BASIC STRUCTURE

2.1 SETS

3

Himpunan

Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunanNotasi.

– aA : a adalah anggota himpunan A– aA : a bukan anggota himpunan A

Contoh 1.– Himpunan bilangan bulat yang terdiri dari 1 digit– Himpunan bilangan bulat tak negatif– Himpunan muka dadu– Himpunan muka uang logam– Himpunan mahasiswa yang terdaftar di MA2251 K-

01

Notasi Himpunan

N = {0,1, 2, 3, . . .}, himpunan bilangan cacah

Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}, himpunan bilanganbulat

Z+ = {1, 2, 3, . . .}, himpunan bilangan bulat positif

Q = {p/q | p ∈ Z, q ∈ Z, dan q 0}, himpunanbilangan rasional

R, himpunan bilangan real

R+, himpunan bilangan real positif

C, himpunan bilangan kompleks

5

Mendeskripsikan Himpunan

Metoda roster: Mendaftarkan semua anggota himpunan

Contoh 2.

1. V: himpunan semua huruf vokal dapat dideskripsikan sebagaiV = {a, e, i, o, u}.

2. O: Himpunan semua bilangan ganjil positif lebih kecil dari 10 dapat dideskripsikan sebagai 0 = {1, 3, 5, 7, 9}.

3. Himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 100 dapatdideskripsikan sebagai {1, 2, 3, . . . , 99}.

Notasi pembangun himpunan

Contoh 3.

O: Himpunan semua bilangan ganjil positif lebih kecil dari 10 dapat ditulis sebagai O = {x | x adalah bilangan ganjil positif lebihkecil dari 10} atau O = {x ∈ Z+ | x ganjil dan x < 10}.

Diagram Venn

Himpunan semesta: himpunan semua objek yang dibicarakan.

Contoh 4.

V: himpunan semua huruf vokal dapat dideskripsikandengan diagram Venn.

Kesamaan Himpunan

Definisi 1

Dua himpunan adalah sama jika dan hanya jikamereka memiliki anggota yang sama.

A,B: himpunan

A dan B dikatakan sama, dinotasikan A = B,

jika dan hanya jika ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B).

Himpunan Kosong dan Singleton

Himpunan yang tidak memiliki anggota disebuthimpunan kosong, dinotasikan dengan ∅ atau { }.

Himpunan dengan satu anggota disebuthimpunan singleton.

Contoh 5.

{∅}

9

Himpunan vs Himpunan dari Himpunan

Contoh 6.

• {1,2} vs {{1},{2}}

• {} vs {{}} = {}

10

Himpunan BagianDefinisi 2.

A, B: himpunan.

A adalah himpunan bagian B, dinotasikan A B, jika dan hanyajika setiap anggota A juga merupakan anggota B.

A B: x ( x A x B)

Teorema 1. Untuk setiap himpunan S, berlaku S dan S S.

Untuk menunjukkan A = B, tunjukkan A ⊆ B dan B ⊆ A.

Himpunan bagian sejati A B:

x ( x A x B) x ( x B x A)

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa P(S): himpunan semua himpunanbagian S.

P(S) memuat S, .

Soal 1. Apakah himpunan kuasa dari {0, 1, 2}?

Contoh 7. Apakah P() dan P({})?

P() = {}P({}) = {, {}}

12

KardinalitasS: himpunan.

Kardinalitas dari S, dinotasikan |S|, adalahbanyaknya anggota S yang berbeda. Contoh 8.

• Misalkan A himpunan bilangan ganjil positif lebih kecildari 10. Maka |A| = 5.

• Misalkan S himpunan alfabet. Maka |S| = 26.

Himpunan hingga adalah himpunan dengankardinalitas suatu bilangan bulat positif.

Suatu himpunan dikatakan tak hingga jikahimpunan tersebut bukan hingga.

13

Hasil Kali Kartesius

A,B: himpunan

Hasil kali Kartesius A dan B, dinotasikan A x B, adalah himpunan semua pasangan terurut (a, b), di mana a ∈ A dan b ∈ B.

A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Soal 2.

Apakah A x B = B x A?

Himpunan dan Kuantifikasi

∀x∈S (P(x)) berarti ∀x (x ∈ S → P(x)).

∃x∈S (P(x)) berarti ∃x (x ∈ S ∧ P(x)).

Soal 3.

Apakah arti ∀x∈R (x2 ≥ 0) dan ∃x∈Z (x2 = 1)?

Himpunan Kebenaran

P: predikat, D: domain

Himpunan kebenaran dari P adalah himpunan bagian dariD yang mengakibatkan P(x) benar.

Himpunan kebenaran dari P(x) dinotasikan dengan

{x ∈ D | P(x)}.

Soal 4.

Apakah himpunan kebenaran dari predikat P(x), Q(x), danR(x), di mana domain adalah himpunan bilangan bulatdan P(x): “|x| = 1,” Q(x): “x2 = 2,” dan R(x): “|x| = x.”

2.2 SET OPERATIONS

17

Operasi Himpunan

Gabungan A B = { x | (x A) (x B)}

Irisan A B = { x | (x A) (x B)}

A, B dikatakan saling lepas jhj A B =

Prinsip inklusi-eksklusi:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

Selisih A – B = {x | (x A) (x B)}

Komplemen Ac atau Ā = {x | x A} = U - A

Identitas Himpunan

Identitas Himpunan (2)

Bukti Identitas Himpunan

• Diagram Venn

• Himpunan bagian

• Notasi pembangun himpunan dan ekivalensilogika

• Tabel keanggotaan

Soal 5.

Tunjukkan A ∩ B = A ∪ B.

2.3 FUNCTIONS

22

FungsiFungsi dari A ke B adalah pemasangan setiap anggota A ke tepat satuanggota B.

Notasi. f: A B dan f(a) = b

A disebut domain dan B disebut kodomain dari f

b disebut peta dari a dan a disebut prapeta dari b

Range atau peta dari f adalah himpunan peta dari semua anggota A, Range(f) = {y| x A f(x) = y} B

Contoh 9.

Manakah yang merupakan fungsi?

(1) A = B = Z, f(x) = x+10 (2) A = B = Z, f(x) = x2

(3) A = B = R, f(x) = x (4) A = B = R, f(x) = 1/x

23

Terminologi

• Dua fungsi dikatakan sama jika mereka memilikidomain, kodomain, dan aturan pemetaan yang sama.

• Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif, jikadan hanya jika f (a) = f (b) mengakibatkan a = b untuk setiap a and b di domain f.

• Fungsi f dari A ke B dikatakan pada atausurjektif, jika dan hanya jika untuk setiap b ∈ B ada anggota a ∈ A sehingga f (a) = b.

• Fungsi f dikatakan korespondensi satu-satu ataubijektif, jika fungsi tersebut satu-satu dan pada.

Contoh 10. Injektif, Surjektif, Bijektif

1. Apakah fungsi f(x) = x + 1 dari R ke R satu-satu?

2. Apakah fungsi f(x) = x2 dari Z ke Z pada?

3. Misalkan f fungsi dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4} dengan f (a) = 4, f (b) = 2, f (c) = 1, dan f (d) = 3. Apakah f bijektif?

25

Invers dan Komposisi

Misalkan f korespondensi satu-satu dari A ke B. Fungsi invers dari f adalah fungsi yang memetakan b ∈ B ke a ∈ A sedemikian sehingga f (a) = b.

Fungsi invers dari f dinotasikan dengan f-1

f-1(b) = a jika dan hanya jika f(a) = b

Catatan. f-1(x) 1/f(x)

Jika f: A B dan g: C A, maka komposisi darifungsi f dan g, f ° g: C B, adalah f°g(x) = f(g(x))

26

Beberapa Fungsi PentingFungsi identitas (x)=x

f ° f –1 = f -1 ° f =

Fungsi floor memetakan bilangan real x ke bilanganbulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.

Notasi. x

Fungsi ceiling memetakan bilangan real x ke bilanganbulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x.

Notasi. x

2.4 SEQUENCES AND SUMMATIONS

28

BarisanBarisan adalah fungsi dari himpunan bagian Z (biasanya{0, 1, 2, . . .} atau {1, 2, 3, . . .}) ke himpunan S.

Notasi. an adalah peta dari n dan {an} barisan

Barisan aritmetika adalah barisan dalam bentuk

a, a + d, a + 2d, . . . , a + nd, . . .

dengan suku awal a dan beda d merupakan bilanganreal.

Barisan geometri adalah barisan dalam bentuk

a, ar, ar2, . . . , arn, . . .

dengan suku awal a dan rasio r merupakan bilanganreal.

Relasi Recurrence

Relasi recurrence untuk barisan {an} adalah persamaan yang menyatakan an dalam satu atau lebih suku sebelumnya dalambarisan, yaitu, a0, a1, . . . , an−1, untuk semua bilangan bulat n dengan n ≥ n0, di mana n0 bilangan bulat tak negatif.

Suatu barisan disebut solusi dari relasi recurrence jika suku-sukunya memenuhi relasi recurrence tersebut.

Soal 6.

Apakah {an}, dengan an = 3n untuk setiap bilangan bulat taknegatif n, adalah solusi dari relasi recurrence an = 2an−1 − an−2

for n = 2, 3, 4, . . . . ? Bagaimana dengan an = 2n dan an = 5?

Contoh. Barisan Fibonacci

Barisan Fibonacci, f0, f1, f2, . . . , didefinisikandengan kondisi awal

f0 = 0, f1 = 1,

dan relasi recurrence

fn = fn−1 + fn−2 untuk n = 2, 3, 4, . . . .

Beberapa Barisan Penting

2.5 CARDINALITY OF SETS

33

KardinalitasSuatu himpunan dikatakan hingga jikakardinalitasnya adalah suatu bilangan bulat.

Dua himpunan A dan B dikatakan memilikikardinalitas yang sama, dinotasikan|A| = |B|, jhjterdapat korespondensi satu-satu dari A ke B.

Himpunan tak hingga.Berapakah kardinalitasnya? Apakah semua himpunan tak hingga memilikikardinalitas yang sama?

34

Himpunan TerhitungDefinisi.Suatu himpunan dikatakan terhitung jika himpunan tersebuthingga atau memiliki kardinalitas yang sama denganhimpunan bilangan bulat positif.Himpunan yang bukan terhitung dikatakan tak terhitung.

Jika himpunan tak hingga S terhitung, kardinalitas dari S dinyatakan oleh ℵ0 (aleph null), dan ditulis |S| = ℵ0

Soal 7.Tunjukkan bahwa himpunan bilangan ganjil positif terhitung.Soal 8.Apakah himpunan bilangan real terhitung?

Himpunan Terhitung dan Barisan

Suatu himpunan tak hingga S terhitung jika dan hanya jika dimungkinkan untuk mendaftarkansemua anggota S dalam suatu barisan (yang terindeks oleh bilangan bulat positif).

Hal ini terjadi karena korespondensi satu-satu f dari Z+ ke S dapat diekspresikan denganmenggunakan barisan a1, a2, . . . , an, . . . , di mana a1 = f(1), a2 = f(2), . . . , an = f(n), . . .

DISKUSI KELOMPOKWaktu: 45 menit

Kerjakan dalam kelompok beranggotakan paling banyak 4 orang

1. Misalkan terdapat tanda pada pintu dua buah kamar. Tandadi pintu pertama berbunyi, “Di dalam kamar ini ada seorangwanita, dan di kamar yang lain terdapat seekor macan.” Sedangkan tanda di depan pintu kedua berbunyi, “Di dalamsalah satu dari kedua kamar di sini, terdapat seorang wanita, dan di dalam salah satu dari kedua kamar di sini terdapatseekor macan.”

Jika Anda mengetahui bahwa salah satu tanda tersebutbenar, sedangkan yang lainnya salah, di balik pintu manakahterdapat seorang wanita? Jelaskan jawaban Anda.

2. Tunjukkan bahwa jika 𝑥 adalah bilangan real tak nol, maka

𝑥2 +1

𝑥2≥ 2.