คณิตศาสตร์พื�นฐาน ชั�นมธัยมศึกษาปีที� 3

เล่ม 2

สารบัญ หนา คําชี้แจง คําชี้แจงการใชคูมือครู ก กําหนดเวลาสอนโดยประมาณ ง บทท่ี 1 อสมการ 1 ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 1 แนวทางในการจัดการเรียนรู 2 1.1 อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 2

จุดประสงค 2 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 2

1.2 การแกอสมการเชิงเสนตวัแปรเดยีว 3 จุดประสงค 3

ขอเสนอแนะในการจดักจิกรรมการเรียนการสอน 3 1.3 โจทยปญหาเกีย่วกับอสมการเชิงเสนตวัแปรเดยีว 4

จุดประสงค 4 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 4

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 5 บทท่ี 2 ความนาจะเปน 11 ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 11 แนวทางในการจัดการเรียนรู 12 2.1 ความนาจะเปน 12

จุดประสงค 12 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 12

2.2 การทดลองสุมและเหตกุารณ 13 จุดประสงค 13

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 13 2.3 ความนาจะเปนของเหตกุารณ 14

จุดประสงค 14 ขอเสนอแนะในการจดักจิกรรมการเรียนการสอน 15

2.4 ความนาจะเปนกับการตัดสนิใจ 16 จุดประสงค 16

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 16 คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 17 บทท่ี 3 สถิติ 25 ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 25 แนวทางในการจัดการเรียนรู 26 3.1 ขอมูลและการนําเสนอขอมูล 26

จุดประสงค 26 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 26

3.2 คากลางของขอมูล 28 จุดประสงค 28

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 28 คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 30 บทท่ี 4 ทักษะกระบวนการทางคณติศาสตร 43 ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 44 แนวทางในการจัดการเรียนรู 45 4.1 กิจกรรมพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร 45

จุดประสงค 45 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 45

4.2 ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรกบัตรีโกณมิต ิ 48 จุดประสงค 48

ขอเสนอแนะในการจดักจิกรรมการเรียนการสอน 48 คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 49 คณะกรรมการจัดทําสื่อการเรียนการสอนวชิาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน

5

2. เมื่อนักเรยีนแกอสมการและหาคําตอบได ครูควรฝกใหนักเรยีนตรวจสอบคําตอบที่ไดวาตรงกับเงื่อนไขในโจทยหรือไม และควรชี้ใหนักเรียนเหน็วาคําตอบของโจทยปญหาอาจเปนเพยีงบางคําตอบของอสมการที่หาได ท้ังนี้ข้ึนอยูกับเงื่อนไข เชน ถาเปนความยาวจะเปนจํานวนบวก นักเรยีนตองตรวจสอบคําตอบและความสมเหตุสมผลของคําตอบตามเงื่อนไขของโจทยแตละขอ 3. กิจกรรม “คิดหนอย” เปนโจทยเช่ือมโยงความรูเร่ืองอัตราสวนกบัอสมการเชิงเสน ตัวแปรเดียว 4. กิจกรรม “อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม” เปนกิจกรรมที่แสดงถึงการเชื่อมโยงความรูเร่ืองอสมการไปใชในการแกปญหาทางเรขาคณิต ความรูเร่ืองอสมการอิงรูปสามเหลี่ยมจะนําไปใชมากใน คณิตศาสตรระดับสูงขึ้นไป

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบแบบฝกหัด 1.1

1. 1) 3x + 6 < 20 2) 3x < 18 3) x + 7 > 25 4) 7 x15 ≠ 105

5) 34 (x – 2) < 40

6) 2(x – 4) < 5(x + 8) 7) 3

4 x + 8 < 15 2. 1) 2) 3)

-18 9 -9 0 18 27

-9 0 -6 -3 3 6

-12 6 -6 0 12 18

6

4) 5) 3. 1) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา -2 2) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ 8 3) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา 15 4) จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน -6 5) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 10 แตนอยกวาหรือเทากับ 30 6) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ -150 แตนอยกวาหรือเทากับ 50

คําตอบกิจกรรม “นาคิด” 1. ไมถูกตอง ตัวอยางเชน a = 1, b = 2 และ c = -5 จะได 1 < 2 แต (1)(-5) > (2)(-5) หรือ -5 > -10 2. ไมถูกตอง ตัวอยางเชน a = -10 และ b = 3 จะได -10 < 3 แต (-10)2 > 32 หรือ 100 > 9 3. ไมถูกตอง ตัวอยางเชน a = 2 และ b = -3 จะได 22 < (-3)2 หรือ 4 < 9 แต 2 > -3 4. ถูกตอง เนื่องจากเมือ่ a, b และ c แทนจํานวนจริงใด ๆ ถา a < b แลว -a > -b (สมบัติการคูณของการไมเทากัน) -a + c > -b + c (สมบัติการบวกของการไมเทากัน) หรือ c – a > c – b 5. ไมถูกตอง ตัวอยางเชน a = -2, b = 1 และ c = 0 จะได -2 < 1 แต (-2)2 – 02 > 12 – 02 หรือ 4 > 1 6. ไมถูกตอง ตัวอยางเชน a = -5 และ b = 5 จะได -5 ≠ 5 แต (-5)2 = 52 หรือ 25 = 25

-6 12 0 6 18 24

-10 20 0 10 30 40

7

คําตอบแบบฝกหัด 1.2 1. 1) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ 7 2) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา 2 3) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ 12 4) จํานวนจริงทุกจํานวนที่ยกเวน 4 5) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา 7 6) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ 13 7) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 5 8) จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน 111 9) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 15

14 10) จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน 5

5 8 6 7 9

-1 2 0 1 3

-6 12 0 6 18

-14 7 -7 0 14

11 14 12 13 15

-5 10 0 5 15

1 1514 2

0 6 2 4 8

0 111 37 74 148

-5 10 0 5 15

8

2. 1) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 26 2) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา -2 3) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ 5 4) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ -3 5) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา 1 6) จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน -8

3 7) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ 31 8) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ 7

2 9) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ 3 10) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา 715 9 11) จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน -4 12) จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน 0

คําตอบกิจกรรม “บอกหนอยซ”ิ

1) ไมมีจํานวนจริงใดเปนคําตอบ ตัวอยางแนวคิด จํานวนใดจํานวนหนึ่งลบดวย 2 ยอมมากกวาจํานวนนัน้ลบดวย 3 ดังนั้น ไมมีจํานวนใดลบดวย 2 แลวยังนอยกวาจํานวนนั้นลบดวย 3 2) จํานวนจริงทุกจํานวน ตัวอยางแนวคิด สองเทาของจํานวนใดจํานวนหนึ่ง ยอมมากกวาสองเทาของจํานวนนัน้ ลบดวย 1 3) จํานวนจริงทุกจํานวน ตัวอยางแนวคิด จํานวนใดจํานวนหนึ่งลบดวย 2 ยอมนอยกวาจํานวนนัน้บวกดวย 1 4) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 0 ตัวอยางแนวคิด สองเทาของจํานวนบวก ยอมมากกวาจํานวนนัน้ หรือ 2y > y 2y – y > 0 ดังนั้น y > 0

9

คําตอบแบบฝกหัด 1.3

1. 249 หนา 2. 48 เหรียญ 3. 11 และ 12 4. 135 ตารางเซนติเมตร 5. จํานวนนักเรียนหอง ก ท่ีเปนไปไดคือ 24, 30, 36, ..., 48 ( 2

3 ของจํานวนนักเรียนหอง ก และ 12 ของนักเรียนหอง ข ตองเปนจํานวนนับ)

6. ควรบรรจุมะมวงใสลังอยางนอยลังละ 55 ผล อยางมากลังละ 75 ผล

คําตอบกิจกรรม “คิดหนอย” คําตอบ เดิมแชมเล้ียงสัตวไวท้ังหมดเปนจํานวนใดจํานวนหนึ่งในจํานวนตอไปนี้ 1002, 1008, 1014, ..., 1398 แนวคิด ใหแชมเล้ียงสัตวไวท้ังหมด x ตัว ขายเปดไป 500 ตัว ขายไกไป 200 ตัว ดังนั้น ขายสัตวไปทั้งหมด 700 ตัว นั่นคือ จะเหลอืสัตวท้ังหมด x – 700 ตัว แตเหลือสัตวไมถึงครึ่งหนึ่งของจํานวนสัตวเดิม จะได x – 700 < x

2 ดังนั้น x < 1400 --------------- (1) จากอัตราสวน เปด : ไก : กระตาย = 3 : 2 : 1 นั่นคือ เมื่อมีสัตวท้ังหมด 6 ตัว จะเปนเปด 3 ตัว ไก 2 ตัว และกระตาย 1 ตวั ดังนั้น ถามีสัตว x ตัว จะเปนเปด 3 x6 ตัว ไก 2 x6 ตัว และกระตาย x

6 ตัว เนื่องจากขายเปดไป 500 ตวั แสดงวามีเปดอยางนอย 500 ตัว ดังนั้น 3 x6 > 500 x > 1000 --------------- (2) และขายไกไป 200 ตัว ดังนั้น 2 x6 > 200 x > 600 --------------- (3)

10

จาก (1), (2) และ (3) จะได 1000 < x < 1400 และจากอัตราสวนของจํานวนเปด ไก และกระตาย เปน 3 : 2 : 1 ดังนั้น จํานวนสัตวท้ังหมดคือ x ตองหารดวย 6 ลงตวั ซ่ึงจํานวนทีอ่าจเปนไปได ไดแก 1002, 1008, 1014, ..., 1398 นั่นคือ แชมเล้ียงสัตวไวท้ังหมดเปนจํานวนใดจํานวนหนึง่ดังขางตน

คําตอบกิจกรรม “อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม” 1. (1) สวนของเสนตรงในขอ 1) และ 3) สามารถประกอบเปนรูปสามเหลี่ยมได เพราะผลบวกของ ความยาวของดานสองดานใด ๆ จะยาวกวาความยาวของดานที่เหลือ (2) สวนของเสนตรงในขอ 2) และ 4) ไมสามารถประกอบเปนรูปสามเหลี่ยมได เพราะมีผลบวก ของความยาวของดานสองดาน บางคูไมยาวกวาความยาวของดานที่เหลือ ดังนี ้ ในขอ 2) ผลบวกของความยาวของดานที่ยาว 7 และ 9 ซ่ึงเทากับ 16 เซนติเมตร ส้ันกวาความยาวของดานที่เหลือซ่ึงยาว 17 เซนติเมตร ในขอ 3) ผลบวกของความยาวของดานที่ยาว 4 และ 11 ซ่ึงเทากับ 15 เซนติเมตร ไมยาวกวาความยาวของดานที่เหลือซ่ึงยาว 15 เซนตเิมตร 2. 1) 6 < AB < 24 2) 3

2 < AB < 196

17 7. กิจกรรม “ลีลาวดีลูกผสม” มีเจตนาเพื่อใหนักเรยีนเห็นตวัอยางของการเชื่อมโยงที่นํา ความรูเร่ืองความนาจะเปนมาอธิบายปรากฏการณทางวิทยาศาสตร ครูอาจใหนักเรียนรวมกนัอภิปรายและ ตอบคําถามในกิจกรรม

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบกิจกรรม “คิดอยางไร”

สถานการณ 1 กองคิดวามีโอกาสที่จะขึ้นรถเมลที่ปายตรงจุด C ไดมากกวาที่ปายตรงจุด B สถานการณ 2 แกวคดิวามีโอกาสที่ฝนจะตกในเวลาอันใกล สถานการณ 3 ออคิดวามีโอกาสที่จะเขาเรียนไดในโรงเรียน ข มากกวาในโรงเรียน ก สถานการณ 4 คนเมาแลวขับรถมีโอกาสเกิดอุบัติเหตุสูง

คําตอบกิจกรรม “ไดเปรียบหรือไม”

1. ถุงที่สาม เพราะในถุงมีลูกแกวสีแดงมากกวาลูกแกวสีเขยีว 2. ถุงที่สอง เพราะในถุงมีลูกแกวสีเขียวอยางเดียว 3. ถุงที่สอง 4. ถุงที่หนึ่ง

คําตอบกิจกรรม “เปนหรือไม”

1. เปน 2. เปน 3. ไมเปน 4. เปน 5. เปน 6. ไมเปน

คําตอบแบบฝกหัด 2.2

1. 1) ชาย ชาย, ชาย หญิง, หญิง ชาย และ หญิง หญิง

18 2) เตาสวน บัวลอย, เตาสวน ถ่ัวดํา, เตาสวน กลวยบวชชี, บัวลอย ถ่ัวดํา, บวัลอย กลวยบวชชี และ ถ่ัวดํา กลวยบวชช ี 3) ไทย พมา, ไทย ลาว, ไทย บรูไน, ไทย มาเลเซีย, พมา ลาว, พมา บรูไน, พมา มาเลเซีย, ลาว บรูไน, ลาว มาเลเซีย และ บรูไน มาเลเซีย 2. ผลลัพธทั้งหมดที่อาจจะเกดิขึ้นจากการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 คร้ัง คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH และ TTT 1) ออกกอย 1 คร้ัง มีผลลัพธ คือ HHT, HTH และ THH 2) ออกหวันอยกวาออกกอย มีผลลัพธ คือ HTT, THT, TTH และ TTT 3) ออกกอยมากกวา 2 คร้ัง มีผลลัพธ คือ TTT 4) ไมมีผลลัพธของเหตุการณออกหวัและออกกอยจํานวนครั้งเทากนั 3. ผลลัพธทั้งหมดที่อาจจะเกดิขึ้นจากการหมนุแปน 2 แปนพรอมกัน คอื (-1, -4), (-1, +5), (-1, +6), (+2, -4), (+2, +5), (+2, +6), (-3, -4), (-3, +5) และ (-3, +6) 1) ผลบวกเปนจํานวนลบ มีผลลัพธ คือ (-1, -4), (+2, -4) และ (-3, -4) 2) ผลบวกเปน 8 มีผลลัพธ คือ (+2, +6) 3) ไมมีผลลัพธของเหตุการณผลบวกเปน 1 4. เพื่อนจะไดรับลูกอมรสตาง ๆ คือ นม สม, นม องุน, นม สละ, สม องุน, สม สละ และ องุน สละ

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 1. 1) 1

6

2) 36 หรือ 1

2

3) 36 หรือ 1

2

4) 46 หรือ 2

3 2. 1) 8

15

2) 615 หรือ 2

5

3) 115

4) 015 หรือ 0

19 3. 1) 7

8

2) 18

3) 08 หรือ 0

4) 48 หรือ 1

2 4. 1) 6

36 หรือ 16

2) 836 หรือ 2

9 3) 1 4) 30

36 หรือ 56

5) 636 หรือ 1

6

5. 212 หรือ 1

6

คําตอบกิจกรรม “คาดการณอยางไร”

ตัวอยางคําตอบ สถานการณ 1 จุรีนาจะไดรับประทานสมโชกุน เนื่องจากจํานวนสมโชกุนมากกวาจํานวนสมอ่ืน ๆ แตละชนิด ทําให ความนาจะเปนที่ลูกชายของจุรีจะหยิบไดสมโชกุนมากกวาความนาจะเปนที่จะ หยิบไดสมสายน้ําผ้ึง และมากกวาความนาจะเปนที่จะหยิบไดสมบางมด สถานการณ 2 เนื่องจากความนาจะเปนที่จะจับฉลากไดเรียนในโรงเรียน ก เทากับ 120

200 หรือ

610 มากกวาความนาจะเปนที่จะจับฉลากไดเรียนในโรงเรยีน ข ซ่ึงเทากบั 300

600

หรือ 510

สถานการณ 3 จากขอมูลเกี่ยวกับรายงานอากาศและเหตกุารณท่ีเห็น ทําใหสรุปไดวามี ความนาจะเปนสูงที่ฝนจะตกในวันนัน้ ดงันั้นวนัเพ็ญควรเตรียมรมหรือเส้ือกันฝน ติดตัวไปโรงเรียน และควรออกจากบานเร็วข้ึนเพื่อเผ่ือเวลาในการเดนิทาง เพราะ อาจมีปญหาการจารจร หรืออุปสรรคอื่น ๆ

20 สถานการณ 4 ปาละเมียดนาจะเตรยีมอาหารมาขายเพิ่มขึน้ เนื่องจากมคีวามนาจะเปนสูงที่ ผูมาสอบจะตองรับประทานอาหารกลางวันที่โรงเรียน เพราะมีการสอบทั้ง ชวงเชาและชวงบาย สถานการณ 5 เมื่อ 2 ปกอนชัยคาดการณท่ีหวังรํ่ารวยจากการผลิตผลแกวมังกรออกมาขายและ เปนการตัดสินใจที่ไมถูกตอง ท้ังนี้เนื่องจากชัยไมไดคิดถึงความนาจะเปนที่ ผลแกวมังกรจะลนตลาด เพราะมีชาวสวนคนอื่น ๆ ตางก็ผลิตผลแกวมังกรออก มาดวย สถานการณ 6 เนื่องจากการผลิตสินคาใด ๆ มีโอกาสเกิดความผิดพลาดในการผลิตดวยเหต ุ จากชิ้นสวนดอยคุณภาพ หรือฝมือการประกอบสินคาไมไดมาตรฐาน ดังนั้น มีความนาจะเปนที่รถยนตใหมบางคันจะเกิดปญหาในการใช จนตองสงเขาซอม บอย ๆ

คําตอบกิจกรรม “ชวยกันรณรงค” โครงการรณรงคตาง ๆ ของรัฐบาลมีการนําความรูเกีย่วกบัความนาจะเปนมาใชเปนประโยชน เนื่องจากไดวิเคราะหมาแลววา ถาไมมีการรณรงคก็มีความนาจะเปนสูงที่จะทําใหสังคม หรือส่ิงแวดลอมเกดิปญหา และการรณรงคตาง ๆ เปนการใหความรูความเขาใจกับประชาชน เมื่อประชาชนมีโอกาสไดฟงไดเห็นบอย ๆ ทําใหมีความนาจะเปนสูงที่ประชาชนจะคลอยตาม และปฏิบัติตามการรณรงคนั้น ตัวอยางโครงการรณรงค เชน โครงการปลูกปาถาวรเฉลิมพระเกียรติ และโครงการ ทูบีนัมเบอรวนั

คําตอบกิจกรรม “หวยทอง”

1. คาคาดหมายเทากับ 50 บาท แนวคดิและตัวอยางคําอธิบาย คาคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ถูกรางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณท่ีถูกรางวัล) + (ผลตอบแทนที่ไมถูกรางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณท่ีไมถูกรางวัล) = ( 2,500 × 2

100 ) + ( 0 × 98100 )

= 50 บาท

21 ดังนั้น คาคาดหมายที่ผูซ้ือจะไดเงนิจากการซื้อสลากสองหมายเลขเทากับ 50 บาท แสดงวา ในการซื้อหวยทองหมายเลขละ 100 บาทสองหมายเลข มีคาคาดหมายที่จะไดเงนิ 50 บาท ซ่ึงเสียเปรียบอยู 200 – 50 = 150 บาท นั่นคือ ถาซ้ือหวยทองสองหมายเลขหลาย ๆ คร้ัง โดยเฉลี่ยแลวแตละครั้งผูซ้ือจะเสียเปรยีบหรือผูขาย มีกําไร 2. ผูขายยังจะไดกําไร แนวคดิและตัวอยางคําอธิบาย คาคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ถูกรางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณท่ีถูกรางวัล) + (ผลตอบแทนที่ไมถูกรางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณท่ีไมถูกรางวัล)

= ( 2,500 × 1100 ) + ( 0 × 99

100 ) = 25 บาท ดังนั้น คาคาดหมายที่ผูซ้ือจะไดเงนิจากการซื้อสลาก ราคา 50 บาทเทากับ 25 บาท แสดงวา ในการซื้อหวยทองหนึ่งหมายเลขราคา 50 บาท มีคาคาดหมายทีจ่ะไดเงิน 25 บาท ซ่ึง เสียเปรียบอยู 50 – 25 = 25 บาท นั่นคือ ถาซ้ือหวยทองหมายเลขละ 50 บาทหลาย ๆ คร้ัง โดยเฉลี่ยแลวแตละครั้งผูซ้ือจะเสียเปรียบหรือ ผูขายมีกําไร 3. ผูขายยังจะไดกําไร แนวคดิและตัวอยางคําอธิบาย คาคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ถูกรางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณท่ีถูกรางวัล) + (ผลตอบแทนที่ไมถูกรางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณท่ีไมถูกรางวัล)

= ( 5,000 × 1100 ) + ( 0 × 99

100 ) = 50 บาท ดังนั้น คาคาดหมายที่ผูซ้ือจะไดเงนิจากการซื้อสลากราคา 100 บาท โดยมีรางวัลเปนสรอยทองคําหนัก สองสลึงหนึ่งเสนราคา 5,000 บาทเทากับ 50 บาท แสดงวา ในการซื้อหวยทองที่มีการขายสลากราคาเดมิ แตเพิ่มรางวัลเปนสรอยทองคําหนักสองสลึง หนึ่งเสนราคา 5,000 บาท มีคาคาดหมายที่จะไดเงนิ 50 บาท ซ่ึงเสียเปรียบอยู 100 – 50 = 50 บาท นั่นคือ ถาซ้ือหวยทองหลาย ๆ คร้ัง โดยเฉลี่ยแลวแตละครั้งผูซ้ือจะเสียเปรียบหรือผูขายมีกําไร

22

คําตอบกิจกรรม “ไดหรือไม”

1. 1) 2

8 หรือ 14

2) 68 หรือ 3

4 3) คาคาดหมาย เทากับ 5 บาท ตัวอยางคาํอธิบาย แสดงวา ในการซื้อตั๋วหมุนวงลอเส่ียงโชคราคา 10 บาท มีคาคาดหมายที่จะไดเงนิ 5 บาท ซ่ึงเสียเปรียบอยู 10 – 5 = 5 บาท นั่นคือ ถาแกวซ้ือตั๋วหมุนวงลอเส่ียงโชคหลาย ๆ คร้ัง โดยเฉลี่ยแลวแตละครั้งแกวตาจะ เสียเปรียบหรือผูขายมีกําไร

4) คาคาดหมาย เทากับ 10 บาท ตัวอยางคาํอธิบาย แสดงวา ในการซื้อตั๋วหนึ่งใบหมุนวงลอเส่ียงโชคสองครั้งราคา 10 บาท มีคาคาดหมายที ่ จะไดเงนิ 10 บาท ซ่ึงเสียเปรียบอยู 10 – 10 = 0 บาท นั่นคือ ถาแกวตาซื้อตั๋วหมุนวงลอเส่ียงโชคหลาย ๆ ใบ โดยเฉลี่ยแลวแตละใบแกวตาจะ เสมอตัว 2. 1) คาคาดหมาย เทากับ 180,000 บาท แนวคดิ คาคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ไดงานและมีกาํไร × ความนาจะเปนของเหตุการณท่ีไดงาน และมีกําไร) + (ผลตอบแทนที่ไมไดงาน × ความนาจะเปนของเหตุการณ ท่ีไมไดงาน)

= ( 300,000 × 0.6 ) + ( -200,000 × 0.4 ) = 100,000 บาท

2) ตัวอยางคําตอบ บริษัทชาญชัยกอสรางควรเขาประมูลราคา เพราะมีคาคาดหมายทีจ่ะไดกําไร 100,000 บาท ท้ังทําใหคนงานมีงานทํา ซ่ึงถาไมมีงาน อาจตองปลดออก โดยบริษัทอาจ ตองเสียคาใชจายในการปลดออกเปนเงินจํานวนหนึง่และไมมีรายไดเขามา สวนในกรณ ี บริษัทเขาประมูลและไมไดงานดวยความนาจะเปน 0.4 ก็ควรจะถือเปนความเสี่ยงทางธุรกิจที่ จะเสียเงินคาใชจายในการเตรียมขอมูล 200,000 บาท

23

คําตอบกิจกรรม “สลากกินแบงรัฐบาล” คําตอบในตารางเปนดังนี ้

เหตุการณ ผลตอบแทน (บาท) ความนาจะเปน ผลตอบแทน × ความนาจะเปน

ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัว 1,000 000,000,1

000,10 1,000 × 000,000,1

000,10 = 10

ถูกรางวัลเลขทาย 3 ตัว 2,000 000,000,1

000,4 2,000 × 000,000,1

000,4 = 8

ถูกรางวัลขางเคียง รางวัลท่ีหนึ่ง 50,000

000,000,12 50,000 ×

000,000,12 = 0.1

ถูกรางวัลท่ี 5 10,000 000,000,1

100 10,000 × 000,000,1

100 = 1

ถูกรางวัลท่ี 4 20,000 000,000,1

50 20,000 × 000,000,1

50 = 1

ถูกรางวัลท่ี 3 40,000 000,000,1

10 40,000 × 000,000,1

10 = 0.4

ถูกรางวัลท่ี 2 100,000 000,000,1

5 100,000 × 000,000,1

5 = 0.5

ถูกรางวัลท่ี 1 2,000,000 000,000,1

1 2,000,000 × 000,000,1

1 = 2

ไมถูกรางวัลเลย 0 985,8321,000,000 0 × 985,832

1,000,000 = 0 คาคาดหมายของการซื้อสลากหนึ่งฉบับ เทากับ 23

ดังนั้น ถาซ้ือสลากกินแบงรัฐบาลไปเรื่อยๆ จะขาดทนุฉบับละ 40 – 23 = 17 บาท

24

คําตอบกิจกรรม “ลีลาวดีลูกผสม” 1. 1 2. 0 3. 4. 2

4 หรือ 12

5. 24 หรือ 1

2

ลีลาวดีดอกสีชมพู RW R W R RR RW W RW WW

ลีลาวดีดอกสีชมพู RW

30

9. ความคลาดเคลื่อนในการใชสถิติ ในสวนนี้เปนเพยีงตัวอยางสถานการณที่เนนเฉพาะความ คลาดเคลื่อนที่เกิดจากการเกบ็รวบรวมและการนําเสนอขอมูล ดังปรากฏในกจิกรรม “เชื่อถือไดเพียงใด” และกิจกรรม “ภาพลวงตา” สวนความคลาดเคลื่อนในแงอ่ืน ๆ เชน ความคลาดเคลื่อนจากการวิเคราะห ขอมูลอันเนื่องจากการใชคากลางที่ไมเหมาะสม ไดมีการสอดแทรกมากอนหนาแลวในหัวขอ 3.2 นี้ 10. กิจกรรม “ประชากรของประเทศไทย” มุงใหนักเรียนไดเห็นการนําเสนอขอมูลในรูปแผนภูมแิทงทีม่ีลักษณะพิเศษ แตกตางจากที่นักเรยีนคุนเคย และเพื่อเปนการฝกการวิเคราะหแปลความหมาย ตลอดจนฝกการคาดการณในอนาคตเกีย่วกับจํานวนของประชากร ครูอาจใหนักเรยีนรวมกันอภิปรายและตอบคําถามตามที่เสนอไวหรือคําถามอื่น ๆ เพิ่มเติมตามความเหมาะสม

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบกิจกรรม “มีขั้นตอนอยางไร”

ตัวอยางคําตอบ : สุดาและเพื่อนอาจดําเนนิการตามลําดบั ดังนี ้ 1. สํารวจความคดิเห็นของสมาชิกดวยการถามทุกคนโดยตรง 2. จําแนกจํานวนตามแบบที่เลือก 3. แบบที่มีคนเลอืกมากที่สุด คือ แบบที่คนสวนใหญพอใจ

คําตอบกิจกรรม “บอกไดไหม”

1. ขอมูลเชิงปริมาณ 2. ขอมูลเชิงคุณภาพ 3. ขอมูลเชิงคุณภาพ 4. ขอมูลเชิงปริมาณ 5. ขอมูลเชิงคุณภาพ

คําตอบกิจกรรม “ตารางบอกอะไร” 1. จํานวนครัวเรือนเกษตรและเนื้อที่ถือครองทําการเกษตร เฉลี่ยตอครัวเรือน จําแนกตามภาค ป 2536 ป 2541 และป 2546 2. 5,787,774 ครัวเรือน 19.7 ไร

31

3. ครัวเรือนเกษตรในป 2541 ลดลงจากป 2536 67,447 ครัวเรือน และในป 2546 เพิ่มขึ้นจากป 2541 210,513 ครัวเรือน 4. เนื้อที่ถือครองทําการเกษตรเฉลี่ยตอครัวเรือนเกษตรในป 2541 ลดลงจากป 2536 0.9 ไร และในป 2546 ลดลงจากป 2541 0.2 ไร 5. 17,863,500 ครัวเรือน 6. ภาคตะวันออกเฉียงเหนือ รอยละ 45.60

คําตอบกิจกรรม “หมวกกันน็อก” 1. กลุมอายุ 0 – 14 ป คิดเปนรอยละ 65.8 2. กลุมอายุ 15 – 24 ป คิดเปนรอยละ 64.2 3. รอยละของกลุมอายุ 60 ปขึ้นไป และมากกวากันรอยละ 38.7 4. ลําดับที่ 1 กลุมอายุ 0 – 4 ป (คิดเปนรอยละ 5.5) ลําดับที่ 2 กลุมอายุ 60 ปขึ้นไป (คิดเปนรอยละ 9.4) ลําดับที่ 3 กลุมอายุ 15 – 24 ป (คิดเปนรอยละ 17.2) ลําดับที่ 4 กลุมอายุ 40 – 59 ป (คิดเปนรอยละ 20) ลําดับที่ 5 กลุมอายุ 25 – 39 ป (คิดเปนรอยละ 22.6)

คําตอบกิจกรรม “ตอบไดไหม” 1. ภาคตะวันออกเฉียงเหนือ 2. รอยละ 9 3. 0.5 ลานคน หรือ 5 แสนคน

คําตอบกิจกรรม “ขาวหอมมะล”ิ 1. พ.ศ. 2544 2. ป 2545 3. กรกฎาคม สิงหาคม และ ธันวาคม 4. พฤศจิกายน ป พ.ศ. 2546 ประมาณ 290,000 ตัน

32

คําตอบกิจกรรม “วันสงกรานต” 1. ตัวอยางคําตอบ 1) แผนภูมแิทง หรือกราฟเสน เพราะ ตองการแสดงการเปรียบเทียบจํานวนผูเสียชีวิต จากอุบัตเิหตุจราจรในเทศกาลสงกรานต โดยจําแนกตามป พ.ศ. เพียงอยางเดยีว 2) นําเสนอดวยแผนภูมิแทง ดังนี ้

แผนภูมิแสดงจํานวนผูเสียชวิีตจากอุบัติเหตุจราจรในเทศกาลสงกรานต ป 2544 – 2548

ที่มา : ขอมูลป 2544 – 2546 จากศูนยนเรนทร กระทรวงสาธารณสุข : ขอมูลป 2547 – 2548 จากหนังสือพิมพมติชน ฉบับวันที่ 19 เมษายน 2548 2. ตัวอยางคําตอบ 1) แผนภูมแิทง หรือกราฟเสน เพราะ ตองการแสดงการเปรียบเทยีบจํานวนผูเสียชีวิตจาก อุบัติเหตจุราจร โดยจาํแนกตามเพศและวนัที่ที่เกดิอุบัติเหตุจราจร 2) นําเสนอดวยแผนภูมิแทง ดังนี ้

จํานวนผูเสียชีวิต (คน)

530 606 668 654

522

0 100 200 300 400

2544 2545 2546 2547 2548

500 600 700 800

ป

33

แผนภูมิแสดงจํานวนผูเสียชวิีตจากอุบัติเหตุจราจร แยกตามเพศในชวงเทศกาลสงกรานต ตั้งแตวันท่ี 11 – 17 เมษายน 2546

ที่มา : ศูนยนเรนทร กระทรวงสาธารณสุข 3. ตัวอยางคําตอบ 1) กราฟเสน หรือแผนภมูิแทง เพราะ ตองการแสดงการเปรียบเทยีบจํานวนผูเสยีชีวิตจาก อุบัติเหตุจราจร ในชวงเทศกาลสงกรานตโดยจําแนกตามป พ.ศ. และวันที่ที่เกิดอุบัติเหตุ 2) นําเสนอดวยกราฟเสน ดังนี้

กราฟเสนแสดงจํานวนผูเสียชีวิตจากอุบัติเหตุจราจรในชวงเทศกาลสงกรานต ตั้งแตวันท่ี 11 – 17 เมษายน 2544 – 2546

ที่มา : ศูนยนเรนทร กระทรวงสาธารณสุข

รวม ชาย หญิง

11 12 13 14 15 16 17 0

50

100

150

200

จํานวนคน

วันที่

2544

2545 2546

11 12 13 14 15 16 17 0 50

100 150 200

จํานวนคน

วันที่

34

คําตอบกิจกรรม “แรงงานขั้นต่ํา”

1. 42 บาท 2. 7 + 1 = 8 อันตรภาคชั้น 3.

คาจางขัน้ต่าํ (บาท) รอยขีด ความถี่ 136 – 141 11 142 – 147 47 148 – 153 8 154 – 159 1 160 – 165 2 166 – 171 – 172 – 177 – 178 – 183 7

4. 1) 142 – 147 บาท 2) 67 จังหวัด 3) 9 จังหวัด 4) ไมม ี

คําตอบกิจกรรม “เอดส”

1. ไมเทากัน 2. อายุต่ํากวา 15 ป และอายุ 60 ปขึ้นไป 3. 5 4. ชวง 30 – 34 ป และมีจํานวน 439 คน 5. 403 คน 6. 992 คน 7. 419 คน 8. บอกไมได

35

คําตอบแบบฝกหัด 3.1

1. 1) 10 คน 2) ชวงเวลา 25 – 30 นาที 3) 13 คน 4) บอกไมได 5) บอกไมได 6) บอกไมได 7) ใช 2.

ชวงอายุ (ป) รอยขีด ความถี่ (คน) 10 – 19 11 20 – 29 10 30 – 39 11 40 – 49 18 50 – 59 13 60 – 69 12 70 – 79 5

รวม 80

1) ชวงอายุ 40 – 49 ป 2) 32 คน 3) 17 คน 4) 50 คน 3. 1) 10 คะแนน 2) 64.5 คะแนน 3) 50 – 59 คะแนน 4) 20 คน 5) 85 คน 6) 55 คน

36

7) 4. สรางฮิสโทแกรมและรูปหลายเหลี่ยมของความถี่ ไดดังนี้

10

20

30

40

50

0

20.5

30.5

40.5

50.5

60.5

70.5

80.5

90.5

100.5

จํานวนหลังคาเรือน

พ้ืนที่ (ตารางวา)

10

20

30

40

50

60

70

จํานวน (คน)

0 คะแนนสอบ

80

90

29.5

39.5

49.5

59.5

69.5

79.5

89.5

99.5

24.5

104.5

37

คําตอบกิจกรรม “แบบไหนดี”

ตัวอยางคําตอบ 1. แผนภูมิรูปวงกลม เพราะตองการแสดงการเปรียบเทยีบการใชจายในการจัดนิทรรศการทางวิชาการ ของโรงเรียน โดยจําแนกตามประเภทการใชจายเพียงอยางเดยีว 2. แผนภูมแิทง เพราะตองการแสดงการเปรียบเทียบจํานวนผูโดยสารรถไฟฟาบีทีเอส โดยจําแนกเปน รายวันใน 1 สัปดาหเพยีงอยางเดยีว 3. ตารางแจกแจงความถี่ เพราะปริมาณของขอมูลมีมากและซ้ํา ๆ กัน 4. กราฟเสน เพราะตองการแสดงการเปรียบเทียบมูลคาการสงออกขาวไทยเปนรายไตรมาส โดย จําแนกตาม พ.ศ. ที่กําหนด 5. ตารางแจกแจงความถี่ เพราะปริมาณของขอมูลมีมากและซ้ํา ๆ กัน

คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ก

1. 1) ประมาณ 7.9 2) 3.2 3) 75.5 4) 246 2. 1) 15 คร้ัง

10

20

30

40

50

0

20.5

30.5

40.5

50.5

60.5

70.5

80.5

90.5

100.5

จํานวนหลังคาเรือน

พ้ืนที่ (ตารางวา)

15.5

105.5

38

2) 1 ช่ัวโมง 3) 40 ช่ัวโมง 4) ประมาณ 17.5 ช่ัวโมง 3. 1) 510 คะแนน 2) 54 คะแนน 4. ในวนัที่ 7 ตองเก็บเงิน 34 บาท 5. ผลการเรียนเฉลี่ย 5 ภาคเรียน ประมาณ 3.46

คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ข

1. 1) 25 2) 5.8 3) 72 4) 12 2. 1) 7 2) ไมมีฐานนิยม 3) 11 3. 1) เบอร 12 2) ประมาณ 7 ตัว 4. คาเฉลี่ยของผลรวมของแตมที่ปรากฏ ประมาณ 6.9 มัธยฐานของผลรวมของแตมที่ปรากฏ คือ 7 ฐานนิยมของผลรวมของแตมที่ปรากฏ คือ 7 5. 1) มัธยฐาน 2) ฐานนยิม 3) มัธยฐาน 4) คาเฉลี่ยเลขคณิต

39

6. 1) คาเฉลี่ยเลขคณิตของรายไดตอเดือนเทากับ 15,840 บาท มัธยฐานของรายไดตอเดือนเทากับ 12,000 บาท ฐานนิยมของรายไดตอเดือนเทากับ 10,000 บาท 2) เจาของบริษัทนาจะเลือกคาเฉลี่ยเลขคณิตซึ่งเทากับ 15,840 บาท โดยจะอางวาเฉลี่ยแลว บริษัทจายคาจางพนกังานสูงถึงเดือนละ 15,840 บาท ตัวแทนพนักงานนาจะเลือกฐานนยิม โดยจะอางวาพนักงานสวนใหญไดรับเงนิเดือนจาก บริษัทเพียงเดือนละ 10,000 บาท คนกลางผูไกลเกลี่ยนาจะเลือกมัธยฐาน โดยจะอางหลักการทางสถิติ เพราะรายไดตอเดือน ของพนักงานมีความแตกตางกันมาก

คําตอบกิจกรรม “ตัดสินอยางไร” แนวคิด สีมวง มีนักวิ่ง 3 คน ใชเวลาวิ่ง 14 วินาที 2 คน และ 15 วินาที 1 คน คิดเวลาวิ่งโดยเฉลี่ยประมาณ 14.33 วินาที สีเหลือง มีนักวิ่ง 3 คน ใชเวลาวิ่ง 14 วินาที 2 คน และ 16 วินาที 1 คน คิดเวลาวิ่งโดยเฉลี่ยประมาณ 14.67 วินาที สีเขียว มีนักวิ่ง 3 คน ใชเวลาวิ่งคนละ 13, 15 และ 16 วนิาที ตามลําดับ คิดเวลาวิ่งโดยเฉลี่ยประมาณ 14.67 วินาที สีแดง มีนักวิ่ง 3 คน ใชเวลาวิ่ง 15 วินาที 2 คน และ 16 วินาที 1 คน คิดเวลาวิ่งโดยเฉลี่ยประมาณ 15.33 วินาที สีมวง ควรเปนทีมชนะเลิศ เพราะใชเวลาวิ่งโดยเฉลี่ยนอยที่สุด

40

คําตอบกิจกรรม “หาไดเชนเดียวกัน”

คะแนนกลุม B สวนเบี่ยงเบน กําลังสองของสวนเบี่ยงเบน 8 16 27 33 34 36 38 38 50 60

-26 -18 -7 -1 0 2 4 4 16 26

676 324 49 1 0 4 16 16 256 676

รวม 2018 คาเฉลี่ยเลขคณิตของกําลังสองของสวนเบี่ยงเบนเทากบั 2018

10 = 201.8 สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนกลุม B เทากับ 201.8 ≈ 14.2 คําตอบแบบฝกหัด 1. 1) พิสัยเทากับ 11 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 3.6 2) พิสัยเทากับ 8 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 3 3) พิสัยเทากับ 0 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 0 4) พิสัยเทากับ 12 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 3.4 5) พิสัยเทากับ 7 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 2.4 2. คาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 85.5 คะแนน มัธยฐานเทากบั 87.5 คะแนน ฐานนิยมเทากบั 90 คะแนน พิสัยเทากับ 25 คะแนน สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 7.7 คะแนน

41

คําตอบปญหา “คิดแลวสนุก”

1. ไมได เพราะสวนเบีย่งเบนมาตรฐานหาไดในกรณีใดกรณหีนึ่งดังตอไปนี ้ 1) ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของกําลังสองของสวนเบี่ยงเบนเปนจํานวนบวก สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเทากับรากที่สองที่เปนบวกของคาเฉลีย่เลขคณิต นั้น 2) ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของกําลังสองของสวนเบี่ยงเบนเปนศูนย สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 0 2. ได ในกรณีท่ีทุก ๆ ขอมูลของขอมูลชุดหนึ่งมีคาเทากันหมด

คําตอบแบบฝกหัด หนา 140

1. 1) 68.2% 2) 2.3% 2. 1) 3,410 ตัว 2) มี และมี 1,590 ตัว แนวคิด จากโจทย มีคาเฉลี่ยเลขคณิตของความยาวของเข็มหมุด (µ) เทากับ 1.30 นิ้ว และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความยาวของเข็มหมุด (σ) เทากับ 0.03 นิ้ว จํานวนเข็มหมดุที่มีความยาวตามที่โรงงานคํานวณหาไดจากการหาพื้นที่ ใตเสนโคงปกติระหวาง µ – 1σ และ µ + 1σ

คําตอบกิจกรรม “เชื่อถือไดเพียงใด”

ตัวอยางคําตอบ แตละสถานการณจะพจิารณาตามขั้นตอนของการดําเนินการทางสถิติ ดังนี ้ สถานการณ 1 ขอมูลท่ีไดยังไมนาเชื่อถือ เนื่องจากขอมูลท่ีเก็บรวบรวมได อาจไมใหขอเท็จจริง เพียงพอ เพราะผูตอบคําถามอาจฟนผุอยูกอนใชยาสีฟนของบริษัทนี ้ หรืออาจเพิ่งใชไดเพยีงครั้งเดียวเมื่อถูกถาม หรืออาจใชยาสีฟนยีห่ออ่ืนดวย สถานการณ 2 ขอมูลท่ีไดยังไมนาเชื่อถือ เนื่องจากหญิงสาวเหลานั้นไมสามารถเปนตัวแทน ของผูใชแชมพูยี่หอตาง ๆ กนั และการตดัสินความนุมของผมที่ใชการสัมผัสดวย มือเปนความรูสึกสวนบุคคล ถือวาไมใชเกณฑวัดทีเ่ปนมาตรฐาน

42

สถานการณ 3 ขอมูลท่ีไดยังไมนาเชื่อถือ เพราะอาจมีความลําเอียงในการกําหนดตัวเลือกให เลือกตอบ และกลุมของผูใหขอมูลไมสามารถเปนตัวแทนของประชาชนทั้งหมด

สถานการณ 4 ขอมูลท่ีไดมีความนาเชื่อถือ เพราะการตรวจสอบกระทําโดยหนวยงานของ ทางการที่รับผิดชอบโดยตรง การตรวจสอบเปนไปตามมาตรฐานที่กําหนด

สถานการณ 5 ขอมูลท่ีไดยังไมนาเชื่อถือ เพราะไมทราบขอมูลเกี่ยวกับความจุของถังน้ํามัน การปรับแตงเครื่องยนต อัตราเร็ว และน้ําหนกับรรทุกของรถยนต

คําตอบกิจกรรม “ภาพลวงตา”

ขอดีและขอเสียของการนําเสนอขอมูลแบบแผนภูมิแทงทัง้สองแบบเปนดังตัวอยางคําตอบ ดังนี ้ แบบที่หนึ่ง ขอดี แสดงขอมูลท่ีเปนจริงในภาพรวม ขอเสีย ในกรณีท่ีตองการทราบเฉพาะรายละเอียดของความแตกตางของ งบประมาณทีแ่ตละหนวยงานไดรับ จะไมไดขอมูลท่ีชัดเจน แบบที่สอง ขอดี สามารถแสดงการเปรียบเทยีบสวนที่แตกตางกันของงบประมาณที ่ แตละหนวยงานไดรับอยางชดัเจน ขอเสีย อาจทําใหเขาใจผิดวางบประมาณที่แตละหนวยงานไดรับแตกตางกันมาก ท้ังที่ในความเปนจริงเมื่อเปรียบเทียบกับงบประมาณทั้งหมด จะตางกัน เปนสัดสวนทีน่อยมาก

คําตอบกิจกรรม “ประชากรของประเทศไทย”

1. กลุมอายุ 0 – 4 ป ประมาณ 18% 2. กลุมอายุ 10 – 14 ป ประมาณ 14% 3. ประชากรกลุมอายุในขอ 2 ไดมาจากประชากรกลุมอายใุนขอ 1 4. ลดลงในทุก ๆ 10 ป 5. เพิ่มขึ้นในทุก ๆ 10 ป 6. ตัวอยางคําตอบ : ในชวงอายุ 45 – 49 ป 7. เพศหญิง 8. ตัวอยางคําตอบ : จํานวนประชากรในวัยทารกและวัยเด็กมีแนวโนมลดลง สวนวยัสูงอายุมีแนวโนม เพิ่มขึ้น ท้ังนี้เพราะมีอายยุืนขึ้น สืบเนื่องมาจากความเจรญิทางการแพทยและการดูแลสุขภาพที่ดีข้ึน

49

4. กิจกรรม “ลองหาดู” เปนกิจกรรมเพื่อฝกทักษะหาความยาวของดานและขนาดของมุมของ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทีก่ําหนด เพื่อเปนพื้นฐานในการทํากิจกรรม “ลองคิดดู” ซ่ึงมีเจตนาให นักเรียนฝกใชความรูเร่ืองอัตราสวนตรีโกณมิติแกปญหาที่มักพบในชวีิตจริง เชน การหาความสงูของตนไม ความสูงของกําแพงและความกวางของแมน้ํา ครูควรใหนักเรียนแตละคนคิดหาวิธีแกปญหาของตนเอง อาจเปนรายบุคคลหรือกลุมเพื่อนักเรียนจะไดฝกฝนการสื่อสารกับผูอ่ืนดวย 5. กิจกรรม “คิด” มีเจตนาใหนักเรยีนฝกแกปญหาเกี่ยวกับพืน้ที่โดยเชื่อมโยงความรูตรีโกณมติิกับเรขาคณิต ครูอาจใหนกัเรียนชวยกนัทาํและนําเสนอหนาช้ันเรยีน 6. กิจกรรม “หอเอนเมืองปซา (Tower of Pisa)” มีเจตนาใหเปนความรูเพิ่มเตมิสําหรับนักเรียนและเชื่อมโยงความรูตรีโกณมิติกบัวิทยาศาสตร ครูอาจใหนกัเรียนหาผลงานของกาลิเลโอเพิ่มเติมและครูอาจชี้ใหนักเรยีนเห็นคุณลักษณะของกาลิเลโอ นักวิทยาศาสตรเรืองนามของโลกไดใชทักษะ กระบวนการทางคณิตศาสตรมาชวยในการคนควางานสําคัญตาง ๆ ทางวิทยาศาสตรท่ีเปนประโยชนกับชาวโลก

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม กิจกรรมชุดที่ 1

คําตอบกิจกรรม “มีอยูเทาไร” คําตอบปญหาหนา 154 3. ตัวอยางแนวคดิที่แตกตางจากในหนังสือเรียน จํานวนดินสอที่แจกกลุมที่หนึ่ง อาจเปน 4, 7, 10, 13, 16, 19 , ... จํานวนดินสอที่แจกกลุมที่สอง อาจเปน 7, 11, 15, 19 , 23, ... จํานวนดินสอที่แจกกลุมที่สาม อาจเปน 9, 14, 19 , 24, ... จะไดจํานวนดนิสอ 19 แทง สอดคลองกับเงื่อนไขทั้งหมดของปญหา

50

4. 1)

เศษท่ีไดจากการหารจํานวนดินสอดวยตัวหาร จํานวนดินสอ (แทง)

ตัวหาร 3 ตัวหาร 4 ตัวหาร 5 9 0 1 4 10 1 2 0 11 2 3 1 12 0 0 2 13 1 1 3 14 2 2 4 15 0 3 0 16 1 0 1 17 2 1 2 18 0 2 3 19 1 3 4

2) บวรมีดนิสออยางนอย 19 แทง 3) ตรวจสอบไดโดยนําคําตอบที่ไดแทนในความสัมพนัธจากโจทยซ่ึงจะพบวา 19 เปนจํานวนที ่ นอยท่ีสุดที่หารดวย 3, 4 และ 5 เหลือเศษ 1, 3 และ 4 ตามลําดับ 5. 1) จากเงื่อนไขที่วาแจกใหเด็กกลุมที่หนึ่งคนละ 3 แทงแลวเหลือเศษ 1 แทง จะไดวาจํานวน ดินสอที่บวรมีอาจเปนไดท้ังจํานวนคูและจํานวนคี่ ดังนี ้ ถาจํานวนเดก็ที่ไดรับแจกกลุมนี้มีเปนจํานวนคู จะไดวาบวรมีดนิสอเปนจํานวนคี ่ ถาจํานวนเดก็ที่ไดรับแจกกลุมนี้มีเปนจํานวนคี่ จะไดวาบวรมีดนิสอเปนจํานวนคู 2) จากเงื่อนไขที่วาแจกใหเด็กกลุมที่สองคนละ 4 แทง แลวเหลือเศษ 3 แทง จะไดวาบวรม ี ดินสอเปนจํานวนคี่เทานั้น ไมวาจํานวนเดก็กลุมนี้จะเปนจํานวนคูหรือจํานวนคี่ก็ตาม 3) จากเงื่อนไขที่วาแจกใหเด็กกลุมที่สามคนละ 5 แทง แลวเหลือเศษ 4 แทง จะไดวาจํานวน ดินสอที่บวรมีอาจเปนไดท้ังจํานวนคูและจํานวนคี่ ดังนี ้ ถาจํานวนเดก็ที่ไดรับแจกกลุมนี้มีเปนจํานวนคู จะไดวาบวรมีดนิสอเปนจํานวนคู ถาจํานวนเดก็ที่ไดรับแจกกลุมนี้มีเปนจํานวนคี่ จะไดวาบวรมีดนิสอเปนจํานวนคี ่

51

4) ใช 5)

เศษท่ีไดจากการหารจํานวนดินสอดวยตัวหาร จํานวนดินสอ (แทง)

ตัวหาร 3 ตัวหาร 4 ตัวหาร 5 9 0 1 4 11 2 3 1 13 1 1 3 15 0 3 0 17 2 1 2

19 1 3 4

6) บวรมีดนิสออยางนอย 19 แทง

คําตอบกิจกรรม “มีอยูกี่จํานวน”

1. เลขโดดในหลักพันมีไดหนึ่งตัว คือ 4 เทานั้น เนื่องจากเลขโดดตัวอ่ืน ๆ ทําใหจํานวนนับทีเ่กิดขึน้ ไมอยูระหวาง 4,000 กับ 5,000 2. เลขโดดในหลักรอยอาจเปน 5, 6, 7, 8, 9 เนื่องจากเปนเลขโดดที่มากกวา 4 ซ่ึงสอดคลองตาม เงื่อนไขในโจทย 3. ถาเลขโดดในหลักรอยเปน 5 เลขโดดในหลักสิบ อาจเปน 6, 7, 8, 9 เนื่องจากเปนเลขโดดที ่ มากกวา 5 ซ่ึงสอดคลองตามเงื่อนไขในโจทย 4. ถาเลขโดดในหลักสิบเปน 6 เลขโดดในหลักหนวย อาจเปน 7, 8, 9 เนื่องจากเปนเลขโดดที ่ มากกวา 6 ซ่ึงสอดคลองตามเงื่อนไขในโจทย

52

D C R

S Q

A P B

5.

6. 10 จํานวน คือ 4567, 4568, 4569, 4578, 4579, 4589, 4678, 4679, 4689 และ 4789 กิจกรรมชุดที่ 2

คําตอบกิจกรรม “พื้นที่เปนเทาไร” 1. 4) (1) PQRS เปนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส เพราะสามารถพิสูจนไดวามมุีมทั้งส่ีเปนมุมฉาก และมีดานทั้งส่ียาวเทากัน

หลักพัน หลักรอย หลักสิบ หลักหนวย

4

5

6

7

7

8

8

9 8

6 7 8 9

8

7

8

9

9 9 9

53

แนวการพิสูจน เนื่องจาก ∆ APS ≅ ∆ BPQ (ด.ม.ด.) ดังนั้น PS = PQ (ดานคูท่ีสมนยักันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) และ A PS

∧ = BP Q

∧ (มุมคูท่ีสมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน

ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก ∆ APS และ ∆ BPQ แตละรูปเปนรูปสามเหลี่ยมมมุฉากและ รูปสามเหลี่ยมหนาจัว่ (มีดานประกอบมุมยอดยาวเทากัน) ดังนั้น A PS

∧ = BP Q

∧ = 45o (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด

เทากัน) จะได SP Q

∧ = 180 – (2 × 45) = 90o (ขนาดของมุมตรง)

ในทํานองเดียวกันจะสามารถพิสูจนไดวา PS = SR = RQ = QP และ SP Q

∧ = PQR

∧ = QRS

∧ = R S P

∧ = 90o

นั่นคือ PQRS เปนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส (2) พ้ืนที่ของ PQRS = 1

2 × พ้ืนที่ของ ABCD เนื่องจาก ถาให ABCD เปนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสที่ยาวดานละ 2x หนวย พิจารณาจากรูปขางลางนี้ พ้ืนที่ของ PQRS = ( )22 x = 2x2 ตารางหนวย พ้ืนที่ของ ABCD = (2x)2 = 4x2 ตารางหนวย ดังนั้น พ้ืนที่ของ PQRS = 1

2 × พ้ืนที่ของ ABCD

(3) 2 ตารางหนวย

x x

x

x Q S

D C

A P B

R 2 x

2 x

54

2. 1) จะตองหาพื้นที่ของรูปเรียงลําดับกันดงันี้ จากพื้นที่ของรูป 6 คูณดวย 2 จะไดพ้ืนที่ของรูป 5 จากพื้นที่ของรูป 5 คูณดวย 2 จะไดพ้ืนที่ของรูป 4 และทําเชนนี้ไปเรื่อย ๆ จนไดพ้ืนทีข่องรูป 1 ดังแผนภาพ 2) 160 ตารางหนวย แนวคิด พ้ืนที่ของ ABCD = 5 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 160 ตารางหนวย 3) 64 ตารางหนวย

แนวคิด หาจากความสัมพันธดังตอไปนี้ กําหนด ∆ DEF เกิดจากลากสวนของเสนตรงเชื่อมตอ จุดกึ่งกลางของดานทั้งสามของ ∆ ABC จะพิสูจนไดวา พ้ืนที่ของ ∆ ABC เทากับ 4 เทาของพื้นที่ของ ∆ DEF ดังนี ้ เนื่องจาก ∆ ADF ≅ ∆ BDE (ด.ม.ด.) จะได DF = DE (ดานคูท่ีสมนยักันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) ในทํานองเดียวกัน ∆ CEF ≅ ∆ BDE จะได EF = DE ดังนั้น DF = DE = EF (สมบัติของการเทากัน) เนื่องจาก AB = BC = AC (กําหนดให) จะได AD = AF (ตางมีความยาวเปนครึ่งหนึ่งของความยาวของ ดานที่ยาวเทากัน)

C

F E

A D B

6 คูณดวย 2

5 คูณดวย 2

4 คูณดวย 2

3 คูณดวย 2

2 คูณดวย 2

1

55

ดังนั้น A DF∧

= A F D∧

(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจัว่ มีขนาด เทากัน) เนื่องจาก DA F

∧ = 60o (มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมดานเทา มีขนาด

เทากับ 60 องศา) ดังนั้น ∆ ADF เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา จะได DF = AD = AF ดังนั้น ∆ ADF ≅ ∆ DEF (ด.ด.ด.) จะได ∆ ADF, ∆ BDE, ∆ CEF และ ∆ DEF เปนรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการทุกคู นั่นคือ พ้ืนทีข่อง ∆ ABC = 4 เทาของพื้นที่ของ ∆ DEF จากเหตุผลดังกลาวขางตน จึงสามารถหาพื้นที่ของ ∆ ABC ได จะไดพ้ืนที่ของ ∆ ABC = 4 × 4 × 4 × 1 = 64 ตารางหนวย

คําตอบกิจกรรม “ไดเทาไร” หนอยจะเปนผูเขียนจุดในครั้งที่ 100 และจํานวนที่เขยีนคือ 100

12

แนวคิด พิจารณาจากแบบรูปดังนี ้ คร้ังที่ 1 นิดเขียนจุดที่แทน 1

2

คร้ังที่ 2 หนอยเขียนจุดทีแ่ทน 14 หรือ 2

12

คร้ังที่ 3 นิดเขียนจุดที่แทน 18 หรือ 3

12

คร้ังที่ 4 หนอยเขียนจุดทีแ่ทน 116 หรือ 4

12

จะเห็นวานิดเขียนจุดในครั้งที่เปนจํานวนคี่ และหนอยเขียนจดุในครัง้ที่เปนจํานวนคู ดังนั้น หนอยจึงเขียนจุดในครั้งที่ 100 จากแบบรูปจะสังเกตไดวาตวัสวนของเศษสวนที่เขียนจะมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเดียวกัน กับจํานวนครั้งที่เขียนจดุ ดังนั้น จํานวนที่หนอยเขียนจึงเปน 100

12

.

.

.

56

กิจกรรมชุดที่ 3 คําตอบกิจกรรม “นับอยางไร”

3. รูปส่ีเหล่ียมมุมฉากที่ควรแจงนับตอไปคือ รูปส่ีเหล่ียมมุมฉากที่มีขนาด 1 × 3 ตารางหนวย ดังแผนภาพ 4. รูปส่ีเหล่ียมมุมฉากที่ตองพจิารณาอีก คือ รูปที่มีขนาด 1 × 4, 1 × 5, 1 × 6 และ 1 × 7 ตารางหนวย

ขนาด (ตารางหนวย) จํานวนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก 1 × 1 7 1 × 2 6 1 × 3 5 1 × 4 4 1 × 5 3 1 × 6 2 1 × 7 1 รวม 28

5. ใชความรูเกี่ยวกับลักษณะของรูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก และแจงนับรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากแตละขนาด 7. 55 รูป 8. 5050 รูป 9. 1 + 2 + 3 + … + n หรือ n(n 1)

2+ รูป

57

คําตอบกิจกรรม “นับไดเทาไร” 1. 16 รูป 2. แผนภาพแสดงการแจงนับรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสขนาด 2 × 2 ท้ังหมดที่ซอนอยูในรูปที่กําหนดให

3. ผลบันทึกจากการแจงนับรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสขนาดตาง ๆ

ขนาด (ตารางหนวย) จํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 1 × 1 16 2 × 2 9 3 × 3 4 4 × 4 1 รวม 30

4. 100 + 81 + 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 385 รูป 5. 12 + 22 + 32 + ... + n2 รูป

58

กิจกรรมชุดที่ 4 คําตอบกิจกรรม “กี่ตัวกันแน”

เขียนคําตอบตามวิธีคิดของแจวไดดังนี ้

แจวนับมาลายได 12 ตัว และนับนกกระจอกเทศได 35 ตัว

คําตอบกิจกรรม “คิดตามจี๊ด”

1. ตัวอยางคําตอบ ถามาลายมี 30 ตัว จะไดจํานวนขาทั้งหมดของมาลายเปน 120 ขา ซ่ึงมากกวาจํานวน ท่ีโจทยกําหนด ท้ัง ๆ ท่ียังไมไดรวมขาของนกกระจอกเทศอีก 17 ตวั จึงเริ่มเดาใหมีมาลายลดลงเปน 20 ตัว เพื่อใหจํานวนขาที่เกินอยูลดลง

2. ได ตัวอยางคําตอบ อาจเดาครั้งแรกใหมีนกกระจอกเทศ 46 ตัว จะไดขาเพียง 92 ขา เมื่อรวมขาของมาลายอีก 1 ตัว จะไดขาทั้งหมด 96 ขาเทานั้น ซ่ึงนอยเกนิไป จึงควรเพิ่มจํานวนมาลายและลดจํานวน นกกระจอกเทศ

มาลาย

นกกระจอกเทศ

59

3.

เดาครั้งท่ี

มาลาย (ตัว)

นกกระจอกเทศ (ตัว) ขามาลาย ขานกกระจอกเทศ รวมขา

ท้ังหมด ผลสรุป

1 20 27 20 × 4 = 80 27 × 2 = 54 134 × 2 15 32 15 × 4 = 60 32 × 2 = 64 124 × 3 13 34 13 × 4 = 52 34 × 2 = 68 120 × 4 12 35 12 × 4 = 48 35 × 2 = 70 118 /

จากผลในตารางจะไดคําตอบของจี๊ดตรงกับคําตอบของแจว จี๊ดและแจวอาจใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร หรือสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว หาคําตอบ ตามตัวอยางแนวคิด ดังนี ้ 1) ใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ใหจํานวนมาลายม ี x ตัว จํานวนนกกระจอกเทศมี y ตัว จะไดระบบสมการเชิงเสนเปน x + y = 47 --------------- 1 4x + 2y = 118 --------------- 2

เมื่อแกระบบสมการและตรวจสอบคําตอบ จะได จํานวนมาลาย 12 ตัว และจํานวนนกกระจอกเทศ 35 ตัว 2) ใชสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ใหจํานวนมาลายม ี x ตัว จะไดจํานวนนกกระจอกเทศ 47 – x ตัว และจะไดสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เปน 4x + 2(47 – x) = 118 เมื่อแกสมการและตรวจสอบคําตอบ จะได จํานวนมาลาย 12 ตัว และจํานวนนกกระจอกเทศ 35 ตัว

60

คําตอบกิจกรรม “คิดไดหลายวิธี”

1. มีเหรียญบาท 7 เหรียญ เหรียญหาบาท 8 เหรียญ เหรียญสิบบาท 9 เหรียญ หรือ มีเหรียญบาท 2 เหรียญ เหรียญหาบาท 17 เหรียญ เหรียญสิบบาท 5 เหรียญ ตัวอยางแนวคดิ 1. ใชการคาดเดาและตรวจสอบคําตอบโดยใชตารางวิเคราะห ดงันี้

เหรียญสิบบาท เหรียญหาบาท เหรียญบาท จํานวน เหรียญ

จํานวน เงิน

จํานวน เหรียญ

จํานวน เงิน

จํานวน เหรียญ

จํานวน เงิน

รวมเงินท้ังหมด

1 10 10 9

10 100 100 90

2 4 6 8

10 20 30 40

21 10 8 7

21 10 8 7

10 + 10 + 21 = 41 นอยไป 100 + 20 + 10 = 130 นอยไป 100 + 30 + 8 = 138 มากไป 90 + 40 + 7 = 137 พอดี

8 7 6 5

80 70 60 50

10 13 15 17

50 65 75 85

6 4 3 2

6 4 3 2

80 + 50 + 6 = 136 นอยไป 70 + 65 + 4 = 139 มากไป 60 + 75 + 3 = 138 มากไป 50 + 85 + 2 = 137 พอดี

2. สรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรโดยใชสมการ ให x แทนจาํนวนเหรียญบาท y แทนจาํนวนเหรียญหาบาท z แทนจํานวนเหรียญสิบบาท จะไดระบบสมการ x + y + z = 24 -------------- 1 x + 5y + 10z = 137 -------------- 2 จากสมการ 2 พิจารณาไดวา จาก 5y ไมวา y จะเปนจํานวนนับใด เลขโดดที่อยูในหลักหนวยของผลคูณจะตอง เปน 5 หรือ 0 เทานัน้ และจาก 10z ไมวา z จะเปนจํานวนนับใด เลขโดดทีอ่ยูในหลักหนวยของผลคูณจะตอง เปน 0 เสมอ

61

ดังนั้น ผลบวก x + 5y + 10z จะเทากับ 137 ได ก็ตอเมื่อ เหรียญบาทจะตองเปน 2 เหรียญ หรือ 7 เหรียญเทานัน้ 1) จากการวิเคราะหขางตน ในกรณีมีเหรียญบาท 2 เหรียญ เมื่อแทน x ดวย 2 ในสมการ 1 และ 2 จะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรเปน 2 + y + z = 24 --------- 3 2 + 5y + 10z = 137 --------- 4 จาก 3 ; y + z = 22 --------- 5 จาก 4 ; 5y + 10z = 135 --------- 6 จากการแกระบบสมการที่ประกอบดวยสมการ 5 และ 6 จะได y = 17 และ z = 5 จากการตรวจสอบ จะไดคําตอบของระบบสมการเปนเหรียญบาท 2 เหรียญ เหรียญหาบาท 17 เหรียญ และเหรียญสิบบาท 5 เหรียญ 2) จากการวิเคราะหขางตน ในกรณีมีเหรียญบาท 7 เหรียญ เมื่อแทน x ดวย 7 ในสมการ 1 และ 2 จะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรเปน 7 + y + z = 24 --------- 3 7 + 5y + 10z = 137 --------- 4 จาก 3 ; y + z = 17 --------- 5 จาก 4 ; 5y + 10z = 130 --------- 6 จากการแกระบบสมการที่ประกอบดวยสมการ 5 และ 6 จะได y = 8 และ z = 9 จากการตรวจสอบ จะไดคําตอบของระบบสมการเปนเหรียญบาท 7 เหรียญ เหรียญหาบาท 8 เหรียญ และเหรียญสิบบาท 9 เหรียญ 2. เผือกฉาบราคาถุงละ 25 บาท ทุเรียนทอดราคาถุงละ 75 บาท ตัวอยางแนวคดิ 1. สรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรโดยใชสมการ ให เผือกฉาบราคาถุงละ x บาท ทุเรียนทอดราคาถุงละ y บาท

62

จะไดระบบสมการ 5x + 10y = 875 ------------- 1 10x + 5y = 625 ------------- 2

เมื่อแกระบบสมการและตรวจสอบคําตอบจะได เผือกฉาบราคาถุงละ 25 บาท และทุเรียนทอดราคาถุงละ 75 บาท 2. ใชการคาดเดาและตรวจสอบโดยพิจารณาจํานวนถุงและจํานวนเงินที่จารวุรรณซ้ือมา ดังนี ้

เผือกฉาบ ทุเรียนทอด จํานวนถุง

ราคา ถุงละ

รวม เงิน

จํานวนถุง

ราคา ถุงละ

รวม เงิน

รวมเงินท้ังหมด

5 5 5 5

30 30 30 25

150 150 150 125

10 10 10 10

60 70 75 75

600 700 750 750

150 + 600 = 750 นอยไป 150 + 700 = 850 นอยไป 150 + 750 = 900 มากไป 125 + 750 = 875 พอดี

ตรวจสอบคําตอบกับจาํนวนถุงและจาํนวนเงินที่นวลจันทรซ้ือมา จะได (10 × 25) + (5 × 75) = 250 + 375 = 625 บาท ซ่ึงสอดคลองกับเงื่อนไขในโจทย ดังนัน้ ราคาเผือกฉาบถุงละ 25 บาท และทุเรียนทอดราคาถุงละ 75 บาท กิจกรรมชุดที่ 5

คําตอบกิจกรรม “ลัดขัน้ตอน”

1. 3 ≈ 1.732 2. 20 ≈ 4.472 3. 115 ≈ 10.72

63

กิจกรรมชุดที่ 6 คําตอบกิจกรรม “พื้นที่ใตกราฟ”

7.

จํานวนสวนแบงระยะ 2 หนวยบนแกน X

พื้นท่ีของแทงสี่เหลี่ยมมุมฉากท้ังหมด (ตารางหนวย)

4 1.75 8 2.1875 16 2.422

8. ประมาณ 2.422 ตารางหนวย ( เมื่อแบงระยะ 2 หนวยบนแกน X ออกเปน 16 สวน เทา ๆ กนั) 9. ประมาณ 10.156 ตารางหนวย (เมื่อแบงระยะ 0 ถึง 2 บนแกน X ออกเปน 16 สวน เทา ๆ กนั) แนวคิด เนื่องจากพาราโบลาที่กําหนดใหเปนรูปสมมาตรและมีแกน Y เปนแกนสมมาตร จึงคํานวณหาพื้นที่สวนท่ีแรเงาเพียงครึ่งรูปทางขวาของแกนสมมาตรกอน โดยแบงระยะ 0 ถึง 2 บนแกน X ออกเปน 16 สวน เทา ๆ กัน จะไดจุดแบงบนระยะ 0 ถึง 2 15 จุด และไดคูอันดับ (x, y) ท่ีสอดคลองกับสมการ y = -x2 + 4 ดังนี ้

x 18 2

8 38 4

8 58 6

8 78 8

8 y = 4 – x2 255

64 25264 247

64 24064 231

64 22064 207

64 19264

98 10

8 118 12

8 138 14

8 158

17564 156

64 13564 112

64 8764 60

64 3164

เนื่องจากแทงส่ีเหล่ียมมุมฉากแตละแทงมีความกวางเปน 1

8 หนวย

y = -x2 + 4

4

2 -2 X

Y

0

64

จะไดพ้ืนที่สวนทีแ่รเงาทั้งหมดเทากบั 2 × 18 × 1

64 (255 + 252 + 247 + 240 + 231 + 220 + 207 + 192 + 175 + 156 + 135 + 112 + 87 + 60 + 31) = 1

256 × 2,600

≈ 10.156 ตารางหนวย

คําตอบกิจกรรม “ใจเย็น ๆ คอย ๆ คิด”

1. ปุยขนาด 5 กโิลกรัม 3 ถุง และปุยขนาด 3 กิโลกรัม 1 ถุง แนวคิด ใชการคาดเดาและตรวจสอบโดยใชตารางวิเคราะหดังนี้

ขนาด 5 กิโลกรัม ขนาด 3 กิโลกรัม รวม จํานวนกิโลกรัม จํานวนเงิน จํานวนกิโลกรัม จํานวนเงิน จํานวนกิโลกรัม จํานวนเงิน 1 × 5 = 5 3 × 5 = 15 2 × 5 = 10

20 60 40

4 × 3 = 12 1 × 3 = 3 3 × 3 = 9

60 15 45

17 18 19

80 75 85

จากตาราง จะเห็นวาถาซ้ือปุย 17 กโิลกรัม จะตองจายเงิน 80 บาท ซ่ึงเปนเงนิท่ีมากกวา ซ้ือปุย 18 กิโลกรัม โดยจายเงินนอยท่ีสุดเพียง 75 บาท (ไดของมากกวา แตจายเงนินอยกวา) 2. 6, 9, 12, 15, 17, 20, 23, 24, 27, 28, 30, 31, 35, 38, 39, 42, 45, 46, 53 และ 60 แนวคิด โดยใชการแจงนับคะแนน ดังนี ้ 2 + 2 + 2 = 6 2 + 2 + 5 = 9 2 + 2 + 13 = 17 2 + 2 + 20 = 24

2 + 5 + 5 = 12 2 + 5 + 13 = 20 2 + 5 + 20 = 27

2 + 13 + 13 = 28 2 + 13 + 20 = 35 2 + 20 + 20 = 42

65

5 + 5 + 5 = 15 5 + 5 + 13 = 23 5 + 5 + 20 = 30

5 + 13 + 13 = 31 5 + 13 + 20 = 38 5 + 20 + 20 = 45

13 + 13 + 13 = 39 13 + 13 + 20 = 46 13 + 20 + 20 = 53

20 + 20 + 20 = 60

3. 9 แบบ แนวคิด แยกพิจารณาเปนกรณดีังนี ้ 1. แลกธนบตัรเปนเหรียญแบบเดยีวกัน 2. แลกธนบตัรเปนเหรียญสองชนิดที่ตางกัน 3. แลกธนบตัรเปนเหรียญสามชนิดท่ีแตกตางกัน ผลพิจารณาไดดังตาราง

จํานวนเหรียญสิบบาท จํานวนเหรียญหาบาท จํานวนเหรียญบาท 2 0 0 1 2 0 1 1 5 1 0 10 0 4 0 0 3 5 0 2 10 0 1 15 0 0 20

66

4. ความยาวของริบบิ้นที่ตัดเปนสามสวนที่เปนไปได คือ 6, 3, 1 ฟุต 6, 2, 2 ฟุต 5, 4, 1 ฟุต 5, 3, 2 ฟุต 4, 4, 2 ฟุต 4, 3, 3 ฟุต 5. 1) เปนไปได แนวคิด ผูท่ีวางแผนตองการชนะจะตองใหฝายตรงขามเปนผูเลนคนแรกที่หยิบกอน โดยผูเลนคนแรกจะหยิบตุกตา 1 ตัวหรือ 2 ตัว ก็ได แตผูวางแผนจะตองหยิบ ตุกตาใหครบเปนตัวท่ีสามของแตละรอบที่หยิบ ตัวอยางการหยิบ

ตุกตาตัวท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ผูวางแผน

ผูเลน ในกรณท่ีีผูวางแผนตองหยิบเปนคนแรก ผูวางแผนจะตองพยายามหยิบใหไดตุกตาตัวท่ี 3 หรือตัวท่ี 6 ซ่ึงจะทําใหหยิบไดตัวท่ี 9 จึงจะชนะ 2) แนวคิด ผูวางแผนจะตองเลนเปนคนแรกโดยหยิบตุกตาเพยีง 1 ตัวในครั้งแรก และ ตองพยายามใหเหลือตุกตาเปนจํานวนที่ 3 หารลงตัว เชน หลังจากผูวางแผน หยิบตุกตาตัวแรกแลว เมื่อฝายตรงขามหยิบตุกตา 1 ตัว ผูวางแผนตองหยิบ 2 ตัว เพื่อใหไดผลรวมของตุกตาเปน 3 ตัว และเหลือตุกตาอีก 6 ตัว

แพ

67

ตัวอยางการหยิบ

ตุกตาตัวท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ผูวางแผน

ผูเลน ในกรณท่ีีผูวางแผนตองหยิบเปนคนที่สอง ผูวางแผนจะตองพยายามหยิบใหไดตุกตาตัวท่ี 4 หรือตัวท่ี 7 ซ่ึงจะทําใหหยิบไดตัวท่ี 10 จงึจะ ชนะ

6. -31 กับ -21 หรือ 21 กับ 31 7. 7 ขอ แนวคิด ใหจํานวนขอท่ีทําถูกมี x ขอ ดังนั้นคะแนนที่ไดคือ 5x จํานวนขอท่ีทําผิดมี y ขอ ดังนั้นคะแนนที่ไดคือ -2y จากโจทยจะไดระบบสมการ x + y = 10 ---------------- 1 5x - 2y = 29 ---------------- 2 8. หมายเลข 27 ไดรับหมวก หมายเลข 41 ไดรับเส้ือยืด หมายเลข 62 ไดรับกระเปา 9. ปอเลนระนาด จิมเลนขิม แจคเลนจะเข ปองเลนซอ การพิจารณาอาจใชขอมูลประกอบกับตารางวิเคราะหหาคําตอบดังนี ้

ขิม

ซอ

จะเข

ระนาด

ปอ จิม แจค ปอง

ช่ือ

เครื่องดนตร ี ท่ีเลน

ชนะ

68

คําตอบกิจกรรม “ลองทําดู”

∧A

BCAB

ACAB

BCAC

30o

12

3

2

3

3

45o

2

2

2

2

1

60o

3

2

12

3

C

B

A

A C

B

2 1

30o 3

C

B

1

1

A 45o

2

C

B

2

1 A 60o

3

69

คําตอบกิจกรรม “บอกไดไหม” 1. 1) 0.309 2) 0.866 3) 1.664 4) 0.995 5) 0.906 6) 3.078 2. 1) 35o 2) 75 o 3) 60 o 4) 45 o 5) 37 o 6) 58 o

คําตอบกิจกรรม “ลองหาดู”

1. 2.5 หนวย 2. BC ยาว 3.125 หนวย และ AC ยาว 5.076 หนวย 3. X

∧ = 20 o, Z

∧ = 70 o และ XY = 9.4 หนวย

คําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู”

1. AB ยาว 13.848 เซนติเมตร และ CE ยาว 10.152 เซนติเมตร 2. 18.64 เมตร 3. บันไดทาํมุมกับพ้ืนดนิประมาณ 52 องศา กําแพงสูงประมาณ 5.12 เมตร 4. ประมาณ 101.43 เมตร

70

คําตอบกิจกรรม “คิด”

ประมาณ 6.763 ตารางหนวย

แนวคิด เนื่องจาก D A F∧

= FA E∧

= E A B∧

= 903 = 30o

จะไดวา ∆ ABE ≅ ∆ ADF (ม.ด.ม.) ดังนั้น พ้ืนที่ของรูป AFCE = พ้ืนทีข่องส่ีเหล่ียมจตุัรัส ABCD – 2 (พ้ืนที่ของ ∆ ABE) เนื่องจาก BE = AB ( tan E A B

∧)

= 4 tan 30o

= 4 × 33 = 4 3

3 หนวย

ดังนั้น พ้ืนที่ของ ∆ ABE = 12 × 4 × 4 3

3

= 8 33 ตารางหนวย และ พ้ืนที่ของส่ีเหล่ียมจัตุรัส ABCD = 4 × 4 = 16 ตารางหนวย

ดังนั้น พ้ืนที่ของรูป AFCE = 16 – 28

32

= 16 – 16 33 ตารางหนวย

≈ 16 – 16

1.7323 ×

≈ 6.763 ตารางหนวย นั่นคือ สวนที่แรเงามีพ้ืนท่ีประมาณ 6.763 ตารางหนวย

คําตอบกิจกรรม “หอเอนเมืองปซา (Tower of Pisa)”

ประมาณ 5 องศา