-1-

BARISAN DAN DERET, NOTASI SIGMA, DAN INDUKSI MATEMATIKA

PENGERTIAN BARISAN DAN DERET

Barisan yaitu susunan bilangan yang didapatkan dari pemetaan bilangan asli yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret.

Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan Aritmetika dan barisan Geometri.

1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (HITUNG)

1.1 BARISAN ARITMETIKA

Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b.

Contoh-contoh barisan Aritmetika :1) 1,3,5,.... bedanya b = ... 2) 0,5,10,... bedanya b = ...3) 100,97,94,... bedanya b = ...4) , , ,... bedanya b = ... .

Suku ke-n barisan aritmetika

Jika suku pertama = = a dan beda = b, maka :

a + (n – 1) b : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama

n : banyak suku b : beda/selisih

b =

Contoh 1 : Tentukan beda dari :

a) 1,5,9 b) 10, ,7,...

Jawab : a) …………. b) ………….

Contoh 2 : Tentukan suku ke-50 dari barisan 2,5,8, ..... !

Jawab : ……………

Contoh 3 : Tentukan banyak suku dari barisan 50,47,44,...,-22 !

Jawab : …………..

Contoh 4 : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,5,9,... !

Jawab : …………….

Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui dan . Tentukan !

Jawab : …………….

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

-2-

LATIHAN SOAL

1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut !a) 3.5.7,... c) 20,17,14,...

b) 1, ,2,... d) , , ,...

2. Tentukan suku yang diminta !a) 4,10,16,... suku ke-25b) , , ,... suku ke-40

3. Tentukan unsur yang diminta pada barisan Aritmetika berikut :a) b = 4, , a = ...

b) a = -5, , b = ...

c) a = 9, b = -2, , n = ...

d) , , a = ... , b = ...

e) , ,

4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 280, maka tentukan ketiga bilangan itu !

5. Tentukan x jika x+1, 2x, x+7 membentuk barisan aritmetika !

6. Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp. 100.000. Tiap awal bulan Ali menabung Rp.25.000. Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000 jika bunganya tidak diperhitungkan !

1.2DERET ARITMETIKA

Jika pada barisan aritmetika tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret aritmetika. Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.

Jumlah n suku pertama deret aritmetika

+

, karena , maka :

: jumlah n suku pertama

Contoh 1: Hitunglah jumlahnya !a) 1+3+5+...sampai 50 sukub) 2+5+8+...+272

Jawab : a) ……………..

b) …………….

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

-3-

Contoh 2: Tentukan x jika 5+7+9+……+ x = 192

Jawab : ……………

Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan antara 0 - 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 !

Jawab : Yang habis dibagi 4 yaitu 4 + 8 + 12 + ……….. + 100 = =……..Yang habis dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20 yaitu 20 + 40 + 60 + 80 + 100 =

= ……

Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 = - = ……..

Contoh 4: Tentukan jika

Jawab : …………

LATIHAN SOAL

1. Tentukan jumlah dari :a) 3+6+9+ ... sampai 20 sukub) 18+14+10+ ... sampai 20 sukuc) -7-3+1+ ... + 53d) 25+21+17 + ... + 1

2. Tentukan x jika ;a) 1+3+5+ ... + x = 441b) 1+5+9+ ... + x = 561

3. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut :a) a = 2,

b) b=5,

c)

4. Tentukan jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 3

5. Tentukan jika

6. Tentukan jarak yang ditempuh bola yang dijatuhkan pada ketinggian 20 m, jika bola pantulannya 1/2 dari tinggi semula dan pada pantulan ke-6

2. BARISAN DAN DERET GEOMETRI (UKUR)

2.1 BARISAN GEOMETRI

Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r.

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

-4-

Contoh 1: Tentukan rasio dari barisan 1,2,4,8,...

Jawab : …………..

Suku ke-n barisan geometri

Jika suku pertama dan rasio = r, maka :

Dimana

Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan :1,2,4,....

Jawab : …………….

Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3,6,12,...

Jawab : ………………

Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui dan . Tentukan !

Jawab : ……………….

Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 13 dan hasilkalinya 27, tentukan ketiga bilangan itu !

Jawab : Misal ketiga bilangan itu maka

Jadi

Contoh 5: Tentukan x jika x-1, x+2 dan 3x membentuk barisan geometri !

Jawab : ……………..

LATIHAN SOAL

1. Tentukan suku yang diminta dari barisan :a) 1,3,9,..... suku ke-7b) 3,6,12,....suku ke-8c) 16,8,4, ... suku ke-10

2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan :

a)

b)

3. Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut :a)

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

-5-

b)

c)

d)

4. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 216, tentukan ketiga bilangan itu !

5. Tentukan x jika x-4, x, 2x membentuk barisan geometri !

6. Suatu bakteri pada pukul 20.00 jumlahnya 4. Tiap 10 menit sekali tiap-tiap bakteri membelah menjadi 2. Tentukan banyaknya bakteri sampai pukul 21.20 !

2.2 DERET GEOMETRI

Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret geometri.

Jumlah n suku pertama deret geometri

-

dimana

Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+2+4+....

Jawab : ……………

Contoh 2 : Tentukan jumlah dari 1+3+9+...+243

Jawab : ………………

Contoh 3: Tentukan n jika

Jawab : ………………

LATIHAN SOAL

1. Tentukan jumlah dari :

a)

b) 36+18+9+....

c)

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

-6-

2. Tentukan jumlah dari :a) 1/3+1+3=....+81b) 32+16+8+....+1/8

3. Tentukan n jika :a)

b)

4. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :a)

b)

c)

5. Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi dua kali lipat. Setelah 27 tahun jumlah penduduk menjadi 6,4 juta jiwa. Hitung jumlah penduduk semula !

2.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Untuk maka :

Untuk –1 < r < 1 maka :

sehingga syarat –1 < r < 1

Jadi suatu deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah) jika –1 < r < 1

Contoh 1: Hitung

Jawab : ………………

Contoh 2: Hitung 1 + 3 + 9 + …. (Beri alasannya !)

Jawab : ……………….

Contoh 3: Suku pertama deret geometri adalah 6. Jika jumlah sampai tak hingga sama dengan 9, maka tentukan rasionya !

Jawab : …………………….

LATIHAN SOAL

1. Hitunglah jumlahnya dari :a. 32+16+8+…. e. 0,1+0,01+0,001+….b. 125+5+1+…. f. 8+2+1/2+….c. 12+8+16/3+…. g. 1+1+1+….d. 1/2+1/3+2/9+…. h.

2. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :a. r = -2/5, 15 maka a = ….

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

-7-

b. a = 2, maka ….

c. maka ….

d. maka ….

3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 m . Bola memantul 3/5 dari tinggi semula. Hitung jarak seluruhnya yang ditempuh bola sampai bola berhenti

4. Jika sisi bujur sangkar terbesar pada gambar di samping 8 cm, maka tentukan jumlah luas keseluruhan bujur sangkar jika diteruskan hingga tak terhingga jumlahya.

3. NOTASI SIGMA

Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat keteraturan digunakan notasi sigma yang dilambangkan dengan

dimana I sebagai

indeks dengan batas bawah a dan batas atas b sedangkan adalag rumus sigma sesuai dengan indeks yang digunakan. Indeks menggunakan huruf kecil.

dibaca “sigma dari untuk harga i dari a sampai b”.

Contoh 1 : Tentukan bentuk penjumlahan dan nilainya dari

Jawab : = ………………… = …………

Contoh 2 : Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1 + 4 + 7 + ……. + 28

Jawab : 1 + 4 + 7 + ……. + 28 = …………..

Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi rumus sigma sifatnya tidak unik.

Contoh 3 : Ubahlah menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 !

Jawab :

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

-8-

LATIHAN SOAL

1. Tulislah dalam bentuk penjumlahan dari :

2. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan berikut :

3. Ubahlah bentuk sigma berikut dengan batas bawah = 5

4. INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika adalah salah satu bentuk pembuktian suatu rumus dalam matematika dengan menggunakan pola bilangan asli.

Misalkan Pn suatu pernyataan dan n Asli sedemikian sehingga :

1. benar untuk n = 1

2. Misal benar dimana k sembarang bilangan antara 1 dan n sehingga

menyebabkan benar pula, maka benar untuk n Asli.Hal ini bisa digambarkan dengan penataan kartu berdiri yang dijajarkan dengan jarak yang sama sehingga jika kartu yang pertama jatuh maka semua kartu akan jatuh pula.

Contoh 1 : Buktikan dengan menggunakan induksi matematika !

Jawab : Untuk n = 1 (suku pertama) maka 1 = benar.

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika

-9-

Misal untuk sembarang n = k maka benar.

Sehingga untuk n = k+1 :

benar.

Jadi benar untuk n Asli.

LATIHAN SOAL

Buktikan dengan induksi matematika !

Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika