Bai Tap Xac Suat

Môc lôc

1 Çc kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt x¸c suÊt vµ qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn 3

1.1. Çc tÝnh chÊt cña hµm ph©n phèi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. §é ®o h÷u h¹n lµ mét hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. §é ®o h÷u h¹n lµ mét hµm liªn tôc bªn tr¸i . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2. §é ®o h÷u h¹n lµ mét hµm liªn tôc bªn ph¶i . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. §Þnh lý Radon-Nicodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Çc tÝnh chÊt cña kú väng cã ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Quan hÖ gi÷a çc kiÓu héi tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.1. NÕu ξn héi tô hÇu ch¾c ch¾n vÒ ξ th× ξn héi tô theo x¸c suÊt vÒ ξ . . 9

1.5.2. §Þnh lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.3. §Þnh lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.4. NÕu ξn héi tô theo b×nh ph¬ng trung b×nh vÒ ξ th× ξn héi tô theo x¸c

suÊt vÒ ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.5. NÕu ξn héi tô theo x¸c suÊt vÒ ξ th× ξn héi tô yÕu vÒ ξ . . . . . . . 10

1.5.6. Tiªu chuÈn Cauchy vÒ sù héi tô theo x¸c suÊt . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.7. Tiªu chuÈn Cauchy vÒ sù héi tô h.c.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. §Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu (B.Levy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7. §Þnh lý: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8. Bæ ®Ò Fatou: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9. §Þnh lý héi tô bÞ chÆn (Lebesgue) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.10.Chøng minh çc bÊt ®¼ng thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1

MÔC LÔC 2

1.10.1.BÊt ®¼ng thøc Holder: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.10.2.BÊt ®¼ng thøc Minkovski: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10.3.BÊt ®¼ng thøc Jensen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.10.4.BÊt ®¼ng thøc Chebyev: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.11.Bæ ®Ò Borel-Cantelli (luËt 0-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.12.§Þnh lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.13.§Þnh lý 1.10 (Tiªu chuÈn ®ñ Kolmogorov cho tÝnh liªn tôc) . . . . . . . . . . . 20

1.14.NÕu ξtt∈T lµ qu¸ tr×nh gia sè ®éc lËp th× ξtt∈T lµ qu¸ tr×nh Markov . . . . . 21

1.15.Chøng minh çc tÝnh chÊt cña thêi ®iÓm Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.16.VÝ dô vÒ thêi ®iÓm Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Martingale trªn kho¶ng thêi gian rêi r¹c vµ liªn tôc 24

2.1. Mét sè vÝ dô vÒ Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. §Þnh lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. §Þnh lý 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. HÖ qu¶ 2.5 (bÊt ®¼ng thøc Kolmogorov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5. HÖ qu¶ 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6. HÖ qu¶ 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7. Mét sè bµi tËp trang 146 trong s¸ch Çc m« h×nh x¸c suÊt vµ øng dông . . . . . 29

3 Qu¸ tr×nh Wiener - TÝch ph©n ngÉu nhiªn Ito - Ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn 31

3.1. Mét sè bµi tËp trang 165 trong s¸ch Çc m« h×nh x¸c suÊt vµ øng dông . . . . . 31

3.2. Gi¶i ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Ch¬ng 1

C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt x¸csuÊt vµ qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn

1.1. C¸c tÝnh chÊt cña hµm ph©n phèi

a) Kh«ng gi¶m: Fξ(x1) ≤ Fξ(x2), víi x1 ≤ x2.

b) Liªn tôc tr¸i trªn R.

c) Fξ(−∞) = limx→−∞

Fξ(x) = 0, Fξ(+∞) = limx→+∞

Fξ(x) = 1

Chøng minh.

a) Tríc hÕt ta chøng minh tÝnh chÊt: NÕu A ⊂ B th× P (A) ≤ P (B)

ThËt vËy, Ta cã: B = A ∪ (B \ A). Do ®ã: P (B) = P (A) + P (B \ A) ≥ P (A)

Mµ râ rµng víi x1 ≤ x2 th× ω ∈ Ω : ξ(ω) < x1 ⊂ ω ∈ Ω : ξ(ω) < x2

Do ®ã: Fξ(x1) ≤ Fξ(x2), víi x1 ≤ x2.

b) Víi x0 ∈ R tïy ý ta ph¶i chøng minh limx→x−0

Fξ(x) = Fξ(x0)

Ta viÕt l¹i Fξ(x) = P (ξ−1(−∞, x)) = Pξ−1(−∞, x)

LÊy d·y xn tháa x1 < x2 < · · · < xn < · · · < x0 vµ xn x0

Ta thÊy Bn = (−∞, xn) B0 = (−∞, x0)

V× Pξ−1 lµ ®é ®o ¶nh vµ ®é ®o lµ 1 hµm liªn tôc nªn Fξ(xn) = Pξ−1(Bn) Pξ−1(B0) =

F (x0)

3

Ch¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN 4

c) LÊy d·y xn tháa x1 > x2 > · · · > xn > · · · vµ xn −∞

Ta thÊy Cn = (−∞, xn) ∅

Do ®ã Pξ−1(Cn) Pξ−1(∅) = 0

Tøc lµ: Fξ(−∞) = limx→−∞

Fξ(x) = 0

T¬ng tù lÊy d·y xn tháa x1 < x2 < · · · < xn < · · · vµ xn +∞

Th× Dn = (−∞, xn) (−∞, +∞)

Do ®ã: Pξ−1(Dn) Pξ−1(−∞, +∞) = 1

Tøc lµ: Fξ(+∞) = limx→+∞

Fξ(x) = 1

1.2. §é ®o h÷u h¹n lµ mét hµm liªn tôc

Gi¶ sö µ : F → R lµ ®é ®o h÷u h¹n

1.2.1. §é ®o h÷u h¹n lµ mét hµm liªn tôc bªn tr¸i

Chøng minh. Gi¶ sö cã d·y An ⊂ F tháa A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · vµ An A

§Æt A0 = ∅

Bn = An \ An−1, n = 1, 2, . . .

Ta cã: Bi ∩Bj = ∅,∀i 6= j∞∑

n=1

Bn =∞⋃

n=1

An = A

⇒ µ(A) = µ(∞∑

n=1

Bn) =∞∑

n=1

µ(Bn)

= limn→∞

n∑k=1

µ(Bk)

= limn→∞

µ( n∑

k=1

Bk

)= lim

n→∞µ(An)

Tr¬ng Ngäc H¶i - K16


1.2.2. §é ®o h÷u h¹n lµ mét hµm liªn tôc bªn ph¶i

Chøng minh. Gi¶ sö A1 ⊃ A2 · · · ⊃ An ⊃ · · · vµ An A

Ta cã: A =∞⋂

n=1

An =⋂

k≥n

Ak

An =⋂

k≥n

Ak

⋃k≥n

(AkACk+1)

⇒ µ(An) = µ(⋂k≥n

Ak) +∞∑

k=n

µ(AkACk+1)

= µ(A) +∞∑

k=n

µ(AkACk+1)

n→∞−−−→ µ(A) (V× chuçi∞∑

n=1

µ(AkACk+1) < ∞)

1.3. §Þnh lý Radon-Nicodym

Gi¶ sö P << Q. Khi ®ã, tån t¹i duy nhÊt (theo nghÜa t¬ng ®¬ng ngÉu nhiªn ®èi

víi Q) ®¹i lîng ngÉu nhiªn ξ ≥ 0 : P (A) =∫A

ξdQ, ∀A ∈ F

Chøng minh. • Chøng minh sù tån t¹i ξ:

GS P, Q lµ c¸c ®é ®o h÷u h¹n, P ≥ 0

§Æt K = ξ : Ω → R, kh«ng ©m vµ∫A

ξdQ ≤ P (A),∀A ∈ F

§Æt I = supξ∈K

∫Ω

ξdQ

Khi ®ã: ∃ξn ⊂ K : limn→∞

∫Ω

ξndQ = I

§Æt ηn(ω) = max1≤k≤n

ξn(ω)

Ta cã: ηn ∈ K. ThËt vËy, ∀A ∈ F , ta cã: A =n∑

k=1

Ak, Ak ∈ F vµ ηn(ω) = ξk(ω) trªn Ak

⇒ ηn(ω) =n∑

k=1

ξk(ω)χAk

⇒∫

A

ηndQ =

∫A

n∑k=1

ξkχAk=

n∑k=1

∫Ak

ξkdQ ≤n∑

k=1

P (Ak) = P (A)



§Æt ξ = supn

ξn ≥ ηn Ta thÊy: ηn ξ

Do ®ã: ∫A

ξdQ = limn→∞

∫A

ηndQ ≤ P (A),∀A ∈ F

CÇn CM:

λ(A) = P (A)−∫

A

ξdQ = 0,∀A ∈ F

Ta thÊy λ lµ ®ä ®o h÷u h¹n trªn F vµ λ << Q

Ph¶n chøng, GS ∃A ∈ F : λ(A) 6= 0

⇒ ∃n ∈ N, Ω+n ∈ F , Q(Ω+

n ) > 0 sao cho:

1

nQ(A ∩ Ω+

n ) ≤ λ(A ∩ Ω+n ) = P (A ∩ Ω+

n )−∫

A∩Ω+n

ξdQ, ∀A ∈ F

XÐt η = ξ +1

nχΩ+

n. Ta cã:∫

A

ηdQ =

∫A

ξdQ +1

nQ(A ∩ Ω+

n )

≤∫A

ξdQ−∫

A∩Ω+n

ξdQ + P (A ∩ Ω+n ) =

≤∫

A\Ω+n

ξdQ + P (A ∩ Ω+n )

≤ P (A \ Ω+n ) + P (A ∩ Ω+

n ) = P (A)

⇒ η ∈ K. V« lý v× ∫Ω

ηdQ =

∫Ω

ξdQ +1

nQ(Ω+

n )

>

∫Ω

ξdQ =

∫Ω

supn

ξndQ ≥

> supn

∫Ω

ξndQ ≥ limn→∞

∫Ω

ξndQ = I

M©u thuÉn víi I = supξ∈K

∫Ω

ξdQ.

VËy λ(A) = 0,∀A ∈ F



f) V× G vµ ξ ®éc lËp nªn ∀A ∈ G th× ξ vµ χA ®éc lËp.

Do ®ã:∫

AE(ξ|G)dP =

∫A

ξdP =∫

AξχAdP = E(ξχA) = EξEχA

= Eξ∫

ΩχAdP = Eξ

∫A

dP =∫

AEξdP

⇒ E(ξ|G) = Eξ (P-h.c.c)

g) Víi A ∈ Gmin th× A = ∅ hoÆc A = Ω

• Víi A = ∅ th×:∫

AE(ξ|Gmin)dP =

∫A

ξdP = 0 =∫

AEξdP

• Víi A = Ω th×:∫

AE(ξ|Gmin)dP =

∫A

ξdP = Eξ =∫

AEξdP

⇒ E(ξ|Gmin) = Eξ (P-h.c.c)

∀A ∈ Gmax ta cã:∫

AE(ξ|Gmax)dP =

∫A

ξdP

V× ξ lµ Gmax− ®o ®îc nªn E(ξ|Gmax) = ξ (P-h.c.c)

1.5. Quan hÖ gi÷a c¸c kiÓu héi tô

ξn lµ d·y ®¹i lîng ngÉu nhiªn, ξ lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn

1.5.1. NÕu ξn héi tô hÇu ch¾c ch¾n vÒ ξ th× ξn héi tô theo x¸c suÊt vÒξ

Chøng minh. Ta cã: P [∞⋃

k=n

|ξk − ξ| ≥ ε] → 0,∀ε > 0

§Æt An =∞⋃

k=n

|ξk − ξ| ≥ ε

Ta thÊy Bn = |ξn − ξ| ≥ ε ⊂ An

Do ®ã: 0 ≤ P (Bn) ≤ P (An) → 0

⇒ limn→∞

Bn = 0.

VËy ξnP−→ ξ.

Note. §iÒu ngîc l¹i nãi chung kh«ng ®óng.

1.5.2. §Þnh lý

NÕu ξnP−→ ξ vµ ξn () th× ξn → ξ(P-h.c.c)

ThËt vËy, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta xÐt d·y ξn ,P−→ 0 (v× nÕu ξn ,

P−→ ξ th× ξn−ξ ,P−→ 0)



Tõ (*) cho x′ x, x′′ x ta ®îc: Fn(x) → F (x)

Nh vËy chøng minh ®îc (*) lµ xong. ThËt vËy

F (x′) = Pξ < x′ = Pξ < x′; ξn < x+ Pξ < x′; ξn ≥ x

≤ Pξn < x+ Pξ < x′; ξn ≥ x

= Fn(x) + Pξ < x′; ξn ≥ x

Ta thÊy lim Pξ < x′; ξn ≥ x ≤ lim P|ξn − ξ| < x− x′ = 0 (Do ξnP−→ ξ)

Suy ra F (x′) ≤ lim Fn(x)

T¬ng tù, ta xÐt Fn(x) = Pξn < x = Pξn < x; ξ < x′′+ Pξn < x; ξ ≥ x′′

≤ F (x′′) + P|ξn − ξ| > x′ − x′

⇒ lim Fn(x) ≤ F (x′′)

1.5.6. Tiªu chuÈn Cauchy vÒ sù héi tô theo x¸c suÊt

§Þnh nghÜa. D·y ξn ®îc gäi lµ d·y Cauchy theo x¸c suÊt nÕu: ∀ε > 0

P|ξn − ξm| > ε → 0 khi n, m →∞

§Þnh lý. D·y ξn héi tô theo x¸c suÊt khi vµ chØ khi nã lµ d·y Cauchy theo x¸c

suÊt.

Chøng minh.

§iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö ξnP−→ ξ. Khi ®ã, ∀ε > 0, ta cã:

P|ξn − ξm| > ε ≤ P|ξn − ξ| > ε

2+ P|ξm − ξ| > ε

2 n,m→∞−−−−→ 0

§iÒu kiÖn ®ñ. Ta thõa hëng mét kÕt qu¶: NÕu ξn lµ d·y Cauchy theo x¸c suÊt th×

tån t¹i d·y con ξnk héi tô theo x¸c suÊt ®Õn biÕn ngÉu nhiªn ξ nµo ®ã. Tõ bÊt ®¼ng thøc:

P|ξn − ξ| > ε ≤ P|ξn − ξnk| > ε

2+ P|ξnk

− ξ| > ε

2

Cho n, nk →∞ ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.



1.5.7. Tiªu chuÈn Cauchy vÒ sù héi tô h.c.c

§Þnh nghÜa. D·y ξn ®îc gäi lµ d·y Cauchy P-h.c.c nÕu: ∀ε > 0

P supk,l≥n

|ξk − ξl| ≥ ε → 0 khi n →∞

§Þnh lý. D·y ξn héi tô P-h.c.c khi vµ chØ khi ξn lµ d·y Cauchy theo nghÜa

P-h.c.c

Chøng minh.

§iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö ξnh.c.c−−→ ξ.

Ta cã:

P supk,l≥n

|ξk − ξl| ≥ ε ≤ Psupk≥n

|ξk − ξ| ≥ ε

2+ Psup

l≥n|ξl − ξ| ≥ ε

2

V× ξnh.c.c−−→ ξ nªn Psup

k≥n|ξk − ξ| ≥ ε

2 n→∞−−−→ 0 vµ Psup

l≥n|ξl − ξ| ≥ ε

2 n→∞−−−→ 0

Suy ra P supk,l≥n

|ξk − ξl| ≥ ε n→∞−−−→ 0

§iÒu kiÖn ®ñ. Gi¶ sö ξn lµ d·y Cauchy theo nghÜa P-h.c.c.

Ta cã mét kÕt qu¶: NÕu ξn lµ d·y Cauchy theo nghÜa P-h.c.c th× víi x¸c suÊt 1, c¸c

ξn(ω) lµ d·y Cauchy trong R

Do ®ã: ξn(ω) → ξ(ω) nµo ®ã. §Æt

ξ(ω) =

ξ(ω) t¹i ω mµ giíi h¹n tån t¹i0 t¹i ω mµ giíi h¹n kh«ng tån t¹i

Khi ®ã: ξnh.c.c−−→ ξ

1.6. §Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu (B.Levy)

NÕu G ⊂ F , ξn ξ (P-h.c.c) vµ Mξ−1 < ∞ (hoÆc ξn ξ (P-h.c.c) vµ Mξ+1 < ∞) th×

E(ξn|G) E(ξ|G) (hoÆc E(ξn|G) E(ξ|G) t¬ng øng)



Chøng minh. • Gi¶ sö ξn ξ vµ Mξ−1 < ∞

Ta cã: 0 ≤ ξn + ξ−1 ξ + ξ−1 ,∀n ≥ 1

ThËt vËy, V× ξ1 ≤ ξ2 ≤ · · · ξn ≤ · · · vµ ξ−1 = max−ξ1, 0 nªn

+) Víi ξ−1 = 0 ⇒ ξ1 ≥ 0 ⇒ ξn + ξ−1 = ξn ≥ ξ1 ≥ 0,∀n ≥ 1

+) Víi ξ−1 = −ξ1 ⇒ ξ1 < 0 ⇒ ξn + ξ−1 = ξn − ξ1 ≥ 0,∀n ≥ 1

∀A ∈ G ta cã:∫A

limn→∞

E(ξn|G) +

∫A

E(ξ−1 |G)]dP =

∫A

[ limn→∞

E(ξn|G) + E(ξ−1 |G)]dP

=

∫A

limn→∞

E[(ξn + ξ−1 )|G]dP

= limn→∞

∫A

E[(ξn + ξ−1 )|G]dP

= limn→∞

∫A

(ξn + ξ−1 )dP

=

∫A

(ξ + ξ−1 )dP

=

∫A

E[(ξ + ξ−1 )|G]dP

=

∫A

E(ξ|G)dP +

∫A

E(ξ−1 |G)dP

⇒ limn→∞

E(ξn|G) = E(ξ|G) (P-h.c.c)

• Trêng hîp ξn ξ (P-h.c.c) vµ Mξ+1 < ∞) chøng minh t¬ng tù.

1.7. §Þnh lý:

ξαα∈U kh¶ tÝch ®Òu khi vµ chØ khi ∃η ≥ 0 kh¶ tÝch: |ξα| ≤ η

Chøng minh.

§iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö ξαα∈U kh¶ tÝch ®Òu.

Khi ®ã, ta cã supα

E|ξα| < +∞. Do ®ã, ta chän η = ξα0 mµ Eα0 = supα

E|ξα| lµ tháa.

§iÒu kiÖn ®ñ. Gi¶ sö ∃η ≥ 0 kh¶ tÝch: |ξα| ≤ η ∈ L

Ta cã: |η(ω)| ≥ |ξα(ω)| > x



⇒ ω : |ξα(ω)| > x ⊂ ω : |η(ω)| > x

⇒ supα∈U

∫|ξα|>x

|ξα|dP ≤∫

|η|>x|η|dP

x→∞−−−→ 0 (V× |η| > x → ∅ khi x →∞)

⇒ supα∈U

∫|ξα|>x

|ξα|dPx→∞−−−→ 0

VËy ξαα∈U kh¶ tÝch ®Òu.

1.8. Bæ ®Ò Fatou:

NÕu d·y ξnn≥1 kh¶ tÝch ®Òu th×:

a) E(lim ξn|G) ≤ lim E(ξn|G)

b) E(lim ξn|G) ≥ lim E(ξn|G)

Chøng minh.

a) Ta cã: infm≥n

ξm lim ξn (*)

V× ξnn≥1 kh¶ tÝch ®Òu nªn ∃η ≥ 0 kh¶ tÝch: |ξn| ≤ η ⇔ −η ≤ ξn ≤ η

Víi ξn ≥ −η ⇒ ξ−n ≤ (−η)− = η. Do ®ã: ( infm≥n

ξm)− ≤ (−η)−

⇒ E( infm≥n

ξm)− ≤ Eη < +∞ (**)

Tõ (*) vµ (**), theo ®Þnh lý B.Levy ta cã:

limn

E( infm≥n

ξm|G) = E(lim ξn|G)

Mµ limn

E( infm≥n

ξm|G) ≤ limn

E(ξn|G)

VËy E(lim ξn|G) ≤ lim E(ξn|G)

b) T¬ng tù ta còng cã:

supm≥n

ξm lim ξn

(sup ξm)+ ≤ η+ = η

⇒ E(supm≥n

ξm)+ ≤ Eη < +∞



⇒ lim E(supm≥n

ξm|G) = E(lim ξn|G)

Vµ lim E(supm≥n

ξm|G) ≥ lim E(ξn|G)

VËy E(lim ξn|G) ≥ lim E(ξn|G)

1.9. §Þnh lý héi tô bÞ chÆn (Lebesgue)

NÕu d·y ξn → ξ (P-h.c.c) vµ ∃η ∈ L1 : |ξn| ≤ η th× E(|ξn − ξ||G)h.c.c−−→ 0.

Chøng minh. §Æt Yn = supm≥n

|ξm − ξ|

Ta thÊy: Yn 0

0 ≤ Yn ≤ 2η

⇒ 0 ≤∫Ω

E(Yn|G)dP =∫Ω

YndP → 0

⇒ E(Yn|G) → 0 (P-h.c.c)

MÆt kh¸c: |ξn − ξ| ≤ supm≥n

|ξm − ξ| = Yn

VËy E(|ξn − ξ||G) → 0 (P-h.c.c).

1.10. Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc

Cho c¸c ®¹i lîng ngÉu nhiªn ξ, η.

1.10.1. BÊt ®¼ng thøc Holder:

E(|ξη|) ≤ ‖ξ‖p.‖η‖q,∀p, q > 1 :1

p+

1

q= 1, víi ‖ξ‖p = [E(|ξ|p)]

1p (1)

Chøng minh. • Tríc hÕt ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau:a

p+

b

q≥ a

1p .b

1q ; a, b > 0, p, q > 1 :

1

p+

1

q= 1 (1.1)

ThËt vËy, ta thÊy hµm f(x) = xp, víi p > 1 lµ hµm låi trªn (0, +∞)

⇒ f(x)− f(1) ≥ f ′(1)(x− 1), ∀x > 0

⇔ xp − 1 ≥ p(x− 1) (1.2)

Thay x = (a

b)

1p, a, b > 0 vµo (1.2) ta ®îc:



a

b− 1 ≥ p[(

a

b)

1p − 1]

⇔ a

p− b

p≥ a

1p .b1− 1

p − b ⇔ a

p+ (1− 1

p)b ≥ a

1p .b1− 1

p ⇔ a

p+

b

q≥ a

1p .b

1q (§Æt 1

q= 1− 1

p)

• Chøng minh bÊt ®¼ng thøc Holder:

+) Gi¶ sö ‖ξ‖p.‖η‖q 6= 0 :

(1) ⇔ E|ξη|‖ξ‖p.‖η‖q

≤ 1

¸p dông bÊt ®¼ng thøc (1.1) cho a =( |ξ|‖ξ‖p

)p

, b =( |η|‖η‖q

)q

ta ®îc kÕt qu¶:

1

p

( |ξ|‖ξ‖p

)p

+1

q

( |η|‖η‖q

)q

≥ |ξ|.|η|‖ξ‖p.‖η‖q

⇒ 1

p

E(|ξ|p)(‖ξ‖p)

p +1

q

E(|η|q)(‖η‖q)

q ≥E|ξ.η|

‖ξ‖p.‖η‖q

Hay 1 =1

p

E(|ξ|p)E(|ξ|p)

+1

q

E(|η|q)E(|η|q)

≥ E|ξ.η|‖ξ‖p.‖η‖q

+) NÕu ‖ξ‖p.‖η‖q = 0 ⇔ E(|ξ|p)E(|η|q) = 0

Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö E(|ξ|p) = 0

⇒ ξ = 0(P − h.c.c) ⇒ E|ξ.η| = 0(P − h.c.c) (Lóc ®ã x¶y ra ®¼ng thøc)

1.10.2. BÊt ®¼ng thøc Minkovski:

‖ξ + η‖p ≤ ‖ξ‖p + ‖η‖p, ∀p ≥ 1. (2)

Chøng minh. Tríc hÕt ta cã bÊt ®¼ng thøc sau (sÏ chøng minh sau):

(a + b)p ≤ 2p−1(ap + bp),∀a, b > 0, p ≥ 1 (2.1)

Trong bÊt ®¼ng thøc (2.1), lÊy a = |ξ|, b = |η| ta ®îc:

|ξ + η|p ≤ (|ξ|+ |η|)p ≤ 2p−1(|ξ|p + |η|p) (2.2)

• Víi p = 1 th× (2.2) ⇒ E|ξ + η| ≤ E(|ξ|p) + E(|η|p) (chÝnh lµ (2) trong TH p =1)

• Víi p > 1 :

|ξ + η|p = |ξ + η|.|ξ + η|p−1 ≤ |ξ||ξ + η|p−1 + |η||ξ + η|p−1



⇒ E|ξ + η|p ≤ E(|ξ||ξ + η|p−1) + E(|η||ξ + η|p−1) (2.3)

LÊy q > 1 :1

p+

1

q= 1 vµ ¸p dông b®t Holder ta ®îc:

E(|ξ||ξ + η|p−1) ≤ (E|ξ|p])1p .(E|ξ + η|(p−1)q)

1q =

≤ (E|ξ|p)1p .(E|ξ + η|p)

1q = ( v×1

p+

1

q= 1 ⇔ p = (p− 1)q)

≤ (E|ξ|p)1p .(E|ξ + η|p)

1p. pq = ‖ξ‖p(‖ξ + η‖p

p)1q

T¬ng tù: E(|η||ξ + η|p−1) ≤ ‖η‖p(‖ξ + η‖pp)

1q

Vµ E|ξ + η|p = ‖ξ + η‖pp

Thay vµo (2.3), ta ®îc:

‖ξ + η‖pp ≤ (‖ξ‖p + ‖η‖p)(‖ξ + η‖p

p)1q

⇔(‖ξ + η‖p

p

)1− 1q≤ ‖ξ‖p + ‖η‖p (1− 1

q=

1

p)

Hay ‖ξ + η‖p ≤ ‖ξ‖p + ‖η‖p

Cuèi cïng ta CM bÊt ®¼ng thøc (2.1) ë trªn

XÐt hµm sè f(x) = (a + x)p − 2p−1(ap + xp), x > 0

DÔ dµng thÊy f(x) ≤ f(a) = 0,∀x > 0

Do ®ã víi x = b th× (a + b)p ≤ 2p−1(ap + bp)

1.10.3. BÊt ®¼ng thøc Jensen:

Cho hµm f : R −→ R låi, ξ ∈ L1, E(|f(ξ)|) < ∞.Khi ®ã:

f(Eξ) ≤ Ef(ξ).

Chøng minh. V× f lµ hµm låi nªn ta cã f(x)− f(x0) ≥ k(x0)(x− x0), trong ®ã:

k(x0) =

f ′(x0

−) nÕu ∃f ′(x0−)

f ′(x0+) nÕu ∃f ′(x0

+)

LÊy x0 = Eξ, x = ξ th× ta ®îc:

f(ξ)− f(Eξ) ≥ k(Eξ)(ξ − Eξ)

⇒ E[f(ξ)− f(Eξ)] ≥ k(Eξ)E(ξ − Eξ) = 0

VËy Ef(ξ) ≥ f(Eξ)



1.10.4. BÊt ®¼ng thøc Chebyev:

P|ξ| > a ≤ E|ξ|a

, ∀ξ ∈ L1,∀a > 0

Chøng minh.

Ta cã: E|ξ| =∫Ω

|ξ|dP =

∫|ξ|>a

|ξ|dP +

∫|ξ|≤a

|ξ|dP ≥∫

|ξ|>a

|ξ|dP ≥ a.P|ξ| > a

⇒ P|ξ| > a ≤ E|ξ|a

Tæng qu¸t: NÕu f : R+ −→ R+, kh«ng gi¶m th×

P|ξ| > a ≤ Ef |ξ|f(a)

, ∀ξ ∈ L1,∀a > 0

ThËt vËy, Ef |ξ| =∫

|ξ|>af |ξ|dP +

∫|ξ|≤a

f |ξ|dP ≥∫

|ξ|>af |ξ|dP ≥ f(a).P|ξ| > a ⇒

P|ξ| > a ≤ Ef |ξ|f(a)

1.11. Bæ ®Ò Borel-Cantelli (luËt 0-1)

Cho d·y c¸c biÕn cè Ann≥1 ⊂ F , A∗ := lim An :=∞⋂

n=1

∞⋃m=n

Am. Khi ®ã:

a)∞∑

n=1

P (An) < ∞⇒ P (A∗) = 0.

b) NÕu thªm gi¶ thiÕt d·y Ann≥1 ®éc lËp th×:∞∑

n=1

P (An) = ∞⇒ P (A∗) = 1.

Chøng minh.

a) Ta cã ∞⋃

m=n

Amn≥1 lµ d·y gi¶m nªn

P (A∗) = limn→∞

P (∞⋃

m=n

Am) ≤ limn→∞

∞∑m=n

P (Am) = 0 (V×∞∑

n=1

P (An) < ∞)



b) Gi¶ sö Ann≥1 ®éc lËp⇒ Ann≥1 ®éc lËp

⇒ P (∞⋂

m=n

Am) =∞∏

m=n

P (Am) Do ®ã ta cã:

0 ≤ P (∞⋂

m=n

Am) =∞∏

m=n

P (Am) =∞∏

m=n

(1− P (Am))

≤∞∏

m=n

e−P (Am)(∗) = e−

∞∑m=n

P (Am)= e−∞ = 0

⇒ P (∞⋂

m=n

Am) = 0 hay P (∞⋃

m=n

Am) = 1 ⇒ P (A∗) = 1

((*) sö dông bÊt ®¼ng thøc 1− x ≤ e−x, 0 ≤ x ≤ 1)

1.12. §Þnh lý Fubini

Cho qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn ξtt∈T ®o ®îc. Khi ®ã:

a) ξ(t, ω) ®o ®îc theo t ∈ T (P-h.c.c);

b) NÕu ∃Eξt,∀t th× mt := Eξt ®o ®îc theo t;

c) NÕu S ®o ®îc trªn T = [0, +∞) vµ∫S

E|ξt|dt < ∞ th×:

∫S

|ξt|dt < ∞(P − h.c.c)∫S

E|ξt|dt = E∫S

|ξt|dt

Chøng minh.

a) Ta cã: (t, ω) ∈ T × Ω : ξ(t, ω) ∈ B ∈ BT ×F ,∀B ∈ B

Do ®ã, víi mçi ω cè ®Þnh th× t ∈ T : ξ(t, ω) ∈ B ∈ BT ,∀B ∈ B

⇒ ξ(•, ω) : T −→ R ®o ®îc (theo t).

b) m : T → R, t 7→ mt := Eξt

∀B ∈ B : t ∈ T : mt ∈ B = t ∈ T :∫Ω

ξtdP ∈ B ∈ B



c) • CM∫S

|ξt|dt < ∞ (P-h.c.c) (3.1)∫S

E|ξt|dt < ∞⇒ E|ξt| < ∞ (P-h.c.c)

⇒ |ξ| < ∞ (P-h.c.c), ∀t ∈ S, ω ∈ Ω

⇒∫S

|ξt|dt < ∞ (P-h.c.c)

• CM∫S

E|ξt|dt = E∫S

|ξt|dt (3.2)

(V× S ®o ®îc trªn T = [0, +∞) nªn S = [a, b], víi 0 ≤ a ≤ b < +∞

Ph©n ho¹ch ®o¹n [a, b] thµnh n ®o¹n nhá:

a = x0 < x1 = a + h < · · · < xn = a + nh = b, víi h =b− a

n

V×∫S

|ξt|dt < ∞(P − h.c.c) nªn:

In =1

h

n∑i=1

ξ(a + ih, •) n→∞−−−→∫

S

ξtdt

L¹i cã:∫S

E|ξt|dt < ∞ nªn:∫S

Eξtdt = limn→∞

1h

n∑i=1

Eξ(a + ih, •) = limn→∞

EIn = E(

limn→∞

In

)= E

(∫S

ξtdt)

1.13. §Þnh lý 1.10 (Tiªu chuÈn ®ñ Kolmogorov cho tÝnh liªntôc)

NÕu víi T = [a, b],∃α > 0, ε > 0, c > 0 : ∀t, t+∆t ∈ [a, b], E(|ξt+∆t−ξt|α) ≤ c|∆t|1+ε

th× qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn ξtt∈T cã ®¹i diÖn liªn tôc.

Chøng minh. §Ó gi¶i quyÕt bµi nµy ta ¸p dông ®Þnh lý phÇn 2.2.2 trang 62 (C¸c m« h×nh x¸c

suÊt vµ øng dông, phÇn III, NguyÔn Duy TiÕn).

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Markov, ta cã:

P|ξt+∆t − ξt| ≥ d ≤ E(|ξt+∆t − ξt|α)

dα≤ c|∆t|1+ε

dα(1)

LÊy g(t) = |t|β, 0 < β <ε

α

Ta thÊy g(t) khi t vµ∞∑

n=1

g(2−n) =∞∑

n=1

( 1

2β

)n

< ∞ (v× víi β > 0 th× 1

2β< 1)



Thay d = g(∆t) = |∆t|β vµo (1) ta ®îc:

P|ξt+∆t − ξt| ≥ |∆t|β ≤ c|∆t|1+ε

|∆t|αβ= c.|∆t|1+ε−αβ

LÊy q(t) = c.|t|1+ε−αβ . Ta thÊy q(t) khi t ) vµ∞∑

n=1

2nq(2−n) =∞∑

n=1

c( 1

2ε−αβ

)n

< ∞ (v× ε− αβ > 0 ⇒ 1

2ε−αβ< 1)

VËy theo ®Þnh lý phÇn 2.2.2 trang 62 th× ξtt∈T cã ®¹i diÖn liªn tôc.

1.14. NÕu ξtt∈T lµ qu¸ tr×nh gia sè ®éc lËp th× ξtt∈T lµ qu¸tr×nh Markov

1.15. Chøng minh çc tÝnh chÊt cña thêi ®iÓm Markov

Trong phÇn nµy nh÷ng bæ ®Ò mµ thÇy ®· chøng minh râ trong gi¸o tr×nh th×

ghi lµ "Råi".

Bæ ®Ò 1.1:

Råi

Bæ ®Ò 1.2:

Råi

Bæ ®Ò 1.3:

NÕu τ1, τ2 lµ çc thêi ®iÓm Markov th× çc thêi ®iÓm

τ1 ∧ τ2 := minτ1, τ2, τ1 ∨ τ2 := maxτ1, τ2, τ1 + τ2

còng lµ çc thêi ®iÓm Markov.

Chøng minh. • τ1 ∧ τ2 lµ thêi ®iÓm Markov: Råi

• τ1 ∨ τ2 lµ thêi ®iÓm Markov, thËt vËy:

∀t ∈ T : τ1 ∨ τ2 ≤ t = τ1 ≤ t ∩ τ2 ≤ t ∈ Ft



• τ1 + τ2 lµ thêi ®iÓm Markov, thËt vËy:

∀t ∈ T : τ1 + τ2 ≤ t = τ1 = 0, τ2 = t ∪ τ1 = t, τ2 = 0

∪( ⋃

a+b≤t; a,b∈Q; a,b>0

(τ1 < a ∩ τ2 < b))∈ Ft

Bæ ®Ò 1.4:

a) NÕu τnn≥1 lµ d·y çc thêi ®iÓm Markov th× supn≥1

τn còng lµ thêi ®iÓm Markov.

b) NÕu thªm gi¶ thiÕt dßng Ft liªn tôc ph¶i th× infn≥1

τn, lim τn, lim τn còng lµ çc thêi ®iÓm

Markov.

Chøng minh. ∀t ∈ T , ta cã:

a) supn≥1

τn ≤ t =⋂

n≥1

τn ≤ t ∈ Ft

b) •infn≥1

τn < t =⋃

n≥1

τn < t ∈ Ft

•lim τn < t = infn≥1

supk≥n

τk < t ∈ Ft

•lim τn < t = supn≥1

infk≥n

τk < t ∈ Ft

Bæ ®Ò 1.5:

Råi

Bæ ®Ò 1.6:

Råi

Bæ ®Ò 1.7:

NÕu τ, σ lµ çc thêi ®iÓm Markov th× τ < σ, τ ≤ σ, τ = σ thuéc Fτ ∩ Fσ.

Chøng minh. • τ < σ ∈ Fτ ∩ Fσ, thËt vËy: ∀t ∈ T , ta cã:

τ < σ ∩ σ ≤ t =⋃

r<t,r∈Q(τ < r ∩ r < σ ≤ t) ∈ Ft

⇒ τ < σ ∈ Fσ



T¬ng tù: τ < σ ∩ τ ≤ t =⋃

r<t,r∈Q(τ ≤ r ∩ r < σ ∩ τ ≤ t ∪ t < σ) ∈ Ft

⇒ τ < σ ∈ Fτ . VËy τ < σ ∈ Fτ ∩ Fσ

• τ ≤ σ = Ω \ τ > σ ∈ Fτ ∩ Fσ

• τ = σ = τ ≤ σ \ τ < σ ∈ Fτ ∩ Fσ

1.16. VÝ dô vÒ thêi ®iÓm Markov

VÝ dô 1. Gi¶ sö (ξt,Ft)t∈T lµ qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn liªn tôc ph¶i, dßng ξt liªn tôc ph¶i,

C lµ tËp më trong R. Khi ®ã τC := inft ≥ 0 : ξt ∈ C lµ thêi ®iÓm Markov.

Chøng minh. råi

VÝ dô 2. Gi¶ sö (ξt,Ft)t∈T lµ qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn liªn tôc, D lµ tËp ®ãng trong R.

Khi ®ã τD := inft ≥ 0 : ξt ∈ D lµ thêi ®iÓm Markov ®èi víi F := (F ξt )t∈T , trong ®ã

F ξt := σ(ξs, s ≤ t).

Chøng minh. §Æt C := R \D. V× C më nªn ∃Knn∈N ®ãng: C =⋃

n∈NKn.

∀s ∈ T , ta cã:

τD ≤ s =⋂

n

⋃t<s,t∈Rξt /∈ Kn =

⋂n

⋃r<s,r∈Qξr /∈ Kn ∈ F ξ

s


Ch¬ng 2

Martingale trªn kho¶ng thêi gian rêi r¹cvµ liªn tôc

2.1. Mét sè vÝ dô vÒ Martingale

VÝ dô 1. NÕu X := (xn,Fn)1≤n≤N , Y := (yn,Fn)1≤n≤N lµ c¸c super (hoÆc sub)

Martingale th× U := (un := xn∧yn,Fn)1≤n≤N lµ super Martingale (hoÆc V := (vn :=

xn ∨ yn,Fn)1≤n≤N lµ sub Martingale t¬ng øng)

Chøng minh. • NÕu X, Y lµ super Martingale th× U lµ super Martingale: råi

• Gi¶ sö X, Y lµ sub Martingale. Khi ®ã: ∀n ≥ m, ta cã:

E(vn|Fm) ≥ E(xn|Fm) ≥ xm

E(vn|Fm) ≥ E(yn|Fm) ≥ ym

⇒ E(vn|Fm) ≥ xm ∨ ym = vm

VÝ dô 2. ∀z ∈ L th× X := (xn,Fn)1≤n≤N , víi xn = E(z|Fn) lµ Martingale.

Chøng minh. ∀n ≥ m, ta cã:

E(xn|Fm) = E(E(z|Fn)|Fm) =(∗) E(z|Fm) = xm ((∗) v× Fm ⊂ Fn)

VÝ dô 3. Råi

24

Ch¬ng2. Martingale trªn kho¶ng thêi gian rêi r¹c vµ liªn tôc 25

VÝ dô 4. Cho d·y c¸c ®¹i lîng ngÉu nhiªn ®éc lËp ηn ∈ Ln≥1, Eηn = 1, pn :=n∏

i=1

ηi,Fn := σ(η1, . . . , ηn). Kho ®ã X := (pn,Fn)1≤n≤N lµ Martingale.


E(pn|Fm) = E(pm.n∏

i=m+1

ηi|Fm) = pm.E(n∏

i=m+1

ηi|Fm)

= pm.E(n∏

i=m+1

ηi) = pm.

n∏i=m+1

Eηi = pm,∀n ≥ 1

VÝ dô 5. Cho d·y c¸c ®¹i lîng ngÉu nhiªn kh«ng ©m ηn ∈ Ln≥1, Sn =n∑

i=1

ηi,Fn :=

σ(η1, . . . , ηn). Khi ®ã X := (Sn,Fn)1≤n≤N lµ sub Martingale.


E(Sn|Fm) = E[(m∑

i=1

ηi +n∑

i=m+1

ηi)|Fm]

=m∑

i=1

ηi + E(n∑

i=m+1

ηi)|Fm)

≥ Sm

VÝ dô 6. NÕu X := (xn,Fn)1≤n≤N lµ Martingale, hµm f : R → R låi víi E|f(xn)| <

∞,∀n th× Y := (f(xn),Fn)1≤n≤N lµ sub Martingale.

Chøng minh. ∀n ≥ m, ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Jensen, ta cã:

E(f(xn)|Fm) ≥ f(E(xn|Fm)) = f(xm)

VÝ dô 7. NÕu X := (xn,Fn)1≤n≤N lµ sub Martingale, hµm f : R → R kh«ng gi¶m,

låi víi E|f(xn)| < ∞,∀n th× Y := (f(xn),Fn)1≤n≤N lµ sub Martingale. §Æc biÖt,

nÕu X := (xn,Fn)1≤n≤N lµ Martingale th× E|xn|p1≤n≤N lµ d·y kh«ng gi¶m



Chøng minh. ∀n ≥ m, ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Jensen, ta cã:

E(f(xn)|Fm) ≥ f(E(xn|Fm)) ≥ f(xm)

⇒ Y := (f(xn),Fn)1≤n≤N lµ sub Martingale.

Ta cã f(x) = |x|p, víi p ≥ 1 lµ hµm låi. Do ®ã |xn|p,Fn lµ sub Martingale.

⇒ E|xn|p ≥ E|xm|p,∀n ≥ m (sÏ chøng minh sau), nghÜa lµ E|xn|p1≤n≤N kh«ng

gi¶m.

2.2. §Þnh lý

NÕu (xn,Fn) lµ sub Martingale th× d·y Exn kh«ng gi¶m.

Chøng minh. Víi m ≤ n, ta cã: Exm ≤ E(E(xn|Fm)) = Exn. VËy Exn lµ d·y kh«ng

gi¶m.

2.3. §Þnh lý 2.3

Gi¶ sö X := (xn,Fn)1≤n≤N lµ sub Martingale. Khi ®ã ∀λ > 0 ta cã:

Pmaxn≤N

xn ≥ λ ≤ 1

λ

∫max

n≤Nxn≥λ

xNdP ≤ 1

λEx+

N

λPminn≤N

xn ≤ −λ ≤ −Ex1 +

∫min

n≤Nxn>−λ

xNdP

Chøng minh. • CM Pmaxn≤N xn ≥ λ ≤ 1λ

∫max

n≤Nxn≥λ

xNdP ≤ 1λEx+

N : Gi¸o tr×nh CM råi

Gi¶i thÝch thªm:

τ(ω) =

infn ≤ N : xn(ω) ≥ λ, nÕu maxn≤N

xn ≥ λ

N, nÕu maxn≤N

xn < λ

lµ thêi ®iÓm Markov v× xn(ω) ≥ λ tøc lµ xn(ω) ∈ [λ, +∞) tËp ®ãng. Do ®ã theo vÝ dô 2, bµi

1.13 th× τ lµ thêi ®iÓm Markov.



• CM λPminn≤N

xn ≤ −λ ≤ −Ex1 +∫

minn≤N

xn>−λxNdP :

T¬ng tù xÐt thêi ®iÓm Markov sau:

τ(ω) =

infn ≤ N : xn(ω) ≤ −λ, nÕu minn≤N

xn ≤ −λ

N, nÕu minn≤N

xn > −λ

§Æt B = minn≤N

xn ≤ −λ

Ta cã:

Ex1 ≤ Exτ =

∫B

xτdP +

∫BC

xτdP

≤ −λP (B) +

∫BC

xNdP

VËy λPminn≤N

xn ≤ −λ ≤ −Ex1 +∫

minn≤N

xn>−λxNdP

2.4. HÖ qu¶ 2.5 (bÊt ®¼ng thøc Kolmogorov)

Gi¶ söX := (xn,Fn)1≤n≤N lµ Martingale b×nh ph¬ng kh¶ tÝch. Khi ®ã: (x2n,Fn)1≤n≤N

lµ sub Martingale vµ ∀λ > 0 ta cã: Pmaxn≤N

|xn| ≥ λ ≤ Ex2N

λ2.

Chøng minh. Ta cã: (x2n,Fn)1≤n≤N lµ sub Martingale.

Do ®ã theo bÊt ®¼ng thøc trong ®Þnh lý 2.3 ta ®îc:

Pmaxn≤N

x2n ≥ a ≤ Ex2

N

a, ∀a > 0

LÊy a = λ2 ta ®îc bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh.

Tæng qu¸t: NÕu X := (xn,Fn)1≤n≤N lµ Martingale víi E|xn|p < ∞,∀n, p ≥ 1 th×

(|xn|p,Fn)1≤n≤N lµ sub Martingale vµ ∀λ > 0 ta cã: Pmaxn≤N

|xn| ≥ λ ≤ ExPN

λp.

2.5. HÖ qu¶ 2.6

Gi¶ sö X := (xn,Fn)1≤n≤N lµ Martingale b×nh ph¬ng kh¶ tÝch. Khi ®ã:

Emaxn≤N

x2n ≤ 4Ex2

N



Chøng minh. Ta cã: (|xn|,Fn)1≤n≤N lµ sub Martingale.

¸p dông bÊt ®¼ng thøc trong ®Þnh lý 2.4 ta ®îc:

Emaxn≤N

x2n = Emax

n≤N|xn|2 ≤ 4Ex2

N

2.6. HÖ qu¶ 2.7

a) NÕu X := (xn,Fn)1≤n<∞ lµ sub Martingale ©m (hoÆc super Martingale d¬ng) th×

tån t¹i x∞ := limn→∞

xn (P-h.c.c)

b) NÕu X := (xn,Fn1≤n<∞ lµ sub Martingale ©m (hoÆc super Martingale d¬ng) th× tån

t¹i x∞ := limn→∞

xn (P-h.c.c) vµ víi F∞ := σ(∞⋃

n=1

Fn), X := (xn,Fn)1≤n≤∞ còng lµ

sub Martingale ©m (hoÆc super Martingale d¬ng t¬ng øng)

c) NÕu X := (xn,Fn)1≤n<∞ lµ sub Martingale th×: supn≥1

Ex+n < ∞⇐⇒ sup

n≥1E|xn| < ∞

Chøng minh.

a) Gi¶ sö (xn,Fn)1≤n<∞ lµ sub Martingale ©m.

Khi ®ã: supn≥1

Ex+n = 0.

VËy theo ®Þnh lý 2.6, ta suy ra tån t¹i x∞ = limn→∞

xn (P-h.c.c)

T¬ng tù, nÕu (xn,Fn)1≤n<∞ super Martingale d¬ng th× (−xn,Fn)1≤n<∞ lµ sub

Martingale ©m.

Do ®ã theo trªn th× −x∞ = limn→∞

(−xn) (P-h.c.c) Hay x∞ = limn→∞

xn (P-h.c.c)

b) Gi¶ sö X := (xn,Fn1≤n<∞ lµ sub Martingale ©m.

§Ó chøng minh X := (xn,Fn)1≤n≤∞ còng lµ sub Martingale ©m, th× ta chØ cÇn chøng

minh E(x∞|Fm) ≥ xm lµ ®ñ.

ThËt vËy, ¸p dông kÕt qu¶ a) vµ bæ ®Ò Fatou, ta cã:

E(x∞|Fm) = E( limn→∞

xn|Fm) ≥ limn→∞

E(xn|Fm) ≥ xm

NÕu (xn,Fn1≤n<∞ lµ super Martingale d¬ng th× (−xn,Fn1≤n<∞ lµ sub Martingale

©m



Do ®ã theo kÕt qu¶ trªn, (−xn,Fn)1≤n≤∞ lµ sub Martingale ©m.

VËy (xn,Fn1≤n≤∞ lµ super Martingale d¬ng.

c) (⇐=) lµ hiÓn nhiªn.

(=⇒) Gi¶ sö supn≥1

Ex+n < ∞

• Víi xn > 0 ⇒ E|xn| = Exn, Ex+n = Exn

⇒ E|xn| = Ex+n < ∞

• Víi xn ≤ 0 ⇒ E|xn| = −Exn

V× (xn,Fn)1≤n<∞ lµ sub Martingale nªn Exn lµ d·y kh«ng gi¶m.

⇒ Exn ≥ Ex0 hay⇒ E|xn| = −Exn ≤ −Ex0 < ∞

2.7. Mét sè bµi tËp trang 146 trong s¸ch C¸c m« h×nh x¸csuÊt vµ øng dông

1. Gi¶ sö τ lµ thêi ®iÓm dõng ®èi víi Fn. Víi mçi n, ký hiÖu ν(n) lµ sè nguyªn bÐ nhÊt

p sao cho τ = n ∈ Fp. Chøng minh ν(n) lµ thêi ®iÓm dõng.

ThËt vËy, τ = n ∈ Fn ⇒ ν(n) ≤ n < ∞ (P-h.c.c)

Vµ ν(n) = p = τ = n ∈ Fp\⋃p−1

l=1 Fl ∈ Fp

2. Cho d·y ξnn∈N. §Æt

d0 = ξ0, dn = ξn − E(ξn|ξ0, . . . , ξn−1), Xn =n∑

k=0

dk, n ∈ N.

Chøng minh Xnn∈N lµ Martingale.



Chøng minh. Víi n ≥ m ta cã:

E(Xn|Fm) = E(n∑

k=0

dk|Fm)

= E[ξ0 +n∑

k=1

(ξk − E(ξk|ξ0, . . . , ξk−1))|Fm]

= E(ξ0|Fm) +n∑

k=1

E(ξk|Fm)−n∑

k=1

E(ξk|ξ0, . . . , ξk−1)

= ξ0 +m∑

k=1

ξk +n∑

k=m+1

E(ξk|Fm)−m∑

k=1

E(ξk|ξ0, . . . , ξk−1)

= ξ0 +m∑

k=1

ξk −m∑

k=1

E(ξk|ξ0, . . . , ξk−1)

= Xm

3. Cho Xn lµ Martingale kh«ng ©m víi EX1 = 1. Chøng minh r»ng víi λ > 0 th×

∃n ≥ 1 : PXn > λ ≤ 1

λ

Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Kolmogorov, ta cã:

• PX1 > λ ≤ 1

λEX+

1 =1

λ

• NÕu cã EXN = 1 th× ta còng cã Pmaxn≤N

Xn > λ ≤ 1

λ

4. Gi¶ sö Xn =n∑

k=1

dk lµ Martingale b×nh ph¬ng kh¶ tÝch sao cho∞∑

n=1

Ed2n < ∞. Chøng

minh Xn héi tô hÇu ch¾c ch¾n.

Chøng minh. ¸p dông hÖ qu¶ 2.5, ta cã:

P supn+p≤N

|Xn+p −Xn| ≥ ε ≤ 1

ε2E|XN −Xn|2 =

1

ε2E|

N∑k=n+1

dk|2

≤ N − n

ε2

N∑k=n+1

Ed2k

N→∞−−−→ 0 (v×∞∑

n=1

Ed2n < ∞)

⇒ Xnn≥1 lµ d·y Cauchy h.c.c

⇒ Xnn≥1 héi tô h.c.c


Ch¬ng 3

Qu¸ tr×nh Wiener - TÝch ph©n ngÉu nhiªnIto - Ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn

3.1. Mét sè bµi tËp trang 165 trong s¸ch C¸c m« h×nh x¸csuÊt vµ øng dông

1. KiÓm tra c¸c Xt sau cã ph¶i lµ Martingale kh«ng?

(a) Xt = Wt + 4t;

(b) Xt = W 2t

(a) CÇn kiÓm tra xem E(Xt|Fs) = Xs,∀t ≥ s?

⇔ E(Xt −Xs|Fs) = 0

⇔ E(Wt −Ws|Fs) + 4(t− s) = 0

⇔ 4(t− s) = 0 kh«ng ®óng víi t > s

VËy Xt kh«ng ph¶i lµ qu¸ tr×nh Martingale.

(b) KiÓm tra E(Xt|Fs) = Xs,∀t ≥ s

⇔ E(Xt −Xs|Fs) = 0

⇔ E(W 2t −W 2

s |Fs) = 0

⇔ E[(Wt −Ws)2|Fs] + E[2Ws(Wt −Ws)|Fs] = 0

⇔ t− s + 2WsE[(Wt −Ws)|Fs] = 0

⇔ t− s = 0 kh«ng ®óng víi t > s

VËy Xt kh«ng ph¶i lµ qu¸ tr×nh Martingale.

31

Ch¬ng3. QT Wiener - TP ngÉu nhiªn Ito - PTVP ngÉu nhiªn 32

2. Chøng minh Mt = W 2t − t lµ martingale. Mt cã ph¶i lµ qu¸ tr×nh Wierner kh«ng?

ThËt vËy,

E(Mt −Ms|Fs) = E[(W 2t −W 2

s − (t− s))|Fs]

= E[(W 2t −W 2

s )|Fs]− (t− s)

= t− s− (t− s) = 0

(Theo bµi trªn ta cã E[(W 2t −W 2

s )|Fs] = t− s)

KiÓm tra Mt cã ph¶i lµ qu¸ tr×nh Wierner kh«ng?

E(Mt −Ms)2|Fs] = E[(W 2

t −W 2s − (t− s))2|Fs]

= E[(W 2t −W 2

s )2|Fs]− 2(t− s)E[(W 2t −W 2

s )|Fs] + (t− s)2

= E[[(Wt −Ws)

2 + 2Ws(Wt −Ws)]2|Fs]− 2(t− s)2 + (t− s)2

= E[(Wt −Ws)4|Fs] + 4WsE[(Wt −Ws)

3|Fs]+

+ 4W 2s E(Wt −Ws)]

2|Fs]− (t− s)2

= 3!!(t− s)2 + 4Ws.0 + 4W 2s .(t− s)− (t− s)2

= 2(t− s)2 + 4W 2s .(t− s) 6= t− s

VËy Mt kh«ng ph¶i lµ qu¸ tr×nh Wierner.

3. Chøng minh Nt = W 3t − 3tWt lµ Martingale.

ThËt vËy, ta cã:

E(Nt|Fs) = E(W 3t − 3tWt|Fs)

= E[(Wt −Ws + Ws)3|Fs]− 3tE[(Wt −Ws + Ws)|Fs]

= E[(Wt −Ws)3|Fs] + 3WsE[(Wt −Ws)

2|Fs]

+ 3W 2s E[(Wt −Ws)|Fs] + W 3

s − 3tE[(Wt −Ws)|Fs]− 3tWs

= 3Ws(t− s) + W 3s − 3tWs

= W 3s − 3sWs = Ns



4. Gi¶ sö Xt, t ≥ 0 lµ qu¸ tr×nh gia sè ®éc lËp víiX0 = 0, EXt = 0, F (t) = E|Xt|2 < ∞.

Chøng minh F (t) lµ hµm kh«ng gi¶m.

Chøng minh. CÇn chøng minh F (t)− F (s) ≥ 0,∀t ≥ s

⇔ E|Xt|2 − E|Xs|2 ≥ 0

⇔ E(X2t −X2

s ) ≥ 0

⇔ E[(Xt −Xs + Xs)2 −X2

s ] ≥ 0

⇔ E(Xt −Xs)2 + 2E[Xs(Xt −Xs)] ≥ 0

⇔ E(Xt −Xs)2 + 2EXsE(Xt −Xs) ≥ 0

⇔ E(Xt −Xs)2 ≥ 0 ®óng.

3.2. Gi¶i ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn

1. dyt = ytdWt

y0 = u, u > 0 P-h.c.cGäi nghiÖm yt cã d¹ng:

yt = C(t).eξt

dξt = a(t)dt + b(t)dWt

Ta cã:∂yt

∂t=

C ′(t)

C(t).yt

∂yt

∂ξt

=∂2yt

∂ξ2t

= yt

Theo c«ng thøc Ito ta cã:

dyt = (C ′(t)

C(t)yt + yta(t) +

1

2ytb

2(t))dt + ytb(t)dWt

So s¸nh víi dyt = ytdWt ta suy ra:C ′

C+ a(t) +

1

2b2(t) = 0

b(t) = 1⇔

C ′

C+ a(t) +

1

2= 0(1)

b(t) = 1



Trong (1), chän a(t) = −1

2⇒ C = 1 ⇒ yt = eξt

y0 = eξ0 = u ⇒ ξ0 = lnu

VËy yt = eξt , víi

dξt = −1

2dt + dWt

ξ0 = lnu

2. dyt =1

2ytdt + ytdWt


yt = C(t).eξt


Ta cã:∂yt

∂t=

C ′(t)

C(t).yt

∂yt

∂ξt

=∂2yt

∂ξ2t

= yt


dyt = (C ′(t)

C(t)yt + yta(t) +

1

2ytb

2(t))dt + ytb(t)dWt

So s¸nh víi dyt = 12ytdt + ytdWt ta suy ra:

C ′

C+ a(t) +

1

2b2(t) = 1

2

b(t) = 1⇔

C ′

C= −a(t)

b(t) = 1⇔

Chän a(t) = 0

C = 1

b(t) = 1

⇒ yt = eξt

y0 = eξ0 = u ⇒ ξ0 = lnu


dξt = dWt

ξ0 = lnu

3. dyt =t2

2ytdt + tytdWt


yt = C(t).eξt




Ta cã:∂yt

∂t=

C ′(t)

C(t).yt

∂yt

∂ξt

=∂2yt

∂ξ2t

= yt


dyt = (C ′(t)

C(t)yt + yta(t) +

1

2ytb

2(t))dt + ytb(t)dWt

So s¸nh víi dyt = t2

2ytdt + tytdWt ta suy ra:

C ′

C+ a(t) +

1

2b2(t) = t2

2

b(t) = t⇔

C ′

C= −a(t)

b(t) = t⇔

Chän a(t) = 0

C = 1

b(t) = t

⇒ yt = eξt

y0 = eξ0 = u ⇒ ξ0 = lnu


dξt = tdWt

ξ0 = lnu

4. dyt =3

2ytdt + ytdWt


yt = C(t).eξt


Ta cã:∂yt

∂t=

C ′(t)

C(t).yt

∂yt

∂ξt

=∂2yt

∂ξ2t

= yt


dyt = (C ′(t)

C(t)yt + yta(t) +

1

2ytb

2(t))dt + ytb(t)dWt



So s¸nh víi dyt =3

2ytdt + ytdWt ta suy ra:

C ′

C+ a(t) +

1

2b2(t) = 3

2

b(t) = 1⇔

C ′

C= −a(t) + 1

b(t) = 1⇔

Chän a(t) = 1

C = 1

b(t) = 1

⇒ yt = eξt

y0 = eξ0 = u ⇒ ξ0 = lnu


dξt = dt + dWt

ξ0 = lnu

5. dyt = dt + dWt

y0 = u

Gäi nghiÖm yt cã d¹ng:

yt = C(t).ξmt


Ta cã:∂yt

∂t=

C ′(t)

C(t).yt

∂yt

∂ξt

= mC1m .y

m−1m

t

∂2yt

∂ξ2t

= m(m− 1)C2m .y

m−2m

t


dyt = (C ′(t)

C(t)yt+mC

1m .y

m−1m

t .a(t)+1

2m(m−1)C

2m .y

m−2m

t b2(t))dt+mC1m .y

m−1m

t .b(t)dWt

So s¸nh víi dyt = dt + dWt ta suy ra:C′(t)C(t)

yt + mC1m .y

m−1m

t .a(t) + 12m(m− 1)C

2m .y

m−2m

t b2(t) = 1

mC1m .y

m−1m

t .b(t) = 1

Chän b(t) = 1

C ′(t)

C(t)yt + a(t) + 1

2m(m− 1)C

2m .y

m−2m

t = 1

Chän m = 1 :C ′(t)

C(t)yt + a(t) = 1



Chän a(t) = 1 ⇒ C = 1 ⇒ yt = ξt

y0 = ξ0 = u

VËy yt = ξt, víi

dξt = dt + dWt

ξ0 = u

6. dyt = (yt + et)dt + etdWt

y0 = u


yt = C(t).ξmt


Ta cã:∂yt

∂t=

C ′(t)

C(t).yt

∂yt

∂ξt

= mC1m .y

m−1m

t

∂2yt

∂ξ2t

= m(m− 1)C2m .y

m−2m

t


dyt = (C ′(t)

C(t)yt+mC

1m .y

m−1m

t .a(t)+1

2m(m−1)C

2m .y

m−2m

t b2(t))dt+mC1m .y

m−1m

t .b(t)dWt

So s¸nh víi dyt = (yt + et)dt + etdWt ta suy ra:C′(t)C(t)

yt + mC1m .y

m−1m

t .a(t) + 12m(m− 1)C

2m .y

m−2m

t b2(t) = yt + et(1)

mC1m .y

m−1m

t .b(t) = et (2)

(2) ⇒

m = 1

C.b(t) = et

(1) ⇒

C ′

C= 1

C.a(t) = et⇔

C = et

a(t) = 1

⇒ yt = et.ξt

y0 = ξ0 = u

VËy yt = et.ξt, víi

dξt = dt + dWt

ξ0 = u



7. dyt = (ym−1

mt +

m− 1

2my

m−2m

t )dt + ym−1

mt dWt

y0 = u (u > 0 h.c.c nÕu m = 2k, k ∈ N


yt = C(t).ξnt


Ta cã:∂yt

∂t=

C ′(t)

C(t).yt

∂yt

∂ξt

= nC1n .y

n−1n

t

∂2yt

∂ξ2t

= n(n− 1)C2n .y

n−2n

t


dyt = (C ′(t)

C(t)yt + nC

1n .y

n−1n

t .a(t) +1

2n(n− 1)C

2n .y

n−2n

t b2(t))dt + nC1n .y

n−1n

t .b(t)dWt

So s¸nh víi dyt = (ym−1

mt +

m− 1

2my

m−2m

t )dt + ym−1

mt dWt ta suy ra:

C′(t)C(t)

yt + nC1n .y

n−1n

t .a(t) + 12n(n− 1)C

2n .y

n−2n

t b2(t) = ym−1

mt +

m− 1

2my

m−2m

t

nC1n .y

n−1n

t .b(t) = ym−1

mt

Chän n = m ta suy ra: C(t) = 1

b(t) =1

m

a(t) =1

m

⇒ yt = ξmt

y0 = ξm0 = u ⇒ ξ0 = m

√u

VËy yt = ξmt , víi

dξt =1

mdt +

1

mdWt

ξ0 = m√

u

8. dyt = [a(t)yt + b(t)]dt + n(t)dWt

y0 = u




yt = C(t).ξmt

dξt = g(t)dt + h(t)dWt

Ta cã:∂yt

∂t=

C ′(t)

C(t).yt

∂yt

∂ξt

= mC1m .y

m−1m

t

∂2yt

∂ξ2t

= m(m− 1)C2m .y

m−2m

t


dyt = (C ′(t)

C(t)yt+mC

1m .y

m−1m

t .g(t)+1

2m(m−1)C

2m .y

m−2m

t h2(t))dt+mC1m .y

m−1m

t .h(t)dWt

So s¸nh víi dyt = [a(t)yt + b(t)]dt + n(t)dWt ta suy ra:C′(t)C(t)

yt + mC1m .y

m−1m

t .g(t) + 12m(m− 1)C

2m .y

m−2m

t h2(t) = a(t)yt + b(t)

mC1m .y

m−1m

t .h(t) = n(t)

Chän m = 1. Ta suy ra:C ′

C= a(t)

C.g(t) = b(t)

C.h(t) = n(t)

⇔

C = e

∫a(t)dt

g(t) =b(t)

e∫

a(t)dt

h(t) =n(t)

e∫

a(t)dt

⇒ yt = ξt.e∫

a(t)dt

y0 = ξ0.e∫

a(t)dt = u.e∫

a(t)dt ⇒ ξ0 = u.e−∫

a(t)dt

VËy yt = ξt.e∫

a(t)dt, víi

dξt =b(t)

e∫

a(t)dtdt +

n(t)

e∫

a(t)dtdWt

ξ0 = u.e−∫

a(t)dt


Bai Tap Xac Suat

Documents

Transcript of Bai Tap Xac Suat