BARISAN DAN DERETPenggunaan Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi

AHMAT RIF�AN MAULANA

STIE PGRI Dewantara Jombang

Oktober 2013

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 1 / 26

Barisan dan DeretPengertian Barisan Aritmatika (Deret Hitung)

De�nitionBarisan yang selisih antar dua suku yang berurutan tetap (konstan)disebut Barisan Aritmatika (Deret Hitung).

Example1 2, 5, 8 11, .......(selisih/beda = 3)2 20, 18, 16, 14, ......(selisih/beda = -2)

Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakanpembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yangberurutan.

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 2 / 26

Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika

TheoremSuku ke-n dari barisan aritmatika adalah

Un = a+ (n� 1)b

Keterangan:Un = suku ke-n barisan aritmatikaa = suku pertama barisan aritmatikab = beda

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 3 / 26

Barisan AritmatikaContoh

ExampleCarilah suku ke-50 dari barisan 2, 7, 12, 17, .....

SolutionOleh karena selisih antar suku selalu tetap, maka2, 7, 12, 17, .....merupakan barisan aritmatika dengan a = 2, b = 5, n = 50maka

Un = a+ (n� 1)bU50 = 2+ (50� 1)5

= 2+ 49 � 5= 2+ 245

= 247

Jadi, suku ke-50 adalah 247.A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 4 / 26

Deret AritmatikaPengertian

De�nitionJika pada barisan aritmatika tiap-tiap sukunya dijumlahkan, maka akandiperoleh yang disebut dengan Deret Aritmatika.

Example1 2+ 7+ 12+ 18+ ...... adalah deret aritmatika dengan beda 5.2 3+ 6+ 9+ 12+ ..... adalah deret aritmatika dengan beda 3.

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 5 / 26

Rumus Deret Aritmatika

TheoremJumlah n suku pertama deret aritmatika adalah

Sn =n2(2a+ (n� 1)b)

ExampleCarilah jumlah 25 suku pertama dari deret aritmatika50+ 46+ 42+ 38+ ....

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 6 / 26

Lanjutan...

SolutionDeret aritmatika 50+ 46+ 42+ 38+ ...., maka a = 50,b = �4.

Sn =n2(2a+ (n� 1)b)

S25 =252(2(50) + (25� 1)(�4))

=252(100� 96)

= 50

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 7 / 26

Barisan Geometri (Deret Ukur)

De�nitionBarisan yang perbandingan/rasio antar dua suku yang berurutan selalukonstan (tetap) disebut Barisan Geometri.

Example1 2, 4, 8, 16, ....(rasio = 2)2 512, 256, 128, 64, ....(rasio = 0,5)

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 8 / 26

Rumus Suku ke-n Barisan Geometri

TheoremSuku ke-n dari barisan geometri dirumuskan dengan

Un = arn�1

Keterangan :Un = suku ke-n barisan geometria = suku pertama barisan geometrir = rasio

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 9 / 26

Barisan GeometriContoh

ExampleCarilah suku ke-12 dari barisan 2, 6, 18, 54, ....

SolutionBarisan 2, 6, 18, 54, .... merupakan barisan geometri, sebab perbandinganantarsukunya tetap yaitu 3.Karena a = 2, r = 3, maka

Un = arn�1

U12 = 2 � 312�1

= 2 � 311

= 354.294

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 10 / 26

Deret Geometri

De�nitionJika pada barisan geometri tiap-tiap sukunya dijumlahkan, maka akandiperoleh yang disebut dengan Deret Geometri.

Example1 2+ 4+ 8+ 16+ ....(rasio = 2)2 512+ 256+ 128+ 64+ ....(rasio = 0,5)

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 11 / 26

Rumus Deret Geometri

TheoremJumlah n suku pertama deret geometri adalah

Sn =a(1� rn)1� r , r < 1

atau

Sn =a(rn � 1)r � 1 , r > 1

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 12 / 26

Deret GeometriContoh

ExampleCarilah jumlah 10 suku pertama dari deret geometri 1+ 3+ 9+ 27+ ....

SolutionDeret aritmatika 1+ 3+ 9+ 27+ ...., maka a = 1, r = 3.

Sn =a(rn � 1)r � 1

S10 =1(310 � 1)3� 1

= 29524

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 13 / 26

Penggunaan Barisan dan Deret dalam Ilmu Ekonomi

ExamplePabrik rokok �Kurang Garam�menghasilkan sejuta bungkus rokok padatahun pertama berdirinya dan 1,6 juta bungkus pada tahun ke tujuh.

a. Andaikan perkembangan produksinya konstan. Berapatambahan produksinya per tahun?

b. Berapa produksinya pada tahun kesebelas?

c. Pada tahun ke berapa produksinya 2,5 juta bungkus rokok?

d. Berapa bungkus rokok yang telah ia hasilkan sampai dengantahun ke-16?

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 14 / 26

Lanjutan...Penyelesaian

SolutionDiketahui a = 1.000.000, U7 = 1.600.000

Un = a+ (n� 1)bU7 = a+ (7� 1)b

1.600.000 = 1.000.000+ 6b

600.000 = 6b

b = 100.000

a. Jadi pertambahan produksinya pertahun adalah 100.000bungkus rokok.

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 15 / 26

Lanjutan...

Solution

b. Selanjutnya, akan dicari produksi pada tahun kesebelas

U11 = a+ (11� 1)b= 1.000.000+ 10(100.000)

= 2.000.000

Jadi, banyaknya produksi pada tahun kesebelas adalah2.000.000 bungkus rokok.

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 16 / 26

Lanjutan...

Solutionc. Berikutnya, akan dicari tahun ketika banyak produksinya 2,5juta

Un = a+ (n� 1)b2.500.000 = 1.000.000+ (n� 1)100.0001.500.000 = (n� 1)100.000(n� 1) = 15

n = 16

Jadi, banyaknya produksi 2,5 juta terjadi pada tahun ke-16.

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 17 / 26

Lanjutan...

Solutiond. Banyak bungkus rokok yang dihasilkan sampai tahun ke-16,artinya jumlah produksi sampai tahun ke-16. Maka inimerupakan masalah deret aritmatika. Sehingga,

Sn =n2(2a+ (n� 1)b)

S16 =162(2(1.000.000) + (16� 1)100.000

= 8(2.000.000+ 1.500.000)

= 8(3.500.000)

= 28.000.000

Jadi, jumlah produksi selama 16 tahun adalah 28.000.000bungkus rokok.

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 18 / 26

Latihan Soal

Problem1 Seorang Petani jeruk mencatat hasil panennya selama 11 haripertama. Setiap harinya mengalami kenaikan tetap dimulai haripertama, kedua, ketiga berturut-turut 15 kg, 17 kg, 19 kg danseterusnya. Tentukanlah jumlah panen selama 11 hari pertama?

2 Seorang ayah membagikan uang sebesar Rp 100.000,00 kepada empatorang anaknya. Makin muda usia anak makin kecil yang diterimanya.Jika selisih yang diterima oleh setiap dua anak yang usianyaberdekatan adalah Rp 5.000,00 dan Si Sulung menerima uang palingbanyak, berapakah jumlah yang diterima oleh Si Bungsu?

3 A stock boy in a grocery store stacks a number of boxes of cereal sothat there are 30 boxes in �rst row, 27 boxes in the second row, 24boxes in the third row, and so on. How many boxes of cereal does hehave if there are 3 boxes in the top row?

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 19 / 26

Latihan Soal

Problem4. Saat diterima bekerja di Penerbit Literatur, Memey membuatkesepakatan dengan pimpinan perusahaan, yaitu ia akan mendapatgaji pertama Rp 1.800.000,00 dan akan mengalami kenaikan Rp50.000,00 setiap dua bulan. Jika ia mulai bekerja pada bulan Juli2013, berapa gaji yang diterimanya pada bulan Desember 2013?

5. Ferdy membuka tabungan di Bank pada bulan Desember 2013sebesar Rp 500.000,00. Pada bulan Januari 2014 , Ferdy menabungRp 50.000,00, kemudian pada bulan Maret 2014 menabung lagisebesar Rp 55.000,00. Pada bulan-bulan berikutnya, Ferdy menabungRp 60.000,00, Rp 65.000,00 dan seterusnya sampai bulan Desember2014. Berapakah jumlah seluruh tabungan Ferdy sampai akhir tahun2014?

6. Ron Line is o¤ered a job as a mechanic starting at $ 700 per month.If he is guaranteed a pay increase of $ 10 per month every 3 months,what will his salary be after 8 years?

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 20 / 26

Bunga Majemuk

TheoremRumus untuk mendapatkan modal akhir dari suatu modal P yangdibungakan dengan bunga i per tahun, dalam periode m setahun, selaman tahun, maka modal akhir dirumuskan dengan :

FVn = P�1+

im

�mn

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 21 / 26

Contoh Soal Bunga Majemuk

ExampleA meminjam uang sejuta rupiah pada B untuk jangka waktu dua tahundengan bunga sepuluh persen per tahun. Berapa jumlah uang yang harusdibayarkan oleh A pada saat jatuh tempo, jika pembayaran bunganyadilakukan:

a. Pada setiap akhir tahun?

b. Pada saat akhir semester?

c. Mana yang lebih menguntungkan, bunga dibayarkan padasetiap akhir tahun ataukah pada setiap akhir semester?

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 22 / 26

Lanjutan...Penyelesaian

Solution

a. Diketahui : P = 1.000.000, n = 2 tahun, m = 1, i = 0, 1

Maka,

FVn = P�1+

im

�mnFV2 = 1.000.000

�1+

0, 11

�2= 1.210.000

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 23 / 26

Lanjutan...Penyelesaian

Solutionb. Diketahui : P = 1.000.000, n = 2 tahun, m = 2, i = 0, 1

Maka,

FVn = P�1+

im

�mnFV2 = 1.000.000

�1+

0, 12

�4= 1.215.506, 20

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 24 / 26

Lanjutan...Penyelesaian

Solutionc. Bagi A lebih menguntungkan jika bunga dibayar tiap tahunsebab jumlah uang yang harus dibayarkan pada saat jatuhtempo lebih sedikit daripada jika bunga dibayarkan tiapsemester. Sebaliknya, bagi B lebih menguntungkan jikabunga dibayarkan tiap semester, sebab jumlah yang akanditerima pada saat jatuh tempo lebih banyak daripada jikabunga dibayarkan tiap tahun.

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 25 / 26

Latihan Soal

Problem1 Rindu menanam modal sebesar Rp 20.000.000,00 dengan bungamajemuk 5%. Berapa besar modal setelah dua tahun?

2 Pada setiap awal tahun Wisnu menanamkan modalnya sebesar Rp5.000.000,00 dengan bunga majemuk 6% per tahun. Hitunglahjumlah seluruh modal Wisnu setelah 3 tahun?

3 Bu Ijah membeli barang kredit seharga Rp 880.000,00. Ia melakukanpembayaran dengan diangsur berturut-turut setiap bulan sebesar Rp25.000,00, Rp 27.000,00, Rp 29.000,00, demikian seterusnya. Berapalamakah kredit barang tersebut akan lunas?

A.Rif�an M. (STIE PGRI Dew Jbg) Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi Oktober 2013 26 / 26