1

Bài toán quy hoạch tuyến tính

I. Ví dụ: Lập mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính A. Bài toán cực đại : Một nhà quản lý dự án nông nghiệp ứng dụng QHTT để làm cực đại lợi nhuận của dự án dựa trên các số liệu sau :

Loại sản phẩm Số liệu đầu vào đối với một đơn vị sản phẩm Lúa gạo Lúa mì

Khả năng lớn nhất của các nguồn tài nguyên sẵn có

Diện tích [Ha/tấn] 2 3 50 Ha Lượng nước [103m3/tấn] 6 4 90 x 103m3 Nhân lực [công/tấn] 20 5 250 công Lợi nhuận [USD/tấn] 18 21 1. Phát biểu bài toán: Đây là bài toán lựa chọn phương án SX của 2 sản phẩm là lúa gạo và lúa mì Yêu cầu bài toán: Chọn phương án sản xuất sao cho lợi nhuận là cao nhất. 2. Lập mô hình Bước 1: Xác định biến quyết định Gọi x1 là số lượng lúa gạo, x2 là số lượng lúa mì (tấn) cần phải sản xuất Bước 2: Xác định hàm mục tiêu

Mục tiêu bài toán là tối đa hóa lợi nhuận ta có P = P (lúa gạo) + P (lúa mì) = c1.x1 + c2.x2 max

Bước 3: Xác định hệ ràng buộc − Ràng buộc tài nguyên sử dụng:

Về diện tích đất: 2x1 + 3x2 ≤ 50 Về nước tưới: 6x1 + 4x2 ≤ 90 Về lao động: 20x1 + 5 x2 ≤ 250

− Ràng buộc tự nhiên: x1, x2 ≥ 0 B. Bài toán cực tiểu : Một nhà quản lý trại gà dự định mua 2 loại thức ăn để trộn ra khẩu phần tốt và giá rẻ. Mỗi đơn vị thức ăn loại 1 giá 2 đồng có chứa 5g thành phần A 4g thành phần B 0,5g thành phần C Mỗi đơn vị thức ăn loại 2 giá 3 đồng có chứa 10g thành phần A 3g thành phần B không có chứa thành phần C. Trong 1 tháng, 1 con gà cần tối thiểu 90g thành phần A, 48g thành phần B và 1,5g thành phần C. Hãy tìm số lượng mỗi loại thức ăn cần mua để có đảm bảo đủ nhu cầu tối thiểu về dinh dưỡng cho 1 con gà với giá rẻ nhất. 1. Phát biểu bài toán: Đây là bài toán lựa chọn phương án mua giữa 2 loại thức ăn loại 1 và loại 2 Yêu cầu bài toán: Chọn phương án mua thức ăn gia súc sao cho chi phí là thấp nhất. 2. Lập mô hình Bước 1: Xác định biến quyết định − Biến quyết định: gọi x1 , x2 là lượng đơn vị thức ăn loại 1, loại 2 tương ứng cần mua để đảm bảo đủ

nhu cầu dinh dưỡng cho 1 con gà trong 1 tháng Bước 2 : Xác định hàm mục tiêu (Objective Function).

Mục tiêu bài toán là tối thiểu hóa chi phí C = C (thức ăn loại 1) + C (thức ăn loại 2) = c1.x1 + c2.x2 min

Bước 3 : Xác định hệ ràng buộc (Constraints) − Ràng buộc về hàm lượng dinh dưỡng phải có:

Về thành phần A: 5x1 + 10x2 ≥ 90 Về thành phần B: 4x1 + 3x2 ≥ 48 Về thành phần C: 0,5x1 ≥ 1,5

− Ràng buộc tự nhiên (khả thi): x1, x2 ≥ 0

2

Bài toán quy hoạch tuyến tính

II. Bài tập Yêu cầu cho mỗi bài tập như sau:

1. Lập mô hình bài toán trong Excel: Tổ chức và nhập dữ liệu bài toán vào bảng, Tạo lập các công thức, định dạng bảng tính để làm rỏ các target cell, changing cell, và các constraints

2. Giải bài toán bằng công cụ Solver. 3. Nêu kết luận về lời giải và ý nghĩa kinh tế của lời giải. 4. Hãy đề xuất các biện pháp cần thiết để đạt được hiệu quả cao hơn

Bài toán 1 – Một nông trại chăn nuôi gia súc ở Huyện Nhà Bè của Tp.HCM cần mua bắp và các loại đậu làm thức ăn cho gia súc. Thành phần dinh dưỡng của các loại thức ăn như sau:

Thành phần dinh dưỡng/ kg Loại thức ăn Can xi Đạm Chất sợi Giá mua

(ngàn VNĐ/kg) Bắp 0,004 0,05 0,02 2 Các loại đậu 0,0045 0,60 0,04 6 Nhu cầu tối thiểu về thành phần dinh dưỡng để cung cấp cho gia súc của nông trại này một ngày lần lượt là 1,3 kg can xi, 30 kg đạm và 10 kg chất sợi. Nông trại cần xác định phương án pha trộn các loại thức ăn để giảm chi phí thức ăn trong khi vẫn đảm bảo nhu cầu dinh dưỡng cho gia súc. Bài toán 2 Một xí nghiệp sản xuất 4 loại giày thể thao A, B, C và D. Các loại giày này đều cần ba loại nguyên liệu: chỉ, vải simili và cao su. Định mức sản xuất và số lượng nguyên liệu có sẵn cho trong bảng sau. Loại A Loại B Loại C Loại D Sẵn có Chỉ (kg/ đôi) 0,04 0,05 0,075 0,08 340 kg Vải simily (m2 / đôi) 0,16 0,18 0,25 0,22 1160 m2

Cao su (kg/ đôi) 0,4 0,3 0,5 0,4 2350 kg Lợi nhuận một đôi giày loại A, B, C và D lần lượt là: 50, 40, 60 và 70 (ngàn đồng/ đôi). Xí nghiệp cần xác định phương án sản xuất hiệu quả nhất Bài toán 3 Một công ty xây dựng lập kế hoạch sản xuất các cấu kiện bê tông đúc sẵn. Công ty dự kiến sản xuất 3 loại cấu kiện A, B, và C. Khối lượng cement, thép và đá cần dùng cho mỗi loại cấu kiện được cho ở bảng sau:

Vật liệu Cấu kiện A Cấu kiện B Cấu kiện C Cement (kg) 300 100 200 Thép (kg) 100 100 200 Đá (kg) 100 300 200 Số lượng cement, thép, đá có sẵn trong kho của Công ty là 3.400kg, 1.800 kg, và 2.200 kg. Công ty cần xác định phương án sản xuất sao cho có thể sản xuất nhiều loại cấu kiện nhất Bài toán 4 Một công ty may mặc sản xuất 3 loại áo A, B, và C. Mỗi loại áo đều phải qua 3 công đoạn sản xuất là cắt, may và đóng gói với mức thời gian cho mỗi loại áo được cho ở bảng sau: Áo loại A Áo loại B Áo loại C Bộ phận cắt (giờ) 0,2 0,4 0,3 Bộ phận may (giờ) 0,3 0,5 0,4 Bộ phận đóng gói (giờ) 0,1 0,2 0,1 Tổng giờ công trong mỗi tuần 3 bộ phận cắt, may, và đóng gói có thể huy động lần lượt là 1.160 giờ, 1.560 giờ, và 480 giờ. Công ty cần xác định sản lượng áo mỗi loại cần sản xuất trong 1 tuần để sử dụng tối đa năng lực của nhà máy.

3

Bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài toán 5 Xí nghiệp có 3 nhóm thiết bị có thể sản xuất 4 loại sản phẩm A, B, C, và D. Thời gian làm việc trong 1 tháng của mỗi thiết bị tính bằng phút, mức chi phí thời gian, tiền lãi mỗi loại cho trong bảng sau:

Mức thời gian (phút/sp) Nhóm TB A B C D Thời gian làm việc 1

tháng (phút) I 1 2 4 8 24000 II 3 5 1 0 12000 III 6 0 3 1 30000

Lãi/sp 4 2 5 8 Xí nghiệp cần lập kế hoạch sản xuất sao cho tỗng tiền lãi thu được là lớn nhất. Bài toán 6 Một xí nghiệp định sản xuất thêm một số mặt hàng trong 3 mặt hàng A, B, C. Định mức chi phí và lãi của các mặt hàng cho bởi bảng sau

Mặt hàng Nguyên liệu (kg) Vốn (đv tiền) Lao động (giờ) Lãi (đv tiền) A 2 1 4 2 B 3 3 8 3 C 3 5 0 5

Để sản xuất thêm 3 mặt hàng trên, xí nghiệp có thể huy động tối đa 150 kg nguyên liệu, 120 đơn vị tiền tệ và 100 giờ công. Xí nghiệp cần lập kế hoạch sản xuất sao cho được lãi nhiều nhất. Bài toán 7 Một nông trại định nuôi 2 loại bò : bò sữa và bò thịt. Tiền lãi, vốn, và chi phí cho mỗi con bò mỗi loại trong 1 năm được ước lượng theo bảng sau.

Vốn (dv$/con) Chi phí (dv$/con) Lãi (dv$/con) Bò sữa 120 18 60 Bò thịt 160 15 55 Hiện có ≤ 4500 ≤ 500

Nông trại cần lập phương án nuôi bao nhiêu bò sữa, bò thịt để đạt tổng số lãi lớn nhất với các điều kiện về vốn và chi phí hiện có Bài toán 8 Một trại mộc có kế hoạch dùng gổ vụn để đóng bàn và giường. Nhu cầu tiêu dùng rất lớn, sản xuất bao nhiêu cũng tiêu thụ được hết nhưng lượng vật liệu có giới hạn. Các số liệu cho ở bãng sau

Mức tiêu hao vật liệu Sản phẩm Gỗ cây (m3) Gỗ ván (m2) Lãi (dv$/sp)

Bàn 0.1 2 1.4 Giường 0.2 0.8 1.2

Lượng gỗ mỗi tháng 22 120 Trại mộc cần lập kế hoạch sản xuất hàng tháng để thu được nhiều lãi nhất. Bài toán 9 Có 3 loại máy công cụ A1, A2, và A3 dùng để sản xuất 4 loại chi tiết B1, B2, B3, và B4. Thời gian gia công mỗi chi tiết trên mỗi máy, thời gian mỗi máy dành cho kế hoạch sản xuất, cùng với tiền lãi được cho bởi bảng sau

Mức thời gian 1 dv SP Máy B1 B2 B3 B4 Thời gian dùng

SX A1 2 4 0 8 12 A2 7 2 2 6 8 A3 5 8 4 3 48 Lãi 3 4 3 1

Xưởng cần lập kế hoạch sử dụng các loại máy sao cho tối ưu, tức là tính xem số lượng mỗi loại chi tiết cần phải sản xuất để thu được nhiều lãi nhất (lưu ý mỗi chi tiết lần lượt được gia công trên các máy)

4

Bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài toán 10 Một xí nghiệp phải sản xuất 3 loại sản phẩm S1, S2, và S3 từ 4 loại bán thành phẩm A, B, C, D. Khối lượng bán thành phẩm hiện có tương ứng là 50, 150, 140, và 60 đơn vị.Số bán thành phẩm trong 1 đơn vị sản phẩm, lợi nhuận thu được cho trong bảng sau

Số bán SP/1 SP Bán SP S1 S2 S3

A 1 2 0 B 2 1 2 C 0 2 2 D 1 0 1

Lợi nhuận /1dv SP 3 1 2 Do lý do bảo quản nên số bán thành phẩm C và D phải được sử dụng hết, còn số bán thành phẩm A, B không được vượt quá số lượng đã cho. Xí nghiệp cần lập kế hoạch sản xuất sao cho lợi nhuận là nhiều nhất Bài toán 11 Có 3 trung tâm phát hành báo A, B, C đảm bảo phân phối báo kịp thời trong mỗi ngày cho các vùng I, II, III, và IV. Biết rằng trong mỗi ngày đêm mỗi trung tâm in được số lượng báo tương ứng là QA=100.000 tờ, QB=150.000 tờ, QC=120.000 tờ. Yêu cầu nhận báo của các vùng tương ứng là q1=90.000, q2=150.000, q3=80.000, q4=50.000. Chi phí vận chuyển báo từ các trung tâm đến các vùng cho trong bảng sau

I II III IV A 1 1 1.3 3 B 0.8 3 1.2 0.9 C 4 2.5 1.8 1.5

Dơn vị cần lập phương án vận tãi sao cho tổng chi phí vận chuyển bé nhất. Bài toán 12 Có một loại hàng hoá cần được vận chuyển từ 2 kho (trạm phát) P1 và P2 tới 3 nơi tiêu thụ (trạm thu) T1, T2, và T3. Số lượng hàng có ở mỗi kho, lượng hàng cần nhận ở mỗi nơi tiêu thụ, và giá chuyên chở một đơn vị hàng từ mỗi kho tới nơi tiêu thụ tương ứng cho bởi bảng sau

Trạm phát Trạm thu Lượng phát T1 T2 T3

P1 5 2 3 30 P2 2 1 1 75

Lượng thu 35 25 45 Dơn vị cần lập phương án vận tãi sao cho tổng chi phí vận chuyển bé nhất. Bài toán 13 Một xí nghiệp luyện kim muốn sản xuất một loại hợp kim với 20% bạc, 30% đồng và 50% nhôm. Họ sử dụng các nguyên liệu : bạc, đồng, nhôm, hợp kim A, hợp kim B, hợp kim C. Hàm lượng bạc đồng, nhôm trong các nguyên liệu cũng như giá một đơn vị khối lượng được cho trong bảng sau:

Nguyên liệu Bạc Đồng Nhôm A B C Ag 100% 0 0 30% 50% 40% Cu 0 100% 0 40% 20% 35% Al 0 0 100% 30% 30% 25%

Giá 1.500 300 100 1.000 1.200 1.100 Xí nghiệp cần lập phương án pha trộn thế nào để giá thành sản phẩm là nhỏ nhất. Hướng dẫn: gọi xj (j = 1÷6) là khối lượng (kg) bạc, đồng, nhôm, A, B, và C tương ứng để sản xuất 1 kg hợp kim cần thiết (các xj này đồng thời là tỷ lệ pha trộn các nguyên liệu khi sản xuất).

5

Bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài toán 14 Giả sử có 3 xí nghiệp I, II, và III có khả năng sản xuất 3 mặt hàng A, B, và C. Điều kiện sản xuất của các đơn vị khác nhau thể hiện ở hiệu quả đồng vốn ở các xí nghiệp cũng khác nhau cụ thể đầu tư 1 triệu đồng vào xí nghiệp I thì cuối kỳ sẽ được 200 sản phẩm A, 300 sản phẩm B và 215 sản phẩm C; vào xí nghiệp II thì cuối kỳ sẽ được 180 sản phẩm A, 350 sản phẩm B và 200 sản phẩm C; vào xí nghiệp III thì cuối kỳ sẽ được 150 sản phẩm A, 320 sản phẩm B và 180 sản phẩm C. Suất tiêu hao nguyên liệu và lao động ở các đơn vị cũng khác nhau cho ở bảng sau

Xí nghiệp Sản phẩm I II III Mức tiêu hao nguyên liệu (kg)

A 0.02 0.18 0.17B 0.05 0.11 0.10C 0.25 0.03 0.75

Mức hao phí lao động (giờ công) A 0.08 0.09 0.11B 0.09 0.12 0.92C 0.11 0.95 0.88

− Tổng số tài nguyên có thể huy động là 200.000 kg nguyên liệu và 218.000 giờ công lao động. − Theo hợp đồng phải có đúng 80.000 sản phẩm A, không dưới 120.000 sản phẩm B, và không dưới

35.000 sản phẩm C Một nhà đầu tư cần lập kế hoạch đầu tư vào mỗi xí nghiệp bao nhiêu vốn để

1. Không bị động về nguyên liệu và lao động 2. Hoàn thành hợp đồng đã ký 3. Tổng số vốn đầu tư ít nhất.

Bài toán 15 Một phân xưởng sản xuất 2 mặt hàng là áo và quần. Để sản xuất ra 1 cái áo, công nhân phải mất 3 giờ, một cái quần hết 2 giờ. Khi tiêu thụ xí nghiệp nhận được lợi nhuận là 80 đồng/1 áo và 60 đồng/1 quần. Phân xưỡng cần sản xuất không ít hơn 100 áo và không ít hơn 200 quần. Hỏi phân xưỏng cần sản xuất bao nhiêu áo và bao nhiêu quần để có được lợi nhuận nhiều nhất nếu quỹ thời gian của công nhân sản xuất là 900 giờ công. Bài toán 16 Theo kế hoạch xí nghiệp phải sản xuất ít nhất 75 sản phẩm A, 58 sản phẩm B và 64 sản phẩm C. Xí nghiệp có thể áp dụng 3 cách sản xuất I, II, và III. Trong 1 đơn vị thời gian, năng suất và chi phí của từng cách sản xuất cho trong bảng sau

Cách sản xuất Sản phẩm I II III A 3 6 7 B 5 9 3 C 2 8 4

Chi phí SX 2 4 3 Xí nghiệp cần lập kế hoạch sản xuất sao cho chi phí sản xuất là thấp nhất. Hướng dẫn : Mục tiêu bài này là tìm thời gian sử dụng để sản xuất theo các cách I, II, và III, Gọi x1, x2, x3 lần lượt là thời gian sử dụng ứng với 3 cách sản xuất I, II, và III Bài toán 17 Công ty thức ăn nhanh Eros lên kế hoạch mở thêm nhà hàng phục vụ. Công ty có hai loại nhà hàng: dịch vụ tùy chọn và dịch vụ trọn gói. Một nhà hàng dịch vụ tùy chọn có chi phí xây dựng 100.000$, cần 5 nhân viên và doanh thu hàng năm là 400.000$. Một nhà hàng dịch vụ trọn gói có chi phí xây dựng 150.000$, cần 15 nhân viên, và doanh thu hàng năm 500.000$. Công ty hiện sẵn có 2.400.000$ để mở thêm nhà hàng. Các hợp đồng lao động chỉ cho phép công ty thuê thêm nhiều nhất 210 nhân viên, giới hạn đăng ký kinh doanh cho phép công ty mở thêm nhiều nhất là 20 nhà hàng. Yêu cầu: Lập kế hoạch mở nhà hàng sao cho doanh thu lớn nhất