Bayesův teorém – cesta k lepší náladě
description
Transcript of Bayesův teorém – cesta k lepší náladě
![Page 1: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/1.jpg)
Bayesův teorém – cesta k lepší náladě
Martina Litschmannová
![Page 2: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/2.jpg)
Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti?
Deterministické procesy Náhodné procesyX
![Page 3: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/3.jpg)
Základní pojmy
• Náhodný pokus – konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá
• Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o jehož pravdivosti můžeme po ukončení pokusu rozhodnout(značíme A, B, X, Y, …)
• Elementární jev ω – jednotlivý výsledek náhodného pokusu (nelze jej vyjádřit jako sjednocení dvou různých jevů)
• Základní prostor Ω – množina všech elementárních jevů
• Jev A – libovolná podmnožina základního prostoru
![Page 4: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/4.jpg)
Typy jevů
Padne „7“.
Jev nemožný
Padne méně než „7“.
Jev jistý
Padne „6“.
Jev náhodný
![Page 5: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/5.jpg)
Vztahy mezi jevy a jejich prezentace Vennovými diagramy
![Page 6: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/6.jpg)
Podjev A B
B A
![Page 7: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/7.jpg)
Průnik jevůA B
BA
A B
![Page 8: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/8.jpg)
Sjednocení jevůA B
BA
A B
![Page 9: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/9.jpg)
Rozdíl jevůA - B
BA
A - B
![Page 10: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/10.jpg)
Doplněk jevu
A
A
A
![Page 11: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/11.jpg)
Disjunktní jevy A B =
BA
![Page 12: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/12.jpg)
Úplná množina vzájemně disjunktních jevů
A1
A2
A3
A4
A5
A6
![Page 13: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/13.jpg)
1. De Morganův zákon
BA
BA = BA
BA
![Page 14: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/14.jpg)
2. De Morganův zákon
BA = BA
B
A
BA
![Page 15: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/15.jpg)
Co je to pravděpodobnost?
Číselné vyjádření šance, že při náhodném pokusu daný jev nastane.
Jak pravděpodobnost definovat?
![Page 16: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/16.jpg)
Statistická definice pravděpodobnosti
nAnAP
n
)(lim)(
Počet realizací pokusu příznivých jevu A
Počet všech realizací pokusu
![Page 17: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/17.jpg)
Klasická definice pravděpodobnosti
Založena na předpokladu, že náhodný pokus může mít n různých, avšak rovnocenných výsledků.
nmAP )(
Počet výsledků příznivých jevu A
Počet všech možných výsledků
![Page 18: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/18.jpg)
Rodina má dvě děti, z nichž jedno je dívka. Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?
Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.
333031 ,)A(P
![Page 19: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/19.jpg)
Geometrická pravděpodobnost
Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný.
V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je:
AP A
![Page 20: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/20.jpg)
Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech. Jaká je pravděpodobnost, že Petr, který nezná jízdní řád, bude na tramvaj čekat déle než 3 minuty?
A
70,0107)( AP
![Page 21: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/21.jpg)
Kolmogorovův axiomatický systém
• Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení.
1. Pravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo.
2. Pravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. 3. Pravděpodobnost sjednocení konečného počtu
vzájemně disjunktních (neslučitelných) jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.
![Page 22: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/22.jpg)
Podmíněná pravděpodobnost
BPBAPBAP
![Page 23: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/23.jpg)
Vlastnosti pravděpodobnosti
10 )A(P1.
2.
3.
4.
00 )(P
)B(P)A(PBAPBA
)BA(P)B(P)A(PBAP
0
BPAPBAPnezávislé...B,A
BPBAPBAP
![Page 24: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/24.jpg)
Vlastnosti pravděpodobnosti
)A(P)A(P 15.
6.
7.
8.
)BA(P)B(P)AB(P
BAPBAPBAP 11
BAPBAPBAP 11
![Page 25: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/25.jpg)
Věta o úplné pravděpodobnosti
B1
B2
B3
B4
B5
B6
A
ii
ii
ii
i BPBAPBAPBAPAP
![Page 26: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/26.jpg)
70%
30%
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy?
![Page 27: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/27.jpg)
70%
30%
80% 20%
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy?
![Page 28: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/28.jpg)
70%
30%
80% 20%
10% 90%
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy?
![Page 29: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/29.jpg)
70%
30%
80% 20%
10% 90%
Pravoúhlý Vennův diagram
![Page 30: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/30.jpg)
CHPCHDVPDPDDVPCHDVPDDVPDVP
80,DDVP 20,DKVP
10,CHDVP 90,CHKVP
70,CHP
30,DP
31070103080 ,,,,,DVP
0,06
0,63
0,24
0,07
![Page 31: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/31.jpg)
Rozhodovací strom
Studenti
DDV
KV
CHDV
KV
Pohlaví Délka vlasů
70,CHP
30,DP
10,CHDVP
90,CHKVP
80,DDVP
20,DKVP
0701070 ,,,DVCHP
6309070 ,,,KVCHP
2408030 ,,,DVDP
0602030 ,,,KVDP
![Page 32: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/32.jpg)
Studenti
DDV
KV
CHDV
KV
Pohlaví Délka vlasů
70,CHP
30,DP
10,CHDVP
90,CHKVP
80,DDVP
20,DKVP
0701070 ,,,DVCHP
6309070 ,,,KVCHP
2408030 ,,,DVDP
0602030 ,,,KVDP
CHDVPDDVPDVP
31070103080070240 ,,,,,,,DVP
CHPCHDVPDPDDVP
![Page 33: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/33.jpg)
Bayesův teorém
ABP k
Thomas Bayes(1702 – 1761)
APBAP k
ii
k
BAPBAP
![Page 34: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/34.jpg)
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek.
A Jaká je pravděpodobnost,
že náhodně vybraný student je chlapec?
70 %
Apriorní pravděpodobnost
![Page 35: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/35.jpg)
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek.
B Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy.
Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec?
Aposteriorní pravděpodobnost
![Page 36: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/36.jpg)
Studenti
DDV
KV
CHDV
KV
Daný stav Výsledek testu
70,CHP
30,DP
10,CHDVP
90,CHKVP
80,DDVP
20,DKVP
0701070 ,,,DVCHP
6309070 ,,,KVCHP
2408030 ,,,DVDP
0602030 ,,,KVDP
31070103080 ,,,,,DVP
DVCHP DVP
DVCHP 2260
310070 ,,,
![Page 37: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/37.jpg)
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek.
B Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy.
Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec?
Aposteriorní pravděpodobnost
2260
310070 ,,,
DVPDVCHPDVCHP
![Page 38: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/38.jpg)
Jak znalost Bayesova teorému může zlepšit náladu???
Biomedicínská aplikaceaneb
naděje umírá poslední
![Page 39: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/39.jpg)
Na zemi vypukla zákeřná nemoc. Tato nemoc je velice krutá, zabíjí každého, kdo tuto nemoc dostane. Bez výjimky. Žádné účinné léky na tuto nemoc neexistují. Nicméně tato nemoc zasáhne pouze jednoho člověka z desetitisíce.
Martin si dělá starosti o své zdraví, a proto, aniž by měl jakékoliv příznaky, se rozhodne, že zajde k lékaři, aby mu stanovil diagnózu. Lékař mu vysvětlí, že vyšetření na tuto chorobu je úspěšné v 99 % případů. A je už jedno, zda tuto nemoc máte, nebo nemáte. Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Martin podstoupí vyšetření a za chvíli se dozví výsledek.
Výsledek je pozitivní, podle vyšetření Martin tuto zákeřnou nemoc skutečná má. Martinovi se zatmělo před očima a už si šel vybírat rakev. Opravdu je to tak nutné?
Jaká je pravděpodobnost, že Martin tuto nemoc má?
![Page 40: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/40.jpg)
Na zemi vypukla zákeřná nemoc. Tato nemoc je velice krutá, zabíjí každého, kdo tuto nemoc dostane. Bez výjimky. Žádné účinné léky na tuto nemoc neexistují. Nicméně tato nemoc zasáhne pouze jednoho člověka z desetitisíce.
Martin si dělá starosti o své zdraví, a proto, aniž by měl jakékoliv příznaky, se rozhodne, že zajde k lékaři, aby mu stanovil diagnózu. Lékař mu vysvětlí, že vyšetření na tuto chorobu je úspěšné v 99 % případů. A je už jedno, zda tuto nemoc máte, nebo nemáte. Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Martin podstoupí vyšetření a za chvíli se dozví výsledek.
Výsledek je pozitivní, podle vyšetření Martin tuto zákeřnou nemoc skutečná má. Martinovi se zatmělo před očima a už si šel vybírat rakev. Opravdu je to tak nutné?
Jaká je pravděpodobnost, že Martin tuto nemoc má?
![Page 41: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/41.jpg)
Rozhodovací strom
Populace
ZT+
T-
NT+
T-
Daný stav Výsledek testu
00010,NP
99990,ZP
990,NTP
010,NTP
010,ZTP
990,ZTP
0000990
99000010,
,,TNP
0000010
01000010,
,,TNP
0099990
01099990,
,,TZP
98990
99099990,
,,TZP
![Page 42: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/42.jpg)
Populace
ZT+
T-
NT+
T-
Daný stav Výsledek testu
00010,NP
99990,ZP
990,NTP
010,NTP
010,ZTP
990,ZTP
0000990
99000010,
,,TNP
0000010
01000010,
,,TNP
010098000999900000990 ,,,TZPTNPTP
TNP
0099990
01099990,
,,TZP
98990
99099990,
,,TZP
TPTNP
%98,0009804,0010098,0000099,0
![Page 43: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/43.jpg)
Váš test je pozitivní !!!
![Page 44: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/44.jpg)
Váš test je pozitivní !!!Riziko, že jste nemocen stouplo z 0,01% na
0,98%.
![Page 45: Bayesův teorém – cesta k lepší náladě](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051119/56815987550346895dc6c82e/html5/thumbnails/45.jpg)
Děkuji za pozornost !