Bat dang thuc xoay vong

Mục lụcTổng quan chung

Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thứcKết luận

Đề tài: Một kết quả về bất đẳng thức xoay vòng

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

Cán bộ hướng dẫn: TS. Nguyễn Vũ LươngCán bộ phản biện: TS. Nguyễn Thành Văn

Sư phạm Toán 48 - Khoa Sư Phạm - ĐH Quốc Gia Hà Nội

Ngày 20 tháng 05 năm 2007

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————– Cán bộ hướng dẫn: TS. Nguyễn Vũ Lương Cán bộ phản biện: TS.Đề tài: Một kết quả về bất đẳng thức xoay vòng



Tổng quan chungLý do chọn đề tàiMục đích đề tàiTổng quan bất đẳng thức xoay vòng

Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thứcBài toán tổng quátBiểu thức tương đương của P

Xét trường hợp chẵn n = 2mXét trường hợp lẻ n = 2m + 1Cách xây dựng một bài toán cụ thểỨng dụng của đề tài khóa luận

Kết luận




Lý do chọn đề tàiMục đích đề tàiTổng quan bất đẳng thức xoay vòng

Lý do chọn đề tài

I Yêu thích bất đẳng thức.






I Yêu thích bất đẳng thức.I Bất đẳng thức xoay vòng là một trong những nội dung hay và

khó đòi hỏi sự tìm tòi sáng tạo.






I Yêu thích bất đẳng thức.I Bất đẳng thức xoay vòng là một trong những nội dung hay và

khó đòi hỏi sự tìm tòi sáng tạo.I Việc xây dựng, chứng minh một bài toán bất đẳng thức phân

thức đòi hỏi nhiều kỹ năng của người làm toán.





Mục đích đề tài

I Xây dựng và tổng quát một dạng bài bất đẳng thức xoayvòng phân thức.







I Đưa ra được một phương pháp phân tích ⇒ xây dựng các bàitoán bất đẳng thức phân thức khác.







I Đưa ra được một phương pháp phân tích ⇒ xây dựng các bàitoán bất đẳng thức phân thức khác.

I Dùng để xây dựng các bài toán cho học sinh khá, giỏi ... dùngcho các đề thi học sinh giỏi.





Tổng quan bất đẳng thức xoay vòng

I Bất đẳng thức Schurs.






I Bất đẳng thức Schurs.I Bất đẳng thức xoay vòng khác trong tam giác.






I Bất đẳng thức Schurs.I Bất đẳng thức xoay vòng khác trong tam giác.I Sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh một số dạng bất

đẳng thức xoay vòng.






I Bất đẳng thức Schurs.I Bất đẳng thức xoay vòng khác trong tam giác.I Sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh một số dạng bất

đẳng thức xoay vòng.I Bất đẳng thức xoay vòng phân thức.




Bài toán tổng quátBiểu thức tương đương của P

Xét trường hợp chẵn n = 2mXét trường hợp lẻ n = 2m + 1

Cách xây dựng một bài toán cụ thểỨng dụng của đề tài khóa luận

Bài toán tổng quát

Cho n số không âm ai (i = 1, n) (n ≥ 3); số thực α > 2 vàrij (i , j = 1, n) thỏa mãn rij + rji = α thì

P =a1

a1 + αa2 +n−1∑

i=3

r1iai

+a2

a2 + αa3 +n∑

i=4

r2iai

+ · · ·+

+an

an + αa1 +n−2∑

i=2

rnai

≥2n

2 + (n − 1)α







Biểu thức tương đương của P

I

P =a

2

1

a2

1+ αa1a2 +

n−1∑

i=3

r1ia1ai

+a

2

2

a2

2+ αa2a3 +

n∑

i=4

r2i a2ai

+ · · ·+

+a

2

n

a2n + αana1 +

n−2∑

i=2

rnanai








I

P =a

2

1

a2

1+ αa1a2 +

n−1∑

i=3

r1ia1ai

+a

2

2

a2

2+ αa2a3 +

n∑

i=4

r2i a2ai

+ · · ·+

+a

2

n

a2n + αana1 +

n−2∑

i=2

rnanai

I Từ biểu thức P ta lập ma trận n(n − 2) sau:








I

P =a

2

1

a2

1+ αa1a2 +

n−1∑

i=3

r1ia1ai

+a

2

2

a2

2+ αa2a3 +

n∑

i=4

r2i a2ai

+ · · ·+

+a

2

n

a2n + αana1 +

n−2∑

i=2

rnanai

I Từ biểu thức P ta lập ma trận n(n − 2) sau:

I

a1a2 a1a3 · · · a1an−1

a2a3 a2a4 · · · a2an

......

. . ....

ana1 ana2 · · · anan−2







Xét trường hợp chẵn n = 2m

I

a1a2 a1a3 · · · a1am+1 · · · a1a2m−1

a2a3 a2a4 · · · a2am+2 · · · a2a2m

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

a2ma1 a2ma2 · · · a2mam · · · a2ma2m−2








I

a1a2 a1a3 · · · a1am+1 · · · a1a2m−1

a2a3 a2a4 · · · a2am+2 · · · a2a2m

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

a2ma1 a2ma2 · · · a2mam · · · a2ma2m−2

I Nhận thấy rằng các phần tử:








I

a1a2 a1a3 · · · a1am+1 · · · a1a2m−1

a2a3 a2a4 · · · a2am+2 · · · a2a2m

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

a2ma1 a2ma2 · · · a2mam · · · a2ma2m−2

I Nhận thấy rằng các phần tử:I Cột 1 xuất hiện duy nhất 1 lần trong chính cột 1








I

a1a2 a1a3 · · · a1am+1 · · · a1a2m−1

a2a3 a2a4 · · · a2am+2 · · · a2a2m

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

a2ma1 a2ma2 · · · a2mam · · · a2ma2m−2

I Nhận thấy rằng các phần tử:I Cột 1 xuất hiện duy nhất 1 lần trong chính cột 1I Cột 2 thì các phần tử xuất hiện 2 lần: một lần trong cột 2 và một lần

trong cột 2m − 2 hay là cột 2 và cột 2m − 2 là giống nhau.· · ·








I

a1a2 a1a3 · · · a1am+1 · · · a1a2m−1

a2a3 a2a4 · · · a2am+2 · · · a2a2m

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

a2ma1 a2ma2 · · · a2mam · · · a2ma2m−2



I Cột i thì các phần tử xuất hiện 2 lần: một lần trong cột i và một lầntrong cột 2m − i hay là cột i và cột 2m − i là giống nhau.· · ·








I

a1a2 a1a3 · · · a1am+1 · · · a1a2m−1

a2a3 a2a4 · · · a2am+2 · · · a2a2m

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

a2ma1 a2ma2 · · · a2mam · · · a2ma2m−2



I Cột i thì các phần tử xuất hiện 2 lần: một lần trong cột i và một lầntrong cột 2m − i hay là cột i và cột 2m − i là giống nhau.· · ·

I Duy nhất cột thứ m là các phần tử trong cột xuất hiện 2 lần trong chínhcột m.







Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1

I

a1a2 a1a3 · · · a1am+1 a1am+2 · · · a1a2m

a2a3 a2a4 · · · a2am+1 a2am+2 · · · a2a2m+1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

a2m+1a1 a2m+1a2 · · · a2m+1am+1 a2m+1am+2 · · · a2m+1a2m−1








I

a1a2 a1a3 · · · a1am+1 a1am+2 · · · a1a2m

a2a3 a2a4 · · · a2am+1 a2am+2 · · · a2a2m+1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·


I Nhận thấy rằng các phần tử:








I

a1a2 a1a3 · · · a1am+1 a1am+2 · · · a1a2m

a2a3 a2a4 · · · a2am+1 a2am+2 · · · a2a2m+1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·


I Nhận thấy rằng các phần tử:I Cột 1 xuất hiện duy nhất 1 lần trong chính cột 1








I

a1a2 a1a3 · · · a1am+1 a1am+2 · · · a1a2m

a2a3 a2a4 · · · a2am+1 a2am+2 · · · a2a2m+1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·











I

a1a2 a1a3 · · · a1am+1 a1am+2 · · · a1a2m

a2a3 a2a4 · · · a2am+1 a2am+2 · · · a2a2m+1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·




I Cột i thì các phần tử xuất hiện 2 lần: một lần trong cột i và một lầntrong cột 2m − i + 1 hay là cột i và cột 2m − i + 1 là giống nhau.· · ·








I

a1a2 a1a3 · · · a1am+1 a1am+2 · · · a1a2m

a2a3 a2a4 · · · a2am+1 a2am+2 · · · a2a2m+1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·




I Cột i thì các phần tử xuất hiện 2 lần: một lần trong cột i và một lầntrong cột 2m − i + 1 hay là cột i và cột 2m − i + 1 là giống nhau.· · ·

I Cột m thì các phần tử xuất hiện 2 lần: một lần trong cột m và một lầntrong cột m + 1 hay là cột m và cột m + 1 là giống nhau.







Cách xây dựng một bài toán cụ thể.

I Việc xây dựng bài toán cần sử dụng các đánh giá sau:









I

(

n∑

i=1

ai

)2

=n

∑

i=1

a2

i +∑

1≤i<j≤n

aiaj (1)

trong đó số các phần tử aiaj là C2

n =n(n − 1)

2









I

(

n∑

i=1

ai

)2

=n

∑

i=1

a2

i +∑

1≤i<j≤n

aiaj (1)


n =n(n − 1)

2

I∑

1≤i<j≤n

aiaj ≤n − 12n

(

n∑

i=1

ai

)2

(2)









I

(

n∑

i=1

ai

)2

=n

∑

i=1

a2

i +∑

1≤i<j≤n

aiaj (1)


n =n(n − 1)

2

I∑

1≤i<j≤n

aiaj ≤n − 12n

(

n∑

i=1

ai

)2

(2)

I Để thực hiện được phép nhóm theo (1) thì phải có mặt đầy đủ các phần

tử aiaj gồm C2

n =n(n − 1)

2số hạng.









I

(

n∑

i=1

ai

)2

=n

∑

i=1

a2

i +∑

1≤i<j≤n

aiaj (1)


n =n(n − 1)

2

I∑

1≤i<j≤n

aiaj ≤n − 12n

(

n∑

i=1

ai

)2

(2)


tử aiaj gồm C2

n =n(n − 1)

2số hạng.

I Dựa vào cách chứng minh bài toán thì sự xuất hiện của aiaj phải có tỉ lệbằng nhau để có thể đánh giá theo đánh giá (2).









I

(

n∑

i=1

ai

)2

=n

∑

i=1

a2

i +∑

1≤i<j≤n

aiaj (1)


n =n(n − 1)

2

I∑

1≤i<j≤n

aiaj ≤n − 12n

(

n∑

i=1

ai

)2

(2)


tử aiaj gồm C2

n =n(n − 1)

2số hạng.

I Dựa vào cách chứng minh bài toán thì sự xuất hiện của aiaj phải có tỉ lệbằng nhau để có thể đánh giá theo đánh giá (2).

I Việc chọn giá trị hệ số rij sao cho bước 4 và 5 thỏa mãn.







Ứng dụng của đề tài khóa luận

I Phương pháp phân tích xây dựng bất đẳng thức có thể đượcsử dụng để xây dựng các dạng bất đẳng thức khác.







Ứng dụng của đề tài khóa luận

I Phương pháp phân tích xây dựng bất đẳng thức có thể đượcsử dụng để xây dựng các dạng bất đẳng thức khác.

I Từ bài toán tổng quát xây dựng vô số các bài toán mà khi tathay đổi các điều kiện đề bài sẽ được các bài toán ở các mứcđộ khó dễ khác nhau.




Kết luận

I Tóm lại qua khóa luận này em đã xây dựng được một dạngbài toán bất đẳng thức xoay vòng, giải quyết trọn vẹn bàitoán tổng quát.




Kết luận


I Đặt cơ sở cho việc xây dựng các bài toán cùng loại này (đốivới trường hợp đơn giản và tổng quát).




Kết luận


I Đặt cơ sở cho việc xây dựng các bài toán cùng loại này (đốivới trường hợp đơn giản và tổng quát).

I Hướng phát triển tiếp: tìm cách nâng bậc của cả tử và mẫusố lên và tìm cách giải quyết bài toán tổng quát.


Bat dang thuc xoay vong

Science

Transcript of Bat dang thuc xoay vong