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Bastián Galasso DíazJaviera Setz Mena

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Matemática °Medio1

Cuaderno de ejercicios

AUTORES

Javiera Setz Mena

Licenciada en MatemáticaLicenciada en EducaciónProfesora de Matemática Enseñanza MediaPontificia Universidad Católica de Chile

Bastián Galasso Díaz

Magíster en MatemáticaPontificia Universidad Católica de Chile

El Cuaderno de ejercicios Matemática 1° Medio es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección editorial de:

RODOLFO HIDALGO CAPRILE

Subdirección editorial: Marisol Flores Prado

Coordinación Área Matemática: Cristian Gúmera Valenzuela

Edición: Javiera Setz Mena

Autoría: Javiera Setz MenaBastián Galasso Díaz

Corrección de estilo: Carolina Ardiles Bonavía

Solucionario: Sergio Muñoz Venegas

Documentación: Cristian Bustos Chavarría

Subdirección de diseño: María Verónica Román Soto

Diseño y diagramación: Daniel Monetta Moscoso

Cubierta: Miguel Bendito López

Fotografía: Archivo editorial

Ilustraciones: Archivo editorial

Producción: Rosana Padilla Cencever

www.santillana.cl [email protected]

Santillana® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S. L. Todos los derechos reservados.

PEFC/29-31-75

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del derecho de autor, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella

mediante alquiler o préstamo público.

La editorial ha hecho todo lo posible por conseguir los permisos correspondientes para las obras con derecho de autor que aparecen en el presente texto. Cualquier error u omisión será recti�cado en futuras impresiones a medida que la información esté disponible.

© 2016, by Santillana del Pací�co S. A. de Ediciones.Avda. Andrés Bello 2299, piso 10, Providencia, Santiago (Chile).

PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por RR Donnelley ChileISBN: 978-956-15-3039-3 – Inscripción nº 273.532

Se terminó de imprimir esta 4ª edición de 240.271 ejemplares, en el mes de octubre del año 2019.

Presentación

Extiende tu proceso de aprendizaje en el Cuaderno de ejercicios de Matemática 1º Medio. Cada vez que encuentres el siguiente ícono en tu texto, debes dirigirte a él.

Cuaderno

Aquí encontrarás entretenidas y variadas actividades que te permitirán reforzar, ejercitar y profundizar los contenidos trabajados en tu texto de Matemática 1º Medio.

El Cuaderno de ejercicios tiene cuatro unidades organizadas por temas directamente vinculados a lo desarrollado en el texto.

¡Bienvenido a este nuevo desafío!

Presentación 3

Páginas de ejercicios

Páginas de solucionario

1Unidad

Tema 2: Potencias

Multiplicación y división de potencias de base racional

1. Resuelve aplicando las propiedades de las potencias. En algunos casos deberás hacer modificaciones

para igualar las bases.

a. d67n3

• 67

=

b. d25n6

• d25n3

=

c. (2,7)7 : (0,3)7 =

d. d49n7

: d49n2

=

e. 2 • d12n3

=

f. d– 53n3

• d– 35n–2

=

g. (0,6)6 • (0,3)4 =

h. ;d– 25n3E : d– 5

2n4

=

i. (0,8)9 : (0,8)5 =

j. (0,5)3 : d– 95n–3

=

k. d13n–2

• 32 • d13n3

=

l. (1,6)8 : (0,4)8 =

2. Completa la siguiente tabla, escribiendo el resultado en cada casillero como una sola potencia.

a b a · b a : b

0,008 0,2

0,125 0,5

0,64 0,8

0,0625 0,25

0,55 0,252

A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:

a. ¿Aplicaste potencias para resolver las operaciones? ¿Por qué?

b. ¿Resolviste las operaciones con decimales o usando fracciones?

c. ¿De qué manera te parece más fácil de calcular? Explica.

3. Verifica si cada igualdad es verdadera (V) o falsa (F). Justifica las falsas.

a. d54

• 32n3 = d5

4n3 • d3

2n3

b. d16n4

: d16n–4

= d16n8

c. d34n6

• d72n–6

• d149n6

= d23n6

d. d14n2

: d12n–3

: d 43n7

= d38n7

e. ;d23n2 : d2

3n–4E • ;d23n

–1 : d2

3n9E = d2

3n4

f. ;d47n2 : d4

7n–3E : ;d74n

–5 : d7

4n3E = d4

7n–3

4. En un prisma de base rectangular, el largo mide 1,23 m, el alto mide 1,22 m y el ancho, 1,2 m.

a. ¿Cuánto mide el volumen del prisma expresado en una potencia de base 1,2?

b. ¿Cuánto mide el área total del prisma expresado en una potencia de base 1,2?

c. ¿Cuánto aumenta su volumen, si cada una de sus aristas aumenta cuatro veces?

d. ¿Qué sucede con su volumen si cada arista se divide por 0,2?

19

18

Unidad 1 • Números


65

64

Unidad 3 • Geometría


Preguntas de selección múltiple

3Unidad1. El número π se define como la razón:A. Entre el perímetro de un círculo y su diámetro.B. Entre el perímetro de un círculo y su radio.C. Entre el diámetro de un círculo y su perímetro.D. Entre el radio de un círculo y su diámetro.

2. En la figura AB = 5 cm y AC = 10 cm. ¿Cuánto mide el arco CB?

A. 5π cm

B. 53 π cm

C. 103 π cm

D. Falta información.3. El radio basal y la altura de un cono recto miden, respectivamente, 5 cm y 12 cm. ¿Cuál es el área del manto de este cono?

A. 65π cm2

B. 90π cm2

C. 180π cm2

D. 200π cm2

4. ¿Cuál es el área de la región pintada?A. 16π cm2

B. 2π cm2

C. 4π cm2

D. 8π cm2

5. Si en un cono recto la altura mide 4 cm y su ge-neratriz mide 5 cm, ¿cuál es su volumen?A. 37,68 cm3 B. 47,1 cm3 C. 113,04 cm3 D. 141,3 cm3

6. ¿Cuál es el volumen de un cono si el diámetro basal mide 18 cm y su altura 25 cm? Usa π ≈ 3,14.A. 236 cm3

B. 1 413 cm3

C. 2 120 cm3

D. 8 478 cm3

7. La siguiente figura está formada por un triángu-lo equilátero y un semicírculo de 21 cm de radio. ¿Cuál es su perímetro? Considera π ≈ 227 .

A. 108 cmB. 132 cmC. 140 cmD. 150 cm

8. El volumen de un cono recto es 1 004,8 cm3 y su área basal es 200,96 cm2. ¿Cuánto mide su altura?A. 15 cm B. 5 cm C. 1,7 cm D. 45 cm

9. La figura está hecha con tres sectores circulares. ¿Cuál es su área (aproximada a un decimal)? Considera π ≈ 3,14.

A. 78,5 cm2

B. 157,5 cm2

C. 235,5 cm2

D. 314,5 cm2

10. Si el radio del cilindro recto mide 10 cm y su altura mide 24 cm, ¿cuánto mide el área total del cono recto?

A. 62,8 cm2

B. 816,4 cm2

C. 1 130,4 cm2

D. 2 135,2 cm2

CA

B

O

45°8 cm

10 cm

11. En la siguiente figura, m // n // r. ¿Cuál es el valor de x?

A. 3,75 cmB. 5,25 cmC. 4,70 cmD. 3,25 cm

A D

E xm

n

rF4 cm 5 cm

3 cmB

C

12. En la figura, AC = 14 cm, AE = 21 cm y AD : DE = 4 : 3. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. DB : EC = 4 : 3II. AD + BC = 18 cmIII. DB = 80 cm

A. Solo I.B. Solo I y II.C. Solo II y III.D. I, II y III.

13. En la figura, el triángulo A'B'C' corresponde a la imagen resultante luego de aplicar una homotecia con centro en O al triángulo ABC. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es o son verdaderas?I. La razón de homotecia es 15.

II. El área de ΔABC es 12 cm2.III. La longitud de A'C' es 9 cm.

A. Solo III.B. Solo I y II.C. Solo I y III.D. I, II y III.

14. En el rectángulo de la figura, a : b = 4 : 3 y la diagonal BD mide 10 cm. ¿Cuánto mide AE?

A

D

Eb

a B

CA. 4,2 cmB. 4,8 cmC. 6,3 cmD. 8,2 cm

15. Un segmento AB de 27 cm de longitud está dividido interiormente por un punto P en la razón 6 : 3. ¿Cuáles son las longitudes de los segmentos AP y PB?A. AP = 3 cm y PB = 6 cm.B. AP = 9 cm y PB = 18 cm.C. AP = 6 cm y PB = 3 cm.D. AP = 18 cm y PB = 9 cm.

AB

D

E

C

O A

C

B

B'

15 cm

12 cm

5 cm

A'

C'

Marca la opción correcta.

SolucionarioUnidad 1: Números

Tema 1: Operatoria en los números racionales

Números racionales (Páginas 6 y 7)

1. a. ∉b. ∉

c. ∈d. ∈

e. ∈f. ∉

g. ∈h. ∉

i. ∈

2. a. es b. puede ser c. puede ser d. puede ser

3. a. 1825

b. 718

c. 1716

d. 389

e. 5099

f. 216999

= 837

4. Respuestas variadas, por ejemplo:

a. 1,2

b. –3,095

c. 1,4

d. –170,548

e. 0,024

f. 8,993

g. 411

h. 4125

i. 1415

5. a. Infinito periódico.

b. Infinito semiperiódico.

c. Racional.

d. Decimal finito

6.

Números racionales

Fracciones Decimales

FinitosInfinitos

Periódicos Semiperiódicos

7. a. Vb. F. También puede ser infinito periódico o semiperiódico. Por ejemplo,

13

= 0,3333333…

c. F. En una fracción el denominador nunca puede ser 0.

d. F. Esto sucede solo en fracciones con el mismo denominador.

e. F. Si son decimales infinitos pero no periódicos ni semiperiódicos, no son

números racionales.

f. V

Adición y sustracción de números racionales (Páginas 8 y 9)

1. a. a = b = 14

c = 116

d = 18

e = 116

f = 18

g = 18

b. a + c = 516

a + g = 38

f + e = 316

b + d – e = 516

2. a. 179

= 1,8

b. –3145

= –0,68 c. 24190

= 2,67 d. 512

e. 0,95 f. 6,1

3. Respuesta variada. Por ejemplo: 12

+ 16

, o bien 13

+ 13

, o también 14

+ 512

.

Existen infinitas posibilidades, las que pueden verse si se utilizan decimales.

4. a. Respuesta variada. Puede ser usando 4 de 12

kg con 1 de 14

kg, o bien 3 de

12

kg con 3 de 14

kg, o bien 2 de 12

kg con 5 de 14

kg, o bien 1 de 12

kg con

7 de 14

kg o incluso con 9 de 14

kg.

b. Respuesta variada. Puede ser usando 2 de 12

kg con 1 de 15

kg, o bien

6 de 15

kg.

5. a. 34

b. Sí, el peso de todos, con la tercera persona incluida, es de 291,1 kg.

c. No, porque los terminó a las 18:05.

d. 173,7 kg e. 2,2 L f. 20,5 km g. 3,25 L

6. a. Carola

b. Jorge

c. 22,4 segundos.

d. 11,4 segundos.

e. 0,8 segundos.

Multiplicación y división de números racionales (Páginas 10 y 11)

1. a. 32

b. –20189

c. –38

d. 2

e. 13

f. 283

2.

1

6 –24 –3

1–16

48 32

–16 –4

23

14

18

34

3256

1128

–18

–38

323

–132

124

– 43

– 12

3. a. Entre 0 y 1. Entre 1 y 2, respectivamente.

b. Entre 0 y 1. Ya que en este caso el producto es menor que los factores.

c. Sí. Ya que en este caso el producto es mayor que los factores.

4. Respuestas variadas, por ejemplo: –12 • 175

, o bien –35

• 415

, o también –15

• 45

.

Son infinitas posibilidades, si n es un número racional distinto de cero,

entonces –12n y 175

n son infinitas fracciones cuyo producto es –1275

.

5. a. 50 jarrones.

b. 1,5 kg

c. 4 bebidas de 1,5 L.

d. 21 bolsas.

e. Largo: 288,18 pulgadas; ancho 96,06 pulgadas.

f. 62 mg

g. A María Isabel le faltan 410 km por recorrer.

6. a. 1,5 kg

b. 0,45 kg de canela molida.

c. 1,5 kg de coco rallado.

d. $ 37 800

e. 1,25 kg

Propiedades de la adición y multiplicación de números

racionales (Páginas 12 y 13)

1. a.

ab

cd

ef

inverso deab

+ cdcd

+ abab

+ dcd + efn d ab + cd n + ef

ab + d– ab n a

b + 0

ef

cd

47

18

– 34

52

– 43

78

ab

cd

ef

inverso deab

• cdcd

• abdab • cd

n • ef ab • dc

d • efnab • 1

ef • 0

ab

cd

12

– 34

56

25

52

– 34

–43

3956

3956

–356

–356

4924

4924–3

487

76

76

52

478

0

0

b.

ab

cd

ef

inverso deab

+ cdcd

+ abab

+ dcd + efn d ab + cd n + ef

ab + d– ab n a

b + 0

ef

cd

47

18

– 34

52

– 43

78

ab

cd

ef

inverso deab

• cdcd

• abdab • cd

n • ef ab • dc

d • efnab • 1

ef • 0

ab

cd

12

– 34

56

25

52

– 34

–43

–38

–38

–516

–516

–34

–345

225

25

128

1 1

0

0

2. a. =b. =

c. =d. =

e. =f. =

g. =h. =

i. =j. =

3. Respuesta variada, por ejemplo:

Con n = 1 queda 11

= 12

+ 12

lo cual es cierto.

Con n = 2 queda 12

= 13

+ 16

lo cual es cierto.

La fórmula es correcta porque

1(n + 1)

+ 1

(n(n + 1)) =

1(n + 1)

• d1 + 1nn = d 1

n + 1n • dn + 1

nn = 1

n

4. a. Cb. F

c. Ed. D

e. Af. B

5. Respuestas variadas, por ejemplo

a. 23

> 13

> 14

> 15

b. 143

< 33

< 94

< 152

c. 316

< 13

< 12

< 79

d. 4

1 000 <

3910 000

< 19

5 000 <

3710 000

e. – 194

< – 235

< – 179

< – 215

f. – 37

> – 920

> – 510

> – 815

g. – 134

100 > – 1

3441 000

> – 1 345

1 000 > – 1

3461 000

h. – 194

< – 2920

< – 75

< – 43

6. a. F. Contraejemplo: 32

• 53

= 52

y 52

es mayor que 32

y que 53

.

b. F. El elemento neutro para la adición de números racionales es el 0.

Contraejemplo: 23

+ 1 = 53

que no es 23

.

c. F. Contraejemplo: 0,3 • 3 = 1 y 1 no es un número decimal periódico.

d. V. Por ejemplo, 12

: 16

= 3 y 3 es mayor que 12

y que 16

.

e. V. Por ejemplo, 45

+ 13

= 1715

y 12

• 23

= 76

son todos números racionales.

Operaciones combinadas (Páginas 14 y 15)

1. a b c a + b • c b + c : a 2b + c

–2,4 1,08 3,8 1,704 –0,503 5,96

5,01 –8 0,32 2,45 –7,934 –15,68

1,4 8,5 –9,7 –81,05 1,571 7,3

–9 7,2 5,034 33,2445 5,522 19,434

2. a. El error está en que 0,16 = 1590

y no es 169

.

El desarrollo correcto es

(0,5 – 0,16) : 2,4 + 0,25 = d59

– 1590

n : 229

+ 0,25

= 3590

• 922

+ 0,25

= 35220

+ 14

= 744

+ 14

= 922

b. El error es de agrupación de operaciones, – 12

+ 34

• 53

: 52

se interpretó como

d– 12

+ 34n • d5

3 : 5

2n , pero la interpretación correcta es – 1

2 + d3

4 • 5

3 : 5

2n

La resolución correcta es

–0,5 + 34

• 1,6 : 2,5 + 0,7 = – 12

+ 34

• 53

: 52

+ 79

= – 12

+ 12

+ 79

= 79

3. a. 150 millones

b. Océano Atlántico 740

Océano Pacífico 720

Océano Índico 750

Océano Ártico 7200

c. 175 millones

4. – 1100

5. a. 16 919,942 m2

b. 0,96 toneladas

6. a. 20566

b. 1613

c. –2 d. 2578

7. a. 17

b. 304 mL

Potencias de base y exponente entero (Página 16)

1. a. F. Contraejemplo: 11 = 1

b. V. Por ejemplo, (–2)3 = –8

c. V. Por ejemplo, (22)3 = 26

d. F. Contraejemplo: (–2)2 = 4

2.

a b (a + b)2 a2 + b2 (a + b)–2 a–2 – b–2

–2 3 1 13 1 0,139

–4 –6 100 52 0,01 0,035

2 5 49 29 0,02 0,21

a. No, porque dan resultados diferentes.

b. No, porque dan resultados diferentes.

c. Sí. Porque las potencias aplicadas a una suma o resta no se distribuye. No es

igual que sumar o restar las potencias.

3. Termina en 7. Porque toda potencia par de 4 termina en 6, y además es

número positivo. Por otro lado, toda potencia par de 9 termina en 1. Luego,

(–4)120 termina en 6 y 9200 termina en 1, por lo que (–4)120 + 9200 termina en 7.

Potencias de base racional y exponente entero (Página 17)

1. a. =b. >

c. =d. >

e. >f. >

g. =h. <

i. =

2. a. Figura 0: lado 13

Figura 1: lado 19

Figura 2: lado 127

b. El área de cada figura es 89

del área de la figura anterior, porque se le quita 19

a cada cuadrado que haya.

c. Figura 0: área 89

Figura 1: área d89n2


d. Figura 3: área d89n4



Multiplicación y división de potencias de base racional (Páginas 18 y 19)

1. a. d67n4

b. d25n9

c. 97

d. (0,9)7

e. 2–2

f. –d52n5

g. 0,26 • 0,310

h. –d25n7

i. (0,8)4

j. –93

k. 3

l. 48

2.

a b a • b a : b

0,008 0,2 d15n

4

= 0,24 = 0,0016 d15n

2

= 0,22 = 0,04

0,125 0,5 d12n

4

= 0,54 = 0,0625 d12n

2

= 0,52 = 0,25

0,64 0,8 d45n

3

= 0,83 = 0,512 d45n = 0,8

0,0625 0,25 d12n

6

= 0,56 = 0,015625 d12n

2

= 0,52 = 0,25

0,55 0,252 d12n

6

= 0,56 = 0,015625 d12n

–2

= 0,5–2 = 4

a. Respuesta variada. Por ejemplo: Sí, porque es más fácil operar con

potencias para multiplicar y dividir.

b. Respuesta variada. Por ejemplo: Con fracciones, porque es más fácil operar

con fracciones y potencias para multiplicar y dividir.

c. Pregunta abierta.

3. a. Vb. V

c. F. Se tiene d34n

6

• d72n

–6

• d149n

6

= 3–6

d. V

e. F. Se tiene d2

3n

2

d23n

–4 • d2

3n

–1

d23n

9 = d2

3n

–4

f. V

4. a. (1,2)6

b. 2 • 1,25 + 2 • 1,24 + 2 • 1,23

c. Aumenta 43 = 64 veces su volumen.

d. Aumenta 53 = 125 veces su volumen.

Crecimiento y decrecimiento exponencial (Página 20 y 21)

1. a. 2 000 bacterias.

b. 162 000 bacterias.

89

88

Solucionario


Las actividades de verdadero o falso cuentan con espacio para que puedas justificar tus respuestas.

Las actividades en el cuaderno se presentan siguiendo el orden de los contenidos del texto.

Al final del cuaderno, encontrarás las soluciones para todos los ejercicios propuestos y podrás revisar si tus respuestas son correctas.

Para cada unidad se incluyen actividades de selección múltiple.

En los espacios para cada actividad podrás escribir tu resolución.

Puedes identificar el tema y la unidad correspondiente a cada grupo de ejercicios.

Matemática 1° Medio4

Conoce tu cuaderno

5Conoce tu cuaderno

ÍndiceTema 1: Operatoria en los números racionales . . . . . . . . 6

• Números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6• Adición y sustracción de números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8• Multiplicación y división de números racionales . . . . . . . . . . . . . . 10• Propiedades de la adición y multiplicación de

números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12• Operaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Tema 2: Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

• Potencias de base y exponente entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16• Potencias de base racional y exponente entero . . . . . . . . . . . . . . . 17• Multiplicación y división de potencias de base racional . . . . . . . . 18• Crecimiento y decrecimiento exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Preguntas de selección múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1UnidadNú

mer

os

Tema 1: Sectores y segmentos circulares . . . . . . . . . . . 46

• Elementos de la circunferencia y del círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46• Perímetro de un sector y segmento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48• Área de un sector y segmento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Tema 2: Área y volumen del cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

• Área de un cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50• Volumen de un cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Tema 3: Homotecia y teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . 54

• Homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54• Homotecia de forma vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55• Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56• División proporcional de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Tema 4: Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

• Semejanza de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60• Criterios de semejanza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62• Teoremas de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


3UnidadGe

omet

ría

Tema 1: Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

• Cuadrado y cubo de un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26• Suma por su diferencia y producto de binomios con

un término en común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Tema 2: Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

• Factorización por un factor en común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30• Factorización mediante productos notables: binomios . . . . . . . . . 31• Factorización mediante productos notables: trinomios . . . . . . . . . 32

Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

• Ecuación lineal de dos incógnitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34• Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas . . . . . . . . . . . 35• Métodos de resolución: igualación, sustitución,

reducción y Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Tema 4: Relación entre dos variables . . . . . . . . . . . . . . . 40

• Relaciones lineales de la forma f(x, y) = ax + by . . . . . . . . . . . 40• Variación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41


2UnidadÁl

gebr

a y

func

ione

s

Tema 1: Comparación de muestras . . . . . . . . . . . . . . . . 68

• Relación entre dos variables cuantitativas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68• Relación entre dos variables cualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70• Comparación de dos poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Tema 2: Propiedades de la probabilidad . . . . . . . . . . . . 74

• Unión e intersección de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74• Reglas aditivas de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76• Reglas multiplicativas de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Tema 3: Comportamiento aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . 80

• Paseos aleatorios y frecuencias relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80• Paseos aleatorios y probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82


Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4UnidadPr

obab

ilida

d

y es

tadí

stic

a

Números1Unidad

Números racionales1. Anota ∈ si el número pertenece al conjunto numérico, en caso contrario anota ∉ (no pertenece).

a. –45

b. 17

c. – 112

d. 1 508

e. 1,14142

f. 0,5

g. –72

h. π

i. 108

2. Completa con es, puede ser o no es.

a. Un número entero un número racional.

b. Un número decimal infinito representado como fracción.

c. Una raíz cuadrada no exacta un número racional.

d. Una fracción irreducible equivalente a un número decimal periódico.

3. Representa cada número decimal como una fracción. Luego, simplifica.

a. 0,72 =

b. 8,875 =

c. 1,0625 =

d. 4,2 =

e. 0,50 =

f. 0,216 =

g. 0,36 =

h. 0,032 =

i. 0,93 =

4. Escribe un número racional que se pueda encontrar entre cada par de números.

a. 98

1,26

b. –3,1 –3,09

c. 1,3 32

d. –170,55 –170,54

e. 3250

0,04

f. 8,99 9


6 Cuaderno de ejercicios

1Unidad

5. Completa cada enunciado.

a. La representación decimal de 19

es un número decimal .

b. 115

se puede expresar como un número decimal .

c. Si un número se puede expresar de la forma ab , en la que a y b son números enteros y b ≠ 0, entonces

es un número .

d. La representación decimal de 12

es un número .

6. Completa el siguiente diagrama con los distintos números racionales (que no son números enteros).

Números racionales

7. Verifica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Justifica las falsas.

a. La representación decimal de π es un decimal infinito periódico.

b. Toda fracción se puede expresar como un número decimal finito.

c. Un número racional es un número de la forma ab , en el cual b puede ser igual a cero.

d. Mientras mayor es el numerador de una fracción, mayor es la fracción.

e. Todos los decimales infinitos son números racionales.

f. Todo número natural o entero puede ser representado como una fracción.

7Unidad 1 • Números



Adición y sustracción de números racionales1. Geometría Analiza el siguiente tangrama y resuelve.

a. Anota la fracción que representa cada una de las partes del tangrama.

a = b =

c =

d =

e =

f =

g =

b. Calcula el resultado uniendo las partes del tangrama que correspondan.

a + c = a + g = f + e = b + d – e =

2. Resuelve los siguientes ejercicios que involucran adiciones y sustracciones.

a. 23

+ 1,5 – 0,3 =

b. 0,14 + 23

+ –64

=

c. 0,7 + 4,3 + –125

=

d. 13

– 0,25 + 1 =

e. 45

– 0,8 + 0,2 + 34

=

f. 5 – 1 12

+ 2,6 =

• ¿Cuál es tu estrategia, operar con fracciones o con decimales? ¿Por qué la utilizas?

3. Encuentra tres adiciones diferentes cuyo resultado sea 46 . ¿Cuántas posibilidades hay?

4. Un vendedor utiliza una balanza y tiene solo tres tipos de pesas, de 12

kilo, 14

kilo, y 15

kilo. ¿Cuántas pesas de cada una puede usar para productos de…

12

kg 14

kg 15

kg

a. 2 14

kg?

b. 1 15

kg?

a

bc

de

fg

1Unidad


5. Resuelve los siguientes problemas.

a. De sus ahorros, Andrea gastó 14

en un regalo, luego gastó 38

para comprarse una polera y 18

para ir al

cine. ¿Qué fracción del dinero ahorrado representa lo que le quedó a Andrea después de estos gastos?

b. En un ascensor suben dos personas con una masa corporal de 60 kg y 95,7 kg y una de ellas lleva una mochila de expedición de 48,7 kg. Si el ascensor admite 350 kg de carga máxima, ¿puede subir otra persona más si su masa corporal es de 86,7 kg?

c. Sofía se demora 1 13

h en estudiar Matemática y 34

h en hacer su tarea de Lenguaje. Si comenzó a las 16:00 h, ¿habrá terminado de hacer sus deberes a las 18:00 h? ¿Por qué?

d. Si Lucas y su mamá suben a una balanza, su masa corporal es de 103,5 kg. Cuando sube con su papá, la balanza indica 113,9 kg. La masa corporal de ambos padres juntos es de 130 kg. ¿Cuánto indicaría la balanza si se subieran los tres juntos?

e. Si con tres vasos de 15

L y dos de 14

L se llena una botella hasta la mitad, ¿cuál es la capacidad de la botella?

f. Gabriel recorre diariamente 1,5 km desde su casa al colegio, 1,9 km desde el colegio a la casa de su abuela y 0,7 km desde la casa de su abuela a la suya. ¿Cuántos kilómetros recorre de lunes a viernes?

g. El estanque de una estufa de parafina tiene una capacidad de 5,75 L. Si después de llenarlo se consumieron 2,5 L, ¿cuántos litros de parafina quedaron en el estanque?

6. En una carrera, Jorge se demoró 9,56 minutos en llegar a la meta, Andrés tardó 9 34

minutos,

Carola, 9 2830

minutos y Daniela, 9,92 minutos.

a. ¿Quién ganó la carrera?

b. ¿Quién llegó último a la meta?

c. ¿Cuántos segundos de diferencia hubo entre la persona que llegó primero y la última?

d. ¿Cuántos segundos antes llegó Jorge que Andrés?

e. ¿Cuántos segundos más tarde llegó Daniela que Carola?



Multiplicación y división de números racionales1. Resuelve los siguientes ejercicios que involucran multiplicaciones y divisiones.

a. 34

• 1,5 : 0,7 =

b. 0,13 : 35

• –1021

=

c. 0,5 • 2,1 : –145

=

d. 18

: 0,25 • 1 =

e. 45

: 0,8 • 0,25 : 34

=

f. 4 • 3 12

: 1,5 =

2. Completa los espacios que sean posibles considerando la clave.

Clave

a • ba

b

1

6 –3

1

23

34

1128

– 43

– 12

3. Responde las siguientes preguntas:

a. ¿Entre qué números consecutivos se encuentra el resultado de 0,999 • 0,9999? ¿Y el de 1,0001 • 1,0001?

b. ¿Entre qué números consecutivos se encuentra el producto de dos números decimales positivos menores que la unidad? ¿Por qué?

c. El producto de dos números decimales mayores que 1, ¿siempre es mayor que 1? Justifica.

4. Encuentra tres multiplicaciones diferentes cuyo producto sea –1275 . ¿Cuántas posibilidades hay?

1Unidad



a. Para colocar el contenido de 9 bidones de 12,5 L en jarrones de 2,25 L, ¿cuántos jarrones hacen falta?

b. Si ocho panes iguales tienen una masa total de 0,96 kg, ¿qué masa tienen doce panes y medio?

c. Leonardo celebró su cumpleaños e invitó a 24 amigos. A cada uno de sus invitados, su mamá le dio 14

L de bebida, ¿a cuántas bebidas de 1,5 L equivalen?

d. Doña Anita tiene 14,9 kg de azúcar. Si usa 4,4 kg y luego decide envasar en bolsas de 0,5 kg, ¿cuántas bolsas necesita?

e. Un arco de fútbol mide 7,32 m de largo por 2,44 m de ancho. Si una pulgada mide 0,0254 m. ¿cuánto mide el arco, en pulgadas?

f. Un médico recetó a Eliana un medicamento, cuya dosis es de un comprimido de 3,1 mg, 4 veces al día, durante 5 días. ¿Qué cantidad de medicamento tomará Eliana en total?

g. La distancia entre Santiago y Puerto Montt es de aproximadamente 1 025 km. Si María Isabel ha recorrido las 3

5 partes de ese trayecto, ¿cuántos kilómetros le faltan por recorrer?

6. Josefina compró 12 sobres de chocolate en polvo, 6 de coco rallado y 30 de canela molida.

Frutos del paísChocolate en polvo 0,125 kg $ 1 500

Canela molida 0,015 kg $ 300

Coco rallado 14 kg $ 1 800

a. En total, ¿cuántos kilogramos de chocolate en polvo obtiene?

b. ¿Cuántos kilogramos de canela molida?

c. ¿Cuántos de coco rallado?

d. ¿Cuánto pagó por toda su compra?

e. Este mes Josefina dispone de $ 9 000 y decide comprar todo el coco rallado que pueda. ¿Cuántos kilogramos podrá comprar?



Propiedades de la adición y multiplicación de números racionales1. Aplica las propiedades y completa las siguientes tablas.

a. ab

cd

ef

inverso deab + c

dcd + a

bab

+ dcd + ef n d ab + cd n + ef

ab + d– ab n a

b + 0ef

cd

47

18

– 34

52

– 43

78

b. ab

cd

ef

inverso deab

• cd

cd • ab

dab

• cdn • e

f a

b • dcd • ef n

ab • 1 e

f • 0ab

cd

12

– 34

56

25

52

– 34

2. Anota = si las operaciones tienen igual resultado, en caso contrario anota ≠ .

a. 47

+ ( 35

+ 110 ) ( 4

7 + 3

5 ) + 110

b. 27

• ( 58

• 79 ) ( 2

7 • 5

8 ) • 79

c. 183

• 0 0 • 183

d. 7 • (4 – 9) (7 • 4) – (7 • 9)

e. 49

+ 53

53

+ 49

f. 37

+ 0 0 + 37

g. (20,4 + 12,6) • 3,5 (20,4 • 3,5) + (12,6 • 3,5)

h. 27

+ (– 27 ) (– 2

7 ) + 27

i. 38

• 211

211

• 38

j. 47

• 74

74

• 47

3. Asigna valores a n y comprueba la siguiente fórmula contenida en el papiro Rhind, escrito 4 000 años antes de nuestra era.

1n = 1

n + 1 + 1

n (n + 1)

• ¿Es correcta esta fórmula? ¿Por qué?

1Unidad


4. Relaciona cada proposición con su respectiva propiedad.

a. Si a, b ∈ , entonces a + b = b + a

b. Para todo a ∈ se cumple que a • 1 = 1 • a = a

c. Para todo a ∈ se cumple que a + (–a) = (–a) + a = 0

d. Si a, b ∈ , entonces (a + b) ∈

e. Si a, b ∈ , entonces a • (b • c) = (a • b) • c

f. Si a, b ∈ , entonces a • (b + c) = (a • b) + (a • c)

A Asociativa

B Distributiva

C Conmutativa

D Clausura

E Elemento inverso

F Elemento neutro

5. Completa con dos números racionales que cumplan con la relación dada en cada caso.

a. 23

> > > 15

b. 143

< < < 152

c. 316

< < < 79

d. 41 000

> > > 3710 000

e. – 194

< < < – 215

f. – 37

> > > – 815

g. – 134100

> > > – 1 3461 000

h. – 149

< < < – 43

6. Verifica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Da un ejemplo o un contraejemplo en cada caso.

a. El producto de dos fracciones es siempre menor que las fracciones que se multiplican.

b. El elemento neutro para la adición de números racionales es el número 1.

c. El producto entre un decimal periódico y otro número racional cualquiera es siempre un número decimal periódico.

d. El cociente de dos fracciones puede ser mayor que las fracciones que se dividen.

e. En el conjunto de los números racionales se cumple la propiedad de clausura para la adición y la multiplicación.



Operaciones combinadas1. Completa la tabla realizando las operaciones indicadas hasta tres cifras decimales.

a b c a + b · c b + c : a 2b + c

–2,4 1,08 3,8

5,01 –8 0,32

1,4 8,5 –9,7

–9 7,2 5,034

2. Encuentra el error que hay en cada cálculo. Luego, corrígelo.

a. (0,5 – 0,16) : 2,4 + 0,25 = d5

9 – 16

9n: 22

9+ 0,25 =

= d– 119n: 22

9+ 1

4=

= – 12

+ 14

= – 14

b. –0,5 + 3

4 • 1,6 : 2,5 + 0,7 = – 1

2 + 3

4 • 5

3 : 5

2 + 7

9 =

= 14

• 23

+ 79

=

= 16

+ 79

= 1718

3. Geografía Se considera que la superficie de la Tierra es de unos 500 millones de km2. Los océanos ocupan 7

10 de la superficie total del planeta. De esto, la fracción que corresponde a cada uno de ellos es aproxi-

madamente la siguiente:

• Océano Atlántico 14

• Océano Pacífico 12

• Océano Índico 15

• Océano Ártico 120

a. ¿Qué superficie ocupan los continentes? km2

b. Respecto de la superficie total del planeta, ¿qué fracción corresponde a cada uno?

• Océano Atlántico • Océano Pacífico • Océano Índico • Océano Ártico

c. ¿Qué superficie ocupa el océano Pacífico? km2

1Unidad


4. Calcula el valor de la siguiente expresión:

d1 + –12n • d–1 + 1

3n • d1 + –1

4n • … • d–1 + 1

99 n • d1 + –1

100 n =


a. Historia La medida del lado de la base de la pirámide de Keops en Egipto es de 230,36 m y la altura de cada cara es de 146,9 m. ¿Cuál es el área de cada una de las caras laterales de la pirámide de Keops?

b. Un camión transporta al sur 8 bloques de mármol de 1,56 toneladas cada uno y 4 vigas de hierro de 0,64 toneladas cada una. Si su carga máxima es 16 toneladas, ¿cuánta carga más puede soportar?

6. Resuelve las siguientes fracciones complejas, que tienen fracciones en el numerador y el denominador.

A veces, primero se efectúan por separado las operaciones indicadas en el numerador y en el denomina-dor; después, se divide el numerador por el denominador. En otros casos, es conveniente empezar por la parte inferior y luego ir subiendo. Observa.

2 +2 +

2 +2 + 2 +

2

5

= 2 + = 2 + = 2 + = 2 + =1 1 1

1

12

15

25

112

512

2912

a.

12

13

79

35

1

1

+

– =

b.

23

35

23

1

1

42

3 +

1 –

–

–

=

c.

23

2

22

2 –2 –

–

=

d.

12

13

+

12

1+

1

12 +

1 +

=

7. Pedro se sirve un vaso lleno de néctar y bebe 23 de su contenido, luego lo rellena con agua y bebe las

25 partes, lo vuelve a rellenar con agua y bebe los 2

7 .

a. ¿Qué fracción del total de néctar queda en el vaso?

b. Si el vaso es de 210 mL, ¿cuánto tomó en total?

Potencias de base y exponente entero1. Verifica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Da un ejemplo o un contraejemplo en cada caso.

a. El valor de una potencia cuya base y exponente son números enteros, es siempre mayor que 1.

b. Los valores de las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

c. Para calcular la potencia de una potencia, se puede conservar la base y multiplicar los exponentes.

d. Si la base de una potencia es un número negativo, el valor de la potencia también lo es.

2. Remplaza los valores de a y b en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla.

a b (a + b)2 a2 + b2 (a + b)–2 a–2 – b–2

–2 3

–4 –6

2 5


a. ¿Obtienes los mismos resultados al calcular (a + b)2 y a2 + b2? ¿Por qué?

b. ¿Obtienes los mismos resultados al calcular (a – b)–2 y a–2 – b–2? ¿Por qué?

c. ¿Crees que siempre ocurre lo mismo? Explica.

3. ¿En qué cifra terminará ((–4)120 + 9200)? ¿Cómo lo supiste?

Tema 2: Potencias


1Unidad

Potencias de base racional y exponente entero1. Compara y completa con el signo <, > o =, según corresponda.

a. d 19n0

(1,5)0

b. (3,2)2 d 23n2

c. (4,5)–3 d 92n–3

d. d 17n–5

d 17n–2

e. (2,1)4 (1,9)3

f. 3–2

7 72

3

g. (–1)–1 –1

h. (0,99)3 (1,01)2

i. 3–2 132

2. En grupo El cuadrado o alfombra de Sierpinski se puede construir de manera similar al triángulo.

• La figura inicial es un cuadrado.

• El cuadrado se corta en 9 cuadrados congruentes, y se elimina el cuadrado central.

• Se repite este proceso en cada uno de los 8 cuadrados restantes.

Figura inicial Figura 0 Figura 1 Figura 2

a. Si la medida del lado del cuadrado inicial es 1 cm, ¿cuánto mide el lado del o los cuadrados que se extraen en cada figura?

Figura 0 = Figura 1 = Figura 2 =

b. ¿Cómo se puede calcular el área de cada figura? Expliquen.

c. Completen con el área de cada figura, usando fracciones y potencias.


d. Si continuaran con el proceso y dibujaran las siguientes figuras, ¿cuál sería su área, en cada caso?



Tema 2: Potencias

Multiplicación y división de potencias de base racional1. Resuelve aplicando las propiedades de las potencias. En algunos casos deberás hacer modificaciones

para igualar las bases.

a. d 67n3

• 67

=

b. d 25n6

• d 25n3

=

c. (2,7)7 : (0,3)7 =

d. d 49n7

: d 49n2

=

e. 2 • d 12n3

=

f. d– 53n3

• d– 35n–2

=

g. (0,6)6 • (0,3)4 =

h. ;d– 25n3E : d– 5

2n4

=

i. (0,8)9 : (0,8)5 =

j. (0,5)3 : d– 95n–3

=

k. d13n–2

• 32 • d13n3

=

l. (1,6)8 : (0,4)8 =

2. Completa la siguiente tabla, escribiendo el resultado en cada casillero como una sola potencia.

a b a · b a : b

0,008 0,2

0,125 0,5

0,64 0,8

0,0625 0,25

0,55 0,252


a. ¿Aplicaste potencias para resolver las operaciones? ¿Por qué?

b. ¿Resolviste las operaciones con decimales o usando fracciones?

c. ¿De qué manera te parece más fácil de calcular? Explica.


1Unidad

3. Verifica si cada igualdad es verdadera (V) o falsa (F). Justifica las falsas.

a. d54

• 32n3 = d5

4n3 • d3

2n3

b. d16n4

: d16n–4

= d16n8

c. d34n6

• d72n–6

• d149n6

= d23n6

d. d14n2

: d12n–3

: d 43n7

= d38n7

e. ;d23n2

: d23n–4E • ;d2

3n–1

: d23n9E = d2

3n4

f. ;d47n2

: d47n–3E : ;d7

4n–5

: d74n3E = d4

7n–3

4. En un prisma de base rectangular, el largo mide 1,23 m, el alto mide 1,22 m y el ancho, 1,2 m.

a. ¿Cuánto mide el volumen del prisma expresado en una potencia de base 1,2?

b. ¿Cuánto mide el área total del prisma expresado en una potencia de base 1,2?

c. ¿Cuánto aumenta su volumen, si cada una de sus aristas aumenta cuatro veces?

d. ¿Qué sucede con su volumen si cada arista se divide por 0,2?


Tema 2: Potencias

Crecimiento y decrecimiento exponencial1. Biología La cantidad de bacterias que hay en un cultivo está dada por B(t) = 2 · 3t, en donde el tiempo t

se mide en horas y B(t) en miles.

a. ¿Cuál es el número inicial de bacterias?

b. ¿Cuál es el número después de 4 horas?

c. Completa la tabla y luego completa el gráfico, graduando el eje Y según sea necesario.

Tiempo (h) Bacterias (miles)

3

5

6

7

8

Tiempo (h)

Cantidad de bacterias

1 2 3 4 5 6 7 8

2. Química Si 10 gramos de sal se añaden a una cantidad de agua, la cantidad k(t) de sal que no se disuelve

después de t minutos está dada por k(t) = 10 • d 45 n t

.

a. ¿Cuál es la cantidad de sal sin disolver en el agua 3 minutos después?

b. Después de añadir la sal al agua, ¿cuándo quedan solo 5 g sin disolver?

3. Para predecir el número de alumnos de un colegio que tiene planes de expansión limitada, el modelo usado es: P(t) = 800 • (0,7)t, donde t es el número de años después de abierto el colegio.

a. ¿Qué cantidad de alumnos había cuando abrió el colegio?

b. Después de 2 años de funcionamiento, ¿cuántos alumnos tiene?


1Unidad

4. Física En una fábrica, se estudió el rebote de una pelota y se concluyó que la altura del rebote decrecía según potencias de 0,9, es decir, si se deja caer de 1 metro de altura, el primer rebote medía 0,9 m de alto, el segundo medía (0,9)2 m, y así sucesivamente. Responde.

a. Calcula la medida de la altura que alcanzó la pelota en el tercer rebote.

b. ¿Cuántos rebotes debe dar la pelota para que la altura que alcanza sea menor que 0,5 m?

c. Calcula la altura, en centímetros, que alcanza la pelota en el décimo rebote.

5. Medicina Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La dosis inicial es de 10 mg y la cantidad en el cuerpo t horas después está dada por A(t) = 10 · 0,8t. Para que el fármaco haga efecto debe haber por lo menos 2 mg en el cuerpo.

a. ¿Cuál es la cantidad del fármaco restante en el organismo 2 horas después de la ingestión inicial?

b. Completa la tabla y luego completa el gráfico correspondiente.

Tiempo (h) Medicamento (mg)

3

4

5

6

7

Tiempo (h)

Medicamento (mg)10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

01 2 3 4 5 6 7 8

c. Después de la ingestión inicial, ¿cuándo quedan menos de 2 mg?



1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A. Toda raíz cuadrada exacta es un número entero.

B. Todo número entero es un número racional.

C. Todo número racional se puede representar como fracción.

D. Toda fracción se puede representar como un número decimal periódico.

2. ¿A qué conjunto numérico pertenece 1,6723?

A.

B.

C. D. Ninguno de los anteriores.

3. Cuatro séptimos de menos catorce quintos es equivalente a:

A. – 25

B. – 52

C. – 58

D. – 85

4. Diego tomó 14

L de leche en la mañana, 37

L en

la tarde y 0,5 L por la noche. ¿Cuánta leche bebió

en total durante ese día?

A. Menos de 12

L.

B. Entre 12

L y 1 L.

C. Entre 1 L y 1 12

L.

D. Más de 1 12 L.

5. ¿Cuántos minutos corresponden a 14 h más 3

5 h?

A. 41 minutos.

B. 51 minutos.

C. 56 minutos.

D. 33 minutos.

6. Un atleta debe recorrer 46,8 km en bicicleta. Si lleva recorridos 21,06 km, ¿cuánto le falta por recorrer?

A. 25,74 km

B. 44,694 km

C. 48,906 km

D. 67,86 km

7. ¿Cuál es el resultado de 1,5 – 97

• –0,2?

A. 1321

B. 12370

C. 59

D. 2514

8. Si una pulgada equivale a 2,54 cm, ¿cuántas pul-gadas mide una barra de 31,75 cm?

A. 12,5 pulgadas.

B. 15,4 pulgadas.

C. 34,29 pulgadas.

D. 80,654 pulgadas.

9. Multiplicar un número por –0,025 es igual que:

A. Dividirlo por –25.

B. Dividirlo por –40.

C. Dividirlo por –125.

D. Dividirlo por –400.

10. ¿Qué parte de 12 + 1

4 + 18 es 1

4 + 18 + 1

16 ?

A. 12

B. 13

C. 14

D. 18



1Unidad

11. Sin hacer ningún cálculo, determina cuál de las siguientes expresiones es igual a 2,3 • –5,2 + 2,3 • 3,6.

A. (2,3 + –5,2) • 3,6

B. (–5,2 + 3,6) • 2,3

C. 2,3 • –5,2 • 3,6

D. 2,3 • 2,3 + –5,2 + 3,6

12. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la propiedad asociativa de la multiplicación?

A. a + (b + c) = (c + b) + aB. a + (b • c) = (a • b) + (c • b)

C. (a • b) • c = a • (b • c)

D. a • (b + c) = ab + ac

13. Si calculamos 3 • 53 como 3 • 50 + 3 • 3 = 159, estamos aplicando:

A. La propiedad conmutativa de la multiplicación.

B. La propiedad conmutativa de la suma.

C. La propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición.

D. La propiedad asociativa de la multiplicación y de la división.

14. Un cartero entregó primero 37

del total de cartas que llevaba y, luego, 38

del resto. ¿Cuántas cartas

tenía al comienzo si todavía le quedan 10 cartas?

A. 27 cartas.

B. 28 cartas.

C. 54 cartas.

D. 56 cartas.

15. Si se deja abierta una llave por 23

h, se llena un recipiente de 18,5 L. ¿Cuántos litros aproximadamente

entrarían en el recipiente si se deja abierta la misma llave por cinco minutos?

A. 2,31 L

B. 6,17 L

C. 12,3 L

D. 30,83 L

16. Si p = 59

, q = 23

y r = 45, ¿cuál o cuáles de las afirmaciones son verdaderas?

I. r > p II. r • p < q III. pq

> r

A. Solo I y II

B. Solo I y III

C. Solo II y III

D. I, II y III



17. ¿Cuál es el valor de [(−12)3 : 43] · (−3)2?

A. (−3)2

B. −30

C. 3

D. (−3)5

18. Si el valor de una potencia es 0, entonces es siempre cierto que:

A. Su exponente es 1.

B. Su base es 1.

C. Su exponente es 0.

D. Su base es 0.

19. Si se disminuye una unidad al exponente de la potencia 5–2, ¿cuántas veces disminuye su valor?

A. 2 veces.

B. 3 veces.

C. 4 veces.

D. 5 veces.

20. Un grupo de 78 125 bacterias decrece exponen-cialmente a un quinto de su población cada día. ¿Cuántas bacterias quedarán al cabo de 5 días?

A. 55

B. 54

C. 52

D. 53

21. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalen-

te a d 13n3

• d 310n3

• d 57n3

?

A. d1570n

3

B. d 114n

3

C. d 321n

3

D. d 15210n

27

22. Si a, b, c son números naturales mayores que 1 y se cumple que b > c, entonces, es cierto que:

A. ab : ac = 1

B. ;d ab n

b E c = d a

b nb • c

C. d ab n

b : d a

b nc = d a

b n b + c

D. ab · cb = (a · c)2

23. En una población de 4 000 conejos se detectó una epidemia que los está exterminando a razón de 4 000 • 2–t, en la que t es el tiempo expresa-do en meses. Después de 5 meses, ¿cuántos conejos quedan?

A. 25 conejos.

B. 125 conejos.

C. 625 conejos.

D. 3 125 conejos.

24. ¿Cuántos ceros tendrá el resultado de –83 · 157?

A. Ninguno.

B. Dos.

C. Siete.

D. Diez.

25. Un tipo de bacteria se duplica cada 6 minutos. ¿Cuántas habrá luego de una hora si en un co-mienzo había 3 bacterias?

A. 512

B. 1 024

C. 1 536

D. 3 072

26. Un cubito de hielo de 8 cm3 se introduce en un vaso de agua. Al derretirse, cada minuto que pasa pierde el 20 % de su volumen, ya que se transforma en agua líquida. ¿Cuál es el volumen del cubito 4 minutos después?

A. 0,0128 cm3

B. 0,8192 cm3

C. 3,2768 cm3

D. 25,6 cm3


1Unidad

27. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A. El cuadrado de un número racional negativo es positivo.

B. El cubo de un número racional negativo es positivo.

C. El producto de potencias de igual base es una potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

D. Al elevar una fracción a la cuarta, se eleva el numerador a la cuarta y se conserva el denominador.

28. ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones tiene(n) el mismo valor que la potencia 23?

I. 23

10–1

II. (23 • 102) • 10–2

III. 80 • 10–1

A. Solo I.

B. Solo II.

C. Solo I y II.

D. Solo II y III.


A. El valor de una potencia de base un número racional mayor que 1 y cuyo exponente es un número natural, es siempre mayor que 1.

B. Para multiplicar potencias con igual exponente, se multiplican las bases y se conserva el exponente.

C. El valor de una potencia de base racional y cuyo exponente es un número entero, es siempre mayor que el valor de la base.

D. Para calcular la potencia de una potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

30. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a 1?

I. 32

3 • 3II. 10 • 10 • 10 • 10–3

III. (–5)3 • 554

A. Solo I.

B. Solo II.

C. Solo I y II.

D. I, II y III.


A. El valor de una potencia de exponente negativo no siempre es un número negativo.

B. Las potencias de exponente negativo y base un número par, siempre dan como resultado un número impar.

C. Si el exponente de una potencia es impar y la base es par, entonces el valor de la potencia es siempre par.

D. Si la base de una potencia es un número positivo, el valor de la potencia, para cualquier exponente, es siempre positivo.



Álgebra y funciones2Unidad

Cuadrado y cubo de un binomio1. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla.

a b (a + b)2 a2 + b2 a2 + 2ab + b2 (a – b)2 (b – a)2

2 1

–3 4

–2 20 36

–2 49 9

a. Comparando la tercera, la cuarta y la quinta columna, ¿qué puedes concluir?

b. Comparando las dos últimas columnas, ¿qué puedes concluir?

2. Marca con un ✔ el resultado correcto de las siguientes multiplicaciones de binomios:

a. (2y – 7)(2y – 7)

2y4 – 49

4y2 – 28y + 49

b. (x2y – 2y2)(x2y – 2y2)

x4y2 – 4x2y3 + 4y4

x4y2 – 4y4

c. (– 5b – 2x)2

25b2 – 20bx + 4x2

25b2 + 20bx + 4x2

3. Calcula los siguientes cuadrados y cubos de binomio.

a. (2x3 – 6x)2 =

b. (xa – 1)2 =

c. (3x + 2a2)2 =

d. (3a – 2)3 =

e. (4a + 5b)3 =

f. (a2b2 + ab2)3 =

4. Sabemos que (a + b)2 = (–a – b)2, ¿es correcto que (a + b)3 = (–a – b)3? ¿Por qué?

Tema 1: Productos notables

27Unidad 2 • Álgebra y funciones

2Unidad

5. Números Sin calculadora y usando las fórmulas de cuadrado y cubo de binomio, obtén el valor de las siguientes potencias.

a. 512 =

b. 9972 =

c. 823 =

d. 9943 =

6. Relaciona cada cubo de binomio con los coeficientes que corresponden a su desarrollo.

a. (3y2 – 4x)3

b. (1 – 2x2)3

c. (3w + 5)3

d. (a + 7)3

e. (2a + 3b)3

f. (4x – 1)3

g. (2a – 5)3

A 27, 135, 225, 125

B 8, 36, 54, 27

C 64, –48, 12, –1

D 27, –108, 144, –64

E 1, –6, 12, –8

F 1, 21, 147, 343

G 8, –60, 150, –125

7. Escribe el o los término(s) que faltan para completar la igualdad.

a. (3 – b)2 = 9 – + b2

b. (4s2 – 5)2 = 16s4 – 40s2 +

c. (3p + 2q2)3 = 27p3 + + 36pq4 +

d. (n – 2)(n + 7) = n2 + –

e. (3a + 4b2)2 = + 24ab2 + 16b4

f. (2x – 7y)2 = 4x2 – + 49y2

g. (a – 3b)3 = a3 – + 27ab2 – 27b3

h. (4x + y)3 = 64x3 + + 12xy2 + y3

8. Aplicando productos notables, desarrolla y reduce las siguientes expresiones algebraicas.

a. (x – 3)2 + (x + 3)3 =

b. (x – y)3 – x(x + y)2 =

c. (2a + 5b2)2 – 3(3a – b)3 =

d. (m – 3n)3 – (m + 3n)3 =

9. Geometría Se va a construir un cubo de madera, sin tapa, de arista y + 2 cm.

a. Escribe una expresión que represente la cantidad de madera usada.

b. Escribe una expresión para su volumen.

y + 2



Suma por su diferencia y producto de binomios con un término en común1. Calcula las siguientes sumas por su diferencia.

a. (x + 2y)(x – 2y) =

b. (a2 – b2)(a2 + b2) =

c. (3x + 1)(3x – 1) =

d. (n2 + 4mn)(4mn – n2) =

e. (2x3 + 6x)(2x3 – 6x) =

f. (yz + z – 3)(yz + z + 3) =

2. Números Calcula el valor numérico de los siguientes productos, aplicando la fórmula de la suma por su diferencia.

a. 98 · 102 =

b. 18 · 22 =

c. 170 · 230 =

d. 997 · 1 003 =

3. Relaciona cada multiplicación con su resultado (sobra una opción en la segunda columna).

a. (x + 5)2

b. (x – 5)2

c. (5 + x)(x – 5)

d. (x + 5)(5 – x)

A x2 – 10x + 25

B 25 – x2

C x2 + 10x + 25

D x2 + 25

E x2 – 25

4. Calcula los siguientes productos de binomios con término común.

a. (x – 9)(x – 12) =

b. (6a3 + 5) (6a3 + 7) =

c. (7ax + 1)(7ax – 6) =

d. (5a2 – 3) (5a2 – 20) =

5. Números Calcula el valor numérico de los siguientes productos, aplicando la fórmula de dos binomios con un término común.

a. 1,7 · 1,3 =

b. 213 · 215 =

c. 12 · 23 =

d. 180 · 170 =


2Unidad

6. Completa la siguiente tabla.

x + a x + b a + b ab x2 + (a + b)x + abx + 3 x + 2

x – 5 10

x + 6 x2 + 3x – 18

2 –35

7. Geometría Observa los siguientes rectángulos y responde.

2x – 2y

2x + 2y

a + b

a – b

a. En cada rectángulo, ¿cómo se relacionan las medidas de sus lados?

b. ¿Qué expresiones representan el área de cada rectángulo?

8. Jorge tiene un jardín rectangular de (5a – 7) m de ancho y (5a + 7) m de largo.

a. ¿Cuál es el área del jardín?

b. ¿A cuántos metros cuadrados equivale si a = 2?

9. La arista de un cubo es (2a + 3) cm.

a. ¿Cuál es el volumen?

b. ¿Cuánto miden la arista y el volumen si a = 4 cm?

10. Escribe la suma de las áreas de los rectángulos como una expresión algebraica.

a. x

2

2x 1

b. x1

3x 1

c.

x

2

2x 3

d. 5xx

2

3


Factorización por un factor en común1. Geometría Observa la figura y resuelve.

a. Escribe el polinomio que representa el área de la figura en forma factorizada.

b. Expresa el polinomio que representa el área en forma extendida.

2. Marca con un ✔ las expresiones algebraicas que estén factorizadas. Si no lo están, factorízalas.

a. 3x(x – 5)

b. (a – b)2

c. 4ab – 3a

d. m(m – 3) + 5m

3. En grupo Discute con un compañero o compañera cuál de las siguientes posibilidades es la mejor factorización para la expresión 6x2 – 24x. Justifiquen sus respuestas.

• 2x(3x – 12) • 3(2x2 – 8x) • 6x(x – 4)

4. Descubre el error Encuentra el error que se cometió al calcular el valor numérico del polinomio: 4m3n2 – 2m2n3 + 5mn si m = –2, cuando n = 3. Luego, corrígelo.

4m3n2 – 2m2n3 + 5mn = 4(–2)3(3)2 – 2(–2)2(3)3 + 5(–2)(3)

= 4(–8)(9) – 2(4)(27) + 5(–2)(3)

= –288 – 218 – 30 = –536

5. Factoriza los siguientes polinomios.

a. x(y + 1) – 3(y + 1) =

b. a(b – 1) + c(b – 1) =

c. m(a – c) + a – c =

d. 1 – b + 2a(1 – b) =

e. (a + 3)(a + 1) – 4(a + 1) =

f. m(n – 2) + 2 – n =

a

x +

1

b c

Tema 2: Factorización


2Unidad

Factorización mediante productos notables: binomios1. Descubre el error Encuentra los errores en las siguientes factorizaciones. Luego corrígelos.

a. 216m3 + 1 331 = (6m – 11)(36m2 + 66m + 121)

b. 64 – 125n6 = (5n2 – 4)(25n4 + 20n2 + 16)

c. y3 + 1 728 = (y + 12)(y2 + 24y + 144)

d. 1 – 1 000 m3 = (1 – 10m)(1 – 10m + 100m2)

2. Factoriza las siguientes expresiones.

a. 8x3 – y3 =

b. a3b3 – n3 =

c. 1 – 8a3b3 =

d. 125m6 – 343n3 =

e. 8x3 + 27x6y3 =

f. 512t6 – 8m3 =

g. y9 – y3 =

h. x12 + y12 =


a. La diferencia de los cuadrados de las edades de dos hermanos es 64 y la suma de sus edades es 16 años. ¿Qué diferencia de edad hay entre los dos hermanos?

b. La suma de los cuadrados de dos números impares y consecutivos es 130. ¿Cuál es la suma de los números si el producto de ambos es 63?

c. El área de un terreno de forma rectangular está representado por el trinomio a2 + 6a – 16. ¿Cuántos metros de diferencia hay entre el largo y el ancho del terreno?

4. A Jorge le piden factorizar 64a12 + 1. Él dice: “Es una suma de cuadrados porque 64a12 + 1 = (8a6)2 + 12. La suma de cuadrados no tiene factorización, entonces 64a12 + 1 no es factorizable”.

a. ¿Es correcto su razonamiento?

b. ¿El binomio se puede factorizar?

c. ¿Cuáles son sus factores?



Factorización mediante productos notables: trinomios1. Marca con ✔ las expresiones que son factorizaciones de cada expresión dada.

a. 24x2y4 + 10x2y + 100x

24(x2y4 + 10x2y + 100x)

2(12x2y4 + 5x2y + 50x)

x(24xy4 + 10xy + 100)

xy(24xy3 + 10x + 100)

b. 36a3b4 + 18a3b2 – 72a4b5

18a3b2 (2b2 + 1 – 4ab3)

a3b2 (36b2 + 18 – 72ab3)

36a3b4 (1 + 2a3b2 – 2ab2)

2ab(18a2b3 + 9a2b – 36a3b4)

2. Relaciona cada trinomio con su respectiva factorización.

a. 3x2 + 19x + 6

b. 5x2 – 23x + 12

c. 11x2 – 8x – 3

d. 12x2 + 11x – 15

e. 12x2 + 29x + 15

f. 5x2 + 17x – 12

A (4x – 3)(3x + 5)

B (5x – 3)(x – 4)

C (3x + 1)(x + 6)

D (11x + 3)(x – 1)

E (5x – 3)(x + 4)

F (4x + 3)(3x + 5)

3. El largo del jardín rectangular de Adriana medía dos veces el ancho a. Si Adriana aumentó el largo y el ancho del jardín para que la nueva área mida (2a2 + 7a + 6) m2, ¿en cuánto aumentó el ancho del jardín?

4. Factoriza los siguientes trinomios.

a. x2 – 6xy + 9y2 =

b. a2b2 – 10ab + 25 =

c. 81a2 – 36ab + 4b2 =

d. 4m2 + 20m + 25 =

e. 9m2 + 16n10 + 24mn5 =

f. 25a2c2 + 4b2 – 20abc =

g. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =

h. p12 + 16p6q4 + 64q8 =

2a

a

y

x


2Unidad

5. Expresa el perímetro de las figuras en función de x.

a. 2x + 1

A = 4x2 – 1

A = 6x2 + 17x + 12

3x + 4

b.

x A = x2 – 6xA = 8x2 + 10x + 3

4x + 3

6. La profesora les pidió a Laura y a Ricardo que factorizaran el polinomio 9y2 – 25x2 + 70x – 49.

Laura

9y2 – 25x2 + 70x – 49

Paso 1: 9y2 – (25x2 – 70x + 49) =

Paso 2: 9y2 – (5x + 7)2 =

Paso 3: [3y – (5x + 7)] [3y + (5x + 7)] =

Paso 4: (3y – 5x – 7) (3y + 5x + 7)

Ricardo

9y2 – 25x2 + 70x – 49

Paso 1: 9y2 – (25x2 – 70x + 49) =

Paso 2: 9y2 – (5x – 7)2 =

Paso 3: [3y – (5x – 7)] [3y + (5x + 7)] =

Paso 4: (3y – 5x + 7) (3y + 5x + 7)

a. ¿En qué paso se equivocó cada estudiante?

b. Factoriza correctamente el polinomio.

7. Rita iba a construir una repisa de (4x2 – 8x – 5) cm2 de área. Ahora ha decidido agrandarla, de modo que el área sea (4x2 + 4x – 3) cm2. ¿Cuántos centímetros más tendrán el largo y el ancho de la repisa con la nueva área?

8. Determina el término que se debe agregar a cada trinomio para que sea trinomio cuadrado perfecto.

a. a4 + 4a2 + 16 =

b. x4 – 3x2y2 + y4 =

c. x8 + 9x4 + 25 =

d. m6 + 8m3n + 36n2 =

e. 25p4 + 11p2q2 + 4q4 =

f. z2 + 15wz + 64w2 =

9. Relaciona cada polinomio con su respectiva factorización.

a. p5 – p3

b. p3 – 6p2 + 9p

c. 16p4 – 9p2

d. 9p4 + 30p3 + 25p2

e. p5 + p4 – p – 1

A (p – 1)(p2 + 1)(p + 1)2

B p3(p + 1)(p – 1)

C p2(3p + 5)2

D p(p – 3)2

E p2(4p + 3)(4p – 3)


Ecuación lineal de dos incógnitas1. Marca con un ✔ si x = –1 e y = 8 es una solución de las siguientes ecuaciones y con una 8 si no lo es:

a. 2x + y = 6 b. 7x – y = 11 c. x – y = 7 d. x + y = 7

2. Plantea una ecuación para cada situación y encuentra, por tanteo, dos posibles soluciones en cada caso.

a. Un número más el doble de otro es 12. ¿Cuáles son los números?

b. Una madre reparte entre sus dos hijos $ 5 000. ¿Cuánto le da a cada uno?

c. Dos ángulos son suplementarios. ¿Cuánto mide cada ángulo?

d. 8 L de aceite y 10 L de vinagre cuestan $ 10 500. ¿Cuál es el precio de cada litro de aceite y de vinagre?

3. Un grupo de 18 estudiantes contrata un bus para un paseo a la cordillera. Ese día 3 de los jóvenes se enferman y no asisten, por lo que la cuota a pagar por cada uno sube a $ 3 000.

a. Representa la situación algebraicamente.

b. ¿Cuánto se cobró por el bus?

c. ¿Cuál era la cuota original?

4. En un estacionamiento hay motos y autos. En total se cuentan 78 ruedas.

a. ¿Es posible que haya 20 autos? ¿Por qué?

b. ¿Es posible que haya 10 motos? ¿Y 11? ¿Por qué?

c. ¿Cuántos autos y cuántas motos hay?

Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas


2Unidad

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas1. En un monedero hay un total de $ 8 500, distribuidos en 33 monedas. Algunas son $ 100 y el resto son

de $ 500. De acuerdo a estos datos, Pilar y Mario escribieron dos sistemas de ecuaciones diferentes.

x + y = 33 100x + 500y = 8 500

Pilar x + y = 8 500

x500

+ y100

= 33

Mario

a. ¿Qué representa x e y en cada caso, en el contexto de la situación inicial?

b. ¿Cuántas monedas de cada valor hay? Explica cómo lo calculaste.

2. Verifica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Justifica las falsas.

a. La ecuación 2x – 5y = 4 tiene infinitas soluciones.

b. Un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas es compatible si las rectas que lo conforman tienen al menos dos puntos en común.

c. Para mostrar que un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas es incompatible, se debe realizar la representación gráfica de las ecuaciones.

d. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas siempre tiene, por lo menos, una solución.

3. Decide en cada caso y marca con un ✔ si el sistema tiene solución o con una 8 si no tiene solución. No resuelvas ningún sistema.

a. 43

x + 16

y = 2

4x + 12

y = 6

b. 6x + 6y = 20 2x + 2y = 5

c. 3x + 2y = 12 x – y = 6

d. 200x + 100y = 20 4x + 3y = 3



Métodos de resolución: igualación, sustitución, reducción y Cramer1. Utilizando el método de igualación, resuelve:

a. 12x + y = –70 –6x + y = 38

x = y =

b. 4x + 15y = 34 4x + 11y = 26

x = y =

c. 3x + 8y = 75 –x + 4y = 35

x = y =

d. x + 3y = –4 x – y = 12

x = y =

2. Utilizando el método de sustitución, resuelve:

a. 2x – 3y = 4 x – y = 3

x = y =

b. 6x + 4y = 20 x – 2y = –2

x = y =

c. x – 3y = –21 3x + 14y = 121

x = y =

d. –12x – y = 33 7x – 8y = 58

x = y =

3. Utilizando el método de reducción, resuelve:

a. 5x + 2y = 52 4x – 3y = 60

x = y =

b. 3x + 8y = 30 4x – 5y = –7

x = y =

c. –14x – 3y = –158 –35x + 3y = –332

x = y =

d. –7x + 5y = 7 8x – 7y = –8

x = y =


2Unidad

4. Utilizando el método de Cramer, resuelve:

a. x – 5y = 24 2x + 3y = 9

x = y =

b. 21x + 6y = 15 35x + 10y = 33

x = y =

c. 11x – 13y = 23 –x + 3y = –13

x = y =

d. 3x – 2y = 5 4x + y = 14

x = y =

5. Decide, en cada caso, si el sistema de ecuaciones tiene solución y si son infinitas soluciones. En el caso de que la solución sea única, encuéntrala aplicando el método gráfico.

a. 3x + y = 4 –y + 2x = 1

x = y =

b. 2x – 3y + 10 = 0 4y + 20 = 6x

x = y =

c. 3x + 3y = –9 y = –x – 3

x = y =

d. 2x + y = 3 x + 2y = 0

x = y =

1 2 4–3–6

1

–1

–3

–4

Y

O X3 5 6–2–5 –1–4

2

4

–2

3

5




a. Para ingresar al parque se puede adquirir entradas para adultos a $ 4 500 y para niños a $ 2 000. Paula adquirió 6 entradas y pagó $ 17 000. ¿Cuántos adultos y cuántos niños conforman la familia de Paula?

b. En una granja crían gallinas y conejos. Si contamos 83 cabezas y 216 patas, ¿cuántos animales de cada especie hay?

c. Con 5 billetes iguales y 18 monedas iguales tengo $ 19 000, mientras que con 7 billetes y 16 monedas tengo $ 22 000. ¿Cuál es el valor de cada moneda y cada billete?

d. Para la obra de teatro asistieron 90 personas. La entrada para adultos se pagó a $ 8 000 y para niños a $ 5 000. Ese día se recaudaron $ 570 000. ¿Cuántos adultos y cuántos niños entraron a la obra?

e. Antonia tiene la mitad de la edad de Emilia. En 15 años, Emilia será 6 años mayor que Antonia. ¿Cuál es la edad de cada una?

f. Si 4 hombres y 3 mujeres van a una fiesta, el costo total de las entradas es de $ 23 000. Si van 3 hombres y una mujer, el costo es de $ 13 500. ¿Cuánto cuesta una entrada de hombre y una de mujer?

g. Al repartir mis láminas entre mis amigos, pude darle 5 a cada uno, y me sobraban 2. Pero luego llegaron 2 amigos más, por lo que las repartí de nuevo y pude darle 3 láminas a cada uno, sobrando una lámina. ¿Cuántos amigos había al principio, y cuántas láminas tenía?

h. Los dos últimos fines de semana Jorge llevó a sus nietos al cine. La primera vez pagó $ 15 000 por dos adultos y dos niños, y la segunda vez pagó $ 13 500 por un adulto y tres niños. ¿Cuánto pagó Jorge por cada entrada de adulto y de niño?

i. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas, algunas de dos y otras de cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?

j. Tamara y Sebastián tienen ahorrados $ 250 000 entre los dos. Tamara anuncia que ha ahorrado $ 70 000 más que Sebastián. ¿Cuánto ha ahorrado cada uno?


2Unidad

7. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones:

2x + y = 4 3x + 2y = 9A

5x – y = 6 5x – y = 12B

Verifica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Justifica las falsas.

a. El sistema A es compatible determinado.

b. El conjunto solución de A es (–1, 6).

c. La solución gráfica de B es una recta.

d. El conjunto solución de B es (5, 3).

e. El sistema B es compatible indeterminado.

8. Un estudiante rindió un examen consistente en 100 preguntas con alternativas. El profesor asigna 5 puntos por cada respuesta correcta y descuenta 1 punto por cada 4 respuestas incorrectas.

a. Si el estudiante contestó 59 preguntas y obtuvo 169 puntos, ¿cuántas preguntas correctas tuvo?

b. Con estas condiciones, ¿puede ser 56,5 y 43,5, respectivamente, una solución al problema? ¿Por qué?

9. Algunos alimentos proporcionan minerales y vitaminas necesarias para un óptimo estado de salud. La siguiente tabla muestra el contenido, por porción, de calcio, fósforo y vitamina C de tres frutas.

Frutas Calcio (g) Fósforo (g) Vitamina C (g)

Fresa 0,22 0,23 0,7

Guayaba 0,2 0,35 0,75

Naranja 0,4 0,2 0,55

Si una dieta nutricional recomienda consumir 3,26 g de calcio, 3,24 g de fósforo y 8,05 g de vitamina C, entre otros minerales y vitaminas, ¿cuántas porciones de cada fruta se deben consumir, para cumplir la dieta propuesta?


Relaciones lineales de la forma f(x, y) = ax + by1. Se tiene la relación entre dos variables representada por la expresión: f(x, y) = 2x + 0,75y. Completa la

tabla de valores para distintos valores de x e y.

x y f(x, y) = 2x + 0,75y2 4

1 6

–2 2

0 3

1,5 –4

2. Considerando la función f(x, y) = 4x – 3y, para cada valor de f(x, y), ¿cuál es la ecuación lineal en dos variables de la forma y = mx + n que lo representa?

a. f(x, y) = 0

b. f(x, y) = 8

c. f(x, y) = 0,5

d. f(x, y) = 12

3. Si f(x, y) = x + 0,5y, y además f(x, y) = 1, completa la tabla y traza la gráfica asociada.

x y f(x, y)–1 1

3 1

0 1

–2 1

3 1

1 2–3

1

–1

Y

O X3–2 –1

2

–2

3

4. Determina la relación lineal de la forma f(x, y) = ax + by que se representa en cada tabla.

a. x y f(x, y)0 –2 4

3 2,5 4

b. x y f(x, y)3 1 8

–2 21 8

Tema 4: Relación entre dos variables


2Unidad

Variación de parámetros1. Considera la siguiente recta:

1 2 4–3–6

1

–1

–3

–4

Y

O X3 5 6–2–5 –1–4

2

4

–2

3

5

a. Grafica en el mismo plano cartesiano 3 rectas paralelas a la representada.

b. Para cada recta, escribe la ecuación de la recta en la forma ax + by = c que las representa.

•

•

•

c. Para cada ecuación, determina la pendiente de la recta.

•

•

•

d. ¿Qué puedes concluir?

e. ¿Cuál es la función de forma f(x, y) que representa al haz de rectas?



1. Expresa el área de la siguiente figura:

x + 8

2x + 6

2x

A. 2x(3x + 15)

B. 2x(x + 2)(x – 3)

C. 2x(x – 4)(x + 7)

D. 5x(x + 4)

2. Una expresión equivalente a (–a – b)2 es:

A. a2 + b2

B. (a – b)2

C. (a + b)2

D. –(a + b)2

3. ¿Cuál es el resultado de (x − 2)2 − (x + 2)2?

A. 8xB. –8xC. 2x2 + 8xD. 2x2 – 8x + 8

4. ¿Cuál es el desarrollo de la expresión (3x – 4x2)3?

A. 27x3 + 108x4 + 144x5 + 64x6

B. 27x3 – 144x4 + 108x5 – 64x6

C. 27x3 – 108x4 + 144x5 – 64x6

D. 27x3 + 144x4 + 108x5 + 64x6

5. ¿Cómo se factoriza 49m6 – 70am3n2 + 25a2n4?

A. (5m3 – 7an2)2

B. (7m3 – 5an2)2

C. (7m3 – 5an2) (7m3 + 5an2)

D. (5m3 – 7an2) (5m3 + 7an2)

6. El producto de los binomios (3x + 5) y (4x + 6) es:

A. 12x2 + 12x + 30

B. 2x2 – 30x + 30

C. 2x2 + 38x + 11

D. 12x2 + 38x + 30

7. ¿Cuál es la suma de los coeficientes del desarrollo de (4x + 1)3 – (8x2 – 1)[(2x + 1)2 – (2x – 1)2]?

A. 98

B. 69

C. 112

D. 87

8. ¿Cuál de las siguientes expresiones es un cuadrado de binomio?

A. 6a2 – 16ab + 4b2

B. 25x2 + 30xy + 9y2

C. m2 – 40mn + 64n2

D. 6b2 – 56b + 49

9. Al factorizar completamente 5y4 – y3 + 5y2, uno de los factores corresponde a:

A. 5

B. y2

C. y4

D. 10y – 1

10. Para la expresión: 3x(a – 7) + 5(7 – a) + 4ax – 28x, ¿cuál es su factorización correcta?

A. (a – 7)(7x – 5)

B. (a + 7)(5 – 7x)

C. (a – 7)(5 – x)

D. (a – 7)(7x – 5)

11. Un agricultor necesita que el área de una parcela rectangular sea (4x2 – 4x – 3) m2. Si el largo es (2x + 1) m, ¿cuál es el ancho?

A. (2x – 3) m

B. (3x + 2) m

C. (2x – 1) m

D. (3x – 1) m

12. ¿Cuál es la factorización de 64 – x6?

A. (x4 – 4x2 + 16)(x2 – 4)

B. (x4 + 4x2 – 16)(x + 2)(x – 2)

C. (4 – x2)(x4 – 4x – 16)

D. (4 + x2)(16 – 4x2 + x4)



2Unidad

13. Patricia compra un pliego de cartulina cuadrada de 50 cm de lado y desea confeccionar una caja sin tapa. Si corta en cada extremo del pliego un cua-drado del mismo tamaño, como se indica en la figura, ¿cómo se expresa el área del fondo de la caja?

A. 4x2 – 200x + 2 500

B. x2 + 200x + 2 500

C. x2 – 200x + 2 500

D. 4x2 + 200x + 2 500

14. Si un automóvil va a una velocidad de 60 km/h, ¿cuál es la igualdad que modela la relación entre la distancia recorrida x y las horas transcurridas y?

A. 60x – y = 0

B. x – 60y = 0

C. x + 60y = 0

D. 60x + y = 0

15. Considera la siguiente situación: “En una caja hay arañas y escarabajos. En total se cuentan 54 patas y a ninguno le faltan patas. Considerando que las arañas tienen 8 patas y los escarabajos, 6, ¿cuántas arañas y cuántos escarabajos hay?” ¿Cuál de las siguientes ecuaciones puede ayudarte a resolver el problema?

A. 2A + 4E = 54

B. 8A + 6E = 54

C. 6A + 8E = 54

D. A + E = 54

16. Considera el sistema de ecuaciones:

4x – 7y = –10 8x – 14y = 4

¿Cómo se representa en el plano cartesiano y qué se puede decir de su solución?

A. Como dos rectas paralelas y no tiene solución.

B. Como dos rectas perpendiculares y tiene solución.

C. Como una recta y tiene infinitas soluciones.

D. Como dos rectas secantes y tiene una única solución.

17. ¿Cuántos patos y cuántos conejos hay en un corral si entre todos juntan 44 cabezas y 148 patas?

A. 20 patos y 24 conejos.

B. 14 patos y 30 conejos.

C. 12 patos y 32 conejos.

D. 29 patos y 15 conejos.

x

50 cm



18. ¿Cuál es la solución del sistema de ecuaciones 2x – 3y = 5 x + y = 0

?

A. (–2, 2)

B. (1, 2)

C. (0, 0)

D. (1, –1)

19. El sistema: 2x – 6y = 2 x + 3y = 1

A. No tiene solución.

B. Tiene una única solución.

C. Posee una solución con x = y.

D. Ninguna de las anteriores.

20. Si el punto de intersección de las rectas y – x = 4 y x – 2y = 2 es (2a, b), ¿cuál es el valor de 3a + 2b?

A. 27

B. –16

C. 16

D. –27

21. Si x + y = 15 x – y = 2

, ¿cuánto es xy?

A. 44

B. 240

C. –150


22. ¿Cuál es la solución del sistema 3x + 2y = 13 x – y = 6

?

A. x = 5, y = 1

B. x = 5, y = –1

C. x = –5, y = 1

D. No es única.

23. En el siguiente sistema: 8x + 4y = 12 –12x + 5y = –15

¿Cuáles son los valores de los determinantes?

A. ∆ = 8, ∆x = 120, ∆y = 24

B. ∆ = 88, ∆x = –264, ∆y = 0

C. ∆ = 88, ∆x = 0, ∆y = –264

D. ∆ = 8, ∆x = 24, ∆y = 120

24. ¿Cuál es el punto de intersección entre las rectas de ecuaciones 2x – 5y = 19 y 3x + 4y = –6?

A. (2, 3)

B. (–2, 3)

C. (–2, –3)

D. (2, –3)

25. ¿Cuál es la ecuación cuya gráfica pasa por los pun-tos de coordenadas (4, 7) y (6, 13)?

A. 4x + 7y + 6 = 0

B. 3x – y – 5 = 0

C. 3x + y – 6 = 0

D. x – 3y + 2 = 0

26. ¿Cuál es una solución de la ecuación 4x + 7y = 33?

A. x = 0, y = 5

B. x = 3, y = 3

C. x = –10, y = 1

D. x = –6, y = –1

27. Si 4x + 2y = 17, el valor de y si x = 14

es:

A. y = 4

B. y = 8

C. y = 9

D. y = 10

28. Al despejar la variable x en la ecuación 5x + 2y = 2 se obtiene:

A. x = 2 + 2y 5

B. x = 7 – 2y

C. x = 2 – 2y 5

D. x = 2y – 25

29. Si Alejandra es 3 años mayor que Manuel, ¿qué ecuación relaciona sus edades?

A. a – m = 3

B. a – m = 4,5

C. 3a – m = 1,5

D. a – 3m = 1,5


2Unidad

30. ¿Cuál de los siguientes sistemas tiene como solución x = 2, y = –1?

A. 9x + 5y = 13 27x + 15y = 39

B. 7x + 5y = 10 8x – 3y = 19

C. 5x + 7y = 3 10x – 3y = 22

D. 10x – 7y = 27 19x – 3y = 41

31. Considera la siguiente situación: “En la embotelladora se han envasado 500 litros de jugo de naranjas en 200 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?“ ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones representa la situación?

A. x + y = 200 2x + 2y = 500

B. 2x + 5y = 500 x + y = 200

C. x + y = 500 2x + 5y = 200

D. x + 5y = 200 2x + y = 500

32. En un teatro las entradas para niños cuestan $ 12 000 y para el resto de las personas, $ 20 000. Se sabe que el profesor reservó entradas para una función y en total pagaron $ 200 000. Si se utiliza N para los niños y A para el resto, ¿cuál de estas fórmulas permite describir el enunciado?

A. N + A = 200 000

B. 12 000N + 20 000A = 200 000

C. 20 000N + 12 000A = 200 000

D. 20 000N + 12 000A = 200 000 (N + A)

33. La representación gráfica de las ecuaciones del sistema 2x – 3y = 4 –12x + 18y = 0

corresponde a:

A. Dos rectas paralelas.

B. Dos rectas secantes.

C. Dos rectas coincidentes.

D. Dos rectas perpendiculares.

34. En el plano cartesiano se ha representado la relación entre dos variables ax + by = c. ¿Cuál de las siguientes opciones representa las condiciones para a, b y c?

A. a = 0, b > 0, c = 0

B. a < 0, b = 0, c > 0

C. a < 0, b > 0, c = 0

D. a > 0, b = 0, c > 01 2–3–4

1

–1

–3

Y

O X3 4–2 –1

2

–2

–4

3

4


Geometría3UnidadTema 1: Sectores y segmentos circulares

Elementos de la circunferencia y del círculo1. En la siguiente circunferencia de centro O, identifica cada uno de sus elementos, escribiendo su nombre.

C

D

E

AO

B

a. OA

b. DE

c. DE

d. CA

2. Representa en cada círculo de centro O, la región correspondiente.

a. Corona circular.

O

b. Segmento circular.

O

c. Sector circular.

O

3. Analiza el siguiente círculo de centro O y radio 3 cm. Luego realiza lo solicitado.

a. Pinta un sector circular y un segmento circular.

b. Si m(AB) = 5,2 cm, ¿cuánto es el perímetro del triángulo OAB?

c. Si m(CE) = 0,6 cm, ¿cuánto mide el segmento OD?

d. ¿Cuánto mide el DOA?

e. ¿Mide lo mismo que el AOD? Explica.

O A

F

D

C

B

120°80°

80°

E

47Unidad 3 • Geometría

3Unidad

4. Traza en cada circunferencia, utilizando un transportador, los ángulos del centro solicitados.

a. m(AOB) = 45°

O A

b. m(FOT) = 70°

O F

c. m(BOC) = 50°

O B

d. m(COF) = 100°

O C

e. m(POR) = 150°

O P

f. m(QOT) = 270°

O Q

5. Cada circunferencia de centro O se encuentra dividida en partes iguales. Determina la medida de cada ángulo del centro.

a. b. c.

6. Analiza la circunferencia de centro O y luego anota la medida de cada ángulo solicitado.

BC

D A

FE

110°O

a. m(FOA) =

b. m(BOC) =

c. m(EOF) =

d. m(ODC) =


Tema 1: Sectores y segmentos circulares

Perímetro de un sector y segmento circular1. Calcula la longitud de cada arco de circunferencia de centro O, según corresponda. Considera π ≈ 3,14.

a. L(AB) =

O

A

B120° 3 cm

b. L(EF) =

O

F

E 2 cm

70°

c. L(GH) =

250°O

G

H

4 cm

2. En cada círculo de centro O, calcula el perímetro de cada sector o segmento circular pintado. Considera π ≈ 3,14.

a. P =

O ED 4 cm

b. m(CD) = 4,6 cm

P =

OC

D

100°

3 cm

c. P =

O

D

F

3 cm

80°

d. m(AB) = 8,7 cm

P =

O

E

A

100°

5 cm

e. P =

O

G

H2 cm

60°

f. m(FH) = 5,4 cm

P =

O

H

F 45°7 cm

3. En el círculo de centro O, se tiene que m(BC) = 6,3 cm.

a. ¿Cuánto es el perímetro del sector circular pintado?

b. ¿Cuánto es el perímetro del segmento circular pintado?

O CA

B

38°4 cm


3Unidad

Área de un sector y segmento circular1. Verifica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Justifica las falsas.

a. Si se duplica la medida del ángulo del centro, se duplica el área del sector circular.

b. Si se duplica la medida del ángulo del centro, se duplica la medida del arco del sector circular.

c. Si se duplica la medida del ángulo del centro, se duplica el área del segmento circular.

d. Si se duplica la medida del ángulo del centro, se duplica la medida de la cuerda del segmento circular.

2. Calcula el área de cada sector circular. Considera π ≈ 3,14.

a.

A =

O A

B

150°4 cm

b.

A =

O

D

F60°

6 cm

c.

A =

O

CD

110° 4 cm

d.

A =

O

H

F5 cm

e.

A =

O

D

G 270°

3 cm

f.

A =

O

T

L5 cm

3. Calcula el área de cada segmento circular. Considera π ≈ 3,14.

a. m(FG) = 3,46 cm b. m(OH) = 3,24 cm m(AB) = 4,7 cm

c. m(OL) = 3,21 cm m(DG) = 7,66 cm

O DG

F

60°

4 cm

A = A =

O A

B

4 cm72°

A =

O D

L

G

5 cm100°


Tema 2: Área y volumen del conoÁrea de un cono1. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

a. Si la altura de un cono aumenta al doble, su área total también aumenta al doble.

b. El manto de un cono es un sector circular de radio igual a la generatriz.

c. La superficie de un cono es un tercio de la superficie del cilindro que tiene igual base y altura.

2. Calcula el área aproximada de cada cono a partir de las medidas dadas. Considera π ≈ 3,14.

a. Radio: 9 cm, altura: 12 cm

b. Diámetro: 8 cm, altura: 7 cm

c. Radio: 12 cm, altura: 15 cm

d. Radio: 16 cm, altura: 10 cm

e. Generatriz: 26 cm, altura: 24 cm

f. Generatriz: 25 cm, radio: 15 cm

3. Calcula el área de cada cono. Considera π ≈ 3,14.

a.

15 cm

8 cm

b.

15 cm39 cm

c.

12 cm

9 cm

4. Para la fiesta de fin de curso, María, Susana y Carlos van a fabricar gorros de cartulina con forma de cono. Si los radios miden 8 cm, 10 cm y 13 cm y las generatrices 28 cm, 35 cm y 40 cm, respectivamente, ¿cuánta cartulina necesitarán como mínimo?

María:

Susana:

Carlos:


3Unidad

5. El radio de un cono mide 5 cm y su volumen es de 300 cm3.

a. ¿Cuál es su altura?

b. ¿Cuál es su generatriz?

c. Calcula el área del manto.

d. ¿Cuál es su área total?

6. Un cono de helado tiene 18 cm de profundidad y 8 cm de diámetro superior. ¿Cuál es el área del barquillo que lo forma?

7. Haciendo girar un triángulo rectángulo de catetos 12 cm y 16 cm alrededor de cada uno de ellos, se obtienen dos conos.

a. Calcula el área del cono en ambos casos.

b. ¿Cuál tiene mayor área?

8. En la calle, para advertir de una pista que se va a cerrar, se pusieron 12 conos plásticos, de 36 cm de diámetro y 60 cm de altura cada uno. ¿Cuál es el área del manto de cada cono?

9. Observa cada red del cono y luego calcula su área. Considera π ≈ 3,14.

a. 7 cm

1,5 cm

b. 8 cm

r

110°

10. Considerando el manto del cono que se muestra, responde. Considera π ≈ 3,14.

a. ¿Cuánto es el área del manto?

b. Si se completa con la base, ¿cuánto debe medir su radio?

c. ¿Cuánto mide el área de la superficie del cono? 3 cm

40°


Tema 2: Área y volumen del cono

Volumen de un cono1. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

a. Si el radio basal de un cono aumenta al doble, su volumen también aumenta al doble.

b. Se llama generatriz a la altura del cono.

c. Si la altura de un cono disminuye a la mitad, su volumen también disminuye a la mitad.

2. Calcula el volumen de cada cono. Considera π ≈ 3,14.

a.

6,5 cm

3 cm

b.

16 cm

20 cm c.

17 cm

8 cm

3. La cafetera que se muestra en la imagen tiene forma cónica. La medida del con-torno de la base es 75,36 cm y la altura es 30 cm. Si se sabe que el volumen de la tapa, que también es de forma cónica, es 47,1 cm3, ¿cuál es la cantidad de café que puede contener la cafetera cuando está llena?

4. Un cono de metal de radio 4 cm y altura 12 cm se fundió para hacer un cilindro del mismo radio, usando todo el metal. ¿Cuál es la altura del cilindro?

5. En un reloj de arena se identifican dos conos iguales unidos por su vértice. La altura total mide 10 cm y su diámetro, 5 cm.

a. Calcula el volumen máximo de arena que puede haber en el interior de uno de ellos.

b. Sabiendo que cae 0,1 cm3 de arena por segundo, ¿cuánto tiempo tarda en pasar la arena de un lado al otro?

6. Un cono recto de 3 cm de radio tiene 18π 2 cm3 de volumen. ¿Cuál es el área total del cono?


3Unidad

7. Si una copa con forma cónica tiene un radio de 6 cm y una altura de 10 cm, como máximo, ¿cuántos litros se pueden verter en la copa? Recuerda que 1 cm3 equivale a 0,001 L. Considera π ≈ 3,14.

8. Una manga pastelera tiene forma cónica de radio 8 cm y una altura de 30 cm. ¿Cuántos cm3 de merengue serán necesarios para llenarla completamente? Considera π ≈ 3,14.

9. En una planta de salitre almacenan el mineral formando cerros con forma similar a un cono de dimen-siones 40 m de radio y 10 m de altura. Si el salitre acumulado debe ser transportado en un camión con capacidad de carga de 300 m3, ¿cuántos viajes debería realizar el camión? ¿Cómo lo supiste?

10. El volumen de un cono es 1017,36 cm3 y el área de su base es 254,34 cm2

a. ¿Cuánto mide su altura?

b. ¿Cuánto mide el radio de su base?

11. Se quiere transportar un cono de vidrio, de radio 12 cm y altura de 20 cm, en una caja con forma de prisma de base cuadrada de igual base y altura. El espacio entre la caja y el cono se llenará de bolitas de plumavit. ¿Qué volumen de plumavit se necesita?

12. En una empresa se fabrican conos de helado. La siguiente tabla muestra los diferentes tamaños de conos que se producen.

Nombre Altura (mm) Diámetro (mm)

Cono mini 88 38

Cono normal 138 45

Suponiendo que los conos son rectos, y si cada cm3 de helado se vende a $ 20:

a. ¿Cuál es el precio de venta de un cono mini?

b. ¿Cuál es el precio de venta de un cono normal?

13. Calcula la cantidad máxima de tierra que la maceta de la figura puede contener.

28 cm

22 cm

18 cm


Tema 3: Homotecia y teorema de TalesHomotecia1. En la homotecia de centro O el valor de razón de la homotecia es 2. Calcula.

a. m(OA') =

b. m(OD') =

c. m(CC') =

d. Si m(B'A'D') = 45°, ¿cuánto es m(ADC)?

2. Calcula el valor de la razón de homotecia de centro O, según corresponda.

a.

k =

B

B'

A'

A1,58 cm

1,58 cm

1,58 cm

1,58 cm

1 cm 1 cmC'C O

b.

k =

4 cm

1,8 cm

O

B'

A'

A

C

C'

B

1,8 cm

3,6 cm3,6 cm

2 cm

3. Al triángulo OPQ de la figura se le aplicó una homotecia tal que se obtuvo el triángulo O'P'Q'. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.

O

O'

Q'

P'Q

P

a. La razón de la homotecia es un número negativo.

b. El centro de la homotecia se encuentra a la izquierda del ∆OPQ.

c. El centro de la homotecia se encuentra entre ∆OPQ y ∆O'P'Q'.

O

A

A'

B'

BC

2,2 cm

2 cm

3,1 cm

C'

D' D


3Unidad

Homotecia de forma vectorial1. Construye utilizando regla y compás, sin medir cada vector.

a. Se ha representado el vector EF. Construye el vector 3EF.

E

F

b. Se ha representado el vector GH. Construye el vector –GH.

HG

2. Determina las coordenadas del centro de homotecia y valor de la razón de homotecia en cada caso.

a. Y

X

E'

E

F

D

D'

F'

O–1 1

1

3

3

52

2

4

4

5

6–3 –2–4

b.

X

Y B'

A'A

B

C

C'O 1–1

1

3

2

4

5

53 7 92 64 8 10

3. Aplica a cada figura geométrica la homotecia de valor de razón igual a k.

a. Centro D y valor de la razón –2.

O1–1–3–5 –2–4–6–9 32 4 5 6

–1

12 Y

X

–3–2

–4–5–6

DC

B

A–7–8

b. Centro H y valor de la razón 0,5.

O

H

D

E

F

1–1–1

1

2

–2

–3

–4

–3–5–9 –2–4X

Y

–7 –6–8


Tema 3: Homotecia y teorema de Tales

Teorema de Tales1. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

a. Si varias rectas son cortadas por dos secantes y los segmentos que se determinan sobre las secantes son proporcionales, entonces, las rectas son paralelas.

b. Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y los divide en segmentos proporcionales, entonces, la recta es perpendicular al otro lado del triángulo.

c. Si MT, UN y SV son paralelas y MT y TV son secantes, entonces UV : TU = NS : MN.

2. En la siguiente figura, se tiene que AB // CD // EF // GH. Obsérvala y luego determina si las siguientes proporciones son verdaderas o falsas.

a. ACBD

= DECE

b. CEEG

= DFFH

c. AEEG

= BDDH

d. ACCG

= BDDH

e. ACAE

= DFDH

f. CGCE

= DHFH

3. Utiliza el teorema de Tales para calcular cada medida.

a. Si L1//L

2//L

3, ¿cuál es la longitud del segmento AB?

C A L1

L2

8 cm

4 cm

6 cm

L3

F

x

E

D B

b. Si AB//DC, ¿cuál es la longitud del segmento BD?

A B

AB // DC

C

O

D

x

10 cm 18 cm

6 cm

4 cm

6 cm

A C E G

B D Fx

y

H9 cm

10 cm


3Unidad

4. En el triángulo ABC, ¿con cuál de los siguientes conjuntos de medidas se cumple que AB // CE? Explica.

I. CD = 20 cm, DA = 5 cm, CE = 24 cm y EB = 6 cm.

II. CD = 18 cm, DE = 6 cm, CA = 21 cm y AB = 7 cm.

III. CB = 30 cm, EB = 4 cm, CD = 21 cm y DA = 3 cm.

5. En la figura, L1 // L

2 // L

3. Determina si las siguientes proporciones son verdaderas o falsas.

L5

L1

L2

a b

c

e

d

L3

L4

a. ac

= bd

b. af = b

c

c. ce

= df

6. Determina el perímetro de un lote como el que se indica en la figura, si se sabe que se dividió en tres partes, por medio de perpendiculares a uno de sus lados.

50 m

80 m

40 m 30 m 20 m

7. Determina las longitudes pedidas si se sabe que AJ // BI, BI // CG, CG // DK, AB = CD, AD = 32 cm, IJ = 8 cm, IF = 18 cm, LG = 26 cm.

A JIL

C G

H

FD KE

Ba. BC =

b. JE =

c. AB =

d. CD =

e. AK =

f. LK =

C

D E

BA



División proporcional de segmentos1. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

a. Al dividir el segmento AB en razón 1, el punto de división es el punto medio de A y B.

b. Al dividir el segmento AB en razón 2, el punto de división está más cerca de A que de B.

2. Dibuja un segmento de 7 cm de longitud y luego divídelo interiormente en dos segmentos cuyas longitudes estén en la razón 1 : 4.

3. A partir de la figura, ¿cuál es la medida de cada segmento?

a. m(AP) =

b. m(PQ) =

c. m(QB) =

4. Un segmento mide 120 cm y ha sido dividido interiormente por un punto Q en la razón 3 : 4. ¿Cuál es la medida del trazo de mayor longitud?

5. Un segmento AB de 75 cm de longitud está dividido en razón 1 : 4 por un punto P. ¿Cuál es la diferencia entre las medidas de los segmentos AP y PB?

4 cm

3 cm1 cm

10 cm

A P Q B


3Unidad

6. Dibuja un segmento AB.

a. Encuentra puntos C, D, E y F que dividan a AB en razón 15

, 67

y 53

, respectivamente.

b. Si R divide al segmento AB en la razón 2 : 1, ¿de qué punto está más cerca?

c. Si Q divide al segmento AB en la razón 4 : 7, ¿de qué punto está más cerca?

7. La razón entre las longitudes de AB y CD es 5 : 3. Si AB mide 175 cm, ¿cuál es la medida de CD?

8. ¿Cuál es la medida de dos segmentos si se sabe que la diferencia entre sus medidas es 14 m, y la razón entre ellas es 2?

9. Al dividir un segmento de longitud 32 cm en dos segmentos de longitudes distintas, la razón entre las longitudes de los segmentos nuevos es 7. ¿Cuánto miden los segmentos?

10. El segmento AB está dividido en cinco partes iguales. Usa este segmento y el teorema de Tales para dividir los segmentos AC y AD en cinco partes iguales.

A B

C

D


Tema 4: SemejanzaSemejanza de figuras1. Determina si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifica las falsas.

a. Dos triángulos rectángulos siempre son semejantes.

b. Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes.

c. Si dos triángulos son semejantes, entonces son triángulos equiláteros.

d. Si dos triángulos son semejantes y uno de ellos es escaleno, entonces, el otro triángulo también es escaleno.

2. Dos triángulos rectángulos semejantes son tales que, en el primero, la medida del cateto mayor es 28 cm y su área es 294 cm2 y, en el segundo, la medida del cateto menor es 12 cm y su área es de 96 cm2. ¿Cuál es la razón de semejanza?

3. Calcula la profundidad del pozo sabiendo que, situado de pie a 0,9 m del borde y mirando desde 1,70 m de altura, Jorge ve los puntos A y B en línea recta.

13 m

0,9 m1,7 m

A

B

4. La Gioconda, de Leonardo da Vinci, es una de las pinturas más famosas del mundo. Actualmente se encuentra en una sala del Museo del Louvre, en París, bajo condiciones especiales de temperatura y humedad con el fin de preservarla. Sus dimensiones son 77 cm de largo por 53 cm de ancho.

a. Una de las reproducciones a escala de La Gioconda tiene 7 cm de largo. Aproximadamente, ¿cuánto mide el ancho de la reproducción?

b. Un cartel publicitario tiene una imagen ampliada de La Gioconda. Si la razón de semejanza de la ampliación respecto de la original es de 5,6, ¿cuál es el área de la reproducción?


3Unidad

5. Rocío sacó una fotocopia en ampliación y una en reducción de una bandera triangular. En la figura original, los lados de la bandera miden 8 cm, 9 cm y 12 cm. En la reducción, el lado correspondiente al de 8 cm mide 6 cm, y en la ampliación, el lado correspondiente a ese mismo segmento mide 16 cm.

a. ¿Cuál es la medida de cada lado de los 2 triángulos obtenidos?

b. ¿Cuál fue el porcentaje de reducción y de ampliación que aplicó Rocío?

6. Determina la altura del faro si AB es su sombra a las 9:00 y AD es la sombra del poste de 6 m de alto, a la misma hora.

C

B30 m10 m D

E

A


a. Los perímetros de dos triángulos isósceles y semejantes son 48 cm y 600 mm. Si el lado desigual del triángulo mayor mide 25 cm, ¿cuánto miden los otros lados de este triángulo y los tres lados del triángulo menor?

b. Si la razón de semejanza de dos triángulos rectángulos semejantes es de 1,8, ¿en qué razón se encuentran sus perímetros? ¿Y sus áreas?

c. A una fotografía de 13 cm de ancho por 20 cm de alto se le saca una ampliación en la que el alto mide 50 cm. ¿Cuánto mide el ancho de la fotografía ampliada?

d. La distancia real entre dos ciudades es 250 km. ¿A qué distancia deben encontrarse en un mapa hecho a escala 1 : 2 000 000?


Tema 4: Semejanza

Criterios de semejanza

1. Considera que todos estos triángulos son isósceles, CD es bisectriz de BCA y DE, BF y FG son bisectrices de FDB, DBC y EFD, respectivamente.

a. ¿Cuáles triángulos son semejantes al triángulo ABC? ¿Por qué?

b. ¿Cuáles triángulos son semejantes al triángulo BCF? ¿Por qué?

2. A partir de la figura, demuestra que ∆OPQ ~ ∆RPS.

a. ¿Cuál es la razón de semejanza de los triángulos?

b. Si m(POQ) = 65º y m(SPR) = 45º, ¿cuánto mide RSP?

3. En el triángulo ABC de la figura, P, Q y R son los puntos medios de los segmentos AB, AC y BC, respec-tivamente. Demuestra que ∆RQP ~ ∆ABC.

4. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifica las falsas.

a. Si dos triángulos rectángulos tienen uno de sus ángulos agudos congruentes, entonces son semejantes por criterio AA.

b. Para que dos triángulos sean semejantes según el criterio LLL, debe cumplirse que sus lados correspondientes sean congruentes.

F

E

C

BD

A 36°

G

Q

S

PRO

2 cm

10 cm

12 cm2,4 cm

Q

C

B

A

R

P


3Unidad

Teoremas de Euclides1. En la figura, el polígono ABCD es un rectángulo, tal que AC es perpendicular a FG. Demuestra que el

área del rectángulo es igual a DF • AD • AB • BG .

2. Una parcela rectangular que mide 150 m de ancho y 250 m de largo es cruzada diagonalmente por un río. Su dueño necesita construir una casa en uno de los vértices del terreno, además de un puente sobre el río. Si desea que el puente esté lo más cercano posible a su casa:

a. ¿En qué punto sobre el río lo construirá? Márcalo en el dibujo.

b. ¿A qué distancia de su casa estará el puente?

3. La medida de la diagonal de un rectángulo mide 34 cm y sus lados están en razón 15 : 8. ¿Cuál es el área del rectángulo?

4. En un triángulo rectángulo, una altura interseca a la hipotenusa, definiendo dos segmentos de longitudes 25 cm y 4 cm. ¿Cuál es la longitud de la altura?

5. Si los cables que sostienen la antena forman un ángulo recto entre ellos, ¿cuánto mide cada cable?

9 m 16 m

A

B

GCF

D



1. El número π se define como la razón:

A. Entre el perímetro de un círculo y su diámetro.

B. Entre el perímetro de un círculo y su radio.

C. Entre el diámetro de un círculo y su perímetro.

D. Entre el radio de un círculo y su diámetro.

2. En la figura AB = 5 cm y AC = 10 cm. ¿Cuánto mide el arco CB?

A. 5π cm

B. 53

π cm

C. 103

π cm

D. Falta información.

3. El radio basal y la altura de un cono recto miden, respectivamente, 5 cm y 12 cm. ¿Cuál es el área del manto de este cono?

A. 65π cm2

B. 90π cm2

C. 180π cm2

D. 200π cm2

4. ¿Cuál es el área de la región pintada?

A. 16π cm2

B. 2π cm2

C. 4π cm2

D. 8π cm2

5. Si en un cono recto la altura mide 4 cm y su ge-neratriz mide 5 cm, ¿cuál es su volumen?

A. 37,68 cm3

B. 47,1 cm3

C. 113,04 cm3

D. 141,3 cm3

6. ¿Cuál es el volumen de un cono si el diámetro basal mide 18 cm y su altura 25 cm? Usa π ≈ 3,14.

A. 236 cm3

B. 1 413 cm3

C. 2 120 cm3

D. 8 478 cm3

7. La siguiente figura está formada por un triángu-lo equilátero y un semicírculo de 21 cm de radio.

¿Cuál es su perímetro? Considera π ≈ 227

.

A. 108 cm

B. 132 cm

C. 140 cm

D. 150 cm

8. El volumen de un cono recto es 1 004,8 cm3 y su área basal es 200,96 cm2. ¿Cuánto mide su altura?

A. 15 cm

B. 5 cm

C. 1,7 cm

D. 45 cm

9. La figura está hecha con tres sectores circulares. ¿Cuál es su área (aproximada a un decimal)? Considera π ≈ 3,14.

A. 78,5 cm2

B. 157,5 cm2

C. 235,5 cm2

D. 314,5 cm2

10. Si el radio del cilindro recto mide 10 cm y su altura mide 24 cm, ¿cuánto mide el área total del cono recto?

A. 62,8 cm2

B. 816,4 cm2

C. 1 130,4 cm2

D. 2 135,2 cm2

CA

B

O

45°8 cm

10 cm



3Unidad

11. En la siguiente figura, m // n // r. ¿Cuál es el valor de x?

A. 3,75 cm

B. 5,25 cm

C. 4,70 cm

D. 3,25 cm

A D

E xm

n

rF4 cm 5 cm

3 cmB

C

12. En la figura, AC = 14 cm, AE = 21 cm y AD : DE = 4 : 3. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. DB : EC = 4 : 3

II. AD + BC = 18 cm

III. DB = 80 cm

A. Solo I.

B. Solo I y II.

C. Solo II y III.

D. I, II y III.

13. En la figura, el triángulo A'B'C' corresponde a la imagen resultante luego de aplicar una homotecia con centro en O al triángulo ABC. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es o son verdaderas?

I. La razón de homotecia es 15.

II. El área de ∆ABC es 12 cm2.

III. La longitud de A'C' es 9 cm.

A. Solo III.

B. Solo I y II.

C. Solo I y III.

D. I, II y III.

14. En el rectángulo de la figura, a : b = 4 : 3 y la diagonal BD mide 10 cm. ¿Cuánto mide AE?

A

D

Eb

a B

CA. 4,2 cm

B. 4,8 cm

C. 6,3 cm

D. 8,2 cm

15. Un segmento AB de 27 cm de longitud está dividido interiormente por un punto P en la razón 6 : 3. ¿Cuáles son las longitudes de los segmentos AP y PB?

A. AP = 3 cm y PB = 6 cm.

B. AP = 9 cm y PB = 18 cm.

C. AP = 6 cm y PB = 3 cm.

D. AP = 18 cm y PB = 9 cm.

A B

D

E

C

OA

C

B

B'

15 cm

12 cm

5 cm

A'

C'



16. La medida de la altura de un cono recto es igual al triple del radio basal. ¿Cuál es su volumen?

A. 13 π r3

B. π r3

C. 3π r3

D. 9 r3

17. La altura de un cono mide 5 cm. Para que su volumen sea 50π cm3, ¿cuánto debe medir su radio basal, aproximadamente?

A. 4,52 cm

B. 5,48 cm

C. 6,23 cm

D. 12,46 cm

18. ¿Cuál es el volumen comprendido entre el cubo y el cono de la figura, aproximadamente?

10 cm

10 cm10 cm

A. 738 cm3

B. 821 cm3

C. 684 cm3

D. 261 cm3

19. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A. Todos los rectángulos son semejantes.

B. Las figuras que tienen el mismo tamaño pero distinta forma son consideradas semejantes.

C. Dos círculos de diferente radio no son semejantes.

D. Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

20. Un punto P divide interiormente al segmento AB, donde AB = 12 cm. Si AP : PB = 1 : 3, ¿cuánto mide AP?

A. 3 cm

B. 4 cm

C. 6 cm

D. 8 cm

21. Los pentágonos regulares ABCDE y FGHIJ son semejantes y el perímetro de FGHIJ es 84 cm. Si la razón entre las medidas de HI y CD es 1 : 4, ¿cuál es el perímetro del pentágono ABCDE?

A. 21 cm

B. 84 cm

C. 105 cm

D. 336 cm

22. Un segmento AB de 7 cm está dividido interior-mente por un punto P en la razón 2 : 3. ¿Cuál es la longitud de AP y PB, respectivamente?

A. 1,4 cm y 4,2 cm

B. 1,4 cm y 2,8 cm

C. 2,8 cm y 4,2 cm

D. 2,8 cm y 7 cm

23. A cierta hora, un árbol que mide 5 m proyecta una sombra de 7 m. A esa misma hora, otro árbol proyecta una sombra que mide 16 m. ¿Cuánto mide su altura?

A. 2,2 m

B. 10,5 m

C. 11,4 m

D. 22,4 m

24. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden respectivamente 9 cm y 16 cm, ¿cuánto miden los catetos?

A. 15 cm y 20 cm.

B. 10 cm y 15 cm.

C. 6 cm y 8 cm.

D. 20 cm y 25 cm.

25. En un plano del colegio, la distancia entre el casino y la biblioteca es de 8 cm. Si la distancia real entre dichos lugares es 200 m, ¿cuál es la escala del plano?

A. 1 : 20

B. 1 : 250

C. 1 : 2 500

D. 4 : 100


3Unidad

26. ¿Qué características tienen dos polígonos que son semejantes?

I. Los ángulos correspondientes son congruentes.

II. Los ángulos correspondientes son complementarios.

III. Los lados correspondientes son perpendiculares.

IV. Los lados correspondientes son proporcionales.

A. Solo I y III.

B. Solo II y III.

C. Solo I y IV.

D. Solo II y IV.

27. ¿Qué criterio de semejanza se puede usar para verificar que los dos triángulos son semejantes?

A. AA

B. LLL

C. ALA

D. LAL

5 cm 4 cm

15 cm

12 cm

10 cm

28. Si los triángulos de la figura son semejantes, ¿cuáles son los valores de x e y, respectivamente?

24 cm

20 cm30 cm

y xA. 20 m y 24 m

B. 25 m y 24 m

C. 20 m y 25 m

D. 25 m y 20 m

29. A partir de la figura, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta?

A. a2 + b2 = c2

B. h2 = p • q

C. h = a • bc

D. b2 = q • c

C

BAc

qp

hb a

30. En la figura, el área del triángulo ABC es 90 cm2 y AB // DE. ¿Cuál es el área del trapecio ABED?

B15 cmA

ED

CA. 12,5 cm2

B. 20 cm2

C. 25 cm2

D. 50 cm2


Uni

dad4 Probabilidad y estadística

Tema 1: Comparación de muestras

Relación entre dos variables cuantitativas1. Representa los siguientes datos como nube de puntos. Luego, determina si los puntos siguen algún

patrón o parecen ser distribuidos al azar.

a. {(2, 0), (11, 2), (4, 9), (5, 3), (9, 6), (10, 0), (3, 9)}

X

Yb. {(0, 0), (1, 2), (1, 4), (6, 6), (8, 7), (11, 1), (0, 1)}

X

Y

2. Observa la siguiente gráfica de dispersión y luego responde.

22313,03

46,12

79,22

112,31

145,40

317 410 504 597

a. Traza en el diagrama la recta que tú crees que representa mejor la media de los datos.

b. Identifica los puntos que corresponden a puntos aislados o atípicos, encerrándolos en un círculo.

c. ¿En qué sector del diagrama se concentran, si es que existen, los puntos aislados o atípicos?

d. De acuerdo a lo hecho en las partes anteriores, ¿qué puedes concluir?

69Unidad 4 • Probabilidad y estadística

4Unidad

3. Un estudio busca evidenciar que existe una relación entre la temperatura y lo que una persona gasta calefaccionando su casa. Para ello, fue todos los días de un mes de invierno a preguntar cuánto había gastado en calefacción el día anterior y con ello obtuvo la siguiente gráfica de Temperatura vs Gasto. De acuerdo a la gráfica.

a. ¿Crees que existe alguna relación entre la temperatura y al gasto? Explica.

b. Representa mediante una recta esta relación, si es que existe.

$

T°

4. Observa los diagramas de dispersión, luego traza, en cada uno, la recta que mejor lo represente.

Y

XY

XY

X

Y

XY

XY

X

A

B

C F

E

D

a. Identifica en cuáles de los gráficos se tiene algún grado de correlación.

b. Identifica en cuál de los gráficos se observa alguna relación pero no es lineal.

c. ¿Algunas de las gráficas parecen ser completamente aleatorias?



Relación entre dos variables cualitativas1. En la siguiente tabla se cuentan las preferencias entre mascotas, según la zona de Chile donde viven.

Completa la tabla si las personas que prefieren a los perros son 15, en la zona centro viven 12 personas y la cantidad total de personas encuestadas es 40.

Perro Gato Loro

Norte 3 9

Centro 7

Sur 8 4 1

2. Pregunta a 10 de tus compañeros o compañeras cuántos hermanos tiene.

a. Completa la tabla con las respuestas de tus compañeros o compañeras.

Tiene 2 o menos hermanos Tiene más de 2 hermanos

Hombre

Mujer

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una compañera tenga más de 2 hermanos?

c. ¿Cuál es la probabilidad que tu compañero(a) tenga dos o menos hermanos?

d. Repite la encuesta pero ahora preguntando a 15 y luego a 20 compañeros. ¿Cambian las probabilidades que calculaste antes? ¿Por qué?

3. Un hospital realizó un estudio donde encuestó a 500 pacientes que han sufrido un ataque cardíaco, y les preguntaron cuántos cigarrillos fumaba antes de su ataque y cuán grave fue. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.

Leve Moderado Grave Muy Grave

No fuma 40 10 15 5

0 a 7 cigarrillos 30 10 15 25



Más de 20 cigarrillos 0 10 45 70

a. ¿Cuántas personas tuvieron un ataque cardíaco leve?

b. ¿Cuántas personas fumaban más de 20 cigarrillos?

c. ¿Cuántas personas tuvieron un ataque cardíaco grave y fumaban entre 8 y 20 cigarrillos?

d. ¿Se observa alguna relación entre la cantidad de cigarrillos y la gravedad del ataque cardíaco?


4Unidad

4. En un centro de salud se quiso estudiar la relación entre la depresión y el tabaquismo de algunos de sus pacientes. La tabla muestra los resultados de una encuesta que se les realizó.

Tabaquismo Depresión

Sí No Sí No

1 ✗ ✗

2 ✗ ✗

3 ✗ ✗

4 ✗ ✗

5 ✗ ✗

6 ✗ ✗

7 ✗ ✗

8 ✗ ✗

9 ✗ ✗

10 ✗ ✗

Tabaquismo Depresión

Sí No Sí No

11 ✗ ✗

12 ✗ ✗

13 ✗ ✗

14 ✗ ✗

15 ✗ ✗

16 ✗ ✗

17 ✗ ✗

18 ✗ ✗

19 ✗ ✗

20 ✗ ✗

a. Construye una tabla de doble entrada para representar las frecuencias absolutas de los datos obtenidos por el estudio y otra con las frecuencias relativas.

b. ¿Cuántas personas sufren de tabaquismo? ¿Cuántas de depresión?

c. ¿Qué porcentaje de las personas que sufren depresión, también sufren tabaquismo?

d. ¿Es más probable que una persona que sufra de tabaquismo, sufra también de depresión, o no? Justifica tu respuesta.

e. ¿Dirías que el tabaquismo y la depresión tienen relación? Justifica tu respuesta.



Comparación de dos poblaciones1. En un hospital se registró la edad de 10 mujeres y 10 hombres que fueron atendidos y la cantidad de

consultas que cada uno hizo en el último año.

Mujer Edad Consultas Hombre Edad Consultas

1 10 7 1 11 5

2 15 6 2 13 3

3 18 2 3 17 1

4 23 0 4 25 0

5 48 1 5 37 1

6 64 8 6 43 1

7 81 12 7 84 9

8 37 2 8 67 7

9 40 1 9 38 2

10 45 1 10 29 1

a. Grafica –con distintos colores– los puntos que corresponden a la edad vs las consultas de mujeres y hombres.

Edad (años)

Cons

ulta

s 12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

010 20 30 40 50 60 70 80 90

b. ¿Qué conclusiones –la correlación, puntos atípicos, etcétera– puedes obtener a partir de la gráfica?


4Unidad

2. Se midió la glicemia a 10 hombres y 10 mujeres, pacientes de un consultorio. Los resultados de la medición se muestran en la tabla junto con la edad de cada uno.

Mujer Edad Glicemia Hombre Edad Glicemia

1 38 106 1 59 102

2 42 92 2 45 88

3 37 76 3 52 93

4 31 76 4 46 84

5 32 70 5 52 74

6 22 72 6 53 92

7 27 88 7 44 106

8 39 96 8 44 74

9 32 96 9 43 101

10 32 76 10 62 95

a. Compara la edad de cada grupo y luego la glicemia. Escribe tus conclusiones.

b. Grafica la relación Edad-Glicemia de hombres ( ) y mujeres ( ).

Edad (años)

Glic

emia 120

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

010 20 30 40 50 60 70 80 90

c. ¿Qué conclusiones sobre la relación Edad-Glicemia de hombres y mujeres (la correlación y puntos atípicos) puedes obtener a partir de la gráfica?


Tema 2: Propiedades de la probabilidadUnión e intersección de eventos1. Describe el espacio muestral en las siguientes situaciones.

a. Lanzamiento de tres monedas.

b. Lanzamiento de dos dados.

c. Lanzamiento de un dado y una moneda.

d. Se lanza una moneda: Si sale cara se lanza un dado y en caso de sello, se lanza nuevamente una moneda.

2. Si se tienen los dígitos {0, 1, 2, 3}, ¿cuántos números de tres cifras distintos se pueden formar:

a. sin repetir los números?

b. si se permite repetición?

3. Se encuestó a 50 niños, preguntando si les gusta leer o jugar, o ambos. Los resultados fueron que a 15 niños les gusta jugar y leer, a 40 les gusta jugar y a 25 les gusta leer.

a. ¿A cuántos niños les gusta jugar pero no leer?

b. ¿A cuántos niños les gusta solo leer?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que a un niño le guste leer?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que a un niño le gusten ambas actividades?

4. Si se lanza dos veces un dado y se registran los valores obtenidos en cada uno.

a. Describe el espacio muestral.

b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un par que sume 5?

c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un par que sume a lo más 5?

d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un par que sume más de 10 ?


4Unidad

5. En una universidad se requiere formar una comisión, y para ello realiza un concurso público solicitando 3 profesores de matemática, 2 de lenguaje y 3 de ciencias. Postularon 5 profesores de matemática, 3 de lenguaje y 3 de ciencias y luego de evaluados los candidatos, se determinó que todos son igualmente competentes y que se escogerá al azar quienes serán los contratados.

a. ¿Existe algún componente aleatorio en esta situación? ¿Cuál es?

b. Asigna una letra distinta a cada profesor, y determina todas las posibles combinaciones de profesores que pueden ser elegidos para el trabajo.

c. El conjunto que se describe en la parte anterior, ¿cómo se denomina?

d. Determina todas las formas de elegir a los profesores de matemática, de lenguaje y de ciencias, pero esta vez por separado.

e. ¿Se pueden obtener los eventos de la parte b. a partir de la unión y/o intersección de los eventos obtenidos en d. ?

6. Se encuestó a 50 personas acerca de sus preferencias por tres productos de aseo personal: A, B y/o C, y sus respuestas se resumen en el siguiente diagrama de Venn.

a. ¿Cuánto es el valor de X?

b. ¿Cuántas personas prefieren el producto A?

c. ¿Cuántas personas prefieren el producto A o C?

d. ¿Cuántas personas no prefieren el producto C?

e. ¿Cuál es el producto que más prefiere la gente?

7. Explica con palabras, en qué consisten los conceptos de:

a. Unión de eventos.

b. Intersección de eventos.

B10

92

5

7

12

X

C

A


Tema 2: Propiedades de la probabilidad

Reglas aditivas de la probabilidad1. A María se le entregan cuatro tarjetas con las letras A, N, C y E impresas en ellas, y se le pide que forme

una palabra con ellas (con o sin sentido). ¿Cuál es la probabilidad de que esta palabra:

a. empiece con la letra A?

b. empiece con la letra C o E?

c. empiece con la letra N o termine con la letra A?

d. empiece o termine con la letra C?

2. Supón que se lanza un dado no cargado de 6 caras y se consideran los siguientes eventos:

• A: Se obtiene un puntaje mayor o igual a 4. • B: Se obtiene un puntaje menor a 5.

a. Escribe los elementos de cada evento.

b. ¿Cuál es la probabilidad de cada uno? P(A) = P(B) =

c. Escribe el evento unión e intersección.

d. Calcula las siguientes probabilidades. P(A ∪ B) : P(A ∩ B) =

e. Comprueba que se cumple la propiedad P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

f. Observa qué sucede si no se considera el evento intersección en la expresión anterior y explica por qué se transforma en un absurdo.

3. En el diagrama, A, B y C denotan 3 eventos.

a. Al unir los eventos, ¿qué secciones en el diagrama se están contabilizando más de una vez?

b. Si quitamos los eventos contabilizados más de una vez, ¿qué evento se pierde?

c. En términos de las probabilidades de A, B, C, A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C y A ∩ B ∩ C, ¿cuánto es P(A ∪ B ∪ C)?

B

C

A

a eb

f

c

dg


4Unidad

4. Para un estudio de salud se entrevistó al azar a personas de una población y se midió su masa corporal. Algunos resultados se muestran en la tabla.

Género

Estado nutricional Hombres Mujeres Ambos géneros

Normal 22 6

Bajo peso 0 0

Sobrepeso 28 13

Obesos 19 17

Total 69 36

a. Completa la tabla.

b. ¿Cuántas personas fueron entrevistadas?

Responde las siguientes preguntas considerando que la muestra es representativa de la población.

c. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de la población sea obesa?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que el estado nutricional de una mujer sea Bajo peso o Normal?

e. ¿Cuál es la probabilidad de que el estado nutricional de un hombre sea Sobrepeso u Obeso?

5. Lee la situación y responde.

En una encuesta aplicada a 30 empresarios que asistieron a un foro internacional sobre nuevas tecnologías, se encontró que 15 de ellos hablaban español; 18, inglés; 8, español e inglés, y el resto no hablaba ninguno de los dos idiomas. Entre los 30 asistentes se sorteó una beca para un curso de actualización en tecnología.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona becada hable español?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada hable solo inglés?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada hable español o inglés?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada no hable inglés?



Reglas multiplicativas de la probabilidad1. Marca con un ✔ o una 8 si los siguientes pares de sucesos son dependientes o independientes, respec-

tivamente. Justifica tu respuesta.

a. De una baraja inglesa, extraer un as y sacar una carta roja.

b. De una baraja inglesa, extraer un corazón y sacar una carta roja.

c. En el lanzamiento de dos dados, obtener siete puntos y obtener dos números iguales.

d. En el lanzamiento de un dado, sacar un número primo y sacar un número menor que 3.

2. Un hombre asiste a una cita a ciegas y solo sabe que la persona tiene el cabello de color café claro. Al ingresar en el restaurante, observa que en tres mesas hay una persona, sin compañía, con esa caracte-rística, y escoge al azar a una de ellas, si no es su cita, escoge al azar entre las restantes. Dados los eventos:

• A: La primera elección es incorrecta. • B: La segunda elección es correcta.

¿Son independientes? ¿Por qué?

3. En un aeropuerto, la probabilidad de que un vuelo programado salga a tiempo es P(D) = 0,83; de que llegue a tiempo es P(A) = 0,82; y de que salga y llegue a tiempo es P(D ∩ A) = 0,78. Calcula la probabilidad de que un avión:

a. llegue a tiempo, dado que salió a tiempo.

b. haya salido a tiempo, dado que llegó a tiempo.

c. llegue a tiempo, dado que no salió a tiempo.

d. no haya salido a tiempo, dado que llegó a tiempo.

4. En el siguiente diagrama de un sistema eléctrico se detallan las probabilidades de funcionamiento de cada componente. Para que el sistema funcione, deben estar activas las componentes A, D, y al menos una de las componentes B y C. Si los componentes fallan de forma independiente, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?

A 0,95

B 0,97

C 0,8

D 0,9


4Unidad

5. En una urna hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Se extraen dos, una después de la otra, sin reposición para formar un número de dos cifras. Construye un diagrama de árbol con los posibles resultados y responde las siguientes preguntas.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el número que se obtenga termine en 3?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera cifra del número obtenido sea par y la segunda, impar?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que el número que resulte comience con un 1 o un 4 y termine con un número primo?

6. Daniel sortea entre sus cuatro amigos su juguete favorito. En una bolsa pone cuatro papelitos y solo uno está marcado como ganador. Cada uno irá sacando un papel, desde el de mayor edad hasta el de menor. El menor reclama a Daniel, diciendo que él tendrá menos probabilidad de ganar. ¿Está en lo cierto? Construye un diagrama de árbol, escribe las probabilidades y determina si quien reclama está en lo correcto.


Tema 3: Comportamiento aleatorioPaseos aleatorios y frecuencias relativas1. Marca con un ✔ o una 8 si las siguientes situaciones corresponden a un comportamiento aleatorio o no.

Justifica tu respuesta.

a. La elección de un camino de retorno a un lugar, si todos tienen la misma distancia.

b. Un concurso de elegir entre tres puertas, sin tener información.

c. El camino que recorre un perrito que se encuentra perdido en la ciudad.

d. La elección de la ropa a comprar por una persona.

2. Camila participa en un concurso de televisión en el que se juega a la ruleta, formada por 5 sectores iguales, donde podrá ganar $ 100, $ 500, $ 1 000, $ 10 000 o nada, respectivamente. Después de girar la ruleta, Camila debe lanzar una moneda: si sale cara gana el premio de la ruleta, si no, lo pierde. Camila tiene un registro con los resultados de girar la ruleta en los juegos anteriores.

a. Completa la tabla con las frecuencias relativas.

Resultado Nada $ 10 000 $ 50 000 $ 100 000 $ 1 000 000

Frecuencia 10 12 7 8 3

Frecuencia relativa

b. Describe el espacio muestral asociado al juego descrito.

c. Desarrolla el diagrama de árbol para el juego. Usa las frecuencias para asignar probabilidades.

d. Identifica en el diagrama de árbol el evento "Camila gana $ 100 000 o gana $ 1 000 000" y calcula su probabilidad.


4Unidad

3. Una muestra aleatoria de 200 adultos se clasifica en la tabla por género y nivel de educación.

Educación Hombre Mujer

Básica 38 45

Media 28 50

Superior 22 17

Supongamos que la muestra es representativa de una población.

a. Considera el siguiente experimento aleatorio: a una persona de la población se le pregunta su nivel educacional y se registra su género. ¿Es posible modelar la situación como un paseo aleatorio usando un diagrama de árbol? Si tu respuesta es afirmativa construye un diagrama de árbol utilizando la tabla anterior para asignar probabilidades. Si tu respuesta es negativa, justifícala.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea mujer?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona no tenga educación Superior?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea hombre con educación Media?

e. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona tenga educación Media o Superior?

f. Según otro registro, el 30 % de las personas con educación Superior seguirían estudios de perfeccionamiento; el 60 % de las personas con educación Media les gustaría realizar estudios universitarios; y el 80 % de las personas con educación Básica, quieren tener educación Media. A partir de esto, ¿cuál es la probabilidad de que una persona de la población sea un hombre que no quiera seguir estudiando más allá de su nivel educacional?


Tema 3: Comportamiento aleatorio

Paseos aleatorios y probabilidad1. Se lanza un dado. Si se obtiene un número par, se introduce una bolita verde a una urna vacía, y si se

obtiene un número impar, se introduce una bolita roja. Si esto se realiza 4 veces, entonces:

a. ¿Cuál es la probabilidad que en la urna se tengan dos bolitas de cada color?

b. Realiza un diagrama de árbol para el experimento.

c. Si ahora se extrae una bolita, ¿cuál es la probabilidad de que después de la extracción, las tres bolitas

restantes en la urna sean del mismo color?

2. Juan Pablo tiene tres monedas no equilibradas tales que las probabilidades de cara en las monedas 1, 2 y 3

son 13

, 34

y 15

, respectivamente. Juan Pablo lanza las monedas en ese orden.

a. Describe el espacio muestral asociado al experimento.

b. ¿Es distinto al espacio muestral que resulta en el caso de monedas equilibradas? Explica.

c. En el siguiente esquema, completa con sus probabilidades en cada uno de los pasos y luego, en los cuadros inferiores las probabilidades de cada uno de los eventos posibles.

C S

C

C S

S

C S

C

SC

S

SC


4Unidad

3. En una universidad se estudió la asistencia de los alumnos de cierta carrera y se concluyó que solo el 70 % de los estudiantes matriculados asiste a clases. Además, el 90 % de los que asisten a clases aprueban el curso, mientras que solo el 20 % de los alumnos que no asisten sí aprueba.

a. Desarrolla el diagrama de árbol correspondiente.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar un alumno al azar de esta carrera, sí haya aprobado el curso?

4. Se tiene una urna vacía y se lanza un dado honesto. Si en el lanzamiento del dado se obtiene uno o dos puntos, se introduce a la urna una bolita verde, y en caso de obtener tres o más puntos, se introduce una bolita roja. Supón que este experimento se realiza 4 veces.

a. Realiza un diagrama de árbol para representar la situación.

b. ¿Cuál es la probabilidad que en la urna se tengan dos bolitas de cada color después de los cuatro lanzamientos?

c. Si después de los cuatro lanzamientos una persona extrae una bolita de la urna, ¿cuál es la probabilidad de que las tres bolitas restantes sean del mismo color?



1. Al sacar una carta al azar de un naipe inglés, ¿cuál es la probabilidad de que sea 10 y roja?

A. 12

B. 113

C. 152

D. 126

2. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados (no cargados), la suma de los valores ob-tenidos sea mayor o igual que 9?

A. 118

B. 518

C. 16

D. 46

3. Una urna contiene 8 bolitas verdes, 3 rojas y 9 negras. Si se extraen 3 bolitas al azar, sin reposi-ción, ¿cuál es la probabilidad de que las 3 sean negras?

A. 120

B. 920

C. 795

D. 320

4. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos da-dos (no cargados), uno de ellos sea 4, si se sabe que la suma de los valores es 9?

A. 12

B. 14

C. 16

D. 34

5. Se lanza una moneda (no cargada) 200 veces, de las cuales en 105 se obtuvo cara. Si se lanza una vez más, ¿cuál es la probabilidad de obtener nuevamente cara?

A. 1200

B. 1400

C. 105200

D. 12

6. En una granja hay 52 animales, entre vacas y chanchos. Si se sabe que la frecuencia relativa de vacas es 1

4, ¿cuántos chanchos tiene la granja?

A. 10

B. 13

C. 52

D. 39

7. De las siguientes situaciones, ¿en cuál no se pue-de asegurar su ocurrencia con certeza?

A. Escoger un número natural y que este sea positivo.

B. Nacer en un mes que tenga entre 27 y 32 días.

C. Lanzar un dado y obtener un número entero positivo.

D. Lanzar dos dados y que el producto de los valores sea menor que 36.

8. Se tiene una bolsa con bolitas numeradas del 1 al 25, todas de igual peso y tamaño. Si se extrae una al azar, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número par?

A. 45

B. 325

C. 1225

D. 125

9. En el siguiente gráfico, ¿qué se puede concluir?

A. No existe correlación lineal.

B. Existe correlación lineal.

C. Existe agrupamiento.

D. Existe relación exponencial.



4Unidad

10. A partir del gráfico de barras, que corresponde a los colores que escogen los alumnos de un curso para una polera, ¿cuál es la frecuencia relativa del color azul?

Negro

3

5

7

Azul Verde Rojo

A. 115

B. 14

C. 145

D. 19

11. El letrero luminoso de un negocio se dañó y ahora muestra solo cuadrados blancos y grises, como se ilustra en la figura. ¿Cuál es la frecuencia relativa de los cuadrados grises?

A. 14

B. 18

C. 732

D. 764

12. Si se extraen, sin reposición, dos cartas al azar de un naipe inglés, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean de diamante?

A. 12

B. 14

C. 110

D. 117

13. En el siguiente gráfico, ¿qué se puede concluir?

Y

X3

5

7

9

11

13

1516

4

6

8

10

12

14

17

86 10 12 1454 97 11 13 15 16

A. No existe correlación.

B. Existe correlación lineal.

C. Existe agrupamiento.




14. Los siguientes datos corresponden a las tempe-raturas registradas durante 15 días en una cierta ciudad. ¿Cuál es la frecuencia relativa de la tem-peratura más baja?

4 6 12 4 1

4 1 4 6 2

11 12 2 1 13

A. 45

B. 15

C. 1215

D. 115

15. Observa el siguiente gráfico.

Colegio B

Colegio A

00

40

20

60

90

10

50

80

30

70

100

21 3 4 5

Punt

aje

Horas de estudio

Test de Matemática

¿Qué afirmación es correcta?

A. Los alumnos del colegio A tiene mejor rendimiento en menos horas de estudio.

B. Los alumnos del colegio B tiene mejor rendimiento en menos horas de estudio.

C. La relación entre horas de estudio y puntaje del test no sigue tendencia alguna.

D. No existen puntos aislados en la relación horas de estudio y puntaje.

16. Si en un monedero se tienen 2 monedas de $ 500, 5 de $ 100 y 7 de $ 50, ¿cuál es la probabilidad de que al extraer 2 monedas al azar se obtengan $ 600?

A. 20196

B. 10196

C. 20182

D. 10182

17. En la siguiente tabla, se muestra la cantidad de trabajadores de un colegio según rango de edad. Si se selecciona una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ella tenga menos de 39 años?

Edad Cantidad

Entre 17 y 25 años 13



Más de 55 años 9

A. 1940

B. 12

C. 2580

D. 516

18. Para un concurso, se tiene una bolsa con 15 bo-litas numeradas del 1 al 15. El participante saca una bolita al azar de la bolsa: si es un número par deja la bolita a un lado y vuelve a sacar; si saca un número primo mayor que 7 entonces gana y en otro caso pierde. Con estas reglas, ¿cuál es la probabilidad de que el participante pierda en la tercera extracción?

A. 113

B. 265

C. 665

D. 213


4Unidad

Lee la situación y responde los ítems 19 y 20.

Dos equipos, A y B, se enfrentan en un campeonato de tenis de mesa. Cada equipo presenta tres jugadores y cada uno tiene la posibilidad de jugar hasta tres partidos. Triunfa el primer equipo que gane cinco partidos. Cada jugador de cada equipo tiene la misma probabilidad de ganar un partido.

19. ¿Cuántos partidos como máximo se podrían jugar hasta que uno de los dos equipos triunfe?

A. 5

B. 7

C. 8

D. 9

20. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo A gane en los primeros 6 encuentros?

A. 12

B. 132

C. 564

D. 116

Lee la situación y responde los ítems 21 al 23.

Para la final del campeonato de tenis de mesa solo juegan dos jugadores por equipo. El equipo 1 presenta los jugadores A y B, y el equipo 2, los jugadores C y D. El jugador A tiene una probabilidad de 0,6 de ganar al jugador C y 0,7 de ganar al D. El jugador B tiene una probabilidad de 0,3 de ganar al jugador C y 0,4 de ganar al D. Es campeón el primer equipo que gana tres partidos. En el caso de que ambos equipos ganen dos partidos se juega un partido de dobles.

El orden de los partidos es el siguiente: A v/s D, A v/s C, B v/s C, B v/s D y dobles.

21. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo 1 gane en los primeros tres partidos?

A. 0,9

B. 0,21

C. 0,42

D. 0,126

22. ¿Cuál es la probabilidad de que gane el equipo 2 en los primeros tres partidos?

A. 0,084

B. 0,12

C. 0,21

D. 0,28

23. ¿Cuál es la probabilidad de que se juegue el dobles?

A. 0,5

B. 0,856

C. 0,7128

D. 0,1432

SolucionarioUnidad 1: Números


Números racionales (Páginas 6 y 7)

1. a. ∉b. ∉

c. ∈d. ∈

e. ∈f. ∉

g. ∈h. ∉

i. ∈

2. a. es b. puede ser c. no es d. puede ser

3. a. 1825

b. 718

c. 1716

d. 389

e. 5099

f. 216999

= 837

g. 411

h. 4125

i. 1415

4. Respuestas variadas, por ejemplo:a. 1,2

b. –3,095

c. 1,4

d. –170,548

e. 0,024

f. 8,993

5. a. Infinito periódico.b. Infinito semiperiódico.

c. Racional.d. Decimal finito

6.

Números racionales

Fracciones Decimales

Finitos Infinitos

Periódicos Semiperiódicos

7. a. F. Es un número decimal infinito sin período.b. F. También puede ser infinito periódico o semiperiódico. Por ejemplo,

13

= 0,3333333…

c. F. En una fracción el denominador nunca puede ser 0.d. F. Esto sucede solo en fracciones con el mismo denominador. e. F. Si son decimales infinitos pero no periódicos ni semiperiódicos, no son

números racionales.f. V

Adición y sustracción de números racionales (Páginas 8 y 9)

1. a. a = b = 14

c = 116

d = 18

e = 116

f = 18

g = 18

b. a + c = 516

a + g = 38

f + e = 316

b + d – e = 516

2. a. 179

= 1,8

b. –3145

= –0,68 c. 24190

= 2,67 d. 512

e. 0,95 f. 6,1

3. Respuesta variada. Por ejemplo: 12

+ 16

, o bien 13

+ 13

, o también 14

+ 512

.

Existen infinitas posibilidades, las que pueden verse si se utilizan decimales.

4. a. Respuesta variada. Puede ser usando 4 de 12

kg con 1 de 14

kg, o bien 3 de

12

kg con 3 de 14

kg, o bien 2 de 12

kg con 5 de 14

kg, o bien 1 de 12

kg con

7 de 14

kg o incluso con 9 de 14

kg.

b. Respuesta variada. Puede ser usando 2 de 12

kg con 1 de 15

kg, o bien

6 de 15

kg.

5. a. 34

b. Sí, el peso de todos, con la tercera persona incluida, es de 291,1 kg.c. No, porque los terminó a las 18:05.d. 173,7 kg e. 2,2 L f. 20,5 km g. 3,25 L

6. a. Carolab. Jorge

c. 22,4 segundos.d. 11,4 segundos.

e. 0,8 segundos.

Multiplicación y división de números racionales (Páginas 10 y 11)

1. a. 32

b. –20189

c. –38

d. 2

e. 13

f. 283

2.

1

6 –24 –3

1–16

48 32

–16 –4

23

14

18

34

3256

1128

–18

–38

323

–132

124

– 43

– 12

3. a. Entre 0 y 1. Entre 1 y 2, respectivamente.b. Entre 0 y 1. Ya que en este caso el producto es menor que los factores. c. Sí. Ya que en este caso el producto es mayor que los factores.

4. Respuestas variadas, por ejemplo: –12 • 175

, o bien –35

• 415

, o también –15

• 45

.

Son infinitas posibilidades, si n es un número racional distinto de cero,

entonces –12n

y 175

n son infinitas fracciones cuyo producto es –1275

.

5. a. 50 jarrones.b. 1,5 kgc. 4 bebidas de 1,5 L.d. 21 bolsas.e. Largo: 288,18 pulgadas; ancho 96,06 pulgadas.f. 62 mg

g. A María Isabel le faltan 410 km por recorrer.

6. a. 1,5 kgb. 0,45 kg de canela molida.c. 1,5 kg de coco rallado.

d. $ 37 800e. 1,25 kg

Propiedades de la adición y multiplicación de números racionales (Páginas 12 y 13)

1. a.

ab

cd

ef

inverso deab + c

dcd + a

bab


ab + d– ab n a

b + 0ef

cd

47

18

– 34

52

– 43

78

ab

cd

ef

inverso deab

• cd

cd • ab

dab

• cdn • e

f a

b • dcd • ef n

ab • 1 e

f • 0ab

cd

12

– 34

56

25

52

– 34

–43

3956

3956

–356

–356

4924

4924

–34

87

76

76

52

478 0

0

b.

ab

cd

ef

inverso deab + c

dcd + a

bab


ab + d– ab n a

b + 0ef

cd

47

18

– 34

52

– 43

78

ab

cd

ef

inverso deab

• cd

cd • ab

dab

• cdn • e

f a

b • dcd • ef n

ab • 1 e

f • 0ab

cd

12

– 34

56

25

52

– 34

–43

–38

–38

–516

–516

–34

–34

52

25

25

128

1 1

0

0

2. a. =b. =

c. =d. =

e. =f. =

g. =h. =

i. =j. =

3. Respuesta variada, por ejemplo:

Con n = 1 queda 11

= 12

+ 12

lo cual es cierto.

Con n = 2 queda 12

= 13

+ 16

lo cual es cierto.

La fórmula es correcta porque

1(n + 1)

+ 1(n(n + 1))

= 1(n + 1)

• d1 + 1nn = d 1

n + 1n • d n + 1

nn = 1

n 4. a. C

b. Fc. Ed. D

e. Af. B


5. Respuestas variadas, por ejemplo

a. 23

> 13

> 14

> 15

b. 143

< 33

< 94

< 152

c. 316

< 13

< 12

< 79

d. 41 000

< 3910 000

< 195 000

< 3710 000

e. – 194

< – 235

< – 179

< – 215

f. – 37

> – 920

> – 510

> – 815

g. – 134100

> – 1 3441 000

> – 1 3451 000

> – 1 3461 000

h. – 194

< – 2920

< – 75

< – 43

6. a. F. Contraejemplo: 32

• 53

= 52

y 52

es mayor que 32

y que 53

.

b. F. El elemento neutro para la adición de números racionales es el 0.

Contraejemplo: 23

+ 1 = 53

que no es 23

.

c. F. Contraejemplo: 0,3 • 3 = 1 y 1 no es un número decimal periódico.

d. V. Por ejemplo, 12

: 16

= 3 y 3 es mayor que 12

y que 16

.

e. V. Por ejemplo, 45

+ 13

= 1715

y 12

• 23

= 76

son todos números racionales.

Operaciones combinadas (Páginas 14 y 15)

1.

a b c a + b • c b + c : a 2b + c–2,4 1,08 3,8 1,704 –0,503 5,96

5,01 –8 0,32 2,45 –7,934 –15,68

1,4 8,5 –9,7 –81,05 1,571 7,3

–9 7,2 5,034 33,2445 5,522 19,434

2. a. El error está en que 0,16 = 1590

y no es 169

.

El desarrollo correcto es

(0,5 – 0,16) : 2,4 + 0,25 = d 59

– 1590n : 22

9 + 0,25

= 3590

• 922

+ 0,25

= 35220

+ 14

= 744

+ 14

= 922

b. El error es de agrupación de operaciones, – 12

+ 34

• 53

: 52

se interpretó como

d– 12

+ 34n • d5

3 : 5

2n , pero la interpretación correcta es – 1

2 + d3

4 • 5

3 : 5

2n

La resolución correcta es

–0,5 + 34

• 1,6 : 2,5 + 0,7 = – 12

+ 34

• 53

: 52

+ 79

= – 12

+ 12

+ 79

= 79

3. a. 150 millones

b. Océano Atlántico 740

Océano Pacífico 720

Océano Índico 750

Océano Ártico 7200

c. 175 millones

4. – 1100

5. a. 16 919,942 m2 b. 0,96 toneladas

6. a. 20566

b. 1613

c. –2 d. 2578

7. a. 17

b. 304 mL

Tema 2: Potencias

Potencias de base y exponente entero (Página 16)

1. a. F. Contraejemplo: 11 = 1b. V. Por ejemplo, (–2)3 = –8

c. V. Por ejemplo, (22)3 = 26 d. F. Contraejemplo: (–2)2 = 4

2.

a b (a + b)2 a2 + b2 (a + b)–2 a–2 – b–2

–2 3 1 13 1 0,139

–4 –6 100 52 0,01 0,035

2 5 49 29 0,02 0,21

a. No, porque dan resultados diferentes.b. No, porque dan resultados diferentes.c. Sí. Porque las potencias aplicadas a una suma o resta no se distribuye. No es

igual que sumar o restar las potencias.

3. Termina en 7. Porque toda potencia par de 4 termina en 6, y además es número positivo. Por otro lado, toda potencia par de 9 termina en 1. Luego, (–4)120 termina en 6 y 9200 termina en 1, por lo que (–4)120 + 9200 termina en 7.

Potencias de base racional y exponente entero (Página 17)

1. a. =b. >

c. =d. >

e. >f. >

g. =h. <

i. =

2. a. Figura 0: lado 13

Figura 1: lado 19

Figura 2: lado 127

b. El área de cada figura es 89

del área de la figura anterior, porque se le quita 19

a cada cuadrado que haya.

c. Figura 0: área 89

Figura 1: área d89n2 Figura 2: área d8

9n3

d. Figura 3: área d89n4

Figura 4: área d89n5 Figura 5: área d8

9n6

Multiplicación y división de potencias de base racional (Páginas 18 y 19)

1. a. d67n4

b. d25n9

c. 97

d. d49n5

e. 2–2

f. d– 53n5

g. 0,610 • 0,54

h. –d25n7

i. (0,8)4

j. d– 910n3

k. 3

l. 48

2.

a b a • b a : b

0,008 0,2 d15n

4

= 0,24 = 0,0016 d15n

2

= 0,22 = 0,04

0,125 0,5 d12n

4

= 0,54 = 0,0625 d12n

2

= 0,52 = 0,25

0,64 0,8 d45n

3

= 0,83 = 0,512 d45n = 0,8

0,0625 0,25 d12n

6

= 0,56 = 0,015625 d12n

2

= 0,52 = 0,25

0,55 0,252 d12n

6

= 0,56 = 0,015625 d12n

–2

= 0,5–2 = 4

a. Respuesta variada. Por ejemplo: Sí, porque es más fácil operar con potencias para multiplicar y dividir.

b. Respuesta variada. Por ejemplo: Con fracciones, porque es más fácil operar con fracciones y potencias para multiplicar y dividir.

c. Pregunta abierta.

3. a. V b. V

c. F. Se tiene d34n

6

• d72n

–6

• d149n

6

= 3–6 d. V

e. F. Se tiene d2

3n

2

d23n

–4 • d2

3n

–1

d23n

9 = d2

3n

–4

f. V

4. a. (1,2)6 b. 2 • 1,25 + 2 • 1,24 + 2 • 1,23 c. Aumenta 43 = 64 veces su volumen.d. Aumenta 53 = 125 veces su volumen.

Crecimiento y decrecimiento exponencial (Página 20 y 21)

1. a. 2 000 bacterias.b. 162 000 bacterias.

89Solucionario

Solucionario

c.

Tiempo (h) Bacterias (miles)

3 54

5 486

6 1 458

7 4 374

8 13 122

Cantidad de bacterias

Tiempo (h)1 2 3 4 5 6 7 8

2 000

6 000

12 000

4 000

10 000

8 000

14 000

00

2. a. 5,12 g de sal quedan sin disolver.b. Quedan 5 gramos sin disolver cuando han pasado más de 3 minutos.

3. a. 800 alumnos.b. 392 alumnos.

4. a. Alcanza 0,93 = 0,729 m de altura. b. 7 rebotes.c. Alcanza 34,9 cm en el décimo rebote.

5. a. 6,4 mgb.

Tiempo (h) Medicamento (mg)

3 5,12

4 4,096

5 3,2768

6 2,6214

7 2,0972

Med

icam

ento

(mg)

Tiempo (h)1 2 3 4 5 6 7 8

1

3

6

2

5

4

00

c. Después de 7,2 horas.

Preguntas de selección múltiple (Páginas 22 a la 25)

1. D

2. C

3. D

4. C

5. B

6. A

7. D

8. A

9. B

10. A

11. B

12. C

13. C

14. B

15. A

16. B

17. D

18. D

19. D

20. C

21. B

22. B

23. B

24. C

25. D

26. A

27. A

28. D

29. C

30. C

31. B

Unidad 2: Álgebra y funciones


Cuadrado y cubo de un binomio (Páginas 26 y 27)

1. a b (a + b)2 a2 + b2 a2 + 2ab + b2 (a – b)2 (b – a)2

2 1 9 5 9 1 1

–3 4 1 25 1 49 49

–4 –2 36 20 36 4 4

–2 –5 49 29 49 9 9

a. Respuesta variada. Por ejemplo, el cuadrado de una suma no es la suma de los cuadrados, hay que sumar también el doble del producto de los sumandos, con el signo que tengan.

b. Respuesta variada. Por ejemplo, el cuadrado de una resta no cambia con el orden en que se reste, es decir, el resultado del cuadrado es el mismo aunque se cambie el signo de lo que se eleva al cuadrado.

2. a. ✔ 4y2 – 28y + 49b. ✔ x4y2 – 4x2y3 + 4y4

c. ✔ 25b2 + 20bx + 4x2

3. a. 4x6 – 24x4 + 36x2

b. x2a2 – 2xa + 1c. 9x2 + 12a2x + 4a4

d. 27a3 – 54a2 + 36a – 8e. 64a3 + 240a2b + 300ab2 + 125b3

f. a6b6 + 3a5b6 + 3a4b6 + a3b6

4. No, porque en el caso de las potencias impares, mantienen el signo de la base, luego (a + b)3 y (–a – b)3 tienen signos opuestos.

5. a. (50 + 1)2 = 2 500 + 100 + 1 = 2 601b. (1 000 – 3)2 = 1 000 000 – 6 000 + 9 = 994 009c. (80 + 2)3 = 512 000 + 38 400 + 960 + 8 = 551 368d. (1 000 – 6)3 = 1 000 000 000 – 18 000 000 + 108 000 – 216 = 982 107 784

6. a. D b. E c. A d. F e. B f. C g. G

7. a. 6bb. 25

c. 54p2q2, 8q6

d. 5n, 14e. 9a2

f. 28xyg. 9a2bh. 48x2y

8. a. 2x2 + 18b. 2xy2 – 5x2y – y3

c. –81a3 + 81a2b + 4a2 – 7ab2 + 25b4 + 3b3

d. –18m2n – 54n3

9. a. (5y2 + 20y + 20) cm2 b. (y3 + 6y2 + 12y + 8) cm3

Suma por su diferencia y producto de binomios con un término en común (Página 28 y 29)

1. a. x2 – 4y2 b. a4 – b4

c. 9x2 – 1 d. 16m2n2 – n4

e. 4x6 – 36x2 f. y2z2 + 2yz2 + z2 – 9

2. a. 9 996b. 396

c. 39 100d. 999 991

3. a. C b. A c. E d. B

4. a. x2 – 21x + 108b. 36a6 + 72a3 + 35

c. 49a2x2 – 35ax – 6d. 25a4 – 115a2 + 60

5. a. 2,21 b. 45 795 c. 276 d. 30 600

6. x + a x + b a + b ab x2 + (a + b) + abx + 3 x + 2 5 6 x2 + 5x + 6

x – 2 x – 5 –7 10 x2 – 7x + 10

x + 6 x – 3 3 –18 x2 + 3x – 18

x + 7 x – 5 2 –35 x2 + 2x – 35

7. a. Corresponden a la suma y la diferencia de dos términos algebraicos.b. a2 – b2 el primero y 4x2 – 4y2, el segundo.

8. a. (25a2 – 49) m2 b. 51 m2

9. a. 8a3 + 36a2 + 54a + 27b. La arista mide 11 cm y el volumen es de 1331 cm3.

10. a. 2x2 + 5x +2b. 3x2 + 4x + 1

c. 2x2 + 7x + 6d. 5x2 +17x + 6


Factorización por un factor común (Página 30)

1. a. (x + 1)(a + b + c)b. ax + bx + cx + a + b + c

2. a. ✔ b. ✔ c. 8, a(4b – 3) d. 8, m(m + 2)


3. Respuesta variada. Por ejemplo, la mejor es 6x(x – 4) porque x no tiene factores comunes con 4.

4. El error ocurrió al evaluar 2 • 4 • 27 como 218 pero es 216. La respuesta correcta es: 4(–2)3(3)2 – 2(–2)2(3)3 + 5(–2)(3) = 4(–8)9 – 2(4)(9) + 5(–2)(3) = –288 – 216 – 30 = –534

5. a. (x – 3)(y + 1)b. (a + c)(b – 1)

c. (m + 1)(a – c)d. (1 – b)(1 + 2a)

e. (a – 1)(a + 1)f. (m – 1)(n – 2)

Factorización mediante productos notables: binomios (Página 31)

1. a. Error de signo en la fórmula, debe ser (6m + 11) (36m2 – 66m + 121).b. Error de signos, debe ser (4 – 5n2)(25n4 + 20n2 + 16).c. Error de fórmula y de signos, debe ser (y + 12)(y2 – 12y + 144).d. Error de signo en fórmula, debe ser (1 – 10m)(1 + 10m + 100m2).

2. a. (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)b. (ab – n)(a2b2 + abn + n2)c. (1 – 2ab)(4a2b2 + 2ab + 1)d. (5m2 – 7n)(25m4 + 35m2n + 49n2)e. (3x2y + 2x)(9x4y2 – 6x3y + 4x2) f. 8(4t2 – m)(m2 + 4mt2 + 16t4)

g. (y3 – y)(y6 + y4 + y2) o bien y3(y2 – 1)(y4 + y2 + 1)h. (x4 + y4)(x8 – x4 y4 + y8)

3. a. 4 años.b. Los números suman 16.c. 10 m

4. a. Es incorrecto su razonamiento, también es suma de cubos.b. Sí se puede factorizar.c. 64a12 + 1 = (4a4)3 + 13 = (4a4 + 1)(16a8 – 4a4 + 1)

Factorización mediante productos notables: trinomios (Páginas 32 y 33)

1. a. ✔ 2(12x2y4 + 5x2y + 50x) y también x(24xy4 + 10xy + 100). b. La única que no es una factorización correcta es 36a3b4(1 + 2a3b2 – 2ab2)

2. a. C b. B c. D d. A e. F f. E

3. El ancho aumentó 2 metros (y el largo 3 metros).

4. a. (x – 3y)2

b. (ab – 5)2

c. (9a – 2b)2

d. (2m + 5)2

e. (3m + 4n5)2

f. (2b – 5ac)2

g. (17a + 2bc)2

h. (p6 + 8q4)2

5. a. 14x + 12 b. 14x – 4

6. a. Laura se equivoca en paso 2. Ricardo se equivoca en paso 3.b. (3y – 5x + 7)(3y + 5x – 7)

7. El largo aumenta 2 cm y el ancho aumenta 4 cm.

8. a. +4a2

b. +x2y2

c. +x4

d. +4m3n e. +9p2q2 f. +wz

9. a. B b. D c. E d. C e. A


Ecuación lineal de dos incógnitas(Página 34)

1. a. ✔ b. 8 c. 8 d. ✔

2. Respuestas variadas, por ejemplo:a. x + 2y = 12. Una solución: x = 2, y = 5, otra solución: x = 0, y = 6.b. x + y = 5 000. Una solución: x = 2 500, y = 2 500, otra solución x = 2 000,

y = 3 000.c. a + b = 180. Una solución: a = 90, b = 90, otra solución: a = 100 b = 80.d. 8a + 10v = 10 500. Una solución: a = 600, v = 570, otra solución: a = 500,

v = 650.

3. a. 18x = 15(x + 3 000)b. Por el bus se cobró $ 270 000. c. La cuota original era $ 15 000.

4. a. No, porque si todos los autos tiene 4 ruedas, 20 autos son 80 ruedas, más que la cantidad de ruedas del enunciado.

b. No puede haber 10 motos porque tendrían 20 ruedas, y de las 78 ruedas habrían 58 de auto, pero 58 debiera ser múltiplo de 4 y no lo es (porque cada auto tiene 4 ruedas. Sí, puede haber 11 motos, porque tendrían 22 ruedas, y de las 78 ruedas habrían 56 ruedas de auto, y 56 = 4 • 14, de modo que habría 14 autos.

c. Hay 19 soluciones posibles:

Motos 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1Autos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas (Página 35)

1. a. En el caso de Pilar, x es la cantidad de monedas de $ 100 e y es la cantidad de monedas de $ 500. En el caso de Mario, x es el valor total en pesos de las monedas de $ 100 e y es el valor total en pesos de las monedas de $ 500.

b. Hay 20 monedas de $ 100 y 13 monedas de $ 500.

2. a. Vb. F. Es compatible si tienen un punto en común, o bien, infinitos.c. V. Aunque también puede calcularse el determinante del sistema, por

ejemplo.d. F. Es posible que no tenga solución.

3. a. ✔b. 8c. ✔d. ✔

Métodos de resolución: igualación, sustitución, reducción y Cramer (Páginas 36 a la 39)

1. a. x = –6, y = 2 b. x = 1, y = 2c. x = 1, y = 9d. x = 8, y = –4

2. a. x = 5, y = 2 b. x = 2, y = 2c. x = 3, y = 8d. x = –2, y = –9

3. a. x = 12, y = –4b. x = 2, y = 3c. x = 10, y = 6 d. x = –1, y = 0

4. a. x = 9, y = –3 b. No tiene solución.c. x = –5, y = –6d. x = 3, y = 2

5. a. Solución única x = 1, y = 1b. Solución única x = 10, y = 10c. Infinitas solucionesd. Solución única x = 2, y = –1

6. a. Son 2 adultos y 4 niños.b. Hay 58 gallinas y 25 conejos.c. Cada moneda es de $ 500 y cada billete es de $ 2 000.d. Asistieron 40 adultos y 50 niños.e. Antonia tiene 6 años y Emilia tiene 12 años.f. La entrada para hombres cuesta $ 3 500 y para mujeres cuesta $ 3 000.

g. 2 amigos y 13 láminas.h. Por cada entrada de adulto Jorge pagó $4 500 y por cada entrada de niño

$ 3 000.i. Se utilizaron 20 botellas de cinco litros y 100 botellas de dos litros.j. Tamara ha ahorrado $ 160 000 y Sebastián, $ 90 000.

7. a. Vb. Vc. F. Son dos rectas paralelas distintas.d. F. (5, 3) no satisface a ninguna de las ecuaciones de B.e. F. El sistema B es incompatible.

8. a. Tuvo 35 respuestas correctas.b. No, porque no podría tener media respuesta correcta o incorrecta. Deben

ser números naturales.

9. 3 fresas, 5 guayabas y 4 naranjas.

91Solucionario

Solucionario

Tema 4: Relación entre dos variables

Relaciones lineales de la forma f(x, y) = ax + by (Página 40)

1.

x y f(x,y) = 2x + 0,75y 2 4 7

1 6 6,5

–2 2 –2,5

0 3 2,25

1,5 –4 0

2. a. y = d 43nx

b. y = d 43nx – d 8

3n

c. y = d 43nx – d 1

6n

d. y = d 43nx – 4

3.

1 2–3

1

–1

–3

Y

O X3–2 –1

2

–2

3

x y f(x,y) –1 4 1

–0,5 3 1

0 2 1

2 –2 1

3 –4 1

4. a. f(x, y) = 3x – 2y

b. f(x, y) = d3213nx + d 8

13ny

Variación de parámetros (Página 41)

1. a. Respuesta variada, por ejemplo:

1 2 4–3–6

1

–1

–3

–4

Y

O X3 5 6–2–5 –1–4

2

4

–2

3

5

b. 3x – 7y = 7 3x – 7y = –7 3x – 7y = –17

c. 37

37

37

d. Las rectas que son paralelas tienen igual pendiente.e. f(x, y) = 3x – 7y (también puede ser –3x + 7y)


1. D

2. C

3. B

4. C

5. A

6. D

7. B

8. B

9. B

10. D

11. A

12. A

13. A

14. B

15. B

16. A

17. B

18. D

19. A

20. D

21. D

22. B

23. C

24. D

25. B

26. B

27. B

28. C

29. A

30. D

31. B

32. B

33. A

34. C

Unidad 3: Geometría

Tema 1: Sectores y segmentos circulares

Elementos de la circunferencia y del círculo (Páginas 46 y 47)

1. a. Radio b. Cuerda c. Arco d. Diámetro 2. a. Por ejemplo

O

b. Por ejemplo

O

c. Por ejemplo

O

3. a. Por ejemplo,

O A

F

D

C

B

120°80°

80°E

Sector circular

Segmento circular

b. 11,2 cm. c. 2,4 cm. d. 80º.e. No, el ángulo AOD mide 280º.

4. a.

O A

b.

O F

c.

O B

d.

O C

e.

O P

f.

O Q

5. a. 72º b. 45º c. 36º

6. a. 70º b. 20º c. 20º d. 55º

Perímetro de un sector y segmento circular (Página 48)

1. a. 6,28 cm b. 2,44 cm c. 17,44 cm

2. a. 20,56 cmb. 9,83 cm

c. 10,19 cmd. 17,42 cm

e. 14,47 cmf. 10,9 cm

3. a. 13,3 cm b. 13,56 cm

Área de un sector y segmento circular (Página 49)

1. a. V b. Vc. F. Depende del triángulo. Por ejemplo, con ángulos de 90º y 180º no se

cumple.d. F. Por ejemplo, la medida de una cuerda con ángulo 90º y radio 1 es 1,41 y

con el doble ángulo, 180º, la cuerda mide 2, que no es el doble de 1,41.

2. a. 20,93 cm2

b. 18,84 cm2

c. 15,35 cm2

d. 19,625 cm2 e. 21,195 cm2 f. 39,25 cm2

3. a. 1,453 cm2 b. 2,434 cm2 c. 9,51 cm2

Tema 2: Área y volumen del cono

Área de un cono (Páginas 50 y 51)

1. a. F. El área total aumenta, pero no al doble.b. Vc. F. La superficie de un cono es menor que la del cilindro, pero no es un tercio.


2. a. 678,24 cm2

b. 151,47 cm2

c. 1 176 cm2

d. 2 066,11 cm2

e. 486,7 cm2

f. 1 884 cm2

3. a. A = 577,76 cm2 b. A = 2 543,4 cmv c. A = 678,24 cm2

4. María necesitará 703,36 cm2 , Susana, 1 099 cm2 y Carlos, 1 632,8 cm2.

5. a. 14,45 cm. b. 12,502 cm. c. 185,37 cm2. d. 263,87 cm2.

6. 73,76π cm2.

7. a. Uno tiene área 384π cm2 y el otro, 576π cm2.b. El de radio igual a 16 cm.

8. Aproximadamente, 1260π cm2.

9. a. A = 40,035 cm2 b. A = 80,17 cm2

10. a. Amanto

= 4,14 cm2 b. r = 0,33 cm c. Acono

= 3,49 cm2

Volumen de un cono (Páginas 52 y 53)

1. a. F. Su volumen se cuadruplica.b. F. La generatriz es el radio del manto, cuando se extiende.c. V

2. a. V = 61,23 cm3 b. V = 1 227,89 cm3 c. V = 1 004,8 cm3

3. 518,1 cm3

4. 4 cm

5. a. 32,71 cm3 b. 327,1 segundos (5 minutos y 27 segundos)

6. 36π cm3

7. 0,3768 L, como máximo.

8. 2 009,9 cm3

9. 56 viajes. Se calcula el volumen acumulado de salitre y se divide por la capacidad de carga. Como el resultado no es un número entero, el camión debe realizar un viaje más para llevar el resto.

10. a. 12 cm b. 9 cm

11. 8 505,6 cm3

12. a. $ 665 b. $ 1 463

13. 37 119 cm3


Homotecia (Página 54)

1. a. 6,2 cm b. 4 cm c. 2,2 cm d. 45º

2. a. k = 12

b. k = – 12

3. a. Vb. F. Se encuentra a derecha del ∆OPQ.c. V

Homotecia de forma vectorial (Página 55)

1. a.

E

F

b.

H

G

2. a. Centro (1, 3), k = –1b. Centro (1, 2), k = 3

3. a.

O1–1–3–5 –2–4–6–9 32 4 5 6

–1

1

2 Y

X

–3–2

–4–5

–6

DC

B

A–7–8

b.

O

H

D

E

F

1–1–1

1

2

–2

–3

–4

–3–5–9 –2–4X

Y

–7 –6–8

Teorema de Tales (Páginas 56 y 57)

1. a. V b. V c. V

2. a. F b. V c. F d. V e. F f. F

3. a. AB = 3 cm b. BD = 10,8 cm

4. Con los del conjunto I se cumple, porque 2024

= 56

y con los del II también

se cumple porque 186

= 217

. Pero con los del III no se cumple porque

CE = 30 – 4 = 26, pero 264

no es igual que 213

.

5. a. F b. F c. V

6. 295 m

7. a. BC = 28817

cm

b. JE = 34 cm

c. AB = 12817

cm

d. CD = 12817

cm

e. AK = 442

9 cm

f. LK = 221

6 cm

División proporcional de segmentos (Páginas 58 y 59)

1. a. V b. V

2. Respuesta variada. Por ejemplo,

3. a. m(AP) = 54

cm b. m(PQ) = 154

cm c. m(QB) = 5 cm

4. El segmento de mayor longitud mide 480

7 cm

5. 45 cm

6. a. Respuesta variada. Por ejemplo,A

C D E

B

b. R está más cerca de B. c. Q está más cerca de A.

7. 105 cm 8. 28 cm y 14 cm. 9. 28 cm y 4 cm

10.

A B

C

D

Tema 4: Semejanza

Semejanza de figuras (Páginas 60 y 61)

1. a. F. Las medidas de los lados pueden no ser proporcionales.b. Vc. F. Las medidas de lados correspondientes deben ser proporcionales, pero

no las medidas de lados de cada triángulo iguales entre sí. Sí se cumple el recíproco: Si dos triángulos son equiláteros, entonces son semejantes.

d. V

93Solucionario

Solucionario

2. La razón de semejanza es 47

.

3. La profundidad es 24,5 m.

4. a. El ancho mide 4,8 cm.b. El área es de 127 980,16 cm2.

5. a. Las medidas de la bandera reducida son 6 cm, 274

cm y 9 cm y las de la bandera ampliada son 16 cm, 18 cm y 24 cm.

b. La redujo a un 75% y la amplió a 200%.

6. La altura del faro es de 24 m.

7. a. Los otros lados miden 352

cm cada uno. En el triángulo menor el lado

desigual mide 20 cm, y los otros, 14 cm cada uno.b. Los perímetros se encuentran en razón 1,8. Las áreas se encuentran en

razón 3,24.c. El ancho mide 32,5 cm.d. A 125 cm de distancia.

Criterios de semejanza (Página 62)

1. a. Por criterio AA, ∆ABC ~ ∆BFD ~ ∆DEF ~ ∆FGE, tienen un ángulo de 36º en el primer vértice y ángulos de 72º en los otros dos vértices.

b. Por criterio AA, ∆BCF ~ ∆ADC ~ ∆BED ~ ∆DGF, tienen un ángulo de 36º en primer y tercer vértice y un ángulo de 108º en el segundo vértice.

2. Ambos comparten ángulo en P. Además 102

= 122,4

por lo que OQ // RS.

Luego, como PS = 10 cm, PQ = 12 cm, PR = 12 cm, PO = 14,4 cm, y se

cumple PSPQ

= 1210

= 1,2 = 14,412

= PRPO

, entonces lados correspondientes son

proporcionales. Por tanto, ∆OPQ ~ ∆RPS.a. La razón de semejanza es 1,2.b. m( RSP) = 70º

3. Primero se observa que ∆QRC ~∆ABC con razón 0,5, ya que comparten un ángulo en C y CQ = 0,5 CA y CR = 0,5 CB. Por ello, QR = 0,5 AB.Luego se observa que ∆APQ ~ ∆ABC con razón 0,5, ya que comparten un ángulo en A y AP = 0,5 AB y AQ = 0,5 AC. Por ello, QP = 0,5 CB.También se observa que ∆PBR ~ ∆ABC con razón 0,5, ya que comparten un ángulo en B y BR = 0,5 BC y BP = 0,5 BA. Por ello, PR = 0,5 AC.Finalmente, por proporcionalidad de los tres lados, ∆RPQ ~ ∆ABC con razón 0,5.

4. a. Vb. F. Los lados correspondientes deben cumplir una misma proporción.

Teoremas de Euclides (Página 63)

1. Los lados del rectángulo son CD y CB. Por teorema de Euclides, CD2 = DF • AD, y también CB2 = AB • BG. Luego, el área es CD • CB = DF • AD • AB • BG = DF • AD • AB • BG

2. a.

b. El puente estará a 128,6 m de su casa.

3. El área del rectángulo es 480 cm2.

4. La altura mide 10 cm.

5. El cable de la izquierda mide 15 m y el cable de la derecha mide 20 m.


1. A

2. C

3. A

4. D

5. A

6. C

7. D

8. A

9. C

10. C

11. A

12. C

13. A

14. B

15. D

16. B

17. B

18. A

19. D

20. A

21. C

22. C

23. A

24. C

25. C

26. C

27. B

28. C

29. C

30. D

Unidad 4: Probabilidad y estadística


Relación entre dos variables cuantitativas (Páginas 68 y 69) 1. a. Al azar

X

Yb. Al azar

X

Y

2. a.

22313,03

46,12

79,22

112,31

145,40

317 410 504 597

b.

22313,03

46,12

79,22

112,31

145,40

317 410 504 597

c. A la izquierda del gráfico.d. Hay un patrón lineal con algunos puntos aislados.

3. a. Sí, a mayor temperatura menor gasto.b. $

T°

4. a. Los gráficos A, B, D y E, presentan un grado de correlación lineal.b. En el gráfico E se puede observar una relación parabólica.c. El gráfico C parece ser completamente aleatorio.

Relación entre dos variables cualitativas (Página 70 y 71)

1. Perro Gato Loro

Norte 3 9 9

Centro 4 7 1

Sur 8 4 1

2. Respuesta variada.

3. a. 90 b. 125 c. 110d. A mayor cantidad de cigarrillos, mayor gravedad del ataque cardíaco.

4. a.

Depresión

Sí No

TabaquismoSí 2 6

No 4 8

Frecuencia absoluta

Depresión

Sí No

TabaquismoSí 0,1 0,3

No 0,2 0,4

Frecuencia relativa

b. Hay 6 personas que sufren de depresión y 8 de tabaquismo.c. De las personas que sufren depresión el 33,3% sufren tabaquismo.


d. Es más probable que no sufra depresión, ya que 6 de cada 8 personas que sufre de tabaquismo sufre de depresión.

e. Respuesta variada. Por ejemplo, se podría responder que a partir de los datos no se puede determinar que exista una relación entre el tabaquismo y la depresión, ya que pocas personas cumplen con ambas enfermedades.

Comparación de dos poblaciones (Páginas 72 y 73)

1. a.

Edad (años)

Cons

ulta

s

100

1

2

34

5

67

89

10

1112

20 30 40 50 60 70 80 90

Mujeres

Hombres

b. Edades bajas o altas consultan más.Hombres y mujeres consultan de similar modo

2. a. Respuesta variada. Por ejemplo, el rango de edad de las mujeres está entre los 22 y 42 años, mientras que el de los hombres, entre los 43 y 62 años. Por otro lado la glicemia en las mujeres fluctúa entre 70 y 106, y en los hombres 74 y 106. Se puede observar que aunque la edad de los hombres es mayor, la glicemia se mantiene en rangos similares.

b.

Edad (años)

Glic

emia

100

10

20

3040

50

6070

8090

100

110120

20 30 40 50 60 70 80 90

Mujeres

Hombres

c. Respuesta variada. Se puede apreciar que al aumentar la edad existe una tendencia a aumentar la glicemia. Este aumento es mayor en mujeres que en hombres, pero la máxima glicemia es la misma en ambos. Puede que el hecho de que el grupo de las mujeres tenía menor edad haga presumir que el aumento de la glicemia es más notorio en las mujeres que en hombres al aumentar la edad. Si bien se observa una tendencia, existen puntos atípicos tanto para el grupo de los hombres como para el de las mujeres, pero los puntos atípicos en los hombres también afecta en la inclinación de la recta que se construye.


Unión e intersección de eventos (Páginas 74 y 75)

1. a. {cara-cara-cara, cara-cara-sello, cara-sello-cara, sello-cara-cara, cara-sello-sello, sello-cara-sello, sello-sello-cara, sello-sello-sello}

b. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

c. {(1, cara), (1, sello), (2, cara), (2, sello), (3, cara), (3, sello), (4, cara), (4, sello), (5, cara), (5, sello), (6, cara), (6, sello)}

d. {(cara, 1), (cara, 2), (cara, 3), (cara, 4), (cara, 5), (cara, 6), (sello, cara), (sello, sello)}

2. a. 18 b. 48

3. a. 25 b. 10 c. 0,5 d. 0,3

4. a. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

b. 16

c. 2036

d. 112

5. a. La elección de representante de Matemáticas y de Lenguaje.b. Si los profesores de Matemática se le asignan las letras a, b, c, d, e; a los de

Lenguaje las letras p, q, r; y a los de Ciencias las letras x, y, z, entonces las combinaciones posibles son:a b c p q x y z a b c p r x y za b c q r x y za b d p q x y z a b d p r x y za b d q r x y za b e p q x y za b e p r x y z

a b e q r x y za c d p q x y z a c d p r x y za c d q r x y za c e p q x y z a c e p r x y za c e q r x y za d e p q x y z

a d e p r x y za d e q r x y zb c d p q x y z b c d p r x y zb c d q r x y zb c e p q x y z b c e p r x y zb c e q r x y z

b d e p q x y z b d e p r x y zb d e q r x y zc d e p q x y z c d e p r x y zc d e q r x y z

c. Espacio muestrald. De Matemáticas: a b c a b d a b e a c d a c e a d e b c d b c e

b d e c d eDe Lenguaje: p q p r q rDe Ciencias: x y z

e. No se puede, ya que son experimentos distintos en cada caso.

6. a. 5 b. 26 c. 45 d. 20 e. C

7. a. Evento cuyos elementos pertenecen a uno o más de los conjuntos dados.b. Evento cuyos elementos son comunes a todos los conjuntos dados.

Reglas aditivas de la probabilidad (Páginas 76 y 77)

1. a. 0,25 b. 0,5 c. 0,416 d. 0,5

2. a. A = {4, 5, 6}, B = {1, 2, 3, 4}b. P(A) = 0,5, P(B) = 0,6c. A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A∩B = {4}d. P(A∪B) = 1, P(A∩B) = 0,16e. P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0,5 + 0,6 – 0,16 = 1 = P(A∪B)f. P(A) + P(B) = 0,5 + 0,6 = 1,16 > 1. Es imposible.

3. a. Las secciones d, e, f, g del diagrama.b. El evento asociado a la sección g del diagrama.c. P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) – P(B∩C) + P(A∩B∩C)

4. a.

Género

Estado nutricional Hombres Mujeres Ambos géneros

Normal 22 6 28

Bajo peso 0 0 0

Sobrepeso 28 13 41

Obesos 19 17 36

Total 69 36 105

b. 105 personas. c. 36105

d. 16

e. 4769

5. a. 0,5 b. 130

c. 56

d. 0,4

Reglas multiplicativas de la probabilidad (Páginas 78 y 79)

1. a. Independientes. No se afecta la probabilidad de un evento el que ocurra el otro.

b. Independientes. No se afecta la probabilidad de un evento el que ocurra el otro.

c. Dependientes. Si ocurre un evento, el otro no ocurrirá.d. Dependientes. Si ocurre un evento, disminuye la probabilidad del otro

evento.

2. Representamos la situación con un diagrama de árbol:

A

A

B

B

13

12

12

23

95Solucionario

Solucionario

Los eventos se pueden describir como sigue:A = {IC, II} B = {IC} A∩B = {IC}

Los eventos no son independientes, porque P(A) = 23

• 12

+ 23

• 12

= 23

y

P(B) = 23

• 12

= 13

y P(A∩B) = 13

Por otra parte P(A) • P(B) = 13

• 13

= 19

.

No se cumple que P(A∩B) = P(A) • P(B) 3. a. 0,94 b. 0,95 c. 0,24 d. 0,05

4. 0,85

5.

1 32 4 5

2 43 5 1 42 51 43 5 1 32 5 1 32 4a. 0,2 b. 0,3 c. 0,3

6.

No gana

No gana

No gana

Gana

Gana

Gana

Gana

14

13

12

34

23

22

1

La probabilidad de que gane el primer amigo que extrae es 14

. La

probabilidad de que el segundo amigo gane, dado que el primero no

ganó, es 34

• 13

= 14

. La probabilidad de que el tercer amigo gane, dado que

los anteriores no ganaron, es 34

• 23

• 12

= 14

. La probabilidad de que gane

el último amigo, dado que los anteriores no ganaron, es 34

• 23

• 12

• 1 = 14

.

Todos tienen la misma probabilidad de ganar. Por lo tanto, el amigo menor de Daniel no está en lo cierto.

Tema 3: Comportamiento aleatorio

Paseos aleatorios y frecuencias relativas (Páginas 80 y 81)

1. a. Aleatorio. No hay preferencia.b. Aleatorio. No hay preferencia.c. Aleatorio. El perrito no conoce el camino.d. No aleatorio. Preferirá un tipo de ropa a otro.

2. a.

Resultado Nada $ 10 000 $ 50 000 $ 100 000 $ 1 000 000

Frecuencia 10 12 7 8 3

F. relativa 0,25 0,3 0,175 0,2 0,075

b. {(Nada), (10 000, cara), (50 000, cara), (100 000, cara), (1 000 000, cara), (10 000, sello), (50 000, sello), (100 000, sello), (1 000 000, sello)}

c.

0,25

Nada $ 10 000

0,3

0,5Cara

0,5Sello

$ 50 000

0,175

Cara0,5

Sello0,5

Cara0,5

Sello0,5

$ 100 000

0,2

Cara0,5

Sello0,5

$ 1 000 000

0,075

d. La probabilidad del evento es 0,2 · 0,5 + 0,075 · 0,5 = 0,1375.

3. a. Sí, es posible modelarla por un paseo aleatorio. Este sería el diagrama de árbol asociado.

0,44 Hombre

0,43 Básica

0,40 Básica

0,32 Media

0,45 Media

0,25 Superior

0,15 Superior

0,56 Mujer

b. 0,56. c. 0,805. d. 0,14. e. 0,585. f. 0,572.

Paseos aleatorios y probabilidad (Páginas 82 y 83)

1. a. 0,375b.

Par

Par Par

Par ParPar Par

Par ParPar ParPar ParPar Par

Impar

Impar Impar

Impar ImparImpar Impar

Impar ImparImpar ImparImpar ImparImpar Impar

c. 0,5

2. a. {(cara, cara, cara), (cara, cara, sello), (cara, sello, cara), (cara, sello, sello), (sello, cara, cara), (sello, cara, sello), (sello, sello, cara), (sello, sello, sello)}

b. No, es el mismo.c.

C S

C

C S13

23

S

C S13

23

C

SC13

23

S

SC13

23

13

13

13

13

13

13

13

23

23

23

23

23

23

23

3. a.

Asiste

Aprueba Aprueba

No asiste

No aprueba No apruebab. La probabilidad es 0,69.

4. a. Se definen los siguientes eventos.A = Obtener 1 o 2 puntos en el lanzamiento del dado.B = Obtener 3 o más puntos en el lanzamiento del dado.

A B

A A

A AA A

A AA AA AA A

B BB B

B BB BB BB B

B B

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

b. 2481

. c. 13

.


1. D

2. B

3. C

4. A

5. D

6. D

7. D

8. C

9. A

10. B

11. A

12. D

13. B

14. B

15. A

16. C

17. A

18. C

19. D

20. C

21. D

22. A

23. B


Mat

emát

ica

1º

Med

io

C

uade

rno

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