Σημειώσεις μαθήματος

Βασικές έννοιες της Γεωμετρίας

και η Διδακτική τους

Χρήστος Κουρουνιώτης

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

2013

Κεφάλαιο 4

Τρίγωνα

Θεώρημα 4.1 (Πρώτο κριτήριο ισότητας τριγώνων, ΠΓΠ) Αν δύο πλευ-ρές ενός τριγώνου είναι ίσες, μία προς μία, με δύο από τις πλευρές ενός άλλου τριγώνου,

και οι περιεχόμενες σε αυτές τις πλευρές γωνίες είναι ίσες, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Σχήμα 4.1: Πρώτο κριτήριο ισότητας τριγώνων, ΠΓΠ.

Απόδειξη. Η υπόθεση είναι οτι για τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ ισχύει οτι ΑΒ = ΔΕ,ΑΓ = ΔΖ και οι γωνίες ∠ΒΑΓ = ∠ΕΔΖ. Το συμπέρασμα είναι οτι τα τρίγωνα ΑΒΓ

και ΔΕΖ είναι ίσα, ΑΒΓ = ΔΕΖ.

Μετατοπίζουμε το τρίγωνο ΑΒΓ και τοποθετούμε την κορυφή Α πάνω στη Δ και

την πλευρά ΑΒ πάνω στη ΔΕ. Τότε η κορυφή Β συμπίπτει με την Ε επειδή ΑΒ = ΔΕ,

και η πλευρά ΑΓ βρίσκεται πάνω στην ημιευθεία τουΔΕ επειδή ∠ΒΑΓ = ∠ΕΔΖ. Η

κορυφή Γ συμπίπτει με την κορυφή Ζ επειδή ΑΓ = ΔΖ. Τέλος η πλευρά ΒΓ συμπίπτει

με την ΕΖ αφού μόνο μία ευθεία περνάει από δύο σημεία. ΄Αρα το τρίγωνο ΑΒΓ

συμπίπτει με το τρίγωνο ΔΕΖ.

�

Ειδικότερα, αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία

προς μία, τότε είναι ίσα.

7

8 Γεωμετρία

Πρόταση 4.2 Εάν ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές, τότε οι προσκείμενες στη βάση γω-νίες είναι ίσες.

Βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι η πλευρά που δεν είναι ίση προς τις άλλες

δύο.

Σχήμα 4.2: Γωνίες ισοσκελούς τριγώνου.

Απόδειξη. Είδαμε την απόδειξη που δίδει ο Ευκλείδης, (Στοιχεία, αʹ, εʹ). Εάνδεχθούμε ως αξίωμα την ύπαρξη μοναδικής διχοτόμου για κάθε γωνία, τότε μπορούμε

να αποδείξουμε την πρόταση ως εξής:

΄Εστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΒ = ΑΓ. Θα αποδείξουμε οτι ∠Β = ∠Γ

εφαρμόζοντας το πρώτο κριτήριο ισότητας τριγώνων σε κατάλληλα τρίγωνα. Φέρουμε

τη διχοτόμο ΑΔ της γωνίας ∠Α. Τότε σχηματίζονται τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ τα

οποία είναι ίσα (Βρείτε τα ίσα στοιχεία και εφαρμόστε το πρώτο κριτήριο για να το

δείξετε). ΄Αρα ∠Β = ∠Γ.

�

Ειδικότερα, εάν ένα τρίγωνο είναι ισόπλευρο, τότε όλες οι γωνίες είναι ίσες –αφού

όποια πλευρά και να θεωρήσουμε ως βάση, οι άλλες δύο είναι ίσες.

Πρόταση 4.3 Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής ενός ισοσκελούς τριγώνου είναιεπίσης ύψος και διάμεσος.

Κορυφή ισοσκελούς τριγώνου είναι η κορυφή που βρίσκεται απέναντι στη βάση του

τριγώνου.

΄Υψος ενός τριγώνου είναι η κάθετος από μία κορυφή τριγώνου στην απέναντι πλευρά

του τριγώνου.

Διάμεσος ενός τριγώνου είναι η ευθεία από μία κορυφή του τριγώνου στο μέσο της

απέναντι πλευράς.

Απόδειξη. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΒ = ΑΓ, και ΑΔ τη διχοτόμοτης γωνίας ∠Α. Δείξαμε οτι ΑΒΔ = ΑΓΔ. ΄Αρα ΒΔ = ΓΔ και η ΑΔ είναι διάμεσος.

Κεφάλαιο 4 Τρίγωνα 9

Επίσης, ∠ΑΔΒ = ∠ΑΔΓ, ενώ ΒΔΓ είναι ευθεία. ΄Αρα οι γωνίες ∠ΑΔΒ και ∠ΑΔΓ

είναι ορθές. ΄Αρα ΑΔ είναι το ύψος.

�

Πρόταση 4.4 Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός τμήματος απέχει εξ ίσου από ταάκρα του.

Σχήμα 4.3: Σημεία της μεσοκαθέτου ισαπέχουν από τα άκρα.

Απόδειξη. Θεωρούμε το διάστημα ΑΒ και από το μέσο του Μ φέρουμε κάθετοστο ΑΒ. ΄Εστω σημείο Σ στην κάθετο. Τότε τα τρίγωνα ΣΑΜ και ΣΒΜ είναι ίσα

(ορθογώνια τρίγωνα με δύο κάθετες πλευρές ίσες). ΄Αρα ΣΑ = ΣΒ.

�

Ισχύει και το αντίστροφο.

Πρόταση 4.5 Κάθε σημείο που απέχει εξ ίσου από τα άκρα ενός διαστήματος, βρί-σκεται στη μεσοκάθετο του διαστήματος.

Θεώρημα 4.6 (Δεύτερο κριτήριο ισότητας τριγώνων, ΓΠΓ) Αν μία πλευ-ρά ενός τριγώνου είναι ίση με μία πλευρά ενός άλλου τριγώνου, και οι προσκείμενες σε

αυτές τις πλευρές γωνίες είναι μία προς μία ίσες, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Απόδειξη. Η υπόθεση είναι οτι για τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ ισχύει οτι ΒΓ = ΕΖ,και οι γωνίες ∠Β = ∠Ε, ∠Γ = ∠Ζ. Το συμπέρασμα είναι οτι τα τρίγωνα ΑΒΓ και

ΔΕΖ είναι ίσα, ΑΒΓ = ΔΕΖ.

10 Γεωμετρία

Σχήμα 4.4: Δεύτερο κριτήριο ισότητας τριγώνων, ΓΠΓ.

Τοποθετούμε το τρίγωνο ΔΕΖ έτσι ώστε η ΕΖ να συμπέσει με την ΒΓ και το Δ να

βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το Α. Αφού ισχύει ∠Β = ∠Ε, η πλευρά ΕΔ βρίσκεται

στην ίδια ημιευθεία με την ΒΑ. ΄Εστω οτι το Δ δεν συμπίπτει με το Α. Τότε ∠Ζ 6= ∠Γ,αντίθετα προς την υπόθεση. ΄Αρα Δ = Α και τα τρίγωνα είναι ίσα.

�

Ειδικότερα, αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία κάθετη πλευρά και την προσκεί-

μενη οξεία γωνία ίσες, τότε είναι ίσα.

Θεώρημα 4.7 (Τρίτο κριτήριο ισότητας τριγώνων, ΠΠΠ) Αν οι τρεις πλευ-ρές ενός τριγώνου είναι μία προς μία ίσες με τις τρεις πλευρές ενός άλλου τριγώνου,

τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Σχήμα 4.5: Τρίτο κριτήριο ισότητας τριγώνων, ΠΠΠ.

Απόδειξη. Η υπόθεση είναι οτι για τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ ισχύει οτι ΑΒ = ΔΕ,ΒΓ = ΕΖ, και ΑΓ = ΑΖ. Το συμπέρασμα είναι οτι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι

ίσα, ΑΒΓ = ΔΕΖ.

Τοποθετούμε το τρίγωνο ΔΕΖ έτσι ώστε η ΕΖ να συμπέσει με την ΒΓ και το Δ

να βρίσκεται στο άλλο ημιεπίπεδο από το Α. Φέρουμε την ΑΔ′. Τότε ΑΒΔ′ είναι

Κεφάλαιο 4 Τρίγωνα 11

ισοσκελές, άρα ∠ΒΑΔ′ = ∠ΒΔ′Α. Επίσης ΑΓΔ′ είναι ισοσκελές, άρα ∠ΓΑΔ′ =

∠ΓΔ′Α. Αλλά τότε και τα αθροίσματα των ίσων γωνιών είναι ίσα: ∠ΒΑΓ = ∠ΒΔ′Γ,

από το πρώτο κριτήριο τα τρίγωνα είναι ίσα.

�

Μπορούμε να βρούμε και άλλα κριτήρια ισότητας για ορθογώνια τρίγωνα.

Πρόταση 4.8 Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα εάν έχουν δύο οποιεσδήποτε πλευρέςτου ενός τριγώνου μία προς μία ίσες με δύο πλευρές του άλλου τριγώνου.

Σχήμα 4.6: Ορθογώνια τρίγωνα με ίσες υποτείνουσες και μία κάθετη πλευρά.

Απόδειξη. Εάν είναι ίσες οι κάθετες πλευρές, εφαρμόζουμε το πρώτο κριτήριο ισό-τητας τριγώνων, Θεώρημα 4.1.

Εάν έχουν ίσες την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά, δεν μπορούμε να εφαρμό-

σουμε το Θεώρημα 4.1.

Θεωρούμε τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ, με ∠Α και ∠Δ ορθές, ΑΒ = ΔΕ και ΒΓ =

ΕΖ. Στην προέκταση της ΒΑ παίρνουμε σημείο Κ τέτοιο ώστε ΑΚ = ΑΒ και στην

προέκταση της ΕΔ παίρνουμε σημείο Λ τέτοιο ώστε ΔΛ = ΔΕ. Εξετάζουμε τα

τρίγωνα ΓΚΒ και ΖΛΕ. Από το Θεώρημα 4.1, ΑΒΓ = ΑΚΓ, άρα ΓΚ = ΓΒ = ΖΕ.

Επίσης ΔΕΖ = ΔΛΖ, άρα ΖΛ = ΖΕ. Συνεπώς για τα τρίγωνα ΓΚΒ και ΖΛΕ ισχύει

ΓΒ = ΖΕ, ΓΚ = ΖΛ και ΚΒ = ΛΕ. Από το τρίτο κριτήριο ισότητας τριγώνων,

Θεώρημα 4.7, τα τρίγωνα είναι ίσα. ΄Αρα ∠Β = ∠Ε, και τα αρχικά τρίγωνα είναι ίσα.

�

Πρόταση 4.9 Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα εάν έχουν ίσες τις υποτείνουσες καιμία οξεία γωνία.

Απόδειξη. Αυτό θα το αποδείξουμε με απαγωγή σε άτοπο.

12 Γεωμετρία

Σχήμα 4.7: Ορθογώνια τρίγωνα με ίσες υποτείνουσες και μία οξεία γωνία.

΄Εστω ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα τέτοια ώστε ∠Α = ∠Δ =⊥, ΒΓ = ΕΖ, ∠Ε = ∠Β.Υποθέτουμε οτι ΑΒ 6= ΔΕ. Τότε υπάρχει σημείο Η στην ΑΒ τέτοιο ώστε ΗΒ = ΔΕ.Τα τρίγωνα ΗΒΓ και ΔΕΖ είναι ίσα από το Θεώρημα 4.1. Αλλά τότε η γωνία ∠ΓΗΒ

είναι ορθή. ΄Ατοπο αφού από το Γυπάρχει μόνο μία κάθετος στην ΑΒ.

�

Πρόταση 4.10 Κάθε σημείο της διχοτόμου μίας γωνίας απέχει εξ ίσου από τις πλευ-ρές της γωνίας. Αντίστροφα, κάθε σημείο του εσωτερικού μίας γωνίας που απέχει εξ

ίσου από τις πλευρές της γωνίας βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο.

Σχήμα 4.8: Σημεία της διχοτόμου ισαπέχουν από τις πλευρές.

Απόδειξη. Θεωρούμε γωνία ΧΟΨ και σημείο Σ της διχοτόμου της γωνίας. Φέρουμετις ΣΑ και ΣΒ κάθετες από το Σ στις ΟΧ και ΟΨ. Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟΣ

και ΒΟΣ έχουν κοινή υποτείνουσα και μία οξεία γωνία ίσες, άρα είναι ίσα. Συνεπώς

Κεφάλαιο 4 Τρίγωνα 13

ΣΒ = ΣΑ.

�

Το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία (του επιπέδου ή του χώρου) που έχουν

μία ιδιότητα ονομάζεται γεωμετρικός τόπος αυτής της ιδιότητας.΄Ολα τα σημεία του γεωμετρικού χώρου έχουν την ιδιότητα. ΄Ολα τα σημεία που

έχουν την ιδιότητα ανήκουν στο γεωμετρικό χώρο.

Η προηγούμενη πρόταση λέει οτι ο γεωμετρικός χώρος των σημείων που απέχουν

εξ ίσου από τις πλευρές μίας γωνίας είναι η διχοτόμος της γωνίας. ΄Εχουμε δεί επίσης

οτι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν εξ ίσου από δύο σημεία είναι η

μεσοκάθετος του διαστήματος που ορίζουν τα δύο σημεία.

Ανισοτικές σχέσεις σε τρίγωνα

Θεώρημα 4.11 Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από κάθε μία απότις απέναντι εσωτερικές γωνίες.

Σχήμα 4.9: Η εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τις απέναντι εσωτερικές.

Απόδειξη. Προεκτείνουμε την ΒΓ προς το Γ και λαμβάνουμε σημείο Δ. Θέλουμενα δείξουμε οτι η γωνία ∠ΑΓΔ είναι μεγαλύτερη από την ∠Α και από την ∠Β. ΄Εστω

Μ το μέσον του ΑΓ. Στην προέκταση της ΒΜ προς το Μ θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο

ώστε ΒΜ = ΜΕ. Παρατηρούμε οτι το σημείο Ε βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας

∠ΑΓΔ.

Εξετάζουμε τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΓΕΜ. ΄Εχουμε ΑΜ = ΓΜ, ΒΜ = ΕΜ και

∠ΑΜΒ = ∠ΓΜΕ ως κατά κορυφήν. ΄Αρα ∠ΑΒΜ = ∠ΓΕΜ, και συνεπώς ∠ΑΓΕ =

∠ΒΑΓ = ∠Α. Αλλά αφού το σημείο Ε είναι εσωτερικό της γωνίας ∠ΑΓΔ, ∠ΑΓΕ <

∠ΑΓΔ.

�

14 Γεωμετρία

Πόρισμα 4.12 Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μία αμβλεία γωνία.

Θεώρημα 4.13 Αν σε ένα τρίγωνο δύο γωνίες είναι ίσες, τότε οι πλευρές που βρί-σκονται απέναντι σε αυτές τις γωνίες θα είναι ίσες.

Αυτό είναι το αντίστροφο της Πρότασης 4.2 για τα ισοσκελή τρίγωνα.

Σχήμα 4.10: Τρίγωνο με δύο ίσες γωνίες είναι ισοσκελές.

Απόδειξη. Η απόδειξη είναι με απαγωγή σε άτοπο. Υποθέτουμε οτι ∠Β = ∠Γ, καιοτι ΑΒ 6= ΑΓ. ΄Εστω οτι ΑΒ > ΑΓ. Τότε στο ΑΒ υπάρχει σημείο Δ τέτοιο ώστεΑΔ = ΑΓ. Τότε το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές, και από την Πρόταση 4.2, ∠ΑΔΓ =

∠ΑΓΔ. Επίσης, αφού το σημείο Δ βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας ∠ΑΓΒ, η

γωνία ∠ΑΓΔ είναι μικρότερη από την ∠ΑΓΒ. ΄Αρα ∠Γ = ∠ΑΓΒ > ∠ΑΓΔ = ∠ΑΔΓ.

Και αφού η ∠ΑΔΓ είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου ΒΓΔ,

∠Γ > ∠ΑΔΓ > ∠Β ,

το οποίο αντιφάσκει προς την υπόθεση οτι ∠Β = ∠Γ.

�

Πόρισμα 4.14 Εάν ένα τρίγωνο έχει τρεις ίσες γωνίες, τότε είναι ισόπλευρο.

Θεώρημα 4.15 Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται ημεγαλύτερη γωνία, και αντιστρόφως, απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία βρίσκεται η

μεγαλύτερη πλευρά.

Απόδειξη. Εάν ΑΓ > ΑΒ, τότε υπάρχει στο ΑΓ σημείο Δ τέτοιο ώστε ΑΔ =ΑΒ. Αφού το Δ είναι εσωτερικό σημείο της γωνίας ∠ΑΒΓ, ∠ΑΒΓ > ΑΒΔ. Από

το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε ∠ΑΒΔ = ∠ΑΔΒ, ενώ ∠ΑΔΒ > ∠ΑΓΒ ως

εξωτερική γωνία του τριγώνου ΔΓΒ. ΄Αρα

∠Β = ∠ΑΒΓ > ∠ΑΓΒ = ∠Γ .

Κεφάλαιο 4 Τρίγωνα 15

Σχήμα 4.11: Μεγαλύτερη πλευρά απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία.

Αντιστρόφως, εάν ∠Β > ∠Γ θα δείξουμε οτι ΑΓ > ΑΒ με τριχοτομία, δηλαδή θα

δείξουμε οτι δεν μπορούν να ισχύουν οι σχέσεις ΑΓ = ΑΒ ή ΑΓ < ΑΒ.

Εάν ΑΓ = ΑΒ τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές, και ∠Β = ∠Γ, αντίθετο με την

υπόθεση. Εάν ΑΓ < ΑΒ τότε σύμφωνα με το πρώτο μέρος της απόδειξης, ∠Β < ∠Γ,

πάλι αντίθετο με την υπόθεση. Συμπεραίνουμε οτι ΑΓ > ΑΒ.

�

Θεώρημα 4.16 (Τριγωνική Ανισότητα) Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότε-ρη από το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.

Σχήμα 4.12: Η τριγωνική ανισότητα.

Απόδειξη. ΄Εστω τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουμε την ΑΒ Α ΑΔ = ΑΓ. Τότε τοτρίγωνο ΔΒΓ είναι ισοσκελές, και ∠Δ = ∠ΑΓΔ. ΄Αρα ∠ΑΓΔ < ∠ΒΓΔ, και στο

τρίγωνο ΔΒΓ,

ΒΓ < ΒΔ = ΑΒ+ ΑΓ .

16 Γεωμετρία

Για τη διαφορά, υποθέτουμε ΑΒ < ΑΓ και παίρνουμε πάνω στην πλευρά ΑΓ σημείο Ζ

τέτοιο ώστε ΑΒ = ΑΖ. Τότε ΑΖ + ΖΓ = ΑΓ < ΑΒ + ΒΓ. Αλλά αφού ΑΖ = ΑΒ,

έχουμε ΖΓ < ΒΓ.

�

΄Ασκηση 4.1 Να δείξετε οτι τα ύψη ΒΔ και ΓΕ που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρέςΑΒ και ΑΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσα. (Εξετάστε ξεχωριστά τις περιπτώ-

σεις οξυγώνιου, ορθογώνιου ή αμβλυγώνιου τριγώνου). Για οξυγώνιο ή αμβλυγώνιο

τρίγωνο δείξτε επίσης οτι το ΑΔΕ είναι ισοσκελές.

΄Ασκηση 4.2 Να δείξετε οτι οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές ισοσκε-λούς τριγώνου είναι ίσες.

΄Ασκηση 4.3 Να δείξετε οτι οι δύο κορυφές ενός τριγώνου απέχουν εξ ίσου από τηδιάμεσο που άγεται από την τρίτη κορυφή.

΄Ασκηση 4.4 Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ προς το Α, καιπαίρνουμε σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΔ = ΑΒ, ΑΕ = ΑΓ. Δείξτε οτι

1. ΔΕ = ΒΓ

2. Η προέκταση του ύψους ΑΚ του τριγώνου ΑΒΓ είναι ύψος του ΑΔΕ.

3. Η προέκταση της διχοτόμου ΑΛ του τριγώνου ΑΒΓ είναι διχοτόμος του ΑΔΕ.

4. Η προέκταση της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ είναι διάμεσος του ΑΔΕ.

΄Ασκηση 4.5 Εάν στα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ ισχύει ΑΒ = ΔΕ, ΑΓ = ΔΖ και∠Β = ∠Ε, να δείξετε οτι οι γωνίες ∠Γ και ∠Ζ είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

΄Ασκηση 4.6 Εάν προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ κατά ευθύ-γραμμα τμήματα ΒΔ = ΑΒ και ΓΕ = ΑΓ, να δείξετε οτι τα σημεία Δ και Ε απέχουν

εξ ίσου από την πλευρά ΒΓ.

΄Ασκηση 4.7 Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ο στο εσωτερικό του τριγώνου.Να δείξετε οτι τότε:

1. ΒΓ < ΒΟ+ΟΓ < ΒΑ+ ΑΓ,

2. ∠Α < ∠ΒΟΓ.

΄Ασκηση 4.8 Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΒ = ΑΓ, να δείξετε οτι για κάθεσημείο Δ της πλευράς ΑΓ (εκτός από το Α) ισχύει ΔΓ < ΔΒ.

Κεφάλαιο 4 Τρίγωνα 17

΄Ασκηση 4.9 Να δείξετε οτι η κάθετος από σημείο σε ευθεία είναι μικρότερη απόκάθε πλάγια από το σημείο στην ευθεία.

΄Ασκηση 4.10 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, με μήκη πλευρών α, β, γ και ύψη υα, υβ, υγ,να αποδείξετε οτι

υα <β + γ

2και υα + υβ + υγ < α+ β + γ .

΄Ασκηση 4.11 Από σημείο Δ της πλευράς ΒΓ τριγώνου φέρουμε τις κάθετες ΔΕκαι ΔΖ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Δείξτε οτι ΕΖ < ΒΓ.

΄Ασκηση 4.12 Για εσωτερικό σημείο Ο ενός τριγώνου ΑΒΓ, με μήκη πλευρώνα, β, γ, δείξτε οτι

α + β + γ

2< ΟΑ+ΟΒ+ΟΓ < α+ β + γ .