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Bases Físicas del Medio Ambiente
Dinámica de Fluidos
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Programa
• IV. DINÁMICA DE FLUIDOS. (3h)• Introducción. Fluidos ideales. Flujo estacionario. Ecuación de
continuidad. Ecuación de Bernouilli. Aplicaciones de la ecuación de Bernouilli. Fluidos reales. Viscosidad. Fluidos newtonianos. Régimen laminar y turbulento. Número de Reynolds. Flujo viscoso. Capa límite. Flujo externo. Flujo laminar en tuberías. Ley de Hagen-Poiseuille.
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Programa
• IV. DINÁMICA DE FLUIDOS. (3h)• Introducción. Fluidos ideales. Flujo estacionario. Ecuación de
continuidad. Ecuación de Bernouilli. Aplicaciones de la ecuación de Bernouilli. Fluidos reales. Viscosidad. Fluidos newtonianos. Régimen laminar y turbulento. Número de Reynolds. Flujo viscoso. Capa límite. Flujo externo. Flujo laminar en tuberías. Ley de Hagen-Poiseuille.
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La hidrodinámica• Movimiento (flujo) de los fluidos Clases diferentes de
interés (ordenados hacía simplicidad)– Turbulento: caracterizado por regiones con remolinos (caótico)– Laminar: Capas del fluido fluyen paralelamente sin mezclarse
• Estacionario– Velocidad no varía con tiempo,v = v(x,y,z). – Líneas de corriente = trayectorias de partículas
• Uniforme: velocidad en cada instante es igual en todos los puntos, v = v(t)– No viscoso: si se desprecia la viscosidad (fricción interna del fluido).
• Empezamos con lo más sencillo: los fluidos ideales, flujos – Laminares– Incompresibles (densidad independiente de posición y tiempo) – No viscosos– Irrotacionales (falta de inercia angular alrededor de cualquier punto)
SIMPLIFICACIONES!
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Punto 1
Punto 2
Ecuación de continuidad• Flujo de un fluido ideal en un tubo• Empezamos en el punto 1 y un intervalo de tiempo Δt
– Anchura del bloque de fluido que pasa la sección 1: Δx1 = v1Δt– Volumen de fluido que pasa la sección 1: V1 = A1 Δx1 = A1 v1Δt– Masa de fluido que pasa la sección 1: m1 = ρ1 V1 = ρ1 A1 v1Δt
• Principio físico: la masa se conserva– Punto 1: m1 = ρ1 A1 v1Δt– Punto 2: m2 = ρ2 A2 v2Δt
• Para fluido incompresibles (ρ1 = ρ2 = ρ)A2 v2 = A1 v1
• Definimos el caudal : Q = A v (unidades: m3 s-1)
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Ejemplos Comunes
• Aceleración de agua en caída libre– Aumenta la velocidad
– Disminuye el área del flujo
– Caudal, Av = cte.
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Ecuación de continuidad(Fluido compresible)
• Flujo compresible (ejm. Gases)– El término caudal no tiene sentido– Pero la masa aún se conserva
• En el punto 1– Anchura del bloque de fluido que pasa la sección 1: Δx1 = v1Δt– Volumen de fluido que pasa la sección 1: V1 = A1 Δx1 = A1 v1Δt– Masa de fluido que pasa la sección 1: m1 = ρ1 V1 = ρ1 A1 v1Δt
• Conservación de masa– Punto 1: m1 = ρ1 A1 v1Δt– Punto 2: m2 = ρ2 A2 v2Δt
ρ2 A2 v2 = ρ1 A1 v1
Punto 1
Punto 2
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Programa
• IV. DINÁMICA DE FLUIDOS. (3h)• Introducción. Fluidos ideales. Flujo estacionario. Ecuación de
continuidad. Ecuación de Bernouilli. Aplicaciones de la ecuación de Bernouilli. Fluidos reales. Viscosidad. Fluidos newtonianos. Régimen laminar y turbulento. Número de Reynolds. Flujo viscoso. Capa límite. Flujo externo. Flujo laminar en tuberías. Ley de Hagen-Poiseuille.
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Presión estática
p(y)
yz
p(z)
• La presión hidrostática solo depende en z
• Para los fluidos en movimiento, hay otro factor que influye en la presión (pA < pB)
A B
Presión Dinámica
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Daniel BernoulliFísico Suizo (1700–1782)
• Publicación famosa: Hydrodynamica (1738)
– Demostró que la presión en un fluido disminuye cuando acelera (aumenta cuando decelera)
– Derivación:
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Principio de BernoulliDerivación
• Consideramos – Un volumen (masa) de fluido ideal
– En un tubo (cuyo diámetro aumenta)
• La masa baja consideración se halla– Al principio entre Punto 1 y Punto 2
– Despues de Δt entre • (Punto 1 + Δx1) y
• (Punto 2 + Δx2) Punto 1
Punto 2
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Principio de BernoulliDerivación
• Consideramos el trabajo de las fuerzas actuando– Desde la izquierda tenemos
• La fuerza F1 = P1 A1
• Ejerce un trabajo W = F1 Δ x1
– Y desde la derecha• La fuerza F2 = P2 A2
• Ejerce un trabajo W = F2 Δ x2
(la fuerza opone el movimiento)
• Trabajo neta, W = (P1 – P2) V• Sirve para aumentar la energía
– Cinética (ΔK); y/ó– Potencial gravitacional (ΔU) Punto 1
Punto 2
= P1 A1 Δ x1 = P1 V
= P2 A2 Δ x2 = P2 V
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Principio de Bernoulli Los cambios de energía
• Simplificación: (Estacionario) líneas de corriente– La energía de la porción gris es constante
• ΔK se debe a la diferencia entre– La parte con velocidad v1, y
– La parte con velocidad v2• De igual manera, ΔU se debe a la diferencia de altura entre
– La parte con altura y1, y
– La parte con altura y2
Punto 1
Punto 2
21
22 2
121
mvmvK −=∆
12 mgymgyU −=∆
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Principio de Bernoulli Los cambios de energía
• El trabajo neta sirve para cambiar la energíaW = ΔK + ΔU
Si ahora dividimos por V y reconocemos que ρ = m/V tenemos
y con un poco de álgebra
Punto 1
Punto 2
( ) 122
12
221 21
21
mgymgymvmvVPP −+−=−
( ) 122
12
221 21
21
gygyvvPP ρρρρ −+−=−
22
2212
11 21
21
gyvPgyvP ρρρρ ++=++
ctegyvP =++ ρρ 2
21
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ctegyvP =++ ρρ 2
21
Principio de Bernoulli Ejemplo
• La constructora de tu nuevo baño ahorra dinero comprando un tubo de 1 cm (diámetro) en vez de 2 cm como en el resto de la casa
• ¿Dónde hay más presión?– A) En el tubo de 1cm?
– B) En el tubo de 2cm?
– C) Son iguales?
2 cm 1 cm
Factor limitante
v
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Principio de Bernoulli Cambios: velocidad y presión
• Baja velocidad y alta presión
• Alta velocidad y baja presión
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Principio de Bernoulli Aplicación Clásica
hgp ρ=∆
Antes: aplicamos la ecuación hidrostática para determinar la presión del agua en la casa
Ahora: vamos a ver lo que pasa cuando el agua fluye:
Bernoulli: 22
2212
11 21
21
gyvPgyvP ρρρρ ++=++
( )122
121
yygv −=
ghv 21 =
Hipótesis para simplificarPresión atmosférica
v1 >> v2
Teorema de Torricelli
Velocidad ≠ f(tamaño apertura)
(¿Caudal?)
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Principio de Bernoulli El metro de Venturi
Determinar la velocidad en un tubo, por mediciones de presión
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( )
−
−=
22
21
121
1
2
A
A
ppv
ρ
Principio de Bernoulli ¿Cómo funciona el metro de Venturi?
1
2
2
1
Caudal,
A
A
v
v =
222
211 2
121
:Bernoulli vpvp ρρ +=+
( )ρ
1221
222
1
21
pp
v
vv
−=
−
1222
21 2
121
ppvv −=− ρρ
( )ρ
1222
212
1
21
pp
A
Av
−=
−
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Principio de Bernoulli Henry Pitot (1695-1771)
V, ρρρρ, p
pe pd
presión estática presión dinámicaVelocidad, densidad, presión
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Principio de Bernoulli El Tubo de Pitot
V, ρρρρ, p
pe pd
[ ] 2
1
2 221
−=+= dede ppVpVpρ
ρPunto de estagnación
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Principio de Bernoulli La cavitación
• En un fluido de alta velocidad, puede bajar tanto la presión que el líquido se vaporice (Lord Rayleigh; 1842-1919)
• Problemas– Ruido– Vibraciones– Perdida de rendimiento– Daño a los elementos
http://en.wikipedia.org/wiki/Cavitation
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Principio de Bernoulli Vuelo de un avión
• Las líneas de corriente alrededor de una ala de avión en movimiento– La densidad de líneas refleja la velocidad– Bernoulli: alta velocidad � baja presión
• La sustentación – Debido al gradiente de velocidad (vA < vB)– Hay un gradiente de presión (pA > pB)– Una fuerza neta hacía arriba– Depende de
• La velocidad del avión (relativo al aire)• La ala (superficie, curvatura, ángulo)
Sustentación
Arrastre
A
B
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Programa
• IV. DINÁMICA DE FLUIDOS. (3h)• Introducción. Fluidos ideales. Flujo estacionario. Ecuación de
continuidad. Ecuación de Bernouilli. Aplicaciones de la ecuación de Bernouilli. Fluidos reales. Viscosidad. Fluidos newtonianos.Régimen laminar y turbulento. Número de Reynolds. Flujo viscoso. Capa límite Flujo externo.. Flujo laminar en tuberías. Ley de Hagen-Poiseuille.
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“Fluidos Reales”
• Los fluidos reales (frente a ideales)– Resisten al deslizamiento entre capas
– Fricción interna – “viscosidad”
• La viscosidad es más importante para ciertos fluidos– Comparar la caida de un ladrillo por 2m
– En el aire / en el agua / en la miel
• La importancia de la viscosidad– Depende del fluido, pero también
– Depende del flujo
http://home.alltel.net/nelpi/newton.jpg
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Viscosidad (molecular)
• Consideramos dos platos (poco) separados por un fluido– El plato superior se mueve con velocidad u0– El plato inferior no (fijo; u=0)
• Observaciones empíricas– En ausencia de otras fuerzas, el plato superior decelera
– La deceleración depende en• La diferencia de las velocidades (u0 - 0= u0 )
• La distancia (l) de separación
• La superficie (A) de los platos
• El fluido que interviene
z = 0
z = l
u0
u(0) = 0
u(l) = u0
Plato Superior
Plato Inferior
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Viscosidad (molecular)
• Más observaciones empíricas– La propiedad relevante del fluido es la viscosidad (µ)– Entonces, la fuerza que decelera el plato superior es
– En este caso (simple), la velocidad cambia linealmente
– En general, la relación es
z = 0
z = l
u0
u(0) = 0
u(l) = u0
Plato Superior
Plato Inferior
u(z)
l
uAF 0η=
dz
duAF η=
Característica de los fluidos “newtonianos”
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• La viscosidad
• Esta es la viscosidad absoluta (o dinámica)
– A veces se denota µ
– Siempre usaremos η
• A saber: hay otro tipo de viscosidad
– La viscosidad cinemática (ν)
– Estudio de aceleraciones/fuerzas que no dependen de la masa de fluido• Debidas a la fuerza de gravedad
• “Fuerza” centrifugal
• “Fuerza” de Coriolis
Viscosidad (molecular)
( )( )( )( )21
2
~msm
msmkg−
−
⋅⋅⋅
sPa~ ⋅
z = 0
z = l
u0
u(0) = 0
u(l) = u0
Plato Superior
Plato Inferior
u(z)
uA
Fl=η
(unidades)
ρηυ =
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Viscosidades de unos fluidosFluido T (ºC) η (10-3 Pa s)
Agua 0 1.8
20 1.0
100 0.3
Sangre 37 ~4
Plasma de sangre 37 ~1.5
Alcohol etilo 20 1.2
Aceite de motor 30 200*
Glicerina 20 1500
Aire 20 0.018
Hidrógeno 0 0.009
Vapor de agua 100 0.013
*mucho mayor a temperaturas bajas (importante para los motores)
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Programa
• IV. DINÁMICA DE FLUIDOS. (3h)• Introducción. Fluidos ideales. Flujo estacionario. Ecuación de
continuidad. Ecuación de Bernouilli. Aplicaciones de la ecuación de Bernouilli. Fluidos reales. Viscosidad. Fluidos newtonianos. Régimen laminar y turbulento. Número de Reynolds. Flujo viscoso. Capa límite. Flujo externo. Flujo laminar en tuberías. Ley de Hagen-Poiseuille.
Turbulento
Laminar
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Régimen laminar y turbulento
• Imagen familiar -ambos regimenes
Laminar,alta velocidad
Turbulento,baja velocidad
La transición de flujo laminar a turbulento depende de
la velocidad vla viscosidad ηla densidad del fluido ρla geometría del flujo/conducto
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Régimen laminar y turbulento¿Qué Importancia Tiene?
• Un flujo se retarda más cuando es turbulento– Flujo se pone turbulento � decelera
– Fuerza adicional de arrastre (luego)
– La presencia de la turbulencia cambia muchos aspectos de un flujo
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El número de Reynolds
• Para flujo en un tubo, la iniciación de la turbulencia se puede predecir
• Una cifra adimensional. Por experiencia:– Si Re < 2000: flujo laminar
– Si Re > 3000: flujo turbulento
ηρvr2
Re=fricción
inercia~
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• Un obstáculo puede accionar la turbulencia
• En función de su tamaño
Imagen del satélite SeaWifS Isla de Guadalupe, 20 de agosto, 1999
ηρvL=Re'
Iniciación de la turbulencia
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Caída Libre de Gotas de AguaFlujo Viscoso
• En la caída de una gota de nube (agua líquida)– Acelera hasta lograr una velocidad límite (velocidad terminal)
– Equilibrio entre la fuerza de gravedad, y la viscosa (Fv)
– Empíricamente, para Re < 1, se sabe que
– Donde k depende de la viscosidad y el “tamaño”,
mgFv = Vgρ= gr
= 3
34πρ
kvFv =ηπrk 6=
grvr
= 3
34
6 πρηπ
ηρgr
v2
92=
Ley de Stokes, (sin turbulencia)
para r < 30µmRe<1
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Caída Libre de Gotas de AguaFlujo Viscoso <--> Turbulento
• En la caída de una gota de lluvia– Sobresalta el valor crítico de Re
– Se inicia la turbulencia, creación de una huella turbulenta (“wake”)• La energía cinética (turbulenta) baja la presión (efecto Bernoulli)
• El arrastre (por presión) es más eficaz para altas velocidades
• El incremento de velocidad con r no es tanto Re > 1 Re >> 1
Régimen Arrastre Re r (µm) v=f(r)
Viscoso
(Stokes)
Fricción Re < 1 < 30 V=c1r2
Intermedio Fricción
Pressión
Re ~ 1 40-600 V=c2r
Turbulento Presión Re >> 1 600-2000 V=c3r1/2
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Placa
“Huella turbulenta”La Capa Límite
• Capa Límite de una placa
u∞
SubcapaViscosa
ZonaIntermedia
Turbulento
Laminar
Zona deTransición
Altura de la Capa Límite
Empieze la placa
u = 0.99 u∞ ≈ u∞
δu(z)
Perfil de velocidad
“Flujo externo”
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Programa
• IV. DINÁMICA DE FLUIDOS. (3h)• Introducción. Flujo estacionario. Ecuación de Bernouilli. Ecuación
de continuidad. Fluidos ideales. Aplicaciones de la ecuación de Bernouilli. Fluidos reales. Viscosidad. Fluidos newtonianos. Régimen laminar y turbulento. Número de Reynolds. Flujo viscoso. Capa límite. Flujo externo. Flujo laminar en tuberías. Ley de Hagen-Poiseuille.
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Flujo laminar en tubos La Ley de Hagen-Poiseuille
• Un fluido ideal (sin viscosidad), fluiría por un tubo sin necesidad de una fuerza– Genial, pero en realidad no hay fluidos ideales
– Fluido real: hace falta una diferencia de presión• Agua o aceite en un tubo
• Sangre en el sistema circulatorio del organismo
• El flujo varia con el radio, y depende de– La diferencia de presión
– Las dimensiones del tubo
– La viscosidad
v(r)P1 P2 (<P1)
L
Rη
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Flujo laminar en tubos La Ley de Hagen-Poiseuille
• Consideramos un cilindro de fluido con radio r– La fuerza de impulsión Fi es
– La fuerza de arrastre Fa es
– Igualando para buscar el equilibrio
v(r)P1 P2 (<P1)
L
R
( ) 221iF rPP π−=
R
r
( )dr
dvrLπη 2Fa −=
( ) ( )dr
dvrLrPP πηπ 22
21 −=−
( )L
rPP
dr
dv
η221 −−=
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Flujo laminar en tubos La Ley de Hagen-Poiseuille
v(r)P1 P2 (<P1)
L
RR
r
( )L
rPP
dr
dv
η221 −−=
( )∫∫
−−=r
R
v
rdrL
PPdv
η221
0
( ) r
R
r
L
PPv
−−=22
221
η
( ) ( )2221
4rR
L
PPv −−=
η
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Flujo laminar en tubos La Ley de Hagen-Poiseuille
v(r)P1 P2 (<P1)
L
R
( ) ( )2221
4rR
L
PPv −−=
η
• Con esta información sobre v(r), podemos estimar el caudal del tubo– Problema: v(r) ≠cte
– Pues, no es tan sencillo como Q=Av
• Truco: análisis por anillo de grosor dr con v=cte. (dentro del anillo)
rdr rdrdA π2=
vdAdQ =
( ) ( ) rdrrRL
PPdQ π
η2
42221 −−=
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Flujo laminar en tubos La Ley de Hagen-Poiseuille
v(r)P1 P2 (<P1)
L
R
( ) ( )2221
4rR
L
PPv −−=
η
rdr rdrdA π2=
vdAdQ =
( ) ( ) rdrrRL
PPdQ π
η2
42221 −−=
( ) ( )drrrRL
PPdQQ
RRr
r∫∫ −−==
=
= 0
3221
0 2ηπ
( ) RrrR
L
PP
0
42221
422
−−=
ηπ
( )L
RPP
ηπ
8
421 −=
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• Continuidad:– ρ2 A2 v2 = ρ1 A1 v1
– Incompresible: caudal : Q = A v = cte
• Presión dinámica (Bernoulli):– Torricelli– Venturi– Pitot– Sustentación
• Viscosidad• Número de Reynolds
– Significación– Relaciones: inercia, fricción, arrastre
– Capas Límites• Hagen-Poiseuille: balance entre fricción y (Δ presión)
Conceptos/Ecuaciones a Dominar
ctegyvP =++ ρρ 2
21
ghv 21 = ( )
−
−=
22
21
121
1
2
A
A
ppv
ρ[ ] 2
1
2
−= de ppVρ
l
uAF 0η=
ηρvr2
Re=
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