ·BAC - мохоо өнцөг бол ·BPA -г ол.

Бодолт:

BOCV - тэгш өнцөгт

2 2 8 8 4BC OB OC= + = + = BQ=CQ=2

Хоёр огтлогчийн теоремоор:

PC PB PD PA⋅ = ⋅

PA=PD+AD=4+AD

28 2 4 28 2PB PC BC= + = − + = +

( )( ) ( )28 2 28 2 4 4 AD− + = ⋅ +

AD= 2 PA= 2+4=6

AD ба BC хөвчийн дундаж цэг - K , Q гэвэл

AK = KD = 1 PK=PD+DK=4+1=5

BQ=QC=2 28 2 2 28PQ PC CQ= + = − + =

2 2 8 1 7AOK хувьд OK AO AK= − = − =V

2 2 8 4 2OCQ хувьд OQ OC QC= − = − =V

· ·KPQ QOK ϕ= = гэе.

2 2 2 2 cosKPQ хувьд KQ PK PQ PK PQ ϕ= + − ⋅ ⋅ ⋅V

2 2 2 2 cosKOQ хувьд KQ OK OQ OK OQ ϕ= + − ⋅ ⋅ ⋅V гэдгээс

2 2 2 22 cos OK 2 cosPK PQ PK PQ OQ OK OQϕ ϕ+ − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( ) ( )2 2 2 2 25 28 7 4 42 42 3 7cos

2 816 72 5 28 7 2 2 5 28 2 7PK PQ OK OQ

PK PQ OK OQϕ + − − + − −

= = = = =⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

3 7 1arccos arcsin8 8

ϕ = =

· 3 7 1arccos arcsin8 8

BPA = = #

120. Тойргийн гадна орших М цэгээс энэ тойрогт хоёр шүргэгч татжээ. Тойрог дээр орших Сцэгээс шүргэгчүүд хүртэлх зай нь a ба b . A ба B цэг нь шүргэлтийн цэг бол C цэгээс AB шулуун хүртэлх зайг ол.

Бодолт:

P, Q, N- MA, MB, AB шулуунууд дээр

C цэгээс буулгасан перпендикуляруудын суурь болог.

PCN NCQV : V болохыг баталъя.

AC хэрчим нь P ба N цэгээс тэгш өнцгөөр харагдах тул P , N цэгүүд AC диаметртэй тойрог дээр оршино. Мөн N ба Q цэгүүд нь BC диаметртэй тойрог дээр оршино. Иймээс

· · ·CPN CAN CAB= = ба

Хөвч ба шүргэгчийн хоорондох өнцгийн теорем ёсоор · ·CNP CQN= тул ӨӨ шинжээр

PCN NCQV : V болно. Эндээс 2CN CP CN CP CQ abCQ CN

= ⇒ = ⋅ =

CN ab= #