27/06/2013 BĐT AM-GM - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/84610-bđt-am-gm/ 1/14

Diễn đà n Toá n h ọc → Toá n Tr u n g h ọc Cơ sở → Bất đẳng thức và cực trị

T ra n g 1 / 11

BĐT AM-GMBắt đầu bởi no matter what, 20-1 1 -201 2 - 1 3:03

no matter what

Mọi người cho mình bổ sung 1 cái note nho nhỏ nhé:Vì mình đã có 1 cái lịch khá bài bản cho topic này nên tạm thời

mong mọi người tham gia XỬ LÝ các bài trong topic trước,khi nào phần kiến thức post hết,mọi người hãy thoải mái

post bài ngoài.Mình thật sự xin lỗi vì sự bất tiện này và cũng mong mọi người cùng giúp để topic phát triển -Xin chân

thành cảm ơn

Trước khi vào vấn đề chính ,mình xin có đôi lời như sau

1,**Topic về cơ bản là để định hướng các bạn đến với BĐT,vì vậy mong mọi người tôn trọng các bà toán trong topic,nếu

ai thấy quá dễ cũng xin không đặt commen vào

2,**Trong topic,mọi người đều bình đẳng ,dù min hay mod vào topic đều phải cởi bở quân phục và vũ khí

3,**Hầu hết để giải BĐT,mọi người đều tìm cách trả lời cho câu hơi"tại sao" và" như thế nào",trong topic ,mình sẽ cùng

mọi người tìm cách giải quyết,càng triệt để,càng chi tiết càng tốt

4,**Trong topic này ,mình không phải là chủ mà cũng như các bạn đều là người học,do kiến thức còn quá hạn hẹp(đặc

biệt là về kĩ thuật cân bằng hệ số) nên mọi vấn đề chỉ có thể giải quyết nếu dc mọi người nhiệt tình giúp đỡ

5,**Mình cần lưu ý thêm là hầu hết các bài toán trên đây đều là của người khác ra đề,vì vậy,trên nguyên tắc không thể

bó hep nó chỉ ở BĐT AM-GM,vì vậy ,sx có những BĐT cần tới cả C-S ... cũng nên,mong mọi người lươgj thứ về vấn đề

này

6**,Nếu có nguồn bài,mình sẽ ghi rõ,tuy nhiên,mình chưa bao giờ có ý nghĩ rằng BĐT ở IMO sẽ khó hơn VMO ,sẽ khó

hơn BĐTthi HSG tỉnh nào đó,...mong các bạn cũng nghĩ như mình để không tạo tâm lý làm bài

7,**Các bài toán trong topic có thể các bạn sẽ giải dễ dàng nhưng nếu gặp 1 bài BĐT bất kì,nhiêud khi bạn lại sẽ rát lúng

túng do không phải pải sử dụng cái gì à như thế nào.Các bạn khoan chớ lo về vấn đề ấy,để khắc phục ,các bạn cần nắm

vững những điều sau đã

8,**Các bạn đừng ngần ngại phản hồi vào topic BẤT CỨ ĐIỀU GÌ CÁC BẠN BĂN KHOĂN ,mọi người sẽ cùng thảo luận

,đừng để cái không biết của bây giờ đè nát cái thông mnih của ngày sau

9,**Mọi sai sót trong quá trình mong mọi người lượng thứ

Trên tinh thần trên ,trước hết mình xin chỉ nêu ra 2 BĐT mà mình cho là cơ bản nhất AM-GM và CAUCHY-SCHWARZ

)

Vè lý thuyết và phát biểu ,có lẽ mọi người đều đã nắm rõ,và vì đã có ở topic http://diendantoanho...c-cực-trị-thcs/

(http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/44666-topic-v%E1%BB%81-b%E1%BA%A5t-

d%E1%BA%B3ng-th%E1%BB%A9c-c%E1%BB%B1c-tr%E1%BB%8B-thcs/) nên mình xin không nêu lại

trên đây,mình xin nêu ra một số hệ quả trực tiếp vào bài toán định hướng của 2 bđt trên

*Hệ quả BĐT AM-GM(xét với các số không âm nhé)

1,

2,

3,

4, hay (tương tự với n số,bạn cũng có thể tổng quát lên dễ dàng )

*BĐT phụ :Không chỉ với AM-GM,BĐT phụ còn có tầm ảnh hương tới rất nhiều bài toán BĐT khác(đến nỗi mà đã có 1

topic riêng rất hay về phần này http://diendantoanho...-dẳng-thức-phụ/

(http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/63996-b%E1%BA%A5t-d%E1%BA%B3ng-th%E1%BB%A9c-

ph%E1%BB%A5/)

mọi người tham khảo link trên,học thuộc dc thì càng tốt

*Hệ quả BĐT C-S(CAUCHY-SCHWARZ )

1, 2 hệ quả rất quan trọng của BĐT C-S là (Schwars và Mincowski đều dc trình bày ở link mình đã đưa đàu bài )

*Bài toán định hướng

1,

-Chứng minh

BĐT tương đương hay (luuôn đúng theo AM-GM

2 số)

lời giải trên liệu có gì không tự nhiên không mọi người nhỉ

(cái ta để tam ở đây là BĐT trên là 1 cách ta khử căn thức để làm BĐT đỡ "vất vả" hơn )

Đã g ửi 2 0-1 1 -2 01 2 - 1 3 :03

(a + b + c ≥ 3(ab + bc + ca))2

+ + ≥ 3abca3 b3 c3

(ab + bc + ca ≥ 3abc(a + b + c))2

+ ≥1a

1b

4(= )22

a + b≤ ( + )

1a + b

14

1a

1b

≥a

b + c

− −−−−√ 2a

a + b + c

(a + b + c) ≥ 2aa√ b + c− −−−√ a + (b + c) ≥ 2 a. (b + c)

− −−−−−−√

+ ≥ 5a + b + c + d 16

27/06/2013 BĐT AM-GM - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/84610-bđt-am-gm/ 2/14

2,

-Chứng minh :chú ý rằng

đến đây, nếu trở ại bài toán,ta chỉ cần áp dụng BĐT AM-GM cho 5 số là xong

(cái mình muốn nói ở đây là viêc tách hạng tử

nhiều bạn chắc chắn sẽ thắc mắc tại sao lại tách như trên .Trong tầm kiến thức ở AM-GM(tức là ta chỉ xem xét các khả

năng giải bằng AM-GM cho bài toán trên ),mình xin giải thích như sau

+,nếu áp dụng trực tiếp AM-GM ,chắc chắn sẽ không đem lại kết quả rồi

+,chú ý rằng bài toán trên không hề cho đk ẩn(ngoài không âm)nên ta khả dĩ không thể áp dụng AM-GM ĐỂ RỒI

ĐƯA VẾ TRÁI VỀ 1 BIỂU THỨC CÒN ẨN

+,từ đánh giá thứ 2,ta buộc phải tìm cách triệt tiêu hoàn toàn tất cả ẩn sau khi đã áp dụng AM-GM

tức là phải tách 1 trong 2 hạnh tử trên ra thành tổng của 1 số hạng tử náo đó

+,Phân thức tuyệt vời này chắc cũng chẳng ai tìm cách tách nó,vì vậy ta tìm

cách tách phân thức

+'dựa vào phân thức cố định trên,ta phải tách phân thức thành tổng các phân thức có mẫu là

để triệt tiêu mẫu(số pphân thức tách được là 4 )

+,chọn k= 1(vì sao?chẳng vì sao cả,nếu không dc ta lại chọn số khác ,cho dễ tihs thôi) ta dc 1 dạng

+,chọn x=y=z=t ,ta dc tổng trên bằng vậy hiển nhiên

đến đây xem như ta đã hoàn thành trọn vẹn bài toán

3,

(mình xin nêu kái quát về phép đổi biến p.q.r,nếu có dk mình sẽ giới thiệu ở BĐT schur, hoặc kĩ thuật đặt ẩn phụ )

để giảm bớt khối lượng tính toán,trong trường hợp đủ bộ,ta có thể đặt

,khi đó hiển nhiên là

(còn rất nhiều BĐT nữa mình sẽ giới thêu sau và cũng khuyến khích mọi người thử xây dựng)

*1 hằng đẳng thức quý vô bờ bến mà mọi người cần nhớ là

chứng minh thuần bằng đại số

trở lại bài toán ,BĐT viết lại như sau và điều này là hiển nhiên

4,

Mặc dù BĐT có thể giải hết sức đơn giản bằng C-S tuy nhiên cái mình muốn nói ở đây(và cũng là cái mình yếu nhất)là

khử mẫu-điểm rơi

+,trước tiên ta để ý là không thể cộng trực tiếp các số hạng ở VT lại,làm như vậy quá "mạo hiểm"

+,tư tưởng của ta là khử mẫu cho dễ tính toán và AM-GM có thể làm điều này giúp bạn

cái quan trọng giờ là con x ấy là con lào ?ta không dc chọn mò nó,vì sao?vì theo AM-GM thì các số hạng được vinh

dự tham gia áp dụng phải bằng nhau thì mới có đẳng thức ,đây cũng là mấu chốt để tìm x,

+,ta phải có ,(1)chú ý hơn 1 tí nữa,trong hầu hết các BĐT sử dụng AM-GM hay C-S(ta xét 3 biến

a,b,c) đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc (a=b,c=0)và các hoán vị,trong bài toán này nếu thay a=b=c,ta sẽ có đẳng

thức(2)

từ (1) và(2) ta đễ tìm dc x,phần còn lại bạn trình bày nốt nhé

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi no matter what : 24-1 1 -201 2 - 23:33

+ ≥ 5a + b + c + d

abcd− −−−√4

16(a + b)(b + c)(c + d)(d + a)

= + + +a + b + c + d

abcd− −−−√4

a + b

2 abcd− −−−√4

b + c

abcd− −−−√4

c + d

abcd− −−−√4

d + a

abcd− −−−√4

16abcd

(a + b)(b + c)(c + d)(d + a)a + b + c + d

abcd− −−−√4

a + b + c + d

abcd− −−−√4

k(a + b), k(b + c). .

+ + +a + b

x

b + c

y

c + d

z

d + a

t2(a + b + c + d)

xx = 2 abcd

− −−−√4

(a + b + c)(ab + bc + ca) ≤ (a + b)(b + c)(c + a)89

a + b + c = p; ab + bc + ca = q; abc = r p ≥ 3r; q ≥ 3p; ≥ 3q, ≥ 3prp2 q 2

(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc

9r ≤ pq

+ + ≥a2

b + c

b2

c + a

c2

a + b

a + b + c

2

+ ≥ 2 = 2a2

b + c

b + c

x

. (b + c)a2

x. (b + c)

− −−−−−−−−√ a

x√

=a2

b + c

b + c

x

no matter what

Bây giờ mình xin trình bày 1 số ĩ thuật nhỏ về BĐT AM-GM

1,Kĩ thuật đánh giá trung bình cộng-trung bình nhân

Về phần này,mình sẽ không nêu kiế thức,các bạn có thể rút ra phương pháp từ các VD sau

VD1,chứng minh với ta có BĐT sau

Giải :Đứng trước 1 bài toán như vậy,bạn sẽ làm gì?Bình phương lên -đó cũng là 1 cách .Tuy nhiên,hãy xem xét cách

sau

Đã g ửi 2 0-1 1 -2 01 2 - 1 6 :5 1

a > c > 0, b > c > 0

+ ≤c(a − c)− −−−−−√ c(b − c)

− −−−−−√ ab−−√

+ ≤ 1− −−−−−−

√− −−−−−−

√

27/06/2013 BĐT AM-GM - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/84610-bđt-am-gm/ 3/14

BĐT tương đương

Áp dụng AM-GM ta có :VT

=

= (dpcm)

so với phương pháp bình phương,đây là 1 lời giải gọn hơn phải không các bạn

VD2:Chứng minh với moi số thực dương a,b,c,x,y,z ta có

Giải:bạn sẽ làm gì với BĐT trên ?Lập phương ư?đó cũng là 1 cách,nhưng bạn phải thấy là lập phương 1 tổng không dễ

dàng như khi bình phương 1 tổng.Hãy chú ý tới cách làm sau

BĐT tương đương

Theo AM-GM 3 số,ta có VT

1 lời giải rất gọn phải không các bạn?

Sau đây là 1 số bài tập nho nhỏ cho các bạn

1,Chứng minh với mọi a,b,c không âm

2,Chứng mnih với mọi a,b,c không âm

3,(tổng quát bài 1 lên) với 2n số không âm

4,(Crech and Slovak 2000) :Chứng minh BĐT sau với mọi a,b ko âm

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi no matter what : 23-1 1 -201 2 - 1 3:37

+ ≤ 1c(a − c)

ab

− −−−−−−√ c(b − c)

ab

− −−−−−−√

≤ ( + ) + ( + )12

c

b

a − c

a

12

c

a

b − c

b

( + ) = 112

a

a

b

b

≥ +(a + y)(b + y)(c + z)− −−−−−−−−−−−−−−−√3 abc

−−−√3xyz− −−√3

+ ≤ 1abc

(a + x)(b + y)(c + z)

− −−−−−−−−−−−−−−−−√3xyz

(a + x)(b + y)(c + z)

− −−−−−−−−−−−−−−−−√3

≤ ( + + ) + ( + + ) = 113

a

a + x

b

b + y

c

c + z

13

x

a + x

y

b + y

z

c + z

+ ≤ab−−√ cd

−−√ (a + c)(b + d)− −−−−−−−−−−√

+ 1 ≤abc−−−√3 (a + 1)(b + 1)(c + 1)

− −−−−−−−−−−−−−−−√3

+ ≤. . . .a1a2 an− −−−−−−−√n . . .b1b2 bn

− −−−−−−√n ( + )( + ). . . ( + )a1 b1 a2 b2 an bn

− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√n

+ ≤a

b

−−√3

b

a

−−√3 2(a + b)( + )

1a

1b

− −−−−−−−−−−−−√3

no matter what

Nói thêm 1 tí,tuy rằng đây không phải là kĩ thuật có ứng dụng rộng,tuy nhiên cũng xin đưa ra để lỡ có dính thì bạn cũng

đừng lúng túng

Kĩ thuật đánh giá mẫu

Ta xét VD sau :Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác,chứng minh BĐT sau

Hiển nhiên BĐT trên có thể chứng minh trực tiếp bằng AM-GM 3 số rất gọn,tuy nhiên vì là bài giứoi thiệu phương pháp

nên mọi người chú ý tới đánh giá sau

Theo AM-GM ,ta có

đánh giá tương tự ta đã có lời giải cho bài toán

Vì dạng này không khó nên dành lại VD sau cho các bạn

1,(Romania 1993) Tìm hằng số a lớn nhất để BĐT sau đúng với mọi x,y,z dương

Đến phần chính :Kĩ thuật đặt ẩn phụ

Về kĩ thuật này ,trong sách của anh Cẩn cũng đã nói khá rõ,vì vậy mình sẽ lấy các VD ở ngoài và ở phài luyện thêm

chưa được giải

VD1,Chứng minh với mọi a,b,c dương ,ta có BĐT sau

Bìa toán chưa đòi hởi ta biến đổi để tìm ẩn phụ khá đơn giản

Đặt ,khi đó ta có ngay

Vậy ta cần CM

Tuy nhiên BĐT cuối là hệ quả trực tiếp của AM-GM nên ta có dpcm

VD2,Chứng mnih với mọi a,b,c dương ta cs

Đã g ửi 2 1 -1 1 -2 01 2 - 1 8 :1 9

+ + ≥ 3a

b + c − a

− −−−−−−−√ b

c + a − b

− −−−−−−−√ c

a + b − c

− −−−−−−−√

2 ≤ + 1 = ⇒ ≥b + c − a

a

− −−−−−−−√ b + c − a

a

b + c

a

a

b + c − a

− −−−−−−−√ 2a

b + c

+ + ≥ ax

+y 2 z 2− −−−−−√

y

+x2 z 2− −−−−−√

z

+x2 y 2− −−−−−√

+ + ≥ab

c

bc

a

ca

b3( + + )a2 b2 c2− −−−−−−−−−−−√

= x; = y; = zab

c

bc

a

ca

bxy = , yz = ; zx =b2 c2 a2

x + y + z ≥ 3(xy + yz + zx)− −−−−−−−−−−−−√

+ + ≥ 3( + bc)(b + c)a2

a( + )b2 c2

− −−−−−−−−−−−−

√ ( + ca)(c + a)b2

b( + )c2 a2

− −−−−−−−−−−−−√ ( + ab)(a + b)c2

c( + )a2 b2

− −−−−−−−−−−−−

√ 2√

27/06/2013 BĐT AM-GM - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/84610-bđt-am-gm/ 4/14

Giải: Xem phát biểu của bài toán trên,nhiều người chắc cũng hơi ngán ,tuy nhiên bạn hãy chú ý là đó chỉ là 1 cách

lừa tình mà thôi

Chú ý rằng ,BĐT tuyệt vời của chúng ta viết lại được thành

Đến đây ta sẽ đặt ,viết BĐT thành

BĐT cuối có thể chứng minh dễ dàng bằng AM-GM 3 số,xin dành cho các bạn

*Bây giờ mình xin tập trung ní vào cái mình chú ý ở kĩ thuật đặt ẩn phụ

Kĩ thuật đặt ẩn phụ đặc trưng cho 1 lớp BĐT mà sẽ rất khó giải hoặc thậ chí không giải được nếu không có ẩn phụ

Ngoài điều kiện các ẩn đều dương,1 số BĐT còn có thêm các điều kiện sau

+,Điều kiện

Ta chú ý rằng ,dk đã cho cũng đồng nghĩa rằng tồn tại x,y,z dương sao cho

Ta sẽ ứng dụng nhận xét này giải VD sau

(IMO 2000),Chứng mnih với mọi a,b,c dương ta có

Giải: Cách giải là dựa vào đánh giá trên,bạn tự mình giải chắc sẽ thú vị hơn nhỉ

+ Điều kiện

Điều kiện đó cũng đồng nghĩa với việc tồn tại a,b,c sao cho

Phải chăng bạn nghĩ là mình đã áp đặt các ẩn phụ trên vào và nói là tồn tại?không đâu,mình xin giải thích trường hợp

này

Vậy,nếu đặt

khi đó và ,tương tự với y,z

Và đy là 1 VD mẫu :

Với mọi x,y,z dương thỏa mãn chứng minh

Giải: điều kiện đề bài cho phép ta biến

ta cần chứng minh BĐT

khai triển trực tiếp BĐT tương đương

Đây chính là BĐT schur (các bạn có thể tìm lời giải trên google-xin lỗi vì sự quá đà này)

+,Đièu kiện

Điều kiện này cho ta biến mọi người nhé

+,Điều kiện

Điều kiện này cho ta biến

*Mình xin dừng phần này ở đây đã

Một số bài tập nho nhỏ cho các bạn

1, chứng minh với mọi a,b,c không âm có thì

(VMO 1996)

2,Chứng minh với mọi a,b,c dương có thì

3,chứng minh với mọi số thực dương a,b,c có tích bằng 1 thì

4,Chứng minh với mọi a,b,c không âm có tích bằng 1

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi no matter what : 23-1 1 -201 2 - 1 3:40

( + bc)(b + c) = b( + ) + c( + )a2 c2 a2 a2 b2

+ +b( + ) + c( + )c2 a2 a2 b2

a( + )b2 c2

− −−−−−−−−−−−−−−−−−√ c( + ) + a( + )a2 b2 b2 c2

b( + )c2 a2

− −−−−−−−−−−−−−−−−−√ a( + ) + b( + )b2 c2 c2 a2

c( + )a2 b2

− −−−−−−−−−−−−−−−−−√≥ 3 2√

a( + ) = x; b( + ) = y; c( + ) = zb2 c2 c2 a2 a2 b2

+ + ≥ 3x + y

z

− −−−−√ y + z

x

− −−−−√ z + x

y

− −−−−√ 2√

abc = 1

a = ; b = ; c =x

y

y

z

z

x

(a − 1 + )(b − 1 + )(c − 1 + ) ≤ 11b

1c

1a

xyz = x + y + z + 2

x = ; y = ; z =b + c

a

c + a

b

a + b

c

xyz = x + y + z + 2 ⇔⇔ xyz + (xy + yz + zx) + (x + y + z) + 1 = 2(x + y + z) + xy + yz + xz + 3⇔ (x + 1)(y + 1)(z + 1) = (x + 1)(y + 1) + (y + 1)(z + 1) + (z + 1)(x + 1)

⇔ + + = 11

1 + x

11 + y

11 + z

a = , b = , c =1

1 + x

11 + y

11 + z

a + b + c = 1 x = =1 − a

a

b + c

a

xyz = x + y + z + 2xy + yz + zx ≥ 2(x + y + z)

(x; y; z) → \( ; ; )b + c

a

c + a

b

a + b

c

∑ ≥ 2 ∑(b + c)(c + a)ab

b + c

a

+ + + 3abc ≥ b + a + c + b + a + ca3 b3 c3 a2 b2 b2 c2 c2 a2

xy + yz + zx + 2xyz = 1

(x, y, z) → ( ; ; )a

b + c

b

c + a

c

a + bab + bc + ca + abc = 4

(a, b, c) → ( , , )2x

y + z

2y

z + x

2z

x + y

ab + bc + ca + abc = 4a + b + c ≥ ab + bc + ca

ab + bc + ca + 2abc = 12(a + b + c) + 1 ≥ 32abc

+ + + 6 ≥ 2(a + b + c + + + )a + b

c

b + c

a

c + a

b

1a

1b

1c

+ + ≥a

(c + 1)b2

b

(a + 1)c2

c

(b + 1)a2

32