Balandin Kogan LMN

ÑÈÍÒÅÇ ÇÀÊÎÍÎÂ ÓÏÐÀÂËÅÍÈßÍÀ ÎÑÍÎÂÅ

ËÈÍÅÉÍÛÕ ÌÀÒÐÈ×ÍÛÕÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Ä.Â. Áàëàíäèí è Ì.Ì. Êîãàí

2

Êîíñòàíòèíó è ÒèìîôåþÈííå è ßíå

3

Èçäàíèå îñóùåñòâëåíî ïðè ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåí-òàëüíûõ èññëåäîâàíèé ïî ïðîåêòó 06-01-14038ä.

Â êíèãå èçëîæåí åäèíûé ïîäõîä ê ñèíòåçó ðåãóëÿòîðîâ äëÿ äèíàìè÷å-ñêèõ îáúåêòîâ, çàäàâàåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûìè èëè ðàçíîñòíûìè óðàâ-íåíèÿìè, êîòîðûé èñïîëüçóåò àïïàðàò ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâè ïàêåò ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì MATLAB. Â ñëó÷àå ïîëíîé èíôîðìàöèèî ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè îáúåêòà, à òàêæå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííî-ñòè îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðîâ èëè öåëûõ äèíàìè÷åñêèõ áëîêîâ, ïîëó÷åíûóðàâíåíèÿ ðåãóëÿòîðîâ ïî ñîñòîÿíèþ è ïî èçìåðÿåìîìó âûõîäó, êîòîðûåîáåñïå÷èâàþò óñòîé÷èâîñòü çàìêíóòîé ñèñòåìû, îïòèìàëüíîñòü ïåðåõîä-íûõ ïðîöåññîâ, çàäàííûé óðîâåíü ãàøåíèÿ âíåøíèõ âîçìóùåíèé.

Äëÿ ñïåöèàëèñòîâ â îáëàñòè òåîðèè óïðàâëåíèÿ, àñïèðàíòîâ è ñòó-äåíòîâ ñòàðøèõ êóðñîâ óíèâåðñèòåòîâ è òåõíè÷åñêèõ âóçîâ, ñïåöèàëè-çèðóþùèõñÿ â îáëàñòè ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè, ñèñòåìíîãî àíàëèçà èòåîðèè óïðàâëåíèÿ.

Àâòîðû:Áàëàíäèí Äìèòðèé Âëàäèìèðîâè÷, çàâ. êàôåäðîé ÷èñëåííîãî è ôóíê-

öèîíàëüíîãî àíàëèçà Íèæåãîðîäñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èì.Í.È. Ëîáà÷åâñêîãî, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð

Êîãàí Ìàðê Ìèõàéëîâè÷, çàâ. êàôåäðîé ìàòåìàòèêè Íèæåãîðîäñêî-ãî ãîñóäàðñòâåííîãî àðõèòåêòóðíî-ñòðîèòåëüíîãî óíèâåðñèòåòà, äîêòîðôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð

Îãëàâëåíèå

Ââåäåíèå 9

I Ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà 15

1 Îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà 19

2 Îñíîâíûå çàäà÷è 25

3 Íåðàâåíñòâî Ψ + P T ΘT Q + QT ΘP < 0 293.1 Óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Ïàðàìåòðèçàöèÿ âñåõ ðåøåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Ñèñòåìà íåðàâåíñòâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Ðåøåíèå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõíåðàâåíñòâ â ïàêåòå MATLAB 41

II Ñèíòåç çàêîíîâ óïðàâëåíèÿ 45

5 Ñòàáèëèçàöèÿ 495.1 Ñòàáèëèçàöèÿ ïî ñîñòîÿíèþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2 Îäíîâðåìåííàÿ ñòàáèëèçàöèÿ íåñêîëüêèõ îáúåêòîâ . . . . . 545.3 Ñòàáèëèçàöèÿ ïî âûõîäó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4 Ñòàáèëèçàöèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì íàáëþäàòåëåé . . . . . . . 675.5 Ñòàáèëèçàöèÿ äèñêðåòíûõ îáúåêòîâ . . . . . . . . . . . . . . 71

6 Ìîäàëüíîå óïðàâëåíèå 756.1 LMI-îáëàñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2 Ñèíòåç ìîäàëüíîãî óïðàâëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5

6 Îãëàâëåíèå

7 Îïòèìàëüíîå ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîå óïðàâëåíèå 817.1 Âû÷èñëåíèå H2-íîðìû ïåðåäàòî÷íîé ìàòðèöû . . . . . . . . 827.2 Ñèíòåç γ-îïòèìàëüíûõ ðåãóëÿòîðîâ ïî ñîñòîÿíèþ . . . . . . 867.3 Ñèíòåç γ-îïòèìàëüíûõ ðåãóëÿòîðîâ ïî âûõîäó . . . . . . . 92

8 Îïòèìàëüíîå ãàøåíèå âîçìóùåíèé 1018.1 Óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â

íåïðåðûâíîì îáúåêòå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.2 H∞-ðåãóëÿòîðû äëÿ íåïðåðûâíûõ

îáúåêòîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.3 Óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â

äèñêðåòíîì îáúåêòå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.4 H∞-ðåãóëÿòîðû äëÿ äèñêðåòíûõ îáúåêòîâ . . . . . . . . . . 119

III Çàêîíû óïðàâëåíèÿ ïðè íåîïðåäåëåííîñòè 127

9 Ìîäåëè íåîïðåäåëåííîñòè 1319.1 Ïàðàìåòðè÷åñêàÿ íåîïðåäåëåííîñòü . . . . . . . . . . . . . . 1319.2 Äèíàìè÷åñêàÿ íåîïðåäåëåííîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.3 Íåëèíåéíàÿ íåîïðåäåëåííîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

10 Ðîáàñòíàÿ óñòîé÷èâîñòü 13910.1 Íåñòðóêòóðèðîâàííàÿ íåîïðåäåëåííîñòü . . . . . . . . . . . 13910.2 Ñòðóêòóðèðîâàííàÿ íåîïðåäåëåííîñòü . . . . . . . . . . . . 14410.3 Äèñêðåòíûå ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.4 µ-àíàëèç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

11 Ðîáàñòíàÿ ñòàáèëèçàöèÿ 15511.1 Íåïðåðûâíûå ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15511.2 Äèñêðåòíûå ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

12 Àáñîëþòíàÿ óñòîé÷èâîñòü è ñòàáèëèçàöèÿ 173

13 Ðîáàñòíîå H∞-óïðàâëåíèå 177

14 Ñèíòåç ãðóáûõ ñòàáèëèçèðóþùèõ ðåãóëÿòîðîâ 19114.1 Ãðóáûå ðåãóëÿòîðû ïî ñîñòîÿíèþ . . . . . . . . . . . . . . . 19214.2 Ãðóáûå ðåãóëÿòîðû ïî âûõîäó . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

15 Àäàïòèâíîå óïðàâëåíèå 201

Îãëàâëåíèå 7

IV ×èñëåííûå ïðîöåäóðû ñèíòåçà ðåãóëÿòîðîâ 205

16 Âû÷èñëèòåëüíûå îñîáåííîñòè 209

17 Àëãîðèòì ïîèñêà âçàèìíîîáðàòíûõ ìàòðèö 211

18 Àëãîðèòì ìèíèìèçàöèè ñëåäà ìàòðèöû 217

19 Äâîéñòâåííàÿ èòåðàöèÿ 221

V Àêòèâíîå ãàøåíèå êîëåáàíèéâûñîòíûõ ñîîðóæåíèé 227

20 Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü âûñîòíîãî ñîîðóæåíèÿ 231

21 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è ãàøåíèÿ êîëåáàíèé 235

22 ×èñëåííûå ðåçóëüòàòû 239

VI Çàêëþ÷åíèå 241

VII Ïðèëîæåíèÿ 245

A Áëî÷íûå ìàòðèöû 247

B Ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ 255

C Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ è ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû 257

D Ñòðóêòóðíûå ñèñòåìíûå ñâîéñòâà 261

E Ðàñøèðåííàÿ ëåììà Ëÿïóíîâà 265

F Êðîíåêåðîâî ïðîèçâåäåíèå 269

G S-ïðîöåäóðà 271

H ×àñòîòíàÿ òåîðåìà 273

Ëèòåðàòóðà 275

Ââåäåíèå

Öåëü ýòîé êíèãè ïîêàçàòü, êàê íà îñíîâå ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ëèíåéíûõìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ â ïàêåòå MATLAB ìîæíî ñèíòåçèðîâàòü çàêî-íû óïðàâëåíèÿ äèíàìè÷åñêèìè îáúåêòàìè, âêëþ÷àÿ è ðîáàñòíûå çàêîíûóïðàâëåíèÿ â ñëó÷àå, êîãäà îòñóòñòâóåò ïîëíàÿ èíôîðìàöèÿ î ìàòåìà-òè÷åñêîé ìîäåëè îáúåêòà è äåéñòâóþùèõ âîçìóùåíèÿõ.

Â òåîðèè óïðàâëåíèÿ ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà ïðèìåíÿëèñüî÷åíü äàâíî. Óæå èçâåñòíîå óðàâíåíèå Ëÿïóíîâà [22] â òåîðèè óñòîé÷è-âîñòè

AT X + XA = −Q

ïðè ïðîèçâîëüíîé ñèììåòðè÷åñêîé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöåQ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî

AT X + XA < 0

îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé ìàòðèöû X. Óñëîâèÿ àáñîëþòíîé óñòîé÷èâî-ñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, óðàâíåíèÿ êîòîðûõ ñîäåðæàò íåèçâåñòíóþ íåëè-íåéíóþ ôóíêöèþ, ðàñïîëîæåííóþ â çàäàííîì ñåêòîðå (òàê íàçûâàåìûåñèñòåìû Ëóðüå), òàêæå áûëè âûðàæåíû â âèäå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõíåðàâåíñòâ [40, 28]. Îäíàêî òîëüêî ïîñëå òîãî, êàê áûëè ðàçâèòû ñîîò-âåòñòâóþùèå âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû â êîíöå 20-ãî âåêà, îñíîâàííûå íàèäåÿõ âûïóêëîé îïòèìèçàöèè, è äëÿ èõ ðåàëèçàöèè ïîÿâèëèñü àëãîðèò-ìû è ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå [71, 59], ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâàñòàëè àêòèâíî ïðèìåíÿòüñÿ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ òåîðèè ñèñòåì è òåî-ðèè óïðàâëåíèÿ [51, 77]. Â ÷àñòíîñòè, â [58, 62] áûëî ïîêàçàíî, êàê ñèíòåçH∞-ðåãóëÿòîðîâ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ.

Ñèíòåçó ðåãóëÿòîðîâ íà îñíîâå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ âïîñëåäíèå ãîäû áûëî ïîñâÿùåíî îãðîìíîå ÷èñëî ïóáëèêàöèé â òàêèõ èç-âåñòíûõ æóðíàëàõ êàê IEEE Transactions on Automatic Control, Automati-ca, Systems and Control Letters, International Journal of Control è ìíîãèõäðóãèõ, à òàêæå â òðóäàõ âñåõ ïîñëåäíèõ êîíôåðåíöèé ïî òåîðèè óïðàâ-ëåíèÿ (World IFAC Congresses, IEEE Conferences on Decision and Control,European Control Conferences è äðóãèõ).

9


Ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà ïîçâîëÿþò ñ åäèíûõ ïîçèöèé ðàñ-ñìàòðèâàòü è ðåøàòü ìíîãèå ïðîáëåìû òåîðèè óïðàâëåíèÿ è, â ÷àñòíî-ñòè, òàêèå âàæíûå êàê ñòàáèëèçàöèÿ íåóñòîé÷èâîãî îáúåêòà ïî ñîñòî-ÿíèþ è ïî èçìåðÿåìîìó âûõîäó, ìîäàëüíîå óïðàâëåíèå, îïòèìàëüíîåëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîå óïðàâëåíèå, îïòèìàëüíîå ãàøåíèå âíåøíèõ âîç-ìóùåíèé â ðàìêàõ òåîðèè H∞-óïðàâëåíèÿ, ðîáàñòíàÿ óñòîé÷èâîñòü èñòàáèëèçàöèÿ, àáñîëþòíàÿ óñòîé÷èâîñòü è ñòàáèëèçàöèÿ, ðîáàñòíîå H∞-óïðàâëåíèå. Èìåííî ýòè çàäà÷è è èçó÷àþòñÿ â äàííîé êíèãå.

Â êà÷åñòâå îáúåêòîâ óïðàâëåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ ëèíåéíûå íåïðå-ðûâíûå è äèñêðåòíûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ñ èçâåñòíûìè ïîñòîÿííûìèèëè íåèçâåñòíûìè è, âîçìîæíî, íåñòàöèîíàðíûìè îãðàíè÷åííûìè ïàðà-ìåòðàìè, à òàêæå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, ñîäåðæàùèå íåèçâåñòíûå äèíà-ìè÷åñêèå áëîêè èëè íåëèíåéíûå áëîêè ñ ñåêòîðíîé íåëèíåéíîñòüþ. Ñèí-òåçèðóåìûå ðåãóëÿòîðû âûáèðàþòñÿ â êëàññå ëèíåéíûõ, â îáùåì ñëó÷àå,äèíàìè÷åñêèõ îáðàòíûõ ñâÿçåé.

Îñíîâíàÿ èäåÿ, ïîëîæåííàÿ â îñíîâó ñèíòåçà, çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþ-ùåì. Öåëü óïðàâëåíèÿ ôîðìóëèðóåòñÿ â âèäå íåðàâåíñòâà îòíîñèòåëüíîêâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè Ëÿïóíîâà çàìêíóòîé ñèñòåìû V (x) = xT Xx ññèììåòðè÷åñêîé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöåé X = XT > 0.Äëÿ çàäà÷è ñòàáèëèçàöèè ýòî ïðîñòî íåðàâåíñòâî Ëÿïóíîâà, à äëÿ çàäà-÷è H∞-óïðàâëåíèÿ ýòî íåðàâåíñòâî íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷àåòñÿ ïóòåìïðåîáðàçîâàíèÿ íà îñíîâå ÷àñòîòíîé òåîðåìû [13] öåëåâîãî óñëîâèÿ, âû-ðàæåííîãî â ÷àñòîòíîé îáëàñòè, â ýêâèâàëåíòíîå åìó ìàòðè÷íîå íåðàâåí-ñòâî. Â ëþáîì ñëó÷àå ïîëó÷àþùååñÿ íåðàâåíñòâî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ-ëåíî â âèäå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà îòíîñèòåëüíî íåèçâåñò-íîé ìàòðèöû ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà Θ íåêîòîðîãî ñïåöèàëüíîãî âèäà

Ψ + P T ΘT Q + QT ΘP < 0 , (I)

ãäå P , Q è Ψ ìàòðèöû ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîðÿäêîâ, çàâèñÿùèå îò èñõîä-íûõ äàííûõ, ïðè÷åì ñèììåòðè÷åñêàÿ ìàòðèöà Ψ çàâèñèò òàêæå îò íåèç-âåñòíîé ìàòðèöû X ôóíêöèè Ëÿïóíîâà. Ýòî íåðàâåíñòâî èìååò íåïóñòîåìíîæåñòâî ðåøåíèé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíû äâà íåðàâåí-ñòâà

W TP ΨWP < 0 , W T

QΨWQ < 0 , (II)

â êîòîðûõ ñòîëáöû ìàòðèö WP è WQ îáðàçóþò áàçèñû ÿäåð ìàòðèö P è Qñîîòâåòñòâåííî. Ïîñëåäíèå äâà íåðàâåíñòâà óæå íå ñîäåðæàò ïåðåìåííûõΘ, è äëÿ ðåãóëÿòîðîâ ïî ñîñòîÿíèþ èëè ðåãóëÿòîðîâ ïî âûõîäó ïîëíîãîïîðÿäêà (êîãäà ïîðÿäîê ðåãóëÿòîðà ñîâïàäàåò ñ ïîðÿäêîì îáúåêòà) ýòèíåðàâåíñòâà ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ìàòðè÷íûìè íåðàâåíñòâàìè îòíîñè-òåëüíî ìàòðèöû X. Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíàÿ çàäà÷à ðàçäåëÿåòñÿ íà äâå


çàäà÷è: ñíà÷àëà íàõîäèòñÿ ìàòðèöà X, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ëèíåéíûì ìàò-ðè÷íûì íåðàâåíñòâàì (II), à çàòåì íàéäåííàÿ ìàòðèöà ïîäñòàâëÿåòñÿ âëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî (I) è íàõîäÿòñÿ ïàðàìåòðû ðåãóëÿòîðàΘ.

Â áîëåå ñëîæíûõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ñîñòîÿíèå îáúåêòà íå èçìåðÿåòñÿ èñòðîèòñÿ ðåãóëÿòîð ïî âûõîäó ïîíèæåííîãî ïîðÿäêà (êîãäà ïîðÿäîê ðå-ãóëÿòîðà ìåíüøå ïîðÿäêà îáúåêòà), îäíà èç ìàòðèö P èëè Q òàêæå çà-âèñèò îò ìàòðèöû X, è ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå íåðà-âåíñòâà (II) ñîäåðæàò êàê ìàòðèöó X, òàê è îáðàòíóþ ê íåé ìàòðèöóY = X−1. Òåïåðü ýòè íåðàâåíñòâà îêàçûâàþòñÿ ëèíåéíûìè ìàòðè÷íû-ìè íåðàâåíñòâàìè îòíîñèòåëüíî äâóõ âçàèìíîîáðàòíûõ ìàòðèö X è Y ,è çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îïòèìèçàöèè íåêîòîðîé íåâûïóêëîé ôóíêöèè ïðèîãðàíè÷åíèÿõ, çàäàâàåìûõ ëèíåéíûìè ìàòðè÷íûìè íåðàâåíñòâàìè. Óêà-çàííîå îáñòîÿòåëüñòâî ïðèíöèïèàëüíûì îáðàçîì óñëîæíÿåò ñèíòåç ðåãó-ëÿòîðîâ, òàê êàê îòñóòñòâóþò ðåãóëÿðíûå ìåòîäû îïòèìèçàöèè íåâûïóê-ëûõ ôóíêöèé. Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ðàçðàáîòàíû ðàçëè÷íûå àëãîðèò-ìû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è [4, 7, 8, 9, 43, 44, 46, 48, 60, 64,65, 79, 80]. Âî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ñëó÷àÿõ óäàåòñÿ îñóùåñòâèòüòðåáóåìûé ñèíòåç, õîòÿ íè îäèí èç èçâåñòíûõ àëãîðèòìîâ íå ãàðàíòèðóåòðåøåíèÿ ëþáîé çàäà÷è.

Ïðè íàïèñàíèè ýòîé êíèãè àâòîðû ñòàâèëè ïåðåä ñîáîé çàäà÷ó ïîçíà-êîìèòü ðóññêîÿçû÷íîãî ÷èòàòåëÿ ñ îäíèì èç ñîâðåìåííûõ íàïðàâëåíèéòåîðèè óïðàâëåíèÿ, êîòîðîå â îñíîâíîì ðàçâèâàëîñü íå â Ðîññèè, õî-òÿ ôóíäàìåíò ýòîé òåîðèè áûë çàëîæåí â ÑÑÑÐ â òðóäàõ À.È. Ëóðüåè Â.À. ßêóáîâè÷à. Ñ ýòîé öåëüþ àâòîðû ñèñòåìàòèçèðîâàëè îáøèðíûéìàòåðèàë, ñîäåðæàùèéñÿ â çàðóáåæíûõ æóðíàëüíûõ ïóáëèêàöèÿõ, ïðè-âåëè ñîáñòâåííûå äîêàçàòåëüñòâà íåêîòîðûõ óòâåðæäåíèé è ñîáñòâåííûåðåçóëüòàòû, à òàêæå ïðîèëëþñòðèðîâàëè ïðåäëàãàåìûå ïðîöåäóðû ñèí-òåçà ðåãóëÿòîðîâ íà ìíîãî÷èñëåííûõ ïðèìåðàõ óïðàâëåíèÿ ìåõàíè÷å-ñêèìè ñèñòåìàìè.

Ñëåäóåò äîáàâèòü, ÷òî íåêîòîðûå èç îáñóæäàåìûõ â ýòîé êíèãå âî-ïðîñîâ ÷àñòè÷íî îòðàæåíû â ðóññêîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå â äâóõ ìîíîãðà-ôèÿõ [27, 39] è íåáîëüøîì ÷èñëå æóðíàëüíûõ ñòàòåé [17, 18, 19, 20, 10,11, 4, 7, 26, 30, 9].

Êíèãà îðãàíèçîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì. Â ÷àñòè I ïðèâîäÿòñÿ îñíîâ-íûå ñâåäåíèÿ î ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâàõ: îïðåäåëåíèå è îñíîâ-íûå ñâîéñòâà; çàäà÷è ðàçðåøèìîñòè, îïòèìèçàöèè è îáîáùåííîãî ñîá-ñòâåííîãî çíà÷åíèÿ, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ â ñèíòåçå ðåãóëÿòîðîâ; ïî-äðîáíîå èññëåäîâàíèå ñïåöèàëüíîãî ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà(I); îïèñàíèå îñíîâíûõ èñïîëüçóåìûõ êîìàíä LMI Toolbox ïàêåòà Matlab.

×àñòü II ïîñâÿùåíà ñèíòåçó çàêîíîâ óïðàâëåíèÿ ëèíåéíûìè íåïðå-


ðûâíûìè è äèñêðåòíûìè äèíàìè÷åñêèìè îáúåêòàìè. Ðàññìàòðèâàþòñÿçàäà÷è ñòàáèëèçàöèè ïî ñîñòîÿíèþ è ïî èçìåðÿåìîìó âûõîäó, ìîäàëü-íîå óïðàâëåíèå, îïòèìàëüíîå ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîå óïðàâëåíèå, H∞-îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå.

Â ÷àñòè III ñèíòåçèðóþòñÿ çàêîíû óïðàâëåíèÿ â óñëîâèÿõ íåîïðåäå-ëåííîñòè îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè îáúåêòà. Îïèñûâàþòñÿêëàññû ðàññìàòðèâàåìûõ íåîïðåäåëåííîñòåé, èçó÷àþòñÿ çàäà÷è ðîáàñò-íîé óñòîé÷èâîñòè, ðîáàñòíîé ñòàáèëèçàöèè, àáñîëþòíîé ñòàáèëèçàöèè,ðîáàñòíîãî H∞-óïðàâëåíèÿ, ñèíòåçèðóþòñÿ ãðóáûå ðåãóëÿòîðû, îáåñïå-÷èâàþùèå âûïîëíåíèå öåëè ïðè âîçìîæíûõ âàðèàöèÿõ èç îïðåäåëåííî-ãî êëàññà èõ ñîáñòâåííûõ ïàðàìåòðîâ, à òàêæå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷ààäàïòèâíîãî óïðàâëåíèÿ ïî ñêîðîñòè óáûâàíèÿ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà.

Â ÷àñòè IV ïðèâîäÿòñÿ íåêîòîðûå àëãîðèòìû íåâûïóêëîé îïòèìèçà-öèè, ïðèìåíÿåìûå â ñèíòåçå ðåãóëÿòîðîâ íà îñíîâå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõíåðàâåíñòâ.

×àñòü V ïîñâÿùåíà ïðèëîæåíèþ èçëîæåííûõ ðåçóëüòàòîâ ê ðåøåíèþçàäà÷è àêòèâíîãî ãàøåíèÿ êîëåáàíèé âûñîòíûõ ñîîðóæåíèé, ïîäâåðæåí-íûõ äåéñòâèþ ñåéñìè÷åñêèõ âîçäåéñòâèé.

Â ÷àñòè VI ïðèâåäåíû çàêëþ÷èòåëüíûå çàìå÷àíèÿ.×àñòü VII ñîñòîèò èç ïðèëîæåíèé, ñîäåðæàùèõ íåîáõîäèìûå ôàêòû

èç ëèíåéíîé àëãåáðû è ìàòðè÷íîãî àíàëèçà [12, 33], à òàêæå ÷àñòîòíóþòåîðåìó [42, 13], êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îáîñíîâàíèÿ ïðèâîäèìûõ âêíèãå òåîðåòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ.

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû âêëþ÷àåò òîëüêî êëþ÷åâûå ïóáëèêàöèè, ñâÿçàí-íûå ñ èçëàãàåìûì ìàòåðèàëîì, è íå ïðåòåíäóåò íà ïîëíîòó.

Êíèãà àäðåñóåòñÿ â ïåðâóþ î÷åðåäü ñïåöèàëèñòàì â îáëàñòè òåîðèèóïðàâëåíèÿ è åå ïðèëîæåíèé ê ñèíòåçó ðåãóëÿòîðîâ äëÿ äèíàìè÷åñêèõîáúåêòîâ ðàçëè÷íîé ïðèðîäû. Îíà òàêæå äîñòóïíà ñòóäåíòàì ñòàðøèõêóðñîâ è àñïèðàíòàì óíèâåðñèòåòîâ è òåõíè÷åñêèõ âóçîâ, ñïåöèàëèçèðó-þùèìñÿ â îáëàñòè ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè, ñèñòåìíîãî àíàëèçà è òåîðèèóïðàâëåíèÿ.

Îäíèì èç ñîàâòîðîâ ýòîé ìîíîãðàôèè ìîã áû ñòàòü èçâåñòíûé ñïå-öèàëèñò â òåîðèè óïðàâëåíèÿ ïðîôåññîð Â.À. Áðóñèí, ïðåæäåâðåìåííàÿêîí÷èíà êîòîðîãî ïðåðâàëà íàøè ñîâìåñòíûå èññëåäîâàíèÿ.

Ñ÷èòàåì ñâîèì ïðèÿòíûì äîëãîì îòìåòèòü áîëüøóþ ðîëü ïðîôåññî-ðà Þ.È. Íåéìàðêà â ôîðìèðîâàíèè íàøèõ âçãëÿäîâ íà òåîðèþ óïðàâ-ëåíèÿ.

Âûðàæàåì ïðèçíàòåëüíîñòü ïðîôåññîðó Â.Ô. Ñîêîëîâó, êîòîðûé âíè-ìàòåëüíî ïðî÷èòàë ïåðâûé âàðèàíò ðóêîïèñè è ñäåëàë ìíîãî ïîëåçíûõçàìå÷àíèé, à òàêæå íàøèì àñïèðàíòàì À.À. Ôåäþêîâó è Ë.Í. Êðèâäè-íîé çà ïîìîùü â ïðîâåäåíèè ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïî ñèíòåçó ðåãó-


ëÿòîðîâ, ðàññìàòðèâàåìûõ â êíèãå, è Î.À. Ìàðêèíîé, êîòîðàÿ îôîðìèëàðèñóíêè.

Íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû, èçëîæåííûå â ýòîé êíèãå, áûëè ïîëó÷åíû àâ-òîðàìè ïðè âûïîëíåíèè ïðîåêòîâ Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõèññëåäîâàíèé (04-01-00222, 05-01-00123) è INTAS (03-51-5547).

ã. Íèæíèé Íîâãîðîä 2006 ã.

×àñòü I

Ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå

íåðàâåíñòâà

15

17

Â ýòîé ÷àñòè ïðèâîäÿòñÿ îñíîâíûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè ëèíåéíûõ ìàò-ðè÷íûõ íåðàâåíñòâ, ïîäðîáíî èçó÷àåòñÿ ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåí-ñòâî ñïåöèàëüíîãî âèäà, êîòîðîå áóäåò èãðàòü êëþ÷åâóþ ðîëü â èçëàãàå-ìîì äàëåå ñèíòåçå ðåãóëÿòîðîâ, à òàêæå îïèñûâàþòñÿ îñíîâíûå ïðîöåäó-ðû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ â LMI ToolboxMATLAB.

Ãëàâà 1

Îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà

Ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâîì íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëü-íî íåèçâåñòíûõ ïåðåìåííûõ x = (x1, · · · , xm) ñëåäóþùåãî âèäà

F (x) = F0 + x1F1 + · · ·+ xmFm > 0 , (1.1)â êîòîðîì F0, F1, · · · , Fm äåéñòâèòåëüíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìàòðèöû ðàç-ìåðà n× n, ò.å. Fi = F T

i ∈ Rn×n, i = 0, 1, · · · , m. Çíàê > 0 îçíà÷àåò ïîëî-æèòåëüíóþ îïðåäåëåííîñòü ìàòðèöû â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà, ò.å.

uT F (x)u > 0 ∀u ∈ Rn, u 6= 0 .

Óñëîâèå ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ìàòðèöû F (x) ìîæåò áûòü ýê-âèâàëåíòíî âûðàæåíî â âèäå λmin(F (x)) > 0, ãäå λ(·) îáîçíà÷àåò ñîá-ñòâåííîå çíà÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòðèöû.

Â ëèíåéíîì ìàòðè÷íîì íåðàâåíñòâå F (x) > 0 ôóíêöèÿ F (x) ÿâëÿåòñÿàôôèííîé (â ñâÿçè ñ ýòèì âûðàæåíèþ F (x) > 0 áûë áû áîëåå àäåêâà-òåí òåðìèí "àôôèííîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî") è îòîáðàæàåò êîíå÷íî-ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî V â ìíîæåñòâî Sn = M | M = MT ∈Rn×n äåéñòâèòåëüíûõ ñèììåòðè÷åñêèõ ìàòðèö.

Ïóñòü èìååòñÿ àôôèííîå îòîáðàæåíèåF (x) = F0 + L(x) , (1.2)

ãäå F0 ∈ Sn è L(x) ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå V −→ Sn, à x ∈ V . Òîãäà,âûáèðàÿ áàçèñ e1, · · · , em â V , ìîæåì çàïèñàòü

L(x) =m∑

j=1

xjFj ,

ãäåx =

m∑j=1

xjej , Fj = L(ej) , j = 1, · · · , m ,

19

20 Ãëàâà 1. Îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà

è íåðàâåíñòâî F (x) > 0 ïðèìåò âèä (1.1).Â ïðèëîæåíèÿõ ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà,

çàïèñàííûå îòíîñèòåëüíî ìàòðè÷íûõ ïåðåìåííûõ. Òàêîâûì, íàïðèìåð,ÿâëÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

AT X + XA + Q > 0 , (1.3)â êîòîðîì A, Q ∈ Rn×n çàäàííûå ìàòðèöû, à X ∈ Rn×n íåèçâåñò-íàÿ ìàòðèöà. Çàìåòèì, ÷òî ýòî íåðàâåíñòâî áóäåò ëèíåéíûì ìàòðè÷íûìíåðàâåíñòâîì òîëüêî â ñëó÷àå ñèììåòðè÷åñêîé ìàòðèöû Q. Â ýòîì ñëó-÷àå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî V ñîâïàäàåò ñ ïðîñòðàíñòâîì Sn ñèììåòðè-÷åñêèõ (n×n)-ìàòðèö èëè ñ èçîìîðôíûì åìó åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîìRm, ãäå m = n(n+1)/2. Âûáèðàÿ â ýòîì ïðîñòðàíñòâå áàçèñ E1, · · · , Emè çàïèñûâàÿ X =

∑mj=1 xjEj, ïðåäñòàâèì ýòî íåðàâåíñòâî â âèäå

Q +m∑

j=1

xj(AT Ej + EjA) > 0 ,

ò.å. â âèäå (1.1). Íàïðèìåð, íåðàâåíñòâî (1.3) ïðè

A =

0 1

2 3

, Q =

0 0

0 0

,

X = x1

1 0

0 0

+ x2

0 1

1 0

+ x3

0 0

0 1

=

x1 x2

x2 x3

ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó

x1

0 1

1 0

+ x2

4 3

3 2

+ x3

0 2

2 6

> 0 .

Â íåñòðîãèõ ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâàõ çíàê > çàìåíÿåòñÿíà ≥. Ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà F (x) < 0 è F (x) > G(x) ñ àôôèííûìèôóíêöèÿìè F (x) è G(x) çàïèñûâàþòñÿ êàê ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðà-âåíñòâà −F (x) > 0 è F (x)−G(x) > 0 ñîîòâåòñòâåííî.

Ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî (1.1) îïðåäåëÿåò íåëèíåéíîå, íî âû-ïóêëîå îãðàíè÷åíèå íà x, ò.å. ìíîæåñòâî F = x| F (x) > 0 ÿâëÿåòñÿâûïóêëûì. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x1, x2 ∈ F è α ∈ [0, 1], òî, ó÷èòûâàÿ, ÷òîôóíêöèÿ F (x) àôôèííàÿ, èìååì

F (αx1 + (1− α)x2) = αF (x1) + (1− α)F (x2) > 0 .

21

Ñèñòåìîé ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîå ìíî-æåñòâî ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ

F1(x) > 0, · · · , Fk(x) > 0 . (1.4)

Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ëþáàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê îäíî ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî. À èìåí-íî, (1.4) âûïîëíÿåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

F (x) =

F1(x) 0 · · · 0

0 F2(x) · · · 0... . . . ...0 0 · · · Fk(x)

> 0 .

Ýòî ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàò-ðèöû F (x) åñòü îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöF1(x), · · · , Fk(x), è ìèíèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû F (x) ñîâ-ïàäàåò ñ ìèíèìóìîì èç âñåõ ìèíèìàëüíûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöFi(x), i = 1, · · · , k. Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáîé x, äëÿ êîòîðîãî F (x) > 0, òàê-æå óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå (1.4) è íàîáîðîò.

Â ïðèëîæåíèÿõ âñòðå÷àþòñÿ çàäà÷è ñ òàê íàçûâàåìûìè êîìáèíè-ðîâàííûìè îãðàíè÷åíèÿìè, êîòîðûå çàäàþòñÿ ëèíåéíûìè ìàòðè÷íûìèíåðàâåíñòâàìè è ëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè. Íàïðèìåð, ðàññìàòðèâàþòñÿîáëàñòè, îïðåäåëÿåìûå óñëîâèÿìè

F (x) > 0Ax = b

èëè F (x) > 0

x = Ay + b

äëÿ ïðîèçâîëüíîãî y. Êàæäîå èç ýòèõ îãðàíè÷åíèé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ-ëåíî îäíèì ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâîì. Äåéñòâèòåëüíî, îáîá-ùàÿ ýòè ñëó÷àè, ðàññìîòðèì óñëîâèÿ

F (x) > 0x ∈M ,

(1.5)

ãäåM àôôèííîå ïîäìíîæåñòâî Rn, ò.å.

M = x0 +M0 = x0 + m| m ∈M0 ,


x0 ∈ Rn è M0 ïîäïðîñòðàíñòâî Rn. Ïóñòü e1, · · · , ek áàçèñ â M0 èïóñòü, êàê è â (1.2), F (x) = F0 + L(x). Òîãäà

0 < F (x) = F0 + L(x0 +k∑

j=1xjej) = F0 + L(x0) +

k∑j=1

xjL(ej) =

= F0 + x1F1 + · · ·+ xkFk = F (x) ,

ãäå F0 = F0 + L(x0), Fj = L(ej), x = (x1, · · · , xk). Òàêèì îáðàçîì, x ∈ Rn

óäîâëåòâîðÿåò (1.5) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F (x) > 0, ãäå x è xñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì x = x0 +

∑kj=1 xjej.

Ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ î÷åíü âàæíîäëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ íåëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ â ýêâèâàëåíòíûå èì ëèíåé-íûå íåðàâåíñòâà. Ïóñòü ñèììåòðè÷åñêàÿ è íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà Mïðåäñòàâëåíà â áëî÷íîì âèäå

M =

M11 M12

MT12 M22

è áëîê M11 = MT

11 íåâûðîæäåííûé. Ñäåëàåì ñëåäóþùèå âûêëàäêèxT Mx = xT

1 M11x1 + 2xT1 M12x2 + xT

2 M22x2 =

= (x1 + M−111 M12x2)

T M11(x1 + M−111 M12x2) + xT

2 (M22 −MT12M

−111 M12)x2 ,

ãäå ðàçáèåíèå x = col (x1, x2) ñîîòâåòñòâóåò ðàçáèåíèþ ìàòðèöû M . Îò-ñþäà ñëåäóåò, ÷òî M > 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà M11 > 0 è S =M22 −MT

12M−111 M12 > 0. Ýòî óòâåðæäåíèå íîñèò íàçâàíèå ëåììû Øóðà

(ñì. ëåììû A.2 è A.3 â Ïðèëîæåíèè), à ìàòðèöà S íàçûâàåòñÿ äîïîëíåíè-åì ïî Øóðó ìàòðèöû M11 â ìàòðèöå M . Íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåìýòîé ëåììû ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå äëÿ ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõíåðàâåíñòâ.Óòâåðæäåíèå 1.1 Ïóñòü F : V −→ Sn àôôèííàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿïðåäñòàâëåíà â áëî÷íîì âèäå

F (x) =

F11(x) F12(x)

F T12(x) F22(x)

,

ãäå F22(x) êâàäðàòíàÿ. Íåðàâåíñòâî F (x) > 0 âûïîëíåíî òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà

F22(x) > 0 , F11(x)− F12(x)F−122 (x)F T

12(x) > 0 . (1.6)

23

Îòìåòèì, ÷òî âòîðîå íåðàâåíñòâî â (1.6) ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíûì îò-íîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ x. Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèå 1.1,íåëèíåéíûå íåðàâåíñòâà óêàçàííîãî âèäà ìîãóò áûòü ïðåîáðàçîâàíû âëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà. Êðîìå òîãî, èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿòàêæå ñëåäóåò, ÷òî íåëèíåéíûå íåðàâåíñòâà âèäà (1.6) îïðåäåëÿþò âû-ïóêëûå îãðàíè÷åíèÿ ïî ïåðåìåííûì x.

Â êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðåîáðàçîâàíèÿ íåëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðà-âåíñòâà â ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå êâàä-ðàòè÷íîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî Ðèêêàòè, õàðàêòåðíîå äëÿ çàäà÷ H∞-óïðàâëåíèÿ

AT X + XA + XBR−1BT X + Q < 0 . (1.7)Ïðèìåíÿÿ ëåììó Øóðà, ïðåäñòàâèì ýòî íåðàâåíñòâî â âèäå(

−AT X −XA−Q XBBT X R

)> 0 .

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íåëèíåéíîå íåðàâåíñòâî (1.7) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ïîX, ÷òî áûëî äàëåêî íå î÷åâèäíî.

Åùå îäèí ïðèìåð: ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî X > Y −1 > 0 â ñèëó ëåììûØóðà ýêâèâàëåíòíî ëèíåéíîìó ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó X I

I Y

> 0

îòíîñèòåëüíî ìàòðèö X è Y .

Ãëàâà 2

Îñíîâíûå çàäà÷è

Ðåøåíèå ìíîãèõ ïðîáëåì â òåîðèè óïðàâëåíèÿ, êàê áóäåò ïîêàçàíî â ïî-ñëåäóþùèõ ãëàâàõ, ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ îïðåäåëåííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõçàäà÷, âêëþ÷àþùèõ ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà. Èç ìíîãîîáðàçèÿòàêèõ çàäà÷ ìîæíî âûäåëèòü òðè îñíîâíûå, êîòîðûå ýôôåêòèâíî ðåøà-þòñÿ ñ ïîìîùüþ LMI Toolbox ïàêåòà MATLAB.

Çàäà÷à ðàçðåøèìîñòè: ñóùåñòâóåò èëè íåò ðåøåíèå x ëèíåéíîãîìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà F (x) > 0. Åñëè íåò, òî çàäà÷à íàçûâàåòñÿ íåðàç-ðåøèìîé.

Çàäà÷à îïòèìèçàöèè ñ ëèíåéíûìè ìàòðè÷íûìè îãðàíè÷åíè-ÿìè: äëÿ f : V −→ R âû÷èñëèòü

µopt = infF (x)>0

f(x) .

Ýòà çàäà÷à âêëþ÷àåò íàõîæäåíèå ε-îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ x, äëÿ êîòî-ðîãî F (x) > 0 è f(x) ≤ µopt + ε ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ ε.

Çàäà÷à íà îáîáùåííîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå: íàéòè ìèíèìàëü-íîå λ ∈ R, äëÿ êîòîðîãî

λF (x)−G(x) > 0 ,F (x) > 0 ,H(x) > 0 ,

ãäå F (x), G(x), H(x) ∈ Sn àôôèííûå ôóíêöèè.Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðîáëåì, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ ïðèìåíÿþòñÿ

ñôîðìóëèðîâàííûå çàäà÷è.Ïðèìåð 2.1 Ñîãëàñíî òåîðåìå Ëÿïóíîâà (ñì. ëåììó E.1) ëèíåéíàÿ äè-íàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà

x = Ax , (2.1)

25

26 Ãëàâà 2. Îñíîâíûå çàäà÷è

ãäå A ∈ Rn×n, àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà, ò.å. âñå ñîáñòâåííûå çíà÷å-íèÿ ìàòðèöû A ëåæàò â îòêðûòîé ëåâîé êîìïëåêñíîé ïîëóïëîñêîñòè,òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò X = XT > 0 òàêàÿ, ÷òî

AT X + XA < 0 .

Òàêèì îáðàçîì, àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ñèñòåìû (2.1) ýêâèâà-ëåíòíà ðàçðåøèìîñòè ñëåäóþùåãî ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà X 0

0 −AT X −XA

> 0 .

Ïðèìåð 2.2 Ñîãëàñíî òåîðåìå Ëÿïóíîâà (ñì. ëåììó E.2) ëèíåéíàÿ äèñ-êðåòíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà

xt+1 = Axt (2.2)àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà, ò.å. âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöûA ëåæàò â îòêðûòîì åäèíè÷íîì êðóãå êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò X = XT > 0 òàêàÿ, ÷òî

AT XA−X < 0 .

Òàêèì îáðàçîì, àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ñèñòåìû (2.2) ýêâèâà-ëåíòíà ðàçðåøèìîñòè ñëåäóþùåãî ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà X 0

0 X − AT XA

> 0 .

Ïðèìåð 2.3 Óðîâíåì ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â óñòîé÷èâîì ëèíåéíîì îáú-åêòå

x = Ax + Bv , x(0) = 0 ,z = Cx + Dv ,

íà êîòîðûé äåéñòâóåò îãðàíè÷åííîå ïî íîðìå L2 âîçìóùåíèå v(t), ò.å.

‖v‖ = (

∞∫0

|v(t)|2 dt)1/2 < ∞ ,

íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíàγ∗ = sup

‖v‖6=0

‖z‖‖v‖

.

27

Êàê áóäåò ïîêàçàíî â ðàçäåëå 8.1, óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé ðàâåíìèíèìàëüíîìó γ, äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâî ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðà-âåíñòâî

AT X + XA XB CT

BT X −γI DT

C D −γI

< 0 .

Ïðèìåð 2.4 Ïóñòü F (x) = F T (x) > 0 àôôèííàÿ ôóíêöèÿ. Ðàññìîò-ðèì çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè ôóíêöèè f(x) = λmax(F (x)).

Òàê êàê λmax(F (x)) = λ1/2max(F

T (x)F (x)), òî, ïðèìåíÿÿ ëåììó A.2,èìååì

λmax(FT (x)F (x)) < γ ⇐⇒ γI−F T (x)F (x) > 0 ⇐⇒

γI F T (x)

F (x) I

> 0.

Åñëè îïðåäåëèòü

x =

x

γ

, F (x) =

γI F T (x)

F (x) I

, f(x) = γ ,

òî F (x) àôôèííàÿ ôóíêöèÿ, è çàäà÷à ìèíèìèçàöèè ìàêñèìàëüíî-ãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ìàòðèöû F (x) ýêâèâàëåíòíà ìèíèìèçàöèèôóíêöèè f(x) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ F (x) > 0. Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâà-åìàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å îïòèìèçàöèè ñ ëèíåéíûìè ìàòðè÷íûìèîãðàíè÷åíèÿìè.

Ïðèìåð 2.5 Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ñòåïåíè óñòîé÷èâîñòèàñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîé ëèíåéíîé ñèñòåìû

x = Ax .

Ýòà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ïîèñêó ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ λ∗ < 0, ïðè êî-òîðîì âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

AT X + XA− λX < 0

äëÿ X = XT > 0, ò.å. ê çàäà÷å íà îáîáùåííîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå.Ïðè ýòîì ñòåïåíü óñòîé÷èâîñòè áóäåò ðàâíà |λ∗|/2.

Ïðèìåð 2.6 Äëÿ óñòîé÷èâîãî îáúåêòà

x = Ax + Fv , x(0) = 0

28 Ãëàâà 2. Îñíîâíûå çàäà÷è

ðàññìîòðèì îáðàòíóþ çàäà÷ó íàèõóäøåãî âîçìóùåíèÿ: êîãäà âîçìóùå-íèå

v = γ−2Hx ,

ãäå H è γ > 0 çàäàííûå ìàòðèöà è ÷èñëî, ÿâëÿåòñÿ íàèõóäøèì ïîîòíîøåíèþ ê ôóíêöèîíàëó âèäà

J(v) =

∞∫0

(xT Qx− γ2vT v)d t (2.3)

ïðè íåêîòîðîé Q = QT ≥ 0 (ïîäðîáíåå îá îáðàòíûõ çàäà÷àõ íàèõóäøåãîâîçìóùåíèÿ è ìèíèìàêñíîãî óïðàâëåíèÿ ñì. [16, 68, 69]). Íàïîìíèì,÷òî íàèõóäøåå âîçìóùåíèå, ìàêñèìèçèðóþùåå ôóíöèîíàë (2.3) ñ çà-äàííîé ìàòðèöåé Q = QT ≥ 0, îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì

v∗ = γ−2F T Xx ,

â êîòîðîì ìàòðèöà X = XT ≥ 0 ñòàáèëèçèðóþùåå ðåøåíèå óðàâíå-íèÿ Ðèêêàòè

AT X + XA + γ−2XFF T X + Q = 0 ,

ò.å. òàêîå, ÷òî ìàòðèöà A+γ−2FF T X ãóðâèöåâà. Òàêèì îáðàçîì, ðàñ-ñìàòðèâàåìàÿ îáðàòíàÿ çàäà÷à ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å ðàçðåøèìîñòè ëè-íåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ

AT X + XA + γ−2HT H ≤ 0 ,

(A + γ−2FH)T X1 + X1(A + γ−2FH) < 0

îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû X1 = XT1 > 0 è ìàòðèöû X = XT ≥ 0, óäîâëå-

òâîðÿþùåé ëèíåéíîìó ìàòðè÷íîìó óðàâíåíèþ

F T X = H ,

ò.å. çàäà÷å ðàçðåøèìîñòè êîìáèíèðîâàííûõ ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðà-âåíñòâ.

Ãëàâà 3

Íåðàâåíñòâî

Ψ + PTΘTQ + QTΘP < 0

3.1 Óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè

Â çàäà÷àõ ñèíòåçà ðåãóëÿòîðîâ, ðàññìàòðèâàåìûõ â äàííîé êíèãå, êëþ-÷åâóþ ðîëü áóäåò èãðàòü ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî âèäà

Ψ + P T ΘT Q + QT ΘP < 0 , (3.1)â êîòîðîì Ψ çàäàííàÿ ñèììåòðè÷åñêàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà (n×n), à P èQ çàäàííûå ìàòðèöû ïîðÿäêîâ (l×n) è (k×n) ñîîòâåòñòâåííî. Íàñ áó-äóò èíòåðåñîâàòü óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà îòíîñèòåëüíîíåèçâåñòíîé ìàòðèöû Θ ïîðÿäêà (k × l).

Åñëè ðàíãè ìàòðèö P è Q ðàâíû n, ò.å. ýòè ìàòðèöû èìåþò ëèíåéíîíåçàâèñèìûå ñòîëáöû, òî íåðàâåíñòâî (3.1) âñåãäà ðàçðåøèìî. Â ñàìîìäåëå, â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå QT ΘP = K ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ìàò-ðèöû Θ ïðè ëþáîé ìàòðèöå K ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà (ñì. ëåììóB.2), à íåðàâåíñòâî (3.1) âûïîëíÿåòñÿ, íàïðèìåð, ïðè K < −(1/2)Ψ. Âýòîé ãëàâå áóäóò ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè íåðàâåíñòâà (3.1) èïðåäñòàâëåíû â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå âñå åãî ðåøåíèÿ â äâóõ äðóãèõñëó÷àÿõ: ðàíã îäíîé èç ìàòðèö P èëè Q ðàâåí n, à ðàíã äðóãîé ìåíüøån; ðàíãè îáåèõ ìàòðèö P è Q ìåíüøå n.Óòâåðæäåíèå 3.1 Ïóñòü äàíû ñèììåòðè÷åñêàÿ ìàòðèöà Ψ = ΨT ∈Rn×n è äâå ìàòðèöû P ∈ Rl×n è Q ∈ Rk×n, ïðè÷åì rank P = n èrank Q = rQ < n. Ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî (3.1) ðàçðåøèìîîòíîñèòåëüíî ìàòðèöû Θ ∈ Rk×l òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

W TQΨWQ < 0 , (3.2)

29

30 Ãëàâà 3. Íåðàâåíñòâî Ψ + P T ΘT Q + QT ΘP < 0

ãäå ñòîëáöû ìàòðèöû WQ îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû Q.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Óìíîæèâ (3.1) ñëåâà íà W TQ è ñïðàâà

íà WQ, ïîëó÷èì (3.2).Äîñòàòî÷íîñòü. Ðàçëîæèì ïðîñòðàíñòâî Rn â ïðÿìóþ ñóììó

Rn = R(QT )⊕N (Q) ,

ãäå R(QT ) îáðàç ìàòðèöû QT , à N (Q) ÿäðî ìàòðèöû Q, è âûáåðåìñîîòâåòñòâóþùèé áàçèñ. Â ýòîì áàçèñå Q áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ìàòðèöàñëåäóþùåãî áëî÷íîãî âèäà

Q = (Q1 0) ,

ãäå Q1 èìååò ðàçìåðû k× rQ, à íóëåâîé áëîê k× (n− rQ). Ïðåäñòàâèìòàêæå P è Ψ â ýòîì áàçèñå â âèäå

P = (P1 P2) , Ψ =

Ψ11 Ψ12

ΨT12 Ψ22

.

Ìàòðèöà WQ äîëæíà áûòü ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ QWQ = 0 è èìåòü ìàêñè-ìàëüíûé ðàíã, ïîýòîìó, ó÷èòûâàÿ ñòðóêòóðó ìàòðèöû Q, âîçüìåì W T

Q =(0 I). Òîãäà óñëîâèå W T

QΨWQ < 0 ñâåäåòñÿ ê íåðàâåíñòâó Ψ22 < 0, àíåðàâåíñòâî (3.1) ïðèìåò âèä Ψ11 + QT

1 ΘP1 + P T1 ΘT Q1 Ψ12 + QT

1 ΘP2

ΨT12 + P T

2 ΘT Q1 Ψ22

< 0 . (3.3)

Äëÿ çàäàííîé ìàòðèöû K = (K1 K2) ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå ìàò-ðè÷íîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû Θ

QT1 Θ(P1 P2) = (K1 K2) . (3.4)

Cîãëàñíî ëåììå B.2 ýòî óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà èìåþò ðåøåíèÿ Y è Z ñëåäóþùèå äâà ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèÿ

QT1 Y = K, Z(P1 P2) = K .

Òàê êàê (rQ×k)-ìàòðèöà QT1 èìååò ðàíã rQ ≤ k è (l×n)-ìàòðèöà (P1 P2)

èìååò ðàíã n, òî îáà ýòè óðàâíåíèÿ ðàçðåøèìû. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþ-áûõ Ki, i = 1, 2 íàéäåòñÿ ìàòðèöà Θ òàêàÿ, ÷òî âåðíî (3.4). Òàêèì îá-ðàçîì, ìàòðèöà â ëåâîé ÷àñòè (3.3) èìååò îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûéáëîê Ψ22, à âñå åå îñòàëüíûå áëîêè ìîãóò áûòü ñäåëàíû ïðîèçâîëüíû-ìè çà ñ÷åò ñîîòâåòñòâóþùåãî âûáîðà ìàòðèöû Θ. Âûáèðàÿ èõ òàêèìè,÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ ëåììû A.2, óáåæäàåìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòèñäåëàííîãî óòâåðæäåíèÿ.

3.1. Óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè 31

Óòâåðæäåíèå 3.2 Ïóñòü äàíû ñèììåòðè÷åñêàÿ ìàòðèöà Ψ = ΨT ∈Rn×n è äâå ìàòðèöû P ∈ Rl×n è Q ∈ Rk×n, ïðè÷åì rank P = rP < nè rank Q = rQ < n. Ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî (3.1) ðàçðåøèìîîòíîñèòåëüíî ìàòðèöû Θ ∈ Rk×l òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

W TP ΨWP < 0 , W T

QΨWQ < 0 , (3.5)ãäå ñòîëáöû ìàòðèöû WP îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû P , à ñòîëáöûìàòðèöû WQ îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû Q.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Óìíîæèâ (3.1) ñíà÷àëà ñëåâà íà W TP

è ñïðàâà íà WP , à çàòåì ñëåâà íà W TQ è ñïðàâà íà WQ, ïîëó÷èì (3.5).

Äîñòàòî÷íîñòü. Ðàçëîæèì ïðîñòðàíñòâî Rn â ïðÿìóþ ñóììóRn = N (P )\[N (P )

⋂N (Q)] ⊕ [N (P )⋂N (Q)]⊕

⊕N (Q)\[N (P )⋂N (Q)] ⊕M ,

ãäå N (P ) è N (Q) ÿäðà ìàòðèö P è Q, àM äîïîëíåíèå N (P )⊕N (Q)äî Rn, è âûáåðåì ñîîòâåòñòâóþùèé áàçèñ. Â ýòîì áàçèñå P è Q áóäóòèìåòü ñëåäóþùèé áëî÷íûé âèä

P = (0 0 P1 P2) , Q = (Q1 0 0 Q2) .

Ïðåäñòàâèì òàêæå Ψ â ýòîì áàçèñå â âèäå Ψ = (Ψij), i, j = 1, 2, 3, 4.Î÷åâèäíî, ÷òî â êà÷åñòâå ìàòðèö WP è WQ ìîãóò áûòü âçÿòû

WP =

I 00 I0 00 0

, WQ =

0 0I 00 I0 0

,

è òîãäà óñëîâèÿ (3.5) ñâîäÿòñÿ ê íåðàâåíñòâàì(Ψ11 Ψ12

ΨT12 Ψ22

)< 0 ,

(Ψ22 Ψ23

ΨT23 Ψ33

)< 0 . (3.6)

Òðåáóåòñÿ òåïåðü óñòàíîâèòü ðàçðåøèìîñòü îòíîñèòåëüíî Θ ìàòðè÷-íîãî íåðàâåíñòâà (3.1), êîòîðîå ïðèíèìàåò âèä

Ψ11 Ψ12 Ψ13 + K11 Ψ14 + K12

ΨT12 Ψ22 Ψ23 Ψ24

ΨT13 + KT

11 ΨT23 Ψ33 Ψ34 + KT

21

ΨT14 + KT

12 ΨT24 ΨT

34 + K21 Ψ44 + K22 + KT22

< 0 , (3.7)


ãäå Kij = QTi ΘPj, i, j = 1, 2.

Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå QT

1

QT2

Θ (P1 P2) =

K11 K12

K21 K22

(3.8)

ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî Θ äëÿ ëþáîé ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçìåðà ìàò-ðèöû â ïðàâîé ÷àñòè. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî ëåììå B.2 äëÿ ðàçðåøè-ìîñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ðàçðåøèìîñòè îòíîñè-òåëüíî Y è Z ñëåäóþùèõ äâóõ óðàâíåíèé

QT1

QT2

Y =

K11 K12

K21 K22

, Z (P1 P2) =

K11 K12

K21 K22

.

Òàê êàê (k× rQ)-ìàòðèöà (Q1 Q2) èìååò ðàíã rQ ≤ k è (l× rP )-ìàòðèöà(P1 P2) èìååò ðàíã rP ≤ l, òî îáà ýòè óðàâíåíèÿ ðàçðåøèìû. Ñëåäîâà-òåëüíî, äëÿ ëþáûõ Kij, i, j = 1, 2 íàéäåòñÿ ìàòðèöà Θ òàêàÿ, ÷òî âåðíî(3.8).

Îáîçíà÷èì

Π =

Ψ11 Ψ12 Ψ13 + K11

ΨT12 Ψ22 Ψ23

ΨT13 + KT

11 ΨT23 Ψ33

ëåâóþ âåðõíþþ (3×3)-áëî÷íóþ ïîäìàòðèöó ìàòðèöû â ëåâîé ÷àñòè (3.7).Òîãäà ñîãëàñíî ëåììå A.2 äëÿ âûïîëíåíèÿ (3.7) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,÷òîáû èìåëè ìåñòî íåðàâåíñòâà

Π < 0 , (Ψ44 + K22 + KT22)−

Ψ14 + K12

Ψ24

Ψ34 + KT21

T

Π−1

Ψ14 + K12

Ψ24

Ψ34 + KT21

< 0 .

Âûïîëíåíèå âòîðîãî èç ýòèõ íåðàâåíñòâ ïðè äàííûõ K11, K12, K21 âñåãäàìîæåò áûòü îáåñïå÷åíî çà ñ÷åò ñîîòâåòñòâóþùåãî âûáîðà K22. Ïîýòîìóîñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî Π < 0 ïðè íåêîòîðîé K11.

Äëÿ ýòîãî ñäåëàåì ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìû

3.2. Ïàðàìåòðèçàöèÿ âñåõ ðåøåíèé 33

ñ ìàòðèöåé Π ïðè x = col (x1, x2, x3):xT Πx = (x2 + Ψ−1

22 ΨT12x1)

T Ψ22(x2 + Ψ−122 ΨT

12x1)+

+xT1 (Ψ11 −Ψ12Ψ

−122 ΨT

12)x1 + 2xT1 (Ψ13 + KT

11)x3 + 2xT2 Ψ23x3 + xT

3 Ψ33x3 =

= (x2 + Ψ−122 ΨT

12x1 + Ψ−122 Ψ23x3)

T Ψ22(x2 + Ψ−122 ΨT

12x1 + Ψ−122 Ψ23x3)+

+xT1 (Ψ11 −Ψ12Ψ

−122 ΨT

12)x1 + xT3 (Ψ33 −ΨT

23Ψ−122 Ψ23)x3+

+2xT1 (Ψ13 + KT

11 −Ψ12Ψ−122 Ψ23)x3 .

Ïðåäñòàâèì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â âèäåxT Πx = (x2 + Ψ−1

22 ΨT12x1 + Ψ−1

22 Ψ23x3)T Ψ22(x2 + Ψ−1

22 ΨT12x1 + Ψ−1

22 Ψ23x3)+

+(xT

1 xT3

) Ψ11 −Ψ12Ψ−122 ΨT

12 Ψ13 + KT11 −Ψ12Ψ

−122 Ψ23

(Ψ13 + KT11 −Ψ12Ψ

−122 Ψ23)

T Ψ33 −ΨT23Ψ

−122 Ψ23

x1

x3

Ïåðâîå ñëàãàåìîå ýòîãî âûðàæåíèÿ íåïîëîæèòåëüíî, ò.ê. â ñèëó (3.6) èëåììû A.2 èìååì Ψ22 < 0, à â ìàòðèöå, îïðåäåëÿþùåé âòîðîå ñëàãàåìîå,äèàãîíàëüíûå áëîêè îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûå ìàòðèöû â ñèëó (3.6).ßñíî, ÷òî çà ñ÷åò âûáîðà K11, ïîëîæèâ, íàïðèìåð,

Ψ13 + KT11 −Ψ12Ψ

−122 Ψ23 = 0 ,

âñå ýòî âûðàæåíèå ìîæåò áûòü ñäåëàíî îòðèöàòåëüíûì äëÿ ëþáîãî íåíó-ëåâîãî x. Òåì ñàìûì, ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ 3.2 äîêàçàíà.

Îòìåòèì, ÷òî ñ ó÷åòîì ëåììû A.8 óñëîâèÿ (3.5) ðàçðåøèìîñòè ëèíåé-íîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà (3.1) îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû Θ ìîãóò áûòüýêâèâàëåíòíî âûðàæåíû íåðàâåíñòâàìè

Ψ− µP T P < 0 , Ψ− µQT Q < 0 , (3.9)êîòîðûå äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ïðè íåêîòîðîì µ > 0.

3.2 Ïàðàìåòðèçàöèÿ âñåõ ðåøåíèé

Ïóñòü òåïåðü óñëîâèÿ, ñôîðìóëèðîâàííûå â óòâåðæäåíèè 3.2, âûïîëíÿ-þòñÿ è íåðàâåíñòâî (3.1) ðàçðåøèìî. Ïðåäñòàâèì P = PLPR è Q = QLQR

â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæèòåëåé ïîëíîãî ðàíãà, âçÿâ, íàïðèìåð, â êà÷å-ñòâå ñòîëáöîâ ëåâûõ ñîìíîæèòåëåé ëþáûå rP è rQ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõñòîëáöîâ ìàòðèö P è Q ñîîòâåòñòâåííî, ÷åðåç êîòîðûå ëèíåéíî âûðàæà-þòñÿ âñå îñòàëüíûå ñòîëáöû. Òîãäà ïðîèçâîëüíûé j-é ñòîëáåö, ñêàæåì,


ìàòðèöû P áóäåò ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ñòîëáöîâ ìàòðèöû PL c êîýôôè-öèåíòàìè, îáðàçóþùèìè j-é ñòîëáåö ìàòðèöû PR. Òàê êàê ñîìíîæèòåëèèìåþò ìàêñèìàëüíûé ðàíãè, òî ìàòðèöû P T

L PL, PRP TR , QT

LQL, QRQTR ÿâ-

ëÿþòñÿ íåâûðîæäåííûìè. Îáùèé âèä âñåõ ðåøåíèé íåðàâåíñòâà (3.1) âïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå äàåòñÿ â ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè.Óòâåðæäåíèå 3.3 Ïóñòü äàíû ñèììåòðè÷åñêàÿ ìàòðèöà Ψ = ΨT ∈Rn×n è äâå ìàòðèöû P ∈ Rl×n è Q ∈ Rk×n, ïðè÷åì rank P = rP < n èrank Q = rQ < n. Ïóñòü òàêæå âûïîëíåíû óñëîâèÿ

W TP ΨWP < 0 , W T

QΨWQ < 0 , (3.10)ãäå ñòîëáöû ìàòðèöû WP îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû P , à ñòîëá-öû ìàòðèöû WQ îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû Q. Òîãäà ñóùåñòâóþòòàêèå ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçìåðà ìàòðèöû Z è L, ïðè÷åì ‖L‖ < 1, àòàêæå ÷èñëî µ > 0, ÷òî ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãîíåðàâåíñòâà (3.1) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå

Θ = (QTL)+KP+

L + Z − (QTL)+QT

LZPLP+L , (3.11)

ãäåK = µS1/2L(PRΦP T

R )−1/2 − µQRΦP TR (PRΦP T

R )−1 ,

Φ = (µQTRQR −Ψ)−1 > 0 ,

S = µ−1I −QR[Φ− ΦP TR (PRΦP T

R )−1PRΦ]QTR ,

à âåðõíèé èíäåêñ + îòâå÷àåò îïåðàöèè ïñåâäîîáðàùåíèÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Θ ðåøåíèå íåðàâåíñòâà (3.1). Òîãäà ìàòðèöàK = QT

LΘPL óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâóΨ + P T

R KT QR + QTRKPR < 0 ,

è, çíà÷èò, ñóùåñòâóåò òàêîå äîñòàòî÷íî áîëüøîå µ > 0, ÷òî âûïîëíÿåòñÿíåðàâåíñòâî

Ψ + P TR KT QR + QT

RKPR + µ−1P TR KT KPR < 0 .

Ïðåîáðàçóåì ýòî íåðàâåíñòâî ê âèäóµ(µ−1KPR + QR)T (µ−1KPR + QR) + (Ψ− µQT

RQR) < 0 , (3.12)îáîçíà÷èì µQT

RQR−Ψ = Φ−1 è ïîêàæåì, ÷òî ýòà ìàòðèöà ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåííàÿ.

3.2. Ïàðàìåòðèçàöèÿ âñåõ ðåøåíèé 35

Èç âòîðîãî óñëîâèÿ (3.10) ñëåäóåò, ÷òî xT Ψx < 0 äëÿ âñåõ x, ïðè-íàäëåæàùèõ N (Q) ÿäðó ìàòðèöû Q. Òàê êàê N (Q) = N (QT Q) è èçxT QT

RQTLQLQRx = 0 â ñèëó òîãî, ÷òî ìàòðèöà QT

LQL íåâûðîæäåííàÿ,ñëåäóåò QRx = 0, òî xT Ψx < 0 äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþQRx = 0. Ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ ëåììó A.8, ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íîáîëüøîãî µ > 0 èìååì Ψ − µQT

RQR < 0, ò.å. ââåäåííàÿ âûøå ìàòðèöà Φïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ.

Ñîãëàñíî ëåììå A.2 äâà íåðàâåíñòâà Φ > 0 è (3.12) ýêâèâàëåíòíûíåðàâåíñòâó µ−1I µ−1KPR + QR

(µ−1KPR + QR)T Φ−1

> 0 ,

êîòîðîå, â ñâîþ î÷åðåäü, ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâóµ−1I > (µ−1KPR + QR)Φ(µ−1KPR + QR)T .

Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà è "âûäåëÿÿ ïîëíûéêâàäðàò", ïðåîáðàçóåì åãî ê âèäó

[µ−1K + QRΦP TR (PRΦP T

R )−1](PRΦP TR )[µ−1K + QRΦP T

R (PRΦP TR )−1]T <

< µ−1I −QR[Φ− ΦP TR (PRΦP T

R )−1PRΦ]QTR .

Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿL = µ−1K + QRΦP T

R (PRΦP TR )−1 ,

S = µ−1I −QR[Φ− ΦP TR (PRΦP T

R )−1PRΦ]QTR ,

(3.13)

çàïèøåì ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî êàêL(PRΦP T

R )LT < S . (3.14)Ïîêàæåì, ÷òî ìàòðèöà â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ

ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé. Äåéñòâèòåëüíî, íåðàâåíñòâî S > 0 ýêâèâà-ëåíòíî íåðàâåíñòâó

µ−1I −QR[Φ− ΦP TR (PRΦP T

R + ν−1I)−1PRΦ]QTR > 0

ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì ν > 0. Ó÷èòûâàÿ ëåììó A.5 îá îáðàùåíèè ìàò-ðèöû ñïåöèàëüíîãî âèäà, ïåðåïèøåì ýòî íåðàâåíñòâî â âèäå

µ−1I > QR(Φ−1 + νP TR PR)−1QT

R .


Ñ ó÷åòîì ëåììû A.2 ýòî íåðàâåíñòâî, â ñâîþ î÷åðåäü, ýêâèâàëåíòíî íåðà-âåíñòâó

Φ−1 + νP TR PR − µQT

RQR = νP TR PR −Ψ > 0 ,

êîòîðîå âûïîëíÿåòñÿ ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì ν > 0 â ñèëó ïåðâîãî èçóñëîâèé (3.10) è ëåììû A.8.

Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíîå íåðàâåíñòâî (3.1) ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó(3.14). Îáîçíà÷àÿ

L = S−1/2L(PRΦP TR )1/2 ,

çàïèøåì íåðàâåíñòâî (3.14) êàê‖L‖ < 1 .

Èç (3.13) íàéäåìK = µS1/2L(PRΦP T

R )−1/2 − µQRΦP TR (PRΦP T

R )−1 .

Íàêîíåö, òàê êàê K = QTLΘPL, òî ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ìàòðèöû PL è QL

èìåþò ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ñòîëáöû è, ñëåäîâàòåëüíî (ñì. Ïðèëîæå-íèå),

P+L = (P T

L PL)−1P TL , (QT

L)+ = QL(QTLQL)−1 ,

íåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òîΘ = (QT

L)+KP+L + Z − (QT

L)+QTLZPLP+

L

äëÿ íåêîòîðîé ìàòðèöû Z ðàçìåðà ìàòðèöû Θ. Òàêèì îáðàçîì, ìû óñòà-íîâèëè, ÷òî ôîðìóëà (3.11) çàäàåò âñå ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà (3.1), è óòâåð-æäåíèå äîêàçàíî.

Ñîãëàñíî ýòîìó óòâåðæäåíèþ äëÿ ïîëó÷åíèÿ êàêîãî-ëèáî ðåøåíèÿíåðàâåíñòâà (3.1) òðåáóåòñÿ âûáðàòü ïàðàìåòð µ > 0 èç óñëîâèÿ µQT

RQR−Ψ > 0, âûáðàòü ìàòðèöó L èç óñëîâèÿ ‖L‖ < 1, çàäàòü ìàòðèöó Z èâû÷èñëèòü Θ ïî ôîðìóëå (3.11). Çàìåòèì, ÷òî â äàëüíåéøåì óêàçàííàÿïàðàìåòðèçàöèÿ íå èñïîëüçóåòñÿ, ò.ê. ïðè ñèíòåçå çàêîíîâ óïðàâëåíèÿíàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü îäíî èç ðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìîãî íåðàâåíñòâà,âû÷èñëÿåìîå ñ ïîìîùüþ êîìàíäû basiclmi â LMI Toolbox MATLAB.

3.3 Ñèñòåìà íåðàâåíñòâ

Â íåêîòîðûõ çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ òàêèõ, íàïðèìåð, êàê îäíîâðåìåííàÿñòàáèëèçàöèÿ íåñêîëüêèõ îáúåêòîâ èëè ãàøåíèå âîçìóùåíèé ïðè îä-íîâðåìåííîì îãðàíè÷åíèè íåñêîëüêèõ ôóíêöèîíàëîâ, ïðîáëåìà ñèíòåçà

3.3. Ñèñòåìà íåðàâåíñòâ 37

ñâîäèòñÿ ê ïðîâåðêå ðàçðåøèìîñòè ñèñòåìû ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðà-âåíñòâ

Ψi + P Ti ΘT Qi + QT

i ΘPi < 0 , i = 1, . . . , N , (3.15)â êîòîðûõ Ψi çàäàííûå ñèììåòðè÷åñêèå ìàòðèöû ïîðÿäêîâ (ni× ni), àPi è Qi çàäàííûå ìàòðèöû ïîðÿäêîâ (l× ni) è (k × ni) ñîîòâåòñòâåííî.Íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè ýòîé ñèñòåìû íåðàâåíñòâîòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé ìàòðèöû Θ ïîðÿäêà (k × l).

Îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìà (3.15) íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå îä-íîãî íåðàâåíñòâà òàêîãî òèïà ñ ìàòðèöåé Θ îáùåãî âèäà, à çíà÷èò, ê ýòîéñèñòåìå íå ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû óòâåðæäåíèÿ 3.1 è 3.2. Íåïîñðåäñòâåí-íîå îáîáùåíèå ýòèõ óòâåðæäåíèé äëÿ ñèñòåìû (3.15), ñîñòîÿùåå â òîì,÷òî îíà ðàçðåøèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíû óñëîâèÿ

W TPi

ΨiWPi< 0 , W T

QiΨiWQi

< 0 , i = 1, . . . , N ,

ÿâëÿåòñÿ íåâîçìîæíûì, êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé êîíòðïðèìåð [73].Ïóñòü

Ψ1 =

−1 4

4 −1

, Ψ2 =

−1 −4

−4 −1

,

Pi = P = (0 1) , Qi = Q = (1 0) , i = 1, 2 .

Î÷åâèäíî, ÷òî WP = QT , WQ = P T èW T

P ΨiWP = W TQΨiWQ = −1 < 0 , i = 1, 2 .

Åñëè áû îáîáùåíèå óòâåðæäåíèÿ 3.2 äëÿ äàííîé ñèñòåìû íåðàâåíñòâ áû-ëî ñïðàâåäëèâî, òî èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñëåäîâàëî áû, ÷òî ñóùå-ñòâóåò ïàðàìåòð Θ, äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà

Ψ1 + P T ΘT Q + QT ΘP =

−1 Θ + 4

Θ + 4 −1

< 0 ,

Ψ2 + P T ΘT Q + QT ΘP =

−1 Θ− 4

Θ− 4 −1

< 0 .

Îäíàêî, ïåðâîå íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó |Θ + 4| < 1, àâòîðîå íåðàâåíñòâó |Θ− 4| < 1, è íå ñóùåñòâóåò Θ, óäîâëåòâîðÿþùåãîîáîèì ýòèì íåðàâåíñòâàì.

Âìåñòå ñ òåì, â [73] áûëè âûäåëåíû äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ, äëÿ êîòîðûõíåêîòîðîå îáîáùåíèå óòâåðæäåíèé 3.1 è 3.2 âîçìîæíî. Ïåðâûé èç íèõ


îòíîñèòñÿ ê ñèñòåìå íåðàâåíñòâ (3.15), â êîòîðîé Pi = P è Qi = Q äëÿâñåõ i = 1, . . . , N , ò.å. ê ñèñòåìå

Ψi + P T ΘT Q + QT ΘP < 0 , i = 1, . . . , N , (3.16)è òðåáóåò ââåäåíèÿ íåêîòîðîé äîïîëíèòåëüíîé ìàòðè÷íîé ïåðåìåííîéΨ0, ìàæîðèðóþùåé âñå ìàòðèöû Ψi.Óòâåðæäåíèå 3.4 Ïóñòü äàíû ñèììåòðè÷åñêèå ìàòðèöû Ψi = ΨT

i ∈Rn×n, i = 1, . . . , N è äâå ìàòðèöû P ∈ Rl×n è Q ∈ Rk×n, ïðè÷åìrank P = rP < n è rank Q = rQ < n. Ñèñòåìà ëèíåéíûõ ìàòðè÷-íûõ íåðàâåíñòâ (3.16) ðàçðåøèìà îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû Θ ∈ Rk×l

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ñèììåòðè÷åñêàÿ ìàòðèöàΨ0 ≥ Ψi, i = 1, . . . , N òàêàÿ, ÷òî

W TP Ψ0WP < 0 , W T

QΨ0WQ < 0 , (3.17)ãäå ñòîëáöû ìàòðèöû WP îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû P , à ñòîëáöûìàòðèöû WQ îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû Q.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü óñëîâèÿ (3.17) âûïîëíåíû. Òîãäà ñîãëàñíî óòâåð-æäåíèþ 3.2 ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìàòðèöà Θ, ÷òî

Ψ0 + P T ΘT Q + QT ΘP < 0 .

Òàê êàê Ψ0 ≥ Ψi, i = 1, . . . , N , òîΨi + P T ΘT Q + QT ΘP ≤ Ψ0 + P T ΘT Q + QT ΘP < 0 .

Ïóñòü òåïåðü ñèñòåìà íåðàâåíñòâ (3.16) èìååò ðåøåíèå Θ. Òîãäà ñó-ùåñòâóåò ε > 0, ÷òî

Ψi + P T ΘT Q + QT ΘP + εI < 0 , i = 1, . . . , N .

Åñëè îïðåäåëèòüΨ0 = −(P T ΘT Q + QT ΘP + εI) ,

òî èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî Ψ0 ≥ Ψi äëÿ âñåõ i = 1, . . . , N .Êðîìå òîãî, òàê êàê

Ψ0 + P T ΘT Q + QT ΘP = −εI < 0 ,

òî, óìíîæàÿ ýòî íåðàâåíñòâî ñíà÷àëà ñëåâà íà W TP è ñïðàâà íà WP , à

çàòåì ñëåâà íà W TQ è ñïðàâà íà WQ, ïîëó÷èì (3.17).

3.3. Ñèñòåìà íåðàâåíñòâ 39

Ñäåëàåì îäíî çàìå÷àíèå. Åñëè â ñèñòåìå (3.16) îäíà èç ìàòðèö P èëèQ ïîëíîãî ðàíãà (íàïðèìåð, Q), òî óòâåðæäåíèå 3.4 îñòàåòñÿ ñïðàâåäëè-âûì ïðè çàìåíå íåðàâåíñòâ â (3.17) íà îäíî íåðàâåíñòâî

W TP Ψ0WP < 0 . (3.18)

Âòîðîé ÷àñòíûé ñëó÷àé êàñàåòñÿ ñèñòåìû (3.16), â êîòîðîé îäíà èçìàòðèö P èëè Q ñîâïàäàåò ñ åäèíè÷íîé ìàòðèöåé (áåç îãðàíè÷åíèÿ îáù-íîñòè ïîëîæèì Q = I), ò.å. ñèñòåìû íåðàâåíñòâ

Ψi + P T ΘT + ΘP < 0 , i = 1, . . . , N . (3.19)Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ íàðÿäó ñ óñëîâèåì (3.18) ìîæíî ïðèâåñòè äðóãèå íåîá-õîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè ýòîé ñèñòåìû, íå âêëþ-÷àþùèå íîâûõ ïåðåìåííûõ.Óòâåðæäåíèå 3.5 Ïóñòü äàíû ñèììåòðè÷åñêèå ìàòðèöû Ψi = ΨT

i ∈Rn×n, i = 1, . . . , N è ìàòðèöà P ∈ Rl×n, ïðè÷åì rank P = rP < n.Ñèñòåìà ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ (3.19) ðàçðåøèìà îòíîñè-òåëüíî ìàòðèöû Θ ∈ Rk×l òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

W TP ΨiWP < 0 , i = 1, . . . , N . (3.20)

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ (3.20) äîêàçûâàåòñÿ òàê æå,êàê è â óòâåðæäåíèè 3.1. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íîñòè çàìåòèì,÷òî ñîãëàñíî ëåììå A.8 íåðàâåíñòâà (3.20) ýêâèâàëåíòíû íåðàâåíñòâàì

Ψi − µiPT P < 0 , i = 1, . . . , N

äëÿ íåêîòîðûõ µi > 0. Îáîçíà÷èì µ = maxi µi. ÒîãäàΨi − µP T P < 0 , i = 1, . . . , N .

Çàäàâàÿ Θ = −(1/2)µP T , ïîëó÷èìΨi + P T ΘT + ΘP < 0 , i = 1, . . . , N .

Ãëàâà 4

Ðåøåíèå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ

íåðàâåíñòâ â ïàêåòå MATLAB

Â îñíîâó ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâïîëîæåíû ìåòîäû âûïóêëîé îïòèìèçàöèè. Â ïàêåòå MATLAB èñïîëüçó-þòñÿ òàê íàçûâàåìûå ìåòîäû âíóòðåííåé òî÷êè (interior point methods),ðàçðàáîòàííûå â [71]. Èçëîæèì îñíîâíóþ èäåþ ýòèõ ìåòîäîâ íà ïðèìåðåçàäà÷è ìèíèìèçàöèè âûïóêëîé ôóíêöèè f(x) íà ìíîæåñòâå F = x :F (x) > 0, îïðåäåëÿåìîì ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâîì. Ýòà çà-äà÷à óñëîâíîé îïòèìèçàöèè ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å áåçóñëîâíîé îïòèìèçàöèèôóíêöèè

fr(x) = rf(x) + φ(x) ,

ãäå r > 0 - øòðàôíîé ïàðàìåòð, à øòðàôíàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì

φ(x) =

log det F−1(x), x ∈ F

∞, x 6∈ F.

Ðåøåíèå çàäà÷è áåçóñëîâíîé îïòèìèçàöèè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èòåðàöè-îííûé ïðîöåññ, íà n-é èòåðàöèè êîòîðîãî ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä Íüþòîíà-Ðàôñîíà äëÿ íàõîæäåíèÿ ìèíèìóìà xn ôóíêöèè fr(x) ïðè r = rn. Äëÿñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì ïîñòðîåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè rn →∞ ïî-ñëåäîâàòåëüíîñòü xn ñòðåìèòñÿ ê òî÷êå x∗, ÿâëÿþùåéñÿ ðåøåíèåì èñõîä-íîé çàäà÷è óñëîâíîé îïòèìèçàöèè.

Çàäà÷à ðàçðåøèìîñòè ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà F (x) < 0ñâîäèòñÿ ê ìèíèìèçàöèè ïàðàìåòðà t, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ ëèíåé-íîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî F (x) − tI ≤ 0. Åñëè tmin ≤ 0, òî èñõîäíîåëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî ðàçðåøèìî è ñòðîãî ðàçðåøèìî, åñëè

41

42Ãëàâà 4. Ðåøåíèå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõíåðàâåíñòâ â ïàêåòå MATLAB

tmin < 0; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, tmin > 0, íåðàâåíñòâî íåðàçðåøèìî. Äëÿ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ êîìàíäà

[tmin, xfeas]=feasp(lmisys, options, target) ,

â êîòîðîé tmin è xfeas ñóòü ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà t è îòâå-÷àþùåå åìó ðåøåíèå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà. Àðãóìåíòû êî-ìàíäû feasp: lmisys îïèñàíèå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà (ðàç-ìåðíîñòü è ñòðóêòóðà ìàòðè÷íûõ ïåðåìåííûõ, çàäàíèå èçâåñòíûõ ìàò-ðèö); options îïèñàíèå ïàðàìåòðîâ àëãîðèòìà îïòèìèçàöèè; target íàçíà÷àåìîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà tmin òàêîå, ÷òî ïðè t<target àëãîðèòìîïòèìèçàöèè îñòàíàâëèâàåòñÿ (ïî óìîë÷àíèþ target=0).

Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ìèíèìèçàöèè ëèíåéíîé ôóíêöèè ïðè îãðàíè÷å-íèè, çàäàâàåìîì ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâîì, èñïîëüçóåòñÿ êî-ìàíäà

[copt, xopt]=mincx(lmisys, c, options, xinit, target) ,

â êîòîðîé copt è xopt ñóòü ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ìèíèìèçèðóåìîé ëè-íåéíîé ôóíêöèè è îòâå÷àþùåå åé çíà÷åíèå ïåðåìåííûõ x. Àðãóìåíòûêîìàíäû mincx: lmisys îïèñàíèå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà; c îïèñàíèå âåêòîðà c, îïðåäåëÿþùåãî ìèíèìèçèðóåìóþ ëèíåéíóþ ôóíê-öèþ; options îïèñàíèå ïàðàìåòðîâ àëãîðèòìà îïòèìèçàöèè; xinit âåê-òîð íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ xopt (óäà÷íîå çàäàíèå ýòîãî âåêòîðàìîæåò óñêîðèòü ïîëó÷åíèå ðåçóëüòàòà); target íàçíà÷àåìîå çíà÷åíèåïàðàìåòðà äëÿ âåëè÷èíû cT x òàêîå, ÷òî ïðè cT x < target àëãîðèòì îï-òèìèçàöèè îñòàíàâëèâàåòñÿ.

Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íà îáîáùåííîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå èñïîëüçó-åòñÿ êîìàíäà

[lopt, xopt]=gevp(lmisys, nlfc, options, linit, xinit, target) ,

â êîòîðîé lopt è xopt ñóòü ìèíèìàëüíîå îáîáùåííîå ñîáñòâåííîå çíà÷å-íèå è îòâå÷àþùåå åìó çíà÷åíèå ïåðåìåííûõ x. Àðãóìåíòû êîìàíäû gevp:lmisys îïèñàíèå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ; nlfc ÷èñëî îãðà-íè÷åíèé, çàäàâàåìûõ ëèíåéíûìè ìàòðè÷íûìè íåðàâåíñòâàìè; options îïèñàíèå ïàðàìåòðîâ àëãîðèòìà îïòèìèçàöèè; linit è xinit íà÷àëüíûåïðèáëèæåíèÿ äëÿ lopt è xopt; target íàçíà÷àåìîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðàäëÿ âåëè÷èíû λ òàêîå, ÷òî ïðè λ ≤ target àëãîðèòì îïòèìèçàöèè îñòà-íàâëèâàåòñÿ.

Äëÿ ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâàΨ + P T ΘT Q + QT ΘP < 0 ,

43

êîòîðîå íåîäíîêðàòíî áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì èçëîæåíèè,èñïîëüçóåòñÿ êîìàíäà

Xc=basiclmi(Ψ, Q, P ) ,

ðåçóëüòàòîì âûïîëíåíèÿ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå Xc. Äîáàâëåíèå àð-ãóìåíòà ′Xmin′ â êîìàíäó

X=basiclmi(Ψ, Q, P,′ Xmin′)ïîçâîëÿåò íàéòè ðåøåíèå ýòîãî íåðàâåíñòâà, èìåþùåå ìèíèìàëüíóþ íîð-ìó.

Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ìàòðèöà WM , ñòîëáöû êîòîðîé îáðàçóþò áàçèñÿäðà ìàòðèöû M , íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ êîìàíäû

WM = null(M) .

Âñå äåòàëè îòíîñèòåëüíî èñïîëüçîâàíèÿ ýòèõ è äðóãèõ êîìàíä â LMIToolbox ñîäåðæàòñÿ â [59].

44Ãëàâà 4. Ðåøåíèå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõíåðàâåíñòâ â ïàêåòå MATLAB

×àñòü II

Ñèíòåç çàêîíîâ óïðàâëåíèÿ

45

47

Ýòà ÷àñòü ïîñâÿùåíà ñèíòåçó íà îñíîâå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðà-âåíñòâ ñòàáèëèçèðóþùèõ, ìîäàëüíûõ, îïòèìàëüíûõ ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íûõè H∞ ðåãóëÿòîðîâ äëÿ ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ è äèñêðåòíûõ îáúåêòîââ ñëó÷àå ïîëíîé èíôîðìàöèè îá èõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ.

Ãëàâà 5

Ñòàáèëèçàöèÿ

5.1 Ñòàáèëèçàöèÿ ïî ñîñòîÿíèþ

Çàäà÷à ñòàáèëèçàöèè ïî ñîñòîÿíèþ ëèíåéíîãî ñòàöèîíàðíîãî äèíàìè÷å-ñêîãî îáúåêòà, îïèñûâàåìîãî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âèäà

x = Ax + Bu , (5.1)ãäå x ∈ Rnx ñîñòîÿíèå îáúåêòà, u ∈ Rnu óïðàâëåíèå, ñîñòîèò â âûáîðåçàêîíà óïðàâëåíèÿ èç êëàññà ëèíåéíûõ îáðàòíûõ ñâÿçåé ïî ñîñòîÿíèþâèäà

u = Θx , (5.2)ãäå Θ ìàòðèöà ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà, ïðèêîòîðîì ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ x = 0 çàìêíóòîé ñèñòåìû (5.1), (5.2) ÿâ-ëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì ïî Ëÿïóíîâó (ñì. ðèñ. 5.1).

Êëàññè÷åñêèé ïîäõîä ê ñèíòåçó ëèíåéíûõ îáðàòíûõ ñâÿçåé â ïðî-ñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé, âî âñÿêîì ñëó÷àå äëÿ óïðàâëÿåìîé ïàðû (A, B)(ñì. Ïðèëîæåíèå D î ñâîéñòâàõ óïðàâëÿåìîñòè è ñòàáèëèçèðóåìîñòè ëè-íåéíûõ îáúåêòîâ), ñâÿçàí ñ êàíîíè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì óïðàâëÿåìîãîîáúåêòà è ïîñòðîåíèåì ìîäàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, îáåñïå÷èâàþùåãî çàäàí-íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (ìîäû) ìàòðèöû çàìêíóòîé ñèñòåìû. Ïîñòðî-åíèå ìîäàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ õàðàêòåðèñòè÷å-ñêîãî ïîëèíîìà ìàòðèöû A, âûáîðó êàíîíè÷åñêîãî áàçèñà è ðåøåíèþñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Âìåñòå ñ òåì, âîçìîæåí àëüòåðíàòèâíûéïóòü ñèíòåçà ñòàáèëèçèðóþùèõ ðåãóëÿòîðîâ, îñíîâàííûé íà ïðèìåíåíèèòåîðèè ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ è ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ èõðåøåíèÿ, ðåàëèçîâàííûõ â ïàêåòå MATLAB. Äàëåå íà ðàçëè÷íûõ ïðèìå-ðàõ è, â ÷àñòíîñòè, íà ïðèìåðå çàäà÷è óïðàâëåíèÿ âûñîòíûì ñîîðóæå-íèåì áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî àëãîðèòìû ñèíòåçà ðåãóëÿòîðîâ, îñíîâàííûå

49

50 Ãëàâà 5. Ñòàáèëèçàöèÿ

íà ðåøåíèè ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ, îêàçûâàþòñÿ áîëåå ïðåä-ïî÷òèòåëüíûìè.

Èçëîæèì ýòîò àëüòåðíàòèâíûé ïîäõîä. Çàïèøåì óðàâíåíèå çàìêíó-òîé ñèñòåìû

x = Acx , Ac = A + BΘ (5.3)è ïåðåôîðìóëèðóåì çàäà÷ó ñòàáèëèçàöèè êàê ñóùåñòâîâàíèå ó ýòîé ñè-ñòåìû êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè Ëÿïóíîâà, ò.å. òàêîé V (x) = xT Xx ñ X =XT > 0, äëÿ ïðîèçâîäíîé êîòîðîé â ñèëó ñèñòåìû (5.3) âûïîëíÿåòñÿ

V = xT (ATc X + XAc)x < 0 ∀x 6= 0 . (5.4)

Ïåðåïèøåì íåðàâåíñòâî (5.4) â âèäå

AT X + XA + ΘT BT X + XBΘ < 0 , (5.5)

èëè, óìíîæàÿ ýòî íåðàâåíñòâî ñëåâà è ñïðàâà íà ìàòðèöó X−1 è îáîçíà-÷àÿ Y = X−1, â âèäå

Y AT + AY + Y ΘT BT + BΘY < 0 , Y > 0 . (5.6)

Òåïåðü ïåðåä íàìè ñòîèò çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ïàðû ìàòðèö (Y, Θ), óäîâëå-òâîðÿþùèõ ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì (5.6). Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëü-íî äâà ñïîñîáà åå ðåøåíèÿ ïóòåì ïðèâåäåíèÿ íåëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãîíåðàâåíñòâà ê ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì, ðåøàåìûì â ïàêåòåMATLAB.

Ïåðâûé ñïîñîá ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ââåñòè íîâóþ ìàòðè÷íóþ ïåðå-ìåííóþ Z = ΘY è çàïèñàòü íåðàâåíñòâà (5.6) â âèäå ëèíåéíûõ ìàòðè÷-íûõ íåðàâåíñòâ

Y AT + AY + ZT BT + BZ < 0 , Y > 0 (5.7)

îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ Y è Z. Íàõîäÿ ïàðó (Y, Z), óäîâëåòâîðÿþùóþ(5.7), âû÷èñëèì ïàðàìåòðû èñêîìîé îáðàòíîé ñâÿçè Θ = ZY −1. Òàêèìîáðàçîì, âåðíî ñëåäóþùåå.

Óòâåðæäåíèå 5.1 Îáúåêò (5.1) èëè ïàðà (A, B) ñòàáèëèçèðóåìû òî-ãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà (5.7) ðàç-ðåøèìû îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ Y è Z. Â ñëó÷àå ñòàáèëèçèðóåìî-ñòè ïàðàìåòðû ëèíåéíîé îáðàòíîé ñâÿçè ïî ñîñòîÿíèþ íàõîäÿòñÿ òàê:Θ = ZY −1.

5.1. Ñòàáèëèçàöèÿ ïî ñîñòîÿíèþ 51

Âòîðîé ñïîñîá ñîñòîèò â ïðåäñòàâëåíèè íåðàâåíñòâà (5.6) â âèäåΨ + P T ΘT Q + QT ΘP < 0

ñ Ψ = Y AT + AY , P = Y , Q = BT . Òîãäà ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 3.1,óñëîâèÿ êîòîðîãî âûïîëíåíû â ñèëó òîãî, ÷òî detP 6= 0, ýòî íåðàâåí-ñòâî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû Θ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàðàçðåøèìû íåðàâåíñòâà

W TBT (Y AT + AY )WBT < 0 , Y > 0 . (5.8)

Çäåñü WBT îáîçíà÷àåò ìàòðèöó, ñòîëáöû êîòîðîé ñîñòàâëÿþò áàçèñ ÿä-ðà ìàòðèöû BT , ò.å. ìàòðèöà WBT óäîâëåòâîðÿåò ìàòðè÷íîìó óðàâíå-íèþ BT WBT = 0 è èìååò ìàêñèìàëüíûé ðàíã ñðåäè âñåõ åãî ðåøåíèé.Ïîäñòàâëÿÿ ðåøåíèå Y íåðàâåíñòâ (5.8) â (5.6), ïðèõîäèì ê ëèíåéíî-ìó ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðîâ Θ, ðåøàÿ êîòîðîåíàõîäèì ïàðàìåòðû ëèíåéíîé îáðàòíîé ñâÿçè. Èòàê, èìååò ìåñòî ñëåäó-þùåå.Óòâåðæäåíèå 5.2 Îáúåêò (5.1) ñòàáèëèçèðóåì òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà (5.8) ðàçðåøèìû îòíîñèòåëü-íî ïåðåìåííîé Y . Â ñëó÷àå ñòàáèëèçèðóåìîñòè ïàðàìåòðû ëèíåéíîéîáðàòíîé ñâÿçè ïî ñîñòîÿíèþ íàõîäÿòñÿ êàê ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî ìàò-ðè÷íîãî íåðàâåíñòâà (5.6) c íàéäåííûì Y îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé Θ.

Îòìåòèì, ÷òî ñ ó÷åòîì ëåììû A.8 íåðàâåíñòâà (5.8) âûïîëíÿþòñÿ ïðèíåêîòîðîé ìàòðèöå Y òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàçðåøèìû ëèíåéíûåìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà

Y AT + AY − µBBT < 0 , Y > 0 (5.9)îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ Y è µ > 0. Ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ íåðàâåíñòâïàðàìåòðû ðåãóëÿòîðà ìîãóò áûòü âûáðàíû â âèäå

Θ = −(µ/2)BT Y −1 . (5.10)Ïðèìåð 5.1 Ñòàáèëèçàöèÿ ïåðåâåðíóòîãî ìàÿòíèêà (ðèñ. 5.2):îáúåêò îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì

ϕ− ϕ = u .

Ââåäåì âåêòîð x = col (x1, x2), ãäå x1 = ϕ, x2 = ϕ, è çàïèøåì ýòîóðàâíåíèå êàê

x1 = x2 ,x2 = x1 + u ,


ò.å. â âèäå (5.1), ãäå

A =

(0 11 0

), B =

(01

).

Â äàííîì ñëó÷àå íåðàâåíñòâà (5.7) ïðèíèìàþò âèä(2y12 y11 + y22 + z1

? 2(y12 + z2)

)< 0 ,

(y11 y12

? y22

)> 0 , (5.11)

ãäå Z = (z1 z2). Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Ñèëüâåñòðà ýòè íåðàâåíñòâà ýê-âèâàëåíòíû ñëåäóþùåé ñèñòåìå íåëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ:

y12 < 0 , 4y12(y12 + z2)− (y11 + y22 + z1)2 > 0 ,

y11 > 0 , y11y22 − y212 > 0 ,

ðåøåíèå êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò îïðåäåëåííóþ òðóäíîñòü. Âìåñòå ñòåì, Y è Z óäîâëåòâîðÿþò ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì (5.7)è, ñëåäîâàòåëüíî, ýòè ìàòðèöû, à çíà÷èò, è ïàðàìåòðû ðåãóëÿòîðà Θ,ìîãóò áûòü íàéäåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì LMI Toolbox (êîìàíäà feasp):

Y =

90, 9732 −30, 3244

∗ 90, 9732

, Z = (−181, 9464 − 15, 1622) ,

Θ = (−2, 3125 − 0, 9375) .

Òàêèì îáðàçîì, îäèí èç ðåãóëÿòîðîâ ïî ñîñòîÿíèþ, êîòîðûé ñòàáèëè-çèðóåò ïåðåâåðíóòûé ìàÿòíèê, çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì

u = −2, 3125ϕ− 0, 9375ϕ .

Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è âòîðûì ñïîñîáîì ïðåäïîëàãàåò íàõîæäåíèåìàòðèöû WBT , ò.å. ìàòðèöû ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà, óäîâëåòâîðÿþùåéóðàâíåíèþ

BT WBT = 0 .

Î÷åâèäíî, ÷òî îäíèì èç åãî ðåøåíèé â äàííîì ñëó÷àå áóäåò

WBT =

(10

).

Òîãäà ïåðâîå íåðàâåíñòâî â (5.8) ïðèìåò âèä

(1 0)

2y12 y11 + y22

? 2y12

( 10

)= 2y12 < 0 .

5.1. Ñòàáèëèçàöèÿ ïî ñîñòîÿíèþ 53

Òåïåðü, ïîäñòàâëÿÿ â (5.6) ëþáóþ ìàòðèöó Y > 0, ó êîòîðîé y12 < 0,ïîëó÷èì ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî Θ. Ðåøåíèåýòîãî íåðàâåíñòâà ñ ïîìîùüþ êîìàíäû feasp äàåò òðåáóåìûé ðåçóëü-òàò. Íàïðèìåð, äëÿ

Y =

(2 −1? 1

)

áûëî íàéäåíî Θ = (−3, 4963 − 3, 9925). Èòàê, ðåãóëÿòîð

u = −3, 4963ϕ− 3, 9925ϕ

òàêæå ñòàáèëèçèðóåò ïåðåâåðíóòûé ìàÿòíèê.

Êîíå÷íî, â ñâÿçè ñ ýòèì ïðèìåðîì ìîæåò âîçíèêíóòü çàêîííûé âî-ïðîñ: çà÷åì íóæíû çäåñü ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà, êîãäà ïðèëèíåéíîé îáðàòíîé ñâÿçè u = Θ1ϕ + Θ2ϕ õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëèíîìçàìêíóòîé ñèñòåìû, ðàâíûé s2−θ2s− (1+θ1), èìååò êîðíè ñëåâà îò ìíè-ìîé îñè ïðè Θ1 < −1, Θ2 < 0. Îäíàêî, ñëåäóþùèé ïðèìåð óæå íå òàêîéòðèâèàëüíûé, è îí ïîêàçûâàåò, ÷òî ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâàÿâëÿþòñÿ ýôôåêòèâíûì ñðåäñòâîì äëÿ ñèíòåçà ðåãóëÿòîðîâ.

Ïðèìåð 5.2 Ñòàáèëèçàöèÿ äâóõçâåííîãî ïåðåâåðíóòîãî ìàÿòíè-êà (ðèñ. 5.3): îáúåêò îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì

ϕ1 = 2ϕ1 − ϕ2 + u ,ϕ2 = −2ϕ1 + 2ϕ2 .

Ââåäåì âåêòîð x = col (x1, x2, x3, x4), ãäå x1 = ϕ1, x2 = ϕ2, x3 = ϕ1,x4 = ϕ2, è çàïèøåì ýòî óðàâíåíèå êàê

x1 = x3 ,x2 = x4 ,x3 = 2x1 − x2 + u ,x4 = −2x1 + 2x2 ,


A =

0 0 1 00 0 0 12 −1 0 0−2 2 0 0

, B =

0010

.


Ðåøåíèå çàäà÷è ñèíòåçà ïåðâûì ñïîñîáîì äàëî ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû:

Y =

136, 0315 95, 7016 −35, 9087 −4, 673595, 7016 97, 7976 3, 4852 −32, 1794−35, 9087 3, 4852 270, 8664 34, 0661−4, 6735 −32, 1794 34, 0661 55, 9804

,

Z = (−447, 2277 − 127, 6716 − 7, 7261 − 101, 6202) ,

Θ = (−18, 0248 19, 9613 − 4, 0071 10, 5928) ,

à âòîðîé ñïîñîá äàë òó æå ñàìóþ ìàòðèöó Y è

Θ = (−17, 7036 19, 5432 − 3, 8653 10, 2930) .

5.2 Îäíîâðåìåííàÿ ñòàáèëèçàöèÿ íåñêîëüêèõ

îáúåêòîâ

Çàäà÷à îäíîâðåìåííîé ñòàáèëèçàöèè íåñêîëüêèõ îáúåêòîâ çàêëþ÷àåòñÿâ ïîñòðîåíèè åäèíîãî ðåãóëÿòîðà, ïðè êîòîðîì öåëü óïðàâëåíèÿ äîñòèãà-åòñÿ äëÿ êàæäîãî èç ýòèõ îáúåêòîâ. Òàêàÿ çàäà÷à âîçíèêàåò, íàïðèìåð,ïðè óïðàâëåíèè òåõíè÷åñêîé ñèñòåìîé, êîòîðàÿ ìîæåò ôóíêöèîíèðîâàòüâ íåñêîëüêèõ ðåæèìàõ.

Ïóñòü èìåþòñÿ N ëèíåéíûõ óïðàâëÿåìûõ îáúåêòîâx = Aix + Biu, i = 1, . . . , N. (5.12)

Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ðåãóëÿòîð ïî ñîñòîÿíèþ u = Θx, îáåñïå÷èâàþùèéàñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü âñåõ N çàìêíóòûõ ñèñòåì.

Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ N êâàäðà-òè÷íûõ ôóíêöèé Vi(x) = xT Xix, ãäå Xi = XT

i > 0, ÿâëÿþùèõñÿ ôóíêöè-ÿìè Ëÿïóíîâà äëÿ êàæäîé èç çàìêíóòûõ ñèñòåì, ò.å. òàêèõ, ÷òî

(Ai + BiΘ)T Xi + Xi(Ai + BiΘ) < 0, i = 1, . . . , N . (5.13)Â îòëè÷èå îò çàäà÷è ñòàáèëèçàöèè îäíîãî îáúåêòà â äàííîì ñëó÷àå

íå óäàåòñÿ ñôîðìóëèðîâàòü êîíñòðóêòèâíûå óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè ñè-ñòåìû ýòèõ íåðàâåíñòâ. Îäíàêî, åñëè îãðàíè÷èòüñÿ åäèíîé äëÿ âñåõ Nñèñòåì ôóíêöèåé Ëÿïóíîâà, ò.å. â (5.13) ïîëîæèòü Xi = X, i = 1, . . . , N ,òî òàêèå óñëîâèÿ ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû. Â òàêîé ïîñòàíîâêå ýòà çàäà÷àíàçûâàåòñÿ çàäà÷åé êâàäðàòè÷íîé ñòàáèëèçàöèè íåñêîëüêèõ îáúåêòîâ.

5.2. Îäíîâðåìåííàÿ ñòàáèëèçàöèÿ íåñêîëüêèõ îáúåêòîâ 55

Äëÿ åå ðåøåíèÿ óìíîæèì îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà (5.13) ñëåâà è ñïðàâàíà X−1, îáîçíà÷èì Y = X−1, Z = ΘY è ïîëó÷èì ñèñòåìó íåðàâåíñòâ

Y ATi + AiY + ZT BT

i + BiZ < 0, i = 1, . . . , N , (5.14)ðàçðåøèìîñòü êîòîðîé è îïðåäåëÿåò óñëîâèÿ êâàäðàòè÷íîé ñòàáèëèçè-ðóåìîñòè íåñêîëüêèõ îáúåêòîâ.

Óòâåðæäåíèå 5.3 Äëÿ îäíîâðåìåííîé êâàäðàòè÷íîé ñòàáèëèçàöèè îáú-åêòîâ (5.12) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñèñòåìà ëèíåéíûõ ìàò-ðè÷íûõ íåðàâåíñòâ (5.14) áûëà ðàçðåøèìà îòíîñèòåëüíî Y = Y T > 0 èZ è â ýòîì ñëó÷àå Θ = ZY −1.

Äðóãîé âîçìîæíûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ ýòîé çàäà÷è ìîã áû áûòü îñíî-âàí íà ïðèâåäåíèè ñèñòåìû íåðàâåíñòâ (5.13) ê âèäó

Ψi + QTi ΘPi + P T

i ΘT Qi < 0, i = 1, . . . , N . (5.15)

Îäíàêî, êàê îòìå÷àëîñü â ðàçäåëå 3.3, â îáùåì ñëó÷àå îòñóòñòâóþò êîí-ñòðóêòèâíûå óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè ñèñòåì íåðàâåíñòâ òàêîãî âèäà. Îíèèçâåñòíû òîëüêî äëÿ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ, îïèñàííûõ â òîì æå ðàçäåëå.Îäèí èç ýòèõ ñëó÷àåâ â ïðèìåíåíèè ê çàäà÷å êâàäðàòè÷íîé ñòàáèëèçàöèèðàññìàòðèâàåòñÿ íèæå.

Ïðèâåäåì ñèñòåìó íåðàâåíñòâ (5.13), êîãäà Bi = B, i = 1, . . . , N , êâèäó

Ψi + QT Θ + ΘT Q < 0, i = 1, . . . , N , (5.16)ãäå Ψi = AT

i X + XAi, Q = BT X. Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 3.5 ýòà ñè-ñòåìà íåðàâåíñòâ ðàçðåøèìà îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû Θ òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà W T

QΨiWQ < 0, i = 1, . . . , N , ãäå WQ îáîçíà÷àåò ìàòðèöó,ñòîëáöû êîòîðîé ñîñòàâëÿþò áàçèñ íóëü-ïðîñòðàíñòâà ìàòðèöû Q. Òàêêàê WQ = X−1WBT , òî äëÿ îäíîâðåìåííîé êâàäðàòè÷íîé ñòàáèëèçàöèèîáúåêòîâ (5.12) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñèñòåìà ëèíåéíûõ ìàò-ðè÷íûõ íåðàâåíñòâ

W TBT (Y AT

i + AiY )WBT < 0 , i = 1, . . . , N (5.17)

áûëà ðàçðåøèìà îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû Y = Y T > 0. Â ýòîì ñëó÷àå ïà-ðàìåòðû Θ íàõîäÿòñÿ èç ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðà-âåíñòâ Y AT

i + AiY + Y ΘT BT + BΘY < 0, i = 1, . . . , N, â êîòîðûõ Y ðåøåíèå ñèñòåìû (5.17).


5.3 Ñòàáèëèçàöèÿ ïî âûõîäó

Ðàññìîòðèì óïðàâëÿåìûé îáúåêò ñ íåèçìåðÿåìûì ñîñòîÿíèåìx = Ax + Bu ,y = Cx ,

(5.18)â êîòîðîì x ∈ Rnx ñîñòîÿíèå, u ∈ Rnu óïðàâëåíèå, y ∈ Rny èçìå-ðÿåìûé âûõîä. Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ëèíåéíûé äèíàìè÷åñêèé ðåãóëÿòîðk-ãî ïîðÿäêà âèäà

xr = Arxr + Bry ,u = Crxr + Dry ,

(5.19)ãäå xr ∈ Rk ñîñòîÿíèå ðåãóëÿòîðà, îáåñïå÷èâàþùèé àñèìïòîòè÷åñêóþóñòîé÷èâîñòü çàìêíóòîé ñèñòåìû (5.18), (5.19) (ñì. ðèñ. 5.4). Â ÷àñòíîìñëó÷àå k = 0 èìååì ñòàòè÷åñêèé ðåãóëÿòîð u = Dry.

Óðàâíåíèå çàìêíóòîé ñèñòåìû (5.18), (5.19) ïðè k 6= 0 èìååò âèä

xc = Acxc , Ac =

A + BDrC BCr

BrC Ar

, (5.20)

ãäå xc = col (x, xr).Ïåðåôîðìóëèðóåì öåëü óïðàâëåíèÿ â âèäå ñóùåñòâîâàíèÿ êâàäðàòè÷-

íîé ôóíêöèè Ëÿïóíîâà V (xc) = xTc Xxc, ãäå XT = X > 0, òàêîé, ÷òî ïî

ëþáîé òðàåêòîðèè çàìêíóòîé ñèñòåìû èìååò ìåñòîV < 0 .

Ýòî óñëîâèå ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâóAT

c X + XAc < 0 . (5.21)Ââîäÿ ìàòðèöó ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà

Θ =

Ar Br

Cr Dr

, (5.22)

ïðåäñòàâèì ìàòðèöó çàìêíóòîé ñèñòåìû â âèäåAc = A0 + B0ΘC0 , (5.23)

ãäå

A0 =

A 0nx×k

0k×nx 0k×k

,

B0 =

0nx×k B

Ik 0k×nu

, C0 =

0k×nx Ik

C 0ny×k

,

(5.24)

5.3. Ñòàáèëèçàöèÿ ïî âûõîäó 57

âûäåëÿÿ òåì ñàìûì ñëàãàåìîå, ñîäåðæàùåå ìàòðèöó Θ íåèçâåñòíûõ ïà-ðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà.

Çàìåòèì çäåñü, ÷òî ñèíòåç ñòàáèëèçèðóþùåãî ðåãóëÿòîðà ïî âûõîäók-ãî ïîðÿäêà â ñëó÷àå k 6= 0 ñâîäèòñÿ ê ñèíòåçó ñòàòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðàïî âûõîäó äëÿ âñïîìîãàòåëüíîãî îáúåêòà

˙x = A0x + B0u ,y = C0x ,

(5.25)

ãäå ìàòðèöû A0, B0 è C0 îïðåäåëåíû â (5.24). Â ñàìîì äåëå, ïóñòü u = Θy.Òîãäà ìàòðèöà çàìêíóòîé ñèñòåìû áóäåò ñîâïàäàòü ñ ìàòðèöåé (5.23), èñîîòâåòñòâóþùèå áëîêè ìàòðèöû Θ áóäóò îïðåäåëÿòü ïàðàìåòðû äèíà-ìè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà k-ãî ïîðÿäêà.

Ïðåäñòàâèì äàëåå íåðàâåíñòâî (5.21) â âèäåAT

0 X + XA0 + CT0 ΘT BT

0 X + XB0ΘC0 < 0 (5.26)èëè, óìíîæàÿ ýòî íåðàâåíñòâî ñëåâà è ñïðàâà íà ìàòðèöó X−1 è îáîçíà-÷àÿ Y = X−1, â âèäå

Y AT0 + A0Y + Y CT

0 ΘT BT0 + B0ΘC0Y < 0 , Y > 0 . (5.27)

Ïîïûòàåìñÿ, êàê è â ñëó÷àå èçìåðÿåìîãî ñîñòîÿíèÿ, ïðèìåíèòü äâà ñïî-ñîáà ðåøåíèÿ ýòîãî íåðàâåíñòâà. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðâûì ñïîñîáîì ìûäîëæíû ââåñòè íîâóþ ìàòðè÷íóþ ïåðåìåííóþ

Z = ΘC0Y (5.28)è ïîëó÷èòü ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà

Y AT0 + A0Y + ZT BT

0 + B0Z < 0 , Y > 0

îòíîñèòåëüíî Y è Z. Ïóñòü (Y, Z) íåêîòîðîå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû. Òî-ãäà äëÿ íàõîæäåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû Θ ìû äîëæíû ðåøèòü ñèñòåìó(5.28), êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó (nu + k)(nx + k) óðàâíåíèé ñ(nu + k)(ny + k) íåèçâåñòíûìè. Êàê ïðàâèëî, ðàçìåðíîñòü âåêòîðà ñîñòî-ÿíèÿ ïðåâûøàåò ðàçìåðíîñòü âåêòîðà èçìåðåíèé (nx > ny), ïîýòîìó äëÿíàéäåííîé ïàðû (Y, Z) ýòà ñèñòåìà ìîæåò îêàçàòüñÿ íåñîâìåñòíîé, äàæååñëè òðåáóåìûé ðåãóëÿòîð è ñóùåñòâóåò.

Ïåðåõîäèì êî âòîðîìó ñïîñîáó ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è. Ïðåä-ñòàâèì íåðàâåíñòâî (5.26) â âèäå

Ψ + P T ΘT Q + QT ΘP < 0


ñ Ψ = AT0 X + XA0, P = C0, Q = BT

0 X. Òîãäà ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ3.2 ýòî íåðàâåíñòâî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû Θ òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà ðàçðåøèìû íåðàâåíñòâà

W TBT

0 X(AT0 X + XA0)WBT

0 X < 0 , W TC0

(AT0 X + XA0)WC0 < 0 , (5.29)

â êîòîðûõ ñòîëáöû ìàòðèö WBT0 X è WC0 îáðàçóþò áàçèñû ÿäåð ìàòðèö

BT0 X è C0 ñîîòâåòñòâåííî. Çàìå÷àÿ, ÷òî WBT

0 X = X−1WBT0, ãäå ñòîëáöû

WBT0îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû BT

0 , è ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â(5.29), ïðèõîäèì ê ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.Óòâåðæäåíèå 5.4 Îáúåêò (5.18) ñòàáèëèçèðóåì ñ ïîìîùüþ ðåãóëÿ-òîðà ïî âûõîäó (5.19) çàäàííîãî ïîðÿäêà k ≤ nx òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà ñóùåñòâóåò (nx + k)× (nx + k)-ìàòðèöà X = XT , óäîâëåòâîðÿþ-ùàÿ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:

W TC0

(AT0 X + XA0)WC0 < 0 , X > 0 ,

W TBT

0(X−1AT

0 + A0X−1)WBT

0< 0 .

(5.30)

Åñëè óñëîâèÿ (5.30) âûïîëíåíû è òàêàÿ ìàòðèöà X íàéäåíà, òî ïàðà-ìåòðû Θ èñêîìîãî ðåãóëÿòîðà (5.19) íàõîäÿòñÿ êàê ðåøåíèÿ ëèíåéíîãîìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà (5.26) îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé Θ.

Ââåäåì ìàòðèöó Y = X−1 è ïåðåïèøåì óñëîâèÿ (5.30) â âèäå ëèíåé-íûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ îòíîñèòåëüíî ìàòðèö X è Y :

W TC0

(AT0 X + XA0)WC0 < 0 , X > 0 ,

W TBT

0(Y AT

0 + A0Y )WBT0

< 0 , Y > 0 .(5.31)

Òîãäà ðàññìàòðèâàåìàÿ ïðîáëåìà ñèíòåçà ñòàáèëèçèðóþùèõ ðåãóëÿòîðîâïî âûõîäó çàäàííîãî ïîðÿäêà ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å A: íàéòè äâå âçàèìíî-îáðàòíûå (nx + k)× (nx + k)-ìàòðèöû X = XT è Y (XY = I), óäîâëåòâî-ðÿþùèå ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì (5.31), èëè óñòàíîâèòü, ÷òîòàêèõ ìàòðèö íå ñóùåñòâóåò.

Â ÷àñòè IV áóäóò ïðèâåäåíû àëãîðèòìû ðåøåíèÿ çàäà÷è A, ïðèìå-íåíèå êîòîðûõ ïîçâîëÿåò ñèíòåçèðîâàòü ðåãóëÿòîðû ïî âûõîäó.Ïðèìåð 5.3 Ñòàáèëèçàöèÿ ïî âûõîäó ïåðåâåðíóòîãî ìàÿòíèêà:îáúåêò îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè (ñì. òàêæå ïðèìåð 5.1)

x1 = x2 ,x2 = x1 + u ,y = x1 .


Òðåáóåòñÿ ñèíòåçèðîâàòü äèíàìè÷åñêèé ðåãóëÿòîð ïî âûõîäó ïåðâîãîïîðÿäêà âèäà (5.19).

Â äàííîì ñëó÷àå íåèçâåñòíûìè ýëåìåíòàìè ìàòðèöû Θ ÿâëÿþòñÿ÷åòûðå ïàðàìåòðà ðåãóëÿòîðà: Ar, Br, Cr, Dr. Îíè ìîãóò áûòü íàéäåíûêàê ðåøåíèå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà (5.26) îòíîñèòåëüíîΘ, â êîòîðîì

A0 =

0 1 0

1 0 0

0 0 0

, B0 =

0 0

0 1

1 0

, C0 =

0 0 1

1 0 0

,

à ìàòðèöà X ïîðÿäêà 3 × 3 â ñâîþ î÷åðåäü äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ñè-ñòåìå íåðàâåíñòâ (5.30), ãäå

WBT0

=

1

0

0

, WC0 =

0

1

0

.

Äëÿ ïîèñêà òðåáóåìîé ìàòðèöû X ïðèìåíÿëñÿ àëãîðèòì íàõîæäåíèÿâçàèìíîîáðàòíûõ ìàòðèö, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñèñòåìå ëèíåéíûõ ìàò-ðè÷íûõ íåðàâåíñòâ (5.31). Â ðåçóëüòàòå áûëè ïîëó÷åíû

X =

0.7549 −0.0001 −0.6737

? 1.5655 1.0186

? ? 4.1051

, Y =

1.6050 −0.2044 0.3141

? 0.7878 −0.2290

? ? 0.3520

,

Θ =

−0.1819 0.1197

0.5487 −1.5601

.

Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûé ðåãóëÿòîð îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè

xr = −0.1819xr + 0.1197y ,

u = 0.5487xr − 1.5601y ,

è ìàòðèöà çàìêíóòîé ñèñòåìû

Ac =

0 1 0

−0.5601 0 0.5487

0.1197 0 −0.1819


èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

λ1,2 = −0.0582± 0.7410i , λ3 = −0.0655 ,

ëåæàùèå ñëåâà îò ìíèìîé îñè.

Ïðèìåð 5.4 Ñòàáèëèçàöèÿ ïî âûõîäó äâóõçâåííîãî ïåðåâåðíó-òîãî ìàÿòíèêà: îáúåêò îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè (ñì. òàêæå ïðèìåð5.2)

x1 = x3 ,x2 = x4 ,x3 = 2x1 − x2 + u ,x4 = −2x1 + 2x2 ,y1 = x1 ,y2 = x2 .

Òðåáóåòñÿ ñèíòåçèðîâàòü äèíàìè÷åñêèé ðåãóëÿòîð ïî âûõîäó ïåðâîãîïîðÿäêà âèäà (5.19).

Â äàííîì ñëó÷àå íåèçâåñòíûìè ýëåìåíòàìè ìàòðèöû Θ ÿâëÿþòñÿøåñòü ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà: Ar, Br = (B(1)

r B(2)r ), Cr, Dr = (D(1)

r D(2)r ).

Îíè ìîãóò áûòü íàéäåíû êàê ðåøåíèå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåí-ñòâà (5.26) îòíîñèòåëüíî Θ, â êîòîðîì

A0 =

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

2 −1 0 0 0

−2 2 0 0 0

0 0 0 0 0

, B0 =

0 0

0 0

0 1

0 0

1 0

, C0 =

0 0 0 0 1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

,

(5.32)à ìàòðèöà X ïîðÿäêà 5× 5 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå íåðàâåíñòâ (5.30),ãäå

WBT0

=

1 0 0

0 1 0

0 0 0

0 0 1

0 0 0

, WC0 =

0 0

0 0

1 0

0 1

0 0

.

Äëÿ ïîèñêà òðåáóåìîé ìàòðèöû X ïðèìåíÿëñÿ àëãîðèòì íàõîæäåíèÿâçàèìíîîáðàòíûõ ìàòðèö, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñèñòåìå ëèíåéíûõ ìàò-


ðè÷íûõ íåðàâåíñòâ (5.31). Â ðåçóëüòàòå áûëè ïîëó÷åíû

X =

3.4330 −5.3960 −0.0027 −0.7563 2.1220

? 13.1102 0.8556 −1.5000 −8.2465

? ? 0.4706 −0.9072 −1.0650

? ? ? 3.2732 3.0418

? ? ? ? 7.0358

,

Y =

3.0358 2.7483 −0.1135 −0.3296 2.4310

? 3.2966 −0.4087 −1.2210 3.5011

? ? 4.9399 1.4611 −0.3288

? ? ? 1.8501 −1.9104

? ? ? ? 4.2886

,

Θ =

−8.4770 −3.8599 11.3614

−22.7817 −21.4799 40.8038

.


xr = −8.4770xr − 3.8599y1 + 11.3614y2 ,

u = −22.7817xr − 21.4799y1 + 40.8038y2 ,

è ìàòðèöà çàìêíóòîé ñèñòåìû èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

λ1 = −7.0975, λ2,3 = −0.2964± 2.6608i, λ4 = −0.7098, λ5 = −0.0770,


Âîçìîæåí è äðóãîé ïóòü èñïîëüçîâàíèÿ óñëîâèé (5.31) äëÿ ñèíòåçàñòàáèëèçèðóþùèõ ðåãóëÿòîðîâ. Òàê êàê

B0 =

0nx×k B

Ik 0k×nu

, C0 =

0k×nx Ik

C 0ny×k

è ìàòðèöû ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà WBT

0è WC0 äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü

óðàâíåíèÿì BT0 WBT

0= 0 è C0WC0 = 0 ñîîòâåòñòâåííî, òî íåïîñðåäñòâåííî

ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ìû ìîæåì âçÿòü

WBT0

=

WBT

0

, WC0 =

WC

0

.


Â ñîîòâåòñòâèè ñ áëî÷íîé ñòðóêòóðîé ìàòðèöû

A0 =

A 0nx×k

0k×nx 0k×k

ïðåäñòàâèì ìàòðèöû X è Y â áëî÷íîì âèäå

X =

X11 X12

XT12 X22

, Y =

Y11 Y12

Y T12 Y22

. (5.33)

Òîãäà íåðàâåíñòâà (5.31) ïðèìóò âèäW T

C (AT X11 + X11A)WC < 0 ,

W TBT (Y11A

T + AY11)WBT < 0 .(5.34)

Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó êðèòåðèÿ Ñèëüâåñòðà èç óñëîâèé X > 0 è Y > 0ñëåäóåò X11 > 0 è Y11 > 0. Òàêèì îáðàçîì, âîçíèêàåò çàäà÷à î íàõîæäå-íèè ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûõ ìàòðèö X11 è Y11, óäîâëåòâîðÿþùèõëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì (5.34) è ÿâëÿþùèõñÿ ñîîòâåòñòâó-þùèìè áëîêàìè âçàèìíîîáðàòíûõ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûõ ìàòðèöX è Y .

Ðàñïèøåì óñëîâèå XY = I â áëî÷íîì âèäåX11Y11 + X12Y

T12 = I ,

X11Y12 + X12Y22 = 0 ,

XT12Y11 + X22Y

T12 = 0 ,

XT12Y12 + X22Y

T22 = I .

(5.35)

Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ïîëó÷èìI −X11Y11 = X12Y

T12 .

Òàê êàê ðàíã êàæäîé èç ìàòðèö â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà íå ïðå-âûøàåò k è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàíã ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ ìàòðèö òàêæå íåïðåâûøàåò k, òî îòñþäà ñëåäóåò óñëîâèå

rank (I −X11Y11) ≤ k . (5.36)Äàëåå, èç ôîðìóëû Ôðîáåíèóñà äëÿ îáðàùåíèÿ áëî÷íîé ìàòðèöû (ñì.

ëåììó A.1), ñëåäóåò, ÷òî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ñëåäóþùåå ðàâåíñòâîX11 − Y −1

11 = X12X−122 XT

12 . (5.37)


Îòñþäà âûòåêàåò íåðàâåíñòâîX11 − Y −1

11 ≥ 0 ,

êîòîðîå â ñèëó ëåììû A.3 âûðàæàåòñÿ â âèäå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãîíåðàâåíñòâà X11 I

I Y11

≥ 0 . (5.38)

Îêàçûâàåòñÿ (ñì. ëåììó A.7), ÷òî óñëîâèÿ X11 > 0, Y11 > 0, (5.36) è(5.38) ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè ñóùåñòâîâà-íèÿ âçàèìíîîáðàòíûõ ìàòðèö X > 0, Y > 0 c äàííûìè áëîêàìè X11, Y11.Â äîêàçàòåëüñòâå ëåììû A.7 òàêæå ïîêàçàíî, êàê ïðè âûïîëíåíèè óêà-çàííûõ óñëîâèé ïî äàííûì áëîêàì X11, Y11 ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùóþìàòðèöó X. À èìåííî, ïðèìåíÿÿ ëåììó A.6 î ñèíãóëÿðíîì ðàçëîæåíèèè ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìàòðèöà X11 − Y −1

11 ñèììåòðè÷åñêàÿ è íåîòðèöàòåëüíîîïðåäåëåííàÿ, ïðåäñòàâèì

X11 − Y −111 = (U1U2)

Σ 0

0 0

UT1

UT2

,

ãäå U1 ∈ Rn×r, U2 ∈ Rn×(n−r), Σ = diag (λ1, · · · , λr) > 0. Ïðàâóþ ÷àñòüýòîãî ðàâåíñòâà çàïèøåì ýêâèâàëåíòíî â âèäå

S

Σ 0r×(k−r)

0(k−r)×r Ik−r

ST , S = (U1U2)

Ir 0r×(k−r)

0(n−r)×r 0(n−r)×(k−r)

è âûáåðåì

X12 = S , X22 = diag (λ−11 , · · · , λ−1

r , 1, · · · , 1) . (5.39)Çàòåì âûáðàííàÿ ìàòðèöà X ïîäñòàâëÿåòñÿ â (5.26), è ïàðàìåòðû èñ-êîìîãî ðåãóëÿòîðà íàõîäÿòñÿ êàê ðåøåíèÿ ýòîãî ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãîíåðàâåíñòâà îòíîñèòåëüíî Θ.

Òàêèì îáðàçîì, ñèíòåç ñòàáèëèçèðóþùèõ ðåãóëÿòîðîâ ïî âûõîäó çà-äàííîãî ïîðÿäêà ìîæåò áûòü òàêæå îñóùåñòâëåí â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿçàäà÷è B: íàéòè äâå (nx × nx)-ìàòðèöû X11 = XT

11 > 0, Y11 = Y T11 > 0,

óäîâëåòâîðÿþùèå ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì (5.34) è (5.38), àòàêæå óñëîâèþ (5.36), èëè óñòàíîâèòü, ÷òî òàêèõ ìàòðèö íå ñóùåñòâóåò.

Ðàññìîòðèì îòäåëüíî âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé ñòàáèëèçèðóþùåãî ðå-ãóëÿòîðà ïîëíîãî ïîðÿäêà, ò.å. êîãäà k = nx. Î÷åâèäíî, ÷òî òîãäà óñëîâèå(5.36) âñåãäà âûïîëíåíî. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåìàÿ


çàäà÷à ñâÿçàíà òîëüêî ñ ðåøåíèÿìè ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ, àïîòîìó ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. À èìåííî, èìå-åò ìåñòî ñëåäóþùåå.Óòâåðæäåíèå 5.5 Îáúåêò (5.18) ñòàáèëèçèðóåì ñ ïîìîùüþ ðåãóëÿ-òîðà ïî âûõîäó (5.19) ïîëíîãî ïîðÿäêà k = nx òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà ñóùåñòâóþò äâå (nx × nx)-ìàòðèöû X11 = XT

11 > 0, Y11 = Y T11 > 0,

óäîâëåòâîðÿþùèå ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì

W TC (AT X11 + X11A)WC < 0 ,

W TBT (Y11A

T + AY11)WBT < 0 , X11 I

I Y11

≥ 0 .

(5.40)

Çàìåòèì, ÷òî ðàâåíñòâî (5.37) ìîæåò áûòü òàêæå îáåñïå÷åíî ïðè âû-áîðå, íàïðèìåð, X12 = X22 = V > 0 è â ýòîì ñëó÷àå V = X11 − Y −1

11 .Òàêèì îáðàçîì, åñëè óñëîâèÿ (5.40) âûïîëíåíû, ìàòðèöû X11 è Y11 íàé-äåíû è X11−Y −1

11 > 0, òî ïàðàìåòðû Θ ðåãóëÿòîðà ïîëíîãî ïîðÿäêà ìîãóòáûòü íàéäåíû êàê ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà (5.26), âêîòîðîì

X =

X11 V

V V

, V = X11 − Y −111 .

Ïðèìåð 5.5 Ñòàáèëèçàöèÿ ïî âûõîäó äâóõçâåííîãî ïåðåâåðíó-òîãî ìàÿòíèêà ðåãóëÿòîðîì ïîëíîãî ïîðÿäêà: îáúåêò îïèñûâàåòñÿóðàâíåíèÿìè (ñì. òàêæå ïðèìåðû 5.2 è 5.4)

x1 = x3 ,x2 = x4 ,x3 = 2x1 − x2 + u ,x4 = −2x1 + 2x2 ,y = x1 .

Ñèíòåçèðóåì äèíàìè÷åñêèé ðåãóëÿòîð ïîëíîãî (÷åòâåðòîãî) ïîðÿäêàïî óãëó îòêëîíåíèÿ íèæíåãî ìàÿòíèêà.

Â äàííîì ñëó÷àå íåèçâåñòíûìè ýëåìåíòàìè ìàòðèöû Θ ÿâëÿþò-ñÿ äâàäöàòü ïÿòü ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà, ÿâëÿþùèõñÿ ýëåìåíòàìèìàòðèö A(i,j)

r , i, j = 1, · · · , 4; B(i)r , i = 1, · · · , 4; C(j)

r , j = 1, · · · , 4; Dr. Îíèìîãóò áûòü íàéäåíû êàê ðåøåíèå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà(5.26) îòíîñèòåëüíî Θ, â êîòîðîì ìàòðèöû A0, B0, C0 îïðåäåëåíû â


(5.32), à áëî÷íàÿ ìàòðèöà X âèäà (5.33) ïîðÿäêà 8 × 8 íàõîäèòñÿ ñëå-äóþùèì îáðàçîì. Ðåøàåòñÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ(5.34) è (5.38), ãäå

WBT =

1 0 0

0 1 0

0 0 0

0 0 1

, WC =

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

,

îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ìàòðèö X11 è Y11 ïîðÿäêîâ 4 × 4 è äàëååìàòðèöû X12 è X22 îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî ôîðìóëàì (5.39).

Äëÿ äàííîãî ïðèìåðà áûëè ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû

X11 =

1871.7 165.9 −329.8 −51.7

? 544.1 44.2 −340.5

? ? 1434.8 522.1

? ? ? 445.7

,

X12 =

−0.8125 0.5733 0.0660 −0.0819

−0.1152 0.0103 −0.8299 0.5458

0.5323 0.7412 −0.2679 −0.3090

0.2076 0.3491 0.4849 0.7745

,

X22 =

0.0005 0 0 0

0 0.0007 0 0

0 0 0.0013 0

0 0 0 0.0917

,

Θ = 104

−6.0558 6.3583 1.1637 −58.602 16132.0

−5.6231 5.9042 1.0805 −54.416 14979.0

1.0674 −1.1207 −0.2052 10.329 −2843.0

0.0180 −0.0189 −0.0035 0.175 −48.0

0.0054 −0.0056 −0.0010 0.052 −14.0

.


Â äàííîì ñëó÷àå ìàòðèöà çàìêíóòîé ñèñòåìû èìååò ñëåäóþùèå ñîá-ñòâåííûå çíà÷åíèÿ

λ1 = −1813.1 , λ2 = −5.4 , λ3,4 = −0.4± 0.9i ,

λ5,6 = −0.3± 0.6i , λ7 = −1.1, λ8 = −1.2 ,

ëåæàùèå ñëåâà îò ìíèìîé îñè.Ïîëó÷åííûé ðåãóëÿòîð ñîäåðæèò áîëüøèå ïî âåëè÷èíå êîýôôèöèåí-

òû, ÷òî çàòðóäíÿåò åãî ïðàêòè÷åñêóþ ðåàëèçàöèþ. Ñóùåñòâóåò âîç-ìîæíîñòü ïîñòðîèòü ðåãóëÿòîð, ìàòðèöà Θ êîòîðîãî èìååò ìèíè-ìàëüíóþ íîðìó. Â ýòîì ñëó÷àå ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü êîìàíäó

Θ = basiclmi(Ψ, Q, P,′ Xmin′) .

Â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèìåðå ýòî ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó

Θ =

2.2561 −4.4298 −6.7194 1091.4 691.67

3.2879 −3.3957 −7.2738 982.0 −686.88

−0.4228 0.3313 −0.1676 −185.2 360.80

−0.1479 0.1586 0.0361 −4.5 381.11

−0.0023 0.0029 0.0066 −0.9 −2.16

,

è òîãäà ìàòðèöà çàìêíóòîé ñèñòåìû áóäåò èìåòü ñëåäóþùèå ñîá-ñòâåííûå çíà÷åíèÿ

λ1 = −1.5847 , λ2 = −1.1216 , λ3,4 = −0.7534± 2.3388i ,

λ5,6 = −0.5314± 1.9128 , λ7 = −0.2723, λ8 = −0.2206 .

Ðàññìîòðèì åù¼ îäèí âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé ñòàáèëèçàöèÿ ñ ïî-ìîùüþ ñòàòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà ïî âûõîäó. Â ýòîì ñëó÷àå â óðàâíåíè-ÿõ ðåãóëÿòîðà (5.19) èìååì Ar = 0, Br = 0, Cr = 0, Θ = Dr, óñëîâèå(5.38) àâòîìàòè÷åñêè âûïîëíÿåòñÿ, è ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è A ñîâïàäà-åò ñ ôîðìóëèðîâêîé çàäà÷è B.Óòâåðæäåíèå 5.6 Îáúåêò (5.18) ñòàáèëèçèðóåì ñ ïîìîùüþ ñòàòè÷å-ñêîãî ðåãóëÿòîðà ïî âûõîäó òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóþòäâå âçàèìíîîáðàòíûå (nx × nx)-ìàòðèöû X = XT > 0, Y = Y T > 0,óäîâëåòâîðÿþùèå ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì

W TC (AT X + XA)WC < 0 , X > 0 ,

W TBT (Y AT + AY )WBT < 0 , Y > 0 .

(5.41)

5.4. Ñòàáèëèçàöèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì íàáëþäàòåëåé 67

5.4 Ñòàáèëèçàöèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì íàáëþ-

äàòåëåé

Ðàññìîòðèì åù¼ îäèí ïîäõîä ê ñèíòåçó ñòàáèëèçèðóþùèõ ðåãóëÿòîðîâïî èçìåðÿåìîìó âûõîäó, îñíîâàííûé íà ïîñòðîåíèè íàáëþäàòåëåé ñîñòî-ÿíèÿ îáúåêòà. Íà÷í¼ì ñ íàáëþäàòåëÿ ïîëíîãî ïîðÿäêà. Äëÿ óïðàâëÿå-ìîãî îáúåêòà

x = Ax + Bu ,y = Cx ,

(5.42)â êîòîðîì x ∈ Rnx ñîñòîÿíèå, u ∈ Rnu óïðàâëåíèå, y ∈ Rny èçìåðÿå-ìûé âûõîä, âûáåðåì ðåãóëÿòîð â ôîðìå íàáëþäàòåëÿ ñîñòîÿíèÿ ïîëíîãîïîðÿäêà

xr = Axr + Bu + L(Cxr − y) ,u = Kxr ,

(5.43)ãäå xr ∈ Rnx ñîñòîÿíèå ðåãóëÿòîðà. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ìàòðèöû Kè L òàê, ÷òîáû çàìêíóòàÿ ñèñòåìà (5.42), (5.43) áûëà àñèìïòîòè÷åñêèóñòîé÷èâîé.

Ââåäåì âåêòîð íåâÿçêè e = x− xr è â êà÷åñòâå ñîñòîÿíèÿ çàìêíóòîéñèñòåìû âûáåðåì âåêòîð col (x, e), êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ x

e

=

A + BK −BK

0 A + LC

x

e

.

Äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ýòîé ñèñòåìû íåîáõîäèìî è äîñòà-òî÷íî, ÷òîáû ìàòðèöû A + BK è A + LC áûëè ãóðâèöåâû èëè, äðóãèìèñëîâàìè, ÷òîáû ïàðû ìàòðèö (A, B) è (AT , CT ) áûëè ñòàáèëèçèðóåìû.Ïðèìåíÿÿ òåïåðü óòâåðæäåíèå 5.1, â êîòîðîì íà ÿçûêå ëèíåéíûõ ìàò-ðè÷íûõ íåðàâåíñòâ ïðèâåä¼í êðèòåðèé ñòàáèëèçèðóåìîñòè è äàíà ïàðà-ìåòðèçàöèÿ âñåõ îáðàòíûõ ñâÿçåé, ñòàáèëèçèðóþùèõ äàííóþ ïàðó, ïðè-õîäèì ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó.Óòâåðæäåíèå 5.7 Îáúåêò (5.42) ñòàáèëèçèðóåì ñ ïîìîùüþ ðåãóëÿ-òîðà ïî âûõîäó âèäà (5.43) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëèíåéíûå ìàò-ðè÷íûå íåðàâåíñòâà

Y1AT + AY1 + ZT

1 BT + BZ1 < 0 ,

Y2A + AT Y2 + ZT2 C + CT Z2 < 0

(5.44)

ðàçðåøèìû îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ Y1 = Y T1 > 0, Z1 è Y2 = Y T

2 > 0,Z2. Â ñëó÷àå ðàçðåøèìîñòè ýòèõ íåðàâåíñòâ ïàðàìåòðû ðåãóëÿòîðàíàõîäÿòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì

K = Z1Y−11 , L = Y −1

2 ZT2 .


Òåïåðü ñèíòåçèðóåì ðåãóëÿòîð íà îñíîâå íàáëþäàòåëÿ Ëþåíáåðãåðà[70]. Ïóñòü â îáúåêòå óïðàâëåíèÿ (5.42) ðàíã ìàòðèöû C ðàâåí ny < nx.Îáîçíà÷èì nz = nx − ny. Íàïîìíèì íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèèíàáëþäàòåëåé Ëþåíáåðãåðà (ñì. òàêæå [2]).

Ðàññìîòðèì íàáëþäàòåëüz = Fz + TBu + Qy , (5.45)

ãäå z ∈ Rnz ñîñòîÿíèå íàáëþäàòåëÿ, y è u èçìåðÿåìûé âûõîä è óïðàâ-ëåíèå â îáúåêòå (5.42), à ìàòðèöû F , T è Q óäîâëåòâîðÿþò ìàòðè÷íîìóóðàâíåíèþ

TA− FT = QC . (5.46)Ââåä¼ì âåêòîð e = z − Tx è çàìåòèì, ÷òî â ñèëó óðàâíåíèé îáúåêòà èíàáëþäàòåëÿ äëÿ íåãî âûïîëíÿåòñÿ

e = Fe .

Òàêèì îáðàçîì, åñëè ìàòðèöà F ãóðâèöåâà, òî âåêòîð z àñèìïòîòè÷å-ñêè îòñëåæèâàåò âåêòîð Tx è â ñîâîêóïíîñòè ñ âåêòîðîì y äà¼ò îöåíêóâåêòîðà ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà.

Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ïðèìåì, ÷òîC =

(Iny 0ny×nz

).

Ýòî âñåãäà ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî ïóò¼ì ñîîòâåòñòâóþùåé çàìåíû ïå-ðåìåííûõ. Ðàçîáü¼ì ìàòðèöû A è B íà áëîêè

A =

A11 A12

A21 A22

, B =

B1

B2

,

ãäå A11 (ny×ny)-ìàòðèöà, à B1 (ny×nu)-ìàòðèöà (ïîðÿäêè îñòàëüíûõáëîêîâ îïðåäåëÿþòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì). Âûáåðåì ìàòðèöû F , T èQ, óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ (5.46), ñëåäóþùèì îáðàçîìF = A22 + LA12, T = (L Inz), Q = A21 + LA11 − (A22 + LA12)L , (5.47)ãäå ìàòðèöó L ñëåäóåò îïðåäåëèòü èç óñëîâèÿ, ÷òî ìàòðèöà F ãóðâèöåâà.Çàìåòèì, ÷òî ýòî âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïàðà (AT

22, AT12)

ñòàáèëèçèðóåìà.Â ñîîòâåòñòâèè ñî ñäåëàííûì âûáîðîì âîçüì¼ì ðåãóëÿòîð â âèäå

xr = (A22 + LA12)xr + (B2 + LB1)u + [A21 + LA11 − (A22 + LA12)L]y ,

u = K1xr + K2y ,(5.48)

5.4. Ñòàáèëèçàöèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì íàáëþäàòåëåé 69

ãäå ìàòðèöû K1 è K2 ïîäëåæàò îïðåäåëåíèþ èç óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷å-ñêîé óñòîé÷èâîñòè çàìêíóòîé ñèñòåìû (5.42), (5.48). Ïîäñòàâëÿÿ óïðàâ-ëåíèå â èñõîäíóþ ñèñòåìó è ó÷èòûâàÿ, ÷òî xr = Tx + e, ïîëó÷èì

x = (A + BK)x−BK1e ,

e = Fe ,

ãäåK = (K2 + K1L K1) .

Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà K íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ, ÷òî ìàòðèöà A + BKäîëæíà áûòü ãóðâèöåâîé, à çàòåì ñ ó÷¼òîì óæå íàéäåííîé ìàòðèöû Lîïðåäåëÿþòñÿ ìàòðèöû ðåãóëÿòîðà K1 è K2.

Ïðèìåíÿÿ òåïåðü ñíîâà óòâåðæäåíèå 5.1, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìóðåçóëüòàòó.

Óòâåðæäåíèå 5.8 Îáúåêò (5.42) ñòàáèëèçèðóåì ñ ïîìîùüþ ðåãóëÿ-òîðà ïî âûõîäó ïîíèæåííîãî ïîðÿäêà âèäà (5.48) òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà

Y1AT + AY1 + ZT

1 BT + BZ1 < 0 ,

Y2A22 + AT22Y2 + ZT

2 A12 + AT12Z2 < 0

(5.49)

ðàçðåøèìû îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ Y1 = Y T1 > 0, Z1 è Y2 = Y T

2 > 0,Z2. Â ñëó÷àå ðàçðåøèìîñòè ýòèõ íåðàâåíñòâ ïàðàìåòðû ðåãóëÿòîðàíàõîäÿòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì

K = (K2 + K1L K1) = Z1Y−11 , L = Y −1

2 ZT2 .

Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíåíèå íàáëþäàòåëÿ Ëþåíáåðãåðà ïîçâîëÿåò îñó-ùåñòâëÿòü ñèíòåç ðåãóëÿòîðîâ ïî âûõîäó ïîíèæåííîãî ïîðÿäêà íà îñíîâåðåøåíèÿ òîëüêî ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ.

Ïðèìåð 5.6 Ñòàáèëèçàöèÿ ïî âûõîäó äâóõçâåííîãî ïåðåâåðíó-òîãî ìàÿòíèêà ñ ïîìîùüþ íàáëþäàòåëÿ Ëþåíáåðãåðà: îáúåêòîïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè (ñì. òàêæå ïðèìåð 5.5)

x1 = x3 ,x2 = x4 ,x3 = 2x1 − x2 + u ,x4 = −2x1 + 2x2 ,y = x1 .


Ñèíòåçèðóåì äèíàìè÷åñêèé ðåãóëÿòîð ïî âûõîäó òðåòüåãî ïîðÿäêà íàîñíîâå íàáëþäàòåëÿ Ëþåíáåðãåðà.

Â äàííîì ñëó÷àåC = (1 0 0 0) .

Ïðåäñòàâèì

A =

0 | 0 1 0

− − − − −

0 | 0 0 1

2 | −1 0 0

−2 | 2 0 0

, B =

0

−

0

1

0

.

Ðåøåíèå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ (5.49) äàåò ñëåäóþùèå ðå-çóëüòàòû

Y1 =

102.195 71.981 −27.278 −3.674

? 73.319 2.119 −24.064

? ? 203.296 25.975

? ? ? 41.835

,

Z1 =(−335.704 −96.619 −5.270 −75.512

),

Y2 =

46.007 −6.289 −27.506

? 339.231 81.770

? ? 44.784

,

Z2 =(−175.690 −61.945 6.288

),

îòêóäà íàõîäèì

K =(−18.180 20.162 −4.044 10.707

),

LT =(

10.372 −2.786 11.598).


xr =

0 10.372 1

−1 −2.786 0

2 11.598 0

xr +

0

1

0

u +

17.298

4.610

9.567

y ,

u = (20.162 − 4.044 10.707)xr − 362.730y ,

5.5. Ñòàáèëèçàöèÿ äèñêðåòíûõ îáúåêòîâ 71

è ìàòðèöà çàìêíóòîé ñèñòåìû èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

λ1 = −0.903 , λ2,3 = −0.941± 2.405i ,

λ4,5 = −1.457± 2.862i , λ6,7 = −0.564± 0.510i ,


5.5 Ñòàáèëèçàöèÿ äèñêðåòíûõ îáúåêòîâ

Ðàññìîòðèì äèñêðåòíûé óïðàâëÿåìûé îáúåêòxt+1 = Axt + But ,yt = Cxt ,

(5.50)

â êîòîðîì xt ∈ Rnx ñîñòîÿíèå, ut ∈ Rnu óïðàâëåíèå, yt ∈ Rny èçìå-ðÿåìûé âûõîä. Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ëèíåéíûé äèíàìè÷åñêèé ðåãóëÿòîðk-ãî ïîðÿäêà âèäà

x(r)t+1 = Arx

(r)t + Bryt ,

ut = Crx(r)t + Dryt ,

(5.51)

ãäå x(r)t ∈ Rk ñîñòîÿíèå ðåãóëÿòîðà, îáåñïå÷èâàþùèé àñèìïòîòè÷åñêóþ

óñòîé÷èâîñòü çàìêíóòîé ñèñòåìû (5.50), (5.51).Ïðåäñòàâèì óðàâíåíèå çàìêíóòîé ñèñòåìû (5.50), (5.51) â âèäå

xt+1 = Acxt , Ac =

A + BDrC BCr

BrC Ar

,

ãäå xt = col (xt, x(r)t ). Ïåðåôîðìóëèðóåì öåëü óïðàâëåíèÿ â âèäå ñóùå-

ñòâîâàíèÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè Ëÿïóíîâà Vt(xt) = xTt Xxt ñ XT = X >

0 òàêîé, ÷òî ïî ëþáîé òðàåêòîðèè çàìêíóòîé ñèñòåìû èìååò ìåñòîVt+1 − Vt = xT

t+1Xxt+1 − xTt Xxt = xT

t (ATc XAc −X)xt < 0 .

Ýòî óñëîâèå ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâóAT

c XAc −X < 0 ,

êîòîðîå ñ ó÷åòîì ëåììû A.2 ïðåäñòàâèìî â âèäå −X−1 Ac

ATc −X

< 0 . (5.52)


Ââîäÿ ìàòðèöó ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà

Θ =

Ar Br

Cr Dr

è ïðåäñòàâëÿÿ ìàòðèöó çàìêíóòîé ñèñòåìû â âèäå

Ac = A0 + B0ΘC0 ,

A0 =

A 0

0 0

, B0 =

0 B

I 0

, C0 =

0 I

C 0

,

ïåðåïèøåì íåðàâåíñòâî (5.52) â âèäå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâàîòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ Θ

Ψ + P T ΘT Q + QT ΘP < 0 , (5.53)â êîòîðîì

Ψ =

−X−1 A0

AT0 −X

, P = (0 C0) , Q =(BT

0 0)

. (5.54)

Òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå

WP =

0 I

WC0 0

, WQ =

WBT0

0

0 I

,

òî, ïðèìåíÿÿ óòâåðæäåíèå 3.2, ïðèõîäèì ê ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäóþùåãî.Óòâåðæäåíèå 5.9 Äèñêðåòíûé îáúåêò (5.50) ñòàáèëèçèðóåì ñ ïîìî-ùüþ ðåãóëÿòîðà ïî âûõîäó (5.51) çàäàííîãî ïîðÿäêà òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò (nx + k) × (nx + k)-ìàòðèöà X = XT > 0,óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 0 I

WC0 0

T −X−1 A0

AT0 −X

0 I

WC0 0

< 0 ,

WBT0

0

0 I

T −X−1 A0

AT0 −X

WBT0

0

0 I

< 0 .

(5.55)

Åñëè óñëîâèÿ (5.55) âûïîëíåíû è òàêàÿ ìàòðèöà X íàéäåíà, òî ïàðà-ìåòðû èñêîìîãî ðåãóëÿòîðà (5.51) íàõîäÿòñÿ êàê ðåøåíèÿ ëèíåéíîãîìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà (5.53).

5.5. Ñòàáèëèçàöèÿ äèñêðåòíûõ îáúåêòîâ 73

Ââåäåì ìàòðèöó Y = X−1 è ïåðåïèøåì óñëîâèÿ (5.55) â âèäå ëèíåé-íûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ îòíîñèòåëüíî ìàòðèö X è Y : 0 I

WC0 0

T −Y A0

AT0 −X

0 I

WC0 0

< 0 ,

WBT0

0

0 I

T −Y A0

AT0 −X

WBT0

0

0 I

< 0 .

(5.56)

Òîãäà ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ïîèñêó âçàèìíîîáðàòíûõ ìàò-ðèö X è Y (XY = I), óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì (5.56), ò.å. ê çà-äà÷å A, ñôîðìóëèðîâàííîé âûøå.

Òàê êàê

B0 =

0nx×k B

Ik 0k×nu

, C0 =

0k×nx Ik

C 0ny×k

è ìàòðèöû ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà WBT

0è WC0 äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü

óðàâíåíèÿì BT0 WBT

0= 0 è C0WC0 = 0 ñîîòâåòñòâåííî, òî íåïîñðåäñòâåííî

ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ìîæíî âçÿòü

WBT0

=

WBT

0

, WC0 =

WC

0

.

Òîãäà ñ ó÷åòîì áëî÷íîé ñòðóêòóðû ìàòðèö A0, B0, C0 è ñîîòâåòñòâóþ-ùåãî áëî÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ìàòðèö X è Y â âèäå

X =

X11 X12

XT12 X22

, Y =

Y11 Y12

Y T12 Y22

íåðàâåíñòâà (5.56) ïðèâîäÿòñÿ ê âèäó

W TC (AT X11A−X11)WC < 0

W TBT (AY11A

T − Y11)WBT < 0 .(5.57)

Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñèíòåçà ðåãóëÿòîðîâ ïî âûõîäó äëÿ äèñêðåòíûõîáúåêòîâ ìîæåò áûòü òàêæå ñâåäåíà ê ñôîðìóëèðîâàííîé âûøå çàäà÷åB: íàéòè äâå (nx×nx)-ìàòðèöû X11 = XT

11 > 0, Y11 = Y T11 > 0, óäîâëåòâî-

ðÿþùèå ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì (5.57) è X11 I

I Y11

≥ 0 ,


è óñëîâèþrank (I −X11Y11) ≤ k ,

èëè óñòàíîâèòü, ÷òî òàêèõ ìàòðèö íå ñóùåñòâóåò.Äëÿ ñòàòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà ïî âûõîäó â óðàâíåíèÿõ ðåãóëÿòîðà

(5.51) èìååì Ar = 0, Br = 0, Cr = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, Θ = Dr. Â ýòîìñëó÷àå íåðàâåíñòâî (5.52) ïðèìåò âèä (5.53), ãäå

Ψ =

−X−1 A

AT −X

, P = (0 C) , Q =(BT 0

).

Òîãäà óñëîâèÿ ñòàáèëèçèðóåìîñòè (5.55) ïðèìóò âèäW T

C (AT XA−X)WC < 0 ,

W TBT (AX−1AT −X−1)WBT < 0 ,

ãäå X ìàòðèöà ïîðÿäêà (nx×nx), è ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è A ñîâïàäàåòñ ôîðìóëèðîâêîé çàäà÷è B.

Â ÷àñòíîñòè, êîãäà ñîñòîÿíèå îáúåêòà ïîëíîñòüþ èçìåðÿåòñÿ, ò.å. C =I è rank (0 C) = nx, íåðàâåíñòâî (5.52) ïðèìåò âèä (5.53), â êîòîðîì

Ψ =

−X−1 A

AT −X

, P = (0 I) , Q =(BT 0

).

Óñëîâèÿ ñòàáèëèçèðóåìîñòè (5.55) â ýòîì ñëó÷àå ñâîäÿòñÿ ê âûïîëíèìî-ñòè äâóõ íåðàâåíñòâ I

0

T −X−1 A

AT −X

I

0

< 0 ,

WBT 0

0 I

T −X−1 A

AT −X

WBT 0

0 I

< 0 ,

(5.58)

ïåðâîå èç êîòîðûõ äàåò X−1 > 0, à âòîðîå ïî ëåììå Øóðà ýêâèâàëåíòíîíåðàâåíñòâó

W TBT (AX−1AT −X−1)WBT < 0 .

Òàêèì îáðàçîì, ñ ó÷åòîì óòâåðæäåíèÿ 3.2 ïîëó÷èì, ÷òî îáúåêò (5.50)ñòàáèëèçèðóåì ïî ñîñòîÿíèþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íåðàâåíñòâî

W TBT (AY AT − Y )WBT < 0

ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöû Y = Y T .

Ãëàâà 6

Ìîäàëüíîå óïðàâëåíèå

Çàäà÷à ìîäàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñâÿçàíà ñ ïîñòðîåíèåì ðåãóëÿòîðà, ïðèêîòîðîì ïîëþñà çàìêíóòîé ñèñòåìû ðàñïîëàãàþòñÿ â çàäàííûõ òî÷êàõèëè çàäàííûõ îáëàñòÿõ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Çíà÷åíèÿ òàêèõ õàðàê-òåðèñòèê çàìêíóòîé ñèñòåìû êàê âðåìÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, äåìïôè-ðîâàíèå, ñêîðîñòü ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ðåãóëÿòîðå è äðóãèõ îïðåäå-ëÿþòñÿ ðàñïîëîæåíèåì ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû çàìêíóòîé ñè-ñòåìû â îïðåäåëåííûõ îáëàñòÿõ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Çäåñü ìû áó-äåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷è ìîäàëüíîãî óïðàâëåíèÿ îòíîñèòåëüíî òàêèõîáëàñòåé, êîòîðûå ìîãóò áûòü õàðàêòåðèçîâàíû ñèñòåìîé ëèíåéíûõ ìàò-ðè÷íûõ íåðàâåíñòâ - òàêèå îáëàñòè â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü LMI-îáëàñòÿìè (ñì. [52, 53]). Ìû óâèäèì, ÷òî ê ýòèì îáëàñòÿì îòíîñÿòñÿâåðòèêàëüíûå è ãîðèçîíòàëüíûå ïîëîñû, êðóãè, êîíè÷åñêèå ñåêòîðû, àòàêæå ïåðåñå÷åíèÿ òàêèõ îáëàñòåé.

6.1 LMI-îáëàñòè

Ïóñòü D - íåêîòîðàÿ îáëàñòü ëåâîé êîìïëåêñíîé ïîëóïëîñêîñòè. Äèíà-ìè÷åñêóþ ñèñòåìó x = Ax áóäåì íàçûâàòü D-óñòîé÷èâîé, åñëè âñå ååïîëþñà, ò.å. âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A, ëåæàò â îáëàñòè D. Âýòîì ñëó÷àå ìàòðèöó A òàêæå áóäåì íàçûâàòü D-óñòîé÷èâîé. Â ÷àñòíîìñëó÷àå, êîãäà D ñîâïàäàåò ñî âñåé ëåâîé êîìïëåêñíîé ïîëóïëîñêîñòüþ,D-óñòîé÷èâîñòü ñâîäèòñÿ ê àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè, êîòîðàÿ õà-ðàêòåðèçóåòñÿ íåðàâåíñòâîì Ëÿïóíîâà, ÿâëÿþùèìñÿ ëèíåéíûì ìàòðè÷-íûì íåðàâåíñòâîì. À èìåííî, ìàòðèöà A àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà òî-ãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ñèììåòðè÷åñêàÿ ìàòðèöà X, óäî-âëåòâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâàì

AX + XAT < 0 , X > 0 . (6.1)

75

76 Ãëàâà 6. Ìîäàëüíîå óïðàâëåíèå

Îïðåäåëèì êëàññ îáëàñòåé, êîòîðûå õàðàêòåðèçóþòñÿ â òåðìèíàõ ëè-íåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ. Äëÿ ýòîãî ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ìàò-ðè÷íûå ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, ïðèíèìàþùèå çíà÷åíèÿ âïðîñòðàíñòâå ýðìèòîâûõ (m×m)-ìàòðèö

f(z) = α + zβ + zβT , (6.2)ãäå α = αT ∈ Rm×m è β ∈ Rm×m.

Îïðåäåëåíèå. ÎáëàñòüD = z ∈ C : f(z) < 0 (6.3)

áóäåì íàçûâàòü LMI-îáëàñòüþ, ïîðîæäàåìîé ôóíêöèåé f(z).Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî LMI-îáëàñòü ýòî ïîäìíîæå-

ñòâî êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, êîòîðîå ïðåäñòàâèìî ëèíåéíûì ìàòðè÷íûìíåðàâåíñòâîì îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ x = Re (z) è y = Im (z). Ñëåäî-âàòåëüíî, LMI-îáëàñòè âûïóêëûå. Êðîìå òîãî, òàê êàê äëÿ ëþáîãîz ∈ D èìååò ìåñòî

f(z) = f(z) < 0 ,

òî LMI-îáëàñòè ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî äåéñòâèòåëüíîé îñè.Ñàìîå ñóùåñòâåííîå ñâîéñòâî LMI-îáëàñòåé ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíè

ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþòñÿ â òåðìèíàõ ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâîòíîñèòåëüíî ñèììåòðè÷åñêîé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöû. Äëÿòîãî, ÷òîáû íàïèñàòü ýòè íåðàâåíñòâà, ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ôóíêöèèf(z) ñëåäóþùóþ (m×m)-áëî÷íóþ ìàòðèöó

M(A, X) = α⊗X + β ⊗ (AX) + βT ⊗ (AX)T , (6.4)áëîêè êîòîðîé, èñïîëüçóÿ îïåðàöèþ êðîíåêåðîâà ïðîèçâåäåíèÿ ⊗ (ñì.Ïðèëîæåíèå F), ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

Mij(A, X) = αijX + βijAX + βjiXAT , i, j = 1, · · · , m .

Îòìåòèì, ÷òî M(A, X) â (6.4) è f(z) â (6.2) ñâÿçàíû ïîäñòàíîâêîé(X, AX, XAT ) ↔ (1, z, z) .

Óòâåðæäåíèå 6.1 Ïóñòü D - LMI-îáëàñòü. Òîãäà ìàòðèöà A ÿâëÿ-åòñÿ D-óñòîé÷èâîé, åñëè è òîëüêî åñëè ñóùåñòâóåò ìàòðèöà X = XT ,óäîâëåòâîðÿþùàÿ ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì

M(A, X) < 0 , X > 0 . (6.5)

6.1. LMI-îáëàñòè 77

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü λ è v ñîáñòâåííîå çíà÷åíèåè ñîîòâåòñòâóþùèé åìó ëåâûé ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû A, òî åñòüv∗A = λv∗. Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ â òîì, ÷òî

(I ⊗ v)∗M(A, X)(I ⊗ v) = (v∗Xv)f(λ) .

Òàê êàê ïî óñëîâèþ ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà îòðèöàòåëüíî îïðåäå-ëåííàÿ ìàòðèöà è X > 0, òî îòñþäà ñëåäóåò f(λ) < 0, ò.å. λ ∈ D.

Íåîáõîäèìîñòü. Ïðèâåäåì, ðàäè ïðîñòîòû, äîêàçàòåëüñòâî òîëüêî äëÿäèàãîíàëüíîé ìàòðèöû A = diag (λ1, · · · , λn), ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êî-òîðîé ëåæàò â îáëàñòè D. Ðàñïðîñòðàíèì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíê-öèè M(A, X) íà ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ìàòðèö A è ýðìèòîâûõ ìàòðèõX = X∗:

M(A, X) = α⊗X + β ⊗ (AX) + βT ⊗ (AX)∗ .

Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òîM(A, I) = UTdiag (f(λ1), · · · , f(λn))U ,

ãäå U ìàòðèöà ïåðåñòàíîâîê. Òàê êàê ïî óñëîâèþ f(λi) < 0, i = 1, · · · , n,òî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî M(A, X) < 0 ïðè X = I. Äîêàçàòåëüñòâî äëÿïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A ïðèâåäåíî â [52].

Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ. Â êà÷åñòâå ïåðâîãî ïðèìåðà LMI-îáëàñòè âîçüìåì ìíîæåñòâî D1 = z : Re z < −µ (ñì. ðèñ. 6.1), êîòîðîåñîîòâåòñòâóåò àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì ñèñòåìàì ñî ñòåïåíüþ óñòîé-÷èâîñòè íå ìåíüøåé µ. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòó îáëàñòü ïîðîæäàåò ôóíêöèÿf1(z) = z+z+2µ, è ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 6.1 ìàòðèöà A ÿâëÿåòñÿ àñèìï-òîòè÷åñêè óñòîé÷èâîé ñî ñòåïåíüþ óñòîé÷èâîñòè íå ìåíüøåé µ, òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò X = XT , óäîâëåòâîðÿþùàÿ ëèíåéíûììàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì

AX + XAT + 2µX < 0 , X > 0 . (6.6)Äðóãîé ïðèìåð LMI-îáëàñòè D2 = z : |z + q| < r âíóòðåííîñòü

êðóãà ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå (−q, 0) (ñì. ðèñ. 6.2). Äëÿ ýòîé îáëàñòè

f2(z) =

−r q + z

q + z −r

< 0 ,

è ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà (6.5), õàðàêòåðèçóþùèå ýòó îáëàñòü,ïðèíèìàþò âèä −rX qX + AX

qX + XAT −rX

< 0 , X > 0 . (6.7)


Âåðòèêàëüíîé ïîëîñå D3 = z : −µ2 < Re z < −µ1 (ñì. ðèñ. 6.3)îòâå÷àåò ôóíêöèÿ

f3(z) =

(z + z) + 2µ1 0

0 −(z + z)− 2µ2

è, ñîîòâåòñòâåííî, ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà AX + XAT + 2µ1X 0

0 −AX −XAT − 2µ2X

< 0 , X > 0 ,

à ãîðèçîíòàëüíîé ïîëóïîëîñå D4 = z : Re z < 0 ,−ν < Im z < ν (ñì.ðèñ. 6.4) ôóíêöèÿ

f4(z) =

−2ν z − z

−(z − z) −2ν

è ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà −2νX AX −XAT

−AX + XAT −2νX

< 0 , X > 0 .

Íàêîíåö, êîíè÷åñêîìó ñåêòîðó D5 = z : Re z tgϕ < −|Im z| (ñì. ðèñ.6.5) ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèÿ

f5 =

(z + z) sin ϕ (z − z) cos ϕ

−(z − z) cos ϕ (z + z) sin ϕ

è ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà (AX + XAT ) sin ϕ (AX −XAT ) cos ϕ

(XAT − AX) cos ϕ (AX + XAT ) sin ϕ

< 0 , X > 0 . (6.8)

Îòìåòèì âàæíîå ñâîéñòâî LMI-îáëàñòåé îíè çàìêíóòû îòíîñèòåëü-íî îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ, ò.å. ïåðåñå÷åíèå LMI-îáëàñòåé LMI-îáëàñòü.Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåñå÷åíèå D1

⋂D2 äâóõ äàííûõ LMI-îáëàñòåé D1 è D2

ñ ôóíêöèÿìè f1 è f2 ïîðîæäàåòñÿ ôóíêöèåéf = diag (f1, f2)

è, ñëåäîâàòåëüíî,M(A, X) = diag (M1(A, X), M2(A, X)) .

6.2. Ñèíòåç ìîäàëüíîãî óïðàâëåíèÿ 79

Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå òîãî, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A îäíî-âðåìåííî ïðèíàäëåæàò äâóì çàäàííûì LMI-îáëàñòÿì D1 è D2, âûðàæà-åòñÿ â òåðìèíàõ îäíîé ìàòðèöû X, óäîâëåòâîðÿþùåé ñèñòåìå ëèíåéíûõìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ. À èìåííî, ìàòðèöà A ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííîD1-óñòîé÷èâîé è D2-óñòîé÷èâîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåòX = XT > 0, äëÿ êîòîðîé M1(A, X) < 0 è M2(A, X) < 0.

Äëÿ èëëþñòðàöèè ýòîãî ñâîéñòâà íà ðèñ. 6.6 èçîáðàæåíà LMI-îáëàñòüD6, êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ ëèíåéíûìè ìàòðè÷íûìè íåðàâåíñòâàìè (6.6),(6.7) ïðè q = 0 è (6.8).

6.2 Ñèíòåç ìîäàëüíîãî óïðàâëåíèÿ

Ïîêàæåì òåïåðü, êàê ñèíòåç ìîäàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïî ñîñòîÿíèþ äëÿçàäàííîé LMI-îáëàñòè ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðà-âåíñòâ. Ïóñòü îáúåêò îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì

x = Ax + Bu , (6.9)ãäå x ∈ Rnx ñîñòîÿíèå îáúåêòà, u ∈ Rnu óïðàâëåíèå. Çàäà÷à ñîñòîèòâ âûáîðå çàêîíà óïðàâëåíèÿ èç êëàññà ëèíåéíûõ îáðàòíûõ ñâÿçåé ïîñîñòîÿíèþ âèäà

u = Θx , (6.10)ãäå Θ ìàòðèöà ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà, ïðèêîòîðîì ìàòðèöà çàìêíóòîé ñèñòåìû (6.9), (6.10) áóäåò D-óñòîé÷èâîé,ò.å. âñå åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ëåæàò â çàäàííîé LMI-îáëàñòè.

Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 6.1 çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ìàòðèöX = XT > 0 è Θ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó M(A + BΘ, X) < 0.Îáîçíà÷àÿ Z = ΘX, ïðåäñòàâèì ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî êàê ëèíåéíîåìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî

M(A, X) + β ⊗BZ + βT ⊗ ZT BT < 0 (6.11)îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ìàòðèö X è Z. Ïîñëå òîãî, êàê ýòè ìàòðèöûáóäóò íàéäåíû, èñêîìàÿ ìàòðèöà ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà íàõîäèòñÿ êàêΘ = ZX−1.Ïðèìåð 6.1 Ìîäàëüíàÿ ñòàáèëèçàöèÿ äâóõçâåííîãî ïåðåâåðíó-òîãî ìàÿòíèêà: îáúåêò îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè

x1 = x3 ,x2 = x4 ,x3 = 2x1 − x2 + u ,x4 = −2x1 + 2x2 .


Ñèíòåçèðóåì ðåãóëÿòîð ïî ñîñòîÿíèþ, ïðè êîòîðîì âñå ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿ ìàòðèöû çàìêíóòîé ñèñòåìû ëåæàò âíóòðè êðóãà ñ öåí-òðîì â òî÷êå z = −1 è ðàäèóñîì, ðàâíûì 0.1.

Äàííàÿ îáëàñòü ÿâëÿåòñÿ LMI-îáëàñòüþ âèäà D2, è ñîîòâåòñòâó-þùåå ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî (6.11) ïðèìåò âèä −0.1X X + AX + BZ

X + XAT + ZT BT −0.1X

< 0 , X > 0 ,

ãäå

A =

0 0 1 00 0 0 12 −1 0 0−2 2 0 0

, B =

0010

.

Â ðåçóëüòàòå áûëè ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ïàðàìåòðû ðåãóëÿòîðà

Θ = (−10.0067, 9.5078, −4.0023, 6.0056) ,

ïðè êîòîðûõ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû çàìêíóòîé ñèñòåìû ðàâ-íû

λ1,2 = −0.9890± 0.0111i , λ3 = −1.0104 , λ4 = −1.0140 .

Ãëàâà 7

Îïòèìàëüíîå

ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîå

óïðàâëåíèå

Â 20-ì âåêå îïòèìàëüíîìó óïðàâëåíèþ ëèíåéíûì äèíàìè÷åñêèì îáú-åêòîì ïî êâàäðàòè÷íîìó êðèòåðèþ êà÷åñòâà áûëî óäåëåíî, íàâåðíîå,ñòîëüêî âíèìàíèÿ, ñêîëüêî íè îäíîé äðóãîé òåìå â òåîðèè óïðàâëåíèÿ. Â÷àñòíîñòè, áûëè ñôîðìóëèðîâàíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíûõçàêîíîâ óïðàâëåíèÿ êàê â äåòåðìèíèðîâàííîì, òàê è â ñòîõàñòè÷åñêîìñëó÷àÿõ, è ïîëó÷åíû ôîðìóëû âû÷èñëåíèÿ èõ ïàðàìåòðîâ â òåðìèíàõðåøåíèé íåëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé Ðèêêàòè [14, 15, 2].

Â ðàìêàõ ýòîãî ïîäõîäà íàèáîëüøóþ ñëîæíîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñèíòåçîïòèìàëüíîãî ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîãî óïðàâëåíèÿ â ñëó÷àå íåèçìåðÿå-ìîãî ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà, êîãäà äëÿ èçìåðåíèÿ äîñòóïåí òîëüêî âåêòîðâûõîäíûõ ïåðåìåííûõ, èìåþùèé ìåíüøóþ ðàçìåðíîñòü, ÷åì âåêòîð ñî-ñòîÿíèÿ. Îñîáûé èíòåðåñ çäåñü âûçûâàåò ñèíòåç îïòèìàëüíûõ ðåãóëÿòî-ðîâ çàäàííîãî ïîðÿäêà (â ÷àñòíîñòè, ñòàöèîíàðíûõ ðåãóëÿòîðîâ ïî âû-õîäó). Êðîìå òîãî, êàê ïðàâèëî, ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî íåâûðîæäåí-íûå çàäà÷è, êîãäà âåñîâàÿ ìàòðèöà óïðàâëåíèÿ â ôóíêöèîíàëå ÿâëÿåòñÿíåâûðîæäåííîé, õîòÿ ýòî îãðàíè÷åíèå èíîãäà âûãëÿäèò èñêóññòâåííûì.

Â êà÷åñòâå àëüòåðíàòèâû ìåòîäó óðàâíåíèé Ðèêêàòè äëÿ ñèíòåçà îï-òèìàëüíîãî ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîãî óïðàâëåíèÿ ìîæåò áûòü ïðèìåíåíìåòîä ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ. Ïðèìåíåíèå ëèíåéíûõ ìàòðè÷-íûõ íåðàâåíñòâ äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíûõ ðåãóëÿòîðîâ îñíîâàíî íàñëåäóþùåé èäåå. Èçâåñòíî [54, 56, 63], ÷òî îïòèìàëüíîå ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîåóïðàâëåíèå ìîæåò òðàêòîâàòüñÿ êàê H2-îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ëèíåé-íûì îáúåêòîì, íà âõîä êîòîðîãî ïîäàåòñÿ èìïóëüñíîå âîçäåéñòâèå èëèáåëûé øóì. Â ñâîþ î÷åðåäü, óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè H2-íîðìû ïåðåäà-

81

82 Ãëàâà 7. Îïòèìàëüíîå ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîå óïðàâëåíèå

òî÷íîé ìàòðèöû îáúåêòà ìîæåò áûòü âûðàæåíî â òåðìèíàõ ëèíåéíûõìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ. Îñíîâàííàÿ íà ýòîé èäåå ïðîöåäóðà ñèíòåçà îï-òèìàëüíûõ ðåãóëÿòîðîâ â îáùåì ñëó÷àå ïðèâîäèò ê çàäà÷å A: ïîèñêóäâóõ âçàèìíîîáðàòíûõ ìàòðèö, óäîâëåòâîðÿþùèõ ëèíåéíûì ìàòðè÷íûìíåðàâåíñòâàì.

Â äàííîé ãëàâå ïîêàçàíî, ÷òî íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿñóùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíîãî ðåãóëÿòîðà ïîëíîãî ïîðÿäêà ïî âûõîäó,ìèíèìèçèðóþùåãî êâàäðàòè÷íûé ôóíêöèîíàë (âûðîæäåííûé èëè íåâû-ðîæäåííûé), è åãî ïàðàìåòðû âûðàæàþòñÿ â òåðìèíàõ ëèíåéíûõ ìàò-ðè÷íûõ íåðàâåíñòâ. Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå γ-îïòèìàëüíîãî çàêîíà óïðàâëå-íèÿ, ïðè êîòîðîì îòíîøåíèå çíà÷åíèÿ êâàäðàòè÷íîãî ôóíêöèîíàëà êêâàäðàòó íîðìû íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà íå ïðåâûøàåò çàäàííîå÷èñëî γ2 äëÿ ëþáîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ. Òàêèå çàêîíû óïðàâëåíèÿìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáåñïå÷èâàþùèå ãàøåíèå â çàäàííîì îòíîøå-íèè γ âîçìóùåíèé îáúåêòà, âûçâàííûõ îòêëîíåíèåì åãî íà÷àëüíîãî ñî-ñòîÿíèÿ. Ïîêàçàíî, ÷òî ñèíòåç γ-îïòèìàëüíûõ ðåãóëÿòîðîâ ïîíèæåííîãîïîðÿäêà ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óïîìÿíóòîé âûøå çàäà÷è ïîèñêà äâóõ âçà-èìíîîáðàòíûõ ìàòðèö, óäîâëåòâîðÿþùèõ ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðà-âåíñòâàì, à ñèíòåç γ-îïòèìàëüíûõ ðåãóëÿòîðîâ ïîëíîãî ïîðÿäêà ìîæåòáûòü îñóùåñòâëåí â òåðìèíàõ òîëüêî ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ.Â ñëó÷àå, êîãäà îïòèìàëüíîå ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîå óïðàâëåíèå îáåñïå-÷èâàåò àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü çàìêíóòîé ñèñòåìû, îíî ñ ëþáîéçàäàííîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ γ-îïòèìàëüíûì óïðàâëåíèåìïðè çíà÷åíèè γ, ñêîëü óãîäíî áëèçêîì ê ïðåäåëüíîìó ìèíèìàëüíîìóçíà÷åíèþ.

7.1 Âû÷èñëåíèå H2-íîðìû ïåðåäàòî÷íîé ìàò-

ðèöû

Ââåäåì ïðîñòðàíñòâî RL2 ïåðåäàòî÷íûõ ìàòðèö H(s), äëÿ êîòîðûõ âû-ïîëíÿåòñÿ ∞∫

−∞

tr [HT (−jω)H(jω)] dω < ∞ .

Â ýòîì ïðîñòðàíñòâå H2-íîðìà îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì

‖H‖2 = 1

2π

∞∫−∞

tr [HT (−jω)H(jω)] dω1/2 . (7.1)

ÏóñòüH(s) = C(sI − A)−1B .

7.1. Âû÷èñëåíèå H2-íîðìû ïåðåäàòî÷íîé ìàòðèöû 83

Ðàññìîòðèì óïðàâëÿåìóþ, íàáëþäàåìóþ è óñòîé÷èâóþ ñèñòåìó

x = Ax + Bv , x(0) = 0z = Cx ,

(7.2)

ãäå x ∈ Rnx , v ∈ Rnv è z ∈ Rnz , ðåàëèçóþùóþ ýòó ïåðåäàòî÷íóþ ìàò-ðèöó â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé. Ïðèâåäåì äâå èíòåðïðåòàöèè H2-íîðìû,êîòîðûå â ïîñëåäóþùåì áóäóò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ îïòèìàëü-íîãî óïðàâëåíèÿ â äåòåðìèíèðîâàííîì è ñòîõàñòè÷åñêîì ñëó÷àÿõ (ñì.,íàïðèìåð, [54]).

Ñíà÷àëà ïîäàäèì íà âõîä (7.2) ïîñëåäîâàòåëüíî èìïóëüñíûå ñèãíàëûv(i)(t) = δ(t) ei, ãäå δ(t) èìïóëüñíàÿ ôóíêöèÿ, ei i-é ñòîëáåö (nv×nv)-åäèíè÷íîé ìàòðèöû, i = 1, 2, . . . , nv, è îáîçíà÷èì ÷åðåç z(i) ñîîòâåòñòâó-þùèé âûõîä, à ÷åðåç Z(i)(jω) åãî Ôóðüå-èçîáðàæåíèå. Êàê èçâåñòíî,Z(i)(jω) = H(jω)ei. Ïðèìåíÿÿ ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ, ïîëó÷èì

‖H‖22 =

1

2π

∞∫−∞

tr [HT (−jω)H(jω)] dω =

=1

2π

∞∫−∞

nv∑i=1

eTi HT (−jω)H(jω)ei dω =

1

2π

∞∫−∞

nv∑i=1

Z(i)T (−jω)Z(i)(jω) dω =

=nv∑i=1

∞∫0

z(i)T z(i) dt .

Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå êâàäðàòà H2-íîðìû ñîâïàäàåò ñ ñóììîé èíòå-ãðàëîâ îò êâàäðàòà íîðìû âûõîäîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âõîäíûì èìïóëüñ-íûì ñèãíàëàì.

Òàê êàê z(i)(t) = CeAtBei, t > 0, òî ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî tr (KT SK) =tr (SKKT ) äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû K è ïðîèçâîëüíîé ñèììåòðè÷å-


ñêîé ìàòðèöû S, îòñþäà ïîëó÷èì

‖H‖22 =

nv∑i=1

∞∫0

eTi BT eAT tCT CeAtBei dt =

=nv∑i=1

∞∫0

tr (eAT tCT CeAtBeieTi BT ) dt =

=

∞∫0

tr (eAT tCT CeAtnv∑i=1

BeieTi BT ) dt =

=

∞∫0

tr (eAT tCT CeAtBBT ) dt =

= tr (BT

∞∫0

eAT tCT CeAt dtB) = tr (C∞∫0

eAtBBT eAT t dtCT ) .

(7.3)

Êàê èçâåñòíî, çíà÷åíèÿ ïîñëåäíèõ äâóõ èíòåãðàëîâ ìîãóò áûòü íàéäåíûêàê ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé Ëÿïóíîâà. À èìåííî, â ïðåä-ïîëîæåíèè, ÷òî ìàòðèöà A ãóðâèöåâà, íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òîìàòðèöà

P = Po =

∞∫0

eAT tCT CeAt dt

óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþAT P + PA + CT C = 0 , (7.4)

à ìàòðèöàP = Pr =

∞∫0

eAtBBT eAT t dt

óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþAP + PAT + BBT = 0 . (7.5)

Ñîãëàñíî ëåììå E.1 ýòè óðàâíåíèÿ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå èìåþòåäèíñòâåííûå íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûå ðåøåíèÿ, è òîãäà èñêîìàÿH2-íîðìà âû÷èñëÿåòñÿ îäíèì èç äâóõ ñëåäóþùèõ îáðàçîâ

‖H‖22 = tr (BT PoB) , (7.6)

ãäå Po ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.4), èëè‖H‖2

2 = tr (CPrCT ) , (7.7)

7.1. Âû÷èñëåíèå H2-íîðìû ïåðåäàòî÷íîé ìàòðèöû 85

ãäå Pr ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.5).Òåïåðü ïîäàäèì íà âõîä ñèñòåìû (7.2) áåëûé øóì v åäèíè÷íîé èí-

òåíñèâíîñòè, ò.å. E[v(t)vT (t + τ)] = δ(τ)I, è ââåäåì êðèòåðèéJ = lim

t→∞E |z(t)|2 ,

ãäå E çíàê ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Ïðîäåëàåì ñëåäóþùèå î÷åâèä-íûå âûêëàäêè

J = limt→∞

E tr (zzT ) =

= limt→∞

trE [

t∫0

Φ(t, τ)v(τ) dτ

t∫0

vT (σ)ΦT (t, σ) dσ] =

= limt→∞

tr [t∫

0

Φ(t, τ)

t∫0

E [v(τ)vT (σ)]ΦT (t, σ) dσ dτ =

= limt→∞

tr [t∫

0

Φ(t, τ)ΦT (t, τ) dτ ] ,

ãäå Φ(ξ, ν) = CeA(ξ−ν)B. Ïîëàãàÿ òåïåðü µ = t − τ è ñðàâíèâàÿ ñ (7.3),ïîëó÷èì

J = limt→∞

tr [Ct∫

0

eAµBBT eAT µ dµCT ] = tr [C∞∫0

eAµBBT eAT µ dµCT ] = ‖H‖22 .

Òàêèì îáðàçîì, êâàäðàò H2-íîðìû ñîâïàäàåò òàêæå ñ ïðåäåëüíûì çíà-÷åíèåì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ êâàäðàòà ìîäóëÿ âûõîäà ëèíåéíîéñèñòåìû, êîãäà íà åå âõîä ïîñòóïàåò áåëûé øóì.

Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ïîçâîëÿåò õàðàêòåðèçîâàòü H2-íîðìó â òåð-ìèíàõ ðåøåíèé ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ.Óòâåðæäåíèå 7.1 Ïóñòü â îáúåêòå (7.2) ìàòðèöà A ãóðâèöåâà. Òîãäàñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû.

(a) ‖H‖2 < γ;

(b) ñóùåñòâóþò òàêèå ìàòðèöû X = XT > 0 è S = ST , ÷òî AT X + XA XB

BT X −γI

< 0 ,

X CT

C S

> 0 , tr (S) < γ; (7.8)


(c) ñóùåñòâóþò òàêèå ìàòðèöû Y = Y T > 0 è R = RT , ÷òî AY + Y AT Y CT

CY −γI

< 0 ,

Y B

BT R

> 0 , tr (R) < γ .

(7.9)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóíêò (a) ýêâèâàëåíòåí òîìó, ÷òî âûïîëíåíî íåðà-âåíñòâî tr (BT PoB) < γ2, ãäå Po ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.4). Òàê êàê ýòîóðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, òî ýòî ýêâèâàëåíòíî ñóùåñòâî-âàíèþ X = XT > 0 òàêîé, ÷òî

AT X + XA + CT C < 0 , tr (BT XB) < γ2 . (7.10)Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì óðàâíåíèå

AT X + XA + CT C + ε2I = 0 ,

êîòîðîå èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèåX > Po. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî tr (BT PoB) ≤tr (BT XB) < γ2. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè tr (BT PoB) < γ2, òî íàéäåòñÿòàêîå ε, ÷òî tr (BT XB) < γ2.

Âîçüìåì òåïåðü â (7.10) X = Y −1, óìíîæèì ïåðâîå èç íåðàâåíñòâñëåâà è ñïðàâà íà Y , ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ìàòðèöó R è ïîëó÷èì

Y AT + AY + Y CT CY < 0 , BT Y −1B < R , tr (R) < γ2 .

Çàìåíÿÿ â ýòèõ íåðàâåíñòâàõ Y íà γ−1Y è R íà γR è íå ìåíÿÿ îáîçíà÷å-íèé, ñ ó÷åòîì ëåììû Øóðà ïîëó÷èì (c). Ýêâèâàëåíòíîñòü ïóíêòîâ (b) è(c) ñëåäóåò èç ïðèíöèïà äâîéñòâåííîñòè è òîãî, ÷òî ‖H‖2 = ‖HT‖2.

7.2 Ñèíòåç γ-îïòèìàëüíûõ ðåãóëÿòîðîâ ïî ñî-

ñòîÿíèþ

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó γ-îïòèìàëüíîãî ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîãî óïðàâëåíèÿîáúåêòîì

x = Ax + Bu , x(0) = x0 ,z = Cx + Du

(7.11)

â ñëó÷àå èçìåðÿåìîãî ñîñòîÿíèÿ, ñîñòîÿùóþ â íàõîæäåíèè ñòàáèëèçèðó-þùåãî óïðàâëåíèÿ âèäà

u = Θx , (7.12)

7.2. Ñèíòåç γ-îïòèìàëüíûõ ðåãóëÿòîðîâ ïî ñîñòîÿíèþ 87

êîòîðîå äëÿ çàäàííîãî çíà÷åíèÿ γ > 0 îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå íåðà-âåíñòâà

J =

∞∫0

|z(t)|2 dt < γ2|x0|2 ∀x0 6= 0 . (7.13)

Ýòîò çàêîí óïðàâëåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáåñïå÷èâàþùèé ãà-øåíèå â çàäàííîì îòíîøåíèè γ âîçìóùåíèé îáúåêòà, âûçâàííûõ îòêëî-íåíèåì åãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ.

Çàìåòèì, ÷òî îïòèìàëüíîå ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîå óïðàâëåíèå îáúåê-òîì (7.11), ìèíèìèçèðóþùåå ôóíêöèîíàë J , ñ ëþáîé çàäàííîé ñòåïåíüþòî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ γ-îïòèìàëüíûì óïðàâëåíèåì ïðè çíà÷åíèè γ, ñêîëüóãîäíî áëèçêîì ê ïðåäåëüíîìó ìèíèìàëüíîìó çíà÷åíèþ γ â (7.13). Òàê,â ñëó÷àå CT D = 0, DT D > 0 è ïðè óñëîâèè, ÷òî ïàðà (A, B) ñòàáèëèçèðó-åìà, à ïàðà (A, C) äåòåêòèðóåìà, ýòî óïðàâëåíèå îáåñïå÷èâàåò àñèìïòî-òè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü çàìêíóòîé ñèñòåìû è îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì

u = −(DT D)−1BT Px ,

ãäå ìàòðèöà P = P T ≥ 0 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ÐèêêàòèAT P + PA− PB(DT D)−1BT P + CT C = 0 , (7.14)

è ïðè ýòîì min J = xT0 Px0 (ñì., íàïðèìåð, [2]). Òàêèì îáðàçîì, òî÷-

íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà çíà÷åíèé γ2, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò γ-îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, ñîâïàäàåò ñ ìàêñèìàëüíûì ñîáñòâåííûì çíà-÷åíèåì ìàòðèöû P .

Ïðåäñòàâèì ñèíòåç γ-îïòèìàëüíûõ óïðàâëåíèé â òåðìèíàõ ëèíåéíûõìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ. Äëÿ ýòîãî âìåñòî ñèñòåìû (7.11) ðàññìîòðèì ñè-ñòåìó ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè è èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì

x = Ax + x0δ(t) + Bu , x(0) = 0 ,z = Cx + Du ,

(7.15)

ãäå δ(t) äåëüòà-ôóíêöèÿ, âûõîä êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ âûõîäîì ñèñòåìû(7.11). Ïîäñòàâèì çàêîí óïðàâëåíèÿ (7.12) â (7.15) è çàïèøåì óðàâíåíèåçàìêíóòîé ñèñòåìû

x = (A + BΘ)x + x0δ(t) , x(0) = 0 ,z = (C + DΘ)x .

(7.16)

Ñîãëàñíî ïðèâåäåííîé èíòåðïðåòàöèè H2-íîðìû çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëàJ ñîâïàäàåò ñ êâàäðàòîì H2-íîðìû ïåðåäàòî÷íîé ìàòðèöû ýòîãî îáúåê-òà, ïîýòîìó öåëü óïðàâëåíèÿ (7.13) ýêâèâàëåíòíî âûðàæàåòñÿ íåðàâåí-ñòâîì

‖(C + DΘ)[sI − (A + BΘ)]−1x0‖2 < γ|x0| ∀x0 6= 0 .


Ïðèìåíÿÿ òåïåðü óòâåðæäåíèå 7.1, ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ âûïîëíåíèÿ öå-ëè óïðàâëåíèÿ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëè ìàòðèöûY = Y T > 0 è R = RT , óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâàì (A + BΘ)Y + Y (A + BΘ)T Y (C + DΘ)T

(C + DΘ)Y −γ|x0|I

< 0 ,

Y x0

xT0 R

> 0 , trR < γ|x0| .

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå R ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà, è çàìåíÿÿ â ýòèõíåðàâåíñòâàõ Y íà |x0|Y , R íà |x0|R, ïîëó÷èì (A + BΘ)Y + Y (A + BΘ)T Y (C + DΘ)T

(C + DΘ)Y −γI

< 0 ,

Y |x0| x0

xT0 R|x0|

> 0 , R < γ .

(7.17)

Ââîäèì òåïåðü â ïåðâîì íåðàâåíñòâå (7.17) íîâóþ ìàòðè÷íóþ ïåðåìåí-íóþ Z = ΘY è ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ñîãëàñíî ëåììû Øóðà äâà ïîñëåäíèõíåðàâåíñòâà ýêâèâàëåíòíû íåðàâåíñòâó

xT0 Y −1x0

|x0|2< γ , ∀x0 6= 0 ,

êîòîðîå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà Y I

I γI

> 0 ,

ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó.Óòâåðæäåíèå 7.2 Ïàðàìåòðû Θ äëÿ γ-îïòèìàëüíîãî çàêîíà óïðàâëå-íèÿ îáúåêòîì (7.11) âû÷èñëÿþòñÿ êàê Θ = ZY −1, ãäå Y = Y T > 0 è Zóäîâëåòâîðÿþò ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì AY + Y AT + BZ + ZT BT Y CT + ZT DT

CY + DZ −γI

< 0 ,

Y I

I γI

> 0 .

(7.18)


Òàê êàê ïàðàìåòð γ âõîäèò â ýòè íåðàâåíñòâà ëèíåéíî, òî îïòèìàëü-íîå óïðàâëåíèå ÷èñëåííî íàõîäèòñÿ ïóòåì ðåøåíèÿ ñòàíäàðòíîé çàäà÷è,ðåàëèçîâàííîé â LMI Toolbox ïàêåòà MATLAB, ìèíèìèçàöèè ëèíåé-íîé ôóíêöèè (γ) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ, çàäàâàåìûõ ëèíåéíûìè ìàòðè÷íûìèíåðàâåíñòâàìè (7.18).

Äðóãîé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ γ-îïòèìàëüíîãî ðåãóëÿòîðà ïî ñîñòîÿíèþíà îñíîâå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ ñîñòîèò â ïðåäñòàâëåíèè ïåð-âîãî íåðàâåíñòâà â (7.17) â âèäå

Ψ + P T ΘT Q + QT ΘP < 0 , (7.19)ãäå

Ψ =

Y AT + AY Y CT

CY −γI

,

P = (Y 0) , Q = (BT DT ) .

(7.20)

Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 3.2 ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî ðàçðåøèìî îòíîñè-òåëüíî ìàòðèöû Θ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

W TP

Y AT + AY Y CT

CY −γI

WP < 0 ,

W TQ

Y AT + AY Y CT

CY −γI

WQ < 0 ,

(7.21)

ãäåWP =

0

I

, WQ =

W(1)Q

W(2)Q

,

à ìàòðèöû W(1)Q è W

(2)Q óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ

BT W(1)Q + DT W

(2)Q = 0 .

Òàê êàê ïåðâîå èç íåðàâåíñòâ (7.21) î÷åâèäíî âûïîëíÿåòñÿ, ïðèõîäèì êñëåäóþùåìó.

Óòâåðæäåíèå 7.3 Ïàðàìåòðû Θ äëÿ γ-îïòèìàëüíîãî çàêîíà óïðàâëå-íèÿ îáúåêòîì (7.11) âû÷èñëÿþòñÿ êàê ðåøåíèÿ ïåðâîãî íåðàâåíñòâà â


(7.17), â êîòîðîì Y = Y T > 0 óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíûì ìàòðè÷íûìíåðàâåíñòâàì

W TQ

Y AT + AY Y CT

CY −γI

WQ < 0 ,

Y I

I γI

> 0 .

(7.22)

Ïðèìåð 7.1 γ-îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ïî ñîñòîÿíèþ ëèíåéíûìîñöèëëÿòîðîì ñ äåìïôèðîâàíèåì. Ëèíåéíûé îñöèëëÿòîð îïèñûâà-åòñÿ óðàâíåíèåì

x1 = x2 ,x2 = −ω2

0x1 − δx2 + u ,z1 = x1 ,z2 = u ,


A =

0 1

−ω20 −δ

, B =

0

1

,

C =

1 0

0 0

, D =

0

1

.

Ïóñòü ω0 = 10 è δ = 0.1. ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è ìèíèìèçàöèè γ ïðèîãðàíè÷åíèÿõ (7.18) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùèì ðåçóëüòàòàì:

Y =

0.4914 −0.0593

−0.0593 49.1460

, Z = (0 − 2.0354) ,

à ñîîòâåòñòâóþùèå ïàðàìåòðû ðåãóëÿòîðà Θ = (−0.005 − 0.0414) ïðèγ = 2.0354.

Äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðèâåäåì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà, ïîëó÷åí-íûå íà îñíîâå ðåøåíèÿ ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ Ðèêêàòè (7.14):

P =

4.1428 0.0050

0.0050 0.0414

, Θ = −(DT D)−1BT P = (−0.005 − 0.0414).

Íàêîíåö, çàìåòèì, ÷òî çàäà÷à γ-îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ôîðìóëè-ðóåòñÿ ñ äîïîëíèòåëüíûì òðåáîâàíèåì àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè


çàìêíóòîé ñèñòåìû, â òî âðåìÿ êàê äëÿ îïòèìàëüíîãî ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîãîóïðàâëåíèÿ òàêîå òðåáîâàíèå îòñóòñòâóåò. Äëÿ èëëþñòðàöèè óêàçàííîãîðàçëè÷èÿ ðàññìîòðèì îáúåêò

x =

1 1

0 0

x +

0

1

u ,

z = (0 1) x + u .

Íåïîñðåäñòâåííî óáåæäàåìñÿ â òîì, ÷òî îïòèìàëüíîå ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîåóïðàâëåíèå äëÿ íåãî èìååò âèä

u = −(0 1) x ,

è ïðè ýòîì çàìêíóòàÿ ñèñòåìà áóäåò íåóñòîé÷èâîé. Ýòîò çàêîí óïðàâëå-íèÿ îòâå÷àåò ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ Ðèêêàòè (7.14) ìàòðèöå

P =

0 0

0 1

.

Âìåñòå ñ òåì, äëÿ ýòîãî îáúåêòà îïòèìàëüíîå ñòàáèëèçèðóþùåå óïðàâ-ëåíèå áóäåò

u = −(4 3) x .

Ýòîò çàêîí óïðàâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ñòàáèëèçèðóþùåìó ðåøåíèþ óðàâ-íåíèÿ (7.14) ìàòðèöå

P =

8 4

4 3

.

Â çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà ðàññìîòðèì çàäà÷ó ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîãîóïðàâëåíèÿ ïðè ó÷åòå ñòîõàñòè÷åñêèõ âîçäåéñòâèé. Äëÿ îáúåêòà

x = Ax + B1v + B2u , x(0) = 0 ,z = Cx + Du ,

(7.23)

ãäå v áåëûé øóì åäèíè÷íîé èíòåíñèâíîñòè, â ñëó÷àå èçìåðÿåìîãî ñî-ñòîÿíèÿ çàäà÷à ñîñòîèò â íàõîæäåíèè ñòàáèëèçèðóþùåãî óïðàâëåíèÿ âè-äà

u = Θx , (7.24)êîòîðîå äëÿ çàäàííîãî çíà÷åíèÿ γ > 0 îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå íåðà-âåíñòâà

J = limt→∞

E|z(t)|2 dt < γ2 . (7.25)


Ïîäñòàâèì çàêîí óïðàâëåíèÿ (7.24) â (7.23) è çàïèøåì óðàâíåíèå çà-ìêíóòîé ñèñòåìû

x = (A + B2Θ)x + B1v ,z = (C + DΘ)x .

(7.26)Ñîãëàñíî èíòåðïðåòàöèè H2-íîðìû ïåðåäàòî÷íîé ìàòðèöû ýòîé ñèñòå-ìû â ñòîõàñòè÷åñêîì ñëó÷àå óñëîâèå J < γ2 ñ ó÷åòîì óòâåðæäåíèÿ 7.1âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùèìè ìàòðè÷íûìè íåðàâåíñòâàìè: (A + B2Θ)Y + Y (A + B2Θ)T Y (C + DΘ)T

(C + DΘ)Y −γI

< 0 ,

Y B1

BT1 R

> 0 , trR < γ .

(7.27)

Ââîäÿ íîâóþ ìàòðè÷íóþ ïåðåìåííóþ Z = ΘY , ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó.Óòâåðæäåíèå 7.4 Ïàðàìåòðû Θ äëÿ γ-îïòèìàëüíîãî çàêîíà óïðàâëå-íèÿ ñòîõàñòè÷åñêèì îáúåêòîì (7.23) âû÷èñëÿþòñÿ êàê Θ = ZY −1, ãäåY = Y T > 0 è Z óäîâëåòâîðÿþò ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì AY + Y AT + B2Z + ZT BT

2 Y CT + ZT DT

CY + DZ −γI

< 0 ,

Y B1

BT1 R

> 0 , trR < γ

(7.28)

îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ Y , Z è R.

7.3 Ñèíòåç γ-îïòèìàëüíûõ ðåãóëÿòîðîâ ïî âû-

õîäó

Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó γ-îïòèìàëüíîãî ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîãî óïðàâ-ëåíèÿ â ñëó÷àå íåèçìåðÿåìîãî ñîñòîÿíèÿ äëÿ îáúåêòà

x = Ax + Bu , x(0) = x0 ,z = C1x + Du ,y = C2x ,

(7.29)

ãäå y ∈ Rny èçìåðÿåìûé âûõîä. Îíà ñîñòîèò â íàõîæäåíèè ñòàáèëèçè-ðóþùåãî ðåãóëÿòîðà k-ãî ïîðÿäêà ïî âûõîäó âèäà

xr = Arxr + Bry , xr(0) = 0 ,u = Crxr + Dry ,

(7.30)

7.3. Ñèíòåç γ-îïòèìàëüíûõ ðåãóëÿòîðîâ ïî âûõîäó 93

ãäå xr ∈ Rk ñîñòîÿíèå ðåãóëÿòîðà, êîòîðûé îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèåíåðàâåíñòâà

J =

∞∫0

|z(t)|2 dt < γ2|x0|2 , ∀x0 6= 0 . (7.31)

Óðàâíåíèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû (7.29), (7.30) ïðèâîäÿòñÿ ê âèäóxc = Acxc + x0δ(t) , xc(0) = 0 ,z = Ccxc ,

(7.32)

ãäå xc = col (x, xr),

Ac =

A + BDrC2 BCr

BrC2 Ar

, x0 =

x0

0

,

Cc = (C1 + DDrC2 DCr) .

(7.33)

Äëÿ âûïîëíåíèÿ öåëè óïðàâëåíèÿ ïåðåäàòî÷íàÿ ìàòðèöà îáúåêòà (7.32)îò âõîäà δ(t) ê âûõîäó z

Hc(s) = Cc(sI − Ac)−1x0

äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ‖Hc‖2 < γ|x0| , ∀x0 6= 0 .

Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 7.1 äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáûëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà AcY + Y AT

c Y CTc

CcY −γ|x0|I

< 0 ,

Y x0

xT0 R

> 0 , trR < γ|x0|

áûëè ðàçðåøèìû îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ Y = Y T > 0 è R = RT .Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå R ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà, è çàìåíÿÿ â ýòèõíåðàâåíñòâàõ Y íà |x0|Y , R íà |x0|R, ïîëó÷èì AcY + Y AT

c Y CTc

CcY −γI

< 0 ,

Y |x0| x0

xT0 R|x0|

> 0 , R < γ . (7.34)

Ïîñëåäíèå äâà íåðàâåíñòâà â (7.34) â ñèëó ëåììû Øóðà ýêâèâàëåíòíûëèíåéíîìó ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó Y

I

0

(I 0) γI

> 0 .


Ââåäåì ìàòðèöó ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà

Θ =

Ar Br

Cr Dr

(7.35)

è ïðåäñòàâèì ìàòðèöû çàìêíóòîé ñèñòåìû â âèäå

Ac = A0 + BΘC , Cc = C0 +DΘC ,

ãäå

A0 =

A 0nx×k

0k×nx 0k×k

, B =

0nx×k B

Ik 0k×nu

,

C =

0k×nx Ik

C2 0ny×k

, C0 = (C1 0nz×k) ,

D = (0nz×k D) .

(7.36)

Ïîäñòàâèì ýòè âûðàæåíèÿ â ïåðâîå íåðàâåíñòâî (7.34) è ïðåäñòàâèì åãîâ âèäå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ïà-ðàìåòðîâ Θ


Ψ =

A0Y + Y AT0 Y CT

0

C0Y −γI

,

P = (CY 0) , Q = (BT DT ) .

(7.38)


W TP

A0Y + Y AT0 Y CT

0

C0Y −γI

WP < 0 ,

W TQ

A0Y + Y AT0 Y CT

0

C0Y −γI

WQ < 0 ,

(7.39)


ãäå ñòîëáöû ìàòðèöû WP îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû P , à ñòîëáöûìàòðèöû WQ îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû Q. Ïðåäñòàâèì

P = (CY 0) = G

Y 0

0 I

, G = (C 0) ,

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òîWP =

Y −1 0

0 I

WG .

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (7.39), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó.Óòâåðæäåíèå 7.5 Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ γ-îïòèìàëüíîãî ðåãóëÿòîðà k-ãî ïîðÿäêà íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëè äâå âçàèì-íîîáðàòíûå (nx + k) × (nx + k)-ìàòðèöû X = XT > 0 è Y = Y T > 0,óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâàì

W TG

AT0 X + XA0 CT

0

C0 −γI

WG < 0 ,

W TQ

Y A0 + AT0 Y Y CT

0

C0Y −γI

WQ < 0 ,

Y

I

0

(I 0) γI

> 0 .

(7.40)

Åñëè óñëîâèÿ (7.40) âûïîëíåíû è ìàòðèöà Y íàéäåíà, òî ïàðàìåòðûΘ èñêîìîãî ðåãóëÿòîðà íàõîäÿòñÿ êàê ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãîíåðàâåíñòâà (7.37).

Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å A: ïîèñ-êó âçàèìíîîáðàòíûõ ìàòðèö X è Y (XY = I), óäîâëåòâîðÿþùèõ ëèíåé-íûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì (7.40).

Ïðåîáðàçóåì ïåðâûå äâà íåðàâåíñòâà (7.40), ó÷èòûâàÿ áëî÷íóþ ñòðóê-òóðó ìàòðèö A0, C0 è ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðèö X è Y âáëî÷íîì âèäå

X =

X11 X12

XT12 X22

, Y =

Y11 Y12

Y T12 Y22

.


Òàê êàê

G =

0k×nx Ik 0k×nz

C2 0ny×k 0ny×nz

, Q =

0k×nx Ik 0k×nz

BT 0nu×k DT

,

òî â êà÷åñòâå WG è WQ ìîæíî âçÿòü

WG =

WC2 0

0 0

0 I

, WQ =

W

(1)Q

0

W(2)Q

,

ãäå ìàòðèöû W(1)Q , W

(2)Q îïðåäåëÿþòñÿ èç ñëåäóþùèõ óðàâíåíèé

BT W(1)Q + DT W

(2)Q = 0 .

Ñ ó÷åòîì ýòîãî ëåâûå ÷àñòè ïåðâûõ äâóõ íåðàâåíñòâ â (7.40) ïðèìóò âèä

WC2 0

0 0

0 I

T

AT X11 + X11A AT X12 CT1

? 0 0

? ? −γI

WC2 0

0 0

0 I

,

W

(1)Q

0

W(2)Q

T

Y11AT + AY11 AY12 Y11C

T1

? 0 Y T12C

T1

? ? −γI

W(1)Q

0

W(2)Q

,

è, îêîí÷àòåëüíî, ïåðâûå äâà íåðàâåíñòâà (7.40) ñâîäÿòñÿ ê ñëåäóþùèìëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì îòíîñèòåëüíî áëîêîâ X11 è Y11 âçà-èìíîîáðàòíûõ ìàòðèö X è Y : WC2 0

0 I

T AT X11 + X11A CT1

C1 −γI

WC2 0

0 I

< 0 ,

NT

Y11AT + AY11 Y11C

T1

C1Y11 −γI

N < 0 ,

(7.41)

ãäå ñòîëáöû ìàòðèö WC2 è N = col (W (1)Q , W

(2)Q ) îáðàçóþò áàçèñû ÿäåð

ìàòðèö C2 è (BT DT ) ñîîòâåòñòâåííî.


Ñîãëàñíî ëåììå A.7 óñëîâèÿ X11 = XT11 > 0, Y11 = Y T

11 > 0, X11 I

I Y11

≥ 0 , (7.42)

rank (I −X11Y11) ≤ k (7.43)ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè ñóùåñòâîâàíèÿ âçà-èìíîîáðàòíûõ ìàòðèö X > 0, Y > 0 c äàííûìè áëîêàìè X11, Y11. Ïî-êàæåì òåïåðü, ÷òî òðåòüå íåðàâåíñòâî â (7.40) ýêâèâàëåíòíî ëèíåéíîìóìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó

X11 < γI . (7.44)Äåéñòâèòåëüíî, òðåòüå íåðàâåíñòâî â (7.40), ïðåäñòàâëåííîå â áëî÷-

íîì âèäå Y11 Y12 I

Y T12 Y22 0

I 0 γI

> 0 ,

ñîãëàñíî ëåììå A.4 ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùèì äâóì íåðàâåíñòâàì

Y22 > 0 ,

Y11 − Y12Y−122 Y T

12 I

I γI

> 0 .

Ïåðâîå èç ýòèõ íåðàâåíñòâ âûïîëíÿåòñÿ, ò.ê. Y > 0, à âòîðîå íåðàâåíñòâîñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî X11 è Y11 ñîîòâåòñòâóþùèå áëîêè âçàèìíîîáðàòíûõìàòðèö, çàïèøåì â âèäå íåðàâåíñòâà X−1

11 I

I γI

> 0 ,

êîòîðîå ñîãëàñíî ëåììå Øóðà ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó X11 < γI.Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñèíòåçà γ-îïòèìàëüíîãî ðåãóëÿòîðîâ k-ïîðÿäêà

ìîæåò áûòü òàêæå ñâåäåíà ê ñôîðìóëèðîâàííîé âûøå çàäà÷å B: íàéòèäâå (nx × nx)-ìàòðèöû X11 = XT

11 > 0, Y11 = Y T11 > 0, óäîâëåòâîðÿþ-

ùèå ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì (7.41), (7.44), (7.42) è ðàíãîâî-ìó óñëîâèþ (7.43), èëè óñòàíîâèòü, ÷òî òàêèõ ìàòðèö íå ñóùåñòâóåò.

Ñèíòåç γ-îïòèìàëüíûõ ðåãóëÿòîðîâ ïî âûõîäó ïîëíîãî ïîðÿäêà (k =nx) ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ òîëüêî ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ, òàêêàê ðàíãîâîå óñëîâèå î÷åâèäíî âûïîëíÿåòñÿ.


Óòâåðæäåíèå 7.6 Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ γ-îïòèìàëüíîãî ðåãóëÿòîðà ïîë-íîãî ïîðÿäêà íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëè äâå (nx×nx)-ìàòðèöû X11 = XT

11 > 0 è Y11 = Y T11 > 0, óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþ-

ùèì ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì WC2 0

0 I

T AT X11 + X11A CT1

C1 −γI

WC2 0

0 I

< 0 ,

NT

Y11AT + AY11 Y11C

T1

C1Y11 −γI

N < 0 ,

X11 < γI ,

X11 I

I Y11

≥ 0 ,

(7.45)

ãäå ñòîëáöû ìàòðèö WC2 è N îáðàçóþò áàçèñû ÿäåð ìàòðèö C2 è (BT DT )ñîîòâåòñòâåííî.

Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåãóëÿòîðà íåîáõîäèìî äîñòðîèòü áëîê Y11 äî ìàò-ðèöû Y è ðåøèòü íåðàâåíñòâî (7.37) îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðîâ Θ. Âûáîðáëîêîâ Y12 è Y22, îáåñïå÷èâàþùèé âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (ñì. ëåììó A.7)

Y11 −X−111 = Y12Y

−122 Y T

12 , (7.46)ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí, íàïðèìåð, ñëåäóþùèì îáðàçîì: Y12 = Y22 =V > 0, ãäå V = Y11 −X−1

11 .

Ïðèìåð 7.2 γ-îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ïî âûõîäó ëèíåéíûì îñ-öèëëÿòîðîì ñ äåìïôèðîâàíèåì. Óðàâíåíèÿ ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà

x1 = x2 ,x2 = −ω2

0x1 − δx2 + u ,z1 = x1 ,z2 = u ,y = x1

ïðåäñòàâèì â âèäå (7.29), ãäå ìàòðèöû A, B, D çàäàíû â ïðèìåðå 7.1,à

C1 =

1 0

0 0

, C2 = (1 0) .


Â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ çàäà÷è ìèíèìèçàöèè ïî γ äëÿ ω0 = 10 èδ = 0.1 áûëè ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: γ = 2.0354,

X11 =

2.0354 0.0011

0.0011 1.5211

, Y11 =

0.4914 −0.0593

−0.0593 49.1470

,

à óðàâíåíèÿ γ-îïòèìàëüíîãî äèíàìè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà ïî âûõîäó âòî-ðîãî ïîðÿäêà èìåþò âèä

xr =

−57.8622 −0.0702

−0.0671 −0.1424

xr +

0.1201

−98.6673

y ,

u = (−0.0255 − 0.0420)xr − 0.0050y .

Ãëàâà 8

Îïòèìàëüíîå ãàøåíèå

âîçìóùåíèé

8.1 Óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â

íåïðåðûâíîì îáúåêòå

Ïóñòü íà âõîä óñòîé÷èâîãî ëèíåéíîãî îáúåêòàx = Ax + Bvz = Cx + Dv , x(0) = 0 ,

(8.1)

â êîòîðîì x ∈ Rnx , v ∈ Rnv è z ∈ Rnz , äåéñòâóåò îãðàíè÷åííîå ïî íîðìåL2 âîçìóùåíèå v(t) (ñì. ðèñ. 8.1), ò.å.

‖v‖ = (

∞∫0

|v(t)|2 dt)1/2 < ∞ .

Áóäåì íàçûâàòü óðîâíåì ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â îáúåêòå âåëè÷èíó

γ∗ = sup‖v‖6=0

‖z‖‖v‖

. (8.2)

Çàìåòèì, ÷òîγ∗ = inf

γγ :

‖z‖‖v‖

< γ, ∀ v, ‖v‖ 6= 0 ,

ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè óðîâåíü ãàøåíèÿâîçìóùåíèé â îáúåêòå ìåíüøèì çàäàííîãî ÷èñëà γ > 0, ò.å. âûïîëíÿåòñÿëè óñëîâèå

‖z‖‖v‖

< γ , ∀ v, ‖v‖ 6= 0 . (8.3)

101

102 Ãëàâà 8. Îïòèìàëüíîå ãàøåíèå âîçìóùåíèé

Òàê êàê íåïîñðåäñòâåííàÿ ïðîâåðêà íåðàâåíñòâà (8.3) íå ïðåäñòàâëÿ-åòñÿ âîçìîæíîé, ïðåîáðàçóåì ýòî óñëîâèå. Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî Ïàðñå-âàëÿ, èìååì

sup‖v‖6=0

‖z‖‖v‖

= supω∈(−∞,∞)

‖H(j ω)‖ = ‖H‖∞ ,

ãäå H(s) = D + C(sI − A)−1B ïåðåäàòî÷íàÿ ìàòðèöà îáúåêòà (8.1) îòâõîäà v ê âûõîäó z, j =

√−1, ‖ · ‖ îáîçíà÷àåò ñïåêòðàëüíóþ ìàòðè÷íóþ

íîðìó, ò.å.‖H‖ = max

iσi(H) ,

σi(H) = λ1/2i (HH∗) i-å ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî ìàòðèöû H, ∗ îáîçíà÷àåò

îïåðàöèþ ýðìèòîâà ñîïðÿæåíèÿ, à ‖ · ‖∞ ∞-íîðìà â ïðîñòðàíñòâå H(s)òàêèõ, ÷òî supRe s≥0 ‖H(s)‖ < ∞. Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå (8.3) ýêâèâà-ëåíòíî íåðàâåíñòâó

‖H‖∞ < γ (8.4)èëè, ÷òî òî æå, ÷àñòîòíîìó íåðàâåíñòâó

H(j ω)HT (−jω) < γ2I , ∀ω ∈ (−∞,∞) .

Â ñâîþ î÷åðåäü, ñ ó÷åòîì ëåììû Øóðà ýòî íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíîìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó −I HT (−j ω)

H(j ω) −γ2I

< 0 ,

ïðèìåíÿÿ ê êîòîðîìó åùå ðàç ëåììó Øóðà, ïîëó÷èìHT (−j ω)H(jω) < γ2I , ∀ω ∈ (−∞,∞) . (8.5)

Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå ýòîãî ÷àñòîòíîãî íåðà-âåíñòâà äëÿ çàäàííîãî γ.

Â ñëó÷àå îáúåêòà ñ îäíèì âõîäîì è îäíèì âûõîäîì ýòà çàäà÷à ëåã-êî ðåøàåòñÿ ãðàôè÷åñêè: íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñòðîèòñÿ ãîäîãðàô,ò.å. êðèâàÿ H(j ω), ω ∈ (−∞,∞), è íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ëåæèòëè ýòà êðèâàÿ âíóòðè êðóãà ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäóñîìγ. Â ñëó÷àå îáúåêòà ñî ìíîãèìè âõîäàìè ïðèìåíèì ÷àñòîòíóþ òåîðå-ìó (ñì. ëåììó H.1 Êàëìàíà-ßêóáîâè÷à-Ïîïîâà â Ïðèëîæåíèè) è ñâåäåìïðîâåðêó âûïîëíåíèÿ ÷àñòîòíîãî óñëîâèÿ (8.5) ê çàäà÷å î ðàçðåøèìîñòèëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà.

Ñîãëàñíî ÷àñòîòíîé òåîðåìå âûïîëíåíèå ÷àñòîòíîãî íåðàâåíñòâàL[(j ωI − A)−1Bv, v] > 0 , ∀ω ∈ (−∞,∞) , ∀ |v| 6= 0 (8.6)

8.1. Óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â íåïðåðûâíîì îáúåêòå 103

äëÿ çàäàííîé ýðìèòîâîé ôîðìû L(x, v) âåêòîðîâ x ∈ Cnx , v ∈ Cnv ýêâè-âàëåíòíî â ñëó÷àå ñòàáèëèçèðóåìîñòè ïàðû (A, B) ñóùåñòâîâàíèþ êâàä-ðàòè÷íîé ôîðìû V (x) = xT Xx ñ ýðìèòîâîé ìàòðèöåé X = X∗, äëÿïðîèçâîäíîé êîòîðîé â ñèëó ñèñòåìû (8.1) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

V − L(x, v) < 0 , ∀x, v, |x|+ |v| 6= 0

èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî2Rex∗X(Ax + Bv)− L(x, v) < 0 , ∀x, v, |x|+ |v| 6= 0 . (8.7)

ÅñëèL(x, v) = (xT , vT ) L

x

v

, L =

L11 L12

LT12 L22

, (8.8)

òî íåðàâåíñòâî (8.7) ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó AT X + XA− L11 XB − L12

BT X − LT12 −L22

< 0 , (8.9)

à ÷àñòîòíîå óñëîâèå (8.6) çàïèøåòñÿ â âèäå (−j ωI − A)−1B

I

T L11 L12

LT12 L22

(j ωI − A)−1B

I

> 0 . (8.10)

Èìåÿ â âèäó ÷àñòîòíîå íåðàâåíñòâî (8.5), âîçüìåì ýðìèòîâó ôîðìóL(x, v) = γ2v∗v − (Cx + Dv)∗(Cx + Dv) ,

ò.å. òàêóþ, ÷òîáû íåðàâåíñòâî (8.10) ñâåëîñü ê íåðàâåíñòâóγ2I −HT (−j ω)H(j ω) > 0 , ∀ω ∈ (−∞,∞) ,

ýêâèâàëåíòíîìó (8.5). Ýòî óñëîâèå ñîãëàñíî ÷àñòîòíîé òåîðåìå âûïîëíÿ-åòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

2Rex∗X(Ax + Bv) + (Cx + Dv)∗(Cx + Dv)− γ2v∗v < 0 .

Çàìåíÿÿ çäåñü X íà γX è óìíîæàÿ ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî íà γ−1, ïðè-äåì ê íåðàâåíñòâóx∗(AT X+XA+γ−1CT C)x+2Rex∗(XB+γ−1CT D)v+v∗(γ−1DT D−γI)v < 0 .


Òàê êàê ýòî íåðàâåíñòâî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ âñåõ x è v, òî îíîýêâèâàëåíòíî ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó AT X + XA + γ−1CT C XB + γ−1CT D

(XB + γ−1CT D)T −γI + γ−1DT D

< 0 ,

êîòîðîå ñ ó÷åòîì ëåììû A.2 ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó ìàòðè÷íîìó íåðàâåí-ñòâó

Fc(X, γ) =

AT X + XA XB CT

BT X −γI DT

C D −γI

< 0 . (8.11)

Çàìåòèì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî íåðàâåíñòâà â ñèëó ëåììû A.2 äîëæ-íî âûïîëíÿòüñÿ

AT X + XA < 0 ,

èç êîòîðîãî, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìàòðèöà A ãóðâèöåâà, â ñèëó òåîðåìû Ëÿïó-íîâà (ñì. ëåììó E.1 â Ïðèëîæåíèè) ñëåäóåò, ÷òî X > 0. Òàêèì îáðàçîì,íà îñíîâàíèè ÷àñòîòíîé òåîðåìû ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó.Óòâåðæäåíèå 8.1 Ïóñòü â îáúåêòå (8.1) ìàòðèöà A ãóðâèöåâà. Äëÿòîãî, ÷òîáû óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â ýòîì îáúåêòå áûë ìåíüøåçàäàííîãî ÷èñëà γ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ëèíåéíîå ìàòðè÷-íîå íåðàâåíñòâî (8.11) áûëî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ñèììåòðè÷åñêîé(nx × nx)-ìàòðèöû X > 0.

Çàìåòèì, ÷òî (8.11) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâîì îò-íîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ X è γ. Ïîýòîìó âû÷èñëåíèå óðîâíÿ ãàøåíèÿâîçìóùåíèé â îáúåêòå ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è îïòèìèçàöèè ëèíåé-íîé ôóíêöèè ïðè îãðàíè÷åíèè, çàäàííîì ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðà-âåíñòâîì.Óòâåðæäåíèå 8.2 Îïðåäåëåííûé â (8.2) óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèéâ óñòîé÷èâîì îáúåêòå (8.1) íàõîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì

γ∗ = infFc(X,γ)<0

γ ,

ãäå ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî Fc(X, γ) < 0 çàäàíî â (8.11).

Ïðèìåð 8.1 Óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé ëèíåéíîãî îñöèëëÿ-òîðà ñ äåìïôèðîâàíèåì. Îñöèëëÿòîð îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì

x1 = x2 ,x2 = −ω2

0x1 − δx2 + v ,z = x1 ,

8.2. H∞-ðåãóëÿòîðû äëÿ íåïðåðûâíûõ îáúåêòîâ 105


A =

0 1

−ω20 −δ

, B =

0

1

, C = (1 0) , D = 0 .

Ðåøàÿ çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè γ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (8.11), äëÿ çíà÷åíèéω0 = 10, δ = 1 ïîëó÷èì γ∗ = 0.1001, à äëÿ ω0 = 10, δ = 0.1 èìååìγ∗ = 1.000.

8.2 H∞-ðåãóëÿòîðû äëÿ íåïðåðûâíûõ

îáúåêòîâ

Ðàññìîòðèì óïðàâëÿåìûé îáúåêòx = Ax + B1v + B2u ,z = C1x + D11v + D12u ,y = C2x + D21v ,

(8.12)

â êîòîðîì x ∈ Rnx ñîñòîÿíèå, v ∈ Rnv âîçìóùåíèå, u ∈ Rnu óïðàâëåíèå, z ∈ Rnz óïðàâëÿåìûé âûõîä, y ∈ Rny èçìåðÿåìûé âûõîä.Ñèíòåç H∞-óïðàâëåíèÿ ýòèì îáúåêòîì ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè ðåãóëÿòîðà(ñì. ðèñ. 8.2), ïðè êîòîðîì óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â àñèìïòîòè÷å-ñêè óñòîé÷èâîé çàìêíóòîé ñèñòåìå ìåíüøå çàäàííîãî ÷èñëà γ, ò.å.

supv 6≡0

‖z‖‖v‖

< γ . (8.13)

Òàêèå ðåãóëÿòîðû áóäåì íàçûâàòü H∞-ðåãóëÿòîðàìè ñ çàäàííûì γ; H∞-îïòèìàëüíûì ðåãóëÿòîðîì áóäåì íàçûâàòü H∞-ðåãóëÿòîð ñ ìèíèìàëü-íûì çíà÷åíèåì γ.

Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé èçìåðÿåìîãî ñîñòîÿíèÿ â îáúåêòå (8.12),êîãäà C2 = I, D21 = 0, è óïðàâëåíèå âûáèðàåòñÿ â âèäå

u = Θx . (8.14)Óðàâíåíèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû (8.12), (8.14) ïðèìóò âèä

xc = Acxc + Bcv ,z = Ccxc + Dcv ,

(8.15)

ãäåAc = A + B2Θ , Bc = B1 , Cc = C1 + D12Θ , Dc = D11 . (8.16)


Äëÿ âûïîëíåíèÿ öåëè óïðàâëåíèÿ (8.13) ïåðåäàòî÷íàÿ ìàòðèöà çàìêíó-òîãî îáúåêòà (8.15) îò âõîäà v ê âûõîäó z

Hc(s) = Dc + Cc(sI − Ac)−1Bc

äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ‖Hc‖∞ < γ .

Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 8.1 äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáûëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî

ATc X + XAc XBc CT

c

BTc X −γI DT

c

Cc Dc −γI

< 0 (8.17)

áûëî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû X = XT > 0.Óìíîæèì íåðàâåíñòâî (8.17) ñëåâà è ñïðàâà íà ìàòðèöó

X−1 0 0

0 I 0

0 0 I

è ñ ó÷åòîì (8.16) ïîëó÷èì

Y (A + B2Θ)T + (A + B2Θ)Y B1 Y (C1 + D12Θ)T

BT1 −γI DT

11

(C1 + D12Θ)Y D11 −γI

< 0 , (8.18)

ãäå Y = X−1. Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî ïðåäñòàâèìî â âèäåñëåäóþùåãî ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà îòíîñèòåëüíî ïåðåìåí-íûõ Y , Z = ΘY è γ:

F (Y, Z, γ) =

Y AT + AY + ZT BT

2 + B2Z B1 Y CT1 + ZT DT

12

BT1 −γI DT

11

C1Y + D12Z D11 −γI

< 0 .

(8.19)


Óòâåðæäåíèå 8.3 Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ H∞-ðåãóëÿòîðà ïî ñîñòîÿíèþñ çàäàííûì γ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëè nx × nx-ìàòðèöà Y = Y T > 0 è nu×nx-ìàòðèöà Z, óäîâëåòâîðÿþùèå ëèíåéíî-ìó ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó (8.19). Åñëè òàêèå ìàòðèöû Y è Z íàé-äåíû, òî ïàðàìåòðû Θ èñêîìîãî ðåãóëÿòîðà îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëåΘ = ZY −1. Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå γ íàõîäèòñÿ èç ðåøåíèÿ ñëåäóþùåéîïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è:

γ∗ = infF (Y,Z,γ)<0, Y >0

γ .

Ïðèìåð 8.2 H∞-óïðàâëåíèå ïî ñîñòîÿíèþ ëèíåéíûì îñöèëëÿòî-ðîì ñ äåìïôèðîâàíèåì. Ëèíåéíûé îñöèëëÿòîð îïèñûâàåòñÿ óðàâíå-íèåì

x1 = x2 ,x2 = −ω2

0x1 − δx2 + v + u ,z1 = x1 ,z2 = u ,


A =

0 1

−ω20 −δ

, B1 = B2 =

0

1

,

C1 =

1 0

0 0

, D11 =

0

0

, D12 =

0

1

.

Ðåøàÿ çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè γ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (8.19) äëÿ çíà÷åíèéω0 = 10, δ = 0.1, íàéäåì γ∗ = 0.7071 è ñîîòâåòñòâóþùèå ïàðàìåò-ðû Θ = (−0.005,−0.1). Òàêèì îáðàçîì, H∞-îïòèìàëüíûé ðåãóëÿòîð

u = −0.005x1 − 0.1x2

îáåñïå÷èâàåò ãàøåíèå êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà ñ ìèíèìàëüíî âîçìîæ-íûì óðîâíåì γ∗ = 0.7071.

Äðóãîé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ H∞-ðåãóëÿòîðà ïî ñîñòîÿíèþ ñîñòîèò âïðåäñòàâëåíèè íåðàâåíñòâà (8.18) â âèäå

Ψ + P T ΘT Q + QT ΘP < 0 , (8.20)


ãäå

Ψ =

Y AT + AY B1 Y CT

1

BT1 −γI DT

11

C1Y D11 −γI

,

P = (Y 0 0) , Q = (BT2 0 DT

12) .

(8.21)


W TP

Y AT + AY B1 Y CT

1

BT1 −γI DT

11

C1Y D11 −γI

WP < 0 ,

W TQ

Y AT + AY B1 Y CT

1

BT1 −γI DT

11

C1Y D11 −γI

WQ < 0 ,

(8.22)

ãäå

WP =

0 0

I 0

0 I

, WQ =

W

(1)Q 0

0 I

W(2)Q 0

,

à ìàòðèöû W(1)Q è W

(2)Q óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ

BT2 W

(1)Q + DT

12W(2)Q = 0 .

Ïåðâîå èç íåðàâåíñòâ (8.22) ñâîäèòñÿ ê íåðàâåíñòâó −γI DT11

D11 −γI

< 0 , (8.23)

ýêâèâàëåíòíîå óñëîâèþ γ2 > λmax(DT11D11), à âòîðîå ê íåðàâåíñòâó

N2 | 0

− − −

0 | I

T

Y AT + AY Y CT1 | B1

C1Y −γI | D11

− − − −

BT1 DT

11 | −γI

N2 | 0

− − −

0 | I

< 0 ,

(8.24)


ãäå ñòîëáöû ìàòðèöû N2 = col (W (1)Q , W

(2)Q ) îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû

(BT2 DT

12).Óòâåðæäåíèå 8.4 Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ H∞-ðåãóëÿòîðà ïî ñîñòîÿíèþñ çàäàííûì γ, óäîâëåòâîðÿþùåì (8.23), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òî-áû ñóùåñòâîâàëè nx × nx-ìàòðèöà Y = Y T > 0, óäîâëåòâîðÿþùàÿëèíåéíîìó ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó (8.24). Åñëè òàêàÿ ìàòðèöà Yíàéäåíà, òî ïàðàìåòðû Θ èñêîìîãî ðåãóëÿòîðà îïðåäåëÿþòñÿ èç ðåøå-íèÿ ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà (8.20). Ìèíèìàëüíî âîçìîæ-íûé óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé íàõîäèòñÿ èç ðåøåíèÿ çàäà÷è ìè-íèìèçàöèè γ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ, çàäàâàåìûõ ëèíåéíûìè ìàòðè÷íûìèíåðàâåíñòâàìè (8.23) è (8.24).

Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê ïîñòðîåíèþ H∞-ðåãóëÿòîðà k-ãî ïîðÿäêà ïî âû-õîäó â âèäå


(8.25)ãäå xr ∈ Rk ñîñòîÿíèå ðåãóëÿòîðà. Â ÷àñòíîì ñëó÷àå k = 0 èìååìñòàòè÷åñêèé ðåãóëÿòîð u = Dry. Óðàâíåíèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû (8.12),(8.25) ïðèìóò âèä

xc = Acxc + Bcv ,z = Ccxc + Dcv ,

(8.26)ãäå xc = col (x, xr),

Ac =

A + B2DrC2 B2Cr

BrC2 Ar

, Bc =

B1 + B2DrD21

BrD21

,

Cc = (C1 + D12DrC2 D12Cr) , Dc = D11 + D12DrD21 .

(8.27)

Äëÿ âûïîëíåíèÿ öåëè óïðàâëåíèÿ (8.13) ïåðåäàòî÷íàÿ ìàòðèöà çà-ìêíóòîãî îáúåêòà (8.26) îò âõîäà v ê âûõîäó z

Hc(s) = Dc + Cc(sI − Ac)−1Bc



ATc X + XAc XBc CT

c

BTc X −γI DT

c

Cc Dc −γI

< 0 (8.28)


áûëî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû X = XT > 0.Ââåäåì ìàòðèöó ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà

Θ =

Ar Br

Cr Dr

(8.29)

è ïðåäñòàâèì ìàòðèöû çàìêíóòîé ñèñòåìû â âèäå

Ac = A0 + BΘC , Bc = B0 + BΘD21 ,

Cc = C0 +D12ΘC , Dc = D11 +D12ΘD21 ,

ãäåA0 =

A 0nx×k

0k×nx 0k×k

,

B =

0nx×k B2

Ik 0k×nu

, C =

0k×nx Ik

C2 0ny×k

,

B0 =

B1

0k×nv

, C0 = (C1 0nz×k) ,

D12 = (0nz×k D12) , D21 =

0k×nv

D21

.

(8.30)

Ïîäñòàâèì ýòè âûðàæåíèÿ â (8.28) è ïðåäñòàâèì ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâîâ âèäå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ïà-ðàìåòðîâ Θ


Ψ =

AT

0 X + XA0 XB0 CT0

BT0 X −γI DT

11

C0 D11 −γI

,

P = (C D21 0(ny+k)×nz) , Q = (BT X 0(nu+k)×nv DT12) .

(8.32)

Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 3.2 ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî ðàçðåøèìî îòíîñè-


òåëüíî ìàòðèöû Θ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

W TP

AT

0 X + XA0 XB0 CT0

BT0 X −γI DT

11

C0 D11 −γI

WP < 0 ,

W TQ

AT

0 X + XA0 XB0 CT0

BT0 X −γI DT

11

C0 D11 −γI

WQ < 0 ,

(8.33)

ãäå ñòîëáöû ìàòðèöû WP îáðàçóþò áàçèñ N (P ) ÿäðà ìàòðèöû P , àñòîëáöû ìàòðèöû WQ îáðàçóþò áàçèñ N (Q) ÿäðà ìàòðèöû Q. Ïðåä-ñòàâèì

Q = (BT X 0 DT12) = R

X 0 0

0 I 0

0 0 I

, R = (BT 0(nu+k)×nv DT12) ,

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

WQ =

X−1 0 0

0 I 0

0 0 I

WR .

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (8.33), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó.Óòâåðæäåíèå 8.5 Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ H∞-ðåãóëÿòîðà k-ãî ïîðÿäêà ñçàäàííûì γ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëà (nx + k)×(nx + k)-ìàòðèöà X = XT > 0, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì äâóìíåðàâåíñòâàì

W TP

AT

0 X + XA0 XB0 CT0

BT0 X −γI DT

11

C0 D11 −γI

WP < 0 ,

W TR

X−1AT

0 + A0X−1 B0 X−1CT

0

BT0 −γI DT

11

C0X−1 D11 −γI

WR < 0 .

(8.34)


Åñëè óñëîâèÿ (8.34) âûïîëíåíû è òàêàÿ ìàòðèöà X íàéäåíà, òî ïàðà-ìåòðû Θ èñêîìîãî ðåãóëÿòîðà íàõîäÿòñÿ êàê ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî ìàò-ðè÷íîãî íåðàâåíñòâà (8.31).

Ââåäåì ìàòðèöó Y = X−1 è ïåðåïèøåì óñëîâèÿ (8.34) â âèäå ëèíåé-íûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ îòíîñèòåëüíî ìàòðèö X è Y :

W TP

AT

0 X + XA0 XB0 CT0

BT0 X −γI DT

11

C0 D11 −γI

WP < 0 ,

W TR

Y AT

0 + A0Y B0 Y CT0

BT0 −γI DT

11

C0Y D11 −γI

WR < 0 .

(8.35)

Òîãäà ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å A: ïîèñêó âçàèìíîîá-ðàòíûõ ìàòðèö X è Y (XY = I), óäîâëåòâîðÿþùèõ ëèíåéíûì ìàòðè÷-íûì íåðàâåíñòâàì (8.35).Ïðèìåð 8.3 H∞-óïðàâëåíèå ïî âûõîäó ëèíåéíûì îñöèëëÿòîðîìñ äåìïôèðîâàíèåì. Óðàâíåíèÿ ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà

x1 = x2 ,x2 = −ω2

0x1 − δx2 + v + u ,z1 = x1 ,z2 = u ,y = x1

ïðåäñòàâèì â âèäå (8.12), ãäå ìàòðèöû A, B1, B2, C1, D11, D12 çàäàíûâ ïðèìåðå 8.2, à

C2 = (1 0) , D21 = 0 .

Ïîñòðîèì ñíà÷àëà ñòàòè÷åñêèé ðåãóëÿòîð ïî âûõîäó (k = 0) âèäà

u = Θy .

Â äàííîì ñëó÷àå ïàðàìåòð Θ ìîæåò áûòü íàéäåí êàê ðåøåíèå ëèíåé-íîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà (8.31), â êîòîðîì

Ψ =

AT X + XA XB1 CT

1

BT1 X −γI 0

C1 0 −γI

,

P = (C2 D21 0) , Q = (BT2 X 0 DT

12) ,


à ìàòðèöà X ïîëó÷àåòñÿ èç ðåøåíèÿ çàäà÷è A äëÿ ëèíåéíûõ ìàò-ðè÷íûõ íåðàâåíñòâ (8.35). Â ðåçóëüòàòå äëÿ ω0 = 10 è δ = 0.1 áûëèïîëó÷åíû ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: γ∗ = 1.001 è Θ = 0.0390, à ïðè ìåíüøèõçíà÷åíèÿõ γ ðåøåíèÿ íàéòè íå óäàëîñü. Î÷åâèäíî, ÷òî íàèìåíüøåå äî-ïóñòèìîå çíà÷åíèå äîëæíî áûòü γ∗ = 1 ïðè çàêîíå óïðàâëåíèÿ u = 0(ñì. ïðèìåð 8.1), è ïîëó÷åííàÿ ðàçíèöà îáóñëîâëåíà òî÷íîñòüþ, ñ êîòî-ðîé ðåøàþòñÿ ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà â ïàêåòå MATLAB.

Ðàñ÷åò, ïðîâåäåííûé äëÿ äèíàìè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà ïî âûõîäó ïåð-âîãî ïîðÿäêà, ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó: ðåãóëÿòîð

xr = −0.9572xr − 103.25y ,u = −0.092xr − 0.0945y

îáåñïå÷èâàåò ãàøåíèå âîçìóùåíèé ñ óðîâíåì γ∗ = 0.708, ÷òî ñ âûñîêîéòî÷íîñòüþ ñîâïàäàåò ñ ìèíèìàëüíî âîçìîæíûì çíà÷åíèåì γ, îáåñïå-÷èâàåìûì ðåãóëÿòîðîì ïî ñîñòîÿíèþ (ñì. ïðèìåð 8.2).

Ïðåîáðàçóåì íåðàâåíñòâà (8.35), ó÷èòûâàÿ áëî÷íóþ ñòðóêòóðó ìàò-ðèö A0, B0, C0 è ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðèö X è Y â áëî÷-íîì âèäå

X =

X11 X12

XT12 X22

, Y =

Y11 Y12

Y T12 Y22

.

Ñîãëàñíî (8.30) è (8.32) èìååì

P =

0k×nx Ik 0k×nv 0k×nz

C2 0ny×k D21 0ny×nz

,

R =

0k×nx Ik 0k×nv 0k×nz

BT2 0nu×k 0nu×nv DT

12

,

ïîýòîìó â êà÷åñòâå WP è WR ìîæíî âçÿòü

WP =

W(1)P 0

0 0

W(2)P 0

0 I

, WR =

W(1)R 0

0 0

0 I

W(2)R 0

,

ãäå ìàòðèöû W(1)P , W

(2)P è ìàòðèöû W

(1)R , W

(2)R îïðåäåëÿþòñÿ èç ñëåäóþ-

ùèõ óðàâíåíèéC2W

(1)P + D21W

(2)P = 0 , BT

2 W(1)R + DT

12W(2)R = 0 .


Ñ ó÷åòîì ýòîãî ëåâûå ÷àñòè â (8.35) ïðèìóò âèä

W(1)P 0

0 0

W(2)P 0

0 I

T

AT X11 + X11A AT X12 X11B1 CT1

? 0 XT12B1 0

? ? −γI DT11

? ? ? −γI

W(1)P 0

0 0

W(2)P 0

0 I

,

W(1)R 0

0 0

0 I

W(2)R 0

T

Y11AT + AY11 AY12 B1 Y11C

T1

? 0 0 Y T12C

T1

? ? −γI DT11

? ? ? −γI

W(1)R 0

0 0

0 I

W(2)R 0

,

è, îêîí÷àòåëüíî, íåðàâåíñòâà (8.35) ñâîäÿòñÿ ê ñëåäóþùèì ëèíåéíûììàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì îòíîñèòåëüíî áëîêîâ X11 è Y11 âçàèìíîîáðàò-íûõ ìàòðèö X è Y :

N1 | 0

− − −

0 | I

T

AT X11 + X11A X11B1 | CT1

BT1 X11 −γI | DT

11

− − − −

C1 D11 | −γI

N1 | 0

− − −

0 | I

< 0 ,

N2 | 0

− − −

0 | I

T

Y11AT + AY11 Y11C

T1 | B1

C1Y11 −γI | D11

− − − −

BT1 DT

11 | −γI

N2 | 0

− − −

0 | I

< 0 ,

(8.36)ãäå ñòîëáöû ìàòðèö N1 = col (W (1)

P , W(2)P ) è N2 = col (W (1)

R , W(2)R ) îáðàçó-

þò áàçèñû ÿäåð ìàòðèö (C2 D21) è (BT2 DT

12) ñîîòâåòñòâåííî.Ñîãëàñíî ëåììå A.7 óñëîâèÿ X11 = XT

11 > 0, Y11 = Y T11 > 0, X11 I

I Y11

≥ 0 , (8.37)

rank (I −X11Y11) ≤ k (8.38)

8.3. Óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â äèñêðåòíîì îáúåêòå 115

ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè ñóùåñòâîâàíèÿ âçà-èìíîîáðàòíûõ ìàòðèö X > 0, Y > 0 c äàííûìè áëîêàìè X11, Y11. Òà-êèì îáðàçîì, çàäà÷à ñèíòåçà H∞-ðåãóëÿòîðîâ k-ïîðÿäêà ìîæåò áûòü òàê-æå ñâåäåíà ê ñôîðìóëèðîâàííîé âûøå çàäà÷å B: íàéòè äâå (nx × nx)-ìàòðèöû X11 = XT

11 > 0, Y11 = Y T11 > 0, óäîâëåòâîðÿþùèå ëèíåéíûì

ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì (8.36), (8.37) è óñëîâèþ (8.38), èëè óñòàíîâèòü,÷òî òàêèõ ìàòðèö íå ñóùåñòâóåò.

Çàìåòèì, ÷òî â âàæíîì ÷àñòíîì ñëó÷àå D11 = 0, ò.å. êîãäà óïðàâ-ëÿåìûé âûõîä íå ñîäåðæèò â ÿâíîì âèäå âîçìóùåíèå v, ìèíèìàëüíîâîçìîæíûé óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé îáåñïå÷èâàåòñÿ ðåãóëÿòîðîìïî ñîñòîÿíèþ. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå íåðàâåíñòâî (8.23) ñïðàâåä-ëèâî äëÿ ëþáûõ γ > 0, à âòîðîå íåðàâåíñòâî (8.36) äëÿ ðåãóëÿòîðîâ ïîâûõîäó ñîâïàäàåò ñ íåðàâåíñòâîì (8.24) äëÿ ðåãóëÿòîðîâ ïî ñîñòîÿíèþ.

Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ñèíòåç H∞-ðåãóëÿòîðîâ ïî âûõîäó ïîëíîãî ïî-ðÿäêà (k = nx) ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ òîëüêî ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðà-âåíñòâ (8.36) è (8.37), òàê êàê ðàíãîâîå óñëîâèå î÷åâèäíî âûïîëíÿåòñÿ. Âýòîì ñëó÷àå ìèíèìàëüíî âîçìîæíûé óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé íàõî-äèòñÿ èç ðåøåíèÿ çàäà÷è ìèíèìèçàöèè γ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ, çàäàâàåìûõýòèìè ëèíåéíûìè ìàòðè÷íûìè íåðàâåíñòâàìè.Ïðèìåð 8.4 H∞-ðåãóëÿòîð ïî âûõîäó ïîëíîãî ïîðÿäêà äëÿ ëè-íåéíîãî îñöèëëÿòîðà ñ äåìïôèðîâàíèåì. Óðàâíåíèÿ ëèíåéíîãî îñ-öèëëÿòîðà òàêèå æå, êàê è ïðèìåðå 8.3.

Ðàñ÷åò, ïðîâåäåííûé äëÿ äèíàìè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà ïî âûõîäó ïîë-íîãî (âòîðîãî) ïîðÿäêà, ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó: ðåãóëÿ-òîð

x(1)r = 0.0592x(1)

r − 0.8358x(2)r − 24.76y ,

x(2)r = 1.0667x(1)

r − 0.8604x(2)r + 20.24y ,

u = −0.2586x(1)r + 0.1836x(2)

r − 0.0389y

îáåñïå÷èâàåò ãàøåíèå âîçìóùåíèé ñ óðîâíåì γ∗ = 0.7072, ÷òî ñ âû-ñîêîé òî÷íîñòüþ ñîâïàäàåò ñ ìèíèìàëüíî âîçìîæíûì çíà÷åíèåì γ,îáåñïå÷èâàåìûì ðåãóëÿòîðîì ïî ñîñòîÿíèþ (ñì. ïðèìåð 8.2).

8.3 Óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â

äèñêðåòíîì îáúåêòå

Ïóñòü íà âõîä óñòîé÷èâîãî ëèíåéíîãî äèñêðåòíîãî îáúåêòàxt+1 = Axt + Bvt ,zt = Cxt + Dvt ,

(8.39)


â êîòîðîì xt ∈ Rnx , vt ∈ Rnv , zt ∈ Rnz è âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðè-öû A ëåæàò âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, äåéñòâóåòîãðàíè÷åííîå ïî íîðìå l2 âîçìóùåíèå vt, ò.å.

‖v‖ = (∞∑

t=0

|vt|2)1/2 < ∞ .

Êàê è äëÿ íåïðåðûâíûõ ñèñòåì, óðîâíåì ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â îáú-åêòå áóäåì íàçûâàòü âåëè÷èíó

γ∗ = sup‖v‖6=0

‖z‖‖v‖

. (8.40)

ßñíî, ÷òîγ∗ = inf

γγ :

‖z‖‖v‖

< γ, ∀ v, ‖v‖ 6= 0 .

Òðåáóåòñÿ âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â îáúåêòåìåíüøå çàäàííîãî ÷èñëà γ > 0, ò.å. âûïîëíÿåòñÿ ëè óñëîâèå

‖z‖‖v‖

< γ , ∀ v, ‖v‖ 6= 0 . (8.41)

Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ, èìååì

sup‖v‖6=0

‖z‖‖v‖

= supϕ∈[0,2π)

‖H(ej ϕ)‖ = ‖H‖∞ ,

ãäå H(q) = D + C(qI −A)−1B ïåðåäàòî÷íàÿ ìàòðèöà îáúåêòà (8.39) îòâõîäà v ê âûõîäó z, j =

√−1, ‖ · ‖ îáîçíà÷àåò ñïåêòðàëüíóþ ìàòðè÷íóþ

íîðìó, ò.å.‖H‖ = max

iσi(H) ,

σi i-å ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî ìàòðèöû H, à ‖ · ‖∞ ∞-íîðìà â ïðîñòðàí-ñòâå H(q) òàêèõ, ÷òî sup|q|≥1 ‖H(q)‖ < ∞. Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå (8.41)ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó

‖H‖∞ < γ (8.42)èëè, ÷òî òî æå, ÷àñòîòíîìó íåðàâåíñòâó

HT (e−j ϕ)H(ejϕ) < γ2I , ∀ϕ ∈ [0, 2π) . (8.43)Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå ýòîãî ÷àñòîòíîãî íåðà-âåíñòâà äëÿ çàäàííîãî γ.

8.3. Óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â äèñêðåòíîì îáúåêòå 117

Â ñëó÷àå îáúåêòà ñ îäíèì âõîäîì è îäíèì âûõîäîì ýòà çàäà÷à ëåã-êî ðåøàåòñÿ ãðàôè÷åñêè: íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñòðîèòñÿ ãîäîãðàô,ò.å. êðèâàÿ H(ej ϕ), ϕ ∈ [0, 2π), è íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ëåæèòëè ýòà êðèâàÿ âíóòðè êðóãà ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäóñîìγ. Â ñëó÷àå îáúåêòà ñî ìíîãèìè âõîäàìè ïðèìåíèì äèñêðåòíûé âàðèàíò÷àñòîòíîé òåîðåìû (ñì. ëåììó H.2 â Ïðèëîæåíèè) è ñâåäåì ïðîâåðêó âû-ïîëíåíèÿ ÷àñòîòíîãî óñëîâèÿ (8.43) ê çàäà÷å î ðàçðåøèìîñòè ëèíåéíîãîìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà.

Ñîãëàñíî ÷àñòîòíîé òåîðåìå âûïîëíåíèå ïî òðàåêòîðèÿì ñèñòåìû(8.39) íåðàâåíñòâà

Vt+1 − Vt − L(xt, vt) < 0 , ∀xt, vt, |xt|+ |vt| 6= 0

äëÿ çàäàííîé ýðìèòîâîé ôîðìû L(x, v) âåêòîðîâ x ∈ Cnx , v ∈ Cnv èíåêîòîðîé Vt = V (xt) = xT

t Xxt ñ ýðìèòîâîé ìàòðèöåé X èëè, äðóãèìèñëîâàìè, âûïîëíåíèå äëÿ íåêîòîðîé X = X∗ íåðàâåíñòâà(Axt+Bvt)

∗X(Axt+Bvt)−xTt Xxt−L(xt, vt) < 0 , ∀xt, vt, |xt|+ |vt| 6= 0

(8.44)ýêâèâàëåíòíî âûïîëíåíèþ ÷àñòîòíîãî íåðàâåíñòâà

L[(ej ϕI − A)−1Bvt, vt] > 0 , ∀ϕ ∈ [0, 2π) , ∀ |vt| 6= 0 . (8.45)Åñëè

L(x, v) = (xT , vT ) L

x

v

, L =

L11 L12

LT12 L22

,

òî íåðàâåíñòâî (8.44) ïðèìåò âèä ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà AT XA−X − L11 AT XB − L12

BT XA− LT12 BT XB − L22

< 0 , (8.46)

à ÷àñòîòíîå óñëîâèå (8.45) çàïèøåòñÿ â âèäå (e−j ϕI − A)−1B

I

T L11 L12

LT12 L22

(ej ϕI − A)−1B

I

> 0 . (8.47)

Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (8.43), âûáåðåì ýðìèòîâó ôîðìóL(x, v) = γ2v∗v − (Cx + Dv)∗(Cx + Dv) (8.48)

òàê, ÷òîáû íåðàâåíñòâî (8.47) ñâåëîñü ê ýêâèâàëåíòíîìó (8.43) íåðàâåí-ñòâó

γ2I −HT (e−j ϕ)H(ej ϕ) > 0 , ∀ϕ ∈ [0, 2π) .


Ñîãëàñíî ÷àñòîòíîé òåîðåìå äëÿ âûïîëíåíèÿ ýòîãî óñëîâèÿ íåîáõîäèìîè äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà(Axt +Bvt)

∗X(Axt +Bvt)−xTt Xxt +(Cxt +Dvt)

∗(Cxt +Dvt)−γ2v∗t vt < 0 .

Çàìåíÿÿ çäåñü X íà γX è óìíîæàÿ ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî íà γ−1, ïî-ëó÷èì

x∗t (AT XA−X + γ−1CT C)xt + 2Rex∗t (A

T XB + γ−1CT D)vt+

+v∗t (γ−1DT D − γI + BT XB)vt < 0 .

Òàê êàê ýòî íåðàâåíñòâî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ âñåõ xt è vt, òî îíîýêâèâàëåíòíî ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó AT XA−X + γ−1CT C AT XB + γ−1CT D

(AT XB + γ−1CT D)T −γI + BT XB + γ−1DT D

< 0 (8.49)

èëè, ñ ó÷åòîì ëåììû A.2, íåðàâåíñòâó

Fd(X, γ) =

AT XA−X AT XB CT

BT XA −γI + BT XB DT

C D −γI

< 0 . (8.50)

Çàìåòèì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî íåðàâåíñòâà â ñèëó ëåììû A.2äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ

AT XA−X < 0 ,

èç êîòîðîãî, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìàòðèöà A èìååò âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿâíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, â ñèëó òåîðåìû Ëÿïó-íîâà äëÿ äèñêðåòíûõ ñèñòåì (ñì. ëåììó E.2 â Ïðèëîæåíèè) ñëåäóåò, ÷òîX > 0. Òàêèì îáðàçîì, íà îñíîâàíèè äèñêðåòíîãî âàðèàíòà ÷àñòîòíîéòåîðåìû ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó.Óòâåðæäåíèå 8.6 Ïóñòü â îáúåêòå (8.39) ìàòðèöà A èìååò âñå ñîá-ñòâåííûå çíà÷åíèÿ âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.Äëÿ òîãî, ÷òîáû óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â ýòîì îáúåêòå áûëìåíüøå çàäàííîãî ÷èñëà γ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ëèíåéíîåìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî (8.50) áûëî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ñèììåò-ðè÷åñêîé (nx × nx)-ìàòðèöû X > 0.

Îòìåòèì, ÷òî (8.50) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâîì îò-íîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ X è γ. Ïîýòîìó âû÷èñëåíèå óðîâíÿ ãàøåíèÿâîçìóùåíèé â îáúåêòå ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è îïòèìèçàöèè ëèíåé-íîé ôóíêöèè ïðè îãðàíè÷åíèè, çàäàííîì ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðà-âåíñòâîì.

8.4. H∞-ðåãóëÿòîðû äëÿ äèñêðåòíûõ îáúåêòîâ 119

Óòâåðæäåíèå 8.7 Îïðåäåëåííûé â (8.40) óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùå-íèé â óñòîé÷èâîì îáúåêòå (8.39) íàõîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì

γ∗ = infFd(X,γ)<0

γ ,

ãäå ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî Fd(X, γ) < 0 çàäàíî â (8.50).

8.4 H∞-ðåãóëÿòîðû äëÿ äèñêðåòíûõ îáúåêòîâ

Ðàññìîòðèì äèñêðåòíûé óïðàâëÿåìûé îáúåêòxt+1 = Axt + B1vt + B2ut ,zt = C1xt + D11vt + D12ut ,yt = C2xt + D21vt ,

(8.51)

â êîòîðîì xt ∈ Rnx ñîñòîÿíèå, vt ∈ Rnv âîçìóùåíèå, ut ∈ Rnu óïðàâëåíèå, zt ∈ Rnz óïðàâëÿåìûé âûõîä, yt ∈ Rny èçìåðÿåìûéâûõîä. Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ëèíåéíûé äèíàìè÷åñêèé ðåãóëÿòîð k-ãî ïî-ðÿäêà âèäà

x(r)t+1 = Arx

(r)t + Bryt ,


(8.52)

ãäå x(r)t ∈ Rk ñîñòîÿíèå ðåãóëÿòîðà, îáåñïå÷èâàþùèé àñèìïòîòè÷åñêóþ

óñòîé÷èâîñòü çàìêíóòîé ñèñòåìû (8.51), (8.52) è âûïîëíåíèå óñëîâèÿ‖z‖‖v‖

< γ , ∀ v, ‖v‖ 6= 0 (8.53)äëÿ çàäàííîãî γ.

Óðàâíåíèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû (8.51), (8.52) ïðèìóò âèäx

(c)t+1 = Acx

(c)t + Bcvt ,

zt = Ccx(c)t + Dcvt ,

(8.54)

ãäå

Ac =

(A + B2DrC2 B2Cr

BrC2 Ar

), Bc =

(B1 + B2DrD21

BrD21

),

Cc = (C1 + D12DrC2 D12Cr) , Dc = D11 + D12DrD21 .

(8.55)

Ââåäåì ìàòðèöó ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà

Θ =

(Ar Br

Cr Dr

)(8.56)


è ïðåäñòàâèì ìàòðèöû çàìêíóòîé ñèñòåìû â âèäåAc = A0 + BΘC , Bc = B0 + BΘD21 ,

Cc = C0 +D12ΘC , Dc = D11 +D12ΘD21 ,(8.57)

ãäå

A0 =

A 0nx×k

0k×nx 0k×k

,

B =

0nx×k B2

Ik 0k×nu

, C =

0k×nx Ik

C2 0ny×k

,

B0 =

B1

0k×nv

, C0 = (C1 0nz×k) ,

D12 = (0nz×k D12) , D21 =

0k×nv

D21

.

(8.58)

Äëÿ âûïîëíåíèÿ öåëè óïðàâëåíèÿ (8.53) ïåðåäàòî÷íàÿ ìàòðèöà çà-ìêíóòîãî îáúåêòà (8.54) îò âõîäà vt ê âûõîäó zt

Hc(q) = Dc + Cc(qI − Ac)−1Bc



ATc XAc −X AT

c XBc CTc

BTc XAc −γI + BT

c XBc DTc

Cc Dc −γI

< 0 . (8.59)

áûëî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû X = XT > 0. Ïî àíàëîãèèñ ñèíòåçîì H∞-óïðàâëåíèÿ äëÿ íåïðåðûâíîãî îáúåêòà äàëåå òðåáóåòñÿïðåâðàòèòü ýòî íåðàâåíñòâî â ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî îòíîñè-òåëüíî ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà Θ, ïîäñòàâëÿÿ â ëåâóþ ÷àñòü (8.59) âûðà-æåíèÿ (8.57) äëÿ ìàòðèö çàìêíóòîé ñèñòåìû. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðè


ýòîì áëîêè ïîëó÷åííîé ìàòðèöû áóäóò ñîäåðæàòü êâàäðàòè÷íûå ïî Θñëàãàåìûå. Ïîýòîìó ïðåîáðàçóåì (8.59) ê ýêâèâàëåíòíîìó íåðàâåíñòâó

−X−1 Ac Bc 0

ATc −X 0 CT

c

BTc 0 −γI DT

c

0 Cc Dc −γI

< 0 , (8.60)

â ëåâóþ ÷àñòü êîòîðîãî Θ âõîäèò ëèíåéíî. Ïîêàæåì, ÷òî íåðàâåíñòâà(8.59) è (8.60) ýêâèâàëåíòíû.

Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî ëåììå A.2 íåðàâåíñòâî (8.60) âûïîëíÿåòñÿòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

X > 0 ,

−X 0 CT

c

0 −γI DTc

Cc Dc −γI

+

AT

c

BTc

0

X(Ac Bc 0) < 0 . (8.61)

Ïåðâîå èç ýòèõ íåðàâåíñòâ ñëåäóåò èç (8.59) ñ ó÷åòîì ëåììû A.2 è òåî-ðåìû Ëÿïóíîâà (ñì. ëåììó E.2 â Ïðèëîæåíèè), òàê êàê âñå ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿ ìàòðèöû Ac äîëæíû ëåæàòü âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà êîì-ïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Çàïèøåì âòîðîå íåðàâåíñòâî (8.61) â âèäå

AT

c XAc −X ATc XBc CT

c

BTc XAc −γI + BT

c XBc DTc

Cc Dc −γI

< 0 ,

êîòîðîå ñîãëàñíî ëåììå A.2 âûïîëíÿåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà AT

c XAc −X ATc XBc

BTc XAc −γI + BT

c XBc

+ γ−1

CTc

DTc

(Cc Dc) < 0 .

Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî ñîâïàäàåò ñ íåðàâåíñòâîì (8.59).Íåðàâåíñòâî (8.60) ïðåäñòàâèìî â âèäå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðà-

âåíñòâà îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ Θ

Ψ + P T ΘT Q + QT ΘP < 0 , (8.62)


â êîòîðîì

Ψ =

−X−1 A0 B0 0

AT0 −X 0 CT

0

BT0 0 −γI DT

11

0 C0 D11 −γI

,

P = (0(ny+k)×(nx+k) C D21 0(ny+k)×nz) ,

Q = (BT 0(nu+k)×(nx+k) 0(nu+k)×nv DT12)

(8.63)

è âñå ìàòðèöû îïðåäåëåíû â (8.58). Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 3.2 îòíîñè-òåëüíî ðàçðåøèìîñòè òàêîãî òèïà íåðàâåíñòâ ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó.

Óòâåðæäåíèå 8.8 Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ H∞-ðåãóëÿòîðà k-ãî ïîðÿäêà ñçàäàííûì γ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëà (nx + k)×(nx + k)-ìàòðèöà X = XT > 0, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì äâóìíåðàâåíñòâàì

W TP

−X−1 A0 B0 0

AT0 −X 0 CT

0

BT0 0 −γI DT

11

0 C0 D11 −γI

WP < 0 ,

W TQ

−X−1 A0 B0 0

AT0 −X 0 CT

0

BT0 0 −γI DT

11

0 C0 D11 −γI

WQ < 0 .

(8.64)

Åñëè óñëîâèÿ (8.64) âûïîëíåíû è òàêàÿ ìàòðèöà X íàéäåíà, òî ïàðà-ìåòðû Θ èñêîìîãî ðåãóëÿòîðà íàõîäÿòñÿ êàê ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî ìàò-ðè÷íîãî íåðàâåíñòâà (8.62).

Ââåäåì ìàòðèöó Y = X−1 è ïåðåïèøåì óñëîâèÿ (8.64) â âèäå ëèíåé-


íûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ îòíîñèòåëüíî ìàòðèö X è Y :

W TP

−Y A0 B0 0

AT0 −X 0 CT

0

BT0 0 −γI DT

11

0 C0 D11 −γI

WP < 0 ,

W TQ

−Y A0 B0 0

AT0 −X 0 CT

0

BT0 0 −γI DT

11

0 C0 D11 −γI

WQ < 0 .

(8.65)

Òîãäà ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å A: íàéòè äâå âçàèì-íîîáðàòíûå ìàòðèöû X è Y (XY = I), óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâàì(8.65).


X =

X11 X12

XT12 X22

, Y =

Y11 Y12

Y T12 Y22

.


P =

0k×nx 0k×k 0k×nx Ik 0k×nv 0k×nz

0ny×nx 0ny×k C2 0ny×k D21 0ny×nz

,

Q =

0k×nx Ik 0k×nx 0k×k 0k×nv 0k×nz

BT2 0nu×k 0nu×nx 0nu×k 0nu×nv DT

12

,

ïîýòîìó

WP =

0 I 0 0

0 0 I 0

W(1)P 0 0 0

0 0 0 0

W(2)P 0 0 0

0 0 0 I

, WQ =

W(1)Q 0 0 0

0 0 0 0

0 I 0 0

0 0 I 0

0 0 0 I

W(2)Q 0 0 0

,


ãäå ìàòðèöû W(1)P , W (2)

P è ìàòðèöû W(1)Q , W (2)

Q óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèìóðàâíåíèÿì

C2W(1)P + D21W

(2)P = 0 , BT

2 W(1)Q + DT

12W(2)Q = 0 .

Ñ ó÷åòîì ýòîãî íåðàâåíñòâà (8.65) ïðèìóò âèä

W TP

−Y11 −Y12 A 0 B1 0

? −Y22 0 0 0 0

? ? −X11 −X12 0 CT1

? ? ? −X22 0 0

? ? ? ? −γI DT11

? ? ? ? ? −γI

WP < 0 ,

W TQ

−Y11 −Y12 A 0 B1 0

? −Y22 0 0 0 0

? ? −X11 −X12 0 CT1

? ? ? −X22 0 0

? ? ? ? −γI DT11

? ? ? ? ? −γI

WQ < 0 .

Ïîñëå óìíîæåíèÿ ïåðâîå èç ýòèõ íåðàâåíñòâ çàïèøåòñÿ â âèäå

−W(1)P

TX11W

(1)P − γW

(2)P

TW

(2)P ? ?

(AW

(1)P + B1W

(2)P

0

)−Y ?

C1W(1)P + D11W

(2)P 0 −γI

< 0,

êîòîðîå ïî ëåììå A.4 ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî Y > 0, ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó −W(1)P

TX11W

(1)P − γW

(2)P

TW

(2)P W

(1)P

TCT

1 + W(2)P

TDT

11

C1W(1)P + D11W

(2)P −γI

+

+

W(1)P

TAT + W

(2)P

TBT

1 0

0 0

Y −1

AW(1)P + B1W

(2)P 0

0 0

< 0 .


Òàê êàê Y −1 = X, òî âî âòîðîå ñëàãàåìîå â ëåâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãîíåðàâåíñòâà âõîäèò òîëüêî áëîê X11. Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ìîæ-íî óáåäèòñÿ, ÷òî ýòî íåðàâåíñòâî ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó ëèíåéíîìó ìàò-ðè÷íîìó íåðàâåíñòâó îòíîñèòåëüíî X11:

W TP

AT X11A−X11 AT X11B1 | CT1

? −γI + BT1 X11B1 | DT

11

− − | −

? ? | −γI

WP < 0 , (8.66)

ãäå

WP =

N1 | 0

− | −

0 | I

,

à ñòîëáöû ìàòðèöû N1 = col (W (1)P , W

(2)P ) îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû

(C2 D21).Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì âòîðîå èç íåðàâåíñòâ (8.65) ïðåîáðàçóåòñÿ ê

âèäó

W TQ

AY11AT − Y11 AY11C

T1 | B1

? −γI + C1Y11CT1 | D11

− − | −

? ? | −γI

WQ < 0 , (8.67)

ãäå

WQ =

N2 | 0

− | −

0 | I

,

à ñòîëáöû ìàòðèöû N2 = col (W (1)Q , W


(BT2 DT

12). Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñèíòåçà H∞-ðåãóëÿòîðîâ k-ïîðÿäêàäëÿ äèñêðåòíûõ îáúåêòîâ ìîæåò áûòü òàêæå ñâåäåíà ê ñôîðìóëèðî-âàííîé âûøå çàäà÷å B: íàéòè äâå (nx × nx)-ìàòðèöû X11 = XT

11 > 0,Y11 = Y T

11 > 0, óäîâëåòâîðÿþùèå ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì(8.66), (8.67) è X11 I

I Y11

≥ 0 ,



èëè óñòàíîâèòü, ÷òî òàêèõ ìàòðèö íå ñóùåñòâóåò.

×àñòü III

Çàêîíû óïðàâëåíèÿ ïðè

íåîïðåäåëåííîñòè

127

129

Èçëîæåííûé âûøå ñèíòåç ðåãóëÿòîðîâ îñóùåñòâëÿëñÿ â ïðåäïîëîæå-íèè, ÷òî äèíàìèêà óïðàâëÿåìîãî îáúåêòà îïèñûâàåòñÿ ëèíåéíûìè äèô-ôåðåíöèàëüíûìè èëè ðàçíîñòíûìè óðàâíåíèÿìè ñ èçâåñòíûìè ïîñòî-ÿííûìè ïàðàìåòðàìè. Âìåñòå ñ òåì, äëÿ àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ìíîãèõðåàëüíûõ îáúåêòîâ óïðàâëåíèÿ â èõ ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè íåîáõîäèìîâêëþ÷àòü íåñòàöèîíàðíûå ïàðàìåòðû, èçìåíÿþùèåñÿ â çàäàííûõ ãðà-íèöàõ, à òàêæå âîçìîæíî íåëèíåéíûå õàðàêòåðèñòèêè è äàæå öåëûå äè-íàìè÷åñêèå áëîêè, êîòîðûå òî÷íî íåèçâåñòíû. Ðîáàñòíàÿ óñòîé÷èâîñòüñèñòåìû ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ ïðåäïîëàãàåò àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷è-âîñòü ëþáîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû èç öåëîãî êëàññà, âûäåëÿåìîãî íàîñíîâå èìåþùåéñÿ àïðèîðíîé èíôîðìàöèè, à ñèíòåç ðîáàñòíîãî óïðàâ-ëåíèÿ ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè ðåãóëÿòîðà, êîòîðûé îáåñïå÷èò âûïîëíåíèåöåëè óïðàâëåíèÿ äëÿ ëþáîãî âîçìîæíîãî îáúåêòà èç ýòîãî êëàññà.

Èçâåñòíûå ìåòîäû àíàëèçà ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè è ñèíòåçà ðî-áàñòíîãî óïðàâëåíèÿ îñíîâàíû íà ïðèìåíåíèè êðèòåðèåâ Ìèõàéëîâà èÍàéêâèñòà, D-ðàçáèåíèÿ Íåéìàðêà [24, 25], òåîðåìû Õàðèòîíîâà [32],µ-àíàëèçà [76, 55], ãîäîãðàôà Öûïêèíà-Ïîëÿêà [37] è ìíîãîãî äðóãîãî.Íèæå èçëàãàþòñÿ ìåòîäû, èñïîëüçóþùèå ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåí-ñòâà.

Ãëàâà 9

Ìîäåëè íåîïðåäåëåííîñòè

9.1 Ïàðàìåòðè÷åñêàÿ íåîïðåäåëåííîñòü

Ðàññìîòðèì äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ âèäà

x = Ax , A = A + FΩ(t)E , (9.1)

ãäå ïåðâîå ñëàãàåìîå A çàäàííàÿ ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà (èíîãäà åå íàçû-âàþò ìàòðèöåé íîìèíàëüíîé ñèñòåìû), à âî âòîðîì ñëàãàåìîì, ïðåäñòàâ-ëÿþùåì åå âîçìóùåíèå, âûçâàííîå íàëè÷èåì íåîïðåäåëåííîñòè, F , E çàäàííûå ïîñòîÿííûå ìàòðèöû, à Ω(t) íåèçâåñòíàÿ ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿñ ýëåìåíòàìè, çàâèñÿùèìè îò t, êîòîðàÿ îãðàíè÷åíà ïî íîðìå

ΩT (t)Ω(t) ≤ η2I (9.2)

ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè η 6= 0. Íåîïðåäåëåííîñòü ýòîãî âèäà áóäåì íàçû-âàòü ïàðàìåòðè÷åñêîé íåîïðåäåëåííîñòüþ.

Òàêàÿ ñòðóêòóðà ïîçâîëÿåò îïèñûâàòü ðàçëè÷íûå ñèñòåìû ñ íåèçâåñò-íûìè îãðàíè÷åííûìè íåñòàöèîíàðíûìè ïàðàìåòðàìè. Íàïðèìåð, ïóñòü

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

,

è êàêèå-òî äâà ýëåìåíòà ýòîé ìàòðèöû âîçìóùåíû íà âåëè÷èíû Ω1(t) èΩ2(t), ñâÿçàííûå îáùèì íåðàâåíñòâîì

Ω21(t) + Ω2

2(t) ≤ η2 . (9.3)

131

132 Ãëàâà 9. Ìîäåëè íåîïðåäåëåííîñòè

Ðàññìîòðèì òðè ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿ. Ïóñòü ñíà÷àëà

A =

a11 a12 + Ω1(t) a13

a21 a22 a23

a31 a32 + Ω2(t) a33

.

Òîãäà

A = A +

1 0

0 0

0 1

Ω1(t)

Ω2(t)

(0 1 0) .

Ïóñòü òåïåðü

A =

a11 a12 + Ω1(t) a13 + Ω2(t)

a21 a22 a23

a31 a32 a33

.

Òîãäà

A = A +

1

0

0

(Ω1(t) Ω2(t))

0 1 0

0 0 1

,

è íåðàâåíñòâî (9.2) ïðèíèìàåò âèä Ω21(t) Ω1(t)Ω2(t)

Ω1(t)Ω2(t) Ω22(t)

≤ η2I ,

÷òî ýêâèâàëåíòíî (9.3).Ïóñòü, íàêîíåö,

A =

a11 a12 + Ω1(t) a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33 + Ω2(t)

.

Òîãäà

A = A +

1 0

0 0

0 1

Ω1(t) 0

0 Ω2(t)

0 1 0

0 0 1

,

9.1. Ïàðàìåòðè÷åñêàÿ íåîïðåäåëåííîñòü 133

è íåðàâåíñòâî (9.2) ïðèíèìàåò âèä Ω21(t) 0

0 Ω22(t)

≤ η2I .

Ýòî íåðàâåíñòâî ñâîäèòñÿ ê äâóì íåðàâåíñòâàì

|Ω1(t)| ≤ η , |Ω2(t)| ≤ η ,

êîòîðûå îïðåäåëÿþò áîëåå øèðîêóþ îáëàñòü âîçìóùåíèé, ÷åì èñõîäíîåíåðàâåíñòâî (9.3).

Áóäåì òàêæå ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìû ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ âèäà

x = Ax , A = A +nc∑i=1

FiΩi(t)Ei , (9.4)

â êîòîðûõ Fi ñòîëáöû, Ei ñòðîêè, à Ωi(t) íåèçâåñòíûå ñêàëÿðíûåôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâàì

|Ωi(t)| ≤ η , i = 1, . . . , nc (9.5)

ïðè çàäàííîì η 6= 0. Òàêàÿ ôîðìà ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü âîçìóùåí-íûå ìàòðèöû, ýëåìåíòû êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò íåñêîëüêèì îãðàíè÷å-íèÿì.

Ïðèìåð 9.1 Ðàññìîòðèì ëèíåéíûé îñöèëëÿòîð ñ íåèçâåñòíûìè êîýô-ôèöèåíòàìè äåìïôèðîâàíèÿ è æåñòêîñòè

m0ξ + b0(1 + f1Ω1(t))ξ + c0(1 + f2Ω2(t))ξ = 0 , (9.6)

ãäå m0, b0 è c0 íîìèíàëüíûå çíà÷åíèÿ ìàññû ìàòåðèàëüíîé òî÷êè,êîýôôèöèåíòîâ äåìïôèðîâàíèÿ è æåñòêîñòè, f1 è f2 çàäàííûå ÷èñëà,Ω1(t) è Ω2(t) íåèçâåñòíûå ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå îãðàíè÷åíèÿì

|Ω1(t)| ≤ 1 , |Ω2(t)| ≤ 1 .

Îáîçíà÷èâ x1 = ξ è x2 = ξ, çàïèøåì óðàâíåíèå (9.6) â âèäå ñèñòåìû

x1 = x2

x2 = − c0

m0

(1 + f2Ω2(t))x1 −b0

m0

(1 + f1Ω1(t))x2 ,


êîòîðàÿ ïðåäñòàâèìà â ôîðìå (9.4) ñ

A =

0 1

− c0

m0

− b0

m0

, F1 =

0

f1

, F2 =

0

f2

,

E1 = (0 − b0

m0

) , E2 = (− c0

m0

0) .

Íàðÿäó ñ ïàðàìåòðè÷åñêèìè íåîïðåäåëåííîñòÿìè (9.1) è (9.4) áóäåìðàññìàòðèâàòü è äðóãóþ áîëåå îáùóþ ìîäåëü ñèñòåìû ñ ïàðàìåòðè÷å-ñêîé íåîïðåäåëåííîñòüþ

x = Ax + Bv∆

z∆ = Cx + Dv∆

v∆ = ∆(t)z∆ .(9.7)

Â ýòèõ óðàâíåíèÿõ v∆ áóäåì íàçûâàòü âõîäîì íåîïðåäåëåííîñòè, z∆ âûõîäîì íåîïðåäåëåííîñòè (ñì. ðèñ. 9.1), à ∆(t) íåèçâåñòíàÿ ìàòðèöà,óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâó

∆T (t)∆(t) ≤ η2I . (9.8)Âî ìíîãèõ çàäà÷àõ ýòà ìàòðèöà èìååò áëî÷íî-äèàãîíàëüíóþ ñòðóêòóðóâèäà

∆(t) = diag (δ1(t)Ik1 , . . . , δr(t)Ikr , ∆1(t), . . . , ∆f (t)) , (9.9)ãäå ïåðâûå r áëîêîâ äèàãîíàëüíûå, à ïîñëåäíèå f áëîêîâ ÿâëÿþòñÿïîëíûìè êâàäðàòíûìè ìàòðèöàìè ïîðÿäêîâ m1, . . . ,mf .

Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå v∆ èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ (9.7) â ïåðâûåäâà, íàéäåì, ÷òî

x = (A + B∆(t)(I −D∆(t))−1C)x

ïðè óñëîâèè, ÷òî det (I −D∆(t)) 6= 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íåîïðåäåëåííàÿñèñòåìà (9.7) ìîæåò âêëþ÷àòü íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû, êîòîðûå âõîäÿòíåëèíåéíî â óðàâíåíèÿ îáúåêòà. Â ÷àñòíîì ñëó÷àå D = 0 ñèñòåìà (9.7)ïðèíèìàåò âèä

x = (A + B∆(t)C)x ,

ñîâïàäàþùèé c (9.4) ïðè

B = (F1, F2, · · · , Fnc), ∆(t) =

Ω1(t) 0 · · · 0

0 Ω2(t) · · · 0

· · · · · · · · · · · ·

0 0 · · · Ωnc(t)

, C =

E1

E2

· · ·

Enc

.

9.1. Ïàðàìåòðè÷åñêàÿ íåîïðåäåëåííîñòü 135

Ïðèìåð 9.2 Ðàññìîòðèì ëèíåéíûé îñöèëëÿòîð ñ íåèçâåñòíîé ìàññîéè íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè äåìïôèðîâàíèÿ è æåñòêîñòè

mξ + bξ + cξ = 0 , (9.10)

ãäå m = m0(1 + wmδm), b = b0(1 + wbδb), c = c0(1 + wcδc), m0, b0, c0 íî-ìèíàëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, |δm| ≤ η, |δb| ≤ η, |δc| ≤ η. Îáîçíà÷àÿx1 = ξ è x2 = ξ, çàïèøåì ýòî óðàâíåíèå â âèäå

x1 = x2

x2 = − c0

m0

x1 −b0

m0

x2 − wmδm x2 − wcδcc0

m0

x1 − wbδbb0

m0

x2 .

Òåïåðü, îáîçíà÷èâ v∆ = col (vm, vc, vb) è z∆ = col (zm, zc, zb), ãäå

vm = −δmx2 , vc = −δcc0

m0

x1 , vb = −δbb0

m0

x2

zm = −x2 =c0

m0

x1 +b0

m0

x2 − wmvm − wcvc − wbvb ,

zc = − c0

m0

x1 , zb = − b0

m0

x2 ,

ïðåäñòàâèì ýòó ñèñòåìó â âèäå (9.7), (9.8), ãäå

A =

0 1

− c0

m0

− b0

m0

, B =

0 0 0

wm wc wb

,

C =

c0

m0

b0

m0

− c0

m0

0

0 − b0

m0

, D =

−wm −wc −wb

0 0 0

0 0 0

,

∆(t) =

δm(t) 0 0

0 δc(t) 0

0 0 δb(t)

.


9.2 Äèíàìè÷åñêàÿ íåîïðåäåëåííîñòü

Äðóãîé êëàññ ñèñòåì ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ, êîòîðûé ìû áóäåì ðàññìàò-ðèâàòü, îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè

x = Ax + Bv∆

z∆ = Cx + Dv∆

v∆ = ∆z∆

(9.11)

è ñõåìàòè÷íî ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 9.1. Â ýòèõ óðàâíåíèÿõ A, B, C, D çàäàííûå ìàòðèöû, à ∆ ëèíåéíûé îïåðàòîð ñ îãðàíè÷åííîé L2-íîðìîé,ò.å.

‖∆‖ = supz∆ 6≡0

‖v∆(t)‖2

‖z∆(t)‖2

≤ η , (9.12)ãäå η íåêîòîðîå ÷èñëî.

Ïðèâåäåì ïðèìåð òàêîãî îïèñàíèÿ.

Ïðèìåð 9.3 Ðàññìîòðèì äâóõìàññîâóþ ñèñòåìó (ñì. ðèñ. 9.2), îïèñû-âàåìóþ óðàâíåíèÿìè

m1ξ1 = −b1ξ1 − c1ξ1 − b2(ξ1 − ξ2)− c2(ξ1 − ξ2) ,

m2ξ2 = b2(ξ1 − ξ2) + c2(ξ1 − ξ2) ,(9.13)

ãäå m1, m2 ìàññû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, b1, b2 êîýôôèöèåíòû äåìï-ôèðîâàíèÿ, c1, c2 êîýôôèöèåíòû æåñòêîñòè. Äîïóñòèì, ÷òî îòñóò-ñòâóåò èíôîðìàöèÿ î çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ m2, b2 è c2. Ââåäåì ïåðå-ìåííûå x1 = ξ1, x2 = ξ1, îáîçíà÷èì v∆ = −m2ξ2 è çàïèøåì ïåðâîåóðàâíåíèå (9.13) â âèäå

x1 = x2

x2 = − c1

m1

x1 −b1

m1

x2 +1

m1

v∆ .

Ââåäåì îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ sy(t) =dy

dt. Èç âòîðîãî óðàâíå-

íèÿ (9.13) èìååì

(m2s2 + b2s + c2)ξ2 = (b2s + c2)ξ1

è, îáîçíà÷àÿ

z∆ = − c1

m1

x1 −b1

m1

x2 +1

m1

v∆ ,

9.3. Íåëèíåéíàÿ íåîïðåäåëåííîñòü 137

íàéäåì(m2s

2 + b2s + c2)v∆ = −m2(b2s + c2)z∆ .

Ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïðè v∆(0) = 0 è v∆(0) = 0 îïðåäåëÿåòîïåðàòîð ∆ : L2 → L2, êîòîðûé ôóíêöèè z∆(t) ñòàâèò â ñîîòâåò-ñòâèå ôóíêöèþ v∆(t). Äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâîïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèåì

‖∆‖ = supω∈(−∞,∞)

‖H(j ω)‖ = ‖H‖∞ ≤ η ,

ãäåH(s) = − m2(b2s + c2)

m2s2 + b2s + c2

.

9.3 Íåëèíåéíàÿ íåîïðåäåëåííîñòü

Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ñ íåîïðåäåëåííîñòüþx = Ax + ∆(x) , (9.14)

ãäå âåêòîð-ôóíêöèÿ ∆(x) îòâå÷àåò íåëèíåéíîé íåîïðåäåëåííîñòè, îãðà-íè÷åííîé ïî íîðìå

|∆(x)| ≤ α|x| (9.15)äëÿ íåêîòîðîãî α > 0, ãäå |·| ìîäóëü ñîîòâåòñòâóþùåãî âåêòîðà. Íåîïðå-äåëåííîñòü ýòîãî âèäà áóäåì íàçûâàòü íåëèíåéíîé íåîïðåäåëåííîñòüþ.

Ïîêàæåì, ÷òî íåëèíåéíàÿ íåîïðåäåëåííîñòü ìîæåò áûòü ýêâèâàëåíò-íî îïèñàíà ïàðàìåòðè÷åñêîé íåîïðåäåëåííîñòüþ. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþ-áîãî x ñóùåñòâóåò ε ≤ α òàêîå, ÷òî |∆(x)| = ε|x|. Òàê êàê âåêòîðû ∆(x)è x èìåþò îäèíàêîâóþ ðàçìåðíîñòü, òî äëÿ íåêîòîðîé ìàòðèöû Ω(x),çàâèñÿùåé îò x, òàêîé, ÷òî ΩT (x)Ω(x) = I, âûïîëíÿåòñÿ

∆(x)

|∆(x)|= Ω(x)

x

|x|, ∆(x) 6= 0 .

Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð ∆(x) ïðåäñòàâèì â âèäå∆(x) = εΩ(x)x .

Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñèñòåìà (9.14) ñ íåëèíåéíîé íåîïðåäåëåííîñòüþ ýêâèâà-ëåíòíî ïðåäñòàâèìà â âèäå ñèñòåìû

x = [A + αΩ(x)]x , ΩT (x)Ω(x) ≤ I .

Ãëàâà 10

Ðîáàñòíàÿ óñòîé÷èâîñòü

10.1 Íåñòðóêòóðèðîâàííàÿ íåîïðåäåëåííîñòü

Íà÷íåì èçó÷àòü ïðîáëåìó ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè ñ íàèáîëåå ïðîñòîãîñëó÷àÿ ñòàöèîíàðíîé ïàðàìåòðè÷åñêîé íåîïðåäåëåííîñòè, êîãäà ñèñòåìàèìååò âèä

x = (A + B∆C)x , (10.1)ãäå A, B, C çàäàííûå ìàòðèöû, à ∆ ïðîèçâîëüíàÿ ñòàöèîíàðíàÿìàòðèöà ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçìåðà (íå îáÿçàòåëüíî êâàäðàòíàÿ), óäî-âëåòâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâó

∆T ∆ ≤ η2I . (10.2)Ðàññìîòðèì âîïðîñ î êâàäðàòè÷íîé óñòîé÷èâîñòè ýòîé ñèñòåìû ñ íåîïðå-äåëåííîñòüþ (ñì. òàêæå [23, 49, 75, 50]), ò.å. âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè åäè-íîé ôóíêöèè Ëÿïóíîâà V (x) = xT Xx ñ X = XT > 0 òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ∆, óäîâëåòâîðÿþùèõ (10.2), âûïîëíÿåòñÿ

V = xT [(A + B∆C)T X + X(A + B∆C)]x < 0 ∀x 6= 0 . (10.3)È âòîðîé âîïðîñ, êîòîðûé íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü, ýòî íàõîæäåíèå îöåí-êè ðàäèóñà ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè ηmax ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ η,ïðè êîòîðîì ñèñòåìà (10.1) ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ (10.2) àñèìïòîòè÷åñêèóñòîé÷èâà.

Ïåðåïèøåì íåðàâåíñòâî (10.3) êàêxT (AT X + XA)x + 2xT XB∆Cx < 0 ∀x 6= 0

èëè â âèäåmax

∆: ∆T ∆≤η2I2(BT Xx)T ∆(Cx) < −xT (AT X + XA)x ∀x 6= 0 .

139

140 Ãëàâà 10. Ðîáàñòíàÿ óñòîé÷èâîñòü

Òàê êàêmax

∆: ∆T ∆≤η2IaT ∆ b = η|a||b| ,

òî ïðèäåì ê íåðàâåíñòâóxT (AT X + XA)x + 2η|BT Xx||Cx| < 0 ∀x 6= 0 . (10.4)

Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíîíåðàâåíñòâó

xT (AT X + XA)x + 2ηvT BT Xx < 0 (10.5)äëÿ âñåõ âåêòîðîâ x è v, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó

vT v ≤ xT CT Cx . (10.6)Äåéñòâèòåëüíî, âçÿâ ìàêñèìóì îò ëåâîé ÷àñòè (10.5) ïî âñåì v, óäîâëå-òâîðÿþùèì (10.6), ïîëó÷èì ëåâóþ ÷àñòü (10.4).

Òàêèì îáðàçîì, êâàäðàòè÷íàÿ óñòîé÷èâîñòü ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòå-ìû ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ ýêâèâàëåíòíà ñóùåñòâîâàíèþ X = XT > 0 òà-êîé, äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (10.5) ïðè óñëîâèè, ÷òî âû-ïîëíåíî íåðàâåíñòâî (10.6). Â ñèëó íåóùåðáíîñòè S-ïðîöåäóðû ïðè îä-íîì îãðàíè÷åíèè (ñì. Ïðèëîæåíèå G) ýòî ýêâèâàëåíòíî ñóùåñòâîâàíèþX = XT > 0 è τ > 0, äëÿ êîòîðûõ ïðè âñåõ íåíóëåâûõ (x, v) âåðíî

xT (AT X + XA)x + 2ηvT BT Xx− τ(vT v − xT CT Cx) < 0 .

Óìíîæàÿ òåïåðü ýòî íåðàâåíñòâî íà τ−1η, äåëàÿ çàìåíó ìàòðèöû τ−1ηXíà X è íå ìåíÿÿ åå îáîçíà÷åíèå, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó AT X + XA + ηCT C ηXB

ηBT X −ηI

< 0 .

Íàêîíåö, ïðèìåíÿÿ ê íåìó ëåììó Øóðà, ïîëó÷èì ñëåäóþùèé êðèòå-ðèé êâàäðàòè÷íîé óñòîé÷èâîñòè â òåðìèíàõ ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðà-âåíñòâ.Óòâåðæäåíèå 10.1 Ñèñòåìà (10.1) ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ, óäîâëåòâî-ðÿþùåé (10.2), êâàäðàòè÷íî óñòîé÷èâà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàñóùåñòâóåò ìàòðèöà X = XT > 0, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïðè ζ = η−1 ëè-íåéíîìó ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó

Fc(X, ζ) =

AT X + XA XB CT

BT X −ζI 0

C 0 −ζI

< 0 . (10.7)

10.1. Íåñòðóêòóðèðîâàííàÿ íåîïðåäåëåííîñòü 141

Î÷åâèäíî, ÷òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ηmax, ïðè êîòîðîì ñèñòåìà(10.1), (10.2) ðîáàñòíî óñòîé÷èâà, óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó

ηmax ≥ η∗ , η∗ = ζ−1∗ , ζ∗ = inf

Fc(X,ζ)<0ζ , (10.8)

ãäå ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî Fc(X, ζ) < 0 çàäàíî â (10.7).Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîáëåìó ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè äëÿ ñèñòåìû ñ

ïàðàìåòðè÷åñêîé è â îáùåì ñëó÷àå íåñòàöèîíàðíîé íåîïðåäåëåííîñòüþ(ñì. ðèñ. 9.1)

x = Ax + Bv∆

z∆ = Cx + Dv∆

v∆ = ∆(t)z∆ ,(10.9)

ãäå ∆(t) íåèçâåñòíàÿ ìàòðèöà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâó∆T (t)∆(t) ≤ η2I . (10.10)

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íîìèíàëüíàÿ ñèñòåìà, îïðåäåëÿåìàÿ ìàòðèöåé A,àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà è det (I −∆(t)D) 6= 0. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì,÷òîáû âûÿñíèòü îñòàåòñÿ ëè ýòà íåîïðåäåëåííàÿ ñèñòåìà àñèìïòîòè÷åñêèóñòîé÷èâîé äëÿ ëþáîé ìàòðèöû ∆(t), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ (10.10)ïðè çàäàííîì η. Êðîìå òîãî, íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü íàõîæäåíèå îöåíêèðàäèóñà ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè ηmax ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ η, ïðèêîòîðîì ñèñòåìà (10.9) ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ, óäîâëåòâîðÿþùåé (10.10),áóäåò àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà.

Íàðÿäó ñ ñèñòåìîé (10.9) ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ñèñòåìóx = Ax + Bv∆

z∆ = Cx + Dv∆ ,(10.11)

â êîòîðîé âõîä v∆ è âûõîä z∆ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ñâÿçàíû íåðà-âåíñòâîì

|v∆|2 ≤ η2|z∆|2 . (10.12)Äîïóñòèì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå óñëîâèå

I − η2DT D > 0 . (10.13)Â ýòîì ñëó÷àå ïðè x = 0 ñ ó÷åòîì âòîðîãî óðàâíåíèÿ (10.11) èç (10.12)ñëåäóåò, ÷òî

vT∆(I − η2DT D)v∆ ≤ 0 ,

è, ñëåäîâàòåëüíî, v∆ = 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî x = 0 ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿíèåìðàâíîâåñèÿ âñïîìîãàòåëüíîé ñèñòåìû (10.11), (10.12).


Î÷åâèäíî, ÷òî â ñèëó óñëîâèÿ (10.10) âõîä è âûõîä ñèñòåìû (10.9)óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó (10.12). Ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíàÿ ñèñòåìà ñíåîïðåäåëåííîñòüþ "ïîãðóæåíà"â âñïîìîãàòåëüíóþ ñèñòåìó (10.11), (10.12)(ïîäðîáíåå îá ýòîé ïðîöåäóðå ñì. [17]). Âûÿñíèì óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòèâñïîìîãàòåëüíîé ñèñòåìû.

Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôóíê-öèÿ V (x) = xT Xx, äëÿ ïðîèçâîäíîé êîòîðîé â ñèëó óðàâíåíèé (10.11)ïðè âñåõ x, v∆, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ (10.12), âûïîëíÿåòñÿ

V < 0 . (10.14)Â ñèëó íåóùåðáíîñòè S-ïðîöåäóðû ïðè îäíîì îãðàíè÷åíèè ýòî ýêâèâà-ëåíòíî ñóùåñòâîâàíèþ íåêîòîðîãî ÷èñëà τ > 0 è ôóíêöèè V (x) = xT Xxñ X = XT > 0, äëÿ êîòîðîé ïðè âñåõ x, v∆ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

V + τ(|z∆|2 − η−2|v∆|2) < 0 , |x|2 + |v∆|2 6= 0 . (10.15)Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè â ýòîì íåðàâåíñòâå ìîæíî ïîëîæèòü τ = 1,÷òî ôàêòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî çàìåíå ìàòðèöû X íà ìàòðèöó τX. Âûðà-æåíèå â ëåâîé ÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòðèöàòåëüíîîïðåäåëåííóþ êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ x, v∆

è, ñëåäîâàòåëüíî,V + |z∆|2 − η−2|v∆|2 < −ε(|x|2 + |v∆|2) < −ε|x|2 ,

ãäå ε > 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî V (x) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ëÿïóíîâà, îáåñ-ïå÷èâàþùåé àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü âñïîìîãàòåëüíîé, à çíà÷èò,è èñõîäíîé íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû. Ñîãëàñíî ÷àñòîòíîé òåîðåìå (ñì.ëåììó H.1), êîòîðàÿ ïðèìåíèìà â ñèëó òîãî, ÷òî ìàòðèöà A ãóðâèöå-âà (ò.å. ïàðà (A, B) ñòàáèëèçèðóåìà), ñóùåñòâîâàíèå óêàçàííîé ôóíêöèèV (x), óäîâëåòâîðÿþùåé íåðàâåíñòâó (10.15), ýêâèâàëåíòíî âûïîëíåíèþ÷àñòîòíîãî óñëîâèÿ

HT (−j ω)H(j ω)− η−2I < 0 , ∀ω ∈ (−∞,∞)

èëè, ÷òî òî æå, óñëîâèþ‖H(s)‖∞ < η−1 , H(s) = D + C(sI − A)−1B .

Òàêèì îáðàçîì, óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â ðàçîìêíóòîì îáúåêòå(10.11) íå äîëæåí ïðåâûøàòü âåëè÷èíó η−1. Ó÷èòûâàÿ òåïåðü óòâåðæäå-íèå 8.1, êîòîðîå õàðàêòåðèçóåò óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â îáúåêòåâ òåðìèíàõ ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó.

10.1. Íåñòðóêòóðèðîâàííàÿ íåîïðåäåëåííîñòü 143

Óòâåðæäåíèå 10.2 Åñëè óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â îáúåêòå (10.11)ìåíüøå, ÷åì ζ = η−1, ò.å. ñóùåñòâóåò ìàòðèöà X = XT > 0, óäîâëå-òâîðÿþùàÿ ëèíåéíîìó ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó

Fc(X, ζ) =

AT X + XA XB CT

BT X −ζI DT

C D −ζI

< 0 , (10.16)

òî ñèñòåìà (10.9) ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ, óäîâëåòâîðÿþùåé (10.10), áó-äåò ðîáàñòíî óñòîé÷èâà.

Îòìåòèì, ÷òî íåðàâåíñòâî (10.16) â ñèëó ëåììû Øóðà (ñì. ëåììóA.2) âëå÷åò íåðàâåíñòâî (10.13), êîòîðîå ïðåäïîëàãàëîñü âûïîëíåííûìa priori. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî óòâåðæäåíèå 10.2 îïðåäåëÿåò ëèøü äîñòà-òî÷íûå óñëîâèÿ ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè. Ïîýòîìó, íàõîäÿ ìèíèìàëüíîåçíà÷åíèå ζ, ïðè êîòîðîì âûïîëíÿåòñÿ (10.16), ïîëó÷èì îöåíêó ðàäèóñàðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè.Óòâåðæäåíèå 10.3 Íèæíÿÿ îöåíêà ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ηmax, ïðèêîòîðîì ñèñòåìà (10.9) ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ, óäîâëåòâîðÿþùåé (10.10),áóäåò ðîáàñòíî óñòîé÷èâà, îïðåäåëÿåòñÿ òàê

η∗ = ζ−1∗ , ζ∗ = inf

Fc(X,ζ)<0ζ , (10.17)

ãäå ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî Fc(X, ζ) < 0 çàäàíî â (10.16).

Ïðèìåð 10.1 Íàéäåì îöåíêó ðàäèóñà ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè ëèíåé-íîãî îñöèëëÿòîðà ñ íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè äåìïôèðîâàíèÿ èæåñòêîñòè

m0ξ + b0(1 + f1Ω1(t))ξ + c0(1 + f2Ω2(t))ξ = 0 ,

îïèñàííîãî â ïðèìåðå 9.1. Ïðè çíà÷åíèÿõ m0 = 1, b0 = 1, c0 = 100,f1 = f2 = 0.1 áûëà ïîëó÷åíà ñëåäóþùàÿ îöåíêà ðàäèóñà ðîáàñòíîé óñòîé-÷èâîñòè η∗ = 0.7027.

Ïðèìåð 10.2 Îöåíêà ðàäèóñà ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè ëèíåéíîãî îñ-öèëëÿòîðà ñ íåèçâåñòíîé ìàññîé è íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè äåìï-ôèðîâàíèÿ è æåñòêîñòè

m0(1 + wmδm)ξ + b0(1 + wbδb)ξ + c0(1 + wcδc)ξ = 0 ,

îïèñàííîãî â ïðèìåðå 9.2, ïðè çíà÷åíèÿõ m0 = 1, b0 = 1, c0 = 100,wm = wb = wc = 0.1 òàêîâà η∗ = 0.4013.


10.2 Ñòðóêòóðèðîâàííàÿ íåîïðåäåëåííîñòü

Ðàññìîòðèì ñíîâà ñèñòåìó ñ íåîïðåäåëåííîñòüþx = Ax + Bv∆

z∆ = Cx + Dv∆

v∆ = ∆(t)z∆ ,(10.18)

ãäå ∆(t) íåèçâåñòíàÿ ìàòðèöà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâó∆T (t)∆(t) ≤ η2I . (10.19)

Â ñëó÷àå, êîãäà ìàòðèöà∆(t) ïîðÿäêà n∆×n∆ èìååò áëî÷íî-äèàãîíàëüíóþñòðóêòóðó âèäà

∆(t) = diag (δ1(t)Ik1 , . . . , δr(t)Ikr , ∆1(t), . . . , ∆f (t)) , (10.20)ãäå ïåðâûå r áëîêîâ äèàãîíàëüíûå, à ïîñëåäíèå f áëîêîâ ÿâëÿþò-ñÿ ïîëíûìè êâàäðàòíûìè ìàòðèöàìè ïîðÿäêîâ m1, . . . ,mf , ïðèâåäåííàÿâ ïðåäûäóùåì ðàçäåëå îöåíêà ðàäèóñà ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè ìîæåòáûòü óëó÷øåíà.

Ñîïîñòàâèì çàäàííîé ñòðóêòóðå íåîïðåäåëåííîñòè ìíîæåñòâî ïîëî-æèòåëüíî îïðåäåëåííûõ ñèììåòðè÷åñêèõ ìàòðèö S áëî÷íî-äèàãîíàëüíîãîâèäà

S = diag (S1, . . . , Sr, s1Im1 , . . . , sfImf) , (10.21)

ãäå ïåðâûå r áëîêîâ ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè êâàäðàòíûìè ìàòðèöàìè ïîðÿä-êîâ k1, . . . , kr è k1 + · · ·+ kr +m1 + · · ·+mf = n∆. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïåðå-ìåííûõ v∆, z∆, îïðåäåëÿåìûõ â ñèëó èñõîäíîé ñèñòåìû (10.18), (10.20),âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

vT∆Sv∆ ≤ η2zT

∆Sz∆ (10.22)äëÿ ëþáîé ìàòðèöû S âèäà (10.21). Äåéñòâèòåëüíî, èç òðåòüåãî óðàâíå-íèÿ (10.18) èìååì

vT∆Sv∆ = zT

∆∆T (t)S∆(t)z∆ ,

îòêóäà ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî äëÿ âñåõ ìàòðèö S âèäà (10.21) ñïðàâåäëèâîS∆ = ∆S è âûïîëíÿåòñÿ (10.19), ïîëó÷èì (10.22).

Ïðîâåäåì ïðîöåäóðó "ïîãðóæåíèÿ"èñõîäíîé ñèñòåìû ñ íåîïðåäåëåí-íîñòüþ â âñïîìîãàòåëüíóþ ñèñòåìó

x = Ax + BS−1/2v∆

z∆ = S1/2Cx + S1/2DS−1/2v∆ ,(10.23)

10.2. Ñòðóêòóðèðîâàííàÿ íåîïðåäåëåííîñòü 145

â êîòîðîé âõîä v∆ è âûõîä z∆ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ñâÿçàíû íåðà-âåíñòâîì

|v∆|2 ≤ η2|z∆|2 . (10.24)Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè v∆ = S−1/2v∆ è z∆ = S−1/2z∆ óðàâíåíèÿ (10.18) è(10.23) ñîâïàäàþò. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèÿ (10.23) â âèäå

x = Ax + Bv∆

z∆ = Cx + Dv∆ ,(10.25)

ãäå B = BS−1/2, C = S1/2C, D = S1/2DS−1/2, è ïðèäåì ê âñïîìîãà-òåëüíîé çàäà÷å, àíàëîãè÷íîé ðàññìîòðåííîé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå. Âäàííîì ñëó÷àå óñëîâèå (10.13) ïðåîáðàçóåòñÿ â íåðàâåíñòâî

S − η2DT SD > 0 , (10.26)à ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî (10.16) ïðèìåò âèä

AT X + XA XB CT

BT X −ζI DT

C D −ζI

< 0 . (10.27)

Ñ ó÷åòîì ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèé ýòî ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî âûïîëíÿ-åòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ âñåõ x, y è z âåðíî íåðàâåíñòâî

xT (AT X + XA)x + 2xT XBS−1/2y + 2xT CT S1/2z−

−ζyT y + 2yT S−1/2DT S1/2z − ζzT z < 0 .

Ñîâåðøàÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå çàìåíó ïåðåìåííûõ y = S−1/2y è z = S−1/2zè çàïèñûâàÿ ñîîòâåòñòâóþùåå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî, ïðèõîäèì ê ñëå-äóþùåìó ðåçóëüòàòó.Óòâåðæäåíèå 10.4 Åñëè óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â îáúåêòå (10.23)ìåíüøå, ÷åì ζ = η−1, ò.å. ñóùåñòâóþò ìàòðèöà X = XT > 0 è ìàòðè-öà S = ST > 0 âèäà (10.21), óäîâëåòâîðÿþùèå ëèíåéíîìó ìàòðè÷íîìóíåðàâåíñòâó

AT X + XA XB CT S

BT X −ζS DT S

SC SD −ζS

< 0 , (10.28)

òî ñèñòåìà (10.9), (10.20) ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ, óäîâëåòâîðÿþùåé (10.10),áóäåò ðîáàñòíî óñòîé÷èâà.


Ñîãëàñíî ÷àñòîòíîé òåîðåìå èëè, êàê ñëåäóåò èç (10.27) ñ ó÷åòîì îáî-çíà÷åíèé ìàòðèö B, C è D, ñóùåñòâîâàíèå ìàòðèöûX, óäîâëåòâîðÿþùåéíåðàâåíñòâó (10.28), ýêâèâàëåíòíî âûïîëíåíèþ ÷àñòîòíîãî óñëîâèÿ

‖S1/2H(s)S−1/2‖∞ < η−1 , H(s) = D + C(sI − A)−1B . (10.29)Îòìåòèì, ÷òî (10.28) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâîì

îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ X è S ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ζ è íåÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâîì îòíîñèòåëüíî âñåõ ýòèõòðåõ ïåðåìåííûõ. Ïîýòîìó äëÿ âû÷èñëåíèÿ îöåíêè ðàäèóñà ðîáàñòíîéóñòîé÷èâîñòè òðåáóåòñÿ ïðèìåíèòü ïîèñêîâûé àëãîðèòì (íàïðèìåð, ìå-òîä áèñåêöèè) äëÿ íàõîæäåíèÿ ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ζ, ïðè êîòîðîìíåðàâåíñòâî (10.28) ðàçðåøèìî.

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â ñëó÷àå ñòðóêòóðèðîâàííîé íåîïðåäåëåííîñòè îöåí-êà ðàäèóñà ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè íàõîäèòñÿ êàê îáðàòíàÿ âåëè÷èíàê ìèíèìàëüíîìó çíà÷åíèþ ζ, ïðè êîòîðîì ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðà-âåíñòâî (10.28) ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ X è S, à â ñëó÷àåíåñòðóêòóðèðîâàííîé íåîïðåäåëåííîñòè êàê îáðàòíàÿ âåëè÷èíà ê ìè-íèìàëüíîìó çíà÷åíèþ ζ, ïðè êîòîðîì ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî(10.16) ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîéX. Òàê êàê â ÷àñòíîì ñëó÷àåS = I íåðàâåíñòâî (10.28) ïåðåõîäèò â (10.16), òî îöåíêà ðàäèóñà ðîáàñò-íîé óñòîé÷èâîñòè ïðè ó÷åòå äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè î ñòðóêòóðåíåîïðåäåëåííîñòè ìîæåò áûòü òîëüêî óëó÷øåíà, î ÷åì ñâèäåòåëüñòâóåòñëåäóþùèé ïðèìåð.Ïðèìåð 10.3 Ïðèâåäåì óòî÷íåííóþ îöåíêó ðàäèóñà ðîáàñòíîé óñòîé-÷èâîñòè ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà ñ íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè äåìï-ôèðîâàíèÿ è æåñòêîñòè, îïèñàííîãî â ïðèìåðå 10.1: η∗ = 0.9074.

10.3 Äèñêðåòíûå ñèñòåìû

Ðàññìîòðèì äèñêðåòíóþ ñèñòåìó ñ ïàðàìåòðè÷åñêîé íåîïðåäåëåííîñòüþxt+1 = Axt + Bv∆t

z∆t = Cxt + Dv∆t

v∆t = ∆tz∆t ,(10.30)

ãäå ∆t íåèçâåñòíàÿ ìàòðèöà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâó∆T

t ∆t ≤ η2I . (10.31)Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íîìèíàëüíàÿ ñèñòåìà, îïðåäåëÿåìàÿ ìàòðèöåé A,àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà è det (I − ∆tD) 6= 0. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì,

10.3. Äèñêðåòíûå ñèñòåìû 147

÷òîáû âûÿñíèòü îñòàåòñÿ ëè ýòà ñèñòåìà àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîé ïðèëþáîé ìàòðèöå ∆t, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ (10.31) äëÿ çàäàííîãî η,è îöåíèòü ðàäèóñ ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè ηmax ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèåη, ïðè êîòîðîì ñèñòåìà (10.30) ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ, óäîâëåòâîðÿþùåé(10.31), áóäåò àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà.

Íàðÿäó ñ ñèñòåìîé (10.30) ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ñèñòåìóxt+1 = Axt + Bv∆t

z∆t = Cxt + Dv∆t ,(10.32)

â êîòîðîé âõîä v∆t è âûõîä z∆t â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ñâÿçàíû íåðà-âåíñòâîì

|v∆t|2 ≤ η2|z∆t|2 . (10.33)Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå

I − η2DT D > 0 . (10.34)Â ýòîì ñëó÷àå ïðè xt ≡ 0 ñ ó÷åòîì âòîðîãî óðàâíåíèÿ (10.32) èç (10.33)ñëåäóåò, ÷òî

vT∆t(I − η2DT D)v∆t ≤ 0 ,

è, ñëåäîâàòåëüíî, v∆t ≡ 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî x = 0 ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿíèåìðàâíîâåñèÿ âñïîìîãàòåëüíîé ñèñòåìû (10.32), (10.33).

Â ñèëó óñëîâèÿ (10.31) âõîä è âûõîä ñèñòåìû (10.30) óäîâëåòâîðÿþòíåðàâåíñòâó (10.33). Ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíàÿ ñèñòåìà ñ íåîïðåäåëåííî-ñòüþ "ïîãðóæåíà"â âñïîìîãàòåëüíóþ ñèñòåìó (10.32), (10.33).

Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôóíê-öèÿ V (x) = xT Xx, äëÿ ïðèðàùåíèÿ êîòîðîé â ñèëó óðàâíåíèé (10.32)ïðè âñåõ xt, v∆t, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ (10.33), âûïîëíÿåòñÿ

Vt+1 − Vt < 0 . (10.35)Â ñèëó íåóùåðáíîñòè S-ïðîöåäóðû ïðè îäíîì îãðàíè÷åíèè ýòî ýêâèâà-ëåíòíî ñóùåñòâîâàíèþ V (x) = xT Xx ñ X = XT > 0, äëÿ êîòîðîé ïðèâñåõ xt, v∆t âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

Vt+1 − Vt + |z∆t|2 − η−2|v∆t|2 < 0 , |xt|2 + |v∆t|2 6= 0 . (10.36)Âûðàæåíèå â ëåâîé ÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòðèöà-òåëüíî îïðåäåëåííóþ êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõxt, v∆t è, ñëåäîâàòåëüíî,

Vt+1 − Vt + |z∆t|2 − η−2|v∆t|2 < −ε(|xt|2 + |v∆t|2) < −ε|xt|2 ,


ãäå ε > 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî V (x) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ëÿïóíîâà, îáåñ-ïå÷èâàþùåé àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü âñïîìîãàòåëüíîé, à çíà÷èò,è èñõîäíîé ñèñòåìû ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ. Ñîãëàñíî ÷àñòîòíîé òåîðåìå(ñì. ëåììó H.2), êîòîðàÿ ïðèìåíèìà â ñèëó òîãî, ÷òî ìàòðèöà A àñèìï-òîòè÷åñêè óñòîé÷èâà (ò.å. ïàðà (A, B) ñòàáèëèçèðóåìà), ñóùåñòâîâàíèåóêàçàííîé ôóíêöèè V (x), óäîâëåòâîðÿþùåé íåðàâåíñòâó (10.36), ýêâè-âàëåíòíî âûïîëíåíèþ ÷àñòîòíîãî óñëîâèÿ

‖H(z)‖∞ < η−1 , H(z) = D + C(zI − A)−1B .

Òàêèì îáðàçîì, óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â ðàçîìêíóòîì îáúåêòå(10.32) íå äîëæåí ïðåâûøàòü âåëè÷èíó η−1. Ó÷èòûâàÿ òåïåðü óòâåðæäå-íèå 8.6, êîòîðîå õàðàêòåðèçóåò óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â äèñêðåò-íîì îáúåêòå â òåðìèíàõ ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ, ïðèõîäèì êñëåäóþùåìó.Óòâåðæäåíèå 10.5 Åñëè óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â îáúåêòå (10.32)ìåíüøå, ÷åì ζ = η−1, ò.å. ñóùåñòâóåò ìàòðèöà X = XT > 0, óäîâëå-òâîðÿþùàÿ ëèíåéíîìó ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó

Fd(X, γ) =

AT XA−X AT XB CT

BT XA −ζI + BT XB DT

C D −ζI

< 0 , (10.37)

òî ñèñòåìà (10.30) ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ, óäîâëåòâîðÿþùåé (10.31), ÿâ-ëÿåòñÿ ðîáàñòíî óñòîé÷èâîé. Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ηmax, ïðè êîòî-ðîì ñèñòåìà (10.30), (10.31) áóäåò ðîáàñòíî óñòîé÷èâà, óäîâëåòâîðÿåòíåðàâåíñòâó

ηmax ≥ η∗ , η∗ = ζ−1∗ , ζ∗ = inf

Fd(X,ζ)<0ζ . (10.38)

Îòìåòèì, ÷òî íåðàâåíñòâî (10.37) â ñèëó ëåììû Øóðà (ñì. ëåììóA.2) âëå÷åò íåðàâåíñòâî (10.34), êîòîðîå ïðåäïîëàãàëîñü âûïîëíåííûìa priori.

Â ñëó÷àå, êîãäà íåèçâåñòíàÿ ìàòðèöà∆(t) èìååò áëî÷íî-äèàãîíàëüíóþñòðóêòóðó âèäà

∆t = diag (δ1(t)Ik1 , . . . , δr(t)Ikr , ∆1(t), . . . , ∆f (t)) , (10.39)ãäå ïåðâûå r áëîêîâ äèàãîíàëüíûå, à ïîñëåäíèå f áëîêîâ ÿâëÿþòñÿ ïîë-íûìè êâàäðàòíûìè ìàòðèöàìè ïîðÿäêîâ m1, . . . ,mf , ïðèâåäåííàÿ âûøå

10.4. µ-àíàëèç 149

îöåíêà ðàäèóñà ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè äèñêðåòíîé ñèñòåìû ìîæåò áûòüóëó÷øåíà.

Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ñèñòåìóxt+1 = Axt + BS−1/2v∆t

z∆t = S1/2Cxt + S1/2DS−1/2v∆t ,(10.40)

â êîòîðîé ìàòðèöà S ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí-íûõ ñèììåòðè÷åñêèõ ìàòðèö áëî÷íî-äèàãîíàëüíîãî âèäà


ãäå ïåðâûå r áëîêîâ ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè êâàäðàòíûìè ìàòðèöàìè ïîðÿä-êîâ k1, . . . , kr è k1 + · · ·+ kr + m1 + · · ·+ mf = n∆. Àíàëîãè÷íî òîìó, êàêáûëî ñäåëàíî â íåïðåðûâíîì ñëó÷àå, ïîëó÷èì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.

Óòâåðæäåíèå 10.6 Åñëè óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â îáúåêòå (10.40)ìåíüøå, ÷åì ζ = η−1, ò.å. ñóùåñòâóþò ìàòðèöà X = XT > 0 è ìàòðè-öà S = ST > 0 âèäà (10.41), óäîâëåòâîðÿþùèå ëèíåéíîìó ìàòðè÷íîìóíåðàâåíñòâó

AT XA−X AT XB CT S

BT XA −ζS + BT XB DT S

SC SD −ζS

< 0 , (10.42)

òî ñèñòåìà (10.30) ñ ñòðóêòóðèðîâàííîé íåîïðåäåëåííîñòüþ (10.39),óäîâëåòâîðÿþùåé (10.31), áóäåò ðîáàñòíî óñòîé÷èâà.

10.4 µ-àíàëèç

Äàííûé ðàçäåë çíàêîìèò ñ èññëåäîâàíèåì ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè ñè-ñòåì ñ äèíàìè÷åñêîé íåîïðåäåëåííîñòüþ íà îñíîâå ïîíÿòèÿ ñòðóêòóðíî-ãî ñèíãóëÿðíîãî ÷èñëà µ (structured singular value) è àïïàðàòà ëèíåéíûõìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ. Ýòà òåîðèÿ íîñèò íàçâàíèå µ-àíàëèç [57, 74].

Ïóñòü ìàòðèöà M ∈ Cn×n, à ìàòðèöà ∆ ∈ Cn×n èìååò ñëåäóþùóþñòðóêòóðó

∆ = diag (δ1Ik1 , . . . , δrIkr , ∆1, . . . , ∆f ) , (10.43)ãäå ïåðâûå r áëîêîâ äèàãîíàëüíûå, à ïîñëåäíèå f áëîêîâ ÿâëÿþòñÿ ïîë-íûìè êâàäðàòíûìè ìàòðèöàìè ïîðÿäêîâ m1, . . . ,mf . Ìíîæåñòâî ìàòðèö


çàäàííîé ñòðóêòóðû ∆, ìàêñèìàëüíûå ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà êîòîðûõ íåïðåâûøàþò åäèíèöó, îáîçíà÷èì ñëåäóþùèì îáðàçîì:

B∆ = ∆ ∈ ∆ : σmax(∆) ≤ 1 .

Îïðåäåëèì ñòðóêòóðíîå ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî µ∆(M) ìàòðèöû M ∈Cn×n ïî îòíîøåíèþ ê ñòðóêòóðå ∆ êàê

µ∆(M) =1

minσmax(∆) : ∆ ∈ ∆, det (I −M∆) = 0, (10.44)

à â ñëó÷àå, êîãäà íå ñóùåñòâóåò ìàòðèö ∆ ∈ ∆, äëÿ êîòîðûõ det (I −M∆) = 0, ïîëîæèì µ∆(M) = 0.

Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òîµ∆(M) = max

∆∈B∆ρ(M∆) ,

ãäå ρ îáîçíà÷àåò ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòðèöû.Äëÿ èíòåðïðåòàöèè ÷èñëà µ∆(M) ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ñèñòåìó, ïî-

êàçàííóþ íà ðèñ. , â êîòîðîé y = Mv è v = ∆y. Îïðåäåëèòåëü ýòîéñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñîãëàñíî ëåììå A.2 ðàâåí det (I − M∆).Åñëè det (I − M∆) 6= 0, òî ýòà ñèñòåìà èìååò òîëüêî íóëåâûå ðåøåíèÿy = 0 è v = 0. Åñëè det (I − M∆) = 0, òî îíà èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãîðåøåíèé è ñðåäè íèõ ìîãóò áûòü áåñêîíå÷íî áîëüøèå. Ñòðóêòóðíîå ñèí-ãóëÿðíîå ÷èñëî µ∆(M) ÿâëÿåòñÿ ìåðîé íàèìåíüøåé ñòðóêòóðèðîâàííîé∆, âûçûâàþùåé "íåóñòîé÷èâîñòü"ýòîé ñèñòåìû, êîãäà íîðìû y è v ìîãóòáûòü ïðîèçâîëüíî áîëüøèìè.

Â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà∆ = δIn , (10.45)

íàéäåì, ÷òî µ∆(M) = ρ(M), à â ñëó÷àå∆ = ∆ ∈ Cn×n (10.46)

èìååì µ∆(M) = σmax(M). Òàê êàê ñòðóêòóðà (10.43) âêëþ÷àåò â ñåáÿ, â÷àñòíîñòè, âñå ìàòðèöû âèäà (10.45) (êîãäà âñå ìàòðèöû ∆i, i = 1, . . . , fâ (10.43) - äèàãîíàëüíûå) è òàê êàê ëþáàÿ ìàòðèöà âèäà (10.43) ÿâëÿåòñÿ(n× n)-ìàòðèöåé , òî âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà

ρ(M) ≤ µ∆(M) ≤ σmax(M) . (10.47)Ýòè ãðàíèöû ñîîòâåòñòâóþò äâóì êðàéíèì ñëó÷àÿì è ìîãóò äîñòàòî÷íîñèëüíî ðàçëè÷àòüñÿ, ïîýòîìó äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîëåå òî÷íûõ îöåíîê ñòðóê-òóðíîãî ñèíãóëÿðíîãî ÷èñëà ïðèìåíÿþò ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîòîðûå íå èç-ìåíÿþò âåëè÷èíû µ∆(M), íî èçìåíÿþò ρ(M) è σmax(M).

10.4. µ-àíàëèç 151

Äåéñòâèòåëüíî, ââåäåì ìíîæåñòâîQ = Q ∈ ∆ : Q∗Q = In

è ìíîæåñòâîL = diag (L1, . . . , Lr, l1Im1 , . . . , lfImf

) :

Li ∈ Cki×ki , Li = L∗i > 0, lj > 0 .

Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáûõ ∆ ∈ ∆, Q ∈ Q, L ∈ L âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùååQ∗ ∈ Q , Q∆ ∈ ∆ , ∆Q ∈ ∆ ,

σmax(Q∆) = σmax(∆Q) = σmax(∆) , L∆ = ∆L .

Ïðè ýòîìdet (I −M∆) = det (I −ML−1L∆) =

= det (I −ML−1∆L) = det (I − LML−1∆) ,

ãäå â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî ñîãëàñíî ëåììåA.2 èìååò ìåñòî

det (I −MR) = det I R

M I

= det (I −RM) .

Ñëåäîâàòåëüíî,µ∆(MQ) = µ∆(QM) = µ∆(M) = µ∆(LML−1) ,

è ãðàíèöû â (10.47) ìîãóò áûòü óòî÷íåíûmaxQ∈Q

ρ(QM) ≤ µ∆(M) ≤ infL∈L

σmax(LML−1) . (10.48)

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè íèæíåé ãðàíèöû òðåáóåòñÿ ïðèâëå÷åíèå àëãî-ðèòìîâ ãëîáàëüíîé îïòèìèçàöèè, à âåðõíÿÿ ãðàíèöà ìîæåò áûòü íàéäå-íà ñ ïîìîùüþ ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ. Äåéñòâèòåëüíî, óñëîâèåσmax(LML−1) < γ ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó

LML−2M∗L− γ2I < 0 ,

à çíà÷èò, è íåðàâåíñòâóML−2M∗ − γ2L−2 < 0 .


Â ñâîþ î÷åðåäü, ñ ó÷åòîì ëåììû Øóðà ýòî íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíîìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó −γ2L−2 M

M∗ −L2

< 0 ,

ïðèìåíÿÿ ê êîòîðîìó åùå ðàç ëåììó Øóðà, ïîëó÷èìM∗L2M − γ2L2 < 0 .

Òàêèì îáðàçîì, íàõîæäåíèå âåðõíåé ãðàíèöû ñòðóêòóðíîãî ÷èñëà µ∆(M)ñâîäèòñÿ ê ïîèñêó ìèíèìàëüíîãî γ2, ïðè êîòîðîì âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåí-ñòâà

γ2S −M∗SM > 0 , S ∈ L , (10.49)ò.å. ê ñòàíäàðòíîé çàäà÷å íà îáîáùåííîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, îïèñàííîéâ ãëàâå 2.

Ïðèìåíèì òåïåðü èçëîæåííûé ïîäõîä ê àíàëèçó ðîáàñòíîé óñòîé÷è-âîñòè ñèñòåìû

x = Ax + Bv∆ ,z∆ = Cx + Dv∆ ,v∆ = ∆z∆ ,

(10.50)

ñõåìàòè÷íî ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. , ãäå H(s) = C(sI −A)−1B +D, à ïå-ðåäàòî÷íàÿ (n×n)-ìàòðèöà ∆(s) èìååò áëî÷íî-äèàãîíàëüíóþ ñòðóêòóðó(10.43).Óòâåðæäåíèå 10.7 Ïóñòü â ñèñòåìå (10.50) ìàòðèöà A ãóðâèöåâà, àäèíàìè÷åñêàÿ íåîïðåäåëåííîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ ïåðåäàòî÷íîé ìàòðèöåé∆(s), óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

‖∆(s)‖∞ < η . (10.51)Äëÿ ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè ýòîé ñèñòåìû íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,÷òîáû

supω∈(−∞,∞)

µ∆(jω)(H(jω)) ≤ 1

η. (10.52)

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïðèâåäåíî, íàïðèìåð, â [27].Íåïîñðåäñòâåííîå ïðèìåíåíèå ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïðèâîäèò ê ñëåäóþ-

ùåé ïðîöåäóðå. Äëÿ êàæäîãî ω âû÷èñëÿåòñÿ âåðõíÿÿ îöåíêà γ(ω) ñòðóê-òóðíîãî ñèíãóëÿðíîãî ÷èñëà ïóòåì ðåøåíèÿ ïðèâåäåííûõ âûøå ëèíåé-íûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ è íàõîäèòñÿ åå ìàêñèìóì γ∗ = maxω γ(ω).Òîãäà ïðè η ≤ γ−1

∗ ñèñòåìà áóäåò ðîáàñòíî óñòîé÷èâîé.

10.4. µ-àíàëèç 153

Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ïåðâîå íåðàâåíñòâîâ (10.49) ïðèíèìàåò âèä

HT (−j ω)SH(j ω) < η−2S , ∀ω .

Óìíîæàÿ ýòî íåðàâåíñòâî ñëåâà è ñïðàâà íà ìàòðèöó S−1/2, ïîëó÷èìS−1/2HT (−j ω)SH(j ω)S−1/2 < η−2I , ∀ω

èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî,‖S1/2H(s)S−1/2‖∞ < η−1 . (10.53)

Ñðàâíèâàÿ òåïåðü ïîëó÷åííîå óñëîâèå ñ íåðàâåíñòâîì (10.29), îïðåäåëÿ-þùèì äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè â ñëó÷àå ñòðóê-òóðèðîâàííîé ïàðàìåòðè÷åñêîé íåîïðåäåëåííîñòè, ïðèõîäèì ê çàêëþ÷å-íèþ î òîì, ÷òî ýòè óñëîâèÿ ñîâïàäàþò. Òàêèì îáðàçîì, îïèñàííàÿ âûøåïðîöåäóðà îöåíêè ðàäèóñà ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè ïóòåì ðåøåíèÿ ëè-íåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ äëÿ êàæäîãî ω ìîæåò áûòü çàìåíåíà íàïîèñê ìèíèìàëüíîãî ζ, ïðè êîòîðîì ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî X > 0 èS ∈ L ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî

AT X + XA XB CT S

BT X −ζS DT S

SC SD −ζS

< 0 , (10.54)

è âûáîð η = ζ−1.Â ïîñëåäóþùèõ ãëàâàõ ïðîöåäóðà ñèíòåçà ðîáàñòíûõ çàêîíîâ óïðàâ-

ëåíèÿ îïèñûâàåòñÿ òîëüêî â ñëó÷àå ïàðàìåòðè÷åñêîé íåîïðåäåëåííîñòè.Â ñëó÷àå äèíàìè÷åñêîé íåîïðåäåëåííîñòè ïðîöåäóðà ñèíòåçà áóäåò àíà-ëîãè÷íîé.

Ãëàâà 11

Ðîáàñòíàÿ ñòàáèëèçàöèÿ

11.1 Íåïðåðûâíûå ñèñòåìû

Ïóñòü îáúåêò ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ çàäàåòñÿ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìèx = Ax + B∆v∆ + B2u ,z∆ = C∆x + D∆∆v∆ + D∆2u ,y = C2x + D2∆v∆ ,v∆ = ∆(t)z∆ ,

(11.1)

â êîòîðûõ x ∈ Rnx ñîñòîÿíèå, v∆ ∈ Rnv∆ âõîä "íåîïðåäåëåííîñòè",u ∈ Rnu óïðàâëåíèå, z∆ ∈ Rnz∆ âûõîä "íåîïðåäåëåííîñòè", y ∈ Rny èçìåðÿåìûé âûõîä. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî nv∆ = nz∆ = n∆. Â ýòèõ óðàâíå-íèÿõ ∆(t) íåèçâåñòíûé èçìåíÿåìûé âî âðåìåíè ìàòðè÷íûé ïàðàìåòð,èìåþùèé áëî÷íî-äèàãîíàëüíóþ ñòðóêòóðó âèäà

∆(t) = diag (δ1(t)Ik1 , . . . , δr(t)Ikr , ∆1(t), . . . , ∆f (t)) , (11.2)ãäå ïåðâûå r áëîêîâ äèàãîíàëüíûå, à ïîñëåäíèå f áëîêîâ ÿâëÿþòñÿïîëíûìè êâàäðàòíûìè ìàòðèöàìè ïîðÿäêîâ m1, . . . ,mf , è óäîâëåòâîðÿ-þùèé íåðàâåíñòâó

∆T (t)∆(t) ≤ η2I , ∀ t ≥ 0 . (11.3)Ïðåäïîëàãàåòñÿ òàêæå, ÷òî det (I −∆(t)D∆∆) 6= 0.

Ñèíòåç ðîáàñòíîãî óïðàâëåíèÿ ýòèì îáúåêòîì ñîñòîèò â ïîñòðîåíèèëèíåéíîãî äèíàìè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà k-ãî ïîðÿäêà


(11.4)

155

156 Ãëàâà 11. Ðîáàñòíàÿ ñòàáèëèçàöèÿ

ãäå xr ∈ Rk ñîñòîÿíèå ðåãóëÿòîðà, îáåñïå÷èâàþùåãî àñèìïòîòè÷åñêóþóñòîé÷èâîñòü çàìêíóòîé ñèñòåìû (11.1), (11.4) ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ ∆(t)(ñì. ðèñ. 11.1).

Ïðèâåäåì óðàâíåíèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû ê âèäóxc = Acxc + Bcv∆ ,

z∆ = Ccxc + Dcv∆ ,(11.5)

ãäå v∆ = ∆(t)z∆,

Ac =

A + B2DrC2 B2Cr

BrC2 Ar

, Bc =

B∆ + B2DrD2∆

BrD2∆

,

Cc = (C∆ + D∆2DrC2 D∆2Cr) , Dc = D∆∆ + D∆2DrD2∆ .

(11.6)

Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 10.4 ýòà ñèñòåìà ðîáàñòíî óñòîé÷èâà, åñëè ïðèζ = η−1 ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî

ATc X + XAc XBc CT

c S

BTc X −ζS DT

c S

SCc SDc −ζS

< 0 (11.7)

ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû X = XT > 0 è ìàòðèöû S = ST > 0âèäà


ãäå ïåðâûå r áëîêîâ ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè êâàäðàòíûìè ìàòðèöàìè ïîðÿä-êîâ k1, . . . , kr è k1 + · · · + kr + m1 + · · · + mf = n∆. Äëÿ äàëüíåéøåãîèññëåäîâàíèÿ ïðåîáðàçóåì íåðàâåíñòâî (11.7) ñ ó÷åòîì ëåììû Øóðà êâèäó

ATc X + XAc XBc CT

c

BTc X −ζS DT

c

Cc Dc −ζS−1

< 0 . (11.9)

Ââîäÿ ìàòðèöó ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà

Θ =

Ar Br

Cr Dr

, (11.10)

ïðåäñòàâèì ìàòðèöû çàìêíóòîé ñèñòåìû â âèäåAc = A0 + BΘC , Bc = B0 + BΘD1 ,

Cc = C0 +D2ΘC , Dc = D∆∆ +D2ΘD1 ,(11.11)

11.1. Íåïðåðûâíûå ñèñòåìû 157

ãäå

A0 =

A 0nx×k

0k×nx 0k×k

,

B =

0nx×k B2

Ik 0k×nu

, C =

0k×nx Ik

C2 0ny×k

,

B0 =

B∆

0k×n∆

, C0 = (C∆ 0n∆×k) ,

D1 =

0k×n∆

D2∆

, D2 = (0n∆×k D∆2) .

(11.12)

Çàïèøåì íåðàâåíñòâî (11.9) â âèäå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåí-ñòâà îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ Θ


Ψ =

AT

0 X + XA0 XB0 CT0

BT0 X −ζS DT

∆∆

C0 D∆∆ −ζS−1

,

P = (C D1 0(ny+k)×n∆) , Q = (BT X 0(nu+k)×n∆

DT2 ) .

(11.14)

Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 3.2 ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî èìååò ðåøåíèå òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíû óñëîâèÿ (3.5), êîòîðûå â äàííîì ñëó÷àåèìåþò âèä

W TP

AT

0 X + XA0 XB0 CT0

BT0 X −ζS DT

∆∆

C0 D∆∆ −ζS−1

WP < 0 ,

W TQ

AT

0 X + XA0 XB0 CT0

BT0 X −ζS DT

∆∆

C0 D∆∆ −ζS−1

WQ < 0 ,

(11.15)


ãäå ñòîëáöû ìàòðèöû WP îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû P , à ñòîëáöûìàòðèöû WQ îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû Q. Òàê êàê â äàííîì ñëó÷àå

Q = R

X 0 0

0 I 0

0 0 I

, R = (BT 0 DT2 ) ,

òî

WQ =

X−1 0 0

0 I 0

0 0 I

WR .

Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â (11.15), ïðèõîäèì ê ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäó-þùåãî óòâåðæäåíèÿ.

Óòâåðæäåíèå 11.1 Åñëè ïðè çàäàííîì ζ > 0 ñóùåñòâóþò ìàòðèöàX = XT > 0 ïîðÿäêà (nx + k)× (nx + k) è ìàòðèöà S = ST > 0 ïîðÿäêàn∆ × n∆ âèäà (11.8), óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþùèì äâóì íåðàâåíñòâàì

W TP

AT

0 X + XA0 XB0 CT0

BT0 X −ζS DT

∆∆

C0 D∆∆ −ζS−1

WP < 0 ,

W TR

X−1AT

0 + A0X−1 B0 X−1CT

0

BT0 −ζS DT

∆∆

C0X−1 D∆∆ −ζS−1

WR < 0 ,

(11.16)

òî ñóùåñòâóåò ðîáàñòíûé ðåãóëÿòîð k-ãî ïîðÿäêà âèäà (11.4), îáåñ-ïå÷èâàþùèé àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü îáúåêòà (11.1), (11.2),(11.3) ïðè η = ζ−1. Åñëè óñëîâèÿ (11.16) âûïîëíåíû è òàêèå ìàòðèöûX è S íàéäåíû, òî ïàðàìåòðû Θ èñêîìîãî ðåãóëÿòîðà (11.4) íàõîäÿòñÿêàê ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà (11.13), â êîòîðîì Ψ,P è Q çàäàíû â (11.14).

Ââåäåì ìàòðèöû Y = X−1, Σ = S−1 è ïåðåïèøåì óñëîâèÿ (11.16) ââèäå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ îòíîñèòåëüíî ìàòðèö X, Y , S è


Σ:

W TP

AT

0 X + XA0 XB0 CT0

BT0 X −ζS DT

∆∆

C0 D∆∆ −ζΣ

WP < 0 ,

W TR

Y AT

0 + A0Y B0 Y CT0

BT0 −ζS DT

∆∆

C0Y D∆∆ −ζΣ

WR < 0 .

(11.17)

Òîãäà ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å A: íàéòè äâå âçàèìíî-îáðàòíûå ìàòðèöû X = diag (X, S) è Y = diag (Y, Σ), óäîâëåòâîðÿþùèåíåðàâåíñòâàì (11.17).

Ïðåäñòàâëÿåò òàêæå èíòåðåñ çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ ðîáàñòíîãî ðåãóëÿòî-ðà çàäàííîãî ïîðÿäêà, îáåñïå÷èâàþùåãî ìàêñèìàëüíûé ðàäèóñ ðîáàñò-íîé óñòîé÷èâîñòè çàìêíóòîé ñèñòåìû. Ïîñêîëüêó ñôîðìóëèðîâàííûå âû-øå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðîáàñòíûõ ðåãóëÿòîðîâ ÿâëÿþòñÿ òîëüêî äî-ñòàòî÷íûìè, òî íà èõ îñíîâå ìîæíî ïîëó÷èòü ëèøü îöåíêó ìàêñèìàëüíî-ãî ðàäèóñà ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè è íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå åé ñóáîï-òèìàëüíûå ðîáàñòíûå ðåãóëÿòîðû çàäàííîãî ïîðÿäêà. Äëÿ åå ïîëó÷åíèÿòðåáóåòñÿ íàéòè ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå ζ∗, äëÿ êîòîðîãî íåðà-âåíñòâà (11.17) ðàçðåøèìû ïðè XY = I. Òîãäà ìàêñèìàëüíûé ðàäèóñðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó η∗ ≥ ζ−1

∗ .

Ïðèìåð 11.1 Íàéäåì îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ðàäèóñà ðîáàñòíîé óñòîé-÷èâîñòè, êîòîðûé ìîæåò áûòü äîñòèãíóò ïðè óïðàâëåíèè ëèíåéíûìîñöèëëÿòîðîì ñ íåèçâåñòíîé ìàññîé è íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìèäåìïôèðîâàíèÿ è æåñòêîñòè ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé îáðàòíîé ñâÿçè ïîèçìåðÿåìîìó âûõîäó. Óðàâíåíèå îñöèëëÿòîðà èìååò âèä (ñì. ïðèìåð9.2)

mξ + bξ + cξ = u ,y = ξ ,

(11.18)

ãäå m = m0(1 + wmδm), b = b0(1 + wbδb), c = c0(1 + wcδc), m0, b0, c0 íî-ìèíàëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, |δm| ≤ η, |δb| ≤ η, |δc| ≤ η. Îáîçíà÷àÿx1 = ξ è x2 = ξ, çàïèøåì ýòî óðàâíåíèå â âèäå

x1 = x2

x2 = − c0

m0

x1 −b0

m0


m0

x1 − wbδbb0

m0

x2 +1

m0

u .




m0

x1 , vb = −δbb0

m0

x2

zm = −x2 =c0

m0

x1 +b0

m0

x2 − wmvm − wcvc − wbvb −1

m0

u,

zc = − c0

m0

x1 , zb = − b0

m0

x2 ,

ïðåäñòàâèì ýòó ñèñòåìó â âèäå (11.1), ãäå

A =

0 1

− c0

m0

− b0

m0

, B∆ =

0 0 0

wm wc wb

, B2 =

0

1

m0

,

C∆ =

c0

m0

b0

m0

− c0

m0

0

0 − b0

m0

, D∆∆ =

−wm −wc −wb

0 0 0

0 0 0

, D∆2 =

− 1

m0

0

0

,

C2 = (1 0) , D2∆ = (0 0 0) ,

∆(t) =

δm(t) 0 0

0 δc(t) 0

0 0 δb(t)

.

Òàê êàê íàõîäèòñÿ ðåãóëÿòîð íóëåâîãî ïîðÿäêà (k = 0), òî â ðàññìàò-ðèâàåìîì ñëó÷àå â íåðàâåíñòâàõ (11.17) èìååì

A0 = A , B0 = B∆ , C0 = C∆ ,

P = (1 0 0 0 0 0 0 0) , R = (01

m0

0 0 0 − 1

m0

0 0) .

Äëÿ çíà÷åíèé m0 = 1, b0 = 1, c0 = 100, wm = wb = wc = 0.1 ïðè η = 0.46áûëè íàéäåíû

X =

29.575 0.1504

0.1504 0.3587

, S =

0.0029 0 0

0 0.0034 0

0 0 0.035


è ïàðàìåòð ðåãóëÿòîðà Θ = 17.534. Ïðè çíà÷åíèÿõ η > η∗ = 0.46 ñî-îòâåòñòâóþùàÿ çàäà÷à À îêàçàëàñü íåðàçðåøèìîé. Òàêèì îáðàçîì,ðåãóëÿòîð u = 17.534y ãàðàíòèðóåò àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòüçàìêíóòîé ñèñòåìû ïðè âñåõ |δm(t)| ≤ η∗, |δb(t)| ≤ η∗, |δc(t)| ≤ η∗. Çà-ìåòèì, ÷òî â îòñóòñòâèè óïðàâëåíèÿ, êàê ïîêàçûâàåò ïðèìåð 10.2,îöåíêà ðàäèóñà ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè ýòîé ñèñòåìû áûëà 0.4013.

Äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðèâåäåì ðåçóëüòàò ñèíòåçà ðîáàñòíîãî ðåãóëÿòîðàïåðâîãî ïîðÿäêà. Ðåãóëÿòîð

xr = −31.123xr − 275.727y ,u = −29.943xr − 232.505y

îáåñïå÷èâàåò ðîáàñòíóþ óñòîé÷èâîñòü çàìêíóòîé ñèñòåìû ñ ðàäèóñîìðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè, íå ìåíüøèì 2.5.

Ïåðåôîðìóëèðóåì çàäà÷ó, ê ðåøåíèþ êîòîðîé ñâîäèòñÿ ñèíòåç ðî-áàñòíîãî ðåãóëÿòîðà k-ãî ïîðÿäêà, ó÷èòûâàÿ áëî÷íóþ ñòðóêòóðó ìàòðèöA0, B0, C0 è ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðèö X è Y â áëî÷íîìâèäå

X =

X11 X12

XT12 X22

, Y =

Y11 Y12

Y T12 Y22

.


P =

0k×nx Ik 0k×n∆0k×n∆

C2 0ny×k D2∆ 0ny×n∆

,

R =

0k×nx Ik 0k×nv∆0k×n∆

BT2 0nu×k 0nu×n∆

DT∆2

,


WP =

W(1)P 0

0 0

W(2)P 0

0 I

, WR =

W(1)R 0

0 0

0 I

W(2)R 0

,

ãäå ìàòðèöû W(1)P , W

(2)P è ìàòðèöû W

(1)R , W

(2)R îïðåäåëÿþòñÿ èç ñëåäóþ-

ùèõ óðàâíåíèéC2W

(1)P + D2∆W

(2)P = 0 , BT

2 W(1)R + DT

∆2W(2)R = 0 .



W(1)P 0

0 0

W(2)P 0

0 I

T

AT X11 + X11A AT X12 X11B∆ CT∆

? 0 XT12B∆ 0

? ? −ζS DT∆∆

? ? ? −ζΣ

W(1)P 0

0 0

W(2)P 0

0 I

,

W(1)R 0

0 0

0 I

W(2)R 0

T

Y11AT + AY11 AY12 B∆ Y11C

T∆

? 0 0 Y T12C

T∆

? ? −ζS DT∆∆

? ? ? −ζΣ

W(1)R 0

0 0

0 I

W(2)R 0

,

è, îêîí÷àòåëüíî, íåðàâåíñòâà (11.17) ñâîäÿòñÿ ê âèäó

N1 | 0

− − −

0 | I

T

AT X11 + X11A X11B∆ | CT∆

BT∆X11 −ζS | DT

∆∆

− − − −

C∆ D∆∆ | −ζΣ

N1 | 0

− − −

0 | I

< 0 ,

N2 | 0

− − −

0 | I

T

Y11AT + AY11 Y11C

T∆ | B∆

C∆Y11 −ζΣ | D∆∆

− − − −

BT∆ DT

∆∆ | −ζS

N2 | 0

− − −

0 | I

< 0 ,

(11.19)ãäå ñòîëáöû ìàòðèö N1 = col (W (1)

P , W(2)P ) è N2 = col (W (1)

R , W(2)R ) îáðàçó-

þò áàçèñû ÿäåð ìàòðèö (C2 D2∆) è (BT2 DT

∆2) ñîîòâåòñòâåííî. Òàêèìîáðàçîì, ñèíòåç ðîáàñòíûõ ñòàáèëèçèðóþùèõ ðåãóëÿòîðîâ ïî âûõîäó k-ïîðÿäêà ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ çàäà÷è C: íàéòèäâå âçàèìíîîáðàòíûå ìàòðèöû S = ST > 0, Σ = ΣT > 0 âèäà (10.21) èäâå (nx × nx)-ìàòðèöû X11 = XT

11 > 0, Y11 = Y T11 > 0, óäîâëåòâîðÿþùèå

ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì (11.19) è X11 I

I Y11

≥ 0 , (11.20)

à òàêæå óñëîâèþrank (I −X11Y11) ≤ k , (11.21)


èëè óñòàíîâèòü, ÷òî òàêèõ ìàòðèö íå ñóùåñòâóåò.Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé ðåãóëÿòîðà âèäà ëèíåéíîé îáðàòíîé ñâÿ-

çè ïî ñîñòîÿíèþ. Â ýòîì ñëó÷àå èìååì

C2 = I , D2∆ = 0 , Ar = 0 , Br = 0 , Cr = 0 .

Òîãäà N1 = col (0 I) è ïåðâîå íåðàâåíñòâî â (11.19) ñâîäèòñÿ ê −ζS DT

∆∆

D∆∆ −ζΣ

< 0 ,

êîòîðîå â ñèëó ëåììû Øóðà ýêâèâàëåíòíî ëèíåéíîìó ìàòðè÷íîìó íåðà-âåíñòâó −ζΣ ΣDT

∆∆

D∆∆Σ −ζΣ

< 0 (11.22)

îòíîñèòåëüíî Σ. Âòîðîå íåðàâåíñòâî â (11.19) â ñèëó ëåììû Øóðà ýêâè-âàëåíòíî ëèíåéíîìó ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó îòíîñèòåëüíî Y11 è Σ

N2 | 0

− − −

0 | I

T

Y11AT + AY11 Y11C

T∆ | B∆Σ

C∆Y11 −ζΣ | D∆∆Σ

− − − −

ΣBT∆ ΣDT

∆∆ | −ζΣ

N2 | 0

− − −

0 | I

< 0 ,

(11.23)ãäå ñòîëáöû ìàòðèöû N2 îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû (BT

2 DT∆2). Òà-

êèì îáðàçîì, ñèíòåç ðîáàñòíîãî ëèíåéíîãî ðåãóëÿòîðà ïî ñîñòîÿíèþ ñâî-äèòñÿ ê ðåøåíèþ ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ â ñîîòâåòñòâèè ñîñëåäóþùèì óòâåðæäåíèåì.

Óòâåðæäåíèå 11.2 Åñëè ïðè çàäàííîì ζ > 0 ñóùåñòâóþò ìàòðèöàY11 = Y T

11 > 0 ïîðÿäêà nx×nx è ìàòðèöà Σ = ΣT > 0 ïîðÿäêà n∆×n∆ âèäà(11.8), óäîâëåòâîðÿþùèå ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì (11.22),(11.23), òî ñóùåñòâóåò ðîáàñòíûé ðåãóëÿòîð âèäà ëèíåéíîé îáðàòíîéñâÿçè ïî ñîñòîÿíèþ u = Θx, îáåñïå÷èâàþùèé àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé-÷èâîñòü îáúåêòà (11.1), (11.2), (11.3) ïðè η = ζ−1. Äëÿ íàéäåííûõ ðå-øåíèé Y11 è Σ ýòèõ íåðàâåíñòâ ïàðàìåòðû Θ íàõîäÿòñÿ êàê ðåøåíèÿ


ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà (11.13), â êîòîðîì

Ψ =

AT Y −1

11 + Y −111 A Y −1

11 B∆ CT∆

BT∆Y −1

11 −ζΣ−1 DT∆∆

C∆ D∆∆ −ζΣ

,

P = (I 0 0) , Q = (BT2 Y −1

11 0 DT∆2) .

Â çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ïàðàìåòðè÷åñêîéíåîïðåäåëåííîñòè âèäà

A = A + FΩ(t)E

âñå âûøåèçëîæåííîå îñòàåòñÿ â ñèëå êàê äëÿ êâàäðàòíîé, òàê è äëÿíåêâàäðàòíîé ìàòðèöû Ω(t), åñëè ïîëîæèòü

D∆∆ = 0 , D∆2 = 0 , S = Σ = I , B∆ = F , C∆ = E .

Â ÷àñòíîñòè, â ýòîì ñëó÷àå ïðè èçìåðÿåìîì ñîñòîÿíèè íåðàâåíñòâî (11.22)âûïîëíÿåòñÿ ïðè ëþáûõ ζ > 0, à âòîðîå íåðàâåíñòâî (11.23) ïðèíèìàåòâèä Fc(Y11, ζ) < 0, ãäå Fc(Y11, ζ) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì

WBT2

0 0

0 I 0

0 0 I

T

Y11AT + AY11 Y11E

T F

EY11 −ζI 0

F T 0 −ζI

WBT2

0 0

0 I 0

0 0 I

.

(11.24)Òîãäà ïîëó÷åíèå îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ðàäèóñà ðîáàñòíîé ñòàáèëèçè-ðóåìîñòè ñâîäèòñÿ ê îïòèìèçàöèè ëèíåéíîé ôóíêöèè ïðè îãðàíè÷åíèè,îïðåäåëÿåìîì ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâîì.

Óòâåðæäåíèå 11.3 Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ηmax, ïðè êîòîðîì ñèñòå-ìà

x = (A + FΩ(t)E)x + B2u ,

ΩT (t)Ω(t) ≤ η2I

áóäåò ðîáàñòíî ñòàáèëèçèðóåìà óïðàâëåíèåì u = Θx, óäîâëåòâîðÿåòíåðàâåíñòâó

ηmax ≥ η∗ , η∗ = ζ−1∗ , ζ∗ = inf

Fc(Y11,ζ)<0ζ . (11.25)


Ïðèìåð 11.2 Íàéäåì îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ðàäèóñà ðîáàñòíîé óñòîé-÷èâîñòè, êîòîðûé ìîæåò áûòü äîñòèãíóò â çàìêíóòîé ñèñòåìå, ñî-ñòîÿùåé èç ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà ñ íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìèäåìïôèðîâàíèÿ è æåñòêîñòè (ñì. ïðèìåð 9.1), îïèñûâàåìîãî óðàâíåíè-åì

m0ξ + b0(1 + f1Ω1(t))ξ + c0(1 + f2Ω2(t))ξ = u , (11.26)îõâà÷åííîãî ëèíåéíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ ïî ñîñòîÿíèþ u = Θ1ξ + Θ2ξ. Âýòîì ñëó÷àå

A =

0 1

− c0

m0

− b0

m0

, F =

0 0

f1 f2

,

E =

0 − b0

m0

− c0

m0

0

, B2 =

0

1

m0

.

Ïðè çíà÷åíèÿõ m0 = 1, b0 = 1, c0 = 100, f1 = f2 = 0, 1 áûëî ïîëó÷åíîη∗ ∼ 1011. Çàìåòèì, ÷òî â îòñóòñòâèè óïðàâëåíèÿ, êàê ïîêàçûâàåòïðèìåð 10.3, îöåíêà ðàäèóñà ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè ýòîé ñèñòåìûáûëà 0.9074.

11.2 Äèñêðåòíûå ñèñòåìû

Ïóñòü äèñêðåòíûé îáúåêò ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ çàäàåòñÿ ñëåäóþùèìèóðàâíåíèÿìè

xt+1 = Axt + B∆v∆t + B2ut ,z∆t = C∆xt + D∆∆v∆t + D∆2ut ,yt = C2xt + D2∆v∆t ,v∆t = ∆tz∆t ,

(11.27)

â êîòîðûõ xt ∈ Rnx ñîñòîÿíèå, v∆t ∈ Rnv∆ âõîä "íåîïðåäåëåííîñòè",ut ∈ Rnu óïðàâëåíèå, z∆t ∈ Rnz∆ âûõîä "íåîïðåäåëåííîñòè", yt ∈ Rny

èçìåðÿåìûé âûõîä. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî nv∆ = nz∆ = n∆. Â ýòèõ óðàâ-íåíèÿõ ∆t íåèçâåñòíûé èçìåíÿåìûé âî âðåìåíè ìàòðè÷íûé ïàðàìåòð,èìåþùèé áëî÷íî-äèàãîíàëüíóþ ñòðóêòóðó âèäà

∆t = diag (δ1(t)Ik1 , . . . , δr(t)Ikr , ∆1(t), . . . , ∆f (t)) , (11.28)


ãäå ïåðâûå r áëîêîâ äèàãîíàëüíûå, à ïîñëåäíèå f áëîêîâ ÿâëÿþòñÿïîëíûìè êâàäðàòíûìè ìàòðèöàìè ïîðÿäêîâ m1, . . . ,mf , è óäîâëåòâîðÿ-þùèé íåðàâåíñòâó

∆Tt ∆t ≤ η2I , ∀ t ≥ 0 . (11.29)

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî det (I −∆tD∆∆) 6= 0.Ñèíòåç ðîáàñòíîãî óïðàâëåíèÿ ýòèì îáúåêòîì ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè

ëèíåéíîãî äèíàìè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà k-ãî ïîðÿäêà

x(r)t+1 = Arx

(r)t+1 + Bryt ,


(11.30)

ãäå x(r)t ∈ Rk ñîñòîÿíèå ðåãóëÿòîðà, îáåñïå÷èâàþùåãî àñèìïòîòè÷åñêóþ

óñòîé÷èâîñòü çàìêíóòîé ñèñòåìû (11.27), (11.30) ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ∆t.

Óðàâíåíèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû (11.27), (11.30) ïðèâîäÿòñÿ ê âèäóxt = Acxt + Bcv∆t ,

z∆t = Ccxt + Dcv∆t ,(11.31)

ãäå v∆ = ∆tz∆t,

Ac =

A + B2DrC2 B2Cr

BrC2 Ar

, Bc =

B∆ + B2DrD2∆

BrD2∆

,

Cc = (C∆ + D∆2DrC2 D∆2Cr) , Dc = D∆∆ + D∆2DrD2∆ .

(11.32)

Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 10.5 ýòà ñèñòåìà ðîáàñòíî óñòîé÷èâà, åñëè ïðèζ = η−1 ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî

AT


c S

BTc XAc −ζS + BT

c XBc DTc S

SCc SDc −ζS

< 0 (11.33)

ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû X = XT > 0 è ìàòðèöû S = ST > 0âèäà


ãäå ïåðâûå r áëîêîâ ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè êâàäðàòíûìè ìàòðèöàìè ïîðÿä-êîâ k1, . . . , kr è k1 + · · ·+ kr + m1 + · · ·+ mf = n∆.


Äëÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ ïðåîáðàçóåì íåðàâåíñòâî (11.33) â ýê-âèâàëåíòíîå íåðàâåíñòâî

AT


c

BTc XAc −ζS + BT

c XBc DTc

Cc Dc −ζS−1

< 0 , (11.35)

êîòîðîå ïðåäñòàâèì â âèäå

−X−1 Ac Bc 0

ATc −X 0 CT

c

BTc 0 −ζS DT

c

0 Cc Dc −ζS−1

< 0 . (11.36)

Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó ëåììûØóðà ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíîX > 0 è íåðàâåíñòâó

−X 0 CT

c

0 −ζS DTc

Cc Dc −ζS−1

+

AT

c

BTc

0

X(Ac Bc 0) < 0 ,

êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ (11.35).Êàê è â íåïðåðûâíîì ñëó÷àå, ìàòðèöû çàìêíóòîé ñèñòåìû ïðåäñòà-

âèì â âèäå

Ac = A0 + BΘC , Bc = B0 + BΘD1 ,

Cc = C0 +D2ΘC , Dc = D∆∆ +D2ΘD1 ,(11.37)


ãäå

A0 =

A 0nx×k

0k×nx 0k×k

,

B =

0nx×k B2

Ik 0k×nu

, C =

0k×nx Ik

C2 0ny×k

,

B0 =

B∆

0k×n∆

, C0 = (C∆ 0n∆×k) ,

D1 =

0k×n∆

D2∆

, D2 = (0n∆×k D∆2) ,

Θ =

Ar Br

Cr Dr

.

(11.38)

Çàïèøåì íåðàâåíñòâî (11.36) â âèäå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâàîòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ Θ

Ψ + P T ΘT Q + QT ΘP < 0 , (11.39)

â êîòîðîì

Ψ =

−X−1 A0 B0 0

AT0 −X 0 CT

0

BT0 0 −ζS DT

∆∆

0 C0 D∆∆ −ζS−1

,

P = (0(ny+k)×(nx+k) C D1 0(ny+k)×n∆) ,

Q = (BT 0(nu+k)×(nx+k) 0(nu+k)×n∆DT

2 ) .

(11.40)

Ïðèìåíÿÿ óòâåðæäåíèå 3.2, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó.

Óòâåðæäåíèå 11.4 Åñëè ïðè çàäàííîì ζ > 0 ñóùåñòâóþò ìàòðèöàX = XT > 0 ïîðÿäêà (nx + k)× (nx + k) è ìàòðèöà S = ST > 0 ïîðÿäêà


n∆×n∆ âèäà (11.34), óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþùèì äâóì íåðàâåíñòâàì

W TP

−X−1 A0 B0 0

AT0 −X 0 CT

0

BT0 0 −ζS DT

∆∆

0 C0 D∆∆ −ζS−1

WP < 0 ,

W TQ

−X−1 A0 B0 0

AT0 −X 0 CT

0

BT0 0 −ζS DT

∆∆

0 C0 D∆∆ −ζS−1

WQ < 0 ,

(11.41)

òî ñóùåñòâóåò ðîáàñòíûé ðåãóëÿòîð k-ãî ïîðÿäêà âèäà (11.30), îáåñ-ïå÷èâàþùèé àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü îáúåêòà (11.27), (11.28),(11.29) ïðè η = ζ−1. Åñëè óñëîâèÿ (11.41) âûïîëíåíû è òàêèå ìàòðèöûX è S íàéäåíû, òî ïàðàìåòðû Θ èñêîìîãî ðåãóëÿòîðà (11.30) íàõîäÿò-ñÿ êàê ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà (11.39), â êîòîðîìΨ, P è Q çàäàíû â (11.40).

Ââåäåì ìàòðèöû Y = X−1, Σ = S−1 è ïåðåïèøåì óñëîâèÿ (11.41) ââèäå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ îòíîñèòåëüíî ìàòðèö X è ∑:

W TP

−Y A0 B0 0

AT0 −X 0 CT

0

BT0 0 −ζS DT

∆∆

0 C0 D∆∆ −ζΣ

WP < 0 ,

W TQ

−Y A0 B0 0

AT0 −X 0 CT

0

BT0 0 −ζS DT

∆∆

0 C0 D∆∆ −ζΣ

WQ < 0 .

(11.42)

Òîãäà ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å A: íàéòè äâå âçàèìíî-îáðàòíûå ìàòðèöû X = diag (X, S) è Y = diag (Y, Σ), óäîâëåòâîðÿþùèåíåðàâåíñòâàì (11.42).



X =

X11 X12

XT12 X22

, Y =

Y11 Y12

Y T12 Y22

.


P =

0k×nx 0k×k 0k×nx Ik 0k×n∆0k×n∆

0ny×nx 0ny×k C2 0ny×k D2∆ 0ny×n∆

,

Q =

0k×nx Ik 0k×nx 0k×k 0k×n∆0k×n∆

BT2 0nu×k 0nu×nx 0nu×k 0nu×n∆

DT∆2

,

ïîýòîìó

WP =

0 I 0 0

0 0 I 0

W(1)P 0 0 0

0 0 0 0

W(2)P 0 0 0

0 0 0 I

, WQ =

W(1)Q 0 0 0

0 0 0 0

0 I 0 0

0 0 I 0

0 0 0 I

W(2)Q 0 0 0

,

ãäå ìàòðèöû W(1)P , W (2)

P è ìàòðèöû W(1)Q , W (2)

Q óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèìóðàâíåíèÿì

C2W(1)P + D2∆W

(2)P = 0 , BT

2 W(1)Q + DT

∆2W(2)Q = 0 .

Ñ ó÷åòîì ýòîãî íåðàâåíñòâà (11.42) ïðèìóò âèä

W TP

−Y11 −Y12 A 0 B∆ 0

? −Y22 0 0 0 0

? ? −X11 −X12 0 CT∆

? ? ? −X22 0 0

? ? ? ? −ζS DT∆∆

? ? ? ? ? −ζΣ

WP < 0 ,


W TQ

−Y11 −Y12 A 0 B∆ 0

? −Y22 0 0 0 0

? ? −X11 −X12 0 CT∆

? ? ? −X22 0 0

? ? ? ? −ζS DT∆∆

? ? ? ? ? −ζΣ

WQ < 0 .

Ïîñëå óìíîæåíèÿ ïåðâîå èç ýòèõ íåðàâåíñòâ çàïèøåòñÿ â âèäå

−W(1)P

TX11W

(1)P − ζW

(2)P

TSW

(2)P ? ?

(AW

(1)P + B∆W

(2)P

0

)−Y ?

C∆W(1)P + D∆∆W

(2)P 0 −ζΣ

< 0,

êîòîðîå ïî ëåììå A.4 ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî Y > 0, ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó −W(1)P

TX11W

(1)P − ζW

(2)P

TSW

(2)P W

(1)P

TCT

∆ + W(2)P

TDT

∆∆

C∆W(1)P + D∆∆W

(2)P −ζΣ

+

+

W(1)P

TAT + W

(2)P

TBT

∆ 0

0 0

Y −1

AW(1)P + B∆W

(2)P 0

0 0

< 0 .

Òàê êàê Y −1 = X, òî âî âòîðîå ñëàãàåìîå â ëåâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãîíåðàâåíñòâà âõîäèò òîëüêî áëîê X11. Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ìîæ-íî óáåäèòñÿ, ÷òî ýòî íåðàâåíñòâî ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó ëèíåéíîìó ìàò-ðè÷íîìó íåðàâåíñòâó îòíîñèòåëüíî X11:

W TP

AT X11A−X11 AT X11B∆ | CT∆

? −ζS + BT∆X11B∆ | DT

∆∆

− − | −

? ? | −ζΣ

WP < 0 , (11.43)

ãäå

WP =

N1 | 0

− | −

0 | I

,


à ñòîëáöû ìàòðèöû N1 = col (W (1)P , W

(2)P ) îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû

(C2 D2∆).Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì âòîðîå èç íåðàâåíñòâ (11.42) ïðåîáðàçóåòñÿ ê

âèäó

W TQ

AY11AT − Y11 AY11C

T∆ | B∆

? −ζS + C∆Y11CT∆ | D∆∆

− − | −

? ? | −ζΣ

WQ < 0 , (11.44)

ãäå

WQ =

N2 | 0

− | −

0 | I

,

à ñòîëáöû ìàòðèöû N2 = col (W (1)Q , W


(BT2 DT

∆2). Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñèíòåçà H∞-ðåãóëÿòîðîâ k-ïîðÿäêàäëÿ äèñêðåòíûõ îáúåêòîâ ìîæåò áûòü òàêæå ñâåäåíà ê ñôîðìóëèðî-âàííîé âûøå çàäà÷å B: íàéòè äâå (nx × nx)-ìàòðèöû X11 = XT

11 > 0,Y11 = Y T

11 > 0, óäîâëåòâîðÿþùèå ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì(11.43), (11.44) è X11 I

I Y11

≥ 0 ,



Ãëàâà 12

Àáñîëþòíàÿ óñòîé÷èâîñòü è

ñòàáèëèçàöèÿ

Ðàññìîòðèì êëàññ íåëèíåéíûõ ñèñòåì, îïèñûâàåìûõ óðàâíåíèÿìèx = Ax + B1ϕ(σ, t) , (12.1)

ãäå x ∈ Rnx ñîñòîÿíèå ñèñòåìû, σ = Cx, σ ∈ Rnσ , íåëèíåéíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ ϕ(σ, t) ∈ Rnσ ïðè âñåõ t ≥ 0 è âñåõ σ óäîâëåòâîðÿåò äëÿ çàäàí-íîé ìàòðèöû ΓT = Γ > 0 íåðàâåíñòâó

ϕT (σ, t)Γ[ϕ(σ, t)− σ] ≤ 0 (12.2)è ϕ(0, t) ≡ 0. Â ÷àñòíîì ñêàëÿðíîì ñëó÷àå (nσ = 1) íåðàâåíñòâî (12.2)ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ

0 ≤ ϕ(σ, t)

σ≤ 1 , ∀σ 6= 0 , (12.3)

îçíà÷àþùåå, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ(σ, t) óäîâëåòâîðÿåò ñåêòîðíîìó óñëîâèþ (ñì.ðèñ. 12.1). Òàêèå ñèñòåìû íàçûâàþòñÿ ñèñòåìàìè Ëóðüå [21].

Êëàññè÷åñêàÿ çàäà÷à àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè çàêëþ÷àåòñÿ â íà-õîæäåíèè óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ òðèâèàëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (12.1)àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî â öåëîì äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ϕ(y, t), óäîâëå-òâîðÿþùåé ñåêòîðíîìó óñëîâèþ (12.3) [29].

Ýòè óñëîâèÿ â òåðìèíàõ ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ ïîëó÷àþò-ñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ñèñòåìó

x = Ax + B1v , σ = Cx , (12.4)ó êîòîðîé âõîä v è âûõîä σ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ

vT Γ(v − σ) ≤ 0 . (12.5)

173

174 Ãëàâà 12. Àáñîëþòíàÿ óñòîé÷èâîñòü è ñòàáèëèçàöèÿ

Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿV (x) = xT Xx, äëÿ ïðîèçâîäíîé êîòîðîé â ñèëó óðàâíåíèé (12.4) ïðèâñåõ x, v, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ (12.5), âûïîëíåíî

V < 0 . (12.6)Â ñèëó íåóùåðáíîñòè S-ïðîöåäóðû ïðè îäíîì îãðàíè÷åíèè ýòî ýêâèâà-ëåíòíî ñóùåñòâîâàíèþ V (x) = xT Xx ñ X = XT > 0, äëÿ êîòîðîé ïðèâñåõ x, v âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

2xT X(Ax + B1v)− vT Γ(v − Cx) < 0 , |x|2 + |v|2 6= 0 . (12.7)Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî V (x) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ëÿïóíîâà, îáåñïå÷èâàþùåéàñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü âñïîìîãàòåëüíîé, à çíà÷èò, è èñõîäíîéñèñòåìû ïðè ëþáîé äîïóñòèìîé íåëèíåéíîñòè. Ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâîýêâèâàëåíòíî ëèíåéíîìó ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó AT X + XA XB1 +

1

2CT Γ

BT1 X +

1

2ΓC −Γ

< 0 . (12.8)

Óòâåðæäåíèå 12.1 Åñëè ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî (12.8) ðàç-ðåøèìî îòíîñèòåëüíî X = XT > 0, òî ñèñòåìà (12.1), (12.2) àáñîëþò-íî óñòîé÷èâà.

Ðàññìîòðèì òåïåðü óïðàâëÿåìóþ ñèñòåìóx = Ax + B1ϕ(σ, t) + B2u , (12.9)

â êîòîðîé σ = Cx è ôóíêöèÿ ϕ(σ, t) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (12.2). Òðå-áóåòñÿ ïîñòðîèòü ðåãóëÿòîð â ôîðìå ëèíåéíîé îáðàòíîé ñâÿçè ïî ñîñòî-ÿíèþ

u = Θx , (12.10)îáåñïå÷èâàþùèé àáñîëþòíóþ óñòîé÷èâîñòü çàìêíóòîé ñèñòåìû (ñì. ðèñ.12.2). Òàêèå ðåãóëÿòîðû íàçûâàþòñÿ àáñîëþòíî ñòàáèëèçèðóþùèìè.

Äëÿ çàìêíóòîé ñèñòåìûx = (A + B2Θ)x + B1ϕ(σ, t)

ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî (12.8) ïðèìåò âèä (A + B2Θ)T X + X(A + B2Θ) XB1 + 12CT Γ

BT1 X + 1

2ΓC −Γ

< 0 .

175

Óìíîæàÿ îáå ÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà íà ìàòðèöó X−1 0

0 I

è ââîäÿ îáîçíà÷åíèå X−1 = Y è Z = ΘY , ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó.Óòâåðæäåíèå 12.2 Ïóñòü ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî Y AT + AY + B2Z + ZT BT

2 B1 + 12Y CT Γ

BT1 + 1

2ΓCY −Γ

< 0 (12.11)

ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ Y = Y T > 0 è Z. Òîãäà çàêîíóïðàâëåíèÿ (12.10) ñ Θ = ZY −1 ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî ñòàáèëèçèðóþùèìäëÿ ñèñòåìû (12.9).

Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ðàçðåøèìîñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà íåîáõîäèìî, ÷òîáûY AT + AY + B2Z + ZT BT

2 < 0 ,

÷òî ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 5.1 ýêâèâàëåíòíî ñòàáèëèçèðóåìîñòè ïàðû(A, B2).

176 Ãëàâà 12. Àáñîëþòíàÿ óñòîé÷èâîñòü è ñòàáèëèçàöèÿ

Ãëàâà 13

Ðîáàñòíîå H∞-óïðàâëåíèå

Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó ãàøåíèÿ âíåøíèõ âîçìóùåíèé â îáúåêòå, ìà-òåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü êîòîðîãî èçâåñòíà íå ïîëíîñòüþ. Ïóñòü îáúåêò ñíåîïðåäåëåííîñòüþ çàäàåòñÿ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè

x = Ax + B∆v∆ + B1v + B2u ,z∆ = C∆x + D∆∆v∆ + D∆1v + D∆2u ,z = C1x + D1∆v∆ + D11v + D12u ,y = C2x + D2∆v∆ + D21v ,

(13.1)

â êîòîðûõ v∆ = ∆(t)z∆, x ∈ Rnx ñîñòîÿíèå, v∆ ∈ Rnv∆ âõîä "íåîïðåäåëåííîñòè",v ∈Rnv âíåøíåå âîçìóùåíèå, u ∈ Rnu óïðàâëåíèå, z∆ ∈ Rnz∆ âûõîä"íåîïðåäåëåííîñòè", y ∈ Rny èçìåðÿåìûé âûõîä. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òînv∆ = nz∆ = n∆. Â ýòèõ óðàâíåíèÿõ ∆(t) íåèçâåñòíûé èçìåíÿåìûé âîâðåìåíè ìàòðè÷íûé ïàðàìåòð, èìåþùèé áëî÷íî-äèàãîíàëüíóþ ñòðóêòó-ðó âèäà

∆(t) = diag (δ1(t)Ik1 , . . . , δr(t)Ikr , ∆1(t), . . . , ∆f (t)) (13.2)è óäîâëåòâîðÿþùèé íåðàâåíñòâó

∆T (t)∆(t) ≤ η2I , ∀ t ≥ 0 . (13.3)Ïðåäïîëàãàåòñÿ òàêæå, ÷òî det (I −∆(t)D∆∆) 6= 0.

Ñèíòåç ðîáàñòíîãî H∞-óïðàâëåíèÿ ýòèì îáúåêòîì ñîñòîèò â ïîñòðî-åíèè ëèíåéíîãî äèíàìè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà k-ãî ïîðÿäêà


(13.4)

ãäå xr ∈ Rk ñîñòîÿíèå ðåãóëÿòîðà, ïðè êîòîðîì äëÿ âñåõ äîïóñòèìûõ∆(t) îáåñïå÷èâàåòñÿ ãàøåíèå âîçìóùåíèé â çàäàííîì îòíîøåíèè γ, ò.å.

supv 6≡0

‖z‖‖v‖

< γ , (13.5)

177

178 Ãëàâà 13. Ðîáàñòíîå H∞-óïðàâëåíèå

à â îòñóòñòâèå âíåøíèõ âîçìóùåíèé çàìêíóòàÿ ñèñòåìà (13.1), (13.4)àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà ïðè ëþáîé äîïóñòèìîé íåîïðåäåëåííîñòè (ñì.ðèñ. 13.1).

Ïðîâåäåì ïðîöåäóðó "ïîãðóæåíèÿ"èñõîäíîé ñèñòåìû ñ íåîïðåäåëåí-íîñòüþ â âñïîìîãàòåëüíóþ ñèñòåìó

x = Ax + B1v + B2u

z = C1x + D11v + D12u

y = C2x + D21v

(13.6)

ñ âõîäîì v è âûõîäîì z, â êîòîðîé

B1 = (B∆ B1)L1 , C1 = L2

C∆

C1

,

D11 = L2

D∆∆ D∆1

D1∆ D11

L1 , D12 = L2

D∆2

D12

,

D21 = (D2∆ D21)L1 ,

L1 =

γηS−1/2 0

0 I

, L2 =

S1/2 0

0 I

,

(13.7)

à ìàòðèöà S = ST > 0 èìååò âèäS = diag (S1, . . . , Sr, s1Im1 , . . . , sfImf

) , (13.8)ãäå ïåðâûå r áëîêîâ ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè êâàäðàòíûìè ìàòðèöàìè ïîðÿä-êîâ k1, . . . , kr è k1 + · · · + kr + m1 + · · · + mf = n∆. Äëÿ ýòîé ñèñòåìûðàññìîòðèì ñèíòåç H∞-ðåãóëÿòîðîâ ïî âûõîäó çàäàííîãî ïîðÿäêà, ïðèêîòîðûõ

‖z‖ < γ‖v‖ , ∀ v 6≡ 0 , (13.9)ãäå ‖ · ‖ îáîçíà÷àåò L2-íîðìó.

Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè

v = L−11

(v∆

v

), z = L2

(z∆

z

)(13.10)

óðàâíåíèÿ (13.1) è (13.6) ñîâïàäàþò. Ïåðåïèøåì íåðàâåíñòâî (13.9) ââèäå

‖z‖2 − γ2‖v‖2 < −(‖S1/2z∆‖2 − η−2‖S1/2v∆‖2) .

179

Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî â èñõîäíîé ñèñòåìå v∆ = ∆(t)z∆, ãäå ∆(t) óäîâëåòâî-ðÿåò (13.2), (13.3), èìååì

‖S1/2z∆‖2 − η−2‖S1/2v∆‖2 ≥ 0

è, ñëåäîâàòåëüíî,‖z‖2 − γ2‖v‖2 < 0 .

Òàêèì îáðàçîì, H∞-ðåãóëÿòîðû â çàäà÷å (13.6), (13.9) ÿâëÿþòñÿ ðîáàñò-íûìè H∞-ðåãóëÿòîðàìè â çàäà÷å (13.1), (13.5).

Óðàâíåíèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû (13.6), (13.4) ïðèâîäÿòñÿ ê âèäóxc = Acxc + Bcv ,

z = Ccxc + Dcv ,(13.11)

ãäå

Ac =

A + B2DrC2 B2Cr

BrC2 Ar

,

Bc =

B1 + B2DrD21

BrD21

= BcL1, Bc =

B∆ + B2DrD2∆ B1 + B2DrD21

BrD2∆ BrD21

,

Cc =(C1 + D12DrC2 D12Cr

)= L2Cc, Cc =

C∆ + D∆2DrC2 D∆2Cr

C1 + D12DrC2 D12Cr

,

Dc = D11 + D12DrD21 = L2DcL1 ,

Dc =

D∆∆ + D∆2DrD2∆ D∆1 + D∆2DrD21

D1∆ + D12DrD2∆ D11 + D12DrD21

.

(13.12)Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 8.1 äëÿ òîãî, ÷òîáû óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìó-

ùåíèé â îáúåêòå (13.11) áûë ìåíüøå γ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáûñóùåñòâîâàëà ìàòðèöà X = XT > 0, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ëèíåéíîìó ìàò-ðè÷íîìó íåðàâåíñòâó

ATc X + XAc XBc CT

c

BTc X −γI DT

c

Cc Dc −γI

=

AT

c X + XAc XBcL1 CTc L2

L1BTc X −γI L1D

Tc L2

L2Cc L2DcL1 −γI

< 0 .

(13.13)


Ïî ëåììå A.2 ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèé äëÿ ìàòðèö L1 è L2 ïîñëåäíåå íåðà-âåíñòâî ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó

ATc X + XAc XBc CT

c

BTc X −

(γ−1η−2S 0

0 γI

)DT

c

Cc Dc −(

γS−1 00 γI

) < 0 . (13.14)

Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå S = γ−1η−1S è ζ = η−1, ïîëó÷èìAT

c X + XAc XBc CTc

BTc X −

(ζS 00 γI

)DT

c

Cc Dc −(

ζS−1 00 γI

) < 0 . (13.15)

Òåïåðü ñ öåëüþ âûäåëèòü ïàðàìåòðû ðåãóëÿòîðà ïðåäñòàâèì ìàòðèöûAc, Bc, Dc è Cc â âèäå

Ac = A0 + BΘC , Bc = B0 + BΘD1 ,

Cc = C0 +D2ΘC , Dc = D0 +D2ΘD1 ,(13.16)

ãäå

A0 =

A 0nx×k

0k×nx 0k×k

,

B =

0nx×k B2

Ik 0k×nu

, C =

0k×nx Ik

C2 0ny×k

,

B0 =

B∆ B1

0k×n∆0k×nv

, C0 =

C∆ 0n∆×k

C1 0nz×k

,

D1 =

0k×n∆0k×nv

D2∆ D21

, D2 =

0n∆×k D∆2

0nz×k D12

,

D0 =

D∆∆ D∆1

D1∆ D11

, Θ =

Ar Br

Cr Dr

.

(13.17)

181

Çàïèøåì íåðàâåíñòâî (13.15) â âèäå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåí-ñòâà îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ Θ


Ψ =

AT

0 X + XA0 XB0 CT0

BT0 X −

(ζS 00 γI

)DT

0

C0 D0 −(

ζS−1 00 γI

) ,

P = (C D1 0(ny+k)×(n∆+nz)) , Q = (BT X 0(nu+k)×(n∆+nv) DT2 ) .(13.19)

Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 3.2 ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî èìååò ðåøåíèå òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíû óñëîâèÿ (3.5), êîòîðûå â äàííîì ñëó÷àåèìåþò âèä

W TP

AT

0 X + XA0 XB0 CT0

BT0 X −

(ζS 00 γI

)DT

0

C0 D0 −(

ζS−1 00 γI

)WP < 0 ,

W TQ

AT

0 X + XA0 XB0 CT0

BT0 X −

(ζS 00 γI

)DT

0

C0 D0 −(

ζS−1 00 γI

)WQ < 0 ,

(13.20)ãäå ñòîëáöû ìàòðèöû WP îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû P , à ñòîëáöûìàòðèöû WQ îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ìàòðèöû Q. Òàê êàê â äàííîì ñëó÷àå

Q = R

X 0 0

0 I 0

0 0 I

, R = (BT 0 DT2 ) ,

òî

WQ =

X−1 0 0

0 I 0

0 0 I

WR .


Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â (13.20), ïðèõîäèì ê ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäó-þùåãî óòâåðæäåíèÿ.

Óòâåðæäåíèå 13.1 Åñëè ïðè çàäàííûõ γ > 0 è ζ > 0 ñóùåñòâóþòìàòðèöà X = XT > 0 ïîðÿäêà (nx + k) × (nx + k) è ìàòðèöà S =ST > 0 ïîðÿäêà n∆×n∆ âèäà (13.8), óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþùèì äâóìíåðàâåíñòâàì

W TP

AT

0 X + XA0 XB0 CT0

BT0 X −

(ζS 00 γI

)DT

0

C0 D0 −(

ζS−1 00 γI

)WP < 0 ,

W TR

X−1AT

0 + A0X−1 B0 X−1CT

0

BT0 −

(ζS 00 γI

)DT

0

C0X−1 D0 −

(ζS−1 0

0 γI

)WR < 0 ,

(13.21)òî ñóùåñòâóåò ðîáàñòíûé H∞-ðåãóëÿòîð k-ãî ïîðÿäêà âèäà (13.4), îáåñ-ïå÷èâàþùèé óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé íå áîëüøèé γ â îáúåêòå ñíåîïðåäåëåííîñòüþ (13.1), (13.2), (13.3) ïðè η = ζ−1. Åñëè óñëîâèÿ (13.21)âûïîëíåíû è òàêèå ìàòðèöû X è S íàéäåíû, òî ïàðàìåòðû Θ èñêî-ìîãî ðåãóëÿòîðà (13.4) íàõîäÿòñÿ êàê ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãîíåðàâåíñòâà (13.18), â êîòîðîì Ψ, P è Q çàäàíû â (13.19).

Ââåäåì ìàòðèöû Y = X−1, Σ = S−1 è ïåðåïèøåì óñëîâèÿ (13.21) ââèäå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ îòíîñèòåëüíî ìàòðèö X, Y , S è

183

Σ:

W TP

AT

0 X + XA0 XB0 CT0

BT0 X −

(ζS 00 γI

)DT

0

C0 D0 −(

ζΣ 00 γI

)WP < 0 ,

W TR

Y AT

0 + A0Y B0 Y CT0

BT0 −

(ζS 00 γI

)DT

0

C0Y D0 −(

ζΣ 00 γI

)WR < 0 .

(13.22)Òîãäà ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å A: íàéòè äâå âçàèìíî-îáðàòíûå ìàòðèöû X = diag (X, S) è Y = diag (Y, Σ), óäîâëåòâîðÿþùèåíåðàâåíñòâàì (13.22).

Ïðè ñèíòåçå ðîáàñòíûõ H∞-ðåãóëÿòîðîâ âîçíèêàþò äâå çàäà÷è: ïåð-âàÿ çàäà÷à îáåñïå÷èòü ãàøåíèå âîçìóùåíèé ñ ìèíèìàëüíî âîçìîæíûìóðîâíåì γ ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè ìåðû íåîïðåäåëåííîñòè η, è âòîðàÿçàäà÷à îáåñïå÷èòü ãàøåíèå âîçìóùåíèé ñ óðîâíåì, ìåíüøèì çàäàííî-ãî γ, äëÿ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîãî çíà÷åíèÿ ìåðû íåîïðåäåëåííîñòè η.Äëÿ ðåøåíèÿ ïåðâîé çàäà÷è íóæíî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî çàäàííîìó ηçíà÷åíèè ζ = η−1 íàéòè ìèíèìàëüíîå γ, ïðè êîòîðîì ëèíåéíûå ìàò-ðè÷íûå íåðàâåíñòâà (13.22) ðàçðåøèìû îòíîñèòåëüíî óêàçàííûõ âçàèì-íîîáðàòíûõ ìàòðèö, à äëÿ ðåøåíèÿ âòîðîé ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè γíàéòè ìèíèìàëüíîå ζ (à çíà÷èò, ìàêñèìàëüíóþ ìåðó íåîïðåäåëåííîñòèη), ïðè êîòîðîì ýòè íåðàâåíñòâà ðàçðåøèìû îòíîñèòåëüíî âçàèìíîîá-ðàòíûõ ìàòðèö. Ñëåäóþùèé ïðèìåð èëëþñòðèðóåò ýòè äâå çàäà÷è.Ïðèìåð 13.1 Ðàññìîòðèì ëèíåéíûé îñöèëëÿòîð ñ íåèçâåñòíîé ìàñ-ñîé è íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè äåìïôèðîâàíèÿ è æåñòêîñòè,íà êîòîðûé äåéñòâóåò âíåøíåå âîçìóùåíèå. Óðàâíåíèå îñöèëëÿòîðàèìååò âèä (ñì. ïðèìåðû 9.2 è 11.1)

mξ + bξ + cξ = u + v ,z1 = ξ ,z2 = u ,y = ξ ,

(13.23)

ãäå m = m0(1 + wmδm), b = b0(1 + wbδb), c = c0(1 + wcδc), m0, b0, c0 íî-ìèíàëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, |δm| ≤ η, |δb| ≤ η, |δc| ≤ η. Îáîçíà÷àÿ


x1 = ξ è x2 = ξ, çàïèøåì ýòî óðàâíåíèå â âèäå

x1 = x2

x2 = − c0

m0

x1 −b0

m0


m0

x1 − wbδbb0

m0

x2 +1

m0

u +1

m0

v .



m0

x1 , vb = −δbb0

m0

x2

zm = −x2 =c0

m0

x1 +b0

m0

x2 − wmvm − wcvc − wbvb −1

m0

u− 1

m0

v,

zc = − c0

m0

x1 , zb = − b0

m0

x2 ,

ïðåäñòàâèì ýòó ñèñòåìó â âèäå (13.1), ãäå

A =

0 1

− c0

m0

− b0

m0

, B∆ =

0 0 0

wm wc wb

, B1 = B2 =

0

1

m0

,

C∆ =

c0

m0

b0

m0

− c0

m0

0

0 − b0

m0

, D∆∆ =

−wm −wc −wb

0 0 0

0 0 0

,

D∆1 = D∆2 =

− 1

m0

0

0

, C1 =

1 0

0 0

, D1∆ =

0 0 0

0 0 0

,

D11 =

0

0

, D12 =

0

1

, C2 = (1 0), D2∆ = (0 0 0), D21 = 0,

∆(t) =

δm(t) 0 0

0 δc(t) 0

0 0 δb(t)

.

185

Äëÿ çíà÷åíèé m0 = 1, b0 = 0.1, c0 = 100, wm = wb = wc = 0.1 ïðèη = 2.5 ðåãóëÿòîð ïåðâîãî ïîðÿäêà

xr = −19.638xr − 80.514y ,u = −42.327xr − 124.606y

îáåñïå÷èâàåò ìèíèìàëüíî âîçìîæíûé óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé γ =32. Ðåãóëÿòîð ïåðâîãî ïîðÿäêà

xr = −10.914xr − 67.002y ,u = −14.558xr − 41.994y

îáåñïå÷èâàåò óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé γ = 5 äëÿ ìàêñèìàëüíî âîç-ìîæíîé ìåðû íåîïðåäåëåííîñòè η = 1.3.

Ïåðåôîðìóëèðóåì çàäà÷ó, ê ðåøåíèþ êîòîðîé ñâîäèòñÿ ñèíòåç ðî-áàñòíîãîH∞-ðåãóëÿòîðà k-ãî ïîðÿäêà, ó÷èòûâàÿ áëî÷íóþ ñòðóêòóðó ìàò-ðèö A0, B0, C0, D0 è ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðèö X è Y âáëî÷íîì âèäå

X =

X11 X12

XT12 X22

, Y =

Y11 Y12

Y T12 Y22

.


P =

0k×nx Ik 0k×n∆0k×nv 0k×n∆

0k×nz

C2 0ny×k D2∆ D21 0ny×n∆0ny×nz

,

R =

0k×nx Ik 0k×n∆0k×nv 0k×n∆

0k×nz

BT2 0nu×k 0nu×n∆

0nu×nv DT∆2 DT

12

,


WP =

W(1)P 0 0

0 0 0

W(2)P 0 0

W(3)P 0 0

0 I 0

0 0 I

, WR =

W(1)R 0 0

0 0 0

0 I 0

0 0 I

W(2)R 0 0

W(3)R 0 0

,


ãäå ìàòðèöû W(i)P è ìàòðèöû W

(i)R îïðåäåëÿþòñÿ èç ñëåäóþùèõ óðàâíå-

íèé

C2W(1)P + D2∆W

(2)P + D21W

(3)P = 0 , BT

2 W(1)R + DT

∆2W(2)R + DT

12W(3)R = 0 .


W TP

AT X11 + X11A AT X12 X11B∆ X11B1 CT∆ CT

1

? 0 X12B∆ XT12B1 0 0

? ? −ζS 0 DT∆∆ DT

1∆

? ? ? −γI DT∆1 DT

11

? ? ? ? −ζΣ 0

? ? ? ? ? −γI

WP ,

W TR

Y11AT + AY11 AY12 B∆ B1 Y11C

T∆ Y11C

T1

? 0 0 0 Y T12C

T∆ Y T

12CT1

? ? −ζS 0 DT∆∆ DT

1∆

? ? ? −γI DT∆1 DT

11

? ? ? ? −ζΣ 0

? ? ? ? ? −γI

WR.

Òàê êàê âî âòîðûõ ñòðîêàõ ìàòðèö WP è WR ñòîÿò íóëåâûå áëîêè, ïî-

187

ëó÷àåì

W TP

AT X11 + X11A X11B∆ X11B1 | CT∆ CT

1

? −ζS 0 | DT∆∆ DT

1∆

? ? −γI | DT∆1 DT

11

− − − | − −

? ? ? | −ζΣ 0

? ? ? | ? −γI

WP < 0,

W TR

Y11AT + AY11 Y11C

T∆ Y11C

T1 | B∆ B1

? −ζΣ 0 | D∆∆ D∆1

? ? −γI | D1∆ D11

− − − | − −

? ? ? | −ζS 0

? ? ? | ? −γI

WR < 0 ,

(13.24)ãäå

WP =

N1 | 0

− − −

0 | I

, WR =

N2 | 0

− − −

0 | I

,

à N1 è N2 áàçèñû íóëü-ïðîñòðàíñòâ ìàòðèö (C2 D2∆ D21) è (BT2 DT

∆2 DT12)

ñîîòâåòñòâåííî.Òàêèì îáðàçîì, ñèíòåç ðîáàñòíûõH∞-ðåãóëÿòîðîâ ïî âûõîäó k-ïîðÿäêà

ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ çàäà÷è C: íàéòè äâåâçàèìíîîáðàòíûå ìàòðèöû S = ST > 0, Σ = ΣT > 0 âèäà (13.8) è äâå(nx × nx)-ìàòðèöû X11 = XT

11 > 0, Y11 = Y T11 > 0, óäîâëåòâîðÿþùèå

ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì (13.24) è X11 I

I Y11

≥ 0 , (13.25)

à òàêæå óñëîâèþrank (I −X11Y11) ≤ k , (13.26)



Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé ðîáàñòíîãî H∞-ðåãóëÿòîðà âèäà ëèíåé-íîé îáðàòíîé ñâÿçè ïî ñîñòîÿíèþ. Â ýòîì ñëó÷àå èìååì

C2 = I , D2∆ = 0 , D21 = 0 , Ar = 0 , Br = 0 , Cr = 0 .

Òîãäà N1 = diag (0, I) è ïåðâîå íåðàâåíñòâî â (13.24) ñâîäèòñÿ ê

−ζS 0 DT∆∆ DT

1∆

? −γI DT∆1 DT

11

? ? −ζΣ 0

? ? ? −γI

< 0 . (13.27)

Ïî ëåììå Øóðà âòîðîå íåðàâåíñòâî â (13.24) è íåðàâåíñòâî (13.27) ýê-âèâàëåíòíû ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâàì

W TR

Y11AT + AY11 Y11C

T∆ Y11C

T1 | B∆Σ B1

? −ζΣ 0 | D∆∆Σ D∆1

? ? −γI | D1∆Σ D11

− − − | − −

? ? ? | −ζΣ 0

? ? ? | ? −γI

WR < 0 ,

−ζΣ 0 ΣDT∆∆ ΣDT

1∆

? −γI DT∆1 DT

11

? ? −ζΣ 0

? ? ? −γI

< 0 .

(13.28)Òàêèì îáðàçîì, ñèíòåç ðîáàñòíîãîH∞-ðåãóëÿòîðà ïî ñîñòîÿíèþ ñâîäèòñÿê ðåøåíèþ ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ â ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäóþ-ùèì óòâåðæäåíèåì.Óòâåðæäåíèå 13.2 Åñëè ïðè çàäàííûõ ζ > 0 è γ > 0 ñóùåñòâóþòìàòðèöà Y11 = Y T

11 > 0 ïîðÿäêà nx × nx è ìàòðèöà Σ = ΣT > 0 ïîðÿäêàn∆ × n∆ âèäà (13.8), óäîâëåòâîðÿþùèå ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåí-ñòâàì (13.28), òî ñóùåñòâóåò ðîáàñòíûé H∞-ðåãóëÿòîð âèäà ëèíåé-íîé îáðàòíîé ñâÿçè ïî ñîñòîÿíèþ u = Θx, îáåñïå÷èâàþùèé óðîâåíü ãà-øåíèÿ âîçìóùåíèé íå áîëüøèé γ â îáúåêòå ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ (13.1),

189

(13.2), (13.3) ïðè η = ζ−1. Äëÿ íàéäåííûõ ðåøåíèé Y11 è Σ ýòèõ íåðà-âåíñòâ ïàðàìåòðû Θ íàõîäÿòñÿ êàê ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãîíåðàâåíñòâà (13.18), â êîòîðîì

Ψ =

AT Y −111 + Y −1

11 A Y −111 B∆ Y −1

11 B1 CT∆ CT

1

? −ζΣ−1 0 DT∆∆ DT

1∆

? ? −γI DT∆1 DT

11

? ? ? −ζΣ 0

? ? ? ? −γI

,

P = (I 0 0 0 0) , Q = (BT2 Y −1

11 0 0 DT∆2 DT

12) .

Ãëàâà 14

Ñèíòåç ãðóáûõ

ñòàáèëèçèðóþùèõ ðåãóëÿòîðîâ

Â ñèíòåçå ðåãóëÿòîðîâ ñóùåñòâóåò åùå îäíà âàæíàÿ ïðîáëåìà, ñîñòîÿ-ùàÿ â òîì, ÷òî ïðè ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè ðåãóëÿòîðà â öèôðîâîìèëè àíàëîãîâîì âèäå âîçìîæíû ïîãðåøíîñòè â çàäàíèè åãî ïàðàìåòðîâ.Åñëè ýòè ïîãðåøíîñòè íå ó÷èòûâàòü àïðèîðíî, òî âîçíèêàþò ñèòóàöèè,îïèñàííûå â [67], êîãäà äàæå ïðè îïòèìàëüíîì ñèíòåçå çàìêíóòàÿ ñè-ñòåìà îêàçûâàåòñÿ âáëèçè ãðàíèöû îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè è ìàëåéøèåôëþêòóàöèè ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà íàðóøàþò åå óñòîé÷èâîñòü.

Ðåãóëÿòîðû, îáåñïå÷èâàþùèå âûïîëíåíèå çàäàííîé öåëè ïðè âàðèà-öèÿõ èç îïðåäåëåííîãî êëàññà èõ ñîáñòâåííûõ ïàðàìåòðîâ, áóäåì íàçû-âàòü ãðóáûìè (â àíãëîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå èñïîëüçóåòñÿ òåðìèí nonfragilecontrollers). Ñèíòåçó ãðóáûõ ðåãóëÿòîðîâ â çàäà÷àõ ðîáàñòíîãî è H∞-óïðàâëåíèÿ áûëè ïîñâÿùåíû ðàáîòû [61, 81], â êîòîðûõ óðàâíåíèÿ ðå-ãóëÿòîðîâ âûâîäÿòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè ñóùåñòâîâàíèÿ îïðåäåëåííûõ ðå-øåíèé ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ Ðèêêàòè.

Äàëåå ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è ñèíòåçà ãðóáûõ ñòàáèëèçèðóþùèõ ðå-ãóëÿòîðîâ ïî ñîñòîÿíèþ è äèíàìè÷åñêèõ ðåãóëÿòîðîâ çàäàííîãî ïîðÿäêàïî èçìåðÿåìîìó âûõîäó â êëàññå îãðàíè÷åííûõ ïî íîðìå âàðèàöèé èõïàðàìåòðîâ. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ èñïîëüçóåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèé àï-ïàðàò ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ. Ïîêàçàíî, ÷òî çàäà÷à ñèíòåçàãðóáîãî ñòàáèëèçèðóþùåãî ðåãóëÿòîðà ïî ñîñòîÿíèþ ñâîäèòñÿ ê ñòàí-äàðòíîé ïðîöåäóðå ïðîâåðêè ðàçðåøèìîñòè ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðà-âåíñòâà. Çàäà÷à ñèíòåçà ãðóáîãî ñòàáèëèçèðóþùåãî äèíàìè÷åñêîãî ðåãó-ëÿòîðà ïî âûõîäó îêàçûâàåòñÿ áîëåå ñëîæíîé è ñâîäèòñÿ ê ïîèñêó äâóõâçàèìíîîáðàòíûõ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûõ ìàòðèö, óäîâëåòâîðÿþ-ùèõ ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì.

191

192 Ãëàâà 14. Ñèíòåç ãðóáûõ ñòàáèëèçèðóþùèõ ðåãóëÿòîðîâ

14.1 Ãðóáûå ðåãóëÿòîðû ïî ñîñòîÿíèþ

Íàïîìíèì, ÷òî çàäà÷à ñòàáèëèçàöèè ïî ñîñòîÿíèþ ëèíåéíîãî ñòàöèîíàð-íîãî äèíàìè÷åñêîãî îáúåêòà, îïèñûâàåìîãî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíå-íèåì âèäà

x = Ax + Bu , (14.1)ãäå x ∈ Rnx ñîñòîÿíèå îáúåêòà, u ∈ Rnu óïðàâëåíèå, ñîñòîèò â âûáîðåçàêîíà óïðàâëåíèÿ èç êëàññà ëèíåéíûõ îáðàòíûõ ñâÿçåé ïî ñîñòîÿíèþâèäà

u = Θx , (14.2)ïðè êîòîðîì ñîñòîÿíèå x = 0 çàìêíóòîé ñèñòåìû (14.1), (14.2) ÿâëÿåòñÿàñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì ïî Ëÿïóíîâó.

Çàäà÷à ñèíòåçà ãðóáîãî ñòàáèëèçèðóþùåãî ðåãóëÿòîðà ïî ñîñòîÿíèþñîñòîèò â íàõîæäåíèè ìàòðèöû ïàðàìåòðîâ Θ òàêîé, ÷òî çàêîí óïðàâëå-íèÿ

u = (Θ + ∆Θ)x , ∆Θ = FΩ(t)E (14.3)ïðè ëþáûõ âàðèàöèÿõ ∆Θ ñâîèõ ïàðàìåòðîâ óêàçàííîãî âèäà îáåñïå÷è-âàåò àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü çàìêíóòîé ñèñòåìû (14.1), (14.3).Çäåñü Ω(t) íåèçâåñòíàÿ ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåðà-âåíñòâó

ΩT (t)Ω(t) ≤ ρ2I , (14.4)F è E çàäàííûå ìàòðèöû, à ρ > 0 - çàäàííîå ÷èñëî, êîòîðîå áóäåìíàçûâàòü ðàäèóñîì ãðóáîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåãóëÿòîðà. Â ðàìêàõýòîé çàäà÷è ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ïîñòðîåíèå ìàêñèìàëüíî ãðóáîãî ñòà-áèëèçèðóþùåãî ðåãóëÿòîðà, ò.å. ðåãóëÿòîðà âèäà (14.2), îáåñïå÷èâàþùå-ãî àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü ñèñòåìû (14.1), (14.3) ïðè ìàêñèìàëü-íî âîçìîæíîì çíà÷åíèè ðàäèóñà ãðóáîñòè.

Çàïèøåì óðàâíåíèå ñèñòåìû (14.1), (14.3)

x = (A + BΘ + BFΩ(t)E)x . (14.5)

Äëÿ åå èçó÷åíèÿ ðàññìîòðèì òàêæå âñïîìîãàòåëüíóþ ñèñòåìóx = (A + BΘ)x + BFv∆

z∆ = Ex(14.6)

ñ âõîäîì v∆ è âûõîäîì z∆, óäîâëåòâîðÿþùèìè íåðàâåíñòâó

|v∆|2 ≤ ρ2|z∆|2 . (14.7)

14.1. Ãðóáûå ðåãóëÿòîðû ïî ñîñòîÿíèþ 193

Â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà v∆ = Ω(t)z∆, óðàâíåíèÿ ñèñòåì (14.5) è (14.6)ñîâïàäàþò, è â ñèëó óñëîâèÿ (14.4) íåðàâåíñòâî (14.7) âûïîëíÿåòñÿ. Ñëå-äîâàòåëüíî, ñèñòåìà (14.5) "ïîãðóæåíà"â âñïîìîãàòåëüíóþ ñèñòåìó (14.6),(14.7).

Óñòàíîâèì óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïî Ëÿïóíîâó âñïî-ìîãàòåëüíîé ñèñòåìû, à çíà÷èò, è èñõîäíîé íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû. Äëÿýòîãî âûÿñíèì, êîãäà ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ êâàäðà-òè÷íàÿ ôóíêöèÿ V (x) = xT Xx, äëÿ êîòîðîé óñëîâèå V < 0 âûïîëíÿåòñÿâ ñèëó óðàâíåíèé (14.6) ïðè âñåõ x, v∆, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó(14.7). Â ñèëó íåóùåðáíîñòè S-ïðîöåäóðû ïðè îäíîì îãðàíè÷åíèè ýòîýêâèâàëåíòíî ñóùåñòâîâàíèþ V (x) = xT Xx ñ X = XT > 0, äëÿ êîòîðîéïðè âñåõ x, v∆, îäíîâðåìåííî íå ðàâíûõ íóëþ, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

V + ρ2|z∆|2 − |v∆|2 < 0 , |x|2 + |v∆|2 6= 0 . (14.8)Ïåðåïèøåì (14.8) â âèäå

2xT X[(A + BΘ)x + BFv∆] + ρ2|Ex|2 − |v∆|2 < 0 ,

îòêóäà ïîëó÷èì ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî (A + BΘ)T X + X(A + BΘ) + ρ2ET E XBF

F T BT X −I

< 0 , (14.9)

êîòîðîå ñ ó÷åòîì ëåììû Øóðà ïðåîáðàçóåì ê âèäó(A + BΘ)T X + X(A + BΘ) ET XBF

E −ηI 0

F T BT X 0 −I

< 0 , (14.10)

ãäå η = ρ−2 > 0. Ýòî íåëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíîíåèçâåñòíûõ ìàòðèö X è Θ. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîíñòðóêòèâíûõ óñëîâèé åãîðàçðåøèìîñòè ïðåäñòàâèì íåðàâåíñòâî (14.10) â âèäå

Ψ + P T ΘT Q + QT ΘP < 0 , (14.11)ãäå

Ψ =

AT X + XA ET XBF

E −ηI 0

F T BT X 0 −I

,

P = (I 0 0) , Q = (BT X 0 0) ,


è ïðèìåíèì óòâåðæäåíèå 3.2, â êîòîðîì ôîðìóëèðóþòñÿ óñëîâèÿ ðàç-ðåøèìîñòè òàêîãî ðîäà íåðàâåíñòâ. Ìû óâèäèì, ÷òî ýòî ïîçâîëèò "ðàç-äåëèòü"ïåðåìåííûå X è Θ è âûðàçèòü èñêîìûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ââèäå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ.

Äåéñòâèòåëüíî, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå

WP =

0 0

I 0

0 I

, WQ =

X−1WBT 0 0

0 I 0

0 0 I

,

ïîýòîìó óñëîâèÿ (3.5) â äàííîì ñëó÷àå ïðèíèìàþò âèä −ηI 0

0 −I

< 0 ,

W T

BT (X−1AT + AX−1)WBT W TBT X−1ET 0

EX−1WBT −ηI 0

0 0 −I

< 0 .

Ïðåîáðàçóÿ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî, â ñîîòâåòñòâèè ñ óòâåðæäåíèåì 3.2ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó.Óòâåðæäåíèå 14.1 Ïóñòü ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî

L(Y, η) =

WBT 0

0 I

T Y AT + AY Y ET

EY −ηI

WBT 0

0 I

< 0 (14.12)

ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ Y = Y T > 0 è η > 0. Òîãäà äëÿîáúåêòà (14.1) ñóùåñòâóåò ãðóáûé ñòàáèëèçèðóþùèé ðåãóëÿòîð ïî ñî-ñòîÿíèþ âèäà (14.2) ñ ðàäèóñîì ãðóáîñòè ρ = η−1/2, ïàðàìåòðû Θ êîòî-ðîãî íàõîäÿòñÿ êàê ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà (14.10)ïðè X = Y −1.

Îòìåòèì, ÷òî èç (14.12) ñëåäóåò íåðàâåíñòâîW T

BT (Y AT + AY )WBT < 0 , Y > 0 ,

ÿâëÿþùååñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñòàáèëèçèðóåìîñòèîáúåêòà (14.1).

Äëÿ íàõîæäåíèÿ ìàêñèìàëüíî ãðóáîãî ñòàáèëèçèðóþùåãî ðåãóëÿòîðàïî ñîñòîÿíèþ òðåáóåòñÿ ñíà÷àëà ðåøèòü çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè η ïðè îãðà-íè÷åíèè, îïðåäåëÿåìîì ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâîì L(Y, η) < 0,çàòåì ñîîòâåòñòâóþùèå X = Y −1 è η ïîäñòàâèòü â (14.10) è ðåøèòü ïî-ëó÷åííîå ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî Θ.

Îòìåòèì òàêæå, ÷òî íàõîæäåíèå ìèíèìàëüíîãî η > 0, ïðè êîòîðîìâûïîëíÿåòñÿ ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî (14.10) ïðè çàäàííîé ìàò-ðèöå Θ, ïîçâîëÿåò îöåíèòü ìàêñèìàëüíûé ðàäèóñ ãðóáîñòè âûáðàííîãîðåãóëÿòîðà.

14.2. Ãðóáûå ðåãóëÿòîðû ïî âûõîäó 195

14.2 Ãðóáûå ðåãóëÿòîðû ïî âûõîäó

Ðàññìîòðèì óïðàâëÿåìûé îáúåêòx = Ax + Bu ,y = Cx ,

(14.13)

â êîòîðîì x ∈ Rnx ñîñòîÿíèå ñèñòåìû, u ∈ Rnu óïðàâëåíèå, y ∈ Rny èçìåðÿåìûé âûõîä. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ìàòðèöó ïàðàìåòðîâ

Θ =

Ar Br

Cr Dr

ãðóáîãî ëèíåéíîãî äèíàìè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà k-ãî ïîðÿäêà âèäà


(14.14)

ãäå xr ∈ Rk ñîñòîÿíèå ðåãóëÿòîðà, òàê ÷òîáû îáúåêò (14.13) ñ âîçìó-ùåííûì ðåãóëÿòîðîì

xr = (Ar + ∆Ar)xr + (Br + ∆Br)y ,u = (Cr + ∆Cr)xr + (Dr + ∆Dr)y

(14.15)

îñòàâàëñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì ïðè âñåõ âàðèàöèÿõ ïàðàìåòðîâðåãóëÿòîðà âèäà

∆Θ =

∆Ar ∆Br

∆Cr ∆Dr

= FΩ(t)E , (14.16)

ãäå Ω(t) íåèçâåñòíàÿ ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ ðàçìåðà l ×m, óäîâëåòâîðÿ-þùàÿ íåðàâåíñòâó

ΩT (t)Ω(t) ≤ ρ2I , (14.17)F è E çàäàííûå ìàòðèöû, à ρ > 0 - çàäàííûé ðàäèóñ ãðóáîñòè ðåãóëÿ-òîðà (ñì. ðèñ.14.1).

Ïðåäñòàâèì óðàâíåíèå çàìêíóòîé ñèñòåìû (14.13), (14.15) â âèäåxc = (Ac + FcFΩ(t)EEc)xc , (14.18)

ãäå xc = col (x, xr),

Ac =

(A + BDrC BCr

BrC Ar

), Fc =

(0nx×k BIk×k 0k×nu

),

Ec =

(0k×nx Ik×k

C 0ny×k

).


Ðàññìîòðèì òàêæå âñïîìîãàòåëüíóþ ñèñòåìóxc = Acxc + FcFv∆

z∆ = EEcxc(14.19)

ñ âõîäîì v∆ è âûõîäîì z∆, óäîâëåòâîðÿþùèìè íåðàâåíñòâó|v∆|2 ≤ ρ2|z∆|2 . (14.20)

Â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà v∆ = Ω(t)z∆, óðàâíåíèÿ ñèñòåì (14.18) è (14.19)ñîâïàäàþò, è â ñèëó óñëîâèÿ (14.17) íåðàâåíñòâî (14.20) âûïîëíÿåòñÿ.

Óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïî Ëÿïóíîâó âñïîìîãàòåëü-íîé ñèñòåìû, à çíà÷èò, è èñõîäíîé íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû âûâîäÿòñÿàíàëîãè÷íî ñëó÷àþ èçìåðÿåìîãî ñîñòîÿíèÿ è ñâîäÿòñÿ ê ñóùåñòâîâàíèþêâàäðàòè÷íîé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ôóíêöèè V (xc) = xT

c Xxc,ïðîèçâîäíàÿ êîòîðîé â ñèëó ñèñòåìû (14.19), (14.20) óäîâëåòâîðÿåò íåðà-âåíñòâó

V + ρ2|z∆|2 − |v∆|2 < 0 , |xc|2 + |v∆|2 6= 0 . (14.21)Îòñþäà ïîëó÷èì ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî Ac

T X + XAc + ρ2ETc ET EEc XFcF

F T F Tc X −I

< 0 (14.22)

èëè ñ ó÷åòîì ëåììû ØóðàAT

c X + XAc ETc ET XFcF

EEc −ηIm×m 0

F T F Tc X 0 −Il×l

< 0 , (14.23)

ãäå η = ρ−2. Ïðåäñòàâëÿÿ ìàòðèöó Ac â âèäåAc = A0 + FcΘEc , A0 =

(A 0nx×k

0k×nx 0k×k

),

çàïèøåì íåðàâåíñòâî (14.23) â ôîðìåΨ + P T ΘT Q + QT ΘP < 0 ,

ãäå

Ψ =

AT

0 X + XA0 ETc ET XFcF

EEc −ηIm×m 0

F T F Tc X 0 −Il×l

,

P = (Ec 0(ny+k)×m 0(ny+k)×l) ,

Q = (F Tc X 0(nu+k)×m 0(nu+k)×l) .


Íàéäåì

WP =

WEc 0 0

0 Im×m 0

0 0 Il×l

, WQ =

X−1WF T

c0 0

0 Im×m 0

0 0 Il×l

,

ïîýòîìó óñëîâèÿ (3.5) ðàçðåøèìîñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà ïðèíèìàþò âèäW T

Ec(AT

0 X + XA0)WEc 0 W TEc

XFcF

0 −ηI 0

F T F Tc XWEc 0 −I

< 0 ,

W T

F Tc(X−1AT

0 + A0X−1)WF T

cW T

F TcX−1ET

c ET 0

EEcX−1WF T

c−ηI 0

0 0 −I

< 0 .

Ïðåîáðàçóÿ ïîñëåäíèå íåðàâåíñòâà ñ ïîìîùüþ ëåììû Øóðà, â ñîîòâåò-ñòâèè ñ óòâåðæäåíèåì 3.2 ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó.Óòâåðæäåíèå 14.2 Ïóñòü ïðè äàííîì η ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðà-âåíñòâà

L1(X) =

WEc 0

0 I

T AT0 X + XA0 XFcF

F T F Tc X −I

WEc 0

0 I

< 0 ,

L2(Y, η) =

WF Tc

0

0 I

T Y AT0 + A0Y Y ET

c ET

EEcY −ηI

WF Tc

0

0 I

< 0

(14.24)ðàçðåøèìû îòíîñèòåëüíî äâóõ âçàèìíîîáðàòíûõ ìàòðèö X = XT > 0è Y = Y T > 0 (XY = I). Òîãäà äëÿ îáúåêòà (14.13) ñóùåñòâóåò ãðóáûéñòàáèëèçèðóþùèé ðåãóëÿòîð ïî âûõîäó âèäà (14.14) ñ ðàäèóñîì ãðóáî-ñòè ρ = η−1/2, ïàðàìåòðû Θ êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ êàê ðåøåíèÿ ëèíåéíî-ãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà (14.23).

Ïðèìåð 14.1 Ãðóáàÿ ñòàáèëèçàöèÿ ïåðåâåðíóòîãî ìàÿòíèêà. Îáú-åêò îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè

x1 = x2 ,x2 = x1 + u ,y = x1 .


Ñèíòåçèðóåì ñíà÷àëà íåãðóáûé äèíàìè÷åñêèé ðåãóëÿòîð ïî âûõîäó ïåð-âîãî ïîðÿäêà íà îñíîâå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ è îöåíèì ìàê-ñèìàëüíûé ðàäèóñ ãðóáîñòè ïîñòðîåííîãî ðåãóëÿòîðà. Â ðåçóëüòàòåïðèìåíåíèÿ àëãîðèòìà ïîèñêà âçàèìíîîáðàòíûõ ìàòðèö ïîëó÷àåì

Θ =

−0.1590 −0.2757

−0.5136 −2.3414

. (14.25)

Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûé ðåãóëÿòîð èìååò âèä

xr = −0.1590xr − 0.2757y ,

u = −0.5136xr − 2.3414y ,

à ìàòðèöà çàìêíóòîé ñèñòåìû èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

λ1,2 = −0.0527± 1.1545i , λ3 = −0.0537 .

Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà íåñêîëü-êî îòëè÷àþòñÿ îò íàéäåííûõ çíà÷åíèé è óðàâíåíèÿ ðåãóëÿòîðà ïðåä-ñòàâëÿþòñÿ â ôîðìå

xr = (−0.1590 + ∆Ar)xr + (−0.2757 + ∆Br)y ,

u = (−0.5136 + ∆Cr)xr + (−2.3414 + ∆Dr)y ,

ãäå ∆Ar(t), ∆Br(t), ∆Cr(t), ∆Dr(t) íåèçâåñòíûå ôóíêöèè, óäîâëåòâî-ðÿþùèå óñëîâèÿì

|∆Ar(t)| ≤ ρ, |∆Br(t)| ≤ ρ, |∆Cr(t)| ≤ ρ, |∆Dr(t)| ≤ ρ,

a ρ > 0 íåêîòîðîå ÷èñëî. Ïðåäñòàâèì ìàòðèöó âàðèàöèé ïàðàìåòðîâðåãóëÿòîðà â ôîðìå (14.16)

∆Ar ∆Br

∆Cr ∆Dr

=

1 1 0 0

0 0 1 1

Ω1(t) 0 0 0

0 Ω2(t) 0 0

0 0 Ω3(t) 0

0 0 0 Ω4(t)

1 0

0 1

1 0

0 1

è íàéäåì îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ðàäèóñà ãðóáîñòè íàéäåííîãî íåãðóáîãîðåãóëÿòîðà. Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå η, ïðè êîòîðîì âûïîëíÿåòñÿ ëè-íåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî (14.23), ãäå Ac ìàòðèöà çàìêíóòîéñèñòåìû ñ ïàðàìåòðàìè Θ, óêàçàííûìè â (14.25), îêàçàëîñü ðàâíûì


η = 1682. Òàêèì îáðàçîì, èìååì íèæíþþ îöåíêó äëÿ ìàêñèìàëüíîãîðàäèóñà ãðóáîñòè ρ = η−1/2 = 0.0244. Íàéòè òî÷íîå çíà÷åíèå ðàäèó-ñà ãðóáîñòè äëÿ óêàçàííîãî êëàññà âîçìóùåíèé íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîç-ìîæíûì. Îäíàêî, ÷èñëåííûé ýêñïåðèìåíò ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè, íà-ïðèìåð,

∆Θ =

0.08 0.08

−0.08 −0.08

,

òî çàìêíóòàÿ ñèñòåìà ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâîé. Ïîýòîìó ìàêñè-ìàëüíûé ðàäèóñ ãðóáîñòè ïîñòðîåííîãî ðåãóëÿòîðà çàâåäîìî ìåíüøå0.08.

Ïîñòðîèì òåïåðü ãðóáûé ðåãóëÿòîð ñ ðàäèóñîì ãðóáîñòè ρ íå ìåíü-øèì, ÷åì 1. Äëÿ âûáðàííîãî âûøå êëàññà âîçìîæíûõ âàðèàöèé ïàðà-ìåòðîâ ðåãóëÿòîðà áûëè íàéäåíû ïàðàìåòðû

Θ =

−6.1618 8.4953

8.5164 −24.2208

.

Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûé ãðóáûé ðåãóëÿòîð èìååò âèä

xr = −6.1618xr + 8.4953y ,

u = 8.5164xr − 24.2208y ,

à ìàòðèöà çàìêíóòîé ñèñòåìû èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

λ1,2 = −0.8388± 3.8779i , λ3 = −4.4962 .

Êàê âèäíî èç ïðèâåäåííîãî ïðèìåðà, ðåãóëÿòîðû, ïîñòðîåííûå íàîñíîâå òðàäèöèîííîãî ïîäõîäà, îêàçûâàþòñÿ âåñüìà ÷óâñòâèòåëüíûìè êâàðèàöèÿì ñâîèõ ïàðàìåòðîâ. Ïîýòîìó ïðè ñèíòåçå çàêîíîâ óïðàâëåíèÿöåëåñîîáðàçíî ïðèìåíÿòü êîíöåïöèþ ãðóáûõ ðåãóëÿòîðîâ.

Ïðåäëàãàåìûé ïîäõîä ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåí íà ñèíòåç ãðóáûõëèíåéíî-êâàäðàòè÷íûõ ðåãóëÿòîðîâ, ãðóáûõ H∞-ðåãóëÿòîðîâ è ãðóáûõðîáàñòíûõ ðåãóëÿòîðîâ.

Ãëàâà 15

Àäàïòèâíîå óïðàâëåíèå

Â ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ ýòîé ÷àñòè äëÿ ðàçëè÷íûõ êëàññîâ äèíàìè÷åñêèõîáúåêòîâ, âûäåëÿåìûõ íà îñíîâå èìåþùåéñÿ èíôîðìàöèè, ïîëó÷åíû ðî-áàñòíûå çàêîíû óïðàâëåíèÿ. Ýòè çàêîíû óïðàâëåíèÿ ÿâëÿëèñü ëèíåé-íûìè è ñòàöèîíàðíûìè, ò.å. èõ ïàðàìåòðû ðàññ÷èòûâàëèñü àïðèîðíî èâ ïðîöåññå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ íå ìåíÿëèñü. Âìåñòå ñ òåì, ñóùåñòâóåò èäðóãîé ïîäõîä ê ñèíòåçó ðåãóëÿòîðîâ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè íà-ñòðîéêà ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà â ïðîöåññå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìûóïðàâëåíèÿ. Òàêèå ñèñòåìû íîñÿò íàçâàíèÿ àäàïòèâíûõ (ñì., íàïðèìåð,[36, 34, 31]). Ïàðàìåòðû àäàïòèâíûõ ðåãóëÿòîðîâ ìîãóò áûòü ôóíêöèÿìèîöåíîê êàêèõ-ëèáî íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ îáúåêòà, êîòîðûå óòî÷íÿþò-ñÿ â ïðîöåññå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ (ýòî ñîîòâåòñòâóåò èäåíòèôèêàöèîííî-ìó èëè íåïðÿìîìó àäàïòèâíîìó óïðàâëåíèþ), èëè ìîãóò ïîäñòðàèâàòüñÿíåïîñðåäñòâåííî (ýòî îòâå÷àåò òàê íàçûâàåìîìó ïðÿìîìó àäàïòèâíîìóóïðàâëåíèþ). Â ëþáîì ñëó÷àå ïðîáëåìà ñâîäèòñÿ ê ïîñòðîåíèþ àëãî-ðèòìîâ, â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûìè òðåáóåòñÿ íàñòðàèâàòü ïàðàìåòðûàäàïòèâíûõ ðåãóëÿòîðîâ äëÿ äîñòèæåíèÿ öåëè óïðàâëåíèÿ. Çäåñü áóäåòèçëîæåí îäèí îáùèé ïîäõîä ê ñèíòåçó òàêèõ àëãîðèòìîâ, ðàçðàáîòàííûéâ [24], êîòîðûé îêàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñâÿçàííûì ñ ëèíåé-íûìè ìàòðè÷íûìè íåðàâåíñòâàìè.

Ñóòü ýòîãî ïîäõîäà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïóñòü èìååòñÿ äèíàìè÷å-ñêàÿ ñèñòåìà, îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèåì âèäà

x = F (x, θ) , F (0, θ) ≡ 0 , (15.1)ãäå x âåêòîð ñîñòîÿíèÿ, à θ âåêòîð ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå ëèíåéíîâõîäÿò â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (15.1) (âîçìîæåí âàðèàíò, êîãäà ïà-ðàìåòðû âõîäÿò íåëèíåéíî). Îêàçûâàåòñÿ [24], åñëè â êàæäûé ìîìåíòâðåìåíè âåêòîð ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ θ èìååò íàïðàâëåíèå àí-òèãðàäèåíòà ïî ïàðàìåòðàì θ îò ïðîèçâîäíîé íåêîòîðîé ïîëîæèòåëüíî

201

202 Ãëàâà 15. Àäàïòèâíîå óïðàâëåíèå

îïðåäåëåííîé ôóíêöèè V (x) ïî òðàåêòîðèè (15.1), ò.å.θ = −α5 V (x, θ) , (15.2)

ãäå α > 0, òî ïðè óñëîâèè, ÷òî V (x) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ëÿïóíîâà ñè-ñòåìû (15.1) ïðè íåêîòîðîì θ = θ∗, âåêòîð x â ñèñòåìå (15.1), (15.2)áóäåò àñèìïòîòè÷åñêè ñòðåìèòüñÿ ê ñîñòîÿíèþ ðàâíîâåñèÿ x = 0. Äîêà-çàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà îñíîâàíî íà òîì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óêàçàííîãîóñëîâèÿ ôóíêöèÿ

Ψ(x, θ) = V (x) +1

2α‖θ − θ∗‖2

íå âîçðàñòàåò íà òðàåêòîðèÿõ ñèñòåìû (15.1), (15.2).Àëãîðèòì íàñòðîéêè (15.2) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü ñëåäóþùèì îá-

ðàçîì: åñëè âåêòîð ïàðàìåòðîâ èçìåíÿòü â íàïðàâëåíèè íàèñêîðåéøå-ãî óáûâàíèÿ ïî òðàåêòîðèè ñèñòåìû íåêîòîðîé ôóíêöèè, ÿâëÿþùåéñÿôóíêöèåé Ëÿïóíîâà ýòîé ñèñòåìû ïðè íåêîòîðûõ, ìîæåò áûòü íåèçâåñò-íûõ, çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ, òî â ðåçóëüòàòå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû áóäåòñòðåìèòüñÿ ê ñîñòîÿíèþ ðàâíîâåñèÿ. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì àäàïòèâíîåóïðàâëåíèå ñ àëãîðèòìîì íàñòðîéêè òàêîãî âèäà íîñèò íàçâàíèå àäàï-òèâíîå óïðàâëåíèå ïî ñêîðîñòè óáûâàíèÿ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà. Âïîñëåä-ñòâèå â [35] áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ìíîãèå èçâåñòíûå ñèñòåìû àäàïòèâíî-ãî óïðàâëåíèÿ îòíîñÿòñÿ ê òàêîìó âèäó è ÷òî ýòîò àëãîðèòì ìîæåò áûòüïðèìåíåí â àäàïòèâíîì óïðàâëåíèè íîâûìè êëàññàìè îáúåêòîâ (òàì æåîí áûë íàçâàí àëãîðèòìîì ñêîðîñòíîãî ãðàäèåíòà).

Ïðèìåíèì ýòîò ïîäõîä ê ñèíòåçó àäàïòèâíîãî óïðàâëåíèÿ îáúåêòîìx = Ax + Bu , (15.3)

â êîòîðîì ìàòðèöû A è B áóäåì ïîêà ñ÷èòàòü íåèçâåñòíûìè. Äàëåå ìûóâèäèì, êàêàÿ èíôîðìàöèÿ î ïàðàìåòðàõ îáúåêòà äîëæíà áûòü äîñòóï-íà. Ðàäè ïðîñòîòû, ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñêàëÿðíîãî óïðàâëåíèÿ. Öåëüóïðàâëåíèÿ ñîñòîèò â ñòàáèëèçàöèè îáúåêòà óïðàâëåíèÿ ïî ñîñòîÿíèþ.Âûáåðåì çàêîí óïðàâëåíèÿ âèäà

u = θT x , (15.4)ãäå θ âåêòîð íàñòðàèâàåìûõ ïàðàìåòðîâ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ àëãîðèòìàíàñòðîéêè âîçüìåì ôóíêöèþ âèäà V (x) = xT Xx, íàéäåì åå ïðîèçâîäíóþâ ñèëó ñèñòåìû (15.3), (15.4)

V = 2xT X(A + Bθ)x ,

âû÷èñëèì ãðàäèåíò ïî θ îò ýòîé ïðîèçâîäíîé5 V = 2xBT Xx ,

203

è â ñîîòâåòñòâèå ñ (15.2) âûáåðåì ñëåäóþùèé àëãîðèòì íàñòðîéêè ïàðà-ìåòðîâ

θ = −αxHT x , (15.5)ãäå H íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé âåêòîð. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ(15.4), (15.5) îïèñûâàþò àäàïòèâíûé çàêîí óïðàâëåíèÿ. Êàê âèäíî, ýòèóðàâíåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî íå ñîäåðæàò íåèçâåñòíûõ ìàòðèö A è B, âíèõ âõîäèò òîëüêî âûáèðàåìûé âåêòîð H. Òåïåðü âîïðîñ çàêëþ÷àåòñÿ âòîì, ÷òîáû âûÿñíèòü òàê íàçûâàåìûé êëàññ àäàïòèâíîñòè ïîëó÷åííîãîçàêîíà óïðàâëåíèÿ, ò.å. ìíîæåñòâî îáúåêòîâ âèäà (15.3), ñòàáèëèçèðóå-ìûõ ñ ïîìîùüþ ýòîãî çàêîíà óïðàâëåíèÿ.

Äëÿ ýòîãî ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî áûëî óêàçàíî âûøå, òðåáóåòñÿ íàéòèóñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ôóíêöèÿ V (x) = xT Xx áóäåò ôóíêöèåé Ëÿïóíîâàñèñòåìû (15.3), (15.4) ïðè íåêîòîðîì θ = θ∗, è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîXB = H. Ýòî ýêâèâàëåíòíî ñóùåñòâîâàíèþ ìàòðèöû X = XT > 0,óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ XB = H è íåðàâåíñòâó

(A + Bθ∗)T X + X(A + Bθ∗) < 0

ïðè íåêîòîðîì θ∗. Òàê êàê ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ñâîäèòñÿ êAT X + XA + θT

∗ HT + Hθ∗ < 0 ,

èìåþùåìó âèä ñòàíäàðòíîãî íåðàâåíñòâàΨ + P T θT

∗ Q + QT θ∗P < 0 ,

òî îíî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî θ∗ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíîíåðàâåíñòâî

W THT (AT X + XA)WHT < 0 , (15.6)

ãäå ñòîëáöû ìàòðèöû WHT îáðàçóþò áàçèñ íóëü-ïðîñòðàíñòâà HT , èëè,äðóãèìè ñëîâàìè, êîãäà ïàðà (AT , H) ÿâëÿåòñÿ ñòàáèëèçèðóåìîé.

Òàêèì îáðàçîì, àäàïòèâíîå óïðàâëåíèå (15.4), (15.5) ñòàáèëèçèðóåòìíîæåñòâî îáúåêòîâ (15.3), äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò X = XT > 0, óäî-âëåòâîðÿþùàÿ ëèíåéíîìó ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó (15.6) è ðàâåíñòâóXB = H. Îáà ýòè óñëîâèÿ ñ ó÷åòîì ëåììû A.8 ýêâèâàëåíòíû ðàçðå-øèìîñòè îòíîñèòåëüíî X = XT > 0 è µ > 0 ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãîíåðàâåíñòâà AT X + XA− µHHT XB −H

(XB −H)T 0

≤ 0 (15.7)

204 Ãëàâà 15. Àäàïòèâíîå óïðàâëåíèå

ïðè óñëîâèè, ÷òî ìàòðèöà â åãî ëåâîì âåðõíåì áëîêå îòðèöàòåëüíî îïðå-äåëåííàÿ. Èòàê, äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîâåðèòü ïðèíàäëåæèò ëè îáúåêò, õà-ðàêòåðèçóåìûé äàííîé ïàðîé (A, B), êëàññó àäàïòèâíîñòè çàêîíà óïðàâ-ëåíèÿ (15.4), (15.5) ñ çàäàííûì âåêòîðîì H, òðåáóåòñÿ óñòàíîâèòü ðàç-ðåøèìîñòü îòíîñèòåëüíî X = XT > 0 è µ > 0 ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãîíåðàâåíñòâà (15.7). Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ðàçëè÷íûõ ïàð (A, B) ìîãóò ïîëó-÷àòüñÿ ðàçëè÷íûå X è µ è ÷òî â îòëè÷èå îò ðàññìîòðåííûõ ðîáàñòíûõçàêîíîâ óïðàâëåíèÿ ìàòðèöà X íåïîñðåäñòâåííî íå âõîäèò â óðàâíåíèåàäàïòèâíîãî ðåãóëÿòîðà.

Èíòåðåñíî òàêæå îòìåòèòü ñëåäóþùåå îáñòîÿòåëüñòâî. Åñëè ñóùå-ñòâóåò ìàòðèöà X = XT > 0, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ XB = Hè ëèíåéíîìó ìàòðè÷íîìó íåðàâåíñòâó

AT X + XA− µHHT < 0

ïðè íåêîòîðîì µ > 0, ÷òî â ñèëó ëåììû A.8 ýêâèâàëåíòíî (15.6), òî çàêîíóïðàâëåíèÿ

u = −µ−1HT x (15.8)áóäåò îïòèìàëüíûì ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íûì óïðàâëåíèåì äëÿ îáúåêòà(15.3) ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèîíàëó

J(u) =

∞∫0

(xT Qx + µuT u) dt (15.9)

ïðè íåêîòîðîé Q = QT > 0 (ýòî ñîîòâåòñòâóåò òàê íàçûâàåìîé îáðàòíîéçàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ [66]). Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìîåàäàïòèâíîå óïðàâëåíèå (15.4), (15.5) ñ çàäàííûì âåêòîðîì H ñòàáèëè-çèðóåò âñå îáúåêòû âèäà (15.3), äëÿ êîòîðûõ çàêîí óïðàâëåíèÿ (15.8)ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ïî îòíîøåíèþ ê íåêîòîðîìó ôóíêöèîíàëó âèäà(15.9).

×àñòü IV

×èñëåííûå ïðîöåäóðû ñèíòåçà

ðåãóëÿòîðîâ

205

207

Â ýòîé ÷àñòè èçëàãàþòñÿ íåêîòîðûå àëãîðèòìû, ðåàëèçóåìûå â LMIToolbox MATLAB, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ñèíòåçà ðåãóëÿòîðîâ çàäàííîãîïîðÿäêà. Îáñóæäàþòñÿ âû÷èñëèòåëüíûå îñîáåííîñòè ïðîöåäóðû ñèíòåçàðåãóëÿòîðîâ è ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ.

Ãëàâà 16

Âû÷èñëèòåëüíûå îñîáåííîñòè

Êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, ñèíòåç ðåãóëÿòîðîâ âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ñîñòî-èò èç äâóõ ýòàïîâ: ïîèñê äâóõ âçàèìíîîáðàòíûõ ìàòðèö, óäîâëåòâîðÿþ-ùèõ ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì, è ðåøåíèå îòíîñèòåëüíî ïàðà-ìåòðîâ ðåãóëÿòîðà ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà, â êîòîðîå âîéäóòíàéäåííûå íà ïåðâîì ýòàïå ìàòðèöû. Ïðè ïåðåõîäå îò ïåðâîãî ýòàïà êîâòîðîìó ìîæåò âîçíèêíóòü ñëåäóþùàÿ òåîðåòè÷åñêè íåâîçìîæíàÿ ñè-òóàöèÿ, êîãäà äâå òðåáóåìûå âçàèìíîîáðàòíûå ìàòðèöû íàéäåíû, à ëè-íåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî äëÿ ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà îêàçûâàåòñÿíåðàçðåøèìûì.

Òàêàÿ ñèòóàöèÿ ìîæåò áûòü îáóñëîâëåíà íåäîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ, ñêîòîðîé âû÷èñëÿþòñÿ âçàèìíîîáðàòíûå ìàòðèöû. Äëÿ âîçìîæíîãî óñòðà-íåíèÿ ýòîãî äåôåêòà íóæíî ïîâòîðèòü âû÷èñëåíèÿ ñ ïîâûøåííîé òî÷-íîñòüþ. Åñëè è ýòî íå ïðèâîäèò ê óñïåõó, òî âïîëíå âåðîÿòíî, ÷òî ëè-íåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðà äåé-ñòâèòåëüíî íå èìååò ðåøåíèÿ. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî ÿâëåíèå íà ïðîñòîìïðèìåðå.

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ñòàáèëèçàöèè îáúåêòàx1 = x2 ,x2 = x1 + u ,y = x1

ñ ïîìîùüþ ñòàòè÷åñêîé îáðàòíîé ñâÿçè ïî âûõîäó u = Θy. Ñîãëàñíîóòâåðæäåíèþ 5.6 ñòàòè÷åñêèé ðåãóëÿòîð ïî âûõîäó ñóùåñòâóåò òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà äâå âçàèìíîîáðàòíûå ìàòðèöû X = XT > 0, Y =Y T > 0 óäîâëåòâîðÿþò ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì

W TC (AT X + XA)WC < 0 ,

W TBT (Y AT + AY )WBT < 0 .

(16.1)

209

210 Ãëàâà 16. Âû÷èñëèòåëüíûå îñîáåííîñòè

Â äàííîì ñëó÷àå

X =

x11 x12

x12 x22

, Y =

y11 y12

y12 y22

,

A =

0 1

1 0

, B =

0

1

, C = (1 0)

è, ñëåäîâàòåëüíî,

WBT =

1

0

, WC =

0

1

,

ïîýòîìó íåðàâåíñòâà (16.1) ñâîäÿòñÿ ê ñëåäóþùèìx12 < 0 , y12 < 0 .

Â êà÷åñòâå ïðèáëèæ¼ííîãî ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ðàññìîòðèì, íàïðèìåð,äâå óäîâëåòâîðÿþùèå ýòèì íåðàâåíñòâàì ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûåìàòðèöû

X =

1 + δ −δ2

−δ2 1 + δ

, Y =

1 + δ −δ2

−δ2 1 + δ

,

ãäå |δ| 1, ïðîèçâåäåíèå êîòîðûõ ñêîëü óãîäíî áëèçêî ê åäèíè÷íîéìàòðèöå. Êàçàëîñü áû, ÷òî òðåáóåìûé ðåãóëÿòîð äîëæåí ñóùåñòâîâàòü.Âìåñòå ñ òåì, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, òàêîãî ðåãóëÿòîðà â ïðèíöèïå íåñóùåñòâóåò. Â ñàìîì äåëå, ïîäñòàâèâ óïðàâëåíèå â óðàâíåíèÿ îáúåêòà,íàéä¼ì, ÷òî ìàòðèöà çàìêíóòîé ñèñòåìû íè ïðè êàêîì Θ íå ÿâëÿåòñÿãóðâèöåâîé.

Êðîìå òîãî, îòìåòèì, ÷òî âñå ïðèâîäèìûå íèæå àëãîðèòìû âåñüìà÷óâñòâèòåëüíû ê çàäàíèþ íà÷àëüíûõ óñëîâèé, ïîýòîìó îñòàíîâêà àëãî-ðèòìà, êîãäà XY 6= I, åùå íå îçíà÷àåò, ÷òî òðåáóåìîãî ðåãóëÿòîðà íåñóùåñòâóåò. Â ýòîì ñëó÷àå öåëåñîîáðàçíî ïðîâåñòè âû÷èñëåíèÿ ïðè äðó-ãèõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ.

Ãëàâà 17

Àëãîðèòì ïîèñêà

âçàèìíîîáðàòíûõ ìàòðèö

Ðàññìàòðèâàåìûé íèæå àëãîðèòì [9] ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ðåøåíèÿ ñëåäó-þùåé çàäà÷è.

Çàäà÷à A: íàéòè äâå âçàèìíîîáðàòíûå ìàòðèöû X è Y (XY = I),óäîâëåòâîðÿþùèå ñèñòåìå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ Li(X, Y ) < 0,i = 1, 2, îòíîñèòåëüíî X è Y .

Äëÿ åå ðåøåíèÿ ðàññìîòðèì òàêæå äðóãóþ çàäà÷ó.Çàäà÷à A1: íàéòè

λmin = minλ : X − Y −1 < λI, X > 0, Y > 0, Li(X, Y ) < 0, i = 1, 2, 3 ,(17.1)

ãäåL3(X, Y ) =

(−X II −Y

).

Äîïîëíèòåëüíîå ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî L3(X, Y ) < 0 â ñè-ëó ëåììû Øóðà ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó X > Y −1. Ïîýòîìó â ñëó÷àå,êîãäà â çàäà÷å A1 λmin = 0, ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòðèöû X è Y ÿâëÿþòñÿòàêæå ðåøåíèåì çàäà÷è A.

Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è A1 òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü ëèíåéíóþ ôóíê-öèþ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ, îäíî èç êîòîðûõ

X − Y −1 < λI (17.2)íå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî ââèäå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî íå ïîçâî-ëÿåò ðåøàòü çàäà÷ó A1 ìåòîäàìè âûïóêëîé îïòèìèçàöèè. Äàëåå îïèøåìàëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è A1, êîòîðûé ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàí â ïàêåòåMATLAB.

211

212 Ãëàâà 17. Àëãîðèòì ïîèñêà âçàèìíîîáðàòíûõ ìàòðèö

Äëÿ îïèñàíèÿ àëãîðèòìà ðàññìîòðèì åùå îäíó çàäà÷ó.Çàäà÷à A2: íàéòè

λmin = minλ : Γ(X,Y, G1, G2) < λI, X > 0,

Y > 0 , Li(X, Y ) < 0, i = 1, 2, 3,(17.3)

ãäåΓ(X, Y, G1, G2) = (I G1)

(X II Y

)(IG1

)+

+(G2 I)

(X II Y

)(G2

I

),

Gi = GTi , i = 1, 2 íåêîòîðûå çàäàííûå ìàòðèöû.

Îòìåòèì, ÷òî â çàäà÷å A2 ïî ñðàâíåíèþ ñ çàäà÷åé A1 âìåñòî íåðàâåí-ñòâà (17.2) ñòîèò ëèíåéíîå ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî Γ(X, Y, G1, G2) < λI.Òàê êàê

Γ(X, Y, G1, G2) = (G1 + Y −1)Y (G1 + Y −1) + (G2 + X−1)X(G2 + X−1)+

+(X − Y −1) + (Y −X−1) ≥ 0(17.4)

è â ñèëó íåðàâåíñòâà L3(X, Y ) < 0 âûïîëíåíî X > Y −1, òî êîãäà λmin =0, ñîîòâåòñòâóþùèå X è Y ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è A (ïðè ýòîì G1 =−Y −1 è G2 = −X−1).

Àëãîðèòì ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ øàãîâ:

1. j = 0.2. Ôèêñèðóþòñÿ ìàòðèöû G1 = G

(j)1 è G2 = G

(j)2 .

3. Ðåøàåòñÿ çàäà÷à A2 ñ ïîìîùüþ êîìàíäû mincx ïàêåòà MATLAB èíàõîäÿòñÿ λj+1, Xj, Yj.

4. Çàäàþòñÿ G(j+1)1 = −Y −1

j , G(j+1)2 = −X−1

j è îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåõîäê øàãó 2 ïðè j = j + 1.

Óòâåðæäåíèå 17.1 Äëÿ ëþáûõ íà÷àëüíûõ G(0)1 è G

(0)2 ïîñëåäîâàòåëü-

íîñòü λj, ãåíåðèðóåìàÿ àëãîðèòìîì, ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé è ñóùå-ñòâóþò ñëåäóþùèå ïðåäåëû

limj→∞

λj = λ∗ ≥ 0 , limj→∞

Xj = X∗ , limj→∞

Yj = Y∗ .

213

Äîêàçàòåëüñòâî. Îöåíèì, êàê áóäåò ìåíÿòüñÿ ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñìàòðèöû Γ(X, Y, G1, G2) ïî òðàåêòîðèè àëãîðèòìà. Ïðåäñòàâèì

∆ρ = ρ(Γ(Xj+1, Yj+1, G(j+1)1 , G

(j+1)2 ))− ρ(Γ(Xj, Yj, G

(j)1 , G

(j)2 ))

â âèäå∆ρ = ∆ρ1 + ∆ρ2 =

[ρ(Γ(Xj+1, Yj+1, G(j+1)1 , G

(j+1)2 ))− ρ(Γ(Xj, Yj, G

(j+1)1 , G

(j+1)2 ))]+

+[ρ(Γ(Xj, Yj, G(j+1)1 , G

(j+1)2 ))− ρ(Γ(Xj, Yj, G

(j)1 , G

(j)2 ))] .

Âûðàæåíèå â ïåðâûõ êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ íåïîëîæèòåëüíî â ñèëó àëãî-ðèòìà, ïîñêîëüêó íà (j + 1)-é èòåðàöèè λ ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà-÷åíèå ïðè X = Xj+1, Y = Yj+1. Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü äâóõ ìàòðèö, ôè-ãóðèðóþøèõ âî âòîðûõ êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ. Èç (17.4) ñëåäóåò, ÷òî

Γ(Xj, Yj, G(j+1)1 , G

(j+1)2 )− Γ(Xj, Yj, G

(j)1 , G

(j)2 ) =

= (G(j+1)1 + Y −1

j )Yj(G(j+1)1 + Y −1

j ) + (G(j+1)2 + X−1

j )Xj(G(j+1)2 + X−1

j )−

−(G(j)1 + Y −1

j )Yj(G(j)1 + Y −1

j )− (G(j)2 + X−1

j )Xj(G(j)2 + X−1

j ) .

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî G(j+1)1 = −Y −1

j è G(j+1)2 = −X−1

j , ïîëó÷èìΓ(Xj, Yj, G

(j+1)1 , G

(j+1)2 )− Γ(Xj, Yj, G

(j)1 , G

(j)2 ) =

−(Y −1j − Y −1

j−1)Yj(Y−1j − Y −1

j−1)− (X−1j −X−1

j−1)Xj(X−1j −X−1

j−1) ≤ 0 .

Òàê êàê èç A − B ≤ 0 ñëåäóåò, ÷òî ρ(A) ≤ ρ(B), òî â ðåçóëüòàòå ïîëó-÷èì ∆ρ ≤ 0. Â ýòîì ñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ρj îãðàíè÷åíà ñíèçó èíå âîçðàñòàåò, îòêóäà ñ ó÷åòîì íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ñïåêòðàëüíîãîðàäèóñà ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå óêàçàííûõ â òåîðåìå ïðåäåëîâ.

Èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî âîçìîæíû äâå ñèòóàöèè. Åñëèλ∗ = 0, òî X∗Y∗ = I è X∗ è Y∗ ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè çàäà÷è A. Åñëèλ∗ > 0, òî íåëüçÿ ñäåëàòü îïðåäåëåííîãî âûâîäà î ðàçðåøèìîñòè çàäà-÷è A. Â ïîñëåäíåì ñëó÷àå öåëåñîîáðàçíî ïîâòîðèòü ïðîöåññ ïðè äðóãèõíà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ G

(0)1 è G

(0)2 , êàê ýòî îáû÷íî ïðèìåíÿåòñÿ â çàäà÷àõ

ãëîáàëüíîé îïòèìèçàöèè.Îòìåòèì, ÷òî ïðè ñèíòåçå ðîáàñòíûõ H∞-ðåãóëÿòîðîâ çàäàííîãî ïî-

ðÿäêà ïî âûõîäó äëÿ ëèíåéíîãî íåïðåðûâíîãî è äèñêðåòíîãî îáúåêòîâòðåáóåòñÿ íàéòè ïàðó âçàèìíîîáðàòíûõ áëî÷íî-äèàãîíàëüíûõ ìàòðèöâèäà X = diag (X,S) è Y = diag (Y,

∑). Äëÿ ýòèõ ñëó÷àåâ ìàòðèöû G

(0)1

è G(0)2 â àëãîðèòìå äîëæíû èìåòü òàêóþ æå ñòðóêòóðó.


Ïðè ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà öåëåñîîáðàçíî ïðèìåíèòüñëåäóþùåå ïðàâèëî îñòàíîâêè: ïðè âûïîëíåíèè îäíîãî èç äâóõ íåðà-âåíñòâ λj < ε èëè |λj+1 − λj| < ε ðàáîòà àëãîðèòìà ïðåêðàùàåòñÿ (èçóòâåðæäåíèÿ 17.1 ñëåäóåò, ÷òî àëãîðèòì îñòàíàâëèâàåòñÿ ÷åðåç êîíå÷íîå÷èñëî èòåðàöèé).Ïðèìåð 17.1 Ðàññìîòðèì ñèíòåç ñòàòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà ïî âûõî-äó äëÿ ñòàáèëèçàöèè ïåðåâåðíóòîãî ìàÿòíèêà, îïèñûâàåìîãî óðàâíåíè-åì

ϕ− ϕ = u

ñ èçìåðÿåìîé ïåðåìåííîé y = ϕ + ϕ. Óðàâíåíèå èìååò âèä (5.18), ãäå

A =

(0 11 0

), B =

(01

), C = (1 1) .

Íåðàâåíñòâà Li(X, Y ) < 0, i = 1, 2 îïðåäåëÿëèñü êàê â (5.31). ÌàòðèöûG

(0)1 è G

(0)2 âûáèðàëèñü

G(0)1 =

(0.8709 −0.1795−0.1795 0.7873

), G

(0)2 =

(−0.8842 0.62630.6263 −0.9803

).

Òî÷íîñòü, ñ êîòîðîé ðåøàþòñÿ ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà, ðàâ-íà 10−4, à ïàðàìåòð àëãîðèòìà ε = 10−3. Ïîñëå äâóõ èòåðàöèé àëãî-ðèòì îñòàíîâèëñÿ, ïðè ýòîì λ = 8 · 10−6,

X =

(0.8425 0.00280.0028 0.6975

), Y =

(1.1869 −0.0047−0.0047 1.4337

)

è ïàðàìåòð ðåãóëÿòîðà Θ = −2.2263.

Ïðèìåð 17.2 Ðàññìîòðèì ñèíòåç äèíàìè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà ïåðâîãîïîðÿäêà äëÿ ñòàáèëèçàöèè ïåðåâåðíóòîãî ìàÿòíèêà. Îáúåêò, îïèñûâà-åìûé óðàâíåíèåì

ϕ− ϕ = u

ñ èçìåðÿåìîé ïåðåìåííîé y = ϕ, ïðèâîäèòñÿ ê âèäó (5.18), ãäå

A =

(0 11 0

), B =

(01

), C = (1 0) .

Ðåãóëÿòîð âûáèðàëñÿ â âèäå (5.19), ãäå xr ∈ R1. Â äàííîì ñëó÷àå íåðà-âåíñòâà Li(X,Y ) < 0, i = 1, 2 îïðåäåëÿëèñü ñëåäóþùèì îáðàçîì

W TC0

(AT0 X + XA0 − βX)WC0 < 0 , X > 0 ,

W TBT

0(Y AT

0 + A0Y − βY )WBT0

< 0 , Y > 0 ,

215

ãäå A0, B0 è C0 îïèñàíû â ïðèìåðå 5.3, à β/2 = 0, 005 çàäàííàÿ ñòåïåíüóñòîé÷èâîñòè çàìêíóòîé ñèñòåìû. Ïðîâåðêà ýôôåêòèâíîñòè ðàáîòûàëãîðèòìà îñóùåñòâëÿëàñü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ýëåìåíòû íà÷àëüíûõñèììåòðè÷åñêèõ ìàòðèö G

(0)1 = G

(0)2 âûáèðàëèñü êàê íåçàâèñèìûå ñëó-

÷àéíûå âåëè÷èíû, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûå íà îòðåçêå [−1, 1]. Àëãî-ðèòì ñòàðòîâàë 1000 ðàç. Â 996 ñëó÷àÿõ çàâåðøåíèå ðàáîòû àëãîðèòìàáûëî óñïåøíûì, ò.å. ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå λ îêàçàëîñü ðàâíûì íóëþñ ïðèíÿòîé òî÷íîñòüþ ε = 10−5. Â ïîäàâëÿþùåì ÷èñëå ñëó÷àåâ äëÿçàâåðøåíèÿ ðàáîòû àëãîðèòìà ïîòðåáîâàëîñü íå áîëåå 4− 6 èòåðàöèé.

Ãëàâà 18

Àëãîðèòì ìèíèìèçàöèè ñëåäà

ìàòðèöû

Ïðèâåäåì åù¼ îäèí èç âîçìîæíûõ àëãîðèòìîâ [60] ðåøåíèÿ çàäà÷è, êî-òîðàÿ áûëà ñôîðìóëèðîâàíà âûøå ïðè ñèíòåçå ñòàáèëèçèðóþùèõ ðåãó-ëÿòîðîâ ïî âûõîäó ïîíèæåííîãî ïîðÿäêà. Çäåñü ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòüçàäà÷ó ñòàáèëèçàöèè ïî âûõîäó îáúåêòà

x = Ax + Buy = Cx ,

(18.1)

â êîòîðîì x ∈ Rnx , ïàðà (A, B) - ñòàáèëèçèðóåìà è ïàðà (A, C) - äåòåê-òèðóåìà, ñ ïîìîùüþ ðåãóëÿòîðà ïî âûõîäó íóëåâîãî ïîðÿäêà, ò.å. ñòàòè-÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà âèäà

u = Ly . (18.2)Íàïîìíèì, ÷òî ñèíòåç ñòàáèëèçèðóþùåãî ðåãóëÿòîðà ïî âûõîäó k-ãî ïî-ðÿäêà â ñëó÷àå k 6= 0 ñâîäèòñÿ ê ñèíòåçó ñòàòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà ïîâûõîäó äëÿ âñïîìîãàòåëüíîãî îáúåêòà

˙x = A0x + B0u ,y = C0x ,

(18.3)

ãäå ìàòðèöû A0, B0 è C0 îïðåäåëåíû â (5.24).Â ðàçäåëå 5.3 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ýòà çàäà÷à ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê

çàäà÷å B: íàéòè äâå (nx × nx)-ìàòðèöû X = XT > 0, Y = Y T > 0,óäîâëåòâîðÿþùèå ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì

W TC (AT X + XA)WC < 0 ,

W TBT (Y AT + AY )WBT < 0 ,

(18.4)

217

218 Ãëàâà 18. Àëãîðèòì ìèíèìèçàöèè ñëåäà ìàòðèöû

X I

I Y

≥ 0 , (18.5)à òàêæå ðàíãîâîìó óñëîâèþ

rank (I −XY ) ≤ k , (18.6)êîòîðîå â äàííîì ñëó÷àå (k = 0) ñâîäèòñÿ ê óñëîâèþ Y = X−1, èëèóñòàíîâèòü, ÷òî òàêèõ ìàòðèö íå ñóùåñòâóåò.

Îñíîâíàÿ èäåÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ñîñòîèò â ðàññìîòðåíèè ñëåäó-þùåé îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è: ìèíèìèçèðîâàòü ñëåä ìàòðèöû XY ïðèîãðàíè÷åíèÿõ, çàäàâàåìûõ íåðàâåíñòâàìè (18.4) è (18.5). ßñíî, ÷òî òðå-áóåìûé ðåãóëÿòîð ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìèíèìóì ýòîéôóíêöèè ðàâåí nx. Åñëè ëèíåàðèçîâàòü ôóíêöèþ

tr (XY ) ≈ const + tr (Y0X + X0Y )

â òî÷êå (X0, Y0), òî àëãîðèòì ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ìîæíî ïðåä-ñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.

1. Íàõîäèì òî÷êó (X0, Y0) òàêóþ, ÷òî ïðè X = X0, Y = Y0 ëèíåéíûåìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà (18.4) è (18.5) ðàçðåøèìû. Ïîëîæèì j = 0.Åñëè òàêîé òî÷êè íåò, çàäà÷à ñòàáèëèçàöèè íå ðàçðåøèìà.

2. Ôèêñèðóåì Vj = Yj, Wj = Xj è íàõîäèì Xj+1, Yj+1, êîòîðûå ðåøàþòçàäà÷ó

minX,Y

tr (VjX + WjY ) = tr (YjXj+1 + XjYj+1) = tj

ïðè îãðàíè÷åíèÿõ, îïðåäåëÿåìûõ ëèíåéíûìè ìàòðè÷íûìè íåðà-âåíñòâàìè (18.4) è (18.5).

3. Åñëè |tj − tj−1| < ε, òî àëãîðèòì îñòàíàâëèâàåòñÿ. Â ïðîòèâíîìñëó÷àå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåõîä ê øàãó 2 ïðè j = j + 1.

Óòâåðæäåíèå 18.1 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü tj, ãåíåðèðóåìàÿ àëãîðèòìîì,ÿâëÿåòñÿ íåâîçðàñòàþùåé è îãðàíè÷åíà ñíèçó ÷èñëîì 2nx. Ïðåäåë ýòîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâåí tmin ≥ 2nx, ãäå ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà â ïðåäåëüíîé òî÷êå XY = I.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè tj èìååìtj ≤ tr (YjXj−1 + XjYj−1) = tr (Yj−1Xj + Xj−1Yj) = tj−1 .

219

Äàëåå, îöåíèì âåëè÷èíó tr (V X + WY ) â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî X I

I Y

≥ 0 ,

V I

I W

≥ 0 . (18.7)

Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî ñëåäà ìàòðèöû tr (AB) = tr (BA), èìååìtr (V X+WY ) = tr (V X1/2X1/2+WY 1/2Y 1/2) = tr (X1/2V X1/2+Y 1/2WY 1/2).

Ñ ó÷åòîì ëåììû Øóðà èç (18.7) ñëåäóåòW ≥ V −1 , Y ≥ X−1 .

ÏîýòîìóY 1/2WY 1/2 ≥ Y 1/2V −1Y 1/2

ètr (V X + WY ) ≥ tr (X1/2V X1/2 + Y 1/2V −1Y 1/2) =

= tr (X1/2V X1/2 + V −1/2Y V −1/2) ≥ tr (X1/2V X1/2 + V −1/2X−1V −1/2) =

= tr (X1/2V X1/2 + X−1/2V −1X−1/2) .

Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ñèììåòðè÷åñêîé ìàòðèöûA ðàçìåðà n ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

tr (A + A−1) =n∑

i=1

(λi(A) + λ−1i (A)) ≥ 2n .

Ñëåäîâàòåëüíî,tr (V X + WY ) ≥ 2nx .

Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü tj, ãåíåðèðóåìàÿ àëãîðèòìîì, ÿâ-ëÿåòñÿ íåâîçðàñòàþùåé è îãðàíè÷åíà ñíèçó ÷èñëîì 2nx, à çíà÷èò, ýòàïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ. Ïóñòü

tmin = tr (Y∗X∗ + X∗Y∗) = 2tr (X1/2∗ Y∗X

1/2∗ ) = 2nx .

Òàê êàê Y∗ ≥ X−1∗ , òî S∗ = X

1/2∗ Y∗X

1/2∗ ≥ I è âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

ìàòðèöû S∗ íå ìåíüøå åäèíèöû. Ïîýòîìó, èç ðàâåíñòâà trS∗ = nx ñëåäóåòS∗ = I, ò.å. X∗Y∗ = I, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ïðèìåð 18.1 Ðàññìîòðèì ñèíòåç ñòàòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà ïî âûõî-äó äëÿ ñòàáèëèçàöèè ïåðåâåðíóòîãî ìàÿòíèêà (ñì. ïðèìåð 17.1). Ïîñëåäâóõ èòåðàöèé àëãîðèòì îñòàíîâèëñÿ. Ïðè ýòîì t2 − 4 ≤ 10−3,

X =

(0.9478 0.27700.2770 0.9478

), Y =

(1.1536 −0.3371−0.3371 1.1536

)è ïàðàìåòð ðåãóëÿòîðà Θ = −1.4390.

220 Ãëàâà 18. Àëãîðèòì ìèíèìèçàöèè ñëåäà ìàòðèöû

Ïðèìåð 18.2 Ðàññìîòðèì ñèíòåç äèíàìè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà ïåðâîãîïîðÿäêà äëÿ ñòàáèëèçàöèè ïåðåâåðíóòîãî ìàÿòíèêà (ñì. ïðèìåð 17.2).Ïîñëå òðåõ èòåðàöèé t3 = 6.0399 è â äàëüíåéøåì íå óáûâàåò. Àëãîðèòìíå ïîçâîëÿåò ñèíòåçèðîâàòü èñêîìûé ðåãóëÿòîð.

Ãëàâà 19

Äâîéñòâåííàÿ èòåðàöèÿ

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ñòàáèëèçàöèè îáúåêòàx = Ax + Buy = Cx

(19.1)ñ ïîìîùüþ ñòàòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà ïî âûõîäó

u = Ly . (19.2)Íàïîìíèì åùå ðàç, ÷òî ñèíòåç ñòàáèëèçèðóþùåãî ðåãóëÿòîðà ïî âûõîäók-ãî ïîðÿäêà â ñëó÷àå k 6= 0 ñâîäèòñÿ ê ñèíòåçó ñòàòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðàïî âûõîäó äëÿ âñïîìîãàòåëüíîãî îáúåêòà (18.3).

Â ðàçäåëå 5.3 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ýòà çàäà÷à ìîæåò áûòü ñâåäåíà êçàäà÷å A èëè ê çàäà÷å B, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîäåðæèò íåâûïóêëîåîãðàíè÷åíèå, îñëîæíÿþùåå åå ðåøåíèå ñ ïîìîùüþ àïïàðàòà ëèíåéíûõìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ. Â ýòîé ãëàâå îáñóæäàåòñÿ àëãîðèòì, ïîçâîëÿþ-ùèé ÷èñëåííî ðåøàòü ðàññìàòðèâàåìóþ çàäà÷ó [65]. Äëÿ åãî îïèñàíèÿïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Óòâåðæäåíèå 19.1 Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà (19.2)îáúåêòà (19.1), ïðè êîòîðîì

maxi

Reλi(A + BLC) < γ/2 , (19.3)íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëè îáðàòíàÿ ñâÿçü ïî ñî-ñòîÿíèþ ñ ìàòðèöåé K è íàáëþäàòåëü ñ ìàòðèöåé F òàêèå, ÷òî ñî-îòâåòñòâóþùèå çàìêíóòûå ñèñòåìû äîïóñêàþò îáùóþ ôóíêöèþ Ëÿ-ïóíîâà, ò.å. ÷òîáû ñóùåñòâîâàëè ìàòðèöû K, F è Y = Y T > 0, äëÿêîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå äâà íåðàâåíñòâà

(A + BK)Y + Y (A + BK)T < γY (19.4)

221

222 Ãëàâà 19. Äâîéñòâåííàÿ èòåðàöèÿ

è(A + FC)Y + Y (A + FC)T < γY . (19.5)

Äîêàçàòåëüñòâî.Íåîáõîäèìîñòü. Åñëè ïðè íåêîòîðîé L óñëîâèå (19.3)âûïîëíåíî, òî âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A+BLC óäîâëåòâîðÿ-þò óñëîâèþ Re z < γ/2, ò.å. ëåæàò â LMI-îáëàñòè ýòîé ìàòðèöû ñ õàðàê-òåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé f(z) = z + z − γ (ñì. ãëàâó 6). Ñëåäîâàòåëüíî,ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 6.1 ñóùåñòâóåò Y = Y T > 0 òàêàÿ, ÷òî

(A + BLC)Y + Y (A + BLC)T < γY . (19.6)Î÷åâèäíî, ÷òî òîãäà íåðàâåíñòâà (19.4) è (19.5) áóäóò âåðíû ïðè K = LCè F = BL ñîîòâåòñòâåííî.

Äîñòàòî÷íîñòü. Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóþò ìàòðèöû L èY = Y T > 0 òàêèå, ÷òî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (19.6), êîòîðîå çàïèøåìâ âèäå

(AY + Y AT − γY ) + Y CT LT BT + BLCY < 0 .

Ýòî íåðàâåíñòâî èìååò âèäΨ + P T ΘT Q + QT ΘP < 0 , (19.7)

ãäå Θ = L, è ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 3.2 îíî ðàçðåøèìî òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò Y = Y T > 0, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì

W TBT (AY + Y AT − γY )WBT < 0 ,

W TCY (AY + Y AT − γY )WCY < 0 .

(19.8)

Ïðåäñòàâèì íåðàâåíñòâî (19.4) êàê(AY + Y AT − γY ) + Y KT BT + BKY < 0 ,

ò.å. òîæå â âèäå (19.7) ñ Θ = K. Òàê êàê ïî óñëîâèþ íåðàâåíñòâî (19.4)ïðè íåêîòîðîé Y = Y T > 0 ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû K, òîñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 3.1 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

W TBT (AY + Y AT − γY )WBT < 0 ,

ò.å. ïåðâîå èç íåðàâåíñòâ (19.8). Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, èç ðàçðåøèìîñòèîòíîñèòåëüíî ìàòðèöû F (è ïðè òîé æå ìàòðèöå Y ) íåðàâåíñòâà (19.5),ïðåäñòàâèìîãî â âèäå

(AY + Y AT − γY ) + Y CT F T + FCY < 0 ,

223

ñëåäóåò, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîW T

CY (AY + Y AT − γY )WCY < 0 ,

ñîâïàäàþùåå ñî âòîðûì íåðàâåíñòâîì â (19.8). Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.Ñ ó÷åòîì óòâåðæäåíèÿ 19.1 ñòàòè÷åñêàÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü ïî âûõîäó

ìîæåò áûòü íàéäåíà ïóòåì íàõîæäåíèÿ ìèíèìàëüíîãî γ, ïðè êîòîðîìäëÿ íåêîòîðûõ K, F è Y = Y T > 0 âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà (19.4), (19.5).Î÷åâèäíî, ÷òî îáúåêò (19.1) ñòàáèëèçèðóåì îáðàòíîé ñâÿçüþ âèäà (19.2)òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå γ∗ îòðèöàòåëüíî.Â ýòîì ñëó÷àå òðåáóåìàÿ ìàòðèöà L ìîæåò áûòü íàéäåíà ñëåäóþùèìîáðàçîì. Âîçüìåì γ∗ < γ < 0 è ìàòðèöó Y > 0, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåòíåðàâåíñòâàì (19.4) è (19.5) ïðè íåêîòîðûõ K è F , è ðåøèì íåðàâåíñòâî(19.6) îòíîñèòåëüíî L.

Òàêèì îáðàçîì, ñèíòåç ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñëåäóþùåé îïòèìèçàöè-îííîé çàäà÷è: íàéòè ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå γ êàê ôóíêöèè ïåðåìåííûõK, F è Y = Y T > 0, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì (19.4) è (19.5). Òàêêàê ýòà çàäà÷à íåâûïóêëàÿ, òî äëÿ åå ðåøåíèÿ ïðèìåíèì ìåòîä ïîêîîð-äèíàòíîãî ñïóñêà ïîñëåäîâàòåëüíî ïî ïåðåìåííûì K è F , èñïîëüçóÿ ïðèýòîì àïïàðàò ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ.

Ïðåæäå, ÷åì îïèñàòü àëãîðèòì, îáúÿñíèì, êàê ìèíèìèçèðîâàòü γ ïîîäíîé ïåðåìåííîé ïðè ôèêñèðîâàííîé äðóãîé. Ïóñòü F ôèêñèðîâàíà.Çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå K, óäîâëåòâîðÿþùåé íåðàâåíñòâó (19.4),ýêâèâàëåíòíî ðàçðåøèìîñòè íåðàâåíñòâà

W TBT (AY + Y AT − γY )WBT < 0 . (19.9)

Ýòî çíà÷èò, ÷òî íà ýòîì ýòàïå çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ìèíèìèçàöèè γ ïî ïåðå-ìåííûì Y > 0 è γ, óäîâëåòâîðÿþùèì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì (19.5) è(19.9), ò.å. ê çàäà÷å íà îáîáùåííîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, ðåàëèçîâàííóþâ LMI Toolbox (ñì. ãëàâó 2). Ïîñëå òîãî, êàê íàéäåíû îïòèìàëüíûå Y èγ, ðåøàåòñÿ íåðàâåíñòâî (19.4) è íàõîäèòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåå K.

Ïðè ôèêñèðîâàííîì K îïòèìàëüíàÿ ìàòðèöà F ìîæåò áûòü íàéäå-íà àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå òî, ÷òî îò íåðàâåíñòâ(19.4) è (19.5) ñëåäóåò â ýòîì ñëó÷àå ïåðåéòè ê äâîéñòâåííûì íåðàâåí-ñòâàì

X(A + BK) + (A + BK)T X < γX (19.10)è

X(A + FC) + (A + FC)T X < γX . (19.11)Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè ïàðû íåðàâåíñòâ ïåðåõîäÿò äðóã â äðóãà ïðè X = Y −1.


Îñòàëîñü åùå îáñóäèòü, êàê âûáðàòü íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ôèêñèðó-åìîé ïåðåìåííîé ïî âîçìîæíîñòè áëèæå ê ãëîáàëüíîìó îïòèìóìó. Âðàçäåëå 5.3 áûëî ïîêàçàíî, çàäà÷à ñòàáèëèçàöèè ïî âûõîäó ñ ïîìîùüþðåãóëÿòîðà ïîðÿäêà k = 0 ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å B: íàéòè äâå ìàòðèöûX = XT > 0 è Y = Y T > 0, óäîâëåòâîðÿþùèå ëèíåéíûì ìàòðè÷íûìíåðàâåíñòâàì

W TC (XA + AT X)WC < 0 ,

W TBT (AY + Y AT )WBT < 0 , X I

I Y

≥ 0

(19.12)

è óñëîâèþrank

X I

I Y

= nx ,

ãäå nx ïîðÿäîê îáúåêòà. Â ñèëó ïîñëåäíåãî óñëîâèÿ ýòà çàäà÷à íåâû-ïóêëàÿ. Ïàðà (X,Y ), áëèçêàÿ ê îïòèìàëüíîé, ìîæåò áûòü íàéäåíà, íà-ïðèìåð, ïóòåì ìèíèìèçàöèè ëèíåéíîé ôóíêöèè tr (X + Y ) ïðè ëèíåé-íûõ ìàòðè÷íûõ îãðàíè÷åíèÿõ (19.12). Ïîñëå ýòîãî íà÷àëüíàÿ ìàòðèöàK0 âûáèðàåòñÿ êàê ðåøåíèå çàäà÷è ìèíèìèçàöèè γ ïðè îãðàíè÷åíèè,çàäàâàåìîì íåðàâåíñòâîì (19.4) äëÿ íàéäåííîé Y .

Èòàê, àëãîðèòì, êîòîðûé ïîëó÷èë íàçâàíèå äâîéñòâåííîé èòåðàöèè,ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ øàãîâ.

1. Âûáèðàåì K0 è ïîëîæèì j = 0.2. Ôèêñèðóåì K = Kj−1, íàõîäèì ìèíèìàëüíîå γ = γj, ïðè êîòîðîì

X(A + BK) + (A + BK)T X < γX

W TC (XA + AT X − γX)WC < 0 ,

è âûáèðàåìFj = −µX−1CT

äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî µ > 0 òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåí-ñòâî (19.11) (òàêîå µ ñóùåñòâóåò â ñèëó ëåììû A.8).

3. Ôèêñèðóåì F = Fj, íàõîäèì ìèíèìàëüíîå γ = γj, ïðè êîòîðîìW T

BT (AY + Y AT − γY )WBT < 0

(A + FC)Y + Y (A + FC)T < γY ,

225

è âûáèðàåìKj = −µBT Y −1

äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî µ > 0 òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåí-ñòâî (19.4).

4. Åñëè |(γj−γj−1)/γj| < ε, òî àëãîðèòì îñòàíàâëèâàåòñÿ. Â ïðîòèâíîìñëó÷àå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåõîä ê øàãó 2 ïðè j = j + 1.

Ýòîò àëãîðèòì ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ìàêñèìèçàöèè ñòå-ïåíè óñòîé÷èâîñòè çàìêíóòîé ñèñòåìû. Åñëè òðåáóåòñÿ ïðîñòî ñòàáèëè-çèðîâàòü ñèñòåìó, òî îñòàíîâêà ïðîèñõîäèò ïî óñëîâèþ maxγj, γj < 0.Ïðèìåð 19.1 Ðàññìîòðèì ñèíòåç ñòàòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà ïî âûõî-äó äëÿ ñòàáèëèçàöèè ïåðåâåðíóòîãî ìàÿòíèêà (ñì. ïðèìåð 17.1). Ïîñëå÷åòûðåõ èòåðàöèé àëãîðèòì îñòàíîâèëñÿ. Ïðè ýòîì γ = −2, à ïàðà-ìåòð ðåãóëÿòîðà Θ = −3.2083.

Ïðèìåð 19.2 Ðàññìîòðèì ñèíòåç äèíàìè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà ïåðâîãîïîðÿäêà äëÿ ñòàáèëèçàöèè ïåðåâåðíóòîãî ìàÿòíèêà (ñì. ïðèìåð 17.2).Ïîñëå ÷åòûðåõ èòåðàöèé γ = 0.5095·10−5 è γ = 0.5428·10−5, è â äàëüíåé-øåì ýòè ïàðàìåòðû íå èçìåíÿþòñÿ. Àëãîðèòì íå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòüγ < 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ñèíòåçèðîâàòü èñêîìûé ðåãóëÿòîð.

×àñòü V

Àêòèâíîå ãàøåíèå êîëåáàíèé

âûñîòíûõ ñîîðóæåíèé

227

229

Ñåéñìè÷åñêèå âîçìóùåíèÿ âûçûâàþò êîëåáàíèÿ ñîîðóæåíèÿ, ïðèâî-äÿùèå ê ïîòåðå åãî óñòîé÷èâîñòè è, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, ê åãî ðàçðóøåíèþ.Â ýòîé ñâÿçè âîçíèêàåò çàäà÷à ãàøåíèÿ êîëåáàíèé ñîîðóæåíèÿ ïîñðåä-ñòâîì äîïîëíèòåëüíî ïðèêëàäûâàåìûõ ñèë, ðàññ÷èòûâàåìûõ íà îñíîâåòåêóùèõ èçìåðåíèé, ò.å. çàäà÷à óïðàâëåíèÿ ñîîðóæåíèåì ïî ïðèíöèïóîáðàòíîé ñâÿçè. Íà ñåãîäíÿøíèé äåíü íàèáîëåå àêòèâíî ïðèìåíÿþòñÿäâà ïðèíöèïèàëüíî ðàçëè÷íûõ ñïîñîáà îðãàíèçàöèè òàêîãî óïðàâëåíèÿ:äèíàìè÷åñêîå ãàøåíèå êîëåáàíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì äîïîëíèòåëüíûõ ìà-òåðèàëüíûõ òåë è âèáðîçàùèòà, ïðåäïîëàãàþùàÿ èçîëÿöèþ ñîîðóæåíèÿîò ïîäâèæíîãî îñíîâàíèÿ [3, 45]. Îäèí èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ òåõ-íè÷åñêîé ðåàëèçàöèè äèíàìè÷åñêîãî ãàøåíèÿ êîëåáàíèé çàêëþ÷àåòñÿ âñîçäàíèè ñïåöèàëüíîãî ýòàæà ñ ðàçìåùåíèåì íà íåì íåêîòîðîé äîñòà-òî÷íî ìàëîé ìàññû (ïî ñðàâíåíèþ ñ îáùåé ìàññîé ñîîðóæåíèÿ), ïåðåìå-ùàåìîé â ñîîòâåòñòâèå ñ çàêîíîì óïðàâëåíèÿ â ôîðìå îáðàòíîé ñâÿçèïî òåêóùèì ïîêàçàíèÿì äàò÷èêîâ, ÷òî ïîçâîëÿåò îêàçûâàòü óïðàâëÿþ-ùåå âîçäåéñòâèå íà äàííûé ýòàæ (ñì. ðèñ. 19.1). Îñíîâíàÿ ñëîæíîñòüðàñ÷åòà ïîäîáíûõ ñèñòåì ñåéñìîçàùèòû ñîñòîèò â òîì, ÷òî óïðàâëåíèåîñóùåñòâëÿåòñÿ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè îòíîñèòåëüíî ñàìîé ñèñòå-ìû è ñåéñìè÷åñêèõ âîçäåéñòâèé.

Â ýòîé ÷àñòè îïèñûâàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü âûñîòíîãî ñîîðó-æåíèÿ è ñèíòåçèðóþòñÿ H∞-óïðàâëåíèå â ñëó÷àå ïîëíîé èíôîðìàöèè îïàðàìåòðàõ îáúåêòà, à òàêæå ðîáàñòíîå H∞-óïðàâëåíèå ïðè íåîïðåäå-ëåííîñòè â êîýôôèöèåíòàõ äåìïôèðîâàíèÿ è óïðóãîñòè ñîîðóæåíèÿ.

Ãëàâà 20

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü

âûñîòíîãî ñîîðóæåíèÿ

Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñèíòåç ðåãóëÿòîðîâ äëÿ àêòèâíîãî ãàøåíèÿ êîëåáà-íèé ñîîðóæåíèÿ â óñëîâèÿõ íåïîëíîé èíôîðìàöèè î äåéñòâóþùèõ âîç-ìóùåíèÿõ è ïàðàìåòðàõ êîíñòðóêöèè. Â êà÷åñòâå ìåõàíè÷åñêîé ñèñòå-ìû, ìîäåëèðóþùåé êîëåáàíèÿ âûñîòíîãî ñîîðóæåíèÿ, áóäåì ðàññìàòðè-âàòü îäíîìåðíóþ öåïî÷êó óïðóãîñâÿçàííûõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê (ýòà-æåé èëè ñåêöèé ñîîðóæåíèÿ), îäíà èç êîòîðûõ (îñíîâàíèå) ñîâåðøà-åò ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå, ïîðîæäàåìîå ñåéñìè÷åñêèì âîçäåéñòâèåì[78, 72]. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìàññà îñíîâàíèÿ íàìíîãî ïðåâûøàåò ìàññûîñòàëüíûõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê è ïîýòîìó âëèÿíèåì äâèæåíèÿ ñåêöèéñîîðóæåíèÿ íà äâèæåíèå îñíîâàíèÿ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Â äàëüíåéøåìáóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìàññû âñåõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê îäèíàêîâû, à óïðó-ãèå è äåìïôèðóþùèå ñâÿçè ìîäåëèðóþòñÿ ëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè ñ îäè-íàêîâûìè êîýôôèöèåíòàìè óïðóãîñòè è äåìïôèðîâàíèÿ.

Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû èìåþò âèä

mξ1 = −2bξ1 − 2cξ1 + bξ2 + cξ2 −mξ0(t).................................................

mξs = −2bξs − 2cξs + bξs−1 + cξs−1 + bξs+1 + cξs+1 + U −mξ0(t).................................................

mξn = −bξn − cξn + bξn−1 + cξn−1 −mξ0(t) ,

(20.1)

ãäå ξ = col (ξ1, . . . , ξn), ξi - êîîðäèíàòà i-é ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îòíîñè-òåëüíî îñíîâàíèÿ, U - óïðàâëÿþùàÿ ñèëà, ïðèëîæåííàÿ ê s-é ìàòåðè-àëüíîé òî÷êå, ξ0 - êîîðäèíàòà îñíîâàíèÿ îòíîñèòåëüíî èíåðöèàëüíîé ñè-ñòåìû îòñ÷åòà; m - ìàññà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, b è c - êîýôôèöèåíòûäåìïôèðîâàíèÿ è óïðóãîñòè ìåæñåêöèîííûõ ñâÿçåé (ñì. ðèñ. 19.2).

231

232 Ãëàâà 20. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü âûñîòíîãî ñîîðóæåíèÿ

Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿβ =

b

m, ω2 =

c

m, u = m−1U , v1 = −ξ0 ,

òîãäà óðàâíåíèÿ (20.1) ïðèìóò âèäξ = −βKξ − ω2Kξ + qu + pv1 , (20.2)

ãäå ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn)T ,

K =

2 −1 0 0 ... 0−1 2 −1 0 ... 00 −1 2 −1 ... 0... ... ... ... ... ...... ... 0 −1 2 −10 0 0 ... −1 1

, q =

00.1.0

, p =

11...1

.

Çäåñü ëèøü s-ÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà q, ãäå s íîìåð ýòàæà, ê êîòîðîìóïðèëîæåíî óïðàâëåíèå, ðàâíà 1, à îñòàëüíûå êîìïîíåíòû ýòîãî âåêòîðàðàâíû 0. Òåïåðü çàïèøåì ñèñòåìó (20.2) â êàíîíè÷åñêîì âèäå óïðàâëÿå-ìîé ëèíåéíîé ñèñòåìû

x = Ax + Bv1 + B2u , (20.3)ãäå x = col(ξ, ξ) - ñîñòîÿíèå, à áëî÷íûå ìàòðèöû A, B, B2 èìåþò ñëåäóþ-ùèé âèä:

A =

0 I

−ω2K −βK

, B =

0

p

, B2 =

0

q

. (20.4)

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñèñòåìà (20.3) èìååò íóëåâûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ.Äîïóñòèì, ÷òî èìååòñÿ âîçìîæíîñòü íàáëþäàòü ñëåäóþùèå âåëè÷èíû

y1 = x1 + αv21

y2 = x2 − x1 + αv22

............................yn = xn − xn−1 + αv2n ,

(20.5)

ò.å. äåôîðìàöèè ìåæñåêöèîííûõ ñîåäèíåíèé ñîîðóæåíèÿ, èçìåðÿåìûå ñíåêîòîðûìè îøèáêàìè αv2 = α col(v21, v22, . . . , v2n), ãäå α - çàäàííûé ðàç-ìåðíûé êîýôôèöèåíò, õàðàêòåðèçóþùèé ñîîòíîøåíèå ìåæäó ñåéñìè÷å-ñêèì âîçìóùåíèåì è âîçìóùåíèÿìè â èçìåðåíèÿõ. Ââåäåì âåêòîð y =col(y1, y2, . . . , yn) è ïåðåïèøåì (20.5) â âèäå

y = C2x + αv2 , (20.6)

233

ãäå

C2 =

1 0 0 0 ... 0 0 ... 0−1 1 0 0 ... 0 0 ... 00 −1 1 0 ... 0 0 ... 0... ... ... ... ... ... ... ... ...0 0 0 ... −1 1 0 ... 0

.

Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ (20.3) è (20.6), îïðåäåëÿþùèå äèíàìèêó ñî-îðóæåíèÿ è äîñòóïíûå èçìåðåíèÿ, ñîñòàâëÿþò ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëüóïðàâëÿåìîãî ñîîðóæåíèÿ.

234 Ãëàâà 20. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü âûñîòíîãî ñîîðóæåíèÿ

Ãëàâà 21

Ïîñòàíîâêà çàäà÷è ãàøåíèÿ

êîëåáàíèé

Äëÿ ñèñòåìû (20.3), (20.6) ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó ãàøåíèÿ êîëå-áàíèé ñ ïîìîùüþ óïðàâëåíèÿ [5, 6, 47]. Óïðàâëåíèå áóäåò îñóùåñòâëÿòü-ñÿ ëèíåéíûì äèíàìè÷åñêèì ðåãóëÿòîðîì, ñèíòåçèðóåìûì ïî ïðèíöèïóîáðàòíîé ñâÿçè ïî èçìåðÿåìîìó âûõîäó y â âèäå

xr = Arxr + Bry ,

u = Crxr + Dry , xr(0) = 0 ,(21.1)

ãäå xr ñîñòîÿíèå äèíàìè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà. Îáúåäèíèì âõîäÿùèå âóðàâíåíèÿ (20.3), (20.6) âåêòîð-ôóíêöèè v1(t) è v2(t) â âåêòîð-ôóíêöèþâíåøíåãî âîçìóùåíèÿ v(t) = col(v1(t), v2(t)), êîòîðóþ áóäåì ñ÷èòàòü èí-òåãðèðóåìîé ñ êâàäðàòîì íà [0,∞) ôóíêöèåé. Íà òðàåêòîðèÿõ ñèñòåìû(20.3) îïðåäåëèì ôóíêöèîíàë

J(u, v) =

∞∫0

(xT Qx + ρ2u2)d t , (21.2)

ãäå Q - ñèììåòðè÷åñêàÿ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, ρ - çà-äàííûé ïàðàìåòð. Ýòîò ôóíêöèîíàë õàðàêòåðèçóåò êà÷åñòâî êîëåáàòåëü-íûõ ïðîöåññîâ â ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìå. Ïðè âûáîðå ìàòðèöû Q â áëî÷-íîì âèäå

Q =

ω2K 0

0 I

(21.3)

êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè (21.2) îïðåäåëÿåòñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ ïîëíóþ ìåõàíè÷åñêóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû ïðèåå äâèæåíèè îòíîñèòåëüíî îñíîâàíèÿ è çàòðàòû íà óïðàâëåíèå.

235

236 Ãëàâà 21. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è ãàøåíèÿ êîëåáàíèé

Çàäà÷à ãàøåíèÿ êîëåáàíèé ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè ëèíåéíîãî äèíàìè-÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà âèäà (21.1), îáåñïå÷èâàþùåãî ãàøåíèå âíåøíèõ âîç-ìóùåíèé â çàäàííîì îòíîøåíèè γ, ò.å. âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà

∞∫0

(xT Qx + ρ2u2)d t

∞∫0

|v|2d t

< γ2 (21.4)

äëÿ âñåõ íåíóëåâûõ äîïóñòèìûõ âîçìóùåíèé, à òàêæå â îöåíêå ìèíè-ìàëüíî âîçìîæíîãî óðîâíÿ ãàøåíèé êîëåáàíèé, ò.å. ìèíèìàëüíîãî çíà-÷åíèÿ γ, ïðè êîòîðîì èìååò ìåñòî (21.4). Åñëè ââåñòè óïðàâëÿåìûé âûõîäñèñòåìû êàê

z =

√Q

0

x +

0

ρ

u , (21.5)òî ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèä

∞∫0

|z|2d t

∞∫0

|v|2d t

< γ2 .

Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å ñèíòåçà H∞-óïðàâëåíèÿ ïî èçìåðÿåìîìó âûõîäó, êîòîðîå îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèåíåðàâåíñòâà

‖z‖‖v‖

< γ , ∀ v 6≡ 0 (21.6)äëÿ ñèñòåìû

x = Ax + B1v + B2u ,z = C1x + D12uy = C2x + D21v ,

(21.7)

ãäå ‖z‖ îáîçíà÷àåò L2-íîðìó, ìàòðèöû A, B2, C2 îïðåäåëåíû âûøå,

B1 = (B 0) , C1 =

√Q

0

, D12 =

0

ρ

, D21 = (0 αI) .

Êðîìå òîãî, áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó ðîáàñòíîãî H∞-óïðàâëåíèÿñîîðóæåíèåì, êîãäà çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ω2 è β òî÷íî íåèçâåñòíû. Ïðåä-ïîëàãàÿ, ÷òî ω2 è β ìîãóò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ â çàäàííûõ äèà-ïàçîíàõ, ïðåäñòàâèì èõ â ñëåäóþùåì âèäå

ω2 = ω2∗[1 + f1Ω1(t)] , β = β∗[1 + f2Ω2(t)] ,

237

ãäå β∗ è ω2∗ - íîìèíàëüíûå çíà÷åíèÿ, f1 è f2 - çàäàííûå ïàðàìåòðû, à

íåèçâåñòíûå ôóíêöèè Ω1(t) è Ω2(t) óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì|Ω1(t)| ≤ 1 , |Ω2(t)| ≤ 1 . (21.8)

Â ýòîì ñëó÷àå ìàòðèöà A â óðàâíåíèÿõ (21.7) ïðåäñòàâèìà â âèäåA = A∗ + FΩ(t)E , (21.9)

ãäå Ω(t) = diag (Ω1(t)In×n, Ω2(t)In×n),

A∗ =

(0 I

−ω2∗K −β∗K

), F = (F1 F2) , E =

(E1

E2

),

F1 =

(0

f1I

), F2 =

(0

f2I

), E1 = (−ω2

∗K 0), E2 = (0 − β∗K).

Òîãäà óðàâíåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî îáúåêòà ìîæíî çàïèñàòü â ñòàíäàðò-íîì âèäå

x = A∗x + B∆v∆ + B1v + B2u ,z∆ = C∆x + D∆∆v∆ + D∆1v + D∆2u ,z = C1x + D1∆v∆ + D11v + D12u ,y = C2x + D2∆v∆ + D21v ,v∆ = ∆(t)z∆ ,

(21.10)

ãäå B∆ = F , C∆ = E, D∆∆ = 0, D∆1 = 0, D∆2 = 0, D1∆ = 0, D11 = 0,D2∆ = 0, à îñòàëüíûå ìàòðèöû îïðåäåëåíû âûøå. Íåèçâåñòíûé èçìåíÿ-åìûé âî âðåìåíè ìàòðè÷íûé ïàðàìåòð ∆(t) èìååò âèä

∆(t) = diag (Ω1(t)In×n, Ω2(t)In×n) (21.11)è óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó

∆T (t)∆(t) ≤ I , ∀ t ≥ 0 . (21.12)Çàäà÷à ðîáàñòíîãî H∞-óïðàâëåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ïîñòðîåíèè ëèíåéíîãîäèíàìè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà ïî âûõîäó, êîòîðûé îáåñïå÷èâàåò ãàøåíèå êî-ëåáàíèé â çàäàííîì îòíîøåíèè γ äëÿ ëþáîãî ñîîðóæåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìèω2 è β èç çàäàííîãî äèàïàçîíà.

238 Ãëàâà 21. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è ãàøåíèÿ êîëåáàíèé

Ãëàâà 22

×èñëåííûå ðåçóëüòàòû

Âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû ïðîâîäèëèñü äëÿ äåñÿòèýòàæíîãî çäà-íèÿ n = 10, ò.å. îáúåêò èìååò ïîðÿäîê nx = 20. Íîìèíàëüíûå çíà÷åíèÿïàðàìåòðîâ áûëè âûáðàíû ñëåäóþùèå: β∗ = 1 c−1, ω2

∗ = 100 c−2, ρ = 1 c.Âíà÷àëå áûë íàéäåí óðîâåíü ãàøåíèÿ âîçìóùåíèé â ýòîì îáúåêòå â

îòñóòñòâèå óïðàâëåíèÿ: îí îêàçàëñÿ ðàâíûì 184.4. Çàòåì íàõîäèëñÿ ìè-íèìàëüíî âîçìîæíûé óðîâåíü ãàøåíèÿ êîëåáàíèé ñîîðóæåíèÿ, êîòîðûéìîæåò áûòü äîñòèãíóò ñ ïîìîùüþ ðåãóëÿòîðà ïî âûõîäó ïîëíîãî ïîðÿäêàk = 20 â çàâèñèìîñòè îò íîìåðà ýòàæà, ê êîòîðîìó ïðèëîæåíî óïðàâëå-íèå, äëÿ äâóõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà α = 1 c2 è α = 0.01 c2. Íàïîìíèì, ÷òîïàðàìåòð α õàðàêòåðèçóåò ñîîòíîøåíèå ìåæäó ñåéñìè÷åñêèì âîçìóùå-íèåì è âîçìóùåíèÿìè â èçìåðåíèÿõ. Ðåçóëüòàòû ïðèâåäåíû â òàáëèöå1.

Òàáëèöà 1

s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10γ (α = 1) 43.9 25.7 20.5 18.3 17.1 16.5 16.1 15.9 15.8 15.7

γ (α = 0.01) 43.7 22.6 15.4 11.9 9.8 8.6 7.7 7.2 6.9 6.8

Êàê ñëåäóåò èç òàáëèöû 1, ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå óðîâíÿ ãàøåíèÿêîëåáàíèé âûñîòíîãî ñîîðóæåíèÿ äîñòèãàåòñÿ ïðè ïðèëîæåíèè óïðàâëÿ-þùåé ñèëû íà âåðõíèå ýòàæè, òîãäà êàê ïðèëîæåíèå óïðàâëÿþùåé ñèëûê íèæíèì ýòàæàì ñîîðóæåíèÿ ìåíåå ýôôåêòèâíî.

Â ñëåäóþùåé òàáëèöå ïðèâåäåíû ìèíèìàëüíûå çíà÷åíèÿ óðîâíÿ ãà-øåíèÿ êîëåáàíèé âûñîòíîãî ñîîðóæåíèÿ ïðè α = 0.01 c2 â çàâèñèìîñòèîò òî÷êè ïðèëîæåíèÿ óïðàâëÿþùåé ñèëû ïðè ðåãóëÿòîðå ïî âûõîäó âòî-ðîãî ïîðÿäêà.

Òàáëèöà 2

239

240 Ãëàâà 22. ×èñëåííûå ðåçóëüòàòû

s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10γ 43.7 22.7 15.5 11.9 9.9 8.6 7.8 7.3 7 6.9

Ñðàâíåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòðîê ýòèõ òàáëèö ïîêàçûâàåò, ÷òî, åñëèïðèíÿòü âî âíèìàíèå âû÷èñëèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè, êà÷åñòâî ãàøåíèÿêîëåáàíèé, äîñòèãàåìîå ñ ïîìîùüþ ðåãóëÿòîðîâ ïîëíîãî (20-ãî) è 2-ãîïîðÿäêîâ, ïî÷òè îäíî è òîæå.

Çàòåì ðàññìàòðèâàëàñü çàäà÷à ðîáàñòíîãî H∞-óïðàâëåíèÿ äëÿ 10-ýòàæíîãî çäàíèÿ ñ ïîìîùüþ ðåãóëÿòîðà ïî âûõîäó ïîëíîãî ïîðÿäêà,äåéñòâóþùåãî íà ñåäüìîé ýòàæ (s = 7). Ïðè α = 1 c2 â ïðåäïîëîæåíèè,÷òî ïàðàìåòð ω2 ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç èíòåðâàëà [99, 101], à ïàðàìåòðβ èç èíòåðâàëà [0.8, 1.2] (ïðè ýòîì f1 = 0.01, f2 = 0.2), ïðèìåíåíèåàëãîðèòìà ïîèñêà âçàèìíîîáðàòíûõ ìàòðèö ïðèâåëî ê ñëåäóþùåìó ðå-çóëüòàòó γ = 18. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ íîìèíàëüíîãî îáúåêòà (ñì. òàáëèöó1) γ = 16.1.

Ïðèâåäåííûå ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè àêòèâíîìãàøåíèè êîëåáàíèé âûñîòíûõ ñîîðóæåíèé, âûçâàííûõ ñåéñìè÷åñêèìèâîçìóùåíèÿìè, öåëåñîîáðàçíî ïðèêëàäûâàòü óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèåíà âåðõíèå ýòàæè. Îïòèìàëüíûì îáðàçîì ñèíòåçèðóåìûå ðåãóëÿòîðûïîçâîëÿþò â äåñÿòêè ðàç óìåíüøèòü ðåàêöèþ ñîîðóæåíèÿ íà âíåøíååâîçìóùåíèå.

×àñòü VI

Çàêëþ÷åíèå

241

243

Â êíèãå èçëîæåí åäèíûé ïîäõîä ê ñèíòåçó ðåãóëÿòîðîâ äëÿ äèíàìè-÷åñêèõ îáúåêòîâ, îïèñûâàåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûìè èëè ðàçíîñòíûìèóðàâíåíèÿìè, èñïîëüçóþùèé àïïàðàò ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ.Â ñëó÷àå ïîëíîé èíôîðìàöèè î ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè îáúåêòà, à òàêæåâ óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðîâ èëè öåëûõ äèíà-ìè÷åñêèõ áëîêîâ, ñèíòåçèðîâàíû ðåãóëÿòîðû ïî ñîñòîÿíèþ è ïî èçìåðÿ-åìîìó âûõîäó, êîòîðûå îáåñïå÷èâàþò óñòîé÷èâîñòü çàìêíóòîé ñèñòåìû,îïòèìàëüíîñòü ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà â íåé, à òàêæå çàäàííûé óðîâåíüãàøåíèÿ âíåøíèõ âîçìóùåíèé.

Ïðè èçëîæåíèè ìàòåðèàëà àâòîðû ñòðåìèëèñü ê ìàòåìàòè÷åñêè ñòðî-ãîìó è ïîëíîìó îïèñàíèþ ïðîöåäóðû ñèíòåçà çàêîíîâ óïðàâëåíèÿ. Âìå-ñòå ñ òåì, èç-çà îïàñíîñòè "óòîìèòü"÷èòàòåëÿ íåêîòîðûå çàäà÷è ðàññìîò-ðåíû òîëüêî äëÿ íåïðåðûâíûõ îáúåêòîâ èëè òîëüêî â ñëó÷àå èçìåðÿå-ìîãî ñîñòîÿíèÿ. Àâòîðû íàäåþòñÿ, ÷òî ÷èòàòåëü áóäåò â ñîñòîÿíèè ñà-ìîñòîÿòåëüíî ñôîðìóëèðîâàòü è ðåøèòü ìíîãèå äðóãèå çàäà÷è, ò.ê. îïè-ñàííûé â êíèãå ïîäõîä ïîçâîëÿåò äîñòàòî÷íî ñòàíäàðòíî ïîäõîäèòü êïðîöåäóðå ñèíòåçà. Äëÿ ýòîãî íóæíî ïîñòàðàòüñÿ ñôîðìóëèðîâàòü öåëüóïðàâëåíèÿ â âèäå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà, â êîòîðîå âîé-äóò èñêîìûå ïàðàìåòðû ðåãóëÿòîðà. Çàòåì òðåáóåòñÿ âûÿñíèòü óñëîâèÿðàçðåøèìîñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà è îðãàíèçîâàòü ïðîöåäóðó ïîèñêà åãîðåøåíèÿ, èñïîëüçóÿ îïèñàííûå â êíèãå ìåòîäû è ïðèìåíÿÿ ñòàíäàðòíûåêîìàíäû LMI Toolbox MATLAB.

×àñòü VII

Ïðèëîæåíèÿ

245

Ïðèëîæåíèå A

Áëî÷íûå ìàòðèöû

Ëåììà A.1 Ôîðìóëû Ôðîáåíèóñà äëÿ îáðàùåíèÿ áëî÷íîé ìàò-ðèöû. Ïóñòü íåîñîáåííàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ðàçáèòà íà áëîêè

X =

X11 X12

X21 X22

,

ãäå X11 (n× n)-ìàòðèöà, à X22 (m×m)-ìàòðèöà.Åñëè detX11 6= 0, òî

X−1 =

X−111 + X−1

11 X12H−1X21X

−111 −X−1

11 X12H−1

−H−1X21X−111 H−1

,

ãäåH = X22 −X21X

−111 X12 .

Åñëè detX22 6= 0, òî

X−1 =

K−1 −K−1X12X−122

−X−122 X21K

−1 X−122 + X−1

22 X21K−1X12X

−122

,

ãäåK = X11 −X12X

−122 X21 .

Åñëè detX11 6= 0 è detX22 6= 0, òî

X−1 =

K−1 −X−111 X12H

−1

−H−1X21X−111 H−1

,

ãäå K è H îïðåäåëåíû âûøå.

247

248 Ïðèëîæåíèå A. Áëî÷íûå ìàòðèöû

Ëåììà A.2 Ïóñòü

X =

X11 X12

X21 X22

,

ãäå X11 (n× n)-ìàòðèöà, à X22 (m×m)-ìàòðèöà.Åñëè X11 íåâûðîæäåíà, òî X íåâûðîæäåíà òîãäà è òîëüêî òîãäà,

êîãäà ìàòðèöà H = X22 −X21X−111 X12 íåâûðîæäåíà. Ïðè ýòîì

detX = detX11 detH .

Åñëè X22 íåâûðîæäåíà, òî X íåâûðîæäåíà òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà ìàòðèöà K = X11 −X12X

−122 X21 íåâûðîæäåíà. Ïðè ýòîì

detX = detX22 detK .

Åñëè X11 = XT11, X21 = XT

12, X22 = XT22, òî ñëåäóþùèå òðè óòâåð-

æäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:X > 0 ;

X11 > 0 , X22 −XT12X

−111 X12 > 0 ;

X22 > 0 , X11 −X12X−122 XT

12 > 0 .


X =

X11 X12

XT12 X22

,

ãäå X11 è X22 êâàäðàòíûå ìàòðèöû.Åñëè X11 > 0, òî X ≥ 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

X22 −XT12X

−111 X12 ≥ 0 .

Åñëè X22 > 0, òî X ≥ 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

X11 −X12X−122 XT

12 ≥ 0 .


X =

X11 X12 X13

XT12 X22 X23

XT13 XT

23 X33

.

Åñëè X22 > 0, òî X > 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà X11 X13

XT13 X33

− X12

XT23

X−122 (XT

12 X23) > 0 . (A.1)

249

Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñîîòâåòñòâèè ñ áëî÷íîé ñòðóêòóðîé ìàòðèöû Xâîçüìåì x = col (x1, x2, x3) è ñäåëàåì ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ:xT Xx = (x2 + X−1

22 XT12x1 + X−1

22 X23x3)T X22(x2 + X−1

22 XT12x1 + X−1

22 X23x3)+

+xT1 (X11 −X12X

−122 XT

12)x1 + xT3 (X33 −XT

23X−122 X23)x3+

+2xT1 (X13 −X12X

−122 X23)x3 .

Òàê êàê X22 > 0, òî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî X > 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà âûïîëíåíî ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî X11 −X12X

−122 XT

12 X13 −X12X−122 X23

XT13 −XT

23X−122 XT

12 X33 −XT23X

−122 X23

> 0 ,

ýêâèâàëåíòíîå (A.1).

Ëåììà A.5 Ïóñòü ìàòðèöû A ïîðÿäêà n× n è R ïîðÿäêà r × r íåâû-ðîæäåíû, X è Y èìåþò ïîðÿäêè n × r è r × n, ñîîòâåòñòâåííî, èìàòðèöà A + XRY íåâûðîæäåíà. Òîãäà

(A + XRY )−1 = A−1 − A−1X(R−1 + Y A−1X)−1Y A−1 .

Ëåììà A.6 Åñëè A êîìïëåêñíàÿ ìàòðèöà (m × n) ðàíãà r, òî îíàïðåäñòàâèìà â âèäå (singular-value decomposition)

A = (U1 U2)

Σ 0

0 0

V ∗1

V ∗2

= U1ΣV ∗1 , (A.2)

ãäå ∗ îáîçíà÷àåò òðàíñïîíèðîâàíèå è ïåðåõîä ê êîìïëåêñíî ñîïðÿæåí-íûì ýëåìåíòàì,

Σ = diag (σ1, · · · , σr) , σ1 ≥ · · · ≥ σr > 0 ,

σi = λ1/2i (AA∗) ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà ìàòðèöû A, U = (U1 U2) è V =

(V1 V2) óíèòàðíûå ìàòðèöû, ò.å. U∗U = I è V ∗V = I, ïðè÷åì

R(A) = span (U1) , N (A∗) = span (U2) ,

R(A∗) = span (V1) , N (A) = span (V2) ,

ãäå R(·) è N (·) îáîçíà÷àþò îáðàç è ÿäðî ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòðèöû,à span (·) ëèíåéíóþ îáîëî÷êó ñòîëáöîâ ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòðèöû.


Ëåììà A.7 Ïóñòü X11 = XT11 > 0 è Y11 = Y T

11 > 0 çàäàííûå (n × n)-ìàòðèöû. Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòðèö X12 è X22 = XT

22 ðàçìåðîâ (n×k)è (k × k), ñîîòâåòñòâåííî, òàêèõ, ÷òî

X =

X11 X12

XT12 X22

> 0 ,

X11 X12

XT12 X22

−1

=

Y11 Y12

Y T12 Y22

(A.3)

äëÿ íåêîòîðûõ Y12, Y22, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû X11 I

I Y11

≥ 0 , rank (I −X11Y11) ≤ k . (A.4)

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïî óñëîâèþ èìååìX11Y11 + X12Y

T12 = I ,

X11Y12 + X12Y22 = 0 ,

XT12Y11 + X22Y

T12 = 0 ,

XT12Y12 + X22Y

T22 = I .

(A.5)

Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ïîëó÷èìI −X11Y11 = X12Y

T12 .

Òàê êàê ðàíã êàæäîé èç ìàòðèö â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà íå ïðå-âûøàåò k è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàíã ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ ìàòðèö òàêæå íåïðåâûøàåò k, òî îòñþäà ñëåäóåò óñëîâèå

rank (I −X11Y11) ≤ k .

Äàëåå, âûðàçèì èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿY11 = X−1

11 (I −X12YT12)

è ïîäñòàâèì â òðåòüåXT

12X−111 + (X22 −XT

12X−111 X12)Y

T12 = 0 .

Óìíîæèì îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ ñëåâà íà Y12

Y12XT12X

−111 + Y12(X22 −XT

12X−111 X12)Y

T12 = 0 .

Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (A.5) ñëåäóåò, ÷òîY12X

T12 = I − Y11X11 .

251

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî, ïîëó÷èì(I − Y11X11)X

−111 + Y12(X22 −XT

12X−111 X12)Y

T12 = 0 .

Îòêóäà ñëåäóåòX−1

11 − Y11 = −Y12(X22 −XT12X

−111 X12)Y

T12 .

Òàê êàê X > 0, òî èç ëåììû A.2 ïîëó÷èìX22 −XT

12X−111 X12 > 0 .

Ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîX−1

11 − Y11 ≤ 0 ,

êîòîðîå â ñèëó ëåììû A.3 âûðàæàåòñÿ â âèäå ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãîíåðàâåíñòâà X11 I

I Y11

≥ 0 .

Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü äëÿ äàííûõ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûõ è ñèì-ìåòðè÷åñêèõ ìàòðèö X11 è Y11 âûïîëíåíû óñëîâèÿ (A.4) è

rank (I −X11Y11) = r ≤ k .

Ïîêàæåì, êàê ðàñøèðèòü ìàòðèöó X11 òàê, ÷òîáû óñëîâèÿ (A.3) èìåëèìåñòî äëÿ íåêîòîðûõ Y12 è Y22. Ñîãëàñíî ëåììå A.1 äîëæíî âûïîëíÿòüñÿðàâåíñòâî

Y −111 = X11 −X12X

−122 XT

12 ,

ò.å.X11 − Y −1

11 = X12X−122 XT

12 . (A.6)Ìàòðèöû X12 ðàçìåðà n × k è X22 = XT

22 > 0 ðàçìåðà k × k, óäîâëåòâî-ðÿþùèå ýòîìó ðàâåíñòâó, ïîñòðîèì ñëåäóþùèì îáðàçîì.

Òàê êàêX11 − Y −1

11 = −(I −X11Y11)Y−111

è ðàíã ìàòðèöû â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà â ñèëó âòîðîãî óñëîâèÿ(A.4) ðàâåí r, òî

rank (X11 − Y −111 ) = r .

Ïðèìåíÿÿ ëåììó A.6 è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìàòðèöà X11−Y −111 ñèììåòðè÷åñêàÿ

è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííàÿ, ïîëó÷èì

X11 − Y −111 = (U1U2)

Σ 0

0 0

UT1

UT2

,


ãäå U1 ∈ Rn×r, U2 ∈ Rn×(n−r), Σ = diag (λ1, · · · , λr) > 0. Ïðåäñòàâèìïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ýêâèâàëåíòíî â âèäå

S

Σ 0r×(k−r)

0(k−r)×r Ik−r

ST , S = (U1U2)

Ir 0r×(k−r)

0(n−r)×r 0(n−r)×(k−r)

,

èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèå (A.6) áóäåò âûïîëíÿòüñÿ, åñëè, íàïðè-ìåð, âûáðàòü

X12 = S , X22 = diag (λ−11 , · · · , λ−1

r , 1, · · · , 1) .

Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî ëåììå A.1 âòîðîå èç óñëîâèé (A.3) âûïîëíÿåòñÿäëÿ äàííîé Y11 è íåêîòîðûõ Y12, Y22. Ñïðàâåäëèâîñòü ïåðâîãî óñëîâèÿ(A.3) ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî X22 > 0 è

X11 −X12X−122 XT

12 = Y −111 > 0 ,

à, ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî ëåììå A.2 èìååì X > 0.Ëåììà A.8 Ïóñòü äàíû äâå ìàòðèöû Q = QT ∈ Rn×n è A ∈ Rn×m,ïðè÷åì rank A < n. Òîãäà ñëåäóþùèå äâà óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:

C1:xT Qx < 0 , ∀x ∈ x|AT x = 0 ;

C2:∃µ > 0 Q− µAAT < 0 .

Äîêàçàòåëüñòâî. (C1 −→ C2) Ðàçëîæèì ïðîñòðàíñòâîRn â ïðÿìóþñóììó

Rn = N (AT )⊕R(A) ,

ãäå N (AT ) ÿäðî ìàòðèöû AT è R(A) îáðàç ìàòðèöû A, è âûáåðåìñîîòâåòñòâóþùèé áàçèñ. Ïî óñëîâèþ â ýòîì áàçèñå ìàòðèöû Q è AAT

ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùåì áëî÷íîì âèäå:

Q =

Q11 Q12

QT12 Q22

, Q11 < 0 , AAT =

0 0

0 DDT

, DDT > 0 .

Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî x = col (x1, x2) èìååì

xT (Q− µAAT )x = (xT1 xT

2 )

Q11 Q12

Q12 Q22 − µDDT

x1

x2

=

= xT1 Q11x1 + 2xT

1 Q12x2 + xT2 (Q22 − µDDT )x2 =

= (x1 + Q−111 Q12x2)

T Q11(x1 + Q−111 Q12x2)+

+xT2 (Q22 −QT

12Q−111 Q12 − µDDT )x2 < 0 ,

253

åñëè µ âûáðàòü òàê, ÷òîáû Q22 − QT12Q

−111 Q12 − µDDT < 0, ò.å. µ >

λmax[D−1(Q22 −QT

12Q−111 Q12)D

−T ].(C2 −→ C1) Î÷åâèäíî, ò.ê. xT (Q − µAAT )x = xT Qx < 0 äëÿ âñåõ x,

äëÿ êîòîðûõ AT x = 0.

Ïðèëîæåíèå B

Ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå

óðàâíåíèÿ

Ëåììà B.1 Åñëè ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå

AX = C , (B.1)â êîòîðîì A è C ìàòðèöû ïîðÿäêîâ (m × n) è (m × q), ðàçðåøèìîîòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé ìàòðèöû X ïîðÿäêà (n × q), òî ñðåäè åãîðåøåíèé ñóùåñòâóåò ðåøåíèå X0 ìèíèìàëüíîãî ðàíãà, äëÿ êîòîðîãîrank X0 = rank C = rC, è ýòî ðåøåíèå ïðåäñòàâèìî â âèäå

X0 = V C ,

ãäå V íåêîòîðàÿ ìàòðèöà ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ êîíêðåòíîñòè ïåðâûå rC ñòîëáöîâ ìàò-ðèöû C ëèíåéíî íåçàâèñèìû, à îñòàëüíûå ñòîëáöû ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìèêîìáèíàöèÿìè ïåðâûõ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðèöà C ïðåäñòàâèìà â âèäå

C = (C1 C2) , C2 = C1D

äëÿ íåêîòîðîé ìàòðèöû D. Ïóñòü X = (X1 X2), X1 ∈ Rn×rC ïðîèç-âîëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (B.1). Çàìåòèì, ÷òî ñòîëáöû áëîêà X1 ëè-íåéíî íåçàâèñèìû, òàê êàê AX1 = C1 è ñòîëáöû ìàòðèöû C1 ëèíåéíîíåçàâèñèìû. Îïðåäåëèì X2 = X1D. Òîãäà AX2 = C2 è â êà÷åñòâå ðåøå-íèÿ ìèíèìàëüíîãî ðàíãà ìîæåò áûòü âçÿòà ìàòðèöà X0 = (X1 X2).

Èç ðàâåíñòâà AX0 = C ñëåäóåò, ÷òî ñòðîêè ìàòðèöû C ÿâëÿþòñÿ ëè-íåéíûìè êîìáèíàöèÿìè ñòðîê ìàòðèöû X0. Òàê êàê rank C = rank X0 =rC , òî è, îáðàòíî, ñòðîêè ìàòðèöû X0 ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè êîìáèíàöè-ÿìè ñòðîê ìàòðèöû C, ò.å. X0 = V C äëÿ íåêîòîðîé ìàòðèöû V .

255

256 Ïðèëîæåíèå B. Ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ

Ëåììà B.2 Ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå

AXB = C (B.2)ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé ìàòðèöû X òîãäà è òîëüêî òî-ãäà, êîãäà ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ

AY = C , ZB = C (B.3)ðàçðåøèìû îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ìàòðèö Y è Z ñîîòâåòñòâåí-íî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè óðàâíåíèå (B.2) èìååò ðåøåíèå X, òî, î÷å-âèäíî, ÷òî Y = XB è Z = AX óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (B.3). Îá-ðàòíî, ïóñòü ñóùåñòâóþò ðåøåíèÿ Y, Z óðàâíåíèé (B.3). Òîãäà ïåðâîåèç ýòèõ óðàâíåíèé èìååò ðåøåíèå Y0 ìèíèìàëüíîãî ðàíãà rC , êîòîðîåñîãëàñíî ëåììå B.1 ïðåäñòàâèìî â âèäå Y0 = V C. Ñëåäîâàòåëüíî,

C = AY0 = AV C = AV ZB

è ìàòðèöà X = V Z áóäåò ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (B.2).

Ïðèëîæåíèå C

Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ è

ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû

Ïóñòü èìååòñÿ ëèíåéíîå óðàâíåíèåAx = b , (C.1)

â êîòîðîì A (m×n)-ìàòðèöà è b ∈ Rm çàäàíû, à x ∈ Rn íåèçâåñòíûåïåðåìåííûå.

Åñëè m = n = rank A, òî N (A) = N (AT ) = 0 è óðàâíåíèå (C.1)èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x = A−1b.

Åñëè A íå êâàäðàòíàÿ èëè íå ïîëíîãî ðàíãà, òî èëè N (A), èëèN (AT ), èëè îáà ýòè ìíîæåñòâà áóäóò íåòðèâèàëüíû. Ðàññìîòðèì âîç-ìîæíûå âàðèàíòû.

Ïóñòü m > n è rank A = n, ò.å. ñòîëáöû ìàòðèöû A ëèíåéíî íåçàâè-ñèìû. Åñëè b ∈ R(A), òîãäà óðàâíåíèå (C.1) èìååò ðåøåíèå. Âûðàçèòüåãî ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì: óìíîæèì (C.1) ñëåâà íà AT è, ó÷èòûâàÿ,÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ìàòðèöà AT A îáðàòèìà, íàéäåì ðåøåíèå

x = (AT A)−1AT b . (C.2)Åñëè b 6∈ R(A), òîãäà óðàâíåíèå (C.1) íå èìååò ðåøåíèé. Â ýòîì ñëó÷àåîïðåäåëÿåòñÿ "ðåøåíèå"â ñìûñëå ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, ìèíè-ìèçèðóþùåå êâàäðàò íîðìû îòêëîíåíèÿ ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (C.1) îòïðàâîé, ò.å.

x = arg min ‖Ax− b‖2 .

Äëÿ åãî ïîëó÷åíèÿ ïðåäñòàâèì b = bR(A) + bN (AT ), ãäå bR(A) ∈ R(A) èbN (AT ) ∈ N (AT ). Òàê êàê bN (AT )⊥R(A), òî

‖Ax− bR(A) − bN (AT )‖2 = ‖Ax− bR(A)‖2 + ‖bN (AT )‖2 .

257

258 Ïðèëîæåíèå C. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ è ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû

Ýòî çíà÷èò, ÷òîmin ‖Ax− b‖2 = ‖bN (AT )‖2 ,

è ýòî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå äîñòèãàåòñÿ, êîãäà Ax = bR(A), ò.å. ïðè x =(AT A)−1AT bR(A). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî (AT A)−1AT bR(A) = (AT A)−1AT b, íàéäåì,÷òî îïòèìàëüíîå ðåøåíèå â ñìûñëå ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ èìååòâèä

x = (AT A)−1AT b ,

ò.å. îïðåäåëÿåòñÿ òîé æå ôîðìóëîé (C.2).Ïóñòü òåïåðü m < n è rank A = m, ò.å. ñòðîêè ìàòðèöû A ëèíåé-

íî íåçàâèñèìû. Â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (C.1) áóäåò èìåòü áåñêîíå÷íîåìíîæåñòâî ðåøåíèé, òàê êàê, åñëè x ðåøåíèå, òî x + xN (A) òîæå ðå-øåíèå äëÿ ëþáîãî x ∈ N (A). Ñðåäè âñåõ ðåøåíèé âûäåëèì îïòèìàëüíîåâ ñìûñëå ìèíèìóìà íîðìû, ò.å.

x = arg minAx=b

‖x‖ .

Åñëè ðàçëîæèòü ïðîñòðàíñòâî Rn â ïðÿìóþ ñóììóRn = R(AT )⊕N (A) ,

òî ìèíèìàëüíîå ïî íîðìå ðåøåíèå áóäåò èìåòü íóëåâóþ ïðîåêöèþ íàïîäïðîñòðàíñòâî N (A). Ïðåäñòàâèì â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ðàçëîæåíèåìx = xR(AT ) + xN (A) è ðåøèì óðàâíåíèå AxR(AT ) = b. Â ñèëó òîãî, ÷òîxR(AT ) ∈ R(AT ), ñóùåñòâóåò ξ ∈ Rm òàêîé, ÷òî xR(AT ) = AT ξ. Ñëåäîâà-òåëüíî, òðåáóåòñÿ ðåøèòü óðàâíåíèå AAT ξ = b îòíîñèòåëüíî ξ. Òàê êàêïî óñëîâèþ ìàòðèöà AAT îáðàòèìà, åãî ðåøåíèå èìååò âèä ξ = (AAT )−1bè, çíà÷èò, xR(AT ) = AT (AAT )−1b. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ(C.1) ñ ìèíèìàëüíîé íîðìîé ðàâíî

x = AT (AAT )−1b . (C.3)

Ðàññìîòðèì, íàêîíåö, îáùèé ñëó÷àé, êîãäà rankA = r < min(m, n).Áóäåì èñêàòü ìèíèìàëüíîå ïî íîðìå ðåøåíèå â ñìûñëå ìåòîäà íàèìåíü-øèõ êâàäðàòîâ. Âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé A.6 è ïðåäñòàâèì ìàòðèöó A ââèäå

A = (U1 U2)

Σ 0

0 0

V T1

V T2

= U1ΣV T1 , (C.4)

ãäåΣ = diag (σ1, · · · , σr) , σ1 ≥ · · · ≥ σr > 0 ,

259

R(A) = span (U1) , N (AT ) = span (U2) ,

R(AT ) = span (V1) , N (A) = span (V2) , UT1

UT2

(U1 U2) = I ,

V T1

V T2

(V1 V2) = I .

(C.5)

Ðàçëîæèì ïðîñòðàíñòâà Rn è Rm â ïðÿìûå ñóììûRn = R(AT )⊕N (A) , Rm = R(A)⊕N (AT )

è ïðåäñòàâèìx = xR(AT ) + xN (A) , b = bR(A) + bN (AT ) .

Òàê êàê‖Ax− b‖2 = ‖Ax− bR(A)‖2 + ‖bN (AT )‖2 =

= ‖AxN (A) + AxR(AT ) − bR(A)‖2 + ‖bN (AT )‖2 =

= ‖AxR(AT ) − bR(A)‖2 + ‖bN (AT )‖2 ,

òî îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ óäîâëåòâî-ðÿþò óðàâíåíèþ

Ax = bR(A) , (C.6)à ìèíèìàëüíîå ïî íîðìå èç ýòèõ ðåøåíèé x ïðèíàäëåæèò R(AT ).

Èç (C.5) ñëåäóåò, ÷òî bR(A) = U1η1, ãäå η1 ∈ Rr, è bN (AT ) = U2η2, ãäåη2 ∈ Rm−r. Òàê êàê b = U1η1 + U2η2, òî ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî UT

1 U1 = I èUT

1 U2 = 0, íàéäåì η1 = UT1 b è òîãäà bR(A) = U1U

T1 b. Ïðåäñòàâëÿÿ òåïåðü

x ∈ R(AT ) â âèäå x = V1ξ, ãäå ξ ∈ Rr, çàïèøåì (C.6) êàêAV1ξ = U1U

T1 b .

Çàìåíÿÿ A = U1ΣV T1 è óìíîæàÿ îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ ñëåâà íà

UT1 , âû÷èñëèì ξ = Σ−1UT

1 b è íàéäåì îïòèìàëüíîå ðåøåíèå ïî ìåòîäóíàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ìèíèìàëüíîé íîðìû â âèäå

x = V1Σ−1UT

1 b . (C.7)Ìàòðèöà

A+ = V1Σ−1UT

1 (C.8)ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîîáðàòíîé äëÿ ìàòðèöû A c ðàçëîæåíèåì (C.4). Ïî îïðå-äåëåíèþ ïñåâäîîáðàòíîé äëÿ ìàòðèöû A íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ìàòðèöà A+,êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:

AA+A = A , A+AA+ = A+ , (AA+)T = AA+ , (A+A)T = A+A .

260 Ïðèëîæåíèå C. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ è ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû

Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ ñëåäóþùåå:m = n = rank A −→ A+ = A−1 ;

m > n, rank A = n −→ A+ = (AT A)−1AT ;

m < n, rank A = m −→ A+ = AT (AAT )−1 .

Òàêèì îáðàçîì, âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ âûøå ñëó÷àÿõ òàê íàçûâàåìûåïñåâäîðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (C.1), èìåþùèå ìèíèìàëüíîþ íîðìó ñðåäèâñåõ âåêòîðîâ, ìèíèìèçèðóþùèõ íîðìó îòêëîíåíèÿ ìåæäó ïðàâîé è ëå-âîé ÷àñòÿìè ýòîãî óðàâíåíèÿ, çàäàþòñÿ ôîðìóëîé

x = A+b .

Ïðèëîæåíèå D

Ñòðóêòóðíûå ñèñòåìíûå

ñâîéñòâà

Ñèñòåìàx = Ax + Bu , x ∈ Rnx , u ∈ Rnu (D.1)

èëè, ýêâèâàëåíòíî, ïàðà (A, B) óïðàâëÿåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàâûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ ýêâèâàëåíòíûõ óñëîâèé:

1. ãðàììèàí óïðàâëÿåìîñòèt∫

0

eAτBBT eAT τ dτ

ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöåé äëÿ ëþáîãî t > 0;2.

rank (B AB . . . Anx−1B) = nx;

3.rank (sI − A B) = nx , ∀ s ∈ C;

4. äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñèììåòðè÷íîãî îòíîñèòåëüíî äåéñòâèòåëüíîéîñè ìíîæåñòâà nx êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íàéäåòñÿ ìàòðèöà Θ òàêàÿ,÷òî ñïåêòð ìàòðèöû çàìêíóòîé ñèñòåìû A+BΘ ñîâïàäåò ñ óêàçàí-íûì ìíîæåñòâîì;

5. äëÿ ëþáîãî ëåâîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà ìàòðèöû A, ò.å. íåíóëåâîãîâåêòîðà e ∈ Cnx , óäîâëåòâîðÿþùåãî e∗A = λe∗ ïðè íåêîòîðîì λ ∈ C,âûïîëíåíî e∗B 6= 0.

261

262 Ïðèëîæåíèå D. Ñòðóêòóðíûå ñèñòåìíûå ñâîéñòâà

Ñèñòåìà (D.1) èëè, ýêâèâàëåíòíî, ïàðà (A, B) ñòàáèëèçèðóåìà òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ ýêâèâàëåíòíûõ óñëî-âèé:

1.rank (sI − A B) = nx , Re s ≥ 0;

2. ñóùåñòâóåò ìàòðèöà Θ òàêàÿ, ÷òî ìàòðèöà çàìêíóòîé ñèñòåìû A +BΘ ãóðâèöåâà;

3. âñå íåóïðàâëÿåìûå ìîäû ÿâëÿþòñÿ óñòîé÷èâûìè, ò.å. èç ñîâìåñòíî-ãî âûïîëíåíèÿ óñëîâèé e∗A = λe∗ è e∗B = 0 ñëåäóåò, ÷òî Reλ < 0.

Ñèñòåìàx = Ax ,y = Cx , x ∈ Rnx , y ∈ Rny

(D.2)èëè, ýêâèâàëåíòíî, ïàðà (A, C) íàáëþäàåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàâûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ ýêâèâàëåíòíûõ óñëîâèé:

1. ãðàììèàí íàáëþäàåìîñòèt∫

0

eAT τCT CeAτ dτ

ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöåé äëÿ ëþáîãî t > 0;2.

rank (CT AT CT . . . (AT )nx−1CT ) = nx;

3.rank (sI − AT CT ) = nx , ∀ s ∈ C;

4. äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñèììåòðè÷íîãî îòíîñèòåëüíî äåéñòâèòåëüíîéîñè ìíîæåñòâà nx êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íàéäåòñÿ ìàòðèöà Θ òàêàÿ,÷òî ñïåêòð ìàòðèöû A + ΘC ñîâïàäåò ñ óêàçàííûì ìíîæåñòâîì;

5. äëÿ ëþáîãî ïðàâîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà ìàòðèöû A, ò.å. íåíóëå-âîãî âåêòîðà e ∈ Cnx , óäîâëåòâîðÿþùåãî Ae = λe ïðè íåêîòîðîìλ ∈ C, âûïîëíåíî Ce 6= 0.

Ñèñòåìà (D.2) èëè, ýêâèâàëåíòíî, ïàðà (A, C) äåòåêòèðóåìà òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ ýêâèâàëåíòíûõ óñëî-âèé:

263

1.rank (sI − AT CT ) = nx , Re s ≥ 0;

2. ñóùåñòâóåò ìàòðèöà Θ òàêàÿ, ÷òî ìàòðèöà çàìêíóòîé ñèñòåìû A +ΘC ãóðâèöåâà;

3. âñå íåíàáëþäàåìûå ìîäû ÿâëÿþòñÿ óñòîé÷èâûìè, ò.å. èç ñîâìåñò-íîãî âûïîëíåíèÿ óñëîâèé Ae = λe è Ce = 0 ñëåäóåò, ÷òî Reλ < 0.

264 Ïðèëîæåíèå D. Ñòðóêòóðíûå ñèñòåìíûå ñâîéñòâà

Ïðèëîæåíèå E

Ðàñøèðåííàÿ ëåììà Ëÿïóíîâà

Ëåììà E.1 Ðàññìîòðèì ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå Ëÿïóíîâà

AT X + XA + CT C = 0 . (E.1)Òîãäà

(i) åñëè A ãóðâèöåâà, òî óðàâíåíèå (E.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøå-íèå ñèììåòðè÷åñêóþ è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííóþ ìàòðèöóX = XT ≥ 0;

(ii) åñëè â äîïîëíåíèå ê ïóíêòó (i) ïàðà (A, C) íàáëþäàåìà, òî ðåøåíèåÿâëÿåòñÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûì X =XT > 0;

(iii) åñëè ïàðà (A, C) äåòåêòèðóåìà è óðàâíåíèå (E.1) èìååò ñèììåò-ðè÷åñêîå è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîå ðåøåíèå, òî ìàòðèöà Aãóðâèöåâà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóíêòû (i) è (ii). Åñëè A ãóðâèöåâà, òî ìàòðèöà

X =

∞∫0

eAT tCT CeAt dt (E.2)

ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé. Íåïîñðåäñòâåííàÿ åå ïîäñòàíîâ-êà â (E.1) ïîêàçûâàåò, ÷òî îíà óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óðàâíåíèþ. Åñëèïðåäïîëîæèòü, ÷òî óðàâíåíèå (E.1) èìååò åùå äðóãîå ðåøåíèå X, òî

AT (X − X) + (X − X)A = 0 .

Òàê êàê A ãóðâèöåâà, òî ñîãëàñíî [22] îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî X = X.

265

266 Ïðèëîæåíèå E. Ðàñøèðåííàÿ ëåììà Ëÿïóíîâà

Åñëè ïàðà (A, C) íàáëþäàåìà, òî ìàòðèöà (E.2) áóäåò ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåííîé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãîx0 6= 0 âûïîëíÿåòñÿ Xx0 = 0, òîãäà

xT0 Xx0 =

∞∫0

xT0 eAT tCT CeAtx0 dt =

∞∫0

yT y dt ,

ãäå y âûõîä ñèñòåìûx = Ax ,y = Cx

ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì x(0) = x0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî y(t) ≡ 0, ÷òî ïðîòè-âîðå÷èò íàáëþäàåìîñòè ýòîé ñèñòåìû.

Ïóíêò (iii). Ïóñòü X0 = XT0 ≥ 0 íåêîòîðîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (E.1).

Äîïóñòèì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî ìàòðèöà A íåóñòîé÷èâàÿ, ò.å. Ax0 = λx0

äëÿ íåêîòîðîãî x0 6= 0 è Reλ ≥ 0. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ ñëåäóåò0 = x∗0A

T X0x0 + x∗0X0Ax0 + x∗0CT Cx0 = 2(Reλ)x∗0X0x0 + x∗0C

T Cx0 .

Òàê êàê ñóììà íåîòðèöàòåëüíûõ ñëàãàåìûõ ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íîëü,òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî êàæäîå ñëàãàåìîå íóëåâîå, òî îòñþäà ñëåäóåòCx0 = 0. Íî ýòîò ôàêò ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî Ax0 = λx0, x0 6= 0 è Reλ ≥ 0,ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ î äåòåêòèðóåìîñòè ïàðû (A, C).

Ëåììà E.2 Ðàññìîòðèì ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå Ëÿïóíîâà

AT XA−X + CT C = 0 . (E.3)Òîãäà

(i) åñëè A èìååò âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âíóòðè åäèíè÷íîãî êðó-ãà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, òî óðàâíåíèå (E.3) èìååò åäèíñòâåí-íîå ðåøåíèå ñèììåòðè÷åñêóþ è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííóþìàòðèöó X = XT ≥ 0;

(ii) åñëè â äîïîëíåíèå ê ïóíêòó (i) ïàðà (A, C) íàáëþäàåìà, òî ðåøåíèåÿâëÿåòñÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûì X =XT > 0;

(iii) åñëè ïàðà (A, C) äåòåêòèðóåìà è óðàâíåíèå (E.3) èìååò ñèììåò-ðè÷åñêîå è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîå ðåøåíèå, òî ìàòðèöà Aèìååò âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà êîì-ïëåêñíîé ïëîñêîñòè.

267

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóíêòû (i) è (ii). Åñëè âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿìàòðèöû A ëåæàò âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà, òî ìàòðèöà

X =∞∑

t=0

(At)T CT CAt (E.4)

ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé. Íåïîñðåäñòâåííàÿ åå ïîäñòàíîâ-êà â (E.3) ïîêàçûâàåò, ÷òî îíà óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óðàâíåíèþ. Åñëèïðåäïîëîæèòü, ÷òî óðàâíåíèå (E.3) èìååò åùå äðóãîå ðåøåíèå X, òî

AT (X − X)A− (X − X) = 0 ,

è â ñèëó óñòîé÷èâîñòè A îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî X = X.Åñëè ïàðà (A, C) íàáëþäàåìà, òî ìàòðèöà (E.4) áóäåò ïîëîæèòåëüíî

îïðåäåëåííîé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãîx0 6= 0 âûïîëíÿåòñÿ Xx0 = 0, òîãäà

xT0 Xx0 =

∞∑t=0

xT0 (At)T CT CAtx0 =

∞∑t=0

yTt yt ,

ãäå yt âûõîä ñèñòåìûxt+1 = Axt ,

yt = Cxt

ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì x0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî yt ≡ 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èòíàáëþäàåìîñòè ýòîé ñèñòåìû.

Ïóíêò (iii). Ïóñòü X0 = XT0 ≥ 0 íåêîòîðîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (E.3).

Äîïóñòèì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî ìàòðèöà A íåóñòîé÷èâàÿ, ò.å. Ax0 = λx0

äëÿ íåêîòîðîãî x0 6= 0 è |λ| ≥ 1. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ ñëåäóåò0 = x∗0A

T X0Ax0 − x∗0X0x0 + x∗0CT Cx0 = (|λ|2 − 1)x∗0X0x0 + x∗0C

T Cx0 .

Òàê êàê ñóììà íåîòðèöàòåëüíûõ ñëàãàåìûõ ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íîëü,òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî êàæäîå ñëàãàåìîå íóëåâîå, òî îòñþäà ñëåäóåòCx0 = 0. Íî ýòîò ôàêò ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî Ax0 = λx0, x0 6= 0 è |λ| ≥ 1,ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ î äåòåêòèðóåìîñòè ïàðû (A, C).

268 Ïðèëîæåíèå E. Ðàñøèðåííàÿ ëåììà Ëÿïóíîâà

Ïðèëîæåíèå F

Êðîíåêåðîâî ïðîèçâåäåíèå

Êðîíåêåðîâûì (ïðÿìûì èëè òåíçîðíûì) ïðîèçâåäåíèåì (m×n)-ìàòðèöûA íà (p× q)-ìàòðèöó B íàçûâàåòñÿ (mp× nq)-ìàòðèöà

A⊗B =

a11B a12B · · · a1nB

a21B a22B · · · a2nB

· · · · · · · · · · · ·

am1B am2B · · · amnB

.

Ïåðå÷èñëèì íåñêîëüêî ýëåìåíòàðíûõ ñâîéñòâ êðîíåêåðîâà ïðîèçâåäå-íèÿ:(i) åñëè ïðîèçâåäåíèÿ AC è BD ñóùåñòâóþò, òî

(A⊗B)(C ⊗D) = AC ⊗BD ;

(ii) (A⊗B)T = AT ⊗BT ;(iii) åñëè A è B êîìïëåêñíûå ìàòðèöû, òî

A⊗B = A⊗ B , (A⊗B)∗ = A∗ ⊗B∗ ;

(iv) åñëè A è B íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû, òî ìàòðèöà A ⊗ B òàêæåíåâûðîæäåííàÿ è

(A⊗B)−1 = A−1 ⊗B−1 .

269

270 Ïðèëîæåíèå F. Êðîíåêåðîâî ïðîèçâåäåíèå

Ïðèëîæåíèå G

S-ïðîöåäóðà

Â òåîðèè óïðàâëåíèÿ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ïðèåì, íàçâàííûé â [1] S-ïðîöåäóðîé.Ðàññìîòðèì íåðàâåíñòâî

F (x) < 0 , x 6= 0 (G.1)äëÿ âñåõ x ∈ Rnx , óäîâëåòâîðÿþùèõ ñèñòåìå íåðàâåíñòâ

Gi(x) ≤ 0 , i = 1, . . . ,m , (G.2)ãäå F (x) è âñå Gi(x) êâàäðàòè÷íûå ôîðìû. Ñîñòàâèì êâàäðàòè÷íóþôîðìó

S(x) = F (x)− τ1G1(x)− . . .− τmGm(x)

è ðàññìîòðèì íåðàâåíñòâîS(x) < 0 , x 6= 0 (G.3)

ïðè íåêîòîðûõ τi ≥ 0. Çàìåíà íåðàâåíñòâ (G.1) è (G.2) íåðàâåíñòâîì(G.3) íàçûâàåòñÿ S-ïðîöåäóðîé.

Î÷åâèäíî, ÷òî èç (G.3) ñëåäóåò âûïîëíåíèå (G.1) ïðè óñëîâèè (G.2).Åñëè m = 1, òî ïðè óñëîâèè, ÷òî cóùåñòâóåò x0, äëÿ êîòîðîãî G1(x0) < 0,âåðíî è îáðàòíîå, ò.å. âûïîëíåíèå (G.1) ïðè óñëîâèè (G.2) âëå÷åò ñóùå-ñòâîâàíèå τ1 > 0, ïðè êîòîðîì

F (x)− τ1G1(x) < 0 , x 6= 0 .

Â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî S-ïðîöåäóðà íåóùåðáíà äëÿ îäíîãî îãðàíè-÷åíèÿ [41]. Çàìåòèì, ÷òî áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ïîëîæèòüτ1 = 1 (â ñàìîì äåëå, äîñòàòî÷íî óìíîæèòü ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî íàτ−11 è ó÷åñòü, ÷òî íåðàâåíñòâà F (x) < 0 è τ−1

1 F (x) < 0 ýêâèâàëåíòíû).Ïðè m ≥ 2 â îáùåì ñëó÷àå S-ïðîöåäóðà óùåðáíà, ò.å. èç âûïîëíåíèÿ

(G.1) ïðè óñëîâèè (G.2) íå ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå ïàðàìåòðûτi ≥ 0, i = 1, . . . ,m, ÷òî ñïðàâåäëèâî (G.3).

271

272 Ïðèëîæåíèå G. S-ïðîöåäóðà

Ïðèëîæåíèå H

×àñòîòíàÿ òåîðåìà

×àñòîòíàÿ òåîðåìà [42] ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ýêâèâàëåíòíîñòü ìåæäóìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâîì ñïåöèàëüíîãî âèäà, ÷àñòî âñòðå÷àþùèìñÿ âòåîðèè óïðàâëåíèÿ, è ÷àñòîòíûì óñëîâèåì, âûðàæåííûì â òåðìèíàõ ïå-ðåäàòî÷íîé ìàòðèöû íåïðåðûâíîãî èëè äèñêðåòíîãî îáúåêòà.

Ëåììà H.1 Ïóñòü ïàðà (A, B) ñòàáèëèçèðóåìà. Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿñèììåòðè÷åñêîé ìàòðèöû X, óäîâëåòâîðÿþùåé ñîîòíîøåíèþ

2Rex∗X(Ax + Bv)− L(x, v) < 0 , ∀x, v, |x|+ |v| 6= 0 (H.1)c çàäàííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé L(x, v) ïåðåìåííûõ x, v, íåîáõîäèìî èäîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ âñåõ v 6= 0 âûïîëíÿëîñü ñëåäóþùåå ÷àñòîòíîåóñëîâèå

L[(j ωI − A)−1Bv, v] > 0 , ∀ω ∈ (−∞,∞) . (H.2)Åñëè

L(x, v) = (xT , vT ) L

x

v

, L =

L11 L12

LT12 L22

,

òî íåðàâåíñòâî (H.1) ïðèìåò âèä ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà AT X + XA− L11 XB − L12

BT X − LT12 −L22

< 0 , (H.3)

à ÷àñòîòíîå óñëîâèå (H.2) çàïèøåòñÿ â âèäå

(−j ωI − A)−1B

I

T L11 L12

LT12 L22

(j ωI − A)−1B

I

> 0 . (H.4)

273

274 Ïðèëîæåíèå H. ×àñòîòíàÿ òåîðåìà

Ëåììà H.2 Ïóñòü ïàðà (A, B) ñòàáèëèçèðóåìà. Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿñèììåòðè÷åñêîé ìàòðèöû X, óäîâëåòâîðÿþùåé ñîîòíîøåíèþ

(Ax+Bv)∗X(Ax+Bv)−xT Xx−L(x, v) < 0 , ∀x, v, |x|+|v| 6= 0 (H.5)c çàäàííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé L(x, v) ïåðåìåííûõ x, v, íåîáõîäèìî èäîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ âñåõ v 6= 0 âûïîëíÿëîñü ñëåäóþùåå ÷àñòîòíîåóñëîâèå

L[(ej ϕI − A)−1Bv, v] > 0 , ∀ϕ ∈ [0, 2π) . (H.6)Åñëè

L(x, v) = (xT , vT ) L

x

v

, L =

L11 L12

LT12 L22

,

òî íåðàâåíñòâî (H.5) ïðèìåò âèä ëèíåéíîãî ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà AT XA−X − L11 AT XB − L12

BT XA− LT12 BT XB − L22

< 0 , (H.7)

à ÷àñòîòíîå óñëîâèå (H.6) çàïèøåòñÿ â âèäå (e−j ϕI − A)−1B

I

T L11 L12

LT12 L22

(ej ϕI − A)−1B

I

> 0 . (H.8)

Ëèòåðàòóðà

[1] Àéçåðìàí Ì.À., Ãàíòìàõåð Ô.Ð. Àáñîëþòíàÿ óñòîé÷èâîñòü ðåãóëè-ðóåìûõ ñèñòåì. Ì.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1963.

[2] Àíäðååâ Þ.Í. Óïðàâëåíèå êîíå÷íîìåðíûìè ëèíåéíûìè îáúåêòàìè.Ì.: Íàóêà, 1976.

[3] Áàëàíäèí Ä.Â. Îá îïòèìàëüíîì ãàøåíèè êîëåáàíèé óïðóãèõ îáúåê-òîâ// Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1995. Ò. 59. Âûï. 3. Ñ.464-474.

[4] Áàëàíäèí Ä.Â., Êîãàí Ì.Ì. Ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà â çà-äà÷å ðîáàñòíîãî H∞-óïðàâëåíèÿ ïî âûõîäó// ÄÀÍ. 2004. Ò. 396. 6. Ñ. 759-761.

[5] Áàëàíäèí Ä.Â., Êîãàí Ì.Ì. Îïòèìàëüíîå ãàøåíèå êîëåáàíèé âû-ñîòíûõ ñîîðóæåíèé ïðè ñåéñìè÷åñêèõ âîçäåéñòâèÿõ// Èçâåñòèÿ ÀÍ.Òåîðèÿ è ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ. 2004. 5. Ñ. 60-66.

[6] Áàëàíäèí Ä.Â., Êîãàí Ì.Ì., Ôåäþêîâ À.À. Ïðåäåëüíûå âîçìîæíî-ñòè ãàøåíèÿ êîëåáàíèé âûñîòíûõ ñîîðóæåíèé// Ïðîáëåìû ìàøè-íîñòðîåíèÿ è íàäåæíîñòè ìàøèí. 2004. 5. Ñ. 99-103.

[7] Áàëàíäèí Ä.Â., Êîãàí Ì.Ì. Ñèíòåç îïòèìàëüíîãî ðîáàñòíîãî H∞-óïðàâëåíèÿ ìåòîäàìè âûïóêëîé îïòèìèçàöèè // Àâòîìàòèêà è òå-ëåìåõàíèêà. 2004. 7. Ñ. 71-81.

[8] Áàëàíäèí Ä.Â., Êîãàí Ì.Ì. Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ëÿïóíî-âà â ñèíòåçå äèíàìè÷åñêèõ ðåãóëÿòîðîâ çàäàííîãî ïîðÿäêà// Äèô-ôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 2004. Ò. 40. 11. Ñ. 1457-1461.

[9] Áàëàíäèí Ä.Â., Êîãàí Ì.Ì. Ñèíòåç ðåãóëÿòîðîâ íà îñíîâå ðåøåíèÿëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ è àëãîðèòìà ïîèñêà âçàèìíîîáðàò-íûõ ìàòðèö// Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 2005. 1. Ñ. 82-99.

275

276 Ëèòåðàòóðà

[10] Áðóñèí Â.À., Êîãàí Ì.Ì. Ñèíòåç ðîáàñòíûõ ðåãóëÿòîðîâ ïî âûõîäóíà îñíîâå ÷àñòîòíûõ óñëîâèé// Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 2002. 4. Ñ. 133-146.

[11] Áðóñèí Â.À. Ñóùåñòâîâàíèå è ïðåäåëüíûå âîçìîæíîñòè öåíòðàëü-íûõ ðåãóëÿòîðîâ â çàäà÷àõ ñ H∞-êðèòåðèÿìè// Àâòîìàòèêà è òåëå-ìåõàíèêà. 2002. 5. Ñ. 97-107.

[12] Ãàíòìàõåð Ô.Ð. Òåîðèÿ ìàòðèö. Ì.: Íàóêà, 1987.[13] Ãåëèã À.Õ., Ëåîíîâ Ã.À., ßêóáîâè÷ Â.À. Óñòîé÷èâîñòü íåëèíåéíûõ

ñèñòåì ñ íååäèíñòâåííûì ñîñòîÿíèåì ðàâíîâåñèÿ. Ì.: Íàóêà, 1978.[14] Êàëìàí Ð., Ôàëá Ï., Àðáèá Ì. Î÷åðêè ïî ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè

ñèñòåì. Ì.: Ìèð, 1971.[15] Êâàêåðíààê Õ., Ñèâàí Ð. Ëèíåéíûå îïòèìàëüíûå ñèñòåìû óïðàâëå-

íèÿ. Ì.: Ìèð, 1977.[16] Êîãàí Ì.Ì. Ðåøåíèå îáðàòíûõ çàäà÷ î íàèõóäøåì âîçìóùåíèè è

ìèíèìàêñíîì óïðàâëåíèè äëÿ ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ ñèñòåì // Àâ-òîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 1997. 4. Ñ. 22-30.

[17] Êîãàí Ì.Ì. Òåîðåòèêî-èãðîâîé ïîäõîä ê ñèíòåçó ðîáàñòíûõ ðåãóëÿ-òîðîâ// Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 1998. 5. Ñ. 142-151.

[18] Êîãàí Ì.Ì. Ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íàÿ äèíàìè÷åñêàÿ èãðà â óñëîâèÿõíåîïðåäåëåííîñòè è ñèíòåç ðîáàñòíûõ H∞-ñóáîïòèìàëüíûõ ðåãóëÿ-òîðîâ// Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 1999. 3. Ñ. 131-143.

[19] Êîãàí Ì.Ì. Ìèíèìàêñíûé ïîäõîä ê ñèíòåçó àáñîëþòíî ñòàáèëèçè-ðóþùèõ ðåãóëÿòîðîâ äëÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì Ëóðüå// Àâòîìàòèêàè òåëåìåõàíèêà. 1999. 5. Ñ. 78-91.

[20] Êîãàí Ì.Ì. ×àñòîòíîå óñëîâèå îáîáùåííîé âîçâðàòíîé ðàçíîñòè âñèíòåçå H∞-ñóáîïòèìàëüíûõ, äåöåíòðàëèçîâàííûõ è ðîáàñòíûõ ðå-ãóëÿòîðîâ// Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 2001. 6. Ñ. 95-110.

[21] Ëóðüå À.È. Íåêîòîðûå íåëèíåéíûå çàäà÷è òåîðèè àâòîìàòè÷åñêîãîðåãóëèðîâàíèÿ. Ì.: Ãîñòåõèçäàò, 1951.

[22] Ëÿïóíîâ À.Ì. Îáùàÿ çàäà÷à îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. Ë.-Ì.: ÎÍ-ÒÈ, 1935.


[23] Ìåéëàêñ À.Ì. Î ñòàáèëèçàöèè ëèíåéíûõ óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì âóñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè// Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 1975. 2. Ñ. 182-184.

[24] ÍåéìàðêÞ.È. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû è óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû. Ì.:Íàóêà, 1978.

[25] Íåéìàðê Þ.È. Ðîáàñòíàÿ óñòîé÷èâîñòü è D-ðàçáèåíèå// Àâòîìàòè-êà è òåëåìåõàíèêà. 1992. 7. Ñ. 10-18.

[26] Ïàêøèí Ï.Â., Ðÿáîâ À.Â. Ñèíòåç óïðàâëåíèÿ ñî ñòàòè÷åñêîé îáðàò-íîé ñâÿçüþ ïî âûõîäó äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì// Àâòîìàòèêà è òåëå-ìåõàíèêà. 2004. 4. Ñ. 61-69.

[27] Ïîëÿê Á.Ò., Ùåðáàêîâ Ï.Ñ. Ðîáàñòíàÿ óñòîé÷èâîñòü è óïðàâëåíèå.Ì.: Íàóêà, 2002.

[28] Ïÿòíèöêèé Å.Ñ., Ñêîðîäèíñêèé Â.È. ×èñëåííûå ìåòîäû ïîñòðîåíèÿôóíêöèé Ëÿïóíîâà è êðèòåðèåâ àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè â ôîðìå÷èñëåííûõ ïðîöåäóð// Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 1983. 11. Ñ.52-63.

[29] Ïÿòíèöêèé Å.Ñ. Èçáðàííûå òðóäû: Â 3 ò. Òîì 1. Òåîðèÿ óïðàâëåíèÿ.Ì.: Ôèçìàòëèò, 2004.

[30] Ðàïîïîðò Ë.Á. Ðàñøèðåíèå S-ïðîöåäóðû è àíàëèç ìíîãîìåðíûõ ñè-ñòåì óïðàâëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ// Àâ-òîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 2005. 1. Ñ. 31-42.

[31] Ñðàãîâè÷ Â.Ã. Àäàïòèâíîå óïðàâëåíèå. Ì.: Íàóêà, 1981.[32] Õàðèòîíîâ Â.Ë. Àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ñåìåéñòâà ñèñòåì

ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé// Äèôôåðåíöèàëüíûåóðàâíåíèÿ. 1978. Ò.14. Âûï. 11. Ñ. 2086-2088.

[33] Õîðí Ð., Äæîíñîí ×. Ìàòðè÷íûé àíàëèç. Ì.: Ìèð, 1989.[34] Ôîìèí Â.Í., Ôðàäêîâ À.Ë., ßêóáîâè÷ Â.À. Àäàïòèâíîå óïðàâëåíèå

äèíàìè÷åñêèìè îáúåêòàìè. Ì.: Íàóêà, 1981.[35] Ôðàäêîâ À.Ë. Àäàïòèâíîå óïðàâëåíèå â ñëîæíûõ ñèñòåìàõ. Ì.: Íà-

óêà, 1990.[36] Öûïêèí ß.Ç. Àäàïòàöèÿ è îáó÷åíèå â àâòîìàòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Ì.:

Íàóêà, 1968.


[37] Öûïêèí ß.Ç., Ïîëÿê Á.Ò. Ðîáàñòíàÿ óñòîé÷èâîñòü ëèíåéíûõ ñèñòåì// Èòîãè íàóêè è òåõíèêè, ñåð. Òåõíè÷. êèáåðí. Ò. 32. Ì.: ÂÈÍÈÒÈ,1991. Ñ. 3-31.

[38] ×àéêîâñêèé Ì.Ì., Êóðäþêîâ À.Ï. Àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ðèê-êàòè è ëèíåéíûå ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà äëÿ ñèñòåì äèñêðåòíîãîâðåìåíè. Ì.: Èíñòèòóò ïðîáëåì óïðàâëåíèÿ ÐÀÍ, 2005.

[39] ×óðèëîâ À.Í., Ãåññåí À.Â. Èññëåäîâàíèå ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðà-âåíñòâ. Ïóòåâîäèòåëü ïî ïðîãðàììíûì ïàêåòàì. ÑÏá.: Èçä-âî Ñ.-Ïåòåðá. óí-òà, 2004.

[40] ßêóáîâè÷ Â.À. Ðåøåíèå íåêîòîðûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ, âñòðå-÷àþùèõñÿ â òåîðèè àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ// ÄÀÍ ÑÑÑÐ.1962. Ò. 143. 6. Ñ. 1304-1307.

[41] ßêóáîâè÷ Â.À. S-ïðîöåäóðà â íåëèíåéíîé òåîðèè ðåãóëèðîâàíèÿ//Âåñòíèê ËÃÓ, ñåð. 1. 1971. Âûï. 1. Ñ. 62-77.

[42] ßêóáîâè÷ Â.À. ×àñòîòíàÿ òåîðåìà â òåîðèè óïðàâëåíèÿ// Ñèáèð-ñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë. 1973. Ò. 14. 2. Ñ. 384-420.

[43] Apkarian P., Gahinet P. A convex characterization of gain-scheduledH∞ controllers// IEEE Trans. Automat. Control. 1995. V. 40. No. 5. P.853-864.

[44] Apkarian P., Tuan H.D. Robust control via concave minimization localand global algorithms// IEEE Trans. Automat. Control. 2000. V. 45.No. 2. P. 299-305.

[45] Balandin D.V., Bolotnik N.N., Pilkey W.D. Optimal Protection fromShock, Impact, and Vibration. Amsterdam: Gordon and Breach SciencePublishers, 2001.

[46] Balandin D.V., Kogan M.M. An optimization algorithm for checkingfeasibility of robust H∞-control problem for linear time-varyinguncertain systems// International Journal of Control. 2004. V. 77. No.5. P. 498-503.

[47] Balandin D.V., Kogan M.M. LMI-based optimal attenuation of multi-storey building oscillations under seismic excitations// StructuralControl and Health Monitoring. 2005. V. 12. No. 2. P. 213-224.


[48] Balandin D.V., Kogan M.M. Attenuating oscillations in uncertaindynamic systems// Journal of Engineering Mathematics. 2006. V. 55.No. 4. P. 299-312.

[49] Barmish B.R. Necessary and sucient conditions for quadraticstabilizability of an uncertain linear system// J. Opt. Theory Applic.1985. V. 46. P. 399-405.

[50] Ben-Tal A., Nemirovski A. Lectures on Modern Convex Optimization.Technion - Israel Institute of Technology. 2000.

[51] Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear MatrixInequalities in System and Control Theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

[52] Chilali M., Gahinet P. H∞ design with pole placement constraints: anLMI approach// IEEE Trans. Automat. Control. 1996. V. 41. No. 3. P.358-367.

[53] Chilali M., Gahinet P., Apkarian P. Robust pole placement in LMIregions// IEEE Trans. Automat. Control. 1999. V. 44. No. 12. P. 2257-2269.

[54] Colaneri P., Geromel J.C., Locatelli A. Control Theory and Design. SanDiego: Academic Press, 1997.

[55] Doyle J. Analysis of feedback systems with structured uncertainties//IEE Proc. 1982. Pt. D. V. 129. P. 242-250.

[56] Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. State spacesolutions to standard H2 and H∞ control problems// IEEE Trans.Automat. Control. 1989. V. 34. No. 8. P. 831-847.

[57] Doyle J., Packard A., Zhou K. Review of LFTs, LMIs, and µ//Proceedings of the 30th Conference on Decision and Control. Brighton,England. 1991. P. 1227-1232.

[58] Gahinet P., Apkarian P. A linear matrix inequality approach to H∞control// International Journal of Robust and Nonlinear Control. 1994.Vol. 4. P. 421-448.

[59] Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J., Chilali M. The LMI ControlToolbox. For Use with Matlab. User's Guide. Natick, MA: TheMathWorks, Inc., 1995.


[60] El Ghaoui L, Oustry F, and Rami MA. A cone complementaritylinearization algorithm for static output-feedback and relatedproblems// IEEE Trans. Automat. Control. 1997. V. 42. No. 8. P. 1171-1176.

[61] Haddad W.M., Corrado J.R. Robust non-fragile dynamic controllers forsystems with parametric uncertainty and controller gain variations//Proc. of American Control Conf., Philadelphia. 1998. P. 2837-2841.

[62] Iwasaki T., Skelton R.E. All controllers for the general H∞ controlproblem: LMI existence conditions and state space formulas//Automatica. 1994. Vol.30. No. 8. P. 1307-1317.

[63] Iwasaki T., Skelton R. E., Geromel J. C. Linear quadratic suboptimalcontrol with static output feedback// Systems and Control Letters.1994. V. 23. No. 6. P. 421-430.

[64] Iwasaki T., Skelton R.E. The XY-centering algorithm for the dual LMIproblem: a new approach to xed order control design// InternationalJournal of Control. 1995. V. 62. No. 6. P. 1257-1272.

[65] Iwasaki T. The dual iteration for xed order control// IEEE Trans.Automat. Control. 1999. V. 44. No. 4. P. 783-788.

[66] Kalman R.E. When is a linear control system optimal?// Trans. ASME.Part D. Journal of Basic Engineering. 1964. V. 86. P. 51-60.

[67] Keel L.H., Bhattacharyya S.P. Robust, fragile, or optimal?// IEEETrans. Automat. Control. 1997. V. 42. No. 8. P. 1098-1105.

[68] Kogan M.M. A local approach to solving the inverse minimax controlproblem for discrete-time systems// International Journal of Control.1997. V. 68. No. 6. P. 1437-1448.

[69] Kogan M.M. Solution to the inverse problem of minimax control andworst case disturbance for linear continuous-time systems// IEEE Trans.Automat. Control. 1998. V. 43. No. 5. P. 670-674.

[70] Luenberger D.G. An introduction to observers// IEEE Trans. Automat.Control. 1971. V. 16. No. 6. P. 596-602.

[71] Nesterov Y.E., Nemirovski A. Interior-Point Polynomial Algorithms inConvex Programming. Philadelphia: SIAM, 1994.


[72] Nishimura H., Kojima A. Seismic isolation control for a buildinglikestructure// IEEE Control Systems. 1999. V. 19. P. 38-44.

[73] de Oliveira M.C. A robust version of the elimination lemma// Preprintsof the 16th IFAC World Congress. Prague, 2005.

[74] Packard A., Zhou K., Pandey P., Becker G. A collectiom of robust controlproblems leading to LMI's// Proceedings of the 30th Conference onDecision and Control. Brighton, England. 1991. P. 1245-1250.

[75] Petersen I.R., Hollot C.V. A Riccati equation approach to thestabilization of uncertain linear systems// Automatica. 1986. V. 22. N4. P. 397-411.

[76] Safonov M.G. Stability and robustness of multivariable feedbacksystems. Cambridge, MA: MIT Press, 1980.

[77] Scherer C., Weiland S. Linear Matrix Inequalities in Control. Version3.0. 2000. http://www.cs.ele.tue.nl/SWeiland/lmi.html.

[78] Spencer B.F, Sain M.K. Controlling buildings: a new frontier infeedback// IEEE Control Systems. 1997. V. 17. P. 19-35.

[79] Tuan H.D., Apkarian P., Hosoe S., Tuy H. D.C. optimizationapproach to robust control: feasibility problems// International Journalof Control. 2000. No. 73. P. 89-104.

[80] Yamada Y., Hara S. Global optimization for H∞ control with constantdiagonal scaling// IEEE Trans. Automat. Control. 1998. V. 43. No. 2.P. 191-203.

[81] Yang G.H., Wang J.L. Nonfragile H∞ output feedback controller designfor linear systems// Trans. of ASME. Journal of Dynamic Systems,Measurement, and Control. 2003. V. 125. P. 117-123.

Balandin Kogan LMN

Documents

Transcript of Balandin Kogan LMN